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VECTORES EN 3 . PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. APLICACIONES DEL PRODUCTO

ESCALAR.

ING. MARTA LIDIA MERLOS ARAGÓN

.

Resumen.

Los vectores son de vital importancia para el estudio de la Estática, la Dinámica, Mecánica de los Fluidos,

Electricidad y magnetismo, entre otras aplicaciones a la Física y a la Ingeniería. También son aplicables al área

de la Economía. En un taller anterior estudiamos la definición de vector, sus características, un poco de su

historia, su importancia, métodos para sumar vectores y sus propiedades, el producto de un escalar por un vector,

expresar un vector como la combinación lineal de otros do n 2 , dependencia e independencia lineal entre

vectores. En este estudio se analizan llos vectores en un espacio de tres dimensiones. Se definirán los productos

escalar y vectorial en 3 y se detallaran algunas aplicaciones del producto escalar.

Iniciaremos recordando el Producto de un escalar por un vector. El producto de un vector A por un

escalar k es un vector Ak , con una magnitud k veces la magnitud del vector A y con igual sentido si

k es positivo, y con sentido opuesto si k es negativo. VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuya magnitud es igual a la unidad.

A cualquier vector 0, AconA , se le puede asociar un vector unitario denotado por A , paralelo al

vector A , tal que A

AA . Es decir:

A

AA

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Teorema. Cualquier vector C en 3 , puede ser expresado como una única combinación lineal de tres

vectores A , B y C tal que no sean ni paralelos entre sí, ni nulos, ni paralelos a un mismo plano, en la

forma: D mA nB pC , en donde m , n y p son escalares.

VECTORES UNITARIOS EN DIRECCIÓN DE LOS EJES X,Y e Z. Existen tres vectores que son perpendiculares entre sí y de magnitud igual a 1. Uno de ellos es paralelo

al eje x, dirigiéndose hacia la parte positiva del mismo, y se denota por i , el otro es paralelo al eje y

dirigiéndose hacia la parte positiva de él y se denota por j y un tercero, paralelo al eje z, dirigiéndose

hacia la parte positiva del mismo, y se denota por k .

Figura 1 VECTOR DE POSICIÓN EN EL

Eje z

Eje y

Eje x

2

ESPACIO TRIDIMENSIONAL. Todo vector que une un punto del espacio tridimensional con el origen de él, P (0,0,0) se denomina vector de posición. Figura 2

Teorema. “Cualquier vector V en tres dimensiones, puede ser escrito como una combinación lineal de

los vectores unitarios i , j , k en la forma jnimV ˆˆ + p k ”. Los escalares m,n y p se

denominan componentes rectangulares del vector V .

Módulo de un vector en 3 : representa el tamaño del vector. Observemos lo siguiente:

Proyectemos el vector V en el plano “xy”, tirando una perpendicular a dicho vector resultando el vector

M tal como se muestra en la figura siguiente:

Figura 4

Eje z

Eje y

Eje x

V

M

Eje z

Eje y

Eje x

.OP

3

En el plano “x y” tenemos: :

Notando que en el triángulo OAP formado en el plano “xy” tenemos que la magnitud del vector M M

es la hipotenusa de dicho triángulo, por lo que utilizando el teorema de Pitágoras podemos escribir:

22

x yM V V .

Luego la magnitud del vector 22

zVMV , obteniendo: 222

zyx VVVV

Definición. La magnitud o módulo de un vector en tres dimensiones se calcula como la raíz Cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector.

Es decir: 22 2

x y zV V V V

4

Dirección de un vector en 3 .

La dirección de un vector en 3 se puede indicar de dos formas:

a) Mediante un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector involucrado. Teniendo

en cuenta que, como hemos dicho anteriormente: ˆA

V

V , donde

V es un vector unitario en la

misma dirección y sentido que el vector V se tiene: ˆ x y z

V

V i V j V k

V

ˆ yx zV

V jV i V k

V V V

Luego:

2 2 22 2 2 2 2 2

ˆ yx z

V

x y z x y z x y z

V jV i V k

V V V V V V V V V

b) Mediante la ubicación de los ángulos que hace el vector en análisis, con la parte positiva de los

ejes x, y e z. Dichos ángulos reciben el nombre de ángulos directores del vector involucrado y se

denotan por ,, ; respectivamente.

Figura 9.

