manual curso vectores en el espacio
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INTRODUCCIÓN Y ANÁLISIS DE VECTORES EN UN PLANO Y EN EL ESPACIO.TRANSCRIPT
CONCEPTOS DE VECTOR EN lR2,lR3 Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA E INCLUYE INTRODUCCIÓN A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.
INTRODUCCIÓN:
Anteriormente para el cálculo vectorial se consideraban funciones de variable real y valor real, o sea funciones definidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera funciones definidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicaciones prácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano.
En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y la potencia del Álgebra lineal se verán con mayor claridad cuando visualicemos Rn como un espacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio de Rn, ya que a partir de la geometría en R2
y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Se inicia con los conceptos de punto y vector en Rn, coordenadas, planos coordenados hasta llegar a la topología básica de Rn.
ESPACIO VECTORIAL
El conjunto Rn es la colección de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y está determinado por Rn = f(x1; x2; :::; xn)jxi 2 Rg: Recordando que el producto cartesiano de los conjuntos A y B no vacíos es por definición el conjunto A B de parejas ordenadas (a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano R R ::: R
La idea de emplear un número para situar un punto sobre una recta fue conocida por los griegos. En 1637 Rene Descartes utilizó un par de números para situar un punto en el plano y una terna de números para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayley y H.G. Grassman extendieron esta idea a n-tuplas de números reales. La representación geométrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identificada mediante un único número real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual forma la representación geométrica de R2, es el conjunto puntos P de un plano identificados mediante una única pareja ordenada de números reales (x1; x2), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas ejes de coordenadas x1 y x2, aunque es ms familiar usar para los puntos y los ejes x y y, en lugar de x1 y x2. Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P están formadas por la pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje x, luego su proyección en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denomina ordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyección en el eje y es un punto R(0; b). También la representación geométrica de R3, es el conjunto puntos P del espacio identificados mediante una única terna ordenada de números reales (x1; x2; x3), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas x1; x2 y x3; aunque es ms familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1, x2 y x3. Los tres ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0) y yz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un punto P (a; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy, xz y yx respectivamente y su proyección en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y (0; 0; c) obteniéndolos en forma geométrica trazando una perpendicular desde el punto hasta el plano coordenado. Aunque no se puedan graficar todos los casos, es posible imaginar la representación geométrica Rn, como el
conjunto de puntos P en Rn identificados mediante una n-tupla ordenada de números reales (x1; x2; xn), xi se denomina coordenada i-ésima o la componente i-ésima de P. Se adoptará la convención de usar letras en negrita para denotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente números reales.
Magnitudes físicas
Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número expresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa m, volumen V, temperatura T, longitud de onda , potencial eléctrico V, etc. A estas magnitudes se les denomina magnitudes escalares. Sin embargo, para describir adecuadamente ciertos sistemas físicos, deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un escalar (número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman magnitudes vectoriales y en los textos se representan mediante una letra con una flecha encima, o bien en negrita. Por ejemplo, la velocidad v ó v, la fuerza F, campo magnético B, etc. Vamos a ocuparnos de definir estas últimas y recordar las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo con ellas.
Definición de vector
Un vector es un ente matemático que representa una magnitud vectorial. Geométricamente es un segmento de recta orientado, es decir, una flecha. En tres dimensiones, se necesitan tres parámetros para definirlos; en dos dimensiones este número se reduce a dos. Estos parámetros pueden ser representados de distintas maneras, pero siempre tiene que haber un modo de pasar de una representación a otra, como veremos a continuación. En primer lugar es necesario definir un sistema de ejes perpendiculares entre sí: XYZ en 3 dimensiones ó XY en 2 dimensiones (ver figura).
Si v representa una magnitud vectorial, llamamos
módulo de v = o bien simplemente v, a la longitud de la flecha que la representa. El módulo debe ser siempre una cantidad positiva. Para completar la definición del vector es preciso indicar la dirección de la flecha. Suele darse
indicando el ángulo que la misma forma con uno de los ejes, θ. Cuando un vector se define con estas dos cantidades, se dice que está expresado en coordenadas polares.
Otra manera de representar la misma magnitud vectorial en el mismo sistema de ejes consiste en dar las proyecciones del vector a lo largo de cada uno de los ejes, vx y vy. Cuando el vector se define así, se dice que está expresado en coordenadas cartesianas y se suele representar como (vx, vy). ¿Cómo se transforman unas coordenadas en otras? A la vista de la figura, y utilizando relaciones trigonométricas sencillas se llega a:
En tres dimensiones, como ya se ha comentado, se necesitan tres parámetros para definir el vector. Las coordenadas cartesianas son ahora las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes XYZ y de forma análoga al caso anterior se suele representar el vector como (vx, vy, vz). Las coordenadas polares
reciben el nombre de coordenadas esféricas y están constituidas por el módulo del vector (v), el ángulo que forma con el eje Z (θ) y el ángulo que la proyección del vector sobre el plano XY forma con el eje X (ϕ) (ver figura).
