CAPÍTULO 3Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Definición: Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cadaelemento del espacio muestral.

Definición: Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades, o una serieinterminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama espaciomuestral discreto.

Definición: Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades, igual alnúmero de puntos en un segmento de recta, se le denomina espacio muestral continuo.

Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjuntode resultados posibles. Cuando una variable aleatoria puede tomar valoresen una escalacontinua, se le denomina variable aleatoria continua.

3.1 Clasifique las siguientes variablesaleatorias como discretas o continuas:X: el número de accidentes automovilísticosque ocurren al año en Virginia.Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf.M: la cantidad de leche que una vacaespecífica produce anualmente.N: el número de huevos que una gallinapone mensualmente.P: el número de permisos para construcciónque los funcionarios de una ciudad emitencada mes.Q: el peso del grano producido por acre.

3.3 Sea W la variable aleatoria que da

el número de caras menos el número

de cruces en tres lanzamientos de una

moneda. Liste los elementos del

espacio muestral S para los tres

lanzamientos de la moneda y asigne

un valor w de W a cada puntomuestral.

Ejercicios

Distribuciones discretas de probabilidad

El conjunto de pares ordenados (x, f (x))es una función de probabilidad, unafunción de masa de probabilidad o unadistribución de probabilidad de lavariable aleatoria discreta X si, paracada resultado x posible,

2.

𝑥

𝑓 𝑥 = 1,

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0,

3. 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓 𝑥 .

Definición: La función de ladistribución acumulativa F(x) de unavariable aleatoria discreta X condistribución de probabilidad f (x) es

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =

𝑡≤𝑥

𝑓 𝑡 , −∞ < 𝑥 < ∞

Ejercicios

3.5 Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑥2 + 4 , para 𝑥 = 0,1,2,3;

b) 𝑓 𝑥 = 𝑐 2𝑥

33−𝑥

, para 𝑥 = 0,1,2.

3.8 Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria W del ejercicio 3.3;suponga que la moneda está cargada, de manera que existe el doble de probabilidad deque ocurra una cara que una cruz.

3.12 Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencendespués de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de T, el número deaños para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es

calculea) P(T = 5);b) P(T > 3);c) P(1.4 < T < 6);d ) P(T ≤ 5 | T ≥ 2);

𝐹 𝑡 =

0, 𝑡 < 1,1

4, 1 ≤ 𝑡 < 3

1

2, 3 ≤ 𝑡 < 5

3

4, 5 ≤ 𝑡 < 7

1, 𝑡 ≥ 7,

Distribuciones de probabilidad continua

La función 𝑓 𝑥 es una función de densidadde probabilidad (fdp) para la variable aleatoriacontinua X, definida en el conjunto denúmeros reales, si

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ.

2. −∞∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

Definición : La función de distribución acumulativa 𝐹 𝑥 , deuna variable aleatoria continua X con función de densidad𝑓 𝑥 , es

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = −∞𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡, para −∞ < 𝑥 < ∞

Como una consecuencia inmediata de la definición se puedenescribir los dos resultados,

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 y 𝑓 𝑥 =𝑑𝐹 𝑥

𝑑𝑥, si existe la

derivada.

3.27 El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utilizapara fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:

𝑓 𝑥 = 1

200𝑒−𝑥/200, 𝑥 ≥ 0

0 , 𝑥 < 0

a) Calcule F(x).b) Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el

reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de quesea necesario reemplazar el componente.

c) Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000horas.

Esperanza matemática

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad 𝑓 𝑥 . La media o valor esperado de 𝑋 es

𝜇 = 𝐸 𝑋 =

𝑥

𝑥𝑓 𝑥

Si X es discreta, y

𝜇 = 𝐸 𝑋 =

−∞

∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si X es continua.

Esperanza de una función

Sea 𝑋 una variable aleatoria con distribución de probabilidad 𝑓 𝑥 . El valor esperado de la variable aleatoria 𝑔 𝑋 es

𝜇𝑔𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 =

𝑥

𝑔 𝑥 𝑓 𝑥

Si X es discreta, y

𝜇𝑔𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 =

−∞

∞

𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si X es continua.

Propiedades de la esperanza

Sean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral y a, b números reales fijos.Entonces,

a) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏.b) 𝐸 𝑎𝑋 = 𝑎𝐸 𝑋c) 𝐸 𝑏 = 𝑏

Ejercicios

4.2 La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es

𝑓 𝑥 = 3𝑥

1

4

𝑥 3

4

3−𝑥, 𝑥 = 0,1,2,3.

Calcule la media de X.

4.13 página 117

4.19 página 118

4.20 página 118

Varianza de una variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f (x) y media μ. La varianza de X es

𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2

La raíz cuadrada positiva de la varianza, σ, se llama desviación estándar de X.

Varianza de una función

Sean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral y a, b números reales fijos.Entonces,

a) 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉 𝑋 .

b) 𝑉 𝑎𝑋 = 𝑎2𝑉 𝑋 .

c) 𝑉 𝑏 = 0.

Reglas de la varianza

4.34 Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

Calcule la desviación estándar de X.

𝑥 -2 3 5

𝑓 𝑥 0,3 0,2 0,5

Ejercicios

4.43 El tiempo que transcurre, en minutos, para que un avión obtenga vía libre para despegar en ciertoaeropuerto es una variable aleatoria Y = 3X – 2, donde X tiene la siguiente función de densidad

𝑓 𝑥 = 1

4𝑒−𝑥/4, 𝑥 > 0

0, en otro caso

Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria Y.

4.57 Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

Calcule E(X) y E(X2) y luego utilice estos valores para evaluar E[(2X + 1)2].

𝑥 -3 6 9

𝑓 𝑥 1/6 1/2 1/3