Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas

Puras y AplicadasEnero - Marzo, 2008

MA-1112 �Practica: semana 5 �Ejercicios sugeridos para la semana 5. Cubre el siguiente material: Cálculo de volumenes de

sólidos de revolución.

Para hallar el volumen de un sólido de revolución utilizaremos los métodos vistos en teoria: Méto-do de discos, arandelas o cascarones (tubos). Para más información vea las ultimas 9 paginas.

1. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las grá�cas de las ecuacionesdadas y muestre la rebanada representativa. Después encuentre el volumen del sólido gen-erado al hacer girar R en torno al eje x.

a) y = x2

π, x = 4, y = 0.

Solución:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

Utilizando el método de discos: V = π∫ 4

0(x2

π)2dx = 1024

5π.

b) y = 1x, x = 2, x = 4, y = 0.

Solución:

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Utilizando el método de discos: V = π∫ 4

2( 1

x)2dx = π

4.

c) y =√

9− x2, y = 0 entre x = −2 y x = 3.Solución:

−2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Utilizando el método de discos: V = π∫ 3

−2(√

9− x2)2dx = 116π3

.

2. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las grá�cas de las ecuacionesdadas y muestre la rebanada representativa. Después encuentre el volumen del sólido gen-erado al hacer girar R en torno al eje y.

a) y =√

x, x = 0, y = 3.Solución:

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 9

0(3 − √x)xdx = 243π

5. Otra posibilidad,

con el método de discos V = π∫ 3

0(y2)2dy.

b) x = 2√

y, x = 0, y = 4.Solución:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 4

0(4 − (x2

4))xdx = 32π. Otra posibilidad,

con el método de discos V = π∫ 4

0(2√

y)2dy.

c) x = y3/2, y = 9, x = 0.Solución:

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

4

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 27

0x(9− x2/3)dx = 6561π

4. Otra posibilidad,

con el método de discos V = π∫ 9

0(y3/2)2dy.

d) y = 4x, y = 4x2.Solución:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 1

0x(4x − 4x2)dx = 2π

3. Otra posibilidad,

con el método de arandelas V = π∫ 4

0((√

y

2)2 − (y

4)2)dy.

3. Encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar la región en el primer cuadranteacotada por la curva y2 = x3, la recta x = 4 y el eje x, en torno a:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

5

a) La recta x = 4.Solución:Utilizando el método de cascarones: V = 2π

∫ 4

0(4− x)

√x3dx = 1024π

35.

b) La recta y = 8.Solución:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5

0

5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

XY

Z

En el gra�co, podemos observar que el solido de revolucion cuyo volumen deseamoscalcular es la �gura de color rojo. Utilizando el método de arandelas: V = π

∫ 4

0

(82 − (8−

√x3)2

)dx =

704π5

.

4. Sea R la región acotada por y = x2 y y = x. Encuentre el volumen del sólido que resultacuando R se hace girar alrededor de:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a) El eje x.Solución:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

0

1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

YX

Z

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

6

Utilizando el método de arandelas: V = π∫ 1

0(x2 − x4)dx = 2π

15.

b) El eje y.Solución:Utilizando el método de cascarones: V = 2π

∫ 1

0(x− x2)xdx = π

6.

c) La recta y = x.Solución:Al girar la region acotada por y = x2 y y = x alrededor de la recta y = x, podemosobservar que al intersectar el solido con cualquier seccion transversal perpendicularnos dara una region cuya area no es ni cuadrada, ni triangular o redonda. Pero, síconcideramos una sección transversal diagonal de manera que la region interseccionresultante sea una circunferencia, tendriamos el area de una �gura geometrica cono-cida; solamente faltara expresar su radio r en función de la variable x.

Observando la �gura anterior, podemos deducir que r = hipotenusa ×cos(π/4) dondehipotenusa = x− x2. Entonces, r =

√2

2(x− x2). Por lo tanto, A(x) = πr2 = π

2(x− x2)2 y

V =∫ 1

0A(x)dx. Es decir, V =

∫ 1

0π2(x− x2)2dx = π

60.

5. La base de un sólido es la región acotada por y = 1 − x2 y y = 1 − x4. Las seccionestransversales del sólido, que son perpendiculares al eje x, son cuadrados. Encuentre el vol-umen del sólido.Solución:

DPTO. DE MATEMATICASMA-1112

7

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 y=1−x2

y=1−x4

V = 2∫ 1

0A(x)dx, con A(x) = l2(x) (observe que la región de la base del solido es simetrica

con respecto al eje y). El lado del cuadrado en función de la variable x esta dado porl(x) = (1− x4)− (1− x2) = x2 − x4. Asi, V = 2

∫ 1

0(x2 − x4)2dx = 16

315.

TUBOS

y

x

∆∆∆∆x

Vn = 2 ππππ R · H · ∆∆∆∆x

R

H ∆∆∆∆y

x

y

R

H

Vn = 2 ππππ R · H · ∆∆∆∆y

DISCOS

∆∆∆∆x

R

V = ππππ R2 · ∆∆∆∆x

∆∆∆∆y

R

V = ππππ R2 · ∆∆∆∆y

x

y

ARANDELAS

∆∆∆∆y

R

V = ππππ ( R2 – r2 ) · ∆∆∆∆y

x

y

r

∆∆∆∆x

R

V = ππππ ( R2 – r2 ) · ∆∆∆∆x

r

x

y

Sólido de revolución generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OY

H

R

y

x

y = f ( x )

Recinto generador

R

H

x

y

Sólido de revolución generado

Proyección sobre el eje OX:

Por tubos : (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫

====

====−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====

Rx

0x

dxxfHx2V

x

x0

H

x0

H – f ( x 0 )

V0 = 2 ππππ x0 [ H – f ( x 0 )] ∆∆∆∆x

∆∆∆∆x

x

y

x0

y0 = f ( x 0 )

H ∆∆∆∆x ∆∆∆∆x

y

Proyección sobre el eje OY:

Por discos : (((( ))))∫∫∫∫

====

====

−−−−

ππππ====Hy

0y

21dyyfV

H

R

x

y = f ( x )

y0 ∆∆∆∆y

x0 = f -1 ( y0 ) R

H

x

y

∆∆∆∆y

∆∆∆∆y

x0

V0 = ππππ [ f –1( y0 ) ] 2· ∆∆∆∆y

Sólido de revolución generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OX

H

R

y

x

y = f ( x )

H

R

y

x

Recinto generador

Sólido de revolución generado

Proyección sobre el eje OX:

V0 = ππππ· [ H2 – f2(x0) ] · ∆∆∆∆x

Por arandelas : (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫

====

====

−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====Rx

0x

22dxxfHV

x

y

x0

y0 = f ( x 0 )

H ∆∆∆∆x

R

H

x x0 x0

y0 = f ( x 0 )

∆∆∆∆x H

R

y

x x0

∆∆∆∆x

Proyección sobre el eje OY:

Por tubos : (((( ))))∫∫∫∫

====

====

−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====

Hy

0y

1dyyfy2V

H

R

y

x

y = f ( x )

∆∆∆∆y y0

x0 = f -1 ( y0 )

H

R

y

x

y0

x0

V0 = 2 ππππ y0 · f-1 ( y0 ) · ∆∆∆∆y

∆∆∆∆y