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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Para aprobar este examen Usted debe obtener un puntaje mínimo de 75%. Antes de escribir las respuestas lea bien lo que se solicita en este examen. Si tiene alguna duda respecto a lo solicitado, consulte con alguno de los profesores que integran el jurado. Para ello levante la mano y el profesor se acercará a su lugar de trabajo. Las respuestas deben ser claras, concretas y concisas. Solo puede tener sobre la mesa la hoja del examen y los elementos de escritura.

EXAMEN TEÓRICO FINAL I

T1. Dado y = f(x). Definir función continua en un punto, en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado.

T2. Teorema fundamental del cálculo Parte II. Regla de Barrow. Enunciar y demostrar.

T3. Criterio de Leibnitz para convergencia o divergencia de series numéricas: indicar campo de aplicación y demostrar.

T4. a. Enunciar la condición necesaria de existencia de un extremo relativo de y = f(x).

b. Enunciar la condición suficiente de existencia de un extremo relativo de y = f(x).

c. Enunciar el teorema de Rolle (sin demostrar). Graficar.

T5. Diferencial de una función. Definir. Graficar. Demostrar la interpretación geométrica. Diferencia con el incremento.



EXAMEN TEÓRICO FINAL II

T1. Estudio completo de la función y =A sen (wx + ). Definir A, w y . Realizar las gráficas correspondientes mostrando la variación de A,w y .

T2. Integración por sustitución, cambio de variables. Demostrar.

T3. Regla de L’Hospital. Enunciar y demostrar para el caso 0

0

T4. Cálculo del área lateral de un sólido de revolución. Graficar y demostrar la expresión que permite calcularla.

T5. Serie P. Definir y demostrar para que valores de P converge y para que valores de P diverge.



EXAMEN TEÓRICO FINAL III

T1. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Interpretar geométricamente. Graficar.

T2. Demostrar la expresión de la integral que permite calcular el momento de inercia Ix del área limitada por dos curvas. Graficar.

T3. Estudio de las funciones irracionales de índice par e impar. Gráficas aproximadas.

T4. Enunciar sin demostrar el criterio del cociente, de la raíz de Cauchy y de Raabe.

T5. Derivada de la función inversa. Demostrar la relación entre la derivada de una función y de su inversa. Demostrar la expresión de la derivada de y= Arc Sen (x)



EXAMEN TEÓRICO FINAL IV

T1. Dado y = f(x).a) Enunciar la condición necesaria de existencia de un mínimo o un máximo relativo en un punto. b) Enunciar la condición suficiente de existencia de un mínimo o un máximo relativo en un punto.

T2. Definir serie geométrica. Demostrar la expresión de la suma enésima. Demostrar para que valores de la razón la serie converge y para qué valor diverge.

T3. Integración de expresiones racionales de senos y cosenos. Demostrar la sustitución universal.

T4. Dado y = f(x).a) Definir discontinuidad evitable. Explicar cómo levanta la discontinuidad. Graficar. b) Definir discontinuidad inevitable, distintos casos. Graficar.

T5. Derivación de funciones compuestas. Demostrar la expresión de la regla de la cadena.



EXAMEN TEÓRICO FINAL V

T1. Definir función inversa de y=f(x). Indicar las condiciones que debe cumplir y=f(x) para que exista su inversa. Relaciones entre y=f(x) y su inversa. Gráficas correspondientes.

T2. Diferencial de una función. Definición. Diferencia con el incremento. Interpretación geométrica.

T3. Integración de funciones racionales de senos y cosenos. Demostrar la sustitución universal.

T4. Definir sucesión numérica. Sucesiones importantes. Representación gráfica. Cotas. Sucesiones monótonas. Límite de una sucesión numérica. Convergencia y divergencia.



EXAMEN TEÓRICO FINAL VI

T1. Enunciar y demostrar la regla de Barrow.

T2. Definir en forma literal y simbólica: x

xf )(lim . Graficar.

T3. Enunciar el teorema de Rolle. Indicar las condiciones que debe cumplir la función para que el teorema sea aplicable. Graficar. Enunciar la interpretación geométrica.

T4. Demostrar la expresión que permite calcular el volumen generado al girar alrededor del eje x una región del plano limitado superiormente por y = f(x) entre x=a y x = b. Graficar.

T5. Dada la serie 1

1

npn

, demostrar para que valores de p converge y para que

valores de p diverge.



EXAMEN TEÓRICO FINAL VII

T1. Límite infinito para variable que tiene a valorar finito. Definición literal, simbólica y gráfica.

T2. Serie geométrica. Definir. Demostrar la expresión de la suma enésima (Sn). Demostrar para que valores de la razón converge y para que valores diverge. Demostrar la expresión de la suma de la serie para los valores de la razón para los cuales la serie converge.

