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UNIVERSIDAD NACIONAL
Facultad de Ciencias
Departamento de Matematicas
TALLER ICalculo diferencial de funciones de varias variables
1. Relacione la ecuacion con la superficie definida por ella. Ademas, identifique el tipo decada superficie (paraboloide, elipsoide, etcetera).
a) x2 + y2 + 4z2 = 10
b) z2 + 4y2 − 4x2 = 4
c) 9y2 + z2 = 16
d) y2 + z2 = x2
e) x = y2 − z2
f ) x = −y2 − z2
g) x2 + 2z2 = 8
h) z2 + x2 − y2 = 1
i) x = z2 − y2
j ) z = −4x2 − y2
k) x2 + 4z2 = y2
l) 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36
2. Trace las superficies de:
a) x2 + 4z2 = 16
b) 36z2 + 9x2 + 4y2 = 36
c) z = 18− x2 − 9y2
d) 4x2 + 9z2 = 9y2
e) z2 − x2 − y2 = 1
f ) x2 − y2 = z
g) z = y2
h) z − ey = 0
i) z = sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
j ) 9x2 + 9y2 + 9z2 − 6x+ 18y + 1 = 0
k) x2+2y2+ z2−4x+4y−2z+3 = 0.
l) x2+y2+z2+9x−2y+10z+19 = 0
m) 5x2 + (y − 5)2 + 5z2 = 25
n) y + x2 + 4z2 = 4
n) yz = 1
3. Hallar la ecuacion cartesiana de la esfera que tiene los puntos (5,−2, 3) y (0, 4,−3)como extremos de un diametro.
4. Exprese el area A de la seccion transversal del elipsoide
x2 +y2
4+z2
9= 1
determinada por el plano z = c como funcion de c. (El area de una elipse con semiejesa y b es πab).
5. Use rebanadas perpendiculares al eje z para calcular el volumen del elipsoide del ejer-cicio anterior.
1
6. Las cuatro figuras son graficas de la superficie cuadrica z = x2 + y2. Asociar cada unade las cuatro graficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Loscuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).
7. Dibujar la region limitada por las graficas de las ecuaciones.
a) z = 2√
x2 + y2, z = 2
b) z =√4− x2, y =
√4− x2, x = 0, y = 0, z = 0
c) x2 + y2 = 1, x+ z = 2, z = 0
d) z =√
4− x2 − y2, y = 2z, z = 0
8. Hallar una ecuacion para la superficie de revolucion generada al girar la curva sobre eleje dado
9. Hallar una ecuacion de una directriz dada la ecuacion de su superficie de revolucion.
a) x2 + y2 − 2z = 0,
b) x2 + z2 = cos2 y
c) 2x+ 3z = 1
d) x2 + 2y2 + z2 = 3y
e) y2 + z2 − 4x = 0
f ) y = ex2+z2
g) x2 − y2 = en2z
10. Determine los puntos donde la recta x−22 = y+2
−3 = z−63/2 interseca al elipsoide x2
9 + y2
36 +z2
81 = 1
11. Usar el metodo de las capas para encontrar el volumen del solido que se encuentradebajo de la superficie de revolucion y sobre el plano xy.
a) La curva z = 4x− x2 en el plano xz se gira en torno al eje z.
b) La curva z = sin y, (0 ≤ y ≤ π en el plano yz se gira en torno al eje z.
12. Diseno de maquinas La parte superior de un buje de caucho, disenado para absorberlas vibraciones en un automovil, es la superficie de revolucion generada al girar la curvay = 1
2y2 + 1 (0 ≤ y ≤ 2) en el plano yz en torno al eje z.
a) Hallar una ecuacion de la superficie de revolucion.
b) Todas las medidas estan en centımetros y el buje es fijo en el plano xy. Usar elmetodo de capas para encontrar su volumen.
c) El buje tiene un orificio de 1 centımetro de diametro que pasa por su centro y enparalelo al eje de revolucion. Hallar el volumen del buje de caucho.
2
d) Explicar por que la curva de interseccion de las superficies x2+3y2−2z2+2y = 4y 2x2 + 6y2 − 4z2 − 3x = 2 se encuentra en un plano.
13. Determinar si la declaracion es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por que o darun ejemplo que pruebe su falsedad.
a) Una esfera es un elipsoide.
b) La directriz de una superficie de revolucion es unica.
c) Todas las trazas de un elipsoide son elipses.
d) Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.
e) La grafica de cualquier ecuacion de la forma F (x, y, z) = 0 es siempre una superficiede dos dimensiones en el espacio.
f ) La grafica en el espacio de una ecuacion de la forma f(x, y) = 0 es un “cilindro”consistente en rectas verticales que pasan por la curva f(x, y) = 0 en el plano xy.
g) Si a > 0, entonces la grafica en el espacio de la ecuacion x2+y2 = a2 es un cilindro.
h) La grafica en el espacio de 4y2 + 9z2 = 36 es un cilindro elıptico.
i) La grafica de 4x2 + 4y2 + z2 = 4 es un elipsoide.
j ) La grafica de z2 = x2 + y2 es un cono.
k) La grafica de la ecuacion x2
a2 + y2
b2 − z2
c2 = 1 es un hiperboloide de una hoja.
l) La grafica de la ecuacion z2
c2 − x2
a2 − y2
b2 = 1 es un hiperboloide de una hoja.
m) Si c > 0, entonces la grafica de y2
b2 − x2
a2 = zc es un paraboloide hiperbolico.
n) La grafica en el espacio de la ecuacion z = ax2+by2 es un paraboloide elıptico si ay b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperbolico si esos dos coeficientesson ambos negativos.
14. Pregunta Las siguientes preguntas se relacionan con las graficas posibles de la ecuacionde segundo grado
Ax2 +By2 + Cz2 +Dx+ Ey + Fz +H = 0 (1)
a) ¿En que condiciones de los coeficientes A, B y C es la grafica a) un elipsoide; b)un paraboloide; c) un hiperboloide?
b) ¿En que condiciones de los coeficientes es la grafica un cono o un cilindro?
c) Ademas de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cuales sonlas otras posibilidades para la grafica de la ecuacion en (1)? De un ejemplo queilustre cada posibilidad.
15. Pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “ topologicas” clasicas. La esferay el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?Explicar.
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Funciones en varias variables
1. Relacione las figuras con el dominio de una de las funciones
a) f(x, y) =√
y − x2
b) f(x, y) = ln (x− y2)
c) f(x, y) =√x+
√y − x
d) f(x, y) =√xy
e) f(x, y) =x4 + y4
xy
f ) f(x, y) =
√
x
y− 1
g) f(x, y) = sin−1 (xy)
h) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1
y − x
2. Relacione las curvas de nivel con su respectiva funcion grafica.
4
3. Determine el dominio y rango de la funcion f(x, y) =√
36− x2 − y2
4. Dado f(x, y) = 6 + 13
√
36− 9x2 − 4y2
a) Encuentre el dominio y rango de la funcion.
b) Trace la grafica de f .
