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FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
CURSO: DINAMICA
SESION 13: CONCERVACIN DE LA
ENERGA
AUTOR: Ing JORGE RONDO VASQUEZ
TRUJILLO
-
PER
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I. OBJETIVOS
Aplicar el principio de conservacin de
energa a una partcula o un sistema de
partculas
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FUERZAS CONSERVATIVAS Si el trabajo de una fuerza es
independiente de la trayectoria
seguida,
entonces
el
trabajo
se
puede
expresar
en
la
forma
La
funcin
V(
x,y,z
)
se
llama
funcin
potencial
o
energa
potencial
.
Y
a
la
fuerza
se
llama
fuerza
conservativa
.
Si la partcula se desplaza en una
trayectoria cerrada el trabajo de la
fuerza
conservativa
es
nulo,
es
decir
1 2 1 1 1 2 2 2, , , ,U V x y z V x y z
0F dr
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FUERZAS CONSERVATIVAS Si los puntos estn muy prximos
A(x,
y,
z)
y
A(
x+dx
,
y+dy
,
z+dz
)
.
El
trabajo
elemental
ser
Es decir el trabajo de una fuerza
conservativa
es
una
diferencial
exacta
.
Utilizando
la
definicin
de
trabajo
, , , ,
( , , )
dU V x y z V x dx y dy z dz
dU dV x y z
, ,
x y z
x y z
x y z
V V VF dx F dy F dz dx dy dz
x y zV V V
F F Fx y z
V V VF F i F j F k i j k
x y z
F grad V
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CONSERVACIN DE LA ENERGA
Cuando una partcula se
mueve bajo
la accin de una fuerza
conservativa
,
la
suma
de
la
energa
cintica
y
la
energa
potencial de
la
partcula
permanece
constante
1 2 1 2 2 1
1 1 2 2
U V V T T
T V T V E
Donde E es la energa
mecnica
total
1 1
1 1
0,T V Wl
T V Wl
22 2
2 2
2, 0
2 2
W glmvT Wl V
g
T V Wl
-
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FUERZAS NO CONSERVATIVAS Si
sobre
una
partcula
actan
fuerzas
conservativas y no
conservativas
como por ejemplo
la fuerza defriccin, el trabajo
de sta ltima
depende
de
la
trayectoria
seguida
.
Por tanto para resolver
estos
problemas se usa la
ecuacinsiguiente
Si
sobre
la
partcula
actan
fuerzas
elsticas,
gravitacionales
y
fuerzas
no
conservativas como
el
rozamiento entonces
se
tiene
Donde
1 2 2 1
2
2 11
2 2
2 11 1
2
1 2 2 11
'
2 2 1 1
( ).
. .
.
nc c
nc c
nc
nc
U T T
F F dr T T
F dr F dr T T
F dr V V T T
U T V T V
'
g e ncT V V U
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
'
1
2
1
2
g
e
nc
T m v v
V mg h h
V k x x
U trabajo no conservativo
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MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZACENTRAL
Cuando sobre una partcula actauna fuerza central, puede aplicarse
losprincipiosdeconservacindela
energaydelmomentunangular.Es
decir0
0 0 0
0 0
2 2
0
0
Constant
sin sin
2 2
H
r mv rmv
T V T V
mv GMm mv GMm
r r
-
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MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZACENTRAL
Lasecuacionesanteriorestambinpuedenutilizarsepara determinarlosvaloresmximosymnimosderencasodeunsatlite lanzado
desdePoenlaformamostrada
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EJEMPLO 01 Uncollarde9kgdeslizasinrozamientoalolargodeunaguavertical
como se muestra en la figura. El collar unido al muelle tiene unalongitudnaturalde100mm yunaconstantede540N/m.Sielcollar
parte del reposo e la posicin 1, determine la velocidad del collar
cuandopasaporlaposicin2trashabersedesplazado150mm
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Solucin Aplicandoel principio de conservacin
de la energaentre lasposiciones1 y2 tenemos
Posicin1:
221 1
12 2
1
1
540 N m 0.1 m 2.7J
2.7 J
0
e
e g
V kx
V V V
T
Posicin2:
221 1
22 2
2
2 2 212 2 2 22
540 N m 0.15 m 6.1J
9)(9.81 N 0.15 m 13.3 J
(6.1 J) (13.35) 7.2 J
19 4.52
e
g
e g
V kx
V Wy
V V V
T mv v v
Conservacinde la energa:
1 1 2 2
2
20 2.7 J 4.5 7.2 J
T V T V