T3. Integración de funciones racionales de senos y cosenos. Sustitución universal. Demostrar.

T4. Cálculo de la fuerza ejercida sobre una placa sumergida en un líquido. Demostrar la fórmula de cálculo.

T5. Demostrar la relación entre derivabilidad y continuidad.



EXAMEN TEÓRICO FINAL VIII

T1. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Interpretar geométricamente. Graficar.

T2. Demostrar la expresión de la integral que permite calcular el área de una región plana limitada por curvas cuyas ecuaciones están en coordenadas polares. Graficar.

T3. Estudio de la función exponencial. Graficas. Enunciar sus propiedades más importantes.

T4. Integración numérica. Enunciar y demostrar la Fórmula de Simpson 1/3.

T5. Demostrar la fórmula de cálculo de la pendiente y ordenada al origen de la asíntota oblicua a una curva. Graficar.



EXAMEN TEÓRICO FINAL IX

T1. Enunciar y demostrar la regla de Barrow.

T2. Definir en forma literal y simbólica: ax

xf )(lim . Graficar.

T3. Enunciar el Teorema de Rolle. Indicar las condiciones que debe cumplir la función para que el teorema sea aplicable. Graficar. Enunciar la interpretación geométrica.

T4. Demostrar la expresión que permite calcular el volumen generado al girar alrededor del eje x la región del plano limitada superiormente por y = f(x), inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas: x = a y x = b. Graficar.

T5. Dada la serie 1

1

npn

, demostrar para que valores de p converge y para que

valores de p diverge.



EXAMEN TEÓRICO FINAL X

T1. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Definir. Indicar las condiciones que debe cumplir la función. Demostrar el teorema y realizar la interpretación geométrica.

T2. Definir: función derivada y graficar. Derivada de la función en un punto. Graficar. Derivadas laterales. Graficar. Interpretación geométrica (demostrar).

T3. Criterio de la integral de Cauchy. Enunciar y demostrar.

T4. Lxfx

)(lim . Definición literal, simbólica y gráfica.

T5.Cálculo del centroide de la región del plano limitada superiormente por y = f(x), inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas: x = a y x = b. Demostrar la o las integrales que permiten calcularlo.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XI

T1. Definición de función continua en un punto. En un intervalo abierto (a, b) y en un intervalo cerrado [a, b]. Definir saltos. Acompañar con gráficos.

T2. Definir: función derivada y graficar. Derivada de la función en un punto. Graficar. Derivadas laterales. Graficar. Interpretación geométrica (demostrar).

T3. Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Enunciar y demostrar. Realizar la interpretación geométrica.

T4. Criterio de la integral de Cauchy para determinar convergencia y divergencia de series numéricas. Enunciar y demostrar.

T5. Función exponencial. Definición y características principales. Graficar.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XII

T1. Función exponencial y = Aebx . Graficar las distintas alternativas al variar A y b. Enunciar las propiedades de esta función para el caso en que A > 0 y b > 0

T2. Enunciar y demostrar la regla de L’Hospital para levantar la indeterminación en

el caso 0

0. Explicar como se resuelven las otras indeterminaciones.

T3. Demostrar la sustitución universal para la integración de funciones racionales de senos y cosenos.

T4. Serie geométrica. Definir. Demostrar la expresión de la suma enésima. Demostrar para que valor de la razón la serie converge y para que valores la serie diverge. Demostrar la expresión de la suma de la serie válida para los valores de la razón donde la serie converge.

T5. Demostrar el valor del límite notable : Limite de ( sen x/x) cuándo x tiende a cero.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XIII

T1. Demostrar la expresión de la integral que permite calcular el área de una región plana limitada por una curva cuya expresión viene dada en coordenadas polares. Graficar.

T2. Lxfx

)(lim . Definición literal, simbólica y gráfica.

T3. Demostrar la regla de la cadena para derivadas de funciones compuestas.

T4. a. Enunciar el criterio de Leibnitz y su aplicación.

b. Enunciar la condición necesaria de convergencia de una serie numérica.

c. Enunciar el criterio de la integral de Cauchy y su aplicación.

T5.Función homográfica. Definir y graficar indicando sus características. Graficar los casos especiales.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XIV

T1. Demostrar la expresión de la integral que permite calcular el perímetro de una región plana limitada por una curva cuya expresión viene dada en coordenadas polares. Graficar.

T2. ax

xf )(lim . Definición literal, simbólica y gráfica.


T4. a. Enunciar el criterio de Leibnitz y su aplicación.

b. Enunciar la condición necesaria de convergencia de una serie numérica.

c. Enunciar el criterio de la integral de Cauchy y su aplicación.

