universidad tecnolÓgica ecotec. iso 9001:2008 medidas numéricas descriptivas estadística
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O 9001:2008
Medidas numéricas descriptivas
Estadística
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O 9001:2008
Medidas Descriptivas
• Medidas de Tendencia Central
• Medidas de Dispersión
• Medidas de forma
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O 9001:2008
Medidas Descriptivas
• Medidas de Tendencia Central:
–Media–Mediana –Moda–Media ponderada–Media geométrica
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O 9001:2008
Media
• Media Poblacional:
• Media Muestral
n
XXX
n
XX n
n
ii
211
N
XXX
N
XN21
N
1ii
μ = Media poblacional
N = Tamaño de la población
Xi = i valor de la variable X
= Media muestral
n = Tamaño de la muestra
Xi = i valor de la variable X
X
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O 9001:2008
Media
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Media = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Media = 4
35
15
5
54321
4
5
20
5
104321
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Mediana
• Es el valor medio de un conjunto de datos ordenado de menor a mayor.
Pasos para calcular la mediana:
• Ordenar los datos
• Localización de posicion de la mediana.
• Ubicar la mediana.
2
1n
Pos
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O 9001:2008
Mediana
• No es afectada por valores extremos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 3
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Moda
• Valor con mayor frecuencia.• No es afectado por valores extremos.• El conjunto de datos puede no tener
moda, o bien varias modas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Moda = 9
0 1 2 3 4 5 6
Sin Moda
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O 9001:2008
Ejemplo
• En la zona costera del Ecuador se encuentran en alquiler 5 casas al precio que se indica a continuación:
$2,000 K
$500 K
$300 K
$100 K
$100 K
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O 9001:2008
• Una encuesta de instituciones de crédito en un centro urbano reveló tasas de crédito hipotecario de :
7.1% 7.3% 6.3% 6.7% 6.8% 6.85%
Calcule e interprete la media , mediana y moda
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• Indique cuál medida de tendencia central ( media, mediana, moda) sería más útil en cada uno de los siguientes casos: – El analista de información, desea conocer el
salario promedio de la compañía formada por gerentes y obreros.
– El gerente de producción de una fábrica de envases de vidrio desea saber cuál es el tamaño de envase de vidrio que tiene que fabricar en mayor cantidad.
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O 9001:2008
– Un analista de bolsa de valores esta interesado en descubrir el cambio diario en el precio en el mercado de una acción en cierta compañía. Se conoce que el precio es estable en el tiempo y que rara vez sufre cambios drásticos.
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O 9001:2008
Media Ponderada
• Se utiliza cuando los valores no tienen igual peso.
• Donde X es la observación individual W es el peso o ponderación asignada a
cada observación
N
i
i
N
ii
w
W
WXX
1
1
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• El fontanero vende cinco tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se muestra cada tipo junto con la utilidad por lata y el numero de latas vendidas. Calcule la utilidad promedio por lata
Limpiador Utilidad por lata Unidades vendidas
A 2.0 3
B 3.5 7
C 5.0 15
D 7.5 12
E 6.0 15
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• Los miembros de Mary GYM debe pagar cuotas en base a su peso promedio. De los 60 miembros, 12 pesaron 110 libras, 25 pesaron 120 libras, 18 pesaron 150 y el resto pesaron 180 libras. Si los miembros deben pagar $5 por cada libra que pesen en promedio. ¿Cuánto debe desembolsar cada uno?
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• La tienda Spring vendió 95 trajes para caballero al precio normal de $400. En la venta de primavera los trajes se rebajaron a 200 y se vendieron 126. En la venta de liquidación el precio se redujo a $100 y se vendieron los 79 trajes restantes.a) ¿Cuál fue el precio promedio de cada traje?
b) El establecimiento pagó $200 por cada uno de los 300 trajes., comente acerca de la ganancia que aportan estas prendas si un vendedor recibe una comisión de $25 por cada traje vendido.
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Media Geométrica
• Proporciona una medida de cambio porcentual promedio en una serie de números
nnXXXXMG ...321
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• El director ejecutivo de American Airllines desea determinar la tasa de crecimiento promedio de los ingresos de las cifras dadas. Si el crecimiento es menor al promedio industrial del 10%, se cambiara de estrategia de publicidad. ¿Cuál será la decisión?
Año Ingreso
2006 50000
2007 55000
2008 66000
2009 60000
2010 78000
¿Cuál es el pronóstico de ingresos para el 2001?
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O 9001:2008
• El descontento de los empleados de una empresa se refleja el número de quejas oficiales durante los últimos cuatro meses :23, 41, 37, 49. Con base en estos datos. ¿Cuál es el incremento promedio mensual de quejas?
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• La producción de camiones aumento de 23000 unidades en el 2000 a 120520 unidades en el año 2010. Obtenga el crecimiento promedio anual en la producción.