5. Determine analıtica y graficamente el dominio de las siguientes funciones
a) f(x, y) = ln(y2 − x2) + arcsin(y − 2)−√
9− x2 − y2
b) g(x, y) =
√16−x2−y2
ln(x2+y2−4) +
√y2−1√x2−y2
c) f(x, y) =√y senx
d) g(x, y) =√
sen(x2 + y2) + arc sen( yx )
e) f(x, y) = y3+ln(x)x−4)3+y6
6. Si f(x+ y, x− y) = xy + y2, halle f(x, y)
7. Para el paraboloide elıptico z = f(x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 haga un bosquejo de lagrafica utilizando curvas de nivel para c = 1, 2, 3, 4.
8. Sea f(x, y) = 8− x2 − 2y haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel.
9. Bosqueje las superficies de nivel de la funcion f(x, y, z) =
√
x2 +y2
4+ z2
10. Encuentre una ecuacion para la curva de nivel de la funcion f(x, y) que pasa por elpunto dado.
a) f(x, y) = y2 arctan(x2), punto P (1, 4)
b) f(x, y) =
ˆ y
x
dt
1 + t2, punto P (−
√2,√2)
c) f(x, y) =
∞∑
n=0
(x
y
)n
, punto P (1, 2)
11. Encuentre una ecuacion para la superficie de nivel de la funcion f(x, y, z) que pasa porel punto dado.
a) f(x, y, z) =√x− y − ln(z), punto P (3,−1, 1)
b) f(x, y, z) =
ˆ y
x
dt√1 + t2
+
ˆ z
2√2
du√u2 − 1
, punto P (0, 1/2, 2)
c) f(x, y, z) =∞∑
n=0
(x+ y)n
n!zn, punto P (ln 2, ln 4, 3)
12. (S) Describir algunos conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares: a) f(x, y) =x/y, b) f(x, y) = x−4y, c) f(x, y, z) = x2−y2−z2, d) f(x, y) = 1/xy.
5
13. Una companıa fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de36m3. El material para la base y la tapa cuesta $12 el metro cuadrado; para los lados deenfrente y de atras. $10 el metro cuadrado; y los otros dos lados $8 el metro cuadrado.
a) Si C denota el costo total de la caja, determine C en funcion de las dimensionesde la base de la caja.
b) Calcule el costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son: largo2 metros y ancho 3 metros.
14. Trace la grafica de las siguientes funciones:
a) f(x, y) = 3−√
x2 + y2 − 4y + 4
b) g(x, y) = 4 +√
9 + x2 + y2
c) h(x, y) = 3 +√
x2 + y2 − 4x− 6y + 12
d) j(x, y) = 5− 34
√
16x+ 4y − 4x2 − y2 − 4
15. (S) Demuestre en detalle que la bola B2(0, 0) es un abierto en R2.
16. Demostrar que los siguientes limites NO existe
a) lım(x,y,z)→(0,0)
x3 + yz2
x4 + y2 + z2
b) lım(x,y,z)→(0,0)
x2 + y2 − z2
x2 + y2 + z2
c) lım(x,y,z)→(0,0)
x4 + yx3 + z2x2
x4 + y4 + z4
d) lım(x,y,z)→(0,0)
x2y2z2
x6 + y6 + z6
e) lım(x,y,z)→(0,0)
x2z3y
x6 + z6
17. Demostrar que los siguientes limites SI existe
a) lım(x,y,z)→(0,0)
y3 + xz2
x2 + y2 + z2b) lım
(x,y,z)→(0,0)
xy + xz + yz√
x2 + y2 + z2
18. Determine los siguientes Limites
a) lım(x,y)→(0,0)
xy2
x3 + y3
b) lım(x,y)→(−2,3)
2xy2 − 3
x2 + y2
c) lım(x,y)→(−1,−1)
x3y3 − 1
x2y2 − 1
d) lım(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
e) lım(x,y)→(0,0)
cosx− 1− x2/2
x4 + y4
f ) lım(x,y)→(0,0)
x2 − xy√x−√
y
g) lım(x,y)→(−1,2)
1− e(2x+y)2
sin2(2x+ y)
h) lım(x,y)→(−3,2)
ln(43 + 7xy))
arctan(3xy + 18)
i) lım(x,y)→(0,0)
4xy√
x2 + y2
j ) lım(x,y)→(0,0)
9y2(x+ 1) + 3x2
3y2 + x2
k) lım(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
l) lım(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + xz
x2 + y2 + z2
m) lım(x,y)→(0,0)
1− cos(x2 + y2)
x2 + y2
n) lım(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) ln(x2 + y2)
n) lım(x,y)→(0,1)
tan−1( x2 + 1
x2 + (y − 1)2
)
o) lım(x,y)→(0,0)
x2 − y2√
x2 + y2
p) lım(x,y)→(1,1)
x− y
x3 − y
q) s lım(x,y)→(0,0)
(x− y)2
x2 + y2,
r) s lım(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2 + 2
s) s lım(x,y)→(0,0)
sin(x+ y)
x+ y.
19. Demuestre usando la definicion ǫ− δ que
a) (s) lım(x,y)→(0,0)y
x2+1 = 0 b) lım(x,y)→(1,2)
x+ y2 = 5 c) lım(x,y)→(3,−1)
x2 + 2xy = 3
20. Usando la definicion ǫ− δ determine si existen los siguientes limites
6
a) lım(x,y)→(0,0)
4xy3
x2 + y2
b) lım(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
c) lım(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
d) lım(x,y)→(0,0)
x4y
x4 + y4
21. Determine la continuidad de las siguientes funciones
a) f(x, y) =
2xy
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =
sin(xy)
xy(x, y) 6= (0, 0)
1 (x, y) = (0, 0)
c) f(x, y) =
xy2
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y) =
x3y3
x2y + (y − x)2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
e) f(x, y) =
2x2+y2
ln 2 − 1
x2 + y2+
cosx
1 + x2(x, y) 6= (0, 0)
2 (x, y) = (0, 0)
f ) f(x, y) =
x3y
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
22. Dada la funcion f(x, y) =
arctan(x4 + y4
x2 + y2
)
(x, y) 6= (0, 0)
A (x, y) = (0, 0)
Calcule el valor de A
para que la funcion f sea continua en (0, 0).
23. Sea f(x, y) =
y(x− 3)
4y2 + (x− 3)2(x, y) 6= (3, 0)
2 (x, y) = (3, 0)
a) Determine los puntos donde la
funcion no es continua. b) Indique el tipo de discontinuidad que presenta f .
24. Determine si la funcion dada es continua en el punto (0, 0).
f(x, y) =
√
15x2 + 15y2 + 16−√
16− x2 − y2
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
2 (x, y) = (0, 0)
25. Dada la funcion f(x, y) = ln(4x2 + 9y2 − 36). Halle el conjunto donde f es continua.
26. ¿Es posible definir la funcion f(x, y) = xyx+y en (0,0) y que resulte contınua?
