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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN ENERGÍA

“MODELADO Y SIMULACIÓN DE DISPOSITIVOS DE TRANSFORMACIÓN DE

ENERGÍA”

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN INGENIERÍA MECÁNICA - TERMOFLUIDOS

PRESENTA:

GUILLERMO EFRÉN OVANDO CHACÓN

DIRECTORES DE TESIS:

DRA. GUADALUPE HUELSZ LESBROS

DR. HÉCTOR JUÁREZ VALENCIA

2006

Universidad Nacional

Autónoma de

México

Agradecimientos

Al Todo Poderoso por iluminarme siempre el camino a pesar de lo oscuro que este parez-

ca.

A todos mis amigos y companeros del Centro de Investigacion en Energıa por haber pro-

piciado un agradable ambiente durante mis estudios de Doctorado, en especial a Gaby

y Saul del departamento de Termociencias, ası como a Alex y Jose del laboratorio de

Refrigeracion por compartir la aficion por el frontenis.

A la Universidad Nacional Autonoma de Mexico y en especial a la Direccion Ge-

neral de Estudio de Posgrado y al Centro de Investigacion en energıa, departa-

mento de Termociencias por permitirme realizar los estudios de doctorado, ası como a la

unidad de computo por su apoyo.

A CONACyT (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa), por brindarme el financiamien-

to economico para realizar mis estudios de doctorado.

A los proyectos IN104702-2 y U41347-F de DGAPA-UNAM y CONACyT, respectiva-

mente.

A la Dra. Guadalupe Huelsz Lesbros y al Dr. Hector Juarez Valencia por haberme

dado la oportunidad de trabajar en este proyecto de investigacion y por sus valiosas con-

tribuciones en la presente tesis.

A los integrantes del comite de revision y jurado: Dr. Eduardo Ramos Mora, Dr. Juan

Carlos Prince Avelino, Dr. Sergio Cuevas Garcıa, Dr. Arturo Orozco Santillan

y Dr. Martın Salinas Vazquez por sus valiosas sugerencias.

i

Dedicatoria

A mis padres, Ricardo Ovando Alvarez y Sara Chacon Jimenez a quienes dedico

esta tesis por regalarme la vida, por sus sabios consejos que a pesar de la distancia siempre

los tengo presentes y por su apoyo incondicional que me han permitido salir adelante.

A mi hermana Sandy Luz Ovando Chacon por su ayuda, confianza y carino incondi-

cional, ası como por sus aportaciones y sugerencias durante mi formacion profesional.

A mi novia Lupita Delgado Nunez por su amor, carino y comprension incondicional.

ii

Resumen

En este trabajo se estudian dos sistemas que utilizan flujos oscilatorios para la transforma-

cion de energıa, un motor termoacustico con un fluido de trabajo electricamente conductor

y una cavidad con paredes oscilatorias. Se hace un estudio teorico de la estabilidad lineal

de la oscilacion termoacustica del fluido electricamente conductor dentro del motor con-

siderando el efecto de un campo magnetico aplicado en la region del stack, la ecuacion

general de estado, y variaciones de las propiedades fısicas del fluido con la temperatura.

La teorıa desarrollada se aplica para el caso de agua con cloruro de sodio y se analiza la

posibilidad de usar este material como fluido de trabajo en un motor termoacustico. Para

el estudio de la cavidad con paredes oscilatorias se desarrollo un codigo numerico para la

simulacion de flujos incompresibles con transferencia de calor, basado en una formulacion

de elemento finito con un esquema de separacion de operadores. El codigo desarrollado

se usa para la simulacion de la cavidad oscilatoria isotermica para diferentes numeros de

Reynolds y diferentes amplitudes de desplazamiento de la pared oscilatoria, haciendose un

analisis de los mecanismos que provocan la formacion de vortices en toda la cavidad para

la fase donde las velocidades de la paredes son cero y la fase donde las velocidades de la

paredes son maximas. En este estudio se obtienen los campos de velocidad y el area de los

vortices. Finalmente se presentan los resultados de la simulacion de una cavidad oscilatoria

con transferencia de calor para diferentes numeros de Reynolds y numeros de Peclet, y se

discute la formacion de vortices, haciendose una comparacion con los resultados obtenidos

para la cavidad isotermica. En este estudio se obtienen los campos de velocidad, el area de

los vortices y los campos de temperatura.

iii

Abstract

In this work is studied two systems that use oscillatory flows to transform the energy, a

thermoacoustic primer mover with an electrically conducting working fluid and a cavity with

oscillatory walls. It is done the theoretical study on the linear stability of a thermoacoustic

oscillation of the electrically conducting fluid into the primer mover considering the effect

of a magnetic field applied in the stack, a fluid with a general state equation and variations

of the working fluid physical properties with temperature. The theory developed is applied

to the case of liquid water with sodium chloride and is analyzed the possibility of using this

material as the working fluid in a thermoacoustic primer mover. For the study of the cavity

with oscillatory walls was developed a numerical code for the simulations of incompressibles

fluids with heat transfer, based on a finite element formulation with a splitting operator

scheme. The code is used for the simulation of an isothermal oscillatory cavity for different

Reynolds numbers and different displacement amplitudes of the oscillatory walls, doing an

analysis of the mechanism that generates the vortices formation into the whole cavity for

the phase where the velocities of the walls are zero and the phase where the velocities of the

walls are maximum. In this study is obtained the velocities fields and the area of vortices.

Finally is presented the results of the simulations of an oscillatory cavity with heat transfer

for different Reynolds and Peclet numbers, and is discussed the vortices formation, doing

a comparison with the results obtained for the isothermal cavity. In this study is obtained

the velocities fields, the area of vortices and the temperature fields.

iv

Indice general

Agradecimientos I

Dedicatoria II

Resumen III

Abstract IV

Indice de figuras IX

Nomenclatura XIV

Introduccion 1

1. Motores termoacusticos 3

1.1. Antecedentes generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Estructura basica del motor termoacustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Principio de operacion del motor termoacustico . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Ciclo del motor termoacustico de onda estacionaria . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Aplicaciones de los motores termoacusticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Modelado de maquinas termoacustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1. Modelos analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2. Modelos numericos no comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.3. Modelos numericos comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

v

1.6.4. Guıas de diseno derivadas del modelado de maquinas termoacusticas 22

2. Estudio teorico del efecto de un campo magnetico en la estabilidad lineal

de una oscilacion termoacustica 24


2.2. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Metodo numerico para la solucion de flujos incompresibles 37

3.1. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Descomposicion de las ecuaciones acopladas de Navier-Stokes y de energıa

mediante separacion de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5. Metodo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1. Formulacion debil del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.2. Aproximacion con elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.3. Discretizacion en el tiempo mediante separacion de operadores en

forma variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6. Solucion del problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7. Solucion del problema de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8. Solucion del problema de adveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.9. Algoritmo de gradiente conjugado para resolver sistemas de ecuaciones lineales 53

3.10. Validacion del codigo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Flujo en una cavidad oscilatoria isotermica 65



4.2.1. Descripcion fısica y geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

vi

4.2.2. Ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Analisis de convergencia de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1. Caso Re = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.2. Caso Re = 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3. Caso Re = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Flujo en una cavidad oscilatoria con transferencia de calor 96



5.2.1. Descripcion fısica y geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.2. Ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.1. Caso Re = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2. Caso Re = 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.3. Caso Re = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6. Conclusiones generales 109

Bibliografıa 111

Apendices 119

A. Documentacion del programa que resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes

y la ecuacion de la energıa de manera acoplada 119

A.1. Informacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.2. Significado de las cantidades usadas en el programa . . . . . . . . . . . . . . 121

A.2.1. Cantidades escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.2.2. Cantidades vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

vii

A.2.3. Variables auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.2.4. Cantidades simbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.3. Subrutinas del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.4. Uso del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B. Elemento finito triangular 135

B.1. Elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.2. Integracion de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C. Publicaciones derivadas de esta tesis 138

viii

Indice de figuras

1.1. Estructura basica de un motor termoacustico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Criterio de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ciclo del motor termoacustico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Generador magnetohidrodınamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Enfriador termoacustico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Ducto termoacustico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. G como una funcion de la longitud adimensional del stack (∆x∗), consideran-

do agua como fluido de trabajo. Ts = 455K, Ps = 150 × 105Pa, S = 1 m,

s∗ = 5, para tres diferentes posiciones del stack (x∗s ≡ xs/S). . . . . . . . . . 34

2.3. G como una funcion de la separacion adimensional entre placas en el stack

(s*), considerando agua como fluido de trabajo. Ts = 455K,Ps = 150 ×105Pa, S = 1m. Para tres diferentes longitudes adimensionales del stack

(∆x∗). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. G como una funcion del numero de Hartmann(Ha), considerando agua con

cloruro de sodio como fluido de trabajo. Ts = 455K, Ps = 150× 105Pa, S =

1m, s∗ = 5, x∗s = 0.5, K = 0.5 y tres diferentes longitudes adimensionales del

stack (∆x∗). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1. Triangulacion τh con elemento finito del dominio Ω. . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Subdivision de un triangulo τh en τh/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ix

3.3. Nodos de presion, velocidad y temperatura en la aproximacion de elemento

finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4. Cavidad cuadrada utilizada para validar el programa que resuelve las ecua-

ciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Comparacion de las lıneas de corriente obtenidas para Re = 100. . . . . . . 57

3.6. Comparacion de los campos de presion obtenidos para Re = 100. . . . . . . 57


3.8. Comparacion de los campos de presion obtenidos para Re = 400. . . . . . . 58


3.10. Comparacion de los campos de presion obtenidos para Re = 1000. . . . . . 59

3.11. Cavidad cuadrada utilizada para validar el programa que resuelve las ecua-

ciones acopladas de Navier-Stokes y la energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.12. Comparacion de los campos de velocidad obtenidos para Ra = 1× 103. . . . 61

3.13. Comparacion de los campos de temperatura obtenidos para Ra = 1× 103. . 62





4.1. Geometrıa y condiciones de frontera de la cavidad con paredes verticales

deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Perfil de velocidad axial u2 como una funcion de la coordenada transversal x.

Para las mallas equidistantes, 1/3 graduada y 1/5 graduada, para Re = 500

y Y = 0.4 in y = 0.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Error relativo para velocidad axial como una funcion de la posicion (x, y)

entre las mallas graduadas de 1/5∆x y 1/3∆x, para Re = 500 y Y = 0.4. . 71

4.4. Velocidad y desplazamiento de las paredes verticales como una funcion de la

fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

x

4.5. Campo de velocidad y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 50 y

Y = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


Y = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


Y = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8. Velocidad axial u2 como una funcion de la coordenada transversal x para un

canal infinito (ecuacion 4.4) con Re=50 y Y = 0.2. Los intervalos de fase

entre los perfiles son de ∆φ = π/6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re = 50 y Y = 0.2. Para todos

los perfiles, y=0. Los intervalos de fase entre perfiles son de ∆φ = π/6. . . . 80


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re=50 y Y = 0.8. Para todos los

perfiles, y=0. Los intervalos de fase entre perfiles son de ∆φ = π/6. . . . . . 80

4.11. Fase relativa entre las paredes oscilantes y la velocidad axial del fluido ψ

como una funcion de la coordenada transversal x. Re = 50 y y = 0. . . . . . 81

4.12. Campos de velocidad y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 500

y Y = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


y Y = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


y Y = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.15. Campo de vorticidad como una funcion de la posicion para Re = 500, Y =

0.8, φ = 0. Los signos (+) y (-) indican vorticidades positivas y negativas,

respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

xi

4.16. Izquierda: Lıneas de traza obtenidas en esta tesis para Re= 500 y Y= 0.8, que

simulan la visualizacion del flujo. La inyeccion de los trazadores inicia en φ =

π/2 y continua para un ciclo. Los trazadores se inyectaron en x = −0.450,

−0.446, −0.442, −0.439, −0.435, −0.431, −0.427 y −0.423, y = −0.610.

Derecha: Lıneas de traza obtenidas por Allen and Chong [78]. . . . . . . . . 86


y Y = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


y Y = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


y Y = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


canal infinito (ecuacion 4.4) con Re=1000 y Y = 0.2. Los intervalos de fase

entre perfiles son ∆φ = π/6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


canal con una relacion de aspecto (H/D=1.5), Re = 1000 y Y = 0.2. Para

todos los perfiles, y=0. Los intervalos de fase entre perfiles son ∆φ = π/6. . 93


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re=1000 y Y = 0.8. Para todos

los perfiles, y=0. Los intervalos de fase entre perfiles son ∆φ = π/6. . . . . 93

4.23. Fase relativa entre las paredes oscilatorias y la velocidad axial del fluido ψ

como una funcion de la coordenada transversal x. Re = 1000 y y = 0. . . . 94

5.1. Geometrıa y condiciones de frontera de la cavidad con flujo de calor en las

esquinas y paredes verticales deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


y Pe = 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3. Campos de temperatura para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 50 y Pe = 36. . . . 103

xii

5.4. Campos de velocidad y y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 500

y Pe = 360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5. Campos de temperatura para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 500 y Pe = 360. . 106


y Pe = 720. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7. Campos de temperatura para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 1000 y Pe = 720. . 108

B.1. Mapa lineal desde un elemento triangular Ωe a un elemento maestro Ωm y

mapa inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

xiii

Nomenclatura

Lista de Sımbolos

x1 coordenada espacial en la direccion horizontal

x2 coordenada espacial en la direccion vertical

x coordenada espacial paralela a la direccion de la propagacion de la onda

y coordenada espacial transversal a la propagacion de la onda y normal al stack

z coordenada espacial transversal a la propagacion de la onda y paralela al stack

xk k-esima componente del vector de posicion

~x vector de posicion

u1 componente de la velocidad en la direccion horizontal

u2 componente de la velocidad en la direccion vertical

uk k-esima componente del vector velocidad

~u vector velocidad

~u0 condiciones iniciales de velocidad

p presion

T temperatura

t tiempo

cp calor especıfico a presion constante

cv calor especıfico a volumen constante

xiv

k conductividad termica

g gravedad

fk k-esima componente del vector fuente

e energıa interna por unidad de masa

B induccion magnetica

E campo electrico

J densidad de corriente electrica

S longitud del resonador

xs posicion del stack

s distancia de separacion en el stack

Rm numero de Reynolds magnetico

T0 condiciones iniciales de temperatura

p0 condiciones iniciales de presion

Tc temperatura frıa en el resonador

TH temperatura caliente en el resonador

u velocidad promedio en la seccion transversal entre las placas del stack

Ci coeficientes dependientes del tiempo

Lij Matriz del sistema de ecuaciones de conservacion linealmente perturbadas

Pi coeficientes dependientes de Lij

Ts temperatura en la posicion central del stack

G = ∇Tlim/∇Tc

Ha numero de Hartmann

n vector normal unitario hacia fuera del dominio

~f vector fuente

~g1 condicion de frontera tipo Dirichlet para velocidad

u velocidad promedio en la seccion transversal entre placas

xv

Q flujo de calor (condicion de frontera tipo Newman para temperatura)

V0 espacio de funciones de prueba para la velocidad

W0 espacio de funciones de prueba para la temperatura

L0 espacio de funciones de prueba para la presion

~v funcion de prueba para la velocidad

θ funcion de prueba para la temperatura

q funcion de prueba para la presion

h paso de discretizacion espacial

C(Ω) espacio de funciones continuas sobre Ω

P1 espacio de polinomios de dos variables de grado menor o igual a uno

Vh espacio de prueba de elemento finito para la velocidad

Wh espacio de prueba de elemento finito para la temperatura

Lh espacio de prueba de elemento finito para la presion

V0h espacio de funciones de prueba de elemento finito para la velocidad

W0h espacio de funciones de prueba de elemento finito para la temperatura

L0h espacio de funciones de prueba de elemento finito para la presion

~vh funcion de prueba de elemento finito para la velocidad

qh funcion de prueba de elemento finito para la presion

~g1h aproximacion de elemento finito de ~g1

~g2h aproximacion de elemento finito de ~g2

~u0h aproximacion de elemento finito de ~u0

~T0h aproximacion de elemento finito de ~T0

V −0h =

~v ε Vh | ~v = 0 sobre ∂Ω1

W−0h =

θ ε Wh | θ = 0 sobre ∂Ω3

a = 1/∆t

r = ∇ · ~u

xvi

g0 = α%0 + νr0

g = g − ρ (νr + α%)

w = g + γw

kij elemento i, j de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales

uj elemento j del vector solucion de un sistema de ecuaciones lineales

fi elemento i del vector lado derecho de un sistema de ecuaciones lineales

S numero de subdivisiones de tiempo usadas en el problema de adveccion

s paso de tiempo en el problema de adveccion s = 0, 1, 2, · · · ,SK matriz de coeficientes para un sistema de ecuaciones lineales

K factor de carga

~U vector solucion de un sistema de ecuaciones lineales

~F vector lado derecho de un sistema de ecuaciones lineales

~U0 vector solucion inicial en el algoritmo de gradiente conjugado para la solucion de un

sistema de ecuaciones de sistemas lineales

~R0 residual inicial en el algoritmo de gradiente conjugado para la solucion de un sistema

de ecuaciones de sistemas lineales

~P0 vector de direccion inicial en el algoritmo de gradiente conjugado para la solucion

de un sistema de ecuaciones de sistemas lineales

~W = K ~Pi

a escalar de direccion en el algoritmo de gradiente conjugado para la solucion de un

sistema de ecuaciones de sistemas lineales

b nuevo escalar de direccion en el algoritmo de gradiente conjugado para la solucion

de un sistema de ecuaciones de sistemas lineales

Uc velocidad caracterıstica

Lc longitud caracterıstica

Tc temperatura caracterıstica

Qc flujo de calor caracterıstica

xvii

Re numero de Reynolds

RaQ numero de Raleigh en funcion del flujo de calor

Pe numero de Peclet

S parte simetrica del tensor de gradientes de velocidad

A parte antisimetrica del tensor de gradientes de velocidad

H altura de la cavidad oscilatoria

D ancho de la cavidad oscilatoria

Yw amplitud de desplazamiento oscilatorio

Vw amplitud de velocidad oscilatoria

Y = Yw/D

xm desplazamiento medio de una parcela de fluido

T1 variacion termodinamica de temperatura

dW1 trabajo sobre una parcela de fluido en un proceso adiabatico

p1 amplitud de variacion de la presion

dQ2 flujo de calor hacia la parcela de fluido

dW2 trabajo hecho por la expansion del fluido de una parcela sobre los alrededores en un

proceso a presion constante

dW3 trabajo hecho por la expansion del fluido de una parcela sobre los alrededores en un

proceso adiabatico

dQ4 flujo de calor hacia la placa

dW4 trabajo sobre una parcela de fluido en un proceso a presion constante

Dr = p1/pm

COP = (1/EcPr)(QC/∫

QdVol)

Ec numero de Eckert

Pr numero de Prandtl

Vol volumen

xviii

Sımbolos Griegos

∇T gradiente de temperatura

∇Tc gradiente crıtico de temperatura en el stack

∇Tlim gradiente de temperatura axial maximo permitido en el stack que garantiza estado

lıquido

∆x longitud del stack

λ segundo coeficiente de viscosidad

λl longitud de onda

ρ densidad

Φ funcion de discipacion viscosa

µ0 permeabilidad magnetica en el vacıo

σ conductividad electrica

εijk simbolo de permutacion

ρ0 densidad inicial

αi eigenvalores de la ecuacion caracterıstica

ω frecuencia angular

µ viscosidad dinamica

v viscosidad cinematica

δv profundidad de penetracion viscosa

δk profundidad de penetracion termica

β coeficiente de compresibilidad

βT coeficiente de expansion termica

βs inverso de la profundidad de penetracion de Stokes

α difusividad termica

xix

Ω dominio

∂Ω frontera

∂Ω1 frontera Dirichlet en el dominio de velocidad

∂Ω2 frontera Newman en el dominio de velocidad

∂Ω3 frontera Dirichlet en el dominio de temperatura

∂Ω4 frontera Newman en el dominio de temperatura

Γ parte de la frontera Dirichlet de velocidad donde entra fluido

τh triangulacion de elemento finito para presion

τh/2 triangulacion de elemento finito para velocidad y temperatura

θh funcion de prueba de elemento finito para la temperatura

% solucion del problema de poisson −∆% = r

w0 = g0

ρ =∫Ω rgdΩ/

∫Ω rwdΩ

% actualizacion de %

ε error permitido en un calculo iterativo

γ = (∫Ω rgdΩ)actual / (

∫Ω rgdΩ)anterior

ψ funcion base del elemento de referencia

ϕ variable sobre la que se aplica el problema de adveccion

τ1 = ∆t/SΨe = ~u · ∇ϕ0

Subındices

m valor medio

0 estado no perturbado

ij elemento i, j de una matriz

C intercambiador de calor de baja temperatura

xx

Superındices

* cantidad adimensional′ perturbacion de la variable

xxi

Introduccion

En la actualidad se ha demostrado que es posible construir motores termoacusticos que

puedan ser utilizados en aplicaciones practicas, como la refrigeracion y la generacion de

electricidad, por ejemplo, se pueden usar estos dispositivos como convertidores de energıa

solar en electricidad. Sin embargo, aun hay mucho trabajo de investigacion basica y aplicada

que debe realizarse, para poder comprender mejor el funcionamiento de estos dispositivos

y lograr mejorar su eficiencia. Tambien es necesario desarrollar programas de computo que

permitan modelar y simular este tipo de dispositivos, lo cual ayudarıa a estudiar su com-

portamiento y a disenar de manera segura, confiable y eficiente este tipo de dispositivos.

Este trabajo forma parte de un proyecto general el cual tiene como objetivo final desarrollar

un codigo numerico que permita simular el comportamiento de maquinas termoacusticas.

En particular el objetivo de este trabajo es establecer las bases para el modelado y si-

mulacion de dispositivos de transferencia de calor. Este trabajo constituye la primera parte

del proyecto general en el cual se desarrolla un codigo numerico robusto para la simulacion

de flujo de fluidos incompresibles con transferencia de calor. La segunda parte de este

proyecto general, el cual queda fuera del alcance de este trabajo, es el desarrollo de un codi-

go numerico robusto para la simulacion de flujo de fluidos compresibles con transferencia

de calor, con el cual se podrıan simular maquinas termoacusticas. En la actualidad existen

modelos numericos que simulan el comportamiento basico de algunas de las componentes de

refrigeradores termoacusticos, sin embargo, basados en la literatura es claro que hace falta

desarrollar codigos numericos que simulan el comportamiento de motores termoacusticos.

En el capıtulo 1, se da informacion general sobre las caracterısticas de los motores ter-

1

moacusticos y se hace una revision literaria sobre el modelado de maquinas termoacusticas.

En el capıtulo 2, se hace un estudio teorico del efecto de un campo magnetico en la estabili-

dad lineal de una oscilacion termoacustica. En el capıtulo 3, se presenta el metodo numerico

de elemento finito para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuacion de la energıa

en fluidos incompresibles. En el capıtulo 4, se presentan los resultados de la simulacion en

una cavidad oscilatoria isotermica. Finalmente en el capıtulo 5, se presentan los resultados

de la simulacion en una cavidad oscilatoria con transferencia de calor.

2

Capıtulo 1

Motores termoacusticos

El desarrollo de motores termoacusticos es una nueva aplicacion de un fenomeno ter-

modinamico conocido como termoacustica. Los motores termoacusticos, a diferencia de los

motores de combustion desarrollados hasta ahora, son dispositivos de conversion de energıa

simples en su construccion, confiables en su operacion y que no contaminan a la atmosfera ya

que utilizan la tecnologıa acustica, en donde se presenta la interaccion de un flujo de calor a

traves de un fluido de trabajo y una pared solida desde una fuente de alta temperatura a un

sumidero de baja temperatura generando energıa acustica, que es utilizada para desarrollar

trabajo mecanico. Otras ventajas de este tipo de dispositivos es que no tienen partes en

movimientos, no requieren de lubricacion y no tienen dimensiones o tolerancias crıticas por

lo que su mantenimiento es relativamente sencillo. Basicamente, un motor termoacustico

esta compuesto por una estructura interna (apilamiento de placas) llamada stack, un inter-

cambiador de calor a alta temperatura, un intercambiador de calor a baja temperatura y un

resonador. Su funcionamiento esta basado en el llamado efecto termoacustico en el cual se

produce una onda acustica en un fluido compresible que se encuentra en contacto con una

pared solida donde existe un gradiente axial de temperatura apropiado. Hasta ahora todo

indica que la tecnologıa termoacustica es una nueva forma de conversion de energıa que no

contamina y con un costo de mantenimiento bajo, la cual promete que en un futuro proximo

se comiencen a desarrollar los primeros dispositivos termoacusticos de uso domestico, tales

3

como refrigeradores y aires acondicionados termoacusticos, los cuales pueden funcionar con

un motor termoacustico.

1.1. Antecedentes generales

La historia de los motores termoacusticos es larga pero no ha sido difundida ampliamente.

