volumen de sólidos en revolución
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Diseño y calculo del volumen, radio y altura de una lata cilíndrica de aluminio de refresco gaseoso, utilizando los programas Laboratorio de funciones y Modelador geompetrico del software Galileo.TRANSCRIPT
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La integral
Sólidos en revolución
Cálculo de volúmenes
Aplicaciones
Optimización
M. C. Arturo Vázquez Córdova
Cd. González, Tam., 17 de junio de 2011
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209
GRAL. MANUEL GONZALEZ ALDAMA
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Objetivo o resultado de aprendizaje
Al término del tema, los estudiantes serán capaces de
determinar el radio y la altura de un envase cilíndrico de
bebida gaseosa, utilizando los programas Laboratorio de
funciones y Modelador geométrico, que minimicen la
cantidad de material que se va a utilizar para su
construcción.
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Plan de trabajo del maestro
REGRESIÓN LINEAL COMO PROMEDIO
Herramienta de mediación pedagógica en entornos virtuales
COMPETENCIAS GENÉRICAS
Se autodetermina y cuida de sí
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue
Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
Se expresa y comunica
4. Se expresa y se comunica
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
• Piensa crítica y reflexivamente
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir
conclusiones y formular nuevas preguntas.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
• Trabaja en forma colaborativa
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de taraajo.
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COMPETENCIAS DISCIPLINARES
Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas
mediante la aplicación de procedimientos geométricos para
la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de
problemas matemáticos buscando diferentes enfoques.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un
proceso natural para determinar o estimar su
comportamiento.
Interpreta tablas, gráficas con símbolos matemáticos y
científicos.
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APERTURA
Examen diagnóstico
Instrucción: contesta las siguientes preguntas.
1. ¿Cómo se define el concepto de Área bajo una curva?
2. ¿Qué nombre reciben los elementos del área de la curva
de una gráfica?
3. ¿Cuál es el significado del término dx en la integral
definida?
4. ¿A que llamamos integral definida?
5.¿Qué significado tiene la expresión f(x) en la integral
definida?
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ESTRATEGIA DIDACTICA
El procedimiento para calcular áreas bajo la curva de la función y el volumen del sólido de revolución es el
siguiente:
1. Los estudiantes se integran en equipo de trabajo colaborativo con 4 alumnos como máximo.
2. El rol que juega cada estudiante en la construcción del conocimiento se centra en las
siguientes actividades.
• Un estudiante abre el programa Laboratorio de funciones y modela
matemáticamente la función.
• Un estudiante diseña la gráfica de la función y calcula el área bajo una curva.
• Un estudiante calcula el volumen del sólido en revolución, a partir de la gráfica.
• Un estudiante formula la conclusión en presentaciones pptx y envía el producto de
aprendizaje al monitor Galileo 16 para su evaluación.
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RECURSOS DIDACTICOS
1 Laboratorio virtual de Matemáticas
25 computadoras personales
1 pantalla de proyección
1 proyector multimedia
1 programa Laboratorio de funciones-
Galileo
1 pintarrón
3 plumones para pintarrón
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.
SITUACIÓN-PROBLEMA
Diseño industrial
Un envase de refresco de lata de aluminio
con tapa, de 350 ml de forma cilíndrica se pide
a un diseñador industrial su construcción.
Para ello se requiere optimizar su
construcción del envase minimizando las
perdidas del material para la elaboración.
Determine el radio y la altura de la lata de
aluminio.
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.
Modelación matemática
V = ¶r2
h h = V/2¶r2
(1)
Si V = 350 ml, entonces
h = 350/2¶r2
(2)
Tapas de la lata de aluminio
A = ¶r2
+ ¶r2
= 2 ¶r2
(3)
Área lateral
Al = 2¶rh …(4)
Área de la superficie
A(r) = ¶r2
+ ¶r2
+ 2¶rh (5)
A(r)= 2¶r3
+ (6)
r700
DESARROLLO
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Grafica
Fig. 1 El valor crítico r= 3.53 cn es el mínimo absoluto de la función
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ALTURA DE LA LATA
Sustituyendo el valor de r= 3.53 cm en la ec. (2) y resolviendo, se obtiene:
h= 350 cm3/3.1416*(3.53 cm)^2 = 8.94 cm
h = 8.94 cm
COMPROBACION
V = 350 ml
Por la ec. (6), sustituyendo y resolviendo, se obtiene
V = ¶ r2
h = 3.1416*(3.53)2
(8.94) = 349.97 cm ≈ 350 ml
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CierreResultados
Radio
r = 3.53 cm
Altura
h = 8.94 cm
Área de la tapa:
AT = ¶r2
= 3.1416(3.53 cm)2
= 39.14 cm2
Área del fondo:
AF = ¶r2
= 3.1416(3.53 cm)2
= 39.14 cm2
Área lateral:
AL = 2¶rh = 2(3.1416)(3.53 cm)(8.94 cm)
AL = 198.28 cm2
Área total:
AT = 2¶r3 +700/r = 2(3.1416)(3.53 cm)3
+700/(3.53 cm) = 54805.90
cm2
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8.94 cm
R = 3.53 cm
Fig.2 Lata de refresco de aluminio de refresco gaseoso
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Fig. 3 Lata de refresco de aluminio de 350 ml en 3D
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Conclusiones
El laboratorio de funciones nos permite trazar la gráfica de la
función A(x) = 2¶r3
+ 700/r, como se muestra en la Fig. 1
El valor crítico del radio es 3.53 cm, donde se minimiza la función
El valor de la altura es 8.94 cm.
El volumen del cilindro de aluminio es de 350 ml, como se
observa en la Fig. 2.
El volumen del sólido en revolución se muestra en la Fig. 3,
utilizando como herramienta el modelador geométrico.