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VELOCIDADES MÁXIMAS Y PENDIENTES MÍNIMAS PARA EL DISEÑO DE UN CANAL TRAPECIAL EN FLUJO SUBCRITICO.

Resumen: Si la pendiente del fondo o de plantilla = So de un canal de sección trapecial es conocida y el numero de Froude = Fr es conocido las siguientes ecuaciones determinan cual es la velocidad máxima que el flujo puede tomar en esta estructura.

de acuerdo a la formula de Manning (1)

de acuerdo al número de Froude (2)

donde, Q = gasto en m3/s, n = numero de Manning s/m1/3, g = constante de gravedad en m/s2, m = (m1 + m2)/2 la pendiente media de talud del canal (m1 y m2 son las pen-

dientes de cada cara lateral del trapecio) y .

Introducción

Antecedente: El método de diseño por velocidad máxima permisible Vp como lo plan-tea Chow conduce a la siguiente fórmula para la obtención de la profundidad y:

(3)

donde A = Q/Vp = área de conducción, P = A/R = perímetro mojado y R = (n·Vp/So)3/2 = radio hidráulico.

Discusión I.

El primer problema radica cuando 4kA > P2 lo cual conduce a que (3) no tenga solución siendo el motivo de esto que la Vp propuesta es mayor que la velocidad Vmax que se obtiene con (1), tal como se demuestra en el Anexo 1.

Lo anterior es resultado que al fijar el valor de la velocidad Vp esta requiere que el canal tenga una pendiente mínima (Smin) y por lo tanto en el diseño se debe proponer una pendiente de fondo So que sea mayor que Smin, esto es, So > S min .

Discusión II.

Un segundo problema radica en que el diseño de canales tal como lo plantea Chow solo es válido para flujo uniforme y subcrítico, o sea, el Número de Froude = Fr < 1 ya que de lo contrario la profundidad de diseño y no será el tirante normal sino el tirante critico.

Lo señalado anteriormente conduce a la segunda parte del estudio que radica en encontrar una 2ª formula de velocidad máxima (Vmax*) en función del Momero de

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Froude que garantice que el valor de la velocidad permisible no conduzca al cálculo de un flujo supercrítico (Fr > 1) estableciendo la regla que; Vp < Vmax*.

Discusión III.

El conocer que la velocidad permisible Vp que asigna para el diseño debe cumplir con la condición: Vp = Mínimo(Vmax, Vmax*) agrega un elemento de juicio adicional al procedimiento propuesto por Chow, lo cual es un buen avance, sin embargo, expresar estos resultados de las velocidades en términos de la pendiente del fondo So que debe tener el canal resulta en un mayor avance ya que So es la clave del diseño.

La importancia del estudio radica en que solo con conocer el valor del gasto Q y el material del terreno sea posible determinar cuál es la pendiente mínima y máxima 1 en

que se ubicara la pendiente de diseño del fondo del canal, esto es,

1) Las Velocidades máximas

La velocidad máxima en un canal trapecial se obtiene cuando este se diseña con la sección óptima o de área mínima por el hecho que si el gasto Q es constante y el área es mínima = Amin, entonces: Q/Amin = Vmax.

El área mínima se obtiene de un ejercicio de máximos y mínimos que se basa en la hipótesis que el perímetro mojado P también debe ser mínimo, el resultado del ejercicio establece la relación entre el ancho del fondo canal b y su profundidad y según la siguiente formula.

(4 y 4.1)

Donde b/y relación de ancho de fondo versus profundidad. Sobre la base de (4) las variables principales de la geometría del trapecio se resumen en la siguiente tabla.

A = Área de conducción b·y + m·y2 = k·y2 (5)P = Perímetro mojado b + (k +m)y = 2k·y (6)R = Radio hidráulico = A/P A/P = y/2 (7)T = Ancho superficial b + 2m·y = (k + m)·y (8)Figura 1. Formulas de las variables geométricas de una sección trapecial para la sección

óptima o de área mínima.

