vibraciones y ondas 2014

8/13/2019 Vibraciones y Ondas 2014

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VIBRACIONES Y ONDASVIBRACIONES Y ONDAS

1

Física.

TEMA 1.

2º Bachillerato.

Física

ESQUEMA DE LA UNIDADESQUEMA DE LA UNIDAD

•• 1. EL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)1. EL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

1.1 DINAMICA DEL M.A.S1.1 DINAMICA DEL M.A.S

Física.

2

•• 2. ENERG A DEL M.A.S2. ENERG A DEL M.A.S

•• 3. EJEMPLO DE OSCILADOR ARMÓNICO: EL PÉNDULO.3. EJEMPLO DE OSCILADOR ARMÓNICO: EL PÉNDULO.

•• 4. EL CONCEPTO DE ONDA.4. EL CONCEPTO DE ONDA.

•• 5. ONDAS ARMÓNICAS.5. ONDAS ARMÓNICAS.

•• . ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS.. ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS.

•• !. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. INTER"ERENCIAS.!. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. INTER"ERENCIAS.

•• #. ONDAS ESTACIONARIAS.#. ONDAS ESTACIONARIAS.

•• $. PRINCIPIO DE %U&GENS. DI"RACCIÓN' RE"LEIÓN & RE"RACCIÓN.$. PRINCIPIO DE %U&GENS. DI"RACCIÓN' RE"LEIÓN & RE"RACCIÓN.

•• 1. EL SONIDO.1. EL SONIDO.

1.1 CUALIDADES DEL SONIDO.1.1 CUALIDADES DEL SONIDO.

•• 11. E"ECTO DOPPLER.11. E"ECTO DOPPLER.



Física.

3

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S)1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S)

Descripción cinemática del m.a.s.Descripción cinemática del m.a.s.Descripción cinemática del m.a.s.Descripción cinemática del m.a.s.

• Un sistema constituye un oscilador

armónico cuando “oscila” entre dos

ambos lados de la posición de

equilibrio.

• Al acercarse al punto de equilibrio ,

el cuerpo aumenta su velocidad ,

pasando por él, a la velocidad máxima.

• Al alejarse del punto de equilibrio, va A 2

ey de "oo#e

$ % & ' x

sm nuyen o su ve oc a , e orma

que en los extremos se detiene y cambiael sentido del movimiento, a la

velocidad máxima.

A

A

A 1

Posicióndeequilibrio

(ada ve) que el cuerpo vuelve a la posición de partida moviéndose

en el mismo sentido, decimos que *a efectuado una oscilación y en ello

*a invertido un tiempo constante, el per+odo.

4

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) (II)1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) (II)

.

l insecto posee un -(U, pero cómo es el movimiento de su

sombra/. 0nicialmente solo podemos decir que es rectil+neo

Física.

ero se3n lo visto anteriormente podemos ver querealmente es un m.a.s. El m.a.s se puedeconsiderar como la proyección del m.c.u

Una part+cula describe un movimiento vibratorio uoscilatorio cuando se despla)a sucesivamente a un lado y a

otro de su posición de equilibrio repitiendo a intervalos

reulares de tiempo sus variables cinemáticas 4posición,

velocidad, aceleración5.6



Física.

5

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (III)1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (III)Ecuación del movimiento vibratorio armónico simpleEcuación del movimiento vibratorio armónico simpleEcuación del movimiento vibratorio armónico simpleEcuación del movimiento vibratorio armónico simple

P0•

P

A ωt2+ϕ0

o− A + A

x1 x2P’

A

− A + A

P

o P’

x = A sen (ωt+ϕ0)

• a ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento

circular sobre una recta

- % :

1+ϕ0

- 7i la proyección se reali)a sobre el e8e y, resulta9 y % A sen 4ωt:ϕ; 6

• Elongación x: <istancia en un instante dado al punto de equilibrio

• Amplitud A: lonación máxima. l valor de x var+a entre &A y :A

• Fase θθθθ: <escribe el movimiento anular en el punto . θ = ( ω ωω ω t+ ϕ ϕϕ ϕ !

• Fase inicial ϕϕϕϕ: <etermina la elonación inicial9 x; % x 4t % ;6 % A sen ϕ;

7i sale desde el punto de equilibrio x x = = ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ 00 = 0 = 0 . Si sale desde un Extremo x x 0 0 = A= A ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ 00 == π π /2. /2.

Física.

6

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (IV)1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (IV)

Características del m.a.s. como movimiento periódicoCaracterísticas del m.a.s. como movimiento periódicoCaracterísticas del m.a.s. como movimiento periódicoCaracterísticas del m.a.s. como movimiento periódico

P

A

• os movimientos que se repiten en intervalos de

tiempos iuales se denominan periódicos

o

• El per"odo (#! es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dic*o

=

x = A sen ωt = A sen (ωt + 2π)⇒

+=

ω

π ω

2t sen A x

• l m.a.s. se repite cada per"odo9 ω

π= 2

T

θ + 2π

θx

1 P’

+ A− A

.

• $a %recuencia (%! es la inversa del per+odo e indica el n3mero de veces que se

repite una posición en cada seundo. 7e mide en 4s&1 6 o "ert)ios 4")6

f π ω 2=T

f 1=

π

ω

2= f

• $a %recuencia angular o pulsación (ω! se mide en 4radianes=seundo6



Física.

