universidad estatal a distancia · y graduado de la universidad nacional, en colaboración de las...

3

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

COORDINACIÓN ACADÉMICA

Antología de Prácticas de Bachillerato

Niveles décimo y undécimo

Año: 2018

4

Información administrativa

El CONED agradece al Msc. Jorge Alonso Díaz Porras oriundo de Heredia

y graduado de la Universidad Nacional, en colaboración de las

respuestas a la Lic Annia María Marín Albarado oriundo de Moravia y

graduada de la Universidad de Costa Rica por la elección y presentación

de los temas del presente material, así como el aporte a la educación

secundaria a distancia.

Las denominaciones empleadas en esta publicación la forma en que

aparecen presentados los datos, no implican de parte del CONED y la

UNED juicio alguno sobre la condición jurídica de personas o países,

territorios, ciudades o de autoridades

Estos ejercicios son propiedad del Ministerio de Educación

Pública, su reproducción parcial o total para fines comerciales está prohibida por la ley.

MATERIAL SIN FINES COMERCIALES PARA USO EXCLUSIVO DE

ESTUDIANTES DEL COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A

DISTANCIA

CONED

Dirección General: Clara Vila Santo Domingo

Coordinación Académica: Paola Mesén

Coordinador de área: Jorge Díaz Porras

Teléfonos 22-58-22-09 / 22-55-30-42 / 22-21-29-95

Página Web: http//www.coned.ac.cr

© 2018, CONED.

5

Página Web: http//www.coned.ac.cr

Tabla de contenido

10 nivel

11 nivel

Unidad I Relaciones y Algebra Página

Función Inversa y raíz Cuadrada 158 Función Exponencial y Logarítmica 167

Modelos de funciones 176 Unidad II Estadística y Probabilidad

Estadística Y Probabilidad 204

Unidad III Geometría Geometría 225

Resumen Respuestas

253 274

Unidad I Geometría Página Geometría Analítica 7

Polígonos regulares e irregulares 36 Visualización Espacial 53

Unidad II Relaciones y Álgebra Conjuntos 67

Funciones 72 Unidad III Estadística y Probabilidad

Estadística y Probabilidad 114

7

1) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P , cuya medida del

radio es 4 :

De acuerdo con la información anterior, la ecuación de esa circunferencia corresponde a:

A) 22 3 4x y

B) 22 3 4x y

C) 22 3 16x y

D) 22 3 16x y

2) Si el centro de la circunferencia es el punto 5, 1 y la medida de su diámetro es 6 , entonces la

ecuación de esa circunferencia corresponde a:

A) 2 2

5 1 9x y

B) 2 2

5 1 9x y

C) 2 2

1 5 36x y

D) 2 2

1 5 36x y

Tema 1 Geometría Analítica de 10

8

3) La representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por 2 2

2 3 4x y

corresponde a:

A)

B)

C)

D)

9

4) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , cuya medida del

radio es 1 :

De acuerdo con la información anterior, la ecuación de una recta tangente a C es:

A) 0y

B) 1y

C) 2y

D) 3y

5) Considere la siguiente representación gráfica, en la cual el "eje x" es tangente en A a la circunferencia

C de centro O :

De acuerdo con la información anterior, si 17OB , entonces, ¿cuál es la medida del radio de esa

circunferencia?

R/

10

6) Considere las siguientes proposiciones referentes a circunferencia dada por 2 2 16x y :

I. La recta dada por 2x y es exterior a la circunferencia C .

II. La recta dada por 4y x es secante a la circunferencia C .

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , para responder los ítems 7

y 8:

7) Si 'C es una traslación de C , de modo que ambos ejes de coordenadas sean tangentes a 'C y que su

centro se ubique en el III cuadrante, entonces el centro de 'C corresponde al punto:

A) 4, 2

B) 4, 3

C) 3, 2

D) 3, 3

11

8) Si ''C se obtiene al trasladar la circunferencia C , tres unidades a la derecha (horizontalmente) y dos

unidades hacia arriba (verticalmente), entonces la ecuación ''C corresponde a:

A) 22 2 3x y

B) 22 2 3x y

C) 22 2 9x y

D) 22 2 9x y

9) ¿Cuál de las siguientes opciones representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 3, 5C y

su radio es 7 ?

A) 2 2 15 0x y

B) 2 2 83 0x y

C) 2 2 6 10 15 0x y x y

D) 2 2 6 10 15 0x y x y

10) ¿Cuál de las siguientes opciones representa la ecuación ordinaria de la circunferencia para la ecuación

2 2 8 9 74 0x y x y ?

A) 2

2 9 4414

2 4x y

B) 2

2 9 4414

2 4x y

C) 2

2 9 4414

2 4x y

D) 2

2 9 4414

2 4x y

12

11) En México se encuentra un reloj floral, como se muestra en la figura, que posee una carátula floral

circular de 10 cm de diámetro. A este reloj lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. ¿Cuál es la

ecuación ordinaria de la circunferencia si su centro está en el punto 6,2A ?

A) 2 2 15 0x y

B) 2 2 115 0x y

C) 2 2 12 4 15 0x y x y

D) 2 2 12 4 15 0x y x y

12) ¿Cuál es la ecuación de una recta tangente a la circunferencia dada por 2 2 2 3 18 0x y x y si la

recta pasa por el punto de tangencia 2,3P ?

A) 2 1y x

B) 3

62

y x

C) 2 13

3 3y x

D) 2 31

9 9y x

13) Una ecuación de la recta paralela a la recta dada por la ecuación 3 5 2y x es:

A) 3

52

y x

B) 2

53

y x

C) 3

52

y x

D) 2

53

y x

13

14) De acuerdo con los datos de la gráfica, si 1 2l l , entonces una ecuación que determina a la recta

2l es:

A) 2 4y x

B) 1

12

y x

C) 2 4y x

D) 1

22

y x

15) La nueva ecuación de la circunferencia dada por 2 2 6 4 3 0x y x y , después de una traslación

que mueve el punto 3, 2P al origen del sistema de coordenadas corresponde a:

A) 2 2 16x y

B) 2 2 16x y

C) 2 2 6 4 24 0x y x y

d) 2 2 12 8 20 0x y x y

16) Si una circunferencia tiene centro 3,0 y la medida de su diámetro es 12 , entonces la ecuación de esa

circunferencia es:

A) 2 23 36x y

B) 2 23 36x y

C) 2 23 144x y

D) 2 23 144x y

14

17) Considere la siguiente representación gráfica de fa circunferencia C de centro P :

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la ecuación de esa circunferencia?

A) 2 2 7x y

B) 2 2 49x y

C) 2 2

7 7 7x y

D) 2 2

7 7 49x y

18) Al trasladar el centro de la circunferencia dada por 2 2 36 0x y al punto 2,4P la ecuación

ordinaria de la circunferencia que se obtiene es:

A) 2 2

2 4 36x y

B) 2 2

2 4 36x y

C) 2 2

4 16 36x y

D) 2 2

4 16 36x y

15

19) ¿Cuál es la representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por 2 2

1 3 9x y ?

A)

B)

C)

D)

16

20) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P :

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La recta dada por 3y es exterior a la circunferencia C .

II. La recta dada por y x es tangente a la circunferencia C .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

21) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , en la cual el "eje x"

es tangente en P a la circunferencia C :

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de OA ?

R/

17

22) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P :


I. La recta dada por y x es secante a la circunferencia C .

II. La recta dada por 3x es tangente a la circunferencia C .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

23) Si la circunferencia C , dada por 2 2

3 2 9x y , se traslada seis unidades hacia la derecha

(horizontalmente) y cinco unidades hacia arriba (verticalmente), entonces se obtiene otra circunferencia 'C

cuyo centro corresponde al punto:

A) 1,3

B) 3,1

C) 3,3

D) 9,9

24) Considere la ecuación de una circunferencia dada por 2 2

– 4 2 16x y . ¿Cuáles son las

coordenadas del centro de dicha circunferencia?

A) 4, 2

B) 4,2

C) 4, 2

D) 4,2

18

25) Considere la siguiente información:

C es una circunferencia de centro 11, 8 y la medida de su radio es 5 . 'C es la circunferencia que se

obtiene al trasladar la circunferencia C , cinco unidades a la izquierda (horizontalmente) y cinco unidades

hacia arriba (verticalmente).


I. 'C interseca en dos puntos el “eje x".

II. 'C interseca en un único punto el “eje y".


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 26 y 27:

El radar Würzburg fue creado en Alemania durante la Segunda Guerra Mundial, para poder detectar

embarcaciones que estuvieran a una distancia menor o igual a 70 km a su alrededor (suponga que

este radar, en su alcance máximo forma una circunferencia y que está centrado en el origen de un

sistema de coordenadas).

http://www.vrps.org/wurzburg.html

26) Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. El diámetro de la circunferencia máxima que describe el radar es 140 km .

II. Una embarcación ubicada en cualquier punto que esté a 4900 km de distancia del radar, es

detectada por él.

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

http://www.vrps.org/wurzburg.html

19

27) Considere las siguientes proposiciones:

I. El radar detecta a una embarcación que se encuentra a 50 km norte y 50 km oeste de él.

II. El radar detecta a una embarcación que se encuentra a 40 km norte y 31 km oeste de él.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

28) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 22 – 2 4x y :

I. 1y

II. 5y

De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta tangente a la circunferencia?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

29) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 2 2 4x y :

I. 3y

II. y x

De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta exterior a la circunferencia?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

20

30) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 2 2 9x y :

I. 1y

II. 1y x

De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta secante a la circunferencia?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

31) Considere la circunferencia dada por 2 2

2 – 4 81x y . Si se traslada la circunferencia,

desplazando su centro 3 unidades a la izquierda (paralelo al eje “ x ” o de las abscisas), entonces se obtiene

una circunferencia cuya ecuación corresponde a:

A) 2 2

1 – 4 81x y

B) 2 2

– 5 – 4 81x y

C) 2 2

–1 – 4 81x y

D) 2 2

5 – 4 81x y

32) Considere la circunferencia dada por 22 1 9x y , y las siguientes rectas determinadas por:

I. 2y

II. 4y

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

21

33) Considere gráfica adjunta, referida a una circunferencia cuyo centro es el punto –1,2P , contiene el

punto 0,0A y la longitud de su radio es 5 . Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5

unidades a la izquierda (paralelo al eje de las

abscisas) y 3 unidades hacia abajo (paralelo al eje de

las ordenadas), entonces se obtiene una

circunferencia cuya ecuación corresponde a:

A) 2 2

6 1 5x y

B) 2 2

– 6 – 5 5x y

C) 2 2

– 5 1 5x y

D) 2 2

– 6 –1 5x y


I. 5y

II. 2y x

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Considere la siguiente información para responder las preguntas 35, 36 y 37:

Sea la ecuación de una circunferencia dada por 2

1 3 25x y .

