Charla Metodológica Sobre Productos Notables

Diferencia de Cuadrados

En una mañana invernal, junto al calor de la estufa, que mitiga en

parte el frío de la sala de profesores de un liceo municipal ubicado

hacia el interior de la serranía de la ciudad de Riobamba, de la

provincia del Chimborazo Juan y Diego, esforzados profesores de

matemática, conversan sobre lo que cada uno ha pensado respecto a

cómo enseñar los productos notables.

Juan, el más joven, es entusiasta, creativo y tiene sus objetivos claros

con relación a la enseñanza de la matemática, los que adquirió en su

formación inicial en la universidad, que acaba de terminar con éxito,

hace sólo un par de años. Ahora está diseñando estrategias de

enseñanza para que sus alumnos se apropien del conocimiento de estos

destacados productos algebraicos. Diego, en cambio, tiene en su vida

laboral bastante "camino recorrido", como él mismo dice sin

miramientos. La mayor parte de sus años de docencia los ha ejercido en

este liceo.

También se encuentra Pedro, el tercer profesor de la asignatura. Es

algo introvertido, sabio por reconocimiento a la hora de dar algún

consejo y que media los años de sus dialogantes colegas, a los que

escucha con disimulo y prudencia:

__Dijo Juan en una determinado instante; puedo hacerle una

preguntita Don Diego, apelando a su experiencia digo yo, ¿cómo va a

enfrentar usted, en su clase, la unidad de los productos notables?.

__Respondió Diego: Bueno Juan, no hay mucho que pensar… lo que

siempre me ha resultado no más…

__A lo que Juan replicó: pero… ¿cómo es eso?.

__Mira Juan, de la forma más fácil… dar a los jóvenes el listado de

las fórmulas. Es cuestión que los memoricen y con un par de ejemplos

por cada una, estamos al otro lado.

La del cuadrado del binomio es la que se aprenden más rápido…

hasta la recitan “el cuadrado del primero, más o menos el doble del

primero por el segundo y más el cuadrado del segundo”.

__¿Y eso le resulta Don Diego?.

__ Bueno, recuerda cómo tú los aprendiste…

__Bueno, puede ser, pero, ¿qué hay de las sugerencias que se

entregan en el programa, don Diego? Allí se plantean algunas

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actividades que los relacionan con la geometría, que a mi me parecen

muy interesantes.

__Mira Juan, el diablo sabe más por viejo que por diablo, iniciativas

y buenas intenciones yo he visto muchas, sobre todo en educación, pero

al final volvemos a lo mismo, si no los memorizan no se los saben,

punto. De otra forma nos demoraremos mucho y no podremos pasar

toda la materia.

__Oiga, don Diego, es cierto que tienen que memorizarlos, pero a

veces los memorizan sin comprender lo que hacen... Yo trataría que

entendieran primero el significado y todo que les sea más natural, más

en contextos. Usted sabe que nuestros alumnos entienden perfectamente

el cálculo de áreas de terrenos agrícolas y saben que “ ” correspondea2

al área de un cuadrado de lado ”.a__Noooo… Juan. No me convence, y ¿qué hay de la abstracción? A

eso debemos apuntar cuando enseñamos Matemática, que a lo mejor no

se consigue de inmediato, pero a medida que vamos avanzando y los

jóvenes van entendiendo mejor, podemos ir profundizando y llegar a lo

que tú quieres lograr desde la partida.

__Pedro: Disculpen que los interrumpa…,los he estado escuchando

con atención y quiero decirles que estoy convencido que en esto no hay

una sola verdad. Fórmula y significado deben ir de la mano, son

imprescindibles lo uno de lo otro. Lo que yo hago, para no darles sólo

las fórmulas, es plantearles a los jóvenes que realicen los productos

para comprobarlas y después aplicarlas en varios ejemplos.

Mire don Diego, deberíamos darle oportunidad a Juan para que

explique su propuesta, a lo mejor nos ayuda a los dos.

__ Bueno, no crean que yo soy cerrado y no quiero saber de otras

formas de enfrentar esta situación. A mi también me interesa que mis

alumnos y alumnas aprendan.__ Juan: Miren, vamos a contextualizar lo de la diferencia de

cuadrados. Esto hagamoslo, para empezar con la aplicación de un caso

particular, que a la vez es un relato griego.

Cuando Alejandro de Macedonia secede en el trono a su padre

Filipo II , ordena a sus oficiales que se confeccione una gran bandera

roja para que flamee en lo alto de la torre de su palacio, pero también da

la orden de que esta bandera “no debía tener ninguna costura, excepto

en los bordes”.

Se llama al sastre de la corte, quien tiene que confeccionar la

bandera y recibe un retazo de tela que a criterio de los comandantes

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del ejercito de Alejandro tiene el área perfecta, ni más ni menos para la

confección de la bandera; y claro se le díó la condición de que “no

deben aparecer costuras en ninguna pare interior de la tela”, es decir

todo debía quedar de una sola pieza.

Muy por la mañana del día siguiente, el sastre se dispone a realizar el

trabajo de la gran bandera , pero al momento que abre el retazo de tela,

se da cuenta que no es posible llevar a cabo la obra requerida, pues el

retazo de tela que recibió no tiene la forma de un rectángulo no de un

cuadrado, que es lo ideal. Se trata de un retazo que al parecer

inicialmente era un cuadrado mayor, que al parecer se le ha cortado una

sección también cuadrada que es más pequeña.

Se trata de un cuadrado de 5 unidades de medida por lado, pero al

que le han cortado un retazo de tela de 2 unidades de medida por lado.