Eje z

Eje y

Eje x

V

5

De la figura 9, observe que: cos zV

V .

En forma similar cos xV

V cos

yV

V

γcosyβcosα,cos reciben el nombre de cosenos directores del vector V y los ángulos y,

son los ángulos directores de dicho vector.

Comparemos las expresiones de los cosenos directores del vector V con la expresión

V

kV

V

jV

V

iV zyxV , podemos observar que ˆ x

Vx

V

V , ˆ y

VY

V

V y ˆ Z

VZ

V

V

Por lo que podemos afirmar que: “Todo vector formado con sus cosenos directores es un vector unitario, en la misma dirección

y sentido que dicho vector”. Ya que ˆ yx zV

V jV i V k

V V V

Se tiene: ˆ cos cos cosV

i j k

Por la definición de vector unitario se tiene que: 1V

y por otro lado:

2 2 2ˆ cos cos cos

V

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación tenemos: 1coscoscos 222 .

Relación entre los cosenos directores de un vector. 1coscoscos 222 .

Ejemplo.

Calcule un vector unitario paralelo al vector cuyos dos de sus ángulos directores son 060 y

0120 .

Solución. 1coscoscos 222 luego 222 coscos1cos

22 coscos1cos por lo que: 220 0

135cos60cos1cos

5.025.0cos

Luego existen dos vectores unitarios que son paralelos al vector cuyos dos de sus ángulos

directores son 060 y

0135 . Dichos vectores son:

Solución 1: 0 0ˆ cos60 cos135 0.5 0.5 0.707 0.5

Vi j k i j k

Solución 2: 0 0ˆ cos60 cos135 0.5466 0.5 0.707 0.5

Vi j k i j k

6

Producto escalar entre dos vectores A y B .

El producto escalar, producto interno o producto escalar de dos vectores A y B , colocados con

origen común, el cual se denota como BA . se define como el producto de las magnitudes de los

vectores A y B , multiplicados por el coseno del menor ángulo que forman dichos vectores entre

sí. Dicho ángulo está comprendido entre 0| y 180°, es decir entre 0 y radianes,

radianesó 01800 0. Es decir: . cosA B A B .

A partir de la definición, tenemos que el producto escalar da como resultado un número real o escalar, de allí su nombre. Notemos que:

a) .A B es un número positivo si radianesó

20900 0

b) . 0A B si

radianesó

2900

c) .A B es un número negativo si radianesó

218090 00

Teorema.: “Dos vectores A y B son perpendiculares si y sólo si, su producto escalar es igual a cero”.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORES A y B . Notemos que el producto escalar no cumple la ley de cierre, ya que el resultado es un escalar.

1) Propiedad Conmutativa. A . B B . A ya que por definición: . cosA B A B y

. cosB A B A

2) Propiedad distributiva: . ( ) . .A B C A B AC

3) Propiedad asociativa respecto a un escalar: . . .mA C A mC m A C

4) Norma de un vector: 2

. cos0A A A A A

El cuadrado de un vector se interpreta como el producto escalar de un vector por si mismo y representa el cuadrado de la magnitud y recibe el nombre de norma del vector.

7

Producto escalar entre dos vectores A y B en 2 .

El producto escalar, producto interno o producto escalar de dos vectores A y B en 2 ,

colocados con origen común, el cual se denota como BA . se define como el producto de las

magnitudes los vectores A y B , multiplicados por el coseno del menor ángulo que forman

dichos vectores entre sí. Dicho ángulo está comprendido entre 0| y 180°, es decir entre 0 y

radianes, radianesó 01800 0 .

Teorema. A partir de la definición, tenemos que: “Dos vectores A y B son perpendiculares si

y sólo si, su producto escalar es igual a cero”.

Producto escalar entre dos vectores A y B en 2 , donde los vectores A y B expresados

en función de sus componentes rectangulares.

Sean jaiaA yxˆˆ y jbibB yx

ˆˆ , entonces el producto escalar de dichos vectores en 2

Se define como: yyxx babaBA . .

Ángulo formado entre los vectores A y B colocados con origen común.

Tenemos que. cos. BABA y yyxx babaBA . . Luego:

yyxx babaBABA cos. , por lo que BA

baba yyxx cos

luego:

BA

babaarc yyxxcos

Producto escalar entre dos vectores A y B en 3 , donde los vectores A y B expresados

en términos de sus componentes rectangulares.

