variograma_2

7/31/2019 VARIOGRAMA_2

1/99


2/99

Contenido

VARIOGRAMA EXPERIMENTAL

VARIOGRAMA TERICO

Propiedades bsicas

Definicin

Estudio de modelos de variograma

Clculo a partir de los datos Caractersticas bsicas

Definicin

Ajuste de modelos de variograma


3/99

Variograma Terico-Definicin

Es una herramienta que permiteanalizar el comportamiento espacialde una propiedad o variable sobre

una zona dada

Detectar direcciones de anisotropa

Ejemplo:

Zonas de influencia y su extensin (correlacinespacial)

Variabilidad con la distancia


4/99

15

37

98

24

6 12

34

56

78

9

A B

MEDIA = 5

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

Distancia

Variograma

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

Distancia

Variogram

a

VARIANZA=50/9

HISTOGRAMAS IGUALES


Continuidad espacial


5/99

00,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 2 4 6 8 10

Distancia

Var

iograma

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

Ubicacin

Varia

ble

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7

Distancia

Variog

rama

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Ubicacin

Variab

le




6/99

0

0,002

0,0040,006

0,008

0,01

0,012

1 3 5 7 911

13

15

17

19

Distancia

Var

iog

rama

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Ubicacin

Variable




7/99


Curva de proporcin vertical

Unidad 2 Unidad-5

Unidad 1 Unidad-4


8/99


Curva de proporcin vertical


9/99

2)]()([2

1hxZxZE

)]()([2

1)( hxZxZVarh

nnRhRx ,

)(xZ es estacionaria o intrnsecaSi



10/99

depende del mdulo y de la direccin del vectorh

Variograma Terico-Caractersticas

2)]()([21 hxZxZEh

Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los

valores de la propiedad en dos puntos separados poruna distancia|h|

es independiente de la localizacin x


11/99

hxZ

1hx

h

1h

1hxZ

hx

22

1)]()([ hxZxZEh

xZ x

Deteccin decaractersticas

que varan segnla direccin y la

distancia



12/99

Distancia

Variogra

ma

Distancia

Variograma



13/99

Variograma Experimental-definicin

22

1)]()([ hxZxZEh Variograma Terico

Variograma Experimental

hxx

ji

ji

xzxz

hN

h2*

))()((2

1)(


14/99

ZZ

ZZ

basetope

base

Variograma Experimental-definicinCoordenadas estratigraficas

La correlacin espacial sedebe calcular dentro de lamisma unidad estratigrfica


15/99

hxxji

ji

xzxzhNh2*

))()((2

1

)(

Se escoge una direccin

Se escoge una distancia o lagh

Se calcula para valores de h,2h,

3h,...,nh

*

Se grafica versus los valoresh,2h, 3h,...,nh

*

0

1

2

3

4

5

6

00.4

0.8

1.2

1.6 2

2.4

2.8

3.2

3.6 4

Distancia

variogramaexperimental

Variograma

experimental

Variograma Experimental-obtencin


16/99

)(

2* ))()((2

1)(

hN

1i

ii hxzxzhN

h

265254243232221*5*2

1xzxzxzxzxzxzxzxzxzxzh

264253242231*4*2

12 xzxzxzxzxzxzxzxzh

263252241*3*2

13 xzxzxzxzxzxzh

1x

2x 3x 4x 5x 6x

h

Datos Igualmente espaciados:



17/99

h

Datos Igualmente espaciados: )(

2* ))()((2

1)(

hN

1i

ii hxzxzhN

h

,2,1,0,,0 kkh

,2,1,0,0, kkh

,2,1,0,,, jkjhkh



18/99

Datos Irregularmente espaciados:

Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h

Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la direccin



19/99

Variograma Experimental-distancia

Clases de distancia:

Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan

nicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o

igual a y menor que

h

hh hh

3xz

h

2h

3h

1xz 2xz

4

xz

5xz


20/99


Clases de distancia:

hEl valor de se escoge como el 50% delvalor dellagh. De esta forma:

Las clases de distancia no se superponen

No hay valores de la variable fuera de una clase dedistancia


21/99


0 1 2 3 4 5 6

1.20 2.4 2.8 4.9

1.20 2.4 2.8 4.9

5.0h1h

1h1h

1.20 2.4 2.8 4.9

1.0h1h


22/99


hh 5.0

hh 5.0

hh 5.0


23/99

Clases de direccin :

