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Apuntes de Calculo Diferencial

Grado en Matematicas, FME21 de marzo de 2019

Ivet Acosta

Samuel Capellas

Este documento recoge los apuntes tomados por dos alumnas de Ma-tematicas durante las clases de Calculo Diferencial impartidas porNarciso Roman Roy en la FME durante el curso 2017-2018. El textoesta abierto a mejoras, y podeis enviar cualquier correccion o suge-rencia a [email protected]. Esperamos que nuestros apuntesos sean de utilidad.

Indice general

1. Topologıa de Rn. Sucesiones. 1

1.1. Espacios metricos, normados y euclıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Conceptos topologicos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Sucesiones en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Lımites y continuidad de funciones en Rn 11

2.1. Funciones escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Lımites de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Lımites segun curvas. Lımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Continuidad de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6. Contractividad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Calculo diferencial en Rn 18

3.1. Diferenciabilidad de funciones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Teoremas sobre funciones diferenciables 26

4.1. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Teoremas del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Polinomio de Taylor y estudio local de funciones. 35

5.1. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2. Extremos locales libres, puntos crıticos y condicion necesaria de extremos . . . . 37

5.3. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4. Condiciones suficientes de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6. Subvariedades regulares y extremos condicionados 41

6.1. Subvariedades regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Espacio tangente y variedad tangente a una subvariedad regular . . . . . . . . . 43

6.3. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.4. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.5. Calculo de espacios y variedades tangentes y ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 45

Capıtulo 1

Topologıa de Rn. Sucesiones.

1.1. Espacios metricos, normados y euclıdeos

Definicion 1.1.1. Sea M un conjunto. Una distancia en M es una aplicacion d : M ×M → Rtal que ∀ x, y, z ∈M se satisfacen las propiedades:

1. Definida positiva: d(x, y) ≥ 0.

2. No degeneracion: d(x, y) = 0⇔ x = y.

3. Simetrıa: d(x, y) = d(y, x).

4. Desigualdad triangular : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Se define un espacio metrico como una pareja (M , d) que satisfaga las propiedades anteriores.

Definicion 1.1.2. Sea E un R-e.v. Una norma en E es una aplicacion || · || : E → R tal que∀ u, v ∈ E, λ ∈ R se satisfacen las propiedades:

1. Definida positiva: ||u|| ≥ 0.

2. No degeneracion: ||u|| = 0⇔ u = 0.

3. Producto por escalar : ||λu|| = |λ| ||u||.

4. Desigualdad triangular : ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||.

Se define un espacio normado como una pareja (E, ||·||) que satisfaga las propiedades anteriores.

Proposicion 1.1.1. Si (E, || · ||) es un espacio normado, entonces (E, d) es un espacio metricocon la distancia definida por d(u, v) := ||u− v||.

Demostracion. Las propiedades 1, 2 y 4 se deducen directamente a partir de la definicion denorma. En cuanto a la propiedad 3, d(u, v) = ||u− v|| = | − 1| ||v− u|| = ||v− u|| = d(v, u).

2 Ivet Acosta y Samuel Capellas

Definicion 1.1.3. Sea E un R-e.v. Un producto escalar en E es una aplicacion 〈·, ·〉 : E×E → Rtal que ∀ u, v, w ∈ E, α, β ∈ R se satisfacen las propiedades:

1. Bilinealidad : 〈αu+ βw, v〉 = α〈u, v〉+ β〈w, u〉 y 〈u, αv + βw〉 = α〈u, v〉+ β〈u,w〉.

2. Simetrıa: 〈u, v〉 = 〈v, u〉.

3. Definida positiva: 〈u, u〉 ≥ 0.

4. No degeneracion: 〈u, u〉 = 0 ⇐⇒ u = 0.

Se define un espacio euclıdeo como una pareja (E, 〈·, ·〉) que satisfaga las propiedades anteriores.

Proposicion 1.1.2. Si (E, 〈·, ·〉) es un espacio euclıdeo, entonces (E, ||·||) es un espacio normadocon la norma definida por ||u|| :=

√〈u, u〉.

Demostracion. La norma esta bien definida, ya que 〈u, u〉 ≥ 0 ∀ u ∈ E. Las propiedades 1 y 2 sededucen directamente de las definiciones, y la propiedad 3 de la bilinealidad del producto escalar.La propiedad 4 se obtiene de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (vease la Proposicion 1.1.4):||u+v||2 = 〈u+v, u+v〉 = ||u||2 + ||v||2 + 2〈u, v〉 ≤ ||u||2 + ||v||2 + 2||u|| ||v|| = (||u||+ ||v||)2.

Proposicion 1.1.3. Sea la aplicacion 〈·, ·〉2 : Rn × Rn → R definida por

〈u, v〉2 =n∑i=1

uivi

∀u, v ∈ Rn, siendo u ≡ (u1, . . . , un) y v ≡ (v1, . . . , vn). Entonces, la pareja (Rn, 〈·, ·〉2) es unespacio euclıdeo.

Demostracion. Las cuatro propiedades se comprueban facilmente.

Corolario 1.1.1. (Rn, || · ||2) es un espacio normado y (Rn, d2) es un espacio metrico, siendo

||u||2 =√〈u, u〉2 =

√√√√ n∑i=1

u2i , d2(u, v) = ||u− v|| =

√√√√ n∑i=1

(ui − vi)2

Proposicion 1.1.4. En un espacio euclıdeo (E, 〈·, ·〉) con norma ||u|| =√〈u, u〉, se satisfacen

las siguientes propiedades ∀u, v ∈ E.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Si E es un R-e.v1, se tiene |〈u, v〉| ≤ ||u|| ||v||.

||u− v|| ≥ ||u|| − ||v||.

||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2(||u||2 + ||v||2

).

||u+ v||2 − ||u− v||2 = 4〈u, v〉.

En (Rn, 〈·, ·〉2), si u ≡ (u1, . . . un), entonces |ui| ≤ ||u|| ≤∑n

i=1 |ui|.

1De hecho, la desigualdad tambien se mantiene para espacios vectoriales sobre C.

Calculo Diferencial 3

Demostracion. Para todo t ∈ R, ||u + tv||2 = 〈u + tv, u + tv〉 = ||u||2 + 2〈u, v〉 t + ||v||2 t2 ≥ 0.En consecuencia, la ecuacion de segundo grado ||u||2 + 2〈u, v〉 t + ||v||2 t2 = 0 tiene menos dedos soluciones reales, es decir, su discriminante debe cumplir ∆ = 4〈u, v〉2− 4||u||2 ||v||2 ≤ 0, dedonde sigue que |〈u, v〉| ≤ ||u|| ||v||.La segunda propiedad se deduce de la desigualdad triangular: ||u|| = ||u−v+v|| ≤ ||u−v||+||v||.Los dos resultados siguientes son immediatos a partir de las igualdades ||u+v||2 = ||u||2+||v||2+2〈u, v〉 y ||u− v||2 = ||u||2 + ||v||2 − 2〈u, v〉, obtenidas de la bilinealidad del producto escalar.

Finalmente, del crecimiento de f(x) =√x se deduce que |ui| ≤

√u21 + · · ·+ u2n = ||u||. Ademas,

como (|u1| + · · · + |un|)2 − (u21 + · · · + u2n) ≥ 0, se obtiene ||u|| ≤ |u1| + · · · + |un|, de donde seconcluye el ultimo resultado.

1.2. Conceptos topologicos en Rn

Sean (M,d) un espacio metrico, A ⊂M un conjunto, p ∈M un punto, y r ∈ R+.

Definicion 1.2.1. Una esfera con centro en p y radio r es Sr(p) = {x ∈M | d(x, p) = r}.

Definicion 1.2.2. Una bola abierta con centro en p y radio r es Br(p) = {x ∈M | d(x, p) < r}.

Definicion 1.2.3. Una bola cerrada con centro en p y radio r es Br(p) = {x ∈M | d(x, p) ≤ r}.

Definicion 1.2.4. Una bola perforada con centro en p y radio r es B∗r (p) = Br(p) \ {p}.

Definicion 1.2.5. El conjunto A es un conjunto acotado si existe una bola que lo contenga.

Definicion 1.2.6. El complementario de A es Ac = {x ∈M |x /∈ A} = M \A.

Definicion 1.2.7. Un entorno de p es un conjunto acotado E(p) ⊂ M tal que ∃ r ∈ R+ conBr(p) ⊂ E(p).

Definicion 1.2.8. p es un punto interior de A si ∃ r ∈ R+ tal que Br(p) ⊂ A. Ası, el interiorde A es el conjunto IntA = {puntos interiores de A} ⊂ A.

Definicion 1.2.9. p es un punto exterior de A si ∃ r ∈ R+ tal que Br(p) ∩ A = Ø. Ası, elexterior de A es el conjunto ExtA = {puntos exteriores de A}.

Definicion 1.2.10. p es un punto adherente a A si ∀ r ∈ R+, Br(p)∩A 6= Ø (es decir, si no esexterior). Ası, la adherencia de A es el conjunto A = {puntos adherentes de A} ⊃ A.

Definicion 1.2.11. p es un punto de acumulacion de A si ∀ r ∈ R+, B∗r (p) ∩ A 6= Ø. Ası, laacumulacion de A es el conjunto A′ = {puntos de acumulacion de A}.

Definicion 1.2.12. p es un punto aislado de A si es adherente pero no de acumulacion, es decir,si p ∈ A y ∃ r ∈ R+ tal que B∗r (p) ∩A = Ø.

Definicion 1.2.13. p es un punto frontera de A si ∀ r ∈ R+ se cumple que Br(p) ∩ A 6= Ø yBr(p) ∩Ac 6= Ø. Ası, la frontera (topologica) de A es FrA = {puntos frontera de A}.


Proposicion 1.2.1. Para cualquier subconjunto A ⊂M se cumplen las propiedades:

IntA ⊂ A′ ⊂ A.

Si p ∈ A es aislado, entonces p ∈ FrA.

A = IntA t FrA (union disjunta).

M = IntA t FrA t ExtA.

FrA = FrAc. IntA = ExtAc. IntAc = ExtA.

Ejemplo 1.2.1. Si A es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que

IntA = Ø ExtA = Ac FrA = A

En el conjunto infinito A =

{(1 +

1

n

)n, n ∈ N

}, en cambio, e /∈ A pero e ∈ FrA.

Proposicion 1.2.2. Si p es un punto de acumulacion de A, entonces Br(p) contiene infinitospuntos de A, ∀ r ∈ R+.

Demostracion. Supongamos que ∃ r0 ∈ R+ tal que B∗r0(p) contiene un numero finito de puntos deA, es decir, B∗r0(p)∩A = {a1, . . . , an} ⊂M con n ∈ N. Sea s = mın{d(p, a1), . . . , d(p, an)} ∈ R+,y considerese r1 = s/2. Si ai ∈ B∗r0(p)∩A, necesariamente r1 < d(p, ai), por lo que ai /∈ B∗r1(p)∩A.Pero como B∗r1(p) ⊂ B∗r0(p), se concluye que B∗r1(p) ∩A = Ø, en contradiccion con que p sea deacumulacion.

Teorema 1.2.1. (Bolzano-Weierstrass) Si A ⊂ Rn tiene infinitos puntos y es acotado, en-tonces tiene al menos un punto de acumulacion.

1.3. Conjuntos abiertos y cerrados

Sea (M,d) un espacio metrico.

Definicion 1.3.1. El conjunto A ⊂M es abierto si todos sus puntos son interiores, es decir, sise cumple la igualdad A = IntA.

Definicion 1.3.2. El conjunto A ⊂M es cerrado si su complementario Ac es abierto.

Ejemplo 1.3.1. En R: N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado.

Observacion 1.3.1. En Rn, por definicion, los unicos conjuntos abiertos y cerrados a la vezson Ø y Rn.

Proposicion 1.3.1. A ⊂M es cerrado ⇐⇒ A = A ⇐⇒ FrA ⊂ A ⇐⇒ A′ ⊂ A.

Demostracion. Por definicion, A es cerrado ⇐⇒ Ac = IntAc = ExtA, que por la Proposicion1.2.1 es equivalente a afirmar que A = IntA ∪ FrA = A, de donde se deduce facilmente elresultado.


Proposicion 1.3.2. Sea A ⊂M un subconjunto cualquiera de M . Entonces se cumple que:

IntA es el mayor conjunto abierto contenido en A, es decir, si B ⊂ A es abierto, B ⊂ IntA.

A es el menor conjunto cerrado que contiene a A, es decir, si B ⊃ A es cerrado, A ⊂ B.Demostracion.

Veamos en primer lugar que IntA es abierto, es decir, que IntA = Int(IntA). Solo hayque ver que si x ∈ IntA, entonces x ∈ Int(IntA). Si x ∈ IntA, ∃ Br(x) ⊂ A. Veamos queBr(x) ⊂ IntA. Sea y ∈ Br(x). Entonces, ∃ Bs(y) ⊂ A, con s = r − d(x, y), por lo quey ∈ IntA. En consecuencia, se obtiene que x ∈ Int(IntA).Veamos ahora que es el mayor abierto. Sea B ⊂ A abierto, y sea x ∈ B = IntB. Entonces,∃ Br(x) ⊂ B ⊂ A, de donde se deduce x ∈ IntA, y por lo tanto B ⊂ IntA.

El conjunto A es cerrado, ya que (A)c = ExtA = Int(Ac) es abierto. Veamos que esel menor cerrado que contiene a A. Sea B ⊃ A un conjunto cerrado. Entonces, Bc =Int(Bc) = ExtB ⊂ ExtA, ya que A ⊂ B. En consecuencia, A = M \ExtA ⊂M \ExtB =B = B, como querıamos demostrar.

Proposicion 1.3.3. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos.

Demostracion. Sea Br(x) una bola abierta, y p ∈ Br(x): veamos que p ∈ IntBr(x). Comose tiene que d(x, p) < r, tomemos s ∈ (0, r − d(x, p)) ∈ R, y consideremos la bola Bs(p).Queremos demostrar que Bs(p) ⊂ Br(x), ya que entonces p ∈ IntBr(x). Si q ∈ Bs(p), entoncesd(p, q) < s < r − d(x, p), luego d(x, q) ≤ d(x, p) + d(p, q) < d(x, p) + r − d(x, p) = r, es decir,q ∈ Br(x), de donde se deduce que Bs(p) ⊂ Br(x).

Proposicion 1.3.4. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados.

Proposicion 1.3.5.

La union de conjuntos abiertos es abierta.

La interseccion finita de conjuntos abiertos es abierta.

La union finita de cerrados es cerrada.

La interseccion de cerrados es cerrada.

Demostracion.

Sea F = {Ai} una familia de conjuntos abiertos, y sea S =⋃Ai. Veamos que S ⊂ IntS.

Si x ∈ S, ∃ A ∈ F tal que x ∈ A = IntA, por lo que ∃ Br(x) ⊂ A ⊂ S.

Sea F = {Ai} una familia finita de conjuntos abiertos Ai, ∀ i ∈ {1, . . . ,m}, y sea S =⋂Ai.

Entonces, fijando x ∈ S, x ∈ Ai = IntAi, ∀ i. Ası, para cada i, ∃ ri ∈ R+ tal queBri(x) ⊂ Ai. Si r = mın{r1, . . . , rm}, Br(x) ⊂ S y x ∈ IntS. Se concluye pues queS ⊂ IntS y S es abierto.