Las primeras ideas surgieron a mediados del siglo XVIII, al observar a los sopladores de

vidrio, quienes utilizaban un tubo delgado y largo, en un extremo tenıan el vidrio fundido

a alta temperatura y por el otro extremo soplaban, estando este aproximadamente a tem-

peratura ambiente. Al dejar de soplar el extremo a temperatura ambiente quedaba abierto

y emitıa un sonido fuerte, surgiendo ası las primeras ideas para producir sonido o trabajo

acustico a traves del calentamiento adecuado de un sistema. Putnam y Dennis [11] des-

cribieron experimentos de Byron Higgins realizados en 1777 en los cuales se logro excitar

oscilaciones acusticas en un tubo largo al colocar apropiadamente en su interior una flama

de hidrogeno. Las investigaciones de Higgins evolucionaron eventualmente la ciencia mo-

derna de la combustion pulsante cuyas aplicaciones incluyen el cohete aleman V-1 usado en

la segunda guerra mundial y el horno residencial de combustion pulsante introducido por

Lennox, Inc. en 1982, ver [41]. Sondhauss [12] realizo experimentos en el llamado tubo de

Sondhauss, el cual se caracterizaba porque no habıa flujo neto de gas, tenıa por lo menos

un extremo cerrado en forma de bulbo y al agregar interna o externamente calor se pro-

ducıan oscilaciones acusticas. Sondhauss observo que una flama de gas permanente aplicada

al extremo cerrado causaba que el aire en todo el tubo oscilara y generara claramente un

sonido, el cual era caracterıstico de las dimensiones del tubo. La frecuencia del sonido fue

medida y registrada para tubos que tenıan un diametro interior de 1 a 2 mm con diferentes

tamanos de bulbo y longitudes. El observo que bulbos grandes y tubos largos producıan

sonidos de baja frecuencia, mientras que flamas mas calientes producıan sonidos mas inten-

sos, sin embargo no dio ninguna explicacion del sonido. El tubo de Sondhauss representa el

primer antecedente de investigacion en motores termoacusticos, ver [13]. Clement y Gaffney

[14] estudiaron experimentalmente oscilaciones termicas espontaneas las cuales ocurrieron

4

en tubos de diametro pequeno que tenıan un extremo a temperatura ambiente y el otro

extremo a la temperatura del helio lıquido. Ellos observaron que las optimas condiciones de

operacion ocurrıan cuando el extremo a temperatura ambiente (extremo caliente) estaba

completamente cerrado y el extremo inmerso en helio lıquido (extremo frıo) estaba abier-

to. Sus experimentos indicaron que un tubo completamente abierto en el extremo caliente

no podıan generar oscilaciones a menos que su diametro interior fuera lo suficientemente

pequeno, ademas, tubos que tenıan el extremo frıo completamente cerrado no podıan gene-

rar oscilaciones, aunque, un solo pequeno orificio en el extremo frıo era suficiente para que

las oscilaciones ocurrieran, ver [13]. En 1859 Rijke [15], investigo otras geometrıas al utilizar

el llamado tubo Rijke, el cual consiste en un tubo vertical con ambos extremos abiertos, un

flujo de gas hacia arriba a traves del tubo y una malla en la mitad inferior del tubo, en donde

al agregarle calor internamente se producen las oscilaciones acusticas (Feldman y Carter

[16]). En 1878 Rayleigh [17] publico sus trabajos sobre acustica, el cual incluıa diversas dis-

cusiones del fenomeno termoacustico. El explico el trabajo previo hecho por Sondhauss y

otros, a partir del criterio que lleva su nombre, el cual establece: “si el calor es cedido al aire

en el momento de maxima presion y extraıdo en el momento de maxima expansion, la onda

acustica es excitada” (Feldman [13]). El primero en construir motores termoacusticos fue

Feldman en 1966. Sin embargo su motor mas eficiente produjo 27 W usando 600 W de calor.

El realizo un analisis fısico del oscilador de Sondhauss y establecio las siguientes condiciones

necesarias para que la oscilacion pueda presentarse: (i) una fuente de calor permanente tiene

que interactuar con las fluctuaciones del sistema de tal manera que la energıa agregada al

gas este en la fase apropiada para que la oscilacion incremente su amplitud (criterio de

Rayleigh). (ii) la rapidez de adicion de calor debe ser mayor o igual a un valor mınimo, (iii)

la cavidad de calentamiento tiene que tener la forma apropiada que permita la oscilacion

de un gas resonante, (iv) la fuente de calor tiene que ser colocada en un punto del tubo

donde tanto la oscilacion de la velocidad como de la presion del gas sean significativas. Por

otra parte, el establecio que la oscilacion del gas podıa ser iniciada por alguna perturbacion

aleatoria externa, o bien, cuando la rapidez de calentamiento era lo suficientemente grande

que una onda de presion de expansion termica podrıa comenzar a oscilar, sin embargo, en

5

este ultimo caso se tenıa que tomar en cuenta que una rapidez alta de calentamiento podıa

provocar explosiones. Por otra parte, el establecio que en el motor Sondhauss la bancada

de tubos de vidrio que formaban el stack realizaban tres funciones: (i) actuaba como un

regenerador de energıa termica; (ii) actuaba como un aislante poroso de baja friccion, es

decir, la region caliente estaba aislada termicamente de la region frıa mientras que permitıa

que el gas oscilante pasara de una region a otra; y (iii) provocaba el cambio de fase entre

la presion acustica y la velocidad de la onda (Feldman [13]). En 1979 Ceperley [18] pro-

puso el desarrollo de un motor termico de onda viajera. Su diseno consistıa en un circuito

tubular, de tal manera que la onda viajera podıa viajar alrededor de ese circuito. En una

parte del circuito, un regenerador y dos intercambiadores de calor funcionaban como mo-

tor, agregando potencia acustica a la onda viajera conforme el calor fluye de una fuente de

calor de alta temperatura a un sumidero de calor a temperatura ambiente. En otra parte

del circuito, otro regenerador y dos intercambiadores de calor funcionaban como bomba de

calor, usando potencia acustica de la onda viajera para bombear calor desde un lugar a

baja temperatura hasta un lugar a temperatura ambiente. En este tipo de dispositivos el

regenerador esta formado por una estructura porosa fina con un gradiente de temperatura

que provoca la transferencia de calor con el fluido de trabajo. En la decada de los 80, John

Wheatley et al. [19, 20] enfocaron sus esfuerzos para investigar el uso de ondas acusticas

en el desarrollo de motores y refrigeradores termoacusticos en el Laboratorio Nacional de

Los Alamos, actualmente este grupo, encabezado ahora por Swift, es el lıder mundial en

este campo. Ellos analizaron las estructuras que pueden ser colocadas en tubos acustica-

mente resonantes para producir grandes diferencias de temperatura y efectuaron diversas

mediciones para investigar el efecto de la separacion de las placas del stack sobre la rapidez

de transferencia de calor. En 1991 Ward et al. [21] del grupo del Laboratorio Nacional de

Los Alamos senalan en un reporte interno haber analizado el funcionamiento de motores

termoacustico de 1MW de potencia acustica operando con una mezcla de helio y xenon,

con helio puro y con una mezcla eutectica de sodio y potasio como fluidos de trabajo y con

un conjunto de placas planas paralelas en el stack. De acuerdo a los resultados del analisis

teorico y a las soluciones numericas de la ecuacion de onda para la presion, consideraron

6

a estos motores termoacusticos como tecnicamente viables ya que funcionaban con eficien-

cias cercanas al 20 %. Sin embargo, este grupo no continuo la investigacion sobre el motor

termoacustico con metales lıquidos debido a las estrictas medidas de seguridad de ese la-

boratorio. Gabrielson [22] propuso el uso de un motor termoacustico como fuente acustica

submarina. Como resultado del analisis teorico que realizo, encontro que una fuente sub-

marina con un motor termoacustico puede alcanzar mas potencia si el resonador se llena

con gas en vez de lıquido. Ademas, que la potencia radiada esta en funcion de la geometrıa

del resonador, dada una amplitud maxima de presion dentro del resonador. Luck y Trepp

[23, 24] propusieron un motor termoacustico en forma radial, con un apilamiento de placas

en forma de anillo, el intercambiador frıo en la zona central, el intercambiador caliente en la

zona periferica y un piston en la zona superior central, ellos modelaron el gas contenido en

el sistema como un resorte ideal y usaron una solucion a la ecuacion de onda de Rott [25].

Las predicciones teoricas sobre la potencia y la presion concordaron solo cualitativamente

con los resultados experimentales. Recientemente, la necesidad de mejorar las eficiencias

de los dispositivos termoacusticos, hicieron que se reconsiderara el enfoque de Ceperley,

construyendo el primer motor termoacustico que produce ondas acusticas viajeras. En este

caso el espaciamiento entre las placas del stack era mas pequeno que en motores que pro-

ducen ondas estacionarias, por lo tanto, fue necesario minimizar el flujo de velocidad del gas

para vencer las perdidas viscosas dentro del generador, cuyos pequenısimos poros permiten

que el calor se transfiera mas eficientemente entre el gas y el solido (Garrett and Backhaus

[26]). De acuerdo a un reporte de la Universidad de Pennsylvania, ademas de los Estados

Unidos, se sabe que en Japon hay una asociacion de 100 investigadores de la industria y

academia quienes estan trabajando en refrigeracion termoacustica, ası como en Francia,

Inglaterra, Argentina, Bangladesh y Sudafrica. En Mexico es muy poca la investigacion que

se esta realizando sobre esta nueva tecnologıa, siendo el Centro de Ciencias Aplicadas y

Desarrollo Tecnologico (CECADET) y el Centro de Investigacion en Energıa (CIE) de la

UNAM, los unicos lugares donde se realiza hasta el momento, ver [32, 33, 34, 35, 36, 37].

7

Figura 1.1: Estructura basica de un motor termoacustico.

1.2. Estructura basica del motor termoacustico

El motor termoacustico mas sencillo esta compuesto basicamente por un tubo, llamado

resonador, cerrado en un extremo y abierto al aire en el otro extremo. Cerca del centro,

una seccion del tubo es remplazada por un conjunto de placas delgadas, bien espaciadas y

alineadas paralelamente al eje del tubo, llamada stack. En cada extremo del stack hay un

conjunto de laminillas espaciadas, cuyos planos tambien estan alineadas en forma paralela

al eje del tubo y estan soldados al tubo. Durante su operacion el calor fluye desde una

fuente de alta temperatura situada cerca del extremo cerrado del tubo, mientras que fluido

de enfriamiento pasa a traves de un tubo delgado enrollado alrededor del extremo abierto

del tubo, como se ve en la figura 1.1. Las laminillas mas cercanas al extremo cerrado llevan

el calor a ese extremo del stack, mientras que las laminillas mas cercanas al extremo abierto

mantienen el otro extremo del stack a una temperatura cercana a la temperatura del fluido

de enfriamiento. Cuando la diferencia de temperatura a traves del stack es lo suficientemente

grande, el aire dentro del resonador oscila espontaneamente con una frecuencia tal que un

cuarto de la longitud de onda del sonido es igual a la longitud del tubo, con un antinodo

de presion (es decir, maxima amplitud) en el extremo cerrado y un antinodo de velocidad

en el extremo abierto.

8

Figura 1.2: Criterio de Rayleigh.

1.3. Principio de operacion del motor termoacustico

El funcionamiento del motor termoacustico se basa en la produccion de una onda acustica

por un gradiente axial de temperatura apropiado, para esto es necesario que se cumpla con

el criterio de Rayleigh, el cual establece que si se agrega calor en el momento de maxima

compresion y se extrae calor en el momento de maxima expansion la onda acustica es

exitada, como se ve en la figura 1.2.

1.4. Ciclo del motor termoacustico de onda estacionaria

El ciclo de un motor termoacustico de onda estacionaria se puede describir siguiendo una

parcela tıpica de fluido conforme esta oscila a lo largo de la placa. En un motor real las

oscilaciones son senosoidales, pero por simplicidad se puede considerar un movimiento de

onda cuadrada, de tal manera que el ciclo basico termodinamico pueda ser representado

por dos procesos reversibles adiabaticos y dos procesos irreversibles a presion constante,

como se ve en la figura 1.3. Un factor importante en la operacion de una maquina termica

9

tradicional es la fase: los pistones y valvulas tienen que moverse en el momento correcto

para que el medio de trabajo sea transportado a traves del ciclo termodinamico deseado,

en el motor termoacustico obviamente no hay partes en movimiento para realizar estas

funciones, aunque la estimulacion acustica de calor y la generacion (o absorcion) de trabajo

acustico requieren tambien que los procesos termodinamicos sean puestos en fase. La clave

para poner en fase los motores termoacusticos es la presencia de dos medios termodinami-

cos: el fluido y la placa. Conforme el fluido, oscila a lo largo de la placa a la frecuencia

acustica, experimenta cambios en temperatura. Parte de los cambios de temperatura se

deben a la compresion y expansion adiabatica del fluido por la presion de sonido y el resto

es una consecuencia de la temperatura local de la misma placa. El flujo de calor entre el

fluido y la placa no produce cambio instantaneo en la temperatura del fluido. En lugar de

esto, el flujo de calor entre los dos medios crea un retraso temporal entre la temperatura,

la presion y el movimiento, el cual es necesario para conducir al fluido a traves de un ci-

clo termodinamico. Para el movimiento senosoidal, estos argumentos aplican a las parcelas

que estan dentro de la distancia de penetracion termica desde la placa. Las parcelas que

estan mas alla no tienen contacto termico y son simplemente comprimidas y expandidas

adiabaticamente de manera reversible por la onda de sonido. Sin embargo, las parcelas que

estan dentro de la profundidad de penetracion termica desde la placa tienen un contacto

termico suficientemente bueno para intercambiar calor con la placa, pero al mismo tiempo,

tienen un contacto termico lo suficientemente pobre para producir un tiempo de retraso

temporal entre el movimiento y la transferencia de calor. Cuando el gradiente de tempe-

ratura a lo largo de la placa es grande, de tal manera que la parte a mayor temperatura se

encuentra proxima a un extremo cerrado del resonador, la maquina termoacustica funciona

como motor y su operacion se caracteriza por cuatro procesos termicos que se describen a

continuacion:

En el primer proceso adiabatico la parcela se desplaza desde una posicion a menor tem-

peratura (Tm − xm∇Tm), comprimiendose hasta otra nueva posicion distante 2xm. Dada

su velocidad, se considera que el fluido de la parcela tuvo poco tiempo para intercambiar

calor con la pared solida, por lo que su temperatura es practicamente la de su lugar de

10

procedencia mas un aumento termodinamico de temperatura debido al aumento de presion

(Tm − xm∇Tm + 2T1). En este proceso los alrededores hacen trabajo dw1 sobre el fluido

de la parcela comprimiendola. En el segundo proceso a presion constante, la parcela no se

mueve y la presion es maxima (pm +p1). En este proceso, el fluido de la parcela intercambia

calor con la pared solida que se encuentra a una mayor temperatura (Tm + xm∇Tm). Si

el gradiente de temperatura media a lo largo del tubo ∇Tm es suficientemente grande, la

temperatura de la pared solida en contacto con el fluido es mayor que la temperatura de

este, por lo que hay un flujo de calor dQ2 hacia el fluido. La temperatura del fluido aumenta

hasta alcanzar la temperatura de la pared solida (Tm +xm∇Tm), el aumento de temperatu-

ra ocasiona una expansion y el fluido hace trabajo dW2 sobre sus alrededores. En el tercer

proceso adiabatico, la parcela se mueve en sentido contrario expandiendose y desplazandose

una distancia 2xm, desde una posicion a mayor temperatura (Tm + xm∇Tm). Dada su ve-

locidad, se considera que el fluido de la parcela tuvo poco tiempo para intercambiar calor

con la pared solida, por lo que su temperatura es practicamente la de su lugar de proceden-

cia menos una reduccion termodinamica de temperatura debido a la reduccion de presion

(Tm + xm∇Tm − 2T1). En este proceso el fluido de la parcela hace trabajo dw3 sobre los

alrededores al expandirse. En el cuarto proceso a presion constante, la parcela no se mueve

y la presion es mınima (pm − p1). En este proceso, el fluido de la parcela intercambia calor

con la pared que se encuentra a una menor temperatura (Tm−xm∇Tm). Como el gradiente

de temperatura media a lo largo del tubo ∇Tm es suficientemente grande, la temperatura

de la pared solida en contacto con el fluido es menor que la temperatura de este, por lo que

hay un flujo de calor dQ4 hacia la pared solida. La temperatura del fluido disminuye hasta

alcanzar la temperatura de la pared solida (Tm − xm∇Tm), la disminucion de temperatura

ocasiona una contraccion y los alrededores hacen trabajo dW4 sobre el fluido de la parcela.

En el caso de un motor termoacustico en donde el gradiente de temperatura media axial es

suficientemente grande ∇Tm > 2T1/xm, en el momento de maxima presion entra calor al

fluido y en el momento de mınima presion sale calor del fluido, por lo tanto, de acuerdo al

criterio de Rayleigh se presenta la condicion de excitacion de la onda acustica y habra una

produccion neta de potencia acustica. Ademas, en este caso hay un flujo de calor a traves

11

del fluido, de la region mas caliente a la region mas frıa de la placa.

1.5. Aplicaciones de los motores termoacusticos

En 1962 se dio el avance mas importante en termoacustica moderna cuando Carter, White

y Stelle [27] plantearon de manera descriptiva y sin incluir analisis teoricos ni datos ex-

perimentales extensos la posibilidad de utilizar el efecto termoacustico para desarrollar un

motor que generara electricidad. Debido a que el efecto termoacustico se lleva a cabo en

la capa lımite termica, ellos propusieron aumentar el area de contacto entre las paredes

solidas con un gradiente de temperatura y el fluido, colocando placas apiladas. Con es-

ta configuracion ellos determinaron que era posible usar el fenomeno termoacustico para

producir oscilaciones acusticas en el fluido contenido en un tubo, el cual se acoplarıa a

un generador magnetohidrodinamico para producir corriente electrica. Es decir se podrıa

generar corriente electrica alterna utilizando una fuente de calor permanente mediante la

oscilacion de un gas conductor en un campo magnetico (Feldman [13]). La idea de usar

un oscilador del tipo Sondhauss como motor para un generador magnetohidrodinamico

de corriente alterna fue discutido tambien en publicaciones de Carter y Feldman [28] y

Carter, Feldman y McKinnon [29]. El primer experimento en la historia de los motores

termoacusticos para generar energıa electrica mediante un campo de onda acustica fue re-

alizado tambien en 1979 por Moose et al. [30], usando para esto el efecto de transduccion

magnetohidrodinamica, sus experimento fueron realizados a nivel de laboratorio a 10 KHz

y con agua salada (Hamann y Gerbeth [31]). En 1988, Swift [42] reporto los resultados

de sus experimentos en un motor termoacustico usando sodio lıquido. El stack consistıa

en un apilamiento de placas paralelas de molibdeno, en cuyos extremos se encontraban los

intercambiadores de calor formados por tubos. El intercambiador de calor de alta tempe-

ratura fue conectado a un circuito intercambiador de calor de sodio liquido, formado por un

calentador electrico, una bomba y un medidor de flujo. El intercambiador de calor de baja

temperatura fue conectado a un circuito intercambiador de calor de agua presurizada. La

diferencia de temperatura en el stack se estimo 10 % menor que la diferencia de temperatura

12

Tm − x

m∇ T

mT

m + x

m∇ T

m

Motor termoacustico: ∇ Tm

grande ´

dw1 2x

m

Parcela de gas

placa

Tm − x

m∇ T

m

pm−p

1

Tm − x

m∇ T

m + 2T

1

pm+p

1

1.−Procesoadiabatico

Tm + x

m∇ T

m

dQ2

dw2

Tm − x

m∇ T

m + 2T

1 → T

m + x

m∇ T

mp

m+p

1

Tm − x

m∇ T

mT

m + x

m∇ T

m

placa

placa

−2xm

Tm + x

m∇ T

m − 2T

1

dw3

pm−p

1

Tm + x

m∇ T

m

pm+p

1

2.−Procesopresion cte

3.−Procesoadiabatico

4.−Procesopresion cte

Tm − x

m∇ T

m

placa

dQ4

dw4

Tm + x

m∇ T

m − 2T

1 → T

m − x

m∇ T

mp

m−p

1

Figura 1.3: Ciclo del motor termoacustico.

13

Figura 1.4: Generador magnetohidrodınamico.

exterior de los fluidos intercambiadores de calor, debido a las conductividades finitas del

sodio y del acero inoxidable. Los resultados experimentales variaron cuantitativamente de

los resultados numericos basados en la teorıa presentada antes por Swift et al. [38]. Para la

mayor amplitud acustica en la cual el aparato podrıa trabajar de manera segura, el motor

produjo 18 W de potencia acustica con 990 W de calor con una eficiencia del 1.8%. Ellos

no lograron altas eficiencias debido a problemas de cavitacion que se producıan al aumen-

tar la amplitud de la presion, sin embargo, propusieron el acoplamiento de su motor a un

transductor magnetohidrodinamico, el cual aprovecharıa el movimiento del metal lıquido

(alta conductividad electrica) en presencia de un campo magnetico, para generar potencia

electrica, este dispositivo es conocido como generador MHD por efecto termoacustico, ver

figura 1.4. Posteriormente, Swift y Fusco [39] indicaron la posibilidad de utilizar agua de

mar como fluido de trabajo en el generador MHD por efecto termoacustico. Los intentos por

desarrollar dispositivos practicos basados en termoacustica comenzaron hace algunos anos

atras, en los Estados Unidos y algunos otros paıses. Este interes surge debido a varios fac-

tores, entre ellos la necesidad de desarrollar nuevos y confiables dispositivos de conversion de

energıa para aplicaciones espaciales de la NASA y la crisis en la industria de la refrigeracion

causada por la destruccion del ozono de la estratosfera por los clorofluorocarbonos usados

14

Figura 1.5: Enfriador termoacustico.

en la refrigeracion convencional. Dentro de las instituciones que han desarrollado algun dis-

positivo termoacustico se pueden mencionar al departamento de investigacion cientıfica e

industrial de Sudafrica, en donde se construyo un refrigerador termoacustico accionado con

un motor termoacustico que opera con neon a 15 bar y 120 Hz, ver figura 1.5. Cientıficos

de Ford Motor Company construyeron tambien un refrigerador termoacustico con motor

termoacustico que opera con helio a 10 bars con oscilaciones a 430 Hz o con una mezcla de

80% helio y 20 % argon a 260 Hz. La corporacion Tektronix, en Beaverton, Oregon cons-

truyo un motor termoacustico para accionar un refrigerador criogenico desarrollado para

el enfriamiento de circuitos electronicos; para su funcionamiento el motor termoacustico

entrega una potencia acustica de 500 W a un refrigerador de tubo pulsante. En Denver,

Colorado, Cryenco Inc. tambien desarrollo un motor termoacustico para operar un refri-

gerador de tubo pulsante, sin embargo, en este caso la fuente de calor para el motor era

combustion de gas natural y se diseno para la licuefaccion industrial y comercial de gas

natural. Este dispositivo medıa 12 metros de largo, utilizaba dos estructuras internas en

forma de espiral de 0.5 m de diametro para producir 40 kW de potencia acustica a 40 Hz

y empleaba gas helio a 30 bars (Swift [40]).

15

1.6. Modelado de maquinas termoacustica

Inicialmente la investigacion cientifica de maquinas termoacusticas (MTA) se baso en enfo-

ques de tipo teorico y experimental. A partir de 1994 Ward et al. [4], fueron los primeros

en desarrollar un programa de computo llamado DELTAE para la simulacion de maquinas

termoacusticas, el cual esta basado en la teorıa termoacustica lineal planteada por Rott.

El enfoque se baso en la dinamica de fluidos computacionales (DFC), la cual permite el

desarrollo de algoritmos numericos que contienen las ecuaciones de conservacion que go-

biernan el comportamiento de los fluidos, bajo diferentes condiciones de operacion. En la

actualidad se pueden encontrar diversos trabajos de investigacion con este enfoque. Algunos

investigadores han desarrollado sus propios codigos computacionales, otros han empleado

codigos comerciales de DFC, tales como PHOENICS y FLUENT. Los estudios con codigos

comerciales que existen en la literatura solo modelan partes de una MTA.

1.6.1. Modelos analıticos

En 1969 Rott desarrollo excitosamente la teorıa termoacustica lineal. Mas tarde, diversos

investigadores mejoraron la teorıa termoacustica lineal y trataron de usarla para explicar

y disenar maquinas y crioenfriadores aprovechando el fenomeno termoacustico. La teorıa

termoacustica lineal es una poderosa herramienta que proporciono con exito no solo un

buen entendimiento de los fenomenos fısicos involucrados en estas maquinas sino tambien

una buena guıa para su innovacion. El enfoque de los estudios previos sobre el modelado de

flujos oscilatorios en dispositivos termoacusticos se ha centrado en el flujo sobre y alrededor

del stack.

En 1988 Swift [41] presento el modelo teorico de una placa termoacustica la cual consi-

deraba un gas ideal sometido a una onda estacionaria plana y a una pequena placa solida

alineada paralelamente a la direccion de la vibracion de la onda, observandose que la onda

estacionaria era modificada por la presencia de la placa, provocando dos efectos importantes:

1) un flujo de calor promedio cerca de la superficie de la placa, a lo largo de la vibracion

acustica y 2) la generacion o absorcion de energıa acustica (trabajo) cerca de la superficie

16

de la placa. En este trabajo se obtuvo una expresion analitica para la oscilacion de la

temperatura del fluido fuera de la capa lımite, el gradiente de temperatura crıtico, el cual

es importante ya que indica el lımite entre el funcionamiento de motor o bomba de calor para

una maquina termoacustica y el flujo de calor en la direccion axial debido a la oscilacion

de velocidad.

En 1988 Swift [41] presento el modelo teorico de un modelo de maquina corta en este caso

considero que la diferencia de temperatura es mucho menor que la temperatura absoluta

y que la longitud de las placas es mucho mas corta que la longitud de onda. La geometrıa

considerada fue un conjunto de placas paralelas, con su eje axial a lo largo de la direccion

de la vibracion de la onda y el eje transversal perpendicular al plano de las placas paralelas.

Como condiciones de frontera se considero que en la interface fluido-placa: 1) la velocidad

era igual a cero 2) el fluido y el solido tenıan la misma temperatura 3) el fluido y el solido

tenıan los mismos gradientes de temperatura respecto a la coordenada transversal. Con

estas consideraciones se logro obtener una ecuacion de onda para la oscilacion de la presion

en terminos del gradiente de temperatura medio, de las propiedades del material y de la

geometrıa. Al analizar el caso de viscosidad cero, se observo, que el semiespaciamiento de

las placas debe ser mayor a la profundidad de penetracion termica y menor a dos veces

la profundidad de penetracion termica. Tambien se determino que el flujo de calor por

conduccion tiene un efecto negativo en el funcionamiento de las maquinas termoacusticas,

siendo necesario que las conductividades termicas en la direccion axial sean lo mas pequenas

posibles. Otros resultados de estos trabajos indican que los intercambiadores de calor deben

tener una longitud aproximadamente igual a la amplitud de desplazamiento de las parcelas

de fluido de un extremo a otro (2u1/ω).