Para cada direccin se define una toleranciay se utilizan nicamente los puntos que seencuentran entre las direcciones y

Variograma Experimental-direccin


24/99

puntos descartados

puntos aceptados



25/99

puntos aceptados

puntos descartados

b

b = ancho de banda



26/99

Variograma Experimental-distancia & direccin

clase de distancia h

clase de distancia 2h

clase de distancia 3h


27/99



28/99


h: Distancia promedio entre los pozosA partir del variogram cloud

A partir del variograma omnidireccional

Se escoge como la direccin de anisotropade la variable. Se puede obtener a partirde:

Informacin geolgica, petrofsica, etc

Mapa de variograma

:

n: Cuando se calcula el variograma sobre undominioD se escoge n de forma tal que:

n*h < | D | / 2

Valor del laghNmero n de lags

Valor de y


29/99

1.20 2.4 2.8 4.9

Lag h muy grande

Lag h pequeo, n muy grande

Variograma Experimental-lag

1.20 2.4 2.8 4.9

Lag h adecuado, valor de n ?


30/99

Variograma Experimental-lag


31/99

Variograma Omnidireccional

Variograma Omnidireccional:

Es aquel que no depende de la direccin

Se obtiene al escoger la tolerancia angular de forma tal que las direcciones y

sean opuestas y perpendiculares a la direccin

Se puede pensar como el promedio del variogramaexperimental en todas las direcciones posibles


32/99

Variograma direccional

Variograma omnidireccional

Variograma Omnidireccional


33/99

Variogram Cloud

hxx

ji

ji

xzxzhN

h2*

))()((2

1)(

Variogram Cloud:

hxx

ji

ji

xzxz

hN 2

))()((1

2

Al graficar el valor de

los pares versus ladistancia se obtiene elvariogram cloud

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia


34/99

Variogram Cloud

Variogram Cloud:

Permite detectar valoresatpicos o cambios bruscos

Permite escoger un valorinicial del lag

Permite observar la dispersin

alrededor del valor de*

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia


35/99

Variogram Cloud


36/99

Mapa de Variograma

Mapa de Variograma :

Es una herramienta quepermite determinar las

direcciones de anisotropade la variable en estudio


37/99

0

0

Mapa de Variograma

Definir una malla (2n+1)*(2n+1)

h

Definir el valor del lagh

Asignar a cada bloque el valor

de*


38/99

Mapa de Variograma


39/99

Variograma Experimental-tolerancia angular

Tolerancia angular


40/99

CARACTERSTICAS

BSICAS


41/99

Variograma-Caractersticas Bsicas

1) RANGO Y SILL

2) COMPORTAMIENTO A PEQUEAS DISTANCIAS

3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS

4) ANISOTROPAS


42/99

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 3 6 912

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

Distancia

Variog

rama

Rango:

Distancia a la cual elvariograma se estabiliza

Sill:

Valor constante que toma elvariograma en distanciasmayores al rango

Variograma-Rango & Sill

V i R Sill


43/99

)]()([)]()([21 22 hxZxZEhxZxZEh

Si para una distancia dadad las variablesZ(x) yZ(x+h) son no correlacionas entonces el variogramaes constante

2

Rango:

Distancia a partir de la cual

no hay correlacin

Sill:

Varianza de la funcin aleatoria Z


V i R & Sill


44/99


C t i t


45/99

COMPORTAMIENTO A PEQUEAS DISTANCIAS

Comportamiento

1) DISCONTINUO

2) LINEAL

3) CUADRTICO

Permite estudiar cun rpido puede variar lavariable en estudio a pequeas distancias.Bsicamente el variograma presenta las 4 formas

siguientes:

4) HBRIDOS

Comportamiento discontinuo


46/99


)]()([2

1hxZxZvarh

00

Puede ocurrir que paradistancias cercanas a cero el

valor del variograma no seaproxima a cero

Efecto pepita o nugget effect

Comportamiento discontin o


47/99


Interpretacin delnugget effect

1) Variable muy irregular a distancias cortas

2

)]()([2

1

hxZxZEh

0hZ(x)y Z(x+h)difieren mucho

no se aproxima a cero



48/99

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

01

,5 34

,5 67

,5 9

10

,5 12

13

,5 15

16

,5 18

Distancia

Variograma

Valores

observados

Valores

reales


2) Errores de medicin enlas variables

xxZxZobs

2 hh ZZobs

2




49/99



3) presencia de estructuras oausencia de valores en distanciasinferiores a las que se tomaron las

muestras

Comportamiento Lineal


50/99


Comportamiento lineal

Indica que paradistancias pequeas, elvariograma tiene un

comportamiento lineal.

