1

Por I.C. Luis Gonzalo Meja C.

lgm@une.net.co

Medelln Colombia

1. Introduccin

Con el diseo de estructuras cada vez ms esbeltas y con mayores luces, pueden presentarse vibraciones dainas para la estructura e incomodas para los usuarios. El cuerpo humano es sumamente sensible a las vibraciones y puede representarse, como cualquier estructura mecnica, como una serie de masas interconectadas por resortes y amortiguadores (figura 1). A falta de una recomendacin propia, usualmente en el pas se utilizan las Guide specifications for design of pedestrian bridges2a, para determinar los lmites admisibles para las frecuencias de los puentes peatonales. Otras recomendaciones como las contenidas en las referencias 2b y 2c pueden ser igualmente muy tiles. Sin embargo, como esta gua y sus comentarios son relativamente escuetos, preparamos ste artculo con el fin de aclarar la razn por la cual se requiere que la frecuencia de los puentes no este por debajo de 3.0 Hz.

2. Normatividad El Cdigo Colombiano de Puentes3, no da ninguna indicacin acerca de las frecuencias mnimas que puede presentar un punte peatonal, por lo cual debe recurrirse a otras normas como la norma AASHTO para puentes peatonales2a, la cual en su numeral 1.3.2 especifica lo siguiente: La frecuencia fundamental de un puente peatonal sin carga viva, debe ser mayor de 3.0 Hz para evitar el primer armnico. A su vez, en los comentarios aclara lo siguiente: El rango del primer al tercer armnico que pueden ser excitados por personas que caminan o trotan en el puente peatonal, est entre 2 y 8 Hz, con una frecuencia fundamental entre 1.6 y 2.4 Hz. Por sta razn, los puentes con frecuencias fundamentales menores de 3 Hz, se deben evitar.

FIGURA 11 Una representacin simplificada del cuerpo humano como una serie de sistemas vibratorios acoplados1

Cabeza

Parte superior del torso

Abdomen

Fuerza ejercida al sujeto sentado

Fuerza ejercida al sujeto parado Pies

Caderas

Piernas

Columna

Brazos

2

3. Breve Resea Histrica

Como seguramente algunos de los lectores no son especialistas en estructuras, consideramos conveniente hacer una breve referencia histrica sobre el tema de las vibraciones y acerca de los modos de vibracin explicados con base en una cuerda tensa que se pone a vibrar. El problema de la cuerda vibrante era conocido desde la antigedad. El matemtico y filsofo griego Pitgoras (582-507 A.C.) efectu experimentos (figura 2), encontrando entre otras cosas que si dos cuerdas iguales se sujetan a igual tensin y una de ellas tiene la mitad de la longitud de la otra, los tonos que ellos producen se diferencian en una octava4. La figura 35 nos muestra la serie de ensayos efectuados por Pitgoras, que representan quizs la primera formulacin matemtica de una ley fsica. En palabras de hoy, Pitgoras descubri que la frecuencia de una cuerda, sujeta a una tensin T, es inversamente proporcional a su longitud .

FIGURA 24

El monocordio inventado por Pitgoras para sus estudios de una cuerda vibrante. Los apoyos a y c son fijos y el apoyo b es mvil. El peso garantiza una tensin uniforme en la cuerda.

FIGURA 35 Con el monocordio (figura 2) Pitgoras encontr que los sonidos armnicos se producen cuando las longitudes de

las cuerdas estn en relaciones numricas sencillas: esta es la llamada Ley Pitagrica de cuerdas.

a b c

320 vibraciones por segundo

la

1/2la

2/3la

3/4la

240 vibraciones por segundo

480 vibraciones por segundo

360 vibraciones por segundo

Una octava

Una quinta

Una cuarta

Relacin de luces

1:1 a

2:1 b

3:2 c

4:3 d

3

FIGURA 46

Esta figura muestra parte de los estudios efectuados por Daniel Bernoulli, publicados en Reflexions et Eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes6, acerca de los modos de vibrar de una cuerda tensa.