35) La longitud del radio de la circunferencia anterior, corresponde a:

A) 1

B) 3

C) 5

D) 25

22

36) Las coordenadas del centro de dicha circunferencia, corresponde a:

A) 1, 3

B) 3, 1

C) 3,1

D) 1,3


I. 3,0P es un punto interior de la circunferencia.

II. 0,3R es un punto exterior de la circunferencia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. 0y

II. 1y x

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

23

39) La ecuación de una circunferencia está dada por 2 2

2 3 21x y . Si se traslada la

circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje " x " o al de las abscisas),

entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a:

A) 2 2

1 3 21x y

B) 2 2

5 3 21x y

C) 2 2

2 6 21x y

D) 2 2

2 6 21x y

40) Considere la gráfica adjunta referida a una circunferencia cuyo centro es el punto 1,3P , contiene el

punto 0,0A y la longitud de su radio es 10 . De acuerdo con la información anterior, si se traslada la

circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la

izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades

hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces

se obtiene una circunferencia cuya ecuación

corresponde a:

A) 2 2

6 1 10x y

B) 2 2

1 6 10x y

C) 2 2

6 1 10x y

D)

2 21 6 10x y

41) ¿Cuál es la medida del radio de una circunferencia cuyo centro es el punto 2, 5 y uno de sus

puntos es 1, 9 ?

A) 5

B) 17

C) 197

D) 205

24

Considere una circunferencia dada por la ecuación 2 2 16x y , para responder las preguntas 42 y 43:


I. El centro de la circunferencia es 0,0 .

II. La medida del radio de la circunferencia es 16 .

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

43) Considere las siguientes coordenadas de puntos del plano cartesiano:

I. 2,3

II. 1, 5

¿Cuáles de ellos corresponden a puntos exteriores a la circunferencia?

A) Ambos.

B) Ninguno.

C) Solo el I.

D) Solo el II.


I. Sí una circunferencia está dada por la ecuación 2 29x y , entonces la recta 2y es secante

a dicha circunferencia.

II. Si una circunferencia está dada por la ecuación 2 2

4 2 25x y , entonces la recta 3y

es tangente a dicha circunferencia.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II

25

45) La AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A . Si 3,5A y 2, 3O , entonces,

¿cuál es la ecuación de la recta AB ?

A) 43

8

xy

B) 22

8

xy

C) 26

8

xy

D) 37

8

xy

46) Considere la gráfica adjunta. De acuerdo con su información, una recta perpendicular a OB y que

contiene el centro de la circunferencia corresponde a:

O es el centro de la circunferencia.

A) 2 2

3

xy

B) 2 10

3

xy

C) 3 2

2

xy

D) 3 10

2

xy

47) Considere dos rectas m y n , cuyas ecuaciones son respectivamente 2 1

3

xy

;

4 5

6

xy

:

I. m y n son rectas paralelas.

II. m y n son rectas perpendiculares.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

26

48) Si 2 2

1 5 36x y es la ecuación de una circunferencia, y se traslada su centro al punto

5, 1P entonces, la ecuación de la circunferencia que resulta de la traslación es:

A) 2 2

5 1 6x y

B) 2 2

5 1 6x y

C) 2 2

5 1 36x y

D) 2 2

5 1 36x y

49) Considere la ecuación de una circunferencia dada por 2 2

3 1 25x y . ¿Cuáles son las

coordenadas del centro de dicha circunferencia?

A) 3, 1

B) 1, 3

C) 3,1

D) 3, 1

50) Considere la circunferencia dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 9, y las siguientes rectas determinadas por:

I. 5y

II. y x

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la I

27

Con base en la siguiente información conteste las preguntas 51 y 52:

Una circunferencia está dada por 2 216x y


I. El radio de la circunferencia es 4 .

II. 0,0 es el centro de la circunferencia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. 2,3P es un punto que se ubica en el interior de la circunferencia.

II. 1,4R es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. 2y

II. 4y x

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

28

54) Considere la circunferencia dada por 2 2

2 4 25x y . Si se traslada la circunferencia,

desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje "x" o de las abscisas), entonces se obtiene

una circunferencia cuya ecuación corresponde a:

A) 2 2

1 4 25x y

B) 2 2

5 4 25x y

C) 2 2

1 4 25x y

D) 2 2

5 4 25x y

55) Considere la gráfica adjunta, referida a una circunferencia cuyo centro es el punto 1,2P , contiene el

punto 0,0A y la longitud de su radio es 5 . De acuerdo con la información anterior, si se traslada la

circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades

hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación

corresponde a:

A) 2 2

4 5 5x y

B) 2 2

6 5 5x y

C) 2 2

4 5 5x y

D) 2 2

6 5 5x y

56) Sea C una circunferencia con radio 8 y su centro en 2,5 . La ecuación de la circunferencia

corresponde a:

A) 2 2

2 5 64x y

B) 2 2

2 5 64x y

C) 2 2

2 5 64x y

D) 2 2

2 5 64x y

29

57) Considere la siguiente representación gráfica y las proposiciones referidas a ella, donde el punto

2,1R pertenece a la circunferencia de centro 0,0P .

I. La recta dada por 2y x es tangente a la circunferencia de centro P .

II. La recta dada por 3y es secante a la circunferencia de centro P .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

58) Sea C una circunferencia con centro en 4, 3 y que contiene el punto 1,0 . La ecuación de la

circunferencia corresponde a:

A) 2 2

4 3 18x y

B) 2 2

4 3 18x y

C) 2 2

4 3 3 2x y

D)

2 24 3 3 2x y

30

59) Considere el contexto Wi-Fi gratis:

Wi-Fi gratis

En cierta municipalidad se ha decidido instalar internet para el acceso de la población en sus

dispositivos. Para ello han colocado un router en el edificio municipal, que tiene un alcance de 300

metros a la redonda. Para exponerlo a la población lo han representado en el plano cartesiano donde

el punto A representa la municipalidad.

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que representa el

alcance del router en el plano cartesiano?

A) 2 2

100 300 90 000x y

B) 2 2

300 100 90 000x y

C) 2 2

100 300 90 000x y

D) 2 2

300 100 90 000x y

60) Considere la circunferencia 2 2 4x y y las siguientes rectas determinadas por:

I. 3y

II. 2y x

De ellas, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

31

61) Considere la circunferencia 2 2 25x y y las siguientes rectas determinadas por:

I. 5y

II. 7y

De ellas, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

62) Sea C una circunferencia cuya ecuación es 2 2

1 2 9x y ubicada en un plano cartesiano, si

se traslada su centro dos unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia abajo, entonces, la nueva

ecuación de la circunferencia corresponde a:

A) 2 2

1 3 9x y

B) 2 2

1 3 9x y

C) 2 2

1 3 9x y

D) 2 2

1 3 9x y

63) Si a una circunferencia con centro en el origen y radio 5 se le traslada su centro al punto 0,2

entonces, su ecuación corresponde a:

A) 22 2 25x y

B) 22 2 25x y

C) 22 2 100x y

D) 22 2 100x y

32

Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 64:

Los sobrinos

Ana le regala a cada uno de sus sobrinos Daniel y Carlos un radio comunicador con la finalidad de tener una

mejor comunicación con ellos. Ana y sus sobrinos se encuentran ubicados en diferentes lugares, según se

muestra en el siguiente diagrama, de manera que ella logra comunicarse tanto con Daniel como con Carlos.

Considérese que 3,2D representa la posición de Daniel, 2, 2C la de Carlos y que Ana se encuentra

en el origen del sistema de coordenadas.

64) De acuerdo al contexto anterior, ¿cuál es una posible ecuación que representa el alcance del

comunicador de Ana con relación a sus sobrinos?

A) 2 2 1x y

B) 2 2 9x y

C) 𝑥2 + 𝑦2 = 10

D) 2 2 16x y

65) Sea una circunferencia cuyo centro P es el punto 1, 2 y cuyo radio es 8 , entonces, ¿cuál es una

ecuación de la circunferencia que representa la situación planteada?

A) 2 2

1 2 16x y

B) 2 2

1 2 16x y

C) 2 2

1 2 64x y

D) 2 2

1 2 64x y

33

Considere la información de la siguiente representación gráfica, que corresponde a una circunferencia en un

sistema de coordenadas, para responder los ítems 66 y 67:

66) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

A) 22 4 9x y

B) 2 24 9x y

C) 2 23 16x y

D) 22 3 16x y


I. 3,2 es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.

II. 4,3 es un punto que pertenece a la circunferencia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

34

68) Considere el siguiente contexto:

Conexión inalámbrica

En el parque de una comunidad se reciben dos señales inalámbricas de conexión a internet cuyo

alcance es circular: la de la farmacia F y la del liceo L . Si se ubica cada emisor de las señales

inalámbricas en un mismo plano cartesiano, las ecuaciones que corresponden a las circunferencias de

máximo alcance son:

2 2

: 10 1 20F x y

2 2

: 2 4 25L x y

De acuerdo con el contexto anterior, si una persona utiliza su teléfono celular desde una banca del parque

ubicada en las coordenadas 7,3 , entonces, ¿cuál o cuáles señales puede percibir su celular?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la del liceo.

