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IT203 Física General I

CAPÍTULO IV

DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

Recopilación: Lic. Alfonso Mendoza Gamarra

La dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación ente el

movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento.

Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es

un resultado directo de una interacciones con los otros cuerpos que lo rodea.

Cuando un bateador golpea una pelota, su acción modifica al movimiento de

la pelota. La trayectoria de un proyectil no es sino el resultado de una

interacción con la tierra. El movimiento de un electrón alrededor de un

núcleo es el resultado de sus interacciones con el núcleo y quizás con otros

electrones. Las interacciones se describen convenientemente por un

concepto matemático denominado fuerza, dicho concepto fue introducido en

el capítulo de estática por la necesidad de trabajar con ellas, podemos decir,

que la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los

cambios en el movimiento de un cuerpo.

Isacc Newton (1624-1727), realizó grandes descubrimientos, todos en

campos así por ejemplo en el campo de las matemáticas inventó el cálculo

diferencial e integral en óptica descubrió que la luz blanca consiste en una

mezcla de diferentes colores y en mecánica sus contribuciones fueron

agrupadas en su obra “principios matemáticos de la filosofía natural”,

publicada en 1686. Puso en esta obra como fundamento a todos los cálculos

y argumentos, las tres leyes básicas que ahora conocemos como las leyes de

Newton.

4.1. Primera Ley de Newton (Ley de Inercia)

UNIVERSIDAD PRIVADA

JUAN MEJÍA BACA Autorización de Funcionamiento Resolución Nº 522-2008- CONAFU

Universidad Privada JUAN MEJIA BACA DINÁMICA

Lic. Alfonso Mendoza Gamarra. 2

“Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento

rectilíneo uniforme a menos que una fuerza exterior modifique a menos que

una fuerza dicho estado.

Matemática se expresa así:

a = 0

Dicha ley nos proporciona tres ideas fundamentales.

a) Toda fuerza es causa del movimiento o en presencia es necesaria para

alterar el estado de reposo o de movimiento.

b) El estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme son enteramente

equivalente.

c) Dá la definición de un sistema de referencia inercial como aquel sistema

de referencia desde el cual no existiendo ninguna fuerza externa que

actúa sobre el cuerpo, se observaría la velocidad de este exactamente

constante. No todo el sistema de referencia es inercial, es obvio que

solamente lo son todos aquellos que cumplen exactamente con la primera

ley de Newton. Ahora si un sistema de referencia se mueve con velocidad

constante respecto a un sistema de referencia inercial, aquel también es

inercial.

Para efectos prácticos se considera tanto la tierra como el sol de un

sistema fijo a este como un sistema inercial, considerando depreciables

los efectos de rotación y la interacción mutuas.

4.2. Conceptos de Fuerza y masa

La experiencia nos dice que los cuerpos cambian su velocidad

solamente por interacción con otros cuerpos describiremos esta interacción

diciendo que los cuerpos ejercen fuerzas mutas entre sí o que la interacción

se mide por una cantidad física, llamada fuerza que fue lo que nos

habíamos adelantado ha decir en estática.

La idea que tenemos sobre fuerza es la sensación de esfuerzo muscular que

hace para deformar cualquier objeto elástico, un resorte por ejemplo o para

acelerar un objeto.



En la realidad que nos rodea tropezamos con diferentes fuerzas: fuerza

de gravedad, fuerza de atracción, y fuera de repulsión de los cuerpos

electrizados e imantados, fuerza de rozamiento, fuerza de presión de su

cuerpo sobre otro. El problema de que porqué surgen unas u otras fuerzas,

es el objeto de estudio de diferentes razas de la física.

De nuestros conocimientos previos y de la experiencia podemos

apresurarnos a decir que una misma fuerza proporciona a diferentes grupos

(aunque ellos sean iguales en forma y disminuciones (pero diferentes en su

sustancias), aceleraciones diferentes. Luego los módulos de aceleraciones

adquiridas por diferentes cuerpos dependen, por lo tanto no sólo de los

módulos de las fuerzas que actúan sobre ellos sino también de ciertas

propiedades de los propios cuerpos. Esta propiedad de los cuerpos se

caracteriza con una magnitud física especial, llamada masa.

Según la definición de Newton se llama masa de un cuerpo, la cantidad de la

sustancia que contiene este cuerpo, con lo visto anteriormente, pasamos a

estudiar la segunda Ley de Newton.

4.3. Segunda Ley de Newton, Ley Fundamental de la Mecánica

Newton expresó la ley como sigue:

“La variación del movimiento es proporcional a la fuerza matriz

aplicada y tiene lugar en la dirección de la recta, sobre la cual se aplica

dicha fuerza”.