T5. Enunciar y demostrar la fórmula de integración por partes.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XV

T1. Demostrar aplicando derivación logarítmica, las derivadas de: a.y = xn ; b. y = ax

T2. Enunciar y demostrar el teorema fundamental del Cálculo parte I.

T3. Enunciar y demostrar el teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Indicar las condiciones que debe cumplir la función para que el teorema se pueda aplicar. Acompañar con un esquema gráfico. Realizar la interpretación geométrica.

T4. Serie geométrica. Definir. Demostrar la expresión de la suma enésima. Demostrar para que valores de la razón converge y para cuales diverge.

T5. Estudio de la función y = A sen (wx + f ). Análisis de la variación de A, w y f. Puede apoyarse con ejemplos.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XVI

T1. Enunciar y demostrar el criterio de Leibnitz para convergencia de series de términos alternados.

T2. Fórmula de Taylor. Indicar las condiciones que debe cumplir la función. Demostrar la expresión de la fórmula. Plantear la expresión del resto y explicar su significado.

T3. Enunciar las propiedades de las funciones continuas. Cuando sea necesario realizar un esquema gráfico.

T4. Dada la región del plano R limitada superiormente por y = f(x) e inferiormente por y = g(x) demostrar la expresión que permite calcular el momento de inercia IY

del área A de la región R. Graficar.

T5. Definir diferencial de una función. Graficar. Determinar la diferencia con el incremento. Demostrar la interpretación geométrica del diferencial de una función.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XVII

T1. Definición de función continua en un punto, en un intervalo abierto (a, b) y en un intervalo cerrado [a, b]. Definir saltos. Acompañar con gráficos.

T2. Derivada primera y segunda de una función dada en coordenadas paramétricas.. Demostrar.

T3. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Enunciar y demostrar. Interpretación geométrica.

T4. Criterio de la integral de Cauchy para determinar convergencias y divergencias de series numéricas. Enunciar y demostrar.

T5. Función exponencial. Definición y características principales. Graficar.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XVIII

T1. Estudio de la función racional fraccionaria bmxbxb

axxaxay

mm

nn

...

...1

10

110 siendo

m=n= 3, con: a0 > 0; b0 < 0; an > 0 y bn < 0. Los ceros del numerador son: x1, x2 y x3 / x1<0; x2>0 y x3> x2. Los ceros del denominador son: x4, x5 y x6 / x4< x1; x5= x6 >0 y x2< x5< x3. Realizar la gráfica aproximada con asíntotas. Dominio y rango.

T2. a. Enunciar la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo de y = f(x). Ejemplificar gráficamente.

b. Enunciar la condición suficiente para la existencia de un extremo relativo y = f(x). Ejemplificar.

c. Definir punto de inflexión de una curva. Graficar.

d. Explicar el procedimiento para calcular aplicando la regla de L’Hospital el límite 0)()(lim

ax

xgxfL .

T3. E. Enunciar la condiciones que debe cumplir y = f(x) para poder desarrollarse en fórmula de Taylor en x = a.

T4. Integración de funciones racionales fraccionarias dxxQ

xPI

)(

)( caso de raíces

reales simples de Q(x) = 0; x1 = a; x2 = b y x3 = c. Plantear la descomposición en fracciones simples y demostrar como se calculan las constantes indeterminadas.

T5. Cálculo del área de una región plana limitada por una curva cuya ecuación está dada en coordenadas polares. Graficar y demostrar la fórmula de cálculo del área.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XIX


T2. Enunciar sin demostrar las propiedades de la integral definida. Graficar cuando corresponda.

T3. a. Enunciar sin demostrar la condición necesaria de convergencia de una serie numérica.

b. Definir serie numérica, suma enésima y suma de las series.

c. Definir series de potencia de x.

d. Definir intervalos de convergencia de una serie de potencias de x

T4. Demostrar la expresión que permite calcular la longitud de arco de una curva en coordenadas cartesianas. Indicar las condiciones que debe cumplir la función. Graficar.



EXAMEN TEÓRICO FINAL XX

T1. Demostrar aplicando derivación logarítmica, la expresión de la derivada de y=[f(x)]g(x).

T2. Enunciar sin demostrar las propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado. Cuando corresponda graficar.

T3. Integración de funciones racionales de senos y cosenos. Sustitución universal. Demostrar.

T4. a. Definir series de potencias de x y de x – a.

b. Definir radio de convergencia y dominio de convergencia de las series de potencias.

c. Demostrar la expresión del radio de convergencia y explicar como se calcula el dominio de convergencia.

T5. Demostrar las expresiones de las integrales que permiten calcular el centroide de la región R, limitada superiormente por y = f(x), inferiormente por y = g(x), entre x = a y x = b. Graficar.

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