Sean ˆ ˆx y zA a i a j a k y ˆ ˆ

x y zB b i b j b k , entonces el producto escalar de dichos vectores en

3 se obtiene de la siguiente forma:

. . . . . . . . . .x x x y x z y x y y y z z x z y z zA B a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k

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Como i j ; j k e ki , entonces . 0i j , . 0j k y . 0i k . Además 2

. 1i i i ,

2

. 1j j j y 2

. 1k k k obtenemos que . x x y y z zA B a b a b a b .

“El producto escalar de dos vectores se calcula como la suma de los productos de sus respectivas componentes”. Aplicaciones del producto escalar entre dos vectores.

I) Ángulo formado entre los vectores A y B colocados con origen común.

Tenemos que. cos. BABA y . x x y yA B a b a b . Luego:

. cos x x y y z zA B A B a b a b a b , por lo que cosx x y y z za b a b a b

A B

Luego:

BA

bababaarc

zzyyxxcos

Obtención de la fórmula de los cosenos directores de un vector V utilizando el producto escalar

entre dos vectores.

De la figura anterior se puede observar que los ángulos directores y, que forma el vector V ,

con la parte positiva de los ejes x, y, z; son los mismos ángulos que hace el vector V con los

vectores unitarios i , j , k , por lo que tenemos:

( I ): . cosiV i V , pero 1i ; luego: . cosx y zi V i V j V k V

Teniendo: cosxV V por lo que cos xV

V

(II) . cosjV j V , pero 1j ; luego: . cosx y zj V i V j V k V

Teniendo: cosyV V por lo que cosyV

V

9

( III ) . coskV k V , pero 1k ; luego: . cosx y zk V i V j V k V

Teniendo: coszV V por lo que cos zV

V

II) Proyecciones.

i) Proyección escalar de un vector sobre otro.

.Proy A

B

A B

B

A

.Proy B

A B

A

La Proyección escalar de un vector A sobre un vector B , denotado por A

BProy se calcula efectuando

el cociente entre el valor absoluto del producto escalar de los dos vectores involucrados y la magnitud

del vector donde cae la proyección”. Es decir: B

.Proy A

A B

B y

A

.Proy B

A B

A

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ii) Proyección vectorial o vector proyección de un vector A sobre un vector .

BB

BA

B

B

B

BA

B

BA

B

A ..

..

..

Proy2B

AA

BA

A

A

A

BA

A

BA

A

B ..

..

..

Proy2A

III) Demostraciones Geométricas utilizando producto escalar entre dos vectores.

1) Probar la ley del coseno: “En todo triángulo de lados a,b,c y ángulo opuesto al lado c, se cumple

que: cos2222 babac ”

De la figura: c b a

Tenemos que . . . . .cc b a b a b b b a ab a a

. . 2 . .c c b b b a a a

2 22

2 .c b b a a

2 22

2 . cosc b b a a . Luego: 2 22

2 . cosc a b a b L.Q.Q.D

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2) Demostrar que el segmento de recta que une el vértice de un triangulo isósceles con el punto medio de su base es perpendicular a la base.

P es el punto medio del lado AB .

Por definición de triángulo isósceles: AC B C . Debemos demostrar que h AB .Es decir debemos

probar que 0h AB

Luego: cbAB

h PA AC

1

2h AB AC Es decir:

1

2h AB b

. .h AB h b c

1. .

2h AB AB b b c

1. .

2h AB b c b b c

1 1. .

2 2h AB b c b b c

1 1. .

2 2h AB b c b c

1. .

2h AB b c b c

1. . . . .

2h AB b b bc c b cc

12

1. . 0 .

2h AB b b cc

2 21. 0

2h AB b c

2 21.

2h AB b c

Por definición de triángulo isósceles: b c ; por lo que: 2 21.

2h AB b b

1

. 0 02

h AB .

Conclusión: . 0h AB , por lo que se demuestra que h AB L.Q.Q.D

3) Demostrar el teorema de Apolonio: “En un triángulo de vértices ABC, en donde AD es la mediana del

lado BC. Se cumple que 2222

2

12 BCADACAB ”

Recordemos que mediana es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

AB c ; Notemos que:

AC b y BC a

  En el triángulo ABC tenemos que: acAD2

1 . Notemos que cba , por lo que:

1

2AD c b c

1 1

2 2AD c b c

1 1 1

2 2 2AD c b c b Luego:

2 1 1.