La investigacin sistemtica de las propiedades fsicas de la cuerda vibrante, comenz realmente hace unos 370 aos, luego de que el descubrimiento del clculo diferencial e integral efectuado por Leibniz y Newton y desarrollado por Jacob y Johann Bernoulli, dio nuevas posibilidades no solo para el estudio de la geometra de cuerdas, superficies y volmenes, sino tambin para la mecnica. En 1636 Marin Mersenne (1588 - 1648) lleg a la conclusin de que la frecuencia era inversamente proporcional a la longitud de la cuerda y a su dimetro y directamente proporcional a la raz cuadrada de la tensin. Joseph Saveur (1653 - 1716) fue quien en 1701 llam fundamental a la frecuencia menor y armnicasa

a las frecuencias superiores.

Posteriormente el filsofo y matemtico ingles Brook Taylor (1685 - 1731) fue el primero que trato de formular una teora matemtica de la cuerda vibrante en su libro De Motu Nervi Tensi publicado en 1713 y tras l vinieron los trabajos de Johann Bernoulli (1710 - 1790), Jean Baptiste Le Rond DAlembertb

a Ntese que armnicos significa que las frecuencias superiores estn relacionadas por nmeros enteros sencillos con la frecuencia fundamental. En el estudio de barras o placas se encuentra que las frecuencias de los modos no estn relacionadas con la frecuencia fundamental por nmeros enteros y se llaman entonces discordantes disonantes. El estudio de placas y membranas lleg mas tarde y fue realizado por Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887), Simeon - Denis Poisson (1781 - 1840) y a Aurel Stodola (1859 - 1942).

(1717 - 1783)

b DAlembert en 1747 public el libro Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration siendo el primero que planteo la ecuacin diferencial de la onda como 22222 s/yct/y = con m/sc 2 = , s= tensin en la cuerda y m = masa por unidad de longitud. Es interesante mencionar que DAlembert, no utiliz el smbolo para derivadas parciales, pues solo fue introducido en 1768 por Adrien Marie Legendre en su "Memoire sur la manire de distinguer les maxima des minima dans le Calcul

4

y Leonhard Euler (1707 - 1783), pero fue el pensamiento revolucionario de Daniel Bernoulli (1700 - 1782) quien plante la solucin general del problema por medio de la superposicin de soluciones parciales. En su trabajo Reflexions et Eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes, presentado a la academia de historia de Berlin en 1753, demostr que una cuerda podra vibrar de muchas maneras, dependiendo del nmero de vientres que se formaran en la cuerda durante la vibracin, como se desprende de la figura 4. As, para igual tensin y masa, si solo hay un vientre, las vibraciones son ms lentas y la cuerda da el tono fundamental. Si la cuerda exhibe dos vientres con un nodo en la mitad, se duplica la frecuencia, la cual corresponde a una octava del tono fundamental. Para terminar debemos mencionar que Jean Louis Lagrange (1736 - 1813) se opuso a la teora de Daniel Bernoulli en dos escritos publicados en 1759 y 1762 y que entre 1807 y 1811 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) public en la academia de Pars su Theorie de la Chaleur, en la cual expres que cualquier funcin se puede expresar como una serie de funciones trigonomtricas, con lo cual se confirm la idea genial de Daniel Bernoulli. Luego de esta resea histrica y basndonos en la excelente y sencilla discusin que sobre el tema hace Zetlin7, con ayuda de la figura 5 podemos resumir lo ms importante sobre este tema: Si tomamos una cuerda en reposo sujeta a una tensin T (figura 5a) luego la halamos sacndola de su posicin de equilibrio (figura 5b) y la soltamos, ella empieza a vibrar asumiendo varias configuraciones. En un instante cualquiera, la cuerda puede tener la forma indicada en la figura 5c, la cual obviamente vara en cada instante dependiendo de las propiedades del cable, la tensin inicial y la amplitud inicial con la que la hayamos excitado. Por la descripcin de los aspectos histricos de este tema, ya conocemos que cada configuracin, en cada instante, puede ser obtenido por la suma de un infinito nmero de curvas armnicas de las cuales se indican las tres primeras en las figuras 5d, 5e y 5f.