1.6.2. Modelos numericos no comerciales

En los ultimos anos ha surgido un renovado interes por los dispositivos termoacusticos, tan-

to motores como refrigeradores, algunos investigadores han desarrollado codigos numericos

para estudiar estos dispositivos, sin embargo son cuasiunidimensionales o bidimensionales y

solo simulan alguna parte de la MTA, por lo que es importante trabajar en el desarrollo de

17

codigos que puedan modelar completamente una MTA. A continuacion se hace una revision

bibliografica de este tipo de codigos.

Watanable et al. [5] presentaron un modelo lineal cuasiunidimensional para motores ter-

moacusticos formulado mediante el promedio de las ecuaciones de conservacion en la seccion

transversal. Ademas incluyeron efectos de transferencia de calor y viscosidad proponiendo

la aplicacion de ciertos coeficientes. El modelo fue resuelto numericamente, discretizando

las ecuaciones mediante diferencias centradas sobre una red espaciada uniformemente y

usando 2000 celdas a lo largo del tubo y aproximadamente 100 celdas en la region del stack.

Los campos de velocidad, temperatura y densidad promedios en la seccion transversal se

aproximaron bastante bien a los datos experimentales, sin embargo, esto no ocurrio con el

flujo de energıa.

Yuan et al. [8] presentaron un modelo no lineal cuasiunidimensional para motores ter-

moacusticos. Las ecuaciones fueron discretizadas espacialmente utilizando diferencias cen-

tradas e integrando explıcitamente en el tiempo. En el tiempo cero, se considero una per-

turbacion inicial en la presion con una amplitud de 100 Pa. En estos calculos se usaron

2000 nodos espaciales para una solucion independiente de la red y un maximo numero de

Courant1 de 0.4. Los calculos efectuados para un motor termoacustico demostraron que el

modelo describe cualitativamente el crecimiento y la eventual saturacion de las oscilaciones,

siendo este modelo el primero que describe el comportamiento transitorio de un motor ter-

moacustico.

Worlikar et al. [6] analizaron el flujo bidimensional alrededor del stack de un refrigerador

termoacustico idealizado usando un modelo para bajos numeros de Mach y consideraron co-

mo fluido de trabajo un gas Newtoniano con viscosidad y conductividad termica constantes.

El objetivo de este artıculo fue analizar los gradientes de temperatura en estado perma-

nente generados acusticamente en el stack. El metodo numerico utilizado para resolver

las ecuaciones del modelo fue diferencias finitas aplicado sobre un dominio rectangular. Las

derivadas espaciales se discretizaron usando diferencias de segundo orden y la discretizacion

temporal se hizo con un esquema explıcito de tercer orden. Los calculos se comenzaron con1numero de Courant= u ∆t

∆x

18

el gas en reposo y con una distribucion de temperatura uniforme en el gas y el stack, el

efecto de la onda acustica se simulo imponiendo condiciones de velocidad oscilatorias. Las

simulaciones mostraron que la transferencia de calor entre el stack y el fluido se concentra

en los extremos del stack, y que la transferencia de calor en la region media del stack es

despreciable.

Worlikar et al. [7] analizaron el flujo y los campos de temperatura en la vecindad de una

configuracion idealizada de stack-intercambiador de calor de un refrigerador termoacustico,

usando un modelo bidimensional para bajos numeros de Mach. El modelo se desarrollo me-

diante una formulacion basada en vorticidad y utilizaron el metodo numerico de diferencias

finitas. Las placas de los intercambiadores de calor se consideraron isotermicas y en per-

fecto contacto termico con las placas del stack. En este trabajo se considero que el flujo

neto de calor en el intercambiador de calor depende de tres componentes, las cuales son,

el flujo de calor transversal sobre la superficie del intercambiador de calor, el flujo de calor

en el extremo del intercambiador de calor que esta en contacto con el gas y el flujo de

calor por conduccion en la interface stack-intercambiador de calor. Los resultados indicaron

que el flujo de calor en el extremo del intercambiador de calor es comparable con el flujo

de calor transversal, tiene el mismo signo y ambos contribuyen al enfriamiento. El flujo

de calor neto fue considerablemente mas pequeno que la suma de los dos flujos de calor

mencionados anteriormente, indicando que el flujo de calor por conduccion en la interface

stack-intercambiador de calor es perjudicial para el rendimiento del stack. Los resultados

indicaron que el optimo rendimiento del stack se logra cuando la longitud del intercam-

biador de calor es aproximadamente igual al desplazamiento de las parcelas de fluido.

Besnoin et al. [1] realizaron un estudio numerico de los intercambiadores de calor en el lımite

de placa delgada para un refrigerador termoacustico idealizado. La mayorıa de las simu-

laciones se realizaron utilizando un modelo basado en vorticidad e hicieron verificaciones

de sus resultados con simulaciones basadas en el metodo de volumen finito. Los calculos

indicaron que es esencial optimizar cuidadosamente las posiciones de los intercambiadores

de calor, esto se debe a que la interaccion entre el stack y los intercambiadores de calor

esta gobernada por el desplazamiento de las parcelas y consecuentemente esta limitada

19

por el desplazamiento de la amplitud de la partıcula. Conforme las separaciones fueron

mas grandes, el acoplamiento termico entre el stack y los intercambiadores de calor dismi-

nuyo y la carga de enfriamiento decrecio. Conforme las separaciones fueron mas pequenas

se presento un flujo de calor inverso en el extremo mas cercano al stack lo cual hizo que

la carga de enfriamiento decreciera, esto se debe a que entre mas pequeno es el ancho de

separacion la transferencia de calor por conduccion desde el stack al intercambiador de calor

de baja temperatura es mayor, reduciendose la capacidad de enfriamiento.

1.6.3. Modelos numericos comerciales

La simulacion de alguna de las partes de un MTA tambien se ha hecho usando codigos

numericos comerciales con modelos unidimensionales o bidimensionales, sin embargo se

tiene la desventaja de su costo elevado y de no tener acceso al codigo fuente, por lo que la

investigacion con este tipo de codigos esta restringida. A continuacion se hace una revision

bibliografica de este tipo de codigos.

Ward et al. [4] presentaron el programa DELTAE (Desing Environment for Low-amplitude

Thermoacoustic Engines) de uso comercial para el diseno de maquinas termoacusticas de

baja amplitud. En motores termoacusticos y muchos otros sistemas acusticos simples, la

dependencia espacial de la presion y velocidad acustica puede ser determinada por una

ecuacion de onda unidimensional. DELTAE considera al sistema como una serie de seg-

mentos, los cuales toman en cuenta de manera apropiada los efectos de perdidas viscosas y

termicas. Dentro de cada segmento integra una ecuacion de onda unidimensional apropiada

a la geometrıa del segmento. En todos los casos la integracion es controlada por variables

globales tales como la frecuencia y presion media y por variables locales tales como la

geometrıa del segmento. Este programa tiene las siguientes desventajas: 1) unicamente per-

mite realizar un analisis unidimensional 2) considera numeros de Mach bajos 3) no toma en

cuenta aspectos transientes, por lo tanto, no predice el inicio de las oscilaciones acusticas

y no simula la transicion a estado permanente del campo de sonido 4) no toma en cuenta

las no linealidades de las ecuaciones de movimiento, por lo que no es capaz de considerar

el fenomeno de corrientes acusticas 5) no considera aspectos de turbulencia.

20

Ishikawa et al. [3] simularon numericamente intercambiadores de calor de dispositivos ter-

moacusticos, analizando los campos de flujo y energıa en una placa isotermica sujeta a

una onda acustica estacionaria en un resonador. Para la simulacion se utilizo el codigo co-

mercial PHOENICS, el modelo empleado fue bidimensional y se resolvieron las ecuaciones

completas de Navier-Stoke en dos dimensiones. Para modelar unicamente la seccion de

los intercambiadores de calor se aplicaron condiciones de onda estacionaria en el extremo

abierto del dominio de la simulacion. El espesor de la placa no se modelo y la turbulencia

se desprecio para todos los casos. Los resultados de la simulacion mostraron que puede

observarse un efecto de bombeo no solo en las placas largas sino tambien en las placas mas

cortas, cuando el espaciamiento de la placa es mayor que la profundidad de penetracion

termica. Los resultados mostraron que en terminos de la cantidad total de bombeo de calor,

no es necesario tener placas mayores a cuatro veces la distancia de desplazamiento de la

partıcula, cualquier area superficial extra contribuye a la disipacion de energıa.

Chen et al. [2] analizaron la optimizacion de un refrigerador termoacustico (RTA) mediante

tecnicas numericas, realizando simulaciones con el codigo comercial FLUENT de DFC.

Debido a la gran disparidad en la escala de longitud en el stack de estos dispositivos, el

analisis del tipo DFC solo fue factible para simular un canal entre dos placas del stack, ana-

lizandose los parametros termoacusticos adentro y afuera de un poro del stack. FLUENT

permitio realizar simulaciones de flujo transiente bidimensional y de transferencia de calor,

resolviendo las ecuaciones completas de Navier-Stokes en flujo no permanente de un RTA.

Inicialmente no se incluyeron los intercambiadores de calor, observandose un fenomeno

muy interesante, la separacion de flujo en ambos extremos del canal del apilamiento donde

normalmente se localizan los intercambiadores de calor. La longitud de estas regiones de

separacion fue aproximadamente igual a la longitud del stack, lo cual sugirio que la forma

de los intercambiadores de calor es muy importante y debe ser disenada cuidadosamente

para reducir las perdidas relacionadas con los bordes. Para incluir los intercambiadores de

calor dentro del modelo detallado y realizar calculos precisos en el tiempo, se tomaron en

cuenta los parametros de diseno optimo obtenidos previamente con DELTAE para un RTA.

Se observo que cuando la longitud y el diametro del resonador se reducen las dimensiones

21

optimas de la longitud del stack, la posicion del stack y la longitud del intercambiador de

calor cambian proporcionalmente.

1.6.4. Guıas de diseno derivadas del modelado de maquinas termoacusti-

cas

Swift [41] con el modelo de maquina pequena senalo que la longitud del intercambiador de

calor debe ser aproximadamente igual al desplazamiento de las parcelas de fluido oscilante,

por su parte, Ishikawa et al. [3] encontraron que la longitud del intercambiador de calor

debe ser menor a cuatro veces el desplazamiento de la parcela de fluido, sin embargo no

reportaron el lımite inferior ni el valor optimo. Para el caso especıfico de un refrigerador ter-

moacustico, Worlikar et al. [7] senalaron que la longitud optima del intercambiador de calor

es igual al desplazamiento de un extremo a otro de la parcela de fluido mas la profundidad

de penetracion termica. Besnoin et al. [1] senalaron que la longitud del intercambiador de

calor de un refrigerador termoacustico es una funcion linealmente inversa de la relacion de

excitacion Dr.

Swift [41] determino que el maximo flujo de calor en los intercambiadores de calor se ob-

tiene cuando el espaciamiento entre placas es mayor a dos veces y menor a cuatro veces la

profundidad de penetracion termica, por su parte Ishikawa et al. [3] determinaron que el

maximo flujo de calor en los intercambiadores de calor se obtiene cuando el espaciamiento

entre las placas es de 3.2 veces la profundidad de penetracion termica. Para el caso especıfi-

co de un refrigerador termoacustico Besnoin et al. [1] determinaron que el maximo flujo

de enfriamiento se obtiene cuando la separacion entre las placas es igual al 3.5 veces la

profundidad de penetracion termica. Estos dos ultimos resultados estan dentro del rango

reportado por Swift.

Worlikar et al. [7] y Chen et al. [2] senalaron que para un refrigerador termoacustico el COP

es una funcion lineal inversa de la diferencia de temperatura entre los intercambiadores de

calor. Estos ultimos investigadores senalaron ademas que el COP es una funcion cuadratica

de la relacion de excitacion cuando esta aumenta hasta un valor de 2 %, para valores supe-

riores la rapidez de variacion del COP se reduce.

22

Worlikar et al. [7] y Chen et al. [2] determinaron que la carga de enfriamiento es una fun-

cion lineal inversa de la diferencia de temperatura entre los intercambiadores de calor. Estos

ultimos investigadores determinaron ademas que la carga de enfriamiento es una funcion

lineal de la relacion de excitacion. Chen et al. [2] determinaron que la carga de enfriamiento

se incrementa al reducir el espesor de las placas, hasta alcanzar un valor optimo y que es

una funcion cuadratica de la amplitud de la presion.

Besnoin et al. [1] senalaron que existe un valor optimo para la separacion entre el intercam-

biador de calor y el stack, con el cual se obtiene el maximo flujo de calor de enfriamiento

en un refrigerador termoacustico.

Como se observa de la revision bibliografica aun hace falta mucha investigacion experimen-

tal y teorica para poder aplicar la tecnologıa termoacustica en el desarrollo de dispositivos

termoacusticos y en especial hace falta codigos numericos para modelar y simular motores

termoacusticos. En el capıtulo siguiente se presenta un estudio analıtico enfocado a los sis-

temas termoacusticos magnetohidrodinamicos, los cuales pueden ser usados para convertir

energıa termica en energıa electrica.

23

Capıtulo 2

Estudio teorico del efecto de un

campo magnetico en la estabilidad

lineal de una oscilacion

termoacustica


El uso de motores termoacusticos con fluidos de trabajo electricamente conductores bajo un

campo magnetico aplicado ha sido propuesto para desarrollar sistemas simples que trans-

forman calor en energıa electrica [42]. Estos dispositivos pueden ser potencialmente usados

como convertidores de energıa solar en electricidad, y dependiendo de su eficiencia podrıan

ser una alternativa para las celdas fotovoltaicas. Debido a su simplicidad y a la ausencia

de partes moviles, la generacion de electricidad por efecto termoacustico puede usarse en

aplicaciones espaciales.

Actualmente el comportamiento de los sistemas termoacusticos magnetohidrodinamicos

es practicamente desconocido, los pocos estudios que existen en la literatura son para

geometrıas, materiales y condiciones fısicas especıficas. En este trabajo se hace un analisis

24

de la estabilidad lineal de un motor termoacustico de onda estacionaria cuando un campo

magnetico constante se aplica en la region del stack. Para esto, se extiende la teorıa de esta-

bilidad desarrollada por Rivera-Alverez y Chejne [43]. Esta teorıa considera las ecuaciones

de conservacion linealizadas para un gas ideal y desarrolla un criterio de estabilidad para

una solucion oscilatoria usando el gradiente de temperatura en el stack como parametro de

bifurcacion. En este trabajo, esta teorıa se extiende en tres direcciones. Primero, se adapta

la teorıa para considerar un fluido Newtoniano con una ecuacion general de estado. Segun-

do, se considera que las propiedades fısicas del fluido de trabajo varıan con la temperatura,

esta consideracion es importante si se pretende desarrollar un modelo mas realista, ya que

en la mayorıa de los casos, los motores termoacusticos trabajan con altos gradientes de tem-

peratura (∼ 100K/cm) y para la mayorıa de los fluidos de interes, considerar propiedades

fısicas constantes es una gran simplificacion. Tercero, se considera que el fluido de trabajo es

un lıquido electricamente conductor, como un metal lıquido, una sal fundida o un electrolito

y se explora el efecto que provoca la presencia de un campo magnetico sobre el gradiente

de temperatura crıtico.

2.2. Formulacion del problema

Las ecuaciones de conservacion para el flujo en estado no permanente de un fluido compre-

sible Newtoniano puede escribirse como:

Ecuacion de continuidad o de conservacion de la masa

∂ρ

∂t+

∂(ρuk)∂xk

= 0. (2.1)

Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento

ρ∂ui

∂t+ ρuk

∂ui

∂xk= − ∂p

∂xi+

∂

∂xi

(λ

∂uk

∂xk

)+

∂

∂xj

[µ

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)]+ fi. (2.2)

25

Ecuacion de conservacion de la energıa

ρ∂cvT

∂t+ ρuk

∂cvT

∂xk= −p

∂uk

∂xk+

∂

∂xk

(k

∂T

∂xk

)+ Φ. (2.3)

Ecuacion general de estado

ρ = ρ(p, T ). (2.4)

Donde la velocidad del flujo es denotada por ui, la presion por p, la densidad del fluido por

ρ, la temperatura por T y la fuerza de cuerpo externa por fi. Φ es la funcion que incluye

disipacion viscosa y otras fuentes de disipacion como la generada por el efecto Joule. A

su vez, µ, λ, cv y k son respectivamente la viscosidad dinamica, el segundo coeficiente de

viscosidad, el calor especıfico a volumen constante y la conductividad termica del fluido.

Estas propiedades son funciones de la temperatura y por lo tanto varıan en el espacio y el

tiempo. En la ecuacion de la energıa se empleo la relacion de estado δe = cvδT , donde e es

la energıa interna por unidad de masa.

Para un fluido electricamente conductor que fluye en presencia de un campo magnetico,

las ecuaciones anteriores se complementan con las ecuaciones de Maxwell y la ley de Ohm,

[44, 45]:

εijk∂Ek

∂xj= −∂Bi

∂t, εijk

∂Bk

∂xj= µ0Ji,

∂Bk

∂xk= 0, (2.5)

Ji = σ(Ei + εijkujBk), (2.6)

los sımbolos Bi, Ei y Ji denotan la induccion magnetica, el campo electrico y la densidad

de corriente electrica, respectivamente. Ademas µ0 es la permeabilidad magnetica del vacıo

y σ es la conductividad electrica del fluido de trabajo.

En este caso la fuerza externa fi en la ecuacion de cantidad de movimiento es la fuerza de

Lorentz, la cual puede escribirse en terminos de las variables electromagneticas como:

fi = εijkJjBk. (2.7)

26

En el flujo de un fluido electricamente conductor en presencia de un campo magnetico,

las corrientes electricas inducidas que circulan en el medio representan una fuente de disi-

pacion llamada disipacion por efecto Joule, el cual es la transformacion de energıa electrica

en calor. En el modelo, este efecto se desprecio ya que se esperan corrientes electricas induci-

das pequenas. Tambien se considero que la disipacion viscosa no afecta considerablemente

el balance de energıa del sistema (Φ = 0).

En el analisis se considero un ducto bidimensional cerrado en un extremo y abierto en el

otro, el cual contiene un fluido de trabajo. Su longitud total es S y la coordenada x se

define a lo largo de la direccion axial, medida desde el extemo abierto, mientras las coorde-

nadas y y z son perpendiculares entre si y transversales al ducto. En xs se localiza un stack

compuesto de placas delgadas aisladas electricamente, con una longitud ∆x y separadas

por una distancia s. La temperatura de la pared se considero baja en la region cerca del

extremo abierto y alta cerca del extremo cerrado, generandose un gradiente en el stack.

Bajo condiciones favorables un gradiente de temperatura lo suficientemente grande puede

generar un movimiento oscilatorio del fluido en la direccion axial, siendo razonable consi-

derar que el movimiento del fluido es unidimensional, es decir, ui = (u, 0, 0). Externamente

se impuso al ducto un campo magnetico uniforme en la direccion y, como se ve en la figura

2.1. Este campo magnetico afecta la region del gradiente de temperatura, influyendo en la

estabilidad lineal del fluido a traves de la fuerza de Lorentz.

El movimiento relativo del fluido y el campo magnetico induce una corriente electrica per-

pendicular al plano del movimiento (Jz), la cual, a su vez, interactua con el campo aplicado

y crea una fuerza de Lorentz en la direccion del flujo. Por otra parte, esta corriente tambien

inducira un campo magnetico en la direccion del flujo. Aquı se considera que el campo

inducido es mucho mas pequeno que el campo aplicado y consecuentemente puede despre-

ciarse. En terminos adimensionales, esto significa que el numero de Reynolds magnetico

Rm = µ0σUs es mucho mas pequeno que la unidad, donde U es la velocidad de flujo

caracterıstica. Esta aproximacion aplica en la mayorıa de los flujos con metales lıquidos,

sales fundidas y electrolitos [45], e implica que el campo magnetico no es modificado por

el movimiento del fluido. Matematicamente esto significa que el campo magnetico esta de-

27

sacoplado del movimiento del fluido y es gobernado por las ecuaciones magnetostaticas,

por lo que el campo magnetico esta dado solo por el campo externo Bi = (0, B0, 0). Ya

que existe una corriente electrica en la direccion perpendicular al movimiento del fluido,

estrictamente, no es posible proponer un problema MHD bidimensional autoconsistente.

Por lo tanto, las lıneas de corriente deben modelarse de alguna manera. Se considera la

existencia de paredes laterales conductoras en posiciones distantes z = ±z1, conectadas a

un circuito electrico externo; por lo tanto, debe existir un campo electrico Ez cuyo valor

depende de las condiciones del circuito electrico externo. mientras el campo magnetico per-

manezca sin perturbacion la ley de Faraday de induccion se reduce a εijk∂Ek/∂xj = 0 y el

campo electrico se vuelve potencial. Se puede demostrar que Ez es espacialmente constante

y es una funcion del tiempo [46].

Si se considera condicion de circuito abierto, el campo electrico puede encontrarse facil-

mente ya que la densidad de corriente electrica integrada en la seccion transversal debe ser

cero (la corriente recircula dentro del fluido), es decir

∫ s

0Jzdy =

∫ s

0σ(Ez + uB0)dy = 0, (2.8)

en este caso, el campo electrico esta dado por Ez = −uB0, donde u es la velocidad promedio

en la seccion transversal entre las placas. En general, para condiciones electricas externas

arbitrarias se puede seguir un enfoque de circuito electrico equivalente [45], [47], e introducir

un factor de carga, K, definido como

K = − Ez

uB0, (2.9)

la constante K es positiva y puede tomar valores entre 0 y 1, segun las condiciones de circuito

electrico. Para corto circuito (resistencia externa cero) se tiene K = 0, ya que Ez es nulo

cuando las paredes laterales son conectadas a un conductor perfecto. Para circuito abierto

(resistencia externa → ∞) K = 1, ya que la corriente electrica forma circuitos cerrados

dentro del fluido y su integral en la seccion transversal es cero. Valores intermedios de K

representan cargas externas finitas.

Usando las consideraciones descritas antes, el sistema de ecuaciones 2.1 - 2.7 se reduce a:

28

BStack

S

T

T

x

y

s

x

x∆sC

H

o

Figura 2.1: Ducto termoacustico.

∂ρ

∂t+ ρ

∂u

∂x+ u

∂ρ

∂x= 0, (2.10)

ρ∂u

∂t+ ρu

∂u

∂x+

∂p

∂x− ∂

∂x

(λ

∂u

∂x

)− ∂

∂x

(2µ

∂u

∂x

)− ∂

∂y

(µ

∂u

∂y

)+ B2

0σ(Ku + u) = 0, (2.11)

∂p

∂y− ∂

∂y

(λ

∂u

∂x

)− ∂

∂x

(µ

∂u

∂y

)= 0, (2.12)

ρcv∂T

∂t+ ρcvu

∂T

∂x− k

∂2T

∂x2− k

∂2T

∂y2+ p

∂u

∂x− ∂k

∂x

∂T

∂x+ ρuT

∂cv

∂x= 0, (2.13)

la forma de la ecuacion de estado permanece sin cambio.

Las perturbaciones de la velocidad axial, la presion y la densidad se consideran como fun-

ciones de las coordenadas axial y transversal, pero la perturbacion de la temperatura se

considera solo como una funcion de la coordenada transversal. La justificacion fısica para

omitir la dependencia axial en las perturbaciones de temperatura radica en el hecho de que

la modificacion en la distribucion de temperatura transversal debido a la transferencia de

calor desde las paredes es mayor que aquella en la direccion axial debida a la onda acustica.

Esta simplificacion es crucial para el desarrollo de esta teorıa, porque permite la solucion

analıtica. Matematicamente lo anterior puede escribirse como:

u = u′(x, y, t), p = p0 + p′(x, y, t),

29

ρ = ρ0 + ρ′(x, y, t), T = T0 + T ′(y, t),

las variables primas se consideran pequenas en el sentido de que sus productos pueden

despreciarse, dada las condiciones fısicas consideradas, el estado no perturbado se define

con velocidad cero, presion constante p0 y una distribucion de temperatura T0, dada por:

T0 =

Tc 0 ≤ x ≤ xs −∆x/2,

Tc +∇T (x− xs + ∆x/2) xs −∆x/2 < x ≤ xs + ∆x/2,

TH = Tc +∇T (∆x) xs + ∆x/2 < x ≤ S,

donde Tc y TH son constantes y se considera que Tc < TH . El gradiente de temperatura es

∇T = (TH − Tc)/∆x.

Con estas condiciones se tiene:

ρ0 = ρ0(T0, p0) = ρ0(x),

siendo las ecuaciones que gobiernan las perturbaciones:

∂p′

∂t=

(βT

β

p0

ρ0cv− ρ0

β

)∂u′

∂x− βT

β

k

ρ0cv

∂2T ′

∂y2+

βT

β

T0

cvu′

∂cv

∂x, (2.14)

∂u′

∂t= − 1

ρ0

∂p′

∂x+

1ρ0

(λ+2µ)∂2u′

∂x2+

µ

ρ0

∂2u′

∂y2−(u′+Ku′)

B20σ

ρ0+

1ρ0

∂u′

∂x

(∂λ

∂x+

2∂µ

∂x

), (2.15)

∂T ′

∂t= −u′∇T +

k

ρ0cv

∂2T ′

∂y2− p0

ρ0cv

∂u′

∂x− T0

cvu′

∂cv

∂x, (2.16)

∂p′

∂y= (λ + µ)

∂2u′

∂x∂y+

∂u′

∂y

∂µ

∂x. (2.17)

En estas ecuaciones se uso la expresion δρ′ = βδp′+βT δT ′, donde β y βT son respectivamente

los coeficientes de compresibilidad y expansion termica del fluido de trabajo, definidos por:

β =∂ρ

∂p

∣∣∣∣T

y βT =∂ρ

∂T

∣∣∣∣p.

