VECTORES1. En la figura se muestra un cubo de arista b = 2 unidades en el cual hay un vector R

que es la resultante de la suma de los vectores A y B.a) Encuentre ya sea las componentes rectangulares o

las expresiones vectoriales de A y R. b) Determine el vector B. c) Aplicando producto escalar encuentre el ángulo

entre los vectores Ay R. Rpta.: a)2(i+j-k), 2j-k, b)-2i +k, c)cos-1(0,7746)

2. En la figura se tiene un paralelepípedo de lados 8u, 4u y 15u con los vectores fuerza A y B. Las magnitudes de los vectores son: A = 170 u, B = 120u.

Encontrar: a) Los vectores A y Bb) El producto escalar A.Bc) El producto vectorial A x B

Rpta.a) A=9,73(8i -4j + 15k); B= 6,87 (8i + 4j-15k)b) A.B = -11,8x103

c) AxB = 66,8(240j + 64k)

3. Se tienen los vectores A = - 3i + 2j – k, B = 3j + 5k y C = 2i – 4k. Encontrar:a) El vector P = (A. B) C + A y el ángulo que hace con el eje +X. (1.5 puntos)b) El vector Q = (B. C) A - B y el ángulo que hace con el eje +Z. (1.5 puntos)c) El ángulo entre los vectores P y Q. (1 punto)

Rpta: a) P = - i + 2j – 5k; = 100,5 b) Q = 60i - 43j + 15 k ; = 78,5 c) =122,4

4. Dados dos vectores A y B. Si A = -5i + 3j – 8k y B = 4i –8j + k. Encuentre:a) El vector unitario perpendicular a ambos vectores.b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y B.

Rpta: a) –0,84 i – 0,37 j + 0,38 k b) 125,77

5. La figura muestra los vectores A, B, C, D, y E, si las magnitudes de los vectores A y C son A = 15 u, C = 10 u y = 37º. Encuentre:

a) Las componentes de los vectores A y Cb) La suma R =A + B + C + D + E; c) El ángulo que forma el vector R con el vector A Rpta: a) A =-12i + 9j, C = 10 i b) R= -4i + 18j c) 40, 45º

6. La suma de dos vectores es un vector , además se sabe que . Halle:

a) Los vectores b) El ángulo que forman dichos vectores.

Rpta: a) ; ). b) 90

7. En la figura se muestra un cubo de arista b = 4 unidades en el cual se muestra los vectores A, B y C. Calcular:

a) La expresión de los vectores A, B y C en función de i, j y k

b) El ángulo entre los vectores A y B (aplicando producto escalar)

c) Un vector unitario perpendicular a los vectores A y B.

b) Rpta. b) 35° c) (i– j) /21/2

8. En la figura se muestra el vector cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle:

a) Un vector unitario en la dirección del vector

b) Exprese el vector en componentes rectangulares.

c) El ángulo que forma el vector con el vector .

d) El vector x .

Rpta. a) 0,54i+0,71j-0,45k. b)27,0i+35,5j-22,5k. c)32,9°. d) 135j+216k

9. Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar:

a) Los vectores posición de los puntos A, B y C.b) El ángulo formado por los vectores OA y OB.c) La distancia del punto A a la línea de acción del vector OB.

Rpta. a) (3i + 4j + 5k) m, b) (5i + 2j) m, c) (-4i + 5j +3k) m. b) 53º

10. Una fuerza F de módulo tiene su origen en el punto C y tiene la dirección de la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle:

a) La expresión de la fuerza en componentes rectangulares. b) El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 ) c) El ángulo entre el vector torque y la recta AB de coordenadas A (1,2,0) y B

(3,1,3). Rpta. a) (4i-8j-4k)N. b) -16(i+k) Nm

11. Dado los vectores : A =2 i + 3 j + b k y B = 3 i – 5 j + 3 k , si se sabe que A y B son perpendiculares:

a) Hallar bb) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores A y B.c) Determinar los ángulos que hace este vector unitario con cada uno de los ejes

coordenados.Rpta. a) 3, b) 0,779i + 0,0974j – 0,617k, c) 38,8°, 84,4° y 128°

60 B

A

y

x

12. Las magnitudes de los vectores A y B son respectivamente 3 y 4 unidades. El ángulo entre ellos es de 60.

a) Cual es la magnitud del vector S = A + Bb) Cual es el ángulo entre el vector S y A c) Hallar un vector unitario perpendicular al vector A.

