Representación gráfica de un vector comoun segmento orientado sobre una recta.

Esquema de un vector como unsegmento de recta entre dos puntos Ay B

VectorDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En física, un vector (también llamado vector euclidiano ovector geométrico) es una magnitud física definida en unsistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (olongitud) y una dirección (u orientación).1 2 3

En Matemáticas se define un vector como un elemento de unespacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchosespacios vectoriales no es posible representar sus vectoresmediante el módulo y la dirección. En particular los espacios dedimensión infinita sin producto escalar no son representables deese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se puedenrepresentar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio

.

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplazaun móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el casode un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobreun objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa;también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.

Índice

1 Conceptos fundamentales1.1 Definición1.2 Características de un vector1.3 Magnitudes vectoriales1.4 Notación1.5 Clasificación de vectores1.6 Componentes de un vector1.7 Representación gráfica de los vectores

1.7.1 Suma de vectores1.7.2 Producto por un escalar

2 Operaciones con vectores2.1 Suma de vectores

2.1.1 Suma de vectores sobre un mismo punto2.1.2 Método del paralelogramo2.1.3 Método del triángulo o método poligonal2.1.4 Método analítico para la suma ydiferencia de vectores

2.2 Producto de un vector por un escalar2.3 Producto escalar2.4 Producto vectorial2.5 Derivada ordinaria de un vector2.6 Derivada covariante de un vector2.7 Ángulo entre dos vectores

(left)

Componentes de un vector.

2.7 Ángulo entre dos vectores2.8 Descomposiciones de un vector

3 Cambio de base vectorial4 Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales5 Véase también6 Referencias7 Bibliografía8 Enlaces externos

Conceptos fundamentales

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudesfísicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Definición

Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales(que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos losvectores de dimensión se representa como (formado medianteel producto cartesiano).

Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

, donde

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usandofrecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir trescaracterísticas:1 2 3

módulo: la longitud del segmentodirección: la orientación de la rectasentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define elvector con solo dos características: módulo y dirección.4

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origeny extremo respectivamente.

Coordenadas cartesianas.

Coordenadas tridimensionales.

Características de un vector

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector estaen el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobrelos ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que setraza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorialrepresentado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

NombreDirecciónSentidoMóduloPunto de aplicación

Magnitudes vectoriales

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura,etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecenotras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no

Representación gráfica de una magnitudvectorial, con indicación de su punto deaplicación y de los versores cartesianos.

Representación de los vectores.

quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estasúltimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector.En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, unvector se representa por un segmento orientado. Así, un vectorqueda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud omódulo, siempre positivo por definición, y su dirección, lacual puede ser representada mediante la suma de suscomponentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes decoordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinanel ángulo que forma el vector con los ejes positivos decoordenadas.5 6

Se representa como un segmento orientado, con una dirección,dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitudrepresenta el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la"punta de flecha" indica su sentido.1 2 3

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textosimpresos por letras en negrita, para diferenciarlas de lasmagnitudes escalares que se representan en cursiva. En lostextos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representancolocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (elcual es un escalar).

Ejemplos

... representan, respectivamente, lasmagnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulode una magnitud vectorial también se representaencerrando entre barras la notación correspondiente alvector: ...En los textos manuscritos se escribe: ... paralos vectores y ... o ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo delsegmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en laFigura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores querepresentan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representanfrecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Clasificación de vectores

Componentes del vector.

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, puedendistinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por unmismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.1 En inglés sedice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica elsentido.Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción sonparalelas.Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismoplano).

Componentes de un vector

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puedeexpresar como una combinación lineal de tres vectores unitarioso versores perpendiculares entre sí que constituyen una basevectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios serepresentan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y,z positivos. Las componentes del vector en una base vectorialpredeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadascon comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en unsistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vectorque, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vectorfila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), delmodo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admiteuna base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respectoa dicha base. Dado un vector solo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Representación gráfica de los vectores

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción alerror, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejoresresultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en unextremo).La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dosextremos permanecen en el mismo lugar y orden.El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene untriángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vectormanteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas doscualidades los distingue visualmente de otros vectores.Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya queno siempre pertenecen al espacio de vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores yproducto por un escalar:

Suma de vectores

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siemprevisualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que wdescompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véaseque en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negroen su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan seroptativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista unvector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(­u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, ­u, que sumado a u simplifiqueen un vector cero.

Producto por un escalar

La definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final delvector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea modifica,visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado lasrepresentaciones en el caso que además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para

facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un pocomás expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse comouno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar,mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Método del paralelogramo.

Método del triángulo.

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que elextremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Suma de vectores sobre un mismo punto

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en físicapara que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición defuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momentode fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicación se definen la fuerza resultante como elpar:[cita requerida]

Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación es elpunto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultantees de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para lafuerza resultante.

Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos.Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de maneraque los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazandorectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo delotro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (vergráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dichoparalelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación deotro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectorescoincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante esaquel cuyo origen coincide con el del primer vector y terminaen el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulode es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulodel vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantasveces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cadauna de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Producto por un escalar.

Con la notación matricial sería

Producto escalar

Producto vectorial

Derivada ordinaria de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de lavariable t, calculando la derivada de cada una de suscomponentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en lafigura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa elvector posición en función del tiempo t. Derivandotendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determinael vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cadainstante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.4 Si derivásemos de nuevoobtendríamos el vector aceleración.

Derivada covariante de un vector

Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" comocuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo dependeno solo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de lavariación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivadaordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia noinercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen yotros factores menos comunes.

Ángulo entre dos vectores

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Descomposiciones de un vector

Dado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer elprimer vector en una componente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en unacomponente paralela a la velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensiónmecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otraparalela.

También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplementeconexo y de cuadrado integrable admite la llamada descomposición de Helmholtz comosuma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

Cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial

En matemáticas las rotaciones son transformacioneslineales que conservan las normas en espaciosvectoriales en los que se ha definido una operación deproducto interior. La matriz de transformación tiene lapropiedad de ser una matriz unitaria, es decir, esortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x,y, z) con una base vectorial asociada definida por losversores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejescoordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, demodo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial asociadadefinida por los versores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operadorlineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Ejemplo

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Cambio de base vectorial.

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar lamatriz por el vector, obtendremos la expresión del vector enla nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n­tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n­tuplarepresente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentesobservadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares,junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge demagnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes queen cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas pordiferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyenmagnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como elmomento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no sonmagnitudes vectoriales sino tensoriales.

Véase también

Producto escalarProducto vectorialDoble producto vectorialProducto mixtoProducto tensorialEspacio vectorialCombinación linealSistema generadorIndependencia linealBase (álgebra)Base ortogonalBase ortonormalCoordenadas cartesianasCoordenadas polares

Referencias1. Enrico Bompiani, Universidad Nacional del Litoral, ed., Geometría Analítica (http://books.google.es/books/ucm?

id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15), pp. 14­15, ISBN 9789875084339, http://books.google.es/books/ucm?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15

2. Llopis, GÁlvez, Rubio, López (1998), Editorial Tebar, ed., Física: curso teórico­práctico de fundamentos físicosde la ingeniería (http://books.google.es/books/ucm?id=AJA­GRmTzHEC&pg=PA26), p. 26­27,36,70,71,82,ISBN 9788473601870, http://books.google.es/books/ucm?id=AJA­GRmTzHEC&pg=PA26, «(cito algunosejemplos) [de página 26] [Otras magnitudes] llamadas vectoriales, donde no basta conocer su valor numerico,sino que además es necesario dar también su dirección y sentido. [página 70] (...) el cual es un vector que engeneral tendrá distinta dirección y sentido que r(t). [página 71] (...) Consecuencia de la definición es que ladirección de este vector derivada, dr/dt, es tangente a la curva indicatriz, su sentido es el de los valors crecientesdel parámetro escalar t, y que su módulo es: (...)»

3. Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997), Ediciones de la Torre, ed.,Programa de diversificación curricular: ámbito científico­tecnológico: 2o. ciclo de ESO(http://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA200), Proyecto Didáctico Quirón. Ciencias ytecnología, 102 (ilustrada edición), pp. 200,202,216, ISBN 9788479601867, http://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA200

4. Mitiguy, Paul (en inglés), Chapter 2: Vectors and dyadics(http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf), p. nota 1 en página 2,http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf

5. «Euclidean vector» (http://planetmath.org/encyclopedia/Vector.html) (en inglés). PlanetMath.org. Consultado el 3de junio de 2010.

6. «Vector» (http://www.mathacademy.com/pr/prime/browse.asp?LT=F&PRE=vector&LEV=B&TBM=Y&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&TCA=Y&TCS=Y&TDI=Y&TEC=Y&TGE=Y&TGR=Y&THI=Y&TFO=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y) (en inglés). Math AcademyOnline. Consultado el 3 de junio de 2010.

Bibliografía

Ortega, Manuel R. (1989­2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84­404­4290­4,ISBN 84­398­9218­7, ISBN 84­398­9219­5, ISBN 84­604­4445­7.Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.ISBN 0­471­32057­9.Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ªedición). Brooks/Cole. ISBN 0­534­40842­7.Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté.ISBN 84­291­4382­3.

Enlaces externos

Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre vector.Weisstein, Eric W. «Vector» (http://mathworld.wolfram.com/Vector.html). En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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