trabajos
TRANSCRIPT
TRABAJOS DE LA ASIGNATURA DE MICROONDAS.
3º INGENIERÍA TÉCNICA DE TELECOMUNICACIÓN. ESPECIALIDAD EN
SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN.
UNIVERSIDAD DE ALCALA.
CURSO 2007/08.
Los trabajos que se acompañan a continuación han sido realizados por los alumnos de la
asignatura de microondas de 3º de ITT-ST de la Universidad de Alcalá. Comprenden la
parte fundamental del temario de la asignatura (exceptuando fundamentalmente el
capítulo dedicado a los amplificadores de microondas con transistores). Los trabajos
han sido propuestos por el profesor de la asignatura de acuerdo con dicho temario.
Los propios autores han realizado una revisión ciega de los trabajos de sus compañeros.
Las correcciones sugeridas han sido incorporadas en los trabajos.
Para la realización de los mismos se han empleado, no solo los contenidos de clase, sino
la bibliografía adicional que se reseña en los trabajos.
El profesor de la asignatura. Pablo Luis López Espí.
LISTADO DE AUTORES (por orden de aparición).
Alejandro Rosique Gómez. Componentes discretos a frecuencias de Microondas.
Yolanda Fernández Campo. Componentes discretos a frecuencias de Microondas.
Víctor Eduardo Romanillos Rodríguez. Cargas Adaptadas en guía de onda.
María Jesús García Martín. Cargas Adaptadas en guía de onda.
Alberto de la Rúa Lope. Atenuadores resistivos fijos.
Cristina Lidó de la Muela. Atenuadores variables con diodos PIN
Sergio Rodríguez Resina. Atenuadores en guía de onda.
Ana Rodríguez Monter. Desfasadores con circuitos paso alto – paso bajo.
Sergio peña Ruiz. Desfasadores con circuitos paso alto – paso bajo.
Lorenzo Muñoz Alfaro. Desfasadores basados en líneas cargadas.
Santiago Gómez Loro. Desfasadores basados en híbridos en cuadratura.
Isabel Sierra Merino. Desfasadores basados en híbridos en cuadratura.
Francisco Javier Herranz Díaz. Desfasadores basados en híbridos de 180º
Salvador León Martínez. Desfasadores basados en híbridos de 180º
Javier Moreno Herrera. Divisores de microondas con líneas de transmisión.
Elena Delgado Hita. Divisores de banda ancha con líneas de transmisión.
Juan Alcoceba Venegas. Divisores de banda ancha con líneas de transmisión.
Enrique González Maceiras. Divisores resistivos.
Israel de Lucas Fernández. Divisor Wilkinson.
María Carvajal Galán. Divisor Wilkinson.
Mario Bodega Prieto. Divisor Wilkinson 1:2.
Leticia Fernández Méndez. T en guía de onda.
Beatriz Barcala Sánchez. Acoplador Branch Line.
Cristina Fernández Fernández. Anillo híbrido.
Génova Ureña Santos. Anillo híbrido.
Estefanía Moya Cobo. Acopladores de agujeros.
Antonio José Soto Márquez. Acopladores de agujeros.
Juan García-Alcañiz Fernández. Líneas acopladas.
Javier Gascueña Moreno. Líneas acopladas.
Rubén García García. Ferritas de microondas.
Francisco Javier Fragoso Jiménez. Girador y aislador de rotación de Faraday.
Francisco Andrés Alumbreros López. Girador y aislador de rotación de Faraday.
Alicia Ruiz Campón. Aisladores de resonancia y desplazamiento de campo en guía de
onda.
Alicia del Olmo Jiménez. Circuladores.
María del Pilar Herraez Fuentes. Circulador de rotación de Faraday y de unión.
Raúl Pinel García. Resonancia en líneas de transmisión.
Jesús Corrales Serrano. Resonancia en líneas de transmisión.
Eva Llorente Remartínez. Resonancia en guías de onda.
Alberto Agustín Cid Martín. Resonancia en guías de onda.
Carlos Antonio Lovera Mata. Diseño de filtros.
Alberto Martín Fernández. Diseño de filtros.
Carlos Oliver Len. Filtros paso bajo con stubs.
María Dolores Fernández-Caballero Fariñas. Filtros paso bajo con stubs.
Alfonso López Campos. Filtros paso banda y banda eliminada con líneas acopladas.
Francisco José Bazán Bautista. Filtros paso banda y banda eliminada con líneas
acopladas.
Cristina Martín Pérez. Filtros paso bajo y paso alto.
Ángela Sancho Marcos. Filtros paso bajo y paso alto.
1
COMPONENTES DISCRETOS A FRECUENCIAS DE MICROONDAS
Alejandro Rosique Gómez Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- A lo largo de estas cuatro páginas se estudiaran componentes discretos utilizados a frecuencia de microondas, es decir, frecuencias en torno o superiores a decenas de GHz. Se analizarán distintas características fundamentales a la hora de construir un circuito y sus parámetros más habituales a la hora de analizarlos, tales como sus elementos parásitos, factor de calidad, frecuencia de resonancia y resistencia equivalente serie (ESR). También se explicarán sus circuitos equivalentes de estudio y su fabricación.
I. ESTUDIO TEÓRICO
Los elementos pasivos son las resistencias, R, las bobinas, L, y los condensadores, C. En este apartado se analizará los distintos circuitos equivalentes a altas frecuencias.
El comportamiento de los elementos variará respecto a bajas frecuencias debido a que el tamaño de los elementos es similar al de la longitud de onda con la que se trabaja. Por tanto aparecerán elementos parásitos que habrá que estudiar ante la miniaturización de los componentes.
Para presentar los circuitos equivalentes nos basaremos en los parámetros primarios, los cuales presentan resistencia, reactancia, susceptancia y conductancia.
I.1Resistencias
En todos los circuitos será casi siempre necesario añadir resistencias, elementos disipadores de energía. La figura 1 muestra el esquema equivalente a altas frecuencias, donde se muestran los parámetros parásitos de inductancia y capacitancia LS y CP. El valor nominal de la resistencia viene dado por R0. La inductancia parásita en serie, LS, aparece por el hecho de que es un conductor no ideal por el que pasa corriente, se intentará que el tamaño del chip sea lo más pequeño posible para disminuir ésta inductancia. La capacitancia en paralelo es consecuencia de las propiedades del elemento resistivo que caracteriza el componente.
Fig. 1. Circuito equivalente de una resistencia en radiofrecuencias.
I.2 Condensadores
De la misma manera que en el caso anterior, tenemos los condensadores, elementos que idealmente sólo deberían presentar impedancia reactiva, no resistiva. Sin embargo en medias y altas frecuencias presenta el siguiente circuito equivalente, figura 2, en donde podemos apreciar como elementos parásitos cierta resistencia en serie, representada por RS, la conductancia entre las placas, GP, y un efecto inductivo serie de los conductores, LS. El valor nominal del condensador viene dado por C0.
Fig. 2. Circuito equivalente de un condensador en radiofrecuencias.
I.3 Bobinas
Las bobinas se pueden analizar de forma igual que las resistencias, sólo que su efecto inductivo predomina sobre todos los demás. Su circuito equivalente será el de la figura 3, en donde tendremos una cierta resistividad y capacitancia añadida. El valor nominal de la bobina viene dado por L0.
Fig. 3. Circuito equivalente de una bobina en altas frecuencias.
II. MODELOS Y TÉCNICAS DE FABRICACIÓN
Los componentes y la fabricación a unos niveles en los que el tamaño es fundamental son los factores más importantes. Se estudiará la apariencia externa, los materiales y la forma de construir los distintos componentes. En todo momento se intentará evitar el efectos pelicular de los
2
electrones, los cuales se colocan en los bordes de los conductores, es por ello que éstos tendrán todos la mínima profundidad posible.
II.1 Modelos y fabricación de resistencias
En los circuitos de radiofrecuencias y microondas es indispensable que los componentes discretos sean de tecnología de montaje en superficie o subminiatura (SMT). Las resistencias se construirán de la siguiente manera: se deposita una película resistiva sobre un sustrato cerámico, el cual se rodeará parcialmente por un conductor que tendrá terminaciones soldables en cada extremo del componente, como se muestra en al figura 4.
Fig. 4. Esquema básico de una resistencia SMT
Para obtener el valor de la resistencia se usa la expresión:
wtlR
σ= Ec.1
En donde t, w y l son la profundidad, la anchura y la longitud de la lámina resistiva. La conductividad del material viene determinada por σ.
Dependiendo del uso que se le de a la resistencia, ésta puede tener distintas configuraciones del conductor si su uso es para líneas microstrip, circuitos impresos, etc. Además de la cantidad de ohmios que presente y su calidad. Ésta última viene determinada por la longevidad del sustrato y la lámina resistiva, así como la inercia térmica y conductividad a distintas temperaturas.
II.2 Modelos y fabricación de condensadores
Se ha de resaltar la diferencia entre los condensadores electrolíticos, polarizados, y los cerámicos. Los primeros alcanzan valores muy altos, en torno a mF, pero sufren dilatación con la temperatura y poseen mucha rigidez dieléctrica y no soportan las altas frecuencias, por lo que todo el tiempo se hablará, para radiofrecuencia, de condensadores cerámicos.
Al igual que en el caso anterior, la apariencia de los condensadores de radiofrecuencia será muy diferente a los usados comúnmente. Mayormente se usarán condensadores SMT del tipo chip o pellet (“bola” en inglés). Hay dos tipos principales, los de placas paralelas y los multicapa, ambos se muestran en la figura 5. Los primeros son de menor valor, para el mismo tamaño, que los multicapa. Los condensadores de placas paralelas se construyen montando una capa delgada de dieléctrico sobre un sustrato de baja resistencia. Los condensadores multicapa se construyen en forma de sándwich con varios conductores entre capas de dieléctrico.
Fig. 5. A la izquierda un condensador de placas paralelas, a la derecha uno
multicapa.
El valor de la capacitancia nominal de los condensadores de placas paralelas vendrá dada por:
twlC ε
= Ec.2
Donde t, l y w son el espesor, la longitud y la anchura respectivamente. La permitividad del material dieléctrico vendrá dada por ε.
Para los condensadores multicapa, para obtener la capacitancia nominal tendremos que usar la siguiente fórmula:
twlnC ε)1( += Ec.3
Aquí tendremos que n es el número de capas que contienen al dieléctrico, t es el espesor del dieléctrico y w es el ancho de cada capa.
La calidad de los condensadores vendrá definida por el dieléctrico utilizado. Dos de los parámetros más importantes son el factor de calidad, Q, y la resistencia equivalente serie, ESR. El problema será que cuando un condensador presenta poca impedancia o se trabaja a muy alta frecuencia, esto hará que el condensador se comporte como un divisor de potencia, cuanta más potencia disipada, menor Q y mayor ESR. Esto se puede solucionar utilizando condensadores High Q (Q elevado) o ultra-low-loss (ultra-bajas-pérdidas) de porcelana.
3
II.3 Modelos y fabricación de bobinas
Las bobinas serán también del tipo SMT. Se tendrán dos tipos de bobinas, las devanadas y las multicapa. Las primeras se construyen enrollando un conductor sobre un núcleo de cerámica o ferrita, las multicapa se formarán añadiendo distintas capas de conductor sobre el dieléctrico.
Fig. 6. Bobina con devanado
La inductancia nominal vendrá dada por la siguiente ecuación:
22
105.4825.9 dn
ldL
+= Ec.4
En donde n es el número de vueltas, d es el diámetro de cada vuelta, suponiendo devanado circular, y l es la longitud de la bobina.
III. PARÁMETROS HABITUALES
En este apartado se estudiarán las principales características de los componentes en radiofrecuencia. Veremos la importancia del factor de calidad Q y su relación con la resistencia equivalente serie, además de la frecuencia de resonancia.
III.1 Parámetros habituales en una resistencia
El factor de calidad Q es la relación entre la reactancia, parte imaginaria de la admitancia, y la resistencia equivalente serie de un circuito. Dado el circuito de la figura 1 podemos aproximar Q como:
0
02R
LfQ Sπ= Ec.5
Siendo f0 la frecuencia de resonancia. A dicha frecuencia la impedancia que presentará el circuito será únicamente R0, es decir, donde la reactancia se hace cero. La impedancia desciende conforme nos acercamos a la frecuencia de resonancia, la cual supone un punto de inflexión, si superamos ésta frecuencia la impedancia vuelve a incrementarse, las condiciones de trabajo rondarán la mitad de f0. Esto se puede apreciar en la aproximación de la figura 7.
Fig. 7. Módulo de la impedancia presentada por la resistencia en función
de la frecuencia
III.2 Parámetros habituales en un condensador
Si tenemos en cuenta que, según la figura 2, la RP es muy grande y al estar en paralelo su efecto es despreciable, y que el efecto inductivo será bastante pequeño, podemos aproximar que RS será la resistencia equivalente serie, ESR, y por tanto un factor de calidad de:
SRCfQ
0021
π= Ec.6
En donde f0 es la frecuencia de resonancia. La impedancia que presenta el condensador descenderá conforme subimos la frecuencia hasta f0, a partir de la cual volverá a incrementarse. Normalmente se intentará trabajar a frecuencias inferiores a la de resonancia. Como vemos la ESR es inversamente proporcional a Q. La ESR se incrementará con la frecuencia y llega a ser el factor de pérdidas más importante en radiofrecuencia.
Fig. 8. Módulo de la impedancia presentada por el condensador en
función de la frecuencia
Si un condensador presenta una ESR grande disipará mucha energía y generará mucho ruido térmico, y por tanto, el Q será muy bajo. Es por ello que existen condensadores High Q para cuando se trabaja a frecuencias muy altas, que lo que hacen es presentar una ESR muy pequeña y por tanto disipan mucha menos energía.
4
III.3 Parámetros habituales en una bobina
Dado el escaso protagonismo de la capacitancia parásita, el factor de calidad se puede aproximar como:
SRLfQ 002π
= Ec.7
Para las bobinas el comportamiento de la impedancia respecto a la frecuencia será el inverso que en los casos anteriores. Al aumentar la frecuencia aumentará la impedancia hasta que lleguemos a la frecuencia de resonancia, donde la impedancia descenderá. Esto se puede apreciar en la aproximación de la figura 9.
Fig. 9. Módulo de la impedancia presentada por la bobina en función de
la frecuencia
Además del factor de calidad, para el estudio de las bobinas es necesario la resistencia paralelo equivalente, RP. La cual es directamente proporcional a Q. Para calcularla nos basaremos en el circuito de la figura 3 en paralelo. La fórmula para obtenerla será:
SbSbP RQRQR 22 )1( ≈+= Ec.8
Siendo Qb el factor de calidad de la bobina en el circuito equivalente y RS la resistencia en serie con ella. Dado que Qb >>1, entonces podemos hacer la aproximación de la ecuación 8. Al final el factor de calidad total del circuito equivalente nos queda como:
002 Lf
RQ P
π= Ec.9
IV. CONCLUSIONES
Como se ha podido observar los parámetros en radiofrecuencias y en frecuencias de microondas tienen un comportamiento muy diferente según variemos ésta, alejándose mucho del estudio en las cercanías de 0Hz. Es por ello que el diseño y la fabricación del componente puede variar mucho dependiendo del rango de frecuencias para el que se use. Además de esto el estudio de ciertos parámetros se hace fundamental para aprovechar al máximo las características del componente y predecir su comportamiento. Una característica común para todos es que cuanto más espectro de uso y durabilidad se necesita, más cara es la fabricación y por extensión el componente.
V. REFERENCIAS
[1] F. de Dieuleveult, “Electrónica aplicada a altas frecuencias”, edición
Paraninfo, 2000 [2] Vincent F. Perna Jr, American technical ceramics, “The RF capacitor
Handbook”, primera edición. [3] American technical ceramics, “Circuits designer’s notebook”. [4] American technical ceramics, “Resistors and terminations: engineering
guidelines”. [5] “Microwaves and RF”, Scientific Atlanta, 1989/1990.
1
COMPONENTES DISCRETOS A FRECUENCIAS DE MICROONDAS
Yolanda Fernández Campo Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail:[email protected]
Resumen-Los dispositivos pasivos reales tienen un comportamiento que se aleja del ideal cuando se trabaja en alta frecuencia, debido a la aparición de elementos parásitos que pueden resultar perjudiciales para el diseño. Es por ello que se utilizan modelos equivalentes para tener en cuenta estas desviaciones.
I. INTRODUCCIÓN
En este documento se analizan los modelos equivalentes en alta frecuencia de la resistencia, condensador y bobina, mediante la variación de la impedancia con la frecuencia. Para este fin se describe, el comportamiento de ESR, la parte reactiva y el conjunto que corresponden a cada circuito, mediante una simulación con PSpice. Debido a la importancia de ESR en la disipación de potencia se realiza también un estudio de los parámetros S de cada modelo. Acompañando a estas simulaciones se presentan fórmulas del cálculo aproximado de los parámetros mencionados así como del factor de calidad.
II. RESISTENCIAS
-Lineales: Su valor de resistencia es constante y está predeterminado por el fabricante
-Variables: Estas resistencias pueden variar su valor dentro de unos límites.
- No lineales: Estas resistencias se caracterizan porque su valor varía de forma no lineal, es función de distintas magnitudes físicas como puede ser la temperatura, tensión, luz y campos magnéticos.
En general, su comportamiento en frecuencias más elevadas no es de carácter resistivo como en el modelo ideal, sino que se comporta como una impedancia compleja que da lugar al diseño de un modelo equivalente, a partir de los elementos parásitos que se consideran predominantes en altas frecuencias.
El circuito equivalente más adecuado para la resistencia lineal depende del tipo de material utilizado en su fabricación.
II.1Composición de carbón
El elemento resistivo está constituido por un bloque formado por una mezcla de carbón, resinas y partículas metálicas.
En el modelo equivalente para alta frecuencia, la resistencia aparece acompañada de sus elementos parásitos; las dos bobinas L/2 que representan la inductancia de los terminales y C que es la capacidad distribuida [1], resultado
de la combinación de la capacidad que hay entre los granos de carbón.
Fig. 1. Modelo equivalente de la resistencia de composición de
carbón en alta frecuencia.
El circuito de la Figura 1 se puede modelar como una
impedancia compleja Z (w) formada por una resistencia equivalente serie (ESR) y una parte reactiva X (w).
Fig. 2. Impedancia compleja del modelo equivalente de resistencia
en alta frecuencia
)(jX)(ESR)(Z ω+ω=ω Ec. 1
( )222 RC1RESR
ω+= Ec.2
( )ω−≈ CRR/LQ Ec. 3
LC21fr
π= Ec. 4
Frequency
1.0MHz 100MHz 10GHz100KHzV(L2:1,L1:2)/ I(V2) R(V(L2:1,L1:2)/- I(V2))IMG(V(L2:1,L1:2)/ -I(V2))
0
1.0K
2.0K
Fig. 3. Representación de Z (w) en verde, ESR en rojo y X (w) en
azul; del circuito de la Figura 1.
Hasta la frecuencia de corte, los elementos parásitos se
consideran despreciables y la resistencia tiene el
2
funcionamiento esperado. A medida que aumenta la frecuencia la resistencia está puenteada por una capacidad distribuida. Por encima de la frecuencia de resonancia, la resistencia se comporta como una inductancia (Figura3)
Fig. 4. Descripción del comportamiento de la resistencia mediante
parámetros S.
Para baja frecuencia se transmite poca potencia y se
refleja bastante; sin embargo los valores esperados cambian por completo a la frecuencia de resonancia, de manera que se transmite más potencia y se refleja menos, pudiendo resultar perjudicial para el diseño. Finalmente a medida que aumenta la frecuencia se van recuperando los valores iniciales, siendo un valor óptimo a 2GHz (Figura 4)
II.2Hilo bobinado Están realizados con hilos de aleaciones metálicas
utilizando un soporte aislante sobre el que se enrolla el hilo conductor existiendo dos tipos; bobinados de potencia y precisión. C representa la capacidad distribuida que hay entre las distintas espiras de alambre y el cuerpo del resistor. L modela la inductancia que aparece por tener un conductor enrollado por el que circula corriente [1].
Fig. 5. Modelo equivalente de una resistencia de hilo bobinado en
alta frecuencia.
El circuito de la Figura 5 se puede modelar como el
circuito mostrado en la Figura 2.
( )L2CRC1RESR 22 −⋅ω+
≈ Ec. 5
En este caso el factor de calidad y la frecuencia de resonancia se corresponden con las Ecuaciones 3 y 4.
Frequency
100MHz 1.0GHz 10GHzV(C2:2,0)/ I(V2) IMG(V(C2:2,0)/ -I(V2)) R(V(C2:2,0)/ -I(V2))
0
40K
-32K
R(V(C2:2,0)/ -I(V2))
Fig. 6. Representación de Z (w) en verde, ESR en amarillo y X (w)
en rojo; del circuito de la Figura 5.
Para baja frecuencia se mantiene el comportamiento
esperado de la resistencia. El pico que se observa, es debido a que al incrementar la frecuencia aumenta la inductancia distribuida y con ella la impedancia total, hasta que la impedancia del condensador se hace comparable. A partir de este punto, la impedancia del circuito equivalente disminuye y tiende a cero (Figura 6).
Fig. 7. Descripción del comportamiento de la resistencia mediante
parámetros S.
En baja frecuencia se observa con el parámetro S21 que se
transmite una pequeña cantidad de potencia y mediante el S11 la cantidad que se refleja es elevada. La potencia transmitida cambia a la frecuencia de 2GHZ, dando lugar a una disminución elevada que influirá en el diseño. A partir de esta frecuencia se registra un aumento en el S21 que tendera a cero decibelios (Figura 7).
II.3De película
Se distinguen tres tipos de resistencia de película: - De carbón: El elemento resistivo está compuesto por
mezclas de carbono con aislantes y la deposición de la película se realiza por deposición directa del carbón.
- Metálica: El elemento resistivo es una película metálica muy delgada y la deposición de la película se realiza en vacío.
- De óxidos metálicos: El elemento resistivo es una película de óxidos metálicos delgada y la deposición de la película se realiza en el vacío.
El circuito equivalente del comportamiento real de este tipo de resistencias es el mismo que el de las resistencias de composición de carbón.
3
III. CONDENSADOR
Dispositivo que consta de dos superficies conductoras separadas por un material dieléctrico. Se utilizan principalmente en el desacoplo de las alimentaciones intermedias, el acoplo entre etapas y en los filtros LC.
En el circuito equivalente para alta frecuencia de la Figura 8, se han modelado los elementos parásitos mediante los siguientes componentes: Rs es la resistencia entre los terminales, placas y contactos, Rp es la resistencia de fugas del dieléctrico, L es la inductancia de los terminales [2].
Fig. 8. Modelo equivalente de un condensador en alta frecuencia.
La impedancia real del condensador se puede representar
mediante el circuito de la Figura 9, que se corresponde con la Ecuación 6, donde ESR indica que existirá una disipación de energía y Ce es la capacidad equivalente.
Fig. 9. Impedancia compleja del modelo equivalente de un
condensador en alta frecuencia
Cej1ESR)w(Zω
+= Ec. 6
RsESR ≈ Ec. 7
22
r1
CLC1
CCe
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
−
=ω−
≈ Ec. 8
fr2r π=ω Ec. 9
Frequency
10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHz 100MHz 1.0GHz 10GHzR(V(Rs:1,0)/-I(1)) IMG(V(Rs:1,0)/-I(1)) V(Rs:1,0)/I(1)
-5M
0
5M
10M
Fig. 10. Representación de Z (w) en verde, ESR en rojo y X (w) en
azul ; del circuito de la figura 8.
Se observa que para baja frecuencia el condensador se comporta de forma ideal, haciendo disminuir la parte resistiva del circuito a medida que aumenta la frecuencia. En la banda de 1 a 100MHz, la impedancia del circuito toma su mínimo valor, para finalmente adoptar el comportamiento de una bobina (Figura 10).
Fig. 11. Descripción del comportamiento del condensador mediante parámetros S.
Fig. 12. Detalle de la figura 11 para el intervalo de 0 a 40 MHz.
En la Figura 12, cuando la parte real de la impedancia
disminuye (ver Figura 11),el parámetro S21 aumenta, transmitiendo así mayor potencia el circuito; del mismo modo el nivel de potencia reflejada también decrece. Sin embargo, a medida que la frecuencia aumenta, y en el circuito aparece una parte inductiva elevada (ver Figura 11 a partir de 100 MHz) la potencia transmitida disminuye y la potencia reflejada aumenta.
Fig. 13. Representación fasorial de la corriente y la tensión en un condensador real [3]
En el condensador real existe un desfase menor de 90 º
entre la tensión aplicada y la corriente que circula por el dispositivo. De la Figura 13 se obtienen algunos parámetros como FP, denominado factor de potencia y FD, factor de disipación cuyas ecuaciones se obtienen mediante el ángulo de fase θ y el ángulo de pérdidas δ y se describen a continuación.
)(gtanFD δ= Ec. 10 )cos(FP θ= Ec. 11 FDXCESR ⋅= Ec. 12
FD1Q = Ec. 13
4
IV. BOBINA
Componente que almacena energía en forma de campo magnético y esta formado por un hilo conductor enrollado (espiras) sobre un núcleo de un material ferroso o de aire. En este caso, los elementos parásitos se han modelado mediante R, que es la resistencia del conductor y una C distribuida que representa la capacidad que existe entre cada espira [1].
Fig. 14. Modelo equivalente de una bobina en alta frecuencia.
Fig. 15. Impedancia compleja del modelo equivalente de una bobina
en alta frecuencia
LejESR)w(Z ω+= Ec. 14 )LC21(RESR 2ω+≈ Ec. 15
LC1LLe 2ω−
≈ Ec. 16
( )LC1
RLQ 2ω−⋅
ω≈ Ec. 17
Frequency
100.0KHz 1.00MHz 10.0MHz 100.0MHz 1.00GHz30.5KHzV(R:2,L:1)/I(V1) -I(V1) R(V(R:2,L:1)/-I(V1)) IMG(V(R:2,L:1)/-I(V1))
-2.00K
0
2.00K
4.00K
-3.80K
5.53K
Fig. 16. Representación de Z (w) en verde, ESR en azul y X (w) en
amarillo; del circuito de la Figura 13.
Para baja frecuencia se observa que la bobina se comporta de forma ideal, hasta la frecuencia de resonancia (Ver ecuación 4) de 7Mhz; a partir de la cual la impedancia total del circuito equivalente tiene un comportamiento capacitivo (Figura 16).
Fig. 17. Descripción del comportamiento de la bobina mediante
parámetros S.
Fig. 18. Detalle de la figura 16 para el intervalo de 0 a 20 MHz.
Se transmite poca potencia en baja frecuencia, produciéndose un descenso hasta la frecuencia de resonancia; debido al aumento de carácter inductivo de la impedancia del circuito (ver Figura 16 las frecuencias menores que 7MHz). A partir de la frecuencia de resonancia, el parámetro S21 aumenta debido al descenso que produce el comportamiento capacitivo de la impedancia equivalente a partir de 7MHz y el S11 apenas refleja potencia (Figura 17).
V. CONCLUSIONES
La realización de circuitos en alta frecuencia que incluyan componentes pasivos, se caracteriza por los efectos parásitos que aparecen con el incremento de frecuencia; alterando de forma considerable el comportamiento ideal que se esperaba. Utilizando los modelos equivalentes de cada componente, cuando se inicie un diseño, permite prever el comportamiento final. Asimismo se emplean componentes construidos con tecnología de montaje superficial (SMT) soldados a la placa de circuito impreso, para reducir las dimensiones y aumentar la precisión.
VI. REFERENCIAS [1] F. de Dieuleveult.. ”Componentes pasivos en alta frecuencia”.
Electrónica aplicada a las altas frecuencias. Ed. Paraninfo.2000. pp 233, 209.
[2] W. Alan Davis, Krishna Agarwal. “Resistors, Capacitors and Inductors” .Radio Frequency Circuit Design. John Wiley & Sons, Inc. 2001. pág 12.
[3] Fiore Richard. ”ESR Loss Factors”. Circuit designer’s notebook. <http://www.atceramics.com/pdf/technotes/cdn_nb_brochure.pdf> [3Octubre 2007] pág 2.
1
CARGAS ADAPTADAS EN GUÍA DE ONDA
Víctor Eduardo Romanillos Rodríguez Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Este documento trata de explicar las cargas adaptadas que podemos encontrarnos para guías de onda, viendo los diferentes tipos que existen, las técnicas que se llevan a cabo para su realización y los fundamentos teóricos en los que se basan. Además, se muestran las características típicas que un fabricante suele dar de estos componentes, así como algún ejemplo práctico de utilización de los mismos.
I. INTRODUCCIÓN
Como sabemos, las cargas adaptadas son aquellas que absorben toda la potencia que incide sobre ellas. En las guías de onda estas cargas pueden ser de dos tipos: de variación del material suave (“tapered loads”) o de variación del material abrupta (“stepped loads”), las cuales se explican en la siguiente sección.
II. TIPOS DE CARGAS
II.1De variación suave del material
Este tipo de cargas se construyen introduciendo una barra en forma de cono o pirámide (de ahí la denominación de variación suave) fabricada con un material de elevadas pérdidas. La barra puede estar fija o puede ser móvil (movimiento en la dirección de propagación). Para que sean cargas adaptadas, deben estar construidas para que se produzcan muy pocas reflexiones, por lo que la ROE suele ser muy pequeña, normalmente ROE<1.04, siempre y cuando la longitud ‘l1’que se indica en la figura 1 sea varias veces mayor que la longitud de onda a la menor frecuencia de funcionamiento. La longitud ‘l2’ se elige de forma que las pérdidas conjuntas a través de ‘l1’ y ‘l2’ sean mayores que 20 (dB).
Fig. 1. Cargas de variación suave del material [1]
La carga que se muestra a la izquierda se utiliza en aplicaciones de media y baja potencia, mientras que la carga que se muestra a la derecha se utiliza en aplicaciones en las
que se requiere disipar alta potencia, lo cual es posible gracias a que la superficie de contacto del elemento de elevadas pérdidas (material interior) es mayor que en el caso anterior y por tanto, el calor generado por la potencia que es absorbida por la guía de onda es conducido hacia las paredes, donde una especie de “aletas” de refrigeración se utilizan para evitar el aumento de temperatura. Para aplicaciones de muy alta potencia es necesario recurrir a refrigeración externa, o bien por aire o por agua. Un ejemplo de este último tipo de cargas es el que se muestra en la figura 2. Esta carga se utiliza para obtener medidas fidedignas de potencia. Se construye utilizando un tubo hueco de vidrio por donde circula agua. El incremento de la temperatura del agua es proporcional a la potencia absorbida. Para minimizar las reflexiones, el tubo de vidrio se introduce con un cierto ángulo. Como en los casos anteriores, con una longitud ‘l1’ varias veces mayor que la longitud de onda se asegura una ROE lo suficientemente pequeña, además de la disipación de la potencia incidente por el agua en circulación.
Fig. 2. Carga con refrigeración por agua [1]
II.2 De variación abrupta del material
Se utilizan en aquellas aplicaciones en las que no es posible introducir una carga de variación suave, debido a la falta del espacio físico necesario. Son por tanto, cargas de menor tamaño, del orden de media longitud de onda, con un ancho de banda útil del 10%, que es sensiblemente menor que el 40% para cargas de variación suave. La configuración normal en este tipo de cargas es la que se muestra en la figura 3. La longitud ‘l1’ actúa como un transformador λ/4. Como ésta es la sección de altas pérdidas, la dimensión de ‘b1’ se ajusta tal que la reflexión en la superficie B (referida
2
al plano de entrada) sea igual que la reflexión en la superficie A . En tal caso,
|||| 12A
lB e Γ=⋅Γ − α Ec. 1
La longitud ‘l1’ se toma de tal forma que las dos reflexiones se cancelan en el plano de entrada, siendo la ROE a la entrada igual a la unidad, es decir, ZIN = Z0. No obstante, como en cualquier transformador λ/4 la ROE es función de la frecuencia de funcionamiento. Para un ancho de banda útil del 10%, es posible obtener valores de ROE menores que 1.10. Se puede obtener un mayor ancho de banda relativo con dos o tres secciones de carga. La longitud ‘l2’ se elige como en las cargas de variación suave, de tal manera que las pérdidas a través de ‘l1’ y ‘l2’ sean mayores que 20 (dB).
Fig. 3. Carga de variación abrupta del material [1]
II. 3 Aplicación práctica
Una aplicación con cargas adaptadas es la que se realiza en la medida de reflexiones en redes de dos puertas. Lo que se hace es colocar una carga adaptada en la puerta de salida y medir la ROE a la entrada. Con una carga perfectamente adaptada, al no haber reflexiones, la ROE medida representa la reflexión debida a la puerta 2. Sin embargo, como es prácticamente imposible obtener una carga perfectamente adaptada, se producirá una incertidumbre al considerar la ROE de la puerta 2 por sí misma, ya que la ROE medida a la entrada podrá variar desde ROEX/ROEL hasta (ROEX)(ROEL), siendo ROEX y ROEL los valores para la puerta 2 y la carga respectivamente (ROEX≥ROEL). Esta incertidumbre puede eliminarse usándose una carga deslizante (sliding load) como la mostrada en la figura 4, consistente en una guía de onda que en su interior lleva una carga ajustable por el usuario. Con esta carga se puede medir el valor máximo y el valor mínimo de ROE a la entrada. [1]
Fig. 4. Sliding Load [2]
III. CARACTERÍSTICAS TÍPICAS
Los fabricantes de este tipo de componentes ofrecen una tabla, de la que se puede extraer las características de la carga, como la ROE máxima, el rango de frecuencias de funcionamiento o ancho de banda (mayor en cargas de variación suave como se ha comentado anteriormente), que como sabemos depende básicamente de la sección transversal que se utilice, aunque también depende del mecanismo de adaptación, la potencia que pueden disipar o las dimensiones. Suelen acompañar una fotografía del componente y las distintas longitudes que se especifican en la tabla. Un ejemplo de ello se encuentra en la figura 5, en la que se muestra una carga para aplicaciones de alta potencia.
Waveguide size (EIA)
VSWR max
Frequency range GHz
Power (watts)
Dim. "L"
Dim. "A"
Dim. "B"
WR-650 1.10 1.12-1.70 1500 22 11 10.5WR-284 1.10 2.60-3.95 1200 12 6 5 WR-229 1.10 3.30-4.90 800 11 6 5 WR-187 1.10 3.95-5.85 750 10 4 3.5 WR-159 1.10 4.90-7.05 625 8.5 4 3.5 WR-137 1.10 5.85-8.20 500 8.5 3.5 3 WR-112 1.10 7.05-10.0 325 7.5 3 3 WR-102 1.10 7.00-11.0 125 4.5 3 3 WR-90 1.10 8.20-12.4 225 6 2.7 2.75WR-75 1.10 10.0-15.0 100 5 2.5 2.5 WR-62 1.10 12.4-18.0 250 6 2.5 2.5 WR-51 1.10 15.0-22.0 100 5 2 2 WR-42 1.10 18.0-26.5 150 4 2 2 WR-34 1.10 22.0-33.0 75 5 2 2 WR-28 1.10 26.5-40.0 75 5 2 2
Fig. 5. Características típicas ofrecidas por un fabricante para una carga
de alta potencia [3] En ocasiones también se informa sobre los materiales con
los que están construidos. Las aleaciones más comunes son
3
las de aluminio (en aplicaciones de alta potencia), y latón, cobre, plata y acero inoxidable (en aplicaciones de baja y media potencia).
IV. EJEMPLOS
En las siguientes figuras se muestran algunos ejemplos gráficos de las cargas que se han comentado en función de la potencia que son capaces de disipar y las aplicaciones más comunes en las que se suelen utilizar.
IV.1 Cargas de baja potencia
Este tipo de cargas son capaces de disipar unas pocas decenas de watios (30-40 W) y son utilizadas en aplicaciones generales en el uso de microondas.
Fig. 5. Carga de baja potencia [2]
IV.2 Cargas de media potencia
Este tipo de cargas pueden disipar una potencia mayor que las anteriores (hasta 150 W) y se utilizan en múltiples aplicaciones. El elemento absorbente se suele fabricar de carburo de silicio ya que puede soportar elevadas temperaturas.
Fig. 6. Carga de media potencia [4]
IV.3 Cargas de alta potencia
Estas cargas se utilizan para satisfacer necesidades comerciales o también en operaciones militares (estaciones terrenas y sistemas de radar). Al igual que las cargas anteriores, son capaces de soportar altas temperaturas gracias a los elementos cerámicos que los componen, por lo que pueden disipar gran cantidad de potencia (10 kW).
Fig. 7. Cargas de alta potencia [5]
V. CONCLUSIONES
Los aspectos más importantes de este documento son principalmente dos: en primer lugar, el que se refiere a los dos tipos de cargas que existen para guías de onda en función de la forma del material de elevadas pérdidas con el que se construyen (variación suave o abrupta), así como las características de cada tipo; y en segundo lugar el que hace referencia a los tipos de cargas que existen en función de la potencia que son capaces de disipar, además de otras características comunes que suelen dar los fabricantes.
VI. REFERENCIAS
[1] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering. Passive circuits”. Prentice Hall, 1988.
[2] http://www.maurymw.com [3] http://www.pennengineering.com [4] http://www.planetcomm.com [5] http://www.ainfoinc.com
1
CARGAS ADAPTADAS EN GUÍA DE ONDA Autora: María Jesús García Martín
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- Muchas aplicaciones de microondas requieren que la línea de transmisión esté terminada con una impedancia conocida. Esto es especialmente importante en los sistemas de medida. Una de las terminaciones más usadas es la carga adaptada para guía de onda. En éste artículo se mostrará qué es y para qué se utilizan las cargas adaptadas en guía de onda, así como las distintas variedades que existen y sus principales características técnicas.
I. INTRODUCCIÓN
I.1. Definiciones:
Guía de onda: medio de transmisión formado por un solo conductor hueco por cuyo interior se propaga la energía electromagnética.
Una carga adaptada o terminación en guía de onda es un circuito pasivo de microondas de una puerta realizado con éste medio de transmisión. Este dispositivo absorbe la energía de RF sin provocar reflexiones y es equivalente a terminar la línea con su impedancia característica. [1].
I.2. Introducción:
Una gran variedad de circuitos pasivos de microondas y distintos componentes han sido desarrollados para su uso en el laboratorio, en comunicaciones de microondas y en sistemas radar. [2].
El concepto de línea de transmisión como elemento equivalente de un medio guiado, en nuestro caso la línea de transmisión va a ser una guía de onda, y la caracterización de la propagación de ondas de tensión y corriente equivalentes es el punto de partida del cálculo de los circuitos de alta frecuencia. En estos circuitos resulta de crucial importancia la adaptación en potencia del generador para conseguir la máxima transferencia de potencia y la adaptación en tensión de la carga para evitar la presencia de la onda reflejada en la línea de transmisión. [3]
A la hora de trabajar con dispositivos físicos, y no sobre el papel tendremos que recurrir a éstas cargas ya fabricadas eligiendo, según las necesidades y presupuesto que tengamos, la más adecuada en función de la relación de onda estacionaria, la capacidad de disipar potencia, o el ancho de banda de trabajo. Será importante tener todo esto en cuenta y mediante éstas terminaciones evitar la desadaptación existente entre la línea de transmisión y la carga, ya que solo cuando la línea está cargada por una impedancia igual a su impedancia característica no existe onda reflejada, y evitaremos así la aparición de patrones de onda estacionaria.
Estas terminaciones son muy utilizadas en el laboratorio es a la hora de medir impedancias o parámetros S de un circuito de microondas de más de una puerta. Para ello debemos cerrar las puertas de salida (las puertas donde no vayamos a realizar la medida) mediante cargas adaptadas y medir a la entrada la ROE, de ésta manera no exista onda reflejada a la entrada y estaremos evitando obtener medidas erróneas. También son importantes a la hora de calibrar equipos de medida [4].
Fig. 1. Carga adaptada en guía de onda.[8]
II. PRINCIPALES TIPOS
Las cargas adaptadas para guías de onda pueden ser de dos tipos:
II.1. Cargas de variación del material suave (“tapered
loads”):
Las cargas adaptadas con variación del material suave más comunes suelen ser una sección de guía terminada en cortocircuito en la que se ha insertado material resistivo (con pérdidas) que suele tener distintas variaciones, pero todas ellas suaves. Al ser el material con pérdidas, se consigue que la energía incidente se vaya atenuando gradualmente hasta anularse, así la potencia incidente es absorbida, evitando las reflexiones. Una longitud de una o más longitudes de onda son suficientes para conseguir una ROE de 1.01 o menor. [2].
Fig. 2. Cargas adaptadas para guía de onda de variación del material
suave. [2].
Dependiendo de la forma que tenga el material resistivo y la superficie de contacto que tenga con las paredes de la guía de onda nuestra carga tendrá distintas características. Cuanta mayor superficie de contacto tengamos podremos disipar mayor potencia, pero tendremos menos ancho de banda.
2
Fig. 3. Cargas adaptadas para guía de onda de variación del material
suave. [4].
La terminación de la Fig. 3.a) se usa en banda ancha, en aplicaciones de baja y media potencia. Consiste en una material con pérdidas de forma cónica que puede ser fijo o variable a lo largo del eje de propagación. La ROE es bastante pequeña (ROE<1.04) si la longitud L1 es varias veces mayor que la longitud de onda de la guía. [4].
Fig. 4. Terminación de Precisión de Baja Potencia. [10].
La terminación de la Fig. 3.b) se usa para aplicaciones de alta potencia ya que como hemos visto antes, al hacer que el material con pérdidas tenga mayor superficie de contacto con las paredes de la guía obtenemos la máxima disipación.
Fig. 5. Terminaciones de Alta Potencia. [9][10].
II.2. Cargas de variación del material abrupta (“step
loads”):
Las cargas de variación del material abrupta se usan en aplicaciones donde no hay espacio suficiente para colocar el material con pérdidas de forma cónica (ya que en las cargas de variación del material suave sólo L1 debe ser varias veces mayor que λg).
Su tamaño es del orden de media longitud de onda. Un inconveniente que presentan es el menor ancho de banda relativo, sobre el 10% (comparado con el 40% de las cargas de variación del material suave). [4].
Fig. 6. Carga adaptada de variación del material abrupta. [4].
Al estar formado por un transformador λ/4, la ROE varía con la frecuencia, obteniendo valores menores de 1.10 para un ancho de banda relativo del 10%. Podremos obtener
cargas con mayor ancho de banda colocando más secciones λ/4.
III. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Como hemos visto antes, una carga adaptada en guía de onda, es un tramo de guía terminado en cortocircuito, en cuyo interior hay un material resistivo, de manera que minimice las reflexiones y absorba toda la potencia incidente.
El material resistivo a utilizar debe presentar pérdidas a las frecuencias de microondas, normalmente varios dB por pulgada.
11||
+−
=ΓROEROE
Ec. 1
||1||1
Γ−Γ+
=ROE Ec.2
Primero se toma una guía terminada en cortocircuito ZL=0, Г=-1, teniendo un valor de ROE ∞.
Después lo que se hace es introducir pérdidas para que al llegar, la potencia al final de la carga, se vaya atenuando, y al volver a la entrada (al reflejarse), se atenúe el doble, no teniendo prácticamente a la entrada de la carga potencia reflejada.
La longitud L1 del material resistivo (ver Fig. 3.a) y 3.b)) es varias veces mayor que la longitud de onda de la guía y la longitud L2 se elige de tal forma que las pérdidas en total (pérdidas debidas a L1 y a L2) sean mayores de 20 dB. Esto asegura que los efectos de la reflexión debida al cortocircuito están suficientemente minimizados a la entrada. Podemos obtener la magnitud de éste efecto con las pérdidas de retorno (LR), siendo Г el coeficiente de reflexión.
)(||
1log10 2 dBLR Γ= E.3
Ej.: Suponemos una atenuación de 23 dB a través de L1 y L2. [4]
|Гcc| = 1
LRcc = 10 log1 = 0; (LRcc ≡ pérdidas de retorno del cortocircuito) LR = 0+2*(23) = 46 dB; Aplicando la Ec.3 Г = 0.005 Aplicando la Ec.2 ROE = 1.01
Con lo que obtenemos un valor de ROE bastante bueno, sobre todo comparado con el valor de ROE que obtendríamos sin la carga adaptada.
En el caso de cargas de variación del material abrupta L1 hace de transformador λ/4 desde la guía rellena de aire a la guía rellena por material con pérdidas. B1 se ajusta de tal forma que la reflexión en la superficie B referida al plano de entrada sea igual a la reflexión debida a la superficie A, es decir:
3
( ) |||| 12A
lB e Γ=Γ − α Ec. 4
La longitud L1 está ajustada para que las dos reflexiones se cancelen a la entrada por lo que vamos a tener a la entrada ROE =1, es decir Zin=Zo.
Como en las cargas de variación suave, L2 se elige de tal forma que las pérdidas en total sean mayores de 20 dB.
IV. TÉCNICAS DE REALIZACIÓN
Para la realización de cargas adaptadas en guía de onda se parte siempre de un tramo de guía de onda terminado en cortocircuito. Después se introduce un material resistivo en el interior de la guía, el cual comienza a estrecharse en las paredes de la guía, donde el campo eléctrico es despreciable.
Para aplicaciones de baja frecuencia, el material con pérdidas suele estar formado por polvo de hierro o carbón. Para aplicaciones de alta frecuencia se usan materiales cerámicos, que soportan mejor las altas temperaturas.
En aplicaciones que requieran media potencia están refrigeradas por aire, mientras que las cargas de alta potencia están refrigeradas por agua. [6].
Fig. 7. Carga de variación suave, refrigerada por agua. [4].
La carga de variación suave refrigerada por agua (Fig.7.), se usa para aplicaciones de alta potencia de microondas. Consiste en agua circulando a través de un tubo hueco de vidrio.
El incremento de la temperatura del agua es proporcional a la potencia absorbida. El tubo se inserta con un ángulo suave para minimizar las reflexiones. Si L1 es mayor que la longitud de onda de la guía, entonces la ROE es bastante pequeña y casi toda la potencia incidente se disipa por la circulación del agua.
V. CARACTERÍSTICAS TÍPICAS
La matriz de parámetros [S] resulta de gran utilidad en la interpretación de las propiedades de los circuitos pasivos de microondas puesto que, terminando adecuadamente las puertas, los módulos al cuadrado de los parámetros [S] representan las ganancias de transferencia de potencia entre puertas.[5].
Las Cargas Adaptadas son circuitos de una puerta por lo que la matriz [S] será de tamaño 1x1, con lo que el único parámetro S a tener en cuenta será el S11, es decir, la adaptación (A) o pérdidas de retorno (LR), pudiéndonos facilitar éste parámetro de diversas maneras, siendo la más común dádnoslo a través de la ROE (VSWR).
)(||log20 11 dBSLR −= ∞<< RL0 Ec. 5
||1||1
11
11
SSROE
−+
= 1<ROE<∞ Ec. 6
En las siguientes tablas podemos observar un ejemplo de las características típicas que nos proporciona el fabricante:
Fig. 8. Tabla de características facilitada por el fabricante. Low
power. [8].
Fig. 9. Tabla de características facilitada por el fabricante. High
power. [9].
-Rango de frecuencias, o ancho de banda. Va a estar limitado por el mecanismo de adaptación, pero fundamentalmente por la sección transversal de guía de onda empleada.
-ROE (VSWR) máxima, a través de ella podremos obtener el parámetro S11 como hemos visto anteriormente. Podemos observar que la ROE en éste caso es bastante baja.
-Guía utilizada para la fabricación de la carga.
-Potencia media (Power Average) en Watios, siendo ésta la máxima potencia que podemos aplicarle de media. A mayor ancho de banda, tendremos que trabajar con menor potencia.
-Potencia de pico (Power Peak), en KW, que es la máxima potencia instantánea que puede soportar nuestra carga, no indicándonos la duración de éste instante.
-La longitud de la terminación, tanto en pulgadas (inches), como en centímetros (cm).
Fig. 10. Longitud de la carga. [7].
4
VI. CONCLUSIONES
En el artículo hemos podido observar las ventajas que tiene poder cerrar un circuito de microondas con su impedancia de referencia, para así poder obtener los parámetros del S circuito. Otra de las utilidades importante es a la hora de realizar el calibrado de aparatos de medida.
La Relación de Onda Estacionaria de éstos dispositivos es bastante buena (ROE<1.1).
En aplicaciones de baja potencia podemos tener unos pocos W, y en aplicaciones de alta potencia podemos llegar al orden de los KW.
Existen dos tipos básicos de cargas adaptadas: las cargas de variación del material suave (“tapered loads”) y las cargas de variación del material abrupta (“step loads”), siendo de menor longitud éstas últimas, pero obteniendo así un menor ancho de banda.
Para poder disipar mejor la potencia en dispositivos de alta potencia, se utilizan sistemas de refrigeración por aire o por agua.
VII. REFERENCIAS [1] R. Sánchez y otros. “Microondas Prácticas”. Servicio de Publicaciones
de la Universidad de Alcalá, 2004. [2] Robert E. Collin. “Foundations for microwave engineering”. McGraw-
Hill, 1992. [3] Alpuente Hermosilla, J. y otros. “Líneas de Transmisión y Redes de
Adaptación en Circuitos de Microondas”. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alcalá, 2001.
[4] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering”. Prentice Hall, 1988. [5] R. Sánchez y otros. “Teoría de Circuitos de Microondas. Parámetros
S”. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alcalá, 2004. Internet: [6] http://www.megaind.com. [7] http://www.pennengineering.com [8] http://www.maurymw.com [9] http://www.mwdevices.com [10] http://www.channelmicrowave.com [11] http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/zona_de_apuntes.htm
ATENUADORES RESISTIVOS FIJOS Alberto de la Rúa Lope
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- El presente trabajo proporciona información sobre los atenuadores, mediante una amplia revisión bibliográfica. El trabajo se centra en los atenuadores fijos, analizando las configuraciones y aplicaciones de los atenuadores de tipo T, de tipo PI y de tipo T Puenteado. Asimismo se muestran simulaciones para cada uno de ellos y los resultados obtenidos. Por ultimo, se presentan otros atenuadores relacionados con los anteriormente mencionados y sus aplicaciones.
I. INTRODUCCIÓN
Los atenuadores se utilizan en aplicaciones que requieren un control en el nivel de la señal. Su función es decrementar la amplitud de una señal mientras se mantiene la adaptación de impedancias a la entrada y salida [1]. Hay muchas aplicaciones con atenuadores que no sólo incluyen comunicaciones por satélite, sino otro tipo de sistemas, instrumentos de medición y aparatos eléctricos incluidos en televisiones y radios.
En los sistemas de microondas, en algunos casos, los atenuadores requieren un control automático de ganancia para la recepción y transmisión de señales. Puesto que atenúan la energía electromagnética, también se utilizan en radiofrecuencia, en donde las funciones de procesado de señal ocurren en el nivel intermedio de frecuencia [2]. En este nivel es necesario que la señal no exceda cierto umbral que marca el equipo. Si no se utilizasen atenuadores, la distorsión que se produciría, dificultaría la correcta recepción de la información.
Existen dos tipos de atenuadores: fijos y variables. Los variables están formados por resistencias, switches y diodos PIN utilizados para variar el nivel de atenuación. Los atenuadores resistivos fijos, en su mayoría, están formados por estructuras de tres resistencias conectadas en T o en PI.
Las estructuras T y PI son sólo circuitos equivalentes convenientes para atenuadores, en los que los valores de las tres resistencias son determinadas por la atenuación deseada y por la impedancia característica en la entrada y en la salida
El presente trabajo se centra en el caso de atenuadores fijos, estudiando diversas configuraciones y aplicaciones.
II. ATENUADORES TIPO T
La estructura resistiva tipo T es la más usada en atenuadores disipativos. Una versión de ésta es la estructura coaxial de la figura 1 [3].
Fig. 1. Atenuador resistivo en cable coaxial. Elaboración propia.
Está formado por dos resistencias en serie y un disco cerámico situado en medio de éstas, el cual tiene una fina película resistiva.
Cuando las dimensiones de las resistencias son pequeñas respecto a la longitud de onda de operación, y los efectos parásitos de la capacidad son despreciables, el circuito equivalente se reduce entonces al esquema de la figura 2.
Fig. 2. Red en T. Elaboración propia.
El estudio de este circuito se puede realizar de varias maneras. De entre ellas, se mencionan las dos siguientes: (i) utilizando una matriz ABCD y separando el circuito en 3 piezas, imponiendo ya directamente la condición de adaptación; y (ii) aplicando las propiedades de una red simétrica que es el método que se ha seguido en este trabajo.
Al tener una red simétrica se puede aplicar la excitación par (circuito abierto) e impar (cortocircuito).
La matriz S (Ec. 1) deberá tener la diagonal principal igual a cero para que el circuito se encuentre adaptado.
Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ
= oeoe
oeoe
ZOS21 Ec. 1
( ) 021
2211 =Γ+Γ== OeSS Ec. 2
01
01
021
021
22
ZRZR
ZRRZRROe
+−
+++−+
=Γ+Γ Ec. 3
Despejando en las ecuaciones 2 y 3 se obtiene la
condición de adaptación en la ecuación 4:
02 2021
21 =−+ ZRRR Ec. 4
A la hora del diseño se pueden obtener los valores de las resistencias en función de la atenuación deseada mediante la ecuación 5 [4]:
110
110
20)(
20)(
1
+
−= dBL
dBL
R Ec. 5
donde: L )log(20)( 21SdB −= y 1
121 1
1RRS
+−
= .
Lo comentado anteriormente, es válido para estructuras de resistencias ideales. Sin embargo, cada resistencia real
1
presenta una capacidad y una inductancia parásita que hace que nuestro sistema tenga unas impedancias complejas, lo que implica tener ciertas limitaciones en frecuencia. Esta realidad hace que varien los parámetros de nuestra matriz [S].
Considerando una atenuación de 3dB y una Z0 = 50 Ω, obtenemos que R1=8.5 Ω y R2=143 Ω. Ahora bien, al hacer una simulación real (Fig. 3 y 4) de una red resistiva, supondremos unos valores de capacidad e inductancia para cada resistencia de C=1pF y L=1nH respectivamente. Asimismo se deberá tener en cuenta los valores de las resistencias y los valores que se encuentran en el mercado. Si escogemos la serie de componentes E-12, se obtendrá una R1=8.2 Ω y R2=150 Ω.
Fig. 3. Representación de parámetros S11 y S21 en función de la frecuencia.
Elaboración propia.
Fig. 4. Representación de la ROE en función de la frecuencia. Elaboración
propia.
Para que nuestro atenuador sea competitivo impondremos que la ROE no supere 1.3 y que la atenuación no sea mayor de 4 dB. También señalaremos que el parámetro S11 no sea considerado, por ser demasiado pequeño en todos los casos. Con estas condiciones conseguimos unos valores de S11= -16.9070 dB, S21= -3.98976 dB y ROE=1.333 para 2350 MHz. Se observa que la ROE supera nuestra condición. Por ello, tendremos que estudiar si los parámetros S11 y S21 son correctos a la frecuencia máxima de trabajo, para una ROE de valor máximo 1.3.
A la hora de hacer el diseño e implementar nuestra red, se ha de tener en cuenta la capacitancia e inductancia parásita de cada resistencia. Para ello, vamos a considerar las condiciones impuestas en el apartado anterior. Para una atenuación de 3dB y una Z0 = 50 Ω, se obtienen valores para R1 y R2 de 17.6 y 294 Ω respectivamente. Si consideramos la serie comercial E-12, se obtienen valores de R1=18 Ω y R2=270 Ω. En las simulaciones de las figuras 6 y 7, vemos que para 1500 MHz de frecuencia, se obtienen valores de -10.5261dB para S11 , S21= -3.97235dB y ROE= 1.84756.
Para una ROE=1.30527 encontramos que S11= -17.5606 dB y S21= -3.89101 dB a la frecuencia de 2275 MHz. Podremos decir entonces que la frecuencia máxima de utilización de nuestro dispositivo es de 2275 MHz. Aunque los resultados son buenos, hay que considerar la variación de 0.3 en R1 y de 7 Ω en R2, lo que implica que el atenuador se aleje de los resultados teóricos deseables y no sea tan preciso.
Cuanto mejor sea la resistencia utilizada y menores sean sus capacidades e inductancias parásitas, más se acercará a ser una red ideal, y por tanto será un atenuador de mejores prestaciones.
III. ATENUADORES TIPO PI
Otro tipo de estructura utilizada en atenuadores es la de tipo PI que se muestra en la figura 5. Este atenuador también es de tipo disipativo. El estudio de este circuito puede realizarse de varios modos, en nuestro caso hemos utilizado al igual que en la red en T, la de la simetría.
Fig. 5. Red en PI. Elaboración propia.
Para que nuestro circuito esté adaptado, los parámetros S11 y S22 deben ser igual a 0. Los cálculos realizados a partir de las ecuaciones 1 y 2 son los siguientes:
010221
010221
02
020
22
ZRZRRRZRZRRR
ZRZRe
++−−
++−
=Γ+Γ Ec. 6
De la ecuación 6 obtenemos la condición de adaptación.
)( 02 1220
221 =+− RRZRR Ec. 7
Con S21=(R2-Zo)/(R2+Z0) y L(dB)= -20log|S21|
obtenemos la ecuación de diseño (Ec. 8) [4].
110
110
20)(
20)(
2
−
+= dBL
dBL
R Ec. 8
Fig. 6. Representación de parámetros S11 y S21 en función de la frecuencia.
Elaboración propia.
2
Fig. 7. Representación de la ROE en función de la frecuencia.
Elaboración propia. Se puede observar que la ROE supera el valor de nuestra
condición, 1.3, con lo que debemos buscar una frecuencia en la que se cumplan nuestros requisitos. Para la frecuencia de 650 MHz, se obtienen valores para S11 de -17.673dB, para S21 de -3.30127dB y para ROE de 1.30075, confirmándose así que ésta es nuestra frecuencia máxima de trabajo. Al igual que en la red en T, no se debe olvidar la variación de 0.4 y 24Ω que hay en R1 y R2 respectivamente, ya que cuanta más variación exista, más se distanciará de los resultados teóricos.
IV. ATENUADOR TIPO T PUENTEADO
La distribución del atenuador T puenteado es una red basada en la estructura tipo T. Se utiliza con diodos PIN, formando un atenuador variable donde se varía el valor de las dos resistencias fundamentales [5].
La distribución de la red se puede observar en la figura 8.
Fig. 8. Red T puenteado. Elaboración propia.
Al igual que en otros casos el estudio seguido ha sido el de considerar la red simétrica. Mediante la excitación par e impar y la ecuación 1 se obtiene:
01
0
02
2
ZRZ
ZRROe
+−
+=Γ+Γ Ec. 9
Al igual que el resto de atenuadores, el circuito debe estar
adaptado, por lo que se impone la condición de la ecuación 2, y despejando obtenemos:
02021 =− ZRR Ec.10
Sabiendo que [ oeSS Γ−Γ==21
2112 ] (Ec.11), se
obtiene la ecuación de diseño:
−= 110 20
)(
1
dBL
oZR Ec.12
Para hacer un estudio real de nuestro circuito, se deben
considerar los efectos parásitos de las resistencias.
En las siguientes simulaciones (figura 9 y 10) se han tenido en cuenta los mismos valores de capacidad e inductancia que en casos anteriores.
Aplicando las ecuaciones de diseño para una atenuación de 3dB y una Z0 de 50 Ω, obtenemos R1=20.62 Ω y R2=121.2Ω. Teniendo en cuenta las condiciones ya descritas y utilizando la serie E-12, obtendremos valores de R1=22Ω y R2=120Ω.
En la simulación se aprecia que para una frecuencia de 2200 MHz, se obtienen valores para S11 , S21, y ROE de -15.866dB, -3.9955dB y 1.33272, respectivamente.
Fig. 9. Representación de parámetros S11 y S21 en función de la frecuencia.
Elaboración propia.
Fig. 10. Representación de la ROE en función de la frecuencia. Elaboración
propia. Al igual que en los casos anteriores, el valor de ROE es
mayor de 1.3. Para una frecuencia de 1850 MHz, S11 es -17.7432dB, S21= -3.704204dB y ROE=1.29798. Tales valores confirman que ésta es nuestra frecuencia límite.
Es necesario matizar que, en este caso, la diferencia entre los valores teóricos y simulados de las resistencias es mínima, acercándose mucho al caso teórico.
V. OTROS TIPOS DE ATENUADORES Y SUS APLICACIONES
Esta sección describe otros diseños de atenuadores relacionados con los vistos anteriormente y algunas aplicaciones en el campo de las telecomunicaciones.
V.1 Atenuador con línea de pérdidas
En las más altas frecuencias de microondas, la funcionalidad de los atenuadores vistos anteriormente se deteriora rápidamente, debido a que el tamaño de los dispositivos es comparable a la longitud de onda de trabajo. Las versiones de coaxial son válidas con baja ROE y con buenas prestaciones en el rango de 2 a 18GHz. La figura 11 muestra un ejemplo [3].
3
Fig. 11. Atenuador en la línea central del coaxial. Elaboración propia.
El conductor central de la línea coaxial tiene una fina película resistiva depositada en su superficie. La atenuación puede ser calculada con la ecuación siguiente:
''1''
LjRCLjjω
ωβαγ −=+= Ec. 13
La constante de atenuación puede ser estimada como:
02'
''
2'
ZR
LCR
=≅α
La ecuación 14 muestra la atenuación total At=αl, donde l es la longitud del elemento resistivo.
( )00 22
'ZR
ZlRNA Pt == ó ( )
0
34.4ZRdBAt = Ec. 14
Este tipo de atenuador tiene una frecuencia de corte inferior que podría ser definida como
'0
0 RZ
Π=λ . Con
'' LR ω<< la impedancia característica de la línea podría
expresarse como ''
0 CL
=Z .
Una aplicación de este atenuador es la reducción de reflexiones asociadas, en los casos en los que existe desadaptación en carga o generador.
V.2 Distribuciones multiterminales de resistencias
En la actualidad, en circuitos integrados de microondas las distribuciones de atenuadores resistivos presentan claras ventajas respecto a las cadenas de resistencias discretas [1].
Pequeños o grandes valores de conductancia que aparecen a veces en circuitos equivalentes, pueden ser debidos a una película resistiva en la superficie, sin que influya el radio del componente, que sería requerido en elementos discretos.
Un circuito resistivo distribuido planarmente es una película resistiva depositada en un sustrato aislado dentro de un área. A lo largo de la periferia hay un número de segmentos metalizados (los terminales) que están separados por segmentos aislados.
La estructura del área, la localización y tamaño de los terminales, la conductividad de la superficie determinan las propiedades del circuito.
Una fina película homogénea con una resistencia por superficie de R∑ Ω por cuadrado puede ser simulada por una cuadrícula de resistencias como muestra la figura 12.
Fig. 12. Cuadrícula de resistencias y ejemplo de celda [1].
Cada cuadrícula puede constituir un cuadrado de celdas unidas, cada una de ellas constituida por cuatro resistencias iguales cuyo valor es 2R∑.
La estructura simétrica no es obligatoria. Un ejemplo de estructura no simétrica es el caso de dos atenuadores con la misma impedancia característica pero atenuaciones diferentes. Sin embargo, el resultado bilateral que presenta el conjunto es eléctricamente simétrico.
La simetría geométrica es ventajosa porque elimina las variables redundantes y reduce el número de condiciones de tres a dos.
VI. CONCLUSIONES
El trabajo que aquí se ha presentado muestra un estudio de atenuadores fijos de diversas configuraciones. A partir de él, se han obtenido las siguientes conclusiones: Cuando se emplean resistencias, cada una de ellas
presenta una capacidad e inductancia parásita que hace que el sistema tenga una impedancia compleja, lo que implica tener limitaciones en frecuencia.
En las simulaciones realizadas para atenuadores T y bajo las condiciones definidas, la frecuencia máxima de trabajo ha sido de 2275 MHz, sin olvidar la variación existente de 0.2 en R1 y 7 Ω en R2.
Las simulaciones de atenuadores tipo Pi han dado como resultado una frecuencia máxima de trabajo de 650 MHz. La variación en este caso es de 0.4 y 24 Ω en R1 y R2 respectivamente.
Para el caso simulado de atenuadores T puenteado se obtuvo una frecuencia límite de 1850 MHz. La variación entre los resultados teóricos y simulados son despreciables.
En altas frecuencias de microondas, se utiliza diferentes versiones de atenuadores en cable coaxial.
Cuanto mejor sea la resistencia utilizada y menores sean sus efectos parásitos, obtendremos atenuadores con mejores prestaciones.
Por ello, la tendencia actual es reducir el tamaño del componente, consiguiendo así utilizar frecuencias altas de microondas.
VII. REFERENCIAS [1] Raicu, D. “Multiterminal distributed resistors as microwave attenuators”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 42, No 7, p. 1140-1148. Santa Clara, USA. 1994
[2] Electronics Information, “RF & Microwave Attenuator” 2006. http://www.electronics-manufacturers.com
[3] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering Passive Circuits”, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. Prentice Hall,1988
[4] Gómez Tornero, J.L y Álvarez Melcón, A. “Transmisión por Soporte Físico. Curso 2006/2007”Universidad Politécnica de Cartagena. ETSI Telecomunicaciones. Cartagena. 2007
[5] RF & Microwave variable attenuators. DC-18.0 GHz. General information. NJ. 1996
[6] RF, RFI & Microwave Theory and Design. www.rfic.co.uk
4
1
ATENUADORES VARIABLES CON DIODOS PIN
Cristina Lidó de la Muela Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- El diodo PIN es uno de los diodos más utilizados para trabajar en alta frecuencia debido a sus características eléctricas y al diseño de los dispositivos de los que forma parte. Las aplicaciones fundamentales de los diodos PIN son las de conmutador de RF y como elemento controlador en atenuadores variables debido a su velocidad y fácil diseño. En esta última aplicación será en la que centraremos el estudio.
I. INTRODUCCIÓN
El elemento principal de los atenuadores variables con diodos PIN son los propios diodos PIN. El diodo PIN es un diodo que presenta una región P y otra región N ambas fuertemente dopadas, separadas por una región de material que es casi intrínseco. Esta capa intrínseca, en la práctica, se sustituye por una capa tipo P de alta resistividad o bien por una capa N de alta resistividad. La presencia de un campo eléctrico, luz o cualquier forma conveniente de energía hace que se generen portadores en ella. Se puede decir que el diodo PIN es un dispositivo controlado por corriente.
Fig 1. Estructura del diodo PIN.
Este tipo de diodos se utiliza para frecuencias elevadas
que pueden exceder 1 GHz [1]. El diodo PIN al disipar potencia hace que la temperatura
en su unión aumente. La temperatura en su unión depende de la cantidad de potencia disipada, de la temperatura ambiente y de la impedancia térmica, entre las temperaturas de la unión y ambiente del diodo [2].
I.1Polarización del diodo PIN y circuitos equivalentes
El comportamiento del diodo PIN en polarización directa es el de una resistencia muy baja presentándose incluso como un cortocircuito, o como un interruptor cerrado. En esta situación la caída de tensión en la región intrínseca es muy pequeña y además cuando aumenta la corriente disminuye la resistencia, por tanto se puede considerar que el diodo PIN es un dispositivo con su resistencia modulada. El circuito equivalente del diodo PIN polarizado en directa es:
Fig. 2. Circuito equivalente en polarización directa.
Sin embargo el comportamiento de un diodo PIN en polarización inversa presenta una impedancia muy alta equiparándose a un circuito abierto o a un interruptor abierto. Por tanto su circuito eléctrico equivalente es el mostrado en la siguiente figura:
Rp
L
Ct
Fig. 3. Circuito equivalente en polarización inversa.
Sus tensiones de ruptura están comprendidas en el
margen de 100 a 1000 Voltios. Además los diodos PIN presentan una longitud de la región de transición aproximadamente igual a la región intrínseca y aproximadamente independiente de la tensión inversa. Otro dato importante es el hecho de que el valor de la resistencia del diodo PIN es determinada sólo por la corriente en polarización directa [3].
I.2Aplicaciones del diodo PIN
Las principales aplicaciones del diodo PIN son [4]: - Conmutador de RF - Resistencia variable - Fotodetector - Protector de sobretensiones.
II. ATENUADORES VARIBLES
Los atenuadores variables son usados para controlar la potencia de transmisión y tiene aplicación en dispositivos moduladores controlados electrónicamente, sistemas radar y circuitos controladores automáticos de ganancia (CAG)
L
Rs
2
permitiendo una menor potencia, menor frecuencia de adaptación y menor distorsión de la señal de radiofrecuencia.
Los atenuadores variables implementados con diodos PIN necesitan una red de polarización más sencilla y fácil de controlar. En este caso se comportan como una resistencia variable en función de la corriente de polarización que le atraviesa, tomando valores desde casi un cortocircuito hasta los 10 KΩ aproximadamente, aunque esta relación no es lineal. A la hora de seleccionar el diodo PIN para una aplicación como atenuador se debe considerar el rango de la resistencia del diodo, que decide directamente el rango dinámico del atenuador.
El rango de frecuencia de trabajo de estos atenuadores es de 200 MHz hasta los 40 GHz, estando presentes en configuraciones que permiten el uso de sistemas de construcción optimas.