v
2 1.48 m sv
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Ejemplo 02 La pastilla de 200 g se comprime contra el muelle de
constantek=540N/myluegosesueltadesdeelreposoen A. Despreciando la friccin. Determine la menor
compresindelmuelleparaquelapastillarecorraelbucle
ABCDEsinperdernuncaelcontactoconelmismo
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Solucin
:n n
F ma
2
2 2 2 20.6 m 9.81m s 5.89m s
n D
D
W ma mg mv r
v rg
2 2 21 11 2 2
1
0 540 N m 270
0
e gV V V kx x x
T
2
212 2
0 (0.2)(9.81)(1.2) 2.35 J
1(0.2) (5.89) 0.589 J
2
e g
D
V V V Wy
T mv
1 1 2 2
2
0 270 0.589 J 2.35 J
T V T V
x
0.104 m 104 mmx
Cuando la pastilla pase por D su energacintica debe ser mnima y su velocidad y suenerga potencial es mxima
Aplicando el principio de conservacin se la
energa
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Ejemplo 03 Una esfera de masa M = 0,6 kg est unida a un cordn
elsticodeconstante k=100N/m, elcualtieneunalongitudnatural cuando la esferaestenel origenO. si la esferase
deslizasinrozamientoen lasuperficiehorizontal y queen la
posicinmostradasuvelocidades 20m/s. Determine:(a)las
distanciasmximaymnimadelaesferaalorigenOy(b)lasceleridadescorrespondientes
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0
0
0
Constant
sin 60
0.5 0.6 20 sin 60 0.6
8.66 (1)
A A m m
m m
m
m
H
r mv r mv
r v
vr
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1100 0.5 0.6 20 100 0.6
2 2 2 2
50 0.3 132.5 (2)
A A B B
m m
m m
V T V T
r v
r v
SOLUCIN Aplicando el principio deconservacin del momentum angularse tiene
Principio de conservacin de la energa.
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EJEMPLOSDE CAPITULO
El anillo A de 7 kg se desliza sin
rozamiento apreciable por la barra
vertical. Cuando el anillo parte del
reposodesde laposicinmsbaja,
sealada en la figura, se mueve
hacia arriba bajo la accin de unafuerzaconstanteF=250Naplicada
mediante el cable. Determine la
constanteKdel resorteparaque la
compresin del resorte quedelimitadasolo a 75mm. Laposicin
delapoleapequeaBesfija.
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EJEMPLO 002 Estando en reposo, se suelta
un collar de 12 kg sobre unavarilla gua lisa, de forma
circular, en la posicin en que
se muestra. El resorte tiene
una longitud natural sindeformacin de 800 mm y un
mdulode 40N/m. Determine.
(a) la velocidad del collar
cuando pase por el punto P y
(b) La fuerza que la varilla
ejercesobreelcollarenP
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EJEMPLO 003 Laesferade 60 kgrepresentada
en la figura est restringida amoverse en la barra lisa BC y
estconectadoalosresortesR1y R2. El mdulo de R1 es 600
N/mysulongitudlibrees2m.Elmdulo de R2 es 300 N/m y su
longitud libre es 2,5 m. En la
posicin A la velocidad de la
esferaes3m/senelsentidodedescenso. Determine la
velocidad de la esfera cuando
llegaalaposicinA.
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EJEMPLO 004 LosdosbloquesAyBde20kgcada
uno mostrados en la figura estn
conectadosmedianteunabarrargida
de500mmymasadespreciable,yse
mueven en ranuras lisas. En La
posicin representada el bloque A
desciende con una velocidad igual a0,2m/s yel resortedeconstante k=
3000 N/m est comprimido 100 mm.
Lamagnitudyladireccindelafuerza
F = 5 0 0 N no vara durante elmovimiento. Determine la velocidad
delbloqueAcuandoseencuentraen
el punto A o sea despus de
descender300mm.
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Ejemplo 006 La bola de 4kg y la varilla
livianaaellaunidarotanenunplano vertical en torno al ejefijo O. Si el conjunto seabandona desde el reposo en=0ysemuevebajolaaccinde la fuerza de 60N, que semantiene normal a la varilla,hallarlavelocidad vdelabolacuando tiendea90.Labola
puede tratarse como masapuntual.
