VI JORNADAS DE TRABAJO

EN MECANICA CELESTE

Senorıo de Bertiz, 2–4 julio de 2003

Departamento de Matematica e Informatica

Universidad Publica de Navarra

Indice

I Presentacion 3

II Programa de las Jornadas 7

III Resumenes de las Charlas 13

IV Direcciones de los Participantes 37

1

Presentacion

5

Queridos participantes:

Nos encontramos ante la sexta edicion de las Jornadas de Trabajo en MecanicaCeleste. Recordemos que la idea de organizar estas Jornadas partio del Grupo deMecanica Espacial (GME) de la Universidad de Zaragoza con el fin de reunirnos unavez al ano todos los que trabajamos en Mecanica Celeste y estamos relacionados deuna u otra forma con el GME. La idea es que, en un ambiente calido y relajado, seexpongan las lıneas de trabajo seguidas por los participantes con el fin de dar paso aldebate, que surjan colaboraciones y que se abran otras vıas de trabajo. Hagamos unpoco de historia y pensemos por un momento en cada una de las ediciones anteriores:

• 1998 San Fernando

• 1999 Logrono

• 2000 Valladolid

• 2001 La Manga del Mar Menor

• 2002 Albarracın.

Todas ellas han dejado muy buenos recuerdos en nosotros y han logrado el obje-tivo previsto: vemos cada ano nuevas caras, nuevas colaboraciones, nuevos proyec-tos,...

Por ello, esperamos que este ano se siga con la tradicion y haya un buen ambientede trabajo y de relajacion en el marco incomparable en el que nos encontramos: elSenorıo de Bertiz, enclavado en el corazon del valle del Baztan, y en particular, enun Palacio del siglo XVIII recientemente rehabilitado para su uso como lugar deencuentro, reuniones y congresos.

Los miembros del comite organizador del evento esperamos que disfruteis durantevuestra estancia en Navarra.

6

Programa de las Jornadas

8

9

Nota importante: La entrega de documentacion y el coctel de bienvenida tendranlugar en el hotel Baztan de Elizondo. Las sesiones de la Jornadas se desarrollaranen el Palacio situado dentro del recinto del Senorıo de Bertiz, sito en la localidad deOronoz Mugaire.

Martes 1 de julio:

19:00 Entrega de documentacion.

20:00 Coctel de bienvenida.

21:30 Observacion astronomica en los alrededores del hotel Baztan a cargode la Agrupacion Navarra de Astronomıa.

Miercoles 2 de julio:

9:45-10:00 Inauguracion de las Jornadas.

10:00-12:00 Sesion: Satelites artificiales (I).Moderador: Sebastian Ferrer

10:00-11:00 Guy Janin: “Trajectory Design for the Solar Orbiter Mis-sion”.

11:00-11:30 Boris Bardin: “On Orbital Stability of Planar Motions of aSymmetric Satellite in a Circular Orbit”.

11:30-12:00 Fernando Blesa: “Orbitas Casi Geoestacionarias y Casi Perio-dicas con Control”.

12:00-12:30 Pausa para el cafe y los bollos.

12:30-14:00 Sesion: Satelites artificiales (II).Moderador: Alberto Abad

12:30-13:00 Sergio Serrano: “Modelo Zonal de Orden Seis para Orbitasde Satelites en torno a Marte”.

13:00-13:30 Jesus Pelaez: “Estabilidad de Tethers Electrodinamicos enOrbita Elıptica Inclinada”.

13:30-14:00 Javier Montojo: “Mejora de una Teorıa Analıtica para elMovimiento Orbital alrededor de Europa”.

10

14:15 Comida en el restaurante Urgain.

16:00-17:00 Sesion: Dinamica en el sistema solar y extrasolar.Moderador: Jose Angel Docobo

16:00-16:30 Silvia Fernandez: “Posibilidad de Existencia de PlanetasExtrasolares Masivos con Pequeno Semieje Orbital” .

16:30-17:00 Manuel Andrade: “Estudio de la Estabilidad en SistemasEstelares Triples con Perdida de Masa”.

17:00-17:30 Pausa para el cafe y los bollos.

17:30-18:30 Sesion: Espacios fasicos.Moderador: Manuel Palacios

17:30-18:00 Mercedes Arribas: “Hamiltonianos Cuadraticos Sobre Es-feras Pinzadas”.

18:00-18:30 Alberto Abad: “Herramientas para la Visualizacion de Es-pacios Fasicos”.

18:30 Foto del Congreso. Visita guiada por los jardines del Senorıo.

19:30 Resto de tarde libre.

Jueves 3 de julio:

9:30-12:00 Sesion: Simetrıas, transformaciones y reducciones (I).Moderador: Jaume Llibre

9:30-10:30 Sebastian Walcher: “Symmetries and Convergence of NormalForm Transformations”.

10:30-11:00 Sebastian Ferrer: “Sistemas Keplerianos: Elementos Or-bitales y Reducciones”.