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Medidas de dispersión
• Rango
• Varianza
• Desviación Estándar
• Coeficiente de variación
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O 9001:2008
Medidas de Dispersión
• Varianza Poblacional
• Varianza Muestral
1-n
)X(XS
n
1i
2i
2
N
μ)(Xσ
N
1i
2i
2
μ = Media poblacional
N = Tamaño de la población
Xi = i valor de la variable X
= Media muestral
n = Tamaño de la muestra
Xi = i valor de la variable X
X
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O 9001:2008
Medidas de Dispersión
• Desviación Estándar Poblacional
• Desviación Estándar Muestral
1
)X(XS
n
1i
2i
n
N
N
1i
2i μ)(X
σ
μ = Media poblacional
N = Tamaño de la población
Xi = i valor de la variable X
= Media poblacional
n = Tamaño de la población
Xi = i valor de la variable X
X
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O 9001:2008
Ejemplo
Datos : 10 12 14 15 17 18 18 24
n = 8 Media = X = 16
4.30957
130
18
16)(2416)(1416)(1216)(10
1n
)X(24)X(14)X(12)X(10S
2222
2222
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O 9001:2008
Ejemplo
Datos : 10 12 14 15 17 18 18 24
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Desviación Estándar menor
Desviación Estándar mayor
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Comparación de Desviación
Media= 15.5 S = 3.338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Datos B
Datos A
Media = 15.5 S = 0.926
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Media = 15.5 S = 4.567
Datos C
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O 9001:2008
• El gerente de operaciones de una fabrica de llantas desea comparar el diámetro interno real de dos tipos de llantas que se espera sean de 575 mm. Se seleccionó una muestra de 5 llantas de cada tipo como muestra a continuación:
• Tipo x: 568 570 575 578 584 • Tipo y: 573 574 575 577 578
¿Cuál tipo de llanta es de mejor calidad? Explique
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• Un fabricante de baterías para cámara toma una muestra de 13 baterías de la producción del día y la utiliza de manera continua hasta que se agotan . El número de horas que se utilizaron hasta que fallaron fue:
• 342 426 317 545 264 451 1049 613 512 266 492 562 298
• Calcule rango, varianza y desviación estándar• ¿Qué le recomendaría al fabricante si quisiera
anunciar que las baterías duran 400 horas?
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Coeficiente de variación
• Medida relativa de variación
• Puede utilizarse para comparar dos o mas datos – medidos en unidades diferentes.
– Medias muy distantes
100%X
SCV
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Ejercicio
• Producto A:
– Precio promedio del último año = $50– Desviación = $5
• Producto B:
– Precio promedio del último año = $100– Desviación = $5
10%100%$50
$5100%
X
SCVA
5%100%$100
$5100%
X
SCVB
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• Un estudio sobre el monto de bonos pagados y los años de servicio de varios empleados dio como resultado los siguientes datos:
• Bonos pagados: Media $200 Desviación $40• Número de años de servicio : Media 20 años
desviación 2 años.
Indique cual variable presenta mayor dispersión.
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• Se va a comparar la variación en los ingresos de altos ejecutivos con los trabajadores de la planta. En una muestra de ejecutivos el ingreso promedio mensual fue de $7000 con S=$70, mientras que el salario de los empleados de planta fue de $400 con S=$3.5. ¿Es cierto que existe mayor variación en los ingresos de los ejecutivos?
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Otras medidas
• Deciles
• Cuartiles
• Percentiles
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Procedimiento de cálculo:
• Paso 1. Ordenar los datos de manera ascendente
• Paso 2. Calcular la posición Lp del percentil de interés y n es la cantidad de elementos
Pos Pi=(n+1) * i/100
• Paso 3: Ubicar el percentil Pi
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Ejemplo
Determinar el percentil 85de los dato adjuntos
Paso 1. 2210, 2255, 2350, 2380, 2390, 2420, 2440, 2450, 2550, 2630, 2825
Paso 2. Calcular Lp= (11+1)*85/100=10.2 posición
Paso 3. percentil 85= dato 10º+(dato 11º-dato 10º)*0.2
=2630+(2825-2630)*0.2=2669
Datos no agrupados
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• Las horas trabajadas por Ronny cada semana durante los últimos dos meses son:
52 48 37 54 48 15 42 12
Calcular :• Los tres cuartiles• D2 y D4• P30 y P60• Rango intercuartilico
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• El profesor de Administración decide dar calificación de A a las notas que se encuentren en el 30% más alto y C a quienes se encuentren en el 35% más bajo. Las calificaciones son las siguientes. Indique quienes tendrán la nota A y B
Alumno Calificación
Maria 15
Jose 12
Pablo 10
Juan 11
Pilar 9
Andrea 7
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Medidas de forma
• Describe como están distribuidos los datos
• Coeficiente de Pearson:
3(media-mediana)/desviación
Media = Mediana Media < Mediana Mediana < Media
Sesgo derechoSesgo izquierdo Simétrica
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• Dados siguientes son los puntajes de 9 pruebas para la clase de Estadística, calcule el coeficiente de sesgo e indique la forma de los datos
80 83 87 85 90 86 84 82 88.
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• Si los datos están distribuidos simetricamente , entonces el intervalo
• contiene el 68% de los valores de la población o muestra
Regla empírica
1σμ
μ
68%
1σμ
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• contiene el 95%
• contiene el 99.7%
Regla empírica
2σμ 3σμ
3σμ
99.7%95%
2σμ
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• Independiente de la distribución de los datos, al menos (1 - 1/k2) x 100% de los valores están en k desviaciones estándar de la media ( k > 1)
– Ejemplo:
(1 - 1/12) x 100% = 0% ……..... k=1 (μ ± 1σ)
(1 - 1/22) x 100% = 75% …........ k=2 (μ ± 2σ)
(1 - 1/32) x 100% = 89% ………. k=3 (μ ± 3σ)
Teorema de Chebyshev
entreAl menos
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• Un conjunto de datos distribuidos normalmente tiene una media de 5000 y una desviación estándar de 450. ¿Qué porcentaje de las observaciones están:1. Entre 4550 y 5450
2. Por encima de 6350
3. Por debajo de 4100
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O 9001:2008
• El Sr. Perez corta troncos a una longitud promedio de 20 pies con una desviación estándar de 3,5 pies. Si los cortes se distribuyen normalmente que porcentaje de troncos tiene :
• Menos de 16.5 pies?
• Mas de 13 pies