S01. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Campos escalares y vectoriales que dependen de una sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector. Geometría diferencial. Operaciones vectoriales.

Las corrientes marinas, ¿ se describen escalar o

vectorialmente?

LOGROS

• Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas geométricos y físicos basándose en la teoría de campos escalares y vectoriales, en forma correcta.

CAMPOS ESCALARES

• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar una función Φ(x,y,z), entonces se tiene una función escalar Φ en R.

• Una función escalar define un campo escalar en una región o, en una superficie o en una curva

• Ejemplo. Temperaturas en el interior de un edificio.

3 2(x,y,z) x y z

Distribución de temperaturas en edificios

EJEMPLO

Viga en voladizo sometida a una carga puntual. Distribución de la componente de esfuerzo normal en dirección x para los

pasos de carga representativos

CAMPOS VECTORIALES

• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar un vector V(x,y,z), se tiene una función vectorial.

• Una función vectorial define un campo vectorial en una región del espacio.

• Ejemplo. Las velocidades en cada punto (x,y,z) de un fluido determinan un campo vectorial.

V = (3xy) i + (2x-3z) j + (2x2y2 – z2) k

EJEMPLO

Campo de velocidades de las corrientes marinas a nivel continental

EJERCICIO

• ¿En las figuras mostradas, cuáles representan campos escalares y cuáles son campos vectoriales?, ¿Qué diferencias encuentra en las características de dichos campos?

(a) (b)

(c) (d)

PRODUCTO ESCALAR

• Dados dos vectores,

• el producto escalar se define como

• Propiedades

B

A y B

A B A B cos

A

A B B A

A (B C) A B A C

i j 0

i i 1

k i 0

j k 0

j j 1

k k 1

PRODUCTO VECTORIAL

A y B

C A B A B sen

• Propiedades• Dados dos vectores,

• el producto vectorial se define como

A

B

C

A B B A

A (B C) A B A C

i j k

i i 0

i k j

j k i

j j 0

k k 0

PRODUCTO VECTORIAL

• Otra expresión del producto vectorial

• ¿A qué es igual el producto vectorial de los vectores A y B?

x y z

x y z

i j kA B A A A

B B B

A 3 i 2 j 4 k

B 2 i 2 j k

DERIVADA TOTAL DE UN VECTOR

Si R(u) es una función de la variable escalar u, la derivada total de dicha función respecto de u se expresa como

u 0

dR(u) R(u u) R(u)lim

du u

INTEGRAL DE UN VECTOR

o Si se tiene un vector función de una sola variable escalar, entonces se considera que

o Si se encuentra un vector función que cumple con la siguiente condición:

o Las integrales de R serán

x y zR(u)du i R (u)du j R (u)du k R (u)du.

dS(u)R(u) ,

du

R(u)du S(u) C

b

aR(u)du S(b) S(a)

EJERCICIO

Determinar las magnitudes del vector velocidad y el vector

aceleración de la partícula para t = 0,25

4Sent 2e )t2t3(r2t3

i j k

La posición de una partícula en el espacio está dada por la siguiente expresión vectorial:

El vector aceleración de una partícula en movimiento, se define

por la siguiente expresión:

EJERCICIO

t- ta 2-2

i j

Determinar el vector velocidad y el vector posición de la partícula

para t = 4s, si se sabe que en t = 1s:

2

1

4

1r 1v

i jj

m/s2

m/s m

INTEGRAL CURVILÍNEA O DE LÍNEA

o Sea

o El vector posición de los puntos de una curva C que pasa por los puntos P1 y P2 correspondientes a u=u1 y u=u2, respectivamente.

o Supongamos que C se compone de un número infinito de arcos en los que r(u) tiene derivada continua. Sea A(x,y,z)=Ax

i+Ay j+Az k una función vectorial de posición definida y continua a lo largo de C. La integral de la componente tangencial de A según C desde P1 hasta P2.

r (u) x(u) i y(u) j z(u)k

2

1

P

P C Cz

Cyx

C

dzAdyAdxArdArdA

EJERCICIO

Una partícula es movida a lo

largo de la parábola y = x2 desde

el punto A(-1,1) hasta el punto

B(2,4). Determinar el trabajo

efectuado si el movimiento es

ocasionado por el campo de

fuerza:

Suponga que el arco se mide en

metros y la fuerza en Newtons.

y3x )yx(F 222)y,x(

i j

OPERADOR NABLA

• Se representa por , se le conoce más comúnmente con el nombre de operador nabla, y se define por

• Este operador vectorial goza de propiedades análogas a las de los vectores ordinarios y es de gran utilidad en la determinación de tres magnitudes muy importantes en el campo de la Física y de la Mecánica de Fluidos, denominadas gradiente, divergencia y rotacional,

i j kx y z

OPERACIONES DIFERENCIALES: GRADIENTE

• Sea el campo escalar φ (x,y,z) definida y derivable en cada uno de los puntos (x, y, z) de una cierta región del espacio. El gradiente de φ, viene dado por:

• La componente de grad φ en la dirección de un vector unitario a es igual a

• y se llama “derivada de φ en la dirección de a”, o bien, “derivada de φ según a”.

grad i j kx y z

a

EJERCICIO

La temperatura en cualquier punto de una habitación está dada por la siguiente expresión: T (x,y) = x2/16 + y2/9 . La distancia se mide en metros y la temperatura en ºC. Determinar: a) El gradiente de temperaturas en el punto P (4,3) ; b) b) la componente del gradiente en la dirección de P a Q, donde Q (5,6).

OPERACIONES DIFERENCIALES: DIVERGENCIA

• Sea un campo vectorial dado por:

• La divergencia de V viene dada por

31 2 VV VV

x y z

1 2 3V(x,y,z) V i V k V k

1 2 3V i j k V i V k V kx y z

En el caso de un campo de velocidades, por ejemplo, para un fluido en movimiento, la divergencia nos indica el flujo neto del fluido a través de una superficie.

Divergencia = 0Lo que entra es igual a lo que sale

Divergencia > 0El flujo neto es de salida

OPERACIONES DIFERENCIALES: ROTACIONAL

• Si V(x,y,z) es un campo vectorial derivable, el rotacional de V, representado

• viene dado por

1 2 3V i j k V i V k V kx y z

1 2 3

i j k

Vx y z

V V V

V rot V

EJERCICIO:

Sea el campo vectorial definido por la siguiente función:

)zx( 3xyz yzxF 2232

i j k

Determinar: div y rot en el punto P( 1,-1,2) F F