11:00-11:30 Luis Florıa: “On a Simple Model for Motions in the Galaxy”.

11:30-12:00 Vıctor Lanchares: “The Keplerian Regime of a Charged Par-ticle in Planetary Magnetospheres”.

11

12:00-12:30 Pausa para el cafe y los bollos.

12:30-13:30 Sesion: Simetrıas, transformaciones y reducciones (II).Moderador: Vıctor Lanchares

12:30-13:00 Ignacio Aparicio: “On Canonical Transformations to FocalVariables”.

13:00-13:30 Susana Gutierrez–Romero: “Invariant Manifolds about aFinite Straight Segment”.

13:45 Comida en el restaurante Urgain.

16:00 Salida en autobus hacia Pamplona desde el hotel Baztan en Elizondo.

17:00 Visita guiada por el casco viejo de Pamplona y los principales hitos dela ciudad.

19:30 Visita al Planetario de Pamplona.

21:30 Cena de las Jornadas en la sidrerıa Kalean Gora de Pamplona.

Viernes 4 de julio:

9:00-11:00 Sesion: Problemas de N cuerpos.Moderador: Manuel Calvo

9:00-9:30 Jaume Llibre: “The Number of Planar Central Configurationsfor the 4-Body Problem is Finite when 3 Mass Positions are Fixed” .

9:30-10:00 Montse Corbera: “Relative Equilibria for the Lennard-Jones2- and 3-Body Problems”.

10:00-10:30 Francisco Javier Munoz: “Familias de Orbitas Periodicas enel Problema de Tres Cuerpos y la Orbita en Forma de Ocho”.

10:30-11:00 Andres Riaguas: “On the Figure-8 Periodic Solutions in the3-Body Problem”.

11:00-11:30 Pausa para el cafe y los bollos.

12

11:30-13:00 Sesion: Metodos numericos para problemas orbitales.Moderador: Antonio Elipe

11:30-12:00 Manuel Calvo: “Backward Error Analysis in NumericalMethods for ODEs and Lie-Hori Perturbation Theory”.

12:00-12:30 Manuel Palacios: “Integracion Geometrica de ProblemasOrbitales con Variables Superabundantes”.

12:30-13:00 Teo Roldan: “Starting Algorithms for PRK Methods”.

13:00-13:30 Clausura y valoracion de las Jornadas.

13:30-14:00 Reunion del comite cientıfico.

14:15 Comida en el restaurante Urgain.

16:00 Excursion por el valle del Baztan.

Resumenes de las Charlas

14

15

Herramientas para la visualizacion

de espacios fasicos

Alberto Abad1, Juan Felix San Juan2 and Pablo Abad3

Resumen

La representacion del espacio fasico reducido de sistemas hamiltonianos resulta degran interes para una mayor comprension de muchos problemas de la Mecanica nolineal. En este contexto, las tecnicas de visualizacion grafica dan soporte al es-tudio cualitativo de los mismos, adelantando resultados antes de aplicar metodosanalıticos, y permitiendo estudiar la dinamica de sistemas en los cuales la com-plejidad algebraica del problema no permite la aplicacion de metodos analıtico-numericos.

En esta comunicacion analizaremos las posibilidades graficas que nos ofrecela gran variedad de software actualmente a nuestro alcance (comercial/freeware-/shareware). A partir del tratamiento analıtico del problema, que se realiza conalgun tipo de sistema de algebra computacional, ya sea comercial como Mathematicao Maple, o de caracter general como PSPC, mostraremos las ventajas y desventajasdel uso de los mismos para el tratamiento grafico, ası como la interconexion entreestos y otros tipos de software mas especializado.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain2Departamento de Matematicas y Computacion, Universidad de La Rioja, Logrono, Spain3Estudiante de Ingenierıa Informatica. Universidad de Zaragoza, Spain

16

Estudio de la estabilidad en sistemasestelares triples con perdida de masa

Manuel Andrade1 and Jose Angel Docobo1

Resumen

Taking into account mass-loss laws (with and without periastro effect), we study itsinfluence on several authors’ stability conditions for triple stellar systems. Attentionis focussed on situations where it would be expected a stable configuration but, incontrast, due to mass loss, it is not obtained.

1Observatorio Astronomico R.M. Aller, Universidade de Santiago de Compostela, Spain

17

On canonical transformationsto focal variables

Ignacio Aparicio1 and Luis Florıa2

Resumen

Deprit, Elipe & Ferrer (‘Linearization: Laplace vs. Stiefel’, Celestial Mechanics andDynamical Astronomy 58, No. 2, 1994, 151–201, §4) thoroughly studied some waysof stretching out the projective decomposition (in a three–dimensional space) of theposition vector of a point mass into four–dimensional coordinate transformations,and proposed for each of them a “canonical” (or “weakly canonical”) extension ofthe projective point–transformation into the space of the corresponding conjugatemomenta. In this way, they recovered the so–called BF (Burdet–Ferrandiz) focal-type canonical variables, but also constructed new sets of canonical variables of thesame focal nature, known –after the names of these authors– as the D (Deprit) andDEF (Deprit–Elipe–Ferrer) variables.