D) Solo la de la farmacia.

Considere la representación gráfica adjunta, que corresponde a una circunferencia tangente al "eje x" en el

punto 0,0 , para responder los ítems 69 y 70:


I. La recta dada por 10y , es tangente a la circunferencia.

II. La recta dada por 2y x , es secante a la circunferencia.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

70) ¿Cuál es la medida en grados del ∡𝑃𝑀𝑁?

R/

35

71) En una circunferencia, los extremos de un radio corresponden a los puntos 1,5O y 2,3P , donde

O es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en

el punto P?

A) 2 1y x

B) 1

22

y x

C) 2 7y x

D) 1

42

y x

72) Si en una circunferencia los extremos de un diámetro corresponden a los puntos 2,7 y 6,5 ,

entonces el centro de esa circunferencia corresponde al punto:

A) 4,1

B) 4,6

C) 4, 2

D) 2,6

73) Si a la circunferencia dada por 2 2 16x y se le aplica una traslación, de modo que su centro se ubique

en el I cuadrante y que ambos ejes de coordenadas sean tangentes a esa circunferencia, entonces, la

ecuación para esta circunferencia corresponde a:

A) 2 2

4 4 16x y

B) 2 2

4 4 16x y

C) 2 2

4 4 16x y

D) 2 2

4 4 16x y

36

Polígonos

Considere la siguiente figura, que muestra el DFB , el hexágono regular ABCDEF y el HIJ para

responder a los ítems 1 y 2:

1) El perímetro del A HIJ es:

A) 60

B)

C)

D)

2) El área del es:

A)

B)

C)

D)

3) Considere la siguiente figura en la que los valores se dan en centímetros:

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente el perímetro del cuadrilátero ?

A)

B)

C)

D)

90

25 3

225 3

DFB

30 3

60 3

75 3

150 3

ABCD

15,60 cm

13,28 cm

11,84 cm

10,42 cm

37

Considere la siguiente representación gráfica para responder los ítems 4 y 5:

4) El perímetro del es:

A)

B)

C)

D)

5) ¿Cuál es el área del ?

A)

B)

C)

D)

6) En un polígono regular, la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es . ¿Cuál es

el total de diagonales de ese polígono?

A)

B)

C)

D)

BCD

6

12

9 7

9 41

ADE

2

3

3

2

6

1980

14

28

44

88

38

Considere la siguiente información para responder las siguientes 3 preguntas:

Se le presenta un pentágono regular cuya medida de la apotema es .

7) ¿Cuál es la medida del ángulo ?

A)

B)

C)

D)

8) ¿Cuál es aproximadamente el área del pentágono?

A)

B)

C)

D)

9) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del pentágono?

A)

B)

C)

D)

6cm

36

60

72

90

226,15 cm

265,39 cm

2130,77 cm

2261,54 cm

21,85 cm

37,05 cm

43,59 cm

46,53 cm

39

Considere la siguiente figura, en la que se presenta el polígono regular , un hexágono

regular, seis cuadrados y seis triángulos equiláteros, para responder los ítems 10 y 11:

10) Si la medida de la apotema de cada triángulo equilátero es , entonces, ¿cuál es el perímetro del

polígono ?

A)

B)

C)

D)

11) Si la medida de la apotema de cada cuadrado es , entonces, ¿cuál es el área del hexágono regular?

A)

B)

C)

D)

ABCDEFGHIJKL

3

3

ABCDEFGHIJKL

12

24

12 6 3

24 12 3

1

3

2

3 3

6 3

33

2

40

Considere la siguiente representación gráfica para responder los ítems 12 y 13:

12) ¿Cuál es el perímetro del ?

A)

B)

C)

D)

13) ¿Cuál es el área del ?

A)

B)

C)

D)

14) Considere un polígono regular, tal que un ángulo central mide . Si la longitud del lado es ,

entonces el perímetro de ese polígono es:

A)

B)

C)

D)

ABD

6 2

2 4 2

4 2 2 5

2 2 2 2 5

DEC

3

1

2

3

2

5

2

60 5

10

20

25

30

41

15) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un

sistema de coordenadas rectangulares:

Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero corresponde a:

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente información para responder las preguntas 16 y 17:

Se quiere cercar con alambre de púas un terreno, el cual tiene forma de cuadrado y su lado mide .

Además, un rollo de alambre de púas de cuesta (el alambre solo se vende por rollos).

16) ¿Cuántos metros cuadrados mide el terreno?

A)

B)

C)

D)

ABCD

9

15

16

21

60 m

168 m ¢8 500

912

3400

3600

10 080

42

17) Si se desea cercar todo el terreno con hilos de alambre, entonces, ¿cuánto dinero, en colones, se

debe invertir como mínimo en la compra de los rollos de alambre?

A)

B)

C)

D)

18) Considere la siguiente gráfica:

Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro del triángulo ?

A)

B)

C)

D)

3

17 000

25 500

34 000

42 500

ABC

11 5

15 29

11 29

15 5 5

43

19) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un

sistema de coordenadas rectangulares:

Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero corresponde a:

A)

B)

C)

D)

20) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es . Si la longitud del lado es

, entonces el perímetro de ese polígono es:

A) 27

B) 33

C) 36

D) 90


Un terreno tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es . Además, se desea construir a su

alrededor una cerca con tres hilos de alambre.

21) ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, del terreno?

A)

B)

C)

D)

ABCD

7,50

9,50

12,00

13,50

30

3

60 m

180

240

720

3600

44

22) ¿Cuántos metros de alambre se necesita, como mínimo, para cercar todo el terreno?

A)

B)

C)

D)

23) Sea un polígono regular en el cual se pueden trazar diagonales en total. Si la medida de uno de sus

lados es , entonces el perímetro de ese polígono es:

A)

B)

C)

D)

24) Sea un triángulo equilátero cuya medida de su atura es , ¿cuál es el área del triángulo?

A)

B)

C)

D)

25) Con base en la información de la figura adjunta, ¿cuál es el perímetro de ?

A)

B)

C)

D)

180

540

720

3600

14

3

17

21

23

42

2 3

3

4

3 3

4 3

ABC

2 2 13 3

2 2 13 4

2 2 13 10

2 2 13 17

45

26) Considere los datos de la figura adjunta. De

acuerdo con los datos anteriores, ¿cuál es el área del

polígono ?

A)

B)

C)

D)

27) Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:

El papalote

Mario quiere construir un papalote de tela con forma de cuadrado, de modo que cada uno de sus lados

posea una medida de .

I. Con un metro cuadrado de tela, Mario puede construir su papalote.

II. El perímetro del cuadrado que forma el papalote es de .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

28) La medida de cada ángulo interno de un polígono regular es . Si la longitud del lado es ,

entonces el perímetro de ese polígono es:

A)

B)

C)

D)

ABCD

28

33

42

66

0,75 m

3 m

144 6

24

36

60

108

46

29) Si el perímetro de un cuadrado es , entonces el área del cuadrado es:

A)

B)

C)

D)

30) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es . Si la longitud del lado es

, entonces, el perímetro de ese polígono es:

A)

B)

C)

D)

31) Considere los datos de la siguiente figura que presenta un polígono no regular en un sistema de

coordenadas rectangulares:

¿Cuál es el perímetro del polígono ?

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente información para contestar las preguntas 32 y 33:

La cancha del Estadio Nacional de Costa Rica tiene forma rectangular, sus dimensiones son

por y es de césped natural.

32) ¿Cuál es el perímetro, en metros, de la cancha del Estadio Nacional?

A)

B)

C)

D)

24

16

18

20

36

72

20

52

92

100

1440

ABCD

14

16

23

24

105m

68m

173

346

1785

3570

47

33) Cuando se colocó el césped de la cancha, el metro

cuadrado de césped natural costó . ¿Cuál fue el costo

mínimo, en dólares, por concepto de compra de dicho césped?

(Suponga que no hubo sobrantes o desperdicios de gramilla)

A)

B)

C)

D) 71 400

34) Considere la información de la representación gráfica

adjunta. De acuerdo con los datos de la gráfica, el área del

polígono es:

R/

35) Considere la figura adjunta de un pentágono regular. Si la

apotema del pentágono regular es y su lado es de , entonces el área

correspondiente al pentágono, es:

A)

B)

C)

D)

$10

17 300

17 850

36 600

ABCD

9 10

90

100

225

450

48

36) Si el lado de un hexágono regular es , entonces el perímetro de dicho hexágono corresponde a:

A)

B)

C)

D)

37) Considere la información de la representación gráfica adjunta. El perímetro del polígono es

aproximadamente:

R/

38) El terreno destinado a una finca ganadera tiene la forma que indica el croquis. ¿Cuál es el área de la

finca?

A) 40 000

B)

C)

D)

8

16

24

48

64

120 000

160 000

320 000

49

Considere la siguiente figura, formada por hexágonos regulares y congruentes entre sí, donde es el centro

del hexágono en blanco, y es el punto medio del lado , para responder la pregunta 39:

39) ¿Cuál es la medida del área pintada en gris?

A) 2400 3

B) 14400 3

C) 19200 3

D) 57600 3

40) Considere la siguiente representación gráfica:

De acuerdo con los datos de la representación gráfica anterior, ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD ?

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

B

A PQ

50

Considere la siguiente figura, que corresponde a una circunferencia que contiene los vértices de un pentágono

regular cuya medida de la apotema es 7 , para responder los ítems 41, 42 y 43:

41) ¿Cuál es la medida del ángulo ?

A) 36

B) 60

C) 72

D) 90

42) ¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la circunferencia?

A) 7,00

B) 8,65

C) 9,64

D) 9,90

43) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del pentágono?

A) 10,18

B) 19,27

C) 25,43

D) 50,86

51

44) ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 2 cm?