Ver figura.Rpta. a) 6,08 b) 34,7° c)

13. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a=6cm, b=3cm y c=6cm. Determinar:

a) Los vectores y b) El ángulo formado por las diagonales AG y

DF c) Un vector unitario perpendicular al plano

ODBF0. Rpta. a) y

d) 38,9°

e)

14. En la figura se muestra un cubo de arista a = 2m en el cual se encuentra el vector A, a lo largo de una diagonal. Calcular:

a) El vector A en términos de i, j y k.b) Los ángulos entre el vector A y los ejes coordenados.c) Un vector unitario perpendicular al plano que

contiene al vector A y al eje z. ( Use el producto vectorial )

Rpta. a) b) 125°, 125°, 54,7°

c)

15. Respecto a la figura mostrada, determinar:a) Los vectores , y

b) El ángulo formado por los vectores y

c) Un vector unitario perpendicular al plano

ABC. Nota: M es punto medio de BCRpta. a) AC= – 2i +4k, BC = – 3j +4k, CM= 1,5j –2

b) 44,3°

0

A

B

C

x

y

z

M

3m

4m

16. En la figura se muestra el vector , que une los puntos A y B. Si un vector fuerza, de módulo F = 112 N, se aplica al punto A con la misma dirección y sentido que el vector , determinar las expresiones cartesianas de :

a) El vector y el ángulo que éste hace con el eje Y.b) El vector c) El vector torque de la fuerza con respecto al

origen O.Rpta. a) (-5i-8j+6k)m y 136º. b) (-50,1i-80,1j+60,1k) N c) (481i-301j)Nm.

17. Respecto a la figura mostrada, determinar:

a) a) Los vectores , y

b) El ángulo formado por los vectores

y c) Un vector unitario perpendicular al plano

ABC. Nota: M es punto medio de BC

Rpta. a) (-2i + 4k), (-3j + 4k) y 1,5j – 2k)b) 44,3º, c) (0,77i + 0,51j + 0,38k) m

18. Se muestra un paralelepípedo rectangular y los vectores A, B y C. Halle:a) Las expresiones en componentes rectangulares

de los vectores A, B y C.b) La resultante c) El ángulo entre los vectores A y B.d) El torque con respecto al origen O de un vector

fuerza de modulo F = 100N y que tiene la dirección del vector C.

Rpta. a) A = 6i + 5k, B = 6i + 8j, C = 6i – 8j + 5kb) R = 6i + 10k, c) 62, 6°, d) 358i -268j Nm

19. En el paralelepípedo mostrado se muestra un vector fuerza de modulo F=130N y que sigue la dirección OC. Halle:

a) La expresión en componentes rectangulares de la fuerza F. (2p)b) La proyección vectorial de F en la dirección del vector OB. (2p)c) El torque de F con respecto al punto A. (1p)

Rpta. a) (40i + 120j + 30k) Nb) (40i + 30k) Nc) (-360i + 120j) Nm

20. Se tienen dos vectores conocidos:A = 2 i – j + 2 k B = - 2 i + 3 j – k. Encontrar:

a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 ( 1 punto )

6 m

X

Z

Y d

8 m5 m

0

A

B

b) El ángulo entre los vectores A y B. ( 1 punto )c) El ángulo entre los vectores B y C. ( 1 punto )

Rpta. a) C = -2i + 2j-1,5k. b) 143° c) 16,3 °

21. La figura muestra un cubo de 2m de lado. Las fuerzas y actúan en los

puntos P y Q. Determinar:

a) El ángulo entre las fuerzas y (1

pto) b) Los vectores posición de los puntos P

y Q. (1 pto)c) El torque o momento resultante de

las fuerzas

y respecto del punto 0. (3 ptos)