En la terminología de Newton movimiento significa CANTIDAD DE

MOVIMIENTO, que actualmente se define por el producto de la masa y de la

velocidad de la partícula:

P = mv

La variación de la cantidad de movimiento con el tiempo en su

derivada con respecto al tiempo: por tanto – la segunda ley de Newton se

expresa:



dt

dvmmv

dt

d

dt

pdf )(

amf

También aquí debemos notar que la segunda ley de Newton contiene tres

ideas fundamentales:

a) En todos los casos la dirección de la aceleración es la misma que la

fuerza.

b) Para su cuerpo dado, la razón del módulo de la fuerza al de la aceleración

es siempre la misma, osea es constante.

f/a = constante (para su cuerpo dado)

En realidad la experiencia nos demuestra que si duplicamos la fuerza

aplicada sobre un cuerpo su aceleración también se duplica verificando

que:

a

F

a

F

a

F

2

2

Esta razón constante entre la fuerza y la aceleración puede considerarse

una propiedad del cuerpo denominado su masa (m) de donde:

m = a

F

Dicho resultado tiene un profundo significado pues observamos que en

esta definición de masa no se le tiene en cuenta en absoluto la

constitución del material o estructura del cuerpo.

c) El término de “fuerza motriz” que empleó Newton para enunciar su

segunda ley, se refiere a una fuerza resultante o fuerza no equilibrada

que al actuar, sobre un cuerpo, le comunica una aceleración.

En general el cuerpo está sometido a la unión simultánea de un número

cualquiera de fuerzas, cuya resultante diferente de cero es la causa de la

aceleración. Matemáticamente esto se expresa así:



amF

O equivalentemente en componentes rectangulares:

maxFix , mayFiy , mazFiz ,

4.4. Tercera ley de Newton: Acción y reacción

Se enuncia así:

“Para cada acción hay una reacción de igual módulo, pero de sentido

opuesto.

Por ejemplo:

Si el cuerpo A, ejercer una fuerza FAB (reacción), sobre el cuerpo B,

simultáneamente se ejerce FBA (reacción) de B sobre A, de manera que

ambas fuerzas están en la misma dirección y cumplen la relación:

ABBA FF

Debiendo tener presente que estas fuerzas se aplican sobre diferentes

y por ellos no se anulan.

Habiendo en estática dado un adelanto sobre las unidades de fuerzas

nos permitimos presentar el siguiente cuadro que será de gran ayuda.

SISTEMA MASA ACELERACIÓN FUERZA

SI o MKS kg. m/s2 N = kg.m/s2

CGS g. cm/s2 din = cm/s2

Técnico UTM m/s kgf = UTM m/s2

Técnico Inglés Slug pie/s2 1 1bf = Slug.pie/s2

Equivalencias:

Newton (N) = 105 días



Kilogramo fuerzas kgf = 9.8 N = 2.20 s lbf

Libra fuerza lbf = 4.448 N = 0.4536 kgf

Unidad técnica de masa = UTM = 9.8 kg

Libra masa Lbn = 0.4536 kg

Slug Slug = 14.56 kg

1 pie = 12 pulg. = 0.3048 m

1 pulgada = 2.54 cm

4.5. Masa y peso

La fuerza más común en nuestra experiencia diaria es la fuerza de la

gravedad o atracción que ejercer la tierra sobre todos los cuerpos que

están sobre ella. Esta fuerza se llama pus del cuerpo. Cuando un cuerpo

es abandonado y se deja caer libremente la única fuerza que actúa sobre

él libremente en su peso W y su aceleración es la de cualquier cuerpo que

cae libremente, es decir la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio

es:

g = 9.8 m/s2 = 980 cm/s2

g = 32 pies /s2

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la expresión de la fuerza pero

es:

mgW

o esclaramente:

W = mg

Donde:

m, es la masa del cuerpo

Para el movimiento curvilíneo plano de una partícula, en el que se utiliza

los componentes tangencial y normal, las componentes de la ecuación

(4.4), pueden escribirse así:

Ft = mat Fn = man (4.7)

Donde:



at = dt

dv an =

g

v 2

luego:

Ft = mdt

dv Fn = m

g

v 2

(4.8)

Las componentes radial y transversal se escriben en:

Fr = (m

..

r - rQ2) FQ = m(r

..

Q + 2

.

r.