Estos atenuadores tienden a ser más sensibles a la distorsión debido a que sus puntos de operación en alimentación coinciden con valores de carga almacenada bajos. Si la capa intrínseca es delgada, el diodo trabajará con una corriente de alimentación directa menor que en el caso de un diodo con una capa intrínseca de mayor grosor, pero en general se cumple que a mayor grosor de capa intrínseca, menor distorsión se produce.
III. TIPOS DE ATENUADORES
Destacan varios tipos de atenuadores dependiendo de su topología. Los más importantes son los que se comentan a continuación.
III.1 Atenuadores reflexivos
Utiliza configuraciones simples de conmutadores con diodos PIN en serie o paralelo. Permiten controlar la resistencia característica del diodo PIN mediante la corriente que circula por ellos. El más simple es el atenuador reflexivo montado en paralelo. Su estructura es uno o más diodos PIN en paralelo con una línea de transmisión, permitiendo buscar grandes niveles de atenuación dependiendo del número y el espacio eléctrico entre los diodos. Pero su inconveniente es la desadaptación que presenta en estado de atenuación. La atenuación se debe en casi su totalidad a pérdidas de reflexión aunque una pequeña porción puede deberse a pérdidas de transmisión.
C1 C2
Dn
0
D1
0
TP2
D2
TP1
0
Bias
Fig. 4. Atenuador reflexivo genérico en paralelo.
Los valores de atenuación con el diodo PIN conectado en serie son:
0
20 log 12
sRAZ
⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
[dB] Ec.1
Los valores de atenuación con el diodo PIN conectado en paralelo son:
020 log 12 s
zAR
⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
[dB] Ec. 2
III.2 Atenuadores adaptados
Mantiene constante la impedancia de entrada a través de un rango de atenuación. Su diseño puede constar de múltiples diodos PIN alimentados a distinta tensión para obtener distinta resistencia como circuitos de ancho de banda limitado utilizando elementos sintonizados.
III.3 Atenuadores híbridos en cuadratura
Trabajarán en un rango de frecuencias de 10 MHz a 2 GHz debido a las características de los híbridos. Los diodos PIN se pueden conectar en paralelo obteniendo una atenuación igual a:
0
220 log 1 RsAZ
⎛ ⎞⋅= ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ [dB] Ec.3
O bien en serie, siendo su atenuación:
0220 log 1 ZARs⋅⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ [dB] Ec.4
Su topología es similar en ambos casos cambiando únicamente la colocación (bien es serie o paralelo) de los diodos PIN.
0
Zo
0
0
0
Zo
IN
OUT
DCsupply
0 Fig. 5. Atenuador híbrido en cuadratura adaptado con diodos
conectados en paralelo.
La topología en serie se utiliza para atenuadores usados a grandes niveles de atenuación, mientras que la topología en paralelo es recomendada para menores rangos de atenuación.
Estos atenuadores permiten manejar el doble de potencia debido a que la potencia incidente se divide en dos caminos y a la actuación de la impedancia de carga. Además la impedancia de carga permite que el atenuador sea menos sensible a las diferentes características de un diodo en particular.
Destaca el atenuador balanceado, cuyo diseño es dos atenuadores reflexivos idénticos colocados en paralelo conectados entre dos acopladores híbridos en cuadratura de 3 dB. Con este atenuador se consiguen valores bajos de ROE para todas las condiciones de atenuación y además la
3
potencia que puede manejar se mejora en 3 dB. Cubre un rango de frecuencias de 500 MHz hasta los 40 GHz.
III.4 Atenuador por agrupación de diodos
Su diseño es similar a los atenuadores reflexivos montados en paralelo pero añadiendo terminaciones a los diodos.
III.5 Atenuadores en T puenteados y en π
Estos circuitos están formados por elementos que funcionan a la frecuencia de las microondas de manera análoga a como lo hacen en continua. Para conseguir la variación de la atenuación es necesario cambios simultáneos de la corriente de alimentación en el diodo serie y en el paralelo, asegurándose una impedancia constante a cualquier nivel. Su frecuencia de funcionamiento varía desde los 200 MHz hasta los 18 GHz. Estos atenuadores proporcionan un rango dinámico muy bueno y un tiempo de conmutación moderado. Las topologías de estos atenuadores son:
D1(Rs1)
RF input
0
Zo
D2(Rs2)
Zo RF output
Fig. 6. Atenuador en T puenteada.
RF input
D1(Rs1)
D3(Rs3)
D2(Rs2)
0
RF output
Fig. 7. Atenuador en π.
Cuya atenuación en el diseño en T puenteada es:
0
1
20 log 1s
ZAR
⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ [dB] Ec. 5
siendo: 20 1 2s sZ R R= ⋅ [Ω2] Ec. 6
Y la atenuación debida al diseño en π:
1 0
1 0
20 log S
S
R ZAR Z
⎛ ⎞+= ⋅ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
[dB] Ec. 7
Siendo el valor de las resistencias:
2
1 03 2 2
1 0
2 Ss
S
R ZRR Z⋅ ⋅
=−
[Ω] Ec. 8
1 2S SR R= [Ω] Ec. 9
III.6 Atenuadores de cuarto de longitud de onda
Es un atenuador adaptado a la entrada. Esta adaptación se consigue cuando ambos diodos están cargados con la misma resistencia.
III.7 Atenuadores por conmutación de bit
Se utilizan para aplicaciones que requieren de un tiempo de conmutación elevado y una capacidad alta de manejar mucha potencia. En su configuración constan uno o más pares de interruptores SP2T. En este diseño los diodos PIN no se usan como resistores variables, sino como conmutadores entre los estados de alimentación directa e inversa. Esto permite una velocidad mucho mayor de conmutación debido a que lo que interesa en este caso es la alta velocidad de los diodos PIN y la conducción del circuito. Además ofrece mayor capacidad para manejar potencias más altas ya que la potencia de RF se absorbe por los atenuadores fijos y no por los diodos PIN.
Debido a la complejidad del circuito de RF, el coste de este atenuador es mayor que otros. Además la incorporación de interruptores de alta velocidad puede llevar a una fuga excesiva de señal de video [5].
IV. SIMULACIÓN DEL ATENUADOR EN Π
El diseño a simular va a ser un atenuador en π de cuatro diodos como el que muestra la siguiente figura:
RF outputRF input
D2(Rs2)D1(Rs1)
D3(Rs3)
0 Fig. 8. Atenuador en π de cuatro diodos
Este atenuador tiene como ventaja principal su simetría
que permite una red más simple de alimentación y una reducción de la distorsión debido a la cancelación de las señales armónicas en la configuración “espalda contra espalda” de los diodos serie.
La simulación en MMICAD es:
Fig. 9. Simulación del atenuador en π de cuatro diodos
En esta simulación observamos la ganancia máxima del circuito frente a la variación del valor de la resistencia de unión de los diodos PIN.
Como se puede observar, para valores de resistencia de unión del diodo PIN pequeños la ganancia es elevada, pero a medida que el valor de la resistencia aumenta, la ganancia disminuye.
4
La resistencia del diodo y la atenuación son inversamente proporcionales a la tensión aplicada. Por tanto si representamos conjuntamente la ganancia máxima disponible y el parámetro S21 en función de la resistencia del diodo tenemos:
Fig. 10. Simulación del atenuador en π de cuatro diodos
Esta topología de atenuador en π de cuatro diodos es muy utilizada, como por ejemplo, en el siguiente diseño del atenuador propuesto por Hewlett-Packard:
R3
D4
IN/OUT
C3
R6
D2
0
+Vc
C5
R4
D3
R5
0
C1
IN/OUT
R1
C4
D1
+V
C2
R2
Fig. 11. Circuito propuesto por Hewlett-Packard
El objetivo de este diseño es conseguir que un atenuador
en π de cuatro diodos se comporte como un atenuador resistivo en π. La variación de la atenuación se consigue variando la corriente de polarización de los diodos [6].
En este caso, la simulación en MMICAD obtenida es:
Fig. 12. Simulación del circuito propuesto por Hewlett-Packard Donde se representa que la ganancia es, en un principio,
elevada y conforme aumenta la resistencia de unión del diodo PIN la ganancia disminuye, como ocurre en el caso anterior
Se puede ver que la ganancia del circuito de Hewlett-Packard es ligeramente inferior con respecto al atenuador en π de cuatro diodos.
V. CONCLUSIONES
Como hemos podido observar en las simulaciones anteriores, los atenuadores con diodos PIN requieren una red de polarización sencilla y se obtiene un buen comportamiento de los mismos.
Excepto los atenuadores por conmutación de bit, los atenuadores se comportan como una resistencia variable en función de la corriente de polarización.
Además los diodos PIN trabajan adecuadamente en alta frecuencia.
VI. REFERENCIAS [1] http://www.cienciasmisticas.com.ar/electronica/semi/tdiodos/index.php [2] Victor Mañes Córdoba, “Conmutadores a diodos PIN con estructura en
pi”. Trabajo fin de carrera 2006. [3] http://www.eettaiwan.com/ARTICLES/2002SEP/A/2002SEP20_ICD_
RFD_EMS_AN.PDF [4] http://es.wikipedia.org/wiki/Diodo_PIN [5] Germán Blanco Cañibano, “Atenuador variable con diodos PIN en
líneas microstrip controlado por el puerto paralelo”. Trabajo fin de carrera 2003.
[6] http://www.uvic.cat/eps/recerca/processament/docs/uris2000_2.ps
1
ATENUADORES EN GUIA DE ONDA SERGIO RODRIGUEZ RESINA
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Los atenuadores en guía de onda son utilizados para
disminuir la potencia de la señal de microondas que los atraviesa, en este caso esta disminución de potencia se hace de una forma disipativa. Hablaremos en este trabajo de la clasificación de estos atenuadores según sean fijos o variables, y de la forma que tiene cada uno de estos grupos de realizar su función, Además expondremos las características que debe cumplir cualquier atenuador y su funcionamiento real comparado con el ideal.
Por otro lado, mostraremos un caso especial de estos atenuadores a los cuales se les conoce como rotatorios.
I. INTRODUCCIÓN
A modo de introducción comentaremos las características que tienen que cumplir cualquier tipo de atenuador, y más tarde nos centraremos en ver como el atenuador en guía de onda las lleva a cabo.
Un atenuador es un componente que reduce la potencia de la señal que le entra, en una cantidad previamente prefijada, absorbiendo o reflejando parte de su energía y disipándola en forma de calor. Esto lo debe realizar, idealmente, estando su puerta de entrada y salida completamente adaptadas, siendo esta una de sus propiedades. Además un atenuador ideal no debe introducir cambios o distorsión de fase en el sistema en el que se inserte. De este modo su matriz ideal quedara de la siguiente forma:
Fig. 1. Matriz S atenuador ideal
Donde γ toma valores entre 0 y 1, consiguiéndose más atenuación a medida que γ se acerca más a 0 y menos cuando tome valores más cercanos a 1. Viendo la forma que tiene la matriz podemos comentar que se trata de una red reciproca y pasiva. Dentro de los atenuadores podemos distinguir dos familias según su forma de introducir la atenuación: - Las microstrip y coaxiales, las cuales utilizan elementos
resistivos.
- Las guías de onda, que incorporan las pérdidas a la línea
de transmisión. Esta última familia es la que se está desarrollando en este trabajo y en la que nos centraremos de ahora en adelante.
II. ATENUADORES EN GUIA DE ONDA
Como hemos comentado, este tipo de atenuadores introducen la atenuación incorporando perdidas a la línea de transmisión, estas perdidas las introducen bien a través de una lamina resistiva o incorporando un dieléctrico con perdidas. Aunque el mas usado es el primer método, utilizando una lamina resistiva
II.1Atenuadores con lámina resistiva
Estas laminas con utilizadas tanto por atenuadores fijos como por atenuadores variables, y están situadas en el centro de la cara mas ancha y en posición perpendicular a las misma. Esto es debido a que el modo TE10 del campo eléctrico es máximo en la cara mas ancha de la guía de onda y lleva también dirección perpendicular a la misma, con lo que al colocar la lámina en esta posición el efecto de atenuación es mayor. Esta lámina resistiva tiene una forma afilada a ambos extremos, en la entrada y en la salida, para conseguir una buena adaptación en el ancho de banda útil de la guía de onda. La conductividad y dimensiones de la misma son elegidas normalmente mediante una técnica de prueba y error, hasta alcanzar los valores de atenuación deseados.
En el caso del atenuador fijo la lámina permanece fija en la posición comentada anteriormente, como muestra la siguiente figura.
Fig. 2. Atenuador fijo con lámina resistiva.
2
Un ejemplo real de este tipo de atenuadores lo podemos ver en la siguiente foto.
Fig. 3. Atenuador fijo con lámina resistiva real Por otro lado la lámina en el caso de los atenuadores variables entra por la cara mas ancha de la guía de onda a través de una ranura, de esa forma intercepta y absorbe una parte de la potencia de la onda. La colocación de la ranura es muy importante, se debe colocar en el centro de la cara más ancha y de forma longitudinal, de ese modo no radiará campo. Si se colocase en otra posición, la ranura empezara a radiar, como ocurre en el caso de las antenas ranuradas. La atenuación producida dependerá de la penetración de la lámina en la guía de ondas, a mayor penetración mayor atenuación. En las siguientes figuras entenderemos mejor el funcionamiento de los atenuadores de este tipo.
Fig. 4. Atenuador variable con lámina resistiva
Fig. 5. Atenuador variable con lámina resistiva real
Este tipo de atenuadores con láminas, tanto los variables como los fijos, tienen un par de características que no les favorecen a la hora de su colocación, una de ellas es la dependencia de la atenuación con la frecuencia, de tal manera que al aumentar la frecuencia también aumenta la atenuación. Esto es un inconveniente a la hora de elegir la frecuencia con la que trabajamos. Y la otra es la dependencia que existe entre la fase de señal de salida y la penetración de la lámina en la guía, lo que hace alejar su funcionamiento del ideal, ya que un atenuador no debe introducir variación ninguna en la fase de la señal que atenúa. [1]
II.2 Rotatorios
Los atenuadores rotatorios son atenuadores variables en guía de onda, los cuales introducen la atenuación mediante la variación de la posición angular de un material resistivo en la guía. Están formados por cinco piezas, cuatro fijas y una rotatoria. Dentro de las cuatros fijas podemos distinguir, dos que llevan a cabo la transición entre guía rectangular y guía cilíndrica; y otras dos utilizadas para el mantenimiento de la polarización vertical de la señal. La parte rotatoria es la encargada de, al girar, absorber parte de la potencia del campo eléctrico. En la siguiente imagen vemos la forma que tiene dicho atenuador y sus partes ya comentadas.[2]
. Fig. 6. Rotatorio
A continuación entraremos al estudio en profundidad del funcionamiento de este dispositivo. En primer lugar nos encontramos a la entrada con un campo en modo TE10, y mediante la primera parte del rotatorio hacemos la transición a guía cilíndrica consiguiendo con esto tener ahora el campo en el modo TE11. Después hacemos pasar este campo por una sección fija que se encarga de eliminar cualquier tipo de componente con polarización horizontal, de este modo se garantiza que la polarización de la señal será de forma vertical. Para ello, esta sección utiliza una lámina en posición horizontal con lo que elimina la señal polarizada en paralelo a la misma.
Una vez pasada esa parte del rotatorio, nos encontramos con la sección movible encargada de introducir parte de la atenuación en el circuito. Esta se compone de una lámina resistiva que atraviesa su sección, al igual que en la anterior, pero con la peculiaridad de que en este caso al poderse girar podemos elegir la parte a eliminar de la señal, ya que eliminaremos toda aquella parte paralela a la lámina. El ángulo que forma esta lámina con la señal que nos llega es muy importante, ya que de el va a depender la absorción de potencia de la señal. Una vez eliminada la componente del campo paralela a la lámina, la señal vuelve a pasa por una sección fija encargada de conseguir la polarización vertical
3
que traíamos antes de pasar por el tramo rotatorio. En esta parte la señal vuelve a sufrir unas perdidas debidas a la lámina en horizontal que atraviesa su sección.
Fig. 7. Descomposición del campo
Y por último se coloca una transición cilíndrica-rectangular, consiguiendo con ello volver a tener el modo TE10 que traíamos a la entrada del atenuador. Para ver de forma más detallada el paso del campo por el atenuador, tenemos el siguiente dibujo que muestra los tramos por los que pasa el campo y su variación en los mismos.
Fig. 8. Secciones rotatorio
Una vez estudiada las variaciones que sufre el campo, podemos calcular las pérdidas de inserción (Atenuación) de la siguiente manera:
2
2 4 4
1·cos ( ) cos ( )i
m m
ElE θ θ
= = Ec. 1
Y en Dbs:
4
1( ) 10·logcos ( )i
m
L dBθ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ec. 2
Teóricamente este atenuador puede variar entre 0-∞ dBs. De modo que si tenemos un valor de θm=0º obtendremos unas perdidas nulas (Li=0 dBs), y si θm=90º la atenuación será máxima (Li=∞ dBs teóricamente). Con lo que graduando el ángulo graduamos las pérdidas.
III. CONCLUSIONES
En este trabajo se han expuesto los atenuadores en guía de onda más utilizados, así como su forma de llevar a cabo la atenuación, adaptándose a las limitaciones de una guía de onda. También cabe destacar un par de características de estos dispositivos, anteriormente nombradas, que son la variación de la atenuación con la frecuencia y la variación de la fase de la señal introducida. Esto se convierte en un inconveniente a la hora de conectar este dispositivo en una red.
Por otro lado hemos hablado también del atenuador rotatorio, el cual utiliza un método de atenuación que tiene la peculiaridad de alcanzar unos valores mas elevados de atenuación que los alcanzados por los otros dispositivos comentados.
III. REFERENCIAS [1] Microwave Engineering. Passive circuits,Perter.A.Rizzi [2] http://www.flann.com/
1
DESFASADORES CON CIRCUITOS
PASO ALTO – PASO BAJO
Ana Rodríguez Monter
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08
Universidad de Alcalá e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se abordará el estudio de
desfasadores realizados con circuitos paso alto – paso
bajo realizados en T y en Π, ocupándonos de realizar
tanto una descripción como un estudio completo de los
mismos. Finalmente, se aportarán unas simulaciones en
MMICAD que permitan observar gráficamente el
funcionamiento de estos dispositivos con la variación de
la frecuencia.
I. INTRODUCCIÓN
Los desfasadores son dispositivos utilizados para ajustar la fase de transmisión en un sistema [1] (fase del parámetro
S21) independientemente de la frecuencia [2]. La mayoría son
redes recíprocas, lo que significa que funcionan de modo
efectivo con señales que pasan en cualquier sentido.
Pueden ser controlados eléctrica, magnética o
mecánicamente y pueden ser digitales o analógicos [3].
Algunas de sus aplicaciones son: pruebas y calibración de
antenas, tecnología de simulación, bucles de
retroalimentación para la cancelación de productos de
intermodulación en amplificadores, sistemas de cancelación
de ruido, sistemas radar, etc. [4]
II. DESCRIPCIÓN Y ESQUEMAS
Un tipo de desfasadores es el paso – alto/paso – bajo, el
cual puede proporcionar un desfasamiento casi constante de
una octava o más [5].
Debe su nombre al hecho de que se compone de dos
“brazos”, uno de ellos formado por un filtro paso alto que
actúa avanzando la fase de la red y otro formado por un filtro
paso bajo que retrasa la fase de la red. Ambos filtros pueden
ser implementados en T (figura 1) o en π (figura 2) [6].
Fig. 1. Desfasador con circuitos paso alto – paso bajo en T.
Fig. 2. Desfasador con circuitos paso alto – paso bajo en π.
Una ventaja que ofrece este tipo de desfasador es que
ofrece un diseño muy compacto, puesto que los elementos
agrupados se utilizan habitualmente, al contrario que las
líneas de retardo. Esta es una importante consideración para
los diseños en baja frecuencia porque las líneas de
transmisión pueden ser bastante grandes.
Las frecuencias de corte de los dos filtros deben estar
fuera de la banda de trabajo del desfasador para funcionar
correctamente [7].
III. CIRCUITOS EN T
III.1 Análisis teórico por simetría
Dada la similitud entre los dos filtros, aplicamos la
condición de simetría a una red en T formada por dos
impedancias Z serie y una admitancia Y paralelo.
Fig. 3. Esquema genérico de los dos filtros.
Realizamos excitación par e impar en los mismos para
calcular los correspondientes coeficientes de reflexión a la
entrada. Para ello, dividimos el circuito en dos mitades
idénticas y las acabamos, respectivamente, en circuito
abierto (par) y en cortocircuito (impar).
2
Fig. 4. Excitación par (i) e impar (d).
Ec. 1
Ec. 2
Ec. 3
Ec. 4
Ec. 5
Debido a la simetría física del circuito, los coeficientes de
reflexión a la entrada y a la salida son iguales y de valor
igual a la semisuma de los coeficientes de reflexión a la entrada calculados con excitación par e impar:
Ec. 6
Ec. 7
Sustituyendo y desarrollando:
Ec. 8
Al ser un circuito recíproco, los parámetros de transmisión son iguales y de valor igual a la semidiferencia
de los coeficientes de reflexión a la entrada con excitación
par e impar:
Ec. 9
Ec. 10
Sustituyendo y desarrollando:
Ec. 11
Si sustituimos por los valores de los filtros paso alto y
paso bajo obtenemos los correspondientes parámetros de la
matriz S generalizada [el primer operador se corresponde con
el filtro paso alto]:
Ec. 12
Ec. 13
Ec. 14
Ec. 15
Ec. 16
Ec. 17
III.2 Condición de adaptación
Para que el circuito se encuentre totalmente adaptado
debe cumplirse que los parámetros de la diagonal principal
valgan cero:
Ec. 18
Ec. 19
Ec. 20
Ec. 21
Al sustituir los valores de e de los dos filtros
comprobamos que la condición de adaptación para ambos es
la misma:
Ec. 22
Ec. 23
Ec. 24
III. 3 Matriz S del circuito adaptado
Si aplicamos la condición de adaptación en la expresión
del parámetro S12 tenemos que:
Ec. 25
Simplificando:
Ec. 26
Calculamos los parámetros S12 y S21 en ambos casos:
Ec. 27
Ec. 28
Por lo tanto, nos quedan las siguientes matrices S del
circuito adaptado, observando que cada filtro introduce un
desfase igual y de signo contrario:
Ec. 29
Ec. 30
3
III. 4 Simulaciones en MMICAD
Se muestra la simulación para un desfasador de 90º (45º
introduce el filtro paso alto y -45º el filtro paso bajo)
adaptado para la frecuencia de 800 MHz.
Para obtener los valores de los componentes discretos,
primero se elige el desfase θ que debe introducir cada filtro y
se iguala a la ecuación 27 para obtener :
Ec. 31
Se obtiene el mismo resultado igualando a la ecuación 28 puesto que la condición de adaptación para
ambos filtros es idéntica.
Posteriormente se obtiene con la condición de
adaptación (ec. 24) y a partir de ahí, con la Zo deseada y con
la frecuencia a la que queramos adaptar el desfasador,
obtenemos L y C.
Tras optimizar con MMICAD los valores obtenidos
teóricamente, se ha realizado la simulación con los siguientes valores:
LPA = 13.9991 nH
CPA = 9.52878 pF
LPB = 4.28968 nH
CPB = 2.89687 pF
IV. CIRCUITOS EN Π
IV.1 Análisis teórico por simetría
En este caso, aplicamos la condición de simetría a una
red en π formada por dos admitancias Y paralelo y una
impedancia Z serie.
Fig. 5. Esquema genérico de los dos filtros.
Fig. 6. Excitación par (i) e impar (d).
Cálculo de los coeficientes de reflexión a la entrada (ecs.
2 y 4):
Ec. 32
Ec. 33
Cálculo de los parámetros de la matriz S teniendo en
cuenta la simetría física del circuito (ec. 6) y su reciprocidad
(ec. 9):
Ec. 34
Ec. 35
Sustituyendo los valores de los filtros paso alto (ecs. 12 y
13) y paso bajo (ecs. 14 y 15) [el primer operador se
corresponde con el filtro paso alto]:
Ec. 36
Ec. 37
IV.2 Condición de adaptación
Aplicando la ecuación 18:
Ec. 38
Ec. 39
Ec. 40
Igual que en el caso anterior, la condición de adaptación
para los dos filtros es la misma:
Ec. 41
Ec. 42
Ec. 43
4
IV. 3 Matriz S del circuito adaptado
Sustituyendo en la expresión del parámetro S12 la
ecuación X obtenida en el apartado anterior:
Ec. 44
Simplificando:
Ec. 45
Calculamos los parámetros S12 y S21:
Ec. 46
Ec. 47
Y conseguimos las siguientes matrices S generalizadas
del circuito adaptado:
Ec. 48
Ec. 49
IV. 4 Simulaciones en MMICAD
Como en el caso anterior, se presenta la simulación para
un desfasador de 90º (45º el filtro paso alto y -45º el filtro
paso bajo) adaptado para la frecuencia de 800 MHz.
Obtenemos mediante la ecuación 50 y, a partir de aquí,
continuamos igual que la configuración en T.
Ec. 50
Tras optimizar con MMICAD los valores obtenidos
teóricamente de L y C, se ha realizado la simulación con los
siguientes valores:
LPA = 22.9166 nH
CPA = 5.44685 pF
LPB = 6.91794 nH
CPB = 1.61017 pF
V. CONCLUSIONES
De las simulaciones se desprende que ambas
configuraciones tienen un comportamiento con la frecuencia
muy parecido.
Se comprueba que para la frecuencia central deseada
(800 MHz en este caso) el circuito está completamente
adaptado (S11=0 y |S21|=1) y que, conforme aumenta la
frecuencia, aumenta el desfase producido en la señal de
entrada teniendo en cuenta que nos alejamos de la frecuencia
de adaptación, con las consecuentes pérdidas en el circuito.
A frecuencias bajas el filtro paso alto presenta unas
pérdidas por reflexión altas (|S11|=1) y una transferencia de señal mínima (|S21|≈0), mientras que a medida que aumenta
la frecuencia estos parámetros van alcanzando valores más
óptimos desde el punto de vista de la transmisión de señal.
Con el filtro paso bajo tenemos, lógicamente, el mismo
caso pero al revés. A frecuencias bajas se da una transmisión
de señal mejor que a frecuencias altas.
Es en un punto intermedio de frecuencia (800 MHz en
nuestra simulación) donde conseguimos aprovechar de
manera eficaz las características de ambos filtros, de donde
se deduce la importancia de un correcto y apropiado diseño,
es decir, de una buena elección (y optimización si es necesario) de los componentes del circuito según las
especificaciones que deba cumplir el desfasador para lograr
una buena adaptación y el desfase deseado.
VI. REFERENCIAS
[1] http://www.odyseus.nildram.co.uk/RFMicrowave_Circuits_Files/Phas
e_%20Shifter.pdf
[2] http://qucs.sourceforge.net/tech/node54.html
[3] http://www.microwaves101.com/encyclopedia/phaseshifters.cfm
[4] http://www.gtmicrowave.com/phase_shifters.php
[5] http://www.microwaves101.com/encyclopedia/phaseshifters.cfm
[6] http://www.medphys.ucl.ac.uk/research/borg/homepages/davek/phd/c
hapter4.pdf
[7] http://www.microwaves101.com/encyclopedia/phaseshifters_HPLP.cf
m
Desfasadores con circuitos paso alto - paso bajo
Sergio Peña Ruiz Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se hace un estudio de los desfasadores con circuitos paso alto - paso bajo. Por medio de un análisis teórico por simetría obtenemos la matriz de parámetros S y a continuación la condición de adaptación. También se hace un estudio de su desfase y unas simulaciones con datos.
Un desfasador o desplazador de fase [1] es un convertidor de energía eléctrica o convertidor eléctrico que produce un cambio de fase entre la entrada y la salida.
En este caso está construido mediante dos células en T que se corresponden con un filtro paso bajo y un filtro paso alto, además tenemos dos conmutadores los cuales permiten usar una celda u otra como desfasador. Dependiendo de cual usemos y de los valores que hayamos elegido para los condensadores y las bobinas que forman las células en T, tendremos un desfase u otro.
I. INTRODUCCIÓN
Un desfasador es un dispositivo que proporciona un desfase variable en una señal de microondas sin alterar el trayecto físico que recorre la señal.
El desfasador ideal proporciona bajas pérdidas de inserción, misma amplitud (o pérdida) en todos los estados de su fase.
En la práctica existen dos tipos de desfasadores, los de ferrita y los de semiconductores. Los primeros tienen la ventaja de que pueden manejar potencias elevadas y de que pueden ser diseñados para que presenten un comportamiento biestable (utilizando materiales de alta remanencia), que consumen energía únicamente en la conmutación entre estados. Por el contrario, los desfasadores de semiconductores son más apropiados en sistemas que operen con frecuencias menores (banda L e inferiores), que requieran tiempos de conmutación muy cortos o pesos muy ligeros [2].
Los desfasadores pueden ser recíprocos o no recíprocos. Se puede decir que un desfasador es recíproco cuando
transfiere la potencia de la misma manera en los dos sentidos de la conexión, por lo que se puede decir que funciona con eficiencia.
Un desfasador no recíproco es un dispositivo de dos puertas en el que el medio de propagación produce desfases diferentes para los dos sentidos de propagación [2].
Un desfasador puede construirse simplemente mediante un tramo de línea de transmisión sin pérdidas. Para lograr un desfasador variable se modifica la longitud de la línea o la velocidad de propagación en la misma.
Una ventaja de los desfasadores de circuitos paso alto – paso bajo [5], es que ofrece un diseño muy compacto ya que agrupa elementos que se usan habitualmente, en lugar de usar líneas de transmisión. Esta es una consideración importante para los diseños de “baja frecuencia”, (es decir, por debajo de la banda X [7 - 8 GHz]) porque las líneas de transmisión pueden generar grandes retrasos a estas frecuencias.
Un uso habitual de los desfasadores es en la rama de sonido como por ejemplo para fabricar procesadores de tiempo o de fase. Son dispositivos electrónicos destinados a corregir la diferencia de caminos que tienen los altavoces de un sistema hasta nuestro oído. Consiste en retardos de tiempo que podemos modificar para conseguir que el sonido que llega de dos altavoces situados a distinta distancia de nuestros oídos lo haga en fase, tal y como lo haría si los altavoces estuvieran a la misma distancia de nuestros oídos.
II. DESARROLLO
En mi caso voy a trabajar con un desfasador reciproco. Con el que yo voy a trabajar entra en el grupo de
desfasadores coaxiales y está construido con circuitos paso alto paso bajo [2] como se muestra en la figura 1.
Fig. 1. Desfasador paso alto – paso bajo. Como se puede ver en la figura anterior, el desfasador
consta de una célula en T formada por tres elementos reactivos. Cuando ambos conmutadores se colocan en la posición inferior, el circuito presenta un desfase Φ1. Cuando ambos conmutadores se colocan en la posición superior, el circuito presenta un desfase Φ2.
II.1 Análisis teórico por simetría
La matriz S de una célula en T como la mostrada en la figura 1 para una red genérica con una impedancia serie Z y
1
una admitancia paralelo Y aplicando técnicas de análisis por simetría se obtiene de la siguiente manera [2,3].
Fig. 2. Red genérica de una célula en T
La figura 2 es la célula en T que vamos a analizar por
técnicas de simetría para obtener su matriz de parámetros S. Al aplicar las técnicas de simetría queda de la siguiente
manera (figura 3):
Fig. 3. Aplicando simetría Nota: Z e Y son valores normalizados de impedancia y
admitancia. Primero calculamos su excitación par (figura 4):
Fig. 4. Excitación par
YZZe
2+= Ec. 1
( )( ) 21
21
12
12
11
+⋅++⋅−
=++
−+=
+−
=ΓYZYZ
YZ
YZ
ZZ
e
ee
Ec. 2
Segundo calculamos su excitación impar (figura 5):
Fig. 5. Excitación impar
ZZo = Ec. 3
11
+−
=ΓZZ
o Ec. 4
Como la red es simétrica, nos queda:
( ) ( )( )( ) ( )[ ]211
21121
2211 ++++−+
=Γ+Γ==YZZ
ZYZZSS oe Ec. 5
( ) ( ) ( )[ ]2112
21
2112 +++=Γ−Γ==
YZZSS oe Ec. 6
Por lo que la matriz genérica de parámetros S será:
( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )( )( ) ( )[ ] ⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++−+
+++
+++++++−+
=
211211
2112
2112
211211
YZZZYZZ
YZZ
YZZYZZZYZZ
S Ec. 7
II.2 Condición de adaptación
Para que el circuito se encuentre completamente adaptado [4], se tiene que cumplir la condición: 0=iiS
Por lo que en este caso:
( )( )( ) ( )[ ] 0
211211
2211 =++++−+
==YZZ
ZYZZSS Ec. 8
( )( ) ( )( )
22 12
12
1120211
ZZ
ZZ
ZZZYZYZZ
−=
−
−=
=−+
−=⇒=+−+
Ec. 9
En el caso de la célula en T de abajo tenemos que:
jXZ = e jBY = , por lo que:
( ) 222 12
12
12
XXB
XjX
jXjXjB
+=⇒
+=
−= Ec. 10
En el caso de la célula en T de arriba tenemos que:
jXZ −= e jBY −= , por lo que:
( ) 222 12
12
12
XXB
XjX
jXjXjB
+=⇒
+
−=
−−
−=− Ec. 11
Como se puede observar en las ecuaciones 10 y 11, las
dos celdas tienen la misma condición de adaptación. Sustituyendo la condición de adaptación obtenida en la
ecuación 9, en la ecuación 6 (que es el parámetro S21), queda:
( )( )( )( ) ( )
1221 11
1211
212 S
ZZ
ZZZ
ZZS =
+−
=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+−+
= Ec. 12
Con esto se puede decir que la matriz de parámetros S
completamente adaptada es:
2
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+−
=0
11
110
ZZ
ZZ
S Ec. 13
II.3 Variación de fase
La variación de fase que produce el desfasador completamente adaptado, cuando se alternan las posiciones de los conmutadores es:
Para la célula de abajo, como Z=jX, nos queda:
1
1
12
1221 11 φ
φ
φ
ρρ j
j
je
ee
jXjX
SS −−
=⋅
⋅=
+−
== Ec. 14
( ) XarctgXarctg −=⇒−−=−= 1121 22 φφϕ Ec. 15
Para la célula de arriba, como Z=-jX, nos queda:
1
1
12
1221 11 φ
φ
φ
ρρ j
j
je
ee
jXjX
SS =⋅
⋅=
−+
==−
Ec. 16
( ) XarctgXarctg −=⇒−== 11
'21 22 φφϕ Ec. 17
Por lo que el desfase queda:
( )Xarctg −=−=∆ 421'21 ϕϕϕ Ec. 18
II.4 Simulaciones
La siguiente gráfica (figura 7) muestra la fase de respuesta prevista para un desfasador paso alto – paso bajo de 90 grados [5], optimizado para la banda C (4 - 6 GHz). Los valores de los elementos usados en esta simulación son, para el paso alto C1=1,40pF y L1=2,09nH, y para el paso bajo C2=0,40pF y L2=0,63nH (figura 6)
Fig. 6. Topología del desfasador paso alto – paso bajo
Fig. 7. Simulación desfasador paso alto – paso bajo
Como se puede observar la gráfica de la figura anterior se corresponde con la de la figura 8, que se ha obtenido al simular al desfasador paso alto – paso bajo en MMICAD con los datos dados anteriormente (para poder obtener las fases que aparecen en la gráfica he tenido que restar a los resultados obtenidos 360 grados y luego ya he pintado la gráfica).
Fig. 8. Simulación con MMICAD desfasador paso alto – paso bajo
III. CONCLUSIONES
Se ha presentado un desfasador paso alto – paso bajo que consta de dos células en T que equivalen a un filtro paso alto y a un filtro paso bajo, de ahí su nombre.
La forma de conseguir el desfase deseado es relativamente sencilla, puesto que se compone, tan sólo, de elementos reactivos, por lo que solo dependerá del valor de estos.
Su simplicidad y prestaciones lo convierten en un buen candidato a ser utilizado en los circuitos en los que necesitemos desfasar una señal.
IV. REFERENCIAS
[1] D. Pozar “Microwave Engineering”, 2rd.ed, New York : John Wiley&Sons, 1998.
[2] López Espí, Pablo Luis, “Apuntes de microondas”, Departamento de Tª de la señal, 2007.
[3] J. Alpuente, “Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de Microondas”, Servicio de Publicaciones de la UAH, 2001.
[4] R. Sánchez, “Teoría de Circuitos de microondas: parámetros S”, Servicio de Publicaciones de la UAH, 2004.
[5] http://www.microwaves101.com/encyclopedia
3
Desfasadores con circuitos paso alto - paso bajo
Sergio Peña Ruiz Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se hace un estudio de los desfasadores con circuitos paso alto - paso bajo. Por medio de un análisis teórico por simetría obtenemos la matriz de parámetros S y a continuación la condición de adaptación. También se hace un estudio de su desfase y unas simulaciones con datos.
Un desfasador o desplazador de fase [1] es un convertidor de energía eléctrica o convertidor eléctrico que produce un cambio de fase entre la entrada y la salida.
En este caso está construido mediante dos células en T que se corresponden con un filtro paso bajo y un filtro paso alto, además tenemos dos conmutadores los cuales permiten usar una celda u otra como desfasador. Dependiendo de cual usemos y de los valores que hayamos elegido para los condensadores y las bobinas que forman las células en T, tendremos un desfase u otro.
I. INTRODUCCIÓN
Un desfasador es un dispositivo que proporciona un desfase variable en una señal de microondas sin alterar el trayecto físico que recorre la señal.
El desfasador ideal proporciona bajas pérdidas de inserción, misma amplitud (o pérdida) en todos los estados de su fase.
En la práctica existen dos tipos de desfasadores, los de ferrita y los de semiconductores. Los primeros tienen la ventaja de que pueden manejar potencias elevadas y de que pueden ser diseñados para que presenten un comportamiento biestable (utilizando materiales de alta remanencia), que consumen energía únicamente en la conmutación entre estados. Por el contrario, los desfasadores de semiconductores son más apropiados en sistemas que operen con frecuencias menores (banda L e inferiores), que requieran tiempos de conmutación muy cortos o pesos muy ligeros [2].
Los desfasadores pueden ser recíprocos o no recíprocos. Se puede decir que un desfasador es recíproco cuando
transfiere la potencia de la misma manera en los dos sentidos de la conexión, por lo que se puede decir que funciona con eficiencia.
Un desfasador no recíproco es un dispositivo de dos puertas en el que el medio de propagación produce desfases diferentes para los dos sentidos de propagación [2].
Un desfasador puede construirse simplemente mediante un tramo de línea de transmisión sin pérdidas. Para lograr un desfasador variable se modifica la longitud de la línea o la velocidad de propagación en la misma.
Una ventaja de los desfasadores de circuitos paso alto – paso bajo [5], es que ofrece un diseño muy compacto ya que agrupa elementos que se usan habitualmente, en lugar de usar líneas de transmisión. Esta es una consideración importante para los diseños de “baja frecuencia”, (es decir, por debajo de la banda X [7 - 8 GHz]) porque las líneas de transmisión pueden generar grandes retrasos a estas frecuencias.
Un uso habitual de los desfasadores es en la rama de sonido como por ejemplo para fabricar procesadores de tiempo o de fase. Son dispositivos electrónicos destinados a corregir la diferencia de caminos que tienen los altavoces de un sistema hasta nuestro oído. Consiste en retardos de tiempo que podemos modificar para conseguir que el sonido que llega de dos altavoces situados a distinta distancia de nuestros oídos lo haga en fase, tal y como lo haría si los altavoces estuvieran a la misma distancia de nuestros oídos.
II. DESARROLLO
En mi caso voy a trabajar con un desfasador reciproco. Con el que yo voy a trabajar entra en el grupo de
desfasadores coaxiales y está construido con circuitos paso alto paso bajo [2] como se muestra en la figura 1.
Fig. 1. Desfasador paso alto – paso bajo. Como se puede ver en la figura anterior, el desfasador
consta de una célula en T formada por tres elementos reactivos. Cuando ambos conmutadores se colocan en la posición inferior, el circuito presenta un desfase Φ1. Cuando ambos conmutadores se colocan en la posición superior, el circuito presenta un desfase Φ2.
II.1 Análisis teórico por simetría
La matriz S de una célula en T como la mostrada en la figura 1 para una red genérica con una impedancia serie Z y
1
una admitancia paralelo Y aplicando técnicas de análisis por simetría se obtiene de la siguiente manera [2,3].
Fig. 2. Red genérica de una célula en T
La figura 2 es la célula en T que vamos a analizar por
técnicas de simetría para obtener su matriz de parámetros S. Al aplicar las técnicas de simetría queda de la siguiente
manera (figura 3):
Fig. 3. Aplicando simetría Nota: Z e Y son valores normalizados de impedancia y
admitancia. Primero calculamos su excitación par (figura 4):
Fig. 4. Excitación par
YZZe
2+= Ec. 1
( )( ) 21
21
12
12
11
+⋅++⋅−
=++
−+=
+−
=ΓYZYZ
YZ
YZ
ZZ
e
ee
Ec. 2
Segundo calculamos su excitación impar (figura 5):
Fig. 5. Excitación impar
ZZo = Ec. 3
11
+−
=ΓZZ
o Ec. 4
Como la red es simétrica, nos queda:
( ) ( )( )( ) ( )[ ]211
21121
2211 ++++−+
=Γ+Γ==YZZ
ZYZZSS oe Ec. 5
( ) ( ) ( )[ ]2112
21
2112 +++=Γ−Γ==
YZZSS oe Ec. 6
Por lo que la matriz genérica de parámetros S será:
( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )( )( ) ( )[ ] ⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++−+
+++
+++++++−+
=
211211
2112
2112
211211
YZZZYZZ
YZZ
YZZYZZZYZZ
S Ec. 7
II.2 Condición de adaptación
Para que el circuito se encuentre completamente adaptado [4], se tiene que cumplir la condición: 0=iiS
Por lo que en este caso:
( )( )( ) ( )[ ] 0
211211
2211 =++++−+
==YZZ
ZYZZSS Ec. 8
( )( ) ( )( )
22 12
12
1120211
ZZ
ZZ
ZZZYZYZZ
−=
−
−=
=−+
−=⇒=+−+
Ec. 9
En el caso de la célula en T de abajo tenemos que:
jXZ = e jBY = , por lo que:
( ) 222 12
12
12
XXB
XjX
jXjXjB
+=⇒
+=
−= Ec. 10
En el caso de la célula en T de arriba tenemos que:
jXZ −= e jBY −= , por lo que:
( ) 222 12
12
12
XXB
XjX
jXjXjB
+=⇒
+
−=
−−
−=− Ec. 11
Como se puede observar en las ecuaciones 10 y 11, las
dos celdas tienen la misma condición de adaptación. Sustituyendo la condición de adaptación obtenida en la
ecuación 9, en la ecuación 6 (que es el parámetro S21), queda:
( )( )( )( ) ( )
1221 11
1211
212 S
ZZ
ZZZ
ZZS =
+−
=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+−+
= Ec. 12
Con esto se puede decir que la matriz de parámetros S
completamente adaptada es:
2
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+−
=0
11
110
ZZ
ZZ
S Ec. 13
II.3 Variación de fase
La variación de fase que produce el desfasador completamente adaptado, cuando se alternan las posiciones de los conmutadores es:
Para la célula de abajo, como Z=jX, nos queda:
1
1
12
1221 11 φ
φ
φ
ρρ j
j
je
ee
jXjX
SS −−
=⋅
⋅=
+−
== Ec. 14
( ) XarctgXarctg −=⇒−−=−= 1121 22 φφϕ Ec. 15
Para la célula de arriba, como Z=-jX, nos queda:
1
1
12
1221 11 φ
φ
φ
ρρ j
j
je
ee
jXjX
SS =⋅
⋅=
−+
==−
Ec. 16
( ) XarctgXarctg −=⇒−== 11
'21 22 φφϕ Ec. 17
Por lo que el desfase queda:
( )Xarctg −=−=∆ 421'21 ϕϕϕ Ec. 18
II.4 Simulaciones
La siguiente gráfica (figura 7) muestra la fase de respuesta prevista para un desfasador paso alto – paso bajo de 90 grados [5], optimizado para la banda C (4 - 6 GHz). Los valores de los elementos usados en esta simulación son, para el paso alto C1=1,40pF y L1=2,09nH, y para el paso bajo C2=0,40pF y L2=0,63nH (figura 6)
Fig. 6. Topología del desfasador paso alto – paso bajo
Fig. 7. Simulación desfasador paso alto – paso bajo
Como se puede observar la gráfica de la figura anterior se corresponde con la de la figura 8, que se ha obtenido al simular al desfasador paso alto – paso bajo en MMICAD con los datos dados anteriormente (para poder obtener las fases que aparecen en la gráfica he tenido que restar a los resultados obtenidos 360 grados y luego ya he pintado la gráfica).
Fig. 8. Simulación con MMICAD desfasador paso alto – paso bajo
III. CONCLUSIONES
Se ha presentado un desfasador paso alto – paso bajo que consta de dos células en T que equivalen a un filtro paso alto y a un filtro paso bajo, de ahí su nombre.
La forma de conseguir el desfase deseado es relativamente sencilla, puesto que se compone, tan sólo, de elementos reactivos, por lo que solo dependerá del valor de estos.
Su simplicidad y prestaciones lo convierten en un buen candidato a ser utilizado en los circuitos en los que necesitemos desfasar una señal.
IV. REFERENCIAS
[1] D. Pozar “Microwave Engineering”, 2rd.ed, New York : John Wiley&Sons, 1998.
[2] López Espí, Pablo Luis, “Apuntes de microondas”, Departamento de Tª de la señal, 2007.
[3] J. Alpuente, “Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de Microondas”, Servicio de Publicaciones de la UAH, 2001.
[4] R. Sánchez, “Teoría de Circuitos de microondas: parámetros S”, Servicio de Publicaciones de la UAH, 2004.
[5] http://www.microwaves101.com/encyclopedia
3
1
DESFASADORES BASADOS EN LÍNEAS CARGADAS
Lorenzo Muñoz Alfaro
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08
Universidad de Alcalá e-mail : [email protected]
Lo que en este artículo va a ser tratado es el
comportamiento de circuitos desfasadores de microondas basados en líneas cargadas. El estudio constará de una parte teórica, en la cual se verá de forma ideal como trabaja este tipo de diseño mediante el planteamiento de las ecuaciones oportunas basadas en la simetría que éste presenta. Además se realizarán una serie de simulaciones que mostrarán el modo de trabajo en términos de adaptación y transmisión de este tipo de circuitos para una frecuencia determinada.
I. INTRODUCCIÓN
Este tipo de diseños se utilizan con el fin de generar un determinado desfase entre la señal de entrada y la de salida. Generalmente se construyen para generar desfases de 45º y menores, aunque pueden utilizarse para otros valores. Las cargas se sintetizan de forma que crean una perturbación en la fase de la señal cuando son conectadas al circuito, mientras que producen un efecto muy pequeño sobre la amplitud de la señal. Las cargas deben tener un coeficiente de reflexión muy elevado con el fin de minimizar las pérdidas del desfasador, para ello se utilizaran cargas reactivas puras. Obviamente, las cargas no deben estar próximas al cortocircuito para el desfase requerido, ya que de ser así, las pérdidas introducidas por el circuito desfasador serían extremadamente elevadas. [1]
II. ESTUDIO TEÓRICO
En este apartado se va a realizar el estudio teórico de un
dispositivo ideal, como el que se muestra en la figura 1, ayudándonos de las propiedades de simetría que presenta. Para ello dividiremos el apartado de forma que iremos desgranando el problema para finalmente llegar a una solución que consiga la adaptación del dispositivo y muestre el comportamiento en fase del circuito.
Zc ; jβ jBjB
d= /4λg
Fig. 1. Desfasador ideal basado en una línea λ/4 cargada.
II.1 Matriz de parámetros S de un circuito simétrico.
Un circuito simétrico puede estudiarse de forma mucho más sencilla si se divide por los ejes de simetría que presenta. La técnica consiste en la terminación en circuito abierto (excitación par) y en cortocircuito (excitación impar) del punto que atravesaba el eje. Se calculan los coeficientes de reflexión a la entrada en ambos casos y mediante la combinación de éstos se constituye la matriz de parámetros S de la siguiente forma:
Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ
=oeoe
oeoe
ZS2
10
Ec. 1
El superíndice “e” representa a la excitación par, mientras que el superíndice “o” lo hace con la impar.
La siguiente figura representa al eje de simetría del circuito en cuestión, el cual será el utilizado para el posterior estudio.
Fig. 2. Eje de simetría del desfasador ideal.
II.2 Excitación par.
En este apartado se calculará el coeficiente de reflexión a la entrada del modelo correspondiente a la excitación par, el cual se muestra en la figura 3.
Zc ; jβjB
d= /8λgeΓ CAINY
CA
Fig. 3. Modelo equivalente para la excitación par.
2
La impedancia de entrada en una línea de transmisión puede calcularse de la siguiente forma:
dtgjZZ
dtgjZZZZ
LC
CLCIN β
β⋅+⋅+
⋅= Ec. 2
Como 4πβ =⋅ d y 14 =πtg la impedancia de
entrada en la línea será:
CLC
CLCIN jZ
jZZ
jZZZZ
CA−=
++
⋅= Ec. 3
La admitancia de entrada del sistema completo será:
)( BYjY Ce
IN += Ec. 4
De modo general, el coeficiente de reflexión a la entrada de un sistema se calcula como:
IN
ININ YY
YY
+−
=Γ0
0 Ec. 5
Haciendo uso de esta última ecuación, el coeficiente de reflexión a la entrada para la excitación par será:
)(
)(
0
0
BYjY
BYjY
C
Ce
+++−
=Γ Ec. 6
II.3 Excitación impar
En este apartado se calculará el coeficiente de reflexión a la entrada del modelo correspondiente a la excitación impar, el cual se muestra en la figura 4.
Zc ; jβjB
d= /8λg
CC
oΓ CCINY
oINY
Fig. 4. Modelo equivalente para la excitación impar.
Haciendo uso de la ecuación 2, la impedancia de entrada a la línea de transmisión será:
CC
CCIN jZ
Z
jZZZ
CA=⋅= Ec. 7
Por consiguiente, la admitancia de entrada al modelo será:
)( Co
IN YBjY −= Ec. 8
Finalmente, a partir de la ecuación 5, el coeficiente de reflexión a la entrada para la excitación impar resultante será:
)(
)(
0
0
C
Ce
YBjY
YBjY
−+−−
=Γ Ec. 9
II.4 Cálculo de los parámetros S11 y S22.
Como podemos observar en la matriz que describe el comportamiento de un circuito simétrico (Ec. 1), tanto el parámetro de adaptación de la entrada como el de salida corresponden con la semisuma de los coeficientes de reflexión a la entrada de la excitación par e impar. A partir de esto:
=−+−−+
+++−=Γ+Γ
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
C
C
C
Coe
YBjY
YBjY
BYjY
BYjY
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ])()(
)()()()(
00
0000
BYjYBYjY
YBjYBYjYYBjYBYjY
CC
CCCC
−+⋅−++−⋅+++−+⋅+−
=
220
20
2220
2211 2)(
2
1,
BYBYjY
YBYSS
C
Coe
−+⋅⋅+−+=Γ+Γ= Ec. 10
II.5 Condición de adaptación.
Para que el circuito esté completamente adaptado debe cumplirse que sus parámetros Sii sean nulos. Por lo tanto, en el circuito en estudio la condición de adaptación será la siguiente:
02220 =−+ CYBY
22
02 BYYC += Ec. 11
II.6 Cálculo de los parámetros S21 y S12. Si observamos de nuevo la matriz que describe el comportamiento de un circuito simétrico (Ec. 1), estos parámetros corresponden con la semirresta de los coeficientes de reflexión a la entrada de la excitación par e impar. A partir de esto:
=−+−−−
+++−=Γ−Γ
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
C
C
C
Coe
YBjY
YBjY
BYjY
BYjY
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ])()(
)()()()(
00
0000
BYjYBYjY
YBjYBYjYYBjYBYjY
CC
CCCC
−+⋅−++−⋅++−−+⋅+−=
220
20
02112 2
2)(
2
1,
BYBYjY
YYjSS
C
Coe
−+⋅⋅+⋅⋅−=Γ−Γ= Ec. 12
Introduciendo la condición de adaptación (Ec. 11) en la ecuación anterior llegamos a la siguiente solución:
jBY
YBj
YBjY
YBYjSS
++
⋅−=⋅⋅+⋅
+⋅⋅−=
0
20
2
02
0
20
20
1221 222, Ec. 13
II.7 Matriz de parámetros S del desfasador
La matriz que define el comportamiento del desfasador en estudio tras introducir la condición de adaptación será la siguiente:
+
+⋅−
+
+⋅−
=
0
0
0
20
2
0
20
2
0
jBY
YBj
jBY
YBj
SZ
Ec. 14
3
II.8 Desfase introducido por el circuito.
Para calcular el desfase introducido por el desfasador tendremos que calcular la fase del parámetro de transmisión S21, el cual corresponde con el siguiente valor:
)(2)(20
21 BarctgY
Barctg −−=−−= ππϕ Ec. 15
III. SIMULACIONES
Todas las gráficas que aparecen en este apartado han sido
realizadas con el programa de simulación de circuitos de microondas MMICAD. Este apartado se va a subdividir en otros tres, en los que se presentará el circuito construido con líneas de transmisión ideales, con líneas microstrip sin pérdidas y con pérdidas respectivamente.
Los diseños han sido realizados para una frecuencia de trabajo de 500Mhz y con valores de 1=B . Esto significa que los valores de las impedancias características de las líneas, de los condensadores de carga y el desfase tendrán que ser idealmente los siguientes:
º22543
42)1(2 =−=−−=−−= ππππϕ arctg
Ω=⇒⋅=+=+=2
50202.002.002.0 22220 CC ZBYY
pFBCCB 366.6105002
02.06
=⋅⋅
==⇒⋅=πωω
En los casos en los que se han utilizado líneas microstrip podemos observar que aparece un desfase adicional de – 180º. Esto se debe a que se han utilizado accesos tanto en la puerta de entrada como de salida de longitud λ/4. El esquema de este diseño sería el siguiente:
50 o
hm
50 o
hm
35.35 ohm 50 ohm50ohm
4d
λ=
4d
λ=
4dλ=
8d
λ=
Fig.5. Esquema del desfasador con líneas microstrip.
III.1 Desfasador con líneas ideales
Fig. 6. Desfase introducido por el desfasador con líneas de
transmisión ideales.
Fig. 7. Pérdidas de inserción del desfasador con líneas de
transmisión ideales.
Fig. 8. Pérdidas de retorno del desfasador con líneas de
transmisión ideales.
Como muestran los gráficos anteriores y era de esperar, al encontrarnos ante un caso ideal, el circuito se encuentra totalmente adaptado y no se producen perdidas de inserción, cosa que no ocurrirá, al menos de forma tan destacada en los casos posteriores.
III.2 Desfasador con líneas microstrip sin pérdidas El sustrato utilizado para esta simulación tiene las
siguientes características: • ε r=4.5 • Grosor del dieléctrico (H)=1.6 mm • Grosor del metal (T)=0.035 mm • Tangente de pérdidas del dieléctrico (TAND)= 0
Fig. 9. Desfase introducido por el desfasador con líneas
microstrip sin pérdidas.
4
Fig. 10. Pérdidas de inserción del desfasador con líneas
microstrip sin pérdidas.
Fig. 11. Pérdidas de retorno del desfasador con líneas
microstrip sin pérdidas. Para este caso se puede observar con claridad que las
pérdidas de retorno han disminuido con respecto al caso ideal. Esto se debe a la utilización de un componente real como medio de transmisión, aunque siguen siendo suficientemente elevadas como para dar el diseño como válido. Las pérdidas de inserción siguen siendo nulas ya que la línea no introduce pérdidas por atenuación.
III.3 Desfasador con líneas microstrip con pérdidas
El sustrato utilizado para esta simulación tiene las siguientes características:
• ε r=4.5 • Grosor del dieléctrico (H)=1.6 mm • Grosor del metal (T)=0.035 mm • Tangente de pérdidas del dieléctrico (TAND)=0.025
Fig. 12. Desfase introducido por el desfasador con líneas
microstrip con pérdidas.
Fig. 13. Pérdidas de inserción del desfasador con líneas
microstrip con pérdidas.
Fig. 14. Pérdidas de retorno del desfasador con líneas
microstrip con pérdidas. Si observamos los resultados de esta simulación puede verse como las pérdidas de retorno han disminuido en torno a 5 dB con respecto al caso sin pérdidas y que las pérdidas de inserción han alcanzado un valor de 0.65 dB, valores en ambos casos aceptables a la hora de realizar un diseño de estas características.
IV. CONCLUSIONES Tras el estudio realizado puede observarse que este tipo
de circuitos se comportan de manera muy aceptable para la frecuencia de diseño, siempre y cuando no nos desplacemos respecto a este parámetro a la hora de su utilización. Debido a esta característica podemos clasificarlo como un dispositivo de banda estrecha, ya que la adaptación de las puertas sufre un elevado deterioro para frecuencias que difieren a la de trabajo. También hay que destacar que las pérdidas por inserción del dispositivo son muy pequeñas en el caso real.
Como ha podido verse, es un dispositivo de fácil diseño, en el cual con el simple ajuste de un par de parámetros, la impedancia característica de la línea y el valor de las impedancias de carga, se puede obtener cualquier valor en el desfase de la señal de entrada para una frecuencia dada, aunque este siempre vendrá limitado por la posibilidad de sintetización de un determinado valor de impedancia característica en el laboratorio.
V. REFERENCIAS [1] http://www.microwaves101.com/encyclopedia/phaseshifters_loadedlin
e.cfm
1
DESFASADORES BASADOS EN HÍBRIDOS EN CUADRATURA
Santiago Gómez Loro Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- Este documento es una plantilla para el envío de los trabajos de la asignatura de Microondas en el curso 2007/08. Los trabajos deben contener un resumen de máximo 100 palabras en el que se describa el contenido de los mismos. El trabajo se presentará escrito a doble columna y en letra Times New Roman. En el Resumen se empleará letra de tipo 10 puntos y negrita.
I. INTRODUCCIÓN
Llamamos acoplador direccional a cualquier red de cuatro accesos que sea recíproca, sin pérdidas y completamente adaptada. Estos acopladores disponen de una puerta de entrada, una puerta privilegiada a la que llamamos directa, una que está aislada y otra que recibe señal acoplada, distribuidas como aparece en la figura 1.
Los desfasadores basados en híbridos están basados en acopladores direccionales híbridos, que, idealmente, realizan un reparto equitativo de la potencia entre la rama directa y la acoplada, introduciendo por tanto, unas pérdidas de 3 dB.
II. DESARROLLO
II.1Desarrollo
Los desfasadores basados en híbridos son, como cualquier otro desfasador, recíprocos, sin pérdidas.
Estos desfasadores estarán adaptados cuando la puerta acoplada y la aislada estén cargadas con la misma impedancia como se indica en la figura 1.
ZL11
ZL290
2
4
90
3
Fig. 1. Acoplador direccional cargado con impedancias idénticas
reactivas.
Estas impedancias, además de ser iguales, deben ser reactivas, para que así no se introduzcan pérdidas.
De esta manera, debe cumplirse la ecuación 1:
1 2L L L LZ Z Z jX= = = ± Ec. 1
El desfase que introduce en circuito depende del valor de la impedancia de carga.
Por lo tanto, un desfasador híbrido responderá a la matriz S que aparece en la ecuación 2:
0
( )
( )
00
L
L
jf Z
Z jf Z
eS
e
−
−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 2
Dado que el circuito es recíproco, es decir, la transferencia de señal no depende del sentido de conexión, la matriz S debe ser simétrica, y además, al ser sin pérdidas, todos los elementos de la diagonal principal deben ser cero.
Un desfasador basado en híbridos en cuadratura presenta la matriz S de la ecuación 3:
0
0 1 01 0 01
0 0 120 1 0
Z
jj
Sj
j
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 3
Esta matriz sería correcta siempre y cuando se
correspondiese con la numeración que aparece en la siguiente figura:
2
3
21
90
4
90
Fig. 2. Desfasador híbrido en cuadratura
El ancho de banda de un desfasador basado en híbridos en cuadratura es de una octava.
II.2 Ejemplo práctico: Branch Line
Un ejemplo que se utiliza en la práctica es la Branch Line, que se trata de un desfasador basado en híbridos en cuadratura que se fabrica con líneas microstrip.
II.2.1 Explicación teórica Una Branch Line es un circuito que actúa como desfasador
de 90º. Este diseño no cumple por sí mismo la condición de adaptación necesaria para funcionar como un desfasador. Para que nos encontremos ante un circuito recíproco, sin pérdidas y completamente adaptado, las impedancias de las líneas deben cumplir la ecuación 4:
2 2 20 1 2Y Y Y= − Ec. 4
Al cumplirse esta condición, el circuito quedará
completamente adaptado, y responderá a la siguiente matriz S:
0
0 1 00 0 1
1 0 00 1 0
Z
jj
Sj
j
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟− −⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
Ec. 5
Esta matriz será válida siempre y cuando corresponda con
la numeración de puertas descrita en la siguiente figura:
Z0
Z0 Z0
Z14
Z2
lamb
da/4
lambda/42
Z2
1
3
Z1
Z0
Fig. 2. Branch Line
En una Branch Line, que llegue más señal a una
puerta que a otra es debido únicamente al desfase que se produce entre los dos posibles caminos que puede seguir la señal una vez que se inyecta por la entrada.
De esta manera, en la puerta aislada las señales que van por diferentes caminos se cancelarán, no existiendo por tanto señal neta alguna en la puerta.
Por el contrario, en la puerta directa, las dos señales llegarán con una fase tal que se sumarán, dando lugar a un máximo de señal.
II.2.2. Simulación
A continuación, se presentan una serie de gráficas obtenidas mediante una simulación con MMICAD de una Branch Line.
En este tipo de circuitos, los parámetros que más información nos proporcionan son los de transmisión, que nos indican como se comporta la señal cuando se transmite desde la entrada hasta cualquiera de las demás puertas.
Como se puede observar en las gráficas, la frecuencia de
trabajo de la Branch Line es de 1 GHz. En la figura 3, se simula la variación con la frecuencia del
coeficiente de reflexión a la entrada, parámetro 11S , comprobándose que a 1 GHz el coeficiente de reflexión a la entrada se hace mínimo. Si utilizásemos otra frecuencia que no fuese 1 GHz, se producirían reflexiones debidas a la desadaptación.
Fig. 3. Simulación del coeficiente de reflexión a la entrada en una branch line.
En la figura 4, se realiza la simulación del parámetro
de transmisión, 21S , entre la entrada y la puerta más privilegiada, comprobándose que se trata de ganancia de tensión. Por este motivo, en la gráfica se observan los valores máximos a la frecuencia de trabajo.
3
Fig. 4. Simulación del parámetro de transmisión entre la entrada y la puerta directa en una branch line.
En la siguiente gráfica, figura 5, se puede observar que existe también una ganancia de tensión, 31S , que es debida al acoplo de señal que se produce con la señal de entrada. Los valores obtenidos en la gráfica son menores que en la puerta privilegiada, pero tienen una variación menos abrupta con la frecuencia.
Fig. 5. Simulación del parámetro de transmisión entre la entrada y la
puerta acoplada en una branch line.
En la gráfica de la figura 6 se puede observar una simulación del parámetro de transmisión, ganancia de tensión, entre la puerta de entrada y la aislada. Esto se verifica observando que para la frecuencia de trabajo se produce una bajada abrupta de la ganancia, siendo ésta cercana a cero para esa frecuencia. Por lo tanto, la puerta cuatro sería la más aislada.
Fig. 6. Simulación del parámetro de transmisión entre la entrada y la puerta aislada en una branch line.
III. CONCLUSIONES
Toda vez que se ha estudiado el comportamiento de los desfasadores basados en híbridos en cuadratura, acompañándose este estudio de un ejemplo práctico como es la Branch Line, he llegado a las siguientes conclusiones:
1. El ancho de banda en el que se puede utilizar un desfasador basado en híbridos en cuadratura es reducido debido al acoplador direccional.
2. Los desfasadores basados en híbridos en cuadratura, como la Branch Line, son bastante útiles para fabricar desfasadores variables, ya que variando la impedancia de carga o las impedancias características de las líneas se puede variar el desfase.
1
DESFASADORES CON BASADOS EN HÍBRIDOS EN CUADRATURA
Isabel Sierra Merino Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se hace un estudio de los desfasadores basados en híbridos en cuadratura, estos dispositivos son los encargados de introducir un desfase a la señal de entrada a través de un acoplador direccional. Para ello, se elaborará un análisis teórico, así como el estudio de: la matriz de parámetros S, la condición de adaptación, el ancho de banda, y las gráficas de los parámetros S realizadas a través de un programa de simulación de circuitos de microondas.
I. INTRODUCCIÓN
Los desfasadores son dispositivos de dos puertas encargados de introducir un retardo adicional a la propagación de la señal. Pueden construirse simplemente con líneas de transmisión sin pérdidas y para que sean variables se modifica la longitud de la línea o la velocidad de propagación de la misma. En el caso de desfasadores coaxiales, dentro de los distintos tipos, encontramos los desfasadores basados en híbrido en cuadratura, estudiados a continuación.
II. DESARROLLO
II.1Descripción
Estos tipos de desfasadores están formados por un híbrido en cuadratura y dos cargas reactivas puras de iguales características (Fig. 1).
El híbrido en cuadratura es un dispositivo encargado de realizar un reparto equitativo de la potencia entre la rama directa y la rama acoplada, además de introducir una diferencia relativa de fases de 90º entre dichas ramas.
El tamaño del desfasador en cuadratura está directamente relacionado con la banda de frecuencias de trabajo.
A diferencia de los desfasadores basados en líneas cargadas, los de híbrido en cuadratura pueden ser usados para proporcionar cualquier cambio de fase.
Fig. 1. Esquema de un desfasador basado en un híbrido en
cuadratura.
Un tipo de desfasador basado en híbridos en cuadratura muy utilizado es aquel que a su salida se conectan diodos PIN (Fig. 2), los cuales son usados como interruptores.
Fig. 2. Esquema de un desfasador basado en un híbrido en cuadratura
con diodos PIN En estos circuitos ambos diodos son polarizados en el
mismo sentido (inverso o directo). De esta forma, las ondas reflejadas de las dos terminaciones se sumarán en fase en la puerta de salida. Al polarizar los diodos en ON o en OFF varía la longitud de la línea en ΔΦ, lo que dará lugar a un cambio de fase de ΔΦ en la salida. Idealmente los diodos se comportan como un cortocircuito cuando están en ON, y en circuito abierto cuando se polarizan en OFF, de tal forma que el coeficiente de reflexión a la derecha del híbrido se puede escribir como Γ=ejΦ para los diodos en ON, y Γ=ej(Φ +ΔΦ) para los diodos en OFF. Si queremos que el ancho de banda del circuito esté optimizado debemos cumplir que el coeficiente de reflexión para ambos estados tengan la fase conjugada. Por ejemplo, si ΔΦ=180º, el mejor ancho de banda será obtenido si Γ= ±j ó Φ=0, 2π, etc.
II.2 Análisis Teórico
A partir del esquema de la figura 1 realizaremos el análisis teórico, para ello obtenemos la matriz S del desfasador con híbrido en cuadratura mediante el análisis de las ondas a y b del circuito, sabiendo que:
[ ] [ ] [ ]aSb ⋅= Ec. 1
y que la matriz S del híbrido en cuadratura es:
21
010100
001010
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
jj
jj
SZo
Además, del circuito obtenemos las siguientes ecuaciones:
2
22 ba L ⋅Γ= Ec. 2
33 ba L ⋅Γ= Ec. 3
De la Ec. 1 y conociendo la matriz S del híbrido obtenemos:
32122
1 ajab += Ec. 4
41222
1 ajab += Ec. 5
4132
12
aajb += Ec. 6
3242
12
aajb += Ec. 7
Sustituyendo Ec. 2 y Ec. 3 en Ec. 4 y Ec. 7:
32122
1 bjbb LL Γ+Γ= Ec. 8
3242
12
bbjb LL Γ+Γ= Ec. 9
Sustituyendo las ondas b2 y b3 en b1 y b4:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ= 41411
21
22221
21 aajjajab LL
Ec. 10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ= 41414
21
221
221
2aajajajb LL
Ec. 11
Simplificando queda:
41 ajb LΓ= Ec. 12
14 ajb LΓ= Ec. 13
Éstas ecuaciones nos darán en el apartado II.4 la matriz S del desfasador.
Para estudiar la relación que existe entre el valor de las impedancias y el desfase obtenido suponemos que el coeficiente de reflexión en la carga toma un valor del módulo de uno y una fase de φL, entonces la fase del desfasador la podemos escribir como:
Lϕπφ +=2
Ec. 14
siendo:
LLoL
oLL Xarctg
ZjXZjX
2−−=⇒+−
=Γ πϕ
que sustituyendo en la Ec.14 obtenemos la relación que estabamos buscando:
LXarctg22−−=
πφ Ec. 15
II.3 Condición de adaptación
Para que el circuito esté completamente adaptado las dos cargas deben ser de igual valor.