Sea F = {Ai} una familia finita de conjuntos cerrados Ai, ∀ i ∈ {1, . . . ,m}, y sea S =⋃Ai.

Por las Leyes de Morgan, S = (⋂Aci )

c, es decir, S es complementario de un abierto (inter-seccion finita de abiertos), que es cerrado. La ultima propiedad se deduce analogamente.


Observacion 1.3.2. La interseccion infinita de conjuntos abiertos puede ser cerrada, y la unioninfinita de conjuntos cerrados puede ser abierta. Dos ejemplos son:

F = {B1/n(p) |n ∈ N} es una familia de abiertos, pero S =⋂n∈NB1/n(p) = {p} es cerrado.

En R, F = {In = [−1 + 1n , 1 −

1n ] |n ∈ N} es una familia de conjuntos cerrados, pero su

interseccion es S =⋂n∈N In = (−1, 1), una bola abierta, que es un conjunto abierto.

Proposicion 1.3.6. Si B ⊂M es cerrado y A ⊂ B, entonces A ⊂ B.

Demostracion. Si x ∈ IntA ⊂ A ⊂ B, x ∈ B. Si x ∈ A r IntA = FrA, en particular ∀ r ∈ R+

Br(x) ∩A 6= Ø, y como A ⊂ B, Br(x) ∩B 6= Ø, luego x ∈ B = B. En conclusion, A ⊂ B.

1.4. Sucesiones en espacios metricos


Definicion 1.4.1. Una sucesion en M es una aplicacion

N −→ M

m 7−→ xm

Los valores xm se denominan valores de la sucesion.

Notacion. La sucesion se puede escribir como {xm}m∈N. En Rn, toda sucesion {xm} se asociaa n sucesiones de coordenadas {xmi }.

Definicion 1.4.2. Dada una sucesion {xm} ⊂ M y p ∈ M un punto, se dice que p es el lımitede la sucesion o que la sucesion converge a p si

∀ ε ∈ R+ ∃ m0 ∈ N | d(xm, p) < ε ∀ m > m0, m ∈ N.

Notacion. Para expresar que {xm} converge a p, notaremos

{xm} →mp o lım

m→∞{xm} = p

Propiedades 1.4.1.

{xm} →mp ⇐⇒ {d(xm, p)} →

m0. Observese que {xm} ⊂M , pero {d(xm, p)} ⊂ R.

Demostracion. Immediata a partir de la definicion de lımite de una sucesion, considerandoel espacio metrico (R, d2) y que d(xm, p) = |d(xm, p)− 0| = d2(d(xm, p), 0).

Si lımm→∞

{xm} = p , entonces el lımite p es unico.

Demostracion. Sea {xm} una sucesion convergente en M , y sean L1, L2 ∈ M tales queambos son lımite de {xm}. Sabemos que ∀ ε > 0 ∃m1 ∈ N tal que d(xm, L1) < ε/2∀m ≥ m1, y ∃m2 ∈ N tal que d(xm, L2) < ε/2 ∀m > m2. Ası, ∀ ε > 0 y ∀m > m0 =max{m1,m2}, se tiene d(L1, L2) ≤ d(L1, x

m) + d(xm, L2) < ε, luego L1 = L2.


Si {xm} es convergente, entonces esta acotada.

Demostracion. Sea {xm} una sucesion convergente en M , y lımxm = p ∈M . Fijado ε0 ∈R+, existe m0 ∈ N tal que d(xm, p) < ε0 ∀m > m0. Fijando o ∈M , d(xm, o) ≤ d(xm, p) +d(p, o) < ε0 + d(p, o) ∀m > m0. Tomando r = max{d(x1, o), . . . , d(xm0 , o), ε0 + d(p, o)}, seobtiene que d(xm, o) ≤ r ∀m ∈ N. En consecuencia, {xm} ⊂ Br(o) esta acotada.

Si M ≡ Rn, tambien se cumple:

lımm→∞

{xm} = (p1, . . . , pn) = p ⇐⇒ lımm→∞

{xmi } = pi ∀ i ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion. Se utilizara la Proposicion 1.1.4. (⇒) Si {xm} → p, se tiene que ∀ ε ∈ R+

∃ m0 ∈ N tal que ||xm − p|| < ε ∀ m > m0, m ∈ N. Ası, ∀ i ∈ {1, . . . , n} se cumple|xmi − pi| < ||xm − p|| < ε, de donde sigue que {xmi } → pi. (⇐) Fijado n ∈ N y para cadai, se tiene que ∀ ε ∈ R+ ∃ mi ∈ N con |xmi − p| < ε/n ∀ m > mi, m ∈ N. Ası, ∀ ε > 0 ∃m0 = max{m1, . . . ,mn} tal que ∀ m > mi, m ∈ N se cumple

||xm − p|| ≤n∑i=1

|xmi − pi| <n∑i=1

ε

n= ε

Luego {xm} converge a p.

lımm→∞

{xm ± ym} = lımm→∞

{xm} ± lımm→∞

{ym}.

Demostracion. Sean lım {xm} = p y lım {ym} = q. Entonces, ∀ ε ∈ R+ ∃ m1 ∈ N tal que||xm − p|| < ε/2 ∀ m > m1, y ∃ m2 ∈ N tal que ||ym − q|| < ε/2 ∀ m > m2, m ∈ N. De ladesigualdad triangular se obtiene que ∀ ε ∈ R+ ∃ m0 = max{m1,m2} tal que, ∀ m > m0,se cumple d(xm ± ym, p± q) ≤ ||xm − p||+ ||ym − q|| < ε.

lımm→∞

{λxm} = λ lımm→∞

{xm}, ∀ λ ∈ R.

Demostracion. El enunciado es trivial si λ = 0. Supongamos que λ 6= 0 y lım {xm} = p.Entonces, ∀ ε ∈ R+ ∃ m1 ∈ N tal que ||xm − p|| < ε/|λ| ∀ m > m1 con m ∈ N. Ası, bajolas mismas condiciones se cumple ||λxm − λp|| = |λ| ||xm − p|| < |λ|(ε/|λ|) = ε.

Sea {〈xm, ym〉} ⊂ R. Si {xm} →mp y {ym} →

mq, entonces lım

m→∞{〈xm, ym〉} = 〈p, q〉.

Demostracion. Como {ym} es convergente, esta acotada, por lo que ∃ K ∈ R+ tal que||ym|| < K ∀ m ∈ N. Por definicion, ∀ ε ∈ R+ ∃ m1 ∈ N tal que ||xm − p|| < ε/2K ∀m > m1, y ∃ m2 ∈ N tal que ||ym − q|| < ε/2||p|| ∀ m > m1, m ∈ N. De la desigualdad deCauchy-Schwarz se obtiene que ∀ ε ∈ R+ ∃ m0 = max{m1,m2} ∈ N tal que ∀ m > m0:

|〈xm, ym〉 − 〈p, q〉| = |〈xm − p, ym〉+ 〈p, ym − q〉| ≤ |〈xm − p, ym〉|+ |〈p, ym − q〉|

≤ ||xm − p|| ||ym||+ ||p|| ||ym − q|| < ε

2KK + ||p|| ε

2||p||=ε

2+ε

2= ε

Luego {〈xm, ym〉} converge a 〈p, q〉.


Si lımm→∞

{xm} = 0 y {ym} satisface que {||ym||} ⊂ R esta acotada, lımm→∞

{〈xm, ym〉} = 0.

Demostracion. Como {||ym||} esta acotada, ∃ K ∈ R+ tal que ||ym|| < K ∀ m ∈ N.Ademas, se tiene que ∀ ε ∈ R+ ∃ m0 ∈ N tal que ||xm|| < ε/K ∀ m > m0, m ∈ N. De ladesigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene que, bajo las mismas condiciones, se cumple

|〈xm, ym〉| ≤ ||xm|| ||ym|| < ε

KK = ε

1.5. Conjuntos compactos


Definicion 1.5.1. Diremos que K ⊂ M satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass, o queK es compacto por sucesiones, si ∀ {xm} ⊂ K ∃ {xmj} ⊂ {xm} con lımj→∞{xmj} = p ∈ K, esdecir, si de cualquier sucesion de K puede extraerse una sucesion parcial convergente en K.

Definicion 1.5.2. Un recubrimiento de K ⊂ M es una familia de conjuntos F = {Ai} tal queK ∈

⋃Ai.

Definicion 1.5.3. Diremos que K ⊂ M satisface la propiedad de Heine-Borel, o que K escompacto por recubrimientos, si de todo recubrimiento de K por conjuntos abiertos se puedeextraer un subrecubrimiento finito.

Teorema 1.5.1. K es compacto por sucesiones ⇐⇒ K es compacto por recubrimientos.

Demostracion. No se incluye en el curso, pero puede encontrarse en las paginas 165-167 de labibliografıa de Marsden-Hoffman.

Definicion 1.5.4. Diremos que K ⊂ M es compacto si es compacto por sucesiones o porrecubrimientos.

Lema 1.5.1. Sea A ⊂M . Entonces, ∀ x ∈ A ∃ {xm} ⊂ A tal que lımm→∞

{xm} = x.

Demostracion. Si x ∈ A, ∀ r ∈ R+ se cumple Br(x) ∩ A 6= Ø. Por lo tanto, para cada m ∈ Npodemos tomar xm ∈ B 1

m(x). Como 0 ≤ d(xm, x) < 1/m ∀m ∈ N, del criterio de compresion

para sucesiones de numeros reales se obtiene que {d(xm, p)} →m

0, de donde se deduce a partir

de las Propiedades 1.4.1 que lımm→∞

{xm} = x.

Lema 1.5.2. A ⊂M es cerrado ⇐⇒ Toda sucesion convergente {xm} ⊂ A tiene lımite en A.

Demostracion. (⇒): Sea {xm} ⊂ A convergente con lımm→∞{xm} = x. En particular, toda bolaBr(x) contiene elementos de {xm} ⊂ A, luego x ∈ A′ ⊂ A, pero al ser A cerrado tenemos x ∈ A.(⇐): Por el Lema 1.5.1, dado x ∈ A, ∃ {xm} ⊂ A tal que lımm→∞{xm} = x. Por hipotesis, debecumplirse x ∈ A, luego A ⊂ A, de donde sigue que A = A.

Proposicion 1.5.1. Si K ⊂M es compacto, entonces es cerrado y acotado.


Demostracion. Sea K ⊂M un conjunto compacto.Supongamos que K no es cerrado. Entonces, ∃ x ∈ FrK con x /∈ K. Por el Lema 1.5.1, ∃ {xm} ⊂K tal que lımm→∞{xm} = x. Ası, toda subsucesion de {xm} cumple lımj→∞ x

mj = x /∈ K, encontradiccion con la propiedad de Bolzano-Weierstrass, por lo que K es cerrado.Supongamos ahora que K no esta acotado. Fijando p ∈ K, ∀ m ∈ N, ∃ xm ∈ K tal qued(xm, p) > m. La sucesion {d(xm, p)} es estrictamente creciente y no acotada, por lo que no tienesubsucesiones convergentes y en consecuencia {xm} tampoco, en contradiccion con la propiedadde Bolzano-Weierstrass.

Proposicion 1.5.2. Sea K ⊂ Rn. Entonces, K es compacto ⇐⇒ K es cerrado y acotado.

1.6. Sucesiones de Cauchy. Completitud


Definicion 1.6.1. Una sucesion {xm} ⊂M es de Cauchy si

∀ ε ∈ R+ ∃ m0 ∈ N | d(xµ, xρ) < ε ∀ µ, ρ > m0, µ, ρ ∈ N.

Proposicion 1.6.1. {xm} ⊂ Rn es de Cauchy ⇐⇒ Las sucesiones de las componentes {xmi }son de Cauchy, ∀ i ∈ {1, . . . , n}.Demostracion. Se utilizara la Proposicion 1.1.4. (⇒) Si {xm} ⊂ Rn es de Cauchy, se tiene que∀ ε ∈ R+ ∃ m0 ∈ N tal que ||xµ − xρ|| < ε ∀ µ, ρ > m0 con µ, ρ ∈ N. Ası, ∀ i ∈ {1, . . . , n} secumple |xµi − x

ρi | < ||xµ − xρ|| < ε, de donde sigue que {xmi } es de Cauchy. (⇐) Fijado n ∈ N y

para cada i, se tiene que ∀ ε ∈ R+ ∃ mi ∈ N con |xµi − xρi | < ε/n ∀ µ, ρ > mi, µ, ρ ∈ N. Ası, ∀

ε > 0 ∃ m0 = max{m1, . . . ,mn} tal que ∀ µ, ρ > m0, µ, ρ ∈ N se cumple

||xµ − xρ|| ≤n∑i=1

|xµi − xρi | <

n∑i=1

ε

n= ε

Luego {xm} es de Cauchy.

Proposicion 1.6.2. Si {xm} ⊂M es de Cauchy, entonces {xm} esta acotada.

Demostracion. Si {xm} es de Cauchy, ∃m0 tal que si m,n > m0, entonces d(xm, xn) < 1. Por lotanto, para m > m0, x

m ∈ B1(xm0+1). Ahora, sea r = max{1, d(x0, xm0+1), . . . , d(xm0 , xm0+1)}.

Entonces, se tiene que xm ∈ Br(xm0+1) ∀m ∈ N.

Proposicion 1.6.3. Si {xm} ⊂M es convergente, entonces es de Cauchy.

Demostracion. Sea {xm} ⊂M una sucesion convergente con lımite L ∈M . Por definicion,

∀ ε > 0 ∃ m1 ∈ N tal que d(xµ, L) < ε/2 siempre que µ ∈ N y µ > m1.

∀ ε > 0 ∃ m2 ∈ N tal que d(L, xρ) < ε/2 siempre que ρ ∈ N y ρ > m2.

Ası, ∀ ε > 0 ∃ m0 = max{m1,m2} ∈ N tal que ∀ µ, ρ > m0 con µ, ρ ∈ N se cumple d(xµ, xρ) ≤d(xµ, L) + d(L, xρ) < ε.


Observacion 1.6.1. El recıproco no se cumple para todo espacio metrico (ej. (Q, d2)).

Definicion 1.6.2. A ⊂M es completo si toda sucesion {xm} ⊂ A de Cauchy converge en A.

Teorema 1.6.1. En (Rn, d2), toda sucesion de Cauchy es convergente en Rn.

Demostracion. Immediata a partir de la Proposicion 1.6.1 y la completitud de R.

Proposicion 1.6.4. Sea (M,d) completo, y A ⊂M . Entonces, A es completo⇐⇒ A es cerrado.

Demostracion. (⇒) Por la Proposicion 1.3.1, tenemos que ver que A ⊂ A. Si x ∈ A, ∃ {xm} ⊂ Atal que lım{xm} = x (Lema 1.5.1). Como {xm} es convergente tambien es de Cauchy, y como Aes completo se tiene x ∈ A. Luego A es cerrado. (⇐) Sea {xm} ⊂ A una sucesion de Cauchy. Alser M completo, ∃ lım{xm} = x ∈M , y en particular ∀ r > 0 se tiene Br(x)∩A 6= Ø, de dondese obtiene que x ∈ A. Al ser A cerrado, x ∈ A. Es decir, toda sucesion de Cauchy en A tienelımite en A, luego A es completo.

