validacion del diseño de un sistema rodillo grabador placa
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VALIDACIÓN DEL DISEÑO DE UN SISTEMA RODILLO GRABADOR PLACA
PLANA
MAURICIO LUGO TASCÓN
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE ENERGÈTICA Y MECÁNICA PROGRAMA DE INGENIERIA MECÁNICA
SANTIAGO DE CALI 2006
VALIDACIÓN DEL DISEÑO DE UN SISTEMA RODILLO GRABADOR PLACA
PLANA
MAURICIO LUGO TASCÓN
Pasantia para optar el titulo de
Ingeniero Mecánico
Director
ROBERT COOPER
Ingeniero Mecánico.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE ENERGETICA Y MECÁNICA
PROGRAMA DE INGENIERIA MECÁNICA SANTIAGO DE CALI
2006
Ing. ROBERT COOPER
----------------------------------------------
Director
Santiago de Cali, 23 de junio de 2006
Nota de Aceptación:
Aprobado por el comité de grado en
cumplimiento de los requisitos
exigidos por la Universidad
Autónoma de Occidente para optar al
título de Ingeniero Mecánico.
MAURICIO LUGO TASCÒN
A Dios por su luz que es mi guía, a mis padres por el gran esfuerzo y amor, a mis
hermanos y a mis amigos Hernán, Andrés Mauricio por todos los buenos
momentos que pasamos estos años.
AGRADECIMIENTOS
Le expreso mis más sinceros agradecimientos a:
Henry Payan Rey, Gerente General de PAYAN & CIA. LTDA., por acceder,
aprobar y apoyar la realización de procesos de mejoramiento a través del talento
humano de su organización.
PAYAN & CIA. LTDA. empresa perteneciente a la industria metalmecánica
nacional, por la colaboración y contribución prestada y facilitada por la Gerencia,
así como por todo su personal administrativo y productivo.
Robert Cooper, Ingeniero Mecánico, Docente de planta de la Universidad
Autónoma de Occidente y Director del presente proyecto, por su apoyo
incondicional y por su valiosa orientación.
Jhon E. García, Ricardo Garcia, Walter Barreneche, Carlos Gómez, Guillermo
Yomayusa, personal administrativo y productivo de PAYAN & CIA. LTDA., por sus
delineamientos temáticos, aportes, asesoría permanente y apoyo incondicional.
CONTENIDO
Pág.
RESUMEN 12
INTRODUCCIÓN 13
1. MARCO TEORICO 14
1.1. LAMINAS DE FIBROCEMENTO 15
1.2. CRISOTILO 14
1.3. METODO DE LA DOBLE INTEGRACION 15
1.4. ESFUERZO CORTANTE 18
1.5 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO 19
1.6 ESFUERZO DE TENSIÓN 20
1.7. RESISTENCIA 21
2. VERIFICACIÓN DEL DISEÑO Y RESULTADOS 23
2.1. RODILLO GRABADOR DE PLACA PLANA 23
2.1.1. Calculo de la Deflexión en el Rodillo Grabador 24
2.2. COJINETES DEL RODILLO GRABADOR 35
2.3. BASE CONEXIÓN 37
2.3.1. Cálculos de Esfuerzo de Tensión y de Aplastamiento en la Pieza Base
Conexión 38
2.4. PIVOTE 40
2.5. HORQUILLA 43
2.6. VASTAGO DE CALIBRACIÓN 45
2.7. PALANCA ACODILLADA 49
2.8. ARTICULACIÓN 55
2.9. MUÑON 59
3. VERIFICACION DE RESULTADOS CON AYUDA COMPUTACIONAL 63
3.1 RODILLO GRABADOR 63
3.2. HORQUILLA 64
4. PROCESO DE FABRICACION 67
5. CONCLUSIONES 72
BIBLIOGRAFIA 73
ANEXOS 74
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 1. Crisotilo 14
Figura 2. Curva elástica 17
Figura 3. Rodillo grabador 23
Figura 4. Distribución de la fuerza en la placa 25
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre del rodillo grabador 26
Figura 6. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – B 28
Figura 7. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – C 28
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – D 29
Figura 9. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – E 30
Figura 10. Base conexión 37
Figura 11. Diagrama cuerpo libre base conexión 38
Figura 12. Pivote 41
Figura 13. Diagrama cuerpo libre pivote 42
Figura 14. Horquilla 43
Figura 15. Vástago de calibración 46
9
Figura 16. Palanca acodillada 49
Figura 17. Diagrama de cuerpo libre palanca acodillada 51
Figura 18. Articulación 56
Figura 19. Muñón 59
Figura 20. Diagrama cuerpo libre muñón 60
Figura 21. Verificación de resultado del Rodillo Grabador en Algor 64
Figura 22. Verificación de resultado de la Horquilla en Algor 65
Figura 23. Análisis más detallado de la Horquilla en Algor 66
Figura 24. Soporte lateral del sistema 67
Figura 25. Separador central cajas de rodamientos 68
Figura 26. Rodillo yunque 68
Figura 27. Eje nervado 69
Figura 28. Articulación 69
Figura 29. Montaje de la caja de transmisión 70
Figura 30. Montaje del sistema rodillo grabador 70
Figura 31. Montaje del sistema rodillo grabador en planta 71
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Resumen de resultados obtenidos de los elementos de maquina 61
LISTA DE ANEXOS
Pág.
Anexo 1. Validación sistema rodillo grabador de placa plana (en formato IFAC) 74
12
RESUMEN
Este trabajo se basa básicamente en una verificación teórica del diseño de un
rodillo grabador de placa plana, diseñado por Payan y Cia. para la empresa Eternit
S.A; para grabar una textura de brocado a placas de fibrocemento usadas como
cielos rasos en oficinas, hogares, etc.
Se analizaran las piezas del sistema presor del diseño en base a conceptos
adquiridos durante la carrera de Ingeniería Mecánica tales como deflexión, diseño
de pernos, esfuerzos de aplastamiento y cortante.
Los resultados obtenidos de este análisis a algunas piezas serán simuladas en el
CAD Algor para tener cierta verificación con lo propuesto teóricamente.
13
INTRODUCCIÓN
El diseño y construcción del sistema rodillo grabador de placa plana surgió como
necesidad de la empresa Eternit S.A. al querer entrar en el mercado de las
láminas grabadas que son utilizadas en oficinas, viviendas, locales comerciales,
entre otros.
Estas láminas están constituidas por un material llamado fibrocemento; el cual es
una composición de crisotilo que es la fibra en una matriz de cemento.
Para poder incursionar fuertemente en el mercado Eternit S.A. solicito a Payan y
Cia. Diseñar, construir y montar en la línea de producción de la lámina una
máquina que hiciera este grabado de manera automática, ya que este trabajo se
venia realizando manualmente.
Lo que se quiere lograr en este trabajo es una verificación teórica de dicho diseño,
basado en el análisis de las cargas a las cuales están sometidas las piezas del
sistema presor, para poder realizar el grabado en las placas de fibrocemento.
Este análisis se basara en conceptos de resistencia de materiales como la
deflexión, esfuerzos de aplastamiento y de cortante, también en el diseño de
pernos. Los resultados que se obtengan de este análisis pertenecerán al estado
actual de cada pieza y serán verificados por medio del factor de seguridad de
cada una de ellas, posteriormente a algunas de las piezas serán simuladas en
Algor para comparar los resultados teóricos obtenidos.
14
1. MARCO TEORICO
1.1 LAMINAS DE FIBROCEMENTO
Las láminas planas están constituidas esencialmente de un agente aglutinante
inorgánico hidráulico o de un agente aglutinante de silicato de calcio, formado por
la reacción química de un material silíceo y uno calcáreo, reforzado con fibra
orgánica o fibras sintéticas inorgánicas o una mezcla de ellas; adicionalmente
pueden ser agregados coadyuvantes de proceso, agentes de relleno y pigmento,
compatibles con los otros materiales empleados en su fabricación.
En síntesis se puede decir que las láminas de fibrocemento están compuestas
por una matriz de cemento la cual contiene una fibra proveniente del asbesto
llamada crisotilo.
1.2. CRISOTILO
El crisotilo es una fibra mineral que no se quema ni se pudre (Figura 1), resiste a
la mayoría de los productos químicos, es flexible y tiene una gran resistencia a
la tracción. Esta combinación única de propiedades hace del crisotilo un material
extremadamente útil, que durante muchas décadas fue considerado como un
componente principal de productos livianos de cemento reforzado, materiales de
fricción, sellos y guarniciones para altas temperaturas y una gran variedad de
otras aplicaciones.
15
Figura 1. Crisotilo
1.3. METODO DE LA DOBLE INTEGRACION1
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva
elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje
longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 3
Se deducirá la ecuación de dicha curva, y como calcula el desplazamiento
vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x.
Se tomara el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la
dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se
supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia
1 PYTEL, Andrew. Resistencia de materiales: Introducción a la mecánica de sólidos. 4 ed. México: Harla, 1994. p. 171-172.
16
apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud
deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en
cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan � = dxdy
puede hacerse sin error apreciable, igual a �. Por consiguiente,
� = dxdy
(1)
y
2
2
dxyd
dxd =θ
(2)
Considerando la variación de � en una longitud diferencial ds, producida por la
flexión de la viga, es evidente que
θρdds = (3)
Siendo � el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica
es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de las
ecuaciones (1) y (3) se obtiene:
dxd
dsd θθ
ρ≈=1
O bien, 2
21dx
yd=ρ
(4)
Al deducir la formula de la flexión, se obtuvo la relación
EIM=
ρ1
(5)
17
Figura 2. Curva elástica
.
Y, por tanto, igualando los valores 1/ � de las ecuaciones (4) y (5) resulta:
Mdx
ydEI =2
2
(6)
Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se
llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y dx por ds, no tienen
influencia apreciable en la exactitud de la expresión (6) y, en efecto,
sustituyendo 1/ � por su valor exacto, junto con la ecuación (5), se tendría
EIM
dxdy
dxyd
=
���
�
���
���
�
�+23
2
2
2
1
Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable
frente a la unidad, por lo que se puede escribir
18
EIM
dxyd =2
2
que coincide con la ecuación (6).
Integrando la ecuación (6), suponiendo EI constante, resulta
+= 1CMdxdxdy
EI (7)
que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la
misma, o dy/dx en cualquier punto. M no es el valor del momento sino que es la
ecuación del momento flexionante en función de x, y 1C es una constante a
determinar por las condiciones de apoyo.