Representa variablescontinuas pero nodiferenciables. As, la

propiedad puedecambiar rpidamentede un punto a otro. 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

01,5 3

4,5 6

7,5 9

10,5

Distancia

Var

iograma



51/99

Comportamiento lineal

La variabilidad de lapropiedad depender dela pendiente de la recta

en el origen

A mayor pendiente,mayor variabilidad

A menor pendiente,menor variabilidad

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Variograma

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Variogr

ama


Comportamiento Cuadrtico


52/99



Indica que para distanciaspequeas, el variograma tieneun comportamiento cuadrtico.

Representa variables sumamentecontinuas e infinitamentediferenciables. As, la propiedad

NO puede cambiar rpidamentede un punto a otro.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 4 710

13

16

19

22

25

28

31

34

37

Distancia

Variograma

Comportamiento Hbrido


53/99

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18

Distancia

Variogram

a

Comportamiento Hbrido:

Variacin ms suave adistancias cortas

Variacin ms fuerte adistancias grandes

Indica presencia de

estructuras actuando adiferentes escalas

Comportamiento Hbrido

Comportamiento-grandes distancias


54/99


NO TODOS LOS VARIOGRAMAS

POSEEN UN RANGO Y UN SILL

FINITO

Distancia

Variograma

INDICA LA PRESENCIA DE

UNA DERIVA O DRIFT

VARIABLE NO ESTACIONARIA

Comportamiento a grandesdistancias :



55/99

xmxZE

Drift

22

2

1

2

1xmhxmxZhxZEh

Variograma Terico

Estimacin del variograma

Sesgo




56/99

D1=E-O

D2=N-S


Anisotropas


57/99

Anisotropas

Anisotropas :

Generalmente cuando el variograma experimentales calculado en distintas direcciones presentadistintos comportamientos con la variacin de la

distancia.

Anisotropa Geomtrica

Anisotropa Zonal

Anisotropa Hbrida



58/99


Anisotropa Geomtrica :

Es aquella en la que elvariograma en distintasdirecciones presenta el

mismo sill pero rangosdistintos

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4

Distancia

Variograma

N-S

E-OMayor continuidad espacialen la direccin de mayorrango

Menor continuidad espacialen la direccin de menorrango



59/99

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0, 9 2, 0 3,0 4, 1 5,1 6, 2 7,2 8, 3 9, 3 10, 4 11,4

Distancia

Variograma

N-S

E-O




60/99


Anisotropa Zonal


61/99

Anisotropa Zonal :

Es aquella en la que elvariograma en distintas

direcciones presenta elmismo rango pero diferentesill

Presencia de diferentesestructuras

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Variograma

Anisotropa Zonal

Anisotropa Zonal


62/99

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Variograma

Anisotropa Zonal

Anisotropa Hbrida


63/99

Anisotropa Hbrida :

Es aquella en la que elvariograma en distintasdirecciones presenta

rangos diferentes ydistintos sill.

Presencia de diferentesestructuras

Caracterstico de variogramashorizontales y verticales

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2

Distancia

Variograma

Anisotropa Hbrida


64/99

COMENTARIOS


65/99

COVARIANZA VS VARIOGRAMA

El variograma se puede utilizar para modelarfenmenos no estacionarios y la covarianza no, porel desconocimiento de la media.

Cuando la media es constante pero desconocidano se necesita para el clculo del variograma, perosi para el de la covarianza.