These transformations of the phase variables, in combination with an adequatechange of the time parameter to a true–like anomaly, bring the differential equationsof motion of the spatial Kepler problem into a system of four uncoupled harmonic–oscillator equations.

In the present paper we propose a family of canonical transformations, depend-ing of two numerical parameters, that can be contemplated as generalized D– andBF–type transformations (Deprit, Elipe & Ferrer, 1994, §§4.3 and §§4.4). Thesemappings are canonical in the full classical sense of the word, and not mere “weakly”(or“non–classical”) canonical transformations, and achieve the same kinds of goalsas the corresponding original maps.Key words: linearization, Keplerian systems, focal variables, dimension–raisingpoint–transformations, canonical transformations, time transformations.

1Escuela Universitaria de Informatica, Universidad de Valladolid, Spain2Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain

18

Hamiltonianos cuadraticos sobreesferas pinzadas

Mercedes Arribas1, Antonio Elipe1 and Ana C. Saura1

Resumen

Consideramos sistemas dinamicos representados por hamiltonianos cuadraticos bi-parametricos y en un conjunto de variables {C2, S2, M2}. Estas variables estanrestringidas a la superficie de revolucion:

C22 + S2

2 = (1 + M2)q(1−M2)

p, |M2| ≤ 1

y donde supondremos 1 ≤ p < q. Si p = 1, dicha superficie es una esfera pinzadaen un punto, mientras que si p > 1 la esfera esta pinzada en dos puntos opuestos.Para el problema ası planteado determinamos las soluciones de equilibrio ası comolas lıneas de bifurcacion en el plano parametrico.

Los resultados obtenidos indican que el problema estudiado es topologicamenteequivalente al clasico en el que se considera el hamiltoniano sobre sobre la esfera S2,es decir, cuando p = q = 1.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain

19

On orbital stability of planar motions

of a symmetric satellite in a circular orbit

Boris Bardin1

Resumen

We deal with the stability problem of planar periodic motions of a satellite about itscenter of mass. The satellite is regarded a dynamically symmetric rigid body whosecenter of mass moves in a circular orbit.

We study the stability of the planar periodic motions with respect to spatialperturbations and perturbations of the period. In other words, we are interestedin the so-called orbital stability. By using the method of normal form and KAMtheory we investigate the orbital stability of planar oscillations and rotations ofthe satellite in detail. In two special cases we study the problem analytically byintroducing a small parameter. In general case we check stability conditions bynumerical calculations.

1Department of Theoretical Mechanics,Moscow Aviation Institute, Russia

20

Orbitas casi geostacionarias y casi

periodicas con control

Fernando Blesa1, Antonio Elipe1 and Martın Lara2

Resumen

Es sabido que la dinamica de un satelite bajo la accion de un potencial, que tieneen cuenta el efecto de los armonicos de segundo orden, presenta equilibrios establese inestables. Cuando anadimos las perturbaciones producidas por la presion de ra-diacion solar y la atraccion de la marea debida al Sol y a la Luna dicha periodicidadse rompe. Sin embargo, por medio de algunas tecnicas de optimizacion, podemosintroducir ciertas restricciones relacionadas con la periodicidad de la orbita. Deese modo, somos capaces de encontrar unas condiciones iniciales que fuerzan a quela orbita permanezca dentro de una caja, evitando excesivas maniobras de man-tenimiento en posicion. Este procedimiento puede aplicarse tanto en las orbitasalrededor de un equilibrio estable como inestable. Para orbitas geostacionarias ale-jadas de los puntos de equilibrio los resultados no son tan satisfactorios, pero esposible conseguir que permanezca dentro de una caja de mayor tamano.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain2Real Observatorio de la Armada, San Fernando (Cadiz), Spain

21

Backward error analysis in numerical

methods for ODEs and Lie–Hori

perturbation theory

Manuel Calvo1

Resumen

Backward error analysis of numerical methods for differential equations is a recenttool to study the qualitative behaviour of methods. In this technique the approxi-mate numerical solution is considered as the exact solution of a perturbed differen-tial equation called the modified equation. The aim of this paper is to show thatLie–Hori perturbation theory can be used to derive the modified equations of thebackward error analysis. Some examples are presented to show the applicability ofthis technique.