Definicion 1.6.3. M es un Espacio de Banach si es un espacio normado, y el espacio metricoinducido por dicha norma es completo.

Capıtulo 2

Lımites y continuidad de funcionesen Rn

2.1. Funciones escalares y vectoriales

Definicion 2.1.1. Se denomina campo o funcion (real) de varias variables a toda aplicacion

f : A ⊂ Rn −→ Rm

x = (x1, . . . , xn) 7−→ (y1, . . . , ym) = f(x)

Si m = 1, f es una funcion escalar. Si m > 1, f es una funcion vectorial, y las funciones

fi : A ⊂ Rn −→ Rx = (x1, . . . , xn) 7−→ yi = fi(x)

se denominan funciones componentes de f .

Definicion 2.1.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm, con m ≥ 1, una funcion de varias variables.

El dominio de f es Dom f = A = {x ∈ Rn | ∃ f(x)}.

La imagen de f es Im f = {y ∈ Rm | ∃ x ∈ Dom f con f(x) = y}.

La grafica de f es graf f = {(x, y) ∈ Rn+m |x ∈ Dom f, y = f(x)}.

Observacion 2.1.1. Si f es una funcion vectorial, Dom f =⋂mi=1 Dom fi

Notacion. Si no se indica lo contrario, se asumira que el dominio A es un conjunto abierto paraevitar problemas de aproximacion a los puntos frontera.

Definicion 2.1.3. Sea f : A ⊂ Rn → Rm, y k ∈ Im f . El conjunto de nivel k (o equiescalar, sif es escalar) es el conjunto de puntos del dominio donde la funcion tiene la misma imagen k:

Ck = {x ∈ A | f(x) = k} = f−1(k)

Es la antiimagen de k.


Observacion 2.1.2. Sea f : A ⊂ Rn → R una funcion escalar. Si n = 2, los conjuntos Ck suelendenominarse curvas de nivel: por ejemplo, para f(x, y) = x2 + y2 son circumferencias. Si n = 3,suelen denominarse superficies de nivel: para la funcion f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, son esferas.

Observacion 2.1.3. Si q = (q1, . . . , qm) ∈ Im f , entonces Cq(f) =⋂mi=1 Cqi(fi)

Definicion 2.1.4. Sea f : A ⊂ Rn → R una funcion escalar. Una seccion de la grafica de fes la interseccion de graf f ⊂ Rn+1 con un plano de Rn+1. Es habitual considerar los planoscoordenados o los paralelos a estos.

Definicion 2.1.5. Sean f, g : A ⊂ Rn → Rm y λ ∈ R. Se definen las operaciones:

Suma. (f + g) : Rn → Rm definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Producto por escalar. λf : Rn → Rm definida por (λf)(x) = λf(x).

Producto. fg : Rn → Rm definida por (fg)(x) = (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)).

Producto escalar. 〈f, g〉 : Rn → R definida por 〈f, g〉(x) = 〈f(x), g(x)〉.

2.2. Lımites de funciones de varias variables

Definicion 2.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A′. El punto q ∈ Rm es el lımite de f en a si

∀ ε ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ | d(f(x), q) < ε ∀ x ∈ A ∩B∗δ (a).

Notacion. En ese caso, escribiremos

f(x) −→x→a

q o lımx→a

f(x) = p

Observacion 2.2.1. El valor de f(a), si existe, no interviene en el valor del lımite de f en a.

Proposicion 2.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A′. Entonces:

lımx→a

f(x) = q ⇐⇒ ∀ {xk} ⊂ A \ {a} con lım{xk} = a se tiene lım{f(xk)} = q

Demostracion. (⇒) Como a ∈ A′, existe una sucesion {xk} ⊂ A \ {a} con lımite a. Veamos que{f(xk)} → q. Sabemos que ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si x ∈ B∗δ (a)∩A, entonces d(f(x), q) < ε. Paradicho δ = δ(ε), como {xk} → a, ∃n0 = n0(δ) ∈ N tal que ∀n ≥ n0 se tiene 0 < d(xn, a) < δ, esdecir, xn ∈ B∗δ (a), y como {xk} ⊂ A, xn ∈ B∗δ (a) ∩ A. En sıntesis, ∀ ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∈ N talque ∀n ≥ n0, como xn ∈ B∗δ (a) ∩A, se tiene d(f(x), q) < ε. Luego {f(xk)} → q.(⇐) Demostracion por contrarrecıproco. Supongamos que q no es lımite de f en a, es decir,que ∃ ε0 tal que ∀ δ > 0 ∃x ∈ Bδ(a) con d(f(x), q) ≥ ε0. Como a ∈ A′, para cada n ∈ Npodemos tomar xn ∈ B1/n(a) tal que d(f(xn), q) ≥ ε0. Por el criterio del sandwich, como

0 < d(xn, a) < 1/n ∀n ∈ N, lım{xk} = a, pero por construccion {f(xk)} no tiene lımite q.

Observacion 2.2.2. La implicacion (⇒) de la proposicion anterior no es cierta si la enunciamospara sucesiones {xk} ⊂ A, ya que si a ∈ A y f tiene una discontinuidad evitable en a, es decir,lımx→a f(x) = q 6= f(a), podemos tomar xn = a ∀n ∈ N. En ese caso, {xk} ⊂ A y lım{xk} = a,pero lım{f(xk)} = f(a) 6= q.


Propiedades 2.2.1. Sean f, g : A ⊂ Rn → Rm, m ∈ N, y a ∈ A′.

(a) El lımite de una funcion en un punto es unico.

(b) Si m > 1, lımx→a

f(x) = p ⇐⇒ lımx→a

fi(x) = pi, ∀ i ∈ {1, . . . ,m}.

(c) Dados α, β ∈ R, lımx→a

(αf + βg)(x) = α lımx→a

f(x) + β lımx→a

g(x).

(d) Si lımx→a

f(x) = p y lımx→a

g(x) = q, entonces lımx→a

(fg)(x) = (p1q1, . . . , pmqm).

(e) Si lımx→a

f(x) = p y lımx→a

g(x) = q, entonces lımx→a〈f, g〉(x) = 〈p, q〉.

(f) Si lımx→a

f(x) = p, entonces lımx→a||f(x)|| = ||p||.

(g) Si f, g, h : A ⊂ Rn → R satisfacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno E(a), entonces secumple que lım

x→af(x) ≤ lım

x→ag(x) ≤ lım

x→ah(x).

(h) Si m = 1, f(x) 6= 0 ∀ x ∈ A y lımx→a

f(x) = p 6= 0, entonces lımx→a

1

f(x)=

1

p.

(i) Si m = 1 y lımx→a

f(x) > 0 (resp. < 0), ∃ B∗r (a) tal que f(x) > 0 (resp. < 0) ∀ x ∈ B∗r (a)∩A.

(j) Si ∃ lımx→a

f(x), entonces ∃ Br(a) tal que f(x) esta acotada en Br(a) ∩A.

Definicion 2.2.2. Sea f : A ⊂ Rn → R y sea a ∈ A′. Diremos que f tiene lımite infinito en a si

∀ L ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ tal que |f(x)| > L ∀ x ∈ A con 0 < d(x, a) < δ.

Notacion. En ese caso, notaremos lımx→a

f(x) =∞.

2.3. Lımites segun curvas. Lımites direccionales

Definicion 2.3.1. Una curva parametrizada en Rn es una funcion

c : I ⊂ R −→ Rn

t 7−→ (c1(t), . . . , cn(t)) = c(t)

Diremos que la curva c es continua si las funciones ci(t) son continuas ∀ i ∈ {1, . . . , n} (veaseseccion 2.4). Si c es una recta, sera de la forma c(t) = p+ tv, con p, v ∈ Rn y t ∈ R.

Definicion 2.3.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y sea a ∈ A′. Sea c : I ⊂ R → A′ ⊂ Rn una curvaque pasa por a, es decir, tal que ∃ t0 ∈ I con c(t0) = a. Denominamos lımite de f en a segun lacurva c (si existe) a

lımt→t0

(f ◦ c)(t)

Si c(t) es una recta, se denomina lımite direccional de f en a segun la recta c.


Observacion 2.3.1. Cuando calculamos el lımite de una funcion en un punto, lo hacemosaproximandonos a el por cualquier camino. En cambio, un lımite segun una curva parametrizadaespecifica el camino seguido al aproximarnos a el. De aquı se deduce la siguiente proposicion.

Proposicion 2.3.1. Sea f : A ⊂ Rn → R y sea a ∈ A′. Sea c : I ⊂ R → A′ ⊂ Rn una curvacontinua en t0 ∈ R, con c(t0) = a. Entonces:

∃ lımx→a

f(x) = p =⇒ ∃ lımt→t0

(f ◦ c)(t) = p

2.4. Continuidad de funciones de varias variables

Definicion 2.4.1. Sean f, g : A ⊂ Rn → Rm, y a ∈ A′. Entonces, f es continua en a si:

(i) a ∈ A

(ii) ∃ lımx→a

f(x)

(iii) lımx→a

f(x) = f(a)

Ası, diremos que f es continua en B ⊂ A si es continua en todo x ∈ B.

Proposicion 2.4.1. Sean f, g : A ⊂ Rn → Rm, y a ∈ A′.

(a) f es continua en a ⇐⇒ fi es continua en a, ∀ i ∈ {1, . . . ,m}.

(b) Si α, β ∈ R y f, g son continuas en a, entonces αf + βg es continua en a.

(c) Si f, g son continuas en a, 〈f, g〉 es continua en a.

(d) Si f, g son continuas en a, fg es continua en a.

(e) Si f es continua en a, ||f || es continua en a.

(f) (m = 1) Si f(x) 6= 0 ∀ x ∈ A, entonces1

f(x)esta bien definida, y si f es continua en a

entonces1

f(x)tambien lo es.

(g) (m = 1) Si f es continua en a, ∃ un entorno E(a) ⊂ A tal f mantiene su signo en E(a).

(h) Si f es continua en a, ∃ Br(a) donde f esta acotada (es decir, f(Br(a)) ⊂ Rm esta acotado).

Proposicion 2.4.2. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rk. Sea a ∈ A′ tal quef(a) = b ∈ B′. Si f es continua en a y g es continua en b, entonces la funcion g◦f : A ⊂ Rn → Rkes continua en a.

Proposicion 2.4.3. Sean f : A ⊂ Rn → Rm, a ∈ A∩A′. Entonces f es continua en a si, y solosi, para cualquier sucesion {xk} ⊂ A con lımite a se cumple que lımk→∞{f(xk)} = f(a).

Demostracion. (⇒) Si f es continua en a, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si ||x − a|| < δ, entonces,||f(x)− f(a)|| < ε. Para dicho δ = δ(ε), ∃ k0 ∈ N tal que ∀ k ≥ k0 se cumple ||xk−a|| < δ, y porlo tanto ||f(xk)− f(a)|| < ε ∀ k ≥ k0. (⇐) Se deduce de la Proposicion 2.2.1 con q = f(a).


Proposicion 2.4.4. Sea f : A ⊂ Rn → Rm. Entonces, son equivalentes:

(a) f es continua en A

(b) ∀ V ⊂ Rm abierto, existe un abierto U ⊂ Rn tal que f−1(V ) = U ∩A.

(c) ∀ V ⊂ Rm cerrado, existe un cerrado U ⊂ Rn tal que f−1(V ) = U ∩A.

Demostracion. Demostrada en los apuntes de Calculo Vectorial de Narciso Roman Roy.

Ejemplo 2.4.1. Sea f : R2 r {0, 0} → R definida por

f(x, y) =1

x2 + y2

Sea el conjunto V = [1,∞), que es cerrado en R (su complementario es interseccion infinita deabiertos): entonces, f−1(V ) = B

∗1(0, 0) = B1(0, 0) ∩Dom f , donde U = B1(0, 0) es cerrado.

Observacion 2.4.1. La Proposicion 2.4.4 puede usarse para demostrar que un conjunto esabierto o cerrado, considerando una funcion continua adecuada.

Corolario 2.4.1. Sean f, g : Rn → R continuas en Rn. Entonces:

{x ∈ Rn | f(x) > g(x)} es abierto.

{x ∈ Rn | f(x) ≥ g(x)} es cerrado.

Demostracion. Consideremos la funcion continua h = f − g. Entonces, por la Proposicion 2.4.4existe U1 ⊂ Rn abierto tal que {x ∈ Rn | f(x) > g(x)} = {x ∈ Rn |h(x) > 0} = h−1((0,+∞)) =U1∩Rn = U1, donde se ha usado que (0,+∞) es abierto. Analogamente, existe U2 ⊂ Rn cerradotal que {x ∈ Rn | f(x) ≥ g(x)} = {x ∈ Rn |h(x) ≥ 0} = h−1([0,+∞)) = U2 ∩ Rn = U2.

Definicion 2.4.2. Un conjunto A ⊂ Rn es arco-conexo si ∀ x, y ∈ A ∃ c : [t1, t2] ⊂ R→ A ⊂ Rncontinua tal que c(t1) = x y c(t2) = y.

Proposicion 2.4.5. Sea f : A ⊂ Rn → Rm continua en A. Si B ⊂ A es arco-conexo, f(B) esarco-conexo.

Demostracion. Para cada y1, y2 ∈ f(B), sean x1, x2 ∈ B tales que f(x1) = y1, f(x2) = y2.Como B es arcoconexo, ∃ c : [t1, t2] ⊂ R → A ⊂ Rn continua tal que c(t1) = x1 y c(t2) = x2.Entonces, la curva f ◦ c : [t1, t2] ⊂ R → Rm es continua (composicion de continuas) y cumpleque (f ◦ c)(t1) = f(x1) = y1 y (f ◦ c)(t2) = f(x2) = y2, luego f(B) es arco-conexo.

Teorema 2.4.1. (Teorema del Valor Intermedio) Sea f : A ⊂ Rn → R una funcioncontinua en B, donde B ⊂ A es arco-conexo. Entonces, ∀ x1, x2 ∈ B, si y ∈ [f(x1), f(x2)] ⊂ R,entonces ∃ x ∈ B tal que f(x) = y.

Demostracion. Sean x1, x2 ∈ B. Entonces, ∃ c : [t1, t2] ⊂ R→ B ⊂ Rn continua con c(t1) = x1 yc(t2) = x2. La funcion f ◦c : [t1, t2] ⊂ R→ R es continua, (f ◦c)(t1) = f(x1) y (f ◦c)(t2) = f(x2).Por el Teorema del Valor Intermedio para funciones de una variable, si y ∈ [f(x1), f(x2)], existet ∈ [t1, t2] tal que y = (f ◦ c)(t) = f(x) para algun x ∈ B.


Proposicion 2.4.6. Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion continua en B ⊂ A, f(B) ⊂ f(B).

Demostracion. Veamos que si x ∈ B, entonces f(x) ∈ f(B). Por el Lema 1.5.1, si x ∈ B, ∃{xk} ⊂ B tal que lımk→∞{xk} = x. Sea {f(xk)} ⊂ f(B). Al ser f continua en B, se tienelımk→∞{f(xk)} = f(x). Por lo tanto, en cualquier entorno de f(x) hay puntos de {f(xk)} ⊂ B,luego f(x) ∈ f(B).