7

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (V)V)

Velocidad en el movimiento vibratorio armónico simpleVelocidad en el movimiento vibratorio armónico simpleVelocidad en el movimiento vibratorio armónico simpleVelocidad en el movimiento vibratorio armónico simple

• <erivando la ecuación eneral del m.a.s., x % A sen 4ωt : ϕ; 6 resulta9

)(cos ϕ ω ω +== t Adx

v

)()(100

2222 ϕ ϕ ω ω ω ω +−±=+−±= t t Av sen A Asen

sen2α + cos2α = 1 ⇒ cos (ωt+ϕ0) = )(10

2

ϕ ω +− t sen⇒

• Como x = A sen (ωt+ϕ0) ⇒ x2 = A2 sen2 (ωt+ϕ0)

xV

2−±=

• La velocidad es máxima cuando x = 0

Vmáx = A ω

l columpio se detiene en los extremos. n el

centro alcan)a su máxima velocidad

8

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (VI)VI)Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del m.a.s.Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del m.a.s.Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del m.a.s.Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del m.a.s.

Una partícula lleva el movimiento dado por la expresión . Calcular:

π+=4

t2sen5x

a) La posición cuando t = 0,1 s

b) La velocidad en ese instante

Física.

c) El período, la amplitud y la frecuencia

a) Cálculo de la posición cuando t = 0,1 s

b) Cálculo de la velocidad en ese instante

⇒=

π+=

π+= 167,4

41,0.2sen5

4t2sen5x

⇒=

π

+=

π

+= 525,51,0.2cos10t2cos10x

x = 4,167 m

v = 5,525 m/s

c) Cálculo del período, amplitud y frecuencia

Período: ⇒π=π

=ωπ

=2

22T

Amplitud:

T = π s

A = 5 m

Frecuencia: ⇒==π

11

T f Hz f

π

1=



9

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (VII)VII)Aceleración del movimiento vibratorio armónico simpleAceleración del movimiento vibratorio armónico simpleAceleración del movimiento vibratorio armónico simpleAceleración del movimiento vibratorio armónico simple

X=A

x >0v >0

x >0v =0a <0

x >0v <0

x =0

Física.

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

X=0

X=−Aa >0

• &erivando la ecuación de la velocidad9 v % A ω cos 4ωt : ϕ 6 resulta9

a <0

x =0v <0a =0 x <0

v <0a >0

x <0v >0a >0

a =0

x <0v =0

Como x = A sen (ωt + ϕ0)

⇒ a = − ω2 x

• El valor m'ximo se alcan)a en los extremos, en los que x % ± A ⇒ amáx = ± ω2 A

s proporcional a la elonación, máxima en los extremos y nula en el centro

)(0

22

2

ϕ ω ω +−=== t sen Ad

xdt dva

t d

10

1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S)1 MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) (VIII)(VIII)Aplicación al cálculo de la velocidad y aceleración máximaAplicación al cálculo de la velocidad y aceleración máximaAplicación al cálculo de la velocidad y aceleración máximaAplicación al cálculo de la velocidad y aceleración máxima

Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotadode movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y período 2 s

Partiendo de la ecuación eneral ara la osición del unto dotado de m.v.a.s. al

Física.

a) Cálculo de la velocidad máxima:

efectuar la primera derivada se obtiene la velocidad, y al efectuar la segunda derivada

se obtiene la aceleración

( )ϕ += t sen A xLa posición:

( )ϕ ω ω += t Av cos.La velocidad:

La aceleración: ( )ϕ ω +−= t sen Aa .2

b) Cálculo de la aceleración máxima:

ω= .Avmáx

s / rad2

2

T

2π=

π=

π=ω

⇒ s / m314,0.10,0vmáx =π=

⇒= ω2máx

.Aa s / m.10,0 22máxa π=



11

1.1 DINÁMICA DEL M.A.S1.1 DINÁMICA DEL M.A.S

Dinámica del movimiento vibratorio armónico simpleDinámica del movimiento vibratorio armónico simpleDinámica del movimiento vibratorio armónico simpleDinámica del movimiento vibratorio armónico simple

• 7e3n la ley de "oo#e9 F = ) x

• or la seunda ley de >e?ton9 F = m a % m ω ωω ω * x

⇒ k = m ω2

Física.

• 7i x = ⇒⇒⇒⇒ F = 4no aparecen fuer)as6

• 7i el móvil se encuentra fuera de la posición

de equilibrio, la %uera que act3a sobre él

está diriida desde el punto en que se

encuentra a la posición de equilibrio

• a fuer)a tiene el sentido contrario

O

x

x

→

F

a esp aam en o

ωπ= 2T

m

k=ω

⇒

m

k f

T f

π 2

11=⇒=

k

m2T π=

→

F

l per"odo y la %recuencia de un oscilador

sometido a una fuer)a elástica depende de su

constante recuperadora y de su masa , pero no

depende de la amplitud del movimiento.

Física.