1.1) Velocidad máxima si la pendiente de fondo So es conocida

Al sustituir (5) y (7) en la ecuación de Manning se obtiene

1/ Determinar cuál es la pendiente máxima que puede tomar un canal es la última parte del estudio y esta se obtiene si se eliminan los canales muy anchos que tengan una relación de ancho/profundidad = b/y > 10, de acuerdo a la definición de Chaudry.

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Despejando y

(9)La velocidad se obtiene de la ecuación del gasto, V = Q/A y se obtiene la velocidad máxima al sustituir A por las ecuaciones (5) y (9)

Siendo el lado derecho de la expresión anterior la ecuación propuesta en (1).

1.2) Velocidad máxima si el número de Froude es conocido.

De la definición del número de Froude y los resultados de la sección optima para A y T según (5) y (8) se obtiene;

Despejando y

(10)La velocidad se obtiene de la ecuación del gasto, V = Q/A y se obtiene la velocidad máxima al sustituir A por las ecuaciones (6) y (10)

Siendo el lado derecho de la expresión anterior la ecuación propuesta en (2).

1.3) Diseño si la pendiente de fondo So es conocida

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Por lo común, el diseño parte de la base que So es conocida y si además se conoce que el Número de Froude = Fr < 1 (Fr de 0.75 a 0.84 /2) para flujo subcrítico, la velocidad permisible Vp propuesta para el tipo de material de excavación o revestimiento debe cumplir con la siguiente condición para obtener éxito en el diseño:

(11)

Si Vp > Vmax, se pueden tomar dos acciones: 1) Se ajusta la velocidad Vp = Vmax, 2) Se aumenta el valor de la pendiente So, o sea es, una solución por ensayo y error.

Si Vp > Vmax*, solo se puede tomar una acción: 1) Se ajusta la velocidad Vp = Vmax*, y esto se debe a que Vmax* es independiente de So, solo depende del Número de Froude.

2) La pendiente mínima, diseño que respeta la velocidad permisible Vp

Un enfoque de diseño diferente al señalado en el tema 1.3) es: si se conoce Vp se puede determinar la pendiente mínima/3 asumiendo que Vmax = Vp, lo cual modifica (11) de la siguiente manera.

(11.1)

El valor de la pendiente mínima se obtiene de despejar So de (1) y asignar el valor de Vp que se obtiene de (11.1) lo cual da como resultado dos pendientes mínimas.

(12)

(12.1)

Sobre la base de las ecuaciones anteriores la pendiente de diseño So propuesta debe de ser:

(12.2)

2/ Según Henderson [3] Brooke Benjamin demuestra que para que la superficie del agua en el canal sea libre de ondas (free of wave) el Numero de Froude debe estar en el rango de 0.75 a 1.25 el USACE recomienda de 0.84 a 1.16.3/ Si la velocidad Vp es conocida entonces, A = Q/Vp es una constante, al sustituir en la formula de Manning y despejando So se obtiene: So = (n·Vp/A2/3)2·P4/3 y So = constante·P4/3, para la sección optima el perímetro es mínimo y por lo tanto de la ecuación anterior se obtiene que la pendiente So es la mínima.

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2.1) Un ejemplo practico

Calcular la pendiente mínima de diseño So en términos del gasto Q en un canal cuyas características se indican a continuación.

Figura 2. Variación de Smin (12), Vmax* (2), Smin*(12.1) y la pendiente mínima final de diseño según (12.2) en términos de Q para un número de Froude de 0.84, para datos de un canal

revestido de concreto no reforzado.

Interpretación: Para un gasto Q = 0.1 m3/s y una velocidad Vp = 2.5 m/s la pendiente mínima de diseño So = 4.130/1000 y está determinada por el Número de Froude < 0.84 y solo soporta un velocidad de 1.02 m/s.

Hasta gastos de 8 m3/s la pendiente es establecida por el Número de Froude, a partir de este gasto se logra la velocidad permisible de Vp = 2.5 m/s y la pendiente queda determinada por la formula de Manning.

