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MECANICA Y ONDAS
Tema 1
II
Indice general
1. Cinematica 11.1. Trayectorias, velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La referencia movil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Las formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Coordenadas polares en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Coordenadas cilındricas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7. Objeto de la cinematica. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8. Sistemas de coordenadas curvilıneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III
IV INDICE GENERAL
Capıtulo 1
Cinematica
En este capıtulo se tratan los conceptos fısicos y matematicos esenciales para una correctadescripcion del movimiento, ası como las nociones fundamentales de la cinematica y dinamicade partıculas puntuales.En esencia, la cinematica es el estudio del movimiento de cuerpos materiales, sin consideracionde las fuerzas que generan tal movimiento. Se trata por tanto de una descripcion geometricadel movimiento, y no de buscar razones (fısicas o de otra ındole) por las cuales este se produce.Sera la dinamica quien de respuesta a esta importante cuestion. Las herramientas esencialespara la descripcion del movimiento seran los metodos de la geometrıa diferencial y la teorıade ecuaciones diferenciales. En este sentido, podemos decir que la finalidad de la cinematica eshallar aquellas ecuaciones diferenciales que describan un cierto movimiento.
Una de las nociones centrales de la mecanica es la de masa puntual (tambien llamada partıculapuntual o simplemente partıcula). Con el fin de evitar confusiones innecesarias, conviene comen-tar brevemente el alcance e interpretacion de este concepto. La consideracion de masas puntualeses meramente una idealizacion de un cuerpo real, y no implica en modo alguno que este sea detamano reducido o de forma puntual o esferica. Para el problema fısico que se este planteando,la masa puntual pone de manifiesto que el movimiento del cuerpo viene adecuadamente descritosi centramos el estudio en un punto concreto, generalmente el centro de masas, despreciando elmovimiento de los restantes puntos del cuerpo o solido. Esta simplificacion es util para descartarinformacion no inmediatamente relevante al movimiento del cuerpo, si bien los resultados sonmeramente aproximativos. Por ejemplo, para determinar la orbita de un cuerpo celeste (comola Tierra) alrededor de una estrella, puede considerarse el modelo de partıculas puntuales. Esevidente que para otro tipo de problemas, como los geofısicos o geodinamicos, el estudio de lasmareas o la evolucion de los glaciares, el modelo de masa puntual es insuficiente, dado que lascondiciones locales y la orografıa del terreno son fundamentales para una correcta comprensiondel fenomeno. Los fenomenos electromagneticos son otro ejemplo clasico que marcan los lımitesde validez de los modelos mecanicos puntuales.
1.1. Trayectorias, velocidad y aceleracion
Las caracterısticas esenciales del movimiento de una partıcula son su velocidad y su aceleracion,de las cuales se deducira la trayectoria de la partıcula, es decir, la curva espacial que determinael recorrido de la partıcula con respecto al tiempo. Consideremos una partıcula puntual que se
1
2 1.1. TRAYECTORIAS, VELOCIDAD Y ACELERACION
mueva en el espacio afın euclıdeo orientado A3. En estas condiciones, siempre puede elegirseuna base ortonormal {e1, e2, e3} del espacio lineal subyacente a A3 y con respecto a la normaeuclıdea usual.Formalmente, dado un intervalo I ⊂ R, una curva o trayectoria en A3 se define a partir de unaaplicacion diferenciable
r : I ⊂ R→ A3, t 7→ r (t) . (1.1.1)
En el marco de la mecanica, supondremos implıcitamente que toda curva es al menos de claseC2, es decir, que r sea al menos diferenciable dos veces.Consideremos ahora una partıcula que se mueva a lo largo de una trayectoria r (t) en A3, y cuyascomponentes vengan descritas, en coordenadas cartesianas, por {x (t) , y (t) , z (t)}.
Figura 1.1: Trayectorias en A3 y A2 respectivamente.
Para cada tiempo t0, su posicion P viene determinada por el vector de posicion r (t0) = x (t) e1 +y (t) e2 + z (t) e3. Si consideramos un incremento temporal ∆t0, la velocidad (instantanea) de lapartıcula viene definida por
v =d r
dt= r(t) = lım
∆t0→0
r (t0 + ∆t0)− r (t0)
∆t0, (1.1.2)
donde la unidad de medida es m/s. Respecto de la referencia ortonormal {e1, e2, e3}, el vectorvelocidad esta definido por
v = r (t) = x (t) e1 + y (t) e2 + z (t) e3. (1.1.3)
Es inmediato comprobar que el vector v es tangente a la curva r en el punto P . La magnitudde la velocidad viene dada por
v = ‖v‖ =
∥∥∥∥d r
dt
∥∥∥∥ = +
√x (t)2 + y (t)2 + z (t)2. (1.1.4)
Notese que la magnitud es un numero real, mientras que la velocidad es un vector de A3.Definimos la aceleracion a de una partıcula de forma analoga (medida en m/s2):
a =d 2r
dt2=dv
dt= lım
∆t0→0
v (t0 + ∆t0)− v (t0)
∆t0, (1.1.5)
3
dada en la referencia ortonormal por
a = r (t) = x (t) e1 + y (t) e2 + z (t) e3, (1.1.6)
y cuya magnitud es nuevamente la norma de este vector
‖a‖ =
∥∥∥∥dv
dt
∥∥∥∥ = +
√x (t)2 + y (t)2 + z (t)2. (1.1.7)
Es importante destacar que tanto la velocidad como la aceleracion son relativas, en el sentidode que un observador cuya referencia no sea la ortonormal {e1, e2, e3}, no tiene porque observarlos mismos vectores de velocidad y aceleracion.