12

2 ENERGÍA DEL M.A.S2 ENERGÍA DEL M.A.S

Enería cin!tica del oscilador armónicoEnería cin!tica del oscilador armónicoEnería cin!tica del oscilador armónicoEnería cin!tica del oscilador armónico

• Aplicando la definición de ener+a cinética9 1 22

)(

2

1

2

1

0cos

2222

ϕ ω ω +== t mm Av E c

• or las relaciones trionométricas9

• 7i x % ; ⇒ energ"a cin,tica m'xima

2

[ ]xAm2

1E

222c −ω=

Am2

E 22

máx,c ω=



Física.

13

2 ENERGÍA DEL M.A.S (II)2 ENERGÍA DEL M.A.S (II)

Enería potencial del oscilador armónicoEnería potencial del oscilador armónicoEnería potencial del oscilador armónicoEnería potencial del oscilador armónico

• or tratarse de fuer)as centrales9

Aωm21 22

• 0nterando entre dos posiciones A y @9

= p = − =

xk2

1xk

2

1dxxkEE 2

A2BB,PB,P

x

x

B

A

−=∫=−

• -ara cada posición , la p es de la forma9

1 2)(

2 0

ϕ ω += t m sen A E P

• Es m'xima cuando sen 4ωt : ϕ; 6 % ± 1

Am2

1E

22máx,P

ω=

xm

2

Ep ω=

Física.

14

2 ENERGÍA DEL M.A.S (III)2 ENERGÍA DEL M.A.S (III)

Conservación de la enería mecánica en el oscilador armónicoConservación de la enería mecánica en el oscilador armónicoConservación de la enería mecánica en el oscilador armónicoConservación de la enería mecánica en el oscilador armónico

• a ener+a total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la

energ"a cin,tica y potencial

=1 222

= 1 222

• 7acando factor com3n9

p c 2 0 2 0

[ ])t(sen)t(cosAm2

1E

002222 ϕ+ω+ϕ+ωω=

• 7implificando9

1

Am2

EEE cp ω=+=

n el oscilador armónico, la ener+a

mecánica permanece constante en

cualquier instante



Física.

15

2 ENERGÍA DEL M.A.S (IV)2 ENERGÍA DEL M.A.S (IV)Aplicación al cálculo de enerías de un m.a.s.Aplicación al cálculo de enerías de un m.a.s.Aplicación al cálculo de enerías de un m.a.s.Aplicación al cálculo de enerías de un m.a.s.

Un oscilador de 2 kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una amplitud de 3 m y comienzasu movimiento en la posición de equilibrio. ¿En qué posición se encuentra cuandosu energía potencial es la mitad de su energía cinética?

• La frecuencia angular de este movimiento es:

• Si la Ec = 2Ep la energía total es: E3EEAm2

1E ppc

22 =+=ω=

de donde la Ep será: AE 22

p m6

1ω=

ω = 2π ν = 80 π rad/s

• Como en general, la expresión de la Ep es: xm21E 22

p ω=

• Igualando y simplificando ambas expresiones: ⇒=3

Ax

22 m3x =

Física.

16

3 EJEMPLO DE OSCILADOR ARMONICO: EL PÉNDULO.3 EJEMPLO DE OSCILADOR ARMONICO: EL PÉNDULO.El p!ndulo simple como oscilador armónicoEl p!ndulo simple como oscilador armónicoEl p!ndulo simple como oscilador armónicoEl p!ndulo simple como oscilador armónico

• (onsiste en un .ilo inextensible de masa despreciable suspendida de un

extremo del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual

• uede considerarse como un m.a.s. si la

Eje Y: T – Py = m an

Eje X: Px = m ax ⇒ – mg sen θ = m ax

separación de A del punto de equilibrio es tan

pequeBa como para despreciar la curvaturade la trayectoria

ax = – g θ• ara 'n ulos e ue/os , sen θ = θ

• 7implificando resulta9 – g sen θ = ax⇒ m

y

T

θ

L

x

P = – m sen θ

• 7ustituyendo el ánulo por el arco9

θ L = x ⇒ xL

gax −=

xa 2ω−=

⇒

L

g2 =ω

g

L2T π=

P= mg θ

y= mg cos

l per"odo C de la oscilación pendular.



Física.

17

3 EJEMPLO DE OSCILADOR ARMONICO: EL PÉNDULO (II)3 EJEMPLO DE OSCILADOR ARMONICO: EL PÉNDULO (II)Estudio ener!tico del p!nduloEstudio ener!tico del p!nduloEstudio ener!tico del p!nduloEstudio ener!tico del p!ndulo

• (uando el péndulo está parado en uno delos extremos de su trayectoria , toda la

ener +a almacenada es E = m h

• Al pasar por el punto m's bajo de su

trayectoria, toda la ener+a almacenada

es (

• $a suma de ambas indica el valor de su

ener+a en cualquier punto intermedio de

su trayectoria

vm2

1E

2c = h

% p % m*

vm

2hgm

EEE

2

cP +=

+=

• a relación entre su altura máxima y la

velocidad es9

hg2vvm2

1hgm 2 =⇒=

→

v

% c % D mv2

18

4 EL CONCEPTO DE ONDA.4 EL CONCEPTO DE ONDA.

El concepto eneral de movimiento ondulatorioEl concepto eneral de movimiento ondulatorioEl concepto eneral de movimiento ondulatorioEl concepto eneral de movimiento ondulatorio