Q ) (4.9)

4.6. PROBLEMAS RESUELTOS

1) Un bloque de masa m1 = 10 kg pero está sobre una superficie horizontal

que pasa por una polea y sostiene a otro bloque la masa m2 = 40 kg (ver fig.),

suponiendo que la masa de la cuerda es despreciable y la polea sin fricción.

¿Calcular la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda?

SOLUCIÓN:

Diagrama de cuerpo libre de cada uno de

los bloques

El bloque de masa m1 no tiene aceleración vertical (ay = 0), pero

horizontalmente tiene una aceleración de igual módulo que la aceleración

vertical del bloque de masa m2, luego aplicando la 2da ley de Newton

tenemos:

N – m1g = 0 (1)

N = m1g

T = m1a (2)

m2g – T = m2a (3)

De (2) y (3) m2g - m1a = W2a



m2a + m1a = m2g

a (m1+ m2) = m2g

a =21

2

mm

gm

a = 7.84 m/s2

y de (2) tenemos T = 78.4 N

1. Un cuerpo de masa m = 10 kg, se mueve a lo largo de la línea recta por el

plano horizontal bajo la acción de la fuerza horizontal P. La ecuación de

movimiento del cuerpo es dada por S = 4t + 2t2 (donde S está en metros y t

en segundos). Determinar el módulo de la fuerza P en Newtons y

kilogramos.

SOLUCIÓN:

En el movimiento rectilíneo de traslación de un cuerpo – su aceleración es:

a =22

2

2

2

2

/4)24( smttdt

d

dt

Sd

Conforme a la ecuación fundamental de la dinámica:

P = ma = 10 x 4 = 40 kg m/s2 = 40 N

P = 40 x 0,102 kg - f = 4.08 kg-f



2. Una particular de masa m1 es jalado hacia arriba por un plano inclinado sin

rozamiento de longitud “c” y altura “h” por una cuerda que pasa por la parte

más alta del plano y soporta en el otro extremo una masa m2 como se

muestra en la figura.

Si m1 parte del reposo de la parte más baja del plano y m2 es separado

después que m1 se ha movido una distancia x, probar que m1 llegará

justamente a la parte superior del plano si:

X =)(

)(

2

21

hcm

chmm

SOLUCION:

W1 = peso de m1

W2 = peso de m2

Sen = c

h

En m1 se tiene:

T – W1 Sen = m1a (1)

En m2 se tiene:

W2 – T = m2 a (2)

Sumando (1) y (2)

W2 – W1 sen = m1a



a = 1

12

m

Senww

Con esta aceleración recorre una distancia x desde el reposo luego:

V2 = 2 ax

Con esta aceleración recorrerá la distancia (c-x) entonces como:

V2f = V2

0- - 2a1 ( c – x)

Además Vf = 0 y V20 = V2 = 2ax

Reemplazando se tiene:

V20 = 2a1 (c-x)

2ax = 2a1( c – x)

ax = ca1 – a1x

x1 (a + a1 ) =a1c

x =1

,

aa

ca

Reemplazando los valores de a y a1 en en 40

x =

c

gh

mm

chww

ccgh

c

gh

mm

Senww

ccgh

21

12

21

12 /

)/()/(

x =

)(

)(

)/(

)(

)/(

21

2112

21

12

mm

wwghhwcw

ccgh

ghcmm

hwcw

ccgh

=)(

)/(

2112

21

wwghhwcw

cmmgh

=2112

21 )(

ghmghmhwcw

ghcmm

=ghmghmghwgcm

ghcmm

21112

21 )(



=)(

)(

)(

)(

2

21

2

21

hcm

hcmm

hcgm

ghcmm

Luego:

X = )(

)(

2

21

hcm

hcmm

Cuando recorre la distancia x la tensión de la cuerda será igual a cero,

luego tenemos:

W1Sen 1 = m1a1

W1 c

h = m1a1

c

ghm1 = m1a1 gh = a1

= )(

)(

)(

)(

2

21

2

21

hcm

hcmm

hcgm

ghcmm

Luego:

x = )(

)(

2

21

hcm

hcmm

3. ABC es un triángulo en el cual AB = 7 cm,

BC = 3 cm CA = 5 cm. ¿Hallar

analíticamente la resultante de las fuerzas

que actúa en los siguientes puntos:

3 grf es la dirección BC , 9 gr-f en

dirección AC y 9 gr-f en la dirección BA .