Las condiciones de frontera son:

p′(0, y, t) = ∂p′(S, y, t)/∂x = 0,

u′(S, y, t) = ∂u′(0, y, t)/∂x = u′(x, 0, t) = u′(x, s, t) = 0,

30

T ′(0, t) = T ′(s, t) = 0.

La solucion mas simple que satisface todas las condiciones de frontera es:

u′ = C1 cos(

nπx

2S

)sin

(mπy

s

), (2.18)

p′ = C2 sin(

nπx

2S

)+ C4 sin

(nπx

2S

)sin

(mπy

s

), (2.19)

T ′ = C3 sin(

mπy

s

), (2.20)

C4 = (−(λ + µ)nπ

2S+

∂µ

∂T∇T cot

nπx

2S)C1, (2.21)

donde los coeficientes Ci son funciones del tiempo. Sustituyendo estas expresiones en las

ecuaciones de perturbacion e integrando en y entre 0 y s y en x entre xs−∆x/2 y xs+∆x/2,

se obtiene la siguiente ecuacion de coeficientes:

∂Ci

∂t= LijCj , (2.22)

donde Ci = (C1, C2, C3)T .

La ecuacion caracterıtica del sistema anterior es Lij − αδij = 0, obteniendose:

α3 + P2α2 + P1α + P0 = 0, (2.23)

donde los coeficientes Pi estan dados en terminos de Lij . El objetivo es obtener el valor

crıtico de ∇T tal que el sistema sufra una transicion de un estado de no movimiento a un

estado oscilatorio. Esta condicion se satisface cuando la solucion de la ecuacion previa tiene

Re(α) = 0 y Im(α) 6= 0. En terminos de los coeficientes de la ecuacion previa y haciendo

uso del teorema de Vieta [48], esta condicion se reduce a:

P1P2 = P0, (2.24)

la solucion de esta ecuacion en terminos de ∇T , conduce al valor crıtico de ∇Tc.

31

2.3. Resultados

En esta seccion se aplica la teorıa desarrollada anteriormente para el caso de agua lıquida y

se analiza la posibilidad de usar este material como fluido de trabajo en un tubo termoacusti-

co. Aunque la conductividad electrica del agua es baja comparada con los metales lıquidos,

el agua es un fluido de trabajo mucho mas conveniente para realizar experimentos relativa-

mente simples. Su conductividad electrica puede incrementarse considerablemente agregan-

do una pequena cantidad de cloruro de sodio, con cambios menores en otras propiedades.

Las propiedades termodinamicas del agua usadas en los calculos fueron obtenidas del Na-

tional Institute of Standars and Technology de los Estados Unidos (NIST) [49]. Todas las

propiedades del agua requeridas en los calculos estan disponibles de estas tablas excepto

para λ. Dado que la informacion de la viscosidad volumetrica del agua es insuficiente, se

considero que la hipotesis de Stokes es valida, es decir λ = −2/3µ.

Al hacer el analisis se consideraron solo aquellos casos donde el fluido permanece en esta-

do lıquido, ası, dada una longitud del stack ∆x y una temperatura en su posicion central

Ts, hay un gradiente de temperatura axial maximo permitido. Denotandose este lımite por

∇Tlim. En todos los calculos realizados se excluyen situaciones donde el fluido pueda sufrir

cambios de fase, es decir, ∇Tlim > ∇Tc. Los resultados son reportados en terminos del

factor

G = ∇Tlim/∇Tc > 1

Antes de discutir la dependencia de la estabilidad del sistema con campo magnetico, es

interesante describir la estabilidad dinamica como una funcion de parametros geometri-

cos. La dependencia del factor G como una funcion de la longitud adimensional del stack,

∆x∗ ≡ ∆x/S, para tres posiciones axiales del stack alrededor de la posicion optima de

motor corto en terminos de la energıa acustica [41], se muestra en la figura 2.2 para un

conjunto especıfico de parametros termodinamicos y geometricos. El factor G es una fun-

cion monotonicamente decreciente de ∆x∗. Este resultado indica que a presiones bastante

altas, se obtienen grandes G para ∆x∗ ≤ 0,1, el cual es la longitud tıpica del stack en un

dispositivo termoacustico de onda estacionaria [50].

32

En la figura 2.3, se grafica G como una funcion de la separacion de placa adimensional s∗ ≡s/δk. La escala δk es la profundidad de penetracion termica definida por δk ≡

√2k/(ρcpω)

donde cp es el calor especıfico a presion constante. Se observa que G incrementa monotonica-

mente y se satura para s∗ ∼ 13. Para s∗ = 5, la separacion teorica optima [51], G es lo

suficientemente grande para generar ondas acusticas.

Un parametro adimensional conveniente para describir el efecto del campo magnetico es el

numero de Hartmann, definido por Ha = sB0

√σ/ρν. El cuadrado de este numero da una

estimacion de la relacion de las fuerzas magneticas a las fuerzas viscosas [45]. En la figura

2.4 se muestra G como una funcion de Ha con K = 0.5 y considerando una concentracion

de cloruro de sodio acuoso de 0.1gM/l, el cual de acuerdo a [52] es una funcion lineal de

temperatura de la forma σ = 10 + 0.26(T − 298.16)1/Ωm. En el rango de Ha explorado, G

es una funcion monotonicamente decreciente aproximadamente lineal de Ha para los tres

casos analizados. La tendencia decreciente de G como una funcion de Ha refleja el hecho de

que las fuerzas de Lorentz se opone al movimiento del fluido de trabajo en el tubo y por lo

tanto, para un dispositivo dado y un fluido de trabajo, un incremento del campo magnetico

aumenta el gradiente de temperatura requerida para disparar la onda termoacustica.

2.4. Conclusiones

En este estudio se analizo la influencia del campo magnetico sobre la estabilidad de las

oscilaciones termoacusticas en un tubo. La teorıa presentada puede aplicarse para deter-

minar las condiciones de generacion de ondas acusticas cuando el fluido de trabajo es un

lıquido electricamente conductor. En el analisis se incluyo la dependencia de temperatura

de todas las propiedades termodinamicas del fluido de trabajo. Como se esperaba, la teorıa

indica que las temperaturas y presiones promedios requeridos para iniciar el movimiento

oscilatorio son mucho mayores que aquellas con un gas en dispositivos con magnitudes geo-

metricas similares. En general para los lıquidos, las condiciones termodinamicas requeridas

para generar la onda termoacustica se obtienen cerca del punto crıtico. En el ejemplo, se

describe la estabilidad del agua con cloruro de sodio como fluido de trabajo. Este ejemplo

33

0 0.05 0.1 0.15 0.21

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

G

∆ x*

x*s=0.4

x*s=0.5

x*s=0.6

Figura 2.2: G como una funcion de la longitud adimensional del stack (∆x∗), considerando

agua como fluido de trabajo. Ts = 455K, Ps = 150 × 105Pa, S = 1 m, s∗ = 5, para tres

diferentes posiciones del stack (x∗s ≡ xs/S).

4 6 8 10 12 141

1.5

2

2.5

3

3.5

4

s*

G ∆ x*=0.05

∆ x*=0.075

∆ x*=0.1

Figura 2.3: G como una funcion de la separacion adimensional entre placas en el stack (s*),

considerando agua como fluido de trabajo. Ts = 455K, Ps = 150 × 105Pa, S = 1m. Para

tres diferentes longitudes adimensionales del stack (∆x∗).

34

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8G

Ha = 2 σ Bo2 s2/µ

∆ x*=0.05

∆ x*=0.075

∆ x*=0.1

Figura 2.4: G como una funcion del numero de Hartmann(Ha), considerando agua con

cloruro de sodio como fluido de trabajo. Ts = 455K, Ps = 150 × 105Pa, S = 1m, s∗ =

5, x∗s = 0.5, K = 0.5 y tres diferentes longitudes adimensionales del stack (∆x∗).

fue seleccionado ya que la mayorıa de sus propiedades termodinamicas son conocidas con

excepcion de la viscosidad volumetrica. Esta propiedad esta asociada cercanamente con

la atenuacion acustica y puede jugar un papel importante en estudios termoacusticos. El

efecto disipativo del campo magnetico da como resultado que se incremente el gradiente

de temperatura requerido para generar la onda termoacustica. Se ha encontrado a traves

de observaciones experimentales en aire, que las teorıas disponibles en la literatura subesti-

man el gradiente de temperatura crıtico. Si esta observacion aplica a ductos termoacusticos

con lıquidos como fluido de trabajo, entonces G > 1 serıa solo un criterio necesario pero

no suficiente para observar realmente el efecto termoacustico en un ducto con agua como

fluido de trabajo. El analisis presentado es un ejemplo de un campo promisorio el cual no

ha sido explorado lo suficientemente bien, por ejemplo, el uso de lıquidos a condiciones

termodinamicas cercanas al punto crıtico como fluido de trabajo termoacustico.

Motivados por la potencial aplicacion del motor termoacustico acoplado a un generador

magnetohidrodinamico para la conversion de energıa solar en electricidad, en el siguiente

35

capıtulo se presenta el desarrollo de un codigo numerico para la simulacion de flujos incom-

presibles, el cual servira de base al codigo numerico para la simulacion de flujos compresibles

que permita estudiar el comportamiento de los motores termoacusticos.

36

Capıtulo 3

Metodo numerico para la solucion

de flujos incompresibles

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de flujos incompresibles estan dadas por

ecuaciones diferenciales parciales, las cuales son validas en todos los puntos del dominio. En

general las ecuaciones que gobiernan la dinamica de los fluidos son tan complejas que no es

posible encontrar soluciones analıticas, de modo, que es necesario buscar una solucion com-

putacional mediante la aplicacion de metodos numericos, los cuales proporcionan tecnicas

para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matematica-

mente mediante ecuaciones diferenciales parciales, permitiendo analizar de manera relativa-

mente rapida y sencilla diversas condiciones del problema. La eficiencia del metodo depende

de la precision que se requiera, de la facilidad con la que pueda implementarse, ası como del

tipo de ecuacion que se este manejando. En este trabajo se utilizo el metodo de elemento

finito para discretizar las ecuaciones de conservacion del modelo matematico que carac-

teriza el comportamiento de flujos incompresibles, empleandose elementos triangulares los

cuales se ajustan en su conjunto para formar la malla que aproxima el dominio computa-

cional, ademas se utilizo un esquema de separacion de operadores, el cual permite dividir

el problema original en subproblemas.

37

3.1. Ecuaciones de Navier-Stokes

Se considera una region del espacio dimensional Ω, la cual esta delimitada por una frontera

∂Ω, dividida en dos partes, donde ∂Ω1 representa la frontera tipo Dirichlet y ∂Ω2 representa

la frontera tipo Newman. La frontera esta definida por un vector normal unitario ~n hacia

fuera del dominio. Las ecuaciones de Navier-Stokes que modelan el flujo de fluidos viscosos

incompresibles en Ω estan dadas por:

∂~u

∂t− ν∆~u + ~u · ∇~u +∇p = ~f en Ω× [0, tf ], (3.1)

∇ · ~u = 0 en Ω× [0, tf ],

~u = ~g1 sobre ∂Ω1 × [0, tf ],

ν∂~u

∂~n− ~np = ~g2 sobre ∂Ω2 × [0, tf ],

~u(~x, 0) = ~u0(~x) ∀ ~x ε Ω,

donde ν es la viscosidad cinematica del fluido, ~u es el vector velocidad, p es la presion, ~f es

el vector fuente, ~g1 es la condicion de frontera tipo Dirichlet, ~g2 es la condicion de frontera

tipo Newman, ~u0 son las condiciones iniciales, t es el tiempo, tf es el tiempo final y ~x el

vector de posicion. La velocidad se resuelve en una malla fina y la presion en una malla

gruesa. Cuando las ecuaciones de Navier-Stokes se acoplan con la ecuacion de la energıa

~f = T

3.2. Ecuacion de la energıa

La ecuacion de la energıa que modela la transferencia de calor en Ω, donde la frontera ∂Ω

se divide en dos partes tal que ∂Ω3 representa la frontera tipo Dirichlet y ∂Ω4 representa

la frontera tipo Newman, esta dada por:

∂T

∂t− α∆T + ~u · ∇T = 0 en Ω× [0, tf ], (3.2)

T = T1 sobre ∂Ω3 × [0, tf ],

α∂T

∂~n= Q sobre ∂Ω4 × [0, tf ],

T (~x, 0) = T0(~x) ∀ ~x ε Ω,

38

donde T es la temperatura del fluido, ~u es el vector velocidad, T1 es la condicion de frontera

tipo Dirichlet, Q es el flujo de calor (condicion de frontera tipo Newman), T0 es la tempe-

ratura inicial, t es el tiempo, ~x es el vector de posicion y α = k/ρcp es la difusividad termica,

donde k es la conductividad termica del fluido, ρ es la densidad y cp es el calor especıfico a

presion constante. La temperatura se resuelve en la malla de velocidad.

3.3. Descomposicion de las ecuaciones acopladas de Navier-

Stokes y de energıa mediante separacion de operadores

Para resolver estas ecuaciones se puede descomponer el problema en cinco subproblemas,

utilizando un esquema de particion del operador del tipo Marchunk-Yaneuko [61]. En el

primer subproblema se resuelve la presion mediante un problema de Stokes degenerado

(viscosidad cero), dependiente del tiempo. En el segundo subproblema se resuelve el pro-

blema de adveccion para la velocidad mediante una ecuacion de transporte convectivo

dependiente del tiempo. En el tercer subproblema se resuelve el problema de adveccion para

la temperatura mediante una ecuacion de transporte convectivo dependiente del tiempo.

En el cuarto subproblema se resuelve el problema de difusion para la temperatura mediante

una ecuacion elıptica dependiente del tiempo. Y en el quinto subproblema se resuelve el

problema de difusion para la velocidad mediante una ecuacion elıptica dependiente del

tiempo. La solucion se obtiene iterando estos subproblemas a traves del tiempo. Suponiendo

que se han obtenido soluciones aproximadas ~un, pn, Tn en el tiempo tn = n∆t de ~u, p

y T respectivamente, se calcula soluciones aproximadas ~un+1, pn+1, Tn+1 en el tiempo

tn = (n + 1)∆t mediante la solucion de los siguientes subproblemas.

Subproblema de Stokes degenerado

En este subproblema se calcula ~un+1/3 y pn+1 mediante la solucion de la ecuacion:

∂~u

∂t+∇p = ~f en Ω× [tn, tn+1], (3.3)

∇ · ~u = 0 en Ω× [tn, tn+1],

39

~u = ~g1 sobre ∂Ω1 × [tn, tn+1],

~u(~x, tn) = ~un(~x) en Ω.

Subproblema de adveccion para la velocidad

En este subproblema se calcula ~un+2/3 mediante la solucion de la ecuacion:

∂~u

∂t+ ~u · ∇~u = 0 en Ω× [tn, tn+1], (3.4)

~u = ~g1 sobre Γ× [tn, tn+1],

~u(~x, tn) = ~un+1/3(~x) en Ω,

donde Γ es la parte de la frontera donde entra fluido, es decir: Γ = ~xε∂Ω1, ~g1 · ~n < 0.

Subproblema de adveccion para la temperatura

En este subproblema se calcula Tn+2/3 mediante la solucion de la ecuacion:

∂T

∂t+ ~u · ∇T = 0 en Ω× [tn, tn+1], (3.5)

T = T1 sobre Γ× [tn, tn+1],

T (~x, tn) = Tn(~x) en Ω,

~u(~x, tn) = ~un+1/3(~x) en Ω.

Subproblema de difusion para la temperatura

En este subproblema se calcula Tn+1 mediante la solucion de la ecuacion:

∂T

∂t− α∆T = 0 en Ω× [tn, tn+1], (3.6)

T = T1 sobre ∂Ω3 × [tn, tn+1],

α∂T

∂~n= Q sobre ∂Ω4 × [tn, tn+1],

T (~x, tn) = Tn+2/3(~x) en Ω.

40

Subproblema de difusion para la velocidad

En este subproblema se calcula ~un+1 mediante la solucion de la ecuacion:

∂~u

∂t− ν∆~u = T en Ω× [tn, tn+1], (3.7)

~u = ~g1 sobre ∂Ω1 × [tn, tn+1],

ν∂~u

∂~n= ~g2 sobre ∂Ω2 × [tn, tn+1],

~u(~x, tn) = ~un+2/3(~x) en Ω.

3.4. Adimensionalizacion

Las ecuaciones de conservacion se adimensionalizaron usando diferentes cantidades carac-

terısticas, tales como: velocidad caracterıstica Uc, longitud caracterıstica Lc, temperatura

caracterıstica Tc y flujo de calor caracterıstico Qc, obteniendose las siguientes variables

adimensionales:x∗ = x

Lc, y∗ = y

Lc, t∗ =

(LcUc

)t,

u∗1 = u1Uc

, u∗2 = u2Uc

, p∗ = pU2

c,

T ∗ = T−TcQcLc/k ,

(3.8)

con estas cantidades caracterıstica se obtuvieron los siguientes parametros adimensionales:

Numero de Reynolds Re:

Re =Uc Lc

ν. (3.9)

Numero de Rayleigh RaQ en funcion del flujo de calor:

RaQ =gβQcL

2c

kU2c

, (3.10)

Numero de Peclet Pe:

Pe =UcLc

α. (3.11)

41

3.5. Metodo numerico

3.5.1. Formulacion debil del problema

Para aproximar las variables adimensionales ~u, p, T (por simplicidad el superındice * se

quita de aquı en adelante) mediante el metodo de elemento finito, se necesita obtener

la formulacion debil del problema 3.1-3.2. Para esto se introduce el siguiente espacio de

funciones de prueba (ver [53], [54], [55] y [56]) de velocidad V0, temperatura W0 y presion

L0:

V0 =~v ε (H1(Ω))2 | ~v = ~0 sobre ∂Ω1

,

W0 =θ ε H1(Ω) | θ = 0 sobre ∂Ω3

,

L0 =

q ε L2(Ω) |∫

Ωqd~x = 0

,

donde ~v es la funcion de prueba para la velocidad, θ es la funcion de prueba para la

temperatura y q es la funcion de prueba para la presion.

Integrando sobre todo el dominio, el producto de la ecuacion de cantidad de movimiento

con la funcion de prueba de velocidad y el producto de la ecuacion de continuidad con la

funcion de prueba de presion se obtiene:

∫

Ω

[∂~u

∂t· ~v + (~u · ∇) ~u · ~v

]d~x +

1Re

∫

Ω∇~u : ∇~v d~x−

∫

Ωp∇ · ~v d~x

= RaQ

∫

ΩT · ~v d~x +

∫

∂Ω2

~g2 · ~v d (∂Ω) ∀ ~v ε V0, (3.12)

∫

Ωq∇ · ~u d~x = 0 ∀ qεL0, (3.13)

~u(~x, t) = ~g1(~x) sobre ∂Ω1 × [0, tf ]. (3.14)

De manera similar integrando sobre todo el dominio, el producto de la ecuacion de la energıa

con la funcion de prueba de temperatura se obtiene:

∫

Ω

[∂T

∂tθ + (~u · ∇)Tθ

]d~x +

1Pe

∫

Ω∇T · ∇θ d~x =

∫

∂Ω4

Qθ d (∂Ω) ∀ θεW0, (3.15)

T (~x, t) = T1(~x) sobre ∂Ω3 × [0, tf ]. (3.16)

42

Estas ecuaciones se completan con las siguientes condiciones iniciales

~u(~x, 0) = ~u0(~x), (3.17)

T (~x, 0) = T0(~x). (3.18)

3.5.2. Aproximacion con elemento finito

Para la aproximacion de elemento finito se emplea un paso de discretizacion espacial h, una

triangulacion de elemento finito τh sobre Ω, como se muestra en la figura 3.1, un espacio

de funciones continuas C (Ω) sobre Ω y un espacio de polinomios P1 de dos variables de

grado menor o igual a uno. Tambien se construye otra triangulacion de elemento finito τh/2

sobre Ω, la cual es dos veces mas fina que τh y se obtiene mediante la subdivision de cada

triangulo de τh en cuatro subtriangulos similares con los puntos medios de las aristas como

se muestra en la figura 3.2.

Dados los siguientes conjuntos de funciones discretas:

Vh =~vh | ~vh ε [C (Ω)]2 , ~vh |τ ε P1 × P1, ∀ τ ε τh/2

,

Lh =qh | qh ε C(Ω), qh |τ ε P1, ∀ τ ε τh

,

Wh =θh | θh ε C(Ω), θh |τ ε P1, ∀ τ ε τh/2

,

se construyen los siguientes espacios de funciones de dimension finita que aproximan los

espacios V0, L0 y W0, respectivamente:

V0h =~vh ε Vh | ~vh = ~0 on ∂Ω1

,

L0h =

qh ε Lh |∫

Ωqhd~x = 0

,

W0h = θh ε Wh | θh = 0 on ∂Ω3 .

Esta aproximacion es conocida como aproximacion de elemento finito Bercovier-Pironneau,

la cual fue introducida en [57] para la formulacion presion-velocidad del problema de Stokes.

En las aproximaciones anteriores, los valores de velocidad y temperatura del fluido estan

localizados sobre los vertices de cada triangulo en τh/2, mientras los valores de presion

43

estan localizados en los vertices de cada triangulo en τh, como se muestra en la figura 3.3.

El uso de los espacios dimensionales finitos anteriores conduce a la siguiente aproximacion

del problema 3.12-3.18.

Para t > 0, hallar ~uh ε Vh con ~uh = ~g1h sobre ∂Ω1, ph ε Lh, Th ε Wh con Th = T1h sobre

∂Ω3, tal que:∫

Ω

[∂~uh

∂t· ~v + (~uh · ∇) ~uh · ~v

]d~x +

1Re

∫

Ω∇~uh : ∇~v d~x−

∫

Ωph∇ · ~v d~x

= RaQ

∫

ΩTh · ~v d~x +

∫

∂Ω2

~g2h · ~v d (∂Ω) ∀ ~v ε Voh, (3.19)

∫

Ωq∇ · ~uh d~x = 0 ∀ q ε Loh, (3.20)

∫

Ω

[∂Th

∂tθ + (~uh · ∇)Thθ

]d~x +

1Pe

∫

Ω∇Th · ∇θ d~x

=∫

∂Ωq

T2hθ d (∂Ω) ∀ θ ε Woh, (3.21)

~uh(~x, 0) = ~u0h(~x), Th(~x, 0) = T0h(~x). (3.22)

En las formulaciones de elemento finito previas, ~g1h y ~g2h son aproximaciones de las fun-

ciones de frontera ~g1 y ~g2, respectivamente. La aproximacion ~g1h debe cumplir∫∂Ω ~g1h · ~nd(∂Ω) = 0. De manera similar, ~u0h y T0h son aproximaciones de las funciones

de condicion inicial ~u0 and T0.

3.5.3. Discretizacion en el tiempo mediante separacion de operadores en

forma variacional

Muchos de los resolvedores modernos de Navier-Stokes estan basados en esquemas de se-

paracion de operadores (ver [58], [59] y [60]) para tratar en forma separada y optima las

diferentes dificultades matematicas y fısicas del problema. Este enfoque aplica al problema

de valor inicial 3.19-3.22, el cual contiene cinco caracterısticas numericas, las cuales son:

a) Condicion de incompresibilidad en la ecuacion 3.20 y presion desconocida asociada en

la ecuacion 3.19

44

h

τh=conjunto

de triángulos

Figura 3.1: Triangulacion τh con elemento finito del dominio Ω.

Figura 3.2: Subdivision de un triangulo τh en τh/2.

45

Presión Velocidad y temperatura

h

h/2

Figura 3.3: Nodos de presion, velocidad y temperatura en la aproximacion de elemento

finito.

b) Un termino de adveccion en la ecuacion 3.19

c) Un termino de difusion en la ecuacion 3.19

d) Un termino de adveccion en la ecuacion 3.21

e) Un termino de difusion en la ecuacion 3.21

Hay muchos metodos de separacion de operadores que pueden ser empleados para resolver

este tipo de problemas. Aquı se considera el esquema de paso fraccional del tipo Marchunk-

Yaneuko [61], este esquema simple solo tiene una precision de primer orden (ver [61]), pero

su bajo orden es compensado por su simplicidad, robustez y estabilidad (ver [62] y [63]).

Aplicando este esquema al problema 3.19-3.22, dado ~u0 = ~u0h, T 0 = T0h y suponiendo que

se conoce ~un, Tn para n ≥ 0, se calcula ~un+1 y Tn+1 mediante la solucion de los siguientes

subproblemas:

46

Subproblema de Stokes degenerado

Encontrar ~un+ 13 ε Vh, con ~un+ 1

3 = ~g1h sobre ∂Ω1, y pn+1 = pn+ 13 ε L0h tal que:

∫

Ω

~un+ 13 − ~un

∆t· ~v d~x−

∫

Ωpn+ 1

3∇ · ~v d~x = 0, ∀ v ε V0h, (3.23)

∫

Ωq∇ · ~un+ 1

3 d~x = 0, ∀ q ε Lh. (3.24)

Subproblema de adveccion para la velocidad

Encontrar ~un+ 23 ε Vh, con ~un+ 2

3 = ~g1h sobre Γ, del problema de adveccion:

∫

Ω

~un+ 23 − ~un− 1

3

∆t· ~v d~x +

∫

Ω

(~un+ 1

3 · ∇)

~un+ 23 · ~v d~x = 0, ∀ v ε V −

0h, (3.25)

donde V −0h =

~v ε Vh | ~v = 0 sobre Γ

.

Subproblema de adveccion para la temperatura

Encontrar Tn+ 23 ε Wh, con Tn+ 2

3 = T1h sobre Γ, del problema de adveccion:

∫

Ω

Tn+ 23 − Tn

∆t· θ d~x +

∫

Ω

(~un+ 1

3 · ∇)

Tn+ 23 · θ d~x = 0, ∀ θ ε W−

0h, (3.26)

donde W−0h =

θ ε Wh | θ = 0 sobre Γ

.