• Al despla)ar un tro)o del muelle en sentido

longitudinal y soltarlo, se produce una

Física.

osc ac n que se propaa a o as as par es

del muelle comen)ando a oscilar

• 7i en una cuerda tensa *ori)ontal, se *ace

vibrar uno de sus extremos, la altura de ese

punto var"a periódicamente

• Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación de aluna manitud

f+sica a través del espacio. 7e suele denominar onda a la propia perturbación

• l movimiento ondulatorio no transporta materia , lo que se propaa es la perturbación

• as part+culas del medio alcan)adas por ésta, vibran alrededor de su posición de

equilibrio

Un movimiento ondulatorio es una forma de transmisión de ener+a, sin transporte neto de

materia, mediante la propaación de aluna perturbación. sta perturbación se denomina onda.



• 0ec'nicas: 7on las ondas que necesitan unmedio material que sirva de soporte a laperturbación que se propaa. 7on ondas

Física.

19

Clasificación de las ondas se"n su naturale#a.Clasificación de las ondas se"n su naturale#a.Clasificación de las ondas se"n su naturale#a.Clasificación de las ondas se"n su naturale#a.

4 EL CONCEPTO DE4 EL CONCEPTO DE ONDA (II)ONDA (II)

mecánicas el sonido y las ondas que sepropaan en la superficie del aua, en unacuerda o en un muelle.

• Electromagn,ticas: 7on ondas que nonecesitan un medio material para supropaación pueden propaarse en el vac+o.os rayos E, la lu) visible o los rayos ultravioletason e8emplos de ondas electromanéticas.l medio de propaación de las olas que son

ondas mecánicas, es el océano..

Las ondas mecánicas precisan un medio material Las ondas mecánicas precisan un medio material Las ondas mecánicas precisan un medio material Las ondas mecánicas precisan un medio material para su propagación; las ondas electromagnéticas para su propagación; las ondas electromagnéticas para su propagación; las ondas electromagnéticas para su propagación; las ondas electromagnéticas

pueden propagarse en el vacío pueden propagarse en el vacío pueden propagarse en el vacío pueden propagarse en el vacío

Física.

20

Clasificación de las ondas se"n la dirección de propaaciónClasificación de las ondas se"n la dirección de propaaciónClasificación de las ondas se"n la dirección de propaaciónClasificación de las ondas se"n la dirección de propaación

• a dirección de propaación coincide con la dirección de

LONGITUDINALES

4 EL CONCEPTO DE ONDA (III)4 EL CONCEPTO DE ONDA (III)

la perturbación

l sonido, las ondas s+smicas y las que se propaan en unmuelle, son ondas lonitudinales

TRANSVERSALES

• a dirección de propaación es perpendicular a la dirección enque tiene luar la perturbación

as ondas en una cuerda, las ondas electromanéticas y las

ondas s+smicas 7, son ondas transversales



21

$ndas armónicas. %unción de onda$ndas armónicas. %unción de onda$ndas armónicas. %unción de onda$ndas armónicas. %unción de onda

• Una onda armónica es la propagación de una perturbación oriinada por un m.a.s.

ONDAS ARMÓNICAS. ONDAS ARMÓNICAS. Física.

y

o x

armónica 4seno o coseno6

• os puntos que en un instante tiene

elonación máxima se denominan vientres

• Aquellos que tienen elonación nula se

denominan nodos

•

A

-A

•

•P

xp

nodo

vientre

a unc n e on a es a ecuac n que escr e un mov m en o on u a or o y

representa el valor de la elonación para cada punto del medio en función del tiempo.

• $a elongación del punto F en cualquier instante t es: y0 (t) = A sen (ωt + φo)

• $a ecuación de onda o función de onda es9 ( )okxt sen At x y ϕ +−=),(

• 1 es el numero de onda:

=

m

rad k

λ

π 2 • (ωt – kx +φo) Es la %ase de onda.

Física.

22

&eríodo temporal&eríodo temporal&eríodo temporal&eríodo temporal

• Cambién denominado per"odo (#! es el intervalo de tiempo que transcurre entre

dos estados idénticos y sucesivos de la perturbación en un punto

• (oincide con el er+odo del m.a.s. del foco de la erturbación

ONDAS ARMÓNICAS (II) ONDAS ARMÓNICAS (II)

P•

PantallaRendija

•

• 7i se tiene un punto a una distancia x del foco vibrante, la función de onda para x constante

es9 ξ4x, t6 % ξ4t6. $a elongación de - solo depende de t

• Al colocar una pantalla con una rendi8a perpendicular a la cuerda, lo que equivale a *acer xconstante, se observa como el punto describe un m.a.s.



23

'onitud de onda'onitud de onda'onitud de onda'onitud de onda

• a lonitud de onda 4λ 6 es el intervalo de lonitud entre dos puntos sucesivos que se

encuentran en idéntico estado de perturbación

ONDAS ARMÓNICAS (III) ONDAS ARMÓNICAS (III) Física.