DATOS:

AB = 7 cm

BC = 3 cm

CA = 3 cm

Las fuerzas:



BC = 3 gr-f

BA = 9 gr-f

AC = 9 gr-f

De la figura (1)

(7)2 – (3 + x)2 = h2 (1)

(7)2 – (3)2 – 2 (x)(3) - x2 = h2

También:

(5)2 – x2 = h (2)

Luego:

(1) = (2) (7)2 – (3 + x)2 = (5)2 – x2

De donde:

x = 2

5 y h = 3

2

5

luego:

Cos = 4

11

7

3 x Sen =

14

3

7

h

Cos B = 2

1

5

x Sen B =

2

3

5

h

De la figura (2) las fuerzas en x y en y son:

Rx = 3 + 9 Cos Cos – 9 Cos

Rx = 3 + 9 2

)1(9

44

)11(

Rx = 7

39 gr-f

Ry = 9 Sen – 9 Sen B

Ry = 2

)3(9

14

)35(9

Ry = -9 7

39

La resultante será: R = Rx2 + Ry2 R = 6 gr-f

4. Se proyecta una partícula hacia abajo del plano inclinado de la figura, con

una velocidad inicial de 2 m/s si no existe fricción determinar:



a) La aceleración

b) El tiempo que emplea desde que se suelta hasta que llegue al fondo.

c) La velocidad en el fondo.

SOLUCIÓN:

a) S

Sen 15

12

La partícula se mueve con la aceleración:

a = gSen = 9.2 x 15

12 = 7.8 m/s2

b) Con 1 = 15 m a = 7.8 m/s2

y V0 = 2.0 m/s

En: 1 = Vot + 2

1 at2

3.9 t2 + 2t – 15 = 0

9.32

)15)(4.3((4()2(2 2

x

tt

t1 = 1.7 s t2 = -2,3s

tenemos t1 = 1.7 s

c) V = V0 at = 2 + 7.8 x 1.7 = 15.3 m/s

V = 15.3 m/s



5. Dos partículas de masas m y 2 m unidas en los extremos de una

cuerda rígido inextensible que pasa por una polea sin fricción situada en la

parte más alta de un plano inclinado 30° con la horizontal sin fricción, la

partícula de masa “2m” está en contacto con el plano y la partícula de masa

“m”, está suspendida libremente.

¿Hallar el tiempo tomado por la masa “2m” para crear por el 20 pies, si su

velocidad inicial es 8 pies / seg. Hacia abajo.

SOLUCIÓN:

Para la masa “2m” se tiene 2mgSen

30° - T, 2ma (1)

Para la masa “m” T-mg = ma (2)

Sumado (1) y (2)

2mg Sen 30° - mg = 3 ma

a =ma

mgmg

ma

mgmgSen )2/1(2º302

a = 0

Luego se dirá que las masas se mueven uniformemente.

Luego:

Con:

x = 20 pies V0 = 8 pies /s



t = segV

x5.2

80

20

0

t = 2.5 s

6. Una masa m1 está conectada por una cuerda de peso – despreciable

inextensible sobre un pelea fija sin rozamiento, a una polea móvil de masa

m2 y en fricción, sobre el cual pasa una segunda cuerda atada a las masas

m3 y m4, en sus extremos.

¿Hallar la ecuación que determina la aceleración de las masas cuando el

sistema es libre y la tensión en la cuerda?

SOLUCIÓN:

Ecuación para cuerpo es libertad.

T – m1g = m1a (1)

2T1 + m2g – T = m2a(2)

m3g- T1 = m3(a-a1)

m4g-T1 = a4( a + a1)

Estas cuatro ecuaciones determinadas las cantidades reconocidas a1, a,

T, T1.



7. Si el punto J de la cuerda baja con una aceleración constante “g” pero

el punto x sube con una aceleración 9/4. ¿Qué tensión soporta la cuerda

que une el centro de la pelota móvil con el bloque de peso de 10 N.

Figura (8)

SOLUCIÓN:

Cálculo de la aceleración del bloque B o de un punto en la cuerda.

aB =2

KJ aa

aB = 2

4/99

aB = g2

3

(bajo) (1)

D.C.L. del bloque:

2da Ley de Newton:

W-T = )2(. Ba

g

W

(1) en (2):



T = NTW 108

5

8. El sistema mostrado en la figura está libre de todo rozamiento. ¿Hallar la

aceleración del carrito de masa M. Los bloques A y B tienen igual masa “m”

– cada una.

SOLUCIÓN:

D.C.L. (bloque A)

T = ma1 (1)

D.C.L. (Bloque B)

m2g – T = ma2 (2)

D.C.L. del carrito:



Analizando cinemáticamente el movimiento del carrito.

2 T = Ma (3)

a =2

21 aa

y a =-

2

21 aa

Resolviendo (1) (2) (3) y (4) tenemos:

a = gmM

m

)2(

4.7. FUERZAS DE FRICCIÓN

Fuerza de fricción, es la fuerza que aparece en la superficie de

contacto de 2 cuerpos, oponiéndose al movimiento relativo de estos (fig. 10).