1Dpto. de Matematica Aplicada, Universidad de Zaragoza, Spain

22

Relative equilibria for the Lennard–Jones

2– and 3–body problems

Montserrat Corbera1, Jaume Llibre2 and Ernesto Perez-Chavela3

Resumen

We study the relative equilibria and their stability in a system of n point parti-cles moving under the influenza of a Lennard–Jones potential, with either n = 2, 3.A central configuration is a special position of the particles where the position andacceleration vectors of each particle are proportional, and the constant of proportion-ality is the same for all particles. Since the Lennard–Jones potential depends only onthe mutual distances among the particles, it is invariant under rotations, thus in therotating frame the orbits coming from central configurations become equilibriumpoints, the relative equilibria. The Lennard–Jones potential is non–homogeneousand consequently it is not invariant under translations, then the relative equilibriadepend on the size of the system, that is, they depend strongly on the momentumof inertia I. We will find the bifurcation values of I for which the number of relativeequilibria is changing, we also analyze the stability of the relative equilibria.

1Departament d’Informatica i Matematica, Universitat de Vic, Spain2Departament de Matematiques, Universitat Autonoma de Barcelona, Spain3Departamento de Matematicas, Universidad Autonoma Metropolitana, Ciudad de Mexico,

Mexico

23

Posibilidad de existencia de planetas

extrasolares masivos con pequeno

semieje orbital

Silvia Fernandez1, David Giuliodori1 and Mariano Nicotra 1

Resumen

De acuerdo con la informacion observacional, en los sistemas extrasolares existe unaaparente deficiencia de planetas masivos con orbitas excentricas y muy pequenosemieje orbital. En este trabajo se plantea un primer modelo siguiendo la teorıaclasica para estudiar las posibles causas dinamicas de esta distribucion. Se consideraun primario y dos planetas con masas puntuales El metodo empleado se basa en laintegracion numerica de las ecuaciones de movimiento de un problema plano. Losresultados obtenidos muestran gran dependencia de las condiciones iniciales y de larelacion de masa entre ambos planetas. Ante esta evidencia se postula la necesidadde considerar un nuevo modelo, teniendo en cuenta otros modelos perturbativos.

1Observatorio Astronomico de Cordoba, Universidad Nacional de Cordoba, Argentina

24

Sistemas keplerianos: elementos orbitales

y reducciones

Sebastian Ferrer1

Resumen

Es bien conocido que el espacio de las orbitas acotadas del problema de Kepler esS2×S2. Haciendo uso de una parametrizacion diferente a la utilizada habitualmente,se presenta una estratificacion de dicho espacio que facilita el estudio de algunasreducciones, cuando se consideran sistemas Keplerianos que poseen simetrıas. Deeste modo se simplifica el proceso seguido por Cushman, basado en la teorıa deinvariantes.

1Dpto. de Matematica Aplicada, Universidad Murcia, Spain

25

On a simple model for motions

in the Galaxy

Luis Florıa1

Resumen

A simplified model problem, inspired in a potential giving an approximation to thatof the galactic force field, is considered.

Accordingly, the study of star motions in a galactic field can be undertaken onthe basis of an approximate expression for the potential, which generates a referenceorbit whose parameters are related to a set of canonical orbital elements attachedto a complete solution to the corresponding Hamilton–Jacobi equation.

Key words: Keplerian systems, galactic force field, canonical orbital elements,canonical transformations.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain

26

The invariants manifolds of afinite straight segment

Susana Gutierrez–Romero1, Jesus Palacian1 and Patricia Yanguas1

Resumen

We compute the asymptotic expressions of some invariant manifolds related to thecollinear equilibrium points corresponding to the Hamiltonian system defined bythe motion of a particle orbiting around a finite straight segment. For this purpose,we use normal form methods so that we make two transformations of the originalHamiltonian: i) either we calculate the reduced Hamiltonian corresponding to thecentre manifold or ii) the Hamiltonian related to the stable-unstable direction. Bydoing so we are able to parametrise the centre, the stable and the unstable manifoldsof the original system using the direct changes of coordinates produced in the twotransformations. Next, by analysing the dynamics of the reduced systems in thethree manifolds, we are able to make a qualitative description of the dynamics ofthe initial Hamiltonian near those equilibria.

1Dpto. de Matematica e Informatica, Universidad Publica de Navarra, Spain

27

Trajectory design for the

Solar Orbiter mission

Guy Janin1

Resumen

The Solar Orbiter project was approved on 12 September 2000 as ESA flexi-missionF2 [ref. ESA-SCI(2000) 6, July 2000]. This mission aims to

• explore the uncharted innermost regions of our solar system,

• study the Sun from close-up (45-50 solar radii, or 0.21 AU),

• fly by the Sun, tuned to its rotation and examine the solar surface and thespace above from a co-rotating vantage point,

• provide images of Sun’s polar regions from heliographic latitudes as high as38◦.

Following a cruise phase including five Solar Electric Propulsion arcs and threeplanetary Gravity Assist Manoeuvres (GAM, Venus-Earth-Venus), an heliocentricorbit with a perihelion between 45 and 50 solar radii and a period of about 150days will be reached after 1.9 year. Launch in 2012 is foreseen from Baikonur witha Soyuz/ST launcher equipped with a Fregat upper stage. After 1.2 year of primescience mission, a mission extension is proposed. By adjusting the heliocentricorbit period such that it is commensurable with the period of the orbit of Venus (a3:2 resonant orbit is selected), an increase of the inclination will be achieved by aseries of successive Venus GAMs. It involves no mid-course manoeuvres other thannavigation manoeuvres. Performing 4 Venus GAMs along 3.7 years, the inclinationrelative to the solar equator can be raised up to 38◦.