A) 8

B) 16

C) 8√2

D) 16√2

45) Un hexágono regular está circunscrito en una circunferencia de radio 2√3 cm. ¿Cuál es el área, en

centímetros cuadrados, del hexágono?

A) 9√3

B) 18√3

C) 24√3

D) 36√3

46) Si el perímetro de un pentágono regular es de 20 m, entonces, el área aproximada en metros cuadrados

de ese pentágono es

A) 14,50

B) 27,53

C) 34,00

D) 55,06

47) ¿Cuál es aproximadamente el área, en centímetros cuadrados, de un polígono regular, con un ángulo

central de 36°, circunscrito a una circunferencia de 6 cm de radio?

A) 90,00

B) 116,96

C) 216,00

D) 261,55

52

48) Sea un polígono regular circunscrito a una circunferencia de radio 5 cm. Si el ángulo interno del

polígono es 150°, entonces, el área aproximada en centímetros cuadrados de ese polígono es

A) 30,00 B) 74,99 C) 80,37 D) 375,00

49) Sea un polígono regular de lado 4 cm, tal que, el ángulo externo mide 40°, entonces, el perímetro de

ese polígono en centímetros es

A) 10 B) 36 C) 56 D) 160

50) En un polígono regular se puede trazar un total de 14 diagonales. Si el lado del polígono es de 4 cm,

entonces, el perímetro de ese polígono en centímetros es

A) 18 B) 28 C) 30 D) 56

51) La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular es 2880°. Si la medida de cada

lado es 6 cm, entonces, ¿cuál es el perímetro, en centímetros, de ese polígono?

A) 108 B) 180 C) 480 D) 17 280

53

Visualización espacial

1) Considere las siguientes proposiciones referentes a una esfera de centro O , en cuya superficie

están ubicados los puntos A y B , tales que, 20AO y 40AB :

I. AO es un radio de la esfera.

II. AB es un diámetro de la esfera.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


En una ebanistería se fabrican piezas decorativas a partir de cortes que se realizan a cilindros circulares

rectos de madera, como se muestra en las siguientes figuras:

En la figura A el corte es perpendicular con respecto

a las bases del cilindro y contiene el centro de ambas

bases, mientras que en la figura B el corte no es

paralelo respecto a las bases del cilindro y no las corta.

De acuerdo con la información anterior, considere las

siguientes proposiciones:

I. La sección plana al realizar el corte de la figura

A , corresponde a un rectángulo.

II. La sección plana al realizar el corte de la figura B , corresponde a una elipse.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

54

3) Si de un cilindro circular recto se quiere obtener una sección plana que corresponda a una

circunferencia, entonces el corte que se debe realizar a ese cilindro corresponde a un plano:

A) Paralelo con respecto a las bases.

B) Perpendicular con respecto a las bases.

C) Oblicuo con respecto a las bases y que no las corte.

D) Oblicuo con respecto a las bases y que corte una de ellas

4) Considere la siguiente figura que representa un

cilindro circular recto:

Si la 10m PQ cm , la 6m SR cm y la 109m KQ cm ,

entonces, ¿cuál es el área lateral del cilindro?

A) 230 cm

B) 260 cm

C) 290 cm

D) 26 109 cm

Considere la siguiente información para responder las siguientes dos preguntas:

Se le presenta una esfera de centro P que ha sido cortada por un plano .

5) ¿Qué nombre recibe la sección plana al

realizarse el corte?

A) Elipse

B) Parábola

C) Hipérbola

D) Circunferencia

6) ¿Qué nombre recibe el ?

A) Recta

B) Radio

C) Cuerda

D) Diámetro

PT

55

7) El área lateral de un cilindro circular recto es 60 cm y la medida de su radio es 3 cm , ¿cuál es la

medida de su altura?

A) 7 cm

B) 18 cm

C)

10cm

D) 10 3

cm

8) Considere la siguiente figura, que corresponde a una esfera cuya medida del radio es 50 cm , a la

que se le ha hecho un corte plano a 40 cm del centro. De acuerdo con la información anterior, ¿cuál

es la medida del diámetro, en centímetros, de la superficie plana destacada

con gris?

A) 10

B) 60

C) 64

D) 90

9) Considere fa siguiente figura, la cual corresponde a un cilindro circular recto que es cortado por un

plano, el cual es perpendicular a sus bases y contiene los centros de las bases. Si la medida del

radio de la base del cilindro es 8 y la medida de la altura de ese cilindro es 10 , entonces, ¿cuál es

el área de la figura destacada en gris, la cual corresponde a la

intersección del cilindro y el plano?

A) 20

B) 40

C) 80

D) 160

56

10) Al girar el rectángulo ABCD se obtiene la siguiente figura con forma de cilindro circular recto. Con

base en la información anterior, ¿cuál es la longitud de la sección plana que se forma al intersecar la

figura con forma de cilindro y un plano paralelo a la base que contiene el punto P ?

6

A) 12

B) 36

C) 114

Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 11 y 12:

La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano.

Además, considere que 5TM y 3ON .

11) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

12) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera

al centro de la sección plana dada?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

57

13) Considere la siguiente figura sobre un cilindro circular recto, intersecado por el plano , el cual es

paralelo a la base. Si el plano contiene a los puntos P y R , y 4PR , entonces, la longitud de la

sección plana que se forma producto de la intersección de la superficie cilíndrica con el plano,

corresponde a:

A)

B) 4

C) 8

D) 16


La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un

plano con la superficie de una esfera. Además, considere que 5OB y

6AB .


A)

B)

C)

D)

2

6

10

11

12

15) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada?

A)

B)

C)

D)

3

4

5

6

58

16) Si en un cilindro circular recto la medida de la altura es 12 y el área de una de sus bases es 20 ,

entonces el área lateral es:

A) 240

B) 480

C) 48 5

D) 24 10

17) El área lateral de cilindro circular recto es . Si la medida de la altura de ese cilindro es de la medida

del radio, entonces la medida del radio es:

A) 3

B) 8

3

C) 3

D) 4 3

3

18) Sean dos esferas, lates que, la medida del radio de una de ellas es el doble del radio de la otra. Si el área

de la esfera menor es 16 , entonces, el área de la otra esfera es:

A) 32

B) 64

C) 128

D) 256

84

3

59

Considere la siguiente información referida a un cilindro circular recto para responder las preguntas 19 y 20:

R O P , O es el centro de la base del cilindro.

La figura presenta un cilindro cortado por un plano perpendicular a la base del cilindro.

19) Si el área de la sección plana RPZQ , que se obtiene con el corte es 80 y 10RQ , entonces, ¿cuál

es el área lateral del cilindro?

A) 80

B) 90

C) 100

D) 160

20) ¿Qué nombre recibe RP ?

A) Radio.

B) Recta.

C) Altura.

D) Diámetro.

21) Sea un cilindro circular recto (considérese con volumen) intersecado por un plano que contiene los puntos

P y Q . ¿Cuál es el área de la sección plana que se forma producto de

la intersección del cilindro con el plano?

A) 30

B) 32

C) 60

D) 120

60


La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección

de esta con un plano. Además, considere que 10TM .


A) 5

B) 10

C) 20

D) 25


I. 5OR

II. El radio de la sección plana y de la esfera son congruentes.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

24) Considere la siguiente figura referida a un cilindro circular recto:

¿Cuál segmento representa el radio de la base?

A) ED

B) AB

C) CD

D) AD

61

25) Si el lado de un cuadrado es 12 , entonces su área corresponde a:

A) 16

B) 24

C) 48

D) 144

26) Considere la siguiente ilustración de un polígono:

El perímetro del polígono anterior es:

A) 24

B) 48

C) 64

D) 128

Considere la siguiente información para responder los ítems 27 y 28:

La siguiente figura representa una esfera cortada por un plano.

P : centro de la esfera.

Q : centro del círculo obtenido al hacer el corte.

62

27) Si el corte fue hecho a 6 cm del centro de la esfera y el diámetro de la esfera es de 24 cm , entonces,

¿cuál es la medida en centímetros de QR ?

A) 6 2

B) 6 3

C) 6 5

D) 6 15

28) Si 7 QR cm y la medida del diámetro de la esfera es 30 cm , entonces, ¿cuál es la medida en

centímetros de PQ ?

A) 4

B) 12

C) 4 11

D) 8 11

Considere la siguiente información, referida a una esfera y una sección plana producto de la intersección de

ésta con el plano, para responder las preguntas 29 y 30:

29) El radio de la esfera está representado por:

A) BM

B) AM

C) BC

D) BA

63


I. La sección plana, producto de la intersección con la superficie de la esfera y un plano, es una

circunferencia.

II. La medida del diámetro de la esfera es 16 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

65

Conjuntos

1) El conjunto / , 5A x x x corresponde al rango de una función. Ese conjunto expresado en

notación de intervalo es:

A) 5,

B) 5,

C) , 5

D) , 5

2) Considere la siguiente representación gráfica de la función f cuyo dominio es 3,5A :


I. 2,A

II. 0 A


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

Tema 2 Relaciones y Algebra

66

3) Si 2,B corresponde al dominio de una función f , / , 1 10C x x x

corresponde al dominio de una función g y ,B C m n , entonces, ¿cuál es el valor de " n ”?

R/

4) La expresión 3,8 corresponde a:

A) / , 3 8x x x

B) / , 3 8x x x

C) / , 3 8x x x

D) / , 3 8x x x

5) Considere la siguiente gráfica:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la representación del intervalo por comprensión?

A) / , 2 0x x x

B) / , 2 0x x x

C) / , 2 0x x x

D) / , 2 0x x x

6) Dados dos conjuntos A y B , con 0,1,2,3,4,5A y 5,6,7B , A B corresponde a:

A) 5

B) 5,6,7

C) 0,1,2,3,4,5

D) 0,1,2,3,4,5,6,7

67

7) Dados dos conjuntos A y B , con 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A y 1,3,5,7,9B , si A es el

conjunto universo, entonces el complemento “cB ” de B es:

A) 0,9

B) 0,2,4,6,8

C) 0,1,3,5,7,9

D) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

8) El conjunto , 17A x x corresponde al ámbito de una función. Ese conjunto expresado en


A) 17,

B) ,17

C) 17,

D) ,17

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 9, 10 y 11:

Sean A y B dos conjuntos dados por / , 0A x x x y / , –3 5B x x x .