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1 unidad =mónada (m) =

Es decir el ratázo de tela mide 21 mónadas. Entonces el sastre,

recuerda que en la bandera “no deben aparecer costuras en ninguna

pare interior de la tela” y preocupado por la situación empieza a buscar

entre los rollos de tela que posee, un que sea de similares características

al anterior, hasta que lo encuentra y decide utilizarlo, pero ahora no

conoce las dimensiones que este debe tener, ayúdale por favor con esta

tarea.

Como la bandera debe tener el área que tiene el retazo de tela que se

le entregó al sastre, entonces lo primero que hay que hacer es

justamente determinar qué área tiene ese retazo de tela.

El area resultante es la diferencia entre el area 1 del cuadrado de 5m

por lado, menos el area 2 del cuadrado de 2m por lado.

A = A1 − A2

A = (5x5)m − (2X2)mA = 25m − 4mA = 21m

Por lo que el sastre debería recortar del rollo, una porción de tela que

tenga 21 monadas. Aunque todavía no sabe de qué largo y ancho

debería ser.

Recordó entonces que por un proceso que en base al desarrollo del

producto notable, especificamente “difereencia de cuadrados”, y la

utilización de cuadrilateros se podía obtener equivalencia de áreas y

conocer las longitudes de dichas figuras.

Tomó un palo y empezo a realizar algunos trazos en el suelo. La

aplicción del proceso es el siguente:

El cuadrado original de tela, al parecer tenía , pero de este se25mcortó un cuadrado de , entonces partiendo del cuadrado inicial se4mtiene que al agregarle un rectángulo de 5m por 2m es

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Lo que hace que se tenga un rectángulo de 35 de área. Luegomdesde la parte inferior del la figura, se construye un rectángulo de 7m de

largo por 2m de ancho, obteniendose

Ahora si se elimina el rectángulo inferior de àrea , se tiene que10mla figura resultante no es todavia cuadrada o rectángulas que es lo que

se desea y además el área que posee, no es equivalente al área original

que era de 21m , pues al sumar las áreas de los tres cuadriláteros que la

forman entonces el area resultante es 25m ,así:

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A = (5m − 2m)(5m) + (2m)(5m − 2m) + (2m)(2m)

A = (3m)(5m) + (2m)(3m) + (2m)(2m)

A = (15 + 6 + 4)mA = 25m

Ahora si eliminamos el cuadrado que tiene 2m por lado, entonses la

figura resultante es un rectángulo que tiene 21m de área y que además

tiene yá una forma adecuada para confeccionar la bandera.

A = (5m − 2m)(5m + 2m)

A = (3)(7)mA = 21m

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Por lo que los 21m del retazo de tela original son equivalentes en

área a los 21m del rectángulo obtenido luedo de todo el proceso, es

decir se tiene la equivalencia:

52 − 22 = 21 = (5 − 2)(5 + 2)

__¡Listo!, está hecho, exclamó el joven sastre, he encontrado ya las

dimenciones del retazo de tela que debo cortar. Entónces tomó el gran

rollo de telas, con la cinta métrica midio las dimenciones requeridas y

cortó el retazo que necicitaba.

La bandera fue confeccionada a tiempo y cumpliendo los

requerimientos de que “no debería tener costura alguna en la parte

interna del área de la tela”.

Luego de toda esta interesante explicación, los profesores Diego y

Pedro quedan sorprendidos por la manera tan sencilla de dar a entender

las ideas y por el método tan claro permíte visualizar lo que en realidad

está tras de los productos notables.

Interviene en el diálogo Pedro y dice:

__Muchas gracias por la explicación, pero para comprobar lo dicho

y en forma general diremos que , si tenemos un cuadrado de longitud a

unidades por lado y a este se le resta un cuadrado de b unidades por

lado, entonces se tiene un área resultante de unidades, que es ela2 − b2

área total que se quiere obtener y probar a que es equivalente esta

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Entonces pariendo de un cuadrado de área a Se le agrego un2

rectángulo de a unidades de largo por b unidades de ancho, entoces el

area resultante es a2 + abLuego construyo un rectángulo en la parte inferior, de b unidades de

ancho y a+b unidades de largo entonces cada cuadrilatero tiena un area

idual a

A 1 = (a − b)(a)

A2 = (a)(b)

A3 = (b)(a − b)

A4 = b2

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Finalmente quito el rectángulo formado por los rectángulos cuyas

áreas son y , obteniendose un solo tectángulo que tiene por área A4 A3

(a − b)(a) + (b)(a − b) = A 1 + A2

Es decir, si operamos esta expresión se tiene que es

a2 − ab + ab − b2 = A1 + A2

De donde se concluye que el área es

a2 − b2 = A1 + A2

Pero ahora si consideramos las longitudes de los lados del rectángulo

de áreas y , también podria calcuñlarse el área de la siguienteA 1 A2

manera:

A 1 + A2 = (a + b)(a − b)

Que es básicamnte el área que teniamos al inicio, por lo que, se

puede decir que se cumple la siguiente igualdad.

a2 − b2 = A1 + A2 = (a + b)(a − b)

Y la figura resultante es:

Entonces Diego , el profesor que tenía más experiencia digo:

Definitivamente este es la mejor forma de explicar los productos

notables a los estudiantes, creo que es totalmente claro y además

muy visual. De ahora en adelante voy a aplicar este método en todas

mis clases y hará que los estudiantes ya no solo sean memoristas de

fórmulas que a lo mejor poco comprensibles para ellos, muchas

gracias.

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