Además, para que se comporte como un desfasador ideal los módulos de los parámetros S12 y S21 deben ser iguales y de valor la unidad. Esto implica que el coeficiente de reflexión en la carga debe ser también de módulo uno. Por lo que las ZL que conectemos pueden tomar cualquier valor reactivo puro ( LjX± ), cortocircuito o circuito abierto.
II. 4 Matriz S del circuito adaptado
Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores y la condición de adaptación nos queda la siguiente matriz S:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Γ
Γ=
00
L
LZo j
jS
II. 5 Ancho de Banda
El ancho de banda es controlado por el tipo de híbrido en cuadratura usado para el desfasador. Esta estructura proporciona un ancho de banda de hasta una octava.
II. 6 Simulaciones
Para realizar las simulaciones conectamos a la salida de las puertas 2 y 3 un condensador de valor 3,18pF. Obtenemos las siguientes gráficas:
Módulos de los parámetros S:
Observamos que a la frecuencia de trabajo, 1GHz, el
módulo del parámetro S11 es cero, y el módulo del parámetro S21 es uno.
En cuanto al desfase, en la siguiente gráfica podemos observar el funcionamiento del desfasador en función de la frecuencia:
III. CONCLUSIONES
Tras este estudio podemos concluir que, dentro de los desfasadores coaxiales, los basados en híbridos en cuadratura tienen la ventaja de poder estar completamente
3
adaptados independientemente de la posición del conmutador a su salida.
Por contra, a diferencia de otros desfasadores, y debido al híbrido en cuadratura, existen pérdidas de inserción y acoplamiento de 3dB.
III. REFERENCIAS [1] Koul, Shiban K, “Microwave and Millimeter Wave Phase Shifter, Vol
II”, 3rd.ed., Boston: Artech House, 1991. [2] Pozar, David M, “Microwave engineering”, 3rd.ed., Hoboken (NJ):
John Wiley & Sons, 2005 [3] http://www.microwaves101.com/encyclopedia/phaseshifters.cfm
1
DESFASADOR DE 180º CON ANILLO HÍBRIDO
Francisco Javier Herranz Díaz Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- A lo largo de este documento podremos contemplar el análisis efectuado sobre el desfasador híbrido de 180º, desde un completo análisis teórico a su aplicación práctica a través de simulaciones. Además se expondrán todos los razonamientos requeridos para obtener el diseño final, incluyendo el desarrollo de los cálculos necesarios y las conclusiones a extraer de todo lo enunciado.
I. INTRODUCCIÓN
Este dispositivo tiene como finalidad proporcionar una señal de salida en contrafase respecto a la misma introducida, es decir, provocar un retardo de 180º sobre la señal deseada. De las múltiples variantes que nos ofrece la tecnología para realizar dicha operación, nuestro desfasador está construido a partir del acoplador direccional anillo híbrido (Figura I), también conocido como “Rat-race Coupler” debido a su diseño, donde a partir de las propiedades del acoplador e introduciendo ciertos cambios podremos lograr el objetivo deseado de una forma sencilla y no excesivamente costosa.
Dentro de las características del desfasador destacan ser un dispositivo pasivo, recíproco y sin pérdidas, cualidades que se deben tener presentes en el desarrollo teórico para garantizar el cumplimiento del objetivo inicial por parte de nuestro dispositivo.
Fig. I. Acoplador direccional anillo híbrido.
II. DESARROLLO
II.1 Análisis teórico El desfasador se desarrollará a partir de las características
del anillo híbrido, por eso es importante conocer las cualidades que aportará el acoplador. El inicio del diseño será la matriz de parámetros S normalizada del anillo híbrido, para poder conocer así su funcionamiento y realizar los cambios adecuados con el fin de desarrollar el desfasador.
011010011001
0110
20jS z Ec. 1
Esta matriz nos muestra la relación existente entre las
ondas de potencia presentes en los diferentes accesos.
;22 321 ajajb Ec. 2
;22 412 ajajb Ec. 3
;22 413 ajajb Ec. 4
;22
324 ajajb Ec. 5
;111 ab L Ec. 6
;444 ab L Ec. 7 El desfasador a diseñar constará de dos accesos, entrada y
salida de la señal respectivamente, por ello nuestro dispositivo deberá presentar la siguiente matriz de parámetros S, relacionando las ondas de potencia entre los dos accesos citados.
3
20
3
2
aa
Sbb
DZ Ec. 8
2
Fig. II. Visión exterior del dispositivo final.
Ahora deberemos obtener la matriz del desfasador (SDZ0) a partir de las relaciones existentes en las ecuaciones del acoplador.
;22
22
2
222
22
413
412
324
321
44112
LLLL
L
L
LL
aa
ajajj
ajajj
bjbjb
Ec. 9
;22
22
2
222
22
413
412
324
321
44113
LLLL
L
L
LL
aa
ajajj
ajajj
bjbjb
Ec. 10
Una vez realizados los pertinentes cálculos, llegamos ala matriz de parámetros S del dispositivo.
4141
41410 2
1LLLL
LLLLDZS Ec. 11
II.2 Condición de adaptación Para asegurar que el desfasador esté completamente
adaptado los elementos de la diagonal principal de SDZ0 deben ser nulos.
144111 00 LLLLS Ec. 12
II.3 Matriz SDZ0 del circuito adaptado La matriz SDZ0, tras realizar los cambios debidos a la condición de adaptación, será la mostrada continuación.
00
11
10
L
LDZS Ec. 13
Observando que se obtiene el resultado deseado, para
conseguir a la salida una señal en contra fase respecto a la misma introducida.
;1121 LaOUTbINa Ec. 14
II.4 Ancho de banda El ancho de banda del dispositivo resultante estará fijado
por el del anillo híbrido, ya que es la base de construcción del desfasador. El ancho de banda del anillo híbrido esta fijado normalmente entre un 20%-30%, si quisiéramos disponer de un ancho de banda mayor deberíamos conseguir un anillo híbrido de banda ancha, con el consiguiente aumento del presupuesto por parte del diseño del dispositivo.
II.5 Determinación de impedancias
Para determinar las características de las impedancias a colocar sobre nuestro diseño se aplicará la condición de sin pérdidas (Ec. 15).
;ISS Ec. 15
;11 L Ec. 16 Obteniendo como resultado el descrito por la Ec. 1, el
cual sólo es posible de realizar con las siguientes tres opciones:
1. Cortocircuito 2. Circuito Abierto 3. Impedancia reactiva pura
Desechamos las dos primeras soluciones al incumplir la condición de adaptación (Ec. 12), en cambio la tercera solución sí cumple la condición de adaptación y por ello fijamos las impedancias de los accesos uno y cuatro con impedancias reactivas puras.
Un posible diseño sería colocar un cortocircuito y circuito abierto en los accesos uno y cuatro del acoplador, cumpliendo así las condiciones requeridas, pero entonces diseñaríamos un desfasador para unas condiciones únicas de trabajo, sólo pudiéndose usar en casos muy específicos, lo cual sería de poca utilidad. Por último nos faltaría conocer la relación existente entre las impedancias de los accesos uno y cuatro del anillo híbrido, obteniendo dicha relación a partir de la condición de adaptación (Ec. 12) y el siguiente desarrollo.
;14 LL Ec. 17 Analizando esta última ecuación:
;11
11
1
1
4
4
L
L
L
L
XjXj
XjXj
Ec. 18
Ahora separaremos la ecuación anterior en módulo (Ec. 19-20) y fase (Ec. 21-22), respectivamente, para su mejor compresión.
;1
1
1
12
4
21
2
4
24
L
L
L
L
X
X
X
X
Ec. 19
;14 LL XX Ec. 20
;11
11
1
*
1
4
*
4
L
L
L
L
XjXj
XjXj
Ec. 21
3
214
lL XarctgXarctg Ec. 22
Gracias al desarrollo anterior llegamos a la conclusión de que son impedancias conjugadas entre sí.
14
11
LL
LL
XjZ
XjZ Ec. 23
Fig. III. Diseño final del desfasador.
III. SIMULACIONES
A continuación se podrá apreciar la simulación de los dos parámetros fundamentales (S11 y S21) de la matriz SDZO de nuestro desfasador (Figura II). Se observará la nulidad de S11, demostrando así la adaptación del circuito, a la par que se distingue la fase de 180º del parámetro S21, necesaria para la inversión de la señal.
Fig. IV. Parámetro S11 de SDZO.
Fig. V. Parámetro S21 de SDZO.
IV. CONCLUSIONES
Podemos concluir que para lograr el desfase deseado debemos colocar impedancias reactivas conjugadas en los accesos del anillo híbrido uno y cuatro, con el fin de satisfacer todos los requerimientos necesarios para disponer de un dispositivo completamente adaptado, pasivo, recíproco y sin pérdidas.
Para satisfacer el desfase deseado la fase del parámetro S21 deber ser 180º, hecho que se cumplirá si la fase del coeficiente de reflexión en al carga uno es nulo. Al realizar las cargas con reactancias puras para crear un desfasador variable, aumentando su utilidad, incurrimos en la creación de una cierta fase no nula por parte de dicho coeficiente de reflexión, esta fase será prácticamente despreciable según aumentamos la frecuencia, aunque debemos tener presentes las limitaciones de trabajar a una excesiva frecuencia en el diseño de componentes.
V. REFERENCIAS [1] David M. Pozar, “Microwave Engineering”, 2nd.ed., John Wiley &
Sons, 1998. [2] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering Passive Circuits”, Prentice-
Hall, 1988.
DESFASADORES BASADOS EN HÍBRIDOS DE 180º
Salvador León Martínez Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- En este documento se va a analizar un desfasador formado por un circuito híbrido de 180º, en concreto un anillo híbrido con líneas microstrip, con dos cargas conmutables. Comienza con una breve descripción de un circuito desfasador y un circuito híbrido de 180º para a continuación realizar un análisis teórico de dicho desfasador. En él se dan las pautas a seguir para la obtención de la matriz de parámetros [S] adaptada. Se verá el ancho de banda de funcionamiento junto con una representación de la respuesta en frecuencia.
I. INTRODUCCIÓN
I.1 Desfasador
Un desfasador es un circuito de 2 puertas que introduce una cierta diferencia de fase entre la señal de entrada y la de salida, sin introducir pérdidas (caso ideal). Su matriz [S] ideal es la siguiente:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
00
0 dj
dj
Z ee
Sβ
β
Ec. 1
I.2 Híbridos de 180º Un circuito híbrido de 180º (ver figura 1) es un circuito
de 4 puertas que realiza un reparto equitativo de potencia entre su rama directa y acoplada y en el que existe una diferencia de fases de 180º entre sus dos ramas directas 1-2 y 4-3. La puerta 4 es la aislada.
Fig. 1. Símbolo de un híbrido de 180º
Según la figura 1 se tienen los siguientes parámetros para un circuito de cuatro puertas.
( ) 21I log20L :inserción de Pérdidas SdB −= Ec. 2
( ) 31log20C :toAcoplamien SdB −= Ec. 3
( ) 41log20I :oAislamient SdB −= Ec. 3
( ) ( ) ( )dBdBSSdB CIlog20D :adDirectivid
31
41 −=−= Ec. 5
Debido al reparto de potencia que hace, las pérdidas de inserción (LI) y el acoplamiento (C) valen 3dB [1].
La matriz de parámetros S correspondiente a un híbrido
de 180º ideal es:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
01101001
10010110
21
0ZS Ec. 6
Los híbridos de 180º se pueden realizar con tecnología
stripline o microstrip . A este grupo pertenece el anillo híbrido (o rat-race) y el Tapered Coupled Line Hibrid (ver figura 2).
Fig. 2. Híbridos con tecnología microstrip: (a) anillo híbrido. (b)
Tapered Coupled Line Hibrid
Otra forma de fabricarlos es mediante guías de onda, en concreto mediante una T –Mágica [1]. cuya forma se puede ver en la siguiente figura:
1
Fig. 3. T-Mágica
I.3 Desfasadores con híbridos de 180º
Se va a utilizar el anillo híbrido de 180º con líneas microstrip junto con dos cargas de signos contrarios y conmutables para realizar un desfasador [1]. El esquema de funcionamiento se puede ver en la siguiente figura:
Fig. 4. Desfasador con híbrido de 180º
Para que el anillo híbrido se comporte como tal, se tiene que cumplir la siguiente condición:
021 2 ZZZ ⋅== Ec. 6 Esta será la condición de adaptación obtenida al igualar
los parámetros de la diagonal de la matriz [S] generalizada del anillo híbrido. Esta matriz se puede obtener aplicando simetría [1].
Así las cosas, la matriz de parámetros S de un anillo híbrido completamente adaptado es la siguiente:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
011010011001
0110
20
jS Z Ec. 7
Los módulos de los parámetros más significativos de este circuito en función de la frecuencia [1] se pueden ver en la siguiente figura:
Fig. 5. Módulo de parámetros S en función de la frecuencia
II. DESARROLLO
El circuito de la figura 4 se comporta (como ya se ha dicho) igual que un circuito desfasador de dos puertas. Para ello, las cargas deben ofrecer un coeficiente de reflexión alto y un desfase de 180º. Las cagas deben tener signo contrario y sólo debe permanecer una conectada al mismo tiempo. Al entrar la señal por el acceso 2 y teniendo en cuenta el coeficiente de reflexión en las cargas en el acceso 3 se obtiene la señal desfasada.
II.1Matriz de parámetros S Para el cálculo de la matriz de parámetros [S] se parte del
análisis del siguiente circuito:
Fig. 6 Circuito equivalente de un desfasador con anillo híbrido de 180º
La matriz resultante deberá ser de la forma:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3332
2322
0 SSSS
S Z Ec. 8
Aplicando la condición de adaptación se debe obtener una matriz de la forma de la ecuación 1, dónde la fase dependerá de los valores de Z-
II.2 Simulaciones
A continuación se puede ver la respuesta de un circuito de este tipo con un anillo híbrido diseñado para 35 GHz y con unas cargas capacitivas equivalentes a 0,001 pF.
Fig. 6. Símbolo de un híbrido de 180º
II.3 Ancho de banda
El ancho de banda del circuito vendrá determinado por el del anillo híbrido, el cuál está limitado por la frecuencia a la
2
que ha sido diseñado. No obstante, el ancho de banda en este tipo de circuitos suele estar entre el 20% y el 30%.
Una forma de calcular el ancho de banda de un anillo híbrido es imponer un valor determinado sobre uno de los parámetros S y ver en la representación qué valores de dicho parámetro satisfacen ese valor. En la figura 5 se puede observar que el ancho de banda (BW) es de 0,2 GHz para un valor del parámetro |S14| de -28dB.
III. CONCLUSIONES
Se ha podido comprobar cómo a partir de un anillo híbrido cargado con unas impedancias de valor Z se pueden diseñar desfasadores. Haciendo combinaciones con otro tipo de circuitos se pueden construir desfasadores variables, controlados, etc.
IV. REFERENCIAS [1] David M. Pozar “Microwave Engeneering” 2th.ed., John Wiley &
Sons, INC. [2] www.microwave101.com “Microwave Encyclopedia” [3] R. Sánchez y otros, “Teoría de circuitos de microondas. Parámetros
S” Servicio de Publicaciones de la UAH, 2004. [4] http://www.ee.bilkent.edu.tr “Electromagnetic Problems” [5] Rizzi, Peter A.” Microwave engineering passive circuits”
3
DIVISORES DE MICROONDAS CON LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.
Javier Moreno Herrera Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Este documento pretende realizar un estudio teórico del funcionamiento de los divisores de potencia fabricados con líneas de transmisión. Deduciremos la matriz de parámetros S descriptiva de cada circuito en función del reparto de potencia deseado en cada puerta y hablaremos de la condición de adaptación, deseable en todo circuito de microondas. Ayudados de simulaciones realizadas en el laboratorio veremos el comportamiento de los circuitos dentro de un rango de frecuencias y estudiaremos sus limitaciones.
I. INTRODUCCIÓN
Un divisor de potencia es una red o dispositivo, formado por tres o más puertas capaces de repartir la potencia incidente en una de sus puertas entre las puertas restantes que forman el divisor, siguiendo una determinada proporción.
El dispositivo divisor básico consta de 3 puertas, lo que indica que su matriz de parámetros S tiene dimensiones 3x3. Una de las propiedades fundamentales de las redes de tres accesos nos indica que si dicha red es recíproca, pasiva y sin pérdidas (la potencia “inyectada” por una de las puertas es la que debe salir por el resto de puertas del dispositivo), la red no puede estar completamente adaptada, esto es, no puedo conseguir que los parámetros de la diagonal principal de la matriz que caracteriza a la red sean 0 todos a la vez. El significado físico de esta consecuencia es que al menos una de las puertas está desadaptada.
Por este motivo, debemos asegurarnos de que el generador “inyecte” potencia en una puerta en la que exista adaptación y de esta manera evitar las pérdidas por reflexión, es decir, el generador (de impedancia interna ) debe ver
una impedancia de entrada Zin = al conectarlo al dispositivo.
0Z
0Z
II.1Divisor básico con líneas de transmisión.
Como hemos dicho con anterioridad, este divisor consta de 3 accesos, por lo que su matriz de parámetros S (referida a ) es: 0Z
[ ]0ZS =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
333231
232221
131211
SSSSSSSSS
El esquema básico del divisor es el siguiente:
Fig. 1. Divisor básico con líneas de transmisión.
Como vemos, el divisor utiliza dos líneas de transmisión de longitud λ/4 en paralelo y sin pérdidas, con valores de impedancia característica y y está diseñado para cargas de impedancia . Para cumplir la condición de adaptación en la puerta de entrada hemos de asegurar que la impedancia vista por el generador sea:
1CZ 2CZ
0Z
=1Z 1LZin // = 2LZin ( ) 022
210
22
21 Z
ZZZZZ
CC
CC =+⋅ Ec. 1
Donde, y gracias a los transformadores λ/4:
0
21
1 ZZ
Zin CL = Ec. 2
0
22
2 ZZ
Zin CL = Ec. 3
De esta manera aseguramos que = 0 y por tanto no hay pérdidas por reflexión en la puerta de entrada.
11S
La condición de diseño que nos queda pendiente es el reparto de potencia necesario en las puertas de salida. Dicho reparto queda definido en la siguiente ecuación:
32
2 PKP ⋅= Ec. 4
Donde es la potencia que “viaja” a la puerta 2 y la que lo hace hacia la puerta 3. Según Ec. 4, si K = 1 tenemos
2P 3P
1
que = y el reparto resulta ser equitativo. Vemos por tanto que la variación del parámetro K es la que nos va a permitir obtener el reparto de potencia deseado.
2P 3P
La potencia proveniente del generador y que incide a la entrada de cada transformador λ/4 es:
INLii Z
VP
21= Ec. 5
Donde el subíndice i es 2 o 3 en función de la puerta de salida. La tensión es la misma a la entrada de ambos transformadores ya que están en paralelo y es la que suministra el generador. Al ser líneas sin pérdidas, la potencia neta que incide a la entrada de cada transformador también aparece en la carga. Lo explicado con anterioridad se expone en la siguiente figura:
1V
Fig. 2. Funcionamiento del divisor básico con líneas de transmisión.
Las potencias netas y a la entrada de los transformadores λ/4 inciden finalmente sobre las cargas en las puertas 2 y 3 al no presentar dichas líneas pérdidas y se obtienen por tanto de igual manera que en la Ec. 5.
2P 3P
De la EC. 5 junto con las Ec. 2, 3 y 4 se obtiene, que:
32
021
21
2 PKZZV
PC
⋅=⋅=
0221
21
022
21
3 ZKZ
VZ
ZV
PCC
⋅⋅
=⋅=
Despejando finalmente:
Ec. 6 12 CC ZKZ ⋅=
Para conseguir tener y en función del reparto de
potencia deseado hemos de sustituir en la ecuación que nos da el paralelo (EC. 1). Obteniendo en este caso el siguiente par de valores:
1CZ 2CZ
2CZ
K
ZKZ C
02
11 ⋅+
= Ec. 7
02
2 1 ZKZ C ⋅+= Ec. 8
Donde Ec. 8 se obtiene sustituyendo Ec. 7 en Ec. 6.
Teóricamente, el valor de K puede ser cualquiera para cumplir el reparto de potencia deseado, pero en el caso de , si K es muy pequeño implica que la impedancia a
la que da lugar es muy grande. Si trabajamos en línea µstrip, se necesitará una línea muy delgada y no siempre podrá realizarse físicamente (no hay que olvidar que es función de la anchura de la línea). Por tanto, existe una limitación en el reparto de potencia en función de la mínima realizable.
1CZ
cZ
1CZ
Para un reparto equitativo de potencia K = 1, se tiene que:
= = 1CZ 2CZ 20 ⋅Z Ω
Por otro lado, si K=0 y entonces 02 =P 13 =P
necesariamente. En este caso se pierde completamente la función de divisor de potencia.
Para determinar el resto de parámetros de la diagonal principal es necesario cerrar las puertas 1 y 3 con
para el cálculo de y las puertas 1 y 2 para determinar . Dicho cálculo se realiza de análogamente al cálculo
de , y se obtienen los siguientes valores:
0Z22S
33S
11S
222 11K
S+
= Ec. 9
2
2
33 1 KKS+
= Ec. 10
De estas expresiones se deduce que las puertas 2 y 3 siempre están desadaptadas. Si K=0, toda la potencia va hacia una puerta (no hay división de potencia) y si k=1 tenemos que = =1/2, que corresponde al reparto equitativo.
22S 33S
Para el resto de parámetros que forman la matriz es necesario recurrir a la definición de los parámetros S, obteniendo los siguientes resultados:
)1)(1(
11(22
22
21+++
+++−=
KKK
KKKKjS Ec.11
)1)(11(
11(22
22
31+++
+++−=
KK
KKjS Ec. 12
Debido a la reciprocidad del circuito 1221 SS = y
1331 SS = . Por último el parámetro que será distinto de 0 para todo valor de K, es decir, no existe aislamiento entre salidas.
2332 SS =
( )[ ]( )( ) ( )[ ]21111
212322322
232234
32+++++++
+++++++++−=
KKKKKKKKKKKKKKKS
Ec. 13
II.2 Simulaciones.
En este apartado se pretende ilustrar lo explicado en el punto anterior mediante la simulación del comportamiento del divisor para un reparto determinado. Veremos el valor de la matriz correspondiente a dicho reparto.
Uno de los casos más habituales es querer hacer un reparto equitativo de potencia. En ese caso, el valor de K
2
según la Ec. 4 es 1 y la matriz de parámetros correspondiente resulta ser:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
112112220
21
0
jj
jjS Z
En dicha matriz, correspondiente al divisor de 3 dB, se aprecia el retardo que sufre la señal al pasar por los transformadores λ/4 y el inexistente aislamiento entre las puertas de salida. Para la simulación correspondiente supondremos una Ω, por lo que tenemos para
y , según Ec. 7 y 8: 500 =Z 1cZ
2cZ
Ω== 25021 cc ZZ
El diseño se hará para una frecuencia de 600 MHz (colocaremos un marcador a dicha frecuencia). Se obtiene el siguiente resultado para los parámetros de la diagonal principal:
Fig. 3. Gráfica de módulos. Frecuencia en MHz.
Fig. 4. Gráfica de fase (en grados). Frecuencia en MHz.
En Fig. 3 vemos que el módulo del parámetro es 0 a 600 MHz, no siendo así su fase, según muestra Fig. 4.
11S
Representamos a continuación los parámetros que nos dan las pérdidas de inserción y el aislamiento entre salidas:
Fig. 5. Gráfica de módulos. Frecuencia en MHz.
Se cumple en este caso que tenemos 3 dB menos de potencia en cada puerta de salida con respecto a la de entrada (reparto equitativo) y el aislamiento es el mayor posible a la frecuencia de diseño.
Fig. 6. Gráfica de fase (en grados). Frecuencia en MHz.
Vemos que hay un desfase entre la puerta de entrada y las de salida de 90º y que el desfase que sufre una señal que viaja desde la puerta 2 a la 3 o viceversa es de 180º, según indica el signo de la Ec. 13.
La respuesta del circuito es periódica, es decir, el comportamiento se repite para múltiplos impares de la frecuencia de trabajo, debido a que estamos trabajando con líneas de transmisión.
Si observamos las gráficas obtenidas, y en concreto el parámetro que muestra la adaptación de la puerta de entrada, vemos que el ancho de banda del dispositivo en el que se puede considerar que el comportamiento es ideal resulta ser reducido, por tanto este divisor es de banda estrecha. No hay que olvidar que en la simulación anterior no hemos tenido en cuenta los efectos de la no idealidad del dispositivo en estudio (pérdidas asociadas), por lo que este valor resulta ser aún más reducido en la realidad.
11S
El módulo al cuadrado de los parámetros fuera de la diagonal es la ganancia en potencia que se obtiene:
212
21 =S 11
2212 2
1 PPSP ⋅=⋅=
212
31 =S 112
313 21 PPSP ⋅=⋅=
En el apartado anterior se ha realizado un diseño para un reparto equitativo de potencia pero podría haberse realizado un diseño para un reparto diferente, determinando primero K en la Ec. 4 y obteniendo posteriormente y con las Ec. 7 y 8. Por ejemplo, para que la puerta 2 reciba 1/3 de la potencia inyectada en la puerta 1 y la puerta 3, 2/3 de la misma se necesita que:
1CZ 2CZ
2/1)2/1()3/2()3/1( 2
3213
12 =⇒⋅=⎭⎬⎫
⋅=⋅=
KPPPPPP
Con esto se obtiene:
Ω=⋅+
= 6.8610
2
1 ZK
KZ C
Ω=+⋅= 23.611202 KZZ C
La matriz resultante tras la simulación es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−
−−
−−
º00035.0º180º90
º180º00036.0º90
º90º90º827.5
333.0471.0816.0471.0667.0577.0816.0577.00002.0
S
3
Fig. 7. Gráfica de módulos en dB. Frecuencia en MHz.
Donde se aprecia en la matriz que la puerta de entrada sigue estando adaptada ( ). En Fig. 7 vemos la variación en los módulos de los parámetros y en función del reparto deseado y la frecuencia, permaneciendo inalteradas las fases.
011 ≈S
21S 31S
II. 2 Variaciones para divisores equilibrados. El siguiente circuito es una alternativa al anterior si se quieren conseguir repartos equitativos exclusivamente.
Fig. 8. Divisor equilibrado.
Donde Z para el primer transformador λ/4 es:
20Z
Z = Ec. 14
La longitud de las líneas en las terminaciones puede ser cualquiera, pero interesa que sean de longitud más corta posible para minimizar las pérdidas. Solamente tiene un parámetro de diseño, el valor con el que conseguimos adaptar la puerta de entrada.
0Z
Para mejorar el comportamiento en frecuencia, es decir, conseguir una buena adaptación de la puerta de entrada en un margen más amplio de frecuencias, se encadenan varios transformadores λ/4. Realizaremos un ejemplo con N=3 secciones, buscando una respuesta máximamente plana del circuito lo cual se consigue con un transformador binómico como a la entrada del divisor como la siguiente figura:
Fig. 9. Divisor equilibrado con transformador binómico.
En primer lugar se obtienen los coeficientes de reflexión de las discontinuidades:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅Γ=Γ −
iNN
Li 2 Ec. 15
En nuesto ejemplo 2
0ZZ L = y Ω= 500Z por tanto:
;31
−=ΓL
241
3 −=Γ ; 81
2 −=Γ
;81
1 −=Γ 241
0 −=Γ
Por otro lado, con la siguiente expresión deducimos la impedancia de cada transformador:
1
11 1
1
−
−− Γ+
Γ−=
N
NNN ZZ Ec. 16
Con los datos obtenidos con anterioridad:
Ω= 174.273Z Ω= 94.342Z
Ω= 92.441Z Ω= 83.480Z
En la simulación se obtiene:
Fig. 10. Gráfica de módulos. Frecuencia en MHz.
Se observa la clara diferencia con el parámetro de la Fig. 3 en torno a la frecuencia de trabajo (600 MHz) y la igualdad existente con los parámetros y de Fig. 5
que marcan la transferencia de potencia. Puesto que no llega a ser cero, se “sacrifica” la adaptación perfecta y el límite de ancho de banda lo marca el valor máximo que permita la aplicación en cuestión para el módulo de .
11S
21S 31S
11S
11S
III. CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos en las simulaciones nos indican la aptitud de estos circuitos trabajando como divisores de potencia. Indicar que en las simulaciones no se han tenido en cuenta los efectos de la no idealidad de los circuitos empleados (pérdidas). En todos ellos sólo hay adaptación en la puerta 1, no existe aislamiento entre las puertas 2 y 3, los valores de reparto realizables están limitados por las impedancias físicamente realizables.
III. REFERENCIAS
Bibliografía de consulta recomendada: - Microwave Engineering. D. Pozar. Artech House. - Microwave Engineering. Passive Circuits. Peter A. Rizzi.
Prentice Hall.
4
1
DIVISORES DE BANDA ANCHA CON LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Elena Delgado Hita Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este trabajo se presentan la descripción y esquemas típicos de divisores de banda ancha realizados con líneas de transmisión, así como un análisis del número de secciones en función del ancho de banda, ya sea un transformador binómico o de Chebychev. En el apartado de “resultados” se muestran simulaciones para estos dos tipos de transformadores.
I. INTRODUCCIÓN
Un divisor es una red muy utilizada en muchas aplicaciones de microondas donde es necesario repartir la potencia de entrada entre varias ramas. Este dispositivo requiere tres o más puertas [1].
A la hora de hacer un divisor de potencia con líneas de transmisión se puede utilizar una única sección λ/4 o transformadores λ/4 de múltiples secciones (transformadores de cuarto de onda conectados en cascada). Con la segunda opción obtenemos un ancho de banda mayor necesario en muchas aplicaciones de microondas, como por ejemplo en radiocomunicación [1]. Este tipo de transformador presenta una variación suave de las impedancias características de las líneas.
En un divisor con líneas de transmisión como el de la figura 1 se cumple la relación
32
2 PKP ⋅= Ec. 1 , cuando K=1 se dice que el divisor es equilibrado, esto es porque la potencia entrante se reparte entre las puertas 2 y 3 por igual.
Fig. 1. Divisor de banda estrecha con líneas de transmisión.
Extraído de [1].
Los divisores que únicamente están hechos con líneas de transmisión ideales, al no tener ningún componente activo y tampoco tener pérdidas, no pueden estar completamente adaptados. Por ello recurrimos a adaptar la puerta de entrada (Z1 = Z0).
Para un divisor equilibrado con una Z0 = 50 Ω como
KZK
ZC0
2
11 ⋅+
= Ec. 2
02
2 1 ZKZC ⋅+= Ec. 3
entonces ZC1 = ZC2 = 50 √(2) Ω.
Se observa, en las figuras 2 y 3, que estos transformadores son de banda estrecha, y en concreto se han diseñado para una frecuencia de resonancia de 1 GHz. Esto se puede apreciar en todos los parámetros pero especialmente se observa en el coeficiente de reflexión (S11 se anula a la frecuencia de resonancia) y, aunque no tan claramente, para el aislamiento, S23 es un mínimo.
Fig. 2. Divisor equilibrado, parámetros S11, S22 y S33 (estos dos últimos superpuestos)
2
Fig. 3. Divisor equilibrado, parámetros S21, S31 y S23 (coinciden los dos primeros)
Se puede consultar la matriz de parámetros S de un
divisor en función de K para la frecuencia de resonancia en [1]. Como se ha explicado anteriormente, el único parámetro nulo es el S11 debido a que solamente la puerta de entrada está adaptada y a que en este tipo de transformadores no hay aislamiento, lo que supone un importante inconveniente.
A partir de la Teoría aproximada de pequeñas reflexiones [1] se diseñan fácilmente transformadores de múltiples secciones, transformadores de banda ancha como son el binómico, y el de Chebychev.
Esta teoría está basada en la incidencia, reflexión y transmisión de ondas de tensión en planos de acceso. El coeficiente de reflexión a la entrada es
∑=
−⋅Γ=ΓN
i
ijiIN e
0
2 θ , i = 1, 2, 3…N Ec. 4
siendo θi la longitud eléctrica de la línea y Гi el coeficiente de reflexión parcial de la discontinuidad i-ésima. En nuestro caso las líneas que nos interesan son de cuarto de onda, θi=90º.
Fig. 4. Transformador λ/4 de múltiples secciones.
II. DESARROLLO
Cuando adaptamos la entrada de un divisor de banda estrecha con un transformador de banda ancha (como son el binómico y el de Chebychev) obtenemos una respuesta en frecuencia menos selectiva y, por lo tanto, un mayor ancho de banda que en muchas aplicaciones es un requisito fundamental.
Fig. 5. Divisor de banda ancha con líneas de transmisión.
A continuación se exponen las diferencias entre el uso de
transformadores binómicos o de Chebychev.
II.1Divisor con Trasformador Binómico
Este trasformador proporciona en la frecuencia de diseño una respuesta máximamente plana.
Los coeficientes de reflexión de las discontinuidades valen
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅Γ=Γ −
iNN
Li 2 Ec. 5
y cumplen las propiedades de simetría:
iNi −Γ=Γ Ec. 6 Las impedancias características de las líneas se obtienen
de la forma:
i
iii ZZ
Γ+Γ−
⋅= + 11
1 Ec. 7
Desarrollando este método (aproximación de pequeñas reflexiones) Z0 no coincide con la impedancia de partida, se pueden obtener mejores resultados empleando:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
0
1 ln2lnZZ
iN
ZZ LN
i
i Ec. 8
Para hallar el ancho de banda de manera teórica [1] se
emplean las siguientes fórmulas:
( )MLMθcos⋅Γ=Γ Ec. 9
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ
Γ−=
Δ N
L
M
ff
1
0
arccos42π
Ec. 10
siendo θM la longitud eléctrica para un valor máximo tolerable del coeficiente de reflexión a la entrada (|Г|M ), N el número de secciones y Δf/f0 el ancho de banda relativo de adaptación.
La figura 6 muestra la dependencia del ancho de banda de adaptación con respecto a la relación |Г|M /|ГL|, el ancho de banda es mayor cuanto mayor sea el número de secciones.
3
Δf/f0
|Г|M /|ГL| Fig.6. Ancho de banda relativo del transformador binómico.
II.3 Transformador de Chebychev
Con el transformador de Chebychev se obtiene una respuesta en frecuencia con un rizado constante en la banda de paso.
La representación del coeficiente de reflexión a la entrada (ГIN) con la frecuencia tiene la misma forma que los polinomios de Chebychev de orden N, de ahí el nombre de este transformador. En nuestro caso N es número de secciones del transformador y de manera gráfica se reconoce porque es la cantidad de mínimos de la banda de rizado que presentan, por ejemplo, los parámetros S11 y S23 con respecto a la frecuencia. Esto se puede comprobar en la figuras 10 y 11, en el apartado de resultados.
El valor del coeficiente de reflexión a la entrada para un número de secciones impar es:
( )[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡Γ⋅+⋅−⋅Γ⋅⋅=Γ ∑
−
=
−
12
02/2
12cos2
N
iNi
jNIN iNe θθ Ec. 11
si N es par:
( )[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅−⋅Γ⋅⋅=Γ ∑
−
=
−2
1
0
2cos2
N
ii
jNIN iNe θθ Ec. 12
Las impedancias características de las líneas se pueden hallar, al igual que en el caso de transformadores binómicos, con la ecuación 7 pero se obtiene un resultado más preciso utilizando la ecuación aproximada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈Γ +
i
ii Z
Z 1ln21 Ec. 13
Para hallar el ancho de banda se pueden utilizar las fórmulas:
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Γ⋅⋅=
M
L
M
ZR
N 2
lnarccos1cos)sec( 0θ
Ec. 14
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=
ΔπθM
ff 2
120
Ec. 15
La forma más sencilla de determinar el mínimo número de secciones en función del ancho de banda relativo y de la relación |Г|M /|ГL| es mediante la figura 7.
Al igual que en el transformador binómico el ancho de banda aumenta con el número de secciones.
Si comparamos las figuras 6 y 7 observamos que con igual número de secciones obtenemos mayor ancho de banda con un transformador de Chebychev que con uno binómico.
Δf/f0
|Г|M /|ГL|
Fig.7. Ancho de banda relativo del transformador de Chebychev.
III. RESULTADOS
Hallando las impedancias características de las líneas mediante la ecuación 8 se ha simulado el coeficiente de reflexión a la entrada de un divisor con transformador binómico (figura 8). El transformador adapta una impedancia de 50 Ω a una de 25 Ω para una frecuencia de resonancia de 1 GHz y las impedancias características del divisor valen 50Ω. Si suponemos un valor máximo tolerable del coeficiente de reflexión a la entrada (|Г|M ) de 0.133 para 2, 3 y 4 secciones obtenemos gráficamente un ancho de banda aproximado de 840, 1040 y 1160 MHz respectivamente.
Fig. 8. Parámetro S11 de un divisor con transformador binómico realizado con 2, 3 y 4 secciones.
4
La representación del parámetro S23 (aislamiento) se muestra en la figura 9:
Fig. 9. Parámetro S11 de un divisor con transformador binómico realizado con 2, 3 y 4 secciones.
Cambiando el valor de las impedancias características de la simulación anterior operando y utilizando la ecuación 13, se obtienen las simulaciones de un divisor con transformador de Chebychev.
Para un valor máximo tolerable del coeficiente de reflexión a la entrada de 0.133 obtenemos un ancho de banda aproximado de 940, 1260 y 1380 MHz para 2, 3 y 4 secciones respectivamente.
Fig.10. Parámetro S11 de un divisor con transformador de Chebychev realizado con 2, 3 y 4 secciones.
La representación en decibelios del parámetro S23 de un
divisor con transformador de Chebychev es la siguiente:
Fig. 11. Parámetro S23 de un divisor con transformador de
Chebychev realizado con 2, 3 y 4 secciones.
IV. CONCLUSIONES
En este trabajo se ha mostrado la variación de distintos parámetros de divisores de banda ancha realizados con líneas de transmisión en función de la frecuencia y del número de secciones. A la vista de los resultados obtenidos se observa que a mayor número de secciones en el transformador el ancho de banda es también más grande.
Así mismo comprobamos que para un mismo ancho de banda, en las mismas condiciones, un transformador binómico requiere más secciones que uno de Chebychev, esto acarrea el inconveniente de necesitar más componentes y un mayor tamaño del divisor.
V. REFERENCIAS
[1] Rafael Boloix Tortosa, “Elementos acopladores, híbridos y divisores de
potencia”, http://www.personal.us.es/rboloix/pub_mic/mic1.pdf [2] Valentín Trainotti, Instituto de investigaciones científicas y técnicas de
las fuerzas armadas CITEFA, http://www.fi.uba.ar/materias/6654/download/Metodo%20de%20Medici%F3n%20de%20tres%20antenas.pdf
[3] Pablo L. López Espí, http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/Tema2_3p_lin.pdf
[4] J. Alpuente Hermosilla, M. P. Jarabo Amores, P. L. López Espí y J. A. Pamies Guerrero, “Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de microondas”, ed. Universidad de Alcalá, 2001
[5] R. Sánchez Montero, P. L. López Espí y J. Alpuente Hermosilla, “Microondas prácticas”.ed. Universidad de Alcalá, 2004.
1
DIVISORES DE BANDA ANCHA CON LINEAS DE TRANSMISION
Juan Alcoceba Venegas Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen. En este documento estudiaremos un divisor de potencia con líneas de transmisión λ⁄4 al que le hemos aplicado un transformador binómico para seleccionar el ancho de banda de uso. También estudiaremos como afecta la cantidad de secciones de líneas de transmisión al dicho ancho de banda y las impedancias características que deben tener dichas líneas para obtener la respuesta deseada.
I. INTRODUCCIÓN
Por definición un divisor es una red de tres o más puertas que permite repartir la potencia de la señal incidente por una de las puertas entre las otras puertas siguiendo una determinada proporción. En nuestro caso estudiaremos un divisor de tres puertas y observaremos de que depende dicho reparto para así conseguir optimizar nuestro divisor.
Fig. 1. Esquema del divisor de banda ancha con transformador
binómico de N secciones.
II. DESARROLLO
Para una mejor comprensión dividiremos nuestro estudio en dos partes, una en la que estudiaremos la parte encargada de dividir la potencia que seria el divisor en si y otra parte que se encargara de adaptar las impedancias y el ancho de banda de nuestro divisor mediante un transformador que puede ser binómico o de Chebychev.
II.1 Divisor
Como ya hemos mencionado el divisor reparte la potencia entrante por una puerta entre el resto de puertas, nosotros tomaremos un divisor de tres puertas 1:2, una puerta de entrada (1) y dos puertas de salida (2 y 3) como el que muestra la figura siguiente.
Fig. 2. Esquema del divisor de potencia.
Podemos poner la relación entre la potencia saliente por la puerta P2 y la potencia saliente por la puerta P3 como:
32 2 PKP ⋅= Ec. 1
Donde K es una cte. que nos da la proporcionalidad de potencia entre P2 y P3. Si tomamos el circuito sin perdidas tendremos la ecuación:
321 PPP += Ec. 2
Despejando de las ecuaciones 1 y 2 obtenemos las relaciones de la potencia saliente respecto a la potencia entrante y a la cte. de proporcionalidad:
2
2
112
KKPP
+⋅
= Ec. 3
2113K
PP+
= Ec. 4
Si además tenemos en cuenta las relaciones:
1
212
INLZVP = Ec. 5
2
213
INLZVP = Ec. 6
Teniendo en cuenta la ecuación 1 podemos hallar la relación de las impedancias de entrada a las líneas respecto de a la cte. K:
2
22
1 INLINL ZKZ =⋅ Ec. 7
Podemos hallar las impedancias características de cada una de las líneas de transmisión de las puertas de salida con las formulas:
KZKZCP
02
21 ⋅+
= Ec. 8
02
3 1 ZKZCP ⋅+= Ec. 9
En nuestro caso como tomaremos un divisor equilibrado, es decir K=1, obtendremos:
2032 ⋅== ZZZ CPCP Ec. 10
Simulando dicho divisor en MMICAD obtenemos las siguiente grafica donde se puede observar tanto la representación del aislamiento (S23) que es máximo a nuestra frecuencia deseada como la potencia de salida por cada puerta (S21 y S31), estos dos últimos están superpuestos debido a que al ser K=1 se reparte por igual la potencia entrante.
Fig. 3. Representación de los parámetros S21 S31 y S23 del divisor.
II.2 Trasformador binómico
En nuestro estudio el transformador binómico será el encargado de adaptar las impedancias y el ancho de banda de nuestro divisor, dicho transformador proporciona una característica de máxima planicidad del coeficiente de reflexión en la banda de paso alrededor de las frecuencias de diseño. Si utilizáramos el transformador de Chebychev en lugar de una respuesta máximamente plana obtendríamos un rizado entorno a la frecuencia deseada.
II.2.1 Adaptación de impedancias
La adaptación se realiza con líneas de transmisión de longitud λ⁄4 y la cantidad de dichas líneas es directamente proporcional al aumento del ancho de banda y a la planicidad del coeficiente de reflexión entorno a la frecuencia de diseño. Para calcular la longitud de los tramos λ⁄4 usaremos la formula:
44 ⋅==
fvd λ
Ec. 11
Para calcular las impedancias características de las líneas de transmisión debemos calcular antes los coeficientes de reflexión de las discontinuidades, para lo cual utilizaremos la siguiente formula:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅Γ=Γ −
iNN
Li 2 Ec. 12
Donde N es el número de secciones de longitud λ⁄4 utilizadas. También debemos tener en cuenta que el coeficiente de reflexión LΓ es:
0
0
ZZZZ
L
LL +
−=Γ Ec. 13
Una vez obtenidos los valores de los coeficientes de reflexión de las discontinuidades obtendremos las impedancias características de las líneas con las siguientes formulas:
N
NLN ZZ
Γ+Γ−
=11
Ec. 14
1
11 1
1
−
−− Γ+
Γ−=
N
NNN ZZ Ec. 15
Estos resultados constituyen una solución aproximada al problema de adaptación con transformadores λ⁄4 de múltiples secciones ya que se ha e utilizado una expresión aproximada de INΓ resultado de aplicar la teoría de
pequeñas reflexiones, debido a esto el valor de 0Z obtenido no coincidirá con el dato de partida. Puede obtenerse un método de calculo mas consistente con los datos de partida ( 0Z y LZ ), teniendo en cuenta que Nii ,..,1,0,1 =<<Γ ,
los valores de iΓ pueden aproximarse como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈
+−
=Γ +
+
+
i
i
ii
iii Z
ZZZZZ 1
1
1 ln21
Ec. 16
Donde hemos aplicado la aproximación:
1)1(2)ln(
+−⋅
=x
xx Ec. 17
Sustituyendo los valores de iΓ y posteriormente el de
LΓ en la (Ec. 16) obtenemos:
3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+−
⋅=Γ −
iN
ZZZZ N
L
Li 222
0
0 Ec. 18
Aplicando de nuevo la aproximación (Ec. 17):
NiZZ
iN LN
i ,.,2,1,ln220
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈Γ − Ec. 19
Combinando la (Ec. 16) y la (Ec. 19) obtenemos:
NiZZ
iN
ZZ LN
i
i ,.,2,1,ln2ln0
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+ Ec. 20
Esta expresión también se trata de una pero esta es mas exacta que la anterior, si necesitáramos obtener los valores exactos deberíamos aplicar las ecuaciones de las líneas de transmisión que constituyen las distintas secciones del transformador.
II.2.2 Ancho de banda de adaptación
Como se puede observar de la siguiente expresión el ancho de banda de adaptación depende del número de secciones.
∑=
−⋅Γ=ΓN
i
ijiIN e
0
2θ Ec. 21
Estudiando la ecuación anterior también nos damos cuenta de que la función INΓ es una función periódica de
periodo πθ = , por lo que también son periódicas y de mismo periodo las impedancias de cada tramo de línea.
Si M
Γ es el valor máximo tolerable del coeficiente de
reflexión a la entrada y dMM βθ = es la longitud eléctrica
de las secciones a la frecuencia Mf a la que MIN Γ=Γ ,
ambos valores están relacionados mediante la expresión:
( )( )NM
NM
A θcos2 ⋅⋅=Γ Ec. 22
Tomando:
LNA Γ⋅= −2 Ec. 23
Y despejando Mθ obtenemos:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ
Γ=
N
L
MM
1
arccosθ Ec. 24
Y podemos calcular el ancho de banda relativo de la adaptación como:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ
Γ−=
Δ N
L
M
ff
1
0
arccos42π
Ec. 25
Aplicando de nuevo la aproximación:
LL
LL
ZRZR
ZR
Γ=+−
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22ln
0
0
0
Ec. 26
Expresamos el ancho de banda relativo como:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ−≈
Δ
N
L
M
ZRf
f
1
0
0 ln
2arccos42
π Ec. 27
Representando [Ec. 25] obtenemos la siguiente grafica:
Fig. 4. Ancho de banda relativo del transformador binómico para N
secciones. [2]
De la grafica anterior o con las expresiones anteriores
conociendo el ancho de banda y la relación L
MΓ
Γ que
deseamos podemos obtener el número de secciones necesarias para realizar el transformador binómico con las respuestas deseadas.
II.4 Ejemplo
Dado un divisor de potencia 1:2 de valor K=1 e impedancia Ω== 500 LZZ con transformadores binómicos de 3 segmentos para adaptar las impedancias. Si el valor máximo del modulo del coeficiente de reflexión a la entrada de dicho transformador es 0.05. Calcular los coeficientes de reflexión, las impedancias características de cada tramo de línea y el ancho de banda relativo de la red de adaptación.
4
Debido a que K=1 la potencia se reparte por igual entre ambas puertas, en nuestro caso como vamos a adaptar la entrada mediante un transformador binómico no es necesario adaptar las puertas de salida son la líneas de transmisión por lo que:
Ω=== 50032 ZZZ CPCP
Ahora calcularemos los coeficientes de reflexión de las líneas de transmisión que forman el transformador binómico teniendo en cuenta que a la salida de dicho transformador se
debe ver una impedancia de 20Z a la que llamaremos LZ .
31
50255025
0
0 −=+−
=+−
=ΓZZZZ
L
LL
241
818
124
1
2
3
2
1
0
−=Γ
−=Γ
−=Γ
−=Γ
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅Γ=Γ −
iNN
Li
Y con estos coeficientes obtenemos las impedancias características de las líneas de transmisión con la formula:
Ω=Ω=Ω=Ω=
→Γ+Γ−
=−
−−
8262.489201.449379.341739.27
11
0
1
2
3
1
11
ZZZZ
ZZN
NNN
Como se puede observar el valor de 0Z no es el que queríamos, así que utilizaremos la siguiente formula para optimizar dichas impedancias donde Ω= 500Z :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
0
1 ln2lnZZ
iN
ZZ LN
i
i
Ω=Ω=
3564.358502.45
2
1
ZZ
Ω=Ω=
0016.252643.273
LZZ
Observamos que con esta optimización si tenemos los valores deseados de 0Z y LZ .
Para calcular el ancho de banda relativo de la red de adaptación aplicamos la siguiente formula:
7132.0arccos42
1
0
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ
Γ−=
Δ N
L
M
ff
π
Simulando el ejercicio anterior en MMICAD obtenemos las siguientes graficas.
Fig. 5. Representación del modulo del coeficiente de reflexión.
En la anterior figura se puede observar que el ancho de banda es de unos 0.8 GHz, que la respuesta es máximamente plana entorno a la frecuencia deseada y que esta respuesta se repite periódicamente a múltiplos impares de 1 GHz.
También se observa que el modulo del coeficiente de reflexión es máximo a múltiplos pares de 1 GHz.
Fig. 6. Representación del modulo del coeficiente de reflexión.
En la figura anterior se puede apreciar como el transformador ha incrementado el ancho de banda relativo.
III. CONCLUSIONES
En este estudio hemos podido observar como dependen tanto las impedancias como la potencia de la constante de proporcionalidad K. También hemos comprobado como aumenta el ancho de banda cuantas mas secciones de líneas de transmisión tenga el transformador binómico y la simetría de los coeficientes reflexión en dicho transformador.
IV. REFERENCIAS [1] P.L. López Espí, J. Alpuente Hermosilla y otros, “Líneas de
Transmisión y Redes de Adaptación en Circuitos de Microondas”, Alcalá de Henares, Madrid, España: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alcalá, 2001.
[2] P.L. López Espí, Adaptación de banda ancha con transformadores, Alcalá de Henares, Madrid, España, http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mt/apuntes/banda_ancha.pdf
1
DIVISORES RESISTIVOS Enrique González Maceiras
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Un divisor resistivo es un circuito formado por elementos pasivos, resistencias, que permite un reparto ecuánime entre cada una de sus puertas de salida de la potencia introducida a la entrada. Como veremos a lo largo de la siguiente exposición, este circuito tiene una serie de limitaciones. El modelo teórico para el circuito ideal ya tiene sus inconvenientes (consumo de potencia), y el real no hace si no agravar estos, introduciendo las limitaciones propias de todo componente real, comportamiento no ideal de los elementos resistivos (efectos parásitos), discontinuidades, etc.
I. INTRODUCCIÓN
El divisor resistivo es una red reciproca, ya que es pasiva, solo contiene materiales isótropos que influyan en la señal transmitida. Todos los divisores y combinadores son redes reciprocas, con lo que jiij SS = , es decir, la matriz de
parámetros S es igual a su transpuesta. Una propiedad fundamental de este tipo de redes es que no pueden ser simultáneamente reciprocas, libres de perdidas y adaptadas. En nuestro caso presentamos una red adaptada, por lo que necesariamente no podrá estar libre de pérdidas. Una red con pérdidas es una en la cual la suma de las potencias incidentes en todos los puertos es mayor que la suma de las potencias de salida en todos los puertos. Por lo tanto disipa potencia.
En este caso∑ ∑⟩22
nn ba , y por consiguiente
( ) ( ) ( ) 01 * ⟩⋅− SS .
A continuación se presenta un divisor resistivo genérico:
Fig. 1. Divisor resistivo de N puertas.
El comportamiento de todo circuito de microondas queda
definido por la matriz de parámetros S. Como sabemos, un divisor resistivo se caracteriza por repartir la potencia que se le inyecta por la entrada de forma equitativa a costa de introducir pérdidas debidas a los elementos resistivos. Además, y como hemos explicado, el circuito esta adaptado, por lo que la diagonal principal serán todo 0’s. Debido a todo esto, es fácil suponer que un divisor resistivo genérico con N puertas tendrá una matriz de parámetros S ideal de la siguiente forma:
[ ] ( )
⋅=
0111
1011
1101
1110
0
L
MOMMM
L
L
L
NfS Z Ec. 1
Como se observa, la matriz esta compuesta por todo
“1´s” excepto la diagonal principal, todo “0´s”. Esta diagonal representa una ganancia de retorno nula, o lo que es lo mismo, unas pérdidas de retorno infinita, debido a la idealidad de la red y la adaptación de la misma no hay onda reflejada. Los 1´s del resto de la matriz nos informan del reparto equitativo de potencia,, y el término que multiplica la matriz, f(N) de la fracción de potencia que pasa a cada puerta, dependiendo dicha fracción del número de puertas. Debido al consumo de potencia que existe en las resistencias, no toda la potencia inyectada a la entrada se reparte por las salidas, y la suma de los cuadrados de los términos de cada fila o columna (que es la suma de las porciones de potencia que se reparten por cada puerta de salida) no dará como resultado la unidad. Por tanto el valor de f(N) en cualquier caso será menor que 11 −N , valor
que representaría un reparto igualitario sin pérdidas por todas las salidas. Más adelante obtendremos dicho valor. Otro dato a destacar es que todos los 0≠= jiij SS , lo que
nos advierte de que las puertas no están aisladas entre si, y al ser iguales todas, será totalmente indiferente la puerta que cojamos como entrada.
II. DESARROLLO
En una unión T, existe un reparto de potencias sin pérdidas, pero con uno de los puertos desadaptados. En el
2
divisor resistivo agregamos elementos resistivos que consiguen la adaptación a costa de las pérdidas que introducen. A continuación vamos a comprobar como se calcula dicha resistencia y como afecta a la matriz de parámetros S que caracteriza este circuito de microondas.
II.1Condición de adaptación
Para hallar el valor de las resistencias que posibilitan la adaptación en el circuito, cargaremos cada rama con la impedancia característica 0Z . Debemos conseguir que se
cumpla la siguiente condición para que no haya reflexiones a la entrada ( 011 =S ):
( ) 032 |||||| ZZZZRZ Nin =+= L Ec.1
Siendo Zi la impedancia que presenta cada rama, y que
en nuestro caso será la suma de la impedancia que conectemos a la salida de cada rama, 0Z , y la resistencia R
que queremos averiguar. Resolviendo dicha ecuación logramos la adaptación en el divisor de N puertas y R tomará el valor [1]:
( )N
ZNR 02−
= Ec.2
Por tanto tendremos que:
( ) ( )N
ZNZ
N
ZNZZZ N
00
032
22.2 −=+
−==== L Ec.3
La impedancia a la entrada de la puerta 1 será la
siguiente:
( ) ( ) 032
0 ||||||2
ZZZZN
ZNZ Nin =+
−= L Ec.4
Al existir una impedancia de entrada igual a la impedancia característica, conseguimos la adaptación del circuito, y que teóricamente no se produzca onda reflejada por desadaptación. Esta adaptación se produce en todas y cada una de las N puertas del divisor resistivo, es decir, la Ec.4 se cumple en todas y cada una de las N puertas, ya que la resistencia R es la misma, y estamos cerrando cada puerta con la misma impedancia de carga
0Z .
II.2Cálculo de matriz de parámetros S Como existe adaptación en todas las puertas del circuito, tenemos que 0=iiS , o lo que es lo mismo, no
existe onda reflejada y por tanto las pérdidas de retorno son infinito.
Por otro lado tenemos que:
( ) 1
00
0
1 .2
.2.2
.2
VN
N
ZN
N
ZN
Z
VV =−
+⋅= Ec.5
Para obtener Vi, y conseguir el valor de los ijS tenemos
que resolver la siguiente ecuación:
( ) =−
=−+
⋅==== VN
N
N
ZNZ
ZVVVV N .
2.2.2 00
032 L
112.
1
1.
22
.2V
NV
NN
N
−=
−= Ec.6
Como resultado final tenemos que la matriz de parámetros S quedará:
[ ]
⋅−
=
0111
1011
1101
1110
1
10
L
MOMMM
L
L
L
NS Z Ec.7
Como vemos, es conveniente evitar la utilización de esta
red con un alto número de puertas, ya que a medida que aumenta dicho número se consume mayor potencia en las resistencias propias del divisor.
A partir de la matriz de parámetro S de la Ec.7, es fácil deducir las pérdidas de inserción que introduce el divisor resistivo. Vienen dadas por la siguiente ecuación [2]:
( )
−−=
2Re_1
1log.10
NL sistivoDivisor Ec.8
Las pérdidas de inserción y la potencia disipada en el
divisor resistivo, según el número de puertas es el siguiente:
Nº Puertas (N)
Pérdidas Inserción Divisor Resistivo
(dB)
Potencia disipada en Divisor Resistivo
(%) 3 6.02 50% 4 9.54 66.7% 5 12.04 75%
En la simulación con MMICAD, considerando los
circuitos de 3, 4 y 5 puertas, con resistencias 16.66..6, 25 y 30Ω respectivamente, cumpliendo la condición de
3
adaptación (Ec.2) obtenemos unos resultados de 121 iSS =
para cualquier valor de i:
Fig. 2. Representación del parámetro
21S en dB respecto de la
frecuencia en MHz.
Los valores del parámetro 21S que obtenemos de
MMCAD son los siguientes: ! Freq DB[S21] DB[S21] DB[S21] (MHz) N=3 N=4 N=5 100.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 110.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 120.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 … … … … 2990.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 3000.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412
Con lo que comprobamos que se cumple la ecuación en
un circuito ideal perfectamente adaptado. Ahora vamos a observar el nulo aislamiento entre
puertas, viendo los valores que nos da MMCAD para cualquier ijS . Tomaremos como muestra 23S , pero en
realidad se cumple para todos, incluso 21S :
Fig. 3. Representación del parámetro 23S en dB respecto de la
frecuencia en MHz Los valores reportados por MMCAD son los siguientes: ! Freq DB[S23] DB[S23] DB[S23] (MHz) N=3 N=4 N=5 100.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 110.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 120.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 … … … … 2990.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412 3000.000 -6.02060 -9.54243 -12.0412
En cuanto a 11S , que coincidirá en valor con todos los
iiS y nos da idea de las pérdidas de retorno, obtenemos unos
resultados:
Fig. 4. Representación del parámetro
11S en dB respecto de la
frecuencia en MHz.
Numéricamente MMCAD da los siguientes valores:
! Freq DB[S11] DB[S11] DB[11] (MHz) N=3 N=4 N=5 100.000 -200.000 -200.000 -200.000 110.000 -200.000 -200.000 -200.000 120.000 -200.000 -200.000 -200.000 … … … … 2990.000 -200.000 -200.000 -200.000 3000.000 -200.000 -200.000 -200.000
Como vemos, con esos altos valores negativos de 11S , el
circuito esta perfectamente adaptado, no se producen reflexiones.
Como vemos en las simulaciones, los valores se mantienen con la frecuencia, ya que es una red formada por elementos pasivos (resistencias), que por el momento consideramos ideales (no varía su comportamiento con la frecuencia). Por ese motivo no se han incluido simulaciones de la fase de los parámetros, ya que las resistencias no cambian dicha fase. A continuación, veremos que estas condiciones no se dan en un dispositivo real, en el cual aparecen efectos parásitos que hacen que su comportamiento varíe con la frecuencia. En otro orden de cosas, cabe destacar, que los desarrollos teóricos y las simulaciones nos hacen suponer la inconveniencia de realizar divisores resistivos con un número elevado de puertas, ya que la potencia disipada dentro del mismo circuito aumenta de manera exponencial con N.
II.3 Efectos parásitos
Con altas frecuencias se complica enormemente la implementación de elementos concentrados, es decir, elementos que presentan un comportamiento puramente resistivo, capacitivo o inductivo, porque para ello se requiere que las dimensiones del circuito sean mucho menores que la longitud de onda a la frecuencia de trabajo (l<λ/10).
En el caso particular de los divisores resistivos, hablamos principalmente de circuitos híbridos para coaxial, que se fabrican con un número de 3, 4, 5, 6, 7 e incluso 10 puertas (p.ej DA-DE Series de microlab [3]). Estos circuitos trabajan aceptablemente a frecuencias inferiores a 1.5 GHz. En este
4
rango de frecuencias, el efecto parásito predominante, que aparece en todas las resistencias de película (componente de este tipo de circuitos), es el de una capacidad en paralelo con las resistencias típicas del divisor resistivo. La simulación con MMICAD nos aclarará hasta que punto es nocivo este efecto, y hasta que punto es asumible. Para la simulación utilizaremos un divisor resistivo de 3 puertas, con resistencias de 16.66..6Ω (cumpliendo la condición de adaptación) y una capacidad parásita supuesta de 4.7 pF. Hay que tener en cuenta que se trata de una simulación, para aclararnos como puede afectar dicho efecto nocivo, ya que en la realidad, este efecto parásito variará con la frecuencia y dependerá de la calidad de los componentes que utilicemos. Gráficamente el circuito quedaría así:
Fig. 5. Divisor resistivo de 3 puertas con efecto parásito.
La simulación en MMICAD nos brinda los siguientes
resultados:
Fig. 6. Representación del parámetro
21S y 11S en dB con la
frecuencia en MHz.
Los valores a 500, 1000 y 1500 MHz son los siguientes: ! Freq DB[S11] DB[S21] ! (MHz) DIVRESR DIVRESR 500.000 -24.3648 -5.91072 1000.000 -18.7535 -5.63332 1500.000 -15.8382 -5.29257 Como vemos en las gráficas, a bajas frecuencias el
comportamiento del circuito es muy similar al ideal. A medida que aumentamos la frecuencia de trabajo, las pérdidas de retorno son menores, vemos como crece el valor de la onda reflejada. Las pérdidas de inserción, de las que nos da idea 21S , también disminuyen. Este efecto se
produce, debido a que a medida que aumentamos la frecuencia de trabajo, la impedancia de la capacidad parásita
va asumiendo relevancia, ya que se va aproximando en comportamiento al de un cortocircuito.
En cuanto a la fase, ahora si cambia, ya que tenemos ese efecto parasito que desfasa la señal de entrada. Gráficamente tenemos:
Fig. 6. Representación de la fase de los parámetros
21S y 11S en
grados con la frecuencia en MHz.
Los valores a 500, 1000 y 1500 MHz serán en este caso (en grados):
! Freq ANG[S11] ANG[S21] ! (MHz) DIVRESR DIVRESR 500.000 -100.457 3.36796 1000.000 -110.261 5.94464 1500.000 -118.974 7.46395
Ahora si vemos una variación en la fase, debido al efecto capacitivo parásito que si tenemos en cuenta. Ahora la fase varía con ωC.
III. CONCLUSIONES
A lo largo del capítulo hemos profundizado en las principales características de este circuito, su funcionamiento, sus limitaciones, sus posibles utilidades. Como divisor de potencia, se empleará sobre todo en circuitos con cable coaxial, cumpliendo moderadamente con sus objetivos, ya que en el mejor de los casos, con 3 puertas (2 de salida) se pierde la mitad de la potencia de la señal de entrada, consumida en las resistencias. A medida que aumenta N, el uso del divisor se hace casi inviable, ya que las pérdidas aumentan exponencialmente (con el cuadrado de N), y sería conveniente, buscar otra solución como divisor de potencia. También se puede utilizar como combinador de señal, pero el nulo aislamiento entre las distintas puertas también desaconseja este uso. En cuanto al efecto parásito, es un factor que siempre deberemos tener en cuenta en nuestros diseños, ya que el comportamiento de los componentes dista en mucho del ideal, y también en gran medida del que nos asegura el fabricante, siempre demasiado optimista en las evaluaciones de su producto.
III. REFERENCIAS
[1] Microwave Encyclopedia http://www.microwaves101.com/encyclopedia/resistive_splitters.
[2] Universal Microwave Components Corporation (UMCC) http://www.umcc111.com/Definition-In-Phase-Power-Divider.htm
[3] Aptec Electronics, manuals
http://www.aptecelectronics.com/manuals/FXR-DA-DEseries.pdf
1
DIVISOR WILKINSON Nombre del Autor: Israel de Lucas Fernández
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Divisor Wilkinson. Este documento tiene como finalidad, facilitar al estudiante de microondas toda la información relativa al diseño y desarrollo del divisor Wilkinson.
I. INTRODUCCIÓN
‘Divisor de potencia’ dispositivo que reparte la potencia entre las ramas de salida, a partes iguales si esta equilibrado.
E. J. Wilkinson ideó un circuito resistivo que, introducido en el divisor con líneas, hace que éste quede completamente adaptado.
I.1 Características
Dispositivo con una entrada y múltiples salidas. Circuito con perdidas, pero si las puertas de salida se
cargan con la misma impedancia no disipa potencia. Tiene todas sus puertas adaptadas. El reparto de potencias es equitativo si se carga las
salidas con impedancias iguales. Existe aislamiento entre las puertas de salida. Es un circuito de banda estrecha.
2
λ/4
ZC2
3
λ/4
ZC3
4
λ/4
ZC4
λ/4
ZC1
1
R
R
RZIN
ZL3
ZL4
ZL2
Fig. 1. Divisor Wilkinson con una entrada y tres salidas.
II. DESARROLLO
La matriz de parámetros S de este dispositivo, partiendo de la matriz de dispersión generalizada.
⎭⎬⎫
⋅+⋅=⋅+⋅=
2221212
2121111
aSaSbaSaSb Ec. 1
De la Ec.1 tenemos que:
1
111 a
bS = Y 1
221 a
bS = Ec. 2
De la primera relación de Ec.2 podemos sacar los parámetros S11, S22, S33,… SNN.
OZ
PZ
O
C
ZZ 2
2
O
C
ZZ 2
3
O
C
ZZ 2
4
Fig. 2. Esquema Wilkinson simplificado y adaptando las salidas con la impedancia de referencia.
A partir del circuito de la figura 2, calculando el paralelo, tenemos:
OO
C
O
C
O
CP Z
ZZ
ZZ
ZZZ ==
24
23
22 |||| Ec. 3
Al estar completamente adaptado, los parámetros Sii=0, por el mismo razonamiento, las salidas estarán acopladas entre si, quedando los parámetros característicos entre salidas igualados a cero.
Para calcular la potencia entre las ramas directas
(entrada-salida), nos ayudamos del siguiente circuito:
OZ
O
C
ZZ 2
O
C
ZZ 2
NOZ
4λ
I1 I2
OZ
Fig. 3. Esquema Wilkinson simplificado para calcular los
parámetros de scattering de las ramas directas.
Partiendo de la Ec.1 sacamos el parámetro S21,
1
2
011
022
1
221 V
VZIVZIV
abS =
⋅+⋅−
== Ec. 4
+−+−++ −=⋅=⋅= INdj
INd
INL jVeVeVV βγ Ec. 5
−+ += LLL VVV Ec. 6
Con la Ec. 5 y Ec.6 sacamos:
( )( )CLL ZVV Γ+= + 1 Ec. 7
y
( )( )CINININ ZVV Γ+= + 1 Ec. 8
2
El coeficiente de reflexión en la carga, es:
( )NN
NZZNZZ
ZZZZ
ZC
CCL
+−
=+
−=
+−
=Γ11
00
00
0
0 Ec. 9
Y el coeficiente de reflexión a la entrada con respecto al coeficiente en la salida, queda:
( ) ( ) ( )NNZeZZ CL
djCLCIN
++−
=Γ−=⋅Γ=Γ −
112 β Ec. 10
Partiendo de la Ec. 2 y sustituyendo en ella las expresiones de las ecuaciones Ec. 7 y Ec. 8 y las anteriores de los coeficientes:
( )( )( )( )
Nj
NNV
NNjV
ZVZV
VV
VVS
IN
IN
CININ
CLL
IN
L
1
111
111
11
1
221
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+−
=
=Γ+Γ+
===
+
+
+
+
Ec. 11
Quedando los parámetros de scattering para las ramas directas de
Nj
− .
Montando la matriz de parámetros S, de este dispositivo,
nos queda:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
0001000100011110
Nj
.......
. . . .S[Zo]=
Fig. 4. Matriz de parámetros S del divisor de potencia
Wilkinson 1:N.
II.1 Condición de adaptación.
Si el número de puertas de salida es igual a dos, es decir que estamos ante el divisor Wilkinson básico, las condiciones de adaptación son:
Si K≠ 1 habrá que adaptar las salidas mediante sendos transformadores 4λ , siendo las impedancias características de las líneas de:
KZZC ⋅= 02 Ec. 12
KZZ C /03 = Ec. 13
Si K= 1, no necesitamos los transformadores, solo es necesario cumplir las siguientes condiciones de adaptación:
22
3 PKP ⋅= Ec. 14
32
2 CC ZKZ ⋅= Ec. 15
3
2
31
KKZZ OC
+= Ec. 16
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
KKZR O
12 Ec. 17
Donde K indica la parte de potencia que se distribuye a cada puerta de salida.