Rpta. a) 113°, b) (2i +2j +2k) m y (2i + 2j) m, c) (-2i -2j -12k) Nm

22. Se tienen dos vectores conocidos:A = 3 i – 6 j + 4 kB = - 4 i + 5 j – 3 k

Encontrar:a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 (2p)b) El ángulo entre los vectores A y B. (1p) c) El producto vectorial A X B (2p)Rpta. a) –3,5i +5,5j –3,5k b)168 c) –2i –7j –9k

23. La figura muestra dos vectores A y B el módulo del vector es A = 500 u y el ángulo = 37º. Si la suma de estos dos vectores es . Encuentre :

b) El vector . (2P)c) El ángulo que hace el vector con el

vector (2P)

Rpta. a) -400i +600j; b) 33,7°

24. Dado los vectores y , encontrar:a) El vector R = (A.B) (A – B) b) El ángulo entre los vectores A y B.c) El ángulo entre los vectores R y A.d) El producto vectorial AxB.

Rpta. a) 8i + 40j + 8k. b) 66° . c) 41° d) 17i -2j – 7k

25. Tres cubos iguales de lados a = 6,50 cm están situados en la forma indicada en la figura.

X

Y

Z

2 (3 5 )F i j N ������������������������������������������

1 (3 5 4 )F i j k N ��������������������������������������������������������

0

P

Q

a) Los vectores OA y OBb) El ángulo formado por estos vectoresc) Un vector unitario perpendicular a OB y al eje X

Rpta. a) 2aj + 2aj y ai + 2aj + 2ak, b) 19,5° c) (j – k)/21/2

26. La figura muestra un cubo de arista a = 2 m y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Determinar. (5P)

a) Los vectores y b) El ángulo formado entre los vectores y c) El producto

Rpta. a) (–i + k) y 8(i +j – k), b) 145°, c) -8i – 8k

27. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Hallar. (5P)

a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto

Rpta. a) 5i – 5k y -i –j +k , b) 145, c) -5i – 5k

28. En la figura mostrada, los módulos de los vectores son A = 10u, F = 20 u y el ángulo = 37 ° . Encuentre: (5P).

a) Los vectores y b) El vector c) El ángulo que forma el vector con

Rpta. a) (-6i+8j)u; (16i+12j)u; b) (20i+40j)u; c) 26,6˚

29. Los vectores y son perpendiculares entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x es menor que 70°. Determinar: (5P)

a) Los vectores y

b) Un vector de modulo que sea paralelo al vector c) Un vector unitario paralelo al vector Rpta. a) , b)

c)

30. La figura muestra un cubo de arista a = 2,00 m y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Determinar:

a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto

Rpta.a) A = 1,06(i-k); B= 20,2(-i-j+k)b) 145o

c) -21,4(i+k)

31. En el paralelepípedo de la fig. se muestra un vector fuerza de modulo F = 943,4 N y que sigue la dirección . Halle:

a) La expresión en componentes rectangulares de un vector unitario que tenga la dirección de

b) La expresión vectorial de .c) El ángulo entre el vector y el vector .

Aplique el producto escalar.d) El torque de con respecto al punto O.

Rpta. a) 0,424i+0,848j-0,318kb) 400i+800j-300j N; c) 32,0; d) -2400i +1200j Nm

32. El cubo de la figura tiene 2m de arista; sobre él se muestran dos vectores A y B. Halle:

a) La expresión en componentes rectangulares de los dos vectores.

b) El vector suma: , también en componentes rectangulares.

c) El vector producto vectorial: , también en componentes rectangulares.

d) El ángulo que forman los vectores S con A.

Rpta. a) A = -2i+2j; B 0 -2i-2j-2ki. -4i-2k

ii. -4i+4j+8kiii. 50,8o

33. La figura muestra los vectores . Determinar: el vector en términos de los vectores unitarios .

Rpta. 6i – 10j

34. Las fuerzas , y se muestran en la figura, donde el módulo de las tres fuerzas igual a N. Determinar:

a) La fuerza resultante.b) El ángulo que forma la fuerza resultante con el eje

+Z.c) El torque resultante respecto al punto B.Rpta. a) (240 i + 1140j +320k)N; b) 74,6 ; c) (-2920i + 2190j - 1232 k) Nm

35. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6,50 cm, b=3,20 cm y c=6,80 cm. Determinar:

a) Los vectores y b) El ángulo formado por las diagonales y c) Un vector unitario perpendicular al plano

ACGEA.