En efecto, si dos partıculas M1 y M2 se mueven en A3 con velocidades v1 y v2, respectivamente,ası como aceleraciones a1 y a2, tiene sentido comparar la velocidad y aceleracion de la partıculaM2 con respecto a M1 (o viceversa). Los vectores
vM1M2 := v2 − v1, aM1M2 := a2 − a1 (1.1.8)
reciben el nombre de velocidad relativa y aceleracion relativa de M2 con respecto a M1.
1.2. La referencia movil
La descripcion de trayectorias mediante una referencia ortonormal de A3 no constituye siempre lamejor eleccion de un sistema de coordenadas, ya que finalmente se trata de una referencia externaal movimiento de la partıcula. La referencia movil, en cierto sentido una referencia naturalasociada al movimiento, emplea un sistema de coordenadas variable adaptado a la trayectoriade la partıcula. Denotaremos esta referencia (ortonormal) movil mediante R = {t,n,b}, dondepara cada tiempo t, la base R esta orientada positivamente.1
Denotaremos al vector t como el vector tangente unitario a la trayectoria. Puesto que el vectorvelocidad v es siempre tangente a la trayectoria, se tiene la relacion
v = vt. (1.2.1)
Tomando la diferencial del vector v con respecto al tiempo t, se deduce que
a =dv
dt=dv
dtt + v
dt
dt. (1.2.2)
Puesto que t es un vector unitario, se verifica la relacion t2 = t · t = 1, y por tanto
dt2
dt= 2
dt
dt· t = 2t · t = 0, (1.2.3)
es decir, los vectores t y t son ortogonales. Si n designa el vector ortonormal (convenientementeorientado) a t y paralelo a t, claramente se deduce que t = λn, donde λ es un cierto factor
1Esto es, el determinante de la matriz de componentes de dichos vectores es positivo.
4 1.3. LAS FORMULAS DE FRENET
de proporcionalidad. Con el fin de determinar este, aproximamos la trayectoria mediante unacircunferencia de radio R (vease la figura 1.2).2
Figura 1.2: Radio de curvatura
De la semejanza del triangulo inferior obtenemos ∆ϕ = |∆r| /R, mientras que del triangulosuperior resulta la identidad ∆ϕ = |∆t| / |t| = |∆t|. Comparando ambas expresiones, teniendoen cuenta que para angulos pequenos se puede tomar sin ∆ϕ ≈ ∆ϕ, la relacion buscada es
∆ϕ =|∆r|R
= |∆t| ⇒ λ =v
R. (1.2.4)
El escalar R se llama el radio de curvatura de la trayectoria en el punto dado. Con ello, el vectoracelaracion viene especificado por
a = vt +v2
Rn. (1.2.5)
Es importante visualizar correctamente la descomposicion vectorial de (1.2.5). El primer su-mando tiene su origen en la tasa de variacion de la velocidad, mientras el segundo lo tiene enel cambio de direccion de la velocidad. Por este motivo, el primer sumando recibe el nombrede aceleracion tangencial, mientras el segundo se llama aceleracion normal (o centrıpeta). Lareferencia se completa con el llamado vector binormal b = t×n deducido del producto vectorialde t y n. En el marco de la mecanica, este vector no suele utilizarse con mucha frecuencia. Noobstante, si juega un papel en relacion con el llamado vector velocidad angular, que deduciremosen primera instancia a partir de las llamadas formulas de Frenet.
1.3. Las formulas de Frenet
Dada una curva r (t) en A3, hemos visto que la referencia ortonormal {t,n,b} definida anterior-mente se mueve con la partıcula. La variacion de este triedro a lo largo del tiempo se caracterizamediante el estudio de las derivadas de los vectores de la base, que han de ser en cada punto P
2Esta circunferencia se llama osculatriz, y corresponde a una circunferencia que aproxima la curva en el punto dadocon un orden de contacto al menos dos.
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de la trayectoria una combinacion lineal de {t,n,b}, es decir
d t
dt= a11 (t) t + a12 (t) n + a13 (t) b,
dn
dt= a21 (t) t + a22 (t) n + a23 (t) b, (1.3.1)
db
dt= a31 (t) t + a32 (t) n + a33 (t) b
para ciertas funciones aij (t). Evaluando ahora el producto escalar de cada una de estas ecua-ciones con {t,n,b}, y utilizando las propiedades de ortonormalidad, se obtienen las relaciones
a11 (t) = a13 (t) = a22 (t) = a31 (t) = a33 (t) = 0,
a12 (t) = −a21 (t) = kP ; a23 (t) = −a32 (t) = τP .
Teniendo en cuenta estas identidades, el sistema (1.3.1) se reduce a las llamadas formulas deFrenet de la curva r (t) :
d t
dt= kPn,
dn
dt= −kpt + τPb,
db
dt= −τPn. (1.3.2)
El escalar kP recibe el nombre de curvatura de r (t) en el punto P , mientras que τP se denominala torsion de r (t) en P . Ambas cantidades son independientes de la representacion particularde la curva r (t), y constituyen por tanto invariantes de la misma. La curvatura mide cuantose aleja la trayectoria de ser una recta en el punto P , mientras que la torsion constituye unamedida para determinar cuanto se aleja r (t) de estar contenida en un plano.3
Curvatura de una trayectoria plana.