Integrando de nuevo la ecuación (7),
++= 21 CxCMdxdxEIy (8)
que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la
ordenada y en cualquier valor de x. 2C es otra constante de integración a
determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.
1.4. ESFUERZO CORTANTE2
El esfuerzo cortante llamado también secante, tangencial o de cizalladura, se
produce por medio de fuerzas que actúan paralelamente al plano de la sección
transversal.
2 BEER, Ferdinand P. Mecánica de materiales. 2 ed. Santafé de Bogotá: McGraw-Hill, 1995. p. 7.
19
Aparecen esfuerzos cortantes, siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que
una porción del sólido tienda a deslizarse sobre la otra porción a través de la
sección transversal.
Estas fuerzas internas elementales son las llamadas fuerzas cortantes y la
magnitud P de su resultante es el cortante de la sección. Dividiendo el cortante
P por el área A de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio
de la sección. Designando el esfuerzo cortante por la letra griega � (tau), se
tiene
AP
med =τ (9)
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para
unir diversos elementos estructurales y componentes de maquinas.
1.5. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO3
Los pernos, remaches y pasadores generan esfuerzos en los elementos que
conectan, a lo largo de la superficie de apoyo o de contacto.
Esta distribución es muy complicada, por lo cual en la practica, se usa un valor
promedio nominal bσ del esfuerzo, llamado esfuerzo de apoyo o de
aplastamiento, el cual se obtiene dividiendo la fuerza P por el área del
rectángulo que representa la proyección del remache en la sección de corte de
la placa.
contactodeareaaplicadafuerza
tdP
AP
ab
a ...=→== σσ (10)
3 MONTEJO, Heliodoro. Resistencia de materiales 1. 2 ed. Santiago de Cali, 1998. p. 106-107.
20
Un excesivo esfuerzo de contacto puede lograr la fluencia del material de la
placa, del remache o de ambos.
Las platinas pueden fallar por esfuerzo de tracción exagerado y por
desgarramiento debido al exceso en el valor del esfuerzo cortante.
La falla por desgarramiento ocurre cuando hay una distancia al borde
insuficiente. Para impedir este tipo de falla el centro del agujero debe quedar a
una distancia suficiente del borde de la placa.
1.6. ESFUERZO DE TENSIÓN4
Uno de los problemas fundamentales es la ingeniería es la determinación del
efecto de una carga sobre una parte. Esta determinación es una parte esencial
del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin
entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se
analiza. El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la
dirección de las fuerzas internas que actúan en un punto dado sobre un plano
particular.
Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la
carga externa se distribuye uniformemente sobre un área de la sección
transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se puede
calcular por medio de la ecuación
4 HAMROCK, Bernard. Elementos de maquinas. 5 ed. México: McGraw-Hill, 1994. p. 926.
21
=promσ Fuerza promedio / Área de la sección transversal AP= (11)
De esta forma, la unidad del esfuerzo es la fuerza por unidad de área o newtons
por metro cuadrado. Al considerar un área pequeña �A sobre la sección
transversal hay que hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material.
Consideramos que el material es continuo y además que es cohesivo. La
intensidad promedio de las fuerzas internas que se transmiten a través de la
sección se supone que están distribuidas continuamente, el área �A se puede
hacer cada vez más pequeña y se aproximara a un punto sobre la superficie en
el límite. La fuerza correspondiente �P también se volverá cada vez mas
pequeña. El esfuerzo en el punto sobre la sección transversal en el cual
converge �A se puede definir como
dAdP
AP
límt
=∆∆=
→∆ 0σ (12)
Si la fuerza �P “jala” sobre el elemento de área �A en una forma perpendicular
se llama esfuerzo de tensión.
1.7. RESISTENCIA5
La resistencia de un elemento de maquinas depende de la clase, tratamiento y
geometría del espécimen, y también del tipo de carga que el elemento de
máquinas experimente.
5 HAMROCK, Bernard. Elementos de maquinas. 5 ed. México: McGraw-Hill, 1994. p. 926.
22
Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El
diseño se relaciona con los esfuerzos permisibles, o con el valor reducido de la
resistencia. El esfuerzo normal permisible permσ y el esfuerzo cortante permτ para
metales ferrosos y no ferrosos con varios tipos de carga se pueden representar
como
Tensión: ypermy SS 60,045,0 ≤≤ σ (13)
Cortante: yperm S40,0=τ (14)
Flexión: ypermy SS 75,060,0 ≤≤ σ (15)
Soporte: yperm S9,0=σ (16
23
2. VERIFICACIÓN DEL DISEÑO Y RESULTADOS
La verificación del diseño se realizo utilizando los conceptos mostrados en el
capitulo 2 para cada elemento a través del cual se distribuyo la fuerza.
La verificación se basó en la evaluación de las piezas, su verificación se realizo
a través de los conceptos básicos de esfuerzos y se establecieron para cada
caso unos criterios de aceptación tales como factor de seguridad y el esfuerzo
de fluencia para cada material. El resultado se muestra en función de los
criterios de aceptación y son estos los que validan el diseño de cada pieza y a
su vez el del conjunto.
2.1. RODILLO GRABADOR DE PLACA PLANA
Este rodillo grabador no fue construido por Payan y Cia. , fue aportado por
Eternit S.A., fue construido por el proceso de electro erosionado, tiene un peso
de 350 Kgf. Con las siguientes características.
Figura 3. Rodillo Grabador
24
El rodillo grabador se considero como una viga para su análisis, como
constantemente esta ejerciendo una fuerza para poder grabar la textura en la
placa se calculara la deflexión que sufre por el método de la doble integración
descrita en el capitulo 2.
2.1.1 Calculo de la Deflexión en el Rodillo Grabador. El análisis del cálculo
de la deflexión en el rodillo se empezó por calcular experimentalmente el
esfuerzo máximo ejercido por la placa de fibrocemento sobre el rodillo, mediante
un ensayo de compresión realizado en la maquina Inxstron Corporation en la
Universidad Autónoma de Occidente, del cual se obtuvo
236555mN=σ
A partir de este valor de esfuerzo se procedió a calcular la fuerza necesaria en
el rodillo para deformar la placa un milímetro y así lograr un buen grabado
25
Como, se sabe que, AF=σ
Figura 4. Distribución de la fuerza en la placa
donde: A = L*B
B: Longitud del rodillo que graba 1340mm
L: Longitud de contacto entre rodillo y placa 10mm
entonces: AF=σ
AF ×= σ
)34.101.0)(36555( 2 mmmN
F ×=
NF 83.489=
Ahora se calcularan las reacciones en los apoyos del rodillo
B
26
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador
W
Ra Re
C
A B D E
F
Datos:
• W = 350 Kgf 1Kgf = 9.8N 3430 N
• F = 489.83 N
• Irodillo = ( ) mr 544 103359.80101541
41 −×=→ ππ )( 2Ι
53 mm 203mm
1340 mm
309 mm 229 mm
27
• Iespigo = ( ) mmr 744 108732.30265.041
41 −×=×→× ππ )( 1Ι
Ft
C
A B D E
Ra x Re
Donde: Ft = W – F = (3430 N – 489.83 N) = 2940.17 N
• �MA = -2940.17 N (0.979m) + Re (1.878m) = 0
Re = 1532.70 N
• �Fy = Ra – 2940.17 N + 1532.70 N = 0
Ra = 1407.3 N
Como se describió anteriormente se usara el método de la doble integración
descrito en el capitulo 2 utilizando la ecuación (6) en integrándola dos veces
EIM
dxyd =2
2
(6)
28
• Tramo A - B (0 – 309mm)
Figura 6. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – B
1M
1407,3N
� )(3,1407
0)(3,1407
1
1
xM
xMM
==−=�
� += 1CMdxdxdy
EI
12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
� ++= 21 CxCMdxdxEIy
213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – C (309 – 670)
Figura 7. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador A – C
A B
2M
1407,3N
X
X
29
� )(3,1407
0)(3,1407
2
2
xM
xMM
==−=�
� += 1CMdxdxdy
EI
32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
� ++= 21 CxCMdxdxEIy
433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – D
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador A – D
C 2940,17N
A B 3M
1407,3N
� )(87,153236,2881
036,2881)(17,2940)(3,1407
0)98,0(17,2940)(3,1407
3
3
3
xM
xxMM
xxMM
−==−+−=�
=−+−=�
� += 1CMdxdxdy
EI
52
33 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
X
30
� ++= 21 CxCMdxdxEIy
6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
• Tramo A – E
Figura 9. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador A – E
C 2940,17N
A B 4M
1407,3N
� )(87,153236,2881
036,2881)(17,2940)(3,1407
0)98,0(17,2940)(3,1407
3
3
4
xM
xxMM
xxMM
−==−+−=�
=−+−=�
� += 1CMdxdxdy
EI
72
44 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
� ++= 21 CxCMdxdxEIy
8732
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
X
31
(1) 12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
(2) 213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(3) 32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
(4) 433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(5) 52
33 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
(6) 6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
(7) 72
44 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
(8) 8732
44 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
Para determinar las constantes de integración, que son físicamente iguales a la
pendiente y a la ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera
siguientes:
• 00 =→= yx
En la ecuación (2)
0 000 22 =→++= CC (9)
• Cuando →=→= 3298,0 yymx la ecuación (4) = (6)
(10) 43,922)98,0()98,0(
63,13832,461)98,0()98,0(
)(68,1440)(02,490
)(68,1440)(02,490
)(47,255)(68,1440)(55,234
6543
6543
236543
6523
43
6532
433
=−−++−=−−+
+−=−−++++−=+
++−=++
CCCC
CCCC
xxCxCCxC
CxCxxCxC
CxCxxCxCx
32
• Cuando 3298,0 θθ =→= mx
(11) 87,1411
)(08,147036,2881
)(43,76636,2881)(65,703
53
253
52
32
=−−=−
+−=+
CC
xxCC
CxxCx
• Sustituyendo la ecuación (11) en la (10)
(12) 2,461
43,922)87,1411(98,0
43,922)(98,0
64
64
6453
−=−=−+=−+−
CC
CC
CCCC
• Cuando (8)ecuación la 0878,1 4 enymx →=→=
(13) 878,133890
)878,1()878,1(47,255)878,1(68,14400
87
8732
CC
CC
++=++−=
• Cuando 2139,0 yymx =→=
(14) )0,309(
)(55,234)(55,234
2431
2431
4321
433
212
CCCC
CCxCxC
CxCCxC
CxCxCxCx
−=−−=−+=+
++=++
• Cuando 21309,0 θθ =→= mx
(15)
)(65,703)(65,703
31
32
12
CC
CxCx
=+=+
33
• Cuando 43649,1 yymx =→=
(16) )(649,1
)(47,255)(68,1440)(47,255)(68,1440
6875
6875
8765
8732
6532
CCCCCCxCxC
CxCCxC
CxCxxCxCxx
−=−−=−+=+
++−=++−
• Cuando 43649,1 θθ =→= mx
(17)
)(43,76636,2881)(43,76636,2881
75
72
52
CC
CxxCxx
=+−=+−
• Reemplazando la ecuación (17) en (16)
(18)
0
)(649,1
68
68
6875
CCCC
CCCC
==−
−=−
• Reemplazando la ecuación (15) en (14)
0
0 ;
0
)0,309(
4
224
24
2431
==→=
=−−=−
C
CCC
CC
CCCC
• Como 04 =C reemplazo en (12)
2,461
2,461
6
64
=−=−
C
CC
34
• Como 2,4616 =C reemplazo en (18)
2,461C
C
8
68
== C
• Como 2,4618 =C reemplazo en (13)
16,2050
2,461878,133890
7
7
−=++=
C
C
• Como 16,20507 −=C reemplazo en (17)
16,2050C
C
5
75
−== C
• Como 16,20505 −=C reemplazo en (11)
-638,29
87,1411
87,1411
3
53
53
=+=
=−
C
CC
CC
• Como tenemos 29,6383 −=C y 04 =C calculo la deflexión máxima de la
ecuación (4); mm
NE 522
9 103359,8 ,10200 −×=Ι×=
35
mmmy
mmN
y
Ey
yE
CxCxyE
02428,010428,2
)103359,8)(10200(
80,404
80,404
)979,0(29,638)979,0(55,234
)(55,234
52
452
92
22
322
433
22
→×=
××
−=
Ι−=
−=Ι++=Ι
−
−
Este valor es muy pequeño, probablemente porque el conjunto es muy rígido.
