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Varilla apoyada sobre dos rampas,Enero 2012 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado2 Solucin

2.1 Diagrama de slido libre2.2 Fuerzas de reaccin vincular2.3 ngulo de equilibrio2.4 Fuerza de rozamiento en A para un ngulo dado2.5 Errores comunes

1 Enunciado

Una barra de longitud L y masa m se apoya sobredos planos inclinados como se indica en la figura.Los apoyos en los planos son lisos. El peso de labarra se aplica en su centro. Dibuja el diagramade cuerpo libre de la barra.

Calcula las fuerzas de reaccin vincular enlos apoyos (puntos A y B).

1.

Calcula el valor del ngulo para el que labarra se encuentra en equilibrio.

2.

Consideramos ahora una situacin en la queel ngulo vale . En este caso el contacto en A es rugoso mientrasque en B es liso. Calcula el valor del mdulo de la fuerza de rozamiento en A sila masa de la barra es .

3.

2 Solucin

2.1 Diagrama de slido libre

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Las fuerzas externas que actan sobre labarra son su peso, aplicado en el centro, y lasfuerzas de reaccin vincular en los puntos A yB. Al ser los vnculos lisos, las fuerzas dereaccin vincular en los puntos A y B sonperpendiculares a las superficies respectivas.Por tanto, forma un ngulo de gradoscon la vertical y la fuerza forma un ngulode grados con la vertical.

Como hay tres fuerzas coplanarias, para quehaya equilibrio es condicin necesaria que lasrectas soportes de las tres fuerzas se cortenen un punto. Este punto debe estar en la vertical del centro de la barra. De hecho,a partir de esta condicin geomtrica es posible obtener el valor de equilibrio delngulo , aunque no es la forma ms sencilla de hacerlo.

2.2 Fuerzas de reaccin vincular

Dado que los vnculos son lisos, las fuerzas de reaccin vincular son perpendicularesa las superficies. Como hay dos puntos de apoyo, tenemos dos fuerzas, esto es, dosincgnitas. En un problema plano las condiciones de equilibrio son fuerza neta nulay momento resultante neto nulo. Estas condiciones proporcionan tres ecuaciones.La tercera incgnita es el ngulo que forma la barra con la horizontal. Es decir, lasincgnitas del problema son

Escogiendo el sentido indicado en el diagrama de slido libre del apartado anterior,las expresiones en el sistema de ejes indicado de las fuerzas que actan sobre labarra son

Para que la barra est en equilibrio la fuerza neta que acta sobre ella debe sercero

Igualando las componentes obtenemos dos ecuaciones


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Las incgnitas aqu son NA y NB. Resolviendo el sistema obtenemos las fuerzas dereaccin vincular

2.3 ngulo de equilibrio

El valor del ngulo de equilibrio se obtiene de la otra condicin que debe cumplirsepara que la barra est en equilibrio: que el momento resultante de las fuerzasexternas que actan sobre la barra sea nulo en cualquier punto.

Escogemos el punto A para calcular los momentos. De este modo el momento de lafuerza es nulo. El momento resultante es

y debe ser nulo. Los vectores geomtricos son

Los productos vectoriales son

y


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Imponiendo que la suma se anule, obtenemos una ecuacin para el ngulo

Sustituimos el valor de NB obtenido en el apartado anterior. Tenemos

Pasando a la derecha el coseno de la izquierda tenemos

El ngulo de equilibrio se obtiene haciendo la arcotangente de este valor

2.4 Fuerza de rozamiento en A para un ngulo dado

Nos planteamos ahora un problema diferente. El apoyo en A es rugoso, por lo que lafuerza de reaccin vincular en A tiene una componente normal y otra tangente a la

superficie, esto es, hay dos incgnitas en A (NA y fA). La fuerza en B es puramenteperpendicular, por lo que slo hay componente normal y, por tanto, una incgnita.Tenemos entonces tres incgnitas para las fuerzas. Por en este caso se da comodato el ngulo que forma la barra con la horizontal. De este modo, volveremos atener tres ecuaciones para tres incgnitas, que son

La figura muestra el diagrama de slido libre. Esigual al del primer apartado, salvo que en elpunto A aadimos una fuerza de rozamientoparalela a la superficie, y que el ngulo ahoraest fijado y vale .

La proyeccin de las fuerza activas sobre la barraes igual a la del apartado 2, aadiendo la fuerzade rozamiento


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Ahora tenemos tres incgnitas. La condicin de fuerza neta nula nos da dosecuaciones

Igualando las componentes obtenemos dos ecuaciones

La tercera ecuacin resulta de igualar a cero el momento resultante neto respectode cualquier punto. Si calculamos los momentos respecto al punto A, podemos usarlas expresiones del apartado 3, sustituyendo por . Utilizando ya que

y tenemos

La suma de esos momento debe ser nula, de donde obtenemos

El signo positivo de fA nos dice que el sentido de la fuerza de rozamiento en A es elque hemos escogido en el diagrama de slido libre. Sustituyendo este valor en lasdos ecuaciones obtenidas de la condicin de fuerza neta nula tenemos dos

ecuaciones para dos incgnitas, NA y fA. Resolviendo el sistema obtenemos


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2.5 Errores comunes

Indicamos aqu algunos errores detectados al corregir este problema

Al proyectar las fuerzas de reaccin vincular hay que elegir bien los ngulosque forman con los ejes.

1.

Se puede decir que, por ejemplo, la fuerza de reaccin vincular en A es. Pero as estamos aadiendo ms incgnitas. Si se hace

esto, hay que aadir las expresiones y .

2.

En el segundo apartado, las dos ecuaciones obtenidas de imponer que la fuerza

neta sea nula bastan para calcular NA y NB. No hace falta la condicin demomento nulo.

3.

Al aadir la fuerza de rozamiento en el ltimo apartado no se puede hacer as4.

La fuerza hay que descomponerla en una componente perpendicular a lasuperficie y otra tangencial (la fuerza de rozamiento). La expresin de arriba nocumple eso.

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