Subproblema de difusion para la temperatura

Encontrar Tn+1 ε Wh con Tn+1 = T1h sobre ∂Ω3 tal que:

∫

Ω

Tn+1 − Tn+ 23

∆tθ d~x +

1Pe

∫

Ω∇Tn+1 · ∇θ d~x =

∫

∂Ω4

Qhθ d(∂Ω), ∀ θ ε W0h. (3.27)

Subproblema de difusion para la velocidad

Encontrar ~un+1 ε Vh con ~un+1 = ~g1h sobre ∂Ω1 tal que:

∫

Ω

~un+1 − ~un+ 23

∆t· ~v d~x +

1Re

∫

Ω∇~un+1 : ∇~v d~x = RaQ

∫

ΩTn+1 · ~v d~x

+∫

∂Ω2

~g2h · ~v d(∂Ω), ∀ ~v ε V0h. (3.28)

47

El problema 3.23 se resolvio mediante un algoritmo tipo Uzawa/gradiente conjugado discu-

tido con detalle en [56] y [64]. Los problemas 3.27 y 3.28 son sistemas elıpticos cuya solucion

iterativa o directa es un problema clasico. En este trabajo los sistemas elıpticos fueron re-

sueltos por el metodo de gradiente conjugado adaptado para sistemas dispersos [67]. Los

problemas 3.25 y 3.26 son problemas de adveccion puros, en este trabajo se resolvieron

utilizando el metodo de la ecuacion de onda, ver [59], [65], [63] y [66]. A continuacion se

describen algunos detalles de estos algoritmos.

3.6. Solucion del problema de Stokes

El problema de Stokes se resuelve por medio de un esquema iterativo tipo Uzawa/gradiente

conjugado, ver [56] y [64]. El algoritmo para resolver el problema de Stokes generalizado

esta dado por los siguientes pasos:

1. Considerar que p0 es la presion en el paso de tiempo previo.

2. Resolver para ~u0, tomando a = 1/∆t, el siguiente problema elıptico:

a~u0 − ν∆~u0 = ~f −∇p0 en Ω, (3.29)

~u0 = ~g1 en ∂Ω1,

ν∂~u0

∂~n− ~np = ~g2 en ∂Ω2.

3. Calcular r0 = ∇ · ~u0.

4. Resolver para %0, el siguiente problema de Poisson:

−∆%0 = r0 en Ω, (3.30)∂%0

∂~n= 0 en ∂Ω1,

%0 = 0 en ∂Ω2.

5. Calcular g0 = a%0 + νr0.

48

6. Considerar w0 = g0. Para m ≥ 0, considerando que se conocen pm, ~um, rm, gm, wm

encontrar pm+1, ~um+1, rm+1, gm+1, wm+1, mediante los siguientes pasos:

7. Resolver para ~um, el siguiente problema elıptico:

a~um − ν∆~um = −∇wm en Ω, (3.31)

~um = 0 en ∂Ω1,

ν∂~um

∂~n= ~nwm en ∂Ω2.

8. Calcular rm = ∇ · ~um.

9. Calcular:

ρm =∫Ω rmgmdΩ∫Ω rmwmdΩ

. (3.32)

10. Calcular pm+1 = pm − ρmwm, ~um+1 = ~um − ρm~um, rm+1 = rm − ρmrm.

11. Resolver para %m, el siguiente problema de Poisson:

−∆%m = rm en Ω, (3.33)∂%m

∂~n= 0 en ∂Ω1,

%m = 0 en ∂Ω2.

12. Calcular:

gm+1 = gm − ρm(νrm + a%m), (3.34)

si ∫Ω rm+1gm+1dΩ∫

Ω r0g0dΩ≤ ε, (3.35)

tomar

p = pm+1 y u = um+1, (3.36)

de lo contrario, continuar con los siguientes pasos:

13. Calcular:

γm =∫Ω rm+1gm+1dΩ∫

Ω rmgmdΩ, (3.37)

49

14. Calcular:

wm+1 = gm+1 + γmwm, (3.38)

hacer m = m + 1 y regresar al paso 7

Para resolver el problema de Stokes degenerado se aplica el mismo procedimiento con

viscosidad igual a cero, en este caso la matriz de los problemas elıpticos degenerados

en 3.29 y 3.31 es diagonal y por lo tanto los sitemas discretos resultantes se pueden

resolver directamente.

3.7. Solucion del problema de difusion

El problema de difusion consiste en una ecuacion elıptica, una ecuacion tıpica de este tipo

esta dada por la ecuacion 3.29. Esta ecuacion, para una componente u, se puede escribir

como:

au−∇ · (ν∇u) = f, (3.39)

Al aplicar la formulacion variacional a la ecuacion anterior, la cual consiste en multiplicar

por una funcion de prueba v e integrar sobre el dominio, se tiene:∫

Ω(au−∇ · (ν∇u))vd~x =

∫

Ωfvd~x, (3.40)

desarrollando el primer miembro, se tiene:∫

Ω(auv − v∇ · (ν∇u))d~x =

∫

Ωfvd~x, (3.41)

por la regla del producto para la diferenciacion, se obtiene:

v∇ · (ν∇u) = ∇ · (vν∇u)− ν∇u · ∇v, (3.42)

ası, la ecuacion 3.41 se puede escribir como:∫

Ω(auv −∇ · (vν∇u) + ν∇u · ∇v)d~x =

∫

Ωfvd~x, (3.43)

aplicando el teorema de la divergencia, se obtiene:∫

Ω∇ · (vν∇u)d~x =

∫

∂Ω(vν∇u) · ~nd(∂Ω), (3.44)

50

ası, la ecuacion 3.43, se puede escribir como:∫

Ω(auv + ν∇u · ∇v)d~x−

∫

∂Ω(vν∇u) · ~nd(∂Ω) =

∫

Ωfvd~x, (3.45)

pero

∇u · ~n =∂u

∂~n, (3.46)

por lo tanto: ∫

Ω(auv + ν∇u · ∇v)d~x−

∫

∂Ωvν

∂u

∂~nd(∂Ω) =

∫

Ωfvd~x, (3.47)

reordenando terminos, se obtiene:∫

Ω(auv + ν∇u · ∇v)d~x =

∫

Ωfvd~x +

∫

∂Ων

∂u

∂~nvd(∂Ω), (3.48)

Sustituyendo

v =nn∑

i=1

viψi (3.49)

donde nn es el numero de nodos, se tiene:∫

Ω

(au

(nn∑

i=1

viψi

)+ ν∇u · ∇

(nn∑

i=1

viψi)

))d~x =

∫

Ωf(

nn∑

i=1

viψi)d~x (3.50)

+∫

∂Ων

∂u

∂~n(

nn∑

i=1

viψi)d(∂Ω),

factorizando, se obtiene:

nn∑

i=1

vi

[∫

Ω(auψi + ν∇u · ∇ψi)d~x =

∫

Ωfψid~x +

∫

∂Ων

∂u

∂~nψid(∂Ω)

], (3.51)

lo cual es equivalente a escribir:∫

Ω(auψi + ν∇u · ∇ψi)d~x =

∫

Ωfψid~x +

∫

∂Ων

∂u

∂~nψid(∂Ω) i = 1, ..., nn, (3.52)

empleando la aproximacion:

u =nn∑

j=1

ujψj , (3.53)

y reordenando se tiene:

nn∑

j=1

[∫

Ω(aψiψj + ν∇ψi · ∇ψj)d~x

]uj =

∫

Ωfψid~x +

∫

∂Ων

∂u

∂~nψid(∂Ω) i = 1, ..., nn, (3.54)

51

obteniendose un sistema de ecuaciones lineales, de la forma:

nn∑

j=1

kijuj = fi i = 1, ..., nn, (3.55)

donde

kij =∫

Ω(aψiψj + ν∇ψi · ∇ψj)d~x, (3.56)

y

fi =∫

Ωfψid~x +

∫

∂Ων

∂u

∂~nψid(∂Ω). (3.57)

El sistema de ecuaciones lineales se resuelve aplicando el metodo de gradiente conjugado.

3.8. Solucion del problema de adveccion

Para resolver este problema se aplica el metodo de la ecuacion de onda, el cual consiste en

expresar la ecuacion de adveccion de la siguiente forma:

∂ϕ

∂t+ ~u · ∇ϕ = 0 en Ω× [tn, tn+1], (3.58)

ϕ = ϕ1 sobre Γ× [tn, tn+1],

ϕ(tn) = ϕ0 en Ω,

donde ϕ es la variable sobre la que se aplica el problema de adveccion, con ∇ · ~u = 0 y

∂~u/∂t = 0 en Ω× [tn, tn+1].

Dadas las propiedades del problema anterior se puede llegar a una forma equivalente del

problema, obteniendose la siguiente ecuacion de onda:

∂2ϕ

∂t2−∇ · ((~u · ∇ϕ)~u) = 0 en Ω× [tn, tn+1], (3.59)

ϕ = ϕ1 sobre ¯∂Ω1 × [tn, tn+1],

~u · ~n(∂ϕ

∂t+ ~u · ∇ϕ) = 0 sobre (∂Ω− Γ)× [tn, tn+1],

ϕ(tn) = ϕ0 en Ω,

∂ϕ

∂t(tn) = −~u · ∇ϕ0 en Ω,

52

aplicando formulacion variacional, se obtiene:∫

Ω

∂2ϕ

∂t2vd~x +

∫

Ω(~u · ∇ϕ)(~u · ∇v)d~x +

∫

∂Ω−Γ

~u · ~n∂ϕ

∂tvd(∂Ω) = 0, (3.60)

para resolver la ecuacion anterior, se divide en S subdivisiones el intervalo de tiempo ∆t

entre los tiempos (tn, tn+1). Definiendo τ1 = ∆tS , se tiene

∂2ϕ

∂t2≈ ϕs+1 − 2ϕs + ϕs−1

τ21

, (3.61)

y∂ϕ

∂t≈ ϕs+1 − ϕs−1

2τ1, (3.62)

sustituyendo 3.61 en la ecuacion 3.60, se tiene:∫

Ω

ϕs+1 − 2ϕs + ϕs−1

τ21

vd~x +∫

Ω(~u · ∇ϕs)(~u · ∇v)d~x +

∫

∂Ω−Γ

~u · ~n∂ϕs

∂tvd(∂Ω) = 0, (3.63)

de las ecuaciones 3.62 y 3.63, se obtiene para s = 0:∫

Ωϕ1vd~x =

∫

Ωϕ0vd~x− τ1

∫

Ω(~u · ∇ϕ0)vd~x

−τ21

2

∫

Ω(~u · ∇ϕ0)(~u · ∇v)d~u +

τ21

2

∫

∂Ω−Γ

(~u · ~n)(~u · ∇ϕ0)d(∂Ω). (3.64)

De la ecuacion 3.63, se obtiene para s = 1, 2, · · · ,S:∫

Ωϕs+1vd~x +

τ1

2

∫

∂Ω−Γ

(~u · ~n)ϕs+1vd(∂Ω) = 2∫

Ωϕsvd~x−

∫

Ωϕs−1vd~x

− τ21

∫

Ω(~u · ∇ϕs)(~v · ∇v)d~x

+τ1

2

∫

∂Ω−Γ

(~u · ~n)ϕs−1vd(∂Ω). (3.65)

3.9. Algoritmo de gradiente conjugado para resolver sistemas

de ecuaciones lineales

En este trabajo se utilizo el algoritmo de gradiente conjugado para resolver los sistemas de

ecuaciones lineales asociados a los problemas 3.29, 3.30, 3.31 y 3.33. Este algoritmo permite

53

obtener la solucion de un conjunto de sistemas de ecuaciones lineales de la forma , es decir:

[K][~U ] = [~F ], (3.66)

donde K es la matriz simetrica positiva definida comun de coeficientes, ~F es el conjunto

de vectores lado derecho y ~U es el conjunto de vectores solucion para cada sistema. Este

algoritmo es util para grandes sistemas dispersos, es decir para sistemas donde solo algunos

elementos kij son diferentes de cero. Durante la aplicacion del algoritmo solo se realizan

operaciones tales como la multiplicacion de K con un vector o la multiplicacion de la

transpuesta de K con un vector, lo cual permite que en lugar de almacenar toda la matriz,

solo se tenga que almacenar aquellos elementos de la matriz diferentes de cero, ahorrandose

espacio de memoria. Este algoritmo resuelve el sistema de ecuaciones 3.66, solo cuando la

matriz K es simetrica y positiva definida.

Para iniciar el algoritmo es necesario proporcionar un valor inicial ~U0 para el sistema y

la exactitud o tolerancia ε con que se requiere obtener la solucion. Con esta aproximacion

inicial de la solucion, se calcula el residual inicial ~R0 de la siguiente manera:

~R0 = ~F −K ~U0, (3.67)

y se considera que el conjunto de vectores de direccion inicial ~P0 son iguales a los valores

del residual inicial, es decir:

~P0 = ~R0, (3.68)

posteriormente se calcula de manera iterativa nuevos valores de ~Ui, ~Ri, ~Pi, para i =

0, 1, 2, 3, ..., mediante el siguiente procedimiento:

1. Calcular:

~W = K ~Pi, (3.69)

2. Calcula el escalar de direccion:

ai =(~Ri, ~Ri)(~Pi, ~W )

(3.70)

3. Calcula el nuevo valor de la solucion:

~Ui+1 = ~Ui + ai~Pi (3.71)

54

4. Calcula el nuevo residiual:

~Ri+1 = ~Ri − ai~W (3.72)

si (~Ri+1, ~Ri+1) ≤ ε el algoritmo termina y se toma ~Ui+1 como la solucion del sistema

de ecuaciones, de lo contrario continuar con los siguientes pasos:

5. Calcula, el nuevo escalar de direccion:

bi =(~Ri+1, ~Ri+1)

(~Ri, ~Ri)(3.73)

6. Calcula el nuevo vector de direccion:

~Pi+1 = ~Ri+1 + bi~Pi (3.74)

regresar al paso 1.

3.10. Validacion del codigo numerico

El codigo numerico desarrollado se valido comparandolo contra resultados numericos obte-

nidos por otros investigadores, en primer lugar se valido el codigo que resuelve las ecua-

ciones de Navier-Stokes y posteriormente se valido el codigo que resuelve las ecuaciones de

Navier-Stokes acopladas con la ecuacion de la energıa.

Para validar el codigo que resuelve la ecuacion de Navier-Stokes se utilizo un problema

de referencia, el cual consiste en una cavidad cuadrada que contiene un fluido cuyo flujo

recircula por el deslizamiento de la pared superior, como se muestra en la figura 3.4. En

este caso el fluido es viscoso, bidimensional, homogeneo, isotermico e incompresible, por

lo tanto este problema puede modelarse por medio de las ecuaciones de Navier-Stokes, el

dominio utilizado fue Ω = (0, 1) × (0, 1). No se aplicaron fuerzas de cuerpo, de modo que

~f = 0, y las condiciones de frontera se definieron de la siguiente manera:

~g1(~x, t) =

(ga(x), 0) sobre ~x = (x, 1), 0 < x < 1,0 sobre cualquier otra parte,

(3.75)

55

g(x,t)

u=0 u=0

u=0

f=0

X

Y

1

Figura 3.4: Cavidad cuadrada utilizada para validar el programa que resuelve las ecuaciones

de Navier-Stokes.

donde

ga(x) =

sin(xπ/2a) si 0 < x ≤ a,

1 si a ≤ x ≤ 1− a,

sin((1− x)π/2a) si 1− a ≤ x < 1,

(3.76)

en todas las simulaciones se uso a = 1/32.

El problema se resolvio numericamente para Re = 100, 400 y 1000 con mallas estructuradas

de 40× 40, 60× 60 y 80× 80 para el dominio de presion, respectivamente. Se condidero que

el estado permanente se alcanzaba cuando el cambio relativo ‖~un+1−~un‖/‖~un+1‖ fue menor

que 10−8. Las condiciones iniciales se tomaron como ~u(0) = 0, los resultados muestran una

buena aproximacion cualitativa con respecto a los presentados por Pan et al. [68]. Ejemplos

de estos resultados se muestran en las figuras 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10.

Para validar el codigo que resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes acopladas con la ecuacion

de la energıa se utilizo un problema de referencia, el cual consiste en un flujo generado por

flotacion dentro de una cavidad cuadrada con paredes sujetas a un diferencial de tempe-

56

Figura 3.5: Comparacion de las lıneas de corriente obtenidas para Re = 100.

Figura 3.6: Comparacion de los campos de presion obtenidos para Re = 100.

57



58



59

ratura, como se muestra en la fig. 3.11. En este caso el fluido es viscoso, bidimensional,

homogeneo e incompresible, por lo tanto este problema puede modelarse por medio de las

ecuaciones acopladas de Navier-Stokes y la ecuacion de la energıa, el dominio utilizado fue

Ω = (0, 1)× (0, 1) y las condiciones de frontera se definieron de la siguiente manera:

paredes horizontales aisladas

Q(x, y = 0) = 0, Q(x, y = 1) = 0, (3.77)

paredes verticales a temperatura constante

T (x = 0, y) = 0, T (x = 1, y) = 1. (3.78)

Las componentes de velocidad en las superficies de la pared se consideraron como:

u1(x = 0, y) = u2(x = 0, y) = 0

u1(x = 1, y) = u2(x = 1, y) = 0

u1(x, y = 0) = u2(x, y = 0) = 0

u1(x, y = 1) = u2(x, y = 1) = 0

(3.79)

El problema se resolvio numericamente para Ra = 1 × 103, 1 × 104 y 1 × 105 con mallas

estructuradas de 40 × 40, 60 × 60 y 80 × 80 para el dominio de presion, respectivamente.

En las simulaciones se uso Pr = 0.71 y se condidero que el estado permanente se alcanzaba

cuando el cambio relativo ‖~un+1−~un‖/‖~un+1‖ fue menor que 10−8. Las condiciones iniciales

se tomaron como ~u(0) = 0 y T (0) = 0, los resultados muestran una buena aproximacion

cualitativa con respecto a los presentados por De Vahl [69]. Ejemplos de estos resultados se

muestran en las figuras 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 y 3.17.

El codigo numerico desarrollado en esta tesis se caracteriza por ser robusto, estable y

eficiente, el cual se puede utilizar para simular flujos en diversas geometrıas y bajo diferentes

condiciones, como por ejemplo flujos oscilatorios, los cuales tambien estan presentes en los

motores termoacusticos, en el siguiente capıtulo se presenta la simulacion de un problema

enfocado a flujos oscilatorios.

60

∂T

∂n= 0, ~u = 0

T = 0

~u = 0

T = 1

~u = 0

∂T

∂n= 0, ~u = 0

x

y

g

Figura 3.11: Cavidad cuadrada utilizada para validar el programa que resuelve las ecua-

ciones acopladas de Navier-Stokes y la energıa.

Figura 3.12: Comparacion de los campos de velocidad obtenidos para Ra = 1× 103.

61

Figura 3.13: Comparacion de los campos de temperatura obtenidos para Ra = 1× 103.


62



63


64

Capıtulo 4

Flujo en una cavidad oscilatoria

isotermica


El problema de un piston moviendose en un cilindro se ha estudiado teorica y experimen-

talmente, no solo porque esta presente en muchas situaciones practicas, como bombas de

agua, motores de combustion interna (Lee and Hochgreb [75]), dispositivos con flujos os-

cilatorios (Castrejon et al. [73]), dispositivos con generacion de vortices (Glazer [74] y Allen

y Auvity [70]), y problemas relacionados con el flujo de sangre cerca de valvulas (Bellhouse

and Talbot [71]), sino porque tambien es de fundamental importancia para el estudio de

la dinamica de fluidos. Se han hecho estudios tanto moviendo la pared del cilindro como

moviendo el piston, el flujo en la esquina es equivalente en ambos casos si√

νtUwT ¿ 1 , donde

ν es la viscosidad cinematica, t es el tiempo, Uw es la velocidad instantanea del piston, y

T es el periodo (Tabaczynski et al. [77]). El trabajo pionero experimental de Tabaczynski

et al. [77] muestra un flujo sumidero conforme la pared del cilindro se aleja del piston y

un vortice en espiral en la cara del piston y la interfase de la pared del cilindro conforme

la pared del cilindro se mueve hacia el piston, tanto para velocidades de pared constante

como oscilatorias.

65

El flujo cerca de una esquina debido al movimiento de una placa que se desliza a velocidad

constante sobre otra fue tratado analıticamente por Batchelor [72]. En esta region los gra-

dientes de velocidad son grandes, existiendo discontinuidades en el campo de velocidades en

la union del piston que se mueve respecto a la pared. En esta region las fuerzas viscosas son

mas grandes que las inerciales. El estudio de Batchelor [72] implica que la distancia r desde

la esquina hasta donde los efectos viscosos son apreciables es del orden de r ¿ ν/Uw. Ex-

perimentos de Allen y Chong [78] han demostrado que la validez de esta solucion analıtica

es significantemente mayor que ν/Uw.

El estudio del flujo de vortices ha tenido un interes especial, Hughes y Gerrard [80] inves-

tigaron el flujo cerca de un piston en movimiento y el flujo cerca de una superficie libre,

ambos comenzando desde el reposo. Ellos encontraron dificultad para determinar el numero

de Reynold crıtico para la formacion de los vortices con el piston. Para el flujo cerca de una

superficie libre, comenzando desde el reposo, con una pequena transicion a velocidad cons-

tante, encontraron un numero de Reynolds crıtico, basado en la velocidad de la superficie

libre y el diametro, de alrededor de 450, arriba del cual se genero un vortice justo abajo de

la superficie durante un recorrido del piston equivalente a su diametro. Para numeros de

Reynolds mas altos (2500) se observo mas de un vortice. Allen y Chong [78] encontraron ex-

perimentalmente que para numeros de Reynolds mayores de 400 se presenta el enrollamiento

de vortices. Las simulaciones numericas, en dos dimensiones (2D), de Gerrard [79] reprodu-

jeron la formacion de vortices solo mediante la aplicacion de perturbacion aleatoria al flujo

durante cada paso de tiempo. Ellos sostuvieron que de manera similar con la transicion

a turbulencia en capas lımites, las perturbaciones axisimetricas pequenas no se amplifican

en una simulacion 2D, de modo que tuvieron que introducir artificialmente perturbacion

aleatoria, la precision de sus soluciones dependıa del paso espacial de la malla y del paso de

tiempo. Gerrard y Hughes [80] senalaron que la formacion de un vortice se da al inicio de

cada carrera hacia adelante del piston respecto al cilindro. El mecanismo para la formacion

de este vortice es la remocion de la capa lımite de la pared del cilindro enfrente del avance

del piston (Allen y Chong [78]).

Tabaczynski et al. [77] y Allen y Chong [78] estudiaron la dimension del vortice cuando

66

la pared lateral se mueve hacia el piston. Los primeros autores consideraron una velocidad

de pared constante y senosoidal mientras Allen y Chong [78] observaron el fenomeno para

velocidad constante y exponencial. Los estudios analıticos y numericos sobre flujos incom-

presibles fueron hechos considerando condiciones isotermicas.

Tabaczynski et al. [77] investigaron la transicion a turbulencia en un vortice, encontrando

dos numeros de Reynolds crıticos, basados en la velocidad instantanea del piston y la ca-

rrera, el primero de alrededor de 12,500 abajo del cual el vortice es estable, y el segundo

de 17,500 arriba del cual el vortice es completamente turbulento.

En esta tesis, se analiza la formacion de vortices en toda la cavidad, mientras que en es-

tudios previos solo se analizo la formacion de vortices en una esquina, ver [77] y [78]. El

rango estudiado fue 50 ≤ Re ≤ 1000 y 0.2 ≤ Y ≤ 0.8, donde Y = Yw/D, ver seccion

4.2. El trabajo experimental hecho por Tabaczynski et al. [77] para paredes con velocidad

senosoidal fueron para 7.2× 103 ≤ Re ≤ 97.8× 103 y para 0.44 ≤ Y ≤ 0.58. Por otra parte,

el trabajo numerico hecho por Gerrard [79] fue para numeros de Reynolds de 525 y 1200,

y tuvo que aplicar perturbacion numerica para reproducir la formacion de vortices.


4.2.1. Descripcion fısica y geometrica

Las simulaciones numericas de la cavidad oscilatoria se realizaron en un dominio bidimen-

sional con una razon de 1.5 entre las dimensiones vertical y horizontal como se muestra en la

figura 4.1. Las paredes verticales se mueven simultaneamente con una velocidad oscilatoria

mientras las paredes horizontales son los pistones fijos, similar al arreglo experimental usado

por Tabaczynski et al. [77]. Para agua como fluido de trabajo, las dimensiones vertical y

horizontal son H = 7.5× 10−2m y D = 5.0× 10−2m, respectivamente.

4.2.2. Ecuaciones gobernantes

Considerando una region bidimensional Ω, donde el flujo de la cavidad se analiza, las ecua-

ciones de conservacion que describen el flujo oscilatorio de un fluido incompresible en esta

67

→ u = 0

→

u = 0

H

→ u =

(0,

V w s

in(ω

t))

→ u =

(0,

V w s

in(ω

t))

D

x

y

Figura 4.1: Geometrıa y condiciones de frontera de la cavidad con paredes verticales

deslizantes.

region son las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuacion de continuidad:

∂~u

∂t− ν∆~u + ~u · ∇~u +∇p = 0 en Ω× [0, tf ], (4.1)

∇ · ~u = 0 en Ω× [0, tf ],

donde ~u = (u1, u2) es el vector velocidad, siendo u1 y u2 las componentes de velocidad

transversal y axial respectivamente; ν es la viscosidad cinematica, p es la presion, t es el

tiempo y tf es el tiempo final.

Las condiciones de frontera de la cavidad oscilatoria son:

u1(x = −D/2, y, t) = 0, u2(x = −D/2, y, t) = Vw sinωt,

u1(x = D/2, y, t) = 0, u2(x = D/2, y, t) = Vw sinωt,

u1(x, y = −H/2, t) = 0, u2(x, y = −H/2, t) = 0,

u1(x, y = H/2, t) = 0, u2(x, y = H/2, t) = 0.