Además es un valor admisible porque no va a causar una deformación grande en
la placa de fibrocemento.
2.2 COJINETES DEL RODILLO GRABADOR
Existen dos maneras o formas de “provocar” el movimiento rodante entre ejes y
alojamientos.
• Cojinetes de deslizamiento (de superficie plana)
• Cojinetes de rodamiento (de contacto giratorio)
El propósito de utilizar cojinetes es la de soportar una carga mientras que
permite el movimiento relativo entre dos piezas de una maquina.
En el sistema de rodillo grabador se utilizo rodamientos de dos hileras de bolas
de referencia 4210 SKF; a estos cojinetes se les analizara la carga dinámica a la
cual pueden someterse mientras que cumplen una vida útil especificada de ( )10L
un millón de revoluciones.
36
Para determinar la vida útil de diseño en horas:
)min/60)()(( hRpmhLd =
donde: h = vida útil en horas → La especifica el diseñador
revLd
hRpmhLd610117
)min/60)(98)(20000(
×==
Ahora este valor se reemplaza en la ecuación de la especificación básica de
carga de diseño
kLdPdC
1
610��
�
�=
donde; Pd = carga de diseño = 1532.70 N
Ld = vida útil de diseño = rev610117 ×
K = constante = 3.0 Rodamiento de bolas
0.31
6
6
1010117
70.1532 ���
�
� ×= revNC
NC 39.7496= Carga Dinámica en el Cojinete
La carga dinámica especificada en el catalogo para el cojinete 4210 SKF es de
28100 N lo cual significa que este cojinete aplica para el diseño.
37
2.3. BASE CONEXIÓN
Esta pieza se va analizar por esfuerzos de cortante y de aplastamiento ya que
esta acoplada con un pivote y una horquilla corta, primero se evaluara el estado
actual y se verificara mediante el factor de seguridad y posteriormente se
simulara en Algor.
Material: A-36 30*54*90mm
Figura 10. Base conexión
38
2.3.1. Cálculos de Esfuerzos de Aplastamiento y Tensión en la Pieza Base
Conexión. Usando los conceptos anteriormente descritos de esfuerzos de
cortante y de aplastamiento se analizara la pieza llamada base de conexión
usando las ecuaciones antes descritas en su estado actual y luego se verificaran
los resultados mediante el factor de seguridad, posteriormente se simulara en
Algor.
• Esfuerzo Aplastamiento
Figura 11. Diagrama de cuerpo libre base conexión
d t
39
Área de contacto:
• La carga en el agujero es:
NNW
P rodillo 17152
34302
===
• El esfuerzo por Aplastamiento es:
Mpamm
Ntdp
a
a
a
35.5)02.0)(016.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
Según el criterio de resistencia mostrado en el capitulo 2. se tiene
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
d
t
b
40
4235.5
)250(9.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
• Esfuerzo de Tensión
Se tienen 2 áreas de 8*16mm mA 41028.1 −×=
Mpa
NAP
7.61028.12
17154
=××
=
=
−
σ
σ
σ
La verificación según criterio de resistencia mostrado en el capitulo 2.
ypermy SS 60.045.0 ≤≤ σ
Se tomo el más crítico yperm S45.0=σ
8.167.6
)250(45.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado que se toma por ser el F.S mas
bajo para su posterior análisis en Algor.
2.4. PIVOTE
El análisis que se va a hacer a continuación es valido para los otros dos pivotes
que hay en el sistema presor, dicho análisis se va a basar en el cálculo de
esfuerzos cortantes, se tomaran valores de cálculos anteriores y también
criterios de verificación.
41
Material: SAE 1020 mm42"1 ×φ
Figura 12. Pivote
42
• Esfuerzo cortante
Figura 13. Diagrama cuerpo libre pivote
Mpa
NA
P
72.24
)02.0(2
1715
2
2
=
=
=
τ
πτ
τ
Verificación: 1020.210 SAEMpaS y →=
yperm S40.0=τ
3072.2
)210(40.0.. ===
trab
permSFττ
Resultado por Cortante
P
P/2 P/2
43
2.5. HORQUILLA
El análisis que se va a hacer a continuación es para la horquilla larga y es valido
para la horquilla corta que están en el sistema presor, dicho análisis se va a
basar en el cálculo de esfuerzos de tensión y de aplastamiento, se tomaran
valores de cálculos anteriores y también criterios de verificación.
Material: Palanquilla 1045 mm80"211 ×
Figura 14. Horquilla
44
• Esfuerzo Aplastamiento
Mpamm
Ndt
P
a
a
a
51.4)02.0)(0095.0(
21715
2
=
=
×=
σ
σ
σ
45
• Verificación: 1045.310 SAEMpaS y →=
yperm S9.0=σ
6251.4
)310(9.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado por aplastamiento
• Esfuerzo de tensión
Se tienen 2 áreas de 8*9.5mm mA 4106.7 −×=
Mpa
NAP
12.1)106.7(2
17154
=×
=
=
−
σ
σ
σ
• Verificación: yperm S45.0=σ
12412.1
)310(45.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado por tensión
2.6. VASTAGO DE CALIBRACIÓN
El vástago de calibración es la pieza que gradúa la distancia entre el rodillo
grabador y la placa de fibrocemento, para poder hacer efectivo el grabado de la
textura en la placa, esta sometido a esfuerzos de tensión y se va a considerar
para su análisis y el uso de las ecuaciones como un perno.
46
Material: SAE 1020 mm76"87 ×
El siguiente análisis se baso en conceptos sobre el diseño de elementos
roscados y de sujeción diversa propuestos por Shigley6
De la tabla 8-2 del libro de Shigley se tomaron los siguientes valores
6 SIGLEY, Joseph Edward. Diseño en ingeniería mecánica. 5 ed. México: McGraw-Hill, 1994. p 367-404.
Figura 15. Vástago de calibración
47
Para un diámetro de 2462.0"87 pgAt =→ pgd nom 875.0=→
• Rigidez del perno )( bK
pglbK
K
LdE
K
LEA
K
b
b
nomb
b
6
6
2
1024
3)875.0()1030(
×=
×××=
××=
×=
π
π
• Rigidez del material )( mK
pglbK
LLn
K
dLdL
Ln
dEK
m
m
nom
nom
nomm
6
6
1042,34
)875.0(5.0))875.0(5.03(5
2
875.0)1030(
5.0)5.0(5
2
×=
��
���
�
++
×××=
��
���
�
++××
=
π
π
• Factor de Rigidez (C)
41,01042,341024
102466
6
=×+×
×=
+=
C
C
KKK
Cmb
b
Donde: A: área E: modulo de elasticidad del acero L: longitud del vástago
48
• Carga total en el perno )( bF
KipF
pgF
SAF
b
b
ptb
15246
33000462,0 2
=+=
+=
• Precarga )( iF
KipF
F
FF
b
i
bi
11434
1524675,0
75,0
=×=×=
• Factor de seguridad )(η
limite resitencia la quemenor es perno elen esfuerzo el que asegura 1 Si 24
)8.9
2.215,1716(41,0
11434462,033000
�→=
×
−×=
×−×
=
ηη
η
η
lbN
PC
FAS itp
• Esfuerzo de Tensión
49
Psipg
lbN
AP
6,836462,0
8,92,2
15,1716
2
=
×=
=
σ
σ
σ
• Verificación: 1020 SAE para 3645.0 KpsiSS yyperm =→=σ ; valor tomado de
la tabla 8-4 libro de Shigley
196,836
)36000(45.0.. ===
PsiPsi
SFtrab
perm
σσ
2.7. PALANACA ACODILLADA
Figura 16. Palanca acodillada
50
• Sumatoria de momentos en el punto de apoyo A (ver figura 14)
NF
F
mFmNM
mFmFM
A
A
23,1319 13,0
5,171
0)13.0()1.0(1715
0)13.0()1.0(
2
2
2
21
=
=
=−=�
=−=�
51
Figura 17. Diagrama cuerpo libre palanca acodillada
• Sumatoria de fuerzas en Y
NR
FR
FRF
y
y
yy
1715
0
1
11
11
=
=
=−=�
• Sumatoria de fuerzas en X
23,1319
0
2
22
22
NR
RF
RFF
x
x
xx
===−=�
A
C
B
R
2F
xR1
yR1
1F
100mm
100mm
45⊄
52
• Resultante de la fuerza en el apoyo A
NR
NNR
RRR yx
69,2163
)1715()23,1319( 22
12
=+=
+=
• El esfuerzo por Aplastamiento es:
En el agujero B
Mpamm
Ntdp
a
a
a
71,5)02.0)(015.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
3971,5
)250(9.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
53
En el agujero A
Mpamm
NtdP
a
a
a
66,4)023.0)(016.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
=..SF 4866,4
)250(9,0 ==trab
perm
σσ
Resultado
En el agujero C
Mpamm
NtdP
a
a
a
25,2)020.0)(038.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
54
=..SF 10025,2
)250(9,0 ==trab
perm
σσ
Resultado
• Esfuerzo de Tensión
Se tienen un área de 8*15mm en el agujero B mA 41028.1 −×=
Mpam
NAP
39,131028,1
17154
=×
=
=
−
σ
σ
σ
La Verificación
yperm S45.0=σ
839,13
)250(45,0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
• Esfuerzo de Tensión
Se tienen un área de 5*15mm en el agujero A mA 41075,0 −×=
Mpam
NAP
86,221075,0
17154
=×
=
=
−
σ
σ
σ
55
La verificación
yperm S45.0=σ
586,22
)250(45.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
Se tienen un área de 16*38mm en el agujero C mA 41008,6 −×=
Mpam
NAP
82,21008,6
17154
=×
=
=
−
σ
σ
σ
La Verificación
yperm S45.0=σ
4082,2
)250(45,0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
2.8. ARTICULACION
Esta pieza es la que esta acoplada a un muñón y a su ves este a el vástago del
cilindro neumático, es decir que esta articulación es la que transmite el
moviendo a la palanca acodillada, la articulación esta sometida a esfuerzos de
aplastamiento y cortantes.
