Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Ingeniería

La Curva Catenaria

Semestre 2005-2Cálculo II

Ing. Gustavo Rocha Beltrán Martín del Campo Vidal Francisco Amílcar

Introducción.Introducción. Vamos a estudiar el problema de un cable Vamos a estudiar el problema de un cable

colgante sujeto por sus dos extremos como colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de las centrales eléctricas y los centros de consumo. consumo.

La curva que describe un cable que está fijo La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.Huygens.

Formulación discreta Formulación discreta

Sea una cadena de bolitas metálicas como Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay de los fregaderos. Supondremos que hay NN bolitas igualmente repartidas sobre un hilo bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud de longitud L L y de masa despreciable.y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita La condición de equilibrio para la bolita ii de de masa masa mm se expresa se expresa

Todas las componentes horizontales de la Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos denominaremos TTxx..

0 1 1cos cos cos cosx i i NT T T T T

1 1

1 1

cos cos

sen seni i i i

i i i i

T T

T T mg

Dividiendo la segunda ecuación por Dividiendo la segunda ecuación por TTxx

tenemos la siguiente relación entre el ángulo tenemos la siguiente relación entre el ángulo θθ ii y el ángulo y el ángulo θθ i+1i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita de cada bolita mgmg y la componente horizontal y la componente horizontal TTxx de la tensión del hilo, le denominaremos de la tensión del hilo, le denominaremos

parámetroparámetro g g. La relación de recurrencia se . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita escribe para cada bolita ii=1=1... N.... N.

1tan tani ix

mg

T

1 0

2 1

1

1

tan =tan -

tan =tan -

...............

tan =tan -

.............

tan =tan -

i i

N N

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qqNN

en función del ángulo inicial en función del ángulo inicial θθ00

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos querazón de simetría tendremos que

Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término hasta el término ii, obtenemos el ángulo , obtenemos el ángulo θθii en función del en función del

ángulo inicial ángulo inicial θθ00 ..

El ángulo El ángulo θθ ii que forma el hilo con la horizontal en la que forma el hilo con la horizontal en la

posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial θθ00 y y

el final el final θθNN se calculan mediante la siguiente fórmula se calculan mediante la siguiente fórmula

0tan =-tan N

0tan =tan -NN

0

2tan tan

2i

N ii

2tan 0,...,

2i

N ii N

Las coordenadas (Las coordenadas (xxi i , y, yii) de la bolita ) de la bolita ii se se

obtendrán sumando las proyecciones obtendrán sumando las proyecciones d·d·coscosq q

jj y y d·d·sensenqqj j , j=, j=00...i-1,...i-1, sobre el eje X y sobre el sobre el eje X y sobre el

eje Y respectivamente, siendo eje Y respectivamente, siendo dd la distancia la distancia entre dos bolitas consecutivas entre dos bolitas consecutivas d=L/d=L/((N+N+1)1)..

1

0

1

0

cos1

sen1

i

i jj

i

i jj

Lx

N

Ly

N

Catenaria simétricaCatenaria simétrica

Consideremos un cable de longitud Consideremos un cable de longitud LL sujeto por sus dos sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que extremos que están situados a la misma altura y que distan distan aa uno del otro. Sea uno del otro. Sea la densidad del cable (masa la densidad del cable (masa por unidad de longitud).por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción una porción ss de cable que tiene como extremo el punto de cable que tiene como extremo el punto más bajo A: más bajo A:

el peso, el peso, la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el

extremo izquierdo A de dicho segmento, extremo izquierdo A de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el

extremo derecho P del segmento extremo derecho P del segmento ss. .

La condición de equilibrio se escribeLa condición de equilibrio se escribe

O bien,O bien,

Derivando con respecto de Derivando con respecto de xx, y teniendo en , y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencialcuenta que la longitud del arco diferencial dsds22=dx=dx22+dy+dy22

0cos

sen

T T

T gs

0

tandy gs

dx T

2

20

22

20

1

d y g ds

dx T dx

d y g dy

dx T dx

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para para x=ax=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) /2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dxdy/dx=0=0

Integrando de nuevo, con la condición de que para Integrando de nuevo, con la condición de que para x=ax=a/2, /2, y=-hy=-h..