(4.2)

68

Las condiciones iniciales son:~u(x, y, t = 0) = 0,

p(x, y, t = 0) = 0,(4.3)

Vw es la amplitud de la velocidad de oscilacion de las paredes verticales dada por Vw = Ywω,

donde ω es la frequencia y Yw es la amplitud del desplazamiento. En este problema se

consideraron: longitud caracterıstica Lc = D y velocidad caracterıstica Uc = Vw. Todos los

resultados reportados en este capıtulo corresponden al estado permanente que se obtiene

despues de 30 ciclos.

4.3. Analisis de convergencia de malla

Las simulaciones fueron hechas con tres diferentes mallas para todos los casos, la primera

fue una malla equidistante con un paso espacial constante en la direccion transversal ∆x y

un paso espacial constante en la direction axial ∆y. La segunda fue una malla graduada,

tal que el refinamiento en la esquina del dominio fue 1/3∆x y 1/3∆y. La tercera fue una

malla graduada, tal que el refinamiento en la esquina del dominio fue 1/5∆x y 1/5∆y. Para

Re = 50 se uso una malla 41×51, para Re = 500 se uso una de 81×101 y para Re = 1000 se

uso una de 101×121 en el dominio de presion. Analizando la convergencia de las tres mallas

se pudieron observar importantes diferencias entre los resultados obtenidos con la malla

graduada de 1/3∆x y la malla equidistante, sin embargo los valores obtenidos con las mallas

graduadas de 1/5∆x y 1/3∆x fueron practicamente los mismos, este comportamiente se

observo para todos los casos. En la figura 4.2, se puede observar un ejemplo de convergencia

de malla. La malla graduada fue generada tal que el paso espacial se incremento desde las

esquinas hacia el centro en ambas direcciones.

En la direccion transversal se uso la siguiente relacion de graduacion:

xk = xk−1 + rk−2x εx ∀ 2 ≤ k ≤ nc y xnc+j = D − xnc−j ∀ 1 ≤ j ≤ nc− 1

siendo rx la razon comun de incremento, y

εx = (rx − 1)/(rnlx − 1)(D/2)

69

−0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

xu 2

Equidistant mesh

1/3 graded mesh

1/5 graded mesh

Figura 4.2: Perfil de velocidad axial u2 como una funcion de la coordenada transversal x.

Para las mallas equidistantes, 1/3 graduada y 1/5 graduada, para Re = 500 y Y = 0.4 in

y = 0.15.

donde nl = numero de elementos en la direccion-x/2, nc = (n− 1)/2 + 1 con n = numero

de nodos en la direccion−x. En la direccion axial se uso una relacion de graduacion similar

a la anterior.

El mayor error relativo entre las mallas graduadas de 1/5∆x y 1/3∆x, de todos los casos en

mas del 95 % del dominio fue menor que 1.5 % para la velocidad axial y 3 % para la velocidad

transversal, el error relativo se incrementa en la zona de las esquinas. En la figura 4.3, se

muestra el mayor error relativo para la velocidad axial.

4.4. Resultados

Se hicieron simulaciones para nueve casos con Re = VwD/ν = 50, 500 y 1000, y diferentes

relaciones Y = 0.2, 0.4 y 0.8, describiendose los campos de velocidad y las areas de vortices,

aplicando el criterio de Jeong-Hussain [81], el cual define un vortice en un flujo incompresible

en terminos de los eigenvalores del tensor S2 + A2, donde S y A son respectivamente las

partes simetrica y antisimetrica del tensor de gradientes de velocidad. En flujos planos, el

nucleo de un vortice se define como el area donde el segundo eigenvalor mas grande de

S2 + A2 es negativo.

70

−0.5

0

0.5

−0.75−0.375

0.3750.75−5

0

5

10

15x 10

−3

xye

Figura 4.3: Error relativo para velocidad axial como una funcion de la posicion (x, y) entre

las mallas graduadas de 1/5∆x y 1/3∆x, para Re = 500 y Y = 0.4.

Para tener una referencia conveniente para interpretar la dinamica del flujo, la figura 4.4

enfatiza que la velocidad y el desplazamiento de las paredes verticales estan un cuarto de

ciclo fuera de fase. Se observa por ejemplo que para φ = 0, la velocidad de las paredes

verticales de la cavidad es cero mientras el desplazamiento es maximo negativo y para

φ = π/2, la velocidad de las paredes verticales de la cavidad es maxima positiva mientras el

desplazamiento es cero. Debido a la simetrıa del flujo, se pueden describir las caracterısticas

mas importantes del flujo en estas dos fases.

Acontinuacion se presenta un resumen de los resultados generales para los nueve casos

estudiados. Como era de esperarse de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera,

los campos de velocidad y consecuentemente el area de los vortices para todos los casos,

(excepto para Re = 1000 y Y = 0.8, ver seccion 4.4.3), muestran las siguientes simetrıas:

a) simetrıa axial

u1(x, y, φ) = −u1(−x, y, φ), u2(x, y, φ) = u2(−x, y, φ)

y

b) simetrıa cıclica

u1(x, y, φ) = u1(x,−y, φ + π), u2(x, y, φ) = −u2(x,−y, φ + π).

71

0 π/2 π 3π/2 φ

U2 Y

Vw

−Vw

Yw

−Yw

Velocidad

Desplazamiento

Figura 4.4: Velocidad y desplazamiento de las paredes verticales como una funcion de la

fase.

El flujo producido por dos paredes opuestas oscilatorias en un canal con una relacion de

aspecto finito genera vortices debido a dos mecanismos. El primero se debe al efecto com-

binado de la inyeccion de vorticidad dentro del fluido debido al movimiento cortante de las

fronteras moviles, el defasamiento con respecto a las paredes del movimiento del fluido al

interior de la cavidad y la existencia de las paredes fijas, los vortices generados por este

mecanismo estan cercanas a las paredes moviles. Este mecanismo es etiquetado con M1 para

su referencia. El segundo mecanismo de generacion de vortices es el cambio abrupto en la

direccion del flujo conforme el fluido puesto en movimiento por las paredes moviles llegan a

las esquinas. Este segundo mecanismo se etiqueta con M2. Los vortices generados por este

mecanismo se separan de las paredes. El principal proceso fısico en este caso consiste en el

enrollamiento de los vortices y ha sido discutido por Tabaczynski et al. [77] y Allen y Chong

[78] para numeros de Reynolds grandes. Los dos mecanismos estan presentes en todos los

casos analizados, pudiendose generar vortices por ambos procesos, pero el dominio de uno

u otro, depende de la fase de oscilacion y se manifiesta de diferentes maneras en diferentes

regiones de la cavidad. Los vortices generados por M1 se pueden observar durante todo

el ciclo y estan localizadas en regiones cerca de las paredes en movimiento. En contraste,

M2 genera vortices cerca de las paredes horizontales cuando el fluido choca contra estas,

observandose en fases especıficas. Por ejemplo, se generan vortices mediante M2 cerca de

72

la pared horizontal inferior cuando φ = 0 y cerca de la pared horizontal superior cuando

φ = π.

4.4.1. Caso Re = 50

La figura 4.5 muestra los campos de velocidad y el area de vortices para Re = 50 y Y = 0.2,

para dos fases de la oscilacion. En φ = 0 cuando la velocidad de las paredes es cero y estan

en su posicion mas baja, el campo de velocidad indica que el flujo se organiza en dos vortices

estirados en la direccion vertical formados por el movimiento hacia abajo del fluido en las

capas lımites cerca de las paredes verticales que da vuelta en el fondo y forma un flujo

central hacia arriba. En esta fase el vortice rojo de la izquierda tiene un sentido antihorario

(+), mientras el vortice azul de la derecha tiene un sentido horario (-). La geometrıa de los

vortices es confirmada por el criterio de Jeong-Hussain. El area de vortices indica que los

vortices son mas gruesos en el fondo debido a la formacion de vortices generados por los

dos mecanismos descritos en la seccion previa (M1 y M2). Este flujo origina puntos silla

en los centros de las paredes horizontales y se pueden identificar dos puntos elıpticos en

x = ±0.32, y = 0 que indican los centros de los vortices.

El flujo en φ = π/2 muestra regiones delgadas ascendentes cerca de las paredes moviles, las

cuales tienen maxima velocidad en esta fase del ciclo. El fluido retornante que desciende

se confina a regiones cercanas a las paredes verticales y en el centro de la cavidad el fluido

esta practicamente en reposo, en esta fase el vortice de la izquierda tiene un sentido horario

(-), mientras el vortice de la derecha tiene un sentido antihorario (+). Los vortices en esta

fase del ciclo son generadas por el mecanismo M1. Esto se observa incluso cuando la ve-

locidad de la pared es maxima pero debido a la inercia, el fluido no ha adquirido una gran

velocidad vertical. Los vortices generados por el flujo en esta fase, muestran un espesor casi

constante y estan localizados cerca de las paredes en movimiento, como se muestra en la

figura 4.5. Como era de esperarse, los vortices estan localizados alrededor de puntos elıpti-

cos y lejos de puntos de silla. La extension vertical de los vortices permanece casi constante

a traves del ciclo, pero el grosor pulsa con un maximo en φ = 0, π y un mınimo en φ = π/2,

3π/2.

73

El efecto de incrementar la amplitud de desplazamiento de la pared (Y ) se ilustra en la

figura 4.6, donde se presentan los campos de velocidad y los vortices para Re = 50 y

Y = 0.4. La diferencia mas notable entre los flujos de las figuras 4.5 y 4.6 es que el grosor

de las estructuras de vortices se incrementa conforme la amplitud se incrementa. Esto es

de esperarse, ya que las paredes moviles constituyen una fuente de vorticidad. Conforme la

amplitud de la oscilacion se incrementa a Y = 0.8, el grosor de los vortices se incrementa

aun mas, para este caso los vortices cubren por lo menos 50 % del area total. Esto se ilus-

tra en la figura 4.7 donde se muestran los campos de velocidad y el area cubierta por los

vortices. Para los tres casos analizados con Re = 50 se observa que en la fase π = 0 los

vortices generados por los mecanismos M1 y M2 se unen, mientras que para φ = π/2 los

vortices son generados por el mecanismo M1.

Para evaluar la influencia de las paredes fijas superior e inferior en la dinamica del flu-

jo, se analizaron los perfiles de velocidad axial teoricos u2 como funcion de la coordenada

transversal para diversas fases en un ciclo, para una cavidad con paredes verticales infinitas.

El perfil de velocidad como una funcion de la coordenada transversal en un canal infini-

tamente largo con paredes oscilatorias (segundo problema de Stokes, ver [9]) esta dado

por:

u(x, t) = BUw cosωt + CUw sinωt, (4.4)

donde

B =

[cos lβs cosxβs cosh lβs coshxβs + sin lβs sinxβs sinh lβs sinhxβs

(cos lβs cosh lβs)2 + (sin lβs sinh lβs)

2

],

C =

[cos lβs sinxβs cosh lβs sinhxβs − sin lβs cosxβs sinh lβs coshxβs

(cos lβs cosh lβs)2 + (sin lβs sinh lβs)

2

],

donde l = D/2 y el parametro βs es el inverso de la profundidad de penetracion de Stokes

y esta definido por

βs =√

ω

2ν,

donde ω es la velocidad angular y ν es la viscosidad cinematica. Este perfil de velocidad se

muestra en la figura 4.8 tomando Re = 50 y Y = 0.2. Se observa que para estas condiciones,

la profundidad de penetracion de Stokes es mas pequena que la semi distancia entre las

74

Figura 4.5: Campo de velocidad y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 50 y

Y = 0.2.

75


Y = 0.4.

76


Y = 0.8.

77

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=0

φ=π

φ= π/2

Figura 4.8: Velocidad axial u2 como una funcion de la coordenada transversal x para un

canal infinito (ecuacion 4.4) con Re=50 y Y = 0.2. Los intervalos de fase entre los perfiles

son de ∆φ = π/6.

paredes del canal ( δνD/2 = 0.18) y para valores de x positivos (o negativos), las envolventes

son funciones monotonas de esta coordenada. El flujo en la region cerca del centro del canal

(x ∼ 0) esta aproximadamente en reposo en todos los tiempos. Es importante senalar que

para un canal infinito, la velocidad instantanea promediada en x no es cero, mientra para

un canal con una relacion de aspecto finito, la velocidad instantanea promediada en x es

cero en todo el tiempo debido a la presencia de las paredes horizontales.

Los perfiles de velocidad equivalentes obtenidos en y=0, para el canal con una relacion de

aspecto finito (H/D = 1.5) se muestran en la figura 4.9. Las envolentes no son functiones

monotonas de x y consecuentemente, no se puede definir la profundidad de penetracion de

Stokes. En contraste al canal con una relacion de aspecto infinito, el flujo en el centro del

canal esta en reposo solo para fases especıficas del ciclo. En la region cercana a las paredes

laterales, los perfiles de velocidad para las relaciones de aspecto finito e infinito coinciden,

indicando que en y = 0, la presencia de las paredes horizontales afecta solo el centro

del canal. Cuando la amplitud del movimiento oscilatorio de las paredes se incrementa a

78

Y =0.8, las caracterısticas anteriormente descritas se amplifican como puede observarse en

la figura 4.10. Otro parametro usual para describir el efecto de la presencia de las paredes

horizontales en la dinamica del flujo oscilatorio es la diferencia de fase de la oscilacion del

fluido con respecto a las paredes ψ como una funcion de la distancia de la pared vertical.

Como se sabe, en el segundo problema de Stokes, el fluido oscila con un cambio de fase

linealmente proporcional a la distancia de la pared. La constante de proporcionalidad es

βs, el inverso de la profundidad de penetracion de Stokes. Para el canal infinito, el cambio

de fase se obtiene de la siguiente ecuacion:

ψ = arctag[cos lβs sinxβs cosh lβs sinhxβs − sin lβs cosxβs sinh lβs coshxβs

cos lβs cosxβs cosh lβs coshxβs + sin lβs sinxβs sinh lβs sinhxβs

](4.5)

En la figura 4.11, se muestra (ψ) como una funcion de la coordenada transversal para dos

casos Y = 0.2 y 0.8 con y=0 y Re=50; las lıneas son para un canal largo infinito (ecuacion

( 4.5)), mientras los sımbolos representan los resultados para un canal con aspecto finito.

Se encontro que ψ coincide para canales con relacion de aspecto infinito y finito dentro

de la profundidad de penetracion de Stokes, la cual es 18% y 35% del semidiametro para

Y = 0.2 y Y = 0.8, respectivamente. Aunque las amplitudes de oscilacion de los dos casos

analizados difieren por un factor de cuatro, la maxima ψ alcanzada en x = 0, es solamente

1.34π y 1.22π, respectivamente. Estos valores contrastan con los valores correspondientes

de 1.875π y 0.875π para el canal infinito. Esto se debe a que, por conservacion de masa

la existencia de las paredes fijas produce un flujo en la zona central con sentido opuesto

al del flujo cercano a la pared, por lo que ψ esta limitada entre π y 1.5π. Para Re = 50

y Y = 0.2, las figuras 4.8, 4.9 y 4.11 indican que en una region relativamente pequena,

en y = 0, cerca de las paredes oscilatorias (δν) la presencia de las paredes horizontales no

tienen un influencia importante en el flujo, pero en cualquier otra parte de la cavidad, las

paredes limitantes son determinantes.

4.4.2. Caso Re = 500

Las figuras 4.12, 4.13, 4.14 muestran los campos de velocidad y area de vortices para

Re = 500, Y = 0.2, 0.4 y 0.8, para dos fases de la oscilacion. La distribucion de vortices

79

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=π/2

φ=π

φ=0


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re = 50 y Y = 0.2. Para todos los perfiles, y=0.

Los intervalos de fase entre perfiles son de ∆φ = π/6.

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=π/2

φ=π

φ=0


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re=50 y Y = 0.8. Para todos los perfiles, y=0.

Los intervalos de fase entre perfiles son de ∆φ = π/6.

80

0 x

−0.5 0.5

π/2

π

3π/2

2π

ψ

Y=0.2

Y=0.8

0

Figura 4.11: Fase relativa entre las paredes oscilantes y la velocidad axial del fluido ψ como

una funcion de la coordenada transversal x. Re = 50 y y = 0.

durante el ciclo es mas compleja que para Re = 50. Para Re = 500 se encontro que

hay una intensa formacion y separacion de vortices durante el ciclo y que los vortices

formados por los dos mecanismos (M1 y M2) estan separados. Los vortices generados por

M1 son mas delgados. Los vortices generados por M2 comienzan su formacion pegados

a las paredes moviles en la fase de maxima velocidad, en las regiones donde las paredes

deslizantes se encuentran con las paredes superiores fijas (paredes inferiores fijas) para

φ = π/2 (φ = 3π/2), alcanzando su maxima vorticidad cuando las paredes deslizantes se

detienen en φ = π (φ = 0). La presencia de estos vortices en estas fases fue descrita por

Tabaczynski et al. [77] y se etiqueta con “A” en la figura 4.14. Estos vortices permanecen en

las fases donde las paredes oscilatorias se alejan de las paredes fijas, φ = 3π/2 (φ = π/2),

separandose de las paredes en movimiento. Para Y = 0.2 cuando los vortices superiores

(vortices inferiores) se separan, son absorbidos por el flujo central en φ = 0 (φ = π). Para

Y = 0.4 y 0.8 cuando los vortices superiores (vortices inferiores) se separan, permanecen en

φ = 0 (φ = π/2) pero con baja vorticidad. La presencia de estos vortices en las fases donde

las paredes moviles se alejan de las paredes fijas, etiquetada con “B” en la figura 4.14, no

81

fue observada en las visualizaciones de Tabaczynski et al. [77]. La separacion de los vortices

generados por M2 con respecto a las paredes en movimiento se debe a la formacion medio

ciclo despues, pegados a la pared de los vortices M1 con vorticidad opuesta. Los vortices

generados por M2 conservan su sentido durante el ciclo y su tamano incrementa conforme

se incrementa Y .

La figura 4.15 muestra el campo de vorticidad graficado como funcion de la posicion para

Re = 500, Y = 0.8 y φ = 0. Conforme el fluido se mueve hacia abajo y choca contra la pared

fija, una region de vorticidad secundaria con signo (-) se forma entre el vortice con signo

(+), formado por el mecanismo M2, y la pared fija, provocando que este ultimo vortice se

aleje de la esquina

La figura 4.16 muestra, en el lado izquierdo, el patron observado por la visualizacion de

vortices generados por el flujo oscilatorio para el caso Re = 500 y Y = 0.8 de esta tesis,

en el lado derecho, se muestra las visualizaciones obtenidas experimentalmente por Allen

y Chong [78], observandose similitudes cualitalivas entre ambas visualizaciones. Las lıneas

de traza obtenidas en esta tesis simulan un trazador inyectado aproximadamente en un

decimo de la altura (y = −0.610) y 0.450 < x < −0.423, cuando la velocidad es maxima

positiva y el desplazamiento es cero (φ = π/2). En la simulacion el trazador se inyecta

durante un ciclo. El patron formado con esta tecnica de visualizacion se puede dividir

en tres zonas. La primera comprende los trazadores inyectados cerca del final del ciclo

y se encuentra cerca de las paredes deslizantes. La segunda es una espiral similar a las

observadas experimentalmente por Tabaczynski et al. [77] y Allen y Chong [78]. La tercera

zona, corresponde a los trazadores inyectados al comienzo del ciclo, estos no se enrollan

uniendose en el centro de la espiral sino forman otra estructura donde todos los trazadores

se unen. Esta distribucion compleja de los trazadores son consecuencia del movimiento

oscilatorio de las paredes deslizantes.

4.4.3. Caso Re = 1000

Las figuras 4.17 y 4.18 muestran los campos de velocidad y area de vortices para Y =

0.2 y 0.4, para dos fases de la oscilacion. Los vortices generados por los dos mecanismos

82

Figura 4.12: Campos de velocidad y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 500

y Y = 0.2.

83


y Y = 0.4.

84


y Y = 0.8.

85

Figura 4.15: Campo de vorticidad como una funcion de la posicion para Re = 500, Y = 0.8,

φ = 0. Los signos (+) y (-) indican vorticidades positivas y negativas, respectivamente.

−0.50 −0.45 −0.40 −0.35 −0.30 −0.25 −0.20 −0.15 −0.10 −0.05−0.75

−0.70

−0.65

−0.60

−0.55

−0.50

−0.45

−0.40

x

y

Figura 4.16: Izquierda: Lıneas de traza obtenidas en esta tesis para Re= 500 y Y= 0.8,

que simulan la visualizacion del flujo. La inyeccion de los trazadores inicia en φ = π/2

y continua para un ciclo. Los trazadores se inyectaron en x = −0.450, −0.446, −0.442,

−0.439, −0.435, −0.431, −0.427 y −0.423, y = −0.610. Derecha: Lıneas de traza obtenidas

por Allen and Chong [78].

86

(M1 y M2) estan separados siendo la distribucion de vortices y su evolucion similares a las

de Re=500, solo que en estos casos las estructuras de vortices son mas delgadas y estan

confinadas a regiones mas cercanas a las paredes. La mayor parte del canal esta libre de

vortices durante todo el ciclo. Conforme la amplitud de desplazamiento se incrementa, el

area ocupada por los vortices aumenta, pero las propiedades cualitativas del flujo son las

mismas. Ver figura 4.18. En todos los casos presentados hasta ahora, las distribuciones de

flujo presentan simetrıas axial y cıclica definidas en el inicio de la seccion 4.4. Cuando la

amplitud de la oscilacion de la pared se incrementa a Y = 0.8, la simetrıa alrededor de x=0

se pierde. La figura 4.19 muestra el campo de velocidad y area de vortices para Y = 0.8,

para dos fases de la oscilacion. Con este conjunto de parametros, el flujo no tiene simetrıa

axial pero conserva simetrıa cıclica. En φ =0, los vortices derecho e izquierdo generados

por el mecanismo M2 conforme las paredes deslizantes se aproximan a la pared inferior y

aquellos que estan cerca de la pared superior no son del mismo tamano. En esta fase tambien

se observa un solo vortice del tipo M1 pegado a la pared izquierda deslizante mientras en

la esquina superior derecha se observa un vortice del tipo M2. Este desbalance genera un

flujo cruzado que se mueve de la esquina inferior derecha a la esquina superior izquierda

de la cavidad formando un gran vortice que gira en direccion de las manecillas del reloj.

Ver panel superior izquierdo en la figura 4.19. La distribucion de vortices mostrada en el

panel inferior izquierdo de la figura 4.19 confirma observaciones previas mostrando una

gran estructura cerca del centro de la cavidad. Es interesante comparar esta figuras con las

correspondientes a Re=500 dadas en la figura 4.14 las cuales pueden ser interpretadas como

una version aproximada simetrica de 4.19 donde el flujo cruzado y el vortice central estan

ausentes. La estructura del flujo en φ =π/2 (paneles derechos de la figura 4.19) tambien

incluye un vortice central grande. Los dos vortices tipo M2 pegados a la pared fija inferior

permanecen en esta fase pero con menor vorticidad. En esta fase se observan dos vortices del

tipo M1 pegados a cada una de las paredes deslizantes. En cada esquina superior comienza

la formacion de un vortice tipo M2 pegado a cada una de las paredes moviles que alcanzan

su maxima velocidad hacia arriba.

Las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera son simetricas respecto al eje x = 0,

87

por lo tanto, un campo de velocidad y presion simetrico al obtenido, descrito en el parrafo

anterior, tambien es solucion, es decir:

u1(x, y, φ) = −u∗1(−x, y, φ), u2(x, y, φ) = u∗2(−x, y, φ) p(x, y, φ) = p∗(−x, y, φ)

donde u∗1, u∗2 y p∗ son las distribuciones de velocidad y presion del flujo obtenidas. Lo an-

terior indica que el sistema presenta una bifurcacion. Para Re = 1000, Y es el parametro

de bifurcacion y el valor crıtico es 0.4 < Y < 0.8. Para Y = 0.8, Re es el parametro de

bifurcacion y el valor crıtico es 500 < Re < 1000.

La figura 4.20 muestra el perfil de velocidad axial u2 para un canal con longitud infinita

como una funcion de la coordenada transversal x. En esta figura, Re = 1000 y Y = 0.2.

Para este caso, la profundidad de penetracion de Stokes es mas pequena ( δνD/2 = 0.04),

formandose una capa lımite mas delgada cerca de la pared, mientras el centro del canal

permanece sin movimiento. Las graficas correspondientes de velocidad axial para un canal

con relacion de aspecto 1.5 y Re = 1000 se muestran en las figuras 4.21 y 4.22 para Y = 0.2

y 0.8, respectivamente. Estas graficas se obtienen para y = 0. Las propiedades de los perfiles

de velocidad para Y = 0.2 (figura 4.21) son similares a los descritos en la seccion 4.4.1,

siendo los perfiles para un canal infinito y un canal con relacion de aspecto finito muy

similares cerca de las paredes (δν). Tambien se encontro que la diferencia de los perfiles de

velocidad debida a la presencia de las paredes horizontales en la parte central de la cavidad

se incrementa conforme Y incrementa.

Para Y = 0.8 se observaron notables diferencias en la distribucion de velocidad con respecto

al comportamiento de canal infinito debido al rompimiento de la simetrıa axial, como se

muestra en la figura 4.22. En este caso se observa que un vortice en el sentido de las manecil-

las del reloj esta presente permanentemente cerca del centro de la cavidad desviandose

ligeramente hacia arriba del lado izquierdo y hacia abajo cerca del lado derecho. Las veloci-

dades en unas regiones (δν) cercanas a las paredes en movimiento son simetricas, pero en

el centro se distorcionan debido al movimiento del vortice central el cual tiene siempre la

misma direccion de rotacion. Como se comento anteriormente, existe una segunda solucion

en la cual el vortice del centro gira en contra de las manecillas del reloj.

88


y Y = 0.2.

89


y Y = 0.4.

90


y Y = 0.8.

91

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=π/2

φ=π

φ=0


canal infinito (ecuacion 4.4) con Re=1000 y Y = 0.2. Los intervalos de fase entre perfiles

son ∆φ = π/6.