La fricción se debe a las fuerzas intermoleculares en la superficie libre

de los cuerpos, interviene la adhesión y la cohesión. Si observamos

microscópicamente las superficies en contacto no descansa por completo la

una sobre la otra, sino en partes prominentes solamente, fig (11), está es la

razón por la que la fuerza de fricción no depende del área en contacto.

Podemos calcular con las leyes siguientes:

1. La fuerza de rozamiento tiene un valor que es directamente proporcional

a la reacción normal.

2. La fuerza de rozamiento no depende del área de las superficies en

contacto.

3. La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo en

movimiento.

4.7.1. Fuerza de Rozamiento Estático.

En la que se presenta entre superficies que se encuentra en reposo.



Si gradualmente intentamos el movimiento de un cuerpo sobre

otro, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento va creciendo

cero hasta un valor máximo fs, es que el movimiento es INMINENTE.

Este valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la

fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento, dicha fuerza es:

fs = us N (4.10)

N = fuerza normal o fuerza de contacto

us = Es el coeficiente de rozamiento estático.

4.7.2. Fuerza de Rozamiento Cinético: fK

Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo

respecto al otro y es:

fK = uKN (4.11)

N fuerza normal

uK coeficiente de rozamiento cinético.

La experiencia nos indica que es más fácil mantener el movimiento de

un cuerpo otro que iniciando por esto en general:

uK < us

Y en consecuencia:

fK < fs

Podemos medir us y uK para dar dos superficies simplemente

colocando un bloque sobre una superficie plana o indicando al plano hasta



que el bloque comienza a deslizarse. Sea Qc el ángulo crítico para el

cual se inicia el deslizamiento por ángulos de inclinación inferiores a este el

bloque está en equilibrio estático bajo la influencia de un peso mg. La fuerza

norma N y la fuerza de fricción estático fs.

Para:

Q < QC

Tenemos:

Fy = N – mgCosQ = 0 (1)

Fx = mg Sen Q – fs = 0 (2)

De(1) en (2):

N = mg Cos Q mg = N/CosQ

Fs = mgSen Q = N SenQ/Cos Q = _NtgQ

En el ángulo crítico Qc, la fricción estática alcanza su valor límite y podemos

reemplazar.

fs por usN

luego:

us = Tg Qc (4.12)

Si se inicia el movimiento es necesario ajustar las condiciones de manera

que el bloque se mueva con velocidad constante (a = 0), en tal caso las

ecuaciones conducen a:



uK = Tg QK

Para ángulos inferiores a Qc, el bloque desciende por el plano inclinado esa

aceleración ax en este caso la fuerza de fricción es un uKN y resulta.

Fx = max

Mg Sen Q – uKN = max (1)

Fy = 0

N – mg Cos Q = 0 (2)

De (2) en (1)

N = mg Cos Q

Mg Sen Q – uK mg Cos Q = max

De donde:

ax = g(Sen Q – uKCosQ) (4.13)

4.8. PROBLEMAS RESUELTOS

Encontrar la aceleración de la masa m = 10 kg, así el coeficiente de

fricción es 0.2 y la fuerza es constante como se indica en la figura.

¿Determina también la fuerza de contacto con el piso?



SOLUCIÓN:

D.C.L.

Fx = ma

FCos 37° - fK = ma (1)

Fx = 0

FSen37° + N – mg = (2)

Con: fk = uKN (3)

N = mg – Fsen 37° (4)



Con los datos:

m = 10 kg.

g = 9.8 m/s2

F = 30 N

Tenemos:

N = 80 N

En (3) con uK = 0.2 y

N = 80 N

Tenemos:

fK = 16.0 N

De (1):

a =10

0.16)5/4(30ª37

m

fCosF K

a = 0.8 m/s2

11. Un bloque de masa 4 kg se encuentra en reposo sobre un piso rugosa,

con el cual uK = 0.3 y us = 0.4.

Se le aplica una fuerza horizontal F = 18 N.

¿Determinar la fuerza de fricción ejercida por el bloque?

g = 10 m/s2

SOLUCIÓN

D.C.L.



Cálculo de la fuerza de rozamiento estático máximo.

Fs (max) = usN = 16

Pero, F > 16, entonces el bloque está en movimiento.