27. Determinar si la declaracion es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que demuestre que es falsa
a) El dominio de la funcion f definido por la formula f(x, y) =√
25− x2 − y2 es elconjunto de todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5.
b) La grafica de la funcion f de dos variables es el conjunto de todos los puntos enel espacio con coordenadas de la forma (x, y, f(x, y)).
c) La grafica de la funcion f(x, y) = 2− 12x− 1
3y es un plano.
d) La grafica de la funcion g(x, y) = 14
√
4− 4x2 − y2 es un elipsoide.
e) Una curva de nivel de una funcion f de dos variables es precisamente lo mismoque una curva de contorno de f .
f ) Si k es una constante, entonces la grafica de la funcion x2 + y2 − z2 = k es unhiperboloide de una hoja, debido a que solo hay un signo menos en el lado izquierdode la ecuacion.
7
g) Si lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0, entonces lım(x,0)→(0,0)
f(x, 0) = 0
h) Si lım(x,y)→(0,0)
f(0, y) = 0, entonces lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0
i) Si f es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y f(0, 0) = 0 entonceslım
(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0
j ) Si lım(x,y)→(2,3)
f(x, y) = 4, entonces lım(x,3)→(2,3)
f(x, 3) = 4
k) Si lım(x,3)→(2,3)
f(x, 3) = 4, entonces lım(x,y)→(2,3)
f(x, y) = 4
l) Si lım(x,3)→(2,3)
f(x, 3) = lım(2,y)→(2,3)
f(2, y) = 4, entonces lım(x,y)→(2,3)
f(x, y) = 4
m) Si lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0, entonces para cualquier numero real k, lım(x,y)→(0,0)
f(kx, y) =
0.
28. Determine si la funcion f(x, y) =
x+ y x ≥ 2
0 x < 2es continua en los conjuntos dados
en el plano xy. (a) x2 + y2 < 1, (b) x ≥ 0 (c) y > x
29. Determine si la funcion f(x, y) = xy√x2+y2−25
es continua en los conjuntos dados en el
plano xy. (a) y ≥ 3, (b) |x|+ |y| < 1 (c) (x− 2)2 + y2 < 1
30. Demuestre que lım(x,y)→(0,0)
1
xsin(xy) = 0 (Ayuda: |sen(w)| ≤ |w| para valores pequenos)
31. (s) Sea f : U ⊆ R3 → R. Si existen K ≥ 0, α > 0 tal que dados x, y ∈ U , |f(x)−f(y)| ≤
K||x−y||α, mostrar que f es uniformemente continua en U . (f se dice Holder continua).
Derivadas parciales
1. Sea α(t) = (t2, t3 − 4t, 0) la trayectoria que sigue una partıcula. Si esta sale despedidapor la tangente en t = 2 s, determinar su posicion cuando t = 3 s.
2. (s) Determinar el plano tangente en cada una de las situaciones:
a) f(x, y) = xy + exp(xy), x = 1, y = 0; b) f(x, y) = ln√
1 + x2y4, x = 1, y = 1;
c) f(x, y) =√
1− x2 − y2, x = 1/√2, y = 1/
√2; d) f(x, y) = x
2x+3y , x = 1, y = 2.
3. (s) Determinar el gradiente de cada campo escalar:
a) f(x, y) =xy
x2 + y2, b) f(x, y) =
xy
sin(1/(x2 + y2))c) f(x, y, z) =
xyz
x2 + y2 + z2.
4. (s) Sea v ∈ R3. Definir la funcion f(x) = v · x donde x ∈ R
3. Determinar el gradientede f y generalizar a n dimensiones.
5. (s) Encontrar la matriz de derivadas parciales de las aplicaciones:
a) f(x, y) = (xey + cos y, x2, xy)
b) f(x, y, z) = (x+ y2ez, xyz)
c) f(t) = (2t, t2, t3)
6. Suponga que ψ(x, y, z) = xy2z y F = xi+ j+xyk. Encuentre∂3
∂x2∂z(ψ ◦F ) en el punto
P (1, 2, 2).
7. Encuentre un vector normal unitario a la superificie −x2yz2 + 2xy2z = 1 en el puntoP (1, 1, 1).
8
8. (s) Determinar el plano tangente y la recta normal a las superficies de nivel en el puntodado:
a) x3 − 3y3 + z3 = −1, (1, 1, 1).
b) z cosx cos y = 0, (π/2, 0, 1).
c) cos(xy)− ez = −2, (1, π, 0).
9. Encuentre una ecuacion para el plano tangente a la superificie x2yz − 4xyz2 = −6 en elpunto P (1, 2, 1).
10. Encuentre el angulo entre las superificies z = x2 + y2 y z = (x −√66 )2 + (y −
√66 )2 en el
punto(√
66 ,
√6
12 ,112
)
.
11. Sea R la distancia desde un punto fijo A(a, b, c) a cualquier punto P (x, y, z). Demuestre que∇R es un vector unitario en la direccion AP .
12. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B, como se ilustraen la figura. Demuestre que las rectas AP y BP forman angulos iguales con la tangente ala elipse en P .
13. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas
a) f(x, y) = arc sen yx + arc cos x
y
b) f(x, y) = (2x+ 3y)x + (2x+ 3y)y
c) f(x, y) = xyx
+ yxy
+ (xy)x(yx)y
d) f(x, y, z, u) = xy+z+uzx+y+u
14. Sea f(x1, x2, . . . xn) = ln(x1x2 . . . xn). Calculen∑
i=1
∂f
∂xi
15. Sea g : R → R una funcion continua y positiva definida en R. Considere la funcionf : R2 → R dada por
f(x, y) =
ˆ y
x
g(t)dt
¿Para que puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) > 0?
¿Para que puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) < 0?
¿Cual es el nivel cero de f(x, y)?
Calcule las derivadas parciales de la funcion f .
16. Calcule las derivadas parciales de cada una de las funciones, donde g : R → R unafuncion continua.
a) f(x, y) =
ˆ y
xy
(x2 + y2)g(t)dt
b) f(x, y) =
ˆ yˆ x
1
g(g)dtg(t)dt
c) f(x, y, z) =
ˆ x+y+z
xyz
g(t)dt
d) f(x, y, z) =
ˆ
ˆ
ˆ y
x
g(t)dt
x+y+z
g(t)dt
x+y+z
g(t)dt
17. Para cada una de las siguientes funciones, en las que g, h : R → R son funcionesdefinidas en R, diferenciables (es decir, tal que g′(t) y h′(t) existen para todo t ∈ R),calcule sus derivadas parciales.
a) f(x, y) =(
ln(1 + x2))(ln(1+g2(x)))h
2(y)
b) f(x, y, z) = g(g(x)g(g(y)g(h(z))))
9
c) f(x, y, z) = (g(x))(h(y))g(z)
d) f(x, y, z) = yz(sen(1 + h2(x)))(x2+1)
18. Sea ψ una funcion real de variable real, diferenciable en R Demuestre que la funciondada satisface la expresion indicada.