• Características de una onda :

λ

f λλλλλλλλ===

Tv

t

x

amp u

frecuencia (f) que es la inversa del período

período (T)

velocidad de propagación (v)

longitud de onda (λλλλ)

24

Expresión de la intensidad de una ondaExpresión de la intensidad de una ondaExpresión de la intensidad de una ondaExpresión de la intensidad de una onda

•••• Una onda transporta energ"a desde el foco emisor al medio. ara caracteri)ar la

propaación de la ener+a por la onda se define la manitud denominada intensidad

! ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS.! ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS.Física.

S

P

tS

EI ==

a n ens a e una on a en un pun o es a ener a que pasa en ca a un a e empo

por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propaación

• a intensidad es una potencia por unidad de super%icie

• a unidad de intensidad es W m-2

• 7e llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda.

• Una onda se amortiua a medida que avan)a, por dos causas9 la absorción del medio y laatenuaci n con la distancia

l tipo de material con que se revisten las

paredes de las salas de audición musical, condiciona

la cantidad de sonido que se recibe, ya que absorben

de diferente rado las ondas sonoras.



25

Amortiuación de ondas( atenuaciónAmortiuación de ondas( atenuaciónAmortiuación de ondas( atenuaciónAmortiuación de ondas( atenuación

Atenuación

! ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS (! ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS (IIII))Física.

• 7e producen ondas esféricas cuyo frente sepropaa en todas direcciones del espacio

• ste fenómeno se produce aunque no *aya

disipación de ener+a al medio, y se debe

exclusivamente a una cuestión eométrica

• a intensidad de la onda esférica en el punto

@1 que dista r1 del foco emisor $ es9P

=

F

B2

B1

r1

r2

r4 21

1 π

• G en el punto @2 que dista r2 del foco emisor $ 9

r4

PI

22

2π

=

• or tanto,rr

AA

r

r

I

I

1

2

2

12

1

2

2

2

1 =⇒= (omo la ner+a es proporcional

al cuadrado de la amplitud, también

debe serlo la intensidad.

Física.

26

" SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. INTER#ERENCIAS." SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. INTER#ERENCIAS.

)uperposición de ondas. &rincipio de superposición)uperposición de ondas. &rincipio de superposición)uperposición de ondas. &rincipio de superposición)uperposición de ondas. &rincipio de superposición

• (uando n movimientos ondulatorios, descritos cada uno de ellos por su ecuación

de ondas ξξξξi , inciden simultáneamente en un punto, la %unción de ondaresultante es la suma de las %unciones de onda de cada uno de ellos9

ξξξξ = ξξξξ1 + ξξξξ2 + ... + ξξξξn = ΣξΣξΣξΣξi

•

ste proceso de adición matemática de funciones de onda armónicas, se denomina

superposición

movimientos ondulatorios coinciden al mismo tiempo en un punto, pero conlleva

la dificultad de sumar funciones trionométricas en el caso de las ondas

armónicas. ara salvar este inconveniente, $resnel elaboró un métododenominado construcción de Fresnel que permite tratar las ondas como

vectores



Física.

27

" SUPERPOSICIÓN DE" SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. INTER#ERENCIAS (II)ONDAS. INTER#ERENCIAS (II)

*nterferencias*nterferencias*nterferencias*nterferencias

• os fenómenos de interferencia

ocurren cuando un punto del

7us efectos f+sicos no son aditivos.

&

mente por dos o más ondas

• Aunque las funciones de onda se

sumen, sus efectos f+sicos no son

aditivos , lo que da luar a los

fenómenos de interferencia

• a suma de varias perturbaciones en

un unto uede dar como resultado Cuando las dos ondas se separan

una perturbación nula

Ejemplo: luz + luz = oscuridad

• (omo la función de onda ξξξξ depende de la posición x y del tiempo t , los fenómenos

de interferencias pueden estudiarse en el espacio o en el tiempo

0nterferencias en la superficie del aua.

Un punto de un medio alcanzado simultáneamente por dos ondas que se propagan por él experimenta una

viración que es suma de las que experimentaría si fuera alcanzado por cada una de las ondas por separado!

espués de la interferencia, continúan

su propagación sin sufrir modificación alguna!

Física.

28

$ ONDAS ESTACIONARIAS.$ ONDAS ESTACIONARIAS.

• "asta a*ora *emos supuesto que las ondas se propaan en medios abiertos o ilimitados. Unmedio se considera abierto cuando la propaación no encuentra nin3n obstáculo que refle8e lasondas *acia la fuente emisora.

• 7i un tren de ondas se encuentra con una frontera, la parte re%lejada inter%iere con la parteincidente del tren de ondas. ste fenómeno oriina ondas estacionarias.

• 2uando en un medio el'stico inter%ieren dos ondas armónicas de la misma%recuencia3 amplitud3 velocidad y naturalea3 que se propagan en la misma

n a e ac onar a como n er erenc a e una on a nc en e # e a on a re e a a!

dirección y sentidos opuestos3 se %orma una onda estacionaria.