Teorema 2.4.2. (Teorema de Weierstrass) Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion continua yK ⊂ A es compacto, entonces f(K) ⊂ Rm es compacto.

Demostracion. Utilizaremos la caracterizacion de los conjuntos compactos por sucesiones. Paracada {yk} ⊂ f(K), sea {xk} ⊂ K tal que f(xk) = yk ∀ k ∈ N. Como K es compacto, ∃{xki} ⊂ {xk} con lımi→∞{xki} = x ∈ K. Pero f es continua, por lo que lımi→∞{f(xki)} =f(lımi→∞{xki}) = f(x) ∈ f(K). Como {f(xki)} es sucesion parcial de {yk}, f(K) es compacto.

Proposicion 2.4.7. Si f : A ⊂ Rn → R es una funcion continua y K ⊂ A es compacto, f tomavalores extremos en K.

Demostracion. Por el teorema anterior, f(K) ⊂ R es un compacto, es decir, cerrado y acotado.Al ser acotado, ∃ α = sup f(K) y β = ınf f(K). Por la definicion de supremo e ınfimo, α, β sonde la adherencia de f(K), y como f(K) es cerrado, α, β ∈ f(K).

Corolario 2.4.2. Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion continua y K ⊂ A es compacto,

(a) Cada funcion componente fi toma valores extremos en K.

(b) La norma ||f || toma valores extremos en K.

2.5. Continuidad uniforme

Definicion 2.5.1. Diremos que f : A ⊂ Rn → Rm es uniformemente continua en A si

∀ ε ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ | d(f(x), f(y)) < ε ∀ x, y ∈ A tal que d(x, y) < δ.

Proposicion 2.5.1. Si una funcion f : A ⊂ Rn → Rm es uniformemente continua en A, entonceses continua en A.

Proposicion 2.5.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm una funcion uniformemente continua, y sea {xk} ⊂ Auna sucesion de Cauchy. Entonces, {f(xk)} ⊂ Rm es de Cauchy.

Demostracion. {xk} ⊂ A ⊂ Rn es una sucesion de Cauchy si ∀ δ ∈ R+ ∃ ν ∈ N tal que si µ, ρ > ν,entonces ||xµ−xρ|| < δ. Pero de la definicion de continuidad uniforme, si ||xµ−xρ|| < δ entonces||f(xµ)− f(xρ)|| < ε, luego {f(xk)} es de Cauchy.

Proposicion 2.5.3. Sea f : A ⊂ Rn → Rm. Entonces, son equivalentes:

(a) f no es uniformemente continua.

(b) ∃ ε ∈ R+ tal que ∀ δ ∈ R+ ∃ x, y ∈ A que verifican ||x− y|| < δ pero ||f(x)− f(y)|| > ε.

(c) ∃ ε ∈ R+ ∃ {xk}, {yk} ⊂ A tales que lımk→∞{||xk − yk||} = 0 y ||f(xk)− f(yk)|| > ε.

Teorema 2.5.1 (Teorema de Heine). Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion continua y K ⊂ Aes compacto, f es uniformemente continua en K.


2.6. Contractividad de funciones


Definicion 2.6.1. Sea (M,d) un espacio metrico. Diremos que f : A ⊂ M → M es unaaplicacion k-contractiva si ∃ k ∈ [0, 1) ⊂ R tal que d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) ∀x, y ∈ A.

Proposicion 2.6.1. Si f : A ⊂M →M es k-contractiva, es uniformemente continua.

Demostracion. Sea ε > 0 arbitrario, y sean x, y ∈ A tales que d(x, y) < ε. Entonces, se tieneque d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) < d(x, y) < ε.

Teorema 2.6.1 (Teorema del punto fijo). Sea M completo y f : M → M una aplicacionk-contractiva. Entonces ∃! x ∈M tal que f(x) = x.

Demostracion. Sea x0 ∈ M . Supongamos que f(x0) 6= x0. Definimos la sucesion {xj} ⊂ Mtal que xn+1 = f(xn) ∀ n ∈ N. Aplicando la definicion de aplicacion k-contractiva de formasucesiva, se obtiene la expresion d(xn+1, xn) ≤ kn d(x1, x0), donde k ∈ [0, 1). Veamos que {xj}es de Cauchy, es decir, que ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N con d(xm, xn) < ε ∀ m,n > ν (m,n ∈ N).Tomando sin perdida de generalidad m > n y aplicando sucesivamente la desigualdad triangular,se tiene d(xm, xn) ≤ d(xm, xm−1)+d(xm−1, xm−2)+· · ·+d(xn+1, xn). Ası, se tiene la desigualdadd(xm, xn) ≤ (km−1 + km−2 + · · ·+ kn) d(x1, x0). Considerese la sucesion {sm} ⊂ R definida porsm = 1+k+ · · ·+km−1. Como |k| < 1, {sm} es convergente y en particular de Cauchy. Entonces,∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N tal que |sm − sn| = km−1 + km−2 + · · · + kn < ε/d(x1, x0) ∀ m,n > ν, luegod(xm, xn) < ε y {xj} es de Cauchy. Como M es completo, {xj} tiene lımite x ∈ M . Entonces,se tiene que

x = lımj→∞

xj+1 = lımj→∞

f(xj) = f

(lımj→∞

xj)

= f(x)

donde se ha usado que como f es contractiva, es uniformemente continua y en particular conti-nua. Esto concluye la prueba de la existencia de un punto fijo.Sean x, y ∈ M tal que f(x) = x y f(y) = y. Por la definicion de aplicacion k-contractiva,d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y), de donde se obtiene (1 − k) d(x, y) ≤ 0 ⇐⇒ d(x, y) ≤ 0, dedonde se deduce la unicidad.

Observacion 2.6.1. La demostracion del teorema nos proporciona un metodo para hallar elpunto fijo x de cualquier aplicacion contractiva f : A ⊂M →M en un espacio metrico completo:

x = lımn→∞

fn(y)

donde y ∈ A es un punto inicial cualquiera.

Definicion 2.6.2. Sea M un K-e.v. y sean || · ||, || · ||′ normas en M . Diremos que son normasequivalentes si ∃ α, β ∈ R+ tal que ∀ x ∈M se tiene α ||x||′ < ||x|| ≤ β ||x||′.

Teorema 2.6.2. En Rn todas las normas son equivalentes.

Definicion 2.6.3. Sea M un conjunto. Diremos que d y d′ son distancias equivalentes si laaplicacion identidad Id : (M,d) 7→ (M,d′) y su inversa son continuas.

Observacion 2.6.2. Distancias equivalentes dan lugar a los mismos conjuntos abiertos, y a lasmismas aplicaciones continuas. Este concepto se trabajara mas en la asignatura de Topologıa.

Capıtulo 3

Calculo diferencial en Rn

3.1. Diferenciabilidad de funciones en Rn

Definicion 3.1.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y un punto a ∈ A. Diremos que f es diferenciable ena ∈ Rn si existe una aplicacion lineal Df(a) : Rn → Rm tal que:

lımh→0

f(a+ h)− (f(a) +Df(a)(h))

||h||= 0

En tal caso se denomina diferencial de f en a a la aplicacion Df(a). Ademas, diremos que f esdiferenciable en B ⊂ A si es diferenciable en todos los puntos de B.

Proposicion 3.1.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A. Entonces, f es diferenciable en a si, y solosi, las funciones componentes fi : A ⊂ Rn → R son diferenciables en a ∀ i ∈ {1, . . . ,m}.

Proposicion 3.1.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm una funcion diferenciable en a ∈ A. Entonces, ladiferencial de f en a evaluada en v ∈ Rn viene dada por

Df(a)(v) = lımt→0

f(a+ tv)− f(a)

t

Demostracion. El lımite de la Definicion 3.1.1 obliga a la existencia e igualdad del lımite direc-cional segun la recta h = tv (donde v ∈ Rn es el vector director de la recta). Entonces:

0 = lımt→0

f(a+ tv)− (f(a) +Df(a)(tv))

||tv||=

1

||v||lımt→0

f(a+ tv)− (f(a) + tDf(a)(v))

|t|= 0

donde se ha hecho uso de que Df(a) es una aplicacion lineal. Esto implica que

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣ lımt→0

f(a+ tv)− (f(a) + tDf(a)(v))

|t|

∣∣∣∣∣∣∣∣ = lımt→0

∣∣∣∣∣∣∣∣f(a+ tv)− (f(a) + tDf(a)(v))

t

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= lımt→0

∣∣∣∣∣∣∣∣ f(a+ tv)− f(a)

t−Df(a)(v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣ lımt→0

f(a+ tv)− f(a)

t−Df(a)(v)

∣∣∣∣∣∣∣∣


Esto ocurre si, y solo si

0 = lımt→0

f(a+ tv)− f(a)

t−Df(a)(v) ⇐⇒ Df(a)(v) = lım

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t

Definicion 3.1.2. Sean f : A ⊂ Rn → Rm, a ∈ A y v ∈ Rn. Se denomina derivada direccionalde f en a segun v al valor del siguiente lımite (si existe):

Df(a)(v) = lımt→0

f(a+ tv)− f(a)

t

Definicion 3.1.3. Se denomina derivada parcial de f en a respecto a la variable xi (o derivadaparcial i-esima de f en a) a la derivada direccional de f en a segun el vector ei de la basecanonica asociada al sistema de coordenadas de Rn, esto es, al valor del lımite (si existe):

∂f

∂xi(a) = lım

t→0

f(a1, . . . , ai + t, . . . , an)− f(a1, . . . , an)

t

Si las derivadas parciales existen ∀x ∈ B ⊂ A, se denomina funcion derivada parcial de frespecto a la variable xi (o funcion derivada parcial i-esima de f) a la funcion

∂f

∂xi: B ⊂ Rn −→ Rm

a 7−→ ∂f

∂xi(a)

Definicion 3.1.4. Sea f : A ⊂ Rn → Rm. Si existen todas las derivadas parciales de f en a, sedenomina matriz jacobiana de f en a a la matriz que tiene por componentes los valores de estasderivadas parciales:

Jf(a) =

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

Si Jf(a) es una matriz cuadrada, se denomina jacobiano a su determinante.

Proposicion 3.1.3. Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion diferenciable en a, la matriz asociadaa la aplicacion lineal Df(a) es la matriz jacobiana de f en a. Es decir, la derivada direccionalde f en a viene dada por:

Df(a)(v) =

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

v1...

vn

En el caso de m = 1, se tiene

Df(a)(v) =∂f

∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a) vn


Demostracion. Sea A = (αij) la matriz asociada a Df(a). La definicion de derivada direccionalpuede reescribirse de forma matricial como

α11 · · · α1n

.... . .

...

αm1 · · · αmn

v1...

vn

= lımt→0

1

t

f1(a+ tv)

...

fm(a+ tv)

−f1(a)

...

fm(a)

Hallando la derivada direccional de f en a segun v = ej , se igualan los vectores componente acomponente para obtener:

αij = lımt→0

fi(a1, . . . , aj + t, . . . , an)− fi(a1, . . . , an)

t=∂fi∂xj

(a)

Observacion 3.1.1. Si f : Rn → R viene dada por y = f(x1, . . . , xn), la derivada parcial def respecto a la variable xi es igual a la derivada de la funcion f(xi) manteniendo el resto devariables como constantes, y puede hallarse mediante reglas de derivacion siempre que f(xi) seauna funcion derivable.

Observacion 3.1.2. Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionalesde f en a y, en particular, tambien las derivadas parciales de f en a. Sin embargo, los recıprocosno son ciertos.

Ejemplo 3.1.1. Sea la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = x1/3y1/3, y estudiemos laexistencia de sus derivadas parciales y su diferenciabilidad en a = (0, 0).

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= lım

t→00 = 0 =

∂f

∂y(0, 0)

Es decir, existen las derivadas parciales de f en (0, 0) y valen 0. Observemos que estas no podıanhallarse mediante reglas de derivacion de funciones en una variable, ya que las funciones x1/3 ey1/3 no son derivables en el origen. Estudiemos ahora si f es diferenciable en (0, 0):

lım(h1,h2)→(0,0)

f(0 + h1, 0 + h2)− f(0, 0)− (0, 0)

(h1

h2

)√h21 + h22

= lım(h1,h2)→(0,0)

h1/31 h

1/32

h1√

2

Tomando la recta de aprox. h1 = h2 el lımite no es igual a 0, y f no es diferenciable en (0, 0).

Definicion 3.1.5. La aproximacion lineal de f en a (en un entorno E(a)) es la aproximacion

f(a+ h) ≈ f(a) +Df(a)(h)

Si m = 1, podemos considerar la generalizacion de la recta tangente a la grafica de funciones enuna variable. Ası, la ecuacion del hiperplano tangente a graf f en (a, f(a)) es:

xn+1 = f(a)+Df(a)(h) = f(a)+Ja(f)(x−a) = f(a)+∂f

∂x1(a)(x1−a1)+ · · ·+ ∂f

∂xn(a)(xn−an)


Definicion 3.1.6. Sea f : A ⊂ Rn → R, y sea a ∈ A tal que f es diferenciable en a. El gradientede f en a es el unico vector ∇f(a) ∈ Rn tal que ∀ v ∈ Rn se tiene

〈∇f(a), v〉 = Df(a)(v)

Observacion 3.1.3. Expresamos, en coordenadas cartesianas, ∇f(a) = (u1, . . . , un) y v =(v1, . . . , vn), luego se tiene 〈∇f(a), v〉 = u1v1 + · · ·+ unvn. Sin embargo, se tiene

Df(a)(v) =∂f

∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a) vn

de donde se deduce la expresion del gradiente de f en a (en coordenadas cartesianas):

∇f(a) =

(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a)

)Proposicion 3.1.4. Sea f : A ⊂ Rn → R, y sea a ∈ A tal que f es diferenciable en a. Entonces,el gradiente ∇f(a) ∈ Rn es el vector director de la recta en cuya direccion la variacion de lafuncion en un entorno E(a) es maxima, creciendo en el sentido de ∇f(a) ∈ Rn y decreciendo enel sentido opuesto. El valor de dicha variacion es Df(a)(v) = ±‖∇f(a)‖, tomando las derivadasdireccionales respecto a vectores unitarios.

Demostracion. Sea v ∈ Rn con ||v|| = 1. Entonces,

Df(a)(v) = 〈∇f(a), v〉 = ‖∇f(a)‖ cosα

donde α es el angulo entre ∇f(a) y v. Ası, la variacion maxima se da cuando ‖Df(a)(v)‖ esmaxima, (cosα = ±1). En ese caso, Df(a)(v) = ± ||∇f(a)||, y v es paralelo a ∇f(a) (de hecho,v = ±∇f(a)/‖∇f(a)‖).

Proposicion 3.1.5. Las direcciones de variacion nula son las perpendiculares a ∇f(a).

Definicion 3.1.7. Sea f : A ⊂ Rn → R diferenciable en U ⊂ A. Llamamos funcion gradientede f a la funcion ∇f : U ⊂ Rn → Rn que aplica a 7→ ∇f(a).

Propiedades 3.1.1. Sean f, g : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A tal que f, g son diferenciables en a.