El modo de pasar de unas coordenadas a otras es:
ORIGEN
Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
MÓDULO
En física, se llama módulo de un vector a la norma matemática del vector de un espacio euclídeo ya sea este el plano euclídeo o el espacio tridimensional. El módulo de un vector es un número que coincide con la "longitud" del vector en la representación gráfica.
El concepto de norma de un vector generaliza el concepto de módulo de un vector del espacio euclídeo.
Ejemplo:
Dado un vector del espacio euclídeo tridimensional expresado por sus componentes, V( )
su módulo es el número real dado por la expresión:
La intensidad o módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habrá
de ser proporcional al valor de la magnitud medida.
DIRECCIÓN:
La dirección de un vector es la recta que contiene al vector, o cualquier recta paralela a ella comparada contra uno de los ejes de referencia y separada mediante un ángulo de inclinación representado por la expresión tg=vx/vy
SENTIDO
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
MAGNITUD:
Es una propiedad o cualidad medible a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón
VECTORES EN EL ESPACIO
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular
en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos
coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante
las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto
y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o
componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
origen.
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se
pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0),
B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
Dados los vectores y , hallar los módulos de y ·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos
puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su
módulo.
OPERACIONES CON VECTORES
SUMAS DE VECTORES
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Ejemplos
1. Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
2. Dados los vectores y , hallar el módulo del vector .
Propiedades de la suma de vectores
1. Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
2. Conmutativa
+ = +
3. Elemento neutro
+ =
4.Elemento opuesto
+ (− ) =
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Propiedades del producto de un número por un vector
1. Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
2. Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
3. Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
4. Elemento neutro
1 · =
Ejemplo:
Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo:
Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son:
(1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Ejemplo:
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base
ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Ejemplo:
Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Ejemplo:
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2,
1, −1).
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Distributiva
4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección del vector sobre v, que lo denotamos como: .
Ejercicio:
Dados los vectores y hallar:
1 Los módulos de y ·
2 El producto escalar de y ·
3 El ángulo que forman.
4 La proyección del vector sobre .
5 La proyección del vector sobre .
6 El valor de m para que los vectores y sean ortogonales.
Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x, y, z), a los
cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.
Ejemplo:
Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los
dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos:
Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).
Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos
vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y .
El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área
del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo:
Dados los vectores y , hallar el área
del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
Área de un triángulo
La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Distributiva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.
x =
5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .
PRODUCTO MIXTO
El producto mixto de los vectores , y es igual al producto escalar del primer
vector por el producto vectorial de los otros dos.
El producto mixto se representa por [ , , ].
El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que
tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una
base orto normal.
Ejemplos:
Calcular el producto mixto de los vectores:
Volumen del paralelepípedo
El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas
aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.
Ejemplo
Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.
Ejemplo
Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).
Propiedades del producto mixto
1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de
signo si éstos se trasponen.
2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto
mixto vale 0.
EJERCICIOS DE PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL
1 Dados los vectores , y hallar:
1 , , ,
2 , , ,
3 ,
4 , ,
5 ,
2 Dados los vectores y , hallar:
1 Los módulos de y
2 El producto vectorial de y
3 Un vector unitario ortogonal a y
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y
3 Hallar el ángulo que forman los vectores y .
4 Hallar los cosenos directores del vector .
5 Dados los vectores y , hallar el producto y
comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar el vector y
compararlo con .
ECUACIONES DE PLANOS Y RECTAS
PLANOS Y RECTASAsí como una recta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado
por 3 puntos no colineales.
APLICACIONES DE LOS VECTORES
EJEMPLO 1
EJERCICIO 2
CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES
EJEMPLO
EJERCICIOS PPROPUESTOS
SUPERFICIES
PARA CILINDROS
EJERCICIOS
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1
En coordenadas cilíndricas R=k determina un cilindro circular recto de radio k,r = 0 determina el eje z, k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z y z=k determina también un plano. Entonces : z= x2 + y2 que representa la ecuación de un paraboloide.
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
PROPIEDAD
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJERCICIOS A RESOLVER
LONGITUD DE ARCO CON PARAMÉTRICAS