وزارة التعليم العالي و البحث العلمي

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR عنابة جامعة باجي مختار ANNABA

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Mémoire

En vue de l’obtention du diplôme de MAGISTER en Mathématiques.

Option

Equations aux Dérivées Partielles & applications.

Présenté par: ABDELMALEK Brahim

Thème

VALEURS PROPRES PRINCIPALES DE PROBLEMES ELLIPTIQUES

Directeur de Recherches:

A. Djellit.

Prof. U.B.M. Annaba.

Devant le jury composé par:

S. Mazouzi Prof. U.B.M. Annaba Président.

F.Z Nouri Prof. U.B.M. Annaba Examinatrice.

A. Moumeni M. C. U.B.M. Annaba Examinateur.

Année: 2007.

To my parents.

To Tamrabet Sameh.

To all whom I love and respect.

2

 

صــــــــخـمل

 

:نعتبر المعادلة ذات القيم الذاتية التالية

)1(

. 3حيث في

مؤثر B، منتظم ذو معامالت متغيرة ناقصيمؤثر من الدرجة الثانية قرين بنفسه و Aحيث .Hilbert (H(معرفان في فضاء هلبرت  B و A  المؤثران ؛ضربي

مؤثر ضربي في Schrödinger ،Bهو مؤثر شرودينقر Δحالة أينَ نعالج أوال حتى qالشروط على الكمون هو تحديد اهتمامنا. بسرعة في جوار الالنهاية تتناقصالتي gدالة

إلثبات وجود Weinbergerنقوم بتطبيق نظرية لهذا .بنية طيفية متقطعة )1(تقبل المعادلة .Min-Maxمبدأ يدعى Courant-Fischer ةعالق طيف متقطع؛ القيم الذاتية تحقق

نجد أن القيمة ، qلكمون ل وحكيم دقيقباختيار . وبصفة خاصة متعلقة بالقيمة الذاتية األولى. تكون أساسية بمعني أن الدالة الذاتية المرافقة ال تغير إشارتها) السالبة(الذاتية األولى الموجبة

و في األخير نقوم بتعميم النتائج السابقة على مؤثر من الدرجة الثانية ذو معامالت متغيرة من .∑الشكل

:الكلمات المفتاحية

مؤثر -بوزن Sobolevفضاء - Min-Max مبدأ - رئيسيةقيمة ذاتية -Schrödinger - معادلة ذات قيم ذاتية.

Abstract

We consider the following elliptic problem :

Au = �Bu dans Rn; n � 3 (1)

Where � is a real parameter, A is a linear operator of second order formally self-

adjoint and uniformly elliptic, B is the operator of multiplication. The operators A and

B are de�nited in a real Hilbert space.

First, we consider the case of Schrödinger�s operator := ��+q ; and B is the operator

of multiplication by a function g which decreases rapidly at in�nity. We choose the

potential q in appropriate spaces. To this end, we apply the Weinberger�s theory to

show the existence of a discrete spectrum, the eigenvalues are characterized by Courant-

Fischer�s, formula known as Min-Max�s principle.

Then, a particular interest is devoted to the �rst eigenvalue. By an appropriate choice

of the potential q; we obtain that the �rst positive (resp. negative) eigenvalue is principal

i.e., the associated eigenfunction does not change sign. Finally, we treat the general case

of the second order operator of the form : A = �PDi (aij (x)D

j) :

Keywords :

- Principal eigenvalue - Min-Max�s principle - Weighted Sobolev spaces - Schrö-

dinger�s operator - Eigenvalue problem.

4

Résumé

Nous considérons le problème elliptique suivant :

Au = �Bu dans Rn; n � 3 (1)

où � est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire du second ordre formellement au-

toadjoint, uniformément elliptique, et B est l�opérateur de multiplication. Les opérateurs

A et B sont dé�nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H.

Nous commençons par examiner le cas de l�opérateur de Schrödinger := ��+q ; et B

est l�opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit "assez vite" à l�in�ni. Une

première étape consiste à choisir le potentiel q dans des espaces appropriés. A cette �n,

nous appliquons la théorie de Weinberger pour montrer l�existence d�un spectre discret ;

les valeurs propres sont caractérisées par la formule de Courant-Fischer dit principe du

Min-Max. En suite un intérêt particulier est dévoué à la première valeur propre. En

choisissant judicieusement le potentiel q, nous obtenons que la première valeur propre

positive (resp. négative) est principale c�est-à-dire que la fonction propre associée ne

change pas de signe. Finalement nous traitons le cas d�un opérateur d�ordre deux de la

forme : A = �PDi (aij (x)D

j) :

Mots clés :

- Valeur propre principale - Principe du Min-Max - Espaces de Sobolev à poids

- Opérateur de Schrödinger - Problème aux valeurs propres.

5

Remerciements

Je tiens à adresser mes remerciements les plus chaleureux et ma profonde gratitude à

mon encadreur Monsieur, Ali Djellit, professeur à l�université d�Annaba, pour m�avoir

proposé le sujet de ce mémoire. C�est grâce à sa grande disponibilité, ses conseils, ses

orientations, et ses encouragements que j�ai pu mener à bien ce travail .

Mes remerciements vont également à Monsieur, S. Mazouzi, professeur à l�univer-

sité d�Annaba, pour avoir bien voulu me faire l�honneur d�accepter de présider le jury.

De même je remercie vivement,Mme F.Z. Nouri, professeur à l�université d�Annaba,

et A. Moumeni, maître de conférence à l�université d�Annaba, pour l�honneur qu�ils

m�ont fait de bien vouloir accepter de faire partie du jury.

En�n, je n�oublie pas de remercier toutes les personnes qui m�ont facilité la tâche et

tous ceux que j�ai connu au département de mathématiques et qui ont rendu mes séjours

au département agréables.

Brahim A.