Aunque no se vaya a emplear sistematicamente, conviene indicar que el radio de curvaturaanteriormente definido tiene un significado geometrico importante. Dada una trayectoria en elplano
r (t) = x (t) e1 + y (t) e2, (1.3.3)
se define la curvatura de r en el punto P = r (t0) mediante la expresion
kP =|x (t0) y (t0)− x (t0) y (t0)|(
x (t0)2 + y (t0)2) 3
2
. (1.3.4)
El radio de curvatura R usado en el paragrafo anterior esta determinado por la curvatura (enel punto P ) mediante la relacion R = 1/kP . El centro de la circunferencia osculatriz tiene porcoordenadas
(ξ, η) =
x (t0)−y (t0)
(x (t0)2 + y (t0)2
)|x (t0) y (t0)− x (t0) y (t0)|
, y (t0) +x (t0)
(x (t0)2 + y (t0)2
)|x (t0) y (t0)− x (t0) y (t0)|
(1.3.5)
3En la Geometrıa Diferencial, mas especıficamente en la teorıa de curvas, la referencia movil aquı obtenida (triedrode Frenet) juega un papel relevante en el estudio de las propiedades intrınsecas de las curvas. Vease por ejemplo [2]para una exposicion detallada.
6 1.3. LAS FORMULAS DE FRENET
Observamos que, si no se fija un valor del parametro temporal, la curvatura es una funcion quedepende de las componentes de velocidad y aceleracion de la curva r (t). Si para todo puntoP = r (t0) se verifica la identidad kP = k0, decimos que r (t) es una curva plana de curvaturaconstante. La circunferencia S1 es la trayectoria mas sencilla con esta propiedad.
Consideremos como ejemplo la curva plana dada por
r (t) = a cos t e1 + b sin t e2, (1.3.6)
donde a ≥ b son dos constantes positivas. La trayectoria de r (t) corresponde a una elipse
centrada en el origen de coordenadas y excentricidad ε =√a2−b2a . Utilizando la formula (1.3.4)
obtenemos para un t arbitrario
k =ab(
a2 + (b2 − a2) (cos t0)2) 3
2
=ab(
a2 + ε2x (t0)2) 3
2
.
Observamos que para ε→ 0, la elipse se convierte en una circunferencia, de modo que lımε→0 k =a−1, de lo que se deduce que el radio de curvatura de la circunferencia coincide con su radio.Por otra parte, el centro de la circunferencia osculatriz es
(ξ, η) =
(ε2x (t0)2
acos t0,
b2 − a2 + ε2x (t0)2
bsin t0
),
que para ε → 0 tiende al centro de la circunferencia S1, demostrando que S1 coincide con sucircunferencia osculatriz en cualquier punto.
Un segundo ejemplo mas general que el anterior viene dado por las trayectorias descritas enterminos de una ecuacion diferencial de primer orden
P (x, y) dx+Q (x, y) dy = 0. (1.3.7)
En este caso, el parametro temporal no aparece explıcitamente, ya que se ha expresado lacoordenada y (t) en funcion de x (t). Un calculo elemental muestra que se verifican las relaciones
dy
dx= −P
Q,d2y
dx2=
P
Q2
∂P
∂y− 1
Q
∂P
∂x+
P
Q2
∂Q
∂x− P 2
Q2
∂Q
∂y. (1.3.8)
La formula (1.3.4) se reescribe mediante
k =
∣∣∣ d2ydx2
∣∣∣(1 +
(dydx
)2) 3
2
. (1.3.9)
Realizando las simplificaciones pertinentes, resulta de esta ultima expresion que la curvatura seexpresa en terminos de P y Q por la formula
k =
∣∣∣P Q (∂P∂y + ∂Q∂x
)−Q2 ∂P
∂x − P2 ∂Q∂y
∣∣∣(P 2 +Q2)
32
. (1.3.10)
Tomando P = x y Q = y, las trayectoria determinada por la ecuacion (1.3.7) es nuevamente
una circunferencia, y evaluando la expresion (1.3.10), resulta que k =(x2 + y2
)− 12 = 1/R.
7
Curvatura y torsion de trayectorias espaciales
Como es natural, las curvas en A3 presentan una mayor generalidad que las curvas planas, hechoque implica la necesidad de introducir nociones adicionales para el estudio y caracterizacion delas propiedades de trayectorias. Antes de definir los conceptos de curvatura y torsion paracurvas espaciales, comentamos brevemente una forma alternativa de describir curvas en A3. Enocasiones es conveniente representar la trayectoria de una partıcula como la curva que resultade la interseccion de dos superficies en A3.4 Este tipo de situacion es comun en los sistemasmecanicos sujetos a ligaduras, como se vera mas adelante.
Dados dos campos escalares Fα : Uα ⊂ R3 → R (α = 1, 2), y supuesto que en un puntoP ∈ U1 ∩ U2 se verifica la relacion
∂F1
∂xe1 +
∂F1
∂ye2 +
∂F1
∂ze3 ∦
∂F2
∂xe1 +
∂F2
∂ye2 +
∂F2
∂ze3, (1.3.11)
puede siempre hallarse un entorno V ⊂ U1 ∩ U2 que contiene P y de modo que las solucionesdel sistema
F1 (x, y, z) = 0, F2 (x, y, z) = 0 (1.3.12)
determinan una curva r (t) que pasa por el punto P . En este caso, las ecuaciones de la curva seobtienen de forma implıcita, de las cuales puede extraerse la representacion parametrica usual.