56
Material: A-36 mm15165"165 ××
Figura 18. Articulación
El esfuerzo de aplastamiento es:
• En el agujero de �20mm
57
Mpamm
NtdP
a
a
a
24,8)02.0)(008.0(
1319
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
=..SF 2724,8
)250(9,0 ==trab
perm
σσ
Resultado
• En el agujero de �45mm
Mpamm
NtdP
a
a
a
76,4)045.0)(008.0(
1319
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
=..SF 4776,4
)250(9,0 ==trab
perm
σσ
Resultado
58
• Esfuerzo Tensión
Se tienen un área de 16*8mm en el agujero de �20mm mA 41028,1 −×=
Mpam
NAP
3,101028,1
13194
=×
=
=
−
σ
σ
σ
La verificación
yperm S45.0=σ
113,10
)250(45.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
Se tienen un área de 20*8mm en el agujero de �45mm mA 41060,1 −×=
Mpam
NAP
7,101060,1
17154
=×
=
=
−
σ
σ
σ
La verificación
yperm S45.0=σ
59
5,107,10
)250(40.0.. ===
trab
permSFσσ
Resultado
2.9. MUÑON
Esta pieza esta directamente acoplada al vástago del cilindro neumático que con
una presión de 100 Psi, es el que desplaza al rodillo grabador hacia arriba o hacia
abajo por medio de las piezas antes mencionadas y estudiadas. Este muñón (ver
figura 16.) presenta esfuerzos cortantes ya que tiene soldado una especie de
pasador, pues así se ha considerado para su análisis.
Material: SAE 1020 �3” * 91mm / �1 ½” * 60mm.
Figura 19. Muñón
60
• Esfuerzo cortante
Figura 20. Diagrama cuerpo libre muñón
Mpa
NA
P
53,04
)045,0(2
1715
2
2
=
=
=
τ
πτ
τ
P
P/2 P/2
61
Verificación: 1020.210 SAEMpaS y →=
yperm S40.0=τ
15853,0
)210(40.0.. ===
trab
permSFττ
Resultado por Cortante
En el cuadro que se muestra a continuación se resume el análisis de resistencia
de materiales y la evaluación de los elementos que están sometidos a la acción
de la fuerza.
Tabla 1. Resumen de resultados obtenidos de los elementos de maquina
VERIFICACIÓN CRITERIO
EVALUACIÓN Factor Seguridad
ELEMENTOS DE MÁQUINA Esfuerzos de trabajo
(�t) MPa
Esf. Permisible (�p) MPa F.S = �p / �t
Esf. Tensión 6,7 112,5 16 BASE CONEXIÓN
Esf. Aplastamiento 5,35 225 42
PIVOTES Esf. Cortante 2,72 84 30
Esf. Tensión 1,12 139,5 124 HORQUILLA CORTA
Esf. Aplastamiento 4,51 279 62
VÁSTAGO CALIBRACIÓN Esf. Tensión 836,6
(Psi) 16,2 (Kpsi) 19
Esf. Tensión 1,12 139,5 124 HORQUILLA LARGA
Esf. Aplastamiento 4,51 279 62
Esf. Tensión 13,39 112,5 8 PALANCA ACODILLADA Esf.
Aplastamiento 5,71 225 39
62
Esf. Tensión 10,3 112,5 11 ARTICULACIÓN Esf.
Aplastamiento 8,24 225 27
MUÑÓN Esf. Cortante 0,53 84 158
Como se observa en el cuadro anterior todos los valores de factor de seguridad
fueron superiores a uno por lo cual se puede deducir que los elementos trabajan
con seguridad desde el punto de vista de la resistencia de materiales.
Otro aspecto que llama la atención es que los valores de factor de seguridad
son elevados en comparación con los valores recomendados por varios autores,
los cuales se encuentran para aplicaciones generales a nivel industrial entre 2 y
3, cuando no son diseñados con un código específico como en este caso.
63
3. VERIFICACIÓN DE RESULTADOS CON AYUDA COMPUTACIONAL
Para corroborar la veracidad de los resultados obtenidos en los cálculos donde se
aplicaron los conceptos teóricos se utilizó la ayuda del paquete computacional
ALGOR, el cual realiza una simulación del estado de esfuerzos de un elemento
sometido a un sistema de fuerzas. Este programa entrega los valores de los
esfuerzos máximos alcanzados en función de un criterio de evaluación (para este
trabajo se considera el criterio de Von Mises) y representa gráficamente por medio
de colores la distribución y concentración de los mismos.
A manera de ejemplo se realizó un análisis a dos elementos del sistema a través
de los cuales se conduce la línea de fuerza, estos elementos son el rodillo
grabador y la horquilla corta.
3.1. RODILLO GRABADOR
El análisis realizado en el programa ALGOR consideró los siguientes aspectos:
• Tensión estática con modelos de material lineales.
• Restricciones en las áreas de apoyo de los rodamientos, con tres grados de
libertad restringidos en su traslación.
• Tipo de elemento para análisis: “Brick”.
• Fuerza nodal: aplicada a 279 nodos, en el sentido del eje y.
• Número total de nodos: 21.074
En la siguiente imagen se puede apreciar el resultado del rodillo grabador
sometido al análisis por elementos finitos en el programa ALGOR.
64
Figura 21. Verificación de resultado del Rodillo Grabador en Algor.
En el análisis obtenido en el programa ALGOR se puede apreciar el
desplazamiento máximo en la zona de color anaranjado, cuyo valor es de 1.18 x
10-5 m. El valor obtenido por cálculos manuales fue de 2.42 x 10-5 m. Estos valores
son muy pequeños, por lo tanto la diferencia entre ellos no se considera tan
relevante.
3.2. HORQUILLA
Este elemento también se sometió al análisis por elementos finitos utilizando el
software ALGOR. Los resultados se muestran en la figura siguiente:
65
Figura 22. Verificación de resultado de la Horquilla en Algor.
En el cuadro de resultados se observa que el valor máximo de esfuerzo se
expresa en función del esfuerzo equivalente de Von Mises. Este valor es diferente
al obtenido en el cálculo teórico. Pero realizando una análisis más detallado, y
seccionando el elemento analizado en ALGOR, se puede ver que al revisar el
valor del esfuerzo sobre la cara o punto donde se concentra la mayor cantidad de
esfuerzos (que es el considerado para el cálculo teórico/manual), el valor
promedio es muy similar al obtenido en el capítulo 2 sección 2.5.
66
La imagen abajo muestra los valores obtenidos al analizar las condiciones en el
sentido del eje Z, que es en el que se presenta la acción de la carga. Se nota la
diferencia en los valores en cada punto y como el promedio de esos cuatro valores
es de 10.64 MPa, que es parecido al valor de 6.7 MPa.
Figura 23. Análisis más detallado de la Horquilla en Algor.
67
4. PROCESO DE FABRICACION
A continuación se mostrara a algunas piezas en el proceso de fabricación y de
montaje; las piezas más significativas del sistema rodillo grabador de placa
plana, las cuales fueron fabricadas por Payan y Cia.; utilizando su maquinaria
convencional y también maquinaria con tecnología de punta como sus centros
de mecanizado CNC.
Figura 24. Soporte lateral del sistema
68
Figura 25. Separador central cajas de rodamientos
Figura 26. Rodillo yunque
69
Figura 27. Eje nervado
Figura 28. Articulación
70
Figura 29. Montaje de la caja de transmisión
Figura 30. Montaje del sistema rodillo grabador
71
Figura 31. Montaje del sistema rodillo grabador en planta
72
5. CONCLUSIONES
De acuerdo a los análisis realizados y a los resultados obtenidos en función de los
criterios de aceptación (Factor de seguridad) se puede decir que el diseño
construido cumple con los requisitos funcionales.
El diseño es seguro y confiable desde el punto de vista de la resistencia de los
materiales.
Los resultados de evaluación de los factores de seguridad muestran que los
elementos diseñados están sobredimensionados.
73
BIBLIOGRAFÍA
BEER, Ferdinand P. Mecánica de materiales. 2 ed. Santafé de Bogotá: McGraw-
Hill, 1995. xix, 738 p.
HAMROCK, Bernard. Elementos de maquinas. 5 ed. México: McGraw-Hill, 1994.
926 p.
PYTEL, Andrew. Resistencia de materiales: Introducción a la mecánica de sólidos.
4 ed. México: Harla, 1994. xi, 548 p.
SINGER, Ferdinand León. Resistencia de materiales. 3 ed. México: Harla, 1982.
xxi, 560 p.