6

Table des matières

0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Notions préliminaires 10

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Formulation variationnelle du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 L�opérateur T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Spectre de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Identité de Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Inégalité de Harnack dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Opérateurs de type Schrödinger 21

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Existence de valeurs propres principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Opérateurs du second ordre à coe¢ cients variables 30

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Existence de valeurs propres principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Cas d�un opérateur général d�ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Conclusion générale 38

1

0.1 Introduction

Nous nous intéressons à l�existence des valeurs propres principales des problèmes aux

limites elliptiques de la forme :

Au = �Bu; dans Rn; n � 3 (*)

où � est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire uniformément elliptique, for-

mellement autoadjoint du second ordre à coe¢ cients variables, et B est l�opérateur de

multiplication par une fonction poids g de signe non constant. Les opérateurs A et B

sont dé�nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H:

La détermination des valeurs propres et des fonctions propres est en général impos-

sible sauf pour quelques problèmes simples. Il est toute fois possible, par comparaison à

des problèmes modèles, d�obtenir une estimation des valeurs propres (réelles). Les cher-

cheurs ont établi deux catégories d�estimations : la première concerne l�estimation des

"premières valeurs propres" -valeurs propres "principales"- qui, dans le cas d�un pro-

blème aux limites de Dirichlet ou plus généralement d�un opérateur elliptique du second

ordre sont associées à des fonctions propres positives ; la deuxième estimation concerne

les "grandes valeurs propres", et dans ce cas ils ont étudié le comportement asympto-

tique des valeurs propres quand � tend vers l�in�ni ; ce comportement est représenté par

la fonction de comptage N+ (�;A; g;Rn) (resp. N� (�;A; g;Rn)) qui détermine le nombre

de valeurs propres inférieures ou égale à � (resp. le nombre de valeurs propres supérieures

ou égale à �). En ce qui nous concerne, notre intérêt est porté sur la première catégorie.

Les problèmes relatifs à l�existence de valeurs propres principales sont étudiés dans

[11], [14], [19], [30] et [32] quand le potentiel q est positif ou nul et borné ; les autres

résultats dans [13] et [15] concernent les situations où q = 0 et non borné:

Le cas n = 1 avec q non nécessairement positif est étudié par [35] : Ces problèmes là

peuvent admettre des valeurs propres non réelles. En [28] ; les auteurs ont montré l�exis-

tence d�une suite de valeurs propres lorsque n > 1 et borné. Allegretto & Mingarelli

8

[4] ont donné une estimation de la première valeur propre du problème traité dans [28].

Dans [25] et [37] les auteurs ont considéré des potentiels q !1 quand x!1; tandis

que [20] ; [21] ; [22] et [24] ont utilisé des potentiels décroissant vers zéro à l�in�ni.

Nous observons une vaste littérature relative aux problèmes posés dans des domaines

bornés, notamment les résultats élaborés dans [3] ; [29] ; [30] et [32] :

Si le problème (*) est considéré dans un domaine borné, les espaces de Sobolev or-

dinaires conviennent parfaitement pour caractériser les solutions. Cependant dans un

domaine non borné, il est nécessaire d�introduire les espaces de Sobolev à poids déjà

rencontrés dans [6] ; [7] ; [9] ; [18] et [31] :

Le présent travail est organisé comme suit :

Dans le premier chapitre, nous rappelons tout d�abord la méthode de Weinberger [38]

qui permet d�établir l�existence de valeurs propres. Ces valeurs propres sont caractérisées

par le principe du Min-Max.

Le deuxième chapitre est consacré en premier lieu à l�étude des problèmes associés à

des opérateurs de type Schrödinger := ��+ q. Des considérations sur le potentiel q et le

poids g s�avèrent nécessaire pour que le problème associé admette une double suite in�nie

dénombrable de valeurs propres l�une positive tendant vers plus l�in�ni, et l�autre négative

tendant vers moins l�in�ni. Nous montrons en particulier que la plus petite valeur propre

est principale et simple.

Dans le dernier chapitre, nous traitons des problèmes associés à des opérateurs el-

liptiques d�ordre deux de la forme : �nX

i;j=1

@

@xi

�aij (x)

@

@xj

�+ q. Nous déterminons les

conditions sur les coe¢ cients aij; le potentiel q et le poids g, pour que le problème relatif

à cet opérateur admette un spectre discret, puis nous démontrons ici aussi que la pre-

mière valeur propre est principale et simple. Dans le dernier paragraphe, nous étudions

des opérateurs elliptiques d�ordre deux plus généraux.

9

Chapitre 1

Notions préliminaires

1.1 Introduction

Nous étudions les problèmes aux valeurs propres de la forme

Au = �Bu; (1.1)

où A et B sont des opérateurs autoadjoints dé�nis dans un espace de Hilbert V à image

dans un autre espace de Hilbert H; avec V ,! H; l�injection étant continue et d�image

dense, de plus nous supposons que l�opérateur A est positif de domaine dense. L�opérateur

B est supposé A�borné :

jBujH � C jAujH :

Pratiquement dans les problèmes aux limites étudiés A = �� + q; est un opérateur

elliptique positif: B est l�opérateur de multiplication par la fonction poids g de signe non

constant: Formellement (1:1) s�écrit u = �A�1Bu.

10

1.2 Formulation variationnelle du problème

Nous supposons que :

H et V sont des espaces de Hilbert réels (ou complexes), séparables;

(:; :) et ((:; :)) désignant leurs produits scalaires respectifs, et j:jH et k:kV les normes

associées.

a (:; :) et b (:; :) sont deux formes hermitiennes sur V telles que :

i) a (:; :) est continue et coercive sur V c�est à dire 9M > 0 et 9C > 0; tels que

ja (u; v)j �M kukV kvkV et a (u; u) � C kuk2V ; 8 (u; v) 2 V� V: (1.2)

ii) b (:; :) est continue sur V c�est à dire 9M 0 > 0; tel que

jb (u; v)j �M 0 kukV kvkV ; 8u; v 2 V:

La résolution du problème aux valeurs propres (1.1) revient à la résolution du problème

variationnel suivant :

8<: Trouver (�; u) 2 C� V ; u 6= 0 véri�ant :

a (u; v) = �b (u; v) ; 8v 2 V(1.3)

Dé�nition 1.1. On dit que � est une valeur propre de (1.3) s�il existe un vecteur

u 2 V non nul qui véri�e (1.3).