2 2AD AD AD c b c b

2 1 1 1

. . . .2 2 4

AD c b c b cc cb cb bb

13

2 2 2 2 21 1 1 1

2 . .4 4 2 4

AD c cb b c cb b

Por otro lado aBC , por lo que: a b c

2 2 2

BC a b c

2 2

. . . .BC b c b c b c bb bc bc cc

2 2 2

2 .BC b bc c

Luego: 2 2 2 22 21 1 1 1 1

2 2 . 2 .2 4 2 4 2

AD BC c cb b b bc c

2 2 2 22 21 1 1 1 1

2 . .2 2 2 2 2

AD BC c cb b b bc c

2 22 21

22

AD BC c b

Como: AB c , AC b tenemos que: 2222

2

12 ACABBCAD L.Q.Q.D

IV) Trabajo realizado por una fuerza en la dirección del movimiento.

Figura 18

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Un camión se transporta por la ciudad de San Salvador y “se queda” en la esquina del semáforo de la

Avenida Bernal con la Avenida Roosevelt. El motorista se baja y comienza a empujar el camión, logrando

empujarlo 10 metros, para no crear congestionamiento. Si empuja en la dirección del movimiento con una

fuerza constante de 300 Newton. ¿Cuánto trabajo realiza el motorista sobre el camión?. En este caso, el

motorista empuja el camión en la dirección en que quiere desplazarse. ¿Y si el motorista hubiera

empujado con un ángulo respecto al desplazamiento del camión? Sólo la componente de la fuerza en

la dirección del movimiento del camión, (300 Newton) cos , sería efectiva para mover el camión.

Obsérvese que aunque actúen otras fuerzas, solamente nos interesa el trabajo realizado por el motorista,

así que sólo consideramos la fuerza que él ejerce.

Si la fuerza F y el desplazamiento s tienen diferente dirección, y suponiendo que la fuerza F y el

ángulo son constantes, tomamos la componente de la fuerza F en dirección del vector

desplazamiento s y definimos el trabajo como el producto de esta componente por la magnitud del

desplazamiento. La componente en dirección del desplazamiento es cosF , por lo que

Trabajo W cosF s ( F es una Fuerza constante y el desplazamiento es rectilíneo).

Observe que si la fuerza F y el desplazamiento s tienen la misma dirección se tiene que 00 , por lo

que 1cos . Se habrá notado que la ecuación Trabajo W cosF s , representa el producto

escalar entre los vectores fuerza F y desplazamiento s .

Definición. El trabajo realizado por una fuerza F se define como el producto escalar entre la fuerza F y

el desplazamiento s. Es decir .W F s

Observe que: a) Por definición de producto escalar, se tiene que el trabajo es una cantidad escalar, aunque se

calcule utilizando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazamiento). b) El trabajo puede ser positivo, negativo o cero. Notemos que:

i) El trabajo es un número positivo, es decir .W F s es un número positivo si la fuerza tiene una

componente en la dirección del desplazamiento, es decir 0900

ii) El trabajo es un número negativo, es decir .W F s es un número negativo si la fuerza tiene una

componente opuesta al desplazamiento, es decir 00 18090

iii)El trabajo es igual a cero, es decir , .W F s es igual a cero, si la fuerza es perpendicular al

desplazamiento, siendo 090

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PRODUCTO VECTORIAL ENTRE DOS VECTORES

El producto vectorial, producto externo o producto cruz entre dos vectores A y B , el cual se denota

como BxA se define como otro vector perpendicular al vector A , perpendicular al vector B y

perpendicular al plano formado por dichos vectores.

El vector A x B se define como A x B A B sen u donde u es un vector unitario

perpendicular al vector A , perpendicular al vector B , y perpendicular al plano formado por

dichos vectores. El ángulo es el menor ángulo que forman los vectores A y B colocados con

origen común, por lo que está comprendido entre 0° y 180°, es decir 01800 y la magnitud del

vector A x B se calcula mediante la expresión A x B A B sen .