3) La pendiente máxima = Smax, según la relación de ancho b/y.

Conocida la pendiente mínima que debe tomar So es conveniente determinar cuál es la pendiente máxima (Smax).

En la figura 3 se indica en negritas, que para cualquier pendiente de talud m basta con que la escala de pendientes Es = So/Smin sea ≤ 1.6 para que la relacione de ancho/profundidad = b/y ≤ 10 y por lo tanto se asegura que la pendiente de diseño se

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ubica en el intervalo de: So ε [Smin, 1.6·Smin] donde la pendiente mínima se obtiene del Mínimo(Smin,Smin*) y de las ecuaciones (12 y 21.1).

Figura 3. Variación de b/y (ec. A.4) en función términos de la escala de pendientes E s en el rango 1 a 3. La escala Es = 1 corresponde a la sección optima.

Donde (A2.4) es la siguiente función cuya obtención se detalla en el Anexo A2:

para Es ≥ 1 (A2.4) Resultado:

para b/y < 10 y Smin según (12.2) (13)

O sea, que la pendiente So que se debe de proponer para una canal con b/y < 10 solo se incrementa hasta un 60% de la mínima.

4) Aplicación de las ecuaciones propuestas.

Ejemplo: Un canal excavado en arcilla rígida debe transportar un gasto de 0.3 m3/s con un Numero de Froude de 0.8, encuentre las variables de diseño, y, b, So si se desea que la relación b/y = 2.

Resolución: para arcilla la pendiente de talud recomendada es m = 1.5, n = 0.025, velocidad permisible de Vp = 1.5 m/s (fuerza tractiva de τ = 0.46 lb/p3) y un Fr = 0.8.

Con estos datos y escribiendo las formulas en una hoja de cálculo el procedimiento inicia en el paso 2).

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1. En el paso 2) se obtiene que la relación b/y para la sección optima es de {b/y}optima = 0.61 y en el diseño se propone b/y = 2, o sea, un canal más/4 ancho.

2. En el paso 3) se calculan las dos pendientes y la velocidad según la fórmula del Número de Froude resultando: Smin = 17.02/1000, Smin* = 8.16/1000 y Vmax* = 1.14 m/s.

3. En el paso 4) se toma la decisión de cuál es la velocidad de diseño, esto es, 2.5m/s o 1.14m/s resultando ser la mínima Vp = Vmax* = 1.14m/s, con una área de conducción; A = Q/Vp = 0.3/1.14 = 0.26 m2.

4. En el paso 5) se proporción la relación b/y = 2 y se obtienen los resultados del diseño: y = 0.27m, b = 0.55m, So = 8.52/1000 y un Froude final de Fr = 0.83.

Como la velocidad de diseño es de 1.14 m/s y menor que 1.5 no es necesario corregir el valor de Vp según la profundidad y de diseño de acuerdo a la recomendación de Chow [1].

La celda So/Smin = 8.52/8.16 = 1.04 indica que la pendiente de diseño solo es un 4% mayor que la mínima, porcentaje que se predice en la Figura 3, en la columna m = 1.5 y b/y = 1.93. Este aumento del 4% es resultado de haber aumentando la relación del ancho de b/y = 0.61 a b/y = 2.

Conclusiones:

El resultado final es que la pendiente So de un canal depende de dos leyes básicas:

La resistencia al flujo a través de la formula de Manning. La energía mínima a través del Número de Froude (Fr = 1).

La Figura 2 deja en claro lo aquí dicho.

Nomenclatura

4/ Se debe de considerar que la profundidad del canal aumentará al colocar el bordo libre.