Il résulte de ((1:2) ; i) que la forme quadratique a (u; u) dé�nit sur V un produit scalaire

équivalent à ((:; :)) et donc, comme la forme b (u; v) est continue sur V, nous pouvons

appliquer le théorème de représentation de Riesz ; on en déduit qu�il existe un opérateur

T dé�ni sur V par :

b (u; v) = a (Tu; v) ; 8u 2 V; 8v 2 V (1.4)

11

1.3 L�opérateur T

Proposition 1.1. L�opérateur T ainsi dé�ni est linéaire, continu et autoadjoint

sur V:

Preuve

La linéarité est évidente ; il résulte de ((1:2) ; ii) que :

C kTuk2V � a (Tu; Tu) = b (u; Tu) �M 0 kukV kTukV

et donc en déduisant la continuité

kTukV �M 0

CkukV :

En�n T est autoadjoint puisque les formes sont hermitiennes :

a (Tu; v) = b (u; v) = b (v; u) = a (Tv; u) = a (u; Tv) : (1.5)

�Remarque 1.1.

Il est classique d�associer au triplet variationnel (V;H; a (:; :)) sa réalisation : l�opéra-

teur A est autoadjoint, positif et non borné dans H de domaine D (A) dé�ni par :

D (A) = fu 2 V; Au 2 Hg :

(Au; v)H = a (u; v) ; 8u 2 D (A) 8v 2 V:

D�une manière analogue à la forme b (:; :) nous pouvons associer l�opérateur B autoadjoint

dé�ni sur V par :

(Bu; v)H = b (u; v) ;8u; v 2 V

ainsi formellement :

12

T = A�1B:

Remarque 1.2.

Le problème (1.3) peut s�écrire, en utilisant l�opérateur T ,

�a (Tu; v) = a (u; v) ;8v 2 V:

Soit

a (�Tu� u; v) = 0 ;8v 2 V

Il résulte de (1.2) que

Tu =1

�u: (1.6)

Ainsi, si u est un vecteur propre de (1.3) correspondant à la valeur propre � non nulle,

alors il est aussi un vecteur propre de (1.6) correspondant à la valeur propre1

�et réci-

proquement.

1.4 Spectre de T

Si nous supposons de plus que l�injection de V dans H est compacte, alors

T est compact,

et nous pouvons appliquer les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs

autoadjoints compacts sur les espaces de Hilbert. Nous avons (Voir [11], [34],...).

Proposition 1.2. (i) Les valeurs propres de T sont réelles et (sauf peut être 0)

sont de multiplicités �nies.

(ii) Si �i et �j sont deux valeurs propres distinctes de T avec 'i et 'j les fonctions

13

propres associées, alors :

a�'i; 'j

�= 0 et b

�'i; 'j

�= 0

(iii) Le spectre de T est constitué par (au plus) deux in�nités dénombrables de valeurs

propres, une positive et l�autre négative, tendant vers zéro :

��1 < ��2 � ::: � ��j � ��j+1 � ::: � 0 � ::: � �+j+1 � �+j � ::: � �+2 < �+1 (1.7)

On répète chaque valeur propre selon sa multiplicité (on rappelle que la multiplicité de la

valeur propre est la dimension du sous espace propre).

(iv) Les valeurs propres de T sont caractérisées par le principe du �Min-Max�:

�+j+1 = minVj2Uj

maxu?Vj

fb (u; u) =a (u; u) = 1g (1.8)

��j+1 = maxVj2Uj

minu?Vj

fb (u; u) =a (u; u) = 1g

Uj étant l�ensemble de tous les sous espaces de V de dimension j

En particulier

�1 = max0 6=u2V

�b (u; u)

a (u; u)

�Remarque 1.3.

Les valeurs propres de (1:3) notées �j (a; b;V) sont égales à1

�jet sont réelles ; de plus

nous pouvons leur associer des fonctions propres réelles.

Il en résulte de (1.8) les lemmes suivants :

Lemme 1.1. Si a1 (u; v) et a2 (u; v) sont deux formes hermitiennes continues,

coercives sur V telles que a1 (u; u) � a2 (u; u), 8u 2 V et si b (u; v) est une forme

hermitienne continue sur V, alors :

14

�+j (a1; b;V) � �+j (a2; b;V) :

Lemme 1.2. Si b1 (u; v) et b2 (u; v) sont deux formes hermitiennes continues sur

V telles que b1 (u; u) � b2 (u; u), u 2 V et si a (u; v) est une forme hermitienne continue,

coercive sur V, alors :

�+j (a; b1;V) � �+j (a; b2;V) :

Lemme 1.3. Si (V1;H; a) et (V2;H; a) sont deux triplets variationnels tels

que V1 ,! V2 alors:

�+j (a; b;V1) � �+j (a; b;V2) :

Nous introduisons l�inégalité de Hardy qui joue le même rôle que l�inégalité de Poincaré

quand le domaine est borné.

Inégalité de Hardy [20] :

Il existe une constante C = C (n) > 0 telle que

ZRn

ju (x)j2

jxj2dx � C

ZRnjru (x)j2 dx (n � 3)

pour toute u 2 C10 (Rn) :

1.5 Identité de Picone

Pour des fonctions di¤érentiables u; v; v 6= 0; nous avons :

ZRnv2���r�u

v

����2 dx� ZRnjruj2 dx =

ZRn

u2

v2jrvj2 dx� 2

ZRn

u

vru:rvdx

= �ZRnr�u2

v

�:rvdx

15

En e¤et, pour la première équation nous avons :

ZRnv2���r�u

v

����2 dx� ZRnjruj2 dx =

ZRnv2����1vru� u

v2rv����2 dx� Z

Rnjruj2 dx

=

ZRn

u2

v2jrvj2 dx� 2

ZRn

u

vru:rvdx

Pour aboutir à la deuxième équation, il su¢ t de multiplier l�équation suivante

ZRnr�uu

v

�dx =

ZRn

u

vrudx+

ZRnur�uv

�dx = 2

ZRn

u

vrudx�

ZRn

u2

v2rvdx

par (�rv).

Nous étudions dans ce qui suit l�inégalité de Harnack à l�espace Rn tout entier. Pour

rappel, nous rencontrons les développements concernant cette inégalité dans Stampacchia

[36] quand le domaine est borné.

1.6 Inégalité de Harnack dans Rn

Nous considérons l�opérateur elliptique

Lu = �nX

i;j=1

@

@xj

�aij@u

@xi+ dju

�+

nXi=1

bi@u

@xi+ cu

!(1.9)

Nous supposons que l�opérateur L est uniformément elliptique c�est à dire qu�il existe

une constante > 0; telle que

nXi=1

aij (x) �i�j � j�j2 (x 2 Rn; � 2 Rn) (1.10)

Nous supposons que

16

8>>>>>><>>>>>>:

jaijj �M

bi 2 Ln (Rn)

di 2 Lr (Rn)

c 2 L r2 (Rn) ; avec r > n

8x 2 Rn (1.11)

Nous désignons par Q (x0; �) le cube de centre x0 et de côté �.