Si el número de puertas de salida es mayor a dos y K=1,
las condiciones de adaptación a cumplir, serán:
NZZZZ OCNCC ⋅=== 32 Ec. 18
OZR = Ec. 19
OLLlIN ZZZZZ ==== 432 Ec. 20
II.2 Ancho de banda.
Como podremos ver unos puntos mas adelante, en las simulaciones, el divisor de potencia Wilkinson es un dispositivo de banda estrecha, ya que puede ser utilizado en un margen estrecho de frecuencias, pudiendo aumentar dicho ancho de banda colocando varias secciones.
II.3 Tabla de fabricante.
La siguiente tabla, nos muestra unas características estimadas por un fabricante de divisores Wilkinson, este caso es de un divisor Wilkinson de 4 salidas y conectores tipo SMA. (ref. http://www.trilithic.com).
Mod. WPD-50/4 SMA
Si a partir de las características del fabricante, queremos
calcular los parámetros S, se podría hacer de la siguiente manera:
Primero con la ROE (VSWR) calculamos el parámetro
S11:
11
11 +−
=ROEROES Ec. 21
Después podemos calcular el parámetro correspondiente a una rama directa, S21:
221log10 SLI ⋅−= Ec. 22
máxLway
L II +⋅−=1log10 Ec. 23
Frec (GHz)
LI Máx(dB) VSWR I(dB) Imp
(Ω)
4-way 0.8-2.5 1.0 1.40:1 25 50
3
Despejando S21 de Ec.22:
10221 10
LI
S−
= Ec. 24
II.4 Simulaciones.
Para las simulaciones de este dispositivo, vamos a usar el software MMICAD.
Las simulaciones las haremos en línea microstrip con una constante dieléctrica ( εr ) de 4.5 y una tangente de perdidas del material( tanδ ) de 0.03.
Mediante el software PCAAD calculamos la εreff y el ancho de la línea. (εreff=3.446 y W=3mm).
La simulación del divisor se realizara a la frecuencia de 500MHz, por lo que para saber la longitud de las líneas microstrip, hay que seguir el siguiente procedimiento:
reffελ
fc
= Ec. 25
4λ
=d Ec. 26
Calculando la longitud de cada línea y metiendo todos los datos en el MMICAD, tenemos:
El parámetro que nos da las pérdidas de reflexión S11:
Fig. 5. Simulación del parámetro de reflexión del Wilkinson
1:N.
Como vemos en la figura 5, el divisor se comporta muy bien a la frecuencia de diseño, ya que tiene una atenuación por reflexión muy grande. A medida que nos alejamos de dicha frecuencia de diseño, el dispositivo se comporta mal.
El parámetro que nos dice el aislamiento entre salidas
S23,S34:
Fig. 6. Simulación del parámetro de aislamiento del Wilkinson
1:N.
Este parámetro nos indica como se comportan entre si las salidas, y como podemos ver en la grafica anterior las salidas están totalmente aisladas entre si, con una atenuación de unos 42dB.
El parámetro que nos dice las pérdidas de inserción S21:
Fig. 7. Simulación de las pérdidas de inserción del Wilkinson 1:N. Las pérdidas de inserción nos indica que potencia de la
que inyectamos en la salida se va a disipar en el circuito. Por tanto este dispositivo es muy bueno respecto a pérdidas de inserción.
Para ver la distribución de potencia a cada puerta de
salida lo podemos ver en la siguiente figura:
Fig. 8. Simulación de la distribución de potencia entre las
salidas.
Como resumen a todas las figuras, podemos resaltar que el divisor Wilkinson es un dispositivo de banda estrecha, ya que según vamos aumentando en frecuencia el circuito se va degradando, perdiendo todas sus características.
III. CONCLUSIONES.
En este documento vemos como se comporta el divisor wilkinson con N ramas de salida. En las simulaciones hemos visto como un divisor wilkinson realizado con líneas microstrip esta limitado a trabajar en frecuencias bajas y a una banda estrecha.
IV. REFERENCIAS. [1] R.Sánchez Montero, P.L.López Espí, J.Alpuente Hermosilla
“Microondas prácticas”,Ed 2004. [2] Apuntes microondas de la Universidad politécnica de Alcalá de
Henares. [3] D.M. Pozar, “Microwave engineering”, 2nd edition, 1998 John-Wiley
& Sons. [4] Apuntes del departamento de teoría de la señal de la universidad de
Sevilla. [5] Dispositivos de microondas que están en el mercado en la pagina Web
http://www.trilithic.com
1
DIVISOR WILKINSON María Carvajal Galán
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se pretende explicar el funcionamiento de un divisor Wilkinson equilibrado, desde que fue inventado, sus posteriores mejoras y la simulación de un Wilkinson equilibrado de tres salidas.
I. INTRODUCCIÓN
El primer divisor mejorado fue diseñado por Ernest J.Wilkinson, el circuito original era de tipo 1:N equilibrado basado en un divisor con líneas que incorporaba un elemento resistivo que puenteaba las salidas. Este divisor estaba construido con cable coaxial, y Wilkinson lo llamó “An improved N-way power divider” ó "An N-way Hybrid Power Divider".
Fig.1. En esta figura se muestran. dos de los divisores de potencia que mas comúnmente se han usado.
En la figura 1 (b) se usa simetría circular, donde todos los terminales están conectados al conductor central de cable coaxial, y las cargas están conectadas por medio de un transformador lamda cuartos. Para proporcionar aislamiento entre los terminales de salida, los cruces en forma de T de la figura 1 (a) han de ser remplazados por cruces híbridos. Además de coste y complejidad de proveer de un número separado, casi idéntico, de híbridos, la estructura de alimentación tiene la limitación de proveer de un solo número binario de salidas. Si son requeridas 9 salidas, por ejemplo, un divisor 16a1 debe ser usado con 7/16 de potencia de salida disipada en cargas iguales. Por otra parte la figura 1b, a causa de su simetría circular, provee cualquier número de salidas. Es, de todas formas, la desventaja mas seria el no tener aislamiento entre salidas, y que los terminales de salida están mal conectados porque todas las cargas aparecen en
paralelo a través de un terminal de salida. Posteriormente Wilkinson describe un mecanismo que tiene la simetría circular de la figura 1b, de manera que mantiene fase y amplitudes iguales entre cualquier numero de salidas, independientemente de la frecuencia, pero que provee de aislamiento y conecta las salidas. El divisor de potencia presentado en la figura 2 consiste en una línea coaxial en la cual el conductor hueco interior ha sido dividido en n ejes de longitud λ/4 .Un corto plato conecta los ejes a la entrada, y las resistencias están colocadas de manera radial entre cada eje en el final de la salida y en un cruce común.
Fig.2. En esta figura se muestra el divisor mejorado diseñado por Wilkinson. Cuando una señal se introduce en el divisor de potencia, es dividida en virtud de su simetría en n equifases de amplitud equivalente. No se disipa potencia en las resistencias cuando se conectan cargas a las salidas, ya que todos los ejes estarán conectados con el mismo potencial. Aun así, si ocurre una reflexión en uno de los terminales de salida, la señal reflejada se dividirá; parte de ella viajara directamente a los restantes terminales a través de las resistencias, y el resto viaja de nuevo hacia la entrada, dividiéndose de nuevo en el cruce de los ejes y retornando al resto de los terminales salientes. De este modo la onda reflejada llega a los restantes terminales de salida en dos partes, y la diferencia de longitud de trayectoria entre dos trayectorias de viaje es de 180º mientras los ejes son de λ/4 de longitud. Esto se aprecia cuando el valor de las resistencias y la impedancia característica de las líneas de transmisión del eje están apropiadamente escogidas, de forma que las dos partes de la onda reflejada son iguales en amplitud; por ello tiene lugar la cancelación completa.
2
Fig.3. Aquí se muestra el circuito interno del divisor Wilkinson
Refiriéndonos ala figura 3, si se aplica un voltaje v al terminal de salida 1 por un generador de resistencia interna Ro, entonces el voltaje Vn que aparece en otros terminales de salida debe ser igual a causa de la simetría. Siendo aplicables las ecuaciones de transmisión lineal cuando cada línea de transmisión del es un cuarto de la longitud de onda (θ=Π/2). De este modo, si la carga interna R y la impedancia característica de las líneas de transmisión se ajustan de acuerdo con Zo= Ro √n , las salidas estarán completamente aisladas y conectadas. La impedancia de entrada bajo estas condiciones estará en combinación paralela con las n cargas de salida Ro, después de que cada una haya sido transformada a través de un cuarto de longitud de onda con Zo; [1]
II. DESCRIPCIÓN Y ESQUEMA
Este montaje está hecho para un reparto equilibrado (misma potencia a todas las salidas). Al ser un circuito pasivo, recíproco y con pérdidas se consiguen dos ventajas fundamentales con respecto al divisor con líneas:
• Tiene las salidas aisladas entre si • El divisor está completamente adaptado
Fig.4. Esquema del divisor Wilkinson equilibrado La primera línea de impedancia característica ZC1 no sirve para adaptar, sino para alejar el plano de acceso. Se puede llegar a la conclusión del valor de las ZC2 y ZC3
fácilmente, ya que al ser las líneas transformadores λg/4 ZC= √Zl2*ZC1 En el caso del divisor Wilkinson equilibrado ,en el que el reparto de potencias tiene que ser equitativo, los valores que deben tomar las impedancias son los mostrados en el recuadro superior. [2]
III. ADAPTACIÓN
El divisor Wilkinson estará totalmente adaptado si k=1, si esto ocurre, todos los parámetros de la diagonal principal serán igual a cero. ( S11=S22=S33=0). Al intentar hacer que el reparto fuera desequilibrado, se quiso mantener sobre todo el aislamiento entre salidas, aunque se sacrificara la adaptación.
Fig.5. Representación de los parámetro S11,S22 Y S33 del Wilkinson
equilibrado En la grafica de la figura 5 se puede observar que solo para k=1 el divisor está adaptado.
3
Fig.6. En esta gráfica se representan los parámetros S21, S31 y S23 de un divisor Wilkinson básico.
En la gráfica de la figura 6 se puede observar que el aislamiento es siempre cero, independientemente del valor que tome k, sin embargo solo coincide con el reparto de potencia cuando k=1. [2]
IV. ANCHO DE BANDA
En el divisor Wilkinson equilibrado k=1 se consigue un aislamiento perfecto y esta completamente adaptado a la frecuencia de diseño, con lo que es un dispositivo de banda estrecha, en cuanto nos separamos de la frecuencia de diseño se desadapta. Cabe destacar que el divisor Wilkinson es más sensible a parásitos de adaptación que a los parámetros de transferencia, para medir la frecuencia de diseño habrá que fijarse especialmente en el aislamiento entre salidas. [2]
V. SIMULACIONES
Se va a simular un divisor Wilkinson equilibrado con 3 salidas a 500 MHz. Como se trata de un Wilkinson equilibrado el reparto de potencias tiene que ser equitativo, así pues la potencia en cada salida será 1/3 de la potencia a la entrada. Las impedancias características serán las mismas para los tres tramos de línea de cada salida, cuyo valor, junto con la anchura y longitud de cada tramo de línea, se muestra a continuación:
mmlmmW
ZZZZ
i
i
ccc
116.840062.1
60.8630432
==
Ω≈=== Ec. 1
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
º2.179º247.0º8.177º95.178
º247.0º69.179º869.0º97.178
º8.177º869.0º73.179º02.179
º95.178º97.178º02.179º018.17
50
0835.0171.00765.0548.0171.0331.0171.0548.00765.0171.00834.0548.0548.0548.0548.00163.0
S
Tras la simulación, se obtienen las siguientes gráficas:
Fig.7. Representación de los parámetros 11S , 23S y 34S .
Fig.8. Representación en dB, de los parámetros 21S , 31S y 41S .
En la gráfica de la figura 7 se representa el
coeficiente de reflexión a la entrada, la potencia que va de la puerta 3 a la 2 y la potencia de la puerta 4 a la puerta 3. Este reparto de potencias coincide, es decir, la misma fracción de potencia va de la puerta 3 a la 2, que de la 4 a la 3.
4
Para finalizar, en la gráfica de la figura 8 se representan tres curvas que coinciden punto a punto con la frecuencia. Cada curva representa la potencia que va de la entrada a cada una de las tres salidas, como las curvas coinciden, la potencia se reparte de igual forma de la entrada a cada una de las salidas. Estamos ante un divisor equilibrado.
Del mismo modo, el acoplamiento de potencia es bastante bajo, por lo que este circuito también permite una correcta transferencia de potencia.
Puesto que se diseñó el circuito desde el principio para que funcionase perfectamente para una frecuencia de 500MHz, es para ésta para la que se obtienen los mejores valores en cuanto a todo: adaptación, transmisión de potencia, acoplamiento…
VI. CONCLUSIONES
De todo lo expuesto anteriormente cabe destacar en primer lugar que tiene grandes ventajas con respecto al divisor con líneas, por ser pasivo, reciproco y con perdidas se consigue que esté completamente adaptado y que tenga las salidas aisladas entre sí. Otra cuestión a tener en cuenta es que aunque tenga resistencias, el divisor Wilkinson no disipa potencia. El divisor Wilkinson es un dispositivo de banda estrecha. El Wilkinson cuando actúa como divisor tiene pérdidas, lo cual le convierte en buen divisor. No ocurre esto cuando actúa como combinador, pues en este caso tiene 3db de pérdidas y tiene un comportamiento bastante regular. Hay reparto equitativo de potencias entre las puertas de salida si éstas están cargadas con dos impedancias iguales. La matriz S de un Wilkinson a 3db es la siguiente:
De la matriz S expuesta anteriormente se puede deducir:
- Al ser nula la diagonal principal está completamente adaptado.
- Existe aislamiento entre las puertas 2 y 3 ya que los
parámetros S23 y S32 son cero.
- El término 1: √2 significa que es a 3 db.
- Los unos que hay en la matriz nos indican que hay un reparto equitativo de la potencia.
- Por último, el –j muestra que son líneas λg/4
[2]
III. REFERENCIAS [1] Ernest J.Wilkinson “An N-Way Hibrid power divider”, IRE
Transactions on microwave theory and techniques.pp 116-118; January,1960
[2] Pablo Luis López Espí, “Transparencias y apuntes de clase”, Diciembre 2007
1
DIVISOR WILKINSON 1:2 Mario Bodega Prieto
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- En este trabajo llevaré a cabo una caracterización del divisor Wilkinson 1:2, partiendo de las definiciones generales de los divisores y particularizando para el caso del divisor en estudio tanto en su versión de equilibrado como desequilibrado. Analizaré las ecuaciones de diseño en función de la variable K y estudiaremos sus impedancias adecuadas, así como su matriz S característica. Para finalizar añadiré una serie de simulaciones en el programa mmcad.
I. INTRODUCCIÓN
Básicamente un divisor es una red de tres o más puertas en la que se produce un reparto de potencia entre cada una de sus puertas de salida en función de un parámetro de diseño K. En nuestro caso trataremos con divisores de tres puertas que quedan caracterizados por una matriz cuadrada de dimensiones 3x3 y que tienen como características fundamentales el ser recíprocos, con o sin pérdidas y que pueden estas adaptados.
Si nos centramos más en los divisores Wilkinson, debemos decir que su propiedad fundamental es tener las salidas aisladas entre sí gracias a la presencia de una resistencia que une cada una de estas puertas de salida. El valor de esta resistencia esta definido por una serie de ecuaciones que relacionan las impedancias características de las líneas
4λ y el valor de la constante K. Como he
comentado, las puertas de salida están unidas a la de entrada a través de líneas de transmisión de longitud
4λ , lo que
introducirá una fase de -90º en la matriz S.
II. DESARROLLO
II.1 Descripción y esquema Un divisor Wilkinson 1:2 produce un reparto de
potencia entre sus dos salidas de una manera no aleatoria y que quedará determinada por el parámetro K. Estas salidas tienen la propiedad de estar aisladas entre sí y unidas por una resistencia.
El esquema básico es:
Fig. 1. [1]Esquema básico de un divisor Wilkinson.
Como decíamos en la introducción, se trata de un dispositivo pasivo, recíproco, con pérdidas (en el caso de que las puertas 2 y 3 no se carguen con la misma impedancia) y que puede estar adaptado. Cuando los puertos de salida están cargados con las impedancias de diseño (resistencias adecuada) por R no circula corriente por lo que no aparecen pérdidas disipativas en el dispositivo, en cambio, si se termina con otras impedancias, se producirá reflexión de potencia, repartiéndose una parte por la resistencia R y volviendo otra a la puerta de entrada, pero nunca a la otra puerta de salida. Para conseguir adaptación (no se pierde potencia por reflexión) trabajaremos con divisores Wilkinson con transformadores. Estos transformadores se colocaran entre la carga y la línea
4λ y introducirán un nuevo retardo
de -90º. Podemos realizar de nuevo un esquema para aclarar conceptos:
2
Fig. 2. [1] Esquema básico de un divisor Wilkinson con transformadores.
II.2 Condiciones de diseño.
Para llevar a cabo el reparto de potencias debemos tener en cuenta una serie de ecuaciones que relacionan las impedancias (tanto las de las líneas
4λ como las de carga)
y las potencias propiamente dichas. En este apartado realizaremos un estudio matemático de las condiciones que deben cumplir los distintos parámetros para lograr la adaptación y el aislamiento:
23 2P P K= Ec. 1
2
3 0 3
1c
kZ Zk+
= Ec. 2
22 2
2 3 0 3
1c c
kZ k Z k Zk+
= = Ec. 3
2
01kR Z
k+
= Ec. 4
2 0 *LCZ Z K= Ec. 5
L3
0C
ZZ =K
Ec. 6
Estas ecuaciones determinan las impedancias características del divisor ( Ec. 2 y Ec. 3), el valor de la resistencia que debemos colocar para que queden aisladas las puertas de salida (Ec. 4). Y finalmente las impedancias de las secciones
4λ correspondientes al transformador
para que a la entrada de dicho transformador veamos las impedancias adecuadas (Ec. 5 y Ec. 6).
La Ec. 1 nos relaciona las potencias de salida del Wilkinson 1:2. En el siguiente apartado haremos más hincapié en esta ecuación ya que nos será de gran utilidad para definir la condición de equilibrio o desequilibrio del divisor.
II.3 Divisor equilibrado y desequilibrado
Como decíamos en el apartado anterior, la condición de equilibrio esta dada por le Ec. 1 que relaciona las potencias de salida de las dos puertas.
Decimos que un divisor es equilibrado cuando tenga en ambas puertas la misma fracción de potencia. Esto se cumple cuando le asignamos a la variable K el valor 1 quedando las ecuaciones de la siguiente manera:
3 2P P= Ec. 7
3 0 2cZ Z= Ec. 8
2 3 0 2c cZ Z Z= = Ec. 9
0 *2R Z= Ec. 10
2 0LCZ Z= Ec. 11
L3C 0Z =Z Ec. 12
De la misma manera, cuando nos referimos a un divisor desequilibrado, estamos haciendo alusión a aquel divisor que su condición de diseño es distinto a 1, por lo que las potencias presentas en ambas puertas serán distintas, y siendo la suma de ambas igual a la de la puerta de entrada para el caso de adaptación.
II.4 Matriz S en función de K
Este divisor quedará completamente definido con una matriz 3x3. Si nos centramos en el Wilkinson con transformadores, debemos tener en cuenta que el módulo al cuadrado de la matriz S coincide con el reparto nominal de potencias gracias a la adaptación entre la entrada y las salidas, es decir, no aparece una onda reflejada.
Como decimos, la matriz S de un divisor 1:2 tendrá la siguiente forma:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
S S SS S SS S S
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Una vez vista la estructura, nos centraremos en el cálculo de los parámetros:
11 22 33 0S S S= = = Ec. 13
Estos parámetros son los que indican la adaptación, en nuestro caso serán, como veremos mas adelante en la simulación, igual a 0, debido a que cuando cerramos nuestro
3
circuito con las impedancias adecuadas (2 3 0L LL LZ Z Z= = ),
no circula corriente por la resistencia R y las pérdidas por desadaptación son nulas.
23 32 0S S= = Ec. 14
Nuevamente obtenemos 0 en el cálculo de estos parámetros que relacionan ambas puertas de salida, este hecho nos informa de que existe aislamiento entre dichas salidas gracias a la conexión entre ellas por una resistencia R, que en el caso de no existir adaptación (es decir, que no carguemos al circuito con sus impedancias adecuadas) se encargará de absorber parte de la potencia reflejada para que no pase al resto de las puertas salientes.
23 2
2 21 2 3 2 2 2(1 )
P K PP P P P K P K P=
= + = + = +
221 12 2
1
11
PS SP K
= = − = −+
El signo negativo es debido a que si recorremos el camino desde la puerta de entrada hasta la salida en la puerta dos, atravesamos dos líneas de longitud
4λ y como cada
una introduce un desfase de -90º, al final tendremos un desfase de -180º.
De la misma manera podemos calcular el parámetro 31S :
31 2 3 3 32 2
1
23
31 131 1
2
1( 1)
1 1 11 1
PP P P P PK K
P
P KS SP P
K
= + = + = +
+= = − = − = −
+
El signo negativo aparece por el mismo motivo que el caso anterior.
Finalmente podemos poner la matriz S en función del parámetro K como:
2
2
2
2
1 10 11 1
1 0 01
1 0 01 1
KK
SK
K
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
+⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎝ ⎠
II.5 Simulaciones
Para la realización de las simulaciones he hecho uso del programa mmicad. He simulado un circuito divisor Wilkinson para una frecuencia de diseño de valor 1Ghz con transformadores para comprobar que tanto las condiciones de diseño expuestas en el apartado II.2 como los parámetros S se cumplen. Lo acompañaré de unas gráficas en ejes cartesianos:
Fig. 3. Parámetros S11 S22 S33 en función de K.
Fig. 4. Parámetros S23 y S32
Fig. 5 Parámetros S12 S21 S13 S31.
4
Fig. 6 Evolución de las impedancias características y de R
Fig. 7 Evolución de S11, S22, S33 en función de la frecuencia
comprobándose que para f=1GHz, el circuito esta completamente adaptado.
Fig. 8 Evolución de S23, S31, S21 en función de la frecuencia
comprobándose que para f=1GHz, el circuito presenta las puertas de salida completamente aisladas.
Podemos comprobar en las gráficas obtenidas que:
- Los parámetros S11, S22, S33 permanecen constantes y de valor 0 para todo valor de K.
- Las salidas están aisladas por ser S23 y S32 igual a cero, por lo que el valor de R es correcto.
- S12 y S13 varían en función de K hasta llegar a K=1, momento en el cual se comporta como un divisor equilibrado repartiendo la potencia de manera equitativa entre ambas puertas de salida.
III. CONCLUSIONES
El divisor Wilkinson es un circuito divisor de potencia que puede contener dos o más puertas de salida, y esta caracterizado por ser un dispositivo pasivo, reciproco con pérdidas y que puede estar adaptado. Una característica fundamental es la presencia de unas resistencias que unen una a una las puertas de salida.
Para convertirlo en un circuito sin perdidas, deberemos cargar las salidas con unas impedancias que denominamos
como adecuadas de valores 2 0LZ Z K= y 03L
ZZK
= .
Para solucionar los problemas de adaptación le pondremos a la salida de cada puerta unos transformadores de longitud
4λ y con una impedancia característica
definida para que el divisor sigua viendo a su salida las citadas impedancias de diseño.
Otra propiedad de este divisor es tener las salidas aisladas entre sí, de manera que en el caso de tener reflexión de potencia por desadaptación, la potencia no pase de una puerta a otra y sea absorbida por la resistencia de aislamiento.
IV. REFERENCIAS [1] Pablo López Espí, “Dispositivos pasivos recíprocos de tres puertas
(parte 1) rd.UAH, 2007.
1
T EN GUÍA DE ONDA Leticia Fernández Méndez
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se presenta el divisor o combinador de potencia en guía de onda de 3 puertas: T plano E y H y acoplador de 4 puertas: T mágica. Se describe y esquematiza cada diseño de T (T plano E, T plano H y T mágica). Y así mismo, se representan gráficamente los campos magnético y eléctrico sobre los mismos, caracterizando las particularidades de cada uno y exponiendo los correspondientes circuitos equivalentes.
I. INTRODUCCIÓN
Cuando la energía viaja a lo largo de una guía de onda y llega a un empalme o intersección, se divide y sigue el camino indicado por el empalme. Pero diferentes tipos de conectores afectan a la energía de diferentes formas.
La T en guía de onda es la intersección más simple y más usada en las guías de onda. Estos conectores se dividen en dos tipos básicos: T plano E y T plano H (divisores de potencia), y en conectores híbridos: T mágica, los cuales son desarrollos algo más complicados de las uniones básicas de T (acopladores de potencia).
El tipo de guía de onda utilizado en estos casos es rectangular, siendo así su modo de propagación fundamental el TE10. [1]
Si definimos la T en guía de onda de otro modo,
podemos decir que es un circuito pasivo recíproco de 3 o 4 puertas, refiriéndose respectivamente a T plano E o plano H y a T mágica.
Además de la condición de circuito recíproco, cada T cumple la condición de simetría física, lo que añade facilidad de análisis y simetría en la matriz de parámetros S correspondiente.
A continuación analizamos cada diseño de T en diferentes apartados.
II.1 T planoE
Una T plano E es un conector de guía de onda pasivo recíproco y simétrico utilizada para crear conexiones serie en circuitos de guía de onda y conseguir una división de potencia. También es llamada T serie.
La peculiaridad de la T plano E es el brazo E, perpendicular a la guía de onda principal, y se encuentra centrado en la guía principal por la cara más ancha, tal y como se muestra en la figura 1.
Fig. 1. Reproducción física de T plano E.
A continuación se muestra la representación de los campos sobre la T plano E según las diferentes opciones de puerta de entrada de la señal.
Se representa el campo E, ya que en una T plano E es el campo representativo, quedando el campo H en segundo lugar.
Fig. 2. Representación de las puertas a(brazo coplanar), b(brazo E) y
c(brazo coplanar) de la T plano E.
Fig. 3. Representación del campo E cuando se inyecta potencia por
la puerta a.
Fig. 4. Representación del campo E cuando se inyecta potencia por
la puerta b: brazo E.
2
Fig. 5. Representación del campo E cuando se inyecta potencia por la puerta c.
Si traducimos las representaciones a una matriz de parámetros S obtenemos lo siguiente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
121202
121
21][ ES Ec. 1
Debemos observar que al inyectar potencia por el brazo E, las salidas están en contrafase, con lo cual, los signos correspondientes en la matriz de parámetros S: S21 y S22 son diferentes.
Podemos completar la matriz de parámetros sin realizar todas las mediciones porque el circuito es recíproco. [1]
II.2 T planoH
Una T plano H es un conector de guía de onda pasivo recíproco y simétrico utilizada para crear conexiones paralelo en circuitos de guía de onda y conseguir una división de potencia. También es llamada T paralelo.
El brazo H es perpendicular a la guía de onda principal para reducir la tolerancia y permitir su uso como divisor de potencia, tal como indica la figura 6.
Fig. 6. Reproducción física de T plano E.
A continuación se muestra la representación de los campos sobre la T plano H según las diferentes opciones de puerta de entrada de la señal.
Se representa el campo H, ya que es el campo representativo en una T plano h, quedando el campo E en segundo lugar.
Fig. 7. Representación del campo H cuando se inyecta potencia por
la puerta b: brazo coplanar.
Fig. 8. Representación del campo H cuando se inyecta potencia por la puerta b: brazo H.
A diferencia de la T plano E, no existe desfase entre las salidas cuando la entrada de potencia es inyectada por el brazo H.
Del mismo modo, la representación del campo H cuando la potencia es inyectada por un brazo coplanar es la misma que si fuese por el otro brazo, siendo así necesarias únicamente dos representaciones.
La matriz de parámetros correspondiente a la T plano H es la siguiente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=121202
121
21][ HS Ec. 2
II.3 T mágica
La T mágica es una combinación la de T plano E y la T plano H. También es llamada T híbrida.
Para la T mágica se cumple el teorema que dice que cualquier red de cuatro accesos recíproca, sin pérdidas y completamente adaptada es un acoplador direccional; en este caso, acoplador en guía de onda. [2]
Un acoplador híbrido es un acoplador direccional que realiza un reparto equitativo de la potencia entre su rama directa y acoplada. Debido al reparto de potencia que hace, las pérdidas de inserción y el acoplamiento toman un valor de 3dB. En este caso, las ramas se corresponden con los brazos E, H y coplanares. La longitud de los brazos H y E coincide con la longitud de los brazos coplanares.
Si analizamos físicamente la T mágica podemos decir que este tipo de T son conectores cuyos brazos E y H están centrados en la guía principal y son perpendiculares a ésta con tolerancias muy pequeñas. Dando así lugar a 4 brazos: brazo E, H y dos brazos coplanares, correspondientes los dos últimos con la guía principal, y así pues, 4 puertas, como indica la siguiente figura.
Fig. 3. Representación física de una T mágica, indicando los brazos coplanares (Flange Co-linear) y los brazos E y H (Flange E Arm y
Flange H Arm, respectivamente).
La matriz de parámetros S correspondiente a la T mágica es la siguiente:
1
4
2
3
3
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
01101001
10010110
21][ mágicaS Ec. 3
En una T mágica, las salidas están aisladas las unas de las otras, siendo las pérdidas teóricas de 3dB; en la matriz de
parámetros S figura como2
1.
La diagonal principal es nula porque se corresponde con el caso ideal y no existen pérdidas por reflexión en cada puerta.
La diagonal secundaria es nula también debido al aislamiento entre las puertas, o desacoplo.
Si inyectamos potencia por el brazo H (1), no sale potencia por el brazo E (4) y viceversa: S14 = S41= 0. Esto es debido a que al entrar la energía por una puerta, lleva una polarización, y al intentar salir por la aislada correspondiente como no tiene la polarización esperada, no se recibe señal a la salida.
De igual modo los brazos coplanares están desacoplados: S23= S32 = 0. La energía que entra por un brazo coplanar se reparte entre los brazos E y H. Para el caso de salida por el brazo E, existe un desfase de 180º (S34 = S43 = -1)
La T mágica se utiliza para mezcladores de balanceado, como sintonizadores con cortocircuitos deslizantes y en circuitos de AFC.
Las T mágicas se utilizan también para tomar medidas de ROE (onda estacionaria).
II. CONCLUSIONES
Los conectores de T de guías de onda están analizados como ideales, pero hay que tener en cuenta que en realidad existen unas pérdidas, y esto hace que los valores de las matrices varíen, aunque cualitativamente el efecto es el mismo.
III. REFERENCIAS [1] http://www.fnrf.science.cmu.ac.th/theory/waveguide [2] Microondas 3º ITT-ST. Tema 2: Circuitos pasivos de microondas.
Pablo Luis López Espí [Fig.1.] http://www.geocities.com/etsetb/4a_mw_t2.pdf [Fig.2.] http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/ [Fig. 3] www.uniquesys.com/products/passive/waveguides/s146.html
ACOPLADOR BRANCH LINE Beatriz Barcala Sánchez
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se lleva a cabo una caracterización del acoplador direccional Branch Line. De las características que posee como acoplador direccional en general y como acoplador ramal en particular. Se hará también un estudio mediante la matriz de parámetros Scattering y cómo ésta puede ser simplificada gracias a las propiedades de la Branch Line, para posteriormente hacer una simulación del funcionamiento de los parámetros de la matriz S más característicos.
I.
II.
INTRODUCCIÓN
El objetivo de este artículo es una caracterización de los acopladores direccionales, especialmente la Branch line.
Históricamente, el acoplador Branch line es uno de los dispositivos híbridos más usados y más populares debido a su facilidad de diseño e implementación. Se fabrica con tecnología microstrip o stripline.
Un acoplador direccional es una unión de cuatro puertas unidas por dos líneas de transmisión y un mecanismo de acoplo entre ellas. De las cuatro puertas, una de ellas se toma como entrada, dos de ellas como salidas y la otra queda aislada. De esta manera cuando la potencia es introducida por la puerta de entrada es repartida solamente a dos de las tres puertas restantes. Quedando también las entradas aisladas por parejas. Es una red recíproca, sin pérdidas y completamente adaptada.
Un caso particular son los acopladores híbridos; que son acopladores direccionales que realizan un reparto equitativo de potencia entre las dos puertas por las que sale la energía.
DESARROLLO
II.1 Descripción y esquemas
El acoplador Branch Line consiste en dos líneas de transmisión paralelas y el mecanismo de acoplo usado en este dispositivo consiste en dos (o más) secciones de línea
4λ .Suponiendo las cuatro puertas cargadas con su
impedancia de referencia, como se muestra en la Fig.1.
Fig. 1a) y b). Esquemas típicos de una Brarnch Line
La Branch Line es un dispositivo de cuatro puertas, una de entrada y tres de salida, con la propiedad de que si la energía incide por la puerta 1 se reparte entre la 3 y la 4 pero nunca por la 2. Igualmente, si la energía incide por la puerta 2, se repartirá entre las puertas 3 y 4 pero nunca por la 1. Por tanto, se dice que las puertas 1 y 2 están aisladas entre sí. Lo mismo sucede si tomamos las puertas 3 y 4 como entrada, la energía siempre se repartirá por las puertas 1 y 2 quedando la 3 y la 4 aisladas entre sí.
Cada una de las 3 puertas de salida recibe un nombre en función de la energía que le llega. Se identificará la puerta 1 como puerta de entrada de la energía y se llevará a cabo un estudio energético de identificación del resto de puertas.
Dado que la vía de unión entre la puerta 1 y la 3 corresponde a una rama principal (Z1), identificaremos la puerta 3 como Puerta Directa. Según podemos observar en la Fig. 1. para llegar desde la puerta 1 hasta la puerta 4 la señal puede recorrer dos caminos; primer camino pasando por la puerta 3 y el segundo camino a través de la puerta 2. En la puerta 4 se sumarían dos señales en fase (desfasadas ambas 180° debido a las dos líneas de transmisión de longitud 4λ atravesadas) por tanto existe señal de salida desde la puerta 1 y la puerta 4 es la Puerta Acoplada. Siguiendo el mismo desarrollo pero para la puerta 2, obtendremos que cuando ambas señales se combinan tienden a cancelarse, identificando así, la puerta 2 como Puerta Aislada. Tal y como se muestra en la Fig.1.
Para una buena caracterización de la Branch Line, como circuito pasivo y como acoplador direccional debemos evaluar los siguientes parámetros básicos: la adaptación, las pérdidas de inserción, el acoplo, la directividad y el aislamiento. Lógicamente, estos parámetros dependerán de las puertas anteriormente identificadas y se definen suponiendo las puertas 2, 3 y 4 cargadas por sus impedancias características y un generador de impedancia interna igual a la impedancia característica de la puerta 1 conectado en dicha puerta.
Se define adaptación o pérdidas de retorno como la diferencia en dB entre la potencia incidente a la entrada del circuito y la potencia reflejada:
11log20 SLR −= Ec.1 ∞pp RL0El parámetro S11 equivale al coeficiente de reflexión a la
entrada de la puerta 1. También se puede definir mediante la relación de onda estacionaria:
11
11
11
SS
SWR−+
= ∞pp SWR1 Ec.2
donde el valor 1 equivale a una adaptación perfecta e infinito a una desadaptación.
1
Si el resto de puertas están cargadas con sus impedancias características el coeficiente de reflexión a la entrada es nulo, por tanto existiría una adaptación perfecta en todas las puertas del circuito. Debido a que dada la adaptación de una puerta, todas se comportan de la misma manera.
Se definen las pérdidas de inserción como la relación en dB entre la potencia de entrada y la potencia de salida por la rama directa:
31
3
1 log20log10)( SPPdBLi −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Ec.3
Siendo P1 la potencia incidente en la puerta 1, P3 la potencia que sale por la puerta 3 y S31 el parámetro de la matriz S que se explicará a continuación.
El acoplo se define como la relación en dB entre la potencia de entrada y la potencia de salida por la puerta acoplada:
41
4
1 log20log10)( SPPdBC −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Ec.4
Siendo P4 la potencia que sale por la puerta 4 y S41 el parámetro de la matriz S.
El aislamiento se define como la relación en dB entre la potencia de entrada y la potencia de salida por la puerta idealmente aislada:
21
2
1 log20log10)( SPP
dBI −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Ec.5
Siendo P2 la potencia que sale por la puerta 2 y S21 parámetro de la matriz S.
Idealmente la potencia P2 que sale por la puerta aislada debe ser nula.
Para definir la directivita debemos mirar la relación de potencia entre la puerta acoplada (P.4) y la puerta aislada (P.2):
)log20(log20log10)( 41212
4 SSPP
dBD −−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Ec.6
Según podemos ver en las Ec.4, Ec.5 y Ej. 6 la directividad, el acoplamiento y el aislamiento se relacionan de la siguiente forma:
Ec.7 )()()( dBCdBIdBD −=
II.2 Cálculo de parámetros S por simetría
Realizaremos la caracterización del circuito de microondas a partir de la matriz de parámetros Scattering o parámetros [S], que relaciona las ondas de tensión incidentes en cada uno de los planos terminales de la red y las reflejadas o dispersadas. Al ser un circuito formado por cuatro puertas, obtendremos una matriz de dimensiones 4x4.
Ec.8 [ ]
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
44434241
34333231
24232221
14131211
0
SSSSSSSSSSSSSSSS
SZ
Dicho análisis lo llevaremos a cabo a través de las técnicas de simetría debido a la forma física del dispositivo.
En el esquema de la Fig. 2. observamos que tenemos dos planos de simetría, uno horizontal y otro vertical.
Fig. 2. Plano de simetría para una Branch Line Dividiendo el circuito por el plano horizontal, quedan dos
mitades iguales y por tanto la matriz final estará formada por submatrices iguales entre sí. Los circuitos equivalentes que obtenemos son:
a) Se(par) b) So (impar)
Fig. 3. Circuitos equivalentes a) par b) impar de una Branch Line Por tanto la matriz de parámetros S puede obtenerse a
partir de las submatrices de los circuitos de la Fig. 3 como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+
= oeoe
oeoe
SSSSSSSS
S21 Ec.9
Como se mencionó anteriormente, la propiedad de simetría puede aplicarse nuevamente sobre ambos circuitos mediante el plano vertical. Dividendo ambos circuitos por el plano vertical obtenemos los circuitos equivalentes mostrados en la Fig. 4.
a) See (par-par) b) Seo (par-impar)
c) Soe (impar-par) d) Soo (impar-impar)
Fig. 4. Circuitos equivalentes debidos al segundo plano de simetría. a)Circuito equivalente par-par, b)Circuito equivalente par-impar,
c)Circuito equivalente impar-par, d)circuito equivalente impar-impar Las longitudes de las líneas de transmisión de los
circuitos de la Fig. 4 son de 8λ=l para la frecuencia de trabajo.
Por tanto las expresiones matriciales Se y So que habíamos obtenido a partir de la Fig. 3 se pueden escribir de la siguiente forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+
= eoeeeoee
eoeeeoeee
SSSSSSSS
S21 Ec.10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+
= oooeoooe
oooeoooeo
SSSSSSSS
S21 Ec.11
Para obtener el valor de las expresiones See, Seo, Soe y Soo basta con analizar cada uno de los circuitos equivalentes correspondientes mostrados en la Fig. 4. Los cuatro circuitos se corresponden con un circuito de una puerta, por tanto los parámetros S anteriormente mencionados se corresponden con el coeficiente de reflexión a la entrada de cada circuito. Y dado que vamos a trabajar con componentes en paralelo tiene la siguiente expresión:
ijin
ijinij
YYYY
S_0
_0
+
−=Γ= Ec.12
Donde Γ es el coeficiente de reflexión a la entrada de cada circuito y Yin es la admitancia de entrada a cada circuito y se calcula como la suma de las admitancias de ambas líneas.
Ec.13 21 YYYin +=
Dado que tenemos líneas de longitud 8λ=l terminadas en cortocircuito y circuito abierto, las admitancias de dichas líneas son:
Ec.14 cjYcaY =)(
Ec.15 cjYccY −=)(
2
Donde Yc es la impedancia característica de la línea. Y por tanto las admitancias de entrada a cada uno de los
circuitos equivalentes de la Fig. 4 son: Ec.16
2121 )()( jYjYcaYcaYYee +=+=
Ec.17 2121 )()( jYjYcaYccYYeo +−=+=
Ec.18 2121 )()( jYjYccYcaYYoe −=+=
Ec.19 2121 )()( jYjYccYccYYoo −−=+=
Volviendo a la Ec. 12 para particularizar el coeficiente de reflexión para cada circuito y sustituyendo las ecuaciones Ec.16 Ec.17 Ec.18 y Ec.19 obtenemos los siguientes resultados:
Simetría par-par:
)()(
210
210
0
0
YYjYYYjY
YYYY
See
eeeeee
+++−
=+−
=Γ= Ec.20
Simetría par-impar:
)()(
210
210
0
0
YYjYYYjY
YYYY
Seo
eoeoeo
−−−+
=+−
=Γ= Ec.21
Simetría impar-par:
)()(
210
210
0
0
YYjYYYjY
YYYY
Seo
eooeoe
−+−−
=+−
=Γ= Ec.22
Simetría impar-impar:
)()(
210
210
0
0
YYjYYYjY
YYYY
Soo
oooooo
+−++
=+−
=Γ= Ec.23
Con estos valores podemos obtener las ecuaciones matriciales Se y So de las ecuaciones Ec.10 y Ec.11 y sustituir así en la ecuación Ec. 9 para obtener la matriz de parámetros S buscada.
Pero esta matriz puede ser simplificada debido a las propiedades de los acopladores direccionales enunciadas anteriormente: Las puertas 1 y 2 y las 3 y 4 están aisladas entre sí: Ec.24 )0( 3412 == SS
Al ser una red recíproca, la matriz correspondiente es una matriz simétrica:
Ec.25 )( jiij SS =
Y debido a la condición de adaptación los parámetros de la diagonal principal tienen valor cero:
) Ec.26 ( 044332211 ==== SSSSSi además sabemos que se trata de una red sin pérdidas la
matriz S es una matriz unitaria [ ] [ ] [ ]( )ISS =+ de donde podemos obtener entre otras, las siguientes ecuaciones que simplificarán aún más la matriz anterior:
Ec.27 024*1423
*13 =+ SSSS
Ec.28 024*2314
*13 =+ SSSS
Como sabemos que klijklij SSSS =* las Ec.27 y Ec.28 las
podemos escribir de la siguiente forma:
24142313 SSSS = Ec. 29
24231413 SSSS = Ec.30 Y dividiendo la ecuación Ec.29 entre la Ec.30
obtenemos:
1423 SS = Ec.31 Por tanto el acoplamiento entre las puertas 2 y 3 será
igual que el acoplamiento entre las puertas 1 y 4. Si además sustituimos la ecuación Ec.31 en la Ec.30
vemos que:
2413 SS = Ec.32
Y que el acoplamiento entre las puertas 1 y 3 será el mismo que entre las puertas 2 y 4.
En cuanto a la fase, existe un desfase relativo de 90° entre la rama directa y la rama acoplada.
Por tanto con las ecuaciones Ec.24, Ec.25, Ec.27, Ec.31 y Ec.40 la matriz quedará simplificada de la siguiente forma:
Ec.33 [ ]⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000
0000
1314
1413
1314
1413
0
SSSS
SSSS
S Z
II.3 Condición de adaptación
Como se explicó anteriormente, debido a la condición de adaptación los parámetros de la diagonal principal de la matriz S de una Branch Line son nulos, tal y como se puede ver en la Ec.33.
Obtendremos la condición de adaptación relacionada con las impedancias características de las líneas de transmisión. Dado que los cuatros parámetros son nulos, desarrollaremos el parámetros S11. De las ecuaciones anteriores Ec.9 Ec.10 y Ec.11 se puede obtener el parámetro S11:
[ ]oooeeoee SSSSS +++=41
11 Ec.34
Sustituyendo los resultados de las ecuaciones Ec.20, Ec.21, Ec.22 y Ec.23 obtendríamos:
0))())(())(())(((
)(
210210210210
40
222
21
11 =+−−+−−++
+−−=
YYjYYYjYYYjYYYjYYYY
S Ec.35
Despejando de la ecuación Ec.43 para que el circuito se encuentre completamente adaptado se debe cumplir que:
Ec.36 22
21
20 YYY −=
II.4 Matriz S adaptada
Imponiendo la condición de adaptación expresada en Ec.36 en el resto de parámetros no nulos de la matriz obtenemos que:
1
013 Y
YjS −= Ec.37
1
214 Y
YS −= Ec.38
Y por tanto la matriz de parámetros S normalizada para una Branch Line completamente adaptada queda de la siguiente manera:
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−−
=
00
00
00
00
1
2
1
2
11
1
2
1
2
11
0
ZjZZ
ZZZj
ZjZZ
ZZZj
S Z
Ec.39
II.5 Simulaciones
Por último se mostrarán unas simulaciones de la Branch Line con el programa MMICAD.
La gráfica que se muestra a continuación se corresponde con una Branch Line Ideal a 3dB, a una frecuencia de trabajo de 1MHz y unas impedancias características de valores típicos y Ω= 4.351Z y . Obtenidas a partir de la Ω= 502Z
3
condición de adaptación calculada anteriormente en la Ec.36, con una y sabiendo que a 3dB se cumple que Ω= 500Z
1
0
1
2
YY
YY
= :
Fig.5.Módulo de los parámetros S de una Branch Line Ideal.
Fig.6.Fase de los parámetros S de una Branch Line Ideal.
En la fig.5 se observa que a la frecuencia de trabajo el
acoplamiento (S41) y las pérdidas de inserción (S31) son muy próximos a 3dB y según me alejo de dicha frecuencia los parámetros varían suavemente, en cambio el aislamiento (S21) y la adaptación (S11) tienen un mínimo agudo a la frecuencia de trabajo y son mucho más sensibles a las variaciones con la frecuencia. Estamos hablando de un circuito muy sensible con la frecuencia y por tanto de Banda Estrecha. Si observamos la Fig.6, correspondiente a las fases de los parámetros, obtenemos los siguientes valores para la frecuencia de trabajo: Ph(S11)=0.34º; Ph(S21)=269.65º; Ph(S31)=270.00º; Ph(S31)=180.00º. Por tanto podemos comprobar que a dicha frecuencia existe un desfase relativo de 90º entre la rama directa y la rama acoplada (S41). A este tipo de Branch Line, se le conoce como Branch Line híbrida de cuadratura.
Por el contrario las gráficas de la Fig.7 y Fig.8 pertenecen a una Branch Line con líneas de transmisión no ideales sin pérdidas y con pérdidas a una frecuencia de 500Mhz y unas anchuras (W2=0.3007cm y W1=0.5220cm) y longitudes (l2=8.07cm y l1=7.88cm) calculadas a partir de las impedancias anteriores
Fig.7.Módulo de los parámetros S de una Branch Line Sin pérdidas.
Fig.8.Módulo de los parámetros S de una Branch Line Con pérdidas
Podemos observar que al introducir pérdidas se producen variaciones en todos los parámetro. El acoplamiento y las pérdidas de inserción usando líneas con pérdidas se alejan ligeramente de los valores ideales obtenidos con una Branch Line sin pérdidas, mientras que la variación que se produce en el aislamiento y en la adaptación es ampliamente
significativa. Los parámetros, si se usan líneas con pérdidas, son menos sensibles a la variación con frecuencia.
III.
IV.
CONCLUSINES
Se ha llevado a cabo el estudio y el análisis del acoplador direccional Branch Line, circuito de amplia utilización, como hemos visto por su facilidad de diseño dado que se fabrican con tecnología microstrip o stripline, sin embargo, debido a esto está orientado a acoplamientos menores de 10dB, ya que tiene la limitación de las anchuras de las líneas; para acoplamientos grandes necesitaríamos impedancias grandes, que equivalen a anchuras demasiado pequeñas, algunas irrealizables físicamente. Son dispositivos de banda estrecha y por tanto muy sensibles a la variación con la frecuencia, para poder fijar un ancho de banda de trabajo, deberemos elegir un aislamiento idóneo dado que es el parámetro más sensible a las variaciones de frecuencia. Si fijándonos en la Fig.5 optamos por un aislamiento de 20dB, obtenemos un ancho de banda de aproximadamente 100KHz (0.947~1.053)MHz. De tal forma que las pérdidas de inserción y el acoplamiento apenas sufren variaciones. Un ancho de banda mayor repercute en un empeoramiento de las características de la Branch Line, por tanto lo ideal es llegar a una situación de compromiso dependiendo de las necesidades. Este es especialmente uno de los más usados, una Branch line híbrida de 90°, que realizará un reparto equitativo de potencia entre su rama directa y su rama acoplada. Para no modificar este carácter híbrido, a la hora de conectar la Branch line a otros dispositivos, debemos alargar todas las puertas la misma longitud para no perder el desfase relativo que le da esa característica de híbrido de 90°. Una de las posibles aplicaciones del híbrido de 90° es la obtención de dos señales de cuadratura a partir de una fuente única. Otra aplicación muy típica de un acoplador direccional se encuentra en los analizadores de redes, que se emplean para medir los parámetros S de un circuito de microondas. La Branch line es muy utilizada hoy en día en nuevas investigaciones, como ejemplo podemos encontrar su utilización en una antena reconfigurable basada en haces conmutados, como acoplador de dos lentes apiladas para conseguir el carácter reconfigurable.
REFERENCIAS [1] R.E.Collin “Foundation for Microwave Engineering”, 2 nd ed. MacGraw-Hill series in electrical engineering. Radar and Antennas. [2] R. Sánchez Montero, P.L.López Espí, M.P. Jarabo Amores and J.Alpuentes Hermosilla “Teoría de circuitos de Microondas.Parámetros S”, Servicion de publicaciones de la Universidad de Alcalá. [3] S.R.Pennock and P.R.Shepherd “Microwave Engineering with wireless applications”, Macmillan Press LTD. [4] P.L.López Espí “Apuntes de la asignatura Microondas de Ing.Tec.Telecomunicaciones, Stmas. Teleco” [5] H.R.Ahn and I.Wolff “Asymetric Four-Port and Branch-Line Hybrids”, IEEE Transactions on Micorwave Theory and Techniques, vol. 48, pp. 1585-1588, September 2000. [6] J.Alpuentes Hermosilla, M.P. Jarabo Amores, P.L.López Espí and J.A. Pamies Guerrero “Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de microondas” Servicios de publicaciones de la Universidad de Alcalá,2001 [7] P.A.Rizzi “Microwave Engineering. Passive Circuits” Pretince-Hall, Inc. 1988. [8] R. Sánchez Montero, P.L.López Espí and J.Alpuentes Hermosilla “Microondas prácticas” Servicion de publicaciones de la Universidad de Alcalá. [9] J.A.G.Malherbe “Microwave Transmission Line Couplers”,Artech House,Inc.1988 [10] M.S.Pérez and Y.M.Alonso “Antenas de Haz Conmutado par Estaciones Base de Telefonía Móvil”, Departamento de señales, sistemas y radiocomunicaciones de la Universidad Politécnica de Madrid.2001.
4
1
ANILLO HÍBRIDO Cristina Fernández Fernández
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En el apartado de la introducción se hace una breve introducción histórica acerca de los acopladores direccionales y un anillo híbrido basado en un divisor Wilkinson. En el desarrollo se hace un estudio más a fondo del dispositivo en cuestión, incluyendo su descripción y esquema, el cálculo de los parámetros de Scattering, la condición de adaptación y la correspondiente matriz adaptada, además de una simulación del circuito para ver su comportamiento en frecuencia. Por último un apartado de conclusiones.
I. INTRODUCCIÓN
Después de que Hertz verificase la teoría de ondas electromagnéticas de Maxwell, no seria hasta el año 1930 cuando, motivado por las necesidades de radares militares principalmente, comenzase el desarrollo de componentes pasivos de microondas durante la segunda Guerra Mundial.
El primer acoplador direccional, refiriéndose a él como antena de lazo, es acreditado a la compañía H.A Affel de A.T.T, el cual fue archivado y hasta cinco años después, 1927 no sería concedido. Este acoplador estaba formado por dos líneas λ/4 y dos cables de unión entre ellas con un resistor a una de sus salidas y un detector a la otra, colocado paralelamente a lo largo de los dos cables o línea de transmisión. [1]
[2]La estructura general de los acopladores direccionales de hoy son dos líneas de transmisión que se encuentran unidas por un mecanismo de acoplo entre ellas. En el caso de acopladores de 90º y 180º estos mecanismos de acoplo son líneas de transmisión λ/4.
[3]El anillo híbrido es usado en su mayoría para la división de potencia en arrays de antenas en circuitos impresos debido a que es un circuito que proporciona un buen aislamiento entre sus puerta de salida, lo cual es esencial para minimizar el acoplamiento mutuo entre elementos radiantes. Los primeros diseños consideraban un anillo híbrido con iguales impedancias en todos sus puertos. En casos en los que la salida y la entrada requiriese impedancias distintas, se colocaban transformadores en la puerta correspondiente y en la aislada, lo que provocaba un volumen mayor y unas pérdidas importantes adicionales. La solución fue realizar un anillo híbrido mediante un transformador de impedancia de doble dirección Wilkinson.
II. DESARROLLO
II.1 Descripción y Esquema
[4]El anillo híbrido es un circuito pasivo de cuatro puertas, recíproco, sin pérdidas y completamente adaptado.
Este dispositivo es un acoplador direccional, es decir realiza un reparto de la potencia que se le suministra, entre las tres puertas restantes. En cualquier acoplador direccional una de sus puertas se encuentra aislada de la de entrada (rama aislada), otra recibe potencia de forma privilegiada (rama directa) y la última recibe potencia de forma menos privilegiada (rama acoplada). En el caso del anillo híbrido el reparto de potencias es equitativo entre su rama directa y acoplada, quedando una aislada de la entrada. De esta forma las pérdidas de inserción, que relaciona la potencia de entrada con la de salida por la rama directa, y el acoplamiento, que relaciona la potencia de entrada con la se salida por la rama acoplada es ambos de 3dB.
Como cualquier acoplador, cuenta con dos líneas de transmisión y un mecanismo de acoplo entre ellas. Físicamente tiene un aspecto en forma de anillo del cual salen cuatro accesos. Su esquema es el siguiente:
Fig. 1. Esquema de un acoplador Anillo Híbrido.
Podemos observar en la Figura 1 que las líneas de transmisión que lo componen tendrán una impedancia característica de Z2, que forman las líneas principales, mientras que las líneas de impedancia característica Z1 formarán los mecanismos de acoplo entre las anteriores. El diseño de un acoplador para unas especificaciones dadas se basa en encontrar el valor de estas impedancias características que realizarán el reparto de potencia. Como estamos tratando el caso de un anillo híbrido el valor de Z1 y Z2 serán iguales.
Respecto a la longitud de éstas, tres de las líneas serán transformadores λ/4 y una cuarta de 3λ/4, formando un
2
perímetro de 6λ/4. Debido al uso de líneas de transmisión en la construcción del dispositivo la señal sufre retardos dependiendo de los accesos que se tomen como entrada y salida. En el caso del anillo híbrido la diferencia de fase entre las dos vías principales es de 180º. Para poder comprobarlo y atendiendo a la numeración de las puertas seguida en el esquema, hacemos un seguimiento de la señal desde que se inyecta por la puerta 1 hasta salir por la puerta 3, es decir, en una de las dos vías principales. La señal atraviesa una línea λ/4, teniendo un desfase la señal en la puerta de salida (puerta 3) de -90º respecto a la de entrada (puerta 1). De la otra línea principal, la diferencia de fase entre la puerta de salida (puerta 4) y la de entrada (puerta 2) es de -270º por atravesar una línea 3λ/4.
º180)º270(º902431 SS Ec. 1
Otra de las consecuencias del uso de líneas de
transmisión es que la respuesta en frecuencia tiene una periodicidad de λ/2.
A la hora de trabajar con acopladores es importante identificar los accesos. Para ello, sabemos que la rama de entrada y la directa se encuentran sobre la misma vía principal, al igual que la rama acoplada y aislada lo están sobre la otra vía principal.
Siguiendo la numeración del esquema y usando el acceso 1 como entrada, la puerta 3 quedaría como la rama directa, por estar estos dos accesos sobre una de las dos líneas principales, así pues, sobre la otra línea de impedancia característica Z2 se encontrarán las ramas aislada y acoplada. Para identificarlas hacemos un seguimiento de la señal desde la puerta de entrada a cada uno de los accesos siguiendo los dos posibles caminos que puede seguir
De la puerta 1 a la 2: Si la señal se transmite hacia la derecha, ésta atraviesa una línea de longitud λ/4, que se corresponde con un retardo de -90º. Si por el contrario se transmite hacia la izquierda atraviesa dos líneas λ/4 y la de 3λ/4, sufriendo un desfase de -450º, es decir -90º. Luego ambas señales llegan al acceso 2 en fase, tendiendo a reforzarse, con lo cual podemos concluir diciendo que esta sería la rama acoplada.
De igual forma de la puerta 1 a la 4 el retardo de la señal hacia la derecha atraviesa dos líneas λ/4 (-180º). Hacia la izquierda pasamos por una línea λ/4 y 3λ/4, que se corresponde con un desfase de -360º. Luego ambas señales llegan al acceso 4 en contrafase y se cancelan, con lo cual la puerta 4 será la aislada.
Haciendo el mismo estudio de recorrido de la señal tomando como entrada la puerta dos tenemos:
Acceso 2 entrada
Acceso 4 directa
Acceso 1 acoplada
Acceso 3 aislada
El anillo híbrido presenta un plano de simetría que deja el acceso 1 y 2 en un plano y el 3 y el 4 en el otro, con lo cual el acceso 3 se comporta de igual forma que el 1 y el 2 con el 4, así pues bastaría con sustituir 1 por 3 y 2 por 4 y
viceversa en la identificación de puertas anterior para conocer cada acceso.
II.2 Cálculo de los parámetros S
[5]Para conocer los parámetros de Scattering aplicamos simetría sobre el dispositivo. El único plano de simetría que encontramos es aquel que divide el anillo híbrido de la siguiente forma:
Fig. 2. Plano de simetría del Anillo Híbrido.
Quedándonos con el semiplano izquierdo, el circuito equivalente al que llegamos es:
Fig. 3. Circuito equivalente del semiplano izquierdo de simetría del
Anillo Híbrido.
Hallamos las impedancias de entrada de las líneas λ/8 y 3λ/8 para el caso de excitación par y excitación impar sabiendo que la expresión general de la impedancia de entrada a una línea es:
)(.)(.
dtgjZZdtgjZZZcZ
LC
CLIN
Ec. 2
Y que la impedancia de entrada de una línea λ/4 es:
L
CIN Z
ZZ2
Ec. 3
Como los accesos quedan colocados en paralelo en lugar de trabajar con impedancias, lo haremos con admitancias normalizadas para que resulte más sencillo.
EXCITACION PAR: Los accesos que aparecen del plano de simetría se sustituyen por circuitos abiertos. Por lo tanto tenemos:
28/ jYY CAIN Ec. 4
28/3 jYY CAIN Ec. 5
Con la excitación par conoceremos la matriz S par, luego hallamos el parámetro S11, el S22 y el parámetro S21o S12 para la situación en la que los accesos de los planos de simetría sean circuitos abiertos.
3
Se11: para conocer el parámetro S11 cargamos el acceso 2
con su admitancia característica.
Fig. 4. Circuito equivalente para el cálculo del coeficiente de reflexión
a la entrada cuando existe excitación par.
214/ YjYL Ec. 6
2114/
2
YjYY IN
Ec. 7
211211
2
YjYYjY e
Ec. 8
22
22
12122121
1111111111
YYYjYY
YYS
e
eee
Ec. 9
Se22: de la misma forma anterior hallamos el parámetro
S22 cargando el acceso 1 con su admitancia característica.
22
22
12122121
2212212222
YYYjYY
YYS
e
eee
Ec. 10
Se21 o Se
12: por ser el circuito recíproco dará igual calcular S21 que S12. Para el cálculo de cualquiera de estos parámetros recurrimos a la definición del parámetro con las ondas a y b.
YoIVYoIV
abS
a
e
/11/22
1221
02
Ec. 11
YoIV /22 Ec. 12
11/11 eYIV Ec. 13
Sustituyendo Ec.12 y Ec.13 en Ec.11 tenemos:
1112
1221
ee
YVVS
Ec. 14
Hallamos la relación V2/V1 sabiendo que la tensión incidente a la salida de la línea λ/4 es la misma que la de entrada desfasada 90º y por lo tanto los coeficientes de reflexión a la entrada y a la salida de la línea son iguales pero cambiado de signo.
211
)1(1)1(1
12
YjYj
YYj
VV
IN
L
Ec. 15
Sustituyendo la Ec.15 en Ec.14 tenemos el parámetro S21
22 1211221
YYYjS e
Ec. 16
La matriz Se nos queda:
22
22
22
2222
22
12122121
12112
12112
12122121
YYYjYY
YYYj
YYYj
YYYjYY
Se
Ec. 17
EXCITACION IMPAR: Los accesos que aparecen del plano de simetría se sustituyen por cortocircuitos. Por lo tanto tenemos:
28/ jYY CCIN Ec. 18
28/3 jYY CCIN Ec. 19
De igual forma que con la excitación par obtenemos una matriz So:
22
22
22
2222
22
12122121
12112
12112
12122121
YYYjYY
YYYj
YYYj
YYYjYY
S o
Ec. 20
Para hallar la matriz S total y como estamos hallándola mediante simetría aplicamos:
oeoe
oeoe
SSSSSSSS
S21
Ec. 21
Sustituyendo la matriz Se (Ec.17) y So (Ec.20) en Ec.21 tenemos que:
22
22
44332211121121SSS S
YYYY
Ec. 22
2243342112121
12YY
YjSSSS
Ec. 23
2242243113121
22YY
YjSSSS
Ec. 24
032234114 SSSS Ec. 25
II.3 Condición de Adaptación
El anillo híbrido es un acoplador completamente adaptado, luego todos los elementos de la diagonal principal deben ser 0.
0121121
22
22
YYYY
Ec. 26
112 22 YY Ec. 27
4
II.4 Matriz S adaptada
Obtenemos la matriz S adaptada aplicando la condición de adaptación a la matriz S hallada.
012
0
1002
2001
021
0
YY
Y
Y
Y
Y
YY
jS Ec. 28
En el caso que estamos tratando, como es un anillo híbrido, Y1 e Y2 tendrán el mismo valor:
221 YoYY Ec. 29
Según la numeración de los accesos como el esquema de la Figura 1:
2log20log20 31 YSLI Ec. 30
1log20log20 12 YSC Ec. 31
II.5 Simulaciones
Comprobaremos lo ya expuesto simulando con el programa MMICAD un anillo híbrido a la frecuencia de 1GHz respetando la numeración de la Figura 1.
Fig. 5. Representación de la adaptación (S11) y el aislamiento (S41).
Podemos comprobar en la Fig.5, como a la frecuencia de diseño la puerta 1 se encuentra adaptada y que la transferencia de potencia entre la puerta 1 y la 4, que es la aislada es cero idealmente.
Fig. 6. Representación de las pérdidas de inserción (S31) y el
acoplamiento (S21).
En la Fig.6 vemos como las pérdidas de inserción y el acoplamiento coinciden a la frecuencia de diseño con 3dB, indicando que la potencia se reparte por igual entre la puerta directa y acoplada.
Fig. 7. Representación del desfase entre vías principales.
Fijándonos en la Fig.7, a 1GHz podemos ver que el desfase en la vía principal entre el acceso 1 y 3 es de -90º, mientras que el de línea que une los accesos 2 y 4 tiene un desfase de 90º, es decir que el desfase entre las dos vías principales de 180º
El parámetro más significativo para conocer la frecuencia de trabajo en un anillo híbrido observando su comportamiento en frecuencia son el acoplamiento y aislamiento, aunque es el aislamiento el que es más sensible a posibles variaciones.
II. CONCLUSIONES
Los acopladores direccionales son dispositivos pasivos de cuatro puertas que realizan el reparto de la señal de entrada entre dos de sus tres salidas. En el caso del anillo híbrido el reparto es equitativo entre los accesos de salida. También podemos usar este dispositivo como desfasador. Una característica a destacar es que se trata de un dispositivo de banda estrecha ya que desplazándonos de la frecuencia de diseño las características, sobre todo de acoplamiento y adaptación se ven afectadas. Un inconveniente es que tiene un gran perímetro. Cabe destacar, que como para cualquier dispositivo si la longitud de los accesos varía, la matriz de parámetros S también se ve afectada. En este trabajo se han considerados unos accesos ideales de longitud 0 e impedancia Z característica, así como un comportamiento ideal del anillo, sin incluir pérdidas de sustrato.
III. REFERENCIAS [1] IEEE Transactions on microwave theory and techniques, VOL. MTT-32,
NO. 9, SEPTEMBER1984 [2] MACOM an AMP company, Application Note. RF Directional Couplers
and 3dB Hybrids Overview, M560 [3] ELECTRONICS LETTERS 21st June 1990 Vol.26 No.13. [4] Circuitos pasivos recíprocos de microondas. Tema 2. Pablo Luis López
Espí. Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. UAH [5] Teoría de circuitos de microondas. Simetría. Tema 1.Pablo Luis López
Espí. Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. UAH.
1
ANILLO HÍBRIDO Génova Ureña Santos
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- En este documento vamos a hablar sobre uno de los circuitos pasivos de microondas, el anillo híbrido, es un circuito pasivo recíproco de cuatro puertas. Haremos el análisis y el diseño de este acoplador direccional (rat-race). Dónde veremos el cálculo de los parámetros S (parámetros de dispersión), entraremos en la condición de adaptación, junto con la matriz S adaptada, para terminar con la simulación del mismo.
I. INTRODUCCIÓN
De la unión de cuatro guías vamos a estudiar uno de los dispositivos pasivos que es el acoplador direccional, en nuestro caso concreto el anillo híbrido (hybrid ring).
Definimos un acoplador directivo como la unión de cuatro guías no disipativa y no degenerada, adaptada desde 2 de dichas guías y tal que no existe acoplo entre una de las últimas y otra de las restantes: s11 = s22 = s13. Tenemos varios teoremas:
Teorema 1: Un acoplo directivo está completamente adaptado y también están desacopladas la pareja formada por las guías que no se suponen desacopladas inicialmente.
Teorema 2: Una unión de cuatro guías no disipativa y no degenerada que esté adaptada desde tres de ellas es un acoplo directivo.
Teorema 3: Si una unión de cuatro guías, no disipativa y no degenerada, tiene dos guías desacopladas y está adaptada desde ellas, es un acoplo directivo.
Tenemos las siguientes matrices: 0 s12 0 s14
S1 = s12 0 s23 0 Ec.1
0 s23 0 s34 s14 0 s34 0 0 0 s13 s14
S3 = 0 0 s23 s24 Ec.2
s13 s23 0 0 s14 s24 0 0 De la matriz S1 hacemos la siguiente interpretación
física:
B1= s12 * a2 + s14 * a4 Ec. 3
B2= s12 * a1 + s23 * a3 Ec. 4
B3= s23 * a2 + s34 * a4 Ec. 5
B4= s14 * a1 + s34 * a3 Ec. 6
Si a3, a2, a4 = 0 entonces:
B1= 0; B2= s12 * a1; B3=0; B4= s14 * a1
La potencia incidente por la guía 1 se distribuye entre las 2 y 4.
|s21|2 + |s41|2 = 1 El coeficiente de transmisión es el mayor de los
coeficientes anteriores. El coeficiente de acoplamiento es el menor de los
anteriores. El nombre del tipo de acoplo lo da la relación en dB del coeficiente anterior.
Directividad es la relación entre la acoplada y la aislada.
En la puerta 2 es donde va más potencia y en la puerta 4
donde va menos potencia. Si se calculan los elementos diagonales de SHS=I se llega
a: ||s21||=||s34|| ||s14||=||s23|| La conclusión es que la puerta acoplada y la transmitida
se encuentran desfasadas 90º El acoplo directivo asimétrico 180º de desfase entre la
puerta acoplada y la transmitida.
2
II.1Anillo Híbrido
Un acoplador híbrido es un acoplador direccional que
realiza un reparto equitativo de la potencia entre su rama directa y acoplada. Debido al reparto de potencia que hace, las pérdidas de inserción y el acoplamiento toman un valor de 3dB
II.2 Simulación
Vamos a hacer el estudio de la simulación de un anillo híbrido a 3dB. Las ecuaciones para obtener el diseño del anillo híbrido son las siguientes.