(a) Linealidad. La funcion αf + βg es diferenciable en a ∀α, β ∈ R, y se tiene

D(αf + βg)(a) = αDf(a) + βDg(a)

(b) Regla de Leibniz del producto. Si m = 1, la funcion fg es diferenciable en a y

D(fg)(a) = Df(a) g(a) + f(a)Dg(a).

(c) Regla de Leibniz del cociente. Si m = 1, g(x) 6= 0 ∀x ∈ U ⊂ A y a ∈ U , la funcionf/g : U → R es diferenciable en a y

D

(f

g

)(a) =

1

g(a)2(Df(a) g(a)− f(a)Dg(a))


(d) La funcion 〈f, g〉 es diferenciable en a y

D〈f, g〉(a) =n∑i=1

(Dfi(a) gi(a) + fi(a)Dgi(a))

Observacion 3.1.4. Las reglas de Leibniz se extienden facilmente a funciones vectoriales com-poente a componente.

3.2. Diferenciabilidad y continuidad

Proposicion 3.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A. Si f es diferenciable en a, entonces f escontinua en a.

Demostracion. Si f es diferenciable en a, ∃Df(a) con f(x) = f(a) +Df(a)(x− a) +R1(x− a),donde lımx→aR1(x− a) = 0. Por lo tanto:

lımx→a

f(x) = lımx→a

f(a) + lımx→a

Df(a)(x− a) + lımx→a

R1(x− a) = f(a)

Ejemplo 3.2.1. La existencia de las derivadas direccionales no garantiza la continuidad de unafuncion. Sea f : R2 → R2 definida por

f(x, y) =

xy2

x2 + y4si (x, y) 6= 0

0 si (x, y) = 0

Calculamos la derivada direccional de f en a = (0, 0) segun el vector v = (v1, v2), que resulta:

Df(a)(v) =

(v2v1

)2

si v1 6= 0

0 si v1 = 0

Por la observacion 3.1.4 f no es diferenciable en a = (0, 0), pero las derivadas direccionalesexisten. Sin embargo, f no es continua ya que

lım(x,y)→(0,0)

x=y2

f(x, y) =1

26= f(a)

Teorema 3.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A. Si existen las derivadas parciales de f en aen E(a) ⊂ A y son funciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a.

Demostracion. Solo tiene que demostrarse para m = 1, ya si las funciones componentes sondiferenciables en a tambien lo es su funcion vectorial. Sea pues f : Rn → R tal que cumple lascondiciones del enunciado. Para cualquier x ∈ E(a), f(x)−f(a) = f(x1, . . . , xn)−f(a1, . . . , an) =f(x1, x2 . . . , xn)− f(a1, x2 . . . , xn) + f(a1, x2 . . . , xn)− · · ·+ f(a1, . . . , an). Sea F1 : R → R conF1(t) = f(t1, x2 . . . , xn), fijadas xi con i 6= 1. Como existen las derivadas parciales de f , en


particular existe la derivada parcial respecto a x1, que coincide con la derivada ordinaria defunciones de una variable. Por el Teorema del Valor Medio, ∃u1 ∈ [a1, x1] tal que

f(x1, x2, . . . , xn)−f(a1, x2, . . . , xn) = F (x1)−F (a1) = F ′(u1)(x1−a1) =∂f

∂x1(u1, x2, . . . , xn)(x1−a1)

Realizando el proceso analogo para cada ui, i ∈ {1, . . . , n}, obtenemos que

f(x)−f(a) =∂f

∂x1(u1, x2, . . . , xn)(x1−a1)+· · ·+

∂f

∂xn(a1, . . . , an−1, un)(xn−an) =

n∑i=1

∂f

∂xi(qi)(xi−ai)

notando qi = (a1, . . . , ai−1, ui, xi+1, . . . , xn). Entonces, tenemos:

|f(x)− f(a)− Jf(a)(x− a)| =

∣∣∣∣∣f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣n∑i=1

(∂f

∂xi(qi)−

∂f

∂xi(a)

)(xi − ai)

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

∣∣∣∣ ∂f∂xi (qi)− ∂f

∂xi(a)

∣∣∣∣ |xi − ai|Pero las derivadas parciales son funciones continuas y en particular continuas en a, luego ∀ ε ∈ R+

∃ d ∈ R+ tal que ||qi−a|| < δ ⇒∣∣∣ ∂f∂xi (qi)− ∂f

∂xi(a)∣∣∣ < ε

n . En consecuencia, de la ecuacion anterior

se deduce que |f(x)− f(a)− Jf(a)(x− a)| ≤n∑i=1

ε

n|xi − ai|. Por lo tanto, ∀ε > 0 se tiene

lımx→a

|f(x)− f(a)− Jf(a)(x− a)|||x− a||

≤ lımx→a

ε

n

n∑i=1

|xi − ai|||x− a||

< ε

Por lo tanto dicho lımite sin valor absoluto es 0, luego f es diferenciable en a.

Definicion 3.2.1. Diremos que la funcion f : A ⊂ Rn → Rm es de clase C1 en U ⊂ A si susderivadas parciales estan definidas en U y son continuas en U .

Corolario 3.2.1. Si f es de clase C1 en U , entonces f es diferenciable en U .

Proposicion 3.2.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y sea U ⊂ A. Si existen las derivadas parciales def en U y son funciones acotadas en U , entonces f es uniformemente continua en U .

Demostracion. Similar a la demostracion del Teorema 3.3.1. Una funcion vectorial es uniforme-mente continua si y solo si lo son sus funciones componentes; veamos que una funcion escalarf : A ⊂ Rn → R con derivadas parciales acotadas en U ⊂ A es uniformemente continua en U .Por hipotesis, existe K ∈ R+ tal que∣∣∣∣ ∂f∂zi (a)

∣∣∣∣ ≤ K i ∈ {1, . . . , n}a ∈ U

Sea x ∈ U . Como U es abierto, ∃ r > 0 tal que Br(x) ⊂ U . Fijando ε > 0 aribtrario, seay ∈ Br(x) ⊂ U tal que ‖x − y‖ < δ = mın{r, ε/nK}. Asimismo, para cada k ∈ {1, . . . , n},consideremos la funcion Fk : [xk, yk] ⊂ R→ R definida por

Fk(t) = f(y1, . . . , yk−1, t, xk+1, . . . , xn)


Como Fk(yk) = Fk+1(xk+1), se tiene:

|f(x)− f(y)| = |F1(x1)− Fn(yn)| =

∣∣∣∣∣n∑k=1

Fk(xk)− Fk(yk)

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|Fk(xk)− Fk(yk)|

Observemos que, tomando 2s = ‖x− y‖ y p = (x+ y)/2, se tiene

Vk = {(y1, . . . , yk−1, t, xk+1, . . . , xn) | t ∈ [xk, yk]} ⊂ Bs(p) ⊂ Br(x) ⊂ U

Entonces, como por hipotesis existen las derivadas parciales de f en U , en particular existen enlos puntos de la forma (y1, . . . , yk−1, t, xk+1, . . . , xn), luego Fk es derivable en [xk, yk], con

F ′k(t) =∂f

∂zk(y1, . . . , yk−1, t, xk+1, . . . , xn)

En particular, Fk es continua en [xk, yk]. Por el Teorema del Valor Medio para funciones de unavariable, ∃ ξk ∈ (xk, yk) tal que

Fk(xk)− Fk(yk) = F ′k(ξk)(xk − yk)

En conclusion,

|f(x)− f(y)| ≤n∑k=1

∣∣F ′k(ξk)∣∣ |xk − yk| ≤ n∑k=1

K‖x− y‖ <n∑k=1

Kδ ≤ ε

Es decir, f es uniformemente continua en U .

3.3. Regla de la cadena

Teorema 3.3.1 (Teorema de la funcion compuesta o regla de la cadena). Sea f : A ⊂ Rn → Rm,y sea a ∈ A tal que f es diferenciable en a. Sea g : B ⊂ Rm → Rp tal que f(A) ⊂ B,b = f(a) ∈ B, con g diferenciable en b. Entonces, g ◦ f : A ⊂ Rn → Rp es diferenciable en a, yD(g ◦ f)(a) = Dg(b) ◦Df(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a).

Demostracion. Como f es diferenciable en a, ∃Df(a) : Rn → Rm tal que f(a + h) = f(a) +

Df(a)(h) + R1(h) con lımh→0

R1(h)

||h||= 0. Del mismo modo, al ser g diferenciable en b, ∃Dg(b) :

Rm → Rp tal que g(b + k) = g(b) + Dg(b)(h) + T1(k) con lımk→0

T1(k)

||k||= 0. Para ver que g ◦ f

es diferenciable en a, hay que ver que ∃D(g ◦ f)(a) : Rn → Rm tal que (g ◦ f)(a + h) =

(g ◦ f)(a) +D(g ◦ f)(a)(h) +R1(h) con lımh→0

R1(h)

||h||= 0.

(g ◦ f)(a + h) = g(f(a + h)) = g(f(a) + Df(a)(h) + R1(h)). Tomando k = Df(a)(h) + R1(h),se tiene (g ◦ f)(a + h) = g(b + k) = g(b) + Dg(b)(k) + T1(k) = g(f(a)) + Dg(b)[Df(a)(h) +R1(h)] + T1(k) = g(f(a)) + Dg(b)(Df(a)(h)) + Dg(b)(R1(h)) + T1(k) = (g ◦ f)(a) + (Dg(b) ◦Df(a))(h) +R1(h).

lımh→0

R1(h)

||h||= lım

h→0

Dg(b)(R1(h)) + T1(k)

||h||= lım

h→0

Dg(b)(R1(h))

||h||+ lımh→0

T1(k)

||h||


Evaluamos los lımites por separado.

lımh→0

Dg(b)(R1(h))

||h||= lım

h→0Dg(b)

(R1(h)

||h||

)= 0

ya que una aplicacion lineal aplicada a algo que tiende a 0, tiende a 0 (Lema 1). Tambien:

lımh→0

T1(k)

||h||= lım

h→0

T1(k)

||k||lımh→0

||k||||h||

= 0

donde se ha usado que lımh→0

||k||||h||

esta acotado. Esto se obtiene de:

lımh→0

||k||||h||

= lımh→0

||Df(a)(h) +R1(h)||||h||

≤ lımh→0

||Df(a)(h)||+ ||R1(h)||||h||

= lımh→0

||Df(a)(h)||||h||

usando el siguiente lema.

Lema 3.3.1. Sea (E, || · ||) un espacio normado y Φ : E → E una aplicacioon lineal. Entonces,∃M ∈ R+ tal que ||Φ(u)|| ≤M ||u||.

Aplicando el lema anterior a la aplicacion lineal Df(a), acabamos obteniendo:

lımh→0

||k||||h||

≤ lımh→0

||Df(a)(h)||||h||

≤ lımh→0

M ||h||||h||

= M

Ası pues, se ha demostrado que ∃D(g ◦ f)(a) = (Dg(b) ◦Df(a)) : Rn → Rm tal que (g ◦ f)(a+

h) = (g ◦ f)(a) +D(g ◦ f)(a)(h) +R1(h), con lımh→0

R1(h)

||h||= 0.

Observacion 3.3.1. La existencia de las derivadas parciales no garantiza la regla de la cadena.Por ejemplo, sean f, g : R→ R con

f(x) =

{x si x < 0

x2 si x ≤ 0g(x) =

{x2 si x < 0

x si x ≥ 0

3.4. Teoremas del valor medio

Teorema 3.4.1 (Teorema del valor medio). Sea f : A ⊂ Rn → R, y U ⊂ A tal que f esdiferenciable en U . Sean a, b ∈ U tal que ab ⊂ U . Entonces, ∃ c ∈ ab tal que

f(b)− f(a) = Df(c)(b− a)

Demostracion. Sea c(t) = a + t(b − a) ∀ t ∈ [0, 1]. En efecto, c(0) = a y c(1) = b. Por laregla de la cadena, la funcion f ◦ c : [0, 1] ⊂ R → R con (f ◦ c)(t) = f(a + t(b − a)) esdiferenciable. Por el teorema del valor medio para funciones de una variable, ∃ t0 ∈ (0, 1) tal que(f ◦ c)(1)− (f ◦ c)(0) = (f ◦ c)′(t0) = Df(c(t0)) ◦Dc(t0) = Df(a+ t0(b− a))(b− a).

Teorema 3.4.2 (Teorema del valor medio). Sea f : A ⊂ Rn → Rm, y U ⊂ A tal que f esdiferenciable en U . Sean a, b ∈ U tal que ab ⊂ U . Entonces, ∃ c ∈ ab tal que

||f(b)− f(a)|| ≤ ||Df(c)(b− a)||

Observacion 3.4.1. El segundo Teorema del Valor Medio es la generalizacion para funcionesvectoriales.

Capıtulo 4

Teoremas sobre funcionesdiferenciables

4.1. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz

Definicion 4.1.1. Sea f : A ⊂ Rn → R una funcion. La derivada parcial de segundo orden def respecto a las variables xi, xj en a ∈ A es la derivada parcial respecto a xj evaluada en a dela funcion derivada parcial de f respecto a xi. Se puede definir la funcion derivada parcial desegundo orden:

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)≡ ∂2f

∂xj∂xi: Bj ⊂ Di ⊂ Rn −→ R

x = (x1, . . . , xn) 7−→ ∂

∂xj

(∂f

∂xi

)(x)

En general, denotaremos la derivada parcial de orden k de la funcion f respecto a las variablesx1, . . . xk como:

∂kf

∂xk · · · ∂x1

Definicion 4.1.2. La funcion f : A ⊂ Rn → R es de clase Ck en U ⊂ Dom f si sus derivadasparciales de orden k son continuas en U . Si f es de clase Ck ∀ k ∈ N, entonces se dice que es declase C∞ o suave.

Observacion 4.1.1. La definicion anterior se extiende de forma natural a funciones vectoriales.

Proposicion 4.1.1. Para funciones vectoriales f : A ⊂ Rn → Rm, se cumple:

(a) Si f es de clase Ck, tambien es de clase Ck−1.

(b) La combinacion lineal de funciones de clase Ck es Ck.

(c) El producto de funciones de clase Ck es Ck.

(d) La composicion lineal de funciones de clase Ck es Ck.


Definicion 4.1.3. Si f : Rn → R (funcion escalar) tiene derivadas parciales de orden 2 en unpunto a ∈ A, la Matriz Hessiana de f en a es la matriz cuyas componentes son dichas derivadas:

Hf(a) =

∂2f

∂x21(a) · · · ∂2f

∂xn∂x1(a)

.... . .

...

∂2f

∂x1∂xn(a) · · · ∂2f

∂x2n(a)

Definicion 4.1.4. El Hessiano de f en a es det(Hf(a)).

Observacion 4.1.2. La matriz Hessiana de f en a no tiene por que ser simetrica. De hecho,puede existir la derivada parcial de segundo orden respecto a xi, xj pero no respecto xj , xi.

Teorema 4.1.1 (Schwarz). Sea f : A ⊂ Rn → R. Si f tiene derivadas parciales cruzadas desegundo orden y son funciones continuas en U ⊂ A, entonces son iguales en U , es decir:

∂2f

∂xj∂xi(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a) ∀ a ∈ U.