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Ejemplo 011 Losdosbloquesrepresentadosen
lafiguraestnunidosmedianteunhilo inextensible y sin peso. Se
sueltan, partiendo del reposo,
cuando el resorte est
indeformado. Los coeficientes derozamiento esttico y cintico
valen 0,20 y 0,10,
respectivamente,determine:(a)la
mximavelocidadde los bloquesy el alargamiento que en esa
condicin, sufre el resorte, (b) la
mximacadadelbloquede25N.
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Ejemplo 012 Unavarillacirculardelgadasemantiene
inmvil en un plano vertical merced a
unsoporteA.Unidoaste,yarrollado
holgadamente alrededor de la varilla,
hayunmuelledeconstantek=44N/m
ylongitudnaturaligualaladelarcoAB.
Un cursor C de 225 g, no unido almuelle, puede deslizar sin rozamiento
porlavarilla.Sabiendoqueelcursorse
sueltadesdeelreposocuando=30,
determine.(a)laalturamximaalaque
llegaelcursorporencimadeB,(b)su
velocidadmxima.
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Ejemplo 010 Lamasadelanilloes2kgy
el mismo est unido alresorte de masadespreciablecuyarigidezes30 N/m y longitud natural
1,5m.ElanillosesueltaenA desde el reposo y subepor el vstago liso bajo laaccin de la fuerza
constante de 40 N.Determinelavelocidad vdelanillo cuando pasa por laposicinB.
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Ejemplo Uncursorde540gramos
puede deslizar por unaguasemicircularlisaBCD.El resorte tiene unaconstantede320N/mysulongitud natural es 200mm. Sabiendo que elcursorsesueltaenreposo
en B, halle: (a) suvelocidadalpasarporCy(b) la fuerzaqueenC leejercelagua.
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Ejemplo Los bloques A y B estn
unidos por un cable quetieneuna longitudde6,5mypasaporunapequeapolealisaC.Sielsistemasesueltadesdeel reposocuando xA = 4 m,determine la velocidadde
A cuando B llega a laposicin que se muestrapor medio de lneasinterrumpidas. Desprecie
lafriccin.
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ejemplo LabarralivianaestarticuladaenO aunejedegiroy
llevalasdosmasaspuntualesde2kgy4kg.Silabarraseabandonadesdeelreposocon =60yoscilaenelplanovertical.Determine:(a)lavelocidad vdelamasade2kginmediatamenteantesdechocarconelresorteenlaposicinmarcadaatrazosy(b)lacompresinmximaxdelresorte.Sesupondrquexespequeademodoquela posicin de la barra cuando comprimeel resorte esprcticamentehorizontal.
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Ejemplo El par de bloques representado en la figura estn
conectados medianteunhilo inextensibleysinpeso. El
resortetieneunaconstantek=1200N/m yunalongitudnaturalL0=30cm.Elrozamientoesdespreciable.Sisesuelta el sistema a partir del reposo cuando x = 0,determine:(a)laceleridaddelosbloquescuandox=10
cmy(b)Elmximodesplazamiento xmaxquealcanzarenelulteriormovimiento
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Ejemplo Unsaquitoquecontiene1,5
kgdebolitasestsujetoalextremodeun hilo de800mm de longitud, segn seindica en la figura. La
mxima tensin que puederesistir el hiloesPmx =30N. Si el muchacho sacalentamente el saco delestante,determineelngulo quegirarelsacoantesderomperehilo.
l
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Ejemplo Al sistema articuladose
aplica una fuerzahorizontalconstante P =700Ndel modoen quese indica. Estando laesfera de 14 kg inicialmente en repososobreelsoportecuando se aproxima al valorceroylabolaseacercaasuposicinmsalta.
Ej l
-
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Ejemplo Unacorrederade 1,5 kgestunidaaunmuelleydesliza
porunaguacircular lisasituadaenun plano vertical.El
resortetienenunalongitudnaturalde 150 mmyunaconstante k=400N/m.SabiendoquelacorrederaestenequilibrioenAcuandorecibeunleveempellnparaponerlaenmovimiento.Determinesuvelocidadcuando:(a)pasaporelpuntoBy(b)pasaporelpuntoC.Silacorrederase
encuentra en un plano horizontal Cul sera susrespuestas?.
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