SHIGLEY, Joseph Edward. Diseño en ingeniería mecánica. 5 ed. México:
McGraw-Hill, 1994. 883
74
VALIDACION DEL DISEÑO DE UN SISTEMA RODILLO
GRABADOR DE PLACA PLANA
Mauricio Lugo Tascón
Universidad Autónoma de Occidente Calle 25 # 115-85, vía Cali - Jamundí
[email protected] Cali
Resumen: La verificación se basó en la evaluación de las piezas, la cual se realizó a través de los conceptos básicos de esfuerzos y se establecieron para cada caso unos criterios de aceptación tales como factor de seguridad y el esfuerzo de fluencia para cada material. El resultado se muestra en función de los criterios de aceptación y son estos los que validan el diseño de cada pieza y a su vez el del conjunto. Además algunos resultados fueron comparados con el método de elementos finitos (Algor) También se mostraran fotografías de algunas piezas en proceso de fabricación así como todo el sistema de rodillo grabador en montaje
Keywords: Diseño de máquinas, Esfuerzos y resistencia, Fibrocemento, Deflexión, Esfuerzos Permisibles, Factor de seguridad
75
1. INTRODUCCIÓN El diseño y construcción del sistema rodillo grabador de placa plana surgió como necesidad de la empresa Eternit S.A. al querer entrar en el mercado de las láminas grabadas que son utilizadas en oficinas, viviendas, locales comerciales, entre otros. Estas láminas están constituidas por un material llamado fibrocemento; el cual es una composición de crisotilo que es la fibra en una matriz de cemento. Para poder incursionar fuertemente en el mercado Eternit S.A. solicito a Payan y Cia. Diseñar, construir y montar en la línea de producción de la lámina una máquina que hiciera este grabado de manera automática, ya que este trabajo se venia realizando manualmente. Lo que se quiere lograr en este trabajo es una verificación teórica de dicho diseño, basado en el análisis de las cargas a las cuales están sometidas las piezas del sistema presor, para poder realizar el grabado en las placas de fibrocemento. Este análisis se basara en conceptos de resistencia de materiales como la deflexión, esfuerzos de aplastamiento y de cortante, también en el diseño de pernos. Los resultados que se obtengan de este análisis pertenecerán al estado actual de cada pieza y serán verificados por medio del factor de seguridad de cada una de ellas, posteriormente a algunas de las piezas serán simuladas en Algor para comparar los resultados teóricos obtenidos.
1. MARCO TEORICO
1.1. Laminas de Fibrocemento
Las láminas planas están constituidas esencialmente de un agente aglutinante inorgánico hidráulico o de un agente aglutinante de silicato de calcio, formado por la reacción química de un material silíceo y uno calcáreo, reforzado con fibra orgánica o fibras sintéticas inorgánicas o una mezcla de ellas; adicionalmente pueden ser agregados coadyuvantes de proceso, agentes de relleno y pigmento, compatibles con los otros materiales empleados en su fabricación. En síntesis se puede decir que las láminas de fibrocemento están compuestas por una matriz de cemento la cual contiene una fibra proveniente del asbesto llamada crisotilo. 1.2. Crisotilo El crisotilo es una fibra mineral que no se quema ni se pudre (Fig. 1.), resiste a la mayoría de los productos químicos, es flexible y tiene una gran resistencia a la tracción. Esta combinación única de propiedades hace del crisotilo un material extremadamente útil, que durante muchas décadas fue considerado como un componente principal de productos livianos de cemento reforzado, materiales de fricción, sellos y guarniciones para altas temperaturas y una gran variedad de otras aplicaciones.
76
Fig. 1. Crisotilo
1.3. Método de la Doble Integral
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 3 Se deducirá la ecuación de dicha curva, y como calcula el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x.
Se tomara el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El
valor de esta pendiente, tan � = dxdy
puede hacerse sin error apreciable, igual a �. Por consiguiente,
� = dxdy
(1)
y
2
2
dxyd
dxd =θ
(2)
Considerando la variación de � en una longitud diferencial ds, producida por la flexión de la viga, es evidente que
θρdds = (3)
Siendo � el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene:
dxd
dsd θθ
ρ≈=1
O bien 2
21dx
yd=ρ
(4)
Al deducir la formula de la flexión, se obtuvo la relación
EIM=
ρ1
(5)
77
.
Fig. 2. Curva elástica
Y, por tanto, igualando los valores 1/ � de las ecuaciones (4) y (5) resulta:
Mdx
ydEI =2
2
(6)
Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y dx por ds, no tienen influencia apreciable en la exactitud de la expresión (6) y, en efecto, sustituyendo 1/ � por su valor exacto, junto con la ecuación (5), se tendría
EIM
dxdy
dxyd
=
���
�
���
���
�
�+23
2
2
2
1
Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable
frente a la unidad, por lo que se puede escribir
EIM
dxyd =2
2
que coincide con la ecuación (6).
Integrando la ecuación (6), suponiendo EI constante, resulta
+= 1CMdxdxdy
EI (7)
que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la misma, o dy/dx en cualquier punto. M no es el valor del momento sino que es la ecuación del momento flexionante en función de x, y 1C es una constante a determinar por las condiciones de apoyo.
Integrando de nuevo la ecuación (7),
++= 21 CxCMdxdxEIy (8)
que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x.
2C es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.
1.4. Esfuerzo Cortante
El esfuerzo cortante llamado también secante, tangencial o de cizalladura, se produce por medio de fuerzas que actúan paralelamente al plano de la sección transversal.
78
Aparecen esfuerzos cortantes, siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que una porción del sólido tienda a deslizarse sobre la otra porción a través de la sección transversal.
Estas fuerzas internas elementales son las llamadas fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante de la sección. Dividiendo el cortante P por el área A de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio de la sección.
AP
med =τ (19)
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y componentes de maquinas.
1.5. Esfuerzo de Aplastamiento
Los pernos, remaches y pasadores generan esfuerzos en los elementos que conectan, a lo largo de la superficie de apoyo o de contacto.
La ecuación para determinar este esfuerzo es:
contactodeareaaplicadafuerza
tdP
AP
bb
b ...=→== σσ
(20)
donde: t: espesor del área proyectada; d: diámetro
Un excesivo esfuerzo de contacto puede lograr la fluencia del material de la placa, del remache o de ambos.
La falla por desgarramiento ocurre cuando hay una distancia al borde insuficiente. Para impedir este tipo de falla el centro del agujero debe quedar a una distancia suficiente del borde de la placa.
1.6. Esfuerzo de Tensión
Uno de los problemas fundamentales es la ingeniería es la determinación del efecto de una carga sobre una parte. Esta determinación es una parte esencial del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se analiza. El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la dirección de las fuerzas internas que actúan en un punto dado sobre un plano particular.
Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la carga externa se distribuye uniformemente sobre un área de la sección transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se puede calcular por medio de la ecuación
=promσ Fuerza promedio / Área de la
sección transversal AP= (11)
De esta forma, la unidad del esfuerzo es la fuerza por unidad de área o
79
newtons por metro cuadrado. Al considerar un área pequeña �A sobre la sección transversal hay que hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideramos que el material es continuo y además que es cohesivo. La intensidad promedio de las fuerzas internas que se transmiten a través de la sección se supone que están distribuidas continuamente, el área �A se puede hacer cada vez más pequeña y se aproximara a un punto sobre la superficie en el límite. La fuerza correspondiente �P también se volverá cada vez mas pequeña. El esfuerzo en el punto sobre la sección transversal en el cual converge �A se puede definir como
dAdP
AP
límt
=∆∆=
→∆ 0σ (12)
Si la fuerza �P “jala” sobre el elemento de área �A en una forma perpendicular se llama esfuerzo de tensión.
1.7. Resistencia
La resistencia de un elemento de maquinas depende de la clase, tratamiento y geometría del espécimen, y también del tipo de carga que el elemento de máquinas experimente.
Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El diseño se relaciona con los esfuerzos permisibles, o con el valor reducido de la resistencia. El esfuerzo normal permisible permσ y el esfuerzo cortante
permτ para metales ferrosos y no
ferrosos con varios tipos de carga se pueden representar como
Tensión: ypermy SS 60,045,0 ≤≤ σ (13)
Cortante: yperm S40,0=τ (14)
Flexión: ypermy SS 75,060,0 ≤≤ σ (15)
Soporte:
yperm S9,0=σ (16
2. VERIFICACIÓN DEL DISEÑO Y RESULTADOS
La verificación del diseño se realizo utilizando los conceptos mostrados en el capitulo 2 para cada elemento a través del cual se distribuyo la fuerza.
La verificación se basó en la evaluación de las piezas, su verificación se realizo a través de los conceptos básicos de esfuerzos y se establecieron para cada caso unos criterios de aceptación tales como factor de seguridad y el esfuerzo de fluencia para cada material. El resultado se muestra en función de los criterios de aceptación y son estos los que validan el diseño de cada pieza y a su vez el del conjunto.
2.1. Rodillo Grabador de Placa Plana
80
Este rodillo grabador no fue construido por Payan y Cia. , fue aportado por Eternit S.A., fue construido por el proceso de electro erosionado, tiene un peso de 350 Kgf. Con las siguientes características.
Fig. 3. Rodillo Grabador
El rodillo grabador se considero como una viga para su análisis, como constantemente esta ejerciendo una fuerza para poder grabar la textura en la placa se calculara la deflexión que sufre por el método de la doble integración.