Dado un punto P de la curva r (t) = x (t) e1 +y (t) e2 +z (t) e3, la curvatura se calcula mediantela formula
kp =‖r (t)× r (t)‖‖r (t)‖3
(1.3.13)
En terminos explıcitos de sus coordenadas, se tiene que
kP =
√∣∣∣∣ y (t) z (t)y (t) z (t)
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ z (t) x (t)z (t) x (t)
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ x (t) y (t)x (t) y (t)
∣∣∣∣2(x (t)2 + y (t)2 + z (t)2
) 32
. (1.3.14)
Observese que la curvatura es siempre positiva o nula. Por otra parte, la torsion τP esta deter-minada por
τP =det (r, r,
...r )
(r× r)2 , (1.3.15)
lo que en coordenadas {x (t) , y (t) , z (t)} da lugar a la expresion
τP =
∣∣∣∣∣∣x (t) y (t) z (t)x (t) y (t) z (t)
...x (t)
...y (t)
...z (t)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ y (t) z (t)y (t) z (t)
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ z (t) x (t)z (t) x (t)
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ x (t) y (t)x (t) y (t)
∣∣∣∣2. (1.3.16)
A diferencia de la curvatura, la torsion de una curva puede ser negativa.Es inmediato comprobar que si r (t) es una recta en A3, entonces kP = 0 por ser r (t) = 0,
4Las curvas planas tambien admiten esta representacion, supuesto que una de las superficies es un hiperplano fijode A3.
8 1.3. LAS FORMULAS DE FRENET
mientras que si la trayectoria no es una recta pero esta contenida en un plano, entonces el vector...r (t) tiene que ser una combinacion lineal de r (t) y r (t), lo que implica τP = 0. Por este motivola torsion no se define para curvas planas.
Ejemplo 1. Consideremos un movimiento helicoidal dado por la curva (vease la Figura 1.1)
r (t) = (a cos t ) e1 + (a sin t) e2 + b t e3; a, b > 0.
De (1.3.14) y (1.3.16) se calculan facilmente la curvatura y torsion de la curva
kP =a
a2 + b2, τP =
b
a2 + b2,
de lo que deducimos que la helice es una trayectoria de curvatura y torsion constantes.
El vector de Darboux
El interes de introducir el triedro de Frenet en la cinematica, al margen de una presentaciongeometrica mas rigurosa, tiene por objeto ilustrar un vector que jugara un papel importante enel estudio de las leyes de conservacion de sistemas mecanicos.Tomando como punto de partida las ecuaciones de Frenet (1.3.2), buscamos un vector no nuloω que satisfaga las siguientes condiciones:
t = ω × t, n = ω × n, b = ω × b. (1.3.17)
El vector ω se llama en ocasiones vector de Darboux, y su expresion se deduce facilmente apartir de la referencia movil. Dado que {t,n,b} es una referencia ortonormal, existen escalaresa1, a2, a3 tales que
ω = a1t + a2n + a3b.
El producto vectorial de ω por cada uno de los vectores de la base da lugar a las combinacioneslineales siguientes:
ω × t = a3n− a2b; ω × n = −a3t + a1b; ω × b = a2t− a1n.
Comparando ahora esta expresion con (1.3.2), deben satisfacerse las identidades a1 = kP , a2 = 0,a3 = τP , con lo que el vector de Darboux esta determinado por
ω = τP t + kPb. (1.3.18)
Observese que ω es una combinacion lineal de los vectores tangente unitario y binormal, sincomponente en la direccion normal.En un capıtulo posterior, veremos que el vector de Darboux corresponde al llamado vectorvelocidad angular instantanea del sistema de referencia {t,n,b} al trasladarse por la trayectoriacon velocidad unidad.