Fk = uKN

Fk = 0.3 (40)

Fk = 12 Newtons

12. Un bloque pequeño A, resbala sobre un plano inclinado 45° respecto a la

horizontal en el doble de tiempo que resbala en un plano igualmente

inclinado pero sin fricción. ¿Hallar el coeficiente de fricción, considerando

que parte del reposo.

SOLUCIÓN:

T1 = 2T T2 = T

De A, con la segunda ley de Newton:

mgSen 45° - fN = ma (1)

N = mgCos 45° (2)

Con: fr = uKN = uKmgCos 45° es (1)



mgSen 45° - uKmgCos 45° = ma

uK =º45

º45

gCos

agSen

De (B) y con la segunda Ley de Newton:

mg Sen45° = ma

a = g sen 45° (4)

También:

VfB= VoB + at

Vf = gCos 4545°. T (5)

Y con:

V2fB = VoB + 2ax x =a

fBV

2

2

x =º452

º.45 222

gSen

TSeng

x =2

º.45 222 TSeng

(6)

De A, también tenemos: VfA = a (2T)

VfA = 2aT (7)

V2fA = V02A + 2ax (8)

De (7): V2fA = 4a2T2 (9)

(8) = (9)

2ax = 4a2T2

a =4

º45

4

º45

2 2

2

2

gSen

T

TgSen

T

x



Reemplazando en (3):

º45

4/º45º45 2

gSen

gSenTgSenuK

º45

4

4/º45º45 2

gSen

gSenTgSenuK

º454

º453

gSen

gSenuK

uK = 0.75

13. De un cuerpo de masa m1 = 7 kg se cuelga con una cuerda m = 4 kg. Al

cuerpo m1 se aplica una fuerza F = 188.8 N, dirigida hacia arriba. ¿Hallar la

fuerza de tensión de la cuerda en su extremo superior y en su centro?.

m2 = 5kg

SOLUCIÓN:

El diagrama es:



D.G.L. para encontrar la tensión de la cuerda en su extremo superior.

mg + u2g

aplicando la segunda Ley de Newton:

T - (m + m2) g = (m + m2)a (1)

Y tomando la masa m1 (D.C.L.)

F – T – m1g = m1a (2)

1

1

m

gmTFa

(3)

(3) en (1):

T - (m+m2) g = (m + m2) 1

1 )(

m

gmTF

m1T – m1(m +m2) g = (m + m2) F – (m+m2) T – (m+m2) m.g.

m1T – m1(m +m2) g = (m + m2) F – (m+m2) T – (m+m2) m.g.

a1T + (m1 +m2) T = (m + m2) F – m1(m+m2) g –m1 (m+m2) g.

T (m1 + m2 + m) = (m + m2) G



Fmmm

mmT

21

2

Luego la tensión en el extremo superior de la cuerda es:

)8.188(574

54NF

kgkgkg

kgkgTs

Ts = (0.5625 )(188.8N)

Ts = 106 N

La fuerza de tensión en el centro de la cuerda es: con ayuda de los

diagramas.

Si el D.C.L. tomando el cuerpo de masa m2 y la

mitadde la cuerda y lo mismo para m1.

Aplicando la Segunda Ley de Newton:

T – m2g 2

mg= am

m2

2 (1)

T- F – m1g - 2

mg= g

mm

21 (2)

De (1)

a =

2

2

2

2

mm

mggmT



En (2):

F – T- mg – m.g = (m1 + 2

m)

2

2

2

2

mm

mggmT

– T =

2

121

2

222

mm

gmm

Fmg

gmTm

m

– T = )2

()2

()2

)(2

(2

21212 mm

gmmg

Fgm

gmTm

mmm

– T = gm

gmmmg

mgmmTmmm

22

22)

2(

2

21212

gmmgmm

gmm

gm

FmFm

211

22

2

22222

2

1222

)2

( FmFm

Tm

Tmmm

T

)2

(2

)2

( 2

12 mm

FTm

Tmmm

T

)2

()2

)2

( 2

12 mm

FTm

Tmmm

T

)2

(22

2

12 mm

FTm

TmTmm

T

)2

()22

( 2

12 mm

Fm

mmm

T

Fmmm

mm

T21

2 )2

(

)8.188)(437.0(8.18816

)52(NN

kg

gkgT

T = 82.6 N



14. Suponiendo que las masas m1 y m2 de los cuerpos son conocidos.

¿Hallar las aceleraciones a y a2 en un sistema consistente en una polea fija

(1) y otra pole móvil (2), ver figura, las masas de las poleas y el rozamiento de

desprecia.

