VECTOR

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Definición Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano).Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

(left) , donde Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ).Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:1 2 3módulo: la longitud del segmentodirección: la orientación de la rectasentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la rectaEn inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.4Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.

Características de un vector 

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector en de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representada por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar: Nombre Dirección Sentido Modulo Punto de aplicación

Magnitudes vectoriales

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadasvectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o

mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas. Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es unescalar).Ejemplos

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación

correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores

representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Clasificación de vectores Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores,

pueden distinguirse distintos tipos de los mismos: Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción. Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular. Podemos referirnos también a: Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan

por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.1 En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción. Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción

son paralelas. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un

mismo plano).

Componentes de un vector 

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, sonnúmeros reales.Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Representación gráfica de los vectoresAunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

Suma de vectoresLa definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.

Producto por un escalarLa definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Operaciones con vectoresSuma de vectoresPara sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos

vectores.

Método del triángulo o método poligonal

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectoresDados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido . La función (que toma como argumentos dos elementos de , y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:

Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada

por la derecha:

Hermiticidad: ,

Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).

|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.Proyección de un vector sobre otroPuesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.Ángulos entre dos vectoresLa expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que el .Vectores paralelos o en una misma dirección [editar]Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

Propiedades del producto escalar1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

Expresión analítica del producto escalar [editar]Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Norma o Módulo de un vectorSe define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que

Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i, j, k}

de modo que

Productos interiores definidos en espacios vectoriales usualesCitamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en Teoría de Espacios Normados. Todos estos productos -llamados canónicos- son sólo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos espacios.

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el número complejo conjugado de En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales

donde tr(A) es la traza de la matriz A y es la matriz traspuesta de A.En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos

donde tr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz traspuesta conjugada de A.En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado tal que :

GeneralizacionesFormas cuadráticasDada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

Donde:

es una base del espacio vectorial Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.Tensores métricosSe pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente de la siguiente manera:

Producto vectorialSean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante1 :

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

Ejemplo El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades

IdentidadesCualesquiera que sean los vectores , y :

, (anticonmutatividad)

, cancelación por ortogonalidad.

Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

.

, conocida como regla de la expulsión.

, conocida como identidad de Jacobi.

, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

Bases ortonormales y producto vectorialSea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:

; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.

; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).

, , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

Vectores axialesCuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.Generalización a n dimensiones [editar]Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede

generalizarse a dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores,

dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

Derivada ordinaria de un vectorDado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra

en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.4 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Derivada covariante de un vectorCuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no sólo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen y otros factores menos comunes.

Ángulo entre dos vectoresEl ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Descomposiciones de un vectorDado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a la velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado,

simplemente conexo y de cuadrado integrable admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

Cambio de base vectorial

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha

definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial asociada definida por

los versores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x , y , z ), con una base′ ′ ′

vectorial asociada definida por los versores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

Que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

EjemploEn el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

Las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectorialesNo cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentesobservadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.