CÁLCULO VECTORIAL

TAREA

Indicaciones generales: Escanear (puede ser con el celular, con la mejor resolución

posible) el desarrollo de esta tarea, enviarlo y entregarlo físicamente hasta el día 19 de

octubre 9 am.

Nota: ►Formas de expresar funciones vectoriales: 𝑓(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ o F(t).

►Para las preguntas de los temas Longitud de Curva, Vector Tangente Unitario y

Vector Normal Unitario, guiarse de la materia adjunta a este documento.

1. Calcular el límite de las siguientes funciones en el punto dado:

a. F(t) = ( 3t2 – 1 , (1-cost)/t , t3 – 1) ; to = 0

b. G(t) = (𝑡 + 1𝑡 − 1⁄ , √1 − 𝑡3 , 2𝑡

4 − 𝑡2⁄ ) ; to = 1

c. K(t) = ( 𝑒√𝑡−1, ln(𝑡) , 𝑐𝑜𝑠𝑡 ) ; to = 0

2. Determinar la continuidad de cada una de las siguientes funciones

a. F(t) = {(𝑠𝑒𝑛3𝑡

𝑠𝑒𝑛4𝑡 ,

𝑐𝑜𝑠3𝑡

𝑐𝑜𝑠4𝑡) , 𝑡 ≠ 0

(3

4 , 1 ) , 𝑡 = 0

b. F(t) = ( 1

𝑡+1 ,

𝑡

4 ,

𝑡2

2 ) en el punto P(

1

2,1

4,1

2)

3. Derivar

a. F(t) = ( 𝑐𝑜𝑠23𝑡, cos 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , ln (3𝑡 + 9))

b. F(t) = (√𝑡3 − 6𝑡3

,1−√𝑡

𝑡2−3𝑡 , 𝑡𝑎𝑛𝑡)

4. Calcular la longitud de arco de curva dado

a. 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5𝑡, 4𝑡2, 3𝑡2) para todo t∈ [0,2]

b. 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑡2, 𝑡 sin 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡) para todo t∈ [0,1]

c. 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 , 𝑒𝑡 sin 𝑡) para todo t∈ [0,2𝜋]

d. 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑟 sin 𝑡 , 𝑟 cos 𝑡) para todo t∈ [0,2𝜋]

5. Dada la curva 𝒓(𝒕)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒕 , 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕 , 𝒕) (su gráfica es un hélice) y el punto

A(0,2,π/4). Determinar:

a. El vector tangente unitario y el normal principal de 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ en A.

i. Sol: 𝑇(𝜋/4)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =1

√17(−4,0,1) 𝑁(𝜋/4)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −1,0)

b. La ecuación paramétrica de la recta tangente a 𝒓(𝒕)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ en A.

i. Procedimiento 1. 𝒓′(𝝅/𝟒)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ será el vector director �⃗⃗� de la recta

tangente en 𝒓(𝒕)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ en A . 2. L: {

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝑡𝑇𝑥

𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝑡𝑇𝑦

𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝑡𝑇𝑧

LONGITUD DE ARCO DE CURVA

TEOREMA Si 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es

𝑙(𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) = ∫‖𝑟′(𝑡)‖𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Donde r: [𝑎, 𝑏 ] → Rn es una parametrización regular de 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Si una curva es regular a trozos, su longitud se calcula sumando las longitudes de

cada tramo regular.

Ejemplo:

Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F (t) = (t2 , 2t ) ; t ∈[0,1]

En este caso F’ (t) = (2t, 2) y ‖𝐹′(𝑡)‖ = √4𝑡2 + 4 = 2√𝑡2 + 1

𝑙(𝐶) = 2∫√𝑡2 + 1

1

0

𝑑𝑡 = √2 + ln (√2 + 1)

Vector Tangente Unitario y Vector Normal Unitario

Ejemplo:

F(t) = 5cos3t i + 5sen3tj + tk, cuando t = 𝜋

4

𝑇(𝑡) =𝐹′(𝑡)

‖𝐹′(𝑡)‖=

(−15𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 15𝑐𝑜𝑠3𝑡 , 1)

√226 ⟹ 𝑇 (

𝜋

4) =

1

√226(−

15√2

2 , −

15√2

2, 1)

𝑁(𝑡) =𝑇′(𝑡)

‖𝑇′(𝑡)‖= (

(−45𝑐𝑜𝑠3𝑡 , −45𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 0)

45) ⟹ 𝑁 (

𝜋

4) = (

√2

2 , −

√2

2, 0 ))