SOLUCIÓN

m1g – T = m1a1 (1)

- T = m1a1 – m1g

- T = m1g- m1g1

2T – m2g = m2a2 (2)

Y con ayuda de:

a2= 2

1a a1= 2a2

Luego:

De (1) a1= 1

1

m

Tgm (y)

T = m1g – m1a1

De (2)

a2= 2

22

m

gmT

m2a2 = 2m1g – 2m1a1 – m2g



m2a2 + 4m1g = 2m1g – m2g

a2= gmm

mm

21

21

4

2

(y)

a1= 2a2 = gmm

mm

21

21

4

)2(2

a = gmm

mm

2/2

)2(

21

21

15. ¿A qué debe ser igual el coeficiente mínimo de rozamiento K entre los

cubiertos de las ruedas y la superficie de una carretera en cuesta, con

ángulo de la inclinación = 30°, para que su automóvil pueda subir por ella

con la aceleración a = 0.6 m/s2?

SOLUCIÓN

De la segunda ley de Newton:

Fr - mgSen = ma (1)

Con: Fr = KN

También:

N = mgCos (2) en (1)

a = g (K Cos - Sen )

De donde:

a = gK Cos - g Sen

g KCos = a + g Sen



K = Cosg

Senga

K = ª30/8.9

º30/8.9/6.02

22

Cossm

Senxsmsm

K = 48.8

/5.5 2sm

K = 0.65

16. Sobre una masa horizontal lisa descansa un cuerpo de masa m = 2kg,

sobre el cual se encuentra otro cuerpo de masa m = 1kg (ver figura), ambos

cuerpos están unidos entre sí, por medio de un hilo que para por una polea

de peso despreciable. ¿Qué fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para

que empiece a moverse alejándose de la polea con la aceleración a =g/2?. El

coeficiente de rozamiento entre los cuerpos es K = 0.5. El rozamiento entre el

cuerpo inferior y la mesa es depreciable.

SOLUCIÓN:

Con el diagrama de cuerpo libre para cada uno tenemos:

F – T – Fr = ma (1)

T – Fr = ma (2)

Fr =uKN



Delidiagrama:

N = mg

Luego:

Fr = uK mg en (2) y despejado T

T = ma + fr = ma + uKmg

En (1):

F = T + Fr + ma

F = ma + uKmg + uK mg + ma

F = a(m + m) + 2mg uK

K = 2/2

8.9ms (3kg) + 2 (9.8 m/s2) (0.5)

F = 14.7 kg m/s2 + 9.8 m/s2

F = 24.5 N

Luego :

F = 24.5 N

17. ¿Qué fuerza horizontal mínima F hay que aplicar a un cuerpo de masa m

= 1 kg(ver figura), que se encuentra sobre un plano inclinado, cuyo ángulo

de inclinación = 30°, para que dicho cuerpo esté en reposo?. El coeficiente de

rozamiento del cuerpo con el plano inclinado es us= 0.2

SOLUCIÓN



De las condiciones del problema para que esté en reposo a = 0, luego el

problema se reduce a un problema de la estática.

Como el cuerpo debe estar en reposo osea tiende a resbalar, puesto que la

fuerza es mínima por tanto la fuerza de rozamiento está dirigida hacia

arriba.

Tenemos:

mgSen - Fr - FCos = 0 (1)

N - mgcos - FSen = 0(2)

Fr = usN

De (1) – F Cos = - mg Sen + Fr

F = Cos

SenmgFR

De (2)

N = mg Cos + F Sen es (3)

F = Cos

mgSenFsenmgCosus )(

Cos F + usFSen = -us mg Cos + mg Sen



F (cos + usSen ) = -us m Cos + mgSen

F = SenuCos

mgSenFsenmgCosu

s

s )(

Dividiendo por Cos:

F =

Cos

Senu

Cos

CosCos

Senmg

Cos

Cosmgu

s

s

F = Tgu

mgTgmgu

s

s

1

F = )577.0(2.01

)2.0577.0(/8.9

)1(

)( 2 kgsm

Tgu

uTgmg

s

s

F = N3.3

11.1

69.3

18. Por una polea sujeta al vértice superior de un plano inclinado para una

cuerda con dos pesas de masa m iguales (ver figura). ¿Hallar la fuerza que

presiona sobre el eje de la polea si el coeficiente de rozamiento entre el plano

inclinado y la pesa que descansa sobre él, es igual a uK y el ángulo de

inclinación del plano es . El rozamiento en el eje de la polea y la masa de

esta se puede despreciar.