En la figura 4.23, se muestra (ψ) como una funcion de la coordenada transversal para dos

casos Y = 0.2 y 0.8 con y=0 y Re=1000; las lıneas son para un canal largo infinito (ecuacion

( 4.5)), mientras los sımbolos representan los resultados para un canal con aspecto finito. Se

encontro que ψ coincide para canales con relacion de aspecto infinito y finito dentro de la

profundidad de penetracion de Stokes, la cual es 4 % y 8 % del semidiametro para Y = 0.2

y Y = 0.8, respectivamente. En el centro de la cavidad (x = 0) el valor de la diferencia

de fase de la oscilacion del fluido con respecto a las paredes tiende a un valor comun de

aproximadamente 1.25π.

4.5. Conclusiones

Se obtuvo la solucion numerica de las ecuaciones de Navier-Stokes, usando elemento fini-

to y un esquema de separacion de operadores, para la simulacion del flujo dentro de una

cavidad con paredes verticales oscilatorias. Aplicando este metodo numerico se pudo re-

92

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=π/2

φ=π

φ=0


canal con una relacion de aspecto (H/D=1.5), Re = 1000 y Y = 0.2. Para todos los perfiles,

y=0. Los intervalos de fase entre perfiles son ∆φ = π/6.

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

x

u 2

φ=0

φ=π

φ= π/2


canal con relacion de aspecto (H/D=1.5), Re=1000 y Y = 0.8. Para todos los perfiles, y=0.

Los intervalos de fase entre perfiles son ∆φ = π/6.

93

Figura 4.23: Fase relativa entre las paredes oscilatorias y la velocidad axial del fluido ψ

como una funcion de la coordenada transversal x. Re = 1000 y y = 0.

producir la formacion de vortices sin introducir perturbacion numerica, en contraste con

otros estudios que han aparecido en la literatura, ver [79] y [80]. La solucion para el flujo

oscilatorio en toda la cavidad se obtuvo para Re = 50, 500 y 1000, y para tres diferentes

relaciones de desplazamiento de la pared vertical Y = 0.2, 0.4 y 0.8. En todos los casos

se observo simetrıa cıclica y axial, excepto para el caso Re = 1000, Y = 0.8, donde se

observo rompimiento de simetrıa axial, flujo cruzado y la formacion de un gran vortice en

la parte central de la cavidad. Para Re = 50 se observaron basicamente dos vortices dis-

trubuidos simetricamente respecto x = 0, los cuales aumentaron de tamano a medida que

Y aumento, mientras que para Re = 500 y Re = 1000 el numero de vortices es mayor. La

comparacion de los resultados numericos con resultados analıticos de un canal infinitamente

largo sugieren que las paredes superior e inferior de la cavidad no afectan significativamente

la dinamica del flujo en regiones cercanas a las paredes verticales (δν) para la altura central

(y = 0). En la fase donde las paredes deslizantes se mueven contra las paredes horizontales

fijas se observo la formacion de vortices pequenos en las esquinas de la cavidad semejantes a

los observados experimentalmente por otros investigadores, estos vortices permanecen con

menor vorticidad en la fase cuando las paredes deslizantes se alejan de las paredes fijas, lo

cual no ha sido observado en trabajos previos. La formacion de vortices fue generada por

dos mecanismos: M1) El primero se debe al efecto combinado del movimiento cortante de

94

las paredes moviles oscilatorias, el defasamiento del fluido en el interior de la cavidad y la

presencia de las paredes fijas inferior y superior. M2) El segundo se debe al cambio abrupto

en la direccion del flujo en las esquinas de la cavidad. Manteniendo constante Re y aumen-

tando Y se observa que los vortices generados por los mecanismos M1 y M2 aumentan de

tamano. Manteniendo costante Y y aumentando Re se observa que los vortices debidos al

mecanismo M1 disminuyen, mientras los generados por M2 permanecen constantes. Para

Re = 50 los vortices formados por ambos mecanismos se unen.

El codigo numerico desarrollado en esta tesis tambien permite analizar fenomenos de trans-

ferencia de calor, en el siguiente capıtulo se presentan algunos ejemplos de la simulacion de

un problema con transferencia de calor enfocado a flujos oscilatorios.

95

Capıtulo 5

Flujo en una cavidad oscilatoria

con transferencia de calor


Experimentos realizados en el laboratorio de termociencias del CIE-UNAM, sobre flujos

oscilatorios usando un piston (Castrejon et. al, [73]) mostraron un pequeno calentamiento

sobre la pared cerca del piston producida por la friccion del piston, esto sugiere la necesidad

de investigar el efecto de la transferencia de calor por la friccion del piston sobre la forma-

cion del vortice. En este capıtulo se propone un modelo de transferencia de calor para una

cavidad con paredes verticales oscilatorias, y se resuelven numericamente las ecuaciones que

gobiernan el comportamiento del fluido dentro de la cavidad sujeta a flujo de calor en las

esquinas. Otro fenomeno que podrıa estudiarse utiliando este modelo es el mejoramiento de

la conduccion de calor en flujos viscosos oscilatorios dentro de canales con placas paralelas,

como lo reportan Kurzweg et. al, [82], en un estudio analıtico de este problema. Sus resulta-

dos muestran que para una frecuencia dada la difusividad termica efectiva correspondiente

alcanza un maximo, aumentando la transferencia de calor axial en el fluido del canal, lo

cual sugiere que este fenomeno puede encontrar aplicaciones importantes en areas donde se

requiere enfriar rapidamente sin flujo masico neto.

96

→

u = 0, T=0

→ u = 0, T=0

H

→ u =

(0,

V w s

in(ω

t)),

T=

0

→ u =

(0,

V w s

in(ω

t)),

T=

0

D

x

y

Q Q

Q Q

Figura 5.1: Geometrıa y condiciones de frontera de la cavidad con flujo de calor en las

esquinas y paredes verticales deslizantes.


5.2.1. Descripcion fısica y geometrica

Las simulaciones numericas de la cavidad oscilatoria con flujo de calor en las esquinas se

realizaron en un dominio bidimensional, similar al de la cavidad isotermica, con una razon

de 1.5 entre las dimensiones vertical y horizontal como se muestra en la figura 5.1, siendo la

dimension vertical H = 7.5× 10−2m y la dimension horizontal D = 5.0× 10−2m, con estas

dimensiones el fluido de trabajo es aire. Las paredes verticales se mueven simultaneamente

con una velocidad oscilatoria, las paredes horizontales son los pistones fijos y en las cuatro

esquinas de la cavidad se aplica un flujo de calor proporcional a la velocidad. El rango

estudiado fue 50 ≤ Re ≤ 1000 con Y = 0.2.

97

5.2.2. Ecuaciones gobernantes

Se considera una region bidimensional Ω, correspondiente a la cavidad estudiada. Las ecua-

ciones de conservacion que describen el flujo oscilatorio de un fluido incompresible en esta

region son las ecuaciones de Navier-Stokes, la ecuacion de continuidad y la ecuacion de la

energıa:

∂~u

∂t− ν∆~u + ~u · ∇~u +∇p = 0 en Ω× [0, tf ],

∇ · ~u = 0 en Ω× [0, tf ],∂T

∂t− α∆T + ~u · ∇T = 0 en Ω× [0, tf ],

donde ~u = (u1, u2) es el vector velocidad, siendo u1 y u2 las componentes de velocidad

transversal y axial respectivamente; ν es la viscosidad cinematica, p es la presion, t es el

tiempo, tf es el tiempo final, T es la Temperatura y α es la difusividad termica.

Las condiciones de frontera de la cavidad oscilatoria con transferencia de calor son:

para la velocidad:

u1(x = −D/2, y, t) = 0, u2(x = −D/2, y, t) = Vw sinωt,

u1(x = D/2, y, t) = 0, u2(x = D/2, y, t) = Vw sinωt,

u1(x, y = −H/2, t) = 0, u2(x, y = −H/2, t) = 0,

u1(x, y = H/2, t) = 0, u2(x, y = H/2, t) = 0,

(5.1)

para la temperatura:

T (x = −D/2, y = ∂Ω3, t) = 0,

T (x = D/2, y = ∂Ω3, t) = 0,

T (x = ∂Ω3, y = −H/2, t) = 0,

T (x = ∂Ω3, y = H/2, t) = 0,

(5.2)

para el flujo de calor:

Q = cu22 en (∂Ω4, t). (5.3)

98

Las condiciones iniciales son:~u(x, y, t = 0) = 0,

p(x, y, t = 0) = 0,

T (x, y, t = 0) = 0,

(5.4)

Vw es la amplitud de la velocidad de oscilacion de las paredes verticales dada por Vw = Ywω,

donde ω es la frequencia y Yw es la amplitud de desplazamiento. En este problema se

consideraron: longitud caracterıstica Lc = D, velocidad caracterıstica Uc = Vw, flujo de

calor caracterıstico Qc = cV 2w, RaQ = 3.34× 10−3 y c = 1W · s2/m4. En la literatura no se

encontro ningun modelo con entrada de flujo de calor al sistema y se propuso que el flujo

de calor es una funcion cuadrada de la velocidad en similitud con la fuerza de friccion [83].

Todos los resultados reportados en este capıtulo corresponden al estado permanente que se

obtiene despues de 30 ciclos.

5.3. Resultados

Se hicieron simulaciones para tres casos con Re = VwD/ν = 50, 500 y 1000, con Pe =

VwD/α = 36, 360 y 720, respectivamente. En todos los casos Y = Yw/D = 0.2

Como era de esperarse de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera, los cam-

pos de velocidad y campos de temperatura para todos los casos, muestran las siguientes

simetrıas:

a) simetrıa axial

u1(x, y, φ) = −u1(−x, y, φ), u2(x, y, φ) = u2(−x, y, φ),

T (x, y, φ) = T (−x, y, φ),

y

b) simetrıa cıclica

u1(x, y, φ) = u1(x,−y, φ + π), u2(x, y, φ) = −u2(x,−y, φ + π),

T (x, y, φ) = T (x,−y, φ + π).

99

El flujo producido por dos paredes opuestas, oscilatorias, en un canal con una relacion de

aspecto finito y con flujo de calor en las esquinas, genera vortices debido a los mismos dos

mecanismos que en el caso isotermico pero ambos se modifican por el flujo de calor desde

las esquinas, siendo mas notorio este efecto en los casos con mayor velocidad y por lo tanto

mayor flujo de calor. El primero se debe al efecto combinado del movimiento cortante de

las fronteras moviles, el desfasamiento del movimiento del fluido al interior de la cavidad y

la existencia de las paredes fijas, los vortices generados por este mecanismo estan cercanos

a las paredes moviles. Este mecanismo modificado por el flujo de calor se designa como

M1C. El segundo mecanismo se debe al cambio abrupto en la direccion del flujo del fluido

al chocar con las esquinas y que modificado por el flujo de calor aplicado en las esquinas se

denomina M2C.

5.3.1. Caso Re = 50

La figura 5.2 muestra los campos de velocidad y area de vortices para Re = 50 y Pe = 36, en

dos fases de la oscilacion. En φ = 0 cuando la velocidad de las paredes es cero y estas estan

en su posicion mas baja, el flujo se organiza de manera uniforme en toda la cavidad, excepto

en las esquinas donde se observa un flujo mas complejo, estas zonas son confirmadas por el

criterio de Jeong-Hussain. Las zonas donde el fluido tiene un sentido horario se identifica

con el color azul, mientras que las zonas donde el fluido tiene un sentido antihorario se

identifica en color rojo. En las esquinas inferiores se observa como el fluido rebota debido al

efecto combinado del movimiento cortante hacia abajo que la pared movil tenıa justo antes

de esta fase y la presencia de la pared fija, este fluido da vuelta en el fondo y forman un flujo

hacia arriba en la parte central de la cavidad. En las esquinas superiores se observa como

el fluido ascendente de la parte central de la cavidad se encuentra con la pared superior y

se mueve hacia las esquinas donde da vuelta hacia abajo. Aunque en esta fase las paredes

verticales estan en reposo, debido a la inercia, el fluido cerca de estas paredes tiende a

moverse hacia abajo, ya que esta era la direccion de las paredes verticales justo antes de

llegar a esta fase. En esta fase los vortices superiores son generados por el mecanismo M1C

y los inferiores por los mecanismos M1C y M2C. En φ = π/2 cuando la velocidad de las

100

paredes es maxima, el fluido se ve completamente uniforme ya que es una transicion entre

la configuracion mostrada en la fase φ = 0 y la fase φ = 3π/2, en donde se tendrıa una

configuracion semejante a φ = 0 pero invertida. En esta fase los vortices son del tipo M1C.

El flujo de calor en las esquinas produce una disminucion en el tamano de los vortices (ver

seccion 4.4.1).

La figura 5.3 muestra los campos de temperatura para Re = 50 y Pe = 36. En φ = 0 y

φ = π/2 se observa que el flujo de calor inyectado se difunde de manera uniforme en las

cuatros esquinas de la cavidad, sin embargo en φ = 0 se observa que el calor se difunde

en una region mucho mas grande que en φ = π/2, esto debido a que en φ = 0 hay un

movimiento mas intenso del fluido cerca de las esquinas, es decir el movimiento inercial del

fluido dentro de la cavidad es el que domina y no el movimiento de las paredes oscilatorias

las cuales en esta fase se encuentran en reposo.

5.3.2. Caso Re = 500

La figura 5.4 muestra los campos de velocidad y area de vortices para Re = 500 y Pe = 360,

en dos fases de la oscilacion. En φ = 0 cuando la velocidad de las paredes es cero y estas estan

en su posicion mas baja, se observa un vortice muy cerca de cada esquina de la cavidad, los

cuales son generados por el mecanismo M2C. En las esquinas inferiores se observa como las

capas lımites debido a la inercia del fluido se mueven hacia abajo chocando contra la pared

horizontal inferior, generando un flujo hacia arriba cuya velocidad vertical se reduce y la

velocidad horizontal aumenta a medida que el fluido se aleja de la esquina, formando una

zona de recirculacion que permite formar el vortice. En las esquinas superiores se observa

como el fluido ascendente converge hacia las esquinas de la cavidad, pegandose a la pared

vertical la cual en esta fase se encuentra en reposo, parte de este fluido da vuelta hacia abajo

sobre la pared vertical formando una capa lımite delgada, mientras que el resto se mueve

hacia el centro de la cavidad, pegado a la pared fija lo que genera una zona de recirculacion

que provoca la presencia del vortice M2C. A cada lado de la pared movil se forma un

vortice delgado debido al mecanismo M1C. En φ = π/2 cuando la velocidad de las paredes

es maxima, la intensidad de los vortices M1C disminuye debido a que es la transicion en el

101

Figura 5.2: Campos de velocidad y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 50 y

Pe = 36.

102

Figura 5.3: Campos de temperatura para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 50 y Pe = 36.

cambio de direccion de las capas lımites pegadas a las paredes verticales. Los vortices de

cada una de las esquinas, generados por el mecanismo M2C, permanecen en esta fase con

el mismo tamano y con baja vorticidad. Los vortices generados por el mecanismo M1C,

tambien permanecen en esta fase pero con menor tamano, baja vorticidad y de sentido

contrario al de la fase φ = 0. En este caso los vortices generados en cada una de las

esquinas por el mecanismo M2C conserva su tamano durante todo el ciclo. Para Re = 500

y Pe = 360, el flujo de calor en las esquinas produce que los vortices M2C aumenten de

tamano, los vortices M1C sean mas delgados y que permanezcan durante todo el ciclo.

La figura 5.5 muestra los campos de temperatura para Re = 500 y Pe = 360. En φ = 0

y φ = π/2 se observa que el flujo de calor inyectado se difunde de manera uniforme en las

cuatros esquinas de la cavidad, sin embargo en φ = 0 se observa que el calor se difunde

en una region mucho mas grande que en φ = π/2, esto debido a que en φ = 0 hay un

movimiento mas intenso del fluido cerca de las esquinas. La region sobre la que se difunde

el calor en cada esquina es aproximadamente del tamano del vortice formado en esa esquina.

Para φ = 0 se observa que la region en la que se difunde el calor es semejante a la que se

103

observa con un Re mas bajo, sin embargo, para φ = π/2 la region en la que se difunde el

calor es mayor que la que se presenta con un Re mas bajo.

5.3.3. Caso Re = 1000

La figura 5.6 muestra los campos de velocidad y area de vortices para Re = 1000 y Pe = 720,

en dos fases de la oscilacion. En φ = 0 cuando la velocidad de las paredes es cero y estas

estan en su posicion mas baja, se observa un flujo mas complejo y la presencia de un

vortice en cada esquina de la cavidad, debidos al mecanismo M2C. Tambien se observa

la presencia de dos vortices uno a cada lado del eje axial, pegadas a la pared y formados

por el mecanismo M1C. El flujo asociado a estos vortices forma capas lımites mucho mas

gruesas que con numeros de Reynolds bajos. En φ = π/2 los vortices permanecen con

menor vorticidad, sin embargo, los vortices de las esquinas conservan su tamano, mientras

que los vortices laterales reducen su tamano. A diferencia del caso isotermico los vortices

de gran intensidad generados en cada una de las esquinas por el mecanismo M2C conservan

su tamano durante todo el ciclo, lo que provoca que los vortices tipo M1C asociados a las

paredes moviles sean mas grandes que en el caso sin tranferencia de calor.

La figura 5.7 muestra los campos de temperatura para Re = 1000 y Pe = 720. En φ = 0

y φ = π/2 se observa que el flujo de calor inyectado se difunde de manera uniforme en las

cuatros esquinas de la cavidad, sin embargo en φ = π/2 se observa que el calor se difunde en

una region ligeramente menor que en φ = 0, es decir las regiones sobre las que se difunde en

calor ya no cambian mucho entre fases diferentes al aumentar Re, esto se debe a la inercia

que lleva el fluido por la alta velocidad de las paredes oscilatorias.

5.4. Conclusiones

Se obtuvo la solucion numerica de las ecuaciones de Navier-Stokes acopladas a la ecuacion

de la energıa, usando elemento finito y un esquema de separacion de operatores, para la

simulacion del flujo dentro de una cavidad con paredes verticales oscilatorias y con flujo

de calor en las esquinas. Para el rango de numeros de Reynolds y numeros de Peclet ex-

104

Figura 5.4: Campos de velocidad y y area de vortices para φ = 0 y φ = π/2 con Re = 500

y Pe = 360.

105


plorados se encontro que la principal caracterıstica del flujo es la formacion de vortices,

aumentando su intensidad a medida que aumentan los numeros de Reynolds y Peclet. En

todos los casos se observo simetrıa cıclica y axial. La formacion de vortices fue generada

por los mismos dos mecanismos que en el caso isotermico, pero ambos se modifican por el

flujo de calor aplicado en las esquinas. A medida que se aumenta el numero de Reynolds la

intensidad de los vortices en las esquinas (M2C) aumenta debido a que la inyeccion de calor

hacia el interior de la cavidad se incrementa, lo cual no ocurre en una cavidad isotermica.

El efecto del flujo de calor desde las esquinas sobre el tamano de los vortices es complejo.

Para Re = 50 el tamano de los vortices disminuye con la entrada de calor, mientras que

para Re = 500 y Re = 1000 el efecto es el contrario.

Para numeros de Reynolds bajos la difusion de calor en el fluido depende de la fase, ob-

servandose que cuando las paredes oscilatorias estan en su posicion mas baja y tienen

velocidad cero, la region sobre la que se difunde el calor es mayor que cuando las paredes

oscilatorias alcanzan su maxima velocidad, esto se debe a que cuando las paredes oscilato-

rias estan en reposo, el fluido tiene un mayor movimiento inercial, difundiendo calor hacia

106


y Pe = 720.

107


el interior de la cavidad. Cuando las paredes oscilatorias alcanzan su maxima velocidad el

fluido pasa por un estado de equilibrio (menor movilidad) debido al cambio en la direccion

del fluido. Entre mayor es el numero de Reynolds la region sobre la que se difunde el calor,

ya no depende tanto de la fase como se observa para el caso Re = 1000, esto se debe a la

alta velocidad con la que se mueven las paredes oscilatorias, lo que hace que el cambio de

direccion en el fluido sea muy rapido. Para numeros de Reynolds altos se favorece la difusion

de calor hacia el interior de la cavidad, ya que el flujo de calor aplicado en las esquinas

tiene efectos importantes en el flujo, formando estructuras complejas de vorticidad.

108

Capıtulo 6

Conclusiones generales

En esta tesis se estudian dos dispositivos de transformacion de energıa, los cuales tienen la

caracterıztica en comun de presentar movimiento de flujos oscilatorios.

En primer lugar se estudio analıticamente un motor termoacustico con un fluido de trabajo

compresible electricamente conductor. La originalidad de este estudio radica en el hecho de

que se incluyo la dependencia de temperatura de todas las propiedades termodinamicas del

fluido de trabajo, la ecuacion general de estado y el efecto de un campo magnetico en la

region del stack. El analisis se aplico para agua con cloruro de sodio como fluido de trabajo

y se analizo la posibilidad de usar este material como fluido de trabajo en un motor ter-

moacustico. El analisis indica que el efecto del campo magnetico provoca que se incremente

el gradiente de temperatura requerido para generar la onda termoacustica.

En segundo lugar se estudio numericamente una cavidad con paredes verticales oscilatorias,

para los casos isotermicos y con transferencia de calor. Para realizar este estudio se desa-

rrollo un codigo numerico basado en el metodo de elemento finito con un esquema de se-

paracion de operadores para el analisis de flujos incompresibles con transferencia de calor.

La cavidad isotermica se estudio para un rango de 50 ≤ Re ≤ 1000 y 0.2 ≤ Y ≤ 0.8. La

formacion de vortices fue generada por dos mecanismos: M1) El primero se debe al efecto

combinado del movimiento cortante de las paredes moviles oscilatorias, el defasamiento del

fluido en el interior de la cavidad y la presencia de las paredes fijas inferior y superior.

109

M2) El segundo se debe al cambio abrupto en la direccion del flujo en las esquinas de la

cavidad. La originalidad de este estudio es la capacidad de poder reproducir la formacion de

vortices mediante el codigo numerico sin tener que aplicar perturbacion numerica y analizar

la formacion de estos vortices dentro de toda la cavidad para las fases cuando las paredes

moviles se alejan o se mueven hacia las paredes fijas.

La cavidad con transferencia de calor se estudio para Re = 50, 500 y 1000, con Pe = 36, 360

y 720, respectivamente. En todos los casos Y = 0.2. La formacion de vortices fue generada

por dos mecanismos: M1) El primero se debe al efecto combinado del movimiento cortante

de las fronteras moviles, el desfasamiento del movimiento del fluido al interior de la cavidad

y la existencia de las paredes fijas, los vortices generados por este mecanismo estan pegados

a las paredes moviles. Este mecanismo tambien esta presente en una cavidad isotermica.

M3) El segundo mecanismo se debe al efecto combinado del cambio abrupto en la direccion

del flujo del fluido al chocar con las esquinas y al flujo de calor aplicado en las esquinas, los

vortices generados por este mecanismo estan pegados a las esquinas. A diferencia del caso

isotermico, para la cavidad con flujo de calor siempre hay vortices en las cuatro esquinas

de la cavidad a lo largo del ciclo y su tamano aumenta al aumentar el numero de Reynolds,

estos vortices son del tipo M3 . En la literatura no se encontro ningun trabajo de cavidades

con paredes oscilatorias y flujo de calor.

La originalidad del codigo numerico es el uso del esquema de separacion de operadores el

cual permite descomponer el problema en varios subproblemas y su aplicacion a proble-

mas de flujos incompresibles oscilatorios con tranferencia de calor. Este esquema sugiere

la posibilidad de usarlo en problemas mas complejos con lo cual se podrıa descomponer el

problema original en subproblemas.

En esta tesis se concluye la primera parte de un proyecto general que tiene como finalidad

desarrollar un codigo numerico que permita la simulacion de dispositivos termoacusticos,

y cuyo desarrollo se propone como trabajo a futuro. La contribucion de este trabajo es

el desarrollo de una herramienta numerica para simular flujos incompresibles para diver-

sas condiciones y geometrıas, la cual se propone sirva de base para desarrollar la version

compresible del codigo.

110

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sitaria. Addison Wesley Longman.

118

Apendice A

Documentacion del programa que

resuelve las ecuaciones de

Navier-Stokes y la ecuacion de la

energıa de manera acoplada

A.1. Informacion general

El codigo numerico que resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuacion de la energıa

fue desarrollado en FORTRAN 90 y se encuentra dividido en los siguientes archivos:

1. nscc.f90 contiene el programa principal, en donde se definen los modulos que contienen

todas las variables a las que se les asigna memoria dinamica, desde este programa se

mandan llamar la subrutina que contiene los datos y la subrutina de preprocesamien-

to. Dentro de este archivo se encuentra el ciclo iterativo en el tiempo, en el cual se

manda llamar cada uno de los subproblemas que resuelven las ecuaciones de Navier-

Stokes. Desde este archivo se pueden guardar las coordenadas de la malla de presion

y velocidad, asi como los campos de presion, velocidad y temperatura para el ultimo

paso de tiempo, en caso de que se requiera guardar campos de presion, velocidad y

119

temperatura en diferentes pasos de tiempo, hay que utilizar la subrutina de post-

procesamiento, la cual tambien permite graficar con gnuplot el campo de velocidades

en cada paso de tiempo. Aqui tambien se calcula la diferencia relativa de los campos

de velocidades entre dos pasos de tiempo consecutivos.

2. dat.f90 contiene informacion con la que se resuelve el programa. En este archivo se

define el numero de componentes, el numero de iteraciones en el problema de onda, el

numero de Prandtl, el numero de Reynolds, el paso de tiempo, el tiempo inicial, los

nombres de los archivos que contiene la informacion de la malla, nodos de salida, nodos

de temperatura. En el caso de un problema oscilatorio hay que definir la amplitud

y la velocidad angular adimensionales. Tambien en este archivo se definen los nodos

Dirichlet de velocidad adimensional y la funcion fuente de ser el caso. Aqui tambien se

definen los datos de la malla de tempertura, sus condiciones de frontera y condiciones

iniciales.