9
1.4. Coordenadas polares en el plano
Para movimientos en el plano, es generalmente conveniente considerar el sistema de coordenadaspolares, en lugar de emplear las coordenadas cartesianas o la referencia movil. Si el vector deposicion es r = xe1 + ye2, consideramos las nuevas coordenadas {ρ, θ}, donde ρ designa ladistancia del punto (x, y) al origen de coordenadas cartesianas O = (0, 0) y θ es el angulo queforma la recta que parte del origen y pasa por la masa puntual y el eje x (ver figura):
Figura 1.3: Coordenadas polares
La transformacion de coordenadas viene especificada por tanto mediante la asignacion:
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ (1.4.1)
Como nueva referencia {eρ, eθ} elegimos los vectores que estan relacionados con {e1, e2} me-diante la combinacion funcional
eρ = cos θ e1 + sin θ e2, eθ = − sin θ e1 + cos θ e2. (1.4.2)
Es necesario tener en cuenta que, para distintos valores del angulo θ, los vectores eρ (y eθ) noson paralelos, ya que dependen de la posicion. Puesto que e1 y e2 son base ortonomal, se deducede (1.4.2) que eρ · eθ = 0 y ‖eρ‖ = ‖eθ‖ = 1, es decir, estos vectores forman asimismo unareferencia ortonormal (dependiente de la posicion). En particular, la referencia original vienedada por
e1 = cos θ eρ − sin θ eθ, e2 = sin θ eρ + cos θ eθ. (1.4.3)
De (1.4.1) y (1.4.2) se deduce facilmente que r = ρ eρ y
r(t) = v = ρ eρ + ρθ eθ. (1.4.4)
Analogamente, utilizando que
x = ρ cos θ − 2θρ sin θ − ρθ sin θ − ρθ2 cos θ,
y = ρ sin θ + 2θρ cos θ + ρθ cos θ − ρθ2 sin θ,
obtenemos facilmente el vector de aceleracion
r(t) = a =(ρ− ρθ2
)eρ +
(2ρθ + ρθ
)eθ. (1.4.5)
10 1.5. COORDENADAS CILINDRICAS ESPACIALES
Comentamos brevemente una alternativa para obtener el mismo resultado, sin realizar no obs-tante los calculos del cambio de referencia. Partiendo de r = ρ eρ y considerando la diferencialtotal se obtiene la expresion
dr = dρ eρ + ρdeρ. (1.4.6)
Como eρ depende del angulo θ (vease (1.4.2)), aplicando la regla de la cadena resulta
deρdt
=deρdθ
dθ
dt= θeθ,
y en virtud de la ecuacion (1.4.6) se sigue la identidad (1.4.4). De forma similar, la diferencialde la expresion (1.4.4) es
d r = dρ eρ + ρ deρ + d(ρθ)
eθ +(ρθ)d eθ, (1.4.7)
y utilizando quedeθd t
= −θ eρ, (1.4.8)
se sigue de (1.4.7) que
d r
dt= ρ eρ + ρθeθ +
(ρθ + ρ θ
)eθ − ρθ2 eρ, (1.4.9)
que coincide con la formula (1.4.5) obtenida mediante el cambio de referencia.
Observamos finalmente que, en terminos de coordenadas polares, la curvatura kP de una tra-yectoria en un punto P = ρ (θ) eρ esta dada por
kP =
∣∣ρ2 + 2ρ2 − ρ ρ∣∣
(ρ2 + ρ2)32
. (1.4.10)
1.5. Coordenadas cilındricas espaciales
Las coordenada polares en el plano pueden generalizarse de forma natural a las coordenadascilındricas en A3. La relacion entre las coordenadas cartesianas y cilındricas viene dada por
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z. (1.5.1)
Figura 1.4: Coordenadas cilındricas
11
Observese que la ultima coordenada no ha sufrido modificacion, mientras que las dos primerasson coordenadas polares planas para cada z fijo. En consecuencia, la trayectoria, velocidad yaceleracion de una masa puntual se deducen inmediatamente de las formulas (1.4.4) y (1.4.5):
r = ρ eρ + z ez, (1.5.2)
v = ρ eρ + ρθ eθ + z ez,
a =(ρ− ρθ2
)eρ +
(2ρθ + ρθ
)eθ + z ez.
1.6. Coordenadas esfericas
Las coordenadas esfericas {ρ, θ, ξ} en A3 indican la distancia ρ de la masa puntual al origen decoordenadas (cartesianas), ası como el angulo θ que forma el vector de posicion r (t) con el ejede las z y el angulo ξ que determina la proyeccion ortogonal de la recta generada por r (t) sobreel plano {z = 0} y el eje de las x (Fig. 5). En terminos analıticos, el cambio de coordenadasviene descrito por
x = ρ sin θ cos ξ, y = ρ sin θ sin ξ, z = ρ cos θ. (1.6.1)
Figura 1.5: Coordenadas esfericas.
De ello se deduce de inmediato que r (t) = ρeρ. En este caso, el vector eρ depende de los dosangulos, por lo cual, para determinar el vector velocidad, se tendra
v =dr
dt= ρeρ + ρ
deρdt
= ρeρ + ρ
(deρdθ
dθ
dt+deρdξ
dξ
dt
).
Puesto que el vectordeρdθ
= (cos θ cos ξ, cos θ sin ξ, − sin θ)
es unitario y ortogonal a eρ, establecemos eθ =deρdθ . Por otra parte,
deρdξ
= (− sin θ sin ξ, sin θ cos ξ, 0)
12 1.7. OBJETO DE LA CINEMATICA. EJEMPLOS
es un vector ortogonal a eρ y eθ, pero de norma∥∥∥deρdξ ∥∥∥ = sin θ. Tomamos por tanto como tercer
vector de la referencia esfericaeξ = (− sin ξ, cos ξ, 0) .5
En consecuenciav = ρeρ + ρθ eθ + ρ sin θ ξ eξ. (1.6.2)
Derivando nuevamente respecto de t y simplificando resulta finalmente
r = a =(ρ− ρθ2 − ρξ2 sin2 θ
)eρ +
(ρθ + 2ρθ − 1
2ρξ2 sin (2θ)
)eθ
+(ρξ sin θ + 2ρξ sin θ + 2ρθξ cos θ
)eξ. (1.6.3)
Para determinados problemas, es conveniente considerar sistemas de coordenadas aparentemen-te mas complicados, como las coordenadas parabolicas o cilındricas, que permiten una mejorinterpretacion del movimiento. Para sistemas de coordenadas arbitrarios, la obtencion directade los vectores r,v y a puede ser sumamente laboriosa. No obstante, en un capıtulo posterior,cuando se trate el formalismo lagrangiano, estableceremos un metodo efectivo y mas directopara calcular las componentes de la aceleracion, ası como las correspondientes ecuaciones delmovimiento de la partıcula.