SOLUCIÓN

Del D.C.L. de cad. pensa.

mg – T = ma (1)



T – Fr – mgSen = ma (2)

N = mgCos (3

De (1)

a = m

Tmg

En (2) con ayuda de (3) y Fr = nKN

T - uKmg Cos - mgSen = m

Tmgm

)(

T – mg (4 K Cos + Sen ) = mg – T

T + T = mg (uK Cos + Sen ) + mg

2T = mg (uK Cos + Sen T 1)

La fuerza que presiona la polea sobre el eje es:

N2 = T2 + T2 + 2T2 Cos )

2(

N2 = 2T2 + 2T2 Cos )

2(

N2 = 2T2 (1 + Cos )

2(

N = 2

12

122 2 CosTx

N= 2

24 22CosT

N = 2T Cos 2

19. Un automóvil se desplaza sobre un puente circular de radio de curvatura

125 metros. ¿Hallar la velocidad con que se mueve el auto, sabiendo que



cuando pasa por el límite superior del puente la reacción normal sobre

el auto es igual al 50% de su peso?

Tomar g = 10 m/s2

SOLUCIÓN:

D.C.L. del auto

Con el concepto de fuerza centrípeta como

la resultante de todas las fuerzas en la

dirección radial.

Fc = macR

mV 2

Luego:

Fradial = R

mV 2

mg - N = R

mV 2

Como:

N = 2

mg

mg - 2

mg =

R

mV 2

2

mg =

R

mV 2

De donde: V2 = 1 g.R.

Reemplazando valores: V = 25 m/s

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un cuerpo de 5 kg. de masa está sujeto a dos fuerzas .

jiFyjiF 36912 21



El cuerpo está en reposo en el origen en el

tiempo t = 0.

a) ¿Cuál es el vector aceleración del cuerpo?

b) ¿Cuál es el módulo de su velocidad en el tiempo – t = 10 s?

c) Donde está el cuerpo en el tiempo t = 5s?

2. Dos masas están conectadas por una cuerda ligera como se indica en al

figura. El plano inclinado y la polea carecen de rozamiento. ¿Determinar la

tensión en la cuerda y la aceleración de las masas para Q = 30°, y m1= m2 =

7 kg.

3. Una masa de 2 kg. descan sa sobre una superficie pulimentada que tiene

una inclinación de 53° y una aceleración “a” hacia la derecha también sobre

una superficie sin fricción de tal manera que la masa permanece en reposo

respecto al plano inclinado (Ver figura).

a) ¿Calcular la aceleración?

b) ¿Qué ocurre si el plano adquiere una aceleración mayor?



4. Determinar la máxima aceleración con que puede moverse la plataforma de

tal modo que la esfera de radio “SR” permanezca en equilibrio respecto de la

plataforma, usar g = 10 m/s2

5. Si se suelta la cadena de longitud “4L” desde la posición mostrada.

¿Determinar la aceleración inicial que adquiere?. No hay rozamiento, usar g

= 10 m/s2.

6. Sobre un plano inclinado, con ángulo de inclinación = 30°, se coloca un

plancha plana de una masa m2, 10 kg y sobre ella un cuerpo de masa m1 =

5 kg(ver figura). El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la plancha es



K1 = 0.5 y entre la plancha y el plano k = 0.3 ¿Determinar las

aceleraciones de ambos cuerpos?

7. Un hombre se desliza sobre un tronco por una pendiente que forma con el

horizonte un ángulo de 30°, La masa m del hombre es dos veces mayor qe

la masa m del tronco. El coeficiente de rozamiento del tronco con la

supercicie de la pendiente K = 0.3 ¿Cómo debe moverse el hombre respecto

del tronco para que este último se deslice por la pendiente con movimiento

uniforme?

8. Un tren que va llegando a una estación con la velocidad V = 72 km/h,

empieza a frenar uniformente. ¿Cuál será el tiempo mínimo de frenado

hasta que el tren se para totalmente, pero garantice la seguridad de los

viajeros que duermen (es decir que no se caigan de sus literas)?

El coeficiente de rozamiento con las literas es k = 0.2

9. La longitud de la carrera de despegue de un avión es L = 1 km, y la velocidad

de este al despegar, V = 200 km/h. ¿Qué sobrecarga sufre el pasajero en

este avión, si el embalamiento se produce uniformemente?

10. Un automóvil se desplaza por una carretera de radio de curvatura

100m. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las llantas y

la pista horizontal es 0.5. ¿Hallar la máxima velocidad del auto, tal que la

llanta no resbale?

g = 10 m/s2



11. Una piedra atada a una cuerda gira uniformente (Velocidad

angular constante) en un plano vertical. ¿Encontrar la masa “m” de la

piedra, si la diferencia entre la tensión máxima y mínima en la cuerda es

19.6 N.

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