Théorème 1.1 Soit u une solution positive de l�équation Lu = 0 dans Rn: Alors

pour chaque compact G tel que G � Rn; il existe une constante positive K indépendante

de u; telle que

maxGu � Kmin

Gu (1.12)

avec K = K ( ;M; c; bi; di; G)

Démonstration

Du lemme 8.4 et du lemme 8.3 (voir [36] p. 240-241) nous déduisons qu�il existe deux

constantes positives K et � telles que

minQ(x0;�1)

u � K�1

�n1

ZQ

u�dx

� 1�

: (1.13)

D�autre part, d�après le lemme 8.4, nous avons

maxQ(x0;�2)

u � K�1

�n2

ZQ

juj2 dx� 1

2

: (1.14)

Pour achever la démonstration il su¢ t de démontrer l�existence d�une constante K telle

que, pour �2 > �1 nous avons

�1

�n2

ZQ(x0;�1)

u2dx

� 12

� K�1

�n1

ZQ(x0;�2)

u�dx

� 1�

(1.15)

Si (1.15) est valable nous avons avec une constante convenable K

17

maxQ(x0;�1)

u � K minQ(x0;�2)

u � K minQ(x0;�1)

u; (1.16)

Le passage de (1.16) à (1.12) se fait alors de façon standard par recouvrement �ni.

Pour montrer (1.15); nous posons � =n

n� 2 =2�

2et nous supposons que l�exposant

� à droite de (1.15) soit tel que ��s 6= 1 pour s entier (il su¢ t éventuellement de

prendre � un peu plus petit). Soit h un entier tel que ��h � 2: Nous posons qs = ��s

et rs = �2 � s�2 � �1h

et nous utilisons le lemme 8.1, (voir [36] p. 239) avec � = 1 sur

Q (x0; rs+1) et � � 0 hors de Q (x0; rs) et j�xj �2

rs+1 � rs=

2h

�2 � �1:

Nous obtenons

�ZQ(x0;rs+1)

uqs+1dx

� 1qs+1

� C

(�2 � �1)2qs

�ZQ(x0;rs)

u�dx

� 1�

et en multipliant pour s = 0; 1; :::; h� 1; nous avons

�1

�n1

ZQ(x0;�1)

uqhdx

� 1qh

� c0�n�2 �

� nqh

1

(�2 � �1)n�(1���n)

�1

�n2

ZQ(x0;�2)

u�dx

� 1�

d�où (1.15) si�2 � �1�2

� r > 0:

�Théorème 1.2 Soit u une solution positive dans Rn de l�équation Lu =

nXi=1

(fi)xi

où fi 2 Lp (Rn) avec p > n: Il existe une constante K > 0 telle que, si x0 2 Rn et � est

su¢ samment petit nous avons

maxQ(x0;�)

u � K minQ(x0;�)

u+nXi=1

kfikLp(Rn) �1�n

p

!: (1.17)

Preuve

Soit x0 un point quelconque de Rn.

Soit R est su¢ samment petit de façon que la forme a (u; v) associée à L est coercive sur

H10 (Q (x0; R)) (voir théorème 3.1 dans [36] p. 200):

18

Si 2� < R nous posons u = v +w où w est la solution dans H10 (Q (x0; 2�)) de l�équation

Lw =X

(fi)xi ; v est une solution de l�équation homogène Lv = 0 avec v = u sur

@Q (x0; 2�) : Grâce au principe du maximum (voir théorème 3.6 [36] p. 206) v est positive

dans @Q (x0; 2�) : Alors d�après le théorème 1.1, nous avons

maxQ(x0;�)

v � K minQ(x0;�)

v:

Mais nous avons

min v +minw � minu � maxu � min v

donc

maxQ(x0;�)

u � maxQ(x0;�)

v + maxQ(x0;�)

w � K minQ(x0;�)

v + maxQ(x0;�)

w

� K

�minQ(x0;�)

u� minQ(x0;�)

w

�+ maxQ(x0;�)

w � K minQ(x0;�)

u+K maxQ(x0;�)

jwj

Mais d�après le théorème 4.2 (voir [36] p. 215) nous avons

maxQ(x0;�)

jwj � K 0X

kfikLp(Rn) �1�n

p

�Corollaire 1.1 Si l�opérateur L véri�e (1.10) et (1.11); alors les solutions non

négatives de Lu = 0 sont positives ou identiquement nulles.

Preuve

Soit 0 un ouvert tel que 0 � Rn: En e¤et,

Si min0u = 0; alors v = u+ � (� > 0) est une solution de l�équation

Lv = �

"c�

nXi=1

@di@xi

#

19

Nous avons

Lv = �nX

i;j=1

@

@xj

�aij@ (u+ �)

@xi+ dj (u+ �)

�+

nXi=1

bi@ (u+ �)

@xi+ c (u+ �)

!

= �nX

i;j=1

@

@xj

�aij@u

@xi+ dju+ dj�

�+

nXi=1

bi@u

@xi+ cu+ c�

!

= �nX

i;j=1

@

@xj

�aij@u

@xi+ dju

��

nXj=1

@

@xjdj�+

nXi=1

bi@u

@xi+ cv

!+ c�

Lv = �

"c�

nXi=1

@di@xi

#D�après le théorème 1.2, nous avons,

max0v � K�

�1 + kck

Lr2 (Rn) + kdikLr(Rn)

�Donc

max0u = 0

�

20

Chapitre 2

Opérateurs de type Schrödinger

2.1 Introduction

Dans ce chapitre nous considérons le problème aux valeurs propres

8><>:��u+ q (x)u = �g (x)u

u !jxj!+1

0dans Rn; n � 3 (2.1)

où q et g sont des fonctions mesurables ; q � 0 (non identiquement nul) et g de signe non

constant et décroit "assez vite" à l�in�ni.

Notre objectif est de montrer que le problème (2.1) admet un spectre discret. En suite

nous montrons que la première valeur propre �1 est principale. De plus elle est simple

c�est à dire de multiplicité un.