• or e8emplo, en la cuerda de una guitarra se eneran ondas estacionarias las ondas que se

forman en dic*a cuerda se refle8an en los extremos fi8os de tal manera que en todo momentoexisten ondas moviéndose en ambos sentidos 4Her fiura6

• Estas ondas reciben el nombre de estacionarias porque el per%il de la onda no sedesplaa debido a que existen puntos %ijos o nodos 43 para los cuales la amplitud escero y otros3 llamados vientres3 53 para los cuales es m'xima.



29

$ ONDAS ESTACIONARIAS (II)$ ONDAS ESTACIONARIAS (II)$ndas estacionarias$ndas estacionarias$ndas estacionarias$ndas estacionarias

• as ondas estacionarias se forman al interferir dos ondas de iuales caracter+sticas

que se propaan en la misma dirección pero en sentidos contrarios

• 7e deben a la reflexión en el l+mite de separación de dos medios diferentes de una onda

Física.

ξξξξ1 = A1 sen (ωωωωt – kx) ξξξξ2 = A2 sen (ωωωωt + kx)

confinada en un espacio determinado 4ondas en la cuerda de una uitarra6

• 7e denominan estacionarias porque dan luar a un patrón de vibración estacionario

• as ecuaciones de las ondas que interfieren son9

• a onda resultante ξ es9 ξξξξ = ξξξξ1+ ξξξξ2 = A1 sen (ωωωωt – kx) + A2 sen (ωωωωt + kx)

• ara determinar esta ecuación de onda *ay que tener en cuenta las condiciones de l+mite. Un

l+mite puede ser fi8o 4como en una cuerda con uno de sus extremos clavado a una pared6, olibre 4como el extremo abierto de un tubo de órano6

- En un límite fijo: la onda estacionaria presenta un nodo porquelas partículas no pueden vibrar

- En un límite libre: la onda estacionaria presenta un vientreporque las partículas vibran

30

E+emplo de cómo obtener la ecuación de onda estacionaria para una cuerda.E+emplo de cómo obtener la ecuación de onda estacionaria para una cuerda.E+emplo de cómo obtener la ecuación de onda estacionaria para una cuerda.E+emplo de cómo obtener la ecuación de onda estacionaria para una cuerda.

Física.$ ONDAS ESTACIONARIAS ($ ONDAS ESTACIONARIAS (III)III)

%ormación de ondas estacionarias en una cuerda

• 7ea y14x,t6 % A I sen 4ωt : #x6 la onda que se propaa en una cuerda. sta onda al llear alpunto fi8o se refle8ará produciéndose en ella un cambio de fase de 1J; K de forma que laelonación resultante en ese punto sea cero 4Her fiura6. or tanto, la onda refle8adatendrá la ecuación y24x,t6 % &A I sen 4ωt & #x6. <e la superposición de estas dos ondas,incidente y refle8ada, resulta la onda estacionaria siuiente.

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)

i$a por un extremo!

A * +,- (/0 ) A * +,- (/ )

Ceniendo en cuenta la relación trionométrica9 sen a L sen b % 2 sen 4a&b=26 cos 4a: b=26

y (x,t) = 2 A · sen (kx) · cos (ωt)

Ecuación de la onda estacionaria.



• cuación de onda stacionaria y (x,t) = 2 A · sen (kx) · cos (ωt)

• sta ecuación la podemos expresar de la siuiente forma:

Física.

31

)ucesión de nodos del e+emplo)ucesión de nodos del e+emplo)ucesión de nodos del e+emplo)ucesión de nodos del e+emplo

$ ONDAS ESTACIONARIAS ($ ONDAS ESTACIONARIAS (IV)IV)

y (x,t) = Ar · cos (ωt), siendo Ar =2 A · sen (kx) la amplitud resultante.

• 7e trata de la ecuación de un m.a.s. Codos los puntos de la cuerda están animados demovimiento armónico sin que el perfil de la onda se desplace. a amplitud de una ondaestacionaria depende exclusivamente de la locali)ación de las part+culas en el medio.

• os puntos de máxima amplitud reciben el nombre de vientres y los puntos de amplitudnula se llaman nodos.

• n el caso de los nodos, Ar = . or tanto, sen #x % ; #x % nπ.

• 42π=λ 6x%nπ x = n (λ6*!

• 7i empe)amos a contar la distancia desde el punto en donde se produce la reflexión9n = x =7 primer nodo8 est' situado en el punto -

n = 9 x = 6* segundo nodo

n = * x = tercer nodo3 etc.

• $a distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda.

Física.

32

)ucesión de vientres del e+emplo)ucesión de vientres del e+emplo)ucesión de vientres del e+emplo)ucesión de vientres del e+emplo

$ ONDAS ESTACIONARIAS$ ONDAS ESTACIONARIAS (V)(V)

• os vientres, Ar = 9. or tanto, sen #x % 1 #x % 42n : 16 π=2.

%ormación de ondas estacionarias en una cuerda fi$a por los dos extremos!

• π x% n : π x = n

• 7i empe)amos a contar la distancia desde el punto en donde se produce la reflexión9

n = x = 6 primer vientre8 est' situado a 6 del punto -

n = 9 x = ; 6* segundo nodon = * x = < 6* tercer nodo3 etc.

• $a distancia entre vientres consecutivos es media longitud de onda.



Física.

33

% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN '% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN 'RE#RACCIÓN.RE#RACCIÓN.