Ec. 7
Ec. 8
Ec. 9
En el caso de un anillo híbrido a 3dB en el que todas sus puertas están adaptadas, en la que se cumple:
Ec. 10
De aquí se deduce:
Z1=sqrt2 Z0 Ec.11
Con una frecuencia de diseño de 500Mhz, obtendríamos los valores que mostramos en la siguiente tabla, para el caso ideal, el caso sin pérdidas y el caso con pérdidas:
Realizamos los cálculos teóricos de las longitudes,
anchuras e impedancias de las líneas de transmisión: Z0=50, y con el mmicad y el uso de las instrucciones correspondientes como el MCURVE, obtendremos las gráficas correspondientes, del módulo y la fase como mostramos a continuación para el caso ideal:
MMICAD -- Fri Mar 05 20:01:42 2004
FREQUENCY [GHZ]
0.1 0.825 1.55 2.28 3
-100
-75
-50
-25
0
DB[S11]AN_IDEAL
DB[S12]AN_IDEAL
DB[S13]AN_IDEAL
DB[S14]AN_IDEAL
Fig.5 Módulo
MMICAD -- Fri Mar 05 20:01:25 2004
FREQUENCY [GHZ]
0.1 0.825 1.55 2.28 3
0
90
180
270
360
PHA[S12]AN_IDEAL
PHA[S13]AN_IDEAL
PHA[S14]AN_IDEAL
Fig. 6 Fase
Para el caso del anillo híbrido de 3 dB la frecuencia de trabajo es prácticamente coincidente con la de diseño según los datos que se obtienen en la simulación. Si se realiza un barrido de frecuencia en pasos de 20MHz se ve que el mínimo valor del parámetro s11 lo tenemos para la frecuencia de diseño.
II. CONCLUSIONES
Observamos que el anillo híbrido a 3dB reparte por igual
la potencia en las puertas adyacentes a la entrada y deja aislada la no adyacente.
III. REFERENCIAS [1] D. Pozar, “Microwave Engineering”, 3rd.ed. [2] IEEE hybrid ring [3] P. López Espi, “Apuntes Microondas” , Spain, 2007 [4] “Prácticas laboratorio antenas y microondas” [5] Internet, “hybrid_ring_tuning_instructions"
1
ACOPLADORES DE AGUJEROS Estefanía Moya Cobo
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen: Acopladores con agujeros. El trabajo consta de varias partes: en la introducción está descrito un breve comentario sobre la historia de las microondas y de los acopladores direccionales en guía de onda. El desarrollo consta de tres partes; descripción, ecuaciones y tipos fundamentales. En tipos de acopladores hemos descrito acopladores con 2 agujeros y multiagujero. Viendo el comportamiento en frecuencia de ambos hemos llegado a las conclusiones redactadas en la última parte del trabajo.
I. INTRODUCCIÓN
Después de que Heinrich Rudolf Hertz en 1888, siendo ya profesor de física en la universidad de Karlsruhe, se introdujera en el campo de las ondas electromagnéticas y reformulara las ecuaciones que Maxwell y Faraday enunciaron anteriormente, pudo demostrar experimentalmente que las ondas eléctricas podían viajar en el espacio libre. [1]
El campo de las microondas fue insignificante hasta aproximadamente 1930. A partir de 1939 se fue desarrollando gracias al apoyo de los militares durante La II Guerra Mundial (1939-1945). En esta época ya existen publicaciones y referencias a los circuitos pasivos de microondas a estudiar como son los acopladores direccionales. [2] Los acopladores direccionales formados generalmente por cuatro puertas reparten la potencia desde una de las puertas que la consideramos como entrada hacía las otras tres puertas restantes. Una de las puertas recibirá la mayor parte de la potencia siendo así la puerta privilegiada, otra de las puertas recibirá menos potencia la denominaremos la puerta menos privilegiada y por último la puerta restante la potencia que recibirá será aproximadamente nula, por lo tanto tomará el nombre de puerta aislada.
En 1932, George C. Southworth empezó a investigar con guías de onda en los laboratorios Bell Telephone. Como la frecuencia más alta con la que experimentaban era de 200Mhz, Southworth llenó la guía de onda con agua destilada para disminuir la sección transversal eléctrica y así aumentar la frecuencia de trabajo. Según una publicación de Leo Young la primera transmisión de señal por guía de onda se llevó a cabo en Mayo de 1933. [2]
El acoplador direccional en guía de onda más temprano probablemente usó un par de sondas capacitivas espaciadas
/ 4λ a lo largo de dos guías de onda. El primer empleo de un acoplador con agujero fue el acoplador Bethe-hole, que tiene un agujero redondo centrado común entre las dos guías. Este acoplador consistía en cancelar la señal hacia una dirección y reforzarla hacía otra. El empleo de dos o más
agujeros espaciados / 4λ a lo largo de las dos guías paralelas fue inventado por la W. W. Mumford el 14 de junio de 1944, y publicado el 31 de julio de 1951. [2]
II. DESARROLLO
II.1Descripción y esquema
Un acoplador direccional con guías de ondas es un dispositivo de cuatro puertas que se realiza con dos guías de onda puestas en contacto y taladradas por la cara que tienen en contacto para conseguir un direccionamiento de la potencia de entrada hacia dos de las tres puertas de salida. Un pequeño agujero en la amplia pared común entre dos guías rectangulares proporciona 2 componentes de onda que se refuerzan en la fase en la puerta denominada acoplada, y se cancelan en la puerta denominada aislada. [3]
Fig. 1. Esquema de acoplador direccional con guía de onda Bethe-hole.
Haremos un análisis del comportamiento del acoplador direccional Bethe-hole ya que es el acoplador más simple porque se compone únicamente de un agujero.
Sabiendo que:
• La componente normal del momento bipolar eléctrico y la componente axial del magnético radian con simetría par. [4].
• La componente transversal del momento magnético lo hace con simetría impar. [4]
• Una forma de controlar estas amplitudes consiste en desplazar la abertura de la pared lateral de la guía → s. [4]
Podemos llegar a las siguientes ecuaciones:
2
0 02 /k λ= Π
II.2 Ecuaciones. [3] Por la puerta 1 excitamos modo dominante de la guía
10TE .
10
10
sin
sin
cos
j zy
j zx
j zz
xE A ea
A xH eZ a
j A xH eaZ a
β
β
β
β
−
−
−
Π=
Π= −
Π Π=
Ec.1
Donde:
A= amplitud del campo eléctrico
Z 10 = 02
01 ( / 2 )aηλ−
Ec.2
→ Impedancia del modo TE 10
β = 20 01 ( / 2 )k aλ− Ec.3
→ Constante de fase
Ec.4
En la guía inferior la amplitud de la onda será
Ec.5
Ec.6
Sabiendo que:
Ec.7
Donde:
a= dimensión de la guía indicada (cara más ancha) en la Fig.2 b= dimensión de la guía indicada en la Fig.1
20
23e rα = → Polarización eléctrica Ec.8
20
43m rα = → Polarización magnética Ec.9
0r ≡ Radio del agujero
Fig. 2. Esquema de acoplador direccional con guía de onda
Bethe-hole.
Siendo “s” la distancia al agujero y “a” la anchura de la guía podemos determinar la posición en la que tenemos que fijar el agujero dentro de las guías con:
02 20
sin2( )
sa aπ λ
λ=
− Ec.10
Esta ecuación representa la distancia óptima del agujero a las caras laterales para obtener una potencia mínima a la salida de la puerta aislada y maximizar la potencia que se transmite a la puerta acoplada.
Así pues el factor de acoplo o acoplamiento para el acoplador Bethe-hole es:
10
20log ( )AC dBA−= Ec.11
Y la directividad toma un valor de:
10
10
20log ( )AD dBA
−
+= Ec.12
A partir de la Ec.11 y teniendo en cuenta a la hora de sustituir las ecuaciones Ec.6, Ec.7, Ec,8 y Ec.9 se determina el radio del agujero taladrado entre las guías para un acoplamiento dado.
Podemos concluir afirmando que un acoplador Bethe-hole puede ser diseñado encontrando el valor de s (la posición de la apertura óptima) y hallando 0r para un acoplamiento especifico.
II.3 Tipos fundamentales Los acopladores en guía de onda se clasifican según la
cara de la guía donde se practican los taladros y atendiendo a si son líneas de transmisión paralelas o perpendiculares. Según la cara por donde se unen podemos distinguir dos familias: [5]
Sidewall couplers: unidas por la cara lateral, que normalmente es la cara más estrecha. Topwall couplers: unidas por la cara más ancha montada una encima de otra.
22 2 20sin sin cos10 0 2 2 210 10
jwA s s smA cP a a aZ a
μ αε α
β
⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎢ Π Π Π Π ⎥⎜ ⎟= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
22
2 22 20sin sin cos10 0 210 10
jwA s s smA eP a a aaZ
μ αε α
β
⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎢ Π Π Π Π ⎥= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
1010
abPZ
=
3
Dentro de esta última familia podemos distinguir en función de cómo estén montadas las guías entre guías longitudinales y guías de cruz.
Los taladros realizados entre ambas guías pueden tener diferentes formas, las más comunes son en forma cilíndrica o en aspa. Las formas de los agujeros van a determinar la calidad del acoplamiento entre las guías, así como el tamaño variará el acoplamiento entre ellas.
II.4 Acopladores de dos agujeros
Son dos guías en contacto cuyos taladros (los dos agujeros) están separados / 4gλ .
Una de las características del acoplador con agujeros es que se produce acoplamiento entre guías tanto del campo eléctrico como del magnético. La diferencia entre los acoplamientos de ambos campos es que en el campo eléctrico se produce la propagación en fase de ondas hacia las puertas acoplada y aislada (en la guía secundaria) y en el campo magnético produce ondas de igual amplitud también desfasadas en la guía secundaria.
Analizaremos el comportamiento del acoplador en guía de onda de dos agujeros topwall atendiendo al comportamiento del campo eléctrico: [5]
Fig. 3. Esquema de acoplador direccional de dos agujeros en guía de onda Entramos por la puerta 1, y tomamos como referencia de
fases el primer agujero, una pequeña parte de la señal se acopla hacia abajo como indican las flechas del dibujo, es un acoplamiento débil ya que 1a = y 1b << .
• La señal b se reparte hacia la izquierda rb y hacia la
derecha fb .
• La señal a sufre un retardo de 90º al ser una línea / 4gλ , ésta a su vez se vuelve a repartir en el 2º agujero en
rjb− y fjb− .
• En la guía de abajo la señal rjb− se propaga por la guía en el sentido inverso de propagación retrasándose también 90º quedando - rb .
• En la guía de abajo la señal fb también se propaga por
la guía retrasándose 90º, ( fjb− ).
La puerta directa nos quedará la señal introducida a la entrada con un desfase de 90º debido a la propagación por la línea / 4gλ .
Así en la puerta 4 - rb y rb se cancelarán dejando a esa puerta sin señal y por lo tanto será la puerta AISLADA.
La puerta 3 quedará reforzada ya que tenemos fjb− y
fjb− y por lo tanto nos quedará 2 fjb− y por lo tanto
tendremos la puerta ACOPLADA. Así el acoplamiento lo podemos definir en forma
numérica como:
20log(2 )fC b= −
Ec.13
Los acopladores de dos agujeros posen una respuesta en frecuencia más estrecha que los acopladores de n agujeros, separados entre sí una distancia de / 4gλ . Es una respuesta
mucho más selectiva.
II.5 Acopladores multiagujero
Partiendo de la última característica descrita en los acopladores de dos agujeros en la que destacamos su respuesta selectiva en frecuencia, para mejorar la respuesta en frecuencia utilizaremos mayor número de aberturas siempre distanciadas / 4gλ .
Fig. 4. Esquema de acoplador direccional multiagujero en guía de onda
• La onda incidente tiene amplitud a. • Distinguimos 0a− (coeficiente de acoplamiento hacia
detrás) y 0a+ (coeficiente de acoplamiento hacia delante). • Suponemos origen de fases en n=0. • Excitamos la puerta 1. • Si los agujeros son pequeños, hay sólo una pequeña
fracción potencia acoplada por la guía superior de modo que nosotros podemos decir que la onda incidente sobre todos los agujeros es esencialmente la unidad. Tendremos de nuevo los coeficientes fb que se desplaza en la dirección de
propagación y rb que se desplaza en dirección contraria. Así las señales de salida son: [3] En la puerta de salida (2) o directa tendremos:
Ec.14
En la puerta acoplada (3) tenemos:
0n
NjN d jN d
fn
e e bβ β− −
=
+ ∑
4
2
0n
Nj N d
fn
e bβ−
=∑ Ec.15
Y en la puerta de entrada (1) y aislada (4) tendremos:
2
0n
Nj n d
rn
b e β−
=∑ Ec.16
Así podemos definir el acoplamiento y la directividad
para un acoplador multiagujero como:
C=0
20log ( )n
N
fn
b dB=
− ∑ Ec.17
D=
2
0
0
20log ( )n
n
Nj n d
rn
N
fn
b edB
b
β−
=
=
−∑
∑ Ec.18
II.6 Simulaciones
Simulamos con el programa de cálculo matlab el comportamiento del acoplador en guía de onda de dos agujeros.
Simulamos los módulos de las salidas en las puertas acoplada y directa:
21 j de β−+ 21 j de β−− Ec.19
Fig. 5. Representación gráfica de la salida en un acoplador de dos agujeros
El eje de abscisas está cuantificado en radianes. En la gráfica 1 podemos observar que se anula a los 90º y
se refuerza a las 180º, es una función periódica. En la gráfica 2 por el contrario tenemos un máximo en
90º y un mínimo en 180º (Π rad).
Fig. 6. Representación gráfica de la salida en un acoplador de dos agujeros
III. CONCLUSIONES
Principalmente podemos destacar la respuesta en frecuencia como conclusión más importante. Los acopladores se diseñan para tener un acoplamiento determinado para un rango de frecuencias en las que vayamos a trabajar. La directividad va a ser el parámetro clave cuando queramos obtener un buen acoplador en guía de onda.
Si tenemos un buen aislamiento tendremos una buena directividad ya que:
D= I-C, podemos decir que tenemos una buena directividad entorno a D=18 dB.
Fig. 8. Representación gráfica en la banda X de frecuencias de un acoplador
típico de -20 dB de un solo agujero. [3]
El acoplamiento es constante para toda la banda de frecuencias, la directividad es de banda estrecha para el acoplador de un solo agujero. Podemos alcanzar una banda de frecuencias más ancha para la directividad usando una serie de agujeros de espaciados / 4gλ .
IV. REFERENCIAS
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Rudolf_Hertz [2] IEEE Transaction microwave theory and techniques, VOL. Mm-32, NO.
9, SEPTEMBER1984 [3] Microwave Physics and Techniques, Lecture 10 Power Dividers and
Couplers UCSB June 19, 2003 A. Nassiri – ANL. [4] Elementos acopladores, híbridos y divisores de potencia. Microondas
capítulo I. Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Universidad de Sevilla.
[5] Circuitos pasivos de microondas. Tema 2. Pablo Luís López Espí. Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones UAH.
5
1
ACOPLADORES DE AGUJEROS Antonio José Soto Márquez
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
En el presente texto sobre acopladores de agujeros se podrá encontrar una explicación del principio de funcionamiento empleado por este tipo de dispositivos, los principales tipos de acopladores, incluyendo en estos apartados acopladores de uno y dos agujeros, y acopladores multiagujero, así como los principales montajes y configuraciones de los mismos. Todo ello acompañado de ilustraciones con gran valor didáctico y de las expresiones más relevantes que acompañan a los dispositivos bajo estudio.
I. INTRODUCCIÓN
En guía de ondas, para conseguir acoplamiento de señal, el método más común es usar aperturas en las paredes de la guía, normalmente en forma de delgadas ranuras o agujeros. Asumiendo la propagación de modo TE10, la apertura 1 de la figura, radia parte de la energía de la onda y, por tanto, encuentra su uso como acoplador direccional en el cual una o más aperturas se encuentran en la cara común entre dos guías contiguas, de ese modo permite la transferencia de energía electromagnética entre ellas. Para el caso de acoplamiento eléctrico, el campo eléctrico (Ey) se extiende desde la guía principal a la guía secundaria. En el acoplamiento magnético, es Hx quien se acopla a la guía secundaria. De esta manera, la radiación que pasa por la apertura circular es debida al acoplamiento entre el campo eléctrico y el magnético. Por otro lado, el acoplamiento debido a la apertura 2 de la figura, se debe solo al campo magnético Hz existente en la apertura, ya que para el caso de las pequeñas ranuras, el acoplamiento es esencialmente magnético (solo la componente del campo magnético paralela a la ranura se acopla por la apertura) [1]. Una manera alternativa de ver el acoplamiento magnético es en términos de la interrupción de las corrientes de conducción. Para la apertura 3 de la figura, se radia energía ya que la corriente de conducción longitudinal (Jz) es interrumpida. Las aperturas número 4 y 5 interrumpen las corrientes de conducción transversales (Jx y Jy respectivamente), de ese modo se produce acoplamiento magnético mediante la componente Hz. Ranuras como las mostradas en la parte derecha de la figura, son no radiantes ya que no interrumpe ninguna corriente [4].
Fig. 1. Aperturas radiantes y no radiantes en guía rectangular.
II. ACOPLADORES DE UN AGUJERO
II.1El acoplador de Bethe-hole La propiedad fundamental de todos los acopladores direccionales es producir dos ondas separadas, las cuales se suman en fase en la puerta acoplada y se cancelan en la puerta aislada. Una de las formas más simples de hacer esto es mediante una guía de ondas, que se coloca encima de otra, con un pequeño agujero en la cara ancha común entre las dos guías. Entonces al acoplador se le conoce como acoplador Bethe, que tiene las dos versiones que se muestran en la figura.
Fig. 2. Versiones del acoplador Bethe-hole De la teoría de acoplamiento por pequeñas aperturas, sabemos que una apertura puede ser reemplazada por una fuente equivalente consistente en los momentos de los dipolos eléctricos y magnéticos. Por esta razón, ajustando las amplitudes relativas de las dos fuentes equivalentes, se puede cancelar la radiación en la dirección de la puerta aislada, mientras se refuerza en la dirección de la puerta acoplada. Como se puede ver en la primera ilustración de la figura, las dos guías son paralelas, y el acoplamiento se controla mediante la distancia s, que representa el desplazamiento de la apertura desde el borde de la guía. Para el acoplador de la segunda ilustración de la figura, las amplitudes de las ondas se controlan mediante el ángulo θ, formado entre las dos guías [3]. En función del ajuste de θ , se puede alcanzar un gran valor de directividad. La principal característica de este acoplador es que produce acoplamiento entre guías tanto del campo eléctrico como del magnético. Para una señal de entrada por la puerta 1, el acoplamiento eléctrico produce la propagación en fase de ondas hacia las puertas 3 y 4. El acoplamiento magnético (Hx), produce ondas desfasadas,
2
pero de igual amplitud, en la guía secundaria. En función del ajuste del ángulo θ , los coeficientes de acoplamiento eléctrico y magnético pueden ser iguales, produciéndose cancelación total de la onda en la puerta 4. Debido a esto mismo, la potencia se inyecta por la puerta 1, y se acopla a la 3, pero no a la 4. El ángulo para el cual se obtiene el valor de directividad máxima se obtiene mediante la siguiente ecuación:
2
021cos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
λλ
θ g Ec. 1
Es posible minimizar la potencia que pasa a la puerta aislada (la 4) y maximizar la que se transmite a la acoplada (la 3) seleccionando la distancia del agujero a las caras laterales [1]. La distancia óptima puede determinarse a partir de la expresión
)(2
.sin22
0
0
aas
−=
λ
λπ Ec. 2
Cuando el espaciamiento s de la apertura respecto a la cara ancha de la guía se elija para satisfacer la relación anterior, la potencia acoplada en la puerta 4 será cero. Un análisis más detallado muestra que el acoplamiento y la directividad pueden obtenerse mediante:
θcos1log20
XC ≈ Ec. 3
θθ
cos1cos2log20+
+= CD Ec. 4
donde gabrX λπ 3/.16 30= , y r0 representa el radio de la
apertura. El acoplamiento en la puerta 3 está dado por la ecuación dada más abajo, con X+1 sustituido por X+1 y A1+A3 intercambiado con A2+A4. Cuando a20 =λ , la apertura se encuentra en el centro, es decir, s=a/2 [2], lo que hace que se comporte como un acoplador inverso. La razón de esto es que el vector del campo eléctrico se invierte al acoplarse en la guía secundaria, pero el vector magnético no. Para esa condición, el campo acoplado en la puerta 3 es mínimo, y el acoplado a la 4 máximo. El acoplamiento y la directividad que se consiguen están dados por:
XX
AAC
C2
42
1log20log20 +=
+=
Ec. 5
1
31
42 log20log20−
=+
+= X
AAAA
D Ec. 6
donde ( )adsenabrX g /)3/.16( 230 πλπ= . Estas fórmulas se
cumplen sólo a la frecuencia de diseño. Los resultados obtenidos están basados en la aceptación de que la pared de la guía en la cual se encuentra la apertura es infinitamente delgada. Para grosores normales de las paredes de las guías de onda, el acoplamiento será 1 ó 2 dB menor. Uno de los problemas de este tipo de acoplador es que tiene una directividad muy dependiente con la frecuencia, y por tanto, su utilidad está limitada a aplicaciones de banda estrecha [2]. Con todo esto, un acoplador Bethe puede ser diseñado, encontrando el valor de s y la posición de la apertura, y después se debe determinar el tamaño de la misma, r0, para obtener el factor de acoplamiento deseado. La geometría de este tipo de acopladores, a menudo puede variar en función de la aplicación y fabricación. Por
eso, estos acopladores se diseñan para obtener las características adecuadas a la frecuencia de trabajo; cualquier desviación de la frecuencia de trabajo puede suponer alterar el nivel de acoplamiento y directividad [3].
III. ACOPLADORES DE DOS AGUJEROS
El funcionamiento de la versión de dos agujeros se puede entender con la ayuda de la figura, donde se toma la puerta 1 como entrada. Ambas aperturas son de idéntica forma y tamaño. La onda incidente por la puerta 1 es designada por el fasor a1= a1 0∠ . Como se propaga hacia la puerta 4, parte de la onda se acopla por el primer agujero hacia las puertas 3 y 2. Esas ondas son denotadas como kfa1 lβ−∠ y kra1 0∠ , donde kf y kr son los coeficientes de acoplamiento directo e inverso. Destacar que la onda de la puerta 3 está retrasada en fase lβ , donde
gλπβ /2= es la constante de fase de la guía
de onda. Para el acoplamiento kf y kr son menores de 0.1. Por tanto, el acoplamiento debido a la segunda apertura produce ondas directa e inversa de valor kfa1 lβ−∠ y kra1 lβ2−∠ , respectivamente. Con esto, las ondas salientes de las puertas 3 y 2 son lakb f β−∠= 13 2 y )2101(12 lakb r β−∠+∠= . La
potencia asociada a esas ondas está dada por 23b y 2
2b . Así, 2
12
3 4 akP f= y
lakljsenlakP rr βββ 221
2221
22 cos4|2)2cos1(| =−+=
Fig. 3. Acoplador de dos agujeros
Puesto que 2
1a es la potencia incidente por la puerta de entrada, el acoplamiento y la directividad para el acoplador de dos agujeros están dados por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 24
1log10fk
C Ec. 7
l
kk
D r
f
β2
2
coslog10
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= Ec. 8
El acoplamiento solo es función de kf, el cual depende del tamaño de la apertura y de la frecuencia de trabajo. Para agujeros circulares pequeños de diámetro d, kf es proporcional a 3d . Cuando el agujero se encuentra en la cara estrecha, kf aumenta a medida que la frecuencia de trabajo disminuye. Esto se debe a que la interrupción de las corrientes transversales, las cuales producen el acoplamiento, aumenta cuando la frecuencia de funcionamiento se acerca a su punto límite. La respuesta en frecuencia para un agujero situado en la cara más ancha es más compleja. Para ambas caras, el acoplamiento es independiente de lβ ya que la longitud de los caminos que atraviesan las ondas hasta llegar a la puerta 3 es idéntica. La directividad, en cambio, es
3
función de lβ ya que la diferencia de fase de las ondas que llegan a la puerta 2 es lβ2 . La expresión de la directividad escrita antes para el acoplador de dos agujeros se puede reescribir como:
22
cos1log10log10 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
lkk
Dr
f
β Ec. 9
La directividad es la suma de la directividad propia de una única apertura más una directividad asociada al array (en este caso array de dos elementos). Para una longitud l fija, la directividad es función de β, y por tanto, de la frecuencia [1]. Los parámetros de acoplamiento de las aperturas (kf y kr) generalmente sufren pequeñas variaciones con la frecuencia; el acoplamiento C no depende particularmente de la frecuencia, y presenta una respuesta prácticamente plana en toda su banda de operación. La directividad por su parte sí es sensible a la frecuencia, debido a que también lo es el factor de array lβsec . Es posible conseguir anchos de banda
mayores que los que alcanza el acoplador de doble agujero utilizando acopladores de múltiples agujeros [2].
III.1Acoplador Riblet-Saad Este acoplador fue diseñado por Riblet y Saad. Alcanza una gran directividad. La ranura longitudinal acopla Hz produciendo ondas en la guía secundaria dadas por kza1. La ranura transversal acopla Hx produciendo ondas distintas dadas por +kxa1 y -kxa1.
Fig. 4. Ranuras de un acoplador Riblet-Saad
Si las dimensiones de las ranuras son las mismas, la relación kx / kz es proporcional a la relación Hx / Hz en la guía principal. Para ag 2=λ , lo cual ocurre sobre la mitad de la
banda de uso de la guía, kx/kz=1 y se produce una cancelación total de la onda (b2=0) en la puerta 2. La señal acoplada a la puerta 3 es 13 2 akb x= .
Fig. 5. Acoplador Riblet-Saad
De esta manera la máxima directividad y el acoplamiento plano ocurren a la misma frecuencia. La directividad es función de la frecuencia, ya que lo es kx/kz. Para un único par de ranuras, se pueden alcanzar valores de directividad mayores de 20 dB en el 25% de la banda de frecuencia. Para conseguir mayores valores de directividad y ancho de banda, es necesaria la utilización de diseños basados en multisecciones [1].
III.2 Acoplador de fase invertida de Schwinger Consiste en dos agujeros separados l=λg/4 a la frecuencia de diseño. Está diseñado para intercambiar la dependencia con la frecuencia del acoplamiento y la directividad, además, la dirección de propagación de la onda acoplada es opuesta a la de la onda de la guía principal. Ambos fines se consiguen haciendo que una apertura radie un campo el cual es el opuesto al radiado por la otra. La primera apertura radia los campos según bf y br, y la segunda apertura según -bf y -br. La posición de las ranuras hace que la componente Hz se acople a la guía secundaria. La porción de la onda que se propaga hacia la puerta 2 recorre la misma distancia, por lo que se produce cancelación (b2=0). Por otro lado, las ondas las ondas que viajan hacia la puerta 3 se suman con un desfase de º1802 =dβ a la frecuencia de diseño.
Fig. 6. Acoplador de Schwinger
Cabe destacar que el acoplamiento es función de dβ pero no lo es la directividad, por lo que el factor de acoplo es más sensible con la frecuencia que la directividad. Por tanto, el factor de acoplo será
dsenbC r β2log20−= Ec. 9 y es máximo para d= λg/4. De esta forma, sus características se ajustan al acoplador de dos agujeros descrito anteriormente [1]. Para este acoplador, la directividad es teóricamente infinita y está dada por dada por
dbb
dbb
eb
bD
r
f
r
f
djr
f βββ
seclog20log20cos
log201
2log20
2+==
+=
−
Ec.10
Realmente, en la práctica, la directividad D evidentemente no es infinita [2].
III.3 Acoplador de Moreno de guías cruzadas En el acoplador de Moreno las guías se orientan formando un ángulo recto. El acoplamiento se realiza a través de las caras anchas, mediante dos aperturas en forma de cruz con las cuales se consigue un fuerte acoplo de campos.
Fig. 7. Acoplador de Moreno de guías cruzadas
La longitud que recorren las componentes que van hacia la puerta 2 es la misma, las ondas llegan desfasadas 180º, y por tanto, se cancelan. Por tanto, la directividad de este tipo de acopladores es independiente de lβ . A la frecuencia de
4
diseño, l=λg/4 por lo tanto las ondas que llegan (acopladas) a la puerta 3 se suman. Esas ondas están en fase, ya que el retraso de fase de 180º es debido al desplazamiento de lβ2 . La señal principal incidente por la puerta 1 se acopla a la puerta 3, pero no a la puerta 2. El acoplamiento también depende de lβ , y por tanto es sensible a la frecuencia. Este diseño da lugar a una elevada sensibilidad con la frecuencia tanto de la directividad como del factor de acoplo [1].
IIII. ACOPLADORES MULTIAGUJERO
Este tipo de acopladores direccionales son utilizados normalmente en aplicaciones que requieren un acoplamiento bajo. Consisten en dos guías de onda rectangulares idénticas que tienen una cara común, ya sea la ancha o la estrecha, como se muestra en la fig. 8. En ambos casos, la distancia l entre aperturas es de λg/4 a la frecuencia de diseño.
Fig. 8. Acopladores multiagujero
La banda de frecuencia de trabajo del acoplador es bastante escasa. El ancho de banda se puede incrementar utilizando técnicas de multisección. Estos métodos se pueden utilizar para conseguir acopladores direccionales de banda ancha. En el caso Butterworth, la distribución de los parámetros de la apertura va en función de los coeficientes binomiales. Para ilustrar esto, vamos a considerar un acoplador de tres agujeros (dos secciones), como el mostrado:
Fig. 9. Acoplador multiagujero
Para una onda incidente por la puerta 1, el fasor total de las tres ondas en la puerta 3 está dado por
lakb f β24 13 −∠= , lo que hace que la potencia sea 2
122
33 16 akbP f== . El fasor total de las ondas en la puerta 2
es ( )
llakllak
laklakakb
r
r
rrr
ββ
ββββ
2cos4
22cos124220
21
1
1112
−∠
=−∠+=−∠+−∠+∠= . Con
esto la expresión de la potencia en la puerta 2 queda: lakbP r β42
122
22 cos16== Ec. 11 y la directividad del acoplador binomial de tres
agujeros: 42
cos1log10log10 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
lkk
Dr
f
β Ec. 12
Destacar la mejora en el ancho de banda al aumentar el número de secciones. El mismo análisis que el realizado anteriormente se puede generalizar a acopladores binomiales de n secciones (n+1 agujeros), obteniendo la siguiente expresión para la directividad:
n
r
f
lkk
D22
cos1log10log10 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
β Ec. 13
Para conseguir buena directividad en todo el ancho de banda, se seleccionan los valores de los coeficientes de las aperturas en función de los coeficientes de Tchebyscheff. Para kf = kr, la directividad mínima sobre todo el ancho de banda para una acoplador direccional de n secciones está dada por:
2
0min cos
1log10⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
φnTD Ec. 14
donde el ancho de banda está definido por 00 φπβφ −≤≤ l y Tn representa el polinomio de Tchebyscheff de grado n. Para obtener una directividad mínima, el ancho de banda de un diseño de Tchebyscheff es mejor que el de un diseño Butterworth, para el mismo número de secciones [1]. En otros términos, el acoplamiento está dado por:
∑=
−=N
nfkC
0log20 Ec. 15
En un acoplador direccional multiagujero se requiere que el acoplamiento de cada apertura sea pequeño, por lo que el radio de las aperturas también debe ser pequeño.
V. CONCLUSIONES Este tipo de dispositivos basa su funcionamiento en la radiación mediante aperturas, gracias a las cuales se produce la transferencia de energía de una guía a la otra. Con esto y la variación de caminos seguidos por las señales, se consiguen determinados desfases en estas, logrando así que su suma de lugar al refuerzo y/o la cancelación deseados en las señales de salida. Para lograr esto, se emplean distintas técnicas, que van desde variar el número de agujeros radiantes, variar la posición y forma de las aperturas en las guías, la colocación de las guías, etc.
VI. REFERENCIAS [1] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering, Passive Circuits”, pp. 367-
377, Patience Hall, 1988. [2] Robert E. Collin, “Foundations for Microwave Engineering”, 2ª ed., pp.
413-427, Wiley-Interscience, 2000 [3] David M. Pozar, “Microwave Engineering”, 3ª ed., pp. 323-332, Wiley,
2005 [4] Gilbert H. Owyang, “Foundations for Microwave Circuits”, pp. 296-
310, Springer-Verlag, 1989 [5] C. G. Montgomery, R. H. Dicke and E. M. Purcell, “Principles of
Microwave Circuits”, pp. 299-301, IEE Electromagnetic Waves Series 25, 1987
[6] Charles A. Lee and G. Conrad Dalman, “Microwave Devices, Circuits and Their Interaction”, pp. 99-102, Wiley Series in Microwave and Optical Engineering, 1994
1
LÍNEAS ACOPLADAS Juan García-Alcañiz Fernández
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08
Universidad de Alcalá de Henares. Escuela Politécnica Superior. e-mail :[email protected]
Resumen- Con este trabajo se pretende mostrar al lector los fundamentos y características generales de las líneas de transmisión acopladas, así como las ventajas de dicho medio de transmisión frente a otros para su uso en el rango de las microondas. El documento finaliza comparando dos tipos diferentes de líneas acopladas: las líneas microstrip y stripline.
I. INTRODUCCIÓN
Se considera línea de transmisión acoplada a un sistema semicerrado de transmisión, formado por dos o más tiras de conductor paralelas separadas una distancia ‘s’, aisladas entre sí, dispuestas sobre substratos, denominados ‘dieléctricos’, y en el que las ondas, sin quedar totalmente confinadas en uno u otro, es decir, sin existir un medio físico único que limite el volumen por donde se propagan, puede ser guiada entre dos puntos. Además, gracias al comportamiento de las ondas electromagnéticas en este tipo de medios, las características de las señales pueden ser modificadas en función de las exigencias del proyecto.
II. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ACOPLADAS
Las líneas de transmisión acopladas disponen, por lo menos, de dos conductores, para poder establecer entre ellos una diferencia de potencial (quedando uno referido como plano de masa). Debido a esta estructura, son capaces de propagar modos transversales electromagnéticos (TEM), cuyas ondas que los conforman, tienen la propiedad de que las componentes axiales de los campos eléctricos y magnéticos son nulas.
Fig. 1. Líneas de transmisión acopladas con diferentes modos de propagación.
En la figura, C11 y C22 representan las capacidades entre uno de los conductores y el plano de tierra cuando el otro conductor no está presente. Por el contrario, C12 es la capacidad entre los dos conductores en ausencia del plano de tierra. En el modo par los dos conductores se encuentran al mismo potencial, y la corriente fluye por ambos con la misma amplitud y sentido. La simetría del campo eléctrico crea una pared magnética en el plano x=0, que impide que la corriente circule entre los conductores. En el modo impar, uno de los conductores se encuentra a potencial +V, y el otro a –V. La corriente fluye por ambos conductores con la misma amplitud, pero en sentidos opuestos. Las características de la línea acoplada vienen dadas por los valores de la permitividad efectiva y capacidad (impedancia característica) de los modos TEM par e impar. En estos modos, los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y sus magnitudes están relacionadas por una impedancia de la onda, que depende únicamente de las características del medio dieléctrico por el que se propaga la onda, de ahí la importancia de elegir un buen material, en función de las necesidades del diseño. Estos sistemas pueden modelarse como redes de parámetros distribuidos siendo posible estudiar la excitación y la propagación de las ondas de tensión y corriente sin necesidad de resolver las ecuaciones de Maxwell, sujetas a las condiciones de contorno impuestas por el sistema. Abordar, desde el punto de vista electromagnético el planteamiento de la explicación de este medio de transmisión queda fuera del alcance de este trabajo, se abordará la temática desde el punto de vista del análisis de las ecuaciones de las ondas de tensión y corriente (incidente y reflejada) que se propagan por las líneas.
II.1Modelo circuital de la línea de transmisión La caracterización de la propagación de la señal analógica en las líneas de transmisión se hace por medio de los parámetros primarios y secundarios, que paso a definir ahora.
Fig. 2. Circuito equivalente de las líneas de transmisión con pérdidas.
2
Donde L, R, C y G son respectivamente la inductancia (H/m), la resistencia (Ω/m), la capacidad (F/m), y la conductancia (S/m) por unidad de longitud, que se corresponde con las inversa de la resistencia de aislamiento entre ambos conductores. Son los parámetros primarios de las líneas de transmisión homogéneas. Estos parámetros están uniformemente distribuidos a lo largo de la línea, y dependen de la naturaleza y propiedades eléctricas de los materiales de la misma, del método de construcción y geometría, y de las frecuencias de las corrientes de la línea, debido al efecto pelicular. R, es la resistencia por unidad de longitud debida a la resistividad no nula de los conductores que forman la línea. En cuanto a las perdidas por radiación, este efecto es más acusado cuanto mayor es la frecuencia donde la separación entre conductores es comparable o mayor incluso que la longitud de onda de la señal. En este caso, los campos radiados por cada conductor no se cancelan entre sí, dando lugar a una pérdida de energía. L, es la inductancia de lazo por unidad de longitud debida a los flujos interior y exterior a los conductores. Si el conductor es perfecto, la corriente en su interior es nula, y la inductancia total es igual a la inductancia externa (debida al flujo externo). Si el conductor no es perfecto, la inductancia total será la suma de las inductancias externa e interna (esta última debida al flujo interno). C, es la capacidad uniformemente distribuida debida a la presencia de conductores separados por dieléctricos. G, representa las pérdidas que aparecen cuando el dieléctrico que separa los conductores no es perfecto.
II.2 Ecuaciones de las líneas de transmisión. Ondas de tensión y corriente
Cuando se realiza el estudio de un circuito en baja frecuencia, puede considerarse que las ondas de tensión y corriente afectan al circuito completo en el mismo instante de tiempo. Es decir, se desprecian los efectos de la propagación debido a que la longitud de onda de la señal es mucho mayor que las dimensiones físicas del circuito, haciendo despreciables el desfase que experimenta la señal y el tiempo que tarda en propagarse. . Para poder aplicar las técnicas de análisis de baja frecuencia, el circuito debe estudiarse en secciones de longitud diferencial, en las cuales los parámetros pueden concentrarse en un solo valor.
Fig. 3. Ondas de tensión y corriente de las líneas de transmisión.
En frecuencias de microondas, los desfases y retardos no son despreciables, y las ondas de corriente y tensión tienen valores distintos en distintos puntos del circuito, y en un mismo instante de tiempo .Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito equivalente a una sección infinitesimal de línea de transmisión, las expresiones instantáneas de la tensión y la corriente vienen dadas por:
( , )( , ) ( , )* * * ( , )v z z ti z t v z z t G z i z z tt
∂ + Δ= + Δ Δ + + Δ
∂ Ec.(1)
( , )( , ) ( , )* * * * ( , )i z tv z t i z t R z L z v z z tt
∂= Δ + Δ + + Δ
∂ Ec.(2)
Dividiendo por zΔ y calculando el límite cuando zΔ tiende a cero, las anteriores se transforman en la siguiente pareja que se conoce como ecuaciones de la línea de transmisión con pérdidas:
( , ) ( , )* ( , )
( , ) ( , )* ( , ) *
v z t i z tR i z t Lz t
i z t v z tG v z t Cz t
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
Ec.(3)
Suponiendo una dependencia armónica con el tiempo, las expresiones instantáneas de la tensión y la corriente se expresan:
( , ) Re[ ( )* ]( , ) Re[ ( )* ]
jwt
jwt
v z t V z ei z t I z e
=
= Ec.(4)
Donde V(z) e I(z) son los favores asociados a las expresiones instantáneas de la tensión y la corriente respectivamente y w es la pulsación del generador de excitación. Dado que las ecuaciones que describen el circuito son lineales y el operador parte real, también lo es, se resolverá el sistema de ecuaciones planteado sustituyendo v(z,t) por V(z)*ejwt e i(z,t) por I(z)*ejwt, sin olvidar que para obtener la solución de las tensiones y corriente instantáneas se habrán de aplicar las ecuaciones anteriores. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de la línea de transmisión con pérdidas y eliminando el término ejwt se obtienen las siguientes relaciones entre fasores:
( ) ( )* ( )
( ) ( )* ( )
V v R jwL I zz
I z G jwC V zz
∂= − +
∂
∂= − +
∂
Ec.(5)
Si se define la impedancia serie de la línea por unidad de longitud como Z=R+jwL y la admitancia paralelo por unidad de longitud como Y=G+jwC las expresiones anteriores se pueden reescribir como:
( ) * ( )
( ) * ( )
V v Z I zz
I z Y V zz
∂= −
∂
∂= −
∂
Ec.(6)
3
Derivando respecto a z en una de las ecuaciones anteriores y sustituyendo en la otra, se obtiene:
22
2
22
2
( ) ( ) * ( ) * ( ) * ( )
( ) ( ) * ( ) * ( ) * ( )
V z R jwL G jwC V z V zz
I z R jwL G jwC I z I zz
γ
γ
∂= + + =
∂
∂= + + =
∂
Ec.(7)
Donde 2 *Z Iγ = .
III. LÍNEAS DE TIRAS
Las líneas planares, debido a la alta atenuación que presentan y a su baja capacidad de transmisión de potencia, no son útiles para transmitir información entre puntos alejados. Se emplean para realizar componentes pasivos en circuitos de microondas, tales como bobinas, condensadores, redes de adaptación, filtros, antenas, resonadores, etc., o simplemente como elementos de interconexión, de reducidas dimensiones, y con buenas características en aplicaciones de microondas. Además tienen la ventaja de que se pueden fabricar con técnica PCB (placa de circuito impreso), lo que les hace económicamente atractivas. Los substratos que conforman estos materiales, deben reunir las siguientes propiedades:
• Reducida tangente de pérdidas eléctricas • Buena conducción térmica • Elevada constante dieléctrica • Uniformidad e isotropía
El conductor más utilizado es el cobre (Cu), y la cantidad de material se expresa generalmente en ‘oz’(cantidad de material por pie cuadrado). Los valores típicos son 0.5, 1 ó 2 oz, que determinan el espesor del conductor, respectivamente (17.8, 35.6 y 71.1 μm). Y en cuanto a sus características deseadas:
• Alta conductividad • Escasa dependencia de la resistencia superficial (Rs)
con la temperatura • Buena fijación al substrato
Hay diversas variantes de las líneas de cinta, de las que las más usadas son la línea de cinta propiamente dicha (stripline) y la línea de microcinta (microstrip).
III.1Stripline Las líneas stripline están formadas por dos cintas conductoras paralelas de tierra, y una cinta conductora interna de señal entre ellas. El ancho w de la cinta de señal es pequeño frente al ancho de las tiras de tierra, de manera que éstas pueden considerarse planos infinitos. El espesor de la cinta de señal es w y la separación entre las tiras de tierra, llena con un dieléctrico de permitividad rε , es h.
Fig. 4. Líneas stripline, en varias configuraciones y propagación en
el interior de las líneas stripline
Los parámetros más significativos que describen el comportamiento de estas líneas son: Impedancia característica:
0 120 ( )r r
μμ πηε ε ε
= ≈ ≈ Ω Ec.(8)
La velocidad de propagación y la longitud de onda en la línea se obtienen de las expresiones:
0
r
r
cvελλε
=
=
Ec.(9)
III.2 Microstrip A diferencia de la stripline, las líneas microstrip son estructuras abiertas, de forma que las líneas de campo no están confinadas en un solo medio, sino que se distribuyen en el dieléctrico y el aire. Debido a esta manera de propagación, los modos que propaga este sistema son denominados cuasi-TEM pares e impares. Una cinta conductora muy ancha funciona como plano de tierra y sobre ella se coloca un dieléctrico de permitividad efε y espesor b. sobre el sustrato hay una (o varias) cinta de señal de espesor t y ancho w.
Fig. 5. Líneas microstrip, en varias configuraciones
4
La impedancia característica de la línea es de difícil cálculo debido al campo disperso fuera de la región entre los conductores. Las expresiones más conocidas son las halladas por Wheeler [2]. A partir de ellas se han realizado aproximaciones y mejoras para diversas situaciones. En este trabajo solamente se presentan las fórmulas más sencillas en las que se desprecia el espesor t de la cinta de la señal.
21 1 1 0.04 12 2 121
r reff
wbb
w
ε εε
⎡ ⎤⎢ ⎥+ − ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥⎣ ⎦
00
8/ ln42 eff
b ww b Zw b
ηπ ε
⎛ ⎞≤⇒ ≈ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.(10)
00
1/1.393 0.667 ln( 1.444)eff
w b Z w wb b
ηε
≥⇒ ≈+ + +
La velocidad de propagación y la longitud de onda en la línea se obtienen de las expresiones:
0
eff
eff
cvε
λλε
=
= Ec.(11)
III.2 ¿Microstrip o Stripline? Ahora bien, la pregunta es: ¿cual es el mejor método para encaminar la señal, microstrip o stripline?, la mayoría de los ingenieros dirían que “depende”, la respuesta se basa en la definición de “mejor”. El proceso de cualquier diseño se basa en balancear compensaciones, ya que, generalmente entre un correcto funcionamiento y una respuesta aceptable interfiere a su vez, no sin riesgo, el factor de costes. Es por esto que no es conveniente basar diseños en reglas estrictas, cada diseño es único, los caminos marcados, pautas y métodos definidos por otros son meras herramientas a la hora de diseñar, pero en última instancia, cada ingeniero necesita crear su propio camino, y la mayoría de las veces, lo más rápidamente posible. Todo lo que se puede hacer, es precisar los pros y los contras de las líneas microstrip y las stripline, quedando a criterio del ingeniero y a las exigencias impuestas por el diseño la conveniencia de construir con una u otra. En los diseños de alta frecuencia, los factores de primer orden son la impedancia, la interferencia y la atenuación controladas, que influyen la anchura del conductor. En cuanto a irradiación, la microcinta irradiará más que un stripline, debido a que el conductor por el que se guía la señal, está en contacto con el aire, no se confina todo en el medio, así que si se carece de medio blindado para evitar las interferencias, recibidas o producidas por la microcinta, se recomienda valorar la opción de stripline. A igual impedancia, la microstrip requiere el grueso total del dieléctrico, al usar sustrato FR-4, en cambio para la stripline se requiere el total del grueso de dos veces la anchura del sustrato, con dos planos de referencia al rededor del conductor principal.
En cuanto a la atenuación, la diferencia es más sutil, para 100 ohmios la diferencia de pérdida del conductor es casi comparable entre las dos, sin embargo la pérdida dieléctrica es más baja en microstrip que en stripline para FR-4, ya que algunas líneas de campo en microstrip están en el aire, donde ven un factor más bajo de disipación que en el dieléctrico. Esto da a la microstrip cerca de una atenuación más baja del 30% que el stripline, que significa potencialmente una anchura de banda más alta de la interconexión por el 30%. Hoy en día, se disponen de numerosas herramientas al alcance de los ingenieros, capaces de simular el comportamiento de estos medios de transmisión, alguno de ellos son MMICAD, Microwave Office, o Libra, entre otros.
Fig. 6. Representación con MMICAD del parámetro S21 en dB,
para líneas ideales microstrip y stripline
IV. CONCLUSIONES
Debido a la creciente demanda de sistemas que trabajan en banda RF y microondas, tanto en comunicaciones civiles como de defensa, las líneas de transmisión acopladas se muestran como una opción muy acertada en la elección de fabricación de sus componentes (filtros, acopladores, amplificadores… etc.), por la estabilidad que demuestran a altas frecuencias, la facilidad de fabricación y manejo, y, como no, un coste moderado frente a otros medios. Cada proyecto tiene sus exigencias, compromisos, y queda a criterio del ingeniero el uso de cualquiera de las tecnologías a su alcance en el diseño a altas frecuencias, pero es indudable la calidad y ventajas que estos elementos aportan a un sistema de comunicaciones.
III. REFERENCIAS [1] H.A. Wheeler, “Transmission-Line Properties of Parallel Strips
Separated by a Dielectric Sheet”, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-3, No.3, marzo 1965, pp. 172-185.
[2] de I.J.Bahl, D.K.Trivedi, "A Designer´s Guide to Microstrip Line", Microwaves, Mayo 1977, p.174. Fórmulas más complejas, para mayores anchos de banda y situaciones de geometrías variadas, pueden encontrarse en el documento RT 3.1.2 de la firma Rogers Corp. (http://www.rogers-corp.com/mwu/litintbl.htm).
[3] J. Alpuente Hermosilla, y otros, “Líneas de transmission y Redes de Adaptación en Circuitos de Microondas”, Servicio de Publicaciones Universidad de Alcalá, 2001.
[4] David M. Pozar, “Microwave Engineering”, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.1998.
[5] C. E. Free and C. S. Aitchison, “Improved Analysis and Design of Coupled-Line Phase Shifters”, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, vol 43, nº 9, Septiembre 1995.
[6] E. G. Cristal and L. Young, “Theory and Tables of Optimum Symmetrical TEM-Mode Coupled-Transmision-Line Directional Couplers” IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, vol MTT-13, nº 5, Septiembre 1965.
[7] M.J. Madero Ayora., “Líneas de transmisión planares”, Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla,2007.
1
LÍNEAS ACOPLADAS Javier Gascueña Moreno
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este documento se muestra una breve descripción del concepto de líneas acopladas, junto con alguno de los montajes más usuales. Para ello se aportan los cálculos teóricos necesarios, así como los esquemas y simulaciones oportunos para el efecto.
Mostraremos especial dedicación en la realización sobre tecnologías microstrip y stripline por ser estas de gran popularidad.
I. INTRODUCCIÓN
Las ondas planas uniformes, son ejemplos de propagación de ondas sin guías (libremente), en el sentido de que una vez que se han propagado en una dirección, dentro de un bloque infinito de material, continúan propagándose en la misma dirección. De acuerdo con lo anterior, las líneas de transmisión (al igual que las guías de onda) se utilizan para guiar la propagación de la energía de un punto a otro.
Así pues, una línea de transmisión se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un punto a otro.
Decimos que dos pistas conductoras con fuentes de excitación no común están acopladas cuando la excitación eléctrica sobre una de ellas se manifiesta en la otra. Esta manifestación la realiza el campo electromagnético en base a elementos de acople (bien capacidades o inductancias).
II. DESCRIPCICIÓN Y ESQUEMA
El funcionamiento se basa en la posibilidad de poder
detectar y separar las ondas incidente y reflejada presentes en la línea de transmisión.
Tal y como se puede ver en la figura 1 el acoplamiento se lleva a cabo cuando las dos líneas de transmisión están lo suficientemente juntas como para que exista un campo eléctrico entre ellas. El grado de acoplamiento dependerá de la separación entre ellas, siendo más fuerte cuanto más próximas estén la una de la otra.
Fig.1. Líneas acopladas
Dos líneas acopladas conforman un sistema formado por cuatro accesos (figura 2), el cual puede dividirse a su vez en lo que se denota como modo Par y modo Impar (figura 3) en alusión a la impedancia que caracteriza cada modo.
A continuación en la figura 2 y en la figura 3 veremos una imagen explicativa de dicho montaje realizado sobre microstrip, donde podemos ver la configuración de los puertos.
Fig.2. Esquema líneas acopladas
1 2
3
4
Zo Zo
Zo
Zo
V /2
V /2
Fig.3. Esquema modo Par o modo Impar
Indicar como la impedancia en modo par es mayor que la
impedancia en modo impar. Como veremos más adelante las líneas acopladas se usan
como potentes divisores en los cuales la potencia se divide entre las dos salidas, y cuya gran ventaja es la capacidad de proporcionar un gran aislamiento y la mejor entrada de la VSWR.
De aquí que existan multitud de aplicaciones como multiplexores, demultiplexores, filtros direccionales, cambiadores de fase etc…
1 2
3 4
Zo Zo
Zo Zo
V V
2
III.CÁLCULOS TEÓRICOS Cada línea puede ser analizada mediante la teoría de líneas
de transmisión. Los voltajes e intensidades para los modos par e impar se muestran a continuación.
1 4
1 4
cos( ) . .sin( ). .sin( ) cos( )
V e e j Zo e V eI e j Voe e e I e
θ θθ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Ec.1
1 4
1 4
cos( ) . .sin( ). .sin( ) cos( )
O O
O O
V o j Zo o VI jVoe o o I
θ θθ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Ec.2 Tener presente que denotaremos al modo par con el
subíndice ‘e’ y al modo impar con el subíndice ‘o’ Y las condiciones de contorno que caracterizan dichos
modos son:
3 4 0I e I e= = Ec.3
3 4 0V o V o= = Ec.4
El coeficiente de transmisión se obtiene como
2 2 2 1 1
1 1 1 1 1
V V e V o V e V oV V e V o V e V o
+ −= =
+ +
Ec.5 en términos de la impedancia característica:
2
1
VV
Ec.6 . ( .cot( ) . tan( ))
2. . . tan( ).cot( ) . ( .cot( ) . tan( ))j Zo Zoe e Zoo o
Zoe Zoo o e j Zo Zoe e Zoo oθ θ
θ θ θ θ− +
=− −
siendo la impedancia característica:
.Zo Zoe Zoo= Ec.7
Por último calcularemos las impedancias en modo par y
modo impar para dos líneas acopladas en tecnología microstrip. Nos centramos en este tipo tecnología por ser de gran popularidad. Los valores obtenidos tras realizar el desarrollo pertinente son los siguientes.
eff.07 0.14.1, , 2.977 7
ε ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.8
eff.e.05 104.1, , 3.0897 7
ε ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.9 5 24.1, , 69.3147 7
Zo ohm⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.10 En la ecuación 7 calculamos la permitividad efectiva de la
línea microstrip, tomando como datos de entrada εeff.0(εr, u, p), donde εr para la línea microstrip es de 4.1, u representa la
relación entre la anchura y grosor tal como se muestra en la figura 4 y p se rige por la ecuación p=t/h.
w s w h
Fig.4.Línea acoplada en microstrip
Seguido de esto calculamos la permitividad efectiva para
el modo par como se muestra en la ecuación 8 y la impedancia característica, ecuación 9.
Por último calculamos la permitividad efectiva para el modo impar (ecuación 10) y las dos impedancias buscadas para los diversos modos (ecuaciones 11 y 12) atendiendo a los valores de entrada εeff.o.0(εr, u, p, g) y ZL(εr, u, p, g), donde g corresponde a g=s/h
eff.o.0
5 4 24.1, , , 2.5867 7 7
ε ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.11
5 4 24.1, , , 53.787 7 7
ZLo ohm⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.12
5 4 24.1, , , 76.4327 7 7
ZLe ohm⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.13
IV.CONFIGURACIONES EN STRIPLINE Y MICROSTRIP
En primer lugar presentaremos los dos tipos de tecnologías
mencionados, así como una breve descripción de estos. En la figura 5 se muestran dos fragmentos de tecnología microstrip y stripline. Como podemos ver el formato stripline posee una estructura de sándwich, mientras que el formato microstrip solo posee un plano de masa, produciéndose la propagación de un modo no homogéneo. Por esta razón podemos afirmar que por una línea stripline se propagan los modos TEM, a diferencia de una microstrip por la que se propagan los modos quasi TEM
H
S W
L
H
W
t
εr,tanδ GND
GND
Fig.5.Tecnología microstrip y stripline
3
Las líneas acopladas se emplean para la construcción de
filtros para líneas microstrip basándose en el concepto de inversor de admitancia a la frecuencia para la cual su longitud física es λ/4.
A continuación se ofrece una breve introducción sobre acopladores direccionales, por ser estos un caso particular de las líneas acopladas de gran interés de estudio.
El uso de líneas acopladas para la construcción de acopladores direccionales se da cuando estemos trabajando con acoplamientos iguales o superiores a 10dB, ya que este elevado valor de acoplamiento supone una limitación en la construcción de acopladores con mecanismos de acoplamiento con líneas de transmisión como es el caso de la Branch o el Anillo, ya que implicaría una impedancia característica elevada y por lo tanto una anchura de línea irrealizable por su escasa anchura.
En el caso de acopladores con líneas acopladas, se emplean dos líneas de transmisión de longitud λ/4 con iguales impedancias características y con mecanismo de acoplo el campo eléctrico que aparece entre ellas.
Si el circuito formado por las 2 líneas acopladas se encuentra adaptado, estaremos hablando de lo que se conoce como acoplador direccional. En la figura 6 podemos ver los cuatro accesos que lo conforman.
La funcionalidad de estos acopladores consiste en dividir la potencia que llega por el puerto de entrada y pasarla a los puertos de salida de modo que tomando una puerta al azar, manda potencia a otras dos, dejando aislada la cuarta restante.
Fig.6.Acoplador direccional
Siguiendo el esquema anterior, los accesos 1-2 y 3-4 son directos entre sí por encontrarse sobre la misma línea de acceso. El acoplamiento es mayor cuanto menor sea la distancia a la fuente, por lo tanto los accesos 1-3 y 2-4 están acopladas entre sí y los accesos 1-4 y 2-3 aislados. Si consideramos el acceso 1 la entrada, la puerta 3 será la acoplada, la 2 la directa y la 4 la aislada.
El reparto de potencia entre las dos salidas se realiza de forma que una de ellas recibe potencia de una forma privilegiada, rama directa, mientras que la otra recibe potencia de forma menos privilegiada, rama acoplada. Si el reparto de potencia se realiza de forma equitativa hablaremos de acopladores direccionales híbridos, pudiendo distinguir ente híbridos de 180º o híbridos de 90º atendiendo al desfase entre las ramas que reciben la potencia.
Los parámetros básicos a la hora de caracterizar una acoplador direccional son el acoplo (ecuación 13), el aislamiento (ecuación 14) y la directividad (ecuación 15) que se define como:
1
2( ) 10log PC dB
P⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.14
1 1 3
4 3 4( ) 10 log 10logP P PI dB
P P P⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ec.15
3
4( ) 10 log PD dB I D
P⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.16
El acoplador básico tiene una longitud de un cuarto de
longitud de onda, teniendo este una aplicación inmediata en las técnicas usadas actualmente. Sin embargo, con el fin de mejorar el ancho de banda en acoplamientos débiles surge el acoplador de tres cuartos de longitud de onda, que está compuesto por tres acopladores de cuarto de longitud de onda colocados en cascada, tal y como se muestra en la figura 7.
1
2 3
4
λ/4 λ/4 λ/4
Fig.7.Acoplador direccional 3λ/4
La particularidad de este acoplador es la fácil
implementación y la gran utilidad para acoplos a partir de 10 dB.
Existen múltiples tipos de acopladores direccionales como la branch line o el anillo híbrido, compuestos por líneas acopladas de longitud cuarto de onda o tres cuarto de onda, en los cuales no entraremos en detalle aún sabiendo de su gran importancia hoy en día
A continuación se adjuntan algunas realizaciones en tecnología stripline
a b c
Fig.8.modelos para acoplador direccional de 3dB
d f e
1 IN
3 OUT
2 DIR
4 AIS
4
Fig.9.e y f modelos para pérdidas de acoplamiento, d modelo para acoplador de tres cuartos de longitud de onda
Un posible ejemplo de aplicación podría ser un acoplador direccional en microstrip, para aplicaciones de TV en la banda de UHF (470MHz a 860 MHz).
V.SIMULACIONES Usando el programa MMICAD podemos ver la
simulación de una línea acoplada de longitud eléctrica 90º y adaptada.
Como el S21 y el S12 son iguales se confirma que el circuito es recíproco. A la frecuencia de diseño S11 y S22 (que también son iguales) se aproximan a cero por ser un circuito completamente adaptado.
Esto significa que en una línea acoplada adaptada el coeficiente de reflexión a la entrada es igual que a la salida. En la figura 10 se puede ver lo explicado anteriormente. También se añade la simulación de una línea acoplada con pérdidas en la que ya no se cumple esta relación, figura 11.
Fig.10.Línea acoplada ideal
Fig.11.Línea acoplada con pérdidas VI.CONCLUSIONES
Los resultados de este trabajo generalizan los publicados
previamente en los que se demostraba la viabilidad a la hora de utilizar líneas acopladas en las microondas. Se resalta el gran abanico de posibilidades que estas nos ofrecen hoy en día a la hora de implementar circuitos, así como la facilidad de diseño. También cabe resaltar la importancia de la elección correcta de la longitud del acoplador a la hora de realizar los diseños prácticos, tal y como se ha demostrado en las realizaciones sobre microstrip y stripline.
VII.REFERENCIAS
[1] B. M. Schiffman, "A new class of broadband
microwave 90º phasebhifters." IRE Truns., vol. MTl-6, no. 4, pp. 232-237, Apr. 1958.
[2] E. M. T. Jones and J. T. Bolljahn, "Coupled-strip transmission line filtersand directional couplers," /RE Truns., vol. MTT-4, no. 4, pp. 124-130, Apr. 1956.
[5] B. Schick and J. Kohler, "A method for broadhand matching of diffei-entia1 phase shifters," IEEE Trans. Microwaiv Theory Tech.. vol.
MTT-25, no. 8. pp. 666671, Aug. 1977. [6,7] W. J. Getsinger, "Microstrip dispersion model,"
lEEE Trun.r. Mic,ro\vrrve Theory Tech., vol. 21, no. I , pp. 34-39, Jan. 1993.
[8,9]"Accurate Wide-Range Design Equations for the Frequency Dependent Characteristics...", Kirschning, Jansen, IEEE MITT Jan 1984, página 83 en adelante.
[10,11]"Accurate Wide-Range Design Equations for the Frequency Dependent Characteristics...", Kirschning, Jansen, IEEE MITT Jan 1984, página 83 en adelante.
[12,13] "Handbook of Microwave and Optical Components", Chang, Chapter 1, Table 1.16.
[14,15] “Teoría de circuitos de microondas. Parámetros S”, página 174 en adelante, R.Sánchez Montero, P.L.Lopez Espí, M.P.Jarabo Amores, J.Alpuente Hermosilla.
[16] “Microondas Prácticas”, página 42, R.Sánchez Montero, P.L.Lopez Espí, J.Alpuente Hermosilla.
1
FERRITAS DE MICROONDAS Rubén García García
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- Las ferritas han adquirido mucha importancia en el diseño de dispositivos no recíprocos de microondas a lo largo de las últimas décadas. La variedad de estos materiales, así como sus caraterísticas de baja conductividad y anisotropía magnética, han permitido realizar filtros, aisladores, desfasadores, circuladores, y demás, todos ellos no recíprocos, que hasta su llegada eran imposibles de fabricar[1].
I. INTRODUCCIÓN
Con este trabajo realizaremos un análisis general de los materiales ferrimagnéticos, comúnmente conocidos como ferritas.
Todos los materiales presentan unas propiedades magnéticas que se deben a los momentos magnéticos de cada átomo. Estos momentos vienen asociados al movimiento orbital de los electrones alrededor del núcleo (momento magnético orbital) y al movimiendo de los electrones sobre sí mismos (momento magnético de spín). La suma de los momentos de todos los electrones presentes en un átomo nos dará como resultado el momento magnético total del mismo.
Dependiendo de la respuesta conjunta de estos dipolos magnéticos al aplicarles un campo externo, tendremos varios tipos de magnetismo: diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo, y en un grupo aparte, antiferromagnetismo y ferrimagnetismo.
II. DESARROLLO
II.1 Ferrimagnetismo
En algunos materiales cerámicos, existen diferentes iones con momentos magnéticos distintos (suelen ser Fe2+ y Fe3+). Al aplicar un campo magnético externo, los dipolos del ión A se alinean con el campo mientras que los dipolos del ión B lo hacen de forma antiparalela al campo (fig.1). Esta alineación se realiza mediante un movimiento de los spines de cada electrón (movimiento de precesión) alrededor de la dirección del campo magnético aplicado, el cual determina la pulsación del mismo. Como las magnitudes de los momentos opuestos no son iguales, aparece una magnetización neta en la dirección del campo externo. A estos materiales se les denomina ferrimagnéticos[2].
L. Neel estudió la interacción de los spines de los electrones en las ferritas en 1948.
II.2 Tipos de ferritas
Dependiendo de la magnetización que presenten inicialmente podremos distinguir entre[3]:
- Ferritas blandas: No presentan una magnetización significativa, por lo que podemos controlar su funcionamiento mediante su polarización. Esta propiedad las hace muy útiles para crear dispositivos no recíprocos de alta frecuencia, donde las corrientes parásitas son un problema. En nuestro caso se usarán principalmente como filtros, desfasadores y aisladores.
- Ferritas duras: Presentan inicialmente una magnetización fuerte que se considera permanente, prácticamente no tendrán utilidad en los dispositivos de microondas, se usan como imanes.
La forma de fabricar ambos tipos de ferritas es prácticamente idéntica. Se componen de óxido férrico, (XO)m(Fe2O3)n, siendo X un ión de valencia 2 como cadmio, cobalto, cobre, hierro, manganeso, níquel, zinc o alguna tierra rara.
Se mezclan las proporciones de los materiales que componen la ferrita y se muelen. Este polvo se introduce en un horno a unos 1200º de manera que los componentes reaccionen, se comprime para que la mezcla coja consistencia, y finalmente se vuelve a hornear a mayor temperatura para la compactación final.
Es en este último punto donde para crear ferritas duras se aplica un campo magnético externo de manera que se quede grabado de forma permanente.
Ademas de esta clasificación, las ferritas también se suelen clasificar según la estructura cristalina que presentan:
- Granates: Forman parte de las ferritas blandas y
deben su nombre a que su estructura es idéntica a la de los cristales del mineral granate. Su composición es M3Fe5O12, donde M es un ión de tierra rara. El más conocido es el YIG, formado por hierro e itrio, y tiene mucha importancia como material para aplicaciones de microondas. El ciclo de histéresis de los granates es cuadrado, tendrá mayores pérdidas que las espinelas.
- Espinelas: También son ferritas blandas pero en este caso su estructura es similar a los cristales del mineral espinela. La más utilizada es la magnetita, cuya composición es FeO Fe2O3. La principal ventaja frente a las granates es su mayor Fig. 1. Momentos magnéticos alineados de forma antiparalela
de diferente magnitud, ferrimagnetismo.
2
magnetización de saturación. El ciclo de histéresis es rectángular y de menor superficie, el cual propicia menores pérdidas. Sus aplicaciones son idénticas a las granates, se utilizarán como filtros, desfasadores y aisladores no recíprocos.
- Magnetoplumbitas o Ferritas hexagonales: Son ferritas duras y poseen una estructura cristalina similar al mineral plumbita. Se utilizan fundamentalmente como imanes permanentes.
Ninguno de estos materiales se encuentra en la naturaleza,
ya que el complicado proceso de síntesis que requieren sólo se da de forma artificial.
II.3 Propiedades fundamentales
Los materiales ferrimagnéticos presentan una baja
conductividad, lo que implica bajas pérdidas, y unas propiedades anisotrópicas que son inducidas por una polarización previa del material.
La interacción del campo de RF externo dará lugar al movimiento de precesión de los momentos bipolares alrededor de H0 (fig.2) (de forma similar a un giroscopio). Una vez polarizado el material, una señal de microondas polarizada circularmente que se propaga en la misma dirección que los momentos magnéticos atravesará la ferrita sin complicaciones. Sin embargo una señal con la dirección opuesta se encontrará una oposición a su paso y la interacción será más lenta. Esta propiedad direccional se usa para la construcción de dispositivos de microondas como los aisladores, circuladores y giradores[3].
Fig. 2. Movimiento de precesión, trayecto del eje de rotación.
La energía térmica hace que los dipolos magnéticos de una ferrita se desvíen de su alineamiento. Al aumentar la temperatura, se alcanza un punto en el cual el magnetismo de estos materiales desaparece completamente, comportándose como un material paramagnético. Este valor se denomina temperatura de Curie (fig.3).
En los granates, este valor será de unos 280ºC mientras que en las espinelas será bastante mayor pudiendo llegar hasta los 600ºC.
II.4 Ciclos de histéresis Cualquier material ferrimagnético, a temperaturas
inferiores a la de Curie Tc, está formado por regiones tridimensionales o dominios en los cuales sus momentos magnéticos netos están orientados al azar. Cada uno de esos dominios esta magnetizado hasta la saturación y separados unos de otros mediante paredes de Bloch o de dominio, a través de las cuales la dirección de magnetización cambia gradualmente[4].
El proceso de histéresis (fig.4) es irreversible, una vez apliquemos un campo magnético a una ferrita no podremos devolverla a su estado inicial. Se define a continuación.
La densidad de flujo magnético B y la intensidad de campo magnético H no son proporcionales en estos materiales. Si el material no está magnetizado, la curva de histéresis estará en el origen. Al aplicar un campo H las paredes de Bloch irán avanzando, creciendo así los dominios que lleven una dirección favorable al campo, y el campo B irá aumentando conforme lo haga el campo H. Finalmente tendremos un solo dominio paralelo casi por completo al campo externo, se dice que el material está saturado. Una vez llegamos a este punto Hs, B no crecerá más por mucha intensidad magnética que apliquemos. A medida que el campo H se reduce debido a la inversión de su dirección, la curva no invierte el camino original, sino que se produce el efecto de histéresis en el cual el campo B va retrasado con respecto al campo aplicado H, se produce un almacenamiento magnético. Cuando H es nulo, existe un campo residual Br o de remanencia, el material permanece magnetizado en ausencia de un campo magnético H. Este comportamiento se debe al movimiento de las paredes de los dominios, el proceso que realizaban se invierte encontrándose con una resistencia al movimiento que explica el desfase entre H y B. Para hacer nulo el campo B dentro de la ferrita, se debe aplicar un campo –Hc o de coercitividad en dirección opuesta a la del campo original.
Si continuamos aplicando el campo en sentido contrario, finalmente se alcanza la saturación en la dirección opuesta. Una segunda inversión del campo hasta el punto de la saturación inicial completaría el ciclo de histéresis simétrico como indica la siguiente figura:
Fig. 4. Campos B y H en ferritas. Ciclo de histéresis rectangular.
La pérdida de potencia es directamente proporcinal al
área de la curva de histéresis.
