VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES:Dos vectores u y v son perpendiculares si y solamente si u.v = 0 (escalar)Ejemplos:

1. dados u=⟨2 ,−2 ⟩ v= ⟨5,8 ⟩ y w=⟨−4 ,3 ⟩,encontrar:a. u.vb. (u.v).wc. ‖w‖2

Solución:a. u*v

u . v=(2∗5)+(−2∗8) u .v=(10)+(−16) u . v=−6

b. (u*v)*w

(u∗v )∗w=(−6 ) (−4,3 )=(24 ,−18)

c .‖w‖2

‖w‖=√(−4)2+(3)2 = 5

‖w‖2=25

1. Si u=⟨3 ,−1,2 ⟩ v= ⟨−4,0,2 ⟩w= ⟨1,−1 ,−2 , ⟩ y z=⟨ 2,0 ,−1 ⟩, hallar el ángulo entre cada uno de los siguientes pares de vectores:a¿u y v b¿u y wc¿ v y z

a) cos α=¿ u∗v‖u‖‖v‖

¿ ∴

b) cos α=¿¿¿¿

c) cos α=¿ −8

√14∗2√5=¿¿

d) cos α=¿ −8

2√70=¿¿

e) α=arccos (−0.4780 )f) α=118.5608°

Utilizando el mismo procedimiento obtenemos:

Ánguloentre : u yw=90 °

Ánguloentre : v y z=180 ° °

1. Dados u = i – 2j +k y v = 3i +j -2k, hallar cada uno de los siguientes productos: a ) uxv b) vxu c)vxv

u*v  = i   j   k 

 =   1     -2     1    3     1     -2  

=  i 

( (-2) · (-2)  -  1 · 1 )  -  j 

( 1 · (-2)  -  1 · 3 )  + k 

( 1 · 1  -  (-2) · 3 )  =

=  i 

( 4  -  1 )  -  j 

( (-2)  -  3 )  + k 

( 1  -  (-6) )  =

=  {3 ;  5 ;  7 }

v*u =

 i   j   k  =   3     1     -2  

  1     -2     1  

=  i 

( 1 · 1  -  (-2) · (-2) )  -  j 

( 3 · 1  -  (-2) · 1 )  + k 

( 3 · (-2)  -  1 · 1 )  =

=  i 

( 1  -  4 )  -  j 

( 3  -  (-2) )  + k 

( (-6)  -  1 )  =

=  { -3 ;  -5 ;  -7 }

v*v =

 i   j   k  =   3     1     -2  

  3     1     -2  

=  i 

( 1 · (-2)  -  (-2) · 1 )  -  j 

( 3 · (-2)  -  (-2) · 3 )  + k 

( 3 · 1  -  1 · 3 )  =

=  i 

( (-2)  -  (-2) )  -  j 

( (-6)  -  (-6) )  + k 

( 3  -  3 )  =

=  {0 ;  0 ;  0 }

1. Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a u= i -4j +k como a v = 2i+ 3j

u*v =

 i   j   k  =   1     -4     1  

  2     3     0  

=  i 

( (-4) · 0  -  1 · 3 )  -  j 

( 1 · 0  -  1 · 2 )  + k 

( 1 · 3  -  (-4) · 2 )  =

=  i 

( 0  -  3 )  -  j 

( 0  -  2 )  + k 

( 3  -  (-8) )  =

=  { -3 ;  2 ;  11 }

1. Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje en el punto P, calcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando α= 60. (el momento M de una fuerza respecto a un punto p está dado por M =P⃗Q X F. La magnitud M mide la tendencia del vector P⃗Q al girar, en sentido contrario al de las manecillas del reloj respecto a un eje en dirección del vector M)

El momento de esta fuerza esta dada po:M=Flsinθ

Por lo tanto: M= 50*1sin(60)= 43.3012