Demostracion. Consideremos el caso n = 2, ya que si la funcion es de mas de 2 variables el restose quedan fijas cuando derivamos parcialmente. Definimos

Shk := [f(a1 + h, a2 + k)− f(a1 + h, a2)]− [f(a1, a2 + k)− f(a1, a2)] = gk(a1 + h)− gk(a1)

donde gk(x) := f(x, a2 +k)−f(x, a2). Ası, observemos que gk(x) es una funcion de una variableque devuelve, visualizando f en el plano xy, la diferencia de la funcion al disminuir la coordenaday en k unidades fijando la coordenada x. Existen las derivadas parciales de g (es decir, esderivable, y en particular), por su definicion y la existencia de las de f . Aplicamos el teoremadel valor medio a g: existe chk ∈ (a1, a1 + h) tal que

Shk = g′k(chk)h =

[∂f

∂x(chk, a2 + k)− ∂f

∂x(chk, a2)

]= [F (a2 + k)− F (a2)]h

Podemos aplicar el teorema del valor medio en una variable a la funcion F : existe dhk ∈ (a2, a2+k) tal que

Shk = F ′(dhk)kh =∂2f

∂y∂x(chk, dhk)kh

Puede procederse de forma analoga intercambiando el papel de las variables x, y en toda lademostracion, para obtener que existen dhk ∈ (a2, a2 + k), chk ∈ (a1, a1 + h) tales que

Shk =∂2f

∂x∂y(dhk, chk)kh

Si (h, k) → (0, 0), se tiene que (chk, dhk) → (a1, a2) (dhk, chk) → (a1, a2). Por la continuidad delas derivadas parciales de segundo orden,

∂2f

∂y∂x(a1, a2) = lım

(ckh,dkh)→(a1,a2)

∂2f

∂y∂x(ckh, dkh) = lım

(chk,dhk)→(a1,a2)

∂2f

∂y∂x(chk, khk) =

∂2f

∂x∂y(a1, a2)


Corolario 4.1.1 (Schwarz). Sea f : A ⊂ Rn → R. Si f tiene derivadas parciales cruzadas deorden m y son funciones continuas en U ⊂ A, entonces son iguales en U , es decir, ∀σ ∈ Sm,

∂mf

∂xim · · · ∂xi1=

∂mf

∂xσ(im) · · · ∂xσ(i1)(en U).

Demostracion. Se va a proceder por induccion sobre m.

Veamos primero que se puede aplicar el Teorema de Schwarz para todas las funciones derivadaparcial de orden r con 2 ≤ r ≤ m− 1 de f .

Sea g una funcion derivada parcial de orden m− 1 de la funcion f . Entonces ∂g∂xj

es continua en

U ∀ j ∈ {x1, . . . , xn}. Por lo tanto, g es continua en U (por ser derivable en U). Ası, se puedeaplicar el Teorema de Schwarz para las funciones derivada parcial de orden m−1. Aplicando esterazonamiento sucesivamente, se concluye que se puede aplicar el Teorema de Schwarz para todaslas funciones derivada parcial de orden r, con 2 ≤ r ≤ m− 1. Por lo tanto, todas las derivadasparciales cruzadas de orden r = 2 seran iguales en U . Supongamoslo cierto para 3 ≤ r ≤ m− 1.

Veamos ahora que tambien es cierto para r = m; es decir, que∂mf

∂xi1 · · · ∂xim=

∂mf

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(im).

Si i1 = σ(i1), entonces∂mf

∂xi1 · · · ∂xim=

∂

∂xσ(i1)

(∂m−1f

∂xi2 · · · ∂xim

)H.I.=

∂mf

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(im).

Si i1 6= σ(i1), entonces i1 = σ(ik) con k 6= 1. Sea {xσ(i1), . . . , xσ(ik−1), xσ(ik+1), xσ(im)} unapermutacion de {xi2 , . . . , xin}. Entonces

∂mf

∂xi1 · · · ∂xim=

∂

∂xi1

(∂m−1f

∂xi2 · · · ∂xim

)H.I.=

∂

∂xi1

(∂m−1f

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(ik−1) ∂xσ(ik+1) · ∂xσ(im)

)

=∂2

∂xi1∂xσ(i1)

(∂m−2f


)

=∂2

∂xσ(i1)∂xi1

(∂m−2f


)

= · · · = ∂k

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(ik−2)∂xi1∂xσ(ik−1)

(∂m−kf

∂xσ(ik+1) · · · ∂xσ(im)

)

=∂k

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(ik−2)∂xσ(ik−1)∂xi1

(∂m−kf

∂xσ(ik+1) · · · ∂xσ(im)

)i1=σ(ik)

=∂mf

∂xσ(i1) · · · ∂xσ(im)

Corolario 4.1.2. Sea f : A ⊂ Rn → R. Si f es de clase Ck en U ⊂ A, las derivadas parcialescruzadas de orden m son iguales, 2 ≤ m ≤ k.


4.2. Teorema de la funcion inversa

Teorema 4.2.1 (Teorema de la funcion inversa). Sea f : A ⊂ Rn → Rn, y a ∈ A tal que f es declase Ck (k ≥ 1) en E(a) ⊂ A. La condicion necesaria y suficiente para que exista U ⊂ E(a) ⊂ Acon a ∈ U , y ∃ f−1 : f(U) ⊂ Rn → U ⊂ Rn de clase Ck en f(U) es que det Jf(a) 6= 0. Entonces,

Df−1(f(a)) = Df(a)−1

Demostracion. Consideremos la funcion f = (Df(a))−1 ◦ f : A ⊂ Rn −→ Rn.

� Lema. (i) La funcion f es de clase Ck en A y Df(a) = Id.(ii) Si existe la inversa local f−1 ∈ Ck, entonces existe la inversa local f−1 ∈ Ck yf−1 = f−1 ◦ (Df(a))−1.

Por lo tanto, es equivalente demostrar el resultado para f o para f .

� Obtencion de una inversa local usando el Teorema del punto fijo.

Se va a demostrar que ∀ y ∈ E(f(a)), ∃ ! x ∈ E(a) : y = f(x). Es decir, que f eslocalmente biyectiva y, por lo tanto, invertible.

. Consideremos la funcion g(x) = x− f(x), que es de clase Ck, con lo cual sus derivadasparciales son continuas. Esta funcion tambien cumple que Dg(a) = 0. Ası, por elTeorema del Valor Medio, ∃ q1, . . . , qn ∈ Br(a) : gi(x) − gi(a) = Dgi(qi)(x − a),donde ‖x−a‖ < r. Aplicando la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, ‖g(x)− g(a)‖ < r

2 .Con lo que se concluye que g es una funcion k–contractiva, con k = 1

2 , que aplica labola Br(a) en la bola B r

2(g(a)).

. ∀ y ∈ B r2(g(a)), consideremos la funcion gy(x) = y + g(x) = y + x − f(x). Sean

x1, x2 ∈ Br(a). Entonces ‖gy(x2) − gy(x1)‖ < 12‖x2 − x1‖. Por lo tanto gy es una

funcion k–contractiva, con k = 12 , en Br(a) =⇒ ∃ ! punto fijo x ∈ Br(a) :

x = gy(x) = y + x− f(x) ⇐⇒ y = f(x)

Pot lo tanto, existe la inversa local f−1 : B r2(g(a)) −→ Br(a).

� La inversa f−1 es contınua.

∀ y1, y2 ∈ B r2(g(a)), si x1 = f−1(y1), x2 = f−1(y2), se cumple la definicion de continuidad,

puesto que

‖x2 − x1‖ < 2‖y2 − y1‖.

� La inversa f−1 es diferenciable.

Hay que probar que existe la aplicacion lineal Df−1(x) tal que, si y + k ∈ B r2(g(a)),

entonces

f−1(y + k)− f−1(y) = Df−1(y)(k) +R1(k), con R1(k) = o(‖k‖).


� La inversa f−1 es de clase Ck.

f ∈ Ck =⇒ ∂f

∂xi∈ Ck =⇒ ∂f−1

∂yi∈ Ck =⇒ f−1 ∈ Ck.

� La inversa f−1 existe y es de clase Ck.

Por el apartado (ii) del Lema.

Para demostrar la ultima parte, supongamos que existe la inversa f−1 de clase Ck en f(U). Pordefinicion de inversa, f−1 ◦ f = IdU y f ◦ f−1 = Idf(U). Ambas funciones son diferenciables, porlo que puede aplicarse la regla de la cadena:

D(f−1 ◦ f

)(a) = Df−1

(f(a)

)◦Df(a) = D Id = Id,

D(f ◦ f−1

)(a) = Df(a) ◦Df−1

(f(a)

)= D Id = Id.

Se concluye que Df−1(f(a)) = Df(a)−1.

Corolario 4.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rn una funcion inyectiva de clase Ck en A. La condicionnecesaria y suficiente para que f−1 : f(A) ⊂ Rn → A ⊂ Rn sea de clase Ck es que det Jf(x) 6=0 ∀x ∈ A. Entonces, Df−1(f(x)) = Df(x)−1 ∀x ∈ A.

Definicion 4.2.1. Una funcion f : A ⊂ Rn → Rn es un difeomormismo de clase Ck, con k ∈ N,si es biyectiva y tanto f como f−1 son de clase Ck.

Definicion 4.2.2. Una funcion f : A ⊂ Rn → Rn es un difeomormismo local cuando ∀ a ∈ Aexiste un abierto Ua que contiene a donde la restriccion de f es un difeomormismo.

4.3. Teorema de la funcion implıcita

Dado el sistema de ecuaciones Fk = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 ∀ k ∈ {1, . . . ,m}, ¿es posibleobtener de forma explıcita yk = fk(x1, . . . , xn) ∀ k ∈ {1, . . . ,m}? Ademas, ¿cuando se puedehacer diferenciablemente?

Teorema 4.3.1 (Teorema de la funcion implıcita). Sea una funcion

F : W ⊂ Rn × Rm −→ Rm

(x, y) ≡ (x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) 7−→ (F1(x, y), . . . , Fm(x, y))

y considerese p ≡ (a1, . . . , an, b1, . . . , bm) ≡ (a, b) ∈W tal que:

(i) F (p) ≡ F (a, b) = 0.

(ii) F es de clase Ck, con k ≥ 1, en un entorno E(p).


(iii) det

(∂Fi∂yj

(p)

)6= 0, para i, j ∈ {1, . . . ,m}, En particular, rang JF (p) = m.

JF (p) =

∂F1

∂x1(p) · · · ∂F1

∂xn(p)

∂F1

∂y1(p) · · · ∂F1

∂ym(p)

.... . .

......

. . ....

∂Fm∂x1

(p) · · · ∂Fm∂xn

(p)∂Fm∂y1

(p) · · · ∂Fm∂ym

(p)

Entonces existen abiertos A ⊂ Rn, B ⊂ Rm, a ∈ A, b ∈ B y ∃ !

f : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x ≡ (x1, . . . , xn) 7−→ (y1, . . . , ym) ≡ (f1(x), . . . , fm(x))

(en particular, f(a) = b), tal que

(a) f es de clase Ck en A.

(b) F (x, f(x)) = 0 ∀x ∈ A.

Demostracion. Construimos una funcion auxiliar, con el mismo dominio de F . Sus n primerascomponentes son la identidad, y las m componentes restantes son el resultado de la aplicacionde F a la variable independiente.

G : W ⊂ Rn+m −→ Rn+m

(x, y) 7−→ (x, F (x, y)) ≡ (x, y)

F es de clase Ck en E(p) y

JF (p) =

IRn (O)n×m∂F

∂x(p)

∂F

∂y(p)

, det JG(p) = det

(∂F

∂y(p)

)6= 0

Podemos aplicar el Teorema de la Funcion Inversa a la funcion G. Ası, ∃U ⊂ E(p) ⊂ Rn+m conp ∈ U , y ∃V ∈ Rn+m tales que

∃G−1 : V ⊂ Rn+m −→ U ⊂ Rn+m

(x, y) 7−→ (x, y)

donde G−1 es de clase Ck, e y = h(x, y) para cierta funcion h : V ⊂ Rn+m → Rm. Entonces,∀ (x, y) ∈ V se tiene: (x, y) = (G◦G−1)(x, y) = G(G−1(x, y)) = G(x, h(x, y)) = (x, F (x, h(x, y))),de donde se deduce que y = F (x, h(x, y)).

Sea el conjunto A ≡ {x ∈ Rn | (x, 0) ∈ V } y sea

f : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x 7−→ h(x, 0)


(a) f es de clase Ck en A porque h lo es como consecuencia del Teorema de la funcion inversa.

(b) Tomese y = 0, ∀x ∈ A. Entonces 0 = F (x, h(x, 0)) = F (x, f(x)).

Veamos la unicidad. Supongamos que ∃ g : A ⊂ Rn −→ Rm con las mismas propiedades, pero talque ∃x0 ∈ A tal que f(x0) 6= g(x0). Se tiene entonces que F (x0, g(x0)) = 0 = F (x0, f(x0)), dedonde se deduce que F no es inyectiva en U , luego G tampoco, Y por lo tanto G no es invertible,que es una contradiccion.

Definicion 4.3.1. La funcion f se denomina funcion implıcita definida por F .

Ejemplo 4.3.1. Sea F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0. Sea p = (a, b) con a2 + b2 = 1, es decir, quecumple que F (a, b) = 0. F es de clase C∞, y por lo tanto de clase C1 en cualquier E(p). Ademas,JF (p) = (2a, 2b). Si, por ejemplo, b 6= 0, entonces ∃ A,B ⊂ R y ∃! f : A ⊂ R→ B ⊂ R tal quey = f(x), satisfaciendo F (x, f(x)) = 0. En este caso, si b > 0 se tiene y = f(x) =

√1− x2, y si

b < 0 entonces y = f(x) = −√

1− x2. Analogamente, si a 6= 0 se puede obtener x = f(y).

Corolario 4.3.1. Podemos hallar la diferencial de la funcion implıcita f , aun sin conocerla.Con las hipotesis del teorema, los elementos de la Jf(a), que representa Df(a), se obtienencomo solucion del siguiente sistema lineal de m× n ecuaciones:

0 =∂Fi∂xj

(p) +m∑k=1

∂Fi∂yk

(p)∂fk∂xj

(a) coni ∈ {1, . . .m}j ∈ {1, . . . , n}

es decir: (∂Fi∂xj

(p)

)+

(∂Fi∂yk

(p)

)·(∂fk∂xj

(a)

)= 0

(∂fk∂x

(a)

)= −

(∂Fi∂yk

(p)

)−1(∂Fi∂x

(p)

)

Demostracion. Por el Teorema de la funcion implıcita, sabemos que dada una funcion

F : W ⊂ Rn+m −→ Rm

(x, y) 7−→ F (x, y)

existe

f : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x 7−→ f(x) = y

tal que F (x, f(x)) = 0. Usaremos una funcion auxiliar g : A ⊂ Rn → Rn+m, con g(x) =g(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, f1(x), . . . , fm(x)). Observemos que (F◦ g)(x) = F (g(x)) = F (x, f(x)) =0 ∀x ∈ Rn. Sabemos que F es diferenciable en p, y g es diferenciable en a (pues ambas son di-ferenciables en su dominio). Usamos la regla de la cadena: J(F ◦ g)(a) = Jf(p)Jg(a) = 0, es


decir:

∂F1

∂x1(p) · · · ∂F1

∂xn(p)

∂F1

∂y1(p) · · · ∂F1

∂ym(p)

.... . .