&rincipio de uyens&rincipio de uyens&rincipio de uyens&rincipio de uyens

• 7e denomina %rente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son

alcan)ados por una onda al mismo tiempo en consecuencia, todos los puntos de un frente de

onda tienen la misma fase

• as l+neas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos

Frente deonda plano

Frente de ondaesférico

Frente de onda plano

Frente plano Frente esférico

-rincipio de uygens. Codo punto de un frente de onda se convierte en un centro

puntual productor de ondas elementales secundarias, de iual velocidad y frecuencia

que la onda inicial, cuya superficie envolvente constituye un nuevo frente de onda.

34

% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN '% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN 'RE#RACCIÓN (II)RE#RACCIÓN (II)DifracciónDifracciónDifracciónDifracción

• Un observador percibe la lu) de un foco aunque no pueda

verlo directamente, y oye los sonidos de un altavo)

aunque se encuentre detrás de un obstáculo

Física.

&ifracción de ondas planas en la cueta de ondas!

s e en meno se enom na

• a difracción de ondas se produce cuando la onda seencuentra con un obstáculo cuyo tamaBo es del mismo

orden de manitud que su lonitud de onda. l obstáculo

puede ser una rendi8a, un borde recto, un disco, una

abertura, etc un con8unto de rendi8as con una anc*ura

adecuada se llama red de di%racción

• uede observarse la difracción de ondas en la superficie

una abertura al producir una perturbación en uno de

ellos, se observa que al llear a la abertura de separación

se propaa por el seundo medio, de acuerdo con elprincipio de "uyens

• $a di%racción de la lu no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben ser

muy pequeBos 4del orden de la lonitud de onda de la lu)9 M;;&N;; nm6

$a di%racción es la desviación en la propaación rectil+nea de las ondas, cuando éstas

atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo.



35

% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN '% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN 'RE#RACCIÓN (III)RE#RACCIÓN (III)

-efracción de ondas-efracción de ondas-efracción de ondas-efracción de ondas

• a refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar laonda de un medio a otro di%erente. 7i el medio no permite la transmisión de una onda a

través de él, se dice que es un medio opaco para ese movimiento ondulatorio

Física.

Medio 1

Medio 2

A

A’

i

i

Medio 1

Medio 2

A

A’

i

i

B’r

Refracción de un frente de ondas AA’

r

12'B'AAB

v

'B'A

v

ABtt =⇒=

∧= rsen'ABAB

∧= isen'AB'B'A

21 v

rsen

v

isen∧∧

=⇒ (Ley de Snell)

Física.

36

% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN '% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN 'RE#RACCIÓN (IV)RE#RACCIÓN (IV)

'eyes de la refracción'eyes de la refracción'eyes de la refracción'eyes de la refracción

• La dirección de incidencia de las ondas, la

dirección de salida y la normal a lasuperficie de separación de ambos mediosestán en un mismo plano

• El ángulo de incidencia y el ángulo derefracción están relacionados por:

21 v

rsen

v

isen=

Refracción en la cubeta de ondas



37

% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN '% PRINCIPIO DE &U'GENS. DI#RACCIÓN RE#LEIÓN 'RE#RACCIÓN (V)RE#RACCIÓN (V)

-eflexión de ondas-eflexión de ondas-eflexión de ondas-eflexión de ondas

A’N

• a reflexión de ondas es el

cambio de la dirección de

propaación al incidir la

Física.

Aseparación de dos medios

diferentes después de la

reflexión, la onda continua

su propaación en el mismo

medio

• (omo tAO@O % tA@ , siendo v la velocidad de

propaación de las ondas, resulta9

''AB'B'A

==

Bi r A’

eyes de la reflexión

vv

• Los triángulos AA’B’ y AA’B son iguales, y también lo serán los ángulos yi r

• a dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal a la

superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano

• l ánulo de incidencia es iual al ánulo de reflexión

B’A

• a ac>stica es la ciencia que estudia la producción, lapropaación y la recepción del sonido.

• -roducción del sonido: (uando un %oco emisor , como unacampana o una cuerda vocal, vibra, las vibraciones setransmiten a las part"culas del medio contiguas al

38

Física.1*. EL SONIDO.1*. EL SONIDO.

.periódicamente se producen as+ comprensiones y dilatacionesque se propaan a través del medio. <e esta manera seoriina una onda sonora.

• -ropagación del sonido: as ondas sonoras necesitan unmedio en el que propaarse, por lo que son ondasmec'nicas. 7e propaan en la misma dirección en la quetienen luar las comprensiones y dilataciones del medio9 sonondas longitudinales.

de la distancia entre las part+culas del medio por tanto, es eneneral mayor en los sólidos que en los l+quidos, y en estos, asu ve), mayor que en los ases.

'l sonido está producido por las viraciones de un foco emisor! 'l sonido está producido por las viraciones de un foco emisor! 'l sonido está producido por las viraciones de un foco emisor! 'l sonido está producido por las viraciones de un foco emisor! Las ondas sonoras son mecánicas # longitudinales! Las ondas sonoras son mecánicas # longitudinales! Las ondas sonoras son mecánicas # longitudinales! Las ondas sonoras son mecánicas # longitudinales!