2.1.1 Calculo de la deflexión en el rodillo grabador
El análisis del cálculo de la deflexión en el rodillo se empezó por calcular experimentalmente el esfuerzo máximo ejercido por la placa de fibrocemento sobre el rodillo, mediante un ensayo de
compresión realizado en la maquina Inxstron Corporation en la Universidad Autónoma de Occidente, del cual se obtuvo
236555mN=σ
A partir de este valor de esfuerzo se procedió a calcular la fuerza necesaria en el rodillo para deformar la placa un milímetro y así lograr un buen grabado
Como, se sabe que, AF=σ
Fig. 4. Distribución de la fuerza en la placa
donde: A = L*B
B: Longitud del rodillo que graba 1340mm
L: Longitud de contacto entre rodillo y placa 10mm
entonces: AF=σ
AF ×= σ
B L
81
W C
D
)34.101.0)(36555( 2 mmmN
F ×=
NF 83.489=
Ahora se calcularan las reacciones en los apoyos del rodillo
Ra
Re
A B
E
Amjuuuhghg B
D
F
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador
Datos:
• 1Kgf = 9.8N • W = 350 Kgf = 3430 N • F = 489.83 N
• ( )
m
r
rodillo
rodillo
rodillo
5
4
4
103359.8
1015,04141
−×=Ι
=Ι
=Ι
π
π
)( 2Ι
• ( )
m
m
r
espigo
espigo
espigo
7
4
4
108732.3
0265.04141
−×=Ι
×=Ι
×=Ι
π
π
)( 1Ι
Calculos
• �MA = -2940.17 N (0.979m) + Re (1.878m) = 0
Re = 1532.70 N
• �Fy = Ra – 2940.17 N + 1532.70 N = 0
Ra = 1407.3 N
Como se describió anteriormente se usara el método de la doble integración descrito en el capitulo 2 utilizando la ecuación (6) en integrándola dos veces
EIM
dxyd =2
2
(6)
203mm
1340 mm
229 mm 309 mm
82
• Tramo A - B (0 – 309mm)
1M
1407,3N
Fig. 6. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – B
•
)(3,1407
0)(3,1407
1
1
xM
xMM
==−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – C (309 – 670)
2M
A B
1407,3N
Fig. 7. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador A – C
• )(3,1407
0)(3,1407
2
2
xM
xMM
==−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – D 2940,17N
3M
X
X
83
C 2940,17 1407,3N Fig. 8. Diagrama de cuerpo libre rodillo
grabador tramo A – D
•
)(87,153236,2881M 036,2881)(17,2940
)(3,14070)98,0(17,2940
)(3,1407
3
3
3
x
x
xMM
x
xMM
−==−+
−=�
=−+−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
5
233 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
• Tramo A – E
C 2940,17N A B D E 4M 1407,3N
Fig. 9. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – E
•
)(87,153236,2881 036,2881)(17,2940
)(3,14070)98,0(17,2940
)(3,1407
4
4
4
xM
x
xMM
x
xMM
−==−+
−=�
=−+−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
7
244 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
8732
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
(1) 12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
(2) 213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(3) 32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
(4) 433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(5) 52
33 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
(6)
6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
(7)
72
44 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
X
84
(8)
8732
44 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
Para determinar las constantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y a la ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera siguientes:
• 00 =→= yx En la ecuación (2)
0 000 22 =→++= CC (9)
• Cuando →=→= 3298,0 yymx la
ecuación (4) = (6)
(10) 43,922)98,0()98,0(
63,13832,461)98,0()98,0(
)(68,1440)(02,490
)(68,1440)(02,490
)(47,255)(68,1440)(55,234
6543
6543
236543
6523
43
6532
433
=−−++−=−−+
+−=−−++++−=+
++−=++
CCCC
CCCC
xxCxCCxC
CxCxxCxC
CxCxxCxCx
• Cuando 3298,0 θθ =→= mx
(11) 87,1411
)(08,147036,2881
)(43,76636,2881)(65,703
53
253
52
32
=−−=−
+−=+
CC
xxCC
CxxCx
• Sustituyendo la ecuación (11) en la (10)
(12) 2,461
43,922)87,1411(98,0
43,922)(98,0
64
64
6453
−=−=−+=−+−
CC
CC
CCCC
• Cuando (8)ecuación la 0878,1 4 enymx →=→=
(13) 878,133890
)878,1()878,1(47,255)878,1(68,14400
87
8732
CC
CC
++=++−=
• Cuando 2139,0 yymx =→=
(14) )0,309(
)(55,234)(55,234
2431
2431
4321
433
212
CCCC
CCxCxC
CxCCxC
CxCxCxCx
−=−−=−+=+
++=++
• Cuando 21309,0 θθ =→= mx
(15)
)(65,703)(65,703
31
32
12
CC
CxCx
=+=+
• Cuando 43649,1 yymx =→=
)(649,1
)(68,1440)(47,255)(68,1440
6875
6875
8765
265
32
CCCCCCxCxC
CxCCxC
xCxCxx
−=−−=−+=+
−=++−
• Cuando 43649,1 θθ =→= mx
85
(17)
)(43,76636,2881)(43,76636,2881
75
72
52
CC
CxxCxx
=+−=+−
• Reemplazando la ecuación (17) en (16)
(18)
0
)(649,1
68
68
6875
CCCC
CCCC
==−
−=−
• Reemplazando la ecuación (15) en (14)
0
0 ;
0
)0,309(
4
224
24
2431
==→=
=−−=−
C
CCC
CC
CCCC
• Como 04 =C reemplazo en (12)
2,461
2,461
6
64
=−=−
C
CC
• Como 2,4616 =C reemplazo en
(18)
2,461C
C
8
68
== C
• Como 2,4618 =C reemplazo en (13)
16,2050
2,461878,133890
7
7
−=++=
C
C
• Como 16,20507 −=C reemplazo en (17)
16,2050C
C
5
75
−== C
• Como 16,20505 −=C reemplazo
en (11)
-638,29
87,1411
87,1411
3
53
53
=+=
=−
C
CC
CC
• Como tenemos 29,6383 −=C y
04 =C calculo la deflexión máxima de la ecuación (4);
mm
NE 522
9 103359,8 ,10200 −×=Ι×=
mmmy
mmN
y
Ey
yE
CxCxyE
02428,010428,2
)103359,8)(10200(
80,404
80,404
)979,0(29,638)979,0(55,234
)(55,234
52
452
92
22
322
433
22
→×=
××
−=
Ι−=
−=Ι++=Ι
−
−
Este valor es muy pequeño, probablemente porque el conjunto es muy rígido. Además es un valor admisible porque no va a causar una deformación grande en la placa de fibrocemento.
86
2.2. Base Conexión
Esta pieza se va analizar por esfuerzos de cortante y de aplastamiento ya que esta acoplada con un pivote y una horquilla corta, primero se evaluara el estado actual y se verificara mediante el factor de seguridad y posteriormente se simulara en Algor.
Material: A-36 30*54*90mm
Fig. 10. Base conexión
2.2.1. Cálculos de Esfuerzos de Aplastamiento y Cortante en la Pieza Base Conexión
Usando los conceptos anteriormente descritos de esfuerzos de cortante y de aplastamiento se analizara la pieza llamada base de conexión usando las ecuaciones antes descritas en su estado actual y luego se verificaran los resultados mediante el factor de seguridad posteriormente se simulara en Algor.
Usando la ecuación (20) y observando las medidas en la Fig. 6 se tiene:
• La carga en el agujero es:
NNW
P rodillo 17152
34302
===
• El esfuerzo por Aplastamiento es:
87
Mpamm
Ntdp
a
a
a
35.5)02.0)(016.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
Según el criterio del libro de Hamrock pág. 11.
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
4235.5
)250(9.0.. ===
trab
permSFσσ
• Esfuerzo Cortante
Se tienen 2 áreas de 8*16mm mA 41028.1 −×=
Mpa
NAP
7.61028.12
17154
=××
=
=
−
τ
τ
τ
La verificación:
Según criterio de Hamrock pág. 111
ypermy SS 60.045.0 ≤≤ σ
Se tomo el más crítico yperm S45.0=σ
8.167.6
)250(45.0.. ===
trab
permSFσσ
3. VERIFICACIÓN DE RESULTADOS CON AYUDA
COMPUTACIONAL Para corroborar la veracidad de los resultados obtenidos en los cálculos donde se aplicaron los conceptos teóricos se utilizó la ayuda del paquete computacional ALGOR, el cual realiza una simulación del estado de esfuerzos de un elemento sometido a un sistema de fuerzas. Este programa entrega los valores de los esfuerzos máximos alcanzados en función de un criterio de evaluación (para este trabajo se considera el criterio de Von Mises) y representa gráficamente por medio de colores la distribución y concentración de los mismos. A manera de ejemplo se realizó un análisis a dos elementos del sistema a través de los cuales se conduce la línea de fuerza, estos elementos son el rodillo grabador y la horquilla corta. 3.1. RODILLO GRABADOR El análisis realizado en el programa ALGOR consideró los siguientes aspectos: • Tensión estática con modelos de
material lineales.
88
• Restricciones en las áreas de apoyo de los rodamientos, con tres grados de libertad restringidos en su traslación.
• Tipo de elemento para análisis: “Brick”.
• Fuerza nodal: aplicada a 279 nodos, en el sentido del eje y.
• Número total de nodos: 21.074 En la siguiente imagen se puede apreciar el resultado del rodillo grabador sometido al análisis por elementos finitos en el programa ALGOR.
Figura 21. Verificación de resultado del
Rodillo Grabador en Algor. En el análisis obtenido en el programa ALGOR se puede apreciar el desplazamiento máximo en la zona de color anaranjado, cuyo valor es de 1.18 x 10-5 m. El valor obtenido por cálculos manuales fue de 2.42 x 10-5 m. Estos valores son muy pequeños, por lo tanto la diferencia entre ellos no se considera tan relevante
4. PROCESO DE FABRICACION
A continuación se mostrara a algunas piezas en el proceso de fabricación y de montaje; las piezas más significativas del sistema rodillo grabador de placa plana, las cuales fueron fabricadas por Payan y Cia.; utilizando su maquinaria convencional y también maquinaria con tecnología de punta como sus centros de mecanizado CNC.
Fig. 11. Soporte lateral del sistema
Fig. 12. Rodillo yunque
89
Fig. 13. Montaje de la caja de
transmisión
Fig. 14. Montaje del sistema rodillo
grabador
Fig. 15. Montaje del sistema rodillo
grabador en planta
4. CONCLUSIONES
De acuerdo a los análisis realizados y a los resultados obtenidos en función de los criterios de aceptación (F.S) se puede decir que el diseño construido cumple con los requisitos funcionales.
El diseño es seguro y confiable desde el punto de vista de la resistencia de los materiales.
Los resultados de evaluación de los factores de seguridad muestran que los elementos diseñados están sobredimensionados.
REFERENCIAS
Singer, Ferdinand León. Resistencia de materiales. 3 ed. México: Harla, 1982.
XXI, 560p.
Beer, Ferdinand P. Mecánica de materiales. 2 ed. Santafé de Bogotá:
McGraw-Hill, 1995. xix, 738p
Pytel, Andrew. Resistencia de materiales: Introducción a la mecánica de sólidos. 4 ed. México: Harla, 1994.
HAMROCK, Bernard. Elementos de
maquinas. 5 ed. México: McGraw-Hill,
1994. p 926.