......

. . ....

∂Fm∂x1

(p) · · · ∂Fm∂xn

(p)∂Fm∂y1

(p) · · · ∂Fm∂ym

(p)

1. . .

1∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)...

. . ....

∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

= (0)m×n

(∂Fi∂xj

(p)

)m×n

In +

(∂Fi∂yk

(p)

)m×m

(∂fk∂xj

(a)

)m×n

= (0)m×n

4.4. Teoremas del rango

Teorema 4.4.1 (Rectificacion del dominio). Sea F : W ⊂ Rn+m → Rm de clase Ck (k ≥ 1) enA ⊂ W , y sea p ∈ A tal que rang JF (p) = m (maximo). Entonces, ∃U, V ⊂ Rn+m abiertos conp ∈ U , y un difeomorfismo H : V ⊂ Rn+m → U ⊂ Rn+m (cambio de coordenadas, diferenciabley con inversa diferenciable) de clase Ck en V tal que F (H(x, y)) = y ∀ (x, y) ∈ V .

U ⊂ Rn+m Rm

V ⊂ Rn+m

F

HF ◦H

Demostracion. Demostracion como la del teorema de la funcion implıcita, con H = G−1.

Definicion 4.4.1. En ese caso, diremos que F ◦H es una submersion.

Observacion 4.4.1. Este teorema asegura la existencia de un cambio de variables H en Rn+m,de manera que convierte a F en una proyeccion de Rn+m en Rm sobre las m ultimas variables.

Teorema 4.4.2 (Rectificacion de la imagen). Sea F : Rn → Rn+m de clase Ck (k ≥ 1) enA ⊂ Rn, y sea p ∈ A tal que rang JF (p) = n (maximo). Entonces, ∃U, V ⊂ Rn+m abiertoscon F (p) ∈ U , y una aplicacion H : U ⊂ Rn+m → V ⊂ Rn+m de clase Ck en U tal queH(F (x)) = (x, 0) ∀x ∈ F−1(U).

F−1(U) ⊂ Rn U ⊂ Rn+m

V ⊂ Rn+m

F

F ◦HH


Demostracion. La matriz Jacobiana de F en p es:

JF (p) =

(∂Fi∂x (p)∂Fj

∂x (p)

)i ∈ {1, . . . n}

j ∈ {n+ 1, . . . , n+m}, Tomamos rang

(∂Fi∂x

(p)

)= n.

Definimos entonces la funcion

G : Rn+m −→ Rn+m

(x, y) 7−→ (F (x) + (0, y))

para x ∈ Rn, y ∈ Rm. La matriz jacobiana de G en (p, 0) es:

JG(p, 0) =

∂Fi∂x

(p) 0

∂Fj∂x

(p) Im×m

Entonces, se tiene det (JG(p, 0)) = det

(∂Fi∂x

(p)

)6= 0, y por el Teorema de la funcion inversa

∃G−1 ≡ H : V ⊂ Rn+m → U ⊂ Rn+m con (x, 0) = (G−1 ◦ G)(x, 0) = H(F (x) + (0, 0)) =H(F (x)).

Definicion 4.4.2. En ese caso, diremos que H ◦ F es una inmersion.

Teorema 4.4.3 (Teorema general del rango). Sea F : Rr+n → Rr+m, y p ∈ DomF tal querang JF (p) = r y F es de clase Ck en E(p). Bajo estas hipotesis existen difeomorfismos locales

H1 : U1 ⊂ Rr+n −→ V1 ⊂ Rr+n

H2 : U2 ⊂ Rr+m −→ V2 ⊂ Rr+mde clase Ck

con p ∈ V1, F (p) ∈ U2 y tales que

(H2 ◦ F ◦H1)(x) = (x1, . . . , xr, 0 . . . , 0) ∀x ∈ U1.

V1 ⊂ Rr+n U2 ⊂ Rr+m

U1 ⊂ Rr+n V2 ⊂ Rr+m

F

H2 ◦ F ◦H1

H1 H2

Demostracion. Proof by uncaccessible literature. Mardsen-Hoffman p.974.

Capıtulo 5

Polinomio de Taylor y estudio localde funciones.

5.1. Teorema de Taylor

Teorema 5.1.1 (Taylor). Sea f : A ⊂ Rn → R, y sea a ∈ A tal que f es de clase Ck+1 (k ≥ 0)en E(a) ⊂ A. Sea x ∈ E(a) tal que ax ⊂ E(a). Entonces:

f(x) = f(a) +1

1!

n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) +

1

2!

n∑i=1j=1

∂2f

∂xj xi(a)(xi − ai)(xj − aj) + · · ·

· · ·+ 1

k!

n∑ik,...,i1=1

∂kf

∂xik · · · ∂xi1(a) (xik − aik) · · · (xi1 − ai1) +Rk(f, a) ≡ Pk(f, a) +Rk(f, a)

donde Rk(f, a) = o(||h||k), es decir, lımh→0

Rk(f, a)

||h||k= 0. Si ademas f ∈ Ck en E(a), entonces:

Rk(f, a) =1

(k + 1)!

n∑ik+1,...,i1=1

∂k+1f

∂xik+1· · · ∂xi1

(ξ) (xik+1− aik+1

) · · · (xi1 − ai1)

para algun ξ ∈ ax. Diremos que Pk(f, a) es el polinomio de Taylor de grado k de f en a.

Observacion 5.1.1. De forma compacta, escribimos:

f(x) = f(a) +

k∑m=1

1

m!

n∑im,...,i1=1

∂mf

∂xim · · · ∂xi1(a)

m∏j=1

(xij − aij )

+Rk(f, a)

Demostracion. Sea c la paramatrizacion del segmento ax ⊂ E(a):

c : R −→ E(a) ⊂ Rn

t 7−→ c(t) = a+ t (x− a)︸︷︷︸h

= a+ th


donde c(0) = a, c(1) = x, y c es de clase C∞. A continuacion, definimos F como la composicionf ◦ c:

F ≡ f ◦ c : R c−−→ E(a) ⊂ A ⊂ Rn f−−→ R

t 7−→ c(t) = a+ th 7−→ f(c(t)) = f(a+ th)

En efecto, F es de clase Ck+1 (regla de la cadena), y al ser de una variable podemos aplicar elteorema de Taylor para funciones de una variable, desarrollando el polinomio de Taylor en t = 0(polinomio de Maclaurin), evaluandolo en t = 1:

F (1) = F (0) + F ′(0) +F ′′(0)

2!+ · · ·+ F k(0)

k!+F k+1(tξ)

(k + 1)!

para cierto tξ ∈ [0, 1]. Aplicamos la regla de la cadena para evaluar F i(0) para cada i.

F ′(0) = D(f ◦ c)(0) = Df(c(0)) ◦Dc(0) = Jf(a) (x− a)

F ′(0) =

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi

Hallamos, aplicando la regla de la cadena, el resto de derivadas de F .

F ′′(0) =n∑i=1j=1

∂2f

∂xj xi(a)hj hi

De forma inductiva, se obtiene:

F k(0) =n∑

ik,...,i1=1

∂kf

∂xik · · · ∂xi1(a)hik · · ·hi1

F k+1(tξ) =n∑

ik+1,...,i1=1

∂k+1f

∂xik+1· · · ∂xi1

(c(tξ))hik+1· · ·hi1

donde c(tξ) = a+ txi(x− a) ≡ ξ ∈ ax.

Observacion 5.1.2. La tecnica que se ha usado en esta demostracion puede utilizarse paracalcular polinomios de Taylor de forma rapida.

Observacion 5.1.3. Si f es una funcion vectorial, podemos aplicar el teorema de Taylor com-ponente a componente.

Problema 5.1.1. Sea F ≡ f ◦ g : Rn g−−→ R f−−→ R. Para calcular el Polinomio de Taylor de

F de grado m en el punto x ∈ R, se puede componer el polinomio de Taylor de f centrado eng(x) con el polinomio de Taylor de g centrado en x, truncando a grado m.


5.2. Extremos locales libres, puntos crıticos y condicion necesa-ria de extremos

Definicion 5.2.1. Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A. Diremos que f tiene un maximo local si∃Br(a) tal que f(x) ≤ f(a) ∀x ∈ Br(a).

Definicion 5.2.2. Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A. Diremos que f tiene un mınimo local si∃Br(a) tal que f(x) ≥ f(a) ∀x ∈ Br(a).

Definicion 5.2.3. Si f tiene un maximo o un mınimo local en a, f tiene un extremo local en a.

Proposicion 5.2.1 (Condicion necesaria de extremos). Sea f : A ⊂ Rn → R, y sea a ∈ A talque f es diferenciable en a. Si f tiene un extremo local en a, entonces Df(a) = ∇f(a) = 0.Equivalentemente,

∂f

∂xi(a) = 0 ∀ i ∈ {1, . . . , n}

Demostracion. Consideramos la restriccion de f a cualquier recta parametrizada c : R → Rdefinida por c(t) = a+ tv. Si f tiene un extremo en a, la restriccion F = f ◦ c tiene un extremoen 0, ya que c(0) = a. Por calculo en una variable, sabemos que F ′(0) = 0. Ası:

0 = F ′(0) = lımt→0

F (t)− F (0)

t= lım

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t= Df(a)(v)

Luego cualquier derivada direccional de f en a es nula.

Definicion 5.2.4. Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tal que f es diferenciable en a. Se dice quea es un punto crıtico de f si Df(a) = 0.

Definicion 5.2.5. Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tal que f es diferenciable en a. Se dice quea es un punto de silla de f si es un punto crıtico pero no es extremo.

Ejemplo 5.2.1. Sea f : R2 → R definida por f(x, y) = x2− y2. El punto a = (0, 0) es un puntocrıtico de f , pero no es un extremo local de f .

5.3. Formas cuadraticas

Sea E un espacio vectorial euclıdeo, dimE = n, con base B = {e1 . . . , en}.

Definicion 5.3.1. Sea A ∈ Mn(R), A ≡ (aij) para i, j ∈ {1, . . . , n}. La forma cuadraticaasociada a la matriz A es la aplicacion

A : E −→ R

x ≡ x1e1 + . . .+ xnen 7−→n∑

i,j=1

aijxixj = (x1, . . . , xn)A

x1...

xn

Es decir, en coordenadas en base B, se tiene A(x) = xAxT .


Observacion 5.3.1. Es una definicion similar a la de forma bilineal, aplicada a un solo vector.

Definicion 5.3.2. Una forma cuadratica A es definida positiva si A(x) > 0 ∀x 6= 0, y semi-definida positiva si A(x) ≥ 0 ∀x 6= 0. Analogamente se define una forma cuadratica definidanegativa o semidefinida negativa. En cualquier otro caso, la forma cuadratica es indefinida.

Teorema 5.3.1. Sean A ∈Mn(R) y A una forma cuadratica.

A es definida positiva ⇐⇒ ∃λ ∈ R+ | A(x) ≥ λ||x||2, ∀x 6= 0.

A es definida negativa ⇐⇒ ∃λ ∈ R− | A(x) ≤ λ||x||2, ∀x 6= 0.

Proposicion 5.3.1 (Criterio de los valores propios). Sea A ∈ Mn(R) simetrica y A su formacuadratica asociada.

a) Todos los valores propios de A son positivos ⇐⇒ A es definida positiva.

b) Hay algun valor propio nulo y el resto son positivos ⇐⇒ A es semidefinida positiva.

c) Todos los valores propios son negativos ⇐⇒ A es definida negativa.

d) Hay algun valor propio nulo y el resto son negativos ⇐⇒ A es semidefinida negativa.

e) ∃ valores propios positivos y negativos ⇐⇒ A es indefinida.

Proposicion 5.3.2 (Criterio de Silvester o de ”determinantes orlados”). Sea A ∈ Mn(R) unamatriz simetrica, y sea A la forma cuadratica asociada a A. Denotamos por ∆i el determinantede la submatriz cuadrada de orden i orlada a partir de A.

a) A es definida positiva ⇐⇒ ∆i > 0, ∀ i ∈ {1, . . . , n}.

b) A es definida negativa ⇐⇒ (−1)i ∆i > 0, ∀ i ∈ {1, . . . , n}.

c) En el resto de los casos:

(i) A es indefinida ⇐⇒ detA 6= 0.

(ii) A es semidefinida ⇐⇒ detA = 0.

En cualquier otro caso, el criterio no decide.

5.4. Condiciones suficientes de extremo

Proposicion 5.4.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tal que f es de clase C2 en E(a). SeaHf(a) ∈ Mn(R) la matriz hessiana de f en a (que por el teorema de Schwarz es simetrica), ysea Hf(a) la forma cuadratica asociada, que denominaremos la Hessiana de f en a. Si a es unpunto crıtico de f , entonces:

a) Si Hf(a) es definida positiva =⇒ f tiene un mınimo local estricto en a.

b) Si Hf(a) es definida negativa =⇒ f tiene un maximo local estricto en a.


c) Si Hf(a) es indefinida =⇒ f tiene un punto de silla en a.

En el resto de casos el criterio no decide, y se dice que f tiene en a un punto crıtico degenerado.

Demostracion. Sea x ≡ a+h ∈ E(a). Si a es un punto crıtico de f , todas las derivadas parcialesde primer orden son nulas. Aplicando el teorema de Taylor:

f(x) ≡ f(a+ h) = f(a) +1

2

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a)hihj +R2(f ; a) = f(a) +

1

2Hf(a)(h) +R2(f ; a)

a) Hf(a) es definida positiva ⇐⇒ ∃λ ∈ R+ que cumple Hf(a)(h) ≥ λ||h||2, luego:

f(x)− f(a) ≥ 1

2λ||h||2 +R2(f ; a)

f(x)− f(a)

||h||2≥ 1

2λ+

R2(f ; a)

||h||2

Pero se sabe que R2(f ; a) = o(||h||2), luego tomando lımites

lımh→0

f(x)− f(a)

||h||2≥ 1

2λ

Como λ > 0, existe un entorno donde f(x) − f(a) > 0 (tomando ε = λ/2 en la definicion), esdecir, hay un mınimo local estricto en a. Ası, se obtiene el enunciado (a). El resto de enunciadosde prueban de forma similar.

Observacion 5.4.1. Se han visto dos criterios para determinar si una matriz es definida positiva,definida negativa o indefinida; podemos combinarlos con la proposicion anterior para obtenermetodos sencillos para estudiar los puntos crıticos de una funcion.

Proposicion 5.4.2 (Criterio de los valores propios de la matriz hessiana). Sean f : A ⊂ Rn −→R y a ∈ A tal que f es de clase C2 en E(a) y f tiene un punto crıtico en a.

a) Si todos los valores propios de Hf(a) son positivos =⇒ f tiene un mınimo local estrictoen a.

b) Si todos los valores propios de Hf(a) son negativos =⇒ f tiene un maximo local estrictoen a.

c) Si hay valores propios positivos y negativos =⇒ f tiene un punto de silla en a.

Demostracion. Se obtiene del Criterio de los valores propios y la Proposicion 5.4.1.