Une première étude a été élaborée par [11], quand q � 0 et g à support compact.

Des résultats sur la non existence de valeurs propres principales positives �gurent dans

le travail de [13] quand q � 0 etRR2 gdx > 0. Dans [20], l�auteur a considéré le casR

R2 gdx ? 0 et q � 0:Un cas est étudié par [22] où le potentiel q est strictement positif ou nul pour des

ouverts non bornés de R2:

Nous montrons que pour une classe des potentiels q; le problème (2.1) admet un

21

spectre discret. Précisément si q 2 Ln2 (Rn) alors le problème (2.1) admet deux suites

in�nies dénombrables de valeurs propres tendant vers plus ou moins l�in�ni.

2.2 Notation

Nous désignons par 2� le conjugué de Sobolev de 2 i.e. 2� =2n

n� 2Nous introduisons les fonctions suivantes sur Rn :

� (x) =�1 + jxj2

�� 12 (2.2)

et

p� = �2� (x) ; � > 0: (2.3)

Nous dé�nissons l�espace :

V (Rn) =nu 2 D0 (Rn) ; (p1)

12 u 2 L2 (Rn) ; ru 2 L2 (Rn)

o: (2.4)

que l�on munit de la norme usuelle :

kukV(Rn) =�Z

Rnjruj2 + p1 juj2 dx

� 12

:

V (Rn) est un espace de Hilbert (voir [31] p. 230).

Nous dé�nissons des parties de V comme suit :

V� =�u 2 V j

ZRng juj2 dx ? 0

�: (2.5)

Nous supposons que

q 2 Ln2 (Rn) et 9� > 1; 9K > 0; jg (x)j � K�

1 + jxj2�� ; 8x 2 Rn (2.6)

Multiplions les deux membres de (2.1) par une fonction test v et intégrons

22

ZRn��uvdx+

ZRnquvdx = �

ZRnguvdx

Nous obtenons

ZRnrurvdx+

ZRnquvdx = �

ZRnguvdx

Posons

a (u; v) =

ZRnrurvdx+

ZRnquvdx et b (u; v) =

ZRnguvdx

Une formulation variationnelle du problème (2.1) est donnée par

8<: trouver (u; �) 2 V� R; u 6= 0; tels que

a (u; v) = �b (u; v)(2.7)

2.3 Existence de valeurs propres principales

Dé�nition 2.1. Soit � une valeur propre du problème (2.1). � est dite valeur

propre principale si la fonction propre associée ne change pas de signe.

La forme a (u; v) est continue sur V. En e¤et,

ja (u; v)j =����Z

Rnrurvdx+

ZRnquvdx

����

ja (u; v)j ��Z

Rnjruj2 dx

� 12�Z

Rnjrvj2 dx

� 12

+

�ZRnjq (x)j

n2 dx

� 2n

�ZRnjuj2

�dx

� 12��Z

Rnjvj2

�dx

� 12�

ja (u; v)j � krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + kqkLn2 (Rn) kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)

23

ja (u; v)j � krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + c kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)

et comme

V ,!L2� (Rn)

ja (u; v)j � kukV kvkV + cc1c2 kukV kvkV

ja (u; v)j �M kukV kvkV

d�où la continuité de la forme a (u; v) : sur V:

La forme a (u; v) est coercive sur V. En e¤et,

La coercivité se déduit de l�inégalité de Hardy.

a (u; u) =

ZRnjruj2 dx+

ZRnq juj2 dx

Comme q � 0; nous avons

a (u; u) �ZRnjruj2 dx

� C kuk2V

et donc la forme bilinéaire a (u; v) est coercive sur V:

Par conséquent la forme bilinéaire a (u; v) dé�nit un produit scalaire sur V équivalent

au produit scalaire usuel. Comme la forme bilinéaire b (u; v) est continue sur V, il existe

d�après le théorème de représentation de Riesz, un opérateur linéaire T continu dans

V! V tel que

b (u; v) = a (Tu; v)

24

Les valeurs propres du problème (2.7) sont exactement les inverses de valeurs propres de

T; associées aux mêmes fonctions propres.

Proposition 2.1. L�opérateur T est linéaire, continue et autoadjoint.

Preuve

La continuité de l�opérateur T est évidente, et la propriété d�être autoadjoint résulte

du fait que les formes a (u; v) et b (u; v) sont continues et hermitiennes.

�Proposition 2.2. L�opérateur T est compact.

Preuve

Soit BR la boule dans Rn de centre zéro et de rayon R.

Toute suite (un) bornée dans V reste bornée sur H1 (BR) : Comme l�injection de H1 (BR)

dans L2 (BR) est compacte, alors (un) admet une sous-suite (notée encore (un)), de Cau-

chy dans L2 (BR) : Pour tout m;n nous avons :

kT (un � um)k2V � a (T (un � um) ; T (un � um))

� 0ZRnp� j(un � um)j jT (un � um)j dx

En appliquant l�inégalité de Cauchy nous obtenons

kT (un � um)k2V � 02ZRnp2��1 j(un � um)j2 dx

� 1 kun � umk2L2(BR)

+ 21

(1 +R2)2(��1)kun � umk2V

La première quantité du membre de droite tend vers zéro.

Par hypothèse, kun � umkV est borné et1

(1 +R2)2(��1)tend vers zéro quand R tend vers

l�in�ni. Par conséquent la suite (Tun) est de Cauchy dans V et donc convergente.

�

25

Nous pouvons appliquer à T les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs

autoadjoints compacts.

Proposition 2.2. Le problème (2.1) admet une double in�nité dénombrable de

valeurs propres l�une positive tendant vers +1 et l�autre négative tendant vers �1

�+j = infA2Vj

supu2A\V+

8>><>>:ZRn

�jruj2 + qu2

�dxZ

Rngu2dx

9>>=>>;��j = inf

A2Vjsup

u2A\V�

8>><>>:ZRn

�jruj2 + qu2

�dxZ

Rngu2dx

9>>=>>;où Vj désigne la famille des sous-espaces de V de dimension j.

Théorème 2.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.2), (2.3), (2.4)

et (2.6) sont véri�ées, alors les deux premières valeurs propres �+1 et ��1 sont les seules

valeurs propres principales du problème (2.1).