a) f(x, y) = x2ψ(3x+ y2), 2xy ∂f∂x − 3x∂f
∂y = 4yz
b) f(x, y) = ex+yψ(xey), x∂f∂x − ∂f
∂y = z(x− 1)
c) f(x, y) =x+ y
x2 + y2∂2f
∂x2+∂2f
∂y2= 0
d) z = sin(x2 + y2), y∂2z
∂x2− x
∂2f
∂y∂x− ∂z
∂y= 0
19. Sea f : R2 → R la funcion f(x, y) =
x2y
x4 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
Demuestre que
esta funcion no es continua en (0, 0) y Demuestre que esta funcion posee derivadasdireccionales en (0, 0) en todas direcciones, es decir, calcule Dvf donde v = (a, b) ∈ R
2
un vector unitario dado. Ahora conteste la siguiente pregunta ¿una funcion f : U ⊂R
n → R es diferenciable en el punto x0 ∈ U si las derivadas direccionales ∂f∂xi
(x0)existen para todo vector v ∈ R
n?
20. Identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones de variasvariables en la direccion de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional quese indica.
a) lımt→0
x2(y −√3t/2)(z − t/2)− x2yz
t
b) lımt→0
(y + t)2 cos3(xy + xt)− y2 cos3(xy)
t
21. Sea f : U ⊂ Rn → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de Rn.
Sea u ∈ Rn un vector no nulo de R
n, no necesariamente de norma 1 y sea v = u
‖u‖ .Demuestre que
∂f
∂v=
1
‖u‖∂f
∂u
Verifique este resultado con la funcion f(x, y) = x2 + y2, y el vector u = (1, 1).
22. Calcule la derivada direccional de la funcion dada en la direccion del vector indicado.
a) f(x, y) = x3√
1 + 3 tan6(x2 + x102), v = (0, 1).
b) f(x, y) = 3x+ 2y + 7z en la direccion del vector u = (3, 2,−5).
c) f(x, y, z) = x ln y + y ln z + z lnx, en el punto p = (1, 1, 1), en la direccion delvector v = (a, a, a) (a > 0)
d) (s) f(x, y) = xy en (e, e) u = (3, 4).
e) (s) f(x, y, z) = xyz en (1, 0, 1) u = (1, 0, 1).
f ) (s) f(x, y, z) = xyzx2+y2+z2 en (1, 1, 0) u = (0, 1, 0).
23. Encuentra la derivada direccional del campo escalar f(x, y, z) = ex cos y+ ey sin z en elpunto P (2, 1, 0) en direccion al punto Q(−1, 2, 2). b) ¿En que direccion es maxima laderivada direccional? c) ¿Cual es el valor de ese maximo?
24. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = 5x2y3 en el punto p = (1, 1)
a) en la direccion del vector que va de p al punto (3,−2),
10
b) en la direccion del vector que va de p al origen,
c) en la direccion del vector tangente al cırculo x2 + y2 = 2 en p,
d) en la direccion del vector p.
25. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = x sen y en el punto (3, O), en ladireccion del vector tangente a la parabola y = x2 en el punto (1, 1).
26. Demuestre que la derivada direccional de la funcion f(x, y) =x2 + y2
xen los puntos
del cırculo x2 + y2 − 2y = 0, en la direccion de la normal a este cırculo, es igual a cero.
27. Sea f(x, y) = x2 + y2. ¿En que direccion es igual a cero la derivada de esta funcion enel punto (1, 1)?, ¿En que direccion es igual a cero la derivada de esta funcion en lospuntos del cırculo unitario x2 + y2 = 1?
28. En cada uno de los siguientes ejercicios, se da una funcion f : U ⊂ R2 → R y un punto
p ∈ U . Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la direccion de (la tangentea) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f(x, y) = f(p)) es igual a cero.
a) f(x, y) = 5x2 + 6y2, p = (−1, 0)
b) f(x, y) = sinxy, p = (2, 3)
c) f(x, y) = exey, p = (0, 0)
29. Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de
R2 y sea p ∈ U . Suponga que
∂f
∂x(p) = 3.
∂f
∂y(p) = 4. ¿En que direccion se tiene
que∂f
∂v(p) = 2?, ¿en que direccion se tiene
∂f
∂v(p) = 0?, ¿en que direccion se tiene
∂f
∂v(p) = −5? ¿Hay alguna direccion en la que
∂f
∂v(p) = 6?
30. Seaf : U ⊂ R3 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de R
3
y sea p ∈ U . Suponga que∂f
∂x(p) = 6,
∂f
∂y(p) = 0,
∂f
∂z(p) = 8. Demuestre que
∂f
∂v= 10
es el maximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este selogra en la direccion del vector unitario u = (3/5, O, 4/5). ¿Cual es el mınimo valor
(absoluto) que puede tomar∂f
∂v?, ¿en que direccion se tiene este valor?
31. Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de
R2 y sea p ∈ U . Suponga que
∂f
∂u(p) = 3.
∂f
∂v(p) = 2, donde u = (1/
√2,−1/
√2),
v = (√3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p.
32. Sea f : R3 → R la funcion f(x, y, z) = z − x2 − y.
a) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funcion forma un
angulo de π/3 con el vector u = (2, 1, 1).
b) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 donde el gradiente de esta funcion este en la
direccion del vector u = (1, 1, 1).
c) Detemine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funcion es perpen-
dicular al vector u = (2,−1, 1).
33. Considere las funciones f(x, y) = 3x2 + 2y2, g(x, y) = 7 lnx +√3y. Demuestre que la
derivada de la funcion f en el punto p = (1, 1) en la direccion del gradiente de la funciong en p es igual a la derivada de la funcion g en p en la direccion del gradiente de lafuncion f en p. ¿Ocurre lo mismo con las funciones f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = 2x+ y,en el punto p = (2, 1)?
11
34. (s) Suponer que una partıcula sale despedida de la superficie x2+y2−z2 = −1 desde elpunto (1,1,
√3) en la direccion normal y dirigida hacia el plano xy y con una rapidez
de 10 m/s. ¿Cuando y donde cruzara el plano xy?
35. (s) Un insecto se encuentra en un medio toxico. El nivel de toxicidad viene dado porT (x, y) = 2x2 − 3y2. Determinar y graficar las curvas de nivel de T y encontrar ladireccion en la que el insecto que se encuentra en (−1, 2) debera moverse.
36. Suponga que una montana tiene la forma de paraboloide elıptico z = 300 − 2x2 −3y2 donde z se mide en metros. Determinar en que direccion crece la altitud masrapidamente en el punto (1, 1). ¿Si un balon se soltara en ese punto en que direccionrodarıa?
37. (s) Sea f(x, y) = x2−y2
x2+y2 , determinar la direccion en la que ∂f/∂u en (1, 1) es cero.