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A = área de conducción;b = ancho de fondo del canal;Eb = b/y, relación ancho profundidad;Es = So/Min(Smin,Smin*) = escala de pendientes;Fr = Número de Froude;k = constante = (1 + m1)1/2 + (1 + m1)1/2 - m;m = (m1 + m2)/2, pendiente promedio del talud;m1, m2 = pendientes de Talud;n = número de Manning;Q = gasto;P = perímetro mojado;R = Radio hidráulico;So = pendiente de diseño del fondo del canal;Smax = pendiente máxima del fondo del canal para b/y < 10;Smin = pendiente mínima según la fórmula de Manning;Smin* = pendiente mínima según el Número de Froude;T = ancho superficial;V = velocidad media;Vmax = velocidad máxima según la fórmula de Manning;Vmax* = velocidad máxima según el Número de Froude;Vp = velocidad máxima permisible para no erosionar;y = profundidad;

Referencias:

Chow, V. T. 1994. Hidráulica de Canales Abiertos. McGraw-Hill Interamericana, Bogotá Colombia. Página 162 a 172.

Chaudry, M. H. 1993. Open Channel Flow. Prentice Hall. New Jersey.

Henderson, F.M. 1996. Open Channel Flow. MacMillan, New York .

Witold G. Strupczewski, Romulad Zymkiewicz; Analysis of paradoxes arising from the Chezy formula with constant roughness: II. Flow area-discharge curve, Hydrological Sciences -Journal- des Sciences Hydrologiques, 41(5) October 1996;

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Anexo 1) La velocidad máxima en un canal trapecial sobre la

base de la ecuación; (3)

La solución de (3) solo es factible si

(A1.1)

donde k es, A = el área de conducción = Q/Vp, P = A/R, Vp = velocidad máxima permisible para no erosionar y R = radio hidráulico, al sustituir en (A1.1) se obtiene

(A1.2)

El radio hidráulico se obtiene de la ecuación de Manning: sustituyendo en A2.1 y despejando Vp se obtiene

(A1.3)

Por lo tanto se asume que el lado izquierdo de (A1.3) es la velocidad máxima que puede tener el canal

(A1.4)

Y por lo tanto la velocidad máxima permisible VP para evitar erosión debe ser menor que la velocidad máxima para poder diseñar el canal.

Anexo 2) Relación de ancho b/y en términos de la escala de pendientes Es = So/Smin

La fórmula que se obtiene en las siguientes líneas determina cómo aumenta el ancho de fondo b de un canal conforme la pendiente de diseño So aumenta con respecto a la pendiente mínima. El objetivo es anticipar cuál será la geometría del canal en función del valor de So que se asigne en el diseño del canal.

Si Q, n y Vp son conocidas y constantes el área es; A = Q/Vp y también es constante, al despejar el perímetro de la ecuación de Manning se obtiene

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(A2.1)

Si el perímetro es mínimo = Pmin la pendiente es mínima = Smin, al establecer una escala entre P de (A2.1) que se obtiene de una pendiente So > Smin se obtiene:

Al despejar P y substituyendo Pmin de (7) se obtiene

(A2.2)

Donde yo es la profundidad de la sección óptima: que se obtiene de (10). El valor de y se obtiene de (3) al sustituir el perímetro P por (A2.2) y el área = A por la formula de la sección optima, A = k·yo2, esto se debe a que al asumir que Vp es la velocidad de diseño independiente del valor de pendiente que se use y por lo tanto es constante de los valores que tomen b e y.

Considerando solo la solución del canal ancho que corresponde al radical multiplicado por menos, la relación de y/yo es la siguiente:

(A2.3)

El valor del ancho b se obtiene de la fórmula del perímetro: b = P – (k +m)y, por la tanto la relación b/y se obtiene de la ecuación anterior al sustituir y por (A2.3) y P por (A2.2).

Es > 1 y solo para canal ancho (A2.4)

Para el caso que la escala de pendientes; Es = So/Smin = 1, la ecuación (4) indica que la relación b/y = k – m, lo cual corresponde a la relación de la sección optima según se observa en la ecuación (4).

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Dos velocidades máximas, dos pendientes mínimas y una ecuación adimensional que predice el valor de So en términos b/y quizá no se usen en la práctica, sin embargo, cuando se implementan en la nueva tecnología de las computadoras, funcionan.

From Handbook of Channel Design for Soil and Water Conservation