FIGURA 57 Determinacin de la configuracin de una cuerda que vibra en un instante cualquiera como sumatoria de tres

de sus curvas armnicas (modos de vibrar).

des Variations". Finalmente fue Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851) quien en 1841 lo adopt definitivamente en su obra "De determinantibus Functionalibus".

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

5

Cada curva armnica es llamada un modo de vibracin y su amplitud vara al vibrar el cable, por lo cual un cable puede tener un nmero infinito de frecuencias naturales. Debe notarse que mientras mayor nmero de ondas tenga un modo de vibrar, menor es su amplitud y mayor es su frecuencia y por lo tanto, usualmente, solo se requieren los primeros modos para representar el cable vibrando. El primer armnico se llama el modo fundamental de vibracin y su frecuencia la frecuencia natural. La frecuencia W de cualquier modo esta dada por la siguiente expresin:

g/qTnWn

=

4. Excitacin vertical y resonancia

En este punto tal vez nos preguntamos y no tengamos completa claridad acerca de cual es la real importancia de la frecuencia fundamental y sus armnicos. Lo que s sabemos es que normalmente una estructura, vibra de una forma que es la sumatoria de sus formas modales y que cada una de estas formas modales tiene una frecuencia normal de vibracin que puede ser excitada y que dependiendo de la frecuencia de excitacin puede causar daos en la estructura como lo veremos a continuacinc

.

Para aclarar este aspecto, examinemos la figura 610 en la cual se indica el modelo simplificado del sistema vibratorio persona - estructura. Dado que no se presenta una reaccin de la estructura haca las personas, debe modelarse la persona que camina corre como una fuerza actuante sobre la estructura y no como un sistema de resorte-masa acoplado a sta. De sta forma la excitacin rtmica producida por las personas en la estructura al caminar puede expresarse por una funcin armnica con un perfil de onda simple:

tsinKK)t(fF 1o +== .

Cuando las personas en vez de caminar corren, la excitacin es impulsiva y peridica, por lo cual es conveniente utilizar la expresin para la fuerza en forma compleja:

tio e)(KK)t(fF

+==

c Como ya se dijo fue Daniel Bernoulli el primero que logro comprender que la cuerda, por as decirlo, se puede considerar separada en dos, tres o mas partes iguales y que esas partes vibran, como si cada parte fuera una cuerda completa. Es tal la importancia de ste concepto, que consideramos pertinente transcribir a Bishop12: Las formas modales de un sistema, a las cuales les corresponde una frecuencia propia tienen propiedades sumamente importantes. Ellas constituyen, en cierta forma, los elementos a partir de los cuales, por superposicin, se puede determinar cualquier deformacin del sistema. S de alguna forma sacamos de su posicin de reposo un sistema y lo liberamos, comienza a vibrar libremente, de tal forma que estas vibraciones corresponden a las formas modales que por superposicin dan la forma de vibrar que hemos excitado. Las formas modales son independientes entre s y transcurren a un ritmo que corresponde a su frecuencia propia. Dicho de otra forma, cualquier movimiento aparentemente catico y complicado puede obtenerse como una combinacin de las formas modales, es decir, hay un orden en ese aparente caos. En palabras de Mandelbrot13 es: La simple complejidad de la naturaleza.

En la cual: n = 1, 2, 3........ = Distancia horizontal entre apoyos T = Tensin en el cable q = Peso del cable por unidad de longitud, supuesto uniforme g = Aceleracin de la gravedad Wn = Frecuencia de vibracin de un armnico.

