23Trayectoria parabólica

En la Academia Militar de la Armada del Ecuador, los cadetes delúltimo nivel, tienen la materia de “estrategias navales”, y su instructor,el Capitán de Navío David Rentería, les ha planteado una situaciónparticular, a la que los cadetes deben proponer una solución, este casorememora una de las batallas navales más famosas y en la que elejército Norteamericano tuvo participación directa.

—Pues bien señores cadetes hoy día hablaremos de la batalla de IwoJima, conocida también como «Operación Detachment», es el nombreque recibe uno de los combates más sangrientos de la Segunda GuerraMundial, fue librada en la isla de Iwo Jima entre los ejércitos delos Estados Unidos y el Imperio del Japón de febrero a marzo de 1945.

Durante los últimos días de enero los comandantes del ejércitojaponés, gracias a sus servicios de inteligencia se habían enterado de uninminente ataque por parte de la armada enemiga a la isla, con lafinalidad de tomarla y utilizarla posteriormente como base desde donde lanzar ataques aéreos.

El Imperio Japonés había sufrido una muy dura derrota en lareciente batalla de Midway, en la que perdió cuatro portaviones yvarios barcos acorazados dejándolos con poca capacidad ofensiva. Estoprovocó el repliegue de todos los barcos de la Armada Japonesa haciaaguas más tranquilas, y que los refuerzos destinados hacia cualquierlugar donde se los requería, demoren mucho en llegar.

En esos días, en la isla de Iwo Jima para su defensa, el imperiojaponés disponía de 20919 soldados, un radar fijo instalado en la cimadel monte Suribachi y una fragata lanza torpedos que además disponíade un radar de alcance variable. El radar de alcance fijo lograba

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detectar la presencia del enemigo hasta 4 kilómetros de distanciamientras que el radar del barco tenía un alcance que oscilaba entre 0,5

y 10 kilómetros.Entonces, señores cadetes ,¿cómo ustedes hubiesen dispuesto que de

desplace la fragata en las aguas cercanas a la isla, de modo que puedacubrirse gran parte de la superficie y además sin que se sobrepase elmeridiano 140, que era el límite de incursión de las fuerzasNorteamericanas y que estaba a 8 kilómetros de distancia hacia el estedesde la cima del monte Suribachi?

.

Establezcamos primero un sistema de coordenadas rectangulares,—dijo el cadete Carlos Samaniego, cuyo origen se encuentrejustamente en el punto donde está el radar de alcance fijo, luegoubiquemos la fragata y el meridiano 140.

—Muy buena sugerencia cadete Samaniego, dijo el instructorRentería, es preciso fijar puntos de referencia.

¿Alguien más puede hacer otra acotación ?.—Las señales de radar, no deben sobreponerse una con otra, pues se

desaprovecha la capacidad de alcance de cada uno, dijo el cadeteAndrés Morales .

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—Y de igual manera, la señal de radar de la fragata, no debesobrepasar mas allá del meridiano 140, ni tampoco la señal debesepararse de él, añadió el instructor.

Por unos minutos todo el salón se quedó en silencio y mirando elmapa que se proyectaba sobre la pizarra y preguntándose ¿quétrayectoria deberá seguir la fragata, para cubrir la mayor superficieposible?.

—Se resuelve esta interrogante, si encontramos una ecuación para ellugar geométrico de todos los puntos por donde se puede desplazar lafragata, y ésto lo podemos lograr si miramos las condiciones generalesque cumple cada punto del lugar geométrico que buscamos. RepusoSamaniego.

Entonces lo que tenemos en el mapa es básicamente lo siguente: El radar sobre el monte Suribachi tiene un alcance de 4 km y está en

el centro O del eje de coordenadas, por lo que corresponde a laecuación de la circunferencia .

.x2 y2 16 El meridiano 140 que dista 8 km desde el monte Suribachi,

corresponde a la ecuación .x8

La señal de radar de la fragata es también una circunferencia deradio variable y centro justamente en el lugar donde se encuentrenavegando. El punto D, es de tangencia entre el meridiano 140 y la señal deradar de la fragata, por lo que tiene las coordenadas

.D8,y El punto T, es de tangencia entre las dos señas de radar y finalmente. Un punto del lugar geométrico que estamos buscando es P(x,y).

El punto P debe satisfacer la propiedad geométrica siguiente: (1)OPOTTP

Pero TP =TD (2)

Ya que son radios de la circunferencia móvil. Entonces la ecuación(1) puede escribirse como

OP=OT+PD. (3)

Ahora la distancia OP en forma anlítica es

(4)OP x02 y02 x2 y2

La distancia OT esOT=4 (5)

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La distancia PD esPD= (8-x) (6)

Con lo que al sustituir (4) ,(5) y (6) en (3), se tiene.

x2 y2 4 8 xEs decir

(7)x2 y2 12 x

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se tiene quex2 y2 12x2

Si resolvemos el paréntesis al cuadrado, entonces (8)x2 y2 14424x+x2

Ahora si ponemos en un solo miembro de la igualdad los términossemejantes y los operamos. Anota tu respuesta.

(9)y2 14424xDe la cual al factorar, se tiene que

(10)y2 24x6

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Esta ecuación (10) es la que corresponde al lugar geométrico detodos los puntos por donde puede moverse la fragata y es lo queestamos buscando.

—Muy bien hecho cadete Samaniedo, dijo el instructor, es uncorrecto análisis el que usted acaba de hacer para nosotros. Veo quetiene claros los conocimientos de geometía analítica y lo felicito.

Pero esta ecuación que usted encontró,¿representa algun lugargeométrico en específico? .

—¡Si señor!,respondió el cadete Samaniego.Es una parábola de vértice el punto (0,6) y eje paralelo al eje x,

señor, y lo demostraré enseguida.

Traslademos los ejer coordenados de modo que el nuevo origen O`

coincide con el vértice de coordenadas V(h,k) , que para el caso es(6,0). Obteniéndose un eje cartesiano X`Y`.

Por el teorema que dice que una parábola de centro el origen y ejefocal el Y tiene una ecuación de la forma

4px` (11)y“2 Por la traslación de los ejes se tiene que

x`=x-h y y`=y+k

Pero los valores de h y k son 6 y 0 respectivamente, es decirx`=x+6 y y`=y+0

O lo que es lo mismo decirx`=x-6 y y`=y

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Que sustituyemndo en (11) obtenemos4p(x-6)y02

Es decir 4p(x-6) (12)y2

Pero esta ecuación es similar a la que encontramos como ecuacióndel lugar geométrico (10), por lo que podriamos afirmar que el término4p es equivalente a -24.

Es decir el valor de p es -6, que es menor a 0 y la parábola se abriríahacia la izquierda, además que la ecuación de la directríz es

x=h-pY analíticamente en valores es. Anota tu respuesta.

=12 x 66Definitivamente puedo decir que mis cadetes, van preparados para el

combate, me complace saber que ésta juventud aprende y comprendetodo lo impartido. Felicidades, futuros marinos!!!!

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