Si la funcin tiene varianza infinita (no estacionaria)la covarianza no est definida en 0, sin embargo elvariograma si y es idnticamente nulo

Comentarios


66/99

Co e ta os

CORRELACIN VS VARIOGRAMA

La correlacin estadstica usual escalculada a distancia cero (dosobservaciones en el mismo puntodel espacio) y puede no ser

representativa

El variograma toma en cuenta elespaciamiento y por lo tanto permitecorrelacionarespacialmente

Fuente informacin 1

Fuente informacin 2

Comentarios


67/99

LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA

Es un estadstico de 2 puntos

Utilizar tcnicas multipuntos yreconocimiento de patrones

Comentarios


68/99

LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA

Es extremadamentesensible a valoresextremos

7

10

1112251412

13

21198

7

10

1112131412

13

101198

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6

Distancia

Variograma

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6

Distancia

Variogra

ma


69/99

DEL VARIOGRAMA

EXPERIMENTAL ALMODELO DE VARIOGRAMA

*

Ajustar*


70/99

j

POR QUE HAY QUE CONSTRUIR

MODELOS DE VARIOGRAMA ?

0

1

2

3

4

5

6

00.4

0.8

1.2

1.6 2

2.4

2.8

3.2

3.6 4

Distancia

variogramaexperimen

tal

Variograma

experimental

0

1

2

3

4

5

6

00.4

0.8

1.2

1.6 2

2.4

2.8

3.2

3.6 4

Distancia

Variograma

experimental

Modelo de

variograma

El variograma experimental nose puede evaluar en distancias odirecciones intermedias

Una interpolacin entre los puntos delvariograma experimental no garantiza laexistencia y unicidad de la solucin delsistema de kriging

La interpolacin no satisface lascondiciones que todo variograma debe

satisfacer

El variograma experimental no satisfacelas condiciones que todo variogramadebe satisfacer

Variograma Terico-propiedades


71/99

LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIN QUE

DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIN NO NECESARIAMENTE ES UN

VARIOGRAMA

1) 00

2) hh

El variograma calculado en la direccin de h es igual al variograma

calculado en la direccin de -h

h-h



72/99

3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional

Para cualquier n, cualesquiera nxxxx ,,,, 321 puntos en el espacio y cualesquiera

n ,,,, 321 valores tales que

n

i

i

1

0 se tiene que

01 1

n

i

n

j

jiji xx

Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinacioneslineales de funciones aleatorias

Zvar



73/99

4) Relacin con la funcin de covarianza

Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que hCCh 0

Distancia

Variograma

Variograma

Covarianza



74/99

0

2

h

hlimh

4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrnseca entonces

En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que 2

hch

Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias

Criterio para detectar un comportamiento no estacionario



75/99

4) Combinacion lineal de variogramas

hhhhN

,,,,321Si son modelos de variograma y N,,,, 321

son valores positivos entonces

hhn

i

i i 1

Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)

Permite modelar la anisotropa zonal



76/99

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

+ =



77/99

Modelar la anisotropa zonal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Variogram

a

h 211 ,hh 32 h


78/99

MODELOS DEVARIOGRAMA

Modelos de Variograma


79/99

Modelos de variograma isotrpicos ms comunes:

Modelo Efecto Pepita Puro

Modelo Esfrico

Modelo Exponencial

Modelo Gaussiano

Modelo Cbico

Modelo Seno Cardinal

Modelo Potencia

Modelo Efecto Pepita Puro


80/99

S

Distancia

Variograma

0

00

hsis

hsih

Este modelo representa a unfenmeno completamentealeatorio, en el cual no haycorrelacin espacial

No importa cun cerca se

encuentren los valores delas variables, siempre sernno correlacionados

Modelo Esfrico


81/99

ahsis

ahsia

h

a

h

s

h

3

3

2

1

2

3

Comportamiento lineal en el origen

Distancia

Variogra

ma

as/5.1Pendiente igual a

Es uno de los modelos devariograma ms utilizados

Rango s y silla

Representa fenmenos continuospero no diferenciables

Modelo Exponencial


82/99

a

hsh exp1

Distancia

Variograma

Sills que alcanza asintticamente

Rango aparente igual a a

Rango experimental igual a 3a

as/3Pendiente igual a

Representa fenmenos continuospero no diferenciables

Comportamiento lineal en el origen

Modelo Gaussiano


83/99

a

hsh2

2

exp1

Distancia

Variograma



Rango experimental igual a a3

Comportamiento cuadrtico en el origenRepresenta fenmenos continuosinfinitamente diferenciables (sumamentecontinuos)