9) Al realizar A B , se obtiene:

A) 0,5

B) –3,0

C) 5,

D) –3,

10) Si se realiza A B , se obtiene:

A) 0,5

B) 0,5

C) –3,5

D) –3,

68

11) Con base en el contexto anterior y en los conjuntos / , 0C x x x y / , 5D x x x ,

considere las siguientes proposiciones:

I. C es el complemento de A .

II. D es el complemento de B .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la l.

D) Solo la ll.

12) Considere las siguientes proposiciones referidas al conjunto D dado por 4,8D :

I. 0 D II. –3,2 D


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la l.

D) Solo la ll.

Considere los conjuntos A y B para responder las preguntas 13 y 14:

A: conjunto de tos números enteros pares.

B: conjunto de los números enteros impares.


I. 𝐵 ∪ 𝐴 = ℤ

II. B A

69


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. 5 A

II. 19 B

¿Cuáles de son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

Considere los conjuntos A y B para responderlas preguntas 15 y 16:

5,A

,7B

15) ¿Cuál opción contiene la notación por comprensión del intervalo A ?

A) / 5x R x

B) / 5x R x

C) / 5x R x

D) / 5x R x

16) Considere como conjunto universo ℝ. ¿Cuál es el complemento «cB » de B ?

A) 7,

B) 7,

C) 8,

D) 8,

70

17) Si ℤ es el conjunto universo y 𝑀 = ℤ−, entonces el complemento «cM » es:

A) ℕ

B)

C)

D)

18) Si ,9A y 2,5B , entonces A B corresponde al intervalo:

A) 5,9

B) 2,5

C) 2,5

D) ,9

19) Considere las siguientes proposiciones referentes al conjunto / 3 10M x x :

I. 2 M

II. 4 M


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

20) Si 18,43 13,34 ,M N , entonces, ¿cuál es el valor de N ?

R/

71

Funciones

1) Considere las siguientes relaciones:

I. : 1,0,2 0,1,3f , con 1f x x .

II. g : 4,1,9 2,1,3 , con g x x .

¿Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

2) Si f es la función dada por 2 3

2

xf x

, entonces

1

3f

es:

A) 1

2

B) 3

2

C) 4

3

D) 4

9

3) Sean f y g dos funciones con 2 3f x x y con 2g x x . ¿Cuál es el criterio de g f ?

A) 32 3g f x x

B) 24 9g f x x

C) 24 6 9g f x x x

D) 24 12 9g f x x x

72

4) Si f es la función dada por 2 3f x x , entonces el dominio de f es:

A) , 2

B) , 2

C) 2,

D) 2,

5) El conjunto / , 5A x x x corresponde al rango de una función. Ese conjunto expresado en


A)

B)

C)

D)

6) Considere la representación gráfica adjunta de la función f cuyo dominio es 3,5A . De

acuerdo con su información, considere las siguientes proposiciones:

I. 2,A

II. 0 A


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


x 9 7 k 4 3 0

f x 4 11 6 1 0 2

Para que la tabla anterior corresponda a la representación tabular de una función, un posible valor de " k ” es:

A) 0

B) 1

C) 7

D) 9

5,

5,

, 5

, 5

73


Índice de precios al Consumidor (IPC)

El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de

los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de precios

se realiza en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población, según el

Censo 2011. La siguiente gráfica muestra el IPC desde al año 2008 hasta el año 2015.

De acuerdo con el contexto Índice de Precios al Consumidor (IPC), considere las siguientes proposiciones:

I. Del año 2013 al año 2015 , el IPC creció.

II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6% .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

74

9) Considere las siguientes representaciones gráficas:

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál o cuáles representaciones gráficas corresponden a una

función?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

75

Considere la siguiente representación gráfica de la función f cuyo dominio es ,0 2,A , para

responder los ítems 10 y 11:


I. 5,12 A

II. 9 A

De ellas, ¿cuál o cuates son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

11) Si corresponde al conjunto universo y ,CA m n , entonces, ¿cuál es el valor de “ m ”?

R/

12) Considere las siguientes representaciones tabulares:

I.

x 1 1 1 1

f x 4 5 6 7

II.

x 2 3 4 5

g x 8 8 8 8

De ellas, ¿cuál o cuáles pueden corresponder a la representación tabular de una función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

76

13) Considere las siguientes representaciones gráficas:

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál o cuáles representaciones gráficas corresponden a una

función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

14) Considere la siguiente gráfica referida a la función f :

De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f , donde f posee inversa,

corresponde a:

A) 1,4

B) 4,7

C) 6,7

D) 2,4

77

15) Considere las gráficas de las relaciones A y B :


I. Si se define la función : ,3 2,f , entonces, la gráfica de la relación A podría ser

también la gráfica de f .

II. Si se define la función : 2, ,5g , entonces, la gráfica de la relación B podría ser

también la gráfica de g .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II

78

Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 16, 17, 18 y 19:

:J A E , con 3,7A y 1,8E ; :f B C , con 2,B y 4,C

16) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde a:

A) 2,7

B) 3,7

C) 2,

D) 3,

17) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito sea E C , entonces, ese ámbito

corresponde a:

A) 1,8

B) 2,7

C) 1,

D) 4,


A) 3,7

B) 2,7

C) 2,

D) 3,

19) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de C ,

entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:

A) , 4

B) 4,

C) , 4

D) 4,

79

20) Considere la gráfica adjunta referida a la función f . De acuerdo con su información, un intervalo

del dominio de f , donde f posee inversa,

corresponde a:

A) 0,4

B) 0,6

C) 2,4

D) 4,6

21) Considere las siguientes gráficas de relaciones:

¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas, corresponden a la gráfica de una función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

80

22) Considere las siguientes gráficas de relaciones:

¿Cuáles de ellas corresponden a la gráfica de una función?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

23) Considere las siguientes proposiciones referentes a las relaciones T y J :

I. Sea 2,5A y 3,6B y T la relación de A en B determinada por la regla

, : 1T x y y x

II. Sea 0,2D y 0,6E y J la relación de D en E determinada por la regla

2, :J x y y x

¿Cuáles de ellas representan funciones?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

24) Si f es la función dada por 2 3 4f x x , entonces la imagen de 6 es:

A) 2

B) 10

C) 22

D) 2 5

81

25) Considere la información de la siguiente figura que presenta la gráfica de una función f . El valor de 1f

corresponde a:

A) 2

B) 4

C) 5

D) 7

Considere la información del siguiente contexto para responder las preguntas 26, 27, 28 y 29:

En la siguiente gráfica se ilustran las condiciones de las funciones j y f , tal que:

El conjunto A es el dominio de j y el

conjunto E es el ámbito.

El conjunto B es el dominio de f y el

conjunto C es el ámbito.

Además, considere a como el conjunto

universo.

82


A) 1,4

B) 3,8

C) 1,7

D) 1,8

27) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito es E C , entonces, ese ámbito

corresponde a:

A) 1,3

B) 1,4

C) 3,7

D) 9,14


A) / , 1 7x x xA B

B) / , 3 8x x xA B

C) / , 4 7x x xA B

D) / , 4 6x x xA B

29) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de E C ,

entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:

A) 1,3

B) 1,4

C) 3,7

D) 9,14

83

30) Considere la siguiente gráfica referida a la función f . De acuerdo con la información anterior, un

intervalo del dominio de f , donde f posee inversa, corresponde a:

A) 4,0

B) 2,3

C) 4,3

D) 2,0

31) Considere las siguientes gráficas de las relaciones

A y B :

¿Cuál o cuáles de las anteriores corresponden a la gráfica de una función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

84

32) Considere los siguientes gráficos de relaciones:

I. 1,7 , 3,9 , 5,7

II. 4,9 , 4,7 , 3,5 , 3,3

De ellas, ¿cuál o cuáles corresponden al gráfico de una función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Considere la información de la siguiente gráfica de la función f , para responder las preguntas 33 y 34:

33) El dominio de f corresponde a:

A) 0,7

B) 0,

C) 0,3 7,9

D) 0,3 7,

34) El ámbito de f corresponde a:

A) 0,7

B) 0,

C) 0,3 4,7

D) 0,3 7,

85


35) Si se desea construir una nueva función que tenga como dominio el conjunto compuesto por A C ,

entonces ese dominio corresponde a:

A) 1,9

B) 4,5

C) 1,5

D) 1,8

36) Si se define una nueva función que tenga como ámbito el conjunto compuesto por B D , entonces

ese ámbito, corresponde a:

A) 5,8

B) 4,5

C) 1,4

D) 1,5

86


Oleaje

Suponga que la velocidad “V ”, en /km h , del viento que genera olas con una altura “ h ”, en metros, está

dada por 31

5

hV h .

37) ¿Cuál es la altura, de las olas, si la velocidad del viento que las genera es de 12,4 /km h ?

A) 2,00

B) 4,00

C) 21,83

D) 24,80

38) La señora Annette invirtió 80 000 dólares en dos bancos. El banco A paga una tasa de interés

anual del 9% y la tasa de interés anual del banco B es de 10,5% . Si por año recibe 7 530

dólares, entonces, ¿cuánto invirtió en el Banco A ?

A) 22 000

B) 33 000

C) 47 000

D) 58 000

39) Sea f una función cuadrática dada por 21f x x . ¿Cuál es el valor de 3f ?

A) 2

B) 10

C) 5

D) 8

87


Relación volumen-temperatura

El volumen de varios gases se expande cuando la temperatura es alta y se contrae cuando la temperatura

es baja. Esta relación del volumen “ ” y la temperatura “ ”, es una relación lineal .