1.7. Objeto de la cinematica. Ejemplos
Tratamos en esta apartado varios ejemplos que ilustran las nociones cinematicas vistas hastaahora. Tres son las preguntas que se plantean tıpicamente en el marco de la cinematica:
1. Se conoce la trayectoria r de una partıcula. Se buscan la velocidad y la aceleracion.Este caso es practicamente trivial, ya que se obtiene la respuesta mediante derivacion.
2. Se conoce la velocidad v de una partıcula, y se buscan la aceleracion y su trayectoria.La aceleracion se obtiene facilmente, mientras que para calcular la trayectoria, debe in-tegrarse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Dependiendode v, el problema puede ser insoluble en terminos analıticos. Un ejemplo clasico de estasituacion lo constituye el sistema de Lorenz en modelos atmosfericos.6
3. Se conoce la aceleracion a de una partıcula, y se buscan la velocidad y trayectoria.Esta situacion enlaza de forma natural con la dinamica, como se vera en el paragrafosiguiente. La velocidad se obtiene mediante la integracion de un sistema de ecuaciones di-ferenciales ordinarias de primer orden, mientras la trayectoria resulta de la integracion deun sistema de segundo orden (o primer orden sobre las velocidades). En situaciones realis-tas, tales sistemas raramente admiten una solucion explıcita en terminos de las funcioneselementales.
5El determinante de la matriz A =
sin θ cos ξ sin θ sin ξ cos θcos θ cos ξ cos θ sin ξ − sin θ− sin ξ cos ξ 0
es uno, lo que demuestra que los signos
se han elegido adecuadamente.6Para las integrales del movimiento de este sistema, vease M. Kus 1983 J. Phys. A: Math. Gen. 16 L689.
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Ejemplo 2. Movimiento rectilıneoSe trata del caso mas elemental. Si v1 y v2 son dos vectores ortogonales de A2, la ecuacion deuna recta puede escribirse en la forma
r (t) = v1 + λ (t) v2
De esta expresion resulta de forma inmediata la velocidad y aceleracion
v = λ (t) v2, a = λ (t) v2.
Observamos que, aunque la trayectoria es siempre la misma recta, esta se recorre con diferentevelocidad dependiendo del valor de la funcion λ(t).
Ejemplo 3. Movimiento circularPara un movimiento circular, es suficiente considerar las coordenadas polares establecidas conanterioridad, o bien las coordenadas cilındricas para una superficie de nivel z fija.
Figura 1.6: Movimiento circular.
En este caso, puesto que r (t) =ρeρ, tenemos que ρ es constante, al tratarse de un movimientosobre una circunferencia S1 de radio fijo, y donde θ (t) depende de la velocidad de la partıcula.De las formulas (1.4.4) y (1.4.5) se deducen
v = ρθ eθ, v = ρ∣∣∣θ∣∣∣ , a = −ρθ2 eρ + ρθeθ (1.7.1)
Por otra parte, si empleamos la referencia movil, es facil convencerse de que t = eθ y n = −eρ,en la que reconocemos la expresion (1.2.5). La cantidad ω = θ se denomina velocidad angular,mientras que ω = θ se designa como aceleracion angular.
Ejemplo 4. Aceleracion centralDado un movimiento para el cual el vector de aceleracion a o su opuesto −a apunte a un puntofijo P del espacio A3, diremos que el movimiento esta provisto de una aceleracion central yllamaremos a P el centro de aceleracion. Tomando este como origen de la referencia, se tiene
a = ±‖a‖ r
‖r‖. (1.7.2)
Considerando el producto vectorial de los vectores de posicion r y velocidad v, y derivando conrespecto al tiempo, resulta la identidad
d
dt(r× v) =
dr
dt× v + r× dv
dt= r× a = 0 (1.7.3)
14 1.8. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILINEOS
en virtud de (1.7.2).Como caso particular de una aceleracion central, si consideramos un movimiento circular convelocidad angular ω constante, tenemos que a = −ρθ2eρ, por lo que el vector de aceleracionsiempre apunta al centro de la circunferencia.
1.8. Sistemas de coordenadas curvilıneos
Hasta el momento, se han visto los sistemas de coordenadas cartesiano, polar, cilındrico y esferi-co, ası como la referencia movil. No obstante, estas referencias son tan solo las mas usuales entreuna gran cantidad de sistemas de coordenadas que se emplean en Mecanica u otras disciplinasde la Fısica. En este paragrafo presentamos brevemente algunos de estos sistemas, ası como elprocedimiento para deducir estas referencias a partir de una transformacion de coordenadas.7
Supongamos un cambio de referencia de las coordenadas cartesianas {x, y, z} a unas coordenadasgenerales8 {q1, q2, q3}. Analıticamente, el cambio de coordenadas viene expresado por
x = x (q1, q2, q3) ,
y = y (q1, q2, q3) , (1.8.1)
z = z (q1, q2, q3) .