Rpta. a) (-3,20i +6,50j) cm; (3,20i -6,50j -6,80k) cm; b) 137; c) c) -0,897i – 0,442j

36. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular, en el cual hay un vector , que es resultante de la resta de los vectores . Halle:

a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores .

b) El vector .c) La suma de d) Calcule el ángulo entre los vectores aplicando el producto

escalare) Vector unitario perpendicular al plano formado por a y b: Rpta. a) 4i – 6j; 4i-6j+8k; b) -8k; 4i-6j-8k; 48,0 ; 0,832i +0,555 j

37. La figura muestra los vectores , , , y

, en donde los módulos de lo vectores y son 20N y 10N respectivamente. Determinar:

a) Los vectores y en función de los vectores

unitarios y . (2 ptos)

b) El vector resultante en función de los

vectores unitarios y . (2 ptos)

c) El ángulo entre los vectores y . (2 ptos)Rpta. a) (18,1i+8,45j) N; (-6,02i+7,99j) N; b) (24,2i + 32,9j) N; c) 28,7°

38. La figura muestra los vectores y . Si los módulos de los vectores

y son respectivamente 20N y 40N. a) Hallar los vectores y en función de los

vectores unitarios y . (1p)

b) Determine el vector resultante en función de los

vectores unitarios y . (2P)

c) El ángulo formado por el vector y . (1P)d) El producto vectorial (1P)

39. En la figura se muestra a los vectores .

a) Determinar las expresiones de los 3 vectores en función de sus componentes en los ejes X, Y y Z.

b) Efectuar: ( x ).

c) Hallar el ángulo formado por ( + ) y ( - ).}Rpta. A) -3i+5j-2k; -2i+5j+4k; 2i+2j-4k b) -112; c) 105

40. La fuerza resultante de las 4 fuerzas concurrentes que actúan sobre la argolla es = 800 N. Determine el modulo de la fuerza y el ángulo que especifica la dirección de la fuerza de 900N.

41. La figura muestra los vectores y . Si las

magnitudes de los vectores y son A= 5 N, B = 10 N. Determinar:

a) Los vectores y en función de los vectores

y . (1 pto)

55°

25°

x

y

A��������������

B��������������C

��������������

D��������������

E��������������55°

25°

x

y

A��������������

B��������������C

��������������

D��������������

E��������������

b) La suma en función de los

vectores unitarios y (2 ptos)

c) El ángulo que forma el vector con el vector . (2 ptos)

42. El paralelpipedo mostrado, tiene dimensiones a = 3,5 cm, b = 4,2 cm y c= 12 cm. Se aplica una fuerza de 30N en el punto B. Halle:

a) El vector unitario en la dirección de F y la expresión vectorial de F, en términos de los vectores i, j, k.

b) El ángulo que forma el vector F con el vector BA.c) El vector perpendicular formado por los vectores F y

BA.

43. La figura muestra una partícula de 0.2 Kg de masa que se mueve en una trayectoria curva. Su posición en el instante de tiempo t es P (4,8) m y su velocidad y fuerza aplicada está representada por los vectores indicados.

Encontrar:

a) El vector de posición de la partícula. (1 punto)b) Si la relación entre la fuerza y la aceleración esta

dada por , donde m es su masa, ¿Cuál es el valor del vector aceleración?. (1 punto)

c) Si el torque de la fuerza ejercida por la partícula respecto del origen es dado por la ecuación

, hallar el vector torque respecto del origen. (1 punto)

d) Hallar el vector aceleración tangencial en P(4,8). (2 puntos)

44. La figura muestra gráficamente cuatro vectores ubicados en el plano XY.a) Expresar cada vector en el plano XY en función de los vectores unitarios i, j. (1

punto)b) Encontrar el vector : (2 puntos) c) El ángulo entre los vectores y (2 puntos)

O