Responder la misma pregunta si el punto es (x0, y0). Describir las curvas de nivel yrelacionarlas con el resultado anterior.
38. (s) Considerar el campo escalar f(x, y) = 3x2 + 2y2.
a) Determinar la derivada direccional de f en el punto ( 1√2, 1√
2) en la direccion del
vector (−1, 1).
b) Si α(t) = (cos(t+ π/4), sin(t+ π/4)) determinar α(0), α′(0). Definir h(t) = f(α(t)),y encontrar h′(0). A partir de los resultados establecer una relacion entre las partes a)y b). Explicar.
39. Para cada una de las siguientes funciones z = f(x, y) o w = F (x, y, z), determine unvector normal a su grafica en el punto indicado.
a) f(x, y) = −128π2 en un punto cualquiera p = (x0, y0)
b) f(x, y) = ey cosx en el punto p = (0, 1)
c) f(x, y) = sen(senx cos y) en el punto p = (π, π)
d) x2y2 + x2z2 + y2z2 + xyz − 4 = 0 en el punto p = (1, 1, 1)
e) xy + xz + zx − 3xyz = 0 en el punto p = (1, 1, 1)
40. En los siguientes ejercicios se da una funcion z = f(x, y) o una ecuacion de una superficieS y un vector n ∈ R
3. Determine el (los) punto(s) de la grafica de la funcion (si loshay) para los que el vector n es un vector normal
a) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 5y2, n = (3, 2,−3)
b) f(x, y) = ln(1 + x+ 2y), n = (−1,−3, 4)
c) f(x, y) = sen√
x2 + y2, n = (0, 0,−3)
d) x2 + y2 + z2 = 4, n = (2, 2, 2)
e) x2 + 2y2 + 3z2 = 1, n = (−2, 3, 6)
f ) x2 + 4y2 − z2 = 1, n = (0, 3, 4)
41. hallar la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x2y+ex2+y2
en el punto en que x = 1, y = 1.
42. En los siguientes ejercicios se da la ecuacion de una superficie en el espacio tridimen-sional y un punto p de ella. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie enel punto p.
a) z2 + 3z − x2 − y2 − 2 = 0, p = (l, 1, 1)
b) x− y2 − z2 = 0, p = (0.0, 0)
c) x2 + y2 + z2 − 4x− 8y − 16z + 54 = 0, p = (1, 2, 3)
12
43. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 que sea paraleloal plano 3x+ 8y − 5z = 10.
44. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + xy que sea perpen-dicular a los planos x+ y − z = 3 y 2x− y + z = 4.
45. (s) El cono con la ecuacion z2 = x2 + y2 y el plano con ecuacion 2x+ 3y + 4z + 2 = 0se intersectan en una elipse. Escriba una ecuacion para el plano normal a esta elipse enel punto (3, 4,−5).
46. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3x2 − 8xy + 5y2 en elpunto en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = (−1, 0, 2).
47. Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2+y2−4x que sea perpendiculara la recta x = 3 + 4t, y = −2t, z = 1 + t, t ∈ R.
48. (s) Muestre que la trayectoria α(t) = (−t,√t, ln t) corta la superficie z = ln
(
y−2x2−y2
4
)
en un angulo recto cuanto t = 1 (es decir, que el vector velocidad de la trayectoria esnormal al plano tangente a la superficie).
49. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x2 + 3y2 + 5z2 = 1 quesean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto p = (l.l.1),
50. Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 6 en los que la recta normal que pasapor ellos es perpendicular al plano 4x− 6y + 3z = 7.
51. Determine las ecuaciones de Jos planos tangentes al elipsoide x2 + y2 + 2z2 = 2 en lospuntos de interseccion de este con la recta x = 3t, y = 2t, z = t, t ∈ R
52. Demostrar que el plano 2x− 6y+3z− 49 = 0 es tangente a la esfera x2 + y2 + z2 = 49.¿En que punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado.
53. Los puntos A = (2, 5, 3) y B = (−1,−2,−3) son los extremos de un diametro de unaesfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.
54. Obtenga la diferencial de la funcion dada
a) f(x) = sen3 x2
b) f(x, y, z, u, w) = xyz + xzw + yuw + zuw
c) w = e−z2
cos(x2 + y4)
d) g(r, θ) = r2 cos θ
55. Calcule aproximadamente el incremento de la funcion f(x, y) =x2 − y2
3x+ 2ycuando el
punto (x, y) de su dominio pasa de (2, 1) a (2.05, 1.1).
56. Sea f : R2 → R, f(x, y) =
x3y2 − xy3
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
a) Calcule las derivadas parciales
b)∂2f
∂x∂y(0, 0) y
∂2f
∂y∂x(0, 0) usando directamente la delinicion de derivadas parciales
57. Sea f : R2 → R, f(x, y) =
xy
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)Demuestre
a) f es discontinua en (0, 0)
13
b) Calcule las derivadas parciales, existen?
c) ¿Explique en pocas palabras porque f NO es diferencable en (0, 0)?
d) *Demuestre matematicamente porque f no es direnciable
58. Demuestre matematicamente que las siguientes funciones f : R2 → R son diferenciablesen el punto dado
a) f(x, y) = x2 + y2 en un punto arbitrario (x0, y0).
b) f(x, y) = xy2 en el origen (0, 0).
59. Demuestre que la funcion f : R2 → R, dada por f(x, y) =√
x2 + y2 ES continua en(0, 0), pero NO es diferenciable en el (0, 0).
60. Justifique brevemente porque las funciones f(x, y) = e−(x2+y2) y g(x, y) = cos(x+y2+z3) son diferenciables.
61. (s) Determinar donde las siguientes funciones son diferenciables:
a) f(x, y) =2xy
(x2 + y2)2, b) f(x, y) =
xy√
x2 + y2, c) f(x, y, z) = x/y + y/z.
62. Para cada una de las siguientes funciones, escriba la expresion del residuo de la defini-cion de diferenciabilidad en el punto en cuestion, Pruebe que la funcion es diferenciable.
a) f(x, y) = 4x− 10y, p = (x0, y0)
b) f(x, y) = 4x2y3, p = (1, 1)
c) f(x, y) = x sen y, p = (0, 0)
d) f(x, y, z) = ex+y+z, p = (0, 0, 0)
63. Considere la funcion f : R2 →→ R, f(x, y) = |x|+ |y|. ¿Que aspecto tiene la grafica def? Demuestre que esta funcion NO es diferenciable en el origen. ¿En que otros puntosno es diferenciable?
64. (A manera de recapitulacion: ¿que implica que?). Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion
definida en el conjunto abierto U de R2, y sea p un punto de U . A continuacion se dan
8 afirmaciones sobre la funcion f .
a) f es diferenciable en p.
b) f es continua respecto de su primera variable en p.
c) f es continua respecto de su segunda variable en p.
d) f es continua en p en la direccion de algun vector v ∈ R2.
e) f es continua en p en la direccion de todo vector v ∈ R2.
f ) f tiene derivadas parciales en p.
g) f tiene derivadas direccionales en p en la direccion de cualquier vector v ∈ R2.
h) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centroen p.
Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la lınea i y columna j, cuando laafirmacion de la lınea i implique la afirmacion de la columna j, y con una F cuando nola implique. Por ejemplo, la afirmacion (a) implica laafirmacion (f), pero la afirmacion(f) no implica la (a). Estas respuestas ya aparecen en la tabla.
14
65. Considere la funcion f : R2 → R.
f(x, y) =
(x2 + y2) sin 1√x2+y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
a) Demuestre que las derivadas parciales de esta funcion estan dadas por
∂f
∂x=
(2x) sin 1√x2+y2
− x√x2+y2
cos 1√x2+y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
∂f
∂x=
(2y) sin 1√x2+y2
− y√x2+y2
cos 1√x2+y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
b) Demuestre que las derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probandoque el lımite de ellas cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe.
c) Constate que el residuo de la defincion de diferenciabilidad aplicada a f en elorigen se ve como
r(h1, h2) = (h21 + h22) sen1
√
h21 + h22
d) Demuestre que
lım(h1,h2)→(0,0)
r(h1, h2‖(h1, h2)‖
= 0
y concluya entonces que la funcion es diferenciable en el origen.
e) Responda VERDADERO o FALSO: ¿Si una funcion f : U ⊂ R2 → R es diferen-
ciable en el punto (x0, y0) ∈ U , entonces implica que las derivadas parciales de fsean continuas en (x0, y0).?
66. Considere la superficie en R3 definida implıcitamente por F (x, y, z) = xyz + ln(xyz)−
z = O Hallar la ecuacion del plano tangente en p = (1, 1, 1).
67. Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie dada implıcitamente por
F (x, y, z) = 36x2 + 9y2 + 4z2 − 72x− 36y − 24z + 72 = O
en el punto p = (1, 4, 3).
68. Suponga que la expresionˆ y+z
xz
g(t)dt+
ˆ z2
3x+y
(t)dt
donde g, h : R → R son funciones continuas, define implıcitamente una funcion diferen-ciable z = f(x, y). Halle sus derivadas parciales.
15
69. Para pensar Utilizar la grafica de la superficie para determinar el signo de la derivadaparcial indicada.
a) fx(4, 1)
b) fy(4, 1)
c) fx(−1,−1)
d) fy(−1,−2)
70. Dada la funcion f(x, y) = 3x2y+x+y. Usando la definicion de derivada parcial calculefx(1, 1) y fy(−1, 1).
71. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones
a) f(x, y) = x3 − 2x2y2 + 3
b) g(x, y) = ex2−y2
+ ln(x2 + y2 − 4)
c) h(x, y, z) = 2 cos(xy2) + tan(yz)− ln(x2 − 4y) +√xyz
d) f(x, y, z) =
ˆ z
x
et2
dt+
ˆ x
−y
cos(t2)dt+ arctan(xyz) + 8
e) f(x, y, z) = x
ˆ z2
x2
1
1 + cos2 tdt+ yz3
72. Considere una recta tangente a la superficie
f(x, y) = ex sen(6πy)− 2x3 + arctan(xy)− xy
1 + x2
la cual se encuentra en un plano P paralelo al plano yz, pasa por un punto donde y = 1y tiene pendiente −12π. Encuentre la ecuacion del plano P.
73. Encuentre los puntos de la superficie f(x, y) = xy(1 − x − y) donde el plano tangentees paralelo al plano coordenado xy.
74. Considere el hiperboloide de una hoja z =√
x2 − y2 − 4
a) Encuentre el plano tangente al hiperboloide en el punto A(−6, 2,√28)
b) Halle la ecuacion vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei puntoA(−6, 2,√28).
c) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes sonparalelos al plano Q : 2x+ y + z = 0.
75. Demuestre que el plano tangente al elipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2= 1 en un punto (x0, y0, z0)
tiene por ecuacion Q =x0x
a2+y0y
b2+z0z
c2= 1
76. Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su volum en sea 36 piescubicos. El costo del material de la tapa y de la base es de $10 el pie cuadrado, el delmaterial para las partes de enfrente y de atras es de $9 el pie cuadrado y el materialpara los otros lados es de $7 el pie cuadrado.
a) Determine la funcion de costo C(x, y) , donde x y y son las medidas del largo y elancho de la base de la caja respectivamente.
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b) Calcule Cx(3, 4) y Cy(3, 4) e interprete los resultados.
77. Sea C la curva de interseccion del paraboloide z = 12− x2 − y2 con el plano x = 2.
a) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (2, 2, 4)
b) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) = x2
6 + y2
8 que esperpendicular a la recta tangente obtenida en a).
78. Dada la funcion f : R2 → R.
f(x, y) =
x2(y − 4)
x+ ysi x+ y 6= 0
0 si x+ y = 0
a) Analice la continuidad de f en el punto (−4, 4)
b) Halle∂f
∂x(−4, 4) y
∂f
∂y(−4, 4), si existen
79. (Muy interesante) Dada la funcion f(x, y) = |x2− 4x+ y2− 6y+4|, halle los puntosen los cuales fy(x, y) no existe.
80. En los siguientes ejercicios, determine las derivadas parciales indicadas en caso de queexistan.
a) fx(1,−1) y fy(1, 0) donde f(x, y) =
1 + cos(πxy)
x+ ysi x+ y 6= 0
0 si x+ y = 0
b) fx(0,−1) y fy(0, 1) donde f(x, y) =
x2y2
y + exsi y 6= −ex
0 si y = −ex
c) fx(0, 0) y fy(0, 0) donde f(x, y) =
x3 − y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
d) fx(−1, 1) y fy(−1, 1) donde f(x, y) =
x3 + y2
y2 + xsi y2 + x 6= 0
0 si y2 + x = 0
81. Considere una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente trazada aesta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 esta en el plano paralelo alplano xz y tiene pendiente −1/4. Encuentre la ecuacion del plano.
82. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuacion del plano tangente y de larecta normal a cada una de las superficies en el punto indicado.
a) z = e2x cos(3y), P (1, π/3,−e2)b) z = ln(
√
x2 + y2), P (−3, 4, ln 5)
c) z = x ln y, (1, 1, 0)
83. Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano coordenadoxy.
a) z = x3 − 12xy + 8y3
b) f(x, y) = x3yey−3x
c) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 4xy − x4 − y4 que esparalelo al plano Q : 8x− 8y + z + 28 = 0
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d) Encuentre el angulo entre la recta L = {(−2, 5, 12) + t(4, 1,−3) : t ∈ R} y lanormal a la esfera x2 + y2 + z2 = 121 en el punto de interseccion de ia recta y laesfera.
84. ¿En que puntos del grafico de la ecuacion x2 + 4y2 + 16z2 − 2xy = 12, son los planostangentes paralelos al plano xz?
