5.° grado: Matemática

SEMANA 8

Usamos razones trigonométricas para resolver situaciones cotidianas

DÍA 4

Las situaciones que te proponemos tienen como propósito que refuerces lo trabajado en el día 3

Situación 1

Por la seguridad de su personal yclientes, en una agencia bancaria seinstalará una cámara de video en unsoporte de pared, de modo que brindeuna vista panorámica de cajeros yusuarios. ¿Cuál es el ángulo dedepresión que debe formar la cámaracon la horizontal?

2,24 m

Cajeros

7,68 m

• Represento los datos de la situación.

Resolución

A

B C

Línea horizontal

Ángulo de depresión

2,24 m

7,68 m

• Trazo la altura HC para formar el triángulo rectángulo AHCy el rectángulo ABCH.

αA

B C

2,24 m

7,68 m

7,68 m

2,24 m

Hα

• En el triángulo rectángulo AHC, determino la razón trigonométrica “tangente” con respecto al

ángulo α.

tg α =2,24

7,68=

7

24

• Finalmente, comparo la “tg α ” con “tg 16°”, y determinamos que:

α = 16°

7,68 m

2,24 m

HA

C

Respuesta:La cámara debe formar un ángulo de depresión de 16° con la horizontal.

Recuerda:

tg 16° =7

2416°

7k

24k

25k74°

α

Situación 2

Para la construcción de un nuevo centro comercial de dos niveles, de 6 m de altura cada uno, se están acondicionando dos escaleras mecánicas (subida y bajada). El ingeniero encargado de la obra sugiere que

deben tener una pendiente m = 1

3, como

máximo. Con la información dada, responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál será la longitud de la escalera eléctrica?

b) Si la altura de cada peldaño es de 200 mm, ¿cuántos peldaños tiene la escalera?

c) ¿Cuál es el ángulo de elevación de las escaleras con respecto al piso?

a) ¿Cuál será la longitud de la escalera eléctrica?

Resolución

₋ Altura de la escalera: 6 metros.

₋ Pendiente: m =1

3.

₋ Longitud de la escalera: x.

• Recuerdo que la pendiente del triángulo rectángulo es igual a la tangente del ángulo de elevación, entonces el valor de la pendiente m es igual al valor de la tg β.

• Represento los datos e incógnitas de la situación.

β

6

a

tg β = 6

𝑎1

3= 6

𝑎

a = 6 3

m = 1

3

• Igualo los valores de m y tg β:

m = tg β

• Calculo el valor de x utilizando

el teorema de Pitágoras:

𝑥2 = 62 + 𝑎2

𝑥 = 12

Respuesta: La longitud de la escalera eléctrica es 12 metros.

𝑥2 = 36 + (6 3)2

𝑥2 = 144

b) Si la altura de cada peldaño es de 200 mm, ¿cuántos peldaños tiene la escalera?

• Represento los datos de la situación.

1 peldaño

6 m

0,2 m

0,2 m

0,2 m

2 peldaños

3 peldaños

x peldaños

Recuerda:200 mm equivale a 0,2 metros.

Resolución

x(0,2) = 6 x = 30

• Analizo el gráfico.

Si la escalera tuviese:

1 peldaño, entonces su altura sería: 1 (0,2) = 0,2 m

2 peldaños, entonces su altura sería: 2(0,2) = 0,4 m

3 peldaños, entonces su altura sería: 3(0,2) = 0,6 m

4 peldaños, entonces su altura sería: 4(0,2) = 0,8 m

x peldaños, entonces su altura sería: x(0,2) m

Respuesta:La escalera tiene 30 peldaños.

• Por dato tenemos que la altura de la escalera es 6 m. Entonces, calculo la cantidad de peldaños con la siguiente ecuación:

c) ¿Cuál es el ángulo de elevación de las escaleras con respecto al piso?

• Observo el gráfico que representa la escalera eléctrica.

β

12 m6 m

6 3

Resolución

• Recuerdo las características del triángulo rectángulo notable de 30° y 60°:

30°

k

k 3

2k60°

• Comparo las características de la longitud de sus lados y ángulos del triángulo (1) y triángulo (2), para calcular el valor de β:

Respuesta:El ángulo de elevación es 30°.

Entonces: β = 30°

β

12 m6 m

6 3

30°

k

k 3

2k60°

1 2

Situación 3Ante el crecimiento demográfico en una ciudad,numerosas familias recurren a la construcción desus casas en los cerros, exponiéndose así amuchos peligros. Como paliativo para estasituación, la municipalidad de dicha ciudad haconstruido escaleras en diferentes asentamientoshumanos ubicados en los cerros, así las personasque viven en esos lugares pueden acceder a suscasas con menos dificultad. Una de aquellas tienela forma y las dimensiones de la figura. ¿A quéaltura se encuentra el final de la escalera?

Final de la escalera

10 m

10 m

10 m

45°

37°

30°

2 m

2 m

A

D

F

Resolución

• Represento los datos e incógnitas de la situación.

10 m

10 m

10 m

45°

37°

30°

2 m

2 m

h

B

Recuerda:sen 45° =

1

2sen 37° =

3

5sen 30° =

1

2

• Trazo las alturas BP, DQ y FR para

formar triángulos rectángulos y rectángulos:

• En el triángulo rectángulo ABP,

calculo el valor de a:

sen 45° = 𝑎

10

1

2=

𝑎

10m

𝑎 = 5 2 m

A

D

F

10 m

10 m

10 m

45°

37°

30°

2 m

2 m

h

B

a

b

P

CQ

ER

H

M

c

b

a

• En el triángulo rectángulo CDQ,

calculo el valor de b :

• En el triángulo rectángulo EFR,

calculo el valor de c:

sen 37° = 𝑏

10m

3

5=

𝑏

10m

b = 6 m

sen 30° = 𝑐

10m

1

2=

𝑐

10m

𝑐 = 5 m

• En el gráfico observo que la altura, del final de la escalera, está determinada por:

h = a + b + c

• Reemplazo los valores de a, b y cpara calcular la altura h de la escalera:

h = a + b + c

h = 5 2 m + 6 m + 5 m

h = 18,05 m

A

D

F

10 m

10 m

10 m

45°

37°

30°

2 m

2 m

h

B

a

b

P

CQ

ER

H

M

c

b

a

Respuesta:El final de la escalera se encuentra a una altura de 18,05 metros.

Situación 4

¿Qué altura h sobre la posición inicial alcanza el columpio cuando gira 45 grados hacia arriba según la ilustración? Describe tu procedimiento.

• Represento los datos de la situación.

Resolución• Trazo el segmento ED

perpendicular al segmento AB, para formar el triángulo rectángulo AED y el rectángulo BCDE.A

B C

D

h

45°

2,50 m

2,50 m

E

A

B C

D

h

45°

2,50 m

2,50 m

h

E

a

a 45°

• En el triángulo rectángulo AED, determino el cos 45°.

A

D

45°

2,50 m

E

a

a

cos 45°= 𝑎

2,50

45°

k

k

k 245°cos 45° =

1

2

• Comparo los valores de cos 45° para

determinar el valor de a:𝑎

2,50 m=

1

2

𝑎(1,41) = 2,50 m 𝑎 = 1,77 m

• Finalmente, calculo el valor de h:

A

B C

D

h

45°

2,50 m

2,50 m

h

E

a

a

h + a = 2,50 m

h + 1,77 m = 2,50 m

h = 0,73 m

Respuesta: La altura h que alcanza el columpio es de 0,73 metros.

Gracias