(7)

6

FIGURA 610

Modelo simplificado del sistema vibratorio hombre - estructura (con r = amortiguacin y c = constante de resorte)

La ecuacin diferencial que describe el movimiento de la estructura causado por esta fuerza F esta dada por: Mz+rz+cz=F cuya solucin particular corresponde a:

[ ] 222e )c/r()/(1cFz

:con)tcos(z)t(z

+=

+=

Es ampliamente conocido que la amortiguacin viscosa es sumamente baja11, por lo cual z(t), la amplitud de la vibracin, depende prcticamente de la relacin e/ (frecuencia de la fuerza excitatriz/frecuencia propia), siendo evidente que para valores cercanos a 1 de 1 la amplitud de la vibracin se vuelve excesivamente grande o infinita produciendo severos daos en la estructura o inclusive su colapso.

5. Frecuencias de la fuerza excitatriz debidas al trnsito peatonal 5.1 Introduccin

De la discusin anterior es claro que en el diseo de estructuras debe evitarse que su frecuencia fundamental y la de sus armnicos sean del mismo orden que la frecuencia de la fuerza aplicada. En puentes peatonales, la frecuencia de la fuerza excitatriz vara en un rango relativamente amplio, dependiendo, de si las personas caminan a paso normal, a paso rpido, brincan o corren, lo cual es especialmente importante en la consideracin de las vibraciones verticales. Seguidamente hacemos un breve anlisis de los rangos de frecuencia que deben evitarse, no solo para las vibraciones verticales, sino para las horizontales, ya sean transversales o longitudinales.

Hombre

Estructura

Terreno c r

M

m

Z

7

Los estudios de Matsumoto y Schulze, citado en la referencia 9, coinciden en que la frecuencia de las personas que caminan normalmente esta entre 1.6 y 2.4 Hz, con una media de 2.0 Hz como se indica en la figura 79. Estas frecuencias estn entre 2.4 y 2.7 Hz para trote normal y pueden llegar a 5.0 Hz para personas corriendo.

FIGURA 79

Distribucin de frecuencias para el caso de caminado normal

En la figura 89 se indica el desarrollo en el tiempo de la carga dinmica debida a ambos pies. Es importante notar que las solicitaciones de ambos pies se traslapan y que se pueden tener igualmente contribuciones en el segundo y tercer armnico.

FIGURA 89

Historia de la carga dinmica producida por ambos pies al caminar

Distribucin segn mediciones

Distribucin Normal

Frecuencia observada

0

50

100

1.6 2.0 2.4 2.8 fs [Hz]

Ambos pies

Pie derecho

Pie izquierdo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 s 0

0.5

1.0

1.5

Carg

a/pes

o

8

5.2 Frecuencias verticales

De acuerdo con la distribucin de frecuencias indicada en la figura 7, en un puente peatonal pueden presentarse excesivas vibraciones verticales si su frecuencia fundamental est entre 1.6 y 2.4 Hz y por esto debe evitarse que la frecuencia fundamental del puente y sus armnicos estn en este rango. sta condicin puede expresarse como:

1.6 > fi >2.4 (La AASHTO fija este valor en 3.0 Hz.)

Es importante anotar que tal como se desprende en la figura 8, puentes sometidos a vibraciones con una frecuencia dominante de 2 Hz, pueden tener contribuciones en el segundo armnico y por esto, especialmente en puentes metlicos, debe evitarse el rango entre 3.5 y 4.5 Hz, condicin que podemos expresar de la siguiente manera:

3.5 >fi >4.5

Si se respetan los rangos indicados para la frecuencia del puente ya que la frecuencia excitatriz no puede modificarse, puede descartarse que se presenten problemas de vibraciones molestas para los usuarios y dainos para la estructura.

5.3 Frecuencias horizontales transversales

Rara vez y solo en puentes muy flexibles transversalmente, debe evitarse el rango de frecuencias entre 0.8 y 1.2 Hz y en estos puentes ocasionalmente es conveniente evitar tambin el rango de frecuencias entre 2.6 y 3.4 Hz.

5.4 Frecuencias horizontales longitudinales

Igualmente, pueden encontrarse excepcionalmente puentes muy flexibles longitudinalmente en los cuales debe evitarse el mismo rango de frecuencias entre 0.8 y 1.2 Hz. En estos puentes ocasionalmente es conveniente evitar tambin el rango de frecuencia entre 1.6 y 2.4 Hz.