H0
Fig. 3. Temperatura de Curie para YIG de aluminio.
3
II.5 Polarización Las ferritas se pueden polarizar de dos formas diferentes[3][5]:
- De forma longitudinal: La dirección de propagación y la de polarización coinciden. Un campo H polarizado circularmente interaccionará con la ferrita dependiendo del sentido de polarización como vemos a continuación,
Ec.1
Por lo tanto las ondas se propagarán con diferentes constantes de fase (β+ y β-) provocando así el “Efecto Faraday” del que hablaremos en otro subapartado.
- De forma transversal: La dirección de propagación
y la de polarización son perpendiculares. En este caso también tendremos dos comportamientos distintos que vendrán dados por las siguientes ecuaciones,
Ec.2
A diferencia de la polarización longitudinal, en la transversal no existirá efecto Faraday. Lo que aprovecharemos será la frecuencia de resonancia para atenuar la señal o desfasarla más o menos, según trabajemos en una polarización o en otra. También lo veremos en un apartado posterior.
II.5 Tensor de permeabilidad Las propiedades magnéticas de una ferrita polarizada se expresan mediante un tensor de permeabilidad anisotrópica, el cual relaciona los campos B y H como se observa a continuación[3]:
Ec.3
Cuando la dirección de propagación es z y la ferrita está polarizada longitudinalmente el tensor será el siguiente:
Ec.4
Donde μ y k toman los siguientes valores:
Ec.5
Como consecuencia de esta anisotropía, la ferrita será capaz de descomponer la señal que le llegue en dos componentes polarizadas circularmente (una a derechas y otra a izquierdas), tratando a cada una de ellas de forma independiente y con velocidades de propagación distintas. Esta propiedad se denomina birrefringencia circular. El tensor de permeabilidad fue obtenido por Polder en 1949.
II.7 Efecto Faraday En las ferritas el efecto Faraday es resultado de la resonancia ferromagnética debida al tensor de permeabilidad. Esa resonancia provoca que las ondas se descompongan en dos ondas polarizadas circularmente y se propaguen con velocidades diferentes[3]. Una vez atraviesan el material las ondas se recombinan, de manera que se produce un cambio en la orientación de la onda resultante final (fig. 5).
Fig. 5. Efecto Faraday en las ferritas. Esta propiedad se aplicará en dispositivos de microondas como el aislador de rotación de Faraday, que utiliza la rotación del eje de la onda en la ferrita para que sólo exista propagación en un sentido.
II.8 Resonancia
Como sabemos habrá un punto de resonancia en la ferrita donde las pérdidas serán máximas (Fig.6). Que trabajemos en él o no, dependerá de la intensidad del campo de polarización transversal que le inyectemos.
Fig. 6. Resonancia magnética en las ferritas. Polarización en sentido +z
α
d
4
Definimos ΔH como anchura de línea, que es rango de intensidades de polarización que nos permiten trabajar con la ferrita en resonancia. El punto Ho=Hr será donde tendremos la máxima atenuación posible. Esta resonancia sólo se encontrará en un sentido de la polarización (fig.6). Esta diferencia será la utilizada para crear aisladores de resonancia en guías de onda[6].
Fig. 6. Permeabilidad magnética real e imaginaria en las ferritas. Según la
polarización +z y –z
Sin embargo otros dispositivos trabajan fuera de la resonancia para aprovechar otras propiedades como la diferencia de valores de la parte real de la permeabilidad (μ’), y así crear desfasadores variables no recíprocos.
III. CONCLUSIONES
Como hemos visto, las ferritas son la esencia de los dispositivos pasivos no recíprocos de microondas. Las dos formas de polarizar estos materiales nos dan resultados variados y flexibles según sean nuestras necesidades: la polarización longitudinal implica el efecto Faraday, la transversal en resonancia nos da un punto de máxima atenuación en una dirección, ofreciéndonos ambos tipos la posibilidad de sintetizar circuladores y aisladores, y la polarización transversal fuera de la resonancia, que nos facilita una diferencia de fase entre las señales directa e inversa para crear desfasadores. Por lo tanto las ferritas son un gran avance para la transmisión de señal de alta frecuencia, que hasta el momento no ha dejado de evolucionar.
III. REFERENCIAS [1] Kenneth J. Button, “A Review of Microwave Ferrite Devices”. [2] J.H. Van Vleck, “Fundamenta Theory of Ferro- and Ferri- Magnetism”,
Procedings of the IRE. 1956. [3] http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/Ferritas.pdf,
apuntes de clase. [4] F.J. Rosenbaum, “On the Latching of Rerrite Microwave Devices”,
IEEE Transactions On Microwave and Theory Techniques. 1976. [5] David M. Pozar, “Microwave Engineering” [6] Nicolaas Bloembergen, “Magnetic Resonance in Ferrites”, Proceedings
of the IRE. 1956.
1
GIRADOR Y AISLADOR DE ROTACIÓN DE FARADAY
Francisco Javier Fragoso Jiménez Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Los dos dispositivos a estudiar, poseen la particularidad de la no reciprocidad, es decir, su matriz S no es simétrica y en consecuencia, su comportamiento es distinto dependiendo del sentido en el que los excitemos. Tanto el girador como el aislador son dispositivos de dos puertas; el primero, introduce una diferencia de fase de 180º entre sus dos sentidos de transmisión y el segundo, posee muy bajas pérdidas de inserción en un sentido y muy altas en la dirección opuesta. Ambos están construidos con ferritas y se basan en una consecuencia particular de estas en determinadas condiciones, denominada “efecto Faraday”.
I. INTRODUCCIÓN
Dado que estamos ante un dispositivo, cuya construcción está basada en incluir un elemento de un material denominado ferrita, comenzaremos por un estudio breve sobre este tipo de materiales, el porqué de su uso y se explicará en qué consiste el “efecto Faraday”. A continuación se hará un análisis descriptivo y se indagará en el funcionamiento de cada uno de los dispositivos.
II. DESARROLLO
II.1 Teoría Ferrimagnética y efecto Faraday
II.1.1 Las ferritas
Los materiales magnéticos pueden dividirse en cinco tipos: materiales diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, antiferromagnéticos y ferrimagnéticos. Los materiales ferrimagnéticos son aquellos que poseen un número impar de electrones en los que la interacción entre los momentos de spin de átomos próximos, en ausencia de campo magnético, tiende a orientar la mitad de de los momentos de spin en un sentido, y la otra mitad en sentido contrario; todo ello dentro de cada dominio de Weiss. En consecuencia, en este grupo, el momento magnético resultante tiende a anularse, pero solo se cancelará si la magnitud de los momentos antiparalelos es la misma, este es el caso de los materiales antiferromagnéticos. En cambio quedará una magnetización residual en el dominio, si dichas magnitudes son distintas: es el caso de los ferrimagnéticos o ferritas. [1]
Las ferritas son materiales óxidos magnéticos de baja conductividad eléctrica cuyo principal constituyente es el hierro y cuyos átomos forman una estructura cristalina que les dota de propiedades de anisotropía en su permeabilidad magnética. Aunque tienen similitud con los ferromagnéticos, al poseer una magnetización neta en los dominios, Ms
(magnetización de saturación) en ausencia de campo magnético, es debida a un mecanismo diferente.
II.1.2 Tensor de Permeabilidad
La relación entre el momento magnético y momento angular puede escribirse:
sm rr γ−= Ec.1
Donde γ es la constante de relación giromagnética. Supongamos que en una ferrita existe un campo magnético externo de polarización 0HzH )r
= . El dipolo y el spin seguirán un movimiento de precesión alrededor del vector H0, en consecuencia el vector m describirá un cono alrededor del campo magnético H0 aplicado con una pulsación ω0, que es la velocidad con la que es capaz de responder el material. [1] Como además en el material existen N dipolos magnéticos por unidad de volumen, la magnetización total será:
mNM rr= Ec.2
Y la ecuación del movimiento:
HMdtMd rrr
×−= γμ0 Ec.3
Si sobre este campo magnético de polarización aplicamos un campo magnético H
ren alterna (señal a transmitir),
obtendremos un campo magnético total dado por:
HzHHt
rr+= ˆ0 Ec.4
Este campo provocará una magnetización total en la ferrita:
MzMM st
rr+= ˆ Ec.5
Si sustituimos Ec.4 y Ec.5 en Ec.3, tomando 0=dt
dM s ,
0HH <<r
y dándole a Hr
una dependencia armónica con el
tiempo de pulsación ω, quedarán las siguientes expresiones:
2
( ) ymxmx HjHM ωωωωωω +=− 022
0 Ec.6a
( ) ymxmy HHjM ωωωωωω 022
0 +−=− Ec.6b
Donde, 000 Hγμω = y sm Mγμω 0= ; lo que demuestra la
relación existente entre Hr
y Mr
. Podemos relacionar Br
(densidad de flujo magnético) y Hr
a través de la expresión:
( ) [ ]HHMBrrrr
μμ =+= 0 Ec.7
Donde el tensor de Permeabilidad está dado por:
[ ] [ ] [ ]( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=+=
0
0
0000
μμ
μχμμ jk
jkU Ec.8
Los elementos del tensor de permeabilidad son:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=+=+= 220
0
0
111ωω
ωωχχμμ m
yyxx Ec.9a
220
000 ωωωωμχμχμ−
==−= myxxy jjk Ec.9b
Los materiales que tienen este tipo de tensor de permeabilidad son llamados girotrópicos, ya que la componente de x (o y) de H
rda lugar a ambas componente x
e y de Br
, con 90º de desfase entre ellas. [2]
II.1.3 Efecto Faraday
Hemos concluido el carácter tensorial que se obtiene cuando se polariza una ferrita en la dirección de propagación de la onda. Ahora, aplicaremos este tensor de permeabilidad a una región infinita llena de ferrita, con un campo de polarización dado por 0HzH )r
= . Una vez aplicadas las ecuaciones de Maxwell se obtiene la siguiente solución para β:
( )k±=± μεωβ Ec.10
Obtenemos dos constantes de propagación distintas y en consecuencia, velocidades de propagación diferentes. Asociados a esta constante tendremos los siguientes fasores:
( ) zjeyjxEE +−+ −= βˆˆ0
r Ec.11a
( ) zjeyxjYEH +−++ += βˆˆ0
r Ec.11b
( ) zjeyjxEE −−− += βˆˆ0
r Ec.11c
( ) zjeyxjYEH −−−− +−= βˆˆ0
r Ec.11d
Observamos que los campos relacionados con β+ poseen una polarización circular a derechas mientras que los campos relacionados con β- tienen una polarización circular a izquierdas. [2] Y+ e Y- son las admitancias de onda dadas por:
kY e
+==
++ μ
εβω
Ec.12a
kY e
−==
−− μ
εβω
Ec.12b
Si ahora consideramos un campo eléctrico linealmente polarizado en z=0, representado como la suma de dos polarizaciones circulares. Cada una de las componentes se propagará con una constante de propagación diferente: β+ y β-, quedando el campo:
( )2
2ˆ
2cosˆ
zjezsenyzxE
−+ +−−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ββββββr
Ec.13
Esta es todavía una onda polarizada linealmente, pero cuya polarización rota a medida que la onda se propaga por el eje z. Si se toma un punto del eje z la dirección de polarización vendrá dado por:
zEE
x
y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−== −+−
2tan 1 ββφ Ec.14
Este efecto se denomina Rotación de Faraday, ya que fue Michael Faraday, quien primero observó el fenómeno, durante su estudio de la propagación de la luz a través de líquidos que tenían propiedades magnéticas. [2]
Para ω< ω0 y μ positivo, dependiendo del sentido del campo de polarización, φ se hace negativo o positivo a medida que aumenta z, es decir, que la polarización rota en el sentido antihorario o en sentido horario dependiendo de la polarización. Las permeabilidades magnéticas para una polarización circular a derechas y a izquierdas, quedarían:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=+ωω
ωμμ0
0 1 mk Ec.15a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=−ωω
ωμμ0
0 1 mk Ec.15b
De forma similar, para un campo de polarización en +z, Una onda que viaja en la dirección –z rotará su polarización en sentido horario si miramos en la dirección de propagación –z; Si estuviésemos mirando en la dirección +z, la dirección de rotación sería en sentido antihorario (la misma que para la
3
onda que se propaga en +z). La rotación de Faraday es por tanto un efecto no reciproco. [2]
II.2 Girador de rotación de Faraday
II.2.1 Descripción y esquema
Como ya se ha comentado, un girador es un dispositivo de dos puertas con una diferencia de fase de 180º entre sus dos sentidos de trasmisión, aunque su utilidad práctica no es importante, fue uno de los dispositivos de ferritas que primero se diseño (B.D.H. Tellegen en los Laboratorios Philips, realizó el análisis del girador en 1948 [1]), ya que demostraba claramente la característica de no reciprocidad de la ferrita. Nos centraremos en el caso de un girador en guía de ondas rectangular, el cual está compuesto por cinco partes bien diferenciadas, según se muestra en la Fig.1.
Fig. 1. Esquema físico/eléctrico de un girador de rotación de
Faraday de 180º. A: Elemento de torsión. B: Transiciones guía rectangular-guía cilíndrica. C: Guía de ondas cilíndrica. D:
Elemento de ferrita. E: Imán polarizador. F: Esquema eléctrico. 1: Puerta 1. 2: Puerta 2.
El imán será el encargado de generar un campo magnético constante en el sentido de la propagación para polarizar la ferrita. Cuando introducimos una señal en la puerta 1, la señal quedará desfasada 180º en la puerta 2, además de las pérdidas de inserción, que se considerarán despreciables. Sin embargo si la señal de entrada la situamos en la puerta 2, obtendremos, en la salida (puerta 1), una señal idéntica a la de entrada.
II.2.2 Análisis de funcionamiento.
Un girador, está basado en el efecto Faraday y la rotación que una ferrita polarizada en la dirección de propagación ejerce sobre la polarización lineal de una onda plana. Como ya habíamos comentado en el apartado II.1.3. Este hecho es aprovechado por el girador para reforzar o cancelar el efecto del elemento de torsión, y en consecuencia reforzar o cancelar el desfase según se muestra en la Fig. 2 y Fig. 3:
Fig. 2. Esquema del funcionamiento de un girador. Se puede observar como el desfase introducido en directa es de 180º
Fig. 3. Esquema del funcionamiento de un girador en inversa. Se
observa como el desfase que introduce es de 0º.
La razón de que la guía interior sea cilíndrica es garantizar cualquier giro de la polarización en su interior, ya que si fuera rectangular únicamente podríamos tener dos valores de polarización. Además las puntas de la ferrita se suavizan para evitar cambios abruptos en el interior de la guía y no tener saltos de impedancia que nos llevaría a desadaptaciones.
II.2.2 Matriz S y parámetros típicos.
Con todo lo dicho, la matriz S ideal del girador quedará:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0110
)( 0ZS Ec.16
Donde la matriz aparece adaptada tanto a la entrada como a la salida y sin pérdidas. El parámetro S21 nos muestra el desfase de 180º que introduce el dispositivo en directa. [1]
Dependiendo del material, la temperatura de trabajo, la impondrá la temperatura de Curie, temperatura a la que la ferrita pierde sus propiedades y se comporta como un material paramagnético (de 200 a 500ºC). [1]
II.3 Aislador de rotación de Faraday
II.3.1 Descripción y esquema
Este dispositivo, es un componente de dos puertas que posee muy bajas pérdidas de inserción (del orden de 0.5 dB) en una dirección (directa) y muy altas pérdidas (del orden de 20 dB) en la dirección opuesta. [1] Es muy similar al girador anteriormente descrito, excepto en que tanto la torsión empleada como la rotación de la polarización producida por la ferrita son de 45º:
Fig. 4. Esquema físico y eléctrico de un aislador de rotación de
Faraday. A: Láminas resistivas B: Elemento de torsión. C: Transiciones guía rectangular-guía cilíndrica. D: Guía de ondas
cilíndrica. E: Elemento de ferrita. F: Imán polarizador. G: Esquema eléctrico.1: Puerta 1. 2: Puerta 2.
4
El imán, en este caso, polarizará la ferrita en sentido contrario al de propagación de la onda. Las láminas resistivas son las encargadas de que en su interior, de existir un campo, sea con polarización vertical (TE10), absorbiendo el resto de las componentes. Si se introduce una señal por la puerta 1. La ferrita, en este caso cancelará el efecto de rotación en el elemento de torsión, obteniendo la misma señal a la salida, exceptuando las pérdidas de inserción que se considerarán despreciables. Si lo que hacemos es introducir la señal por la puerta 2, la ferrita hará rotar la polarización vertical inicial, y el elemento de torsión reforzará esta rotación, haciendo que la señal a la salida tenga completamente polarización horizontal, siendo la lámina resistiva la encargada de disipar esa señal y por tanto eliminándola.
II.3.2 Análisis de funcionamiento
El funcionamiento del aislador tiene su base en el mismo concepto del girador, pero con pequeños matices: Imaginemos una onda que viajara en +z con polarización lineal. Si su polarización es vertical, ésta será inmune a la lámina resistiva. La torsión que realiza en esta ocasión es de 45º grados, y la ferrita polarizada cancelará el efecto rotando la polarización de la onda, de nuevo a la verticalidad. De nuevo, al tener polarización vertical atravesará la lámina sin degradarse. En el caso de que la onda viaje en –z, sufrirá una rotación en su polarización debido a su paso por la ferrita, siendo en esta ocasión el elemento de torsión el encargado de reforzar esta rotación. Como la onda llega con polarización horizontal a la salida, la lámina resistiva disipará la señal al completo. Este hecho es descrito en la Fig. 5:
Fig. 5. Esquema del funcionamiento de un aislador. En la parte
superior se muestra el funcionamiento en directa, donde la onda no sufre cambios, mientras que en la figura inferior se muestra el
funcionamiento en inversa y como la onda es eliminada.
II.3.3 Matriz S y parámetros típicos.
El aislador está diseñado para eliminar las ondas reflejadas que vuelven al generador, sea cual sea la carga. Imaginemos el siguiente esquema, donde el aislador ha sido cargado con una carga ZL:
Fig. 6. Esquema de un aislador cargado con una carga ZL.
Independientemente de cual sea esta carga la impedancia de entrada será Z0.
Cómo la onda reflejada se anula, el dispositivo siempre estará adaptado aunque no entregue toda la potencia a la carga. La lámina resistiva disipará la potencia sobrante, y en consecuencia aumentando la temperatura del dispositivo. Por tanto, el S12 es nulo y el coeficiente de reflexión a la entrada vendrá dado por la siguiente ecuación:
1122
2112110 1
)( SSSSSZ
L
LIN =
Γ−Γ
+=Γ Ec.17
Por último, la matriz S ideal de un aislador, será:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0100
)( 0ZS Ec.18
Donde la matriz aparece adaptada tanto a la entrada como a la salida y sin pérdidas. El parámetro S21 nulo, nos demuestra como la señal en inversa es anulada por completo.
El uso de estos dispositivos se centra sobretodo en fibra óptica, donde existe gran variedad de modelos comerciales. Los fabricantes suelen facilitar como parámetros típicos: Pérdidas de inserción, aislamiento, pérdidas de retorno, potencia de trabajo, temperatura y ancho de banda, los cuales pueden rondar, respectivamente: 0.25dB, 23dB, 23dB, 200W, -10ºC a 85ºC y 20 MHz aproximadamente. [3]
III. CONCLUSIONES
Hemos evidenciado la gran utilidad que poseen los materiales no recíprocos en la fabricación de dispositivos de microondas, sobretodo para la del aislador, elemento fundamental en los equipos de alta frecuencia, en concreto, los generadores de señal, los cuales son extremadamente sensibles a las reflexiones producidas por desadaptaciones. El aislador los protege, disipándolas en forma de calor, pero casualmente es con este calor con el que se debe poner extremo cuidado, ya que debe ser evacuado del dispositivo correctamente, porque la ferrita puede llegar a perder sus propiedades si alcanza una temperatura extremadamente alta. Además las ferritas poseen muy baja conductividad y limitan las pérdidas por corrientes parásitas a altas frecuencias por lo que este tipo de dispositivos tienen muy bajas pérdidas de inserción. Es por eso que se utilizan en multitud de aplicaciones de microondas, como núcleos para antenas de FM y transformadores de alta frecuencia.
IV. REFERENCIAS [1] P.L. López Espí, “Microondas 3º ITT-ST”, Dto. de Teoría de la Señal y
Comunicaciones, Universidad de Alcalá; http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/Ferritas.pdf
[2] D. M. Pozar, “Microwave Engineering”. Ed. John Wiley 2ª Ed. [3] http://www.dmlmicrowave.co.uk/html/drop-in_isolator.html
1
GIRADOR Y AISLADOR DE ROTACIÓN DE FARADAY
Francisco Andrés Alumbreros López
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08
Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen: El efecto Faraday (también llamado rotación Faraday) intenta demostrar la interacción entre la luz y un campo magnético. Dicho efecto describe cómo el plano de polarización de la luz puede cambiar y muestra cómo su alteración es proporcional a la intensidad del componente del campo magnético en la dirección de propagación de la onda luminosa.
- β es el ángulo de rotación (en radianes); - B es flujo de densidad magnética en la dirección de propagación (en teslas); - d es la longitud del camino óptico (en metros).
Fig. 1. Descripción gráfica del efecto de rotación de Faraday.
Los dispositivos a continuación descritos basan su funcionamiento en dicho fenómeno, es decir, se basan en la alteración que sufren las componentes de un campo al atravesar una guía de onda cuyo interior se encuentra relleno de ferrita (materiales aislantes con fuertes propiedades magnéticas).[1]
I. GIRADOR DE FARADAY El Girador es un dispositivo pasivo no recíproco de dos puertas que produce un desfase de π rad en una señal que se propaga de la puerta A a la puerta B, y un desfase π rad menor en la señal que se propaga en sentido contrario.[2]
I.1 Descripción Este dispositivo consiste en una guía rectangular, en la que el modo dominante es el TE10 con una torcedura de 90º conectada a un extremo de una guía circular, que a su vez es conectada a otra guía rectangular en su otro extremo. Las dos guías rectangulares tienen la misma orientación de los puertos de entrada.
La longitud de la ferrita es tal que el giro del plano de polarización de los campos al recorrerla es de 90º.
La guía circular contiene una barra delgada cilíndrica de ferrita con los extremos afilados para reducir las posibles reflexiones.
Para producir una rotación de 90º del modo TE11 dominante en la guía rectangular, y para polarizar la ferrita, se aplica un campo magnético continuo, en dirección axial, en la entrada (dirección en la que queremos que se propague la señal).
En primer lugar, consideramos una onda que propaga de la izquierda a la derecha (de la puerta A a la puerta B), al pasar por la torcedura que se encuentra en la puerta de entrada, el plano de polarización gira 90º en sentido contrario a las agujas del reloj. Como la ferrita produce una rotación adicional del plano de polarización de 90º, el ángulo total de rotación a la salida será de 180º.
En segundo lugar, para una onda que se propaga de derecha a izquierda (de la puerta B a la puerta A) la rotación del plano de polarización introducida por la ferrita es de 90º en el mismo sentido. Sin embargo, en pasar por la torcedura, la rotación de 90º introducida por ésta cancela la rotación anterior, y por tanto, para la transmisión de la puerta B a la puerta A, no hay ninguna rotación neta para el plano polarización, por lo que a la señal introducida en la entrada no sufrirá ningún desfase al atravesar el dispositivo.
La rotación de 180º para la transmisión de la puerta A a la puerta B es equivalente a un cambio de fase adicional de 180º y esto hace que se invierta la polarización del campo que introdujimos a la entrada. Es evidente, entonces, que el dispositivo descrito satisface la definición de un girador.[3]
Fig. 2. Variación del modo fundamental del campo eléctrico
TE10 al atravesar el girador.[4]
2
I.2 Esquema
Fig. 4. Esquema del funcionamiento del girador.[5]
I.3 Matriz S del girador
Ec. 1
Como vemos en la matriz S, el girador es un dispositivo completamente adaptado, ya que los elementos de la diagonal principal son igual a cero. Por otro lado, en el sentido de propagación de la puerta 1 a la puerta 2, el desfase producido por el girador es de 180º (la fase del S21 es de 180º), y en sentido contrario, el desfase introducido es de 0º (la fase del S12 es de 0º). También es importante destacar que como el módulo de todos los parámetros S es menor o igual que 1, el girador es un dispositivo pasivo, y como la matriz S no es simétrica, a su vez es un dispositivo no recíproco.
II. AISLADOR DE FARADAY El aislador es un dispositivo que permite una transmisión con atenuación nula cuando la propagación se realiza en un sentido, pero introduce una atenuación y un aislamiento muy altos cuando realizamos la transmisión en sentido contrario, con el fin de proteger al generador de la reflexiones producidas en la carga, por ello, el aislador a menudo es usado para acoplar un generador de señal microondas a una red de carga. Este hecho tiene la gran ventaja de que toda la potencia disponible en el generador puede ser entregada a la carga, ya que las reflexiones producidas en el circuito no pueden llegar al generador, debido a que se atenúan, aprovechando el hecho de que en un sentido de propagación la atenuación es muy alta.
Por consiguiente, el generador ve una carga adaptada y, efectos como la variación de potencia de salida y variación de la frecuencia se evitan con variaciones en la impedancia de carga, por lo que podemos concluir que la principal aplicación del aislador es que, colocados a la salida de generadores hacen que éstos vean siempre la misma impedancia, independientemente de cual sea la carga efectiva.
II.1 Descripción
El aislador es similar al girador en la construcción pero a diferencia de éste, el aislador emplea una torcedura de 45º, y una rotación del plano de polarización que sufre la señal al atravesar la ferrita es de 45º.
Las placas resistivas se colocan horizontalmente, ya que absorberán el campo eléctrico cuando la polarización de éste sea perpendicular a la superficie de la lámina resistiva, sin embargo, cuando la polarización del campo sea paralela a la posición de la lámina, la lámina no absorberá nada, por lo que dichas láminas resistivas absorben el modo TE01 y no afectan al modo TE10.
Las placas resistivas que son insertadas en la entrada y salida de las guías rectangulares absorben el campo (que es polarizado con la componente vectorial eléctrica paralela al lado más ancho de la guía), son más pequeñas que en el girador.
El funcionamiento es el siguiente: Una onda que se propaga de la puerta 1 a la puerta 2 tiene un giro de polarización de 45º en sentido contrario a las agujas del reloj provocada por la torcedura y un giro de 45º del plano de polarización en el mismo sentido producido por la ferrita; dicha onda aparecerá en la puerta 2 con la polarización correcta para propagarse en la salida de la guía, por lo que la polarización de la onda será entonces perpendicular a la cara más ancha de la guía, (el modo TE01 podrá propagarse entonces ya que posee la polarización correcta). Una onda que se propaga de la puerta 2 a la puerta 1 pasará a través de la guía circular, sufriendo en su paso por ella un giro de 45º en el sentido de las agujas del reloj en la polarización debido a la rotación producida por la ferrita, por lo que la onda no puede atravesar la torcedura ya que no posee la polarización correcta. En el caso en el que parte de la señal atravesara la torcedura, la lámina resistiva se encargaría de atenuarla.
Sin placa resistiva, la onda que llega a la puerta 1 se reflejaría hasta la puerta 2, por lo que la placa resistiva en la salida tiene como misión evitar múltiples reflexiones dentro de la guía que provocaría la transmisión en ambas direcciones.
El aislador introduce unas pérdidas de inserción muy bajas (del orden de 0,5 dB) en una dirección (directa) y unas pérdidas muy altas (del orden de 20 dB) en la dirección contraria.[4]
−=
01
10ZoS
3
Fig. 5. Variación del modo fundamental del campo eléctrico
TE10 al recorrer el aislador.[2]
II.2 Esquema
Fig. 6. Esquema del funcionamiento del aislador.[5]
II.3 Matriz S
Ec. 2
Al igual que en el caso del girador, a partir de la matriz S, vemos que el aislador es un circuito completamente adaptado (los elementos de la diagonal principal son nulos). También vemos que en la propagación directa, el dispositivo no presente pérdidas de inserción (ya que el módulo del parámetro S21 es 1), pero que en sentido contrario, presenta idealmente unas pérdidas de inserción infinitas (el módulo del parámetro S12 es 0). Por último, vemos también como el girador es un dispositivo pasivo (el módulo de los parámetros S es menor o igual que la unidad), y es un dispositivo no recíproco, ya que la matriz S no es simétrica.[3]
III. CONCLUSIONES
Tanto el aislador y el girador, son dispositivos de microondas realizados con ferritas no recíprocos.
La función del aislador es que la carga que ve el generador a su salida cambie, ya que este mediante este dispositivo se consigue que la impedancia de entrada no sea función de la impedancia de carga.
El giro del plano de polarización producido por la ferrita tiene el mismo sentido que el giro provocado por la torcedura, en un sentido la ferrita refuerza el giro provocado por la torsión y en sentido contrario lo cancela.
En la construcción de ambos dispositivos, la ferrita debe ser polarizada en la misma dirección y sentido en el que queremos que se pueda propagar la señal.
El efecto de la rotación del plano de polarización en ambos dispositivos se produce en una guía cilíndrica debido a que por simetría de rotación, el modo fundamental de dicha guía puede estar orientado en cualquier sentido, siempre y cuando tenga dirección radial.[3]
IV. REFERENCIAS
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Faraday
[2] Pablo Luis López Espí, “Apuntes de Microondas”, 2007.
[3] Robert E.Colling, “Foundations for microwave engineering”, ed. McGraw Hill International Editions, 1992.
[4] Alejandro Delgado Gutiérrez, Juan Zapata Ferrer,”Circuitos de alta frecuencia”, Universidad Politécnica de Madrid, 1988.
[5] C.Lester, ”The Elements of Nonreciprocal Microwave Devices”
.
=
01
00ZoS
AISLADORES DE RESONANCIA Y DESPLAZAMIENTO DE CAMPO EN
GUÍA ONDA Alicia Ruiz Campón
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
Resumen- Los aisladores son circuitos pasivos, no recíprocos, con dos accesos y formados en guías de ondas a las que añadimos láminas de ferrita. Permiten el paso de la señal en sentido de propagación pero la cancelan en sentido contrario.[1] Existen varios tipos de aisladores principales: aislador de Rotación de Faraday, aislador de resonancia y aislador de desplazamiento de campo; analizaremos los dos últimos tipos. Ambos se construyen en guías de onda rectangulares, tienen polarización perpendicular a la dirección de propagación (transversal) y consiguen el aislamiento debido a propiedades de la ferrita.
I. INTRODUCCIÓN
Un aislador es un circuito pasivo de dos puertas, no recíproco que presenta baja atenuación o pérdidas de inserción cuando la potencia pasa de la puerta 1 a la 2, pero que tiene un gran aislamiento o pérdidas cuando la potencia entra por 2 y se dirige hacia 1. El aislador debe disipar esta potencia y no reflejarla.
II. DESARROLLO
II.1Descripción y esquema Tanto los aisladores de resonancia como los de desplazamiento de campo se construyen en guías de onda rectangulares por las que se propaga el modo TE10. En los dos planos paralelos a la cara más estrecha de la guiaonda el campo magnético tiene polarización circular que será horaria en la dirección de propagación y antihoraria en sentido contrario. La posición de estos planos varía con la frecuencia.
Fig. 1. Guía de onda rectangular, modo TE10.
II.1.1 Aislador de resonancia Los aisladores de resonancia se construyen colocando una tira de ferrita en un punto de la guía de onda rectangular. Según donde se coloque la tira de ferrita existen dos formas de aislador de resonancia son el aislador plano E y el plano H.
∆s
Fig. 2. Aislador de resonancia plano H.
t Ferrita
Fig. 3. Aislador de resonancia plano E.
Los parámetros t y ∆s deben ser pequeños para evitar su influencia de forma significativa en los campos. El aislador plano E debido a la orientación vertical de la ferrita tiene una superficie de contacto muy pequeña por lo que la capacidad de evacuación será reducida lo que hace que la ferrita se caliente y pierda sus propiedades de aislador. Para el aislador plano H se colocan una especie de pastillas de ferrita en orientación horizontal por lo que hay más superficie de contacto y por ello mayor disipación de calor. Por ello el plano E será menos adecuado para sistemas de microondas de alta potencia media. [2]
1
Un inconveniente de este tipo de aislador es su margen de frecuencia debido a que trabaja en resonancia. Gracias a la colocación de un imán externo que enfrenta sus polos norte y sur a la lámina de ferrita se consigue la polarización.
Fig.4. Aislador con imán externo que polariza.
II.1.2 Aislador de desplazamiento de campo
Los aisladores de desplazamiento de campo se construyen al igual que los de resonancia con una tira de ferrita en uno de los planos de polarización circular de los campo de la guía rectangular, trabajan fuera de resonancia por lo que la ferrita no absorbe energía en ningún sentido.
t Ferrita
Fig. 5. Aislador de desplazamiento de campo.
Para cumplir la misión de un aislador en la cara interior de la tira de ferrita se añade una capa resistiva, idéntica a la de un atenuador, y unido a esto una chapa cerámica que se utiliza para aumentar el ancho de banda de aislamiento.
Chapa cerámicaTira resistencia
Tira ferrita
Fig. 6. Construcción de un campo de desplazamiento de aislamiento.
En la dirección de propagación se dispersa el campo que será mínimo, con lo que son bajas las pérdidas de inserción mientras que en la dirección contraria es máximo pues se agrupa el campo y la energía es amortiguada por la capa de resistencia, dando gran aislamiento. El valor de este aislamiento puede ser incrementado por el aumento de la longitud del aislador.
Fig. 7. Campo eléctrico de un desplazamiento de campo.
Una diferencia a destacar es que el campo estático de polarización es mucho menor que el del aislador de resonancia.
II.2 Análisis de funcionamiento El funcionamiento de un aislador se consigue por la dirección en que la potencia atraviesa el dispositivo. Para los aisladores de resonancia si la potencia va en dirección de propagación no hay pérdidas de inserción mientras que en sentido inverso toda la potencia se refleja y la ferrita la absorbe, se produce el aislamiento.[3] Para los aisladores de desplazamiento de campo como su propio nombre indica se desplazan las líneas de campo eléctrico fuera de la lámina de ferrita en el sentido de propagación y las concentra en la ferrita en el sentido inverso produciendo el aislamiento. La ferrita en este caso no trabaja en resonancia y no va a absorber energía.
II.3 Matriz S
En general la relación de las ondas a y b en un circuito es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
aa
ssss
bb
Ec.1
2
Un esquema de conexión puede ser el de la figura siguiente:
Fig.8. Conexión de generador y carga a través de aislador.
Puesto que los aisladores son circuitos pasivos (|Sij|≤1) se dos accesos (N=2) y no recíprocos (S≠St). Si el circuito está completamente adaptado, es decir, cuando todos los accesos terminan con la impedancia de referencia, todos ellos presentan una impedancia igual a la de referencia, esto implica la máxima transferencia de potencia y se representa en la matriz S con Sii=0. Además los circuitos de microondas pasivos y sin pérdidas deben tener una matriz S unitaria, por tanto la matriz S de un oscilador ideal es:
00100
_Z
idealAisladorS ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Ec. 2
Como se observa en la matriz S anterior |s12|=0; lo que indica que cuando la puerta 2 es la entrada la puerta 1 está aislada. Mientras que como |s21|=1 cuando la puerta 1 es la entrada la puerta 2 es la rama directa.
II. 4 Parámetros típicos
Dado que los aisladores son redes de dos accesos o puertas algunos parámetros a destacar son:
- Pérdidas de inserción:
)(log20)( 21 dBsdBLI −= Ec. 3
Las pérdidas de inserción se pueden deber a:
- Reflexión a la entrada, lo que produce pérdidas por desadaptación
)1log(10)( 211sdBLM −−= Ec. 4
-Disipación del circuito, que da lugar a las pérdidas por disipación
221
2111
log10)(s
sdBLD
−= Ec. 5
)()()( dBLdBLdBL + DMI = Ec. 6
- Pérdidas de aislamiento:
)(log20)( 12 dBsdBI −= Ec. 7
Por ser los aisladores circuitos pasivos:
|s21|< 1 Li (dB) es POSITIVO.
|s12|< 1 I (dB) es POSITIVO.
- Pérdidas de retorno:
)(log20)( dBsdBL iiR −= Ec. 8
III. CONCLUSIONES
La función del aislador no es la adaptación de impedancia entre el generador y la carga, sino evitar que la onda reflejada en dicha carga pueda afectar al funcionamiento del generador. Son dispositivos no recíprocos, que funcionan con 2 puertas aunque necesitan una tercera puerta que irá conectada siempre a una carga adaptada, eliminan la onda reflejada y como consecuencia siempre verá Z0 de impedancia de entrada aunque no se cargue con Z0. Las principales aplicaciones de los aisladores son:
- Protección de dispositivos activos. - Eliminación de onda estacionaria: En algunos casos
en que es difícil adaptar un componente a la línea en toda la banda de trabajo. Un aislador aunque no proporciona la máxima transferencia de potencia, elimina las reflexiones deseadas.
III. REFERENCIAS [1] “Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de
microondas”. J. Alpuente ,Servicio de Publicaciones de la UAH. 2001 [2] The Elements of Nonreciprocal Microwave Devices. C. Lester Hogant [3] http://es.wikipedia.org/wiki/Aislador_de_microondas [4] K.J.Button, Theoretical analysis of the operation of the field
displacement ferrite isolator, IRE Trans.MMT, July 1958, p.303…308 [5] Polder, D., On the theory of electromagnetic resonance, Phil. Mag.
40(1949), p.99 [6] Microwave Engineering D.Pozar. Artech House. [7] Microwave Engineering. Passive Circuits. Peter A. Rizzi. Prentice Hall. [8] “Teoría de circuitos de microondas. Parámetros S” R. Sánchez,
Servicio de Publicaciones de la UAH, 2004. [9] Circuitos de microondas con líneas de transmisión. Javier Bará Temes.
Politext. Edicions UPC [10] Circulators and Isolators, unique passive devices.Philips [11] Theory of Ferrites in Rectangular Waveguides. K. J. Button and B.
Laxt
3
CIRCULADORES
Resumen-Este trabajo trata sobre la aplicación de los circuladotes en microondas, dichos elementos están formados por desfasadores no recíprocos conseguidos a partir de ferritas empleadas en microondas .En lo que este trabajo describiremos los diferentes tipos de circuladotes que encontramos, centrándonos especialmente en el circulador de fase diferencial. También procederemos a realizar el análisis híbrido con circuitos híbridos equivalentes, de dichos circuladores, centrándonos en las características principales su matriz S y los diferentes parámetros típicos referidos sus correspondientes pérdidas.
I. INTRODUCCIÓN
Los circuladores son unos dispositivos, en los cuales la potencia sigue unos sentidos muy determinados en forma circular. Esta circulación puede ser hacia la izquierda o hacia la derecha. Estos elementos se basan principalmente en el funcionamiento de las ferritas, las cuales como característica general dejan pasar la potencia en sentido y en sentido inverso no.
II. DEFINICÓN Y TIPOS
II. I. DEFINICIÓN
Un circulador es un dispositivo pasivo de 3 o más puertas, donde la potencia se transfiere de una puerta a la siguiente en un orden preestablecido. Esto quiere decir como indicamos en la fig1.que la potencia entra por la puerta 1 sale por la puerta 2 y la puerta 3 esta desacoplada o aislada. Formado por una red pasiva y sin pérdidas (unitaria) que se construye con materiales magnéticos (ferritas), sus aplicaciones se centran en duplexores de antenas (en las que las antenas son receptoras y emisoras a la vez)[4]
Fig.1..Plano esquemático de un circuladores de 3 y 4 puertas
II.II. TIPOS Dentro de los circuladores, existen los diferentes tipos:
II .II .I. CIRCULADOR DE FASE DIFERENCIAL:
Se trata de un circulador formado con desfasadores no recíprocos, los cuales dichos desfasadores se emplean en aplicaciones de alta potencia.
Fig.2..Esquema de un circulador de fase diferencial
II .II .II. CIRCULADOR DE ROTACIÓN
DE FARADAY: Se trata de un circulador basado en la rotación del plano de polarización de una señal de RF a causa de la magnetización de la ferrita, la longitud de la ferrita se elige para conseguir una rotación de π/4 de plano de polarización.
Fig.3. Esquema de circulador de rotación de faraday
Alicia Del Olmo Jiménez Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
II .II. III. CIRCULADORES DE ANILLO: Consiste en un dispositivo formado por 3 divisores o tres T, y tres desfasadores no recíprocos. (Este circulador no se realiza en la práctica, ya que son muy caros de realizar)
Fig. 4. Esquema de circulador de anillo
II. II .IV. CIRCULADORES DE UNION:
Este tipo de circuladores se han realizado empleando uniones del plano E, plano H, líneas stripline, stripline suspendida, microstrip y fineline Existen dos tipos en T y en Y, estos circuladores tienen un imán que polarizan transversalmente la ferrita, y unos postes en las puertas para que haya adaptación. El funcionamiento de los circuladores de unión en línea microstrip es muy similar al de las líneas stripline aunque funcionan habitualmente con valores de campo magnético estático por debajo de la resonancia, los circuladores de unión en guía de onda también operan por debajo de la resonancia
Fig.5. Esquema de un circulador de unión
III. CIRCULADOR DE FASE DIFERENCIAL
El circulador de fase diferencial esta construido con una línea rectangular cuyo modo es el TM10, esta formada por los siguientes elementos: una T mágica doblada, un desfasador no reciproco (que se emplea en aplicaciones de alta potencia) y acoplador de agujeros de 3 dB.
Fig.6.Esquema de un circulador de fase diferencial
El circulador de rotación de Faraday, diría que es un circulador de media potencia, cuyo inconveniente es que es muy voluminoso, y al que se le añaden dos salidas adicionales para que sea un circuito sin pérdidas y esta formado por dos híbridos uno de 90º y otro de 180º. El funcionamiento de circulador diferencial consiste la introducción de una onda por la T mágica doblada, en esta la onda se divide en dos ondas de igual potencia e igual fase, las cuales entran por el desfasador no recíproco. La primera onda será desfasada por el desfasador no reciproco, con fase ǿa, y la segunda con ǿb, donde ǿa= ǿb+90 grados. Una vez pasado el diferenciador no recíproco, ya una vez en el acoplador de 3 dB son divididas de nuevo en dos partes iguales, pero la onda que va por la rama principal estará desfasada 90 grados con respecto a la que ira por la otra guía que permanecerá igual. Por lo tanto, podemos decir, que las ondas se suman en fase en la puerta 2 y se cancelan o suman en contrafase en la puerta 4 [1]. En sentido inverso la onda que entra por la puerta 2 es dividida en el acoplador de 3 dB, en dos ondas con la misma amplitud, pero desfasada 90 grados. La primera será desfasada ǿb y la segunda ǿa. En la T mágica, ambas ondas son unidas y sumadas en contrafase cada una en la puerta 1, pero sumadas en fase en la puerta 3 y así sucesivamente. Para conocer mejor el principio de funcionamiento, nos centramos en la construcción de un desfasador no recíproco es el mismo que el del aislador resonante. Pero el campo magnético es mas bajo que en el de resonancia. El grosor y la anchura de las láminas de ferrita y la permanencia del campo magnético son los que dan la diferencia de fase de los 90 grados El circulador de fase diferencial es usado en el manejo de la potencia. La construcción de este dispositivo es voluminosa y especialmente cara [1].
IV. ESQUEMA En el siguiente punto, vamos a comentar el esquema de los circuladores: En el caso el circulador de 3 puertas la onda entra por la puerta 1 sale por la puerta 2, y la puerta 3 esta desacoplada o aislada. Si hiciésemos que la onda entrara por la puerta 2, esta saldría por la puerta3 (rama con máxima trasferencia de potencia, y la puerta 1 estaría desacoplada)
Fig.7..Esquema de un circulador de 3 puertas
Fig.8. Esquema de un circulador de 4 puertas En el caso de circulador de 4 puertas, el funcionamiento es similar, la onda entra por la puerta 1, sale por la puerta 2(rama directa), saldría por la puerta 4 (que estaría desacoplada), y la puerta 3 estaría aislada
V .ANALISIS CON CIRCUITOS HÍBRIDOS EQUIVALENTES
El análisis mediante circuitos híbridos consisten en conocer el reparto equitativo de potencia entre su rama directa y acoplada Si tomamos como ejemplo el circulador de fase diferencial, tenemos:
Fig.9.. modelo híbrido En primer lugar la onda entra por la T mágica, y se dividen a la mitad para ir cada una por una rama. La onda que va por la rama superior (1/2) pasa por el desfasador que en este sentido no introduce ningún desfase. Sin embargo, la onda que va por la rama inferior sufre un retardo de 90 grados al pasar por el desfasador (teniendo –j/2). Una vez ambas ondas en este punto, la onda que va por la rama suprior (rama directa) vuelve a sufrir una división (teniendo en este caso ¼ de la amplitud de la señal) al igual que ocurre en la rama inferior pero en este caso tenemos –j/4, debido al retardo sufrido anteriormente. Como en este punto , el siguiente elemento es un desfasador en cuadratura, si la onda que iba por la rama superior nada más salir del desfasador la onda se vuelve a dividir teniendo en este caso ¼, que al pasar al desfasador en cuadratura sufre un retardo de 90 grados, obteniendo otra onda de –j/4 por lo tanto nos encontramos que en la puerta 2 tenemos dos ondas de –j/4 de amplitud de señal que se suman en fase, conociendo ya, que esta es la puerta de salida de potencia. Con la onda que va por la rama inferior se vuelve a dividir pasa por el desfasador en cuadratura sufre un retardo de 90 grados, por lo tanto en este punto, que seria la puerta 4 tenemos dos ondas una de ¼ de amplitud y otra de -1/4 de amplitud las cuales se sumarian en contrafase y se cancelarían, estando la puerta 4 aislada. A la puerta 3 no le llega nada por lo tanto podemos decir que esta también aislada.
VI. MATRIZ S La forma más genérica en la que podemos expresar la matriz S es:
sα β δδ α ββ δ α
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
siendo:
α=0 adaptación δ=1 circulación β =0 aislamiento Por lo tanto, tendríamos, la forma ideal:
0 0 11 0 00 1 0
dchas⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
o
0 1 00 0 11 0 0
izdas⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
En este caso podemos ver que todos los Sii =0, esto es debido a que esta completamente adaptado, y además podemos decir que son matrices no simétricas y unitarias. Si nos fijamos en su respectiva matriz S ideal
0 0 11 0 00 1 0
s⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Analizándola la diagonal son todos ceros porque esta adaptado. En el caso de esta matriz en concreto, tal y como están colocados los unos dentro de la matriz nos sirve para indicar la puerta por la cual entro y la puerta por la cual debo salir. Por ejemplo, si el parámetro S21 tiene un uno en esa posición quiere decir que entro por la puerta 1, y salgo por la 2. En el caso del parámetro S32 que entro por la puerta 2 y salgo por la 3 y por ultimo S13 que entro por la puerta 3 y salgo por la 1. El resto de las posiciones donde tengo un cero quiere decir que no son puertas adyacentes (por lo tanto están aisladas) En la realidad la matriz S no toma la forma ideal, ya que los circuladores presentan pérdidas y los accesos aislados no lo están completamente.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
s s ss s s s
s s s
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Con
11 22 33, , 1( 0s s s < )
13 21 31, , 1( 1s s s < )
12 23 31, , 1( 0s s s < )
⎤⎞⎥⎟⎥⎟⎟⎥⎠⎦
El comportamiento no recíproco es reflejado en la matriz asimétrica
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
s s s s s ss s s s s ss s s s s s
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦ ⎣
Esto significa:
12 21S S≠
12 21S S≠
12 21S S≠
Además si asumimos que la matriz es sin pérdidas el producto de la matriz con la compuesta conjugada compleja S [3].
´. tS S I= Ec. 1
VII. PARÁMETROS TÍPICOS Los parámetros típicos corresponden a: a) Pérdidas de retorno (Medida de la desviación de adaptación)
( ) 20logRL dB Sii= − Ec. 2 (Si el acceso está adaptado el módulo de Sii=0, LR->infinito) b) Pérdidas de inserción (Entre los 2 accesos hay trasferencia de señal)
( ) 20logIL dB Sij= − Ec. 3 (Si el acceso está adaptado el módulo de Sij=0, LT=0) c) Aislamiento (Entre los 2 accesos idealmente aislados)
( ) 20logI dB Sij= − Ec. 4
( ) 2log (I )I dB Sij L dB= − − Ec. 5
(Si el acceso está adaptado el módulo de Sij=0, Lt=0)
VIII. CONCLUSIONES Como conclusión podemos indicar que los circuladores son dispositivos de 3 puertas que basan su funcionamiento principalmente en desfasadores no recíprocos, que se encuentran completamente adaptados, con un sentido de funcionamiento muy definido. Utilizados como duplexores de antenas, mediante su matriz ideal S podemos ver que no tiene simetría,
IX. REFERENCIAS
[1] Aplication note AN98035,”Circulators and isolators, unique passive devices” [2] Milton A.Treuhaft,”Network Propieties Base don the Scattering Concept”. [3] Javier Bará Temes,”Circuitos de microondas con lineas de transmision [4] Jesús Sanz Marcos,”Microondas circuitos pasivos” (Internet)
1
CIRCULADOR DE ROTACIÓN DE FARADAY Y DE UNIÓN
María del Pilar Herráez Fuentes Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen: Los circuladores en general son unos dispositivos muy utilizados en microondas, en este documento se ha abordado de manera resumida el funcionamiento y características de dos de ellos el circulador de rotación de Faraday y los circuladores de unión.
I. INTRODUCCIÓN
Las ferritas son materiales cerámicos ferromagnéticos, compuestos por hierro, boro y bario, estroncio o molibdeno.
Tienen una alta permeabilidad magnética, lo cual les permite almacenar campos magnéticos con más fuerza que el hierro. Se producen a menudo en forma de polvo, con el cual se pueden producir piezas de gran resistencia y dureza, previamente moldeadas por presión y luego calentadas, sin llegar a la temperatura de fusión, dentro de un proceso conocido como sinterización. Mediante este procedimiento se fabrican núcleos para transformadores, bobinas y otros elementos eléctricos o electrónicos. [1]
En cuanto a los estudios científicos, las primeras publicaciones acerca de los dispositivos con ferritas datan del año 1947. [2]. En 1949, la teoría de Polder sobre la influencia de la resonancia ferromagnética en la permeabilidad magnética, obteniendo el tensor de permeabilidad magnética, llego a ser una base para entender sus propiedades en las microondas. Más tarde se añadió la idea de un “girador” por medio de la rotación de Faraday y se usó para crear una nueva clase de componentes de microondas. En 1952, Hogan diseñó el primer rotador de microondas.
El comportamiento de todos los dispositivos con ferritas se pueden explicar por medio de uno o más de los siguientes efectos: Rotación de Faraday, la resonancia ferromagnética, el desplazamiento del campo, los efectos no lineales.[3]
El circulador de rotación de Faraday y los circuladores de unión son dispositivos de microondas fabricados con ferritas.
Los circuladores son dispositivos pasivos usados en los equipos de radiofrecuencia y
microondas desde hace décadas. Un circulador es un dispositivo pasivo formado por 3 o más puertas, en el que la potencia pasa de una puerta a la siguiente quedando las demás desacopladas. [4].
Los circuladores pueden dejar pasar la potencia de forma horaria o antihoraria, pero sólo en un sentido y siempre en el mismo, no pudiéndose modificar.
Fig. 1. Representación de un circulador indicando el sentido
de transferencia de potencia. Al igual que la mayor parte de los
dispositivos de microondas, la matriz S de los circuladores nos indica las características de los mismos en cuanto al modo de funcionamiento. Así la matriz ideal de cualquier circulador será.[5]
Ec. 1
Siendo: Γ=0, que se corresponde con los parámetros de la diagonal principal. Al ser cero nos indica que es un circuito completamente adaptado. α y β serán los parámetros que nos determinen el sentido de transferencia del dispositivo. β=0 cuando el sentido de funcionamiento del dispositivo sea horario y 1 cuando sea antihorario. α=0 cuando el sentido sea antihorario y 1 cuando sea horario
Sβ α
α ββ α
Γ⎡ ⎤⎢ ⎥= Γ⎢ ⎥⎢ ⎥Γ⎣ ⎦
2
II. CIRCULADOR DE ROTACIÓN DE FARADAY.
El circulador de rotación de Faraday es un dispositivo de cuatro puertas, sin pérdidas, no recíproco.
II.1 Efecto Faraday.
El efecto Faraday (denominado a veces como rotación Faraday) fue descubierto en 1845 por el físico Michael Faraday, e intenta demostrar la interacción entre una onda electromagnética y un campo magnético. El efecto describe cómo el plano de polarización de la onda puede cambiar al polarizar una ferrita con un campo magnético estático y muestra cómo su alteración es proporcional a la intensidad de la componente del campo magnético en la dirección de propagación de la onda.
El efecto Faraday es resultado de una resonancia ferromagnética cuando la permeabilidad de un material se representa por un tensor. Esta resonancia provoca que las ondas se descompongan en dos rayos polarizados circularmente y que se propagan con velocidades diferentes. Esta propiedad se conoce como birrefringencia circular. Los rayos se recombinan al llegar a la interfase del medio, de tal forma que la onda resultante final tiene una rotación de su plano de polarización.[6]
II.2 Principio de funcionamiento.
El circulador de rotación de Faraday está basado en la rotación del plano de polarización de una señal de RF a causa de la magnetización de la ferrita.
La señal del modo TE10 que se propaga en una guía rectangular, entra por la puerta 1 y se acopla mediante una transición a una guía cilíndrica de manera que se excita el modo fundamental de esta última TE11.. Como la orientación del campo eléctrico en la puerta 1 es perpendicular a la cara más ancha y la puerta 3 está colocada en sentido longitudinal la energía no puede salir por dicha puerta, de esta forma la onda continua su camino, y se encuentra, centrada en el eje de la guía cilíndrica, una varilla de ferrita magnetizada en la dirección de propagación, de ahí que la polarización de este tipo de dispositivos sea longitudinal.
La onda que ha entrado en el circulador polarizada linealmente, puede descomponerse como suma de dos ondas polarizadas circularmente y de sentidos contrarios, estas ondas interactúan con los spines de la ferrita dando lugar a un giro del plano de polarización de la señal. La longitud de la ferrita se elige para conseguir una rotación π/4 del plano de polarización. Una vez atravesada la ferrita, el
plano de polarización por tanto ha girado 45º y estamos en una guía de onda circular en la que su modo de propagación es TE11, en este punto el campo como ocurría en la puerta 3, es paralelo a la puerta 4, por lo que la energía tampoco puede salir al exterior por ella, atraviesa por tanto la transición de guía cilíndrica a circular y sale al exterior por la puerta 2 donde el campo sí es perpendicular ala cara más ancha de la guía de onda rectangular, ya que dicha puerta además está girada 45º con respecto a la de entrada, como el plano de polarización. Si la energía entra por la puerta 2, la ferrita vuelve a modificar el plano de polarización y el campo en este caso tendrá la orientación idónea para salir por la puerta 3, no pudiendo salir ni por la 4 ni por la 1, y por el mismo motivo si entra por la puerta 3 saldrá por la 4 y si entra por la 4 saldrá por la 1. [7]
Fig. 2. Principio de construcción de un circulador de rotación de Faraday.[4]
II.3 Matriz de parámetros S.
Para conocer la matiz S de un circulador de rotación de Faraday no tenemos ,más que observar el funcionamiento anteriormente descrito. La señal como en todos estos dispositivos se transfiere solo en un sentido e idealmente, sin pérdidas ya que no existen elementos disipativos.
Ec.2
III. CIRCULADORES DE UNIÓN.
Los circuladores de unión son los diseños más implementados en cuanto a circuladores se refiere. Los circuladores de unión se han realizado empleando uniones plano E, plano H, líneas stripline, stripline suspendida, microstrip y finline. Se realizan con múltiples configuraciones, desde guías de onda estándar hasta en miniatura coaxiales. Las capacidades de potencia varían desde megavatios hasta
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
dchasS
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3
vatios y también anchos de banda de una octava en una gran variedad de fabricantes.
En 1964, Bosma presentó un artículo sobre un circulador de unión de 3 puertas empleando una solución aproximada a los valores de contorno del problema. Los parámetros de circulación se calcularon para predecir el comportamiento en frecuencia del dispositivo (donde la ferrita es un medio con una constante dieléctrica ε y una permeabilidad µe ). Fay y Comstock extendieron el trabajo de Bosma y describieron el funcionamiento del circulador en términos de modos de rotación contraria de una cavidad de ferrita cargada.
III.1 Principio de funcionamiento.
Los circuladores de unión están compuestos de tres elementos:
Un circuito resonante que sirve para almacenar la energía, dependiendo el modelo a implementar será de una forma u otra, en los modelos en guía de onda este elemento se corresponde con el volumen común que existe donde confluyen las tres guías que lo forman, o dos discos de ferrita que rellenan los espacios vacíos que existen entre el disco metálico del centro y los planos de tierra en los realizados con líneas.
De una ferrita, cuya misión es desplazar los campos dentro del circuito resonante para crear un nulo en una salida y un máximo en la otra. Generalmente se emplean formas cilíndricas, prismas triangulares y esferas.
Y un tercer elemento de adaptación de cada una de las puertas.
El circuito resonante se conecta a 3 líneas de transmisión, separadas entre sí 120º, mediante redes de adaptación de impedancias (formando las tres puertas del circulador). Se colocan dos imanes en el exterior para polarizar campo magnético estático, la polarización en este tipo de dispositivos es transversal y fuera de la resonancia, ya que si la polarización fuese en resonancia nuestro dispositivo atenuaría la señal. En ausencia del campo magnético externo de polarización, el circuito resonante soporta dos modos de rotación contraria, los cuales están degenerados (tienen la misma frecuencia de resonancia). Al aplicar el campo a lo largo del eje de simetría los modos dejan de estar degenerados, porque la permeabilidad relativa de un modo es (µ+k)/µ y la del otro (µ-k)/µ, esto se conoce como partición de modos. La partición de modos se ajusta para conseguir el ancho de banda deseado, el cual está determinado por el acoplamiento a las líneas de transmisión.
Fay y Comstok explicaron el funcionamiento del dispositivo de la siguiente forma: en ausencia de campo magnético
estático, si una onda entra por la puerta 1 se divide en dos ondas con la misma velocidad de propagación que circulan una en sentido horario y la otra en sentido contrario, dando lugar a un patrón de onda estacionario y de manera que se acopla la mitad de la potencia por cada una de las puertas 2 y 3 (fig. 4a).
Al aplicar un campo magnético perpendicular al disco de ferrita la velocidad de propagación de las dos ondas anteriores ya no es la misma. La onda que se propaga en sentido horario lo hace con velocidad γ+ y la que lo hace en sentido antihorario lo hace con velocidad γ-, esto provoca un giro del patrón de ondas estacionarias en sentido antihorario al aumentar la intensidad del campo estático. Si el ángulo de rotación es de 30º el dispositivo es un circulador (fig. 4b) la puerta 3 queda desacoplada y toda la potencia sale por la puerta 2. Si el campo estático es mayor que el valor de la resonancia se consigue girar el patrón 30º en sentido horario con lo que se invierte el sentido de circulación de la señal dentro del dispositivo (fig. 4c). En el primer caso el campo estático está por debajo del valor de la resonancia y en el segundo por encima de dicho valor de resonancia.
Fig. 4. Funcionamiento del dispositivo en función del campo magnético[4]
Los circuladores de unión en línea stripline como los que se acaban de describir se emplean entre 150 MHz y 2 GHz aproximadamente si su campo estático está por encima de la resonancia y entre 1.5 a 20 GHz si son del tipo en el que el campo estático queda por debajo de la resonancia.
Estos dispositivos no son de banda estrecha, aunque su ancho de banda está limitado por el circuito resonante que contienen y no por la ferrita
El funcionamiento de los circuladores de unión en línea microstrip es muy similar al de las líneas stripline aunque funcionan habitualmente con valores de campo magnético estático que hacen que el dispositivo funcione por debajo de la resonancia.
Fig. 5. Circuladores de unión en guía de onda. [4]
4
Los circuladores de unión en guía de onda
también operan por debajo de la resonancia. La siguiente figura muestra dos ejemplos de circuladores en guía de onda.
III.2. Matriz de parámetros S.
La matriz de un circulador de unión, es la de un dispositivo pasivo no recíproco y sin perdidas, por lo que:
0 0 11 0 00 1 0
S⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ec 3
En el caso de que el circulador tenga sentido horario.
0 1 00 0 11 0 0
S⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ec4
Y la Ec.4 en el caso de que el circulador tenga sentido antihorario
IV. CONCLUSIONES Los circuladores son uno de los dispositivos
más usados en los circuitos de microondas, se utilizan en sistemas que se usan como receptores y transmisores a la vez para evitar que la señal a transmitir pase al receptor y viceversa, siendo el peor caso el caso en el que la señal proveniente del transmisor se colase en la etapa de recepción pues destruiría toda la etapa.
En equipos de amplificación también se usan para proteger las diferentes etapas de amplificación colocando entre cada una de ellas un circulador en el cual se adapta con un carga la puerta aislada para absorber las posibles reflexiones que se pudiesen provocar y evitar así que unas etapas dañen a otras. Como ejemplo en la foto podemos ver un circulador fabricado hoy en día.
Fig 6. Modelo comercial de un circulador.
V. REFERENCIAS.
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Ferrita. [2] Kenneth J. Button, “Microwave Ferrite device: the first
ten years”, IEEE Trans on microwave theory and techniques, vol. mtt-32, no. 9, Septiembre 1984.
[3] J. Douglas Adam, Lionel E. Davis, Gerald F. Dionne, Ernst F Schloemann and Steven N. Stitzer, “Ferrite
devices and materials”, IEEE Trans on microwave theory and techniques, vol 50, pp 721-737, Marzo 2002.
[4] Philips Semiconductors “Circulators and Isolators unique passive devices ”, aplication note, Marzo 1998
[5] David M. Pozar , “Microwave engineering”, 2nd. ed, Jonh Wiley & Sons, Inc, 1998.
[6] http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Faraday. [7] Sandra Archilla Aparicio, “Dispositivos de
microondas”, Proyecto fin de carrera Universidad de Alcalá, 2004
1
RESONANCIA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Raúl Pinel García Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail: [email protected]
Resumen- El contenido de este trabajo usa la teoría de líneas de transmisión para explicar cómo varía el comportamiento de las líneas de transmisión con la frecuencia, demostrando la periodicidad con la frecuencia en parámetros como la impedancia de entrada. Veremos los circuitos equivalentes según las terminaciones de las líneas y el factor de calidad que presentan.
I. INTRODUCCIÓN
En el estudio de las microondas una línea de
transmisión se puede modelar de dos maneras, como un circuito de parámetros primarios (R, G, L, C) o por los parámetros secundarios (Zc, γ).
Los parámetros primarios son la resistencia, la conductancia, la inductancia y la capacidad por unidad de longitud.
Fig.1 Modelo de parámetros primarios de línea con pérdidas
Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito de la
figura 1 se obtienen los parámetros secundarios de las líneas de transmisión los cuales representan la constante de propagación (γ) y la impedancia característica de la línea (Zc).
Ec.1
Ec.2 En la ecuación 2, α representa la constante de atenuacion y β la constante de fase.
Una línea real presenta una impedancia de entrada que
tiene una expresión:
Ec.3
En el caso de considerar la línea ideal (α=0) la ecuación 3 nos queda de la forma:
Ec.4
Vamos a introducir un concepto al que nos
referiremos posteriormente, la longitud eléctrica (β·d). Este concepto da idea de a qué distancia eléctrica (no física) se encuentra la carga de el punto de referencia que tomamos o dicho de otra forma cuantos periodos de la señal entran en el mismo espacio físico. Se puede apreciar que depende de la frecuencia y que a mayor frecuencia mayor distancia eléctrica. Es por tanto un parámetro adimensional que relaciona el número de onda con la distancia física de la línea.
II. COMPORTAMIENTO DE LA LINEAS
En este apartado vamos a ver la variación de la impedancia de entrada de la línea con la frecuencia observando su periodicidad.
Podemos adelantar que las impedancias de entrada podrán presentar carácter capacitivo o inductivo y en puntos muy concretos se comportarán como circuitos resonante paralelo o serie en un estrecho margen de frecuencias, veremos además los factores de calidad de esos circuitos equivalentes y los valores que presentan sus componentes que son función de la frecuencia.
II.1. Líneas ideales
El primer caso que vamos a ver es la línea ideal, las
terminaciones en circuito abierto y circuito cerrado, la impedancia de entrada que presentan y el valor del circuito equivalente.
R L
CG
z z+Δz
2
II.1.1.Línea terminada en C.C.
Si particularizamos la ecuación 4 para ZL=0 tenemos
la siguiente expresión de impedancia de entrada:
Ec.5
Si representamos la impedancia de entrada en función de la longitud física tenemos lo siguiente:
Fig.2.Impedancia de entrada de una línea en cortocircuito
Analizando todos los posibles valores de longitud
eléctrica tenemos que: Si la impedancia tiene un
carácter inductivo: Ec.6
Si la impedancia tiene un carácter capacitivo
Ec.7
Si ( la impedancia tiende a infinito (Zin= ) y tenemos un circuito resonante paralelo. Si la impedancia es cero (Zin= tenemos un circuito resonante serie.
II.1.2.Línea terminada en C.A
Si particularizamos la ecuación 4 para ZL= tenemos la siguiente expresión de impedancia de entrada:
Ec.8 Haciendo un estudio análogo al anterior tenemos que: Si ( ) la impedancia tiene un
carácter capacitivo: Ec.9
Si ) la impedancia tiene un carácter inductivo:
Ec.10
Si ( ) la impedancia de entrada es cero (Zin=0) y tenemos un circuito resonante serie.
Si ( ) la impedancia de entrada tiende a infinito (Zin= ) y tenemos un circuito resonante paralelo.
II.2.Linea de bajas pérdidas.
Al tener en cuenta la atenuación en las líneas la
expresión de la impedancia de entrada corresponde con la ecuación 3.
II.2.1.Línea terminada en C.C.
Si particularizamos la ecuación 1 para ZL= tenemos
que la impedancia de entrada toma un valor:
Ec.11
Haciendo la aproximación de bajas pérdidas (αd<<1) y operando con la tangente hiperbólica de un número complejo tenemos:
Ec.12
Vamos a considerar ahora que la longitud física de la línea es igual a λ/2 y que además por ser de bajas perdidas, en un estrecho margen de frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia tenemos una impedancia de entrada:
Ec.13 Según lo que habíamos expuesto en el caso de líneas
ideales cuando la terminación es un circuito cerrado y cuando la longitud física era λ/2 teníamos un circuito resonante serie.
Para líneas con bajas pérdidas también es un circuito serie en un estrecho margen de frecuencia cuyos elementos tienen las siguientes expresiones:
Ec.14 Ec.15
Ec.16
Estas ecuaciones representan los parámetros concentrados del circuito resonante serie, si lo queremos expresar en función de los parámetros primarios de las líneas tenemos:
Ec.17
Ec.18
Ec.19
Donde se puede ver que la resistencia equivalente depende de las perdidas del conductor y del dieléctrico. Si seguimos los mismos pasos cuando la longitud física de la línea sea λ/4 obtendremos un circuito resonante paralelo cuyos parámetros concentrados son:
Ec.20
Ec.21
Ec.22
3
y en función de los parámetros primarios:
Ec.23
Ec.24
Ec.25
II.2.2.Línea terminada en C.A.
La impedancia de entrada en este caso es:
Ec.26
Operando análogamente a lo que hicimos en el caso de circuito cerrado tenemos que para cuando la longitud física es λ/4 tenemos un circuito resonante serie, y cuando es λ/2 un circuito resonante paralelo. Las expresiones de los parámetros concentrados para
cada caso se resumen a continuación:
Si la longitud es múltiplo impar de λ/4 tenemos un circuito resonante serie:
Ec.27 Ec.28
Ec.29
Si la longitud es múltiplo par de λ/4 tenemos un
circuito resonante paralelo:
Ec.30
Ec.31
Ec.32
II.3. Casos particulares.
Visto lo anterior podemos considerar como casos
particulares aquellos en los que la longitud física de la línea es λ/4 y λ/2.Para la línea con longitud λ/4 observamos que si la terminación es un circuito abierto (ZL= ) a la entrada tenemos una impedancia Zin=0, es decir, hemos pasado del circuito abierto al cortocircuito, esto se puede ver como una inversión de la impedancia, en la Carta de Smith pasamos del cortocircuito al circuito abierto moviéndonos una longitud λ/4.
Para una línea de longitud λ/2 la impedancia de entrada es siempre igual a la impedancia de carga independientemente de cuál sea la impedancia característica de la línea.
II.4.Factor de Calidad.
El factor de calidad da una idea de la eficiencia con la que se almacena la energía en un circuito.
Los factores de calidad de los circuitos resonante serie y paralelo equivalentes los podemos expresar así:
Ec.33
Ec.34 Analizando las expresiones anteriores vemos que el factor de calidad disminuye al aumentar la atenuación en la línea, este efecto lo veremos mejor en el apartado de simulación.