VALIDACION DEL DISEÑO DE UN SISTEMA RODILLO GRABADOR DE PLACA PLANA
Mauricio Lugo Tascón
Universidad Autónoma de Occidente Calle 25 # 115-85, vía Cali - Jamundí
[email protected] Cali
Resumen: La verificación se basó en la evaluación de las piezas, la cual se realizó a través de los conceptos básicos de esfuerzos y se establecieron para cada caso unos criterios de aceptación tales como factor de seguridad y el esfuerzo de fluencia para cada material. El resultado se muestra en función de los criterios de aceptación y son estos los que validan el diseño de cada pieza y a su vez el del conjunto. Además algunos resultados fueron comparados con el método de elementos finitos (Algor) También se mostraran fotografías de algunas piezas en proceso de fabricación así como todo el sistema de rodillo grabador en montaje
Keywords: Diseño de máquinas, Esfuerzos y resistencia, Fibrocemento, Deflexión, Esfuerzos Permisibles, Factor de seguridad
1. INTRODUCCIÓN
El diseño y construcción del sistema rodillo grabador de placa plana surgió como necesidad de la empresa Eternit S.A. al querer entrar en el mercado de las láminas grabadas que son utilizadas en oficinas, viviendas, locales comerciales, entre otros. Estas láminas están constituidas por un material llamado fibrocemento; el cual es una composición de crisotilo que es la fibra en una matriz de cemento. Para poder incursionar fuertemente en el mercado Eternit S.A. solicito a Payan y Cia. Diseñar, construir y montar en la línea de producción de la lámina una máquina que hiciera este grabado de manera automática, ya que este trabajo se venia realizando manualmente. Lo que se quiere lograr en este trabajo es una
verificación teórica de dicho diseño, basado en el análisis de las cargas a las cuales están sometidas las piezas del sistema presor, para poder realizar el grabado en las placas de fibrocemento. Este análisis se basara en conceptos de resistencia de materiales como la deflexión, esfuerzos de aplastamiento y de cortante, también en el diseño de pernos. Los resultados que se obtengan de este análisis pertenecerán al estado actual de cada pieza y serán verificados por medio del factor de seguridad de cada una de ellas, posteriormente a algunas de las piezas serán simuladas en Algor para comparar los resultados teóricos obtenidos.
1. MARCO TEORICO
1.1. Laminas de Fibrocemento
Las láminas planas están constituidas esencialmente de un agente aglutinante inorgánico hidráulico o de un agente aglutinante de silicato de calcio, formado por la reacción química de un material silíceo y uno calcáreo, reforzado con fibra orgánica o fibras sintéticas inorgánicas o una mezcla de ellas; adicionalmente pueden ser agregados coadyuvantes de proceso, agentes de relleno y pigmento, compatibles con los otros materiales empleados en su fabricación. En síntesis se puede decir que las láminas de fibrocemento están compuestas por una matriz de cemento la cual contiene una fibra proveniente del asbesto llamada crisotilo. 1.2. Crisotilo El crisotilo es una fibra mineral que no se quema ni se pudre (Fig. 1.), resiste a la mayoría de los productos químicos, es flexible y tiene una gran resistencia a la tracción. Esta combinación única de propiedades hace del crisotilo un material extremadamente útil, que durante muchas décadas fue considerado como un componente principal de productos livianos de cemento reforzado, materiales de fricción, sellos y guarniciones para altas temperaturas y una gran variedad de otras aplicaciones.
Fig. 1. Crisotilo
1.3. Método de la Doble Integral
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 3 Se deducirá la ecuación de dicha curva, y como calcula el
desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x.
Se tomara el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta
pendiente, tan � = dxdy
puede hacerse sin error
apreciable, igual a �. Por consiguiente,
� = dxdy
(1)
y
2
2
dxyd
dxd =θ
(2)
Considerando la variación de � en una longitud diferencial ds, producida por la flexión de la viga, es evidente que
θρdds = (3)
Siendo � el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene:
dxd
dsd θθ
ρ≈=1
O bien 2
21dx
yd=ρ
(4)
Al deducir la formula de la flexión, se obtuvo la relación
EIM=
ρ1
(5)
.
Fig. 2. Curva elástica
Y, por tanto, igualando los valores 1/ � de las ecuaciones (4) y (5) resulta:
Mdx
ydEI =2
2
(6)
Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y dx por ds, no tienen influencia apreciable en la exactitud de la expresión (6) y, en efecto, sustituyendo 1/ � por su valor exacto, junto con la ecuación (5), se tendría
EIM
dxdy
dxyd
=
���
�
���
���
�
�+23
2
2
2
1
Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad, por lo que se puede escribir
EIM
dxyd =2
2
que coincide con la ecuación (6).
Integrando la ecuación (6), suponiendo EI constante, resulta
+= 1CMdxdxdy
EI (7)
que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la misma, o dy/dx en cualquier punto. M no es el valor del momento sino que es la ecuación del momento flexionante en función de x, y 1C es una constante a determinar por las condiciones de apoyo.
Integrando de nuevo la ecuación (7),
++= 21 CxCMdxdxEIy (8)
que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x. 2C es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.
1.4. Esfuerzo Cortante
El esfuerzo cortante llamado también secante, tangencial o de cizalladura, se produce por medio de fuerzas que actúan paralelamente al plano de la sección transversal.
Aparecen esfuerzos cortantes, siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que una porción del sólido tienda a deslizarse sobre la otra porción a través de la sección transversal.
Estas fuerzas internas elementales son las llamadas fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante de la sección. Dividiendo el cortante P por el área A de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio de la sección.
AP
med =τ (19)
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos,
pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y componentes de maquinas.
1.5. Esfuerzo de Aplastamiento
Los pernos, remaches y pasadores generan esfuerzos en los elementos que conectan, a lo largo de la superficie de apoyo o de contacto.
La ecuación para determinar este esfuerzo es:
contactodeareaaplicadafuerza
tdP
AP
bb
b ...=→== σσ (20)
donde: t: espesor del área proyectada; d: diámetro
Un excesivo esfuerzo de contacto puede lograr la fluencia del material de la placa, del remache o de ambos.
La falla por desgarramiento ocurre cuando hay una distancia al borde insuficiente. Para impedir este tipo de falla el centro del agujero debe quedar a una distancia suficiente del borde de la placa.
1.6. Esfuerzo de Tensión
Uno de los problemas fundamentales es la ingeniería es la determinación del efecto de una carga sobre una parte. Esta determinación es una parte esencial del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se analiza. El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la dirección de las fuerzas internas que actúan en un punto dado sobre un plano particular.
Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la carga externa se distribuye uniformemente sobre un área de la sección transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se puede calcular por medio de la ecuación
=promσ Fuerza promedio / Área de la sección
transversal AP= (11)
De esta forma, la unidad del esfuerzo es la fuerza por unidad de área o newtons por metro cuadrado. Al considerar un área pequeña �A sobre la sección transversal hay que hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideramos que el material es continuo y además que es cohesivo. La intensidad promedio de las fuerzas internas que se transmiten a través de la sección se supone que están distribuidas continuamente, el área �A se puede hacer cada vez más pequeña y se aproximara a un punto sobre la superficie en el límite. La fuerza correspondiente �P también se volverá cada vez mas pequeña. El esfuerzo en el punto sobre la sección transversal en el cual converge �A se puede definir como
dAdP
AP
límt
=∆∆=
→∆ 0σ (12)
Si la fuerza �P “jala” sobre el elemento de área �A en una forma perpendicular se llama esfuerzo de tensión.
1.7. Resistencia
La resistencia de un elemento de maquinas depende de la clase, tratamiento y geometría del espécimen, y también del tipo de carga que el elemento de máquinas experimente.
Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El diseño se relaciona con los esfuerzos permisibles, o con el valor reducido de la resistencia. El esfuerzo normal permisible permσ y el esfuerzo cortante
permτ para metales ferrosos y no ferrosos con
varios tipos de carga se pueden representar como
Tensión:
ypermy SS 60,045,0 ≤≤ σ (13)
Cortante:
yperm S40,0=τ (14)
Flexión:
ypermy SS 75,060,0 ≤≤ σ (15)
Soporte:
yperm S9,0=σ (16
2. VERIFICACIÓN DEL DISEÑO Y RESULTADOS
La verificación del diseño se realizo utilizando los conceptos mostrados en el capitulo 2 para cada elemento a través del cual se distribuyo la fuerza.
La verificación se basó en la evaluación de las piezas, su verificación se realizo a través de los conceptos básicos de esfuerzos y se establecieron para cada caso unos criterios de aceptación tales como factor de seguridad y el esfuerzo de fluencia para cada material. El resultado se muestra en función de los criterios de aceptación y son estos los que validan el diseño de cada pieza y a su vez el del conjunto.
2.1. Rodillo Grabador de Placa Plana
Este rodillo grabador no fue construido por Payan y Cia. , fue aportado por Eternit S.A., fue construido por el proceso de electro erosionado, tiene un peso de 350 Kgf. Con las siguientes características.
Fig. 3. Rodillo Grabador
El rodillo grabador se considero como una viga para su análisis, como constantemente esta ejerciendo una fuerza para poder grabar la textura en la placa se calculara la deflexión que sufre por el método de la doble integración.