Puesto que un cambio de coordenadas tiene que ser reversible, las qi son asimismo expresablescomo funciones de {x, y, z}. Geometricamente, un punto P = (x0, y0, z0) viene determinado porla interseccion de las superficies de nivel {qi = cte, 1 ≤ i ≤ 3}.9 Para cada una de estas superficiesde nivel qi = cte podemos hallar un vector unitario normal a esta superficie, que designaremospor eqi . Formalmente, estos vectores pueden determinarse a partir de los siguientes vectores10
w1 =∂x
∂q1e1 +
∂y
∂q1e2 +
∂z
∂q1e3,
w2 =∂x
∂q2e1 +
∂y
∂q2e2 +
∂z
∂q2e3, (1.8.2)
w3 =∂x
∂q3e1 +
∂y
∂q3e2 +
∂z
∂q3e3.
Si las superficies de nivel son mutuamente ortogonales, entonces los vectores {eq1 , eq2 , eq3} defi-nidos por
eqa =∂
∂qi/
∥∥∥∥ ∂
∂qi
∥∥∥∥ , a = 1, 2, 3 (1.8.3)
7El lector familiarizado con la geometrıa diferencial no tendra dificultad en reconocer el procedimiento como elusado para el estudio de los espacios tangentes a variedades diferenciables.
8Las coordenadas se diran curvilıneas siempre que al menos una de las superficies de nivel no sea un hiperplano deA3.
9A diferencia del caso cartesiano, estas superficies de nivel no tienen que ser mutuamente ortogonales.10El lector familiarizado con el analisis vectorial clasico reconocera la relacion del procedimiento con el vector gra-
diente. La notacion en Geometrıa Diferencial para los vectores que siguen es
wqi =∂
∂qi, 1 ≤ i ≤ 3.
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forman la referencia (curvilınea) ortonormal buscada. En caso contrario, una referencia de es-te tipo puede hallarse usando cualquiera de los metodos de ortonormalizacion conocidos delAlgebra Lineal. Como ejemplos ilustrativos del metodo mencionamos los casos polar y esfericointroducidos anteriormente. Para el caso general, el calculo explıcito de la referencia ortonormaltransformada puede ser un proceso largo y laborioso. Detalles mas explıcitos de estas nociones,ası como su contexto geometrico, pueden hallarse en textos generales como [1, 2].
Coordenadas elıpticas cilındricas
La transformacion de coordenadas viene explicitada por
x = λ coshu cos v,
y = λ sinhu sin v, (1.8.4)
z = z,
donde λ es una constante positiva y 0 ≤ u <∞, 0 ≤ v < 2π.
Figura 1.7: Coordenadas elıpticas cilındricas
Es facil ver que las superficies de nivel correspondientes son, respectivamente
u = cte: cilindros elıpticos; w1 = λ sinhu cos v e1 + λ coshu sin v e2
v = cte: cilindros hiperbolicos; w2 = −λ coshu sin v e1 + λ sinhu cos v e2
z = cte: planos paralelos al plano generado por {e1, e2}; w3 = e3.
Usando los vectores (1.8.2) es inmediato comprobar que las superficies de nivel son mutuamenteortogonales.
16 1.8. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILINEOS
Coordenadas parabolicas cilındricas
El cambio de coordenadas esta definido por
x = u v,
y =1
2
(v2 − u2
), (1.8.5)
z = z,
donde −∞ < u <∞, 0 ≤ v <∞.
Figura 1.8: Coordenadas parabolicas cilındricas
Las superficies de nivel son, respectivamente:
u = cte: cilindros parabolicos; w1 = v e1 − u e2
v = cte: cilindros parabolicos; w2 = u e1 + v e2
z = cte: planos paralelos al plano generado por {e1, e2}; w3 = e3.
Las superficies de nivel son mutuamente ortogonales.
Coordenadas bipolares cilındricas
El tercer tipo de sistema de coordenadas de tipo cilındrico que analizaremos es el de las coorde-nadas bipolares, definidas por
x =λ sinhu
coshu− cos v,
y =λ sin v
coshu− cos v, (1.8.6)
z = z,
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con λ una constante positiva y u ∈ R, 0 ≤ v < 2π.
Figura 1.9: Coordenadas bipolares cilındricas.
Las superficies de nivel vienes dadas, respectivamente, por
u = cte: cilindros circulares con centro en x = λ cothu;
w1 =λ (1− cos v coshu)
(coshu− cos v)2 e1 −λ sin v sinhu
(coshu− cos v)2 e3
v = cte: cilindros circulares con centro en y = λ cot v;
w2 = − λ sin v sinhu
(coshu− cos v)2 e1 +λ (cos v coshu)
(coshu− cos v)2 e2
z = cte: planos paralelos al plano generado por {e1, e2}; w3 = e3.
Sistemas de tipo no cilındrico
Eliminando la tercera coordenada, cada uno de los tres sistemas de coordenadas anteriores dalugar a un sistema de coordenadas en el plano, llamados respectivamente sistemas de coordenadaselıpticas, parabolicas y bipolares. Mediante la rotacion de estos sistemas de coordenadas endistintas direcciones, pueden obtenerse nuevas referencias de tipo no cilındrico que admitenelementos de simetrıa.11
Como ejemplo ilustrativo de esta clase, consideramos las coordenadas prolatas esferoidales defi-nidas mediante
x = λ sinhu sin v cosϕ,
y = λ sinhu sin v sinϕ, (1.8.7)
z = λ coshu cos v,
donde λ es una constante positiva, 0 ≤ u < ∞, 0 ≤ v ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π. Estas coordenadasresultan de una rotacion del sistema elıptico plano en torno al eje mayor. Las correspondientessuperficies de nivel son
11Denominamos elemento de simetrıa a un objecto geometrico respecto del cual se lleva a cabo una operacion desimetrıa.