Preuve

Remarquons tout d�abord que si � est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids

g alors (��) est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids (�g) : De ce fait, il

su¢ t d�étudier seulement l�existence des valeurs propres principales positives.

Soit �+1 la première valeur propre du problème (2.1) associée à la fonction propre � dans

V

Nous avons :

a (�; u) = �+1 b (�; u) ; 8u 2 V

Supposons que la fonction � change de signe sur Rn i.e. � = �+ � ��; où �+ (resp. ��)

la partie positive (resp. négative) de la fonction �. Donc,

26

b (�; �) =

ZRng j�j2 dx =

ZRng���+ � ����2 dx

=

ZRng���+��2 dx+ Z

Rng������2 dx

= �1 + �2

et

a (�; �) =

ZRn

�jr�j2 + q j�j2

�dx

=

ZRn

���r ��+ � �����2 + q ���+ � ����2� dx= �1 + �2

= a��+; �+

�+ a

���; ��

�tel que

�+1 =�1 + �2�1 + �2

Il est clair qu�au moins l�une des fonctions �+ ou �� appartient à V+ car � 2 V+:

Nous pouvons alors distinguer deux cas :

�1:�2 > 0

ou

�1:�2 < 0

Le premier cas implique que �+ ainsi que �� sont dans V+ et donc

27

�+1 � min��1�1;�2�2

�� a (�; �)

b (�; �)= �+1

Ce qui implique que

�+1 =�1�1=�2�2

Cette dernière équation prouve que �+ et �� sont toutes les deux des fonctions propres

associées à �+1 :

Dans le deuxième cas nous obtenons :

�+1 � max��1�1;�2�2

�� a (�; �)

b (�; �)

donc

�+1 = max

��1�1;�2�2

�Ceci veut dire que l�une des fonctions �+ ou �� est une fonction propre associée à �+1 :

Sans restreindre la généralité, supposons que �+ est une fonction propre associée à �+1 :

Appliquons l�identité de Picone à �, �+ (voir [4]) :

ZRnj�j2

����r��+������2 dx = Z

Rn

��r�+��2 dx+ ZRn

��+�2 ��

�dx

=

ZRn

��+1 g � q

� ��+�2dx+

ZRn

�q � �+1 g

� ��+�2dx = 0

ce qui implique que � = c�+:

Montrons que �+1 est la seule valeur propre principale positive du problème (2.1). Soit �

une valeur propre positive du problème (2.1) et soit ' une fonction propre associée à �+1 .

Supposons que � est principale c�est à dire que ' est strictement positive. En appliquant

encore une fois l�identité de Picone à ' et � nous trouvons :

28

ZRn'2����r��'

�����2 dx = ZRnjr�j2 dx+

ZRn�2�'

'dx (*)

=��+1 � �

� ZRng�2dx

Comme � est une valeur propre positive du problème (2.1) nous avons nécessairement :

�+1 � �

(d�après le principe du Min-Max). De l�égalité (�) nous obtenons :

ZRn'2����r��'

�����2 dx = ��+1 � �� ZRng�2dx = 0

ce qui implique que ' = c� et � = �+1 .

�Théorème 2.2 La première valeur propre �+1 du problème (2.1) est simple.

Preuve.

Nous supposons qu�il existe deux fonctions propres �1 et �2 associées à �+1 . En appliquant

l�identité de Picone à �1 et �2 nous obtenons :

ZRn�21

����r��1�2����� dx = 0

ce qui implique que les fonctions propres �1 et �2 sont linéairement dépendantes

�

29

Chapitre 3

Opérateurs du second ordre à

coe¢ cients variables

3.1 Introduction

Ce chapitre est consacré à l�étude des problèmes aux valeurs propres associés à des

opérateurs formellement autoadjoints, uniformément elliptiques d�ordre deux à coe¢ -

cients variables de la forme :

Au = �Xjij�1jjj�1

Di�aij (x)D

ju�

dans Rn n � 3.

Nous commençons par étudier des problèmes de la forme :

8><>:Au+ q (x)u = �g (x)u; x 2 Rn

u !jxj!1

0(3.1)

où A est un opérateur linéaire, elliptique et autoadjoint du second ordre de la forme :

30

A = �nX

i;j=1

@

@xi

�aij (x)

@

@xj

�Nous allons montrer sous certaines conditions sur le potentiel q et les coe¢ cients aij , le

problème ci-dessus admet deux suites in�nies dénombrables de valeurs propres, et nous

prouvons également que la première est principale et simple.

Nous supposons que les coe¢ cients aij véri�ent l�hypothèse d�uniforme ellipticité c�est à

dire :

9� > 0; 8x 2 Rn; 8� 2 Rn;nX

i;j=1

aij (x) �i�j � � j�j2 (3.2)

avec

j�j2 =nXi=1

�2i

Nous supposons que les coe¢ cients aij sont symétriques c�est à dire

aij = aji (3.3)

De plus

aij 2 L1 (Rn) (3.4)

Nous considérons la forme intégrodi¤érentielle :

a (u; v) =

ZRn

nX

i;j=1

aij (x)@u

@xi

@v

@xj+ q (x)uv

!dx

3.2 Existence de valeurs propres principales

Montrons que la forme a (u; v) est continue sur V.

En e¤et

31

ja (u; v)j =�����ZRn

nX

i;j=1

aij (x)@u

@xi

@v

@xj+ q (x)uv

!dx

�����ja (u; v)j �

ZRn

�����nX

i;j=1

aij (x)@u

@xi

@v

@xj

����� dx+ZRnjq (x)uvj dx

ja (u; v)j � c1�Z

Rnjruj2 dx

� 12�Z

Rnjrvj2 dx

� 12

+ c2

�ZRnjuj2

�dx

� 12��Z

Rnjvj2

�dx

� 12�

ja (u; v)j � c1 krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + c2 kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)

� c3 kukV kvkV + c4 kukV kvkV

� c kukV kvkV

Donc la forme a (u; v) est continue

La coercivité de la forme a (u; v)

a (u; u) =

ZRn

nX

i;j=1

aij (x)@u

@xi

@u

@xj+ q (x)u2

!dx

Comme q est positif, nous avons

a (u; u) �ZRn

nXi;j=1

aij (x)@u

@xi

@u

@xjdx

En vertu de (3.2), nous obtenons

a (u; u) � cZRn(ru)2 dx:

Nous en déduisons, grâce à l�inégalité de Hardy,

32

a (u; u) �M kuk2V :

Alors la forme a (u; v) est coercive.