En el siguiente cuadro se presentan datos de esta relación:

Volumen del gas

(en centímetros cúbicos)

Temperatura

(en grados Celsius)

40) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando este se encuentra a 120 C ?

A) 40

B) 200

C)

D) 760

41) Considere las relaciones representadas en las siguientes tablas:

I.

x -1 0 1 2

f x 1 0 1 4

II.

x 1 2 3 4

g x 0 -1 -2 -3

De ellas, ¿cuál o cuáles pueden representar una función?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

v t f t v

400 30

600 80

310

88

42) La pendiente de la recta que contiene los puntos 2,3 y 4,8 es:

A) 5

6

B) 2

11

C) 5

2

D) 5

6

43) De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es la ecuación para la recta l ?

A) 3y x

B) 3y x

C) 3y x

D) 3y x

44) El eje de simetría de la gráfica de la función f dada por 2 6f x x x es:

A) 3x

B) 9x

C) 3x

D) 9x

89

45) El punto donde la recta definida por 2

2 53

x y se interseca con el eje “ x ” corresponde a:

A) 15

0,2

B) 15

,02

C) 5

0,2

D) 5

,02

46) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso “ I x ” en colones, por

concepto de las ventas “ x ”, en colones, corresponde a 5 750 000 0,08I x x . ¿De cuánto debe

ser la venta para obtener un ingreso de ¢ 8 740 000 ?

A) ¢239 200

B) ¢6 449 200

C) ¢37 375 000

D) ¢181125 000

47) La altura “ h t ” en metros de un objeto está dada por 210 5h t t t , donde “ t ” es el tiempo en

segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?

A) 1m

B) 4m

C) 5m

D) 6m

90

48) Considere las siguientes proposiciones referidas al sistema de ecuaciones dado por 5 2 3

15 6 9

x y

x y

I. Las rectas se intersecan en un único punto.

II. La solución del sistema es 1,4 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

49) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos

laborados. El empleado A recibe un salario base de ¢500 000 y una bonificación por cada

anualidad de ¢10 000 . El empleado B recibe un salario base de ¢600 000 y una bonificación por

cada anualidad de ¢5 000 . ¿Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la

misma cantidad de salario?

A) 10

B) 12

C) 20

D) 22

50) Considere los siguientes criterios de las funciones f y g :

5 3f x x

2 2g x x x

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el criterio de g f ?

A) 25 10 3g xf xx

B) 25 10 12x xg xf

C) 225 20 3g f x x x

D) 225 20 12g f x x x

91

51) El ingreso mensual " I x ", obtenido por vender " x " unidades de un producto, está modelado por

260 0,01I x x x . ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender 3000 unidades de ese

producto?

A) 5950

B) 6050

C) 90 000

D) 179 940


La siguiente gráfica representa la temperatura promedio, por horas, de un día de setiembre, de acuerdo con

una de las estaciones meteorológicas automáticas del Instituto Meteorológico Nacional de Costa Rica.

Temperatura promedio durante las primeras 10 horas de un día de setiembre

Fuente: Adaptado de http://www.imn.ac.cr

52) Un intervalo del tiempo en el cual aumentó la temperatura corresponde a:

A) 2,6

B) 4,6

C) 0,4

D) 6,8

92

53) ¿Cuál fue la temperatura promedio, en grados Celsius, registrada a las 6 horas?

A) 6

B) 10

C) 18

D) 20

54) Considere la siguiente representación gráfica de la función f . De acuerdo con la información

anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La pendiente de f es 2 .

II. La gráfica de f interseca el "eje y" en 0, 1 .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


Sea f una función cuadrática, tal que, su gráfica interseca el "eje y” en 0,3 y su vértice es 2,9 .


I. Un intervalo en el cual f es decreciente es 3, .

II. La gráfica de f interseca el "eje x" en dos puntos diferentes.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

93

56) Considere las siguientes proposiciones referentes a las funciones f y g dadas por 5 3f x x y

3

5

xg x

:

I. g f x x

II. 5 5g f


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

57) Sea la función f dada por 7 3f x x . ¿Cuál punto pertenece a la representación gráfica de la

función inversa de f ?

A) 1,4

B) 2,3

C) 4,1

D) 2, 3

58) Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f dada por 21f x x :

I. El ámbito de f es ,1 .

II. El punto máximo de la gráfica de f es 0,1 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

94

Considere la siguiente representación gráfica de una función f para responder los ítems 59 y 60:

Masa, en gramos, de una niña durante sus primeros 120 días de vida


I. La masa de la niña a los 60 días fue 7000 g .

II. El incremento de la masa de la niña entre los 60 y 120 días fue menor que el incremento de la masa

que presentó desde su nacimiento hasta los 60 días.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

60) ¿Cuál opción identifica el tiempo en días, entre los cuales la masa de la niña tuvo el mayor

incremento?

A) 0 y 30

B) 30 y 60

C) 60 y 90

D) 90 y 120

95


Una agencia de publicidad contrata el servicio de telefonía a dos compañías diferentes. Los costos, en

colones, por minuto de consumo que ofrecen las dos compañías, dependen de la cantidad total de minutos

mensuales consumidos, según se muestran en la siguiente tabla:

Menos de 10 000 minutos de consumo

telefónico al mes

10 000 minutos o más de consumo

telefónico al mes

Empresa A Empresa B Empresa A Empresa B

Costo por minuto 5 8 x y

61) En el mes de enero la agencia ha consumido 9050 minutos de llamadas en total, entre los dos

servicios contratados. Si por esta cantidad de minutos tuvo que pagar ¢59 800 , entonces, ¿cuántos

de esos minutos corresponden a llamadas consumidas, si se utilizó el servicio de la empresa A ?

A) 2150

B) 3200

C) 4200

D) 5150

62) En el mes de febrero el consumo telefónico fue de 4400 minutos por el servicio A y de 5800

minutos por el servicio B . Por ese consumo la agencia tuvo que pagar ¢60 400 . Si la suma de los

costos por minuto de los dos servicios contratados es ¢11,5 ; entonces, ¿cuál fue el costo, en

colones, por minuto de consumo del servicio de la empresa B en ese mes?

A) 4

B) 5

C) 7

D) 11

96

63) Considere la siguiente representación tabular de una función lineal f :

x -1 0 1 2

f x 6 1 -4 -9


I. f es creciente.

II. El criterio de f corresponde a 1 5f x x .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

64) Considere la siguiente gráfica de una función f con criterio 2f x ax bx c con 0a .

Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:

I. 0a

II. 0c


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

97

65) Sea la función lineal de la forma f x mx b , con 0m . Si 0m y 0b , entonces, una

posible gráfica para f corresponde a:

A)

B)

C)

D)

98


La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es de ¢400 y

cada uno de ellos se vende en ¢2000 .

66) Si en un mes Omega realiza una inversión de ¢4000000 en la producción de estuches, entonces,

¿cuántos estuches se produjeron en ese mes?

A) 2000

B) 2400

C) 8000

D) 10000

67) Una función que modela el ingreso I x de la empresa en términos de la cantidad “ x ” de estuches

vendidos corresponde a:

A) 400I x x

B) 2000I x x

C) 400 2000I x x

D) 2000 400I x x


Se compraron 5 kilogramos entre clavos y tornillos.

Cada kilogramo de clavos vale ¢400 , el de tornillos ¢550 y se pagó un total de ¢2300 .

¿Cuántos kilogramos de tornillos se compraron?

A) 1,0

B) 1,5

C) 2,0

D) 4,0

99

69) El rendimiento r x de una empresa está modelado por 2–2 1000r x x x , donde “ x ”

representa la cantidad de empleados contratados. ¿Cuántos empleados necesita contratar la

empresa para que su rendimiento sea el máximo?

A) 100

B) 250

C) 500

D) 1000

70) La función 220 – 5h t t t modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo,

donde “ h t ” es la altura en que se localiza el objeto a los “ t ” segundos de haberse lanzado

(suponga que el roce del objeto con el aire es despreciable). ¿Cuántos segundos dura ese objeto

desde su lanzamiento hasta el momento que regresa al suelo?

A) 2

B) 4

C) 5

D) 15

71) La siguiente gráfica de una función f tiene la forma 2f x ax bx c y 0a . Considere las

siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:

I. 0a

II. 0c


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

100

72) Si 3,4 es un punto contenido en la recta 2y x b , entonces, el valor de " b " corresponde a:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 7


El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es 36 km . Además, el tanque tiene

una capacidad de 10 litros y el precio de cada litro es de 579 colones.

73) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros que se

puede recorrer en dicha motocicleta, corresponde a:

A) 132

B) 136

C) 219

D) 360

74) Una función que modela el costo " l x ", en colones, relacionado con los " x " litros de combustibles

que consume la motocicleta, corresponde a:

A) 36l x x

B) 579l x x

C) 36 10l x x

D) 579 10l x x

101


Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró 32 kilogramos.

Cada kilogramo de alimento para perros cuesta ¢1800 , para gatos ¢2100 y se pagó un total de

¢61 200 en estos alimentos.

¿Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró?

A) 12,00

B) 20,00

C) 29,14

D) 34,00

76) El costo de producción mensual “ c x ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar está dado

por 22 1200c x x x , donde " x " representa la cantidad de cañas producidas 0 600x .

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de 300 dólares.

II. Los costos de producción decrecen a partir de 295 cañas de pescar producidas al mes.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

77) La altura “ h t ”, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire es

despreciable) está dada por 25 30h t t t , donde “ t ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la

altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?

A) 25

B) 30

C) 35

D) 45

102

Considere los siguientes criterios correspondientes a las funciones f y g , para responder las preguntas 78

y 79:

26 8f x x x

23 5 2g x x x


I. El ámbito de f es 3, .

II. La gráfica de g es cóncava hacia arriba.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

79) ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de f ?