2.1.1 Calculo de la deflexión en el rodillo grabador
El análisis del cálculo de la deflexión en el rodillo se empezó por calcular experimentalmente el esfuerzo máximo ejercido por la placa de fibrocemento sobre el rodillo, mediante un ensayo de compresión realizado en la maquina Inxstron Corporation en la Universidad Autónoma de Occidente, del cual se obtuvo
236555mN=σ
A partir de este valor de esfuerzo se procedió a calcular la fuerza necesaria en el rodillo para deformar la placa un milímetro y así lograr un buen grabado
Como, se sabe que, AF=σ
W C
D
Fig. 4. Distribución de la fuerza en la placa
donde: A = L*B
B: Longitud del rodillo que graba 1340mm
L: Longitud de contacto entre rodillo y placa 10mm
entonces: AF=σ
AF ×= σ
)34.101.0)(36555( 2 mmmN
F ×=
NF 83.489=
Ahora se calcularan las reacciones en los apoyos del rodillo
Ra Re
A B E
Amjuuuhghg B D
F
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador
Datos:
• 1Kgf = 9.8N • W = 350 Kgf = 3430 N • F = 489.83 N
• ( )
m
r
rodillo
rodillo
rodillo
5
4
4
103359.8
1015,04141
−×=Ι
=Ι
=Ι
π
π
)( 2Ι
• ( )
m
m
r
espigo
espigo
espigo
7
4
4
108732.3
0265.04141
−×=Ι
×=Ι
×=Ι
π
π
)( 1Ι
Calculos
• �MA = -2940.17 N (0.979m) + Re (1.878m) = 0
Re = 1532.70 N
• �Fy = Ra – 2940.17 N + 1532.70 N = 0
Ra = 1407.3 N
Como se describió anteriormente se usara el método de la doble integración descrito en el
203mm
1340 mm
229 mm 309 mm
B L L
capitulo 2 utilizando la ecuación (6) en integrándola dos veces
EIM
dxyd =2
2
(6)
• Tramo A - B (0 – 309mm)
1M
1407,3N
Fig. 6. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – B
• )(3,1407
0)(3,1407
1
1
xM
xMM
==−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – C (309 – 670)
2M
A B
1407,3N
Fig. 7. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador A – C
• )(3,1407
0)(3,1407
2
2
xM
xMM
==−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
• Tramo A – D 2940,17N
3M
C 2940,17 1407,3N
Fig. 8. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – D
X
X
X
•
)(87,153236,2881M 036,2881)(17,2940
)(3,14070)98,0(17,2940
)(3,1407
3
3
3
x
x
xMM
x
xMM
−==−+
−=�
=−+−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
52
33 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
• Tramo A – E
C 2940,17N A B D E 4M 1407,3N
Fig. 9. Diagrama de cuerpo libre rodillo grabador tramo A – E
•
)(87,153236,2881 036,2881)(17,2940
)(3,14070)98,0(17,2940
)(3,1407
4
4
4
xM
x
xMM
x
xMM
−==−+
−=�
=−+−=�
• += 1CMdxdxdy
EI
72
44 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
• ++= 21 CxCMdxdxEIy
8732
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
(1) 12
11 )(65,703 CxE +=Ι θ
(2) 213
11 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(3) 32
22 )(65,703 CxE +=Ι θ
(4) 433
22 )(55,234 CxCxyE ++=Ι
(5) 52
33 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
(6)
6532
33 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
(7) 72
44 )(43,766)(36,2881 CxxE ++=Ι θ
(8)
8732
44 )(47,255)(68,1440 CxCxxyE ++−=Ι
Para determinar las constantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y a la ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera siguientes:
• 00 =→= yx En la ecuación (2)
0 000 22 =→++= CC (9)
• Cuando →=→= 3298,0 yymx la
ecuación (4) = (6)
X
(10) 43,922)98,0()98,0(
63,13832,461)98,0()98,0(
)(68,1440)(02,490
)(68,1440)(02,490
)(47,255)(68,1440)(55,234
6543
6543
236543
6523
43
6532
433
=−−++−=−−+
+−=−−++++−=+
++−=++
CCCC
CCCC
xxCxCCxC
CxCxxCxC
CxCxxCxCx
• Cuando 3298,0 θθ =→= mx
(11) 87,1411
)(08,147036,2881
)(43,76636,2881)(65,703
53
253
52
32
=−−=−
+−=+
CC
xxCC
CxxCx
• Sustituyendo la ecuación (11) en la (10)
(12) 2,461
43,922)87,1411(98,0
43,922)(98,0
64
64
6453
−=−=−+=−+−
CC
CC
CCCC
• Cuando
(8)ecuación la 0878,1 4 enymx →=→=
(13) 878,133890
)878,1()878,1(47,255)878,1(68,14400
87
8732
CC
CC
++=++−=
• Cuando 2139,0 yymx =→=
(14) )0,309(
)(55,234)(55,234
2431
2431
4321
433
212
CCCC
CCxCxC
CxCCxC
CxCxCxCx
−=−−=−+=+
++=++
• Cuando 21309,0 θθ =→= mx
(15)
)(65,703)(65,703
31
32
12
CC
CxCx
=+=+
• Cuando 43649,1 yymx =→=
)(649,1
47,255)(68,1440)(47,255)(68,1440
6875
6875
8765
265
32
CCCCCCxCxC
CxCCxC
xCxCxx
−=−−=−+=+
−=++−
• Cuando 43649,1 θθ =→= mx
(17)
)(43,76636,2881)(43,76636,2881
75
72
52
CC
CxxCxx
=+−=+−
• Reemplazando la ecuación (17) en (16)
(18)
0
)(649,1
68
68
6875
CCCC
CCCC
==−
−=−
• Reemplazando la ecuación (15) en (14)
0
0 ;
0
)0,309(
4
224
24
2431
==→=
=−−=−
C
CCC
CC
CCCC
• Como 04 =C reemplazo en (12)
2,461
2,461
6
64
=−=−
C
CC
• Como 2,4616 =C reemplazo en (18)
2,461C
C
8
68
== C
• Como 2,4618 =C reemplazo en (13)
16,2050
2,461878,133890
7
7
−=++=
C
C
• Como 16,20507 −=C reemplazo en (17)
16,2050C
C
5
75
−== C
• Como 16,20505 −=C reemplazo en (11)
-638,29
87,1411
87,1411
3
53
53
=+=
=−
C
CC
CC
• Como tenemos 29,6383 −=C y 04 =C
calculo la deflexión máxima de la ecuación (4);
mm
NE 522
9 103359,8 ,10200 −×=Ι×=
mmmy
mmN
y
Ey
yE
CxCxyE
02428,010428,2
)103359,8)(10200(
80,404
80,404
)979,0(29,638)979,0(55,234
)(55,234
52
452
92
22
322
433
22
→×=
××
−=
Ι−=
−=Ι++=Ι
−
−
Este valor es muy pequeño, probablemente porque el conjunto es muy rígido. Además es un valor admisible porque no va a causar una deformación grande en la placa de fibrocemento.
2.2. Base Conexión
Esta pieza se va analizar por esfuerzos de cortante y de aplastamiento ya que esta acoplada con un pivote y una horquilla corta, primero se evaluara el estado actual y se verificara mediante el factor de seguridad y posteriormente se simulara en Algor.
Material: A-36 30*54*90mm
Fig. 10. Base conexión
2.2.1. Cálculos de Esfuerzos de Aplastamiento y Cortante en la Pieza Base Conexión
Usando los conceptos anteriormente descritos de esfuerzos de cortante y de aplastamiento se analizara la pieza llamada base de conexión usando las ecuaciones antes descritas en su estado actual y luego se verificaran los resultados mediante el factor de seguridad posteriormente se simulara en Algor.
Usando la ecuación (20) y observando las medidas en la Fig. 6 se tiene:
• La carga en el agujero es:
NNW
P rodillo 17152
34302
===
• El esfuerzo por Aplastamiento es:
Mpamm
Ntdp
a
a
a
35.5)02.0)(016.0(
1715
=
=
=
σ
σ
σ
La verificación:
Según el criterio del libro de Hamrock pág. 11.
36).(250
9.0
−→=
=
ATensionMpaS
S
y
ypermσ
4235.5
)250(9.0.. ===
trab
permSFσσ
• Esfuerzo Cortante
Se tienen 2 áreas de 8*16mm
mA 41028.1 −×=
Mpa
NAP
7.61028.12
17154
=××
=
=
−
τ
τ
τ
La verificación:
Según criterio de Hamrock pág. 111
ypermy SS 60.045.0 ≤≤ σ
Se tomo el más crítico yperm S45.0=σ
8.167.6
)250(45.0.. ===
trab
permSFσσ
3. VERIFICACIÓN DE RESULTADOS CON AYUDA COMPUTACIONAL
Para corroborar la veracidad de los resultados obtenidos en los cálculos donde se aplicaron los conceptos teóricos se utilizó la ayuda del paquete computacional ALGOR, el cual realiza una simulación del estado de esfuerzos de un elemento sometido a un sistema de fuerzas. Este programa entrega los valores de los esfuerzos máximos alcanzados en función de un criterio de evaluación (para este trabajo se considera el criterio de Von Mises) y representa gráficamente por medio de colores la distribución y concentración de los mismos. A manera de ejemplo se realizó un análisis a dos elementos del sistema a través de los cuales se conduce la línea de fuerza, estos elementos son el rodillo grabador y la horquilla corta. 3.1. RODILLO GRABADOR El análisis realizado en el programa ALGOR consideró los siguientes aspectos:
• Tensión estática con modelos de material lineales.
• Restricciones en las áreas de apoyo de los rodamientos, con tres grados de libertad restringidos en su traslación.
• Tipo de elemento para análisis: “Brick”. • Fuerza nodal: aplicada a 279 nodos, en el sentido
del eje y. • Número total de nodos: 21.074 En la siguiente imagen se puede apreciar el resultado del rodillo grabador sometido al análisis por elementos finitos en el programa ALGOR.
Figura 21. Verificación de resultado del Rodillo Grabador en Algor.
En el análisis obtenido en el programa ALGOR se puede apreciar el desplazamiento máximo en la zona de color anaranjado, cuyo valor es de 1.18 x 10-5 m. El valor obtenido por cálculos manuales fue de 2.42 x 10-5 m. Estos valores son muy pequeños, por lo tanto la diferencia entre ellos no se considera tan relevante
4. PROCESO DE FABRICACION
A continuación se mostrara a algunas piezas en el proceso de fabricación y de montaje; las piezas más significativas del sistema rodillo grabador de placa plana, las cuales fueron fabricadas por Payan y Cia.; utilizando su maquinaria convencional y también maquinaria con tecnología de punta como
sus centros de mecanizado CNC.
Fig. 11. Soporte lateral del sistema
Fig. 12. Rodillo yunque
Fig. 13. Montaje de la caja de transmisión
Fig. 14. Montaje del sistema rodillo grabador
Fig. 15. Montaje del sistema rodillo grabador en
planta
4. CONCLUSIONES
De acuerdo a los análisis realizados y a los resultados obtenidos en función de los criterios de aceptación (F.S) se puede decir que el diseño construido cumple con los requisitos funcionales.
El diseño es seguro y confiable desde el punto de vista de la resistencia de los materiales.
Los resultados de evaluación de los factores de seguridad muestran que los elementos diseñados están sobredimensionados.
REFERENCIAS
Singer, Ferdinand León. Resistencia de materiales. 3 ed. México: Harla, 1982. xxi. p. 560.
Beer, Ferdinand P. Mecánica de materiales. 2 ed. Santafé de Bogotá: McGraw-Hill, 1995. xix. p
738.
Pytel, Andrew. Resistencia de materiales: Introducción a la mecánica de sólidos. 4 ed.
México: Harla, 1994.
HAMROCK, Bernard. Elementos de maquinas. 5
ed. México: McGraw-Hill, 1994. p 926.