1European Space Operations Centre , European Space Agency, Darmstadt, Germany

28

The Keplerian regime of a charged

particle in planetary magnetospheres

Manuel Inarrea1, J. Pablo Salas1, Vıctor Lanchares2, Ana I. Pascual2,Jesus Palacian3 and Patricia Yanguas3

Resumen

We study the dynamics of a charged particle orbiting a rotating magnetic planet,under the assumption that the magnetic field is created by a perfect magnetic dipoleand the magnetosphere surrounding the planet is a rigid conducting plasma whichrotates with the same angular velocity as the planet.

After a Delaunay normalisation and taking into account discrete symmetries,the reduced phase space is characterized and relative equilibria and bifurcations arediscussed.

1Area de Fısica Aplicada, Dpto. de Quımica, Universidad de la Rioja, Spain2Dpto. de Matematicas y Computacion, Universidad de la Rioja, Spain3Dpto. de Matematica e Informatica, Universidad Publica de Navarra, Spain

29

The number of planar central

configurations for the 4–body problem is

finite when 3 mass positions are fixed

Jaume Llibre1, Martha Alvarez–Ramırez2, Joaquın Delgado2 andMontserrat Corbera3

Resumen

In the n–body problem a central configuration is formed if the position vector ofeach particle with respect to the center of mass is a common scalar multiple ofits acceleration vector. Lindstrom showed for n = 3 and for n > 4 that if n − 1masses are located at fixed points in the plane, then there are only finite number ofways to position the remaining nth mass in such a way that they define a centralconfiguration. Lindstrom leaves open the case n = 4. In this talk we prove the casen = 4 using as variables the mutual distances between the particles.

1Departament de Matematiques, Universitat Autonoma de Barcelona, Spain2Departamento de Matematicas, Universidad Autonoma Metropolitana, Ciudad de Mexico,

Mexico3Departament d’Informatica i Matematica, Universitat de Vic (Barcelona), Spain

30

Mejora de una teorıa analıtica

para el movimiento orbital alrededor

de Europa

Martın Lara1 and Francisco Javier Montojo1

Resumen

Uno de los metodos clasicos que se utilizan para estudiar el movimiento keplerianoperturbado es el metodo de variacion de los parametros. Con dicha formulacion seaprecia facilmente que, en primer orden, el semieje mayor de la orbita carece devariacion secular. Sin embargo, es bien conocido que dicho semieje se aparta (en elorden de la perturbacion del problema) del valor kepleriano en una cantidad que esproporcional a la inclinacion orbital. Este hecho es frecuentemente omitido en lasteorıas analıticas de primer orden.

En el presente trabajo se considera la influencia de la inclinacion en el semieje,en una teorıa analıtica de primer orden para el movimiento orbital alrededor delsatelite joviano Europa. El modelo utilizado considera el achatamiento de Europay la perturbacion de Jupiter, formulada esta ultima en la aproximacion dada porlas ecuaciones de Hill. Tras un doble promedio, el problema resulta integrable paraexcentricidades pequenas. La comparacion de la solucion analıtica obtenida conintegraciones numericas, muestra la notable mejora introducida en la teorıa conrespecto al caso en el que no se considera la dependencia del semieje de la inclinacion.

1Real Observatorio de la Armada, San Fernando (Cadiz), Spain

31

Integracion geometrica de

problemas orbitales con variables

superabundantes

Manuel Palacios1

Resumen

Se construye un sistema de variables canonicas superbundantes, relacionadas conlos parametros de Euler, que permiten definir el movimiento de un satelite artificialperturbado en forma canonica referido al sistema de referencia ideal. Se realizala propagacion de la orbita numericamente mediante un propagador simplectico detipo particionado y se comparan los resultados con los obtenidos por un propagadornumerico tradicional.

1Dpto. de Matematica Aplicada y Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain

32

Estabilidad de tethers electrodinamicosen orbita elıptica inclinada

Yago N. Andres1 and Jesus Pelaez1

Resumen

Un satelite en orbita circular esta en equilibrio relativo al triedro orbital si sus ejesprincipales de inercia coinciden con los ejes de dicho triedro. Si ademas, los ejesde mayor y menor momento de inercia coinciden con la vertical local y la normal ala orbita, respectivamente, el equilibrio es estable. Sin embargo, el equilibrio desa-parece cuando la orbita tiene una excentricidad e no nula. En tal caso, el movimientorelativo al triedro orbital esta gobernado por ecuaciones autoexcitadas que han sidoampliamente estudiadas, dado el evidente interes del problema en la estabilizacion desatelites artificiales. En lugar de posiciones de equilibrio dichas ecuaciones exhibensoluciones periodicas cuya estabilidad depende de la excentricidad e de la orbita.