Proposicion 5.4.3 (Criterio de los determinantes orlados de la matriz hessiana o de Silvester).Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tal que f es de clase C2 en E(a) y f tiene un punto crıtico en a.

a) Si todos los determinantes orlados son positivos (∆i > 0,∀ i = 1, . . . , n) =⇒ f tiene unmınimo local estricto en a.


b) Si (−1)i∆i > 0(∀ i = 1, . . . , n) =⇒ f tiene un maximo local estricto en a.

c) En cualquier otro caso, si det Hf(a) 6= 0 =⇒ f tiene un punto de silla en a.

Demostracion. Se obtiene del Criterio de Silvester y la Proposicion 5.4.1.

Observacion 5.4.2. Podra usarse cualquiera de los dos criterios. El de los valores propioses mas general (lo veremos en clase de problemas). Sin embargo, para n ≥ 3, el criterio deSilvester es mas facil de aplicar. En los examenes, buscan algun punto para el que los criteriosno sirvan (punto crıtico degenerado), y habra que hacer un estudio local (nos ensenan en clasede problemas).

Capıtulo 6

Subvariedades regulares y extremoscondicionados

6.1. Subvariedades regulares de Rn

Definicion 6.1.1. Diremos que M ⊂ Rn es una subvariedad regular r-dimensional de clase Cken Rn (r < n, r ∈ N, k ≥ 1) si ∀ p ∈ M, ∃U ⊂ Rn abierto con p ∈ U y un difeomorfismo declase Ck Φ : U ⊂ Rn → Φ(U) ⊂ Rn tal que

Φ(U ∩M) = Φ(U) ∩ {(x1, . . . , xn) ∈ Rn |xr+1 = · · · = xn = 0} ≡ Φ(U) ∩ (Rr × 0n−r)

Ejemplo 6.1.1. Si M es una subvariedad regular de dimM = 1, entonces es una curva regularen Rn. En ese caso, existe un difeomorfismo que envıa un arco de curva y lo rectifica sobre el ejex. Si dimM = 2, entonces se trata de una superficie regular en Rn, y el difeomormismo envıauna seccion de la superficie al plano xy. Si dimM = n − 1, diremos que es una hipersuperficieregular.

Observacion 6.1.1. Les curvas que tienen puntos angulosos o picos no son regulares. Tampocolo son las curvas o superficies que intersectan consigo mismas.

Teorema 6.1.1. Un conjunto M ⊂ Rn es una subvariedad regular r-dimensional de clase Cken Rn si, y solo si, se satisface alguna de las siguientes condiciones:

(a) El conjunto M es localmente un conjunto de nivel de una funcion de clase Ck, es decir,∀ p ∈ M ∃U ⊂ Rn abierto con p ∈ U y una funcion F : U ⊂ Rn → Rn−r de clase Ck talque F (U ∩M) = 0n−r y rango DF (x) = n − r ∀x ∈ U ∩M . Se dice que la subvariedadregular esta dada en forma implıcita. Ejemplo: circunferencia x2 + y2 − 1 = 0.

(b) El conjunto M es localmente la grafica de una funcion de clase Ck, es decir, si ∀ p ∈M ∃U ⊂ Rn abierto con p ∈ U y una funcion f : U ⊂ Rn → Rn−r de clase Ck tal queU ∩M = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | (x1, . . . , xr) ∈ A, f((x1, . . . , xn) ∈ Rn) = (xr+1, . . . , xn)}. Sedice que la subvariedad regular esta dada en forma explıcita.

(c) Para cualquier p ∈M , ∃σ : D ⊂ Rn−r → U ⊂ Rn con p ∈ U de clase Ck tal que:


(i) σ es inyectiva

(ii) σ(D) = U ∩M(iii) rangoDσ(t) = n− r ∀ t ∈ D.

Se dice que la subvariedad regular esta dada en forma parametrica, o que σ es una para-metrizacion regular local de la subvariedad.

Ejemplo 6.1.2. Se presentan varios ejemplos de subvariedades regulares.

1. Se toma el hiperboloide de dos hojas descrito por

F (x, y, z) = z2 − x2 − y2 − 1 = 0 (Forma implıcita)

Si se despeja una de las variables en funcion del resto:

f(x, y) ≡√x2 + y2 + 1 = z (Forma explıcita)

Sin embargo, este despeje no describe de forma completa la subvariedad y para ello sedeben definir dos funciones con las terminaciones de la raız. Una de las parametrizacionesmas simples es tomar directamente las variables x, y como parametros. Por ejemplo:

σ : R2 −→ R3

(x, y) 7−→(x, y,

√x2 + y2 + 1

)Otra posible parametrizacion de la funcion es:

σ : R× (0, 2π) ⊂ R2 −→ R3

(r, ϕ) 7−→(r cosϕ, r sinϕ,

√r2 + 1

)

2. Se toman las funciones

F1(x, y, z) ≡ x+ y + z = 0

F2(x, y, z) ≡ x2 + y2 − 1 = 0

F : R3 −→ R2

(F1, F2)

Resolviendo el sistema en funcion de un parametro, tomando la determinacion positiva,

y = f1(x) =√

1− x2 =⇒ z = f2(x) = −x−√

1− x2.

Se da ahora una parametrizacion.

σ : R −→ R3

x 7−→(x,√

1− x2,−x−√

1− x2)

Otra posible parametrizacion es

σ : (0, 2π) ⊂ R −→ R3

ϕ 7−→(

cosφ, sinφ,−(sinφ+ cosφ)).


6.2. Espacio tangente y variedad tangente a una subvariedadregular

Definicion 6.2.1. Sea M ⊂ Rn una curva regular en Rn. Una parametrizacion regular de M es

c : I ⊂ R −→ M ⊂ Rn

t 7−→ (x1(t), . . . , xn(t))

Definicion 6.2.2. Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional de clase Ck, y sea p ∈M .El vector v ∈ Rn es un vector tangente a M en p si ∃ c : I ⊂ R → Rn curva parametrizadaregular tal que

(i) Im c ⊂M

(ii) ∃ t0 ∈ I tal que c(t0) = p y c′(t0) = v

Una recta tangente a la curva en c(t0) es la recta c(t0) + λc′(t0).

Proposicion 6.2.1. El conjunto de los vectores tangentes a M en p ∈ M , junto con el vector0 ∈ Rn, son un espacio vectorial r-dimensional y se denota TpM . Si {e1, . . . , er, er+1, . . . , en}es una base canonica de Rn asociada a las coordenadas {x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xn}, entonces unabase de TpM es {(DΦ(p))−1(e1), . . . , (DΦ(p))−1(er)}.

Observacion 6.2.1. La dimension del espacio tangente coincide con la de la subvariedad.

Definicion 6.2.3. TpM es el espacio tangente a M en p. Ademas, el espacio vectorial

TpM⊥ := {u ∈ Rn | 〈u, v〉 = 0,∀ v ∈ TpM}

es (n− r)-dimensional y se denomina espacio ortogonal (o normal) a M en p.

Lema 6.2.1. Si la subvariedad regular M ⊂ Rn esta dada en forma implıcita por medio de unafuncion

F : Rn −→ Rn−r

x 7−→ (F1(x), . . . , Fn−r(x))

entonces {∇F1(p), . . . ,∇Fn−r(p)} ⊂ TpM⊥ y es base del espacio ortogonal a M en p, TpM⊥.

Demostracion. Sean p ∈M y una curva parametrizada regular cualquiera c : I ⊂ R −→M ⊂ Rntal que c(t0) = p, t0 ∈ I. Para cada i ∈ {1, . . . , n− r} consideremos la composicion

Fi ◦ c : I ⊂ R c−−→M ⊂ Rn Fi−−→ R

Como F describe implıcitamente a M (equivalentemente, F (x) = 0 ⇐⇒ x ∈ M), se tiene paracada i que (Fi ◦ c)(t) = Fi(c(t)) = 0 ∀ t ∈ I. Por ser composicion de funciones diferenciables,

0 = D(Fi ◦ c)(t0) = DFi(c(t0)) ◦D c(t0) = 〈∇Fi(p), c′(t0)〉,

y por tanto ∇Fi(p) ∈ TpM⊥. La demostracion de que forman base se hace a partir del rangomaximo de la matriz Jacobiana.


Definicion 6.2.4. Sean M ⊂ Rn y p ∈M .

p+ TpM es la variedad afın tangente a M en p.

p+ TpM⊥ es la variedad afın ortogonal a M en p.

6.3. Extremos condicionados.

Definicion 6.3.1. Sea f : A ⊆ Rn −→ R una funcion escalar, M ⊆ Rn una subvariedad regularr-dimensional de clase Ck y a ∈ A ∩M . Se dice que a es un maximo local condicionado de fen M (respectivamente mınimo local condicionado) si ∃Br(a) ⊂ A tal que ∀x ∈ Br(a) ∩M secumple que f(x) ≤ f(a) (respectivamente f(x) ≥ f(a)).

Proposicion 6.3.1. Sea f : A ⊂ Rn → R, y a ∈ A. Sea M ⊂ A ⊂ Rn una subvariedad regularr-dimensional de clase Ck. Asimismo, sea σ : D ⊂ Rr → M ⊂ Rn una parametrizacion regularde M , con σ(t0) = a, t0 ∈ D. Entonces: f tiene en a un extremo condicionado a M ⇐⇒ f ◦ σtiene en t0 un extremo local.

Teorema 6.3.1 (Lagrange). Sea f : A ⊂ Rn → R de clase Ck, y sea a ∈ A. Sea M ⊂ A ⊂ Rnuna subvariedad regular r-dimensional de clase Ck dada de forma implıcita por medio de unafuncion

g : W ⊂ Rn −→ Rn−r

x 7−→ (g1(x), . . . , gn−r(x))

Si f tiene en a un extremo condicionado a M , existen λ1, . . . , λn−r ∈ R tales que

∇f(a) = λ1∇g1(a) + · · ·+ λn−r∇gn−r(a)

Demostracion. Sea una curva parametrizada regular cualquiera de M que pase por a, que de-nominamos c : I ⊂ R→ M ⊂ Rn con c(t0) = a. Si f tiene en a un extremo condicionado a M ,f ◦ c tiene en t0 un extremo local libre (no condicionado), luego:

0 = D(f ◦ c)(t0) = Df(a) ◦Dc(t0) =⇒ Jf(a) Jc(t0) = 〈∇f(a), c′(t0)〉 = 0

Como lo anterior se aplica a qualquier curva c que pase por a, y cualquier vector tangente aM viene dado por v = c′(t0) para alguna curva c, obtenemos que 〈∇f(a), v〉 = 0 ∀ v ∈ TaM , luego∇f(a) ∈ TaM⊥. Pero por el Lema 6.2.1, TaM

⊥ esta generado por la base {∇g1(a), . . . ,∇gn−r(a)},luego ∇f(a) se puede poner como combinacion lineal de los ∇gi(a).

Definicion 6.3.2. Se denomina funcion de Lagrange a la funcion

L : R2n−r −→ R

(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λn−r) 7−→ f(x)−n−r∑k=1

λk gk(x)

que cumple ∇L(a) = ∇f(a) − λ1∇g1(a) − · · · − λn−r∇gn−r(a) = 0. Los coeficientes de lacombinacion lineal λ1, . . . , λn−r se denominan multiplicadores de Lagrange.


Observacion 6.3.1 (Metodo de Lagrange). Este teorema induce un metodo para hallar loscandidatos a puntos crıticos de una funcion f condicionada a una variedad dada por el sistemade ecuaciones implıcitas F (x1, . . . , xn) = 0. Se considera la funcion de Lagrange L, y se hallansus puntos crıticos resolviendo el sistema de ecuaciones

∂L∂xi

(v) =∂L∂λi

(v) = 0, con v = (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λn−r)

que da lugar a los candidatos a extremos condicionados. El metodo de Lagrange es util cuandono es facil parametrizar la subvariedad regular, como en el caso de {(x, y) ∈ R2 |x3 + 3y2 = 5}.

6.4. Extremos absolutos

Sea f : A ⊂ Rn → R de clase Ck (k ≥ 1).

Problema 6.4.1. Calculo de extremos absolutos de una funcion sobre K ⊂ A ⊂ Rn compacto.La frontera de K puede describirse como union de l subvariedades regulares Mj:

FrK =l⋃

i=1

Mj

Los pasos a seguir durante la resolucion son:

1. Hallar los candidatos a extremos absolutos: los puntos crıticos de f en K, y los extremoscondicionados de f en FrK. Tambien hay que tener en cuenta los vertices de FrK (sihay).

2. Evaluar f en todos los candidatos a extremo absoluto, y tomar el de valor maximo ymınimo.

6.5. Calculo de espacios y variedades tangentes y ortogonales

Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional de clase Ck, p ∈M . Recordemos que por laProposicion 6.2.1, la subvariedad tangente a M en p viene dada por

TpM =[DΦ(p)−1(e1), . . . , DΦ(p)−1(en)

]Proposicion 6.5.1. Si M esta dada en forma implıcita por medio de una funcion

F : W ⊂ Rn −→ Rn−r

x 7−→ (F1(x), . . . , Fn−r(x))

entonces TpM = NucDF (p).

Si M esta dada en forma parametrica por una funcion

σ : D ⊂ Rn −→ M ⊂ Rn−r

t 7−→ (σ1(t), . . . , σn−r(t))


entonces TpM =

[∂σ

∂t1(t0), . . . ,

∂σ

∂tr(t0)

], donde σ(t0) = p.

Ejemplo 6.5.1. Sea p = (1, 1,√

3) ∈ R3 la subvariedad descrita en forma implıcita como

M = {(x, y, z) ∈ R3 | z2 − x2 − y2 − 1 = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 |F (x, y, z) = 0}

La jacobiana de la funcion F en p viene dada por:

JF (p) = (−2x,−2y, 2z)p = (−2,−2, 2√

3)

Por la proposicion anterior, para hallar la variedad tangente a M en p hallamos una base delnucleo de la diferencial de F en p. Se comprueba facilmente que:

NucDF (p) =

{(a, b,

a+ b√3

), a, b ∈ R

}=

[(1, 0,

1√3

),

(0, 1,

1√3

)]= [v1, v2] = TpM

Entonces, se halla facilmente que TpM⊥ =

[(−1,−1,

√3)]. Podemos hallar facilmente las varie-

dades afines tangente y ortogonal a M en p. Respectivamente, son:

p+ TpM = (1, 1,√

3) + λ1v1 + λ2v2 =

(1 + λ1, 1 + λ2,

√3 +

1√3λ1 +

1√3λ2

)p+ TpM

⊥ = (1, 1,√

3) + λ(−1,−1,√

3) = (1− λ, 1− λ,√

3 + λ√

3)

Alternativamente, se puede hallar el mismo resultado aplicando la segunda parte de la proposi-cion anterior, usando la parametrizacion σ : R2 → R3 con

σ(x, y) = (x, y,√x2 + y2 + 1)

y p = (1, 1,√

3) = σ(1, 1) = σ(t0). Se halla TpM facilmente con la proposicion.

Tambien se puede solucionar el problema usando la Proposicion 6.2.1, a partir de la aplicacionΦ : R3 → R3 definida por Φ(x, y, z) = (x, y, z2 − x2 − y2 − 1).

Ejemplo 6.5.2. Ejercicio: hacer lo mismo con la variedad M definida por el sistema x+y+z = 0y x2 + y2 − 1 = 0 tomando p = (1, 0,−1) y p = (

√2/2,√

2/2,−√

2).

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