Modelo Cbico


84/99

ahsis

ahsiah

ah

ah

ahs

h

7

7

5

5

3

3

2

2

75.05.375.87

Rango a y sills

Comportamiento cuadrtico en el origen

Representa fenmenos bastante continuos

Distancia

Variograma

Modelo Seno Cardinal


85/99

ah/ahsh

/seno1

Distancia

Variograma



Rango experimental igual a 3a

Comportamiento cuadrtico en el origen

Se utiliza para representar fenmenoscontinuos con periodicidades

Modelo Potencia


86/99

p

hsh

Distancia

Variogram

a

s=2.5, p=0.4s=0.4, p=1.8

s=1.15, p=1

s se denomina factor de escala

20 p

El comportamiento en el origen

depende del valor de p

Representa fenmenos noestacionarios


87/99

DE MODELOS ISOTRPICOSA MODELOS ANISOTRPICOS

Modelo Anisotrpicos


88/99

h1 Variograma isotrpico de sill 1 y rango 1

2

2

2

2

1

y

y

x

x

R

h

R

h

sh Variograma anisotrpico de sills con rango xR

en la direccin del eje X y rango yR en la direccin

del eje Y

xR

yR

X

Y Los ejes de anisotropa coinciden con losejes de coordenadas

Modelo Anisotrpicos


89/99

X

Y Los ejes de anisotropaNOcoinciden con losejes de coordenadas

xR

yR

X

Y

1) Transformar los puntos del sistemade coordenadas XY al sistema decoordenadas XY

Rhh ' R

= matriz de rotacin

T

2) Proceder como antes para ajustar lalongitud de los ejes de anisotropa

'Th = matriz para transformarlas distancias

3) Evaluar el variograma isotrpico en elresultado.

TRhsh1

Es un variograma anisotrpico en la direccin

con eje mayor igual ax

R y eje menor igual a yR


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VARIOGRAMA CRUZADOcomportamiento espacial en conjunto

ZY

Variograma Cruzado


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Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrnsecas, el variogramacruzado de ellas se define como :

))]()(())()([(2

1)( hxYxYhxZxZEh

ZY

))()(())()((21

)(*

ji

hxx

jiZY xyxyxzxzhNhji

Para su estimacin se utiliza el variograma cruzado experimental

Variograma Cruzado-propiedades


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1) 00 ZY

2) hh ZYZY

3) hh YZZY El variograma cruzado es una funcin simtrica

4) Relacin con la funcin de covarianza cruzada

hChCCh YZZYZYZY 2

10)(

YZZY mhxYmxZEhC



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4) Desigualdad de Hlder

hhh YZZY 2

El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cadauno de los variogramas individuales

Consecuencias:

El producto de cada uno de los sillde los variogramas individuales es mayor que elcuadrado del silldel variograma cruzado

YZZY SSS 2



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hwhwhwh

hvhvhvh

huhuhuh

mmYZ

mmY

mmZ

2211

2211

2211

4) Modelo lineal de coregionalizacin

0ju0

jv 0

2 jjj

wvu

mjj ,,1, modelos de variogramas

Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramasindividuales


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VARIOGRAMA DE

FUNCIONES INDICADORAS

F

Modelando el comportamiento

espacial de Facies

Funciones Indicadoras


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La funcin indicadora de la facies Fse define como

nosi

Fxsi

xF

0

1

1

Si se considera la facies Fcomo un conjunto aleatorioentonces su funcin indicadora es unafuncin aleatoria que puede ser estacionaria o no.

En lo sucesivo asumiremos que la funcin indicadora de Fes estacionaria

2112

1xhxEh FFF



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Propiedades

1) 1,0)(1 pFxPxE F

ppxF 11var

2) 5.0hF

El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayora0.5

3) Relacin con la funcin de covarianza

hCCh FFF 0

pxphxEhC FFF 11

25.0110 ppxC FF var



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2121

hhhhFFF

4) Desigualdad Triangular

En particular hh FF 22

Consecuencia :

Un variograma con comportamiento en el origen de la forma 1php

no puede ser el variograma de una funcin indicadora



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)( FhxyFxPhF

5) Rango y Anisotropas

Distancia

Variograma

R1R2

variograma_2

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