Profesorado en Matemtica Cuarta Instancia - Mtodos Numricos

Introduccin a la Programacin Lineal Lic. Lidia Esther Cukla

UTILIZACIN DEL SOFTWARE GRAPHMTICA Retomaremos aqu lo visto en el documento Introduccin a la Programacin Lineal, y veremos cmo

utilizar el Software Graphmtica1 para graficar la regin factible y encontrar los vrtices de la misma, siempre que se trate de un problema con dos variables. Recordamos el problema ejemplo:

Para satisfacer las demandas de sus distribuidores, un fabricante debe producir por da no menos de 400 y no ms de 800 jeans azules, y no menos de 100 y no ms de 300 jeans negros. Adems, para mantener una buena calidad, no debe producir en total ms de 800 jeans por da. Sabiendo que obtiene una ganancia de $16 por cada jeans azul y de $8 por cada jeans negro, desea saber cul debe ser la produccin diaria de cada tipo de jeans para maximizar la ganancia.

Se trata entonces de: Maximizar la funcin f(x,y) = 16x + 8y Sujeta a

En el programa, graficaremos los distintos semiplanos que dan lugar a la regin factible.

Como trabajaremos con valores de x e y bastante grandes, debemos utilizar la herramienta Zoom fuera para ver en la grilla los valores deseados.

Graficamos cada restriccin. Como tenemos inecuaciones simultneas, debemos escribirlas por separado. Comenzamos con x 400:

1 Aqu trabajamos con la versin 2.0g, que puede obtenerse en http://www8.pair.com/ksoft/espanol/grmat20n.html

+

800300100800400

yxyx

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Luego, ingresamos las dems restricciones: x 800 ; y 100 ; y 300 ; x + y 800 y obtenemos el siguiente grfico:

Para hallar los vrtices de la regin factible debemos obtener las intersecciones de las rectas

lmites de cada semiplano. Para ello graficamos las igualdades en lugar de las desigualdades.

Es decir, x = 100 ; x = 800 ; y = 100 ; y = 300 ; x + y = 800 Vemos que se marcan las rectas con nuevos colores:

S

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Utilizamos el men Herramientas para encontrar las intersecciones de las rectas dos a dos, y as

tener las coordenadas de los vrtices buscados:

Por ejemplo, la interseccin de y = 100 con x + y = 800

Al hacer clic en el botn Calcular obtenemos (700; 100)

De la misma manera podemos obtener la interseccin de y = 300 con x + y = 800

Tenemos (500; 300) Los otros vrtices son, como se observa en el grfico, (400; 100) y (400; 300).

Reemplazando los puntos obtenidos en la funcin f(x,y) = 16x + 8y, tenemos:

Vrtices f(x,y)

(400,100) 7200

(400,300) 8800

(500,300) 10400

(700,100) 12000

De la tabla se puede deducir que el valor mximo de la funcin objetivo es:

f(700,100) = 16 . 700 + 8 . 100 = 12000 Es decir, para obtener la mxima ganancia ($12000), el fabricante debe producir

diariamente 700 jeans azules y 100 jeans negros.

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Veamos otro ejemplo:

Encontrar los valores mximo y mnimo de la funcin F(x,y) = 6x + 4y sujeta a las restricciones:

+

1052620,0

yxyxyx

Luego de ingresar las restricciones tenemos:

Aqu es importante observar cul es la regin factible, ya que al tener todas restricciones del tipo , la regin no se encuentra acotada superiormente, por lo que podemos afirmar que la funcin objetivo no tiene mximo. El mnimo lo encontraremos entre los dos vrtices de la regin. No olvidemos graficar primero las igualdades: 2x y = 6 y 2x + 5y = 10, para hallar luego la interseccin de estas dos rectas:

Es el punto de coordenadas

(3,3333; 0,6667)

32

;3

10

S

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El otro vrtice lo podemos encontrar evaluando 2x + 5y = 10 en y = 0, con el comando Evaluar del Men Herramientas.

Se trata del punto (5; 0)

Reemplazamos en la funcin objetivo:

Vrtices f(x,y) = 6x + 4y

32

;3

10 22,6666

(5; 0) 30

El valor mnimo de la funcin 6x + 4y es 22,6666

y se obtiene en el punto

32

;3

10.

Como ejercicio:

Resolver el siguiente problema utilizando el software Graphmtica: Una compaa fabrica radios y televisores. Tiene $10 de ganancia por cada radio y $40 por cada televisor. Debido a lo limitado las instalaciones de produccin, el nmero total de radios y televisores que la compaa puede fabricar en un mes es a lo sumo de 350. Por la disponibilidad de partes, puede fabricar un mximo de 300 radios y 100 televisores cada mes.

Determinar cuntos radios y televisores debe producir por mes para llevar al mximo su ganancia. (Verificar con lo resuelto con Solver de Excel)

S