Los sistemas formados por dos masas unidas por un tether son una clase especialde satelites que en orbita circular tambien presentan posiciones de equilibrio estables.En ellas, el tether se encuentra alineado con la vertical local y en reposo. Si el tetheres conductor, el paso de la corriente destruye dichas posiciones de equilibrio y, en sulugar, aparecen orbitas periodicas que, en ausencia de amortiguamiento o control,son inestables cuando la orbita es inclinada.

La interaccion de los dos efectos, excentricidad orbital y fuerzas electrodinamicas,nunca se ha descrito y presenta un enorme interes, dado el enorme potencial ence-rrado por los tethers electrodinamicos en la realizacion de ciertas maniobras or-bitales.

1Grupo de Dinamica de Tethers, Dept. de Fısica Aplicada a la Ingenierıa Aeronautica, Univer-sidad Politecnica de Madrid, Spain

33

On the figure-8 periodic solutions in

the 3-body problem

Antonio Elipe1, Andres Riaguas1 and Roger Broucke2

Resumen

No disponible.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain2Dpt. of Mathematics, Texas University at Austin, U.S.A.

34

Starting algorithms for PRK methods

Inmaculada Higueras1 and Teo Roldan1

Resumen

Partitioned Runge-Kutta methods are suitable for the integration of separable Hamil-tonian Systems. For these methods the computational effort is dominated by thecost of solving the non-linear systems. A good starting value minimizes both therisks of a failed iteration and the effort required for convergence.

In this paper we transfer the theory for Runge-Kutta methods developed bythe authors in [1] to PRK methods in order to obtain good predictors. We focusour attention on LobattoIIIA-IIIB pairs. For these methods we obtain an optimumpredictor and compare it with those obtained by using the discontinuous collocationpolynomial. We also run some numerical experiments to show the behavior of thesepredictors.

[1] Roldan, T. Implicit Runge-Kutta methods for DAEs: starting algorithms. PhDthesis, Departamento de Matematica e Informatica, Universidad Publica deNavarra, Spain, 2000.

1Dpto. Matematica e Informatica, Universidad Publica de Navarra, Spain

35

Modelo zonal de orden seis para orbitas

de satelites en torno a Marte

Sergio Serrano1, Alberto Abad1 and Juan Felix San Juan2

Resumen

El diseno de misiones espaciales con destino a Marte requiere el desarrollo de teorıasanalıticas con objeto de obtener un mayor conocimiento del comportamiento dinamicode futuros satelites puestos en orbita alrededor de dicho planeta. En esta comuni-cacion se aborda la creacion de un modelo orbital que incluya todos los armonicoszonales del planeta Marte hasta el orden seis.

En primer lugar se realiza un estudio de la ordenacion asintotica del hamiltonianoque sea valida para un determinado conjunto de condiciones iniciales. Una vezjustificada la ordenacion adecuada, se aplican sobre el hamiltoniano en cuestion dostransformaciones de Lie: la eliminacion de la paralaje y la eliminacion del perigeo,para, finalmente, integrar, el hamiltoniano transformado, por el metodo de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky, ligeramente modificado para su implementacion simbolica.

Despues de crear tres modelos analıticos diferentes, se analizan las caracterısticasde cada uno de ellos, ası como su validez numerica.

1Grupo de Mecanica Espacial, Universidad de Zaragoza, Spain2Dpto. de Matematicas y Computacion, Universidad de la Rioja, Spain

36

Symmetries and convergence of

normal form transformations

Sebastian Walcher1

Resumen

Given a local analytic vector field about a stationary point, there always exists aformal power series transformation to Poincare-Dulac normal form. In the inter-esting so-called “resonant” case (when the normal form is not linear), however, itturns out that there is in general no such transformation with a nontrivial domain ofconvergence. A.D. Bruno investigated the convergence problem in great detail, andexhibited two possible sources for divergence: Diophantine phenomena involving theeigenvalues of the linearization, and non-vanishing of certain terms in the normalform. Bruno also proved a positive criterion for convergence. His results, however,could not be used to decide whether a given vector field admits a convergent normal-ization. This problem was later addressed in work by the speaker, Bruno, Cicognaand others, and showed the fundamental role of symmetries in this context. Variousresults show that there is a convergent transformation to normal form if and only ifthere are “sufficiently many” (in a specific sense) analytic symmetries for the vectorfield. The talk will outline some of these results and also include some recent workon local diffeomorphisms.

