vectores en el espacio
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1
FÍSICAPara
Ingeniería
FÍSICA I
VECTORES (ESPACIO)
7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I
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CONTENIDO
o Representación por componentes de un vector en el espacio
o Cosenos directores
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Vector: representación por componentes (2a)
• El vector, si está en el origen, puede representarse mediante las coordenadas de su extremo final.
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x
6
5
𝑟
y
(5 ,6 ,4)
0
z4
𝑟=(5 ,6 ,4) – componente de – componente de – componente de
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Vector: representación por coordenadas (2b)
• Si no está en el origen, el vector también puede representarse mediante la diferencia de las coordenadas de sus extremos.
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x
6𝑟𝑟=(6 ,3 ,4 )
(8 ,6 ,9)
0
(2 ,3 ,5)
y(-)
z
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Vector. Cálculo del módulo, conocidas las componentes
• Se halla el módulo aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.
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𝑥
𝑟 𝑦
𝑟 𝑥
𝑟
𝑦
|𝑟|=√𝑟 𝑥2+𝑟 𝑦
2+𝑟𝑧2
𝑧
𝑟 𝑧
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Vector. Cálculo de la dirección conocidas las componentes
• La dirección puede hallarse con ayuda de la función tangente.
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𝛼 𝑥
𝑟 𝑦
𝑟 𝑥
𝑟
𝑦
𝑧𝑟 𝑧
𝛽=𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ( 𝑟 𝑦
𝑟 ) 𝛾=𝑎𝑟𝑐 𝑜𝑠( 𝑟 𝑧
𝑟 )
𝛽
𝛾
𝛼=𝑎𝑟𝑐 𝑜𝑠( 𝑟 𝑥
𝑟 )
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7
Ejercicio
• Calcular los ángulos de los cosenos directores del siguientes vector:
• Solución• El módulo del vector es
• Los ángulos son,
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¿Cómo calcular el coseno inverso ()?
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Vector unitario ()
• Es aquel vector que se caracteriza porque su módulo es la unidad e indica una dirección determinada.
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12 3
45 6 �⃗��⃗�=6 �̂�
6𝑒𝑠 𝐴como
�̂�=�⃗�6
�̂�=�⃗�𝐴1
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Vectores unitarios famosos …
• Son tres: , y , los cuales señalan la dirección positiva de los ejes , y respectivamente.
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x�̂�0
y
z
�̂�
�̂�
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Solución
Representación de vectores mediante vectores unitarios
• Represente el vector .• Represente el vector .
Respuestas
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�⃗�=4 �̂�−3 �̂�
�⃗�=3 �̂�− �̂�+5 �̂�
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Solución
Resultante de vectores representados con vectores unitarios
• Calcule la resultante de los siguientes vectores:
RespuestaEl vector resultante o suma se los vectores y es
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�⃗�=5 �̂�+4 �̂�+3 �̂�
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Ejercicio N° 2
• Escriba los vectores mediante vectores unitarios.
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�⃗��⃗�
𝐶
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Ejercicio 3
• Escriba los vectores mediante vectores unitarios.
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y
x
𝑟1 (3 ;5 )
𝑟2 (9 ;6 )
Solución
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Ejercicio N° 3
• Calcule el vector resultante expresado mediante vectores unitarios.
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�⃗��⃗�
𝐶
Solución
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Solución
Ejercicio N°1
• Determine los ángulos de los cosenos directores de los siguientes vectores:
y
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Ejercicio N°4
• Calcule el módulo del vector resultante expresado en vectores unitarios.
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1 3
5
−9
−5
2
0
�⃗�
�⃗�
𝐶�⃗�
y
5
x
Solución
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Solución
Ejercicio N°5
• Halle el vector resultante expresado en vectores unitarios.
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0
|�⃗�|=6
|�⃗�|=4
|�⃗�|=6|�⃗�|=4
y
x
Solución
37 °
225 °
120 °
−53 °
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Mg. Yuri Milachay Vicente
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• Físico. Máster en Física Teórica (UDN, Moscú). Magister en docencia universitaria (UAB, Santiago).• 30 años de experiencia docente; UNE, UPCH, EOFAP, UPC, UPN, URP.• Autor de libros de CTA para secundaria.
• Universidad de la Amistad de los Pueblos
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20
• Recuerda que si se conoce la dirección (ángulo, ) y el módulo (), las componentes son iguales a:
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