0 0

0

cosh (2 )2

T Tgy h x a

g T g

20

2

1

0 0

1

senh (2 ) senh (2 )2 2

P x

aA

dv g dydx v

T dxv

g dy gv x a v x a

T dx T

Como la catenaria es simétrica Como la catenaria es simétrica para para x=ax=a, , yy=0, por lo que la flecha =0, por lo que la flecha hh vale. vale.

La ecuación de la catenaria es, La ecuación de la catenaria es, finalmentefinalmente

0 0

0

cosh2

T Tgah

g T g

0

0 0

cosh (2 ) cosh2 2

T g gay x a

g T T

La longitud de la catenaria esLa longitud de la catenaria es

Para calcular la tensión del cable, Para calcular la tensión del cable, tomando en cuenta quetomando en cuenta que

2

00 0

0

0

1 cosh (2 )2

2senh

2

a ady gL ds dx x a dx

dx T

T gaL

g T

2

00 0

0

00

cos

1 senh (2 )cos 2

cosh (2 )2

dx ds

T ds gT T T x a

dx T

gT T x a

T

AplicaciónAplicación En términos matemáticos, una catenaria es En términos matemáticos, una catenaria es

la curva que adoptaría por la acción de la la curva que adoptaría por la acción de la gravedad un cable pesado y perfectamente gravedad un cable pesado y perfectamente flexible colgado entre dos soportes; en el flexible colgado entre dos soportes; en el ferrocarril, donde se emplean tramos de ferrocarril, donde se emplean tramos de hasta 2 Km, es la línea aérea de contacto de hasta 2 Km, es la línea aérea de contacto de suspensión longitudinal, a través de la cual suspensión longitudinal, a través de la cual el pantógrafo de las locomotoras eléctricas el pantógrafo de las locomotoras eléctricas capta la corriente de tracción. En una doble capta la corriente de tracción. En una doble vía, va suspendida de unos postes situados vía, va suspendida de unos postes situados a intervalos de hasta 73 m; cuando hay a intervalos de hasta 73 m; cuando hay cuatro o más vías, se emplean hilos de cuatro o más vías, se emplean hilos de flechar o pórticos transversales a la línea.flechar o pórticos transversales a la línea.

En cada poste, el hilo va fijado a un brazo que se desliza por un En cada poste, el hilo va fijado a un brazo que se desliza por un brazo de atirantado y se ajusta con objeto de que, en vía recta, el brazo de atirantado y se ajusta con objeto de que, en vía recta, el hilo de toma de corriente "zigzaguee" a lo largo de la vía para hilo de toma de corriente "zigzaguee" a lo largo de la vía para compensar el desgaste del frotador de los pantógrafos.compensar el desgaste del frotador de los pantógrafos.

En el Reino Unido, los tramos de catenaria En el Reino Unido, los tramos de catenaria están sustentados a lo largo de la línea por están sustentados a lo largo de la línea por postes situados a una distancia máxima de 73 postes situados a una distancia máxima de 73 m. El hilo de contacto, de cobre, va suspendido m. El hilo de contacto, de cobre, va suspendido por péndolas de la curvada catenaria.por péndolas de la curvada catenaria.

Fuentes.Fuentes. Mecánica Para Ingeniería; Estática. Bedford, Mecánica Para Ingeniería; Estática. Bedford,

Anthony y Fowler Wallace. Pearson Anthony y Fowler Wallace. Pearson Educación.1996.Educación.1996.

Larson, Roland E. Cálculo. McGraw-Hill Volumen 1. Larson, Roland E. Cálculo. McGraw-Hill Volumen 1. Sexta Edición.Sexta Edición.

Granville. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Granville. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa.Limusa.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotachttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htmion/catenaria/catenaria.htm

http://www.todotren.com.ar/trenesturisticos/tecnohttp://www.todotren.com.ar/trenesturisticos/tecno12.htm12.htm