A) 3x

B) 1x

C) 5

6x

D) 49

12x

103

Considere la siguiente gráfica de una función cuadrática f para responder las preguntas 80 y 81:

80) Sea f una función de la forma 2f x ax bx c , se cumple que:

A) 0 y 0a

B) 0 y 0c

C) 0 y 0c

D) 0a y 0c


I. Los elementos del ámbito de f son todos negativos.

II. Un intervalo donde f es decreciente corresponde a 1,2 .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

104

82) Se determina que la ganancia “ G x ”, en colones, al producir “ x ” cantidad de ciertos artículos en

una fábrica, está dada por 52 120G x x . ¿Cuántos artículos deben producirse para obtener una

ganancia de ¢3000 ?

A) 55

B) 60

C) 65

D) 68

83) En una fábrica el costo de producir cada par de zapatos es de ¢2000 . Asimismo se incurre en un

costo fijo de producción de ¢100000 diarios. Con base en la información anterior, un criterio que

modela el costo total “ C x ” de producción diaria, con “ x ” representando los pares de zapatos

confeccionados en un día es:

A) 2000C x x

B) 2000 100000C x x

C) 2000 50000C x x

D) 100000 2000C x x


Miguel fue a una librería a comprar 4 cuadernos cosidos y 4 cuadernos de resortes. Al llegar a la

caja le dijeron que debía pagar ¢14500 . Como el dinero que llevaba no le alcanzó, compró 3

cuadernos cosidos y 5 cuadernos de resortes, por lo que pagó ¢12000 .

Considere que los cuadernos poseen las mismas características, según el tipo de cuaderno (cosido

o resortes).

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál fue el precio, en colones, de cada cuaderno cosido?

A) 103,51

B) 1714,28

C) 2500,00

D) 3062,50

105

85) Considere la siguiente información y las proposiciones referidas a ella:

La campaña de reciclaje

Durante una campaña de reciclaje, el profesor guía de

un grupo de 42 estudiantes dividió at grupo en dos

subgrupos: un grupo A , cuyos integrantes debían

aportar 4 latas vacías cada uno, y un grupo B , cuyos

integrantes debían aportar 2 latas vacías cada uno. Al

finalizar la campaña, entre los 42 estudiantes

recolectaron 128 latas vacías.

I. Hay más estudiantes en el grupo B que en el

grupo A .

II. Hay 22 estudiantes en el grupo A .

86) Considere la siguiente información referida a las funciones f y g dadas por:

2 3f x x

4 7g x x

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el criterio de f g ?

A) 8 4f g x x

B) 8 5f g x x

C) 8 11f g x x

D) 8 17f g x x

Cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

106

87) Con base en la siguiente función f con criterio 24 2f x x x , considere las siguientes

proposiciones:

I. f es cóncava hacia abajo.

II. La gráfica de f interseca el eje "y" en 0,0 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

88) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de 5 10f x x , con el eje de las abscisas (eje x)?

A) 2,0

B) 5,0

C) 5,0

D) 10,0

89) La función t dada por 1

34100

t x x

modela la temperatura en grados Celsius a "x" metros de

altura sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a una altitud de 3000 metros sobre el nivel del

mar?

A) 3 C

B) 4 C

C) 3 C

D) 4 C

107

90) Una ama de casa elabora pasteles para ¡a venta. El costo de producir cada uno de ellos es de ¢125

y el precio de venta de cada pastel es de ¢625 . Si "x" es la cantidad de pasteles producidos y

vendidos, y g x es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior

corresponde a:

A) 125g x x

B) 500g x x

C) 625g x x

D) 625 125g x x

91) Considere los criterios de las siguientes funciones:

4 3f x x ; 2 5g x x .

¿Cuál es el criterio de f g x ?

A) 5 5g xxf

B) 5 20f g x x

C) 17 20f g x x

D) 20 1f g x x

92) Si 2f x x es una función que posee inversa, entonces, la gráfica de la inversa de “ f ”

interseca al eje " "y (ordenadas) en:

A) 0,2

B) 2,0

C) 0, 2

D) 2,0

108

93) Considere la siguiente gráfica de la función f . La intersección de la gráfica de f con el eje “ y ”

(ordenadas) es:

A) 0,5

B) 0,3

C) 0, 3

D) 0, 5

94) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función 25 2 3f x x x :

I. La gráfica de f es cóncava hacia arriba.

II. 1

5 es el eje de simetría de la gráfica de f .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

95) Considere la siguiente información en la que se presenta la función f en forma gráfica y la función

g en forma algebraica:

23 6g x x , con : 4,4 6,54g

De acuerdo con la información anterior, el valor

de 1g f es:

A) 2

B) 1

C) 18

D) 33

109

96) Sean f y g dos funciones tales que f está dada por 3 1f x x con :f ,y g está

dada por 2g x x , con : 0,g . ¿Cuál es el criterio de g f ?

A) 23 1g f x x

B) 29 1g f x x

C) 29 3 1g f x x x

D) 29 6 1g f x x x

97) La intersección con el "eje y" de la recta dada por 3 6x y , corresponde a:

A) 0,2

B) 0,6

C) 0, 2

D) 0, 6

98) Considere la siguiente representación gráfica de una función lineal f

. De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, la intersección de

f con el eje de las abscisas es:

A) 2,0

B) 4,0

C) 0,4

D) 0,2

99) Sea f una función cuadrática de dominio real, tal que su vértice es el punto 2, 4 y su gráfica

contiene el origen de coordenadas. Con certeza se cumple que:

A) 3 0f

B) 5 0f

C) 1 0f

D) 1 0f

110

100) Considere la siguiente representación gráfica de una función cuadrática f :

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, se puede asegurar que el criterio de f corresponde a:

A) 2 4 4f x x x

A) 2 4 4f x x x

B) 2 2 1f x x x

C) 2 2 1f x x x

101) Considere la siguiente representación gráfica de la función cuadrática f dada por

2f x ax bx c :

De acuerdo con la información de la gráfica anterior, ¿cuál es el valor de " k "?

R/

113

1) Un curso universitario posee únicamente dos pruebas. La primera vale 40% y la segunda 60% . Si

un estudiante obtuvo una nota de 70 en la primera prueba y un 60 en la segunda, entonces,

considerando los valores porcentuales ¿cuál fue la nota que obtuvo el estudiante en ese curso?

A) 64,0

B) 65,0

C) 66,0

D) 57,5

2) Considere la siguiente información sobre un estudio estadística:

Se ha registrado el peso (masa) en kilogramos de 250 estudiantes de un colegio. Al resumir los datos

se obtuvo que la mediana es 67,4 kg y la media aritmética es 74 kg

De acuerdo con la información anterior, se puede afirmar con certeza que en los 250 estudiantes:

A) El peso más usual es 65 kg .

B) Exactamente 125 pesan 74 kg .

C) Al menos un estudiante pesa 67,4 kg .

D) Al menos 125 pesan más de 65 kg .

3) Si la graficar una distribución de frecuencias de un grupo de datos, se observa que tiene una

asimetría negativa, entonces con certeza se cumple que:

A) eM x

B) eM x

C) o eM M

D) o eM M

Tema 3 Estadistica y Probabilidad

114

4) Observe la siguiente gráfica de la distribución de frecuencias:

De acuerdo con la gráfica anterior, se cumple que:

A) a x

B) c x

C) ea M

D) ob M

5) En un colegio, la evaluación de Cívica en cada período se lleva a cabo de acuerdo con la siguiente

tabla, en la que aparecen también las notas obtenidas por Andrea y Patricia en uno de los períodos.

Componente a evaluar Valor porcentual Notas de Andrea Notas de Patricia

Prueba escrita 35 63 72

Trabajo cotidiano 15 84 70

Proyecto 40 60 71

Asistencia 5 98 95

Concepto 5 100 97

Total 100

Si Andrea y Patricia son estudiantes de ese colegio y necesitan una nota promedio de 70 o más para aprobar

el período, entonces:

A) Andrea aprobó el período.

B) Ninguna de ellas aprobó el período.

C) Patricia aprobó el período

D) Patricia tuvo una nota promedio menor que la de Andrea.

115

6) Considere la siguiente información, la cual hace referencia a las temperaturas promedio, en grados

Celsius C , registradas en la estación meteorológica ubicada en el Aeropuerto Internacional Juan

Santamaría, durante los meses de marzo desde el, año 2006 al 2014 .

Temperatura promedio marzo 2006 – 2014

Año

Temperatura promedio

2006-2014

2006 24,2

2007 24,9

2008 23,8

2009 23,8

2010 25,2

2011 23,9

2012 24,3

2013 23,4

2014 23,2

Fuente: Adaptado del Compendio Ambiental 2015 del Estado de la Nación.


I. La temperatura promedio más usual fue de 23,8 C .

II. El 50% de los datos de las temperaturas promedio fue mayor o igual que 25,2 C .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

116

7) Considere la siguiente distribución de frecuencias de las estaturas, en centímetros, de los

estudiantes de una sección de undécimo año:

Estatura Cantidad de estudiantes

150,160 4

160,170 12

170,180 10

180,190 3

190,200 1

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el promedio, en centímetros, de las estaturas de los

estudiantes de esa sección de undécimo año?

R/

8) Considere la siguiente tabla sobre calificaciones obtenidas por un estudiante en un curso que se

aprueba con un 70 de promedio:

Rubro de evaluación Valor porcentual (%) Calificación obtenida por el estudiante

Examen I 30 63

Examen II 40 88

Proyecto final 30 x

Con base en la información anterior, la calificación mínima que puede obtener el estudiante en el proyecto

final para aprobar el curso es:

A) 51,5

B) 53,0

C) 59,0

D) 80,0

117


Una docente analiza los resultados de sus estudiantes en una prueba y observa que la media

aritmética (promedio) de las calificaciones es de 80,67 ; la mediana de 68 y la moda de 100 .

Asimismo, por disposición de la institución, si el 45% o más de los estudiantes no logran la nota

mínima de 70 , se debe reprogramar una nueva prueba para esas personas.


I. La nota mínima obtenida fue superior a 68 .

II. El 80,67% de los estudiantes ganaron la prueba.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. La calificación que más se repitió en la prueba fue el 100 .