Nous nous intéressons à la plus petite valeur propre.

Théorème 3.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et

(3.4) sont véri�ées alors la première valeur propre positive (resp. négative) du problème

(3.1) est une valeur propre principale.

Preuve.

D�après la caractérisation variationnelle de �+1 nous avons :

�+1 = inf

8>>>>><>>>>>:

RRn

nX

i;j=1

aij (x)@u

@xi

@u

@xj+ q (x)u2

!dx

ZRngu2dx

; u 2 V;ZRngu2dx > 0

9>>>>>=>>>>>;Soit � la fonction propre associée à �+1 ; donc � réalise le minimum,

i.e.

�+1 =

RRn

nX

i;j=1

aij (x)@�

@xi

@�

@xj+ q (x)�2

!dx

ZRng�2dx

;

Supposons que � change de signe, alors � = �+ � ��:

Posons

J (�; �) =

ZRn

nX

i;j=1

aij (x)@�

@xi

@�

@xj+ q (x)�2

!dx

G (�; �) =

ZRng�2dx

33

Puisque les supports de �+ et �� sont disjoints nous avons :

J (�; �) = J��+; �+

�+ J

���; ��

�

G (�; �) = G��+; �+

�+G

���; ��

�Il est clair qu�au moins l�une des fonctions �+ ou �� appartient à V+ car � 2 V+:

Nous pouvons alors distinguer deux cas :

G��+; �+

�:G���; ��

�> 0

ou

G��+; �+

�:G���; ��

�< 0

Le premier cas implique que �+ ainsi que �� sont dans V+ et donc

�+1 � min(J��+; �+

�G��+; �+

� ; J ���; ���G���; ��

�) � J (�; �)

G (�; �)= �+1

Ce qui implique que

�+1 =J��+; �+

�G��+; �+

� = J���; ��

�G���; ��

�Cette dernière équation prouve que �+ et �� sont toutes les deux des fonctions propres

associées à �+1 :

�

nXi;j=1

@u

@xi

�aij (x)

@

@xj

�+ q (x)� �+1 g (x)

!�+ = 0

�nX

i;j=1

@u

@xi

�aij (x)

@

@xj

�+ q (x)� �+1 g (x)

!�� = 0

34

Alors �+ et �� sont positives ou identiquement nulles sur Rn:(voir corollaire 1.1). Nous

obtenons une contradiction avec � qui change de signe sur Rn:

Dans le deuxième cas nous obtenons :

�+1 � max(J��+; �+

�G��+; �+

� ; J ���; ���G���; ��

�) � J (�; �)

G (�; �)

donc

�+1 = max

(J��+; �+

�G��+; �+

� ; J ���; ���G���; ��

�)

Ceci veut dire que l�une des fonctions �+ ou �� est une fonction propre associée à �+1 :

De manière arbitraire, nous considérons que �+ est la fonction propre associée à �+1 :

i.e.

J��+; �+

�= �+1 G

��+; �+

�Nous avons

J��+; �+

�+ J

���; ��

�= �+1

�G��+; �+

�+G

���; ��

��Alors

J���; ��

�= �+1 G

���; ��

�Ceci est une contradiction avec le fait que G

���; ��

�est négatif.

�Théorème 3.2 La première valeur propre �+1 du problème (3.1) est simple.

Preuve.

Nous supposons qu�il existe deux fonctions propres �1 et �2 associées à �+1 . Pour tout

� 2 R; �1 + ��2 est aussi une fonction propre associée à �+1 ; donc �1 + ��2 ne change

pas de signe. Soit A et B tels que :

35

A = f� 2 R; (�1 + ��2) � 0g ; B = f� 2 R; (�1 + ��2) � 0g

A et B sont non vides, fermés et A [ B = R: Par conséquent, il existe e� 2 A \ B tel

que �1 + e��2 = 0: Ceci implique que les fonctions propres �1 et �2 sont linéairement

dépendantes

�

3.3 Cas d�un opérateur général d�ordre deux

Nous étudions maintenant l�existence des valeurs propres associées à des opérateurs

uniformément elliptiques et autoadjoints homogènes du second ordre à coe¢ cients va-

riables.

Nous considérons le problème :

8><>:Au = �g (x)u; x 2 Rn

u !jxj!1

0(3.5)

où

A = �Xjij�1jjj�1

Di�aij (x)D

j�

Nous supposons que les coe¢ cients aij sont mesurables, bornés et positifs et qu�ils ap-

partiennent à des espaces appropriés.

Autrement dit

36

aij 2 L1 (Rn) ; si ji+ jj = 2

aij 2 Ln (Rn) ; si ji+ jj = 1 (3.6)

aij 2 Ln2 (Rn) ; si ji+ jj = 0

La forme intégrodi¤érentielle associée à l�opérateur A est :

a (u; v) =

ZRn

Xjij�1jjj�1

aij (x)DiuDjvdx

Nous retrouvons principalement les résultats du paragraphe précédent.

Proposition 3.1. Si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et (3.6) sont véri�ées. Alors

le problème (3.5) admet une double in�nité dénombrable de valeurs propres l�une positive

tendant vers +1 et l�autre négative tendant vers �1:

Théorème 3.3 Les deux premières valeurs propres �+1 et ��1 sont les seules valeurs

propres principales du problème (3.5).

Théorème 3.4 La première valeur propre �+1 du problème (3.5) est simple.

Nous reprenons de manière similaire les démonstrations déjà développées précédemment.

�

37

Conclusion générale

Le travail accompli est une extension des travaux déjà élaborés sur des domainesbornés. Le choix du potentiel s�est avéré d�une importance capitale pour l�établissement

des résultats. Nous souhaitons entreprendre le champ d�investigation sur une classe de

potentiel plus élargie. D�autre part les résultats obtenus pour le Laplacien peuvent être

étendus à des opérateurs d�ordre 2m à coe¢ cients variables. Il nous semble que la géné-

ralisation des résultats obtenus est possible en choisissant les coe¢ cients de l�opérateur

dans des espaces appropriés.

38

Bibliographie

[1] R.A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, New York, (1975).