3. prep.f90 se llama la subrutina que permite accesar a la informacion de la malla de

presion, se llama la subrutina que genera la malla de velocidad. Se llaman la subrutinas

que calculan los determinantes y las matrices inverzas de las matrices jacobianas de

cada elemento. Se llaman las subrutinas que determinan los ındices de los coeficientes

diferentes de ceros fuera de la diagonal principal de las matrices de ensamble. Se

llaman las subrutinas que ensamblan las matrices del problema elıptico y el problema

de Poisson. Se llaman las subrutinas que calculan las suma de los determinantes de

los elementos que rodean a cada nodo en las mallas de presion y velocidad. Se llaman

las subrutinas que permiten y se realizan todos los calculos que no cambian en cada

paso de tiempo.

4. form.f90 contiene el calculo de diversas integrales, tales como la integral de una funcion

vectorial con su funcion base, calculo de la integral del gradiente de una funcion

vectorial con su funcion base, calculo de la integral de la presion con la divergencia

de la funcion base, calculo de la integral de la divergencia de una funcion vectorial

con una funcion base, calculo de la integral de una funcion escalar con una funcion

120

base, calculo de la integral del termino convectivo, calculo de la integral del termino

de transporte.

5. res.f90 contiene los resolvedores de Poisson y elıptico, que resuelven los sistemas li-

neales de ecuaciones mediante el metodo de gradiente conjugado.

6. pelip.f90 obtiene los lados derechos de los problemas elıpticos de velocidad y tem-

peratura y manda a llamar las subrutinas que resuelven los problemas elıpticos de

velocidad y temperatura, obteniendo su solucion.

7. pronda.f90 resuelve el problema de onda, calculando los terminos de conveccion, trans-

porte y la integral de lınea en los nodos de salida.

8. stokdeg.f90 resuelve el problema de Stokes degenerado mediante el metodo de gra-

diente conjugado. Dentro de este problema se resuelve la presion.

9. postp.f90 permite guarda la informacion de los campos de velocidad, presion y tem-

peratura para pasos de tiempo especificados.

A.2. Significado de las cantidades usadas en el programa

A.2.1. Cantidades escalares

x1 coordenada espacial en la direccion horizontal

ipnodp numero de nodos en la malla de presion (mp)

ipnodv numero de nodos en la malla de velocidad (mv)

ipelep numero de elementos en la mp

ipelev numero de elementos en la mv

nbe numero de aristas con nodos conocidos en la mp

nvff numero de nodos de velocidad total sobre la frontera fısica de la mp

nvf numero de nodos de velocidad conocidos sobre la frontera de la mp

121

na numero total de aristas de la mp

ndel diferencia entre nvff y nvf

nvi numero de nodos interiores sobre la frontera de la mp

nvfv numero de nodos de frontera en la mv

nav numero de aristas formados en el interior de los elementos de presion

ncm numero de componentes

nq numero de iteraciones en el problema de adveccion

tao delt/nq

hvr separacion unidireccional entre los nodos donde sale fluido

ntban parametro que toma los siguientes valores: para el problema de

Poisson ntban=7∗ipnod, para el problema elıptico de velocidad

ntban=7∗ipnodv-nvfv y para el problema elıptico de temperatura

ntban=7∗ipnodv-ljs

ntbansd parametro que toma los siguientes valores, para el problema de

Poisson ntbansd=6∗ipnod, para el problema elıptico de velocidad

ntbansd=6∗ipnodv-nvfv y para el problema elıptico de temperatura

ntbansd=6∗ipnodv-ljs

vgradphiterm obtiene la sumatoria del producto termino a termino de vterm con la

transpuesta de agbref

eft error permitido en el ciclo iterativo

efs error permitido en el algoritmo de gradiente conjugado para resolver el

problema de Stokes degenerado

errt parametro de convergencia en el ciclo iterativo

errs parametro de convergencia del algoritmo de gradiente conjugado para re-

solver el problema de Stokes degenerado

re numero de Reynolds

delt paso de tiempo

122

t tiempo

alp 1/delt

nu 1/re

nutm α/UwL

ampa amplitud de velocidad de la pared izquierda de la cavidad oscilatoria

ampb amplitud de velocidad de la pared derecha de la cavidad oscilatoria

w1 velocidad angular de la pared izquierda de la cavidad oscilatoria

w2 velocidad angular de la pared derecha de la cavidad oscilatoria

dotc calcula∫Ω rmgmdΩ en el el problema de Stokes degenerado

rho calcula∫Ω rmgmdΩ/

∫Ω rmwmdΩ en el problema de Stokes degenerado

dot calcula∫Ω rm+1gm+1dΩ en el problema de Stokes degenerado

gam calcula∫Ω rm+1gm+1dΩ/

∫Ω rmgmdΩ en el problema de Stokes degenerado

vmipr valor mınimo de la presion

e error permitido en la solucion de los sistemas lineales

ncr parametro de convergencia (∑

sncr) para la solucion de los sistemas li-

neales

sncri calcula ~R · ~R en la solucion de los sistemas lineales

snpw calcula ~P · ~W en la solucion de los sistemas lineales

ncri∑

sncri

npw∑

snpw

alpn escalar de direccion del sistema lineal

sncr calcula ~R · ~R corregido en la solucion de los sistemas lineales

bet escalar de direccion corregido del sistema lineal

A.2.2. Cantidades vectoriales y matriciales

x vector de tamano [ipnodp] que contiene la coordenada axial de cada nodo

de la mp

123

y vector de tamano [ipnodp] que contiene la coordenada transversal de cada

nodo de la mp

xv vector de tamano [ipnodv] que contiene la coordenada axial de cada nodo

de la mv

yv vector de tamano [ipnodv] que contiene la coordenada transversal de cada

nodo de la mv

nve arreglo de [ipelep×3] que contiene los vertices(3) de cada elemento de la

mp

nvev arreglo de [ipelev×3] que contiene los vertices(3) de cada elemento de la

mv

nveti arreglo de [ipelep×3] que etiqueta con -1 los vertices conocidos de cada

elemento de presion

nvevti arreglo de [ipelev×3] que etiqueta con -1 los vertices conocidos de cada

elemento de velocidad

narif arreglo de [nbe×2] que contiene los pares de nodos (aristas) conocidas de

velocidad en la frontera de la mp

nari arreglo de [na×2] que contiene los pares de nodos (aristas) conocidas y

desconocidas de toda la mp

neari vector de tamano [na] que etiqueta con 0 las aristas conocidas y con 1 las

desconocidas de la mp

narit arreglo de [ipelep×3] que contiene las aristas(3) de cada elemento de la mp

nariv arreglo de [nav×2] que contiene los pares de nodos (aristas) del triangulo

formado dentro del interior de cada elemento de presion

ntino vector de tamano [ipnodp] que etiqueta con 0 los nodos conocidos y con 1

los nodos desconocidos de la mp

g1 arreglo de [nvfv×ncm] que almacena los valores de velocidad de los nodos

de la frontera Dirichlet

124

pr vector de tamano [ipnodp] que almacena el campo de presion

fte arreglo de [ipnodv×ncm] que permite agregar una funcion fuente en el

campo de velocidad

djcp vector de tamano [ipelep] que almacena el determinante de la matriz jaco-

biana cada elemento de la mp

mjcip arreglo de [ipelep×2×2] que almacena la matriz jacobiana inversa de cada

elemento de la mp

djcv vector de tamano [ipelev] que almacena el determinante de la matriz jaco-

biana cada elemento de la mv

mjciv arreglo de [ipelev×2×2] que almacena la matriz jacobiana inversa de cada

elemento de la mv

u arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena el campo de velocidad

ui arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena condiciones iniciales o anteriores de

velocidad

uitmp arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena temporalmente las condiciones ini-

ciales del primer subproblema

up arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena la solucion del segundo subproblema

upn arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena temporalmente la solucion anterior

en cada ciclo del segundo subproblema

us arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena la solucion del sistema lineal

de ecuaciones del problema elıptico de velocidad

r arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena residual del sistema lineal de

ecuaciones del problema elıptico

p arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena la direccion de descenso en la

solucion del sistema lineal de ecuaciones del problema elıptico

w arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena la direccion de descenso co-

rregida en la solucion del sistema lineal de ecuaciones del problema elıptico

125

f arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena el lado derecho del sistema

lineal de ecuaciones del problema elıptico

usp vector de tamano [ipnod] que almacena la solucion del sistema lineal de

ecuaciones del problema de Poissson

rp vector de tamano [ipnod] que almacena el residual del sistema lineal de

ecuaciones del problema de Poissson

pp vector de tamano [ipnod] que almacena la direccion de descenso en la solu-

cion del sistema lineal de ecuaciones del problema de Poissson

wp vector de tamano [ipnod] que almacena la direccion de descenso corregida

en la solucion del sistema lineal de ecuaciones del problema de Poissson

fp vector de tamano [ipnod] que almacena el lado derecho del sistema lineal

de ecuaciones del problema de Poissson

tet vector de tamano [ipnodv] que almacena la solucion del sistema lineal de

ecuaciones del problema elıptico de temperatura

sdean vector de tamano [ipnodp] que almacena la suma de los determinantes de

cada elemento que rodean a cada nodo de presion

sdeanv vector de tamano [ipnodp] que almacena la suma de los determinantes de

cada elemento que rodean a cada nodo de velocidad

ascke vector de tamano [ntban] que almacena los elementos diferentes de cero

de la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones del problema

elıptico de velocidad

iascke vector de tamano [ntban] que contiene informacion de los ındices de los

elementos diferentes de ceros guardados en el vector ascke

msckfe arreglo de [ipnodv-nvfv×ncm] que almacena el producto de los elementos

diferentes de cero de la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecua-

ciones del problema elıptico de velocidad por un vector

126

asckp vector de tamano [ntban] que almacena los elementos diferentes de cero


Poisson

iasckp vector de tamano [ntban] que contiene informacion de los ındices de los

elementos diferentes de ceros guardados en el vector asckp

msckfp vector de tamano [ipnodp] que almacena el producto de los elementos dife-

rentes de cero de la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones

del problema de Poisson por un vector

ascketm vector de tamano [ntban] que almacena los elementos diferentes de cero


elıptico de temperatura

iascketm vector de tamano [ntban] que contiene informacion de los ındices de los

elementos diferentes de ceros guardados en el vector ascketm

msckfetm arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena el producto de los elementos dife-

rentes de cero de la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones

del problema elıptico de temperatura por un vector

indi arreglo de [ntbansd×ncm] que almacena los ındices de los elementos dife-

rentes de ceros fuera de la diagonal de la matriz de coeficiente de los diversos

problemas

aindi vector de tamano [ntbansd] que almacena los valores de los elementos dife-

rentes de ceros fuera de la diagonal de la matriz de coeficiente de los diversos

problemas

wv arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena la integral del termino de transporte

cv arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena la integral del termino de conveccion

gwci vector de tamano [ipnodp] que almacena la integral de una funcion escalar

en el dominio de presion con una funcion base

127

fga arreglo temporal de [ipnodv×ncm] que almacena la integral de una funcion

vectorial con una funcion base, la integral del gradiente de una funcion

vectorial con su funcion base, la integral de la presion con la divergencia de

la funcion base

wd vector de tamano [ipnodp] que calcula la integral de la divergencia de una

funcion vectorial con una funcion base

phi vector de tamano [ipnodp] que obtiene la solucion del problema de Poisson

rd vector de tamano [ipnodp] que almacena la divergencia de la velocidad

rdt vector de tamano [ipnodp] que obtiene la nueva divergencia de la velocidad

gc vector de tamano [ipnodp] que calcula el residual en el problema de Stokes

degenerado

wc vector de tamano [ipnodp] que calcula el vector de direccion de busqueda

en el problema de Stokes degenerado

rhw arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena la solucion del problemad de onda

A.2.3. Variables auxiliares

amjciv arreglo de [2×2] que obtiene la matriz inverza de cada elemento

ampgf arreglo de [2×2] que obtiene la matriz de los productos de las componentes

de los gradientes de las funciones base

vag vector de tamano [ipnodp] que obtiene la presion

fteg arreglo de [ipnodv×ncm] que obtiene una funcion vectorial en el dominio

de velocidad, como pueden ser la funcion fuente en el problema de Stokes

degenerado o la funcion sobre la que se aplica el problema de onda

ftev arreglo de [ipnodv×ncm] que almacena el campo de velocidad durante el

problema de onda

gwc vector de tamano [ipnodp] que obtiene una funcion escalar en el dominio

de presion

128

xg vector temporal de tamano [ipnodp] y tamano [ipnodv] que obtiene las

coordenadas axial de la mp y la mv, respectivamente

yg vector temporal de tamano [ipnodp] y tamano [ipnodv] que obtiene las

coordenadas transvarsal de la mp y la mv, respectivamente

nveg arreglo temporal de [ipelep×3] y [ipelev×3] que obtiene los vertices de cada

elemento de la mp y la mv, respectivamente

djcg vector temporal de tamano [ipelep] y tamano [ipelev] que calcula el de-

terminante de la matriz jacobiana de cada elemento de la mp y la mv,

respectivamente

mjcig arreglo temporal de [ipelep×2×2] y [ipelev×2×2] que calcula la matriz ja-

cobiana inversa de cada elemento de la mp y la mv, respectivamente

gcx arreglo auxiliar de [1×2] que obtiene los gradientes de las funciones base

gcw vector auxiliar de tamano [2] que transforma gcz a vector

vx vector auxiliar de tamano [2] que obtiene∑3

λ=1 g1(ipelev, 1)λ[∇ψλ] para un

elemento dado de la malla de velocidad

vy vector auxiliar de tamano [2] que obtiene∑3

λ=1 g1(ipelev, 2)λ[∇ψλ] para un

elemento dado de la malla de velocidad

gczn arreglo auxiliar de [2×1] que obtiene el el producto [amjciv][gcx]t

gcz arreglo auxiliar de [1×2] que obtiene el el producto [gcx][amjciv]

pterm vector de tamano [4] que calcula el efecto de la presion sobre cada uno de

los 4 elementos de velocidad que componen a un elemento de presion dado

divs vector de tamano [4] que calcula la divergencia de velocidad sobre cada uno

de los 4 elementos de velocidad que componen a un elemento de presion

dado

uterm arreglo auxiliar de [2×2] que obtiene la sumatoria del producto de las com-

ponentes sobre la cual se aplica el problema de onda con el gradiente de las

funciones base y la matriz jacobiana inverza, en el calculo de los terminos

convectivos y de transporte

129

vterm arreglo auxiliar de [2×1] que obtiene las componentes de velocidad en el

calculo de los terminos convectivos y de transporte

vuterm arreglo auxiliar de [2×1] que obtiene el producto de uterm por vterm en el

calculo de los terminos convectivos y de transporte

agbref arreglo auxiliar de [1×2] que obtiene el producto de los gradientes de las

funciones base con la matriz inversa jacobiana en el calculo del termino de

transporte

mei arreglo auxiliar de [3×2] que almacena las tres aristas (dos vertices por

arista) de cada elemento de la mp

l1 obtiene el primer nodo global para un elemento dado de la mp o mv

l2 obtiene el segundo nodo global para un elemento dado de la mp o mv

l3 obtiene el tercer nodo global para un elemento dado de la mp o mv

x12 obtiene x(l1)-x(l2) o xv(l1)-xv(l2) para un elemento dado en la mp y mv,

respectivamente

x32 obtiene x(l3)-x(l2) o xv(l3)-xv(l2) para un elemento dado en la mp y mv,

respectivamente

y12 obtiene y(l1)-y(l2) o yv(l1)-yv(l2) para un elemento dado en la mp y mv,

respectivamente

y32 obtiene y(l3)-y(l2) o yv(l3)-yv(l2) para un elemento dado en la mp y mv,

respectivamente

A.2.4. Cantidades simbolicas

nomae1 ubicacion y nombre del archivo que contiene la informacion de la malla de

presion

nomae2 ubicacion y nombre del archivo que contiene la informacion sobre los nodos

donde sale el fluido


con temperatura conocida

130


con flujo de calor

Contenido del archivo mel1.dat

mpf arreglo de [3×3] que contiene las integrales de los productos de las funciones

base por el metodo de simpsom

mpgf arreglo de [9×2×2] que contiene las matrices de los productos de las com-

ponentes de los gradientes de las funciones base

gbref arreglo de [3×2] que contiene los gradientes de las funciones base

refbasis arreglo de [3×3] que contiene el valor de las funciones base evaluado en los

puntos medios del triangulo de referencia

A.3. Subrutinas del programa

1. Subrutina dat: Permite accesar los datos del programa.

2. Subrutina prep: Realiza todo el preprocesamiento de la corrida, estos calculos se

realizan solo una vez al inicio de la corrida y no cambian con el tiempo.

3. Subrutina coffuf: Define la frontera esencial y la funcion fuente.

4. Subrutina capcoi: Define el campo de presion y condiciones iniciales de velocidad.

5. Subrutina stokdeg: Resuelve el problema de Stokes degenerado.

6. Subrutina pronda: Resuelve el problema de adveccion.

7. Subrutina peliptm: Resuelve el problema elıptico de temperatura.

8. Subrutina pelip: Resuelve el problema elıptico de velocidad.

9. Subrutina postp: Realiza el posprocesamiento de datos.

10. Subrutina erv: Calcula el error relativo de velocidad entre dos pasos de tiempo con-

secutivos.

131

11. Subrutina ldcmp: Lee los datos de la malla de presion y genera diversos arreglos para

esta malla.

12. Subrutine cmvel: Genera los arreglos para la malla de velocidad.

13. Subrutina demijc: Calcula los determinantes y la matriz inverza de la matriz jacobiana

de cada elemento.

14. Subrutina csdrcn: Suma de los determinantes de los elementos que rodean a cada

nodo en la mp.

15. Subrutina csdrcnv: Suma de los determinantes de los elementos que rodean a cada

nodo en la mv.

16. Subrutina enmpe: Ensambla la matriz del problema elıptico.

17. Subrutina cmtemp: Define la malla de temperatura y sus condiciones de frontera y

velocidad.

18. Subrutina cvf: Contribucion al vector fuente por una funcion. Calcula la integral

del producto de una funcion de dos componentes con las funciones base en la mv,

aplicando el metodo de Simpsons.

19. Subrutina cvftra: Contribucion al vector fuente por una funcion. Calcula la integral

del producto de una funcion de dos componentes con las funciones base en la mv,

aplicando el metodo del trapecio.

20. Subrutina cvfgra: Contribucion al vector fuente por gradientes de frontera esencial.

Calcula la integral del producto del gradiente de una funcion con los gradientes de las

funciones base en la mv.

21. Subrutina amdsc: Almacena una matriz dispersa.

22. Subrutina gracon: Soluciona un sistema lineal con gradiente conjugado.

132

23. Subrutina graconel: Soluciona el sistema lineal con gradiente conjugado del problema

elıptico de velocidad.

24. Subrutina graconeltm: Soluciona el sistema lineal con gradiente conjugado del pro-

blema elıptico de temperatura.

25. Subrutina graconpo: Soluciona el sistema lineal con gradiente conjugado del problema

de Poisson.

26. Subrutina mmdaauv: Multiplica una matriz dispersa almacenada en un arreglo uni-

dimensional con un vector en graconel.

27. Subrutina mmdaauvtm: Multiplica una matriz dispersa almacenada en un arreglo

unidimensional con un vector en graconeltm.

28. Subrutina mmdaauvp: Multiplica una matriz dispersa almacenada en un arreglo uni-

dimensional con un vector en graconpo.

29. Subrutina grava: Calcula la integral del gradiente de una variable y su contribucion

al vector fuente.

30. Subrutina divva: Calcula la integral de la divergencia de una variable.

31. Subrutina enmpp: Ensamble de la matriz del problema de Poisson.

32. Subrutina cipffb: Calcula la integral del producto de una funcion de una componente

con las funciones base en la mp, aplicando metodo de Simsons.

33. Subrutina cipffbtra: Calcula la integral del producto de una funcion de una compo-

nente con las funciones base en la mp, aplicando metodo del trapecio.

34. Subrutina ctcv: Calcula el termino de conveccion por el metodo del trapecio.

35. Subrutina ctte: Calcula el termino de transporte por el metodo del trapecio.

36. Subrutina ctcvsi: Calcula el termino de conveccion por el metodo de simpsons.

133

37. Subrutina cttesi: Calcula el termino de transporte por el metodo de simpsons.

38. Subrutina cidcfde: Calculo de los ındices diferentes de cero fuera de la diagonal para

el problema elıptico de velocidad.

39. Subrutina cidcfdp: Calculo de los ındices diferentes de cero fuera de la diagonal para

el problema de Poisson.

40. Subrutina cidcfdetm: Calculo de los ındices diferentes de cero fuera de la diagonal

para el problema elıptico de temperatura.

41. Subrutina enmpetm: Ensamble de la matriz del problema elıptico de temperatura.

42. Subrutina lisnsa: Lee informacion sobre los nodos donde sale el fluido.

43. Subrutina guar: Guarda y transfiere archivos de velocidad y temperatura con un

nombre con numero consecutivo hasta un directorio especificado.

A.4. Uso del programa

El archivo damp.mesh, contiene la informacion de la malla de presion. La unica parte del

programa que debera modificarse dependiendo de la malla que se utilize es la subrutina

froesc, en el apartado de fronteras esenciales, en donde se definen los valores de los nodos

de velocidad conocidos.

para compilar el programa se tiene que escribir desde la lınea de comandos lo siguiente:

fort -o prog nscc.f90 dat.f90 prep.f90 form.f90 res.f90 pelip.f90 pronda.f90 stokdeg.f90

postp.f90

donde prog es el nombre que se le dara al ejecutable que se genera durante la compilacion

y el cual puede ser cualquier otro nombre con o sin extension.

134

Apendice B

Elemento finito triangular

B.1. Elementos triangulares

El triangulo es el poligono bidimensional mas simple en el sentido de que tiene el menor

numero de lados y vertices, lo cual hace facil elegir nodos lo suficientemente exactos para

definir las funciones de forma, las cuales son polinomios completos de algun grado especifi-

co.

El estudio de elementos finitos triangulares se comienza considerando el caso de triangulos

arbitrarios generalizados Ωe, como los que se tendrıan en cualquier malla de elemento finito

y un triangulo de referencia isoceles recto, con lo que el mapeo de un triangulo a otro y la

formulacion con elemento finito se simplifican considerablemente. Una simple transforma-

cion lineal mapea el triangulo generalizado Ωe en el triangulo de referencia isoceles-recto

Ωr, como se muestra en la figura B.1. Las lıneas coordenadas generalizadas 2-1 y 2-3 del

elemento Ωe corresponden a las coordenadas del elemento de referencia ξ = 0 y η = 0, es

decir, la transformacion lineal describe el mapa desde un sistema generalizado a un sistema

de referencia, ya que el mapa es lineal e inversible, el mapa inverso desde Ωr a Ωe existe y es

tambien lineal. Esta linealidad implica tambien que una base polinomial en el plano x1, x2

sera transformado a una base polinomial en el plano ξ y η y viceversa. La transformacion

lineal desde Ωe a Ωr puede derivarse directamente haciendo que los lados generalizados

135

~X3

~X1

~X2

Ωe

(x1, x2)

x1

x2

Ωr

(ξ, η)

1

2 3

(0,0) (1,0)

(0,1)

ξ

ηs

s

Figura B.1: Mapa lineal desde un elemento triangular Ωe a un elemento maestro Ωm y mapa

inverso.

mapeen los lados rectos de Ωr. Las tres funciones de forma lineal para el elemento de refe-

rencia isoceles recto Ωr puede escribirse por inspeccion, ya que cada uno debe tener el valor

unitario en el correspondiente vertice y cero en el lado opuesto a ese vertice, obteniendose:

ψ1(ξ, η) = η ψ2(ξ, η) = 1− ξ − η ψ3(ξ, η) = ξ. (B.1)

B.2. Integracion de elemento finito

El calculo de las entradas locales de las matrices y vectores definidos por las ecuaciones

3.56 a 3.57, se realiza, mediante integracion de elemento finito. Un termino muy utilizado

en estos calculos para cada uno de los elementos finitos en que se divide el dominio es el

determinante de la matriz jacobiana, el cual esta dado por:

Je = x1(3, 2)x2(1, 2)− x1(1, 2)x2(3, 2), (B.2)

ası como la inverza de la matriz jacobiana:

[Je−1] =1Je

x2(1, 2) −x1(1, 2)

−x2(3, 2) x1(3, 2)

, (B.3)

136

donde:

x1(1, 2) = x1(1)− x1(2), (B.4)

x1(3, 2) = x1(3)− x1(2), (B.5)

x2(1, 2) = x2(1)− x2(2), (B.6)

x2(3, 2) = x2(3)− x2(2). (B.7)

La matriz definida por las entradas locales de la ecuacion 3.56 se calculan como:

keij = aJe

∫ψiψjd~ξ +

νJe

2[∇ψi][Je−1][Je−1]t[∇ψj ]t, (B.8)

donde

∫ψiψjd~ξ =

124

2 1 1

1 2 1

1 1 2

, (B.9)

∇ψ =

0 1

−1 −1

1 0

. (B.10)

Suponiendo ∂u/∂n = 0, el vector definido por las entradas locales de la ecuacion 3.57, se

calcula como:

fei =

J

24

2fg(e,1) + fg(e,2) + fg(e,3)

fg(e,1) + 2fg(e,2) + fg(e,3)

fg(e,1) + fg(e,2) + 2fg(e,3)

. (B.11)

137

Apendice C

Publicaciones derivadas de esta

tesis

A continuacion se incluyen copias de las publicaciones en revistas de arbitraje internacional

que se han obtenido de esta tesis.

G. Ovando, G. Huelsz, E. Ramos and S. Cuevas. Effect of a magnetic field on the linear

stability of a thermoacoustic oscillation. J. Non-Equilib. Thermodyn. 2005. Vol. 30.

pp. 137-149.

G. Ovando, H. Juarez, G. Huelsz, E. and Ramos. Vortex formation in a cavity with

oscillating walls. Enviado a Physics of Fluids para su publicacon.

138

universidad nacional autÓnoma de mÉxicosgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/hect/tesis/tesis... ·...

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