II. La profesora tuvo que reprogramar una nueva prueba para los estudiantes que no alcanzaron

una nota de 70 .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

118


A continuación se muestran las temperaturas máximas en grados Celsius, para doce días del mes de enero

del año 2016 en la ciudad de San José:

Temperatura máxima.

24 26 26 27 27 27

28 29 29 30 30 31

11) Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:

I. Al determinar el segundo cuartil se observa que un 50% del total de las temperaturas se ubican

entre 28 C (inclusive) y 31 C (inclusive).

II. Al determinar el primer cuartil se observa que un 25% del total de las temperaturas se ubican

entre 24 C (inclusive) y 26 C (inclusive).


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

119

Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 12, 13 y 14:

Un curso está compuesto de tres pruebas y para su aprobación se debe obtener un promedio mínimo de 65

(escala del 1 al 100 ). A continuación, se muestran las calificaciones de cuatro estudiantes y los valores

porcentuales de cada prueba:

Prueba y valor José Ana Rosa Luis

Prueba I 25% 43 95 55 95

Prueba II 30% 55 55 43 43

Prueba III 45% 95 43 95 55

Total 100%


I. Luis reprobó el curso.

II. Luis obtuvo un promedio final inferior a 68 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. Ana y Rosa reprobaron el curso.

II. Ana y Rosa obtuvieron el mismo promedio final.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

120


I. José aprobó el curso.

II. José obtuvo un promedio final superior a 60 pero menor que 69 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


El promedio de las calificaciones finales de Juan durante el periodo escolar del 2016 fue de 82,61 ;

100 fue la nota que más repitió y la mediana de las calificaciones fue 68 . Además, considere que la

nota mínima para aprobar cada asignatura es de 70 .

Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La moda de las calificaciones finales de Juan, en el periodo 2016 , fue 82,61 .

II. Juan reprobó cuando mínimo la mitad de las asignaturas en el período 2016 .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

121


Las edades

En la siguiente tabla se resume la edad, en años cumplidos, de los estudiantes de un grupo que se

prepara para presentar las pruebas de bachillerato por madurez:

Edad en años cumplidos Número de estudiantes

25 2

27 4

30 4

31 3

33 5

40 7

Total 25


I. La media aritmética de fas edades es 31 años.

II. La moda corresponde a 40 años.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

17) ¿Cuál es el valor del primer cuartil de los datos?

A) 15,00

B) 18,50

C) 27,75

D) 28,50

122


El examen de Química

Los siguientes datos representan las notas obtenidas por un grupo de estudiantes en un examen de

Química:

45 55 57 64 69 75 75 78 79 81 83 89


I. La media aritmética es 64,58 .

II. La asimetría de los datos es positiva.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. La moda y la mediana están representadas por un mismo dato.

II. La nota máxima fue un 83 .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

123


El grupo juvenil

El coordinador de un grupo juvenil realiza un estudio referido a la media aritmética de la edad de los

integrantes de ese grupo. En la siguiente tabla se muestra la distribución de sus edades:

Edad Frecuencia

13 3

14 2

15 14

16 35

17 18

Total 72

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la media aritmética de las edades de los integrantes del

grupo juvenil?

A) 15,00

B) 15,24

C) 15,87

D) 16,00

124

21) A continuación se presenta el total de hectáreas sembradas durante el periodo de 1999 al 2005 en la

provincia de Limón: de banano y arroz.

Producto / Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Banano 48000 47000 44000 42000 41000 42000 41000

Arroz 46000 47000 48000 48000 49000 49000 49000

En promedio (media aritmética) en ese periodo ¿cuántas hectáreas de arroz, aproximadamente, se sembró

más que de banano?

A) 3428,57

B) 4428,57

C) 6224,49

D) 6540,83

22) La siguiente tabla muestra las evaluaciones de Ana y Juan en un curso de inglés:

Componente Valor porcentual Notas de Ana Notas de Juan

Escucha 30 50 100

Habla 40 50 100

Escritura 20 100 50

Lectura 10 100 50

Total 100

Si para aprobar el curso se necesita un promedio mínimo de 70 , entonces, se concluye que:

A) Ana aprobó el curso.

B) Juan aprobó el curso.

C) ninguno de ellos aprobó el curso.

D) Ana y Juan obtuvieron el mismo promedio

125


El análisis sobre las edades, en años cumplidos, de un grupo de costarricenses, muestra que la media

aritmética (promedio) es de 22,67 ; la mediana es 17 y la edad que más se repite es 34 . Además,

considere que la mayoría de edad en Costa Rica se adquiere al cumplir 18 años.

23) ¿Cuál es la moda de las edades de ese grupo de personas?

A) 17

B) 18

C) 23

D) 34

24) Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. Más del 50% de las personas son mayores de edad.

II. La menor edad en ese grupo de personas es superior a los 17 años.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


En un centro médico, se midió la masa de 10 pacientes y se obtuvo las siguientes cantidades (en

kilogramos):

93, 44, 75, 90, 77, 80, 73, 82, 83, 91

La masa (kilogramos) mínima de los pacientes corresponde a:

A) 44

B) 77

C) 82

D) 93

126


Salario, en miles de colones, de 100 empleados en el mes de agosto.

Salarios Frecuencia absoluta

300 22

600 45

900 21

1200 10

1500 2

Se desea contratar un empleado más para la empresa, cuyo salario corresponderá a la media aritmética de

los salarios del mes de agosto de sus compañeros. El salario del nuevo empleado, en miles de colones, es:

A) 375

B)

C) 525

D)

27) Considere la siguiente tabla y las proposiciones referidas a ella:

I. Solo una familia tiene hijos.

II. El de las familias tienen un hijo.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

675 900

4

25%

Cantidad de hijos Cantidad de familias

1 6

2 10

3 3

4 1

127

28) El siguiente cuadro representa la cantidad de kilómetros recorridos que registran diariamente, los

vehículos de los hogares en un barrio ubicado en la capital. Se consideran 36 hogares:

La media aritmética de los kilómetros

recorridos diariamente por los vehículos

corresponde a:

A)

B)

C) 4,72

D)


Participantes en Olimpiadas de Matemática

A continuación se le presenta una tabla con las calificaciones de a de un grupo de estudiantes

que participaron en las olimpiadas de matemática

Calificación Cantidad de

estudiantes

1 6

2 15

3 20

4 30

5 35

6 22

7 14

8 16

9 14

10 8

Total 180

29) La moda correspondiente al estudio es:

A) C)

B) D)

2,36

7,00

7,50

1 10 180

35 14

9 5

Kilómetros recorridos diariamente Frecuencia absoluta

1 7

2 15

3 9

4 4

5 1

128


Hectáreas sembradas de arroz

A continuación se presentan la cantidad de hectáreas sembradas desde el año al año de cultivo

de arroz:

Año Hectáreas sembradas

1999 64 664

2000 68 356

2001 56 977

2002 47 893

2003 54 043

2004 62 144

2005 61 005

30) El promedio aproximado de la cantidad de hectáreas sembradas de arroz desde el año al año

es

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente información para responder los ítems 31, 32 y 33:

Calificaciones obtenidas por un estudiante

Asignaturas Periodos

I II III

Matemáticas 90 93 96

Español 80 90 94

Inglés 95 95 80

Estudios sociales 70 85 80

Ciencias 80 92 95

31) ¿Cuál es la media aritmética (promedio) de las calificaciones en el II periodo?

R/

1999 2005

1999

2005

47 893,00

55 496,00

58 286,86

59 297,50

129

32) Si todos los periodos tienen el mismo valor porcentual, entonces, ¿cuál es la media aritmética

(promedio) anual de las calificaciones en la asignatura de Inglés?

A)

B)

C)

D)

33) ¿Cuál es la moda de las calificaciones en el periodo?

A)

B)

C)

D)

34) Considere el experimento de escoger un número natural del al . Si el evento es: que el

número escogido sea par y el evento es: que el número escogido sea múltiplo de tres, entonces

con certeza:

A)

B)

C)

D)

35) Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja que contiene bolas blancas , azules

y rojas . Si las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento es: que las bolas

sean del mismo color, entonces con certeza el complemento “ ” de es:

A)

B)

C)

D)

80

85

90

95

80

89

94

96

1 12 A

B

6,12A B

3,6,9,12A B

3,6,9,12A B

3,4,6,8,10,12A B

B

A R M

cM M

, ,AA RR BB

, , ,BR RB BA AB

, , , ,AA BB RR BA RA

, , , , ,AB AR BA BR RA RB

130


En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el número que sale en la cara superior, interesan

dos eventos:

: Que el número sea impar.

: Que el número sea un .

Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. El evento es el complemento del evento .

II. Los eventos y son mutuamente excluyentes.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

37) Se lanzan dos dados legales y se registra la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Cuál es la

probabilidad de que la suma sea mayor que ?

A)

B)

C)

D)

Considere el siguiente enunciado y responda las siguientes 3 preguntas:

El de los estudiantes de un colegio practica fútbol, el practica baloncesto y el

practica ambos deportes. Se elige un estudiante al azar.

38) ¿Cuál es la posibilidad de que el estudiante elegido no practique fútbol ni practique baloncesto?

A)

B)

C)

D)

A

B 4

A B

A B

5

0,11

0,28

0,36

0,72

30% 40% 10%

0,10

0,30

0,40

0,80

131

39) Si el estudiante elegido practica fútbol, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que practique

baloncesto?

A)

B)

C)

D)

40) Si el estudiante elegido practica baloncesto, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que

practique fútbol?

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente información para responder los ítems 41 y 42.

Se tienen dos dados, uno azul y otro blanco y en cada dado cada una de las caras con un número diferente

del al . Al lanzar estos dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar en la parte superior.

Se definen los siguientes eventos:

Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es par.

Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es cinco.

Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es impar.

41) ¿Cuántos puntos muéstrales tiene el evento ?

A)

B)

C)

D)

42