85. Halle un vector tangente a la curva de interseccion de las superficies x2−3xz+y2z = 1y 3xy + 2yz + 6 = 0 en el punto (1,−2, 0).
86. Demuestre que el plano tangente a la esfera x2 + y2 + z2 = 1 en un punto (x0, y0, z0)de la esfera (z0 > 0) tiene por ecuacion xx0 + yy0 + zz0 = 1
87. Halle sobre el cilindro (x+ y)2 + (y − z)2 = 4 el lugar geometrico de los puntos en loscuales la normal es paralela al plano xy.
88. Determine el valor de m para que el plano x − 2y − 2z + m = 0 sea tangente a lasuperficie de ecuacion x2 + 4y2 + 16z2 − 144 = 0
89. Verifique en cada caso que D12f(x, y) = D21f(x, y).
a) f(x, y) = x4 + 4x3y − 3x2y2 + 6xy3 + 9y4
b) f(x, y) = exy senx cos y
c) f(x, y) = xe−y2
+ x sec y
d) f(x, y, z) = ln(
1+x1+z
)
− exy
90. Si f(x, y) = (y + ax)2ey+ax . Pruebe que fxx = a2fyy
91. Dada la funcion z = 15x
5 − 2x3 + 25x+ ax3y2 + bxy4 + cxy2
a) Determine los valores de a, b y c de modo que∂2z
∂x2y∂2z
∂y2sean iguales y de signos
opuestos.
b) Halle los puntos de la superficie representativa de dicha funcion en los que el planotangente es horizontal.
92. Sea la funcion f(x, y) = eax+byg(x, y). Si gx(x, y) = gy(x, y) = 1. Halle los valores delas constantes a y b, tales que fx(x, y) = fy(x, y) y 1 + fxy(x, y) = a+ fyx(x, y)
93. Para k una constante positiva y g(x, t) =x
2√kt
, sea f(x, y) =
ˆ g(x,y)
0
e−u2
. Pruebe
que k∂2f
∂x2=∂f
∂t
94. Dada la funcion f(x, y) =
ex + ey +xy
y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)
2 si (x, y) 6= (0, 0)
Halle∂2f
∂x2(0, 0) y
∂2f
∂x∂y(0, 0) si es que existen
95. La distribucion de la temperatura sobre una placa metalica viene dada por la funcion
T (x, y) = 10(xe−y2
+ e−(x−2)2)
Si una mosca se situa en el punto P0(2, 0). se pide:
a) Determinar la razon de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el puntoQ(2, 2).
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b) ¿En que direccion desde el punto P0 debe m overse la m osca para que la temperatura dism inuya lo mas rapidam ente posible?. Si sigue esta direccion, ¿cuales la rapidez de cam bio de la tem peratura?
c) ¿En que direccion desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la tempe-ratura aumente lo mas rapidamente posible?. Si sigue esta direccion, ¿cual es larapidez de cambio de la temperatura?
d) Si la mosca no quisiera apreciar ningun cambio de temperatura, ¿que direcciondebe tomar?
96. La altura de una montana sobre el nivel del mar es dada por la ecuacion z = 900 −2x2 − 2y2, donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y sur-norterespectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A(6, 5, z0).
a) ¿A que altura se encuentra el hombre?
b) ¿En que direccion desde ei punto A debe cam inar el hombre para escalar lamontana lo mas rapido posible?. Si sigue esta direccion, ¿cual es la rapidez decambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo).
c) ¿Cual es la direccion que apunta a la cima de la montana desde el punto A? Sisigue esta direccion, ¿cual es el valor de la pendiente de la m ontana?
d) Sı el hombre se mueve en la direccion sur-oeste, ¿esta ascendiendo o descendiendo?,¿cual es su rapidez?
97. Calcule el valor de la derivada direccional de la funcion z = f(x, y) = x5 + xy + y3 enel punto A(1, 6), en la direccion de la curva y = g(x) = 4x2 + 2.
98. Considere una funcion f(x, y), tal que
∇f(x, y) =(
4x3 + 2xy4 + yexy,−3y2 + 4x2y3 + xexy)
y f(0, 0) = 21 La temperatura en un punto (x, y) de una placa rectangular con centroen el origen esta dada por
T (x, y) = f(x, y) + y3 − exy
a) Determine la direccion en que una arana debe ir, partiendo dej punto B(1, 1) dela placa, para que se enfrıe lo mas rapidamente posible.
b) ¿Cual es la rapidez de la arana en esta direccion?
99. * Sea f((x, y, z) = x2y2(2z+1)2. Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1,−1),en la direccion de la recta tangente a la curva de interseccion de las superficies
S1 : x2 + y2 + 2(y − x)− 2 = 0 S2 : x− y − 2z − 2 = 0
de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario.
100. Una partıcula rastreadora de calor esta situada en el punto (5, 4) de una placa metalicacuya tem peratura en (x, y) es T (x, y) = 100 − x2 − 3y2. Halle la trayectoria de lapartıcula al moverse de forma continua en la direccion de mas rapido crecimiento de latemperatura.
101. (s) El capitan Ralph tiene problemas cerca de la cara iluminada de Mercurio. La tem-peratura en el casco de su nave en la posicion (x, y, z) es T (x, y, z) = e−x2−2y2−3z2
.La posicion actual es el punto (1, 1, 1). ¿En que direccion debe mover la nave para quela temperatura disminuya lo mas rapido posible? Si la nave viaja a una velocidad dee8 m/s, ¿a que velocidad disminuye la temperatura cuando se dirige en esa direccion?Si el lımite de la velocidad para que no se fracture el metal del casco es de
√14e2 grados
por segundos, describir las direcciones de enfriamiento evitando fracturar el casco.
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102. Dada la funcion f(x, y) = (2by − x)3. Calcule el valor de b para que el valor de laderivada direccional maxima de f , en el punto (−1, 0) sea igual a 3
√17 .
103. Sea f(x, y) = x2y. ¿Que angulo form a el vector direccion con la parte positiva del ejex, si la derivada direccional en el punto (1,−1) es 2?
104. Halle los puntos de la superficie S :x2
4+ y2 +
z2
4= 11, en los cuales el plano tangente
a S es paralelo al plano Q : x + 2y + 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos,escriba la ecuacion general del piano tangente.
105. Sea C la curva de interseccion del paraboloide z = 9− x2 − y2 con el plano x = 1.
a) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 4).
b) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie S : 4x2 + 3y2 − 24z = 0, quees perpendicular a la recta tangente obtenida en (a).
106. Demuestre que la suma de los cuadrados de las intersecciones con los ejes coordenadosde cualquier plano tangente a la superficie x2/3+y2/3+z2/3 = b2/3 es constante e iguala b2.
107. Dada la funcion f(x, y) =
x2y2
(y2 + x2)2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) 6= (0, 0)
Demuestre que fx(0, 0) y
fy(0, 0) existen, pero que f NO es diferenciable en (0, 0).