El vector A x B es perpendicular al plano formado por dichos vectores y presenta dos posibles sentidos: saliendo del plano formado por los vectores o entrando a él. La dirección y sentido del vector

A x B se obtiene mediante la regla de la mano derecha: Imaginemos que giramos el vector A alrededor de la línea recta perpendicular al plano formado por los vectores, hasta alinearlo con el vector

B , escogiendo el ángulo más pequeño de los dos posibles entre A y B . Coloque la mano derecha

extendida en el sentido del vector A con la palma dirigida hacia el vector B .Cierre la mano con la palma extendida, alrededor de la perpendicular imaginaria, con las puntas de los dedos apuntando en la

dirección de rotación; el pulgar extendido le indica la dirección y sentido del vector A x B . La dirección del producto cruz también es aquella en la que avanza un tornillo de rosca derecha (dextrogiro) si se gira

de A hacia B .

En forma similar, determinamos la dirección del vector B x A , girando B hacia A . El vector B x A

es un vector opuesto al vector A x B . El producto vectorial no es conmutativo. Para cualesquiera dos

vectores A y B se cumple que: A x B B( x A )

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL ENTRE DOS VECTORES A y B . Notemos que el producto vectorial cumple la ley de cierre, ya que el resultado es otro vector.

1) Propiedad Anti-Conmutativa. A x B B( x A )

2) Propiedad distributiva: ( ) .A x B C A xB A xC

3) Propiedad asociativa respecto a un escalar: .mA x C A x m C m AxC

4) A x A 0 (vector cero)

Observe que el módulo del vector A x A es igual a 000 senAA

Teorema.: “Dos vectores A y B son paralelos si y sólo si, su producto vectorial es igual al vector cero”.

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Demostración:

a) Probemos que si A y B son paralelos entonces su producto vectorial es igual al vector cero”.

Sabemos que si el vector A es paralelo al vector B entonces existe un escalar m tal que A m B

Luego: A x B (m B ) x B

Por propiedades de producto vectorial: A x B m (B x B )

Luego: A x B m ( 0 ) vector cero

b) Probemos que si A x B vector cero entonces A y B son paralelos.

Si A x B vector cero con A vector cero y B vector cero, tenemos que

A x B A B sen u , donde A vector cero y B vector cero, es el ángulo entre los

vectores y u es un vector unitario vector cero; por lo tanto el producto A B sen u no puede

ser igual al vector cero. Como A vector cero y B vector cero y

u es un vector unitario vector cero, el único factor que puede hacer que el producto sea igual al vector

cero es el sen y 0en s si 00 ó si

0180 lo que concluimos que A x B vector cero si

A es paralelo a B .

Interpretación geométrica de la magnitud de A x B

enh

sA

luego h A sen

Teniendo que: área del paralelogramo base x altura

Luego: área del paralelogramo A B sen θ AxB

A

B

h

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“El módulo o magnitud del vector producto cruz de los vectores A y B se interpreta como el área del paralelogramo formado por dichos vectores”.

Producto vectorial entre los vectores unitarios

i x j k , j x k i ; k x i j

i x k j ; j x i k ; k x j i

0j x j ; 0k x k ; 0i x i

Producto vectorial entre dos vectores expresados en término de sus componentes rectangulares.

Sean ˆ ˆx y zA a i a j a k y ˆ ˆ

x y zB b i b j b k , entonces el producto vectorial de dichos vectores en

3 se obtiene de la siguiente forma:

A x B

x x x y x z y x y y y z z x z y z za b ixi a b ix j a b ixk a b jx i a b jx j a b jxk a b kxi a b kx j a b kxk

utilizando los resultados del Producto vectorial entre los vectores unitarios y sustituyendo apropiadamente y posteriormente agrupando términos tenemos:

y z z y x z z x x y y xA xB a b a b i a b a b j a b a b k

El producto cruz también puede expresarse en forma de determinante:

A x x y z

x y z

i j k

B a a a

b b b

Ejemplo. Sean los vectores ˆˆ ˆ2 3 4A i j k y ˆ ˆ3 2 4B i j k . Encuentre un vector perpendicular

a los vectores A y B y al plano formado por dichos vectores.

A x 2 3 4

3 2 4

i j k

B

= ˆˆ ˆ20 4 13i j k

BIBLIOGRAFÍA.

Física universitaria, Sears. Zemansky, Young y Fredman. Novena edición.Pearson Educación.

Algebra Vectorial y Matrices. Vectores y Geometría Analítica vectorial, Mario Eduardo Escapini, UCA. El Salvador, C.A.