III. SIMULACIONES EN FRECUENCIA
En este apartado veremos que ancho de banda presentan los circuitos equivalentes cuando las impedancias de nuestras líneas bajen 3dB’s por debajo del máximo y podremos hacernos una idea de las limitaciones que tenemos al trabajar con una única sección de línea de transmisión de impedancia característica constante.
Para ello usaremos el programa de simulación para circuitos de microondas MMICAD.
III.1.Simulación de línea ideal con distintas
terminaciones.
En esta simulacion tenemos una linea a la cual cambiamos la terminacion entre cortocircuito y circuito abierto. En torno a las frecuencias para las que la impedancia de entrada tiende a infinito la linea se comporta como un circuito resonante paralelo y cuando tiende a cero un circuito resonante serie.
Fig.3.Impedancia de entrada de una linea ideal en decibelios
III.2.Simulación de línea real terminada en circuito
abierto.
Para hacer esta simulacion se ha escogido una linea con frecuencia de resonancia a 1GHz con una longitud fisica de media longitud de onda, impedancia caracteristica de 50Ω y una atenuacion de 3dB´s por metro a la frecuencia de 1GHz, terminada en circuito abierto.
4
La siguiente gráfica muestra la impedancia de entrada
al circuito en decibelios.
Fig.4.Impedancia de entrada de línea real terminada en c.a.
Las frecuencias de resonancia del circuito resonante
paralelo son , es decir, para 1Ghz, 2GHz, 3GHz, vemos que a estas frecuencias la impedancia de entrada tiende a infinito.
Calculamos ahora los parametros concentrados equivalentes del circuito resonante paralelo. Según lo expuesto anteriormente tenemos:
Una longitud de onda , la distancia por tanto , y la atenuación
Np/m Los parámetros concentrados para 1GHz (n=1) son atendiendo a las ecuaciones 30, 31 y 32:
De la gráfica podemos sacar el factor de calidad asi:
Las frecuencias de resonancia del circuito resonante serie es , es decir, 0.5GHz, 1.5GHz, 2.5GHz, a estas frecuencias la impedancia tiende a cero.
Para calcular el circuito resonante serie a la frecuencia de 500MHz hacemos n=1.
Debemos tener en cuenta que la atenuación de 3dB/m que habiamos establecido es a la frecuencia de 1GHz, al ser la atenuación funcion de la frecuencia ese valor no se corresponde para la frecuencia de estudio. Para saber que atenuación tiene la linea a 500Mhz recordamos que la atenuación es proporcional a la raíz de la frecuencia [ ], de aquí obtenemos una atenuación de 0.2439 Np/m.
Si calculamos los parámetros concentrados tenemos:
Y de la gráfica:
Para terminar con este apartado disponemos de tres
líneas de transmisión con atenuaciones de 3, 10 y 20 dB´s por metro.
Fig.5.Impedancias de entrada para distintas atenuaciones.
IV. CONCLUSIONES
Las ideas básicas que se han intentado exponer son
que una linea de transmision a frecuencias de microondas se puede modelar como un circuito de parametros distribuidos, al analizar las ondas de tension y corriente en tal circuito obtenemos los parámetros secundarios de las lineas de transmision, la constante de propagacion y la impedancia caracteristica de la linea.
En función de esos parámetros se obtiene la impedancia de entrada de una línea real terminada con una carga (ec.3).
A partir de ahí hemos hecho dos tipos de aproximaciones, para una línea ideal (α=0) y para una línea de bajas pérdidas (αd<<1). Para cada caso hemos terminado las líneas con circuito abierto y con cortocircuito y hemos analizado como varía la impedancia de entrada.
Algunas ideas que deben quedar claras es que la impedancia es periódica en λ/2, que el factor de calidad disminuye según aumenta la atenuación en la linea y por tanto con la frecuencia.
V. REFERENCIAS
[1] J.Alpuente y otros, “Líneas de Transmisión y Redes de Adaptación en Circuitos de Microondas”, Servicio de Publicaciones de la UAH. 2001.
1
RESONANCIA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Jesús Corrales Serrano Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este trabajo se realizará un estudio sobre la resonancia en líneas de transmisión, estudiando como varia esta, en función de la longitud de la línea y en función de la impedancia de carga. También se obtendrán los circuitos equivalentes de los tramos de líneas de transmisión en parámetros concentrados y sus relaciones con los parámetros primarios y secundarios de la línea.
I. INTRODUCCIÓN
A altas frecuencias, usualmente en el rango de 100 a 1000 MHz, las secciones de líneas de transmisión acabadas en cortocircuito y circuito abierto son usadas para la realización de circuitos resonantes, en lugar del clásico circuito RLC. Esto es debido al alto factor de calidad Q que podemos obtener.
II. FACTOR DE CALIDAD
Un parámetro importante de los circuitos resonantes es el factor de calidad Q, este parámetro es un indicativo de la eficacia con que se almacena la energía en un circuito o en un componente individual del mismo [1]. Se define como:
max maxEnergia maxima almacenada2 2Energia disipada en un periodo
W WQPT P
π π ω= = = Ec. 1
El factor Q definido anteriormente es característico de los circuitos resonantes en ausencia de efectos de carga, por lo que se denomina como factor de calidad propio o descargado del circuito: QU.
En la práctica, no obstante, un circuito resonante es cargado por otro circuito, lo que provocara el efecto de bajar el Q global del circuito, definiendo a este factor de calidad como QT o factor de calidad total. Si al circuito resonante serie (Figura 1) le añadimos una resistencia de carga RL, en serie con R, la resistencia efectiva va a ser RL+R. Si en el circuito resonante paralelo (Figura 2) lo cargamos con una resistencia de carga RL, la resistencia efectiva pasa a ser R.RL/(R+RL). Si definimos el factor de calidad de la carga: QL, como el factor de calidad del circuito cuando la resistencia que carga el circuito es únicamente la carga externa. Podemos calcular el factor de calidad total del circuito como:
1 1 1
T U LQ Q Q= + Ec. 2
III. CIRCUITO RESONANTE SERIE
En la figura 1 se representa el circuito resonante serie. R L
C
Figura 1. Circuito resonante serie
La frecuencia de resonancia es aquella que hace máxima la respuesta (corriente) en nuestro circuito, para esta frecuencia las energías almacenadas en la bobina y el condensador se igualan. Para nuestro circuito resonante serie:
21 1o o LCLC
ω ω= ⇒ = Ec. 3
La impedancia de entrada del circuito es:
2
1 11inZ R j L j R j LC LC
ω ωω ω
⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 4
Sustituyendo la ecuación 3 en 4, la impedancia de entrada puede expresarse como:
2 2 2
2 21 o oinZ R j L R j Lω ω ωω ω
ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
= + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ec. 5
Donde: 2 2 (2 ) 2oω ω ω ω ω ω ω− = Δ −Δ ≈ Δ
Por lo tanto:
2inZ R j L ω= + Δ Ec. 6
Utilizando la ecuación 1 podemos determinar el factor de calidad del circuito, siendo para el circuito resonante serie:
1o o
o
L fQR CR BWω
ω= = = Ec. 7
En función de este factor, la impedancia de entrada puede ponerse como:
2in
o
RQZ R j ωωΔ
= + Ec. 8
2
IV. CIRCUITO RESONANTE PARALELO
En la figura 2 se representa el circuito resonante paralelo.
CRL
Figura 2. Circuito Resonante paralelo
La frecuencia de resonancia es aquella que hace máxima
la respuesta (tensión) en nuestro circuito, para esta frecuencia las energías almacenadas en la bobina y el condensador se igualan. Para nuestro circuito resonante serie:
21 1o o LCLC
ω ω= ⇒ = Ec. 9
La impedancia de entrada del circuito es:
1 1
2
1 1 1 11INZ j C j CR j L R LC
ω ωω ω
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠Ec. 10
Sustituyendo la ecuación 9 en la 10, la impedancia de
entrada puede expresarse como: 1 12 2 2
2 2
1 11 o oINZ j C j C
R Rω ω ωω ωω ω
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
= + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ec. 11
Donde: 2 2 (2 ) 2oω ω ω ω ω ω ω− = Δ −Δ ≈ Δ
Por lo tanto: 11 2INZ j C
Rω
−⎛ ⎞= + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 12
Y su admitancia:
1 2INY j CR
ω= + Δ Ec. 13
Utilizando la ecuación 1 podemos determinar el factor de calidad del circuito, resultando para el circuito resonante paralelo:
oo
o
fRQ CRL BW
ωω
= = = Ec. 14
En función de este factor, la impedancia de entrada puede ponerse como:
11 2IN
o
QZ jR R
ωω
−⎛ ⎞
= + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 15
V. LINEA ACABADA EN CORTOCIRCUITO
Figura 3. Línea acabada en cortocircuito
La impedancia medida a la entrada de un tramo de línea de bajas pérdidas y longitud d se obtiene aplicando la siguiente expresión [2]:
( )( )
L CIN C
C L
Z Z tgh dZ ZZ Z tgh d
γγ
+=
+ Ec. 16
Donde γ es la constante de propagación en la línea jγ α β= + .
Particularizando la expresión 16 para el caso en el que 0LZ = , la impedancia de entrada toma el siguiente valor:
( )IN CZ Z tgh dγ= Ec. 17
La tangente hiperbólica de un número complejo tiene la siguiente propiedad:
( ) ( )( )1 ( ) ( )tgh x jtg ytgh x jy
jtgh x tg y+
+ =+
Ec. 18
Empleando las ecuaciones 17 y 18, la impedancia de entrada puede escribirse como sigue:
( ) ( )1 ( ) ( )IN Ctgh d jtg dZ Z
jtgh d tg dα β
α β+
=+
Ec. 19
Si ahora se aplica la condición de bajas perdidas, la tangente hiperbólica puede aproximarse por su argumento, y finalmente, la ecuación 19 queda de la siguiente forma:
1( )
1 ( )IN d Cd jtg dZ Z
j dtg dαα β
α β+
≈+
Ec. 20
Considerando ahora el caso en el que la longitud d de la línea es igual a λ/2 o múltiplo entero (d=nλ/2). La longitud eléctrica toma el valor dado por la ecuación:
o
d nωβ πω
= Ec. 21
Donde oω es la pulsación para la cual d=nλ/2. En un margen de frecuencias estrecho entorno a ω se puede considerar ω= ω0+∆ω. Por tanto, la longitud eléctrica es:
o
d n nωβ π πωΔ
= + Ec.22
3
El valor de la tangente puede aproximarse por su argumento en un margen de valores estrecho en torno a π , por tanto:
o o o
tg n n tg n nω ω ωπ π π πω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ Δ+ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ec. 23
Combinando las ecuaciones 20 y 23:
1o
IN C
o
d j nZ Z
j d n
ωα πωωα πω
Δ+
=Δ
+
Ec. 24
Puesto que la línea es de bajas pérdidas, y considerando un ancho de banda reducido en torno a la frecuencia de resonancia:
1o
IN Cd no
Z Z d j nωα πω
ωα πωΔ
⎛ ⎞Δ≈ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ec. 25
Comparando las ecuaciones 25 y 6 se obtienen las relaciones siguientes:
( )
( )
( )
22
C
Co
C o
R Z dnL Z H
C FZ n
απω
πω
= Ω
=
=
Ec. 26
El factor de calidad de la línea cortocircuitada puede calcularse a partir del circuito equivalente de parámetros concentrados o también por comparación de las ecuaciones 25 y 8. Resultando:
12 2o
o on d
o
L nQR CR d π βω βπ
ω α α== = = = Ec. 27
Donde α es la atenuación de la línea a la frecuencia de resonancia. Al igual que las líneas ideales, las líneas de bajas pérdidas se comportan como un circuito resonante serie (Figura 1) cuando la longitud es λ/2 o múltiplo entero. El comportamiento de la línea de bajas pérdidas cuando su longitud es múltiplo impar de un cuarto de onda (d=(2n-1) λ/4) es el de un circuito resonante paralelo (Figura 2). La admitancia de entrada en la línea de transmisión es:
1 ( ) ( )( ) ( )IN Cjtgh d tg dY Y
tgh d jtg dα β
α β+
=+
Ec. 28
Si ahora se aplica la condición de bajas pérdidas, la tangente hiperbólica puede aproximarse por su argumento, y finalmente, la ecuación anterior queda de la siguiente forma:
11 ( )
( )IN d Cj dtg dY Y
d jtg dαα β
α β+
≈+
Ec. 29
En un margen de frecuencias estrecho en torno a oω se puede considerar ω=ω0+∆ω. Por lo tanto, la longitud eléctrica es:
(2 1) (2 1)2 2 o
d n nπ π ωβωΔ
= − + − Ec. 30
El valor de la tangente puede aproximarse por su argumento en un margen de valores estrecho entorno a π , por tanto:
1 1( )(2 1)(2 1) 22 oo
tg dntg n
β π ωπ ωωω
−= − ≈
Δ⎛ ⎞Δ −−⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 31
Combinando las ecuaciones 29 y 31:
11(2 1)
2
1
(2 1)2
oIN C
o
j dn
Y Y
d jn
α π ωω
α π ωω
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟+
Δ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟+
Δ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 32
Puesto que la línea es de bajas pérdidas, y considerando un ancho de banda reducido en torno a la frecuencia de resonancia:
(2 1) 12
(2 1)2
o
IN Cd no
Y Y d j nπ ωαω
π ωαωΔ
−
⎛ ⎞Δ≈ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ec. 33
Procediendo de manera análoga a como se hizo en el caso de la resonancias serie, y teniendo en cuenta la expresión de la admitancia de entrada de un circuito resonante paralelo (Ecuación 13) de parámetros concentrados en un estrecho margen de frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia. Obtenemos las relaciones siguientes:
( )
( )
( )2
(2 1)4
41(2 1)
C
o C
C
o o
ZRd
C n FZ
ZL HC n
απω
ω ω π
= Ω
= −
= =−
Ec. 34
De nuevo, se obtiene el factor de calidad a partir de los elementos del circuito de parámetros concentrados equivalente:
2o
oQ CR βωα
= = Ec. 35
4
VI. LINEA ACABADA EN CIRCUITO ABIERTO
Figura 4. Línea acabada en circuito abierto
Particularizando la ecuación 16 para el caso en el que
LZ = ∞ , la impedancia de entrada toma el siguiente valor:
( )C
INZZ
tgh dγ= Ec. 37
Por lo tanto su admitancia toma el valor:
1 1 ( )
( )
IN CCIN
Y Y tgh dZZtgh d
γ
γ
= = = Ec. 38
Aplicando la propiedad de la tangente hiperbólica, ecuación 18. Y utilizando la ecuación 38. La admitancia de entrada puede escribirse como sigue:
( ) ( )1 ( ) ( )IN Ctgh d jtg dY Y
jtgh d tg dα β
α β+
=+
Ec. 39
Si ahora se aplica la condición de bajas pérdidas, la tangente hiperbólica puede aproximarse por su argumento, y finalmente, la ecuación 39 queda de la siguiente forma:
1( )
1 ( )IN d Cd jtg dY Y
j dtg dαα β
α β+
≈+
Ec. 40
Considerando ahora el caso en el que la longitud d de la línea es igual a λ/2 o múltiplo entero (d=nλ/2). La longitud eléctrica toma el valor dado por la ecuación:
o
d nωβ πω
= Ec. 41
Donde ω0 es la pulsación para la cual d=nλ/2. En un margen de frecuencias estrecho entorno a ω0 se puede considerar ω=ω0+∆ω. Por tanto, la longitud eléctrica es:
o
d n nωβ π πωΔ
= + Ec.42
El valor de la tangente puede aproximarse por su argumento en un margen de valores estrecho en torno a π , por tanto:
o o o
tg n n tg n nω ω ωπ π π πω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ Δ+ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ec. 43
Combinando las ecuaciones 40 y 43:
1
oIN C
o
d j nY Y
j d n
ωα πωωα πω
Δ+=
Δ+
Ec. 44
Puesto que la línea es de bajas pérdidas, y considerando un ancho de banda reducido en torno a la frecuencia de resonancia:
1o
IN Cd no
Y Y d j nωα πω
ωα πωΔ
⎛ ⎞Δ≈ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ec. 45
Comparando las ecuaciones 45 y 13 se obtienen las relaciones siguientes:
( )
( )
( )2
1
2 21
C
C
C
o C o
o
ZRY d dY n nC F
Z
L HC
α απ π
ω ω
ω
= = Ω
= =
=
Ec. 46
El factor de calidad de la línea cortocircuitada puede calcularse a partir del circuito equivalente de parámetros concentrados o también por comparación de las ecuaciones 45 y 15. Resultando:
2 2o
oo n d
o
R nQ CRL d π β
βπωω α α== = = = Ec. 47
Al igual que las líneas ideales, las líneas de bajas pérdidas se comportan como un circuito resonante paralelo (Figura 2) cuando la longitud es λ/2 múltiplo entero. El comportamiento de la línea de bajas perdidas cuando su longitud es múltiplo impar de un cuarto de onda (d=(2n-1) λ/4) es el de un circuito resonante serie (Figura 1). La impedancia de entrada en la línea de transmisión es:
1 ( ) ( )( ) ( )IN Cjtgh d tg dZ Z
tgh d jtg dα β
α β+
=+
Ec. 48
Si ahora se aplica la condición de bajas pérdidas, la tangente hiperbólica puede aproximarse por su argumento, y finalmente, la ecuación anterior queda de la siguiente forma:
11 ( )
( )IN d Cj dtg dZ Z
d jtg dαα β
α β+
≈+
Ec. 49
En un margen de frecuencias estrecho en torno a ω0 se puede considerar ω=ω0+∆ω. Por lo tanto, la longitud eléctrica es:
(2 1) (2 1)2 2 o
d n nπ π ωβωΔ
= − + − Ec. 50
5
El valor de la tangente puede aproximarse por su argumento en un margen de valores estrecho entorno a π , por tanto:
1 1( )(2 1)(2 1) 22 oo
tg dntg n
β π ωπ ωωω
−= − ≈
Δ⎛ ⎞Δ −−⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 51
Combinando las ecuaciones 49 y 51:
11(2 1)
2
1
(2 1)2
oIN C
o
j dn
Z Z
d jn
α π ωω
α π ωω
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟+
Δ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟+
Δ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 52
Puesto que la línea es de bajas pérdidas, y considerando un ancho de banda reducido en torno a la frecuencia de resonancia:
(2 1) 12
(2 1)2
o
IN Cd no
Z Z d j nπ ωαω
π ωαωΔ
−
⎛ ⎞Δ≈ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ec. 53
Procediendo de manera análoga a como se hizo en el caso de las resonancias paralelo, y teniendo en cuenta la expresión de la impedancia de entrada de un circuito resonante serie (Ecuación 6) de parámetros concentrados en un estrecho margen de frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia. Obtenemos las relaciones siguientes:
( )
( )
( )2
(2 1)4
1
C
Co
o
R Z d
L Z n H
C FL
απω
ω
= Ω
= −
=
Ec. 54
De nuevo, se obtiene el factor de calidad a partir de los elementos del circuito de parámetros concentrados equivalente:
12 2o
o on d
o
L nQR CR d π βω βπ
ω α α== = = = Ec.55
VII. SIMULACIONES
Figura 5. Impedancia y admitancia de entrada en una línea acabada
en circuito abierto
Figura 6. Impedancia de entrada a un circuito RLC serie
VIII. CONCLUSIONES
En resumen, para longitudes eléctricas (β.d) iguales a π/2 o sus múltiplos impares, la línea terminada en cortocircuito se comporta como un circuito resonante paralelo. En cambio, para múltiplos pares de π/2 (π y sus múltiplos) la línea cortocircuitada se comporta como un circuito resonante serie. Pero a diferencia de lo que sucede con un circuito RLC ideal que presenta una única frecuencia de resonancia serie o paralelo (Figura 6), la línea cortocircuitada presenta infinitas frecuencias de resonancia serie y paralelo alternadas entre si.
Para el caso de la línea terminada en circuito abierto (Figura 5) es exactamente inverso al de la línea terminada en cortocircuito. Cuando la longitud eléctrica es igual a π/2 o sus múltiplos impares la línea terminada en circuito abierto se comporta como un circuito resonante serie. Cuando la longitud eléctrica es múltiplo par de π/2 la línea se comporta como un circuito resonante paralelo.
IX. REFERENCIAS [1] D. M. Pozar, “Microwave Engineering”, 2rd.ed., pp 300-313John
Wiley & Sons, Inc 1998. [2] Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de
microondas. J. Alpuente, M.P. Jarabo, P.L. López y J.A. Pamies. Servicio de publicaciones de la UAH. 2001
[3] Robert E. Collin, “Foundations for Microwave Engineering”, 2rd.ed, pp 481-490 IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory, Donald G. Dudley, Series Editor.
1
RESONANCIA EN GUÍAS DE ONDAS Eva Llorente Remartínez
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- El documento que se presenta a continuación
trata de exponer 2 tipos de resonadores, las cavidades
rectangulares y las cavidades cilíndricas, sus modos
fundamentales de propagación, sus frecuencias de corte,
y sus respectivas cartas de modos.
I. INTRODUCCIÓN
Las estructuras resonantes de microondas se utilizan en la realización de una gran variedad de aplicaciones como filtros, osciladores y amplificadores.
En baja frecuencia, las estructuras resonantes están formadas por condensadores y bobinas, según aumenta la frecuencia de trabajo estos elementos no se pueden utilizar. Los resonadores en los circuitos de microondas se pueden desarrollar con líneas de transmisión. Sin embargo, las estructuras resonantes de microondas se entienden en su mayor parte como cavidades resonantes. Los resonadores convencionales son guías de onda rectangulares o cilíndricas donde las energías eléctricas y magnéticas se almacenan en los campos eléctricos y magnéticos dentro de los campos electromagnéticos de la cavidad, generando así el equivalente en alta frecuencia de condensadores y bobinas. Al igual que en baja frecuencia, las cavidades resonantes presentan una resistencia parasita ya que las paredes metálicas de las guías se disipa energía. Esta resistencia se puede determinar mediante las corrientes que circulan por las paredes de la cavidad. En este documento se va desarrollar el funcionamiento de las cavidades rectangulares, cilíndricas, sus modos fundamentales de trabajo y sus cartas de modos
II.1Cavidades Rectangulares
Las cavidades rectangulares son secciones de guía de onda rectangular, Debido a que en las guías de onda hay pérdidas de radiación, las secciones de las mismas son cortas y cerradas por ambos lados. Las energías eléctricas y magnéticas se almacenan en la cavidad. La potencia se puede disipar tanto en las paredes metálicas de la guía como en el dieléctrico de la cavidad.
En la figura 1 se muestra la forma de la guía rectangular. Esta es de longitud d, la cara más ancha de la guía es de dimensión a y la cara más estrecha tiene longitud b. En primer lugar, vamos a buscar la frecuencia de resonancia, posteriormente deduciremos el factor de calidad de la cavidad (Qc).
Fig. 1. Cavidad rectangular
Para tener un criterio de cómo varían los ejes diremos que el eje z varia entre z =0,d; el eje y entre y =0,b; y el x de tal forma que x =0,a.
Para resolver las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético comenzaremos con las ecuaciones de onda y el método de separación de variables de tal forma que se satisfagan las condiciones de contorno en las paredes de la guía.
Las componentes x e y del campo eléctrico son nulas
0x yE E= = en las paredes para z =0,d. Las componentes
transversales del campo eléctrico para los modos TEmn o TMmn de la guía rectangular se pueden expresar de la siguiente forma:
( , , ) ( , )[ ]mn mnj z j ztE x y z e x y A e A e
β β→ →
+ − −= + Ec.1
donde ( , )e x y→
se define como la variación transversal del
modo, A+ y A− hacen referencia a las amplitudes (arbitrarias en este caso) de las ondas incidentes y reflejadas en la cavidad.
La constante de propagación para los modos TEmn y TMmn es
2 22
,m n
m nk
a b
π πβ
= − −
Ec.2
donde k ω µε= .
Aplicando la condición 0tE→
= para 0z = implica que
A A+ −= − y teniendo 0tE
→
= para z d= la Ec.1 queda simplificada de la siguiente forma
,( , , ) ( , ) 2 sin( ) 0t m nE x y d e x y A j dβ→ →
+= − = , Ec.3
donde la única solución no tribial se obtiene para 0A+ ≠
2
,m n lβ π= para 1, 2,3...l = Ec.4
Todo lo anterior implica que la longitud de la cavidad debe ser un múltiplo entero de / 2λ a la frecuencia de resonancia.
El número de ondas resonantes dentro de la cavidad viene dado por
2 2 2
, ,m n
m n lk l
a b d
π π π = + +
Ec.5
Cuando hablamos del modo TEmnl o del TMmnl estamos haciendo referencia al número de variaciones que se producen en las direcciones x, y, z.
La frecuencia de resonancia para los modos viene dada por la siguiente ecuación:
2mnl
mnl
r r
ckf
π µ ε= Ec.6
Sustituyendo la Ec.5 en la Ec.6 obtenemos que la frecuencia de resonancia es:
2 2 2
2mnl
r r
c m n lf
a b d
π π π
π µ ε
= + +
Ec.7
Si b<a<d, el modo fundamental será el TE101, que se corresponde con el modo fundamental de la cavidad (TE10)
en una guía de longitud / 2gλ . El modo fundamental para el
campo magnético es el TM110.
La carta de modos para el modo fundamental es la que se muestra en la figura 2.
Fig. 2. Carta de modos para el modo fundamental TE101.
El factor de calidad de la cavidad resonante va a depender del factor de calidad de la guía y del factor de calidad del dieléctrico del interior de la misma.
11 1
T
c d
QQ Q
−
= +
Ec.8
El factor de calidad de la guía es
02 ec
c
WQ
P
ω= , Ec.9
donde ω0 es la pulsación a la frecuencia de trabajo, We es la energía eléctrica de la cavidad, y Pc es potencia disipada en las paredes de la misma.
4e y y
V
W E E dVε ∗= ∫ , Ec.10
que en nuestro caso en particular queda
2016e
abdW E
ε= . Ec.11
2
2s
c T
abd
RP H dS= ∫ , Ec.12
donde 0 / 2s
R ωµ σ= y HT es la componente tangencial
del campo magnético en la superficie de las paredes de la guía.
A partir de las ecuaciones de contorno de cada una de las componentes del campo eléctrico y magnético de la cavidad.
Sabiendo que A A+ −= − obtenemos:
sin [ ]j z j z
y
xE A e e
a
β βπ+ −= − , Ec.13
sin [ ]j z j z
x
TE
A xH e e
Z a
β βπ+−−
= + , Ec.14
cos [ ]j z j z
z
j A xH e e
k a a
β βπ π
η
+−= + . Ec.15
Si 0 2E jA+= − y utilizando Ec.4, las ecuaciones
anteriores se pueden reducir a:
0 sin siny
x l zE E
a d
π π= , Ec.16
0 sin cosx
TE
jE x l zH
Z a d
π π−= , Ec.17
0 cos sinz
j E x l zH
k a a d
π π π
η= , Ec.18
Sustituyendo la Ec.17 en la Ec.12 y tomando como limites de las integrales en los intervalos de 0 x a≤ ≤ , 0 y b≤ ≤ y
0 z d≤ ≤ , obtenemos que
2s
c
RP =
2
0 0
2 ( 0)b a
x
y x
H z dxdy= =
= +
∫ ∫
2 2 2
0 0 0 0
2 ( 0) 2 ( 0) ( 0)d b d a
z x z
z y z x
H x dydz H y H y dxdz= = = =
+ = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
Ec.19
2 2 2 202 2 28 2 2
sc
R E l ab bd l a dP
d a d a
λ
η
= + + +
. Ec.20
Si sustituimos Ec.20 en la Ec.9 obtenemos que el factor de calidad de la cavidad es de la siguiente forma:
3
2 3 3 2 3 3
( ) 1
2 (2 2 )c
s
kad bQ
R l a b bd l a d ad
η
π=
+ + + Ec.21
El factor de calidad del dieléctrico es
a
b
a
d
3
2 ed
d
WQ
P
ω= , Ec.22
01
2 8d
V
abd EP J E dv
ωε∗ ′′= ⋅ =∫
, Ec.23
Sustituyendo Ec.23 en Ec.22. Sabiendo que un dieléctrico con pérdidas tiene una conductividad
0 tanrσ ωε ωε ε δ′′= = donde tanδ hace referencia a
las pérdidas tangenciales del material. Al simplificar obtenemos que el factor de calidad del dieléctrico es:
1
tandQδ
= Ec.24
II.2Cavidades Cilíndricas
Las cavidades cilíndricas se pueden construir a partir de una sección de guía de onda cilíndrica. El modo TE fundamental de las guías de onda cilíndricas es el TE11 y el de las cavidades el TE111 mientras que el modo TM fundamental es el TM011.
Estas cavidades se construyen con una tapa móvil de tal forma que permita sintonizarla a la frecuencia de resonancia, y la cavidad está acoplada a una guía de onda con una pequeña apertura. La potencia se absorbe en la cavidad ya que está sintonizada a la frecuencia de trabajo del sistema. Esta absorción se puede controlar con un medidor de potencia introducido en el propio sistema. El sintonizador suele estar calibrado en frecuencia. Mientras que la frecuencia de resonancia está determinada por el Q del circuito, el modo TE011 se suele utilizar en medidores de frecuencia porque su factor de calidad es mucho mayor que el del modo fundamental de la cavidad.
Fig. 3. Carta del modo TE111
Fig. 4. Carta del modo TM011
Fig. 5. Carta del modo TE011
En la figura 6 se muestra la forma de una cavidad circular. La solución se simplifica teniendo en cuenta el modo de trabajo de la cavidad y haciendo que se cumplan las condiciones de contorno en las paredes esta.
Fig. 6. Cavidad cilíndrica
Resolvemos las condiciones de contorno a partir de los campos transversales (Eρ, EΦ) de los modos TEnm o TMnm de la cavidad.
( , , ) ( , )[ ]nm nmj z j ztE z e A e A e
β βρ φ ρ φ −+ −= +
, Ec.25
donde ( , )e ρ φ
representa la variación transversal del modo,
y A+ y A- son amplitudes arbitrarias de las ondas incidentes y reflejadas. La constante de propagación para los modos TEnm
es
22 nm
nm
pk
aβ
′ = −
, Ec.26
donde p’nm es la m-ésima raíz de la derivada de la función de Bessel de primera especie. Estos valores vienen dados en unas tablas matemáticas.
Para los modos TMnm la constante de propagación es
22 nm
nm
pk
aβ
= −
, Ec.27
donde pnm es la m-ésima raíz de la función de Bessel de primera especie. Estos valores también vienen dados en tablas matemáticas.
En ambos casos k ω µε= .
Para 0tE =
y 0,z d= las amplitudes arbitrarias (A+ y
A-) tienen que cumplir que A A
+ −= − , y
sin 0nmA dβ+ = , tenemos que
nmd lβ π= para valores de 0,1,2,3,...,l = Ec.28
d
a
Φ
2a
l
2a
l
2a
l
4
Esto implica que la longitud de la guía debe ser un
multiplo entero de 2gλ .Por lo tanto la frecuencia de
resonancia para el modo TEnml es
2 2
2nm
mnl
r r
pc lf
a d
π
π µ ε
′ = +
, Ec.29
La frecuencia de resonancia para el modo TMnml es
2 2
2nm
mnl
r r
pc lf
a d
π
π µ ε
= +
Ec.30
Para deducir el factor de calidad para el modo TEnml, escribimos las ecuaciones para cada una de las componentes de los campos eléctrico y magnético, teniendo en cuenta que
A A+ −= − .
0 cos sinnmz n
p l zH H J n
a d
ρ πφ
′ =
, Ec.31
0 cos cosnmn
nm
aH p l zH J n
p a dρ
β ρ πφ
′ ′= ′
, Ec.32
( )
20
2 sin cosnmn
nm
a nH p l zH J n
a dpφ
β ρ πφ
ρ
′− =
′ , Ec.33
( )
20
2 sin sinnmn
nm
jk a nH p l zE J n
a dpρ
η ρ πφ
ρ
′ =
′ , Ec.34
0 cos sinnmn
nm
jk aH p l zE J n
p a dφ
η ρ πφ
′ ′= ′
, Ec.35
0zE = , Ec.36
donde η µ ε= y 0 2H jA+= − .
Como las cantidades medias de energía eléctrica y magnética son iguales, la energía total es
( )2
2 2
0 0 0
22
d a
e
z
W W E E d d dz
π
ρ φ
φ ρ
ερ ρ φ
= = =
= = +∫ ∫ ∫
( )
22 2 2 22 20
2 04
anm nm
n n
nmnm
k a dH p pnaJ J d
a p ap ρ
ε η π ρ ρρ ρ
ρ=
′ ′ ′ = + ′′
∫
( )( )
22 2 4 220
2 18
n nm
nmnm
k a dH nJ p
pp
ε η π ′ = −
′′
, Ec.37
La potencia disipada por la cavidad es
2
tan2s
c
s
RP H ds= ∫
22 2
0 0
( ) ( )2
d
sz
z
RH a H a ad dz
π
φ
φ
ρ ρ φ= =
= = + = ∫ ∫
2
2 2
0 0
2 ( 0) ( 0)a
H z H z d d
π
ρ φ
φ ρ
ρ ρ φ= =
+ = + = ∫ ∫
( )( ) ( )
2 22 22 20 2 21 1
2 2s
n nm
nmnm nm
R da an a nH J p
pp p
β βπ
′= + + − ′ ′ ′ Ec.38
El factor de calidad viene dado por la fórmula
0c
c
WQ
P
ω= Ec.39
Sustituyendo la Ec.37 y la Ec.38 en la Ec.39 obtenemos que el factor de calidad de la cavidad es:
( )
( )
( ) ( )
2
3
2 2 22 2
2 2
1
41 1
2
nm
c
nm s
nmnm nm
n
pka adQ
p Rad an a n
pp p
η
β β
− ′ =
′ + + − ′ ′ ′ Ec.40
El factor de calidad del dieléctrico
d
d
WQ
P
ω= Ec.41
La potencia disipada por el mismo tiene la siguiente
expresión:
( )( )
22 2 4 220
2
¨11
2 8d n nm
nmV nm
k a H nP J E dv J p
pp
ωε η∗ ′′
′ = ⋅ = − ′′
∫
Ec.42
De tal forma que el factor de calidad del dieléctrico es:
1
tandQδ
= Ec.43
II. CONCLUSIONES
El uso de resonadores está muy enfocado en su mayor parte a la realización de filtros de microondas, aunque también se pueden realizar otro tipo de circuitos. Como se puede observar, estos circuitos están caracterizados por su frecuencia de trabajo y su factor de calidad, y se diseñan única y exclusivamente para que trabajen a dicha frecuencia al igual que sucede con los resonadores de baja frecuencia.
III. BIBLIOGRAFIA
[1] D. M. Pozar “Microwave engineering”, 3rd.ed.,Jonh Wiley & Sons, USA, 2005
[2] I. Bahl and P. Bhartia, “Microwave Solid State Circuit Design”, 2nd.ed., New Jersey, United States of America: AWiley-Interscience publication, 2003.
1
RESONANCIA EN GUÍAS DE ONDA Alberto Agustín Cid Martín
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
I. INTRODUCCIÓN
Las cavidades resonantes son dispositivos de microondas que están esencialmente constituidos por una región dieléctrica encerrada por paredes conductoras y sólo a determinadas frecuencias, las denominadas de resonancia, son capaces de almacenar grandes densidades de energía.
Se suele utilizar mucho en frecuencias por encima de los
3 GHz, por eso es usado en la actualidad para microondas. Determinar el factor de calidad, la frecuencia de resonancia y la potencia que es capaz de disipar será nuestros principales parámetros a tener en cuenta.
Los resonadores tienen infinidad de modos de resonancia
que podemos estudiar usando las leyes de Maxwell, y aplicándole las condiciones idóneas como veremos en los siguientes apartados.
II.1Cavidades Rectangulares. Una cavidad rectangular, tenemos que entenderla como una guía de onda de forma rectangular cortocircuitada en ambos extremos. Tomaremos para nuestra explicación una guía de onda de alto “b” ancho “a” y largo “l”, utilizaremos un sistema de coordenadas xyz como el definido en la figura. La cavidad rectangular, será resonante a unas frecuencias determinadas y funcionará como si se tratase de un circuito resonante serie, o paralelo en resonancia.
Fig. 1 Cavidad Rectangular
Para el análisis, asumiremos que las paredes de la cavidad son conductores perfectos, así como que la región en interior de la cavidad es un aislante perfecto. La onda estacionaria que se produce en el interior de la guía, será el resultado de dos ondas iguales que viajan en sentido contrario
Suponemos un campo eléctrico viajando a lo largo del eje z con sus componentes perpendiculares a la cara más ancha de la guía es decir en dirección “y”
zjyaxsenEzyxE βπ −
∧+ ⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 0),,( Ec. 1
zjyaxsenEzyxE βπ +
∧− ⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 0),,( Ec. 2
−+ −= 00 EE Ec. 3
La suma de estás dos señales en un punto determinado y cumpliendo las condiciones:
0)0( ==zE Ec. 4
0)( == lzE (siendo l la longitud de la guía) Ec. 5
Estas condiciones son debidas a que el campo eléctrico en los extremos de la onda será nulo ya que tenemos las paredes cortocircuitadas. La suma resultante de las ondas opuestas será:
0)()(0 ==+==
−+lz
dsenaxsenEEEE βπ
Ec. 6
Para el caso concreto de z=l nuestro campo se hace 0, con lo que necesitamos que:
...3,2,0)( πππββ =⇒==
dzsenlz
Ec. 7
,...)6,5,4,3,2,1(2=⇔=⋅ ppl
g
πλπ
Ec. 8
2
Así obtendremos que la cavidad deba tener una longitud de un múltiplo entero de medias longitudes de onda a la frecuencia de resonancia, por lo que tendríamos que tener en cuenta esta longitud para la fabricación de la guía. Nos encontraremos en este caso en que la cavidad es una versión en guía de onda del resonador λ/2 cortocircuitado en su extremo.
pl g ⋅=2λ
Ec. 9
Fig. 2 Campo eléctrico en cavidad rectangular con p=1
Fig. 3 Campo eléctrico en cavidad rectangular con p=2
Obtendremos infinitas soluciones, tantas como valores podemos darle al parámetro “p”. Por eso diferenciaremos los modos resonantes de la cavidad:
)0,0(,, ≠= zzpnm HETE Ec. 10
)0,0(,, ≠= zzpnm EHTM Ec. 11
II.2Frecuencia de resonancia El cálculo de la frecuencia de resonancia de nuestra cavidad dependerá del modo resonante en el que nos encontremos, del número de onda “K”, permitividades relativas eléctricas y magnéticas del medio además de la longitud necesario para tener resonancia.
La frecuencia de resonancia es inversamente proporcional a la longitud de la misma, y viene dada por la siguiente expresión:
rr
mnpmnp
kcf
εμπ ⋅
⋅=
2 Ec. 12
222
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
dp
bn
amcf
rrmnp
πππεμπ
Ec. 13
Si a<b<d entonces estaremos trabajando en el modo resonante fundamental (modo que tiene la frecuencia de resonancia más baja) el TE101 que equivale al modo dominante en una guía rectangular siendo d=λg\2.
El modo dominante para el Transversal Magnético será el TM110.
Podemos observar cómo se reparte el campo eléctrico en el modo fundamental TE101
Fig. 4 Distribución del campo en una guía rectangular
El campo es MAX en el medio de la cavidad y en el centro de la cara más ancha (λg\4) valiendo 1 en ese punto. Según nos alejamos del medio de la cavidad va
disminuyendo, así valdrá 22 para una longitud (λg\8). El
campo será nulo en z=0.
II.3Factor de calidad en cavidad rectangular
Para encontrar el factor de calidad (Q), nos basaremos en
la cantidad de energía que es capaz de almacenar la cavidad, así como la potencia perdida en las paredes del conductor y el dieléctrico
3
MV
yye WEabddvEEW === ∫ 20
*
164εε
Ec. 14
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++== ∫ a
ddal
abd
dablER
dSHR
P s
Paredest
sc 2282
2
22
2
2
2202
ηλ
Ec. 15
∫∫′′
=′′
==VV
d
EabddVEdVEJP
8221
202 εωεω
Ec. 16
Relaciones de Potencia disipada en los conductores y potencia disipada en el dieléctrico.
c
Ec P
WQ 02ω
= Ec.17
δω
tgPW
QD
ED
12 0 == Ec. 18
111
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
CDT QQ
Q Ec. 19
II.4Cartas de modos Las cartas de modos, son unas gráficas que nos relacionan la frecuencia de resonancia de una cavidad, en función de las dimensiones de dicha cavidad (longitud y anchura). Así en un caso práctico de tener unas medidas definidas, tendremos una recta para cada modo de propagación TE, o TM
Fig. 5 Carta de modo cavidad rectangular
III.1Cavidades Cilíndricas.
Al igual que en las cavidades rectangulares, la guía
cilíndrica será una guía de forma cilíndrica cortocircuitada en ambos extremos, al igual que en apartados anteriores habrá resonancia a frecuencias donde l sea múltiplo de λg/2. Estas guías podrán albergar modo TEnmp y TMnmp donde “p” representa el número de medias longitudes de onda en la dirección del eje z. El modo dominante de una cavidad cilíndrica es el TE111
Las cavidades circulares se usan en multitud de ocasiones como frecuenciometros utilizando un modo TE011 debido a su alto factor de calidad Q. Para esto, la cavidad está construida con una pared superior movible que permite sintonizar la frecuencia de resonancia.
Fig. 6 Cavidad cilíndrica.
III.2 Frecuencia de resonancia. Analizaremos una cavidad cilíndrica de la misma manera que lo hicimos con la rectangular, además los modos de la guía circular satisfacen las condiciones de contorno necesarias para resonancia. Podremos expresar el campo transversal eléctrico como:
[ ]zjzjt
nmnm eAeAEE ββ −−+ += Ec. 19 Para que esta ecuación se haga Et=0 para z=0 o z=d debemos de cumplir que:
−+ −= AA Ec. 20
πββ lddA nmnm =⇔=+ 0)sin( Ec. 21
Fig. 7 Distribución del campo eléctrico para l= y l=2.
4
En la siguiente figura, podemos observar una representación de la distribución que tendrá el campo eléctrico dentro de la guía dependiendo del modo que esté utilizando
Fig.8 Distribución del campo eléctrico para distintos modos.
La frecuencia de resonancia para el modo TE vendrá dada por la siguiente expresión. Mientras que para calcular la frecuencia de resonancia del modo TM, solo habrá que cambiar el parámetro Pnm por Pnm’ (parámetros de Bessel)
22
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
dl
apcf nm
rrmnl
πεμπ
Ec. 22
En las cavidades de las guías cilíndricas no se utiliza el
modo fundamental (TE111) sino que se utilizan los “modos circulares” (TE011). La atenuación debida a los conductores es mucho más baja en el modo fundamental. Por esto:
QPÉRDIDASATT ⇔↑⇔↓↓ Ec. 23
III.3Cartas de modos Las cartas de modos son como en guías rectangulares una
rápida forma de poder obtener la frecuencia de resonancia en función de las dimensiones de nuestra guía.
Fig. 9 Carta de modos cavidad cilíndrica
III.4 Factor de calidad Para poder obtener el factor de calidad de una cavidad cilíndrica haremos un estudio basándonos en la energía almacenada y la potencia disipada como en las rectangulares. De esta manera podremos averiguar como de buena es nuestra cavidad, es decir una relación entre la potencia que pierde y la que almacena.
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 2´
,
22
´,
2
´,
´,
220 11
2)(
2mnmnmn
mnns
cPn
Pa
PanadPJHRP ββπ
Ec. 24
δtan1
=dQ Ec. 25
cc P
WwQ 0= Ec. 26
El factor de calidad total se obtendrá aplicando la Ec. 19
como en el caso anterior. Como podemos observar arriba Qc decrecerá según la raíz de la frecuencia. Luego como podíamos prever según aumentamos la frecuencia nuestros elementos se comportan de forma menos eficaz.
II. CONCLUSIONES
Las cavidades rectangulares son guías de onda
resonantes, que son capaces de almacenar una gran cantidad de energía, que son capaces de comportarse como un circuito resonante serie o paralelo.
Las pérdidas son directamente proporcionales a la frecuencia, mientras que el factor de calidad disminuye según aumenta la frecuencia
III. REFERENCIAS [1] Peter A. Rizzi, “Microwave Engineering Passive Circuits”, 3rd.ed.,
Englewood Cliffs.New Yersey : Prentice-Hall, 1988. [2] David M. Pozar, “Microwave Engineering”, University of
Massachusetts at Amherst. John Wiley & Sons, INC, Second Edition. 1998
[3] Pablo l Espi. Apuntes UAH. 2007
1
DISEÑO DE FILTROS Lovera Mata, Carlos Antonio
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- El objetivo de este documento es describir los
conceptos básicos en el diseño de filtros que permite la
caracterización de los mismos en la banda de frecuencias
desde los 300Mhz hasta los 300Ghz (microondas) a través
de los métodos “parámetros imagen” y “pérdidas de
inserción”, así como las propiedades y la descripción del
diseño de filtros por medio de inversores de inmitancia
(inversores de impedancia o admitancia). No es la
intención de este documento abarcar la explicación de las
diferentes aproximaciones para la síntesis de los filtros ni
los diferentes tipos de los filtros existentes.
I. INTRODUCCIÓN
El principal motivo por el cual planteamos el estudio de los conceptos básicos de los filtros es el importante papel que juegan estos dispositivos en diversas aplicaciones de radiofrecuencia y microondas, sobre todo en el creciente campo de comunicaciones inalámbricas en el cual se requieren dispositivos con requerimientos cada vez más exigentes y que aprovechen de mejor manera el espectro de frecuencias que disponemos.
De forma general, todos los componentes de microondas pueden ser considerados como filtros, puesto que cada uno de ellos puede tener un comportamiento que limite la banda (de frecuencias) del sistema donde es usado.
Los filtros de microondas descritos en este documento son circuitos de dos puertas, recíprocos, terminados, pasivos, lineales, reflexivos y con pérdidas. Con un circuito de dos puertas nos referimos simplemente a un dispositivo con dos terminales eléctricos. Un dispositivo en el cual no se requiere un sentido de propagación entre puertas, es recíproco. Un dispositivo terminado se refiere a un dispositivo diseñado para operar con una fuente resistiva y una impedancia de carga. Pasivo es aquel filtro que no tiene una fuente interna de energía (la potencia entrante no es amplificada). La linealidad comprende un dispositivo en el que todos los niveles de potencia son proporcionales a la potencia de entrada. Un filtro reflexivo es aquel que genera rechazo por reflejar las ondas incidentes, no genera nuevas frecuencias e intermodulación, y no comprime la señal. Los filtros que disipan las señales rechazadas internamente son llamados filtros disipativos. Y por último, los dispositivos con pérdidas son aquellos en los que la potencia incidente es mayor que las potencia transmitida o reflejada, es decir, cierta proporción de la potencia es siempre atenuada dentro del filtro.
Cuando se diseña un filtro, los parámetros que deben tomarse en cuenta son: El ancho de banda, las pérdidas de inserción, las atenuaciones, las frecuencias de diseño, la impedancia de entrada y salida que presenta el dispositivo, la
relación de onda estacionaria, el retardo de grupo, la linealidad en la fase y la respuesta transitoria.
El complejo comportamiento de las ondas en los circuitos microondas hace virtualmente imposible el desarrollo de procedimientos generales y completos para la síntesis de filtros. En virtud de estas complicaciones añadidas, un importante número de técnicas han sido desarrolladas para diseñar filtros de microondas y a su vez, para estos casos, un prototipo de filtros de baja frecuencia puede ser usado como modelo, reemplazando todos los elementos inductivos y capacitivos por elementos de circuitos de microondas que tiene un comportamiento equivalente sobre el rango de frecuencias que nos interese (los inversores de impedancia o
admitancia son un ejemplo de dichos circuitos equivalentes desarrollados y los cuales serán explicados en los próximos apartados), cabe destacar que las bobinas y los condensadores poseen efectos parásitos que evitan el funcionamiento deseado a altas frecuencias. Por estas razones, se han dedicado muchos esfuerzos en el diseño de filtros de microondas basados en la aplicación de técnicas de síntesis para filtros de baja frecuencia.
Hay esencialmente dos técnicas de síntesis de filtros a baja frecuencia que son comúnmente usadas. Nos referimos al método de parámetros imágenes y al método de pérdidas
de inserción, las cuales serán explicadas en los siguientes apartados.
II.1 Método”Parámetros Imagen”
Considere un circuito de dos puertas con parámetros ABCD terminado con la carga Z2 a la salida y a la entrada con una impedancia interna del generador igual a Z1 como se muestra en la fig. 1. Para valores específicos de Z1 y Z2, conocidas como Impedancias Imagen, la impedancia a la entrada (Zin1) será igual a Z1 y la impedancia a la salida (Zin2) igual a Z2. Estas impedancias adaptan las terminaciones de las dos puertas y si además son reales, provocarán máxima transferencia de potencia. Las ecuaciones que gobiernan la red (tomando la corriente en la carga con el sentido indicado en la fig. 1) serán:
1 2 2V AV BI= + Ec. 1.1
1 2 2I CV DI= + Ec. 1.2
puesto que 1 2
1 2
.V VA B
I C D I
=
,
por lo tanto (la relación de Ec. 1.1 y Ec. 1.2)
2
1 2 2 21
1 2 2 2in
V AV BI AZ BZ
I CV DI CZ D
+ += = =
+ + Ec. 1.3
Análogamente, poniendo V2 e I2 en función de V1 e I1,
2 1 1V DV BI= − Ec. 1.4
2 1 1I CV AI= − + Ec. 1.5
obtenemos que (la relación de Ec. 1.4 y Ec. 1.5):
2 1 1 12
2 1 1 1in
V DV BI DZ BZ
I CV AI CZ A
− +− = = − =
− + + Ec. 1.6
Como sabemos que 1 1inZ Z= y 2 2inZ Z= , nos quedan
las ecuaciones:
( )1 2 2Z CZ D AZ B+ = + Ec. 1.7
( )2 1 1Z CZ A DZ B+ = + Ec. 1.8
que al ser resueltas dan como resultado:
1
ABZ
CD=
2
DBZ
AC=
Nótese que
2 1
DZ Z
A
=
Ec. 1.9
Si el generador con impedancia interna de valor Z1 es
conectado a la entrada y a su vez, la salida es terminada con la carga Z2, los niveles de de tensión y corriente pueden analizarse en función de ecuaciones Ec. 1.4 y Ec. 1.5,
2 1 1 11
BV DV BI D V
Z
= − = −
Ec. 1.10
( )2 1 2 1 1I CV AI CZ A I= − + = − + Ec. 1.11
donde 1V es la tensión en terminales de la puerta de entrada
y el generador de tensión es de valor 12V . Por tanto
encontramos que:
( )2
1
V DAD BC
V A= − Ec. 1.12
( )2
1
I AAD BC
I D= − Ec. 1.13
Si definimos el Factor de Propagación Imagen como
e AD BCγ− = − Ec. 1.14
A partir de Ec. 1.14,
e AD BCγ = + Ec. 1.15
o lo que es igual,
cos ( )h ADγ = Ec. 1.16
( )senh BCγ = Ec. 1.17
El factor ( )2
/A D es interpretado como el valor de la
Impedancia de Transformación. Si N circuitos de 2 puertas son conectados en cascada y
estos tienen una constante de propagación nγ , donde n=1, 2,
…, N y el valor de la transformada de voltaje
11
1
DT
A= 2,..., ,...,n NT T T Ec. 1.18
y cada sección está terminada con una impedancia igual a su impedancia imagen de salida, el valor de transferencia total es:
1 211 2
12
. ... ... .N n
N
N n
n
VT T T e e e T e
V
γ γγ γ − −− −
−
= = ∏ Ec. 1.19
Por lo que la impedancia imagen a la salida de cada
sección es igual a la impedancia imagen de la sección adyacente. Con esta red de filtros terminada en una carga
NZ , y un generador a la entrada con impedancia interna de 1Z , el
sistema estará adaptado para una máxima transferencia de potencia. Para circuitos simétricos no se obtienen ningún cambio
para el valor de la impedancia, es decir, el filtro consistirá en N secciones simétricas terminadas en impedancias de carga
del mismo valor que la impedancia imagen iZ el cual se
comportará como una estructura simétrica infinita con sus respectivas características en banda de paso y en banda atenuada.
En el método de Parámetros Imagen para el diseño de filtros, los parámetros ABCD del circuito son elegidos en función de los valores en banda de paso y en banda atenuada requeridos.
Las deficiencias de los filtros son apreciables debido a que las impedancias imagen van en función de la frecuencia y no permanecen iguales a las impedancias terminadas sobre la banda de paso deseada. Resultando que la pérdida de transmisión (debido a la desacoplo de cargas) dentro de la banda de paso es un valor que no puede ser determinado después que el filtro ha sido diseñado. Además, no hay forma de controlar el valor para la cual la atenuación crece con la frecuencia más allá de los límites de la banda de paso, aparte de aumentar las secciones del filtro. Aún así, mucho de los más usados filtros han sido desarrollados bajo estos basamentos.
Fig. 1. Parámetros Imagen para un circuito de dos puertas.
A
C
B
D
Z1
2V1
Zin,1=Z1 Zin,2=Z2
V2
I2
V1
I1
Z2
3
II.2 Método “Pérdidas de Inserción”
Se definen las pérdidas de inserción il de un circuito
pasivo como la razón entre la potencia entregada a la carga cuando el generador se encuentra directamente conectado a ella y la potencia cuando entre generador y la carga se conecta el circuito bajo estudio.
2 2
1
.(1 ) (1 )DG DG
i
L DG IN IN
P Pl
P P= = =
− Γ − Γ Ec. 2.1
donde INΓ es el coeficiente de reflexión a la entrada cuando
la red está terminada por una impedancia resistiva igual a la impedancia interna del generador.
Las pérdidas de inserción medida en dB es,
10 log( ) 20log( )i i INL l= = − Γ Ec. 2.2
El método de pérdidas de inserción para diseño de filtro
comienza especificando el valor de las pérdidas de inserción o la magnitud de las pérdidas de inserción como función de ϖ . Un filtro que da un valor de pérdidas de inserción deseado es un filtro sintetizado. Este procedimiento se considera el mismo que se sigue en la síntesis de filtros con transformadores / 4λ . De hecho, los transformadores
/ 4λ de múltiples secciones pueden considerarse como un tipo particular de filtro paso banda.
Hay que tomar en cuenta, sin embargo, que no puede elegirse un valor arbitrario de ( )ϖΓ ya que no corresponde
a un circuito físico. Las condiciones que se impondrán sobre Γ son conocidas como las condiciones para la realización física y algunas de estas serás explicadas a continuación.
Para un circuito reflexivo está claro que la potencia reflejada no puede exceder la potencia incidente, y por lo
tanto, una restricción de ( )ϖΓ es ( ) 1ϖΓ ≤ .
Si la impedancia normalizada a la entrada del circuito es
__ __ __
( ) ( ) ( )Z R j Xϖ ϖ ϖ= + Ec. 2.3
tenemos __ __ __
__ __ __
1 ( ) 1 ( )( )
1 ( ) 1 ( )
IN
IN
Z R j X
Z R j X
ϖ ϖϖ
ϖ ϖ
− − +Γ = =
+ + +
Ec. 2.4
por lo tanto
__ __
__ __
( ) 1 ( )( ) ( )
( ) 1 ( )
R j X
R j X
ϖ ϖϖ ϖ
ϖ ϖ
∗− −Γ − = = Γ
+ −
Ec. 2.5
y en consecuencia
2 2( ) ( ) ( ) ( )IN
ϖ ϖ ϖ ϖΓ = Γ = Γ Γ − Ec. 2.6
Ahora cualquier función de impedancia en baja
frecuencia (impedancia del circuitos hechas a base de resistencias, condensadores y bobinas) pueden ser expresadas como una función de dos polinomios. De manera que puede escribirse como:
__ __2 2
2__ __2 2
2
( ) ( 1)( )
( ) ( ) ( 1)IN
M R X
M NR X
ϖϖ
ϖ ϖ
− +Γ = =
++ +
Ec. 2.7
donde M y N son polinomios reales y positivos de 2ϖ . Las pérdidas de inserción pueden ahora expresarse como
__ __2 2 2
__2
( ) [ ( ) 1] [ ( )]1 1
( ) 4 ( )i
M R Xl
NR
ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ
− += + = + Ec. 2.8
Por lo tanto, si sustituimos
__2 2( ) 4 ( ) ( )N R Qϖ ϖ ϖ= = Ec. 2.9
y 2 2( ) ( )M Pϖ ϖ= Ec. 2.10
Tendremos la condición necesaria y suficiente para que el
circuito pueda ser físicamente realizable,
2
2
( )1
( )i
Ml
Q
ϖ
ϖ= + Ec. 2.11
Apreciando la última formula planteada, podemos
deducir que hay prácticamente un ilimitado número de formas pueden ser especificadas para las pérdidas de inserción y que pueden ser físicamente realizables. Sin embargo, muchas de estos circuitos pueden llegar a ser bastante complejos y sólo unos pocos de son realmente útiles y utilizados a nivel práctico, entre las cuales se encuentran las que brindan una respuesta máximamente plana (comúnmente llamados Filtros de Butterworth) en la banda de paso o aquellas que dan un rizado en bandas de paso y atenuadas equivalentes a las deseadas (Filtros de Chebyshev).
II.3 Inversores de Inmitancia
Los inversores de inmitancia son inversores de impedancia o de admitancia. Un inversor de impedancia ideal es un circuito de dos puertas que tienen la única propiedad de que a todas frecuencias, cuando en una puerta
hay una impedancia 2Z , la impedancia 1Z vista hacia
adentro en la otra la puerta será
12
KZ
Z= Ec. 3.1
donde K es un número real definido como la impedancia característica del inversor.
Como puede apreciarse, si 2Z es inductancia /
conductancia, 1Z será conductancia / inductancia, y por lo
tanto el inversor de impedancia tiene un cambio de fase de 90± grados o un múltiplo de este. Los inversores de
impedancia son también conocidos como Inversores K. La matriz ABCD de un inversor de impedancia ideal puede ser expresado como
4
0
10
jKA B
C DjK
= ±
∓
Ec. 3.2
Asimismo, un inversor ideal de admitancia es un circuito
de 2 puertas que presenta como propiedad a toda frecuencia
que, si una admitancia 2Y es conectada en una puerta, la
admitancia 1Y vista hacia dentro de la otra puerta será,
12
JY
Y= Ec. 3.3
donde J es un número real definido como la admitancia característica del inversor.
Similarmente a los inversores de impedancia, estos tiene un cambio de fase de 90± grados o un múltiplo de este. Los inversores de admitancia son también conocidos como Inversores J. La matriz ABCD de un inversor de impedancia ideal puede ser expresado como
1
0
0
A BjJ
C DjJ
± =
∓
Ec. 3.4
Como se aprecia en la fig.2a y fig.2b, puede demostrarse
por análisis de circuitos que una inductancia en serie con un inversor a cada lado es como una capacitancia hacia el exterior de los terminales.
Fig. 2a. Inversor de inmitancia usado para convertir una
inductancia en serie en un circuito equivalente de capacitancia en paralelo.
Fig. 2b. Inversor de inmitancia usado para convertir una capacitancia en paralelo en un circuito equivalente de inductancia
en serie.
Por ejemplo, un prototipo de estructura común de un filtro paso bajo puede convertirse a una forma como la indicada en la fig.3.
Fig. 3. Prototipo de filtro paso bajo modificado usando inversores de inmitancia
Una de las formas más simples de hacer un inversor es con una línea de transmisión de longitud / 4λ o incluso, puede hacerse un inversor mediante la implementación de un circuito mixto formado por bobinas, condensadores y elementos de líneas de transmisión.
En realidad, los parámetros J y K de los inversores de inmitancia reales son dependientes de la frecuencia y pueden aproximarse al comportamiento de un inversor de inmitancia ideal. Los filtros diseñados por inversores de inmitancia son más usados en aplicaciones con filtros de banda estrecha.
II. CONCLUSIONES
Los métodos explicados confluyen en la idea de realizar filtros que permitan un diseño sencillo, eficiente y de bajo costo, basándose a su vez, en la idea de la adaptación de cargas que permite máxima transferencia de potencia.
Teniendo en cuenta que en el método de Parámetros Imagen hay una dependencia directa de los parámetros ABCD del dispositivo usado, este es usualmente menos valorado que el método de Pérdidas de Inserción.
Los inversores de inmitancia junto con las Transformaciones de Richards y las Equivalencias de Kuroda (no tratados en este documento) juegan un papel importante en la flexibilidad que nos aporta a la hora de diseñar, en este caso, un filtro de microondas.
Todo lo explicado en este documento ha sido tomado de la bibliografía reseñada a continuación.
III. BIBLIOGRAFÍA
[1] J. Hong and M.J.. Lancester, “Microstrip filters for RF/Microwave applications”, 1st.ed., NY, United States of America: AWiley-Interscience publication, 2001.
[2] R. E. Collin, “Foundations for Microwave Engineering”, 2nd.ed., Singapore: McGraw Hill International Edition, 1992.
[3] I. Bahl and P. Bhartia, “Microwave Solid State Circuit Design”, 2nd.ed., New Jersey, United States of America: AWiley-Interscience publication, 2003.
J J C C J
J J L C
K K L
C
1
DISEÑO DE FILTROS
Alberto Martín Fernández Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación.
Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail: [email protected]
Resumen- Este documento muestra distintos métodos de diseño de filtros de microondas, el estudio está centrado en dos métodos, diseño mediante parámetros imagen y mediante pérdidas de inserción. También dedicamos un apartado a la aplicación de inversores de impedancia y admitancia al diseño de filtros.
I. INTRODUCCIÓN
Se definen las pérdidas de inserción de un circuito pasivo en un sistema como la razón entre la potencia entregada a la carga cuando el generador se encuentra directamente conectado a ella y la potencia entregada cuando entre el generador y la carga se conecta el circuito bajo estudio [3].
El diseño de filtros mediante el método de parámetros imagen tiene muchas características en común con el las estructuras periódicas, pero el método de estructuras periódicas está mas enfocado al tema de ópticas que de microondas, por lo que no entraremos en detalle.
II. DESARROLLO II.1Diseño de Filtros mediante el método de Parámetros
imagen
Para redes no simétricas nos encontramos con dos impedancias características BZ Z+ = ± + ζ y cada sección
tiene un factor de propagación de±γ . Una estructura periódica de esta forma tiene características de banda de paso y banda atenuada y por lo tanto es un filtro de paso banda. Sin embargo la terminación de carga para prevenir reflexiones es BZ y es compleja cuando ζ ≠ 0 . Normalmente, un filtro debe funcionar entre las terminaciones de carga, y en este caso no sería posible tener la misma terminación de entrada y salida a menos que ζ sea cero, es decir, a menos que se utilizaran redes simétricas o se correspondieran las secciones de la entrada con las de la salida.
Por esta razón el método de diseño de filtros mediante los parámetros imagen se basa en consideraciones ligeramente diferentes a las utilizadas para el método de estructuras periódicas [1].
Considerando una red simple de dos puertas, entrada y salida, con los parámetros A, B, C y D. Cuya salida está terminada con una carga 2iZ y la
entrada la terminamos con una carga 1iZ , como se muestra en la figura 1:
Fig. 1. Parámetros imagen de una red de dos entradas. [1]
Si 1iZ y 2iZ son reales proporcionan máxima transferencia de potencia cuando el generador tiene una impedancia interna igual a la impedancia imagen [1].
Las ecuaciones que rigen las redes de dos puertas son:
1 2 2V AV BI= + 1 2 2I CV DI= + Ec. 1 por lo tanto:
21 2 2,1
1 2 2 2
iin
i
AZ BV AV BIZ
I CV DI CZ D
++= = =
+ + Ec. 2
Despejamos V2 e I2 y obtenemos :
2 1 1V DV BI= − 1 2 2I CV DI= + Ec. 3 De la misma forma tenemos:
12 1 1,2
2 1 1 1
iin
i
DZ BV DV BIZ
I CV AI CZ A
+= = − =
− + +
−− Ec.4
Sabiendo que 1 ,1i inZ Z= y 2 ,2i inZ Z= obtenemos:
1 2 2( )
i i iZ Z AZC D B=+ + Ec.5a
2 1 1( )
i i iZ Z DZC A B=+ + Ec.5b
Estas dos ecuaciones dan como solución:
1i
ABZ
CD= 2i
DBZ
AC= Ec. 6
También encontramos que 2 1( / )i iZ D A Z= .
Si un generador con impedancia interna 1iZ está conectado a la puerta de entrada y la puerta de la salida está terminada con la carga 2iZ , la corriente y la tensión transferidas pueden hallarse mediante las siguientes relaciones:
2 1 1 1
1i
BV DV BI D V
Z= − = −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec.7
2 1 1 1 1( )iI CV AI CZ A I= − + = − + Ec.8 Donde V1 es la tensión que hay en la puerta de entrada mientras que la tensión del generador es 2V1. Así nos encontramos con que:
Zin,1 Zin,2
V1 V2
I1
Zin,1=Zi1 Zin,2=Zi2
I2 A B
C D
Zi2 2V1
Zi1
2
( )2
1
V DAD BC
V A= − Ec. 9a
( )2
1
AAD BC
D
I
I= − Ec. 9b
De forma análoga sabemos que:
( )1
2
V AAD BC
V D= + Ec. 10a
( )1
2
DAD BC
A
I
I= + Ec. 10b
La constante de propagación en este caso se define como: e AD BC− γ = − Ec. 11a
Donde comprobamos: e AD BC− γ = + Ec. 11b
Y cosh ADγ = Ec. 11c
sinh BCγ = Ec. 11d
El factor ( )2
/A D es interpretado como una transformación
proporcional de impedancia y puede ser visto como un transformador ideal de relación /A D . Para una red con pérdidas, A y D son reales mientras que B y C con imaginarios. En la banda de paso de un filtro, γ es imaginario puro igual que jβ, esto ocurre debido a | | 1AD < , como se muestra en la Ec. (11c). Además en la banda de paso la impedancia imagen es real pura, mientras que en la banda eliminada la impedancia imagen es imaginaria pura, como se muestra a continuación. En el paso banda, B y C deben tener el mismo signo, entonces | | | | | |BC j B j C BC= = − para hacer que sinh γ en Ec. (11d) sea imaginario puro, esto es, γ=jβ. Por lo tanto, en Ec. (6), AD debe ser real y positivo para dar una solución real a cosh γ . Por lo tanto las impedancias imagen en la banda de paso del filtro son reales [1] y [2]. Si N redes de dos puertas están conectadas en cascada y estas tienen constantes de propagación γn, n =1,2,….,N, la tensión es proporcional a :
11
1
DT
A= T2,…..,Tn,……,TN Ec. 12
Y las secciones de salida están terminadas con impedancias iguales a la impedancia imagen de salida la tensión que se transfiere es
21 2
11 1 1
n
NN N
N nnN
V V VTT T e T e
V V V1 2 Ν−γ −γ ⋅⋅⋅⋅−γ − γ
=−
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∏ La
impedancia imagen a la salida de cualquiera de las secciones es igual a la impedancia imagen a la entrada de la sección adyacente. Con una red terminada con una impedancia de carga ZiN igual a la impedancia imagen a la salida y con un generador a la entrada cuya impedancia interna sea Zi1 nuestra red ofrece máxima transferencia de potencia. El filtro funciona entre los niveles de impedancia ZiN y Zi1 , que ofrecen una idea general de las posibles variaciones de los valores.
22
11 1 1
NiN iN i
nni iN i
Z Z ZT
Z Z Z =−
= ⋅ ⋅ ⋅ =∏ Ec. 13
En una red simétrica de dos puertas, A=D y 1 2i iZ Z= y
ambos tienen características iguales a la impedancia BZ + . El filtro consta de N secciones simétricas terminadas con impedancias de carga iguales a las impedancias imagen Zi , su comportamiento es el mismo que el de una estructura periódica infinita con características de banda de paso y características de banda atenuada. En el método de parámetros imagen para diseño de filtros, los parámetros A,B,C,D son elegidos para establecer las relaciones necesarias entre la banda de paso y la banda eliminada. Además, los parámetros imagen son elegidos iguales a las terminaciones de impedancia, intentando centrarlas en la banda de paso. Esto provoca deficiencias en el filtro, apareciendo unas pérdidas en la transmisión en la banda de paso, estas pérdidas no pueden ser determinadas antes del diseño del filtro. Además, no hay medios disponibles para el control de la velocidad a la que la atenuación aumenta con la frecuencia más allá de los límites de la banda de paso, además de aumentar el número de secciones del filtro.