18 1.8. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILINEOS
u = cte: esferoides prolatos;
w1 = λ coshu sin v cosϕe1 + λ coshu sin v sinϕe2 + λ sinhu cos ve3
v = cte: hiperboloides de dos hojas;
w2 = λ sinhu cos v cosϕe1 + λ sinhu cos v sinϕe2 − λ coshu sin ve3
ϕ = cte: planos que contienen el eje de las z;
w3 = −λ sinhu sin v sinϕe1 + λ sinhu sin v cosϕe2
Figura 1.10: Coordenadas prolatas esferoidales.
El uso de las coordenadas prolatas esferoidales es muy comun en el tratamiento de los proble-mas fısicos que involucren dos puntos focales, correspondientes a los focos de los elipsoides ehiperboloides de revolucion. Un ejemplo de un tal sistema viene puede encontrarse en el estudiode la molecula de hidrogeno [1].La rotacion del sistema de coordenadas elıptico en torno al eje menor de la elipse produce elsistema de coordenadas oblatas esferoidales.
En la siguiente tabla se resumen los principales sistemas de coordenadas que poseen al menosun elemento de simetrıa, correspondientes a ejes de traslacion o ejes de rotacion.
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Cuadro 1.1: Sistemas de coordenadas y sus elementos de simetrıa.
Sistema Coordenadas TransformacionEje detraslacion
Eje derotacion
Cartesianas {x, y, z} 3 ejes -
Cilındricas {ρ, θ, z}x = ρ cos θy = ρ sin θz = z
eje z eje z
Esfericas {ρ, θ, ξ}x = ρ sin θ cos ξy = ρ sin θ sin ξz = ρ cos θ
- 3 ejes
Elıpticas cilındricas {u, v, z}x = λ coshu cos vy = λ sinhu sin vz = z
eje z -
Parabolicas cilındricas {u, v, z}x = u vy =
(v2 − u2
)/2
z = zeje z -
Bipolares cilındricas {u, v, z}x = λ sinhu
coshu−cos v
y = λ sin vcoshu−cos v
z = z
eje z -
Prolatas esferoidales {u, v, ϕ}x = λ sinhu sin v cosϕy = λ sinhu sin v sinϕz = λ coshu cos v
- 1 eje
Oblatas esferoidales {u, v, ϕ}x = λ cosu cos v cosϕy = λ coshu cos v sinϕz = λ sinhu sin v
- 1 eje
Parabolicas {u, v, ϕ}x = u v cosϕy = u v sinϕz =
(v2 − u2
)/2
- 1 eje
Toroidales {u, v, ϕ}x = λ sinhu cosϕ
coshu−cos v
y = λ sinhu sinϕcoshu−cos v
z = λ sin vcoshu−cos v
- 1 eje
Bi-esfericas {ξ, η, ϕ}x = λ sin ξ cosϕ
cosh η−cos ξ
y = λ sin ξ sinϕcos η−cos ξ
z = λ sinh ηcos η−cos ξ
- 1 eje
Al margen de estos sistemas de coordenadas, hay tres tipos adicionales de importancia que care-cen de elementos de simetrıa, correspondientes a los sistemas de coordenadas confocal elipsoidaly sus dos formas degeneradas, las coordenadas confocales parabolicas y conicas. El sistema con-focal elipsoidal es un tipo de referencia muy general, y puede demostrarse que salvo los tiposbipolar, toroidal y bi-esferico, los demas sistemas de coordenadas pueden derivarse del confo-cal elipsoidal. Un tratamiento detallado de las principales propiedades de estos sistemas puedehallarse en la monografıa de Arfken [1].
20 Referencias complementarias
Cuadro 1.2: Sistemas de coordenadas sin elementos de simetrıa.Sistema Coordenadas Transformacion Parametros
Confocaleselipsoidales
{ξ1, ξ2, ξ3}
x2 =(a2−ξ1)(a2−ξ2)(a2−ξ3)
(a2−b2)(a2−c2)
y2 =(b2−ξ1)(b2−ξ2)(ξ3−b2)
(a2−b2)(b2−c2)
z2 =(c2−ξ1)(ξ2−c2)(ξ3−c2)
(a2−c2)(b2−c2)
a2 > ξ3 > b2 > ξ2 > c2 > ξ1
Confocalesparabolicas
{ξ1, ξ2, ξ3}x2 =
(a2−ξ1)(a2−ξ2)(ξ3−a2)a2−b2
y2 =(b2−ξ1)(ξ2−b2)(ξ3−b2)
a2−b2
z =(a2+b2−ξ1−ξ2−ξ3)
2
c2 > ξ22 > b2 > ξ2
3
Conicas {ξ1, ξ2, ξ3}
x2 =(ξ1ξ2ξ3bc
)2
y2 =ξ21(b2−ξ23)(ξ22−b2)
b2(c2−b2)
z2 =ξ21(c2−ξ22)(c2−ξ23)
c2(c2−b2)
ξ3 > a2 > ξ2 > b2 > ξ1
Referencias complemenarias
[1] G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, New York, 1970.
[2] V. V. Pogorelov. Geometrıa diferencial, Editorial Mir, Moscu, 1977.