1Lehrstuhl A f. Mathematik RWTH Aachen, Germany

Direcciones de los Participantes

38

39

Datos de los participantes

Abad Medina, AlbertoGrupo de Mecanica Espacial, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976 762204, Fax: 976 761140Correo electronico: abad@unizar.esPagina web: gme.unizar.es

Andrade Balino, ManuelObservatorio Astronomico R.M. Aller, Universidad de Santiago de CompostelaAv. das Ciencias, s/n, Santiago de Compostela, A Coruna, 15782Telefono: 981592747Correo electronico: oandrade@usc.esPagina web: www.usc.es/astro

Aparicio Morgado, IgnacioDepartamento de Matematica Aplicada a la Ingenierıa, Universidad deValladolid – Campus de SegoviaPlaza de Santa Eulalia 9 y 11, Segovia, 40005Telefono: 921 441170, Ext 15, Fax: 921 441210Correo electronico: ignacio@eis.uva.es

Arribas Jimenez, MercedesDepartamento de Matematica Aplicada, Universidad de ZaragozaMarıa de Luna, 3, Zaragoza, 50015Telefono: 976 761979, Fax: 976 841886Correo electronico: marribas@posta.unizar.es

Bardin, BorisDepartment of Theoretical Mechanics, Moscow Aviation InstituteVolokolamskoe Shosse 4, Moscu, 25993, (Rusia)Telefono: 7 095 1584466, Fax: 7 095 1582977Correo electronico: boris.bardin@lycos.com

Blesa Moreno, FernandoDepartamento de Fısica Aplicada, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976761000, Ext 853008Correo electronico: fblesa@unizar.es

40

Calvo Pinilla, ManuelDepartamento de Matematica Aplicada, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976 761126, Fax: 976 761125Correo electronico: calvo@unizar.es

Calvo Yanguas, M. CarmenDepartamento de Analisis Economico, Universidad de ZaragozaGran Vıa, 2, Zaragoza, 50005Telefono: 976-761000, Ext 4680, Fax: 976 761996Correo electronico: cacalvo@unizar.es

Castro Galvez, RubenGrupo SSETI, Universidad de ZaragozaCamino de las Torres, 47, esc. dcha. 8A, Zaragoza, 50008Telefono: 976 499841Correo electronico: 407919@cienz.unizar.es

Corbera Subirana, MontserratDepartamento de Informatica i Matematica, Universitat de VicLaura, 13, Vic, Barcelona, 08500Telefono: 93 8815519, Ext 243, Fax: 93 8856900Correo electronico: montserrat.corbera@uvic.es

Docobo Durantez, Jose AngelObservatorio Astronomico R.M. Aller, Universidad de Santiago de CompostelaAv. das Ciencias, s/n, Santiago de Compostela, A Coruna, 15782Telefono: 981 592747, Fax: 981 592747Correo electronico: oadoco@usc.esPagina web: www.usc.es/astro

Elipe Sanchez, AntonioGrupo de Mecanica Espacial, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976 761138, Fax: 976 761140Correo electronico: elipe@unizar.esPagina web: gme.unizar.es

Fernandez, SilviaObservatorio Astronomico de Cordoba, Universidad Nacional de CordobaLaprida 854 - Barrio Observatorio, Cordoba, 5000, (Argentina)Telefono: 0351-4331064, Fax: 0351-4331063Correo electronico: silvia@mail.oac.uncor.eduPagina web: www.oac.uncor.edu

41

Ferrer Martınez, SebastianDepartamento de Matematica Aplicada, Universidad de MurciaFacultad de Informatica, Espinardo, Murcia, 30071Telefono: 968 367298, Fax: 968 364151Correo electronico: sferrer@um.esPagina web: www.um.es/mataplic/sferrer

Florıa Gimeno, LuisGrupo de Mecanica Espacial, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976 76 11 36, Fax: 976 76 11 40Correo electronico: lfloria@unizar.es

Gutierrez Romero, SusanaDepartamento de Matematica e Informatica, Universidad Publica de NavarraCampus de Arrosadıa, Pamplona, 31006Telefono: 948 169560, Fax: 948 169521Correo electronico: susana.gutierrez@unavarra.esPagina web: www.unavarra.es

Inarrea Lasheras, ManuelArea de Fısica Aplicada, Departamento de Quımica, Universidad de La RiojaEdificio Cientıfico Tecnologico, Madre de Dios, 51, Logrono, 26006Telefono: 941 299511, Fax: 941 299 621Correo electronico: manuel.inarrea@dq.unirioja.esPagina web: www.unirioja.es/dptos/dq/fa/nolineal/nolineal.html

Janin, GuyEuropean Space Operations Centre, ESARobert Bosch Strasse, 5, Darmstadt, 64293, (Alemania)Correo electronico: guy.janin@esa.intPagina web: www.esoc.esa.de

Lanchares Barrasa, VıctorDepartamento de Matematicas y Computacion, Universidad de La RiojaEdificio Vives, C/Ciguena s/n, Logrono, 26004Telefono: 941 299467, Fax: 941 299460Correo electronico: vlancha@dmc.unirioja.es