II.2 Diseño de Filtros mediante el método de las Pérdidas de inserción
Las pérdidas de inserción pueden dividirse en dos causas: pérdidas por reflexión y pérdidas por disipación de la propia red y se definen del siguiente modo [3]:
2
11
1
1 | |reflLs
=−
2
11
2
11
1 | |
| |dis
sL
s
−= Ec. 14
Se definen las pérdidas de inserción de un filtro como [4]:
( ) 1
( ) 1 |
DG
LR
L
PP
P2
= =− ρ(ω) |
, ΙΝ 0
ΙΝ 0
Ζ − Ζρ(ω) =
Ζ + Ζ
Ec.15 La función 2| ρ(ω) | es una función par, de manera que puede escribirse:
)
) )N
2
2
2 2
Μ(ω| ρ(ω) | =
Μ(ω + (ω Ec. 16
donde M y N son polinomios de 2ω . Por lo tanto: )
1)RLP
2
2
Μ(ω= +
Ν(ω Ec. 17
El método consiste en sintetizar redes que conformen una respuesta deseada, del tipo:
Máximamente plana, con 2
2
c
1N
RLP Kω
= +ω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
O de igual rizado, con 2 2
c
1RL NP K Tω
= +ω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
El diseño de filtros comprende las siguientes etapas [4]:
3
Diseño de un prototipo paso bajo
Para evitar las pérdidas se utilizan elementos de circuito que presenten impedancias reactivas puras, de parámetros concentrados (L ó C). Se acostumbra a utilizar una topología en forma de escalera LC doblemente enlazada, como se indica en la siguiente figura.
Fig.2. Circuito en escalera con impedancias reactivas puras.[4]. Los valores de las inmitancias gk están tabulados para diferentes tipos de respuesta.
Escalado de frecuencia e impedancias
La mayoría de los filtros de microondas se pueden realizar a partir de un filtro prototipo de paso bajo normalizado. Puede haber necesidad de desnormalizar los valores de las reactancias. Si el prototipo sólo tiene impedancias normalizadas, pero no escalado de frecuencias, basta con multiplicar las impedancias normalizadas por la nueva impedancia de referencia R0 (R0 = 50 Ω). Si el prototipo sólo tiene escalada la frecuencia, para trasladar la frecuencia de corte de 1 a ωc hay que transformar:
- c c
Lj L j L L
ωΩ → ⇒ ←
ω ω
c
ωΩ ← ⇒
ω Ec.18
- c c
CC
j j C Cω
Ω → ⇒ ←ω ω
Cuando impedancias y frecuencias están normalizadas:
0 0
c c
Lj L j R L L R
ωΩ → ⇒ ←
ω ω Ec. 19a
c 0 c 0
CC C
j j CR R
ωΩ → ⇒ ←
ω ω Ec. 19b
Para pasar un filtro prototipo de paso bajo a uno de paso alto, al desnormalizar la frecuencia, la transformación a aplicar es:
cωΩ ← −ω
Ec. 20
El filtro prototipo paso bajo también se puede utilizar para hacer una transformación de frecuencias con respuesta paso banda o banda eliminada. Si ω1 y ω2 representan los límites de la banda paso/banda eliminada, se pueden aplicar las siguientes transformaciones, respectivamente:
0 0 0
2 1 0 0
1ω ω ωω ωΩ ← − = −
ω − ω ω ω Δ ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
0
0
−
ωωΩ ← −Δ −
ω ω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 21
donde 2 1
0
ω − ωΔ =
ω es la anchura de banda fraccional [4].
Fig.3. Resumen de las principales transformaciones de frecuencia, sin incluir el escalado de impedancias. [4].
II.3. Aplicación de Inversores de Impedancia y Admitancia al diseño de Filtros
Un inversor de impedancias o de admitancias, es una red recíproca, simétrica y sin pérdidas en la que se cumple la siguiente relación entre las impedancias a su entrada y salida [3]:
2
IN
L
KZ
Z=
2
IN
L
JY
Y= Ec. 22
Donde K2 y J2 son las llamadas constantes de inversión. La siguiente figura recoge el funcionamiento de estos inversores:
Fig. 4. Inversor de impedancias. [3].
Los parámetros [S] del inversor de impedancias han de cumplir las siguientes condiciones:
2
11 12| | 1 | |S S= − 2
π11 12θ = θ + Ec. 23
En un inversor de impedancias, los parámetros de la diagonal de su matriz [S] han de ser reales. Resultando una matriz [S] de la forma:
0
1
1Z
jS
j
2
2
γ ± − γ=
± − γ γ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 24
Mientras que la constante de inversión toma el valor de:
0
(1 )
(1 )K Z
+ γ=
− γ Ec. 25
Es posible redefinir un inversor de impedancias como una red pasiva, recíproca, simétrica y sin pérdidas cuyo coeficiente S11 sea real. Los inversores de impedancias y admitancias son redes de gran utilidad en la realización de filtros de microondas. Una forma de implementar estos filtros es a partir de redes formadas por bobinas y condensadores en escalera cuyos valores se ajustan mediante aproximaciones (butterworth, chebychev…). Es decir, el filtro está formado por una
ZIN=K2/ZL
K ZL
4
sucesión en cascada de elementos conectados alternativamente en serie y paralelo [3]. Dependiendo del medio de transmisión o los elementos con los que se va a realizar el filtro, puede resultar más conveniente emplear tan solo elementos en serie o en paralelo. Esto es posible si se introducen en la red en escalera inversores de impedancia o admitancia como los descritos. Considere el siguiente circuito formado por una admitancia en paralelo y dos inversores K idénticos:
Fig. 5. Dos inversores con admitancia. [3].
Las matrices T correspondientes a los inversores y la admitancia son:
2
1
11inv
jT
−γ=
γ −− γ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 26
0 0
0 0
1 11
2 2
1 11
2 2
Y
YZ YZ
T
YZ YZ
− + −
=
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 27
Tras efectuar el producto de matrices correspondientes a la asociación en cascada del circuito, aplicando la transformación inversa entre las matrices T y S y sustituyendo K (Ec. 25)se llega a:
2
0
2 2
0 0
21
2 2
YK
ZS
Y YK KZ Z
−
=
+ −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ec. 28
Si se compara la matriz anterior con la de una impedancia serie, salvo el desfase de 180º de los parámetros S12 y S21, se puede establecer la igualdad:
2Z K Y= . Ec. 29 Por tanto, a efectos de la impedancia, la admitancia en paralelo junto con los dos inversores equivale a una impedancia en serie de valor (Ec. 29). Análogamente, si se asocian una impedancia serie con dos inversores J, se obtiene un circuito equivalente, a efectos de impedancia, que consiste en una admitancia paralelo cuyo valor es el siguiente:
2Y J Z= Ec. 30
III. CONCLUSIONES
Al finalizar el trabajo observamos las grandes diferencias entre los métodos estudiados. Siendo dos de los métodos más usados para el diseño de este tipo de filtros, para el diseño mediante parámetros imagen se analizan las ecuaciones del circuito mientras que en el diseño mediante pérdidas de inserción se trabaja más con potencias. También observamos la gran utilidad de los inversores en el diseño de filtros, cabe resaltar la facilidad de diseño, ya que básicamente se trata bobinas y condensadores en escalera.
IV. REFERENCIAS
[1] Robert E. Collin, “ Foundations for microwave Enginnering” 1992. Mc. Graw-Hill. [2] Ian Hunter, “Theory and design of microwave filters” 2001. IEE. [3] R. Sánchez Montero, P. L. López Espí, M. P. Jarabe Amores, J. Alpuente Hermosilla “ Teoría de circuitos de microondas. Parámetros S” 2004. UAH. [4] Universidad de Sevilla, 4º Ingeniero de Telecomunicaciones, “Microondas” Diseño de Filtros. 2006.
Y K K
1
FILTROS PASO BAJO CON STUBS CARLOS OLIVER LEN
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- En el presente escrito se expondrá como evoluciono la creación de filtros con elementos pasivos para microondas, centrándonos en los estudios de Paul I. Richards sobre transformaciones de dichos elementos en guías de ondas, y como después Kuroda aplicando las transformaciones de Richards estableció las equivalencias que permiten construir físicamente los diseños de los filtros empleando stubs. Finalmente se planteara el análisis de la equivalencias de Kuroda usando parámetros S.
I. INTRODUCCIÓN
Son sin duda los filtros unos de los elementos mas importantes para cualquier sistema de tratamiento de señales sea cual sea el ámbito de su aplicación. Para la simplificación de los cálculos se idearon las transformaciones en frecuencia y en amplitud, con fin de referenciar cualquier tipo de filtro a uno básico, un filtro paso bajo, al que le daremos unas características de respuesta (lineal o rizada) en sus bandas de paso o atenuada haciendo uso de las Teorías clásicas de aproximación, Butterworth, Chevichev y Elíptica. Posteriormente mediante la síntesis de la función de transferencia y haciendo uso de las distintas formas canónicas y no canónicas de diseño calcularíamos los valores de las bobinas y condensadores que formaran el diseño físico del filtro.
Es en el uso de las microondas donde esta teoría clásica presenta problemas de diseño debido a las altas frecuencias de trabajo, lo que implica complicaciones de fabricación de los elementos pasivos que conformaran la estructura física del filtro.
II. DESARROLLO
Se puede considerar a Paul I. Richards como el padre de la teoría moderna de filtros para microondas, ya que en 1948 para sintetizar una red LC empleo líneas de transmisión, con el uso de una simple transformación.
tan( ) tanp
ddvωβ⎛ ⎞
Ω = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
[1] Ec.1
Todos los stubs utilizados tenían la misma longitud eléctrica, / 8λ , de hay que se les diera el nombre de equiporporcionados. Una característica común a todos los filtros diseñados con esta transformación es una respuesta en frecuencia periódica de periodo 4 Cω . Las equivalencias ideadas por Richards corresponden a la fig.1 para las bobinas y para los condensadores. [1]
Fig.1. Transformaciones de Richards usando líneas de transmisión
Fue cuando los estudios de Richards llegaron a Japón
donde K. Kuroda en 1955, basándose en ellos realizo una de las contribuciones más útiles para la construcción física de los diseños usando las transformaciones de Richards. Ideo una serie de transformaciones que tenían como objetivo: a) Separar físicamente los stubs con líneas de transmisión. b) Trasformar stubs serie en stubs paralelo. c) Cambiar impedancias características de difícil diseño en otras mas apropiadas. Podemos observar las transformaciones de Kuroda en la fig.2. [2], en las cuales las dos primeras corresponden a transformaciones de pequeñas secciones de stubs en serie y circuito abierto o en paralelo en corto circuito; en las cuales no son requeridas las impedancias del transformador. En las transformaciones de el stub en paralelo cortocircuitado y el stub en serie en circuito abierto si son necesarias las impedancias del transformador.
2
Fig.2. Equivalencias de Kuroda, con líneas de transmisión
Las líneas remarcadas en negrita representan las líneas de
transmisión de filtros en altas frecuencias. Los métodos de cálculo de las distintas impedancias y admitancias de las transformaciones están expuestos a continuación:
a) ' 0 0 10
0 1
Z Z ZZn Z Z
⋅= =
+ Ec.2
2
' 0 01
1 0
Z ZZm Z Z
= =+
Ec.3
0
1
1 ZnZ
= + Ec.4
1
0
1 ZmZ
= + Ec.5
'
1 1'0 0
Z Y nZ Y m
= = Ec.6
b) ' 0 0 10
0 1
Y Y YYn Y Y
⋅= =
+ Ec.7
2
' 0 01
1 0
Y YYm Y Y
= =+
Ec.8
0
1
1 YnY
= + Ec.9
1
0
1 YmY
= + Ec.10
'
1 1'
0 0
Y Z nY Z m
= = Ec.11
c) '0 0Z n Z= ⋅ Ec.12
'1 1 0Z Z Z= + Ec.13
0
1
1 ZnZ
= + Ec.14
'1 1'0 0
Z ZZ Z
= Ec.15
d) '0 0Y n Y= ⋅ Ec.16
'1 1 0Y Y Y= + Ec.17
0
1
1 YnY
= + Ec.18
'
1 1'
0 0
Y YY Y
= Ec.19
Aplicando las Transformaciones de Richards a las
equivalencias de Kuroda para líneas de transmisión de longitud / 8λ , obtenemos una relación directa entre bobinas y condensadores [1]:
0Z 02
Zn
1Z
0Z
20n Z
1
1Z
2 1
0
1 ZnZ
= +
0Z 1Z 02
Zn
02
Zn
Y’1
Zo Z’o
Z1 Z’1
Zo
Z1
Yo
Y1 Y’1
Y’o
Yo
Y1 Z’o
Y’o
Z’1
1: n
1: n
a)
b)
c)
d)
21: n
20
1n Z
02
Zn
3
Finalmente haciendo uso de los parámetros S se
demostraran las equivalencias de Kuroda, para ello se obtendrán las matrices de parámetros, para que las igualdades se cumplan los parámetros del circuito original y su transformación deberán de ser iguales:
jZc 2 jZc 2 jZc jZc−
jZc− 2jZc−
2jZc−
Aplicando simetría: 2 jZc .C A 2 jZc 2inZ jZc= 0inZ =
0
e in o
in
Z ZS CAZ Z
−=
+ Ec.20
0
0
in o
in
Z ZS CcZ Z
−=
+ Ec.21
11 22S S=
12 21S S= 0
11 22eS S S S= = + Ec.22
012 21
eS S S S= = − Ec.23
1 222 1 2 1
jZcS
jZc jZc
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
Ec.24
2jZc−
2jZc−
.C A
inZ = ∞ 2in
ZcZ j= −
222 2
jZcS
jZc jZc
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Ec.25
III. CONCLUSIONES
La constante necesidad de trabajar en frecuencias de elevados valores en múltiples ámbitos de las Telecomunicaciones hizo necesario la mejora de los sistemas de tratamientos de señales; el filtrado de las mismas, etapa esencial en cualquier sistema, fue revolucionado por Richards quien aporto una transformación vital a la hora de trabajar en altas frecuencias, la transformación de bobinas y condensadores en líneas de transmisión y la posterior aportación de Kuroda con las equivalencias que permitían, partiendo de las transformaciones de Richards transformar líneas de transmisión serie en líneas en paralelo; simplifico de manera notable la construcción física de los filtros
III. REFERENCIAS [1] Pablo Luís López Espí, Tema 5: Diseño de Filtros de Microondas; 3º
ITT Sist. De Telecomunicaciones [2] Leo Young, “Microwave Filters”, IEEE Trans. on Microwave Theory
and Techniques, vol. MTT-13 nº5,Septiembre 1965 [3] Ralph Levy and Seymour B. Cohn “A History of Microwave Filter
Research, Design, and Development”, IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-32 nº9, Septiembre 1984.
jZc
1
1Z
0Z 20n Z
20
1n Z
2 :1n
2 1
0
1 ZnZ
= +
1
DISEÑO DE FILTROS PASO BAJO CON STUBS
Mª Dolores Fernández-Caballero Fariñas
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- En este artículo, se presenta el proceso a seguir
para construir un filtro paso bajo mediante stubs a partir
del diseño teórico de una plantilla discreta. Tras exponer
los motivos por los que se realiza con líneas de
transmisión se explican las transformaciones (Richards y
Kuroda) a seguir para sustituir los elementos pasivos.
Finalmente, se adjunta el resultado de las simulaciones de
respuesta en frecuencia tanto discreta como con stubs.
I. INTRODUCCIÓN
Cuando diseñamos filtros, lo hacemos mediante elementos discretos, elementos que no presentan una respuesta plana con la frecuencia, puesto que comienzan a acumular efectos parásitos que llegan a ser muy importantes en microondas.
Por lo tanto, necesitamos realizar los filtros con
elementos propios de nuestras bandas de trabajo, que presenten una respuesta más próxima a la ideal que buscamos.
I.1 Respuesta de elementos pasivos en altas frecuencias
A continuación, vamos a mostrar algunos ejemplos de cómo afectan los elementos parásitos a nuestros componentes discretos.
Fig. 1. Respuesta real de una inductancia en alta frecuencia.
2 1L
R LpZ
LCp RCp
+=
+ + Ec.1
Fig. 2. Curva respuesta real de una inductancia con la frecuencia.
Fig. 3. Respuesta real de un condensador en alta frecuencia.
2
1C
RLCp Lp RZ
RCp
+ +=
+ Ec.2
Fig. 4. Curva respuesta real de un condensador con la frecuencia.
Visto esto, se entiende mejor la imposibilidad de utilizarlos como base de los filtros de microondas, puesto que la imprecisión puede llegar a ser muy grande y esto es algo que no se puede permitir en algo tan fundamental como los filtros.
II. DESARROLLO BÁSICO
Hasta ahora, hemos entendido el principal problema del diseño: tendremos unas necesidades para cierto circuito, para el cual diseñaremos una plantilla de especificaciones que debe cumplir el filtro a fabricar.
Fig. 5. Respuesta en frecuencia real de un Filtro Paso Bajo.
2
Según el caso, nos interesará uno u otro tipo de aproximación a esta respuesta en frecuencia ideal. Para esto, normalmente no es necesario llevar a cabo los cálculos, sino que se suelen usar unas tablas en las que se encuentran todos los parámetros de diseño tabulados.
Fig.6. Tabla parámetros para filtro paso bajo normalizado
Chebychev de orden N
Estos parámetros se corresponden con un diseño típicamente discreto (por ejemplo, bobinas y condensadores en escalera), pero como bien hemos dicho en la introducción, nos interesará cambiarlos por elementos que tengan un comportamiento mucho más fiable en microondas.
Fig. 7. Diseño de filtro Paso Bajo discreto.
II.1 Transformaciones de Richards Las transformaciones de Richards establecen la equivalencia funcional entre condensadores y bobinas y stubs:
( ) ( )p
dtg d tg
v
ωβΩ = = Ec. 3
Básicamente, esta ecuación establece la correspondencia entre la frecuencia real y la frecuencia transformada para la que estudiamos las líneas de transmisión.
Fig. 8. Transformación de Richards para bobina.
Fig. 9. Transformación de Richards para condensador.
Además, para que ambos circuitos sean equivalentes,
debe cumplirse que:
C
C
Z L
Y C
=
= Ec.4
II.2 Equivalencias de Kuroda
Las equivalencias de Kuroda sirven para separar físicamente stubs con líneas de transmisión, para transformar stubs serie en paralelo o paralelo en serie y además, permiten construir físicamente los diseños realizados con stubs aplicando las transformaciones de Richards. Gracias a estas relaciones podemos fabricar con cualquier sustrato los filtros, por ejemplo, en el caso de líneas microstrip, sólo con las transformaciones de Richards no podemos hacer los filtros porque habrá impedancias características para las que no sea posible diseñarlos.
Por ejemplo, si nuestro circuito tiene una impedancia característica de 5 Ω, colocaremos gracias a las equivalencias de Kuroda, tres circuitos de impedancia 15 Ω en paralelo, y de esta forma aumentaríamos la impedancia característica para el diseño en líneas microstrip..
Las equivalencias de Kuroda:
Fig. 10. Equivalencias de Kuroda.
3
Además, es condición de diseño:
2 2
1
1Z
nZ
= + Ec.5
II.3 Demostración de ecuaciones
Para llevar a cabo la demostración de las anteriores equivalencias de Kuroda, basta con sustituir la bobina por su equivalente stub en cortocircuito y el condensador por el stub en paralelo, manteniendo su posición relativa en el circuito (paralelo o serie).
De esta forma, a través de los parámetros S del
cuadripolo formado por los stubs procedentes de los elementos discretos, tan sólo desplazándolos por la línea lambda/8 en un sentido u otro, podemos llegar a verificar la igualdad que nos propone Kuroda.
III. DESARROLLO PRÁCTICO
En este apartado, vamos a simular un filtro paso bajo con stubs.
Queremos realizar un filtro paso bajo con microstrip de sustrato FR4, aproximación de Chebychev, orden 3, frecuencia de corte 2 Ghz y rizado en la banda de paso de 0.5 dB. Para ello, nos vamos a la tabla tabulada con estas características y obtenemos los valores de los tres elementos que compondrán nuestro filtro discreto (g1, g2, g3).
Tras esto, debemos elegir la disposición que pretendemos que tenga nuestro filtro; vamos a elegir comenzando con una bobina (T-> L-C-L).
Fig.11. Filtro paso bajo discreto a diseñar.
Ahora, aplicando las relaciones de Richards buscamos la disposición que más nos convenga, recordemos que en líneas microstrip sólo podemos poner elementos en paralelo, luego nos interesarán stubs paralelos (efecto capacitivo).
Fig.12. Filtro con transformaciones de Richards.
Al final, aplicando las relaciones de Richards y las equivalencias de Kuroda tengo un circuito de microondas tal que:
Fig.13. Filtro tras equivalencias de Kuroda.
Finalmente, este circuito está preparado para diseñarse en línea microstrip, así atendiendo a las impedancias características y a la longitud de las líneas quedará una placa parecida a esta:
Fig.14. Filtro fabricado en microstrip.
Fig.15. Respuesta del filtro tanto discreta como con stubs reales (en rojo) optimizada.
Se observa que la respuesta con stubs es más restrictiva que la de con elementos discretos, esto no es problema, puesto que siempre que nuestro diseño sea más estricto que la propia plantilla de diseño del filtro, nuestro circuito funcionará bien. Esto no puede darse a la inversa.
IV. CONCLUSIONES
Tras el trabajo concluimos que: Los elementos discretos que conocemos van
introduciendo efectos parásitos al aumentar la frecuencia de trabajo, y que, a frecuencias de microondas, éstos no son despreciables.
Debemos usar las transformaciones de Richards para obtener líneas de transmisión equivalentes a inductores o capacitores.
4
Podemos utilizar las equivalencias de Kuroda para cambiar las impedancias características en el diseño o bien colocar elementos en serie o paralelo, según nos convenga para su fabricación.
Obtendremos una respuesta más estrecha en frecuencia, y por tanto más restrictiva usando líneas de transmisión que elementos discretos.
V. REFERENCIAS
[1] Herbert C. Krauss. Charles W. Bostian. Frederick H. Raab, “Estado Sólido en Ingeniería de Radiocomunicación”, Ed. Linusa, pp. 209-242, 1984.
[2] Pablo Luis López Espí, “Microondas”, transparencias tema 5 [3] Joaquín Garín Ciriza, “Análisis y Síntesis de Redes”, transparencias
tema 1 [4] R.Sánchez Montero, P.L.López Espí, M.P.Jarabo Amores, J.Alpuente
Hermosilla, “Teoría de Circuitos de Microondas.Parámetros S”, UAH, 2004
[5] R.Sánchez Montero, P.L.López Espí, J.Alpuente Hermosilla, “Microondas Prácticas”, UAH, 2004
[6] Jia-Shen G.Hong, M.J.Lancaster “Microstrip Filtres for RF/Microwave Applications”, KAI CHANG, 2001
[7] Lee Young “Microwave Filters-1965” IEEE Transactions on microwave theory and techniques, Septiembre 1965
[8] Ralph Levy, Seymour B.Cohn “A History of microwave filter research, design and development” IEEE Transactions on microwave theory and techniques, Septiembre 1984
1
FILTROS PASO BANDA Y BANDA ELIMINADA CON LÍNEAS
ACOPLADAS Alfonso López Campos
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Este documento, trata pues, de un estudio sobre el diseño de filtros paso banda y banda eliminada por medio de líneas acopladas. Se pretende conseguir el circuito equivalente de un par de líneas acopladas, posteriormente analizaremos cada uno de los filtros con inversores de impedancia (K) y finalmente obtendremos las ecuaciones de diseño de ambos filtros.
I. INTRODUCCIÓN
El diseño de filtros paso banda y banda eliminada con alta selectividad en frecuencia y bajas pérdidas de inserción se ha incrementado con la aparición de modernos sistemas de comunicaciones de microondas, especialmente móviles y por satélite. Es por esto motivo que han tomado fuerza este tipo de filtros formados por resonadores acoplados capaces de satisfacer dichos requerimientos[1].
Hasta el momento este tipo de filtros han sido muy estudiados y desarrollados en tecnología de guía, incluyendo en algunos casos resonadores dieléctricos. En la actualidad se están llegando a obtener respuestas similares con resonadores acoplados en tecnología microtira. Esta tecnología tiene la ventaja de conseguir diseños con un menor coste, tamaño y peso, aunque tiene pérdidas mayores. A pesar de ello, es una buena elección para la construcción de filtros y a la posibilidad de usar esta tecnología en bandas de frecuencia de microondas relativamente bajas o cuando las especificaciones de pérdidas de inserción no sean excesivamente estrictas [2].
II. FILTRO PASO BANDA CON LÍNEAS ACOPLADAS
El filtro paso banda se caracteriza por la existencia de dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior ó aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior, por tanto, sólo permiten el paso de un rango ó banda de frecuencias sin atenuar.
II.1 Circuito equivalente de un par de líneas acopladas
El par de líneas acopladas tendrá el siguiente aspecto visual:
Fig. 1. Líneas microstrip acopladas.
Dichas líneas acopladas se comportan como un inversor de impedancias a la frecuencia para la cual su longitud física es igual a λ/2. Esta frecuencia debe coincidir con la frecuencia central de la banda de paso. Un par de líneas acopladas tiene el siguiente circuito equivalente [3]:
Fig. 2. Circuito equivalente de un par de líneas acopladas.
Al unir sucesivos pares de líneas acopladas, quedan entre los inversores de impedancia (K) tramos de línea de transmisión de longitud λ (resonadores) cuyo circuito equivalente es:
Fig. 3. Circuito equivalente de una línea de longitud λ.
II.2 Análisis con inversores de impedancia.
El circuito equivalente de un filtro paso banda realizado con líneas acopladas que se comportan como inversores de impedancia es el siguiente:
Fig. 4. Filtro realizado con inversores de impedancia, K.
II.3 Ecuaciones de diseño. Las ecuaciones de diseño (derivan de la obtención de los parámetros del filtro prototipo paso bajo) de los inversores son:
Ec. 1
Ec. 2
Ec. 3
2
Donde Δw0/Ωc es el ancho de banda relativo del filtro y gi
son los elementos del filtro prototipo paso bajo. Para obtener la separación entre los pares de líneas acopladas (S) se calculan las impedancias par e impar mediante las siguientes expresiones:
Ec. 4
Ec. 5 La separación es función del acoplamiento, el cual se
calcula con la siguiente expresión: C = Z0e – Z0o / Z0e + Z0o Ec. 6
III. FILTRO BANDA ELIMINADA CON LÍNEAS ACOPLADAS
El filtro banda eliminada ó atenuada se caracteriza porque elimina en su salida todas las señales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada.
III.1 Circuito equivalente de un par de líneas acopladas
El par de líneas acopladas (línea de transmisión acoplada eléctricamente a los resonadores de cuarto de longitud de onda) tendrá el siguiente aspecto visual:
Fig. 5. Líneas microstrip acopladas.
Dichas líneas acopladas se comportan como un inversor de impedancias a la frecuencia para la cual su longitud física es igual a λ/4. La separación entre los stubs y la línea de transmisión serán las capacidades (acoplamiento de las líneas). Un par de líneas acopladas tiene el siguiente circuito equivalente:
Fig. 6. Circuito equivalente de un par de líneas acopladas.
Al unir sucesivos pares de líneas acopladas, quedan entre
los inversores de impedancia (K) tramos de línea de transmisión de longitud λ/2 (resonadores) cuyo circuito equivalente es:
Fig. 7. Circuito equivalente de una línea de longitud λ/2.
III.2 Análisis con inversores de impedancia.
El circuito equivalente de un filtro banda eliminada ó atenuada realizado con líneas acopladas que se comportan como inversores de impedancia es el siguiente:
Fig. 8. Filtro realizado con inversores de impedancia, K.
III.3 Ecuaciones de diseño. Las ecuaciones de diseño de los inversores son [4]:
(ZU / Z0)2 = 1 / g0gn+1 Ec. 7
xi=w0Li=1/w0Ci=Z0(ZU / Z0)2g0/giΩcΔ para i=1 hasta n Ec. 8
donde Z0 es la impedancia de referencia, ZU es la impedancia característica de los inversores de impedancia, gi son los elementos del filtro prototipo paso bajo y xi son las reactancias de los circuitos resonantes serie colocados en paralelo.
Si consideramos una red de dos puertas con una única rama paralelo de Z = jwL + 1 / (jwC), como las de la figura 8. La rama paralelo resuena a w0 = 1 / √LC y tiene un valor de reactancia x = w0L. El parámetro de transmisión de esta red terminada por Z0 viene dado por:
S21 = 1 / 1 + (Z0 / 2Z) Ec. 9
Fijamos w = w0 + Δw. En banda estrecha, Δw << w0 y entonces la impedancia paralelo puede ser aproximada por:
Z ≈ jwL (2 Δw / w0) Ec. 10 en la cual se realizada la aproximación (w/w0 – w0/w) ≈ 2Δw/w0. Sustituyendo en Ec. 9 podemos obtener:
Ec. 11
Estará en resonancia cuando w=w0 o Δw=0, = 0 porque la rama resonante paralelo corta la transmisión y causa un polo de atenuación. Cuando hay un desplazamiento en frecuencia de tal manera que se cumple:
[1 / 4(x/Z0)].[w0/ Δw±] = ±1 Ec. 12 Entonces el valor de ha alcanzado el valor 0.707 o
lo que es lo mismo -3 dB. De Ecu. 12, el ancho de banda a 3 dB puede ser entonces definido como:
Δw3dB = Δw+ - Δw- = w0 / 2(x/Z0) Ec. 13
y así:
(x/Z0) = w0/2 Δw3dB = f0/2 Δf3dB Ec. 14
3
Esta ecuación es muy útil puesto que relaciona el
parámetro de reactancia normalizada con la respuesta en frecuencia del resonador banda eliminada microstrip.
Como conclusión podemos decir que cuando diseñamos
filtros en banda eliminada de banda estrecha basados en sus parámetros normalizados, la pareja de ecuaciones Ec.7-Ec.14 pueden ser utilizadas sin tener en cuenta la estructura de los resonadores en banda eliminada de microondas, y sin tener en cuenta si el acoplamiento es eléctrico, magnético o mixto.
IV. CONCLUSIONES
Los resultados de este trabajo pretenden reflejar como se puede construir a través de líneas acopladas filtros paso banda y de rechazo de banda que tendrán un rendimiento bastante bueno. El desarrollo con este tipo de diseño con líneas acopladas ofrece un gran abanico de posibilidades, ya que los inversores, una de sus características es que permiten cambiar de circuitos resonante paralelo a circuitos resonante serie y viceversa.
V. REFERENCIAS
[1] G. L. Matthaei, L.Young, and E. M. T. Jones, “Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures”, Artech House, Dedham, Mass., 1980.
[2] S. B. Cohn, “Parallel-Coupled Transmission-Line-Resonator Filters,” IRE Trans. Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-6, pp. 223-231, April 1958..
[3] R. Sánchez Montero, P. L. López Espí y J. Alpuente Hermosilla “Microondas Prácticas”, Universidad de Álcala, 2004.
[4] Miriam Gónzalez Díez, “Diseño e Implementación de Filtros de Microondas”, Biblioteca Universidad de Álcala, 2002.
1
FILTROS PASO BANDA Y BANDA ELIMINADA CON LINEAS
ACOPLADAS Francisco José Bazán Bautista
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- En este documento se hace un estudio de los filtros paso banda y banda eliminada confeccionados con líneas acopladas para alta frecuencia o frecuencia de Microondas. El documento, en un primer momento hace una breve introducción acerca de los filtros, así como la necesidad de los filtros Paso Banda y banda eliminada en los circuitos de Microondas. Posteriormente hace un análisis teórico de los filtros paso banda y banda eliminada confeccionados con líneas acopladas, reflejando las funciones de transferencia de dichos filtros. Finalmente, el documento nos muestra un ejemplo práctico de dichos filtros para conocer más a fondo la función de dichos filtros.
I. INTRODUCCIÓN
Los filtros forman parte integral de cualquier sistema de comunicación y pueden adaptarse a las diferentes topologías en función de los requisitos del circuito en concreto. Los filtros se clasifican principalmente en función de sus características de transmisión: filtro paso bajo, filtro paso alto, filtro paso banda, filtro banda eliminada y filtro paso todo. Sin embargo, por sus características los filtros paso banda y banda eliminada, a veces son los más necesarios, puesto que los primeros nos permiten seleccionar la información que necesitamos, mientras que los segundos nos permiten eliminar la información que no necesitamos.
Los filtros habitualmente están construidos mediante circuitos LC para bajas frecuencias, pero en el caso de las microondas no podemos diseñar estos filtros con circuitos LC convencionales (como posteriormente veremos en teoría), puesto que las bobinas y los condensadores convencionales trabajan perfectamente a bajas frecuencias, pero a las frecuencias de las microondas poseen características parásitas que impiden su buen funcionamiento en alta frecuencia. Por tanto, lo que hacemos para alta frecuencia o frecuencia de las microondas, es sustituir cada circuito LC correspondiente al diseño del filtro por unos tramos de líneas de transmisión acopladas, cuyo funcionamiento sea el mismo para alta frecuencia. Además lo más habitual es implementar estos tramos de línea que forman el filtro en tecnología microstrip, consiguiendo nuestro filtro de alta frecuencia.
Este documento describe la teoría y el diseño de los filtros de banda paso banda y banda eliminada confeccionados con líneas acopladas. Los filtros paso banda
y banda eliminada confeccionados con líneas acopladas pueden utilizarse para optimizar los sistemas de comunicación de alta frecuencia. Ofrecen un tamaño bastante compacto y unas pérdidas de inserción razonables, lo cual puede representar un problema en los sistemas de alta frecuencia.
II. Filtros con líneas acopladas
Los filtros Paso Banda y Banda eliminada con líneas acopladas, tal y como hemos expuesto anteriormente, poseen una gran importancia en las microondas, puesto que nos permiten seleccionar la información que necesitamos y atenuar la información que no nos interesa o en el dominio de la frecuencia, evitando ruidos y distorsiones. La forma más habitual de construir o diseñar un filtro paso banda es mediante la tecnología microstrip, empleando una par de líneas de transmisión de longitud λ/4 acopladas.
II.1 Introducción teórica
El diseño de este tipo de filtros se basa en el concepto de inversor de admitancia. Un par de líneas de transmisión microstrip poseen el siguiente aspecto:
Fig. 1. Líneas microstrip acopladas
Estas líneas se comportan como inversores de admitancia a la frecuencia para la cual su longitud física es igual a λ/4. Esta frecuencia debe coincidir con la frecuencia central de la banda de paso.
II.2 Teoría de líneas acopladas Un par de líneas microstrip acopladas, poseen el
siguiente circuito equivalente:
Fig. 2. Circuito equivalente de un par de líneas acopladas
2
Encadenamos sucesivos pares de líneas acopladas para diseñar nuestro filtro, quedándose entre los inversores de admitancia (J) tramos de línea de transmisión de longitud λ/2 (resonadores).
El circuito equivalente de un resonador microstrip en λ/2 es el siguiente:
Fig. 3. Circuito equivalente de una línea λ/2
Cuyos valores Lo y Co son:
o
oo
o
oo
YC
ZL
ϖππϖ
2
2
=
=
Ec.1
Por tanto, el circuito equivalente de un filtro realizado con líneas acopladas es el siguiente:
Fig. 4. Filtro realizado con inversores de admitancia, J.
Las ecuaciones de diseño de los inversores son las siguientes:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
−=Δ
=
Δ=
Δ=
Δ=
+
++
0
12
21
101
111,
1001
2
2
2
ϖϖϖϖϖϖ
π
π
π
o
NN
iii
ggJ
ggJ
ggJ
Ec.2
Donde Δ es el ancho de banda relativo del filtro, ωo es la pulsación central del filtro y gi son los valores de los elementos discretos correspondientes al diseño del filtro Paso bajo prototipo.
Antes de seguir explicando la confección de los filtros debemos de hacer hincapié en la obtención del filtro prototipo, puesto que a partir de éste, aplicando transformaciones obtenemos nuestro filtro deseado.
En primer lugar, obtenemos el valor de los elementos discretos que forman el filtro paso bajo prototipo se mediante de tablas o graficas tabuladas para un orden N,
una frecuencia de corte y un rizado en banda de paso especificado para el diseño. Veamos un ejemplo:
N g1 g2 g3 g4 g5 1 0.6986 1.0000 2 1.4029 0.7071 1.9841 3 1.5963 1.0967 1.5963 1.000 4 1.6703 1.1926 2.3661 0.8419 1.9841
Fig. 5. Elementos del filtro prototipo Chebychev para 0.5dB de rizado Seguidamente, a partir de los g del filtro prototipo
calculamos el valor de los inversores, y a partir de éstos, obtenemos la separación entre los pares de líneas acopladas (S), las cuales se calculan mediante las impedancias par e impar de la siguiente manera:
JJZZ
JJZZ
o
oo
o
oe
−+=
++=
2
2
1
1 Ec.3
De tal forma que la separación es función del acoplamiento, la cual se calcula con la siguiente ecuación:
oooe
oooe
ZZZZ
C+−
= Ec.4
En la siguiente gráfica podemos ver la relación entre el acoplamiento y la separación entre tiras para hacernos una idea de lo expresado anteriormente:
Fig. 6. Variación del acoplamiento C, en función, de la separación entre tiras. Ref:
http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros05_06.pdf
Por tanto, para un diseño especificado los pasos a seguir serían en primer lugar, obtener el filtro paso bajo prototipo para las especificaciones deseadas. Posteriormente, calculamos los inversores, así como las impedancias par e impar para hallar el acoplamiento que necesitamos en cada caso. Finalmente con esos valores de acoplamiento obtenemos mediante la gráfica el valor de la separación entre nuestras tiras.
Veamos un dibujo de un filtro Paso Banda y un Banda Eliminada para ver un ejemplo de ambos construidos mediante líneas acopladas:
3
Fig. 7. Filtro Paso Banda
Fig. 8. Filtro Banda Eliminada
Podemos observar las diferencias entre un tipo de acoplamiento y otro en los dibujos anteriores.
III. Diseño de Filtros
Una vez realizado el estudio teórico del diseño de este tipo de filtros, así como la teoría de las líneas acopladas en el cuál se basa este diseño. Ahora vamos a realizar dos ejemplos prácticos sobre un programa de simulación para obtener la respuesta que tendrían nuestros filtros con líneas acopladas en tecnología microstrip.
III.1 Filtro Paso Banda
Diseñemos un filtro Paso Banda con líneas acopladas en tecnología microstrip con unas especificaciones determinadas:
Supongamos que se nos pide diseñar un filtro Paso Banda con característica de Chebychev de orden 5, rizado de 0,5dB, centrado en la banda de 1.5Ghz a 3Ghz y con un ancho de banda relativo del 5%. Las impedancias de los accesos deben de ser de 50Ω. Además el filtro será implementado mediante tecnología microstrip con líneas acopladas y el sustrato utilizado es el FR4.
En primer lugar, con las condiciones de filtro especificadas obtenemos mediante una tabla como la vista anteriormente los elementos gi del filtro paso bajo prototipo. A partir de estos obtenemos los valores de nuestras impedancias par e impar, y a partir de éstas el acoplamiento C existente para las condiciones especificadas. Finalmente para dicho acoplamiento obtenemos mediante gráfica la separación S entre tiras microstrip para la configuración especificada.
Una vez obtenido el filtro con líneas acopladas con líneas acopladas en tecnología microstrip, partiendo del diseño de un filtro paso banda ideal con elementos discretos para la misma configuración, optimizaremos las características de las líneas microstrip para conseguir que nuestro filtro sea lo mejor posible (optimizamos la separación entre tiras hasta un 10% partiendo del valor teórico calculado, para conseguir que nuestro diseño sea realizable y lo mejor posible).
Observemos la respuesta de nuestro diseño una vez optimizado en un simulador de circuitos de microondas denominado MIMICAD:
Fig. 9. Representación del parámetro S21 en dB del Filtro Paso Banda
Simulado.
III.2 Filtro Banda Eliminada
Diseñemos un filtro Banda Eliminada con líneas acopladas en tecnología microstrip con unas especificaciones determinadas:
Supongamos que se nos pide diseñar un filtro Banda Eliminada con característica de Chebychev de orden 5, rizado de 0,5dB, centrado en la banda de 1.5Ghz a 3Ghz y con un ancho de banda relativo del 5%. Las impedancias de los accesos deben de ser de 50Ω. Además el filtro será implementado mediante tecnología microstrip con líneas acopladas y el sustrato utilizado es el FR4.
En primer lugar, con las condiciones de filtro especificadas obtenemos mediante una tabla como la vista anteriormente los elementos gi del filtro paso bajo prototipo. A partir de estos obtenemos los valores de nuestras impedancias par e impar, y a partir de éstas el acoplamiento C existente para las condiciones especificadas. Finalmente para dicho acoplamiento obtenemos mediante gráfica la separación S entre tiras microstrip para la configuración especificada.
Una vez obtenido el filtro con líneas acopladas con líneas acopladas en tecnología microstrip, partiendo del diseño de un filtro Banda Eliminada ideal con elementos discretos para la misma configuración, optimizaremos las características de las líneas microstrip, para conseguir que nuestro filtro sea lo mejor posible (optimizamos la separación entre tiras hasta un 10% partiendo del valor teórico calculado, para conseguir que nuestro diseño sea realizable y lo mejor posible).
Observemos la respuesta de nuestro diseño una vez optimizado, pero esta vez representamos la función de transferencia del filtro en función de la atenuación:
Fig. 9. Representación de la atenuación en dB del Filtro Banda Eliminada.
Ref: http://www.rock.com.ar/especiales/sonido/img/10-04c.gif
4
II. CONCLUSIONES
Los filtros Paso Banda y Banda eliminada son muy habituales en los sistemas de microondas, así como en radiocomunicación, puesto que nos permiten seleccionar la información que necesitamos con una calidad aceptable. Por tanto, el diseño de filtros Paso Banda y Banda eliminada también lo es.
El diseño de filtros con líneas acopladas es uno de los más utilizados o el más utilizado a la hora de realizar filtro paso Banda o Banda eliminada, puesto que es el método más sencillo para la realización de este tipo de filtros para altas frecuencias o microondas en tecnología microstrip.
Del estudio realizado, podemos conocer como se construye un filtro Paso Banda o Banda eliminada en tecnología microstrip, partiendo siempre de un filtro prototipo y optimizándolo para conseguir la mayor calidad posible en nuestro filtro.
Por otro lado, no hemos mencionado la característica de usar un tipo de sustrato u otro a la hora de realizar un filtro, lo cual es de gran importancia. Por tanto, debemos recalcar que la respuesta del filtro, se paso banda o banda eliminada, depende en gran parte de las características del sustrato utilizado. Puesto que cada sustrato posee una εr y una tangente de pérdidas determinadas que nos permiten obtener una mejor o peor respuesta de nuestro filtro diseñado, por tanto una mayor o peor calidad.
Por tanto, debemos de deducir que la respuesta de un sustrato de mayor calidad cumplirá con mayor calidad las especificaciones del filtro indicado pero con mayor coste.
Podemos concluir, que en primer lugar siempre elegiremos el sustrato a utilizar en función de la aplicación y los recursos que dispongamos. Posteriormente aplicaremos la teoría de líneas acopladas y optimizaremos nuestro filtro teórico mediante un simulador. Hasta que finalmente realizamos el diseño propiamente dicho.
IV. REFERENCIAS [1] A.Bhargava, K. Singh y Dr. S. Pal, “ Filtros de banda eliminada para
lineas acopladas simétricas y asimétricas en las bandas Ku/Ka”, http://www.redeweb.com/_txt/626/46.pdf
[2] Leo Young,”Microwave Filters”, IEE Transactions on microwave theory and techniques, Vol. MTT-13, No. 5.September 1965.
[3] R. Sánchez Montero, P.L. López Espí,J.Alpuente Hermosilla, “Microondas prácticas”,Servicio de publicaciones de la universidad de Alcalá de Henares.
[4] P.L. López Espí, “Tema 5: Diseño de filtros de Microondas”, http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros05_06.pdf
[5] Microwave Engineering. D. Pozar. Artech House [6] Representación de la atenuación en dB del Filtro Banda Eliminada.
Ref: http://www.rock.com.ar/especiales/sonido/img/10-04c.gif
1
FILTROS PASO BAJO Y PASO ALTO Cristina Martín Pérez
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail :[email protected]
Resumen- Este documento es una introducción al diseño en tecnología microstrip de filtros paso bajo con secciones cortas de líneas de transmisión y filtros paso alto con stubs. Se comenzará con una breve introducción a todos los filtros de microondas y con el estudio de la tecnología microstrip en la que se van a implementar los filtros que dan nombre al documento. Posteriormente se describirán los principales pasos a seguir en el diseño de los filtros paso bajo realizados mediante secciones cortas de líneas de transmisión y de los filtros paso alto realizados con stubs .
I. INTRODUCCION
Un filtro es una red de dos puertas empleada para controlar la respuesta en frecuencia en un determinado punto de un sistema, propiciando la transmisión en las frecuencias de la banda (o bandas) de paso del filtro y la atenuación en la banda (o bandas) eliminada de este. Las respuestas típicas son paso bajo, paso banda, paso alto y banda eliminada. Los filtros tienen un importante papel en muchas aplicaciones de microondas. Las nuevas aplicaciones en el campo de las telecomunicaciones continuamente desafían al diseño de estos filtros con requerimientos más rigurosos cada vez, como son mayores rendimientos, tamaños menores, menores pesos y por supuesto menor coste. Los recientes avances en nuevos materiales y tecnologías de fabricación han estimulado el rápido desarrollo de nuevos filtros de microondas con líneas de transmisión. Al mismo tiempo, los avances en las herramientas de software de diseño tales como los simuladores electromagnéticos han revolucionado el diseño de este tipo de filtros. Dependiendo de las especificaciones, los filtros pueden diseñarse con elementos concentrados o distribuidos, que a su vez se pueden realizar en diferentes estructuras como guías de ondas, cable coaxial ó líneas microstrip [1]. .
II. LINEAS MICROSTRIP
Los filtros que se van a diseñar a continuación se van a implementar bajo tecnología microstrip.
II.1 Estructura microstrip La estructura de una línea microstrip es la mostrada en la
siguiente figura:
Fig. 1. Estructura microstrip
Se observa que la estructura está formada por una tira
conductora (línea microstrip) con una anchura W y un grosor t. Dicha tira está colocada sobre un sustrato dieléctrico con constante dieléctrica εr y grosor h. Por último, debajo del sustrato se encuentra el plano de masa [2].
II.2 Constante dieléctrica efectiva e impedancia característica
Las características de transmisión en líneas microstrip están
descritas por dos parámetros, la constante dieléctrica efectiva εre y la impedancia característica Zc.
Para la obtención de dichos parámetros se pueden utilizar varios métodos en función de las características del sustrato microstrip. En el presente trabajo se ha utilizado el programa de simulación PCAAD debido a su fácil manejo y la rápida obtención de los parámetros.
Fig. 2. Ventana de PCAAD que permite el cálculo de estos parámetros para un sustrato FR4
2
II.3 Longitud de onda, constante de propagación, velocidad de fase y longitud eléctrica
Una vez determinada la constante dieléctrica efectiva, la
longitud de la onda guiada para el modo cuasi-TEM del sustrato microstrip viene dada por
λ0λ =g εre
Ec. 1
donde λ0 es la longitud de onda en el espacio libre a la frecuencia de trabajo f. En unidades prácticas tendremos
( )mm300
λ =g f(Ghz) εre Ec. 2
La constante de propagación β y la velocidad de fase vp
pueden determinarse de la siguiente manera
2πβ =
λg Ec. 3
ω 2πf cv = = =p
β β εre Ec. 4 donde c es la velocidad de la luz en el espacio libre (c=3*108). La longitud eléctrica θ para una longitud física l dada de la línea microstrip está definida
θ = βl Ec. 5
[2]
II.4 Sustrato FR4 Para realizar el diseño de los filtros utilizaremos el sustrato microstrip FR4 cuyas características son las que se presentan a continuación: Característica εr T H tanδ σ
Valor 4,5 0,035 1,6 0,03 0,712
Tabla 1. Características del sustrato FR4
[3]
III. FILTROS PASO BAJO CON SECCIONES CORTAS DE LINEAS DE TRANSMISION
III.1 Introducción Los filtros paso bajo en tecnología microstrip pueden realizarse mediante stubs empleando la transformación de Richards y las equivalencias de Kuroda, pero en algunas ocasiones, la aplicación de las equivalencias de Kuroda da lugar a tramos de línea de impedancia característica de difícil construcción. Otra técnica que permite la construcción de filtros con respuesta paso bajo consiste en el empleo de secciones de línea de transmisión de impedancia fija y
longitud a determinar. Este último método es el que se utilizará en este documento. Una sección de línea de transmisión de longitud eléctrica inferior a π/2 admite un circuito equivalente como el mostrado en la figura 3.
Fig. 3. Circuito equivalente de una sección de línea
Si la línea tiene longitud menor que π/4 y la impedancia característica es elevada (ZC = ZHG):
XL= ZHGβd Ec.6 BC = 0
Por tanto, una línea con longitud eléctrica corta y alta impedancia característica tiene un circuito equivalente aproximadamente igual a una inductancia serie.
Si la línea tiene longitud menor que π/4 y la impedancia característica es pequeña (ZC = ZLW):
XL= 0 Ec.7 BC = YLWβd
Por tanto, una línea con longitud eléctrica corta y baja impedancia característica tiene un circuito equivalente aproximadamente igual a una capacidad paralelo. Los valores de impedancia alta y baja (ZHG y ZLW ) se fijan a los valores más extremos prácticamente realizables. La solución buscada son las longitudes de los diferentes tramos de línea. Introduciendo los valores de diseño y la desnormalización en impedancia se obtienen las ecuaciones de diseño de este tipo de filtros:
0HG HG
HG
LZd
Zβ =
Ec.8
0
LWLW LW
Z Cd
Zβ =
Ec.9
[3]
III.2 Ejemplo de diseño Supongamos que queremos diseñar un filtro Chebychev de orden 5, rizado en la banda de paso de 0.5 dB y frecuencia de corte de 2 GHz. Los valores máximo y mínimo realizables corresponden a anchuras de 0.2mm para las líneas de alta impedancia y de 18 mm para las líneas de baja impedancia. Consideraremos que el primer elemento del prototipo tiene carácter capacitivo. El filtro se implementará con tecnología microstrip y el sustrato utilizado será el FR4.
3
Para diseñar este tipo de filtros, lo primero que se debe hacer es diseñar el filtro paso bajo que se nos pide con elementos discretos tal y como se muestra en la siguiente figura.
Fig. 4. Diseño del filtro con elementos discretos
Para obtener los valores de los elementos del circuito anterior se utiliza la siguiente tabla: N g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10
1 0,6986 1,00002 1,4029 0,7071 1,98413 1,5963 1,0967 1,5963 1,00004 1,6703 1,1926 2,3661 0,8419 1,98415 1,7058 1,2296 2,5408 1,2296 1,7058 1,00006 1,7254 1,2479 2,6064 1,3137 2,4758 0,8696 1,98417 1,7372 1,2583 2,6381 1,3444 2,6381 1,2583 1,7372 1,00008 1,7451 1,2647 2,6564 1,3590 2,6964 1,3389 2,5093 0,8796 1,98419 1,7504 1,2690 2,6678 1,3673 2,7239 1,3673 2,6678 1,2690 1,7504 1,0000
Tabla 2. Elementos del filtro prototipo Chebychev para 0.5 dB de rizado
Como el filtro es de orden 5, los valores de los elementos del filtro a diseñar son los siguientes: g1 = g5 = 1.7058 g2 = g4 = 1.2296 g3 = 2.5408 g6 = 1.0000
El siguiente paso para la construcción del filtro es el de calcular a través de la herramienta PCAAD las impedancias características y las constantes dieléctricas efectivas correspondientes a las anchuras de las líneas de alta y baja impedancia. Una vez realizado esto, se obtienen los siguientes resultados:
Líneas de alta impedancia → εre = 2.98 ZHG = 144.5 Ω Líneas de baja impedancia → εre = 11.32 ZHG = 7.8 Ω Por último obtendremos de las ecuaciones 8 y 9 los
valores de las longitudes de las líneas que componen el filtro sin más que sustituir en las mismas los valores de los elementos del filtro discreto, los valores de las impedancias y las constantes dieléctricas obtenidas anteriormente para cada una de las líneas. Haciendo todo esto se obtienen los siguientes resultados:
d0 = 20.21 mm (Accesos: λ/4, Z0 = 50 Ω) d1 = d5 = 5.32 mm d2 = d4= 5.88 mm d3 = 7.92 mm
Con los resultados obtenidos, el diseño en tecnología microstrip con sustrato FR4 es el siguiente:
Fig. 5. Diseño del filtro en tecnología microstrip
III. 3 Simulación del ejemplo Una vez obtenido el diseño del filtro se puede pasar a realizar su simulación con la herramienta de software MMICAD para obtener la respuesta del mismo.
Fig. 6. Simulación en MMICAD del filtro del ejemplo optimizado
A través de la optimización se consigue que la frecuencia de corte del filtro sea la pedida.
IV. FILTROS PASO ALTO CON STUBS
IV.1 Introducción
Los filtros paso alto pueden ser construidos mediante elementos concentrados o distribuidos. Nosotros nos vamos a centrar en la realización de filtros paso alto con elementos distribuidos como son las líneas de transmisión de igual longitud eléctrica.
El diseño con el que se va a trabajar es el mostrado en la
figura 7. Este diseño consiste en una serie de stubs paralelo cortocircuitados, conectados en cascada y de longitud eléctrica θc a una determinada frecuencia especificada fc (normalmente será la frecuencia de corte paso alto) separados por líneas conectoras de longitud eléctrica 2 θc.[2]
Fig. 7. Filtro paso alto con stubs
4
Este diseño presenta la ventaja de obtener un filtro de orden 2n-1 empleando tan solo n stubs. Los filtros así construidos presentan una respuesta periódica, de periodo π cuya banda de paso se encuentra entre los valores de frecuencia fc y fc(π/ θc-1).
La realización del diseño se realiza a partir de las
tablas. La siguiente tabla indica las admitancias características para una respuesta Chebychev con 0.1 dB de rizado.[3]
y1 y1,2 y2 y2,3 y3
yn yn-1,n yn-1 yn-2,n-1 yn-2
25º 0,15436 1,134822 30º 0,22070 1,11597
35º 0,30755 1,0896725º 0,19690 1,12075 0,18176
3 30º 0,28620 1,09220 0,3072635º 0,40104 1,05378 0,4829425º 0,22441 0,11113 0,23732 1,10361
4 30º 0,32300 1,07842 0,39443 1,0648835º 0,44670 1,03622 0,60527 1,0153625º 0,24068 1,10540 0,27110 1,09317 0,29659
5 30º 0,34252 1,07119 0,43985 1,05095 0,4828435º 0,46895 1,02790 0,66089 0,99884 0,7242425º 0,25038 1,10199 0,29073 1,08725 0,33031 1,08302
6 30º 0,35346 1,06720 0,46383 1,04395 0,52615 1,0379435º 0,48096 1,02354 0,68833 0,99126 0,77546 0,98381
Admitancias características para un rizado de 0,1 dB
θcn y3,4
Tabla 3. Elementos para filtros paso alto de 0.1 dB de rizado
IV.2 Ejemplo de diseño
Supongamos que queremos diseñar un filtro paso alto con respuesta Chebychev y rizado en la banda de paso de 0.1 dB. El filtro estará compuesto por cuatro stubs terminados en cortocircuito. La frecuencia de corte será de 1GHz y el límite superior de la banda será 5 GHz. El filtro se implementará con tecnología microstrip y el sustrato utilizado será el FR4. Observamos en la tabla 3 que para obtener los valores de las admitancias características necesitamos conocer el número de stubs (dato) y la longitud eléctrica de las líneas. Como se vio en la introducción la frecuencia de corte superior es fc(π/ θc-1). Si igualamos la expresión anterior al valor que se nos da en el enunciado obtenemos un valor de longitud eléctrica de 30º. Con estos datos, los valores de las admitancias normalizadas y de las impedancias (previa desnormalización) serán: y0=1 → Z0 = 50 Ω
y1= y4=0.323 → Z1 = 154.8 Ω y2= y3=0.394 → Z2 = 126.9 Ω y1,2= y3,4= 1.078→ Z12 = 46.36 Ω y2,3=1.065 → Z23 = 46.96 Ω
Para obtener las longitudes de las líneas haremos uso de las características del sustrato microstrip descritas en II.3 y para obtener las anchuras de las líneas utilizaremos el programa PCAAD. Con esto obtenemos:
W0=3.008 mm d0 = 13.46 mm W1= W4=0.151 mm d1 = 4.88 mm
W2= W3=0.327 mm d2 = 4.88 mm W1,2= W3,4= 3.409 mm d12 = 8.93 mm W2,3=3.338 mm d23 = 9.12 mm
El diseño el filtro paso alto del ejemplo realizado en tecnología microstrip y con sustrato FR4 será:
Fig. 8. Diseño del filtro en tecnología microstrip
IV. 3 Simulación del ejemplo
La simulación del filtro optimizado propuesto en el ejemplo se muestra en la siguiente figura.
Fig. 9. Simulación en MMICAD del filtro del ejemplo optimizado
V. CONCLUSIONES
Existen varios métodos para realizar filtros de microondas en tecnología microstrip. En este documento se han visto dos de ellos: realización de filtros paso bajo con secciones cortas de líneas de transmisión y realización de filtros paso alto con stubs.
Los dos métodos que se han tratado permiten por un
lado obtener los diseños de los filtros para implementarlos en tecnología microstrip, y por otro lado, permiten obtener los datos necesarios para poder observar el comportamiento en frecuencia de dichos filtros a través de la simulación.
VI. REFERENCIAS
[1] Miriam González Díez, “Diseño e Implementación de Filtros de Microondas”, Trabajo Fin de Carrera, Universidad de Alcalá de Henares, Septiembre 2002.
[2] Jia-Sheng Hong and M.J.Lancaster, “Microstrip Filters for RF/Microwave Applications”, Wiley-Interscience publication, 2001.
[3] R.Sánchez Montero, P.L.López Espi, J.Alpuente Hermosilla, “Microondas Prácticas”, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alcalá de Henares, 2004
FILTROS PASO BAJO Y PASO ALTO Ángela Sancho Marcos
Ingeniería Técnica de Telecomunicación. Especialidad en Sistemas de Telecomunicación. Microondas – 2007/08 Universidad de Alcalá
e-mail : [email protected]
Resumen- Diseño de filtros paso bajo y paso alto. En el caso de filtros paso alto se va a realizar una implementación con parámetros distribuidos, utilizando para el diseño el método de pérdidas de inserción, el resultado va a ser un filtro paso alto que consistirá en la unión en cascada de una serie de stubs paralelo cortocircuitados. Sin embargo para el caso de filtros paso bajo, no se va a utilizar stubs, sino que se diseñarán a partir de secciones alternativas de líneas de transmisión de impedancias características muy altas y muy bajas.
I. INTRODUCCIÓN
Un filtro es una red de dos puertas empleada para controlar la respuesta en frecuencia en un determinado punto de un sistema, propiciando la transmisión en las frecuencias de la banda de paso y la atenuación en la banda eliminada de éste. Las respuestas típicas son paso bajo, paso alto, paso banda y banda eliminada. Es este trabajo hablaré de los dos primeros. Dependiendo de las especificaciones, los filtros pueden diseñarse con elementos concentrados o distribuidos, que a su vez se pueden realizar en diferentes estructuras como son guías de ondas, cable coaxial o líneas microstrip. El término microondas se emplea para describir ondas electromagnéticas en el rango de frecuencias desde 300MHz hasta 300GHz, lo que corresponde a longitudes de onda en el espacio libre desde 1m hasta 1mm, esto hace que los filtros con elementos concentrados no tengan las respuestas esperadas y por tanto se haga necesario implementarlos con circuitos de parámetros distribuidos. Hay varias teorías para el diseño de filtros como la de los parámetros imagen, basado en teoría de cuadripolos y el método de las pérdidas de inserción, que utiliza técnicas de síntesis de redes para diseñar filtros con una determinada respuesta en frecuencia. El diseño se simplifica comenzando con un prototipo paso bajo que está normalizado en frecuencia e impedancias de terminación. Después les son aplicadas unas transformaciones para pasar los prototipos al rango de frecuencias deseado y a las terminaciones de referencia. [1], [2].
II. DESARROLLO
La transformación de Richards establece la equivalencia funcional entre condensadores y bobinas y stubs. Las equivalencias de Kuroda permiten construir físicamente los diseños realizados con stubs aplicando la transformación de Richards.
II.1 Filtros paso bajo
En algunas ocasiones, la aplicación de las equivalencias de Kuroda para el diseño de filtros paso bajo da lugar a tramos de línea de impedancia característica de difícil construcción. Otra técnica que permite la construcción de filtros con respuesta paso bajo consiste en el empleo de secciones de línea de transmisión de impedancia fija y longitud a determinar. Un modo relativo de implementar un filtro paso bajo con líneas microstrip o stripline es usar secciones alternativas de líneas de impedancia característica muy altas y muy bajas. Tales filtros por lo general son llamados filtros de hi-z (de alta impedancia) y low-z (de baja impedancia) y éstos son más fáciles de diseñar y ocupan menos espacio que un filtro paso bajo similar utilizando stubs A causa de las complicadas aproximaciones, su funcionamiento eléctrico no es bueno, entonces el empleo de tales filtros por lo general es limitado en aplicaciones donde exista un pico y no sea rechazado fuera de banda con productos mezcladores. [1], [4], [5].
II.1.1 Filtros con secciones cortas de líneas de transmisión
Fig. 1- Circuito equivalente en T de una sección de línea
Fig. 2- Equivalente T para una sección de línea de transmisión en
la que λβ <<2π
1
Fig. 3- Circuito equivalente para λβ <<
4π y Z grande 0
Fig. 4-Circuito equivalente para λβ <<4π y Z 0 pequeña
El primer paso es encontrar el circuito equivalente aproximado para una longitud corta de línea de transmisión que tiene impedancia característica muy grande o muy pequeña. Los parámetros Z para una línea de longitud λe impedancia característica Z0 son:
λβcot2211 jZZ −== Ec. 1 λβcsc2112 jZZ −== Ec. 2
Los elementos serie del circuito equivalente en T son: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−
2tan
sin1cos
001211λ
λλ ββ
β jZjZZZ Ec. 3
Donde el elemento paralelo del equivalente en T es Z12. Si λβ <<
2π , los elementos serie tienen una reactancia positiva
(bobina), mientras que el elemento paralelo tiene una reactancia negativa (condensador). Así tenemos el circuito equivalente mostrado en la figura 2, donde: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2tan
2 0λβZX Ec. 4
λβsin1
0ZB = Ec. 5
Si asumimos una longitud de línea corta ( λβ <<4
π ) y
una impedancia característica grande, se reducen aproximadamente a: λβ0ZX ≈ Ec. 6 Ec. 7 0≈B Lo que implica un circuito equivalente como el de la figura 3 (una bobina serie). Para una longitud corta de línea e impedancia característica pequeña, las ecuaciones Ec.4 y Ec.5 se reducen aproximadamente a: Ec. 8 0≈X λβ0YB ≈ Ec. 9 Lo que implica un circuito equivalente como el de la figura 4(condensador paralelo). Las bobinas serie de un filtro prototipo paso bajo puede ser sustituidas por secciones de línea de alta impedancia (Z0=Zh), y los condensadores paralelo pueden ser sustituidos por una sección de línea de baja impedancia (Z0=Zl). La proporción Zh/Zl debería ser tan alta como sea posible, entonces los valores reales de Zh y Zl
por lo general son los de la impedancia característica más alta y más baja que prácticamente puede ser fabricado. Entonces la longitud de las líneas puede ser determinada con las ecuaciones Ec.6, Ec.7, Ec.8, Ec.9; para conseguir la mejor respuesta, estas longitudes deberían ser evaluadas en
cωω = . Luego las longitudes eléctricas de la sección de inductor pueden ser calculadas como:
hZLR0=λβ (inductor) Ec.10
Y la longitud eléctrica de la sección del condensador como:
0RCZl=λβ (capacitor), Ec.11
Donde R0 es la impedancia del filtro y L y C son los valores de los elementos normalizados del prototipo de paso bajo. [1], [4], [5].
II.2 Filtros paso alto Los filtros paso alto pueden ser construidos con elementos distribuidos como son las líneas de transmisión de igual longitud eléctrica. Este tipo de filtros es semejante a los filtros paso banda realizados con stubs, por tener estas redes respuestas periódicas en frecuencia, en particular para aplicaciones de gran ancho de banda, pero no serán diseños óptimos. Esto sucede porque las líneas de conexión en filtros son redundantes, y por tanto sus propiedades de filtrado no son aprovechadas del todo. Por ésta razón se diseñan también otro tipo de filtros paso alto distribuido, con stubs terminados en cortocircuito.
II.2.1 Filtros paso alto con stubs terminados en
cortocircuito.
El diseño es el de la figura 5 el cuál consiste en una serie de stubs paralelo cortocircuitados, conectados en cascada y de longitud eléctrica cθ a una determinada frecuencia , que normalmente será la frecuencia de corte paso alto, separados por líneas conectoras de longitud eléctrica 2
cf
cθ . Aunque el filtro consiste en n stubs, su respuesta en frecuencia tiene grado 2n-1 con lo que su respuesta paso alto tiene 2n-1 rizados en la banda de paso. En el caso del filtro con líneas de igual longitud tiene una respuesta de orden n para n stubs, lo que implica que el filtro con stubs de la figura 5 tenga una selectividad mayor, por lo que se dice que es óptimo.
Fig. 5- Filtro paso alto óptimamente distribuido
2
En la figura 6 se muestra la característica de transmisión típica de este tipo de filtros, donde f es la variable de frecuencia y θ la longitud eléctrica, que es proporcional a la frecuencia del siguiente modo:
cc f
f⋅= θθ Ec.12
Fig. 6- Respuesta característica del filtro paso alto con stubs óptimamente distribuidos [6]
Para las aplicaciones paso alto, el filtro tiene una banda de paso principal que va desde cθ hasta cθπ − con frecuencia de corte en cθ . Los armónicos periódicos en la banda de paso están centrados en 2
5,23 ππθ = ,…y separados por polos de
atenuación en ...2, ππθ = por tanto, la función de transferencia de la red de la figura 5 será: ( )
( )θεθ 22
221 1
1
NFS
⋅+= Ec.13
donde: ε es la constante de rizado en la banda de paso θ es la longitud eléctrica es la función de filtrado NF
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
=−−
θπ2
cos2
1111 322
122
cnc
cnc
N
xxTx
xxTx
F Ec.14
donde: n es el número de stubs cortocircuitados,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= θπ
2sinx Ec.15
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ccx θπ
2sin Ec.16
( ) ( )xnxTn1coscos −= es la función de
Chebychev de primer orden de grado n
En la Tabla 1 se tabulan algunos valores típicos de la red de la figura 5 para el diseño práctico de filtros paso alto optimizados con un número de stubs desde 2 hasta 6 y un rizado en la banda de paso de 0.1dB para Hay que tener en cuenta que los elementos tabulados son los valores de las admitancias características normalizadas de las líneas de transmisión, y que para una impedancia de terminación dada Z
.35,30,25 oooc =ϑ
0 las impedancias características se determinan: [2], [4] [5].
i
i YZ
Z 0= ; 1,
01,
++ =
iiii Y
ZZ Ec.17
N11 cθ
(o) Y1
Yn
Y1,2
Yn-1,n
Y2
Yn-1
Y2,3
Yn-2,n-1
Y3
Yn-2
Y3,4
2 253035
0.15436 0.22070 0.30755
1.13482 1.11597 1.08967
3 253035
0.19690 0.28620 0.40104
1.12075 1.09220 1.05378
0.18179 0.30726 0.48294
4 253035
0.22441 0.32300 0.44670
0.11113 1.27842 1.03622
0.23732 0.39443 0.60527
1.10361 1.06488 1.01536
5 253035
0.24068 0.34252 0.46895
1.10540 1.07119 1.02790
0.27110 0.43985 0.66089
1.09317 1.05095 0.99884
0.29659 0.48284 0.72424
6 253035
0.25038 0.35346 0.48096
1.10199 1.06720 1.02354
0.29073 0.46383 0.68833
1.08725 1.04395 0.99126
0.33031 0.52615 0.77546
1.08302 1.03794 0.98381
Tabla 1- Elementos para filtros paso alto óptimamente distribuidos con
0,1dB de rizado en la banda de paso
III. CONCLUSIONES
Los filtros tienen un importante papel en muchas aplicaciones de microondas. Las nuevas aplicaciones en el campo de las telecomunicaciones desafían continuamente al diseño de estos filtros con requerimientos más rigurosos, como son mayores rendimientos, menores tamaños, menores pesos y menor coste. Es por ello que los filtros descritos anteriormente son los diseños óptimos. En el caso de filtro paso bajo se consigue con secciones de líneas de transmisión de impedancia característica muy altas y muy bajas, sin embargo para filtros paso alto se ha utilizado el método de pérdidas de inserción con un diseño realizado con una serie de stubs paralelo cortocircuitados.
IV. REFERENCIAS
[1] David Pozar, “Microwave Engineering”. Ed. John Wiley 2ª Ed, 1998
[2] “Diseño e Implementación de Filtros de Microondas” Proyecto Fin de Carrera 2002. Miriam Gonzalez Diez.
[3] Jag. Malherbe, “Microwave Transmission Line Filters”, Artech House
[4] “Microwave Filtres-1965”Leo Young, IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES.
[5] “A History of Microwave Filter Research, Desing, and Development”, Ralph Levy. IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES
[6] “Microondas Prácticas”, R .Sánchez Montero, P. L. López Espí, J.Alpuente Hermosilla. Publicaciones UAH .
3