6. Conclusin

En la tabla 19 se resume el rango de frecuencias producidas por las personas al caminar o correr.

TABLA 19

Frecuencias (fs), velocidades (vs) y longitudes del paso (ls) al caminar y correr

[ ]Hzfs [ ]s/mv s [ ]mls Caminar despacio ~ 1.7 1.1 0.60 Caminar normal ~ 2.0 1.5 0.75 Caminar rpido ~ 2.3 2.2 1.00 Trotar ~ 2.5 3.3 1.30 Correr > 3.2 5.5 1.75

9

Es claro por lo tanto que la frecuencia inferior limitante de 3.0Hz fijada por la AASHTO2 busca evitar vibraciones molestas para los peatones y dainas para la estructura en su modo fundamental. Sin embargo, para puentes metlicos con poca rigidez y amortiguamiento pueden presentarse cargas que exciten el segundo armnico, por lo cual en general, salvo casos excepcionales, parece conveniente que la estructura tenga una frecuencia fundamental superior a 5.0 Hz, para evitar problemas de vibraciones en el segundo y tercer armnico.

10

REFERENCIAS

1. Hussey Matthew, Fundamentals of Mechanical Vibrations, Macmillan Publishing Company, 1983, New York

2a. Guide Specifications For Design of Pedestrian Bridges, Prepared by Subcommittee on Bridges and Structures of the Standing Committee on Highways, Published by the American Association of State Highway and Transportation Officials, August 1997, Washington Dc

2b. Guidelines for the design of footbridges, Fib, Guide to Good Practices, Bulletin 32, November 2005 2c. Ministerio de Fomento Espaol Secretaria General Tcnica, Instruccin de Acero Estructural (EAE), Comisin Interministerial permanente de estructuras de acero, Mayo 2010, Madrid Espaa.

3. Ministerio de Transporte - Instituto Nacional de Vas, Cdigo Colombiano de diseo Ssmico de

Puentes, Asociacin Colombiana de Ingeniera Ssmica, 2005, Tercera Edicin, Bogot

4. Burton Ralph, Vibration and Impact, Dover Publication Inc., 1968, Primera Edicion, New York.

5. Gamow George; Biografa de la Fsica; Salvat Editores S.A. - Alianza Editorial S.A. 1971; Espaa. 6. Szab Istvn, Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhuser Verlag Basel Boston Stuttgart,

1987, Germany

7. Section 22; Zetlin Lev; Suspension Roofs, P.P. 22-1 22-16; Gaylord, Edwin H; Gaylord Charles N; Structural Engineering Handbook; Edit. McGrae Hill Inc, USA 1968.

8. Gimsing; Niels J., Cable Supported Bridges Concept and Design; Second Edition; Edit. John Wiley

& Sons; USA 1998. 9. Bachmann Hugo, Ammann Walter, Schwingungsprobleme bei Bauwerken, Edit. Internationale

Vereinigung fr Brckenbau und Hochbau; Tercera Edicin 1987, Switzerland.

10. Kramer H., Kebe, H-W.; Durch Menschen erzwungene Bauwerksschwingungen; Bauingenieur, Zeitschrift fr das gesamte Bauwesen; Pag.195 - 199 (1979).

11. Mller, F.P., Baudynamik; Verlag Von Wilhelm Ernst & Sohn; 1978 Germany.

12. Bishop Richard E. D.; Schwingungen in Natur und Technik; Ed. B.G. Teubner Stuttgart, Germany

1985.

13. Mandelbrot Benoit; Los objetos fractales; Tusquets Editores S.A., Espaa 2006.

Por I.C. Luis Gonzalo Meja C.lgm@une.net.coMedelln ColombiaFIGURA 11FIGURA 24FIGURA 35FIGURA 46FIGURA 57FIGURA 610FIGURA 89En la tabla 19 se resume el rango de frecuencias producidas por las personas al caminar o correr.TABLA 19REFERENCIAS