42

Llibre Salo, JaumeDepartamento de Matematicas, Universidad Autonoma de BarcelonaEdificio C, Bellaterra, Barcelona, 08193Telefono: 93 5811303, Fax: 93 5812790Correo electronico: jllibre@mat.uab.esPagina web: mat.uab.es/sisdin

Montojo Salazar, Francisco JavierEscuela de Estudios Superiores, Real Observatorio de la ArmadaCecilio Pujazon s/n, San Fernando, Cadiz, 11110Telefono: 956 599367Correo electronico: fjmontojo@roa.es

Munoz Almaraz, Francisco JavierDepartamento de Matematica Aplicada II, Universidad de SevillaCamino de los Descubrimientos s/n, Sevilla, 41092Telefono: 954 486172Correo electronico: malmaraz@esi.us.esPagina web: www.ma2.us.es/∼ javi

Ortiz Perez de Eulate, NoeliaDepartamento de Ingenierıa Electrica y Electronica, Universidad Publica deNavarraCampus de Arrosadıa, Pamplona, 31006Telefono: 948 169260, Fax: 948 169720Correo electronico: noelia.ortiz@unavarra.es

Palacian Subiela, Jesus FranciscoDepartamento de Matematica e Informatica, Universidad Publica de NavarraCampus de Arrosadıa, Pamplona, 31006Telefono: 948 169554, Fax: 948 169521Correo electronico: palacian@unavarra.esPagina web: www.unavarra.es

Palacios Latasa, ManuelDepartamento de Matematica Aplicada y Grupo de Mecanica Espacial,Universidad de ZaragozaMarıa de Luna 3, Zaragoza, 50015Telefono: 976 761981, Fax: 976 761140Correo electronico: mpala@unizar.esPagina web: pcmap.unizar.es/∼ mpala, gme.unizar.es

43

Pelaez Alvarez, JesusGrupo de Dinamica de Tethers (GDT), ETSI Aeronauticos,Universidad Politecnica de MadridPz. Cardenal Cisneros, 3, Madrid, 28040Telefono: 91 3366306, Fax: 91 3366303Correo electronico: jpelaez@faia.upm.es

Perez Barron, Ivan LuisDepartamento de Ingenierıa Electrica, Universidad de La RiojaEdificio Politecnico, Luis de Ulloa, 20, Logrono, 26004Telefono: 941 299 495, Fax: 941 299478Correo electronico: ivan.luis.perez@die.unirioja.es

Riaguas Guedan, AndresDepartamento de Matematica Aplicada, Universidad de ZaragozaMarıa de Luna, 3, Zaragoza, 50015Telefono: 976 762011, Fax: 976 761125Correo electronico: riaguas@unizar.es

Roldan Marrodan, TeoDepartamento de Matematica e Informatica, Universidad Publica de NavarraCampus de Arrosadıa, Pamplona, 31006Telefono: 948 169557, Fax: 948 169521Correo electronico: teo@unavarra.esPagina web: www.unavarra.es

Salas Ilarraza, Jose PabloArea de Fısica Aplicada, Departamento de Quımica, Universidad de La RiojaEdificio Cientıfico Tecnologico, Madre de Dios, 51, Logrono, 26006Telefono: 941 299510, Fax: 941 299 621Correo electronico: josepablo.salas@dq.unirioja.esPagina web: www.unirioja.es/dptos/dq/fa/nolineal/nolineal.html

Serrano Pastor, SergioDepartamento de Matematica Aplicada, Universidad de ZaragozaMarıa de Luna, 3, Zaragoza, 50015Telefono: 976 762201, Fax: 976 761140Correo electronico: sserrano@unizar.es

Toda Caraballo, IsaacGrupo SSETI, Universidad de ZaragozaUrb. Parque Roma E-2 5-C, Zaragoza, 50010Telefono: 666 677 210Correo electronico: 446432@cienz.unizar.es

44

Tresaco Vidaller, EvaGrupo SSETI, Universidad de ZaragozaFuente del Ibon 2 11D, Huesca, 22003Telefono: 974 213296Correo electronico: 441670@posta.unizar.es

Vinuales Gavın, EderlindaGrupo de Mecanica Espacial, Universidad de ZaragozaEdificio de Matematicas, Ciudad Universitaria, Zaragoza, 50009Telefono: 976 761000, Ext 3285, Fax: 34 976 761140Correo electronico: vinuales@posta.unizar.es

Walcher, SebastianLehrstuhl A fur Mathematik, RWTH AachenTemplergraben 55, Aquisgran, 52056, AlemaniaTelefono: 241 80 98 132, Fax: 241 80 92 212Correo electronico: walcher@mathA.rwth-aachen.dePagina web: www.mathA.rwth-aachen.de/people/walcher/

Yanguas Sayas, PatriciaDepartamento de Matematica e Informatica, Universidad Publica de NavarraCampus de Arrosadıa, Pamplona, 31006Telefono: 948 169546, Fax: 948 169521Correo electronico: yanguas@unavarra.esPagina web: www.unavarra.es