39

Física.1*. EL SONIDO (II)1*. EL SONIDO (II)

• ?ecepción del sonido: (uando una onda sonora alcan)a el o+do, la vibración queproduce en la membrana auditiva provoca una reacción en el nervio auditivo que daluar al proceso de audición. l sistema nervioso umano produce la sensación auditivapara frecuencias comprendidas entre 1P y 2;.;;; "). or encima de 2; '") se encuentran

los ultrasonidos.

• a sensación auditiva está relacionada con el fenómeno de la resonancia. Codo cuerpotiene una frecuencia natural o propia de vibración cuando un ob8eto es alcan)ado por unaonda de frecuencia iual a la frecuencia propia del cuerpo, este comien)a a vibrar y sedice que el cuerpo y el sonido están en resonancia. l o"do umano contiene fibras dediferente lonitud con frecuencias propias entre 1P ") y 2; '").

Física.

40

*ntensidad sonora*ntensidad sonora*ntensidad sonora*ntensidad sonora

A

1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO.1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO.

O t

A1

A2uer e

débil

•••• $a intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido

• 7e3n su sonoridad , los sonidos se perciben como %uertes o d,biles

ara una misma frecuencia, a mayor intensidad, mayor amplitud de onda

sonora



Física.

41

TonoTonoTonoTono

A

1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (II)1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (II)

tO

grave

agudo

• • •T1 T2

• os de mayor %recuencia se perciben como agudos , y los de menor, como graves

a frecuencia es iual al n3mero de compresiones y dilataciones que tienen luar

en un punto del medio cada seundo

• ermite distinuir entre sonidos graves y agudos , y está relacionado con la frecuencia

42

TimbreTimbreTimbreTimbre

A clarinete

1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (III)1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (III) Física.

tO

violín

• ermite al o+do *umano distinguir entre dos notas iguales 4misma intensidad y tono6emitidas por distintos focos sonoros 48. <istintos instrumentos6.

•••• 4ing>n %oco emisor3 ejecuta una vibración armónica pura , sino una vibración

armónica de frecuencia determinada 4 ν 6 acompaBada de un con8unto de vibraciones de

frecuencias m3ltiplos de la fundamental, 2 ν , Q ν , ... denominados armónicos



Física.

43

)ensación sonora. Escala decib!lica)ensación sonora. Escala decib!lica)ensación sonora. Escala decib!lica)ensación sonora. Escala decib!lica

• a intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia. 7e mide en d@ en la

escala decibélica 4escala loar+tmica6

• II

1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (IV)1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (IV)

Io = 10-12

Intensidad sonora de algunos sonidos habituales

Intensidad sonora

en dBFuente sonora

en W m−−−−2

II 00 db

Murmullo de hojas 10−10 20

Susurros a 5 m 10−9 30

Respiración normal 10−11 Apenas audible 10

10−12 0Umbral de audición

Intensidad umbral

Casa tranquila 10

−8 40

Calle con tráfico intenso 10−5 70

Oficina tranquila 10−7 50

Voz humana a 1 m 10−6 60

Fábrica 10−4 80

Ferrocarril 10−2 100

Despegue de un reactor 102 140

Grandes altavoces a 2 m Umbral de dolor100 120

Física.

44

Contaminación sonoraContaminación sonoraContaminación sonoraContaminación sonora

120

100

d B ) Umbral de la sensación

desagradable

1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (V)1*.1 CUALIDADES DEL SONIDO (V)

3 4 4

80

60

40

20

10 I n t e n s i d a d

s o n

o r a

Umbral de audición

Frecuencia (Hz)

•••• El umbral de audición es la intensidad sonora m+nima de los sonidos audibles

•••• El umbral de dolor es la intensidad por encima de la cual la audición se torna dolorosa

•••• 0edidas para prevenir la contaminación sonora9 preventivas, paliativas y educativas



Física.

45

11 E#ECTO11 E#ECTO DOPPLER.DOPPLER.

Efecto DopplerEfecto DopplerEfecto DopplerEfecto Doppler

• Un sonido emitido por un foco 4como el silbato de un tren o la bocina de un automóvil6 que

cuando el foco está en reposo

• G al contrario, cuando el %oco se aleja3 se oye un sonido m's grave 4de menor

frecuencia6

• ste fenómeno fue descrito por primera ve) por (*ristian <oppler en 1JMQ

El e%ecto &oppler es un fenómeno ondulatorio que se produce cuando *ay unmovimiento relativo entre un foco emisor de ondas y un observador. a frecuencia

percibida por el observador es distinta de la frecuencia emitida por el foco. 4<ebido

a que el tiempo que transcurre entre el principio y fin de la onda es diferente en

receptor y emisor a causa de la movilidad de los focos6

46

11 E#ECTO DOPPLER (II)11 E#ECTO DOPPLER (II)

F

Fv→

0

→

vO→

v

Física.

• 7i tanto el observador como el %oco se mueven , con velocidades respectivas v; y v$ , la

frecuencia medida por el observador cuando se acercan el uno y al otro es9

• Los signos de las velocidades corresponden a foco y observador acercándose como en

−

+

=F vv

vv

f f 0

'

vibraciones y ondas 2014

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