108. Halle el valor aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales
a) 3√
6(1, 98)3 + (4, 1)2
b) ln[
(1, 1)3 + (2, 3)3]
− ln 9 R/ = 0, 43
c) sen(32◦) cos(59◦) R/ = 0, 273
109. (s) Utilizar una aproximacion lineal adecuada para estimar los valores: a) (0.99e0.02),b)√
(4.01)2 + (3.98)2 + (2.01)2.
110. Sea f(x, y) = (x3 + y3√
x2 − y2, ¿es f diferenciable en (0, 0)? (Ayuda:Demuestre quelas derivadas parciales son continuas)
111. Dada la funcion f(x, y) =
3√xy
xy2
y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) 6= (0, 0)
¿Es f diferenciable en los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 1)? Justifique. R/ NO,NO,SI.
112. Dada la funcion f(x, y) =
ex + ey +xy
y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)
2 si (x, y) 6= (0, 0)
¿Es diferenciable en (0, 0)? R/. NO
113. (s) Sea f definida por f(x, y) = 2xy2
x2+y4 , si x 6= 0, y 6= 0, y f(0, 0) = 0. Mostrar que fes derivable direccionalmente en cualquier direcion pero que f no es diferenciable.
114. Sea la funcion f(x, y) =√
|xy|. Determine el conjunto de puntos donde f no es dife-renciable.
115. (s) Verificar la regla de la cadena en las siguientes situaciones:
a) f(u, v) = (u−v)2
u2+v2 , u = ex−y, v = exy. b) f(x, y) = xy + exy, r(t) = (3t2, t3).
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116. (s) Sea y definida implıcitamente por x2 + y2 + ey = 0. Encontrardy
dx.
117. (s) La ley de los gases perfectos PV = nRT , relaciona una constante R, el numerode moles n, el volumen V , la temperatura T (Kelvin) y la presion P. Determinar lasderivadas parciales ∂V
∂T ,∂T∂P ,
∂P∂V . Mostrar que ∂V
∂T∂T∂P
∂P∂V = −1.
118. (s) Sea f definida por f(x, y) = xy2
x2+y2 si x 6= 0, y 6= 0, y f(0, 0) = 0. Encontrar
∇f(0, 0). Sea r(t) = (2t, 3t). Mostrar que f ◦ r es diferenciable en (0, 0) pero que no secumple la regla de la cadena!
119. (s) Sea z = f(x+yx−y ), donde f ∈ C1. Mostrar que f satisface x
∂z
∂x+ y
∂z
∂y= 0.
120. (s) Sea f diferenciable y m un entero positivo tal que f(tx, ty) = tmf(x, y). Mostrarque f satisface la ecuacion de Euler: xfx + yfy = mf(x, y)
121. (s) El desplazamiento en el instante t de la posicion horizontal de una cuerda de violınes u = sin(x− 3t)+ sin(x+3t). Calcular la velocidad de la cuerda en x = 1, si t = 1/3.
122. (s) Determinar el error en el siguiente argumento: w = f(x, y) y y = x2. De la reglade la cadena
∂w
∂x=∂w
∂x
∂x
∂x+∂w
∂y
∂y
∂x=∂w
∂x+ 2x
∂w
∂y,
por tanto∂w
∂y= 0. Dar un ejemplo concreto donde se compruebe el error.
123. Sea u = f(x, y) donde x = es , y = et Demuestre que
∂2u
∂s2+∂2u
∂t2= x2
∂u2
∂x2+ y2
∂2u
∂y2+ x
∂u
∂x+ y
∂u
∂y= 0
124. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en unextremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscinaesta llenandose con un caudal de 20 pies3/seg , ¿a que velocidad se esta elevando elnivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo mas profundo?
125. En un instante dado, la longitud de un cateto de un triangulo es 20 pies y esta au-mentando a razon de 2 pies/seg. y la longitud del otro cateto es 24 pies y esta dis-minuyendo a razon de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de la medida delangulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante dado.
126. Un filtro conico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior,se encuentra llena de una solucion. La solucion va pasando a un vaso cilindrico de3 cm de radio. Cuando la profundidad de la solucion en el filtro es 12 cm y el radio4 cm, su nivel esta bajando a razon de 2cm/seg y el radio va decreciendo a razon de2/3 cm/seg. Halle la rapidez con que esta subiendo la solucion en el vaso, para dichasmedidas.
127. Sea f : D ⊂ R2 → R una funcion diferenciable, tal que f(18, 0) = 4 y fx(18, 0) =
Dy(18, 0) = 3 Si H(x, y, z) = f(x2 − y2 + z2, y2 − z2 + x2), halle la ecuacion del planotangente a la superficie S : H(x, y, z) = 0 en el punto P0(3,−4, 5)
128. Sea f una funcion diferenciable, tal que f(2, 2) = 2, fx(2, 2) = −2 y fy(2, 2) = 4. Sig(x) = f(x, f(x, f(x, x))), halle g(2) y g′(2).
129. Determinar si existe o no una funcion f(x, y) con las derivadas parciales dadas. fx(x, y) =2x+ y y fy(x, y) = x− 4y
21
130. Encontrar el angulo de inclinacion θ del plano tangente a la superficie en el punto dado.
a) 3x2 + 2y2 − z = 15, (2, 2, 5)
b) 2xy − z3 = 0, (2, 2, 2)
131. Encontrar el (los) punto(s) sobre la superficie en la cual el plano tangente es horizontal
a) z = 4x2 + 4xy − 2y2 + 8x− 5y − 4
b) z = xy +1
x+
1
y
132. Encontrar∂u
∂x,∂u
∂yy∂u
∂zsi u es una funcion diferenciable de x, y y z definida implıci-
tamente por −xyz + x2yu+ 2xy3u− u4 = 8.
133. Determine la linealizacion L(x, y) de la funcion en cada punto.
a) f(x, y) = e2y−x en (0, 0) y en (1, 2)
b) f(x, y) = x3y4 en (1, 1) y en (0, 0)
c) f(x, y, z) = tan−1 xyz en (1, 0, 0) y en (1, 1, 1)
134. Solo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie
z = x2 + 2xy + 2y2 − 6x+ 8y
es horizontal. Encuentrelo.
135. Encuentre una funcion z = f(x, y) tal que
∂z
∂x= 2xy3 + 2y +
1
x
∂z
∂y= 3x2y2 + 2x+ 1
136. Dada la funcion f(x, y) =
xy(y2 − x2)
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
2 si (x, y) 6= (0, 0)
a) Demuestre que fx y fy son continuas excepto tal vez en el origen.
b) Utilice coordenadas polares para demostrar que fx y fy son continuas tambien en(0, 0).
c) Demuestre que todas las derivadas parciales de segundo orden de f estan definidasy son continuas excepto quizas en el origen.
d) Demuestre que las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f existen en elorigen, pero que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).
e) Considere el comportamiento sobre lıneas rectas para demostrar que ninguna delas cuatro derivadas parciales de segundo orden de f es continua en el origen.
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