[2] W. Allegretto. Positive Solutions and Spectral Properties of Second Order Elliptic

Operators, Paci�c Journal of Math. Vol. 92, N 1, (1981).

[3] W. Allegretto, Second Order Elliptic Equations with Degenerate Weight, Amer

Maths. Soc. Volume 107, (1989).

[4] W. Allegretto & A.B. Mingarelli, On the non-existence of positive solutions for

a Schrödinger equation with an inde�nite weight-function, C. C. Math. Rep. Acad.

Sci. Canada, Vol.VIII, No 1 (1986), 69-73.

[5] H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered

Banach spaces. Siam Rev., 18, 60-709 (1976).

[6] V. Benci & D. Fortunato, Some compact embedding theorems for weighted Sobolev

spaces, Bollettino U.M.I. (5) 13-B (1976), 832-843.

[7] V. Benci & D. Fortunato, Weighted Sobolev Spaces and the Nonlinear Dirichlet

Problem in Unbounded Domains, Ann. Mat. Pura. Appl.,(1978), 320-336.

[8] M.S. Birman, M.Z. Solomyak, On Schrödinger operators, standard and non-

standard (eds. P.Exner and P.Seba), world scienti�c, Singapore (1989), pp 318.

[9] M.S. Birman, M.Z. Solomyak, Quantitative Analysis in Sobolev imbedding theo-

rems and applications to spectral theory, Amer Maths. Soc. translations serie 2 Vo-

lume 114, (1980).

39

[10] J. Bochenek, On some linear eigenvalue problems with inde�nite weight function,

Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, Fasciculus XXVII (1988).

[11] A.S. Bonnet, Analyse mathématique de la propagation des modes guidés dans les

�bres optiques, Rapport de recherche No 229 (1988).

[12] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Masson, Paris, (1983).

[13] K.J. Brown, C. Cosner & J. Fleckinger, Principal eigenvalue for problems with

inde�nite weight functions on Rn, Proc. A.M.S., 109 No 1, (1990), 147-155.

[14] K.J. Brown & S.S. Lin, On the existence of positive eigenfunction an eigenvalue

problem with inde�nite weight function, J. Math. Anal. Appl. Vol. 75 (1980), 112-120.

[15] K.J. Brown & A. Tertikas, The existence of principal eigenvalues for problems

with inde�nite weight function on Rn ; To appear in Proc.Rev. Soc. Edin.

[16] R. Courant et D. Hilbert, Methods of mathematical physics, vol. 1, English

translation, Interscience, New York, N. Y. (1953).

[17] R. Dautray & J.L. Lions, Analyse mathématiques et calcul numérique pour les

sciences et les techniques, Tome 5, Masson, Paris, (1985).

[18] J. Deny et J.L. Lions, Les espaces du type Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier. 5

(1953-54), pp306-370.

[19] D.G. de Figueiredo, Positive solutions of semilinear elliptic problems, Lectures

note in maths No 957, Springer-Verlag, Berlin, pp 34-87.

[20] A. Djellit, Valeurs propres des problèmes elliptiques "indé�nis" sur des ouverts non

bornés de Rn, Thèse de doctorat, Univ.P.S. Toulouse III (1992).

[21] A. Djellit, N. Benouhiba, Existence and uniqueness of positive solution of a

semilinear elliptic equations in Rn, Demonstratio Mathematica Vol XXXV, Num. 1,

(2002), 61-73.

[22] A. Djellit, N. Benouhiba, Existence de valeurs propres principales pour un pro-

blème elliptique en dimension 2, Univ Trieste Vol XXXV, (1999), 49-60.

40

[23] A. Djellit, J. Fleckinger, Valeurs propres des problèmes elliptiques, B.U.M.I. (7)

t 7-B (1993), 857-874.

[24] A. Djellit, A. Yechoui, Existence and non-existence of a principal eigenvalue for

some Boundary Value problems, Maghreb Math. Rev., Vol.6,1(1997), 29-37.

[25] J. Fleckinger-Pellé, Estimations des valeurs propres d�opérateurs de type Schrö-

dinger, Univ. Bordeaux I. (1981), pp 1-18.

[26] J.P. Fleckinger,Valeurs propres de problèmes elliptiques non dé�nis, Lille I.R.M.A.

Vol. 5 fax 2 (1983).

[27] J. Fleckinger et M. El Fetnassi, Comportement asymptotique des valeurs propres

des problèmes elliptiques "non dé�nis à droite", C.R. Acad. Sci., Paris, t.299, Série

I, No 13, (1984).

[28] J. Fleckinger-Pellé, & A.B. Mingarelli, On the eigenvalue of non-de�nite ellip-

tic operators, Math. Studies 92, North, (1984), 219-222.

[29] D. Gilbarg, & N.S. Trudinger, Elliptic partial di¤erential equations of second

order, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin. (1983). MR 86c :35035.

[30] J.P. Gossez & E. Lami Dozo, On the principal eigenvalue of a second order linear

elliptic problem with inde�nite weight function, Arch. Ratio. Mech. Anal., Vol. 89,

No2 (1985), 169-175.

[31] B. Hanouzet, Espace de Sobolev avec poids. Application au problème de Dirichlet

dans un demi-espace, Rend. Sem. Math. Univ. Padova, 56 (1971), 227-272.

[32] P. Hess, On the principal eigenvalue of a second order linear elliptic problem with

an inde�nite weight function, Math. Zeitschrift. 179. (1982), 237-239.

[33] A.B. Mingarelli,On the existence of non simple real eigenvalues for general Sturm-

Liouville problems, Proc. Amer. Math. Soc.

[34] M. Reed, B. Simon,Methods of modern mathematical physics, IV Academic press,

New York, 1978.

41

[35] R.G.D. Richardson, Contribution of the oscillation properties of the solutions of

linear di¤erential equations of second order, Amer. J. Math., Vol. 40 (1918), 283-

316.

[36] G. Stampacchia, Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second

ordre à coe¢ cients discontinus, Ann. Inst. Fourier 15 (1965), 189-258.

[37] E. Titchmarsh, Eigenfunctions expansions associated with second order di¤erential

equations, Part II Oxford Univ. Press, London, (1958).

[38] H.F. Weinberger, Variation methods for eigenvalue approximation, Chap. III,

Regional Conference Serie in Applied Mathematic , Vol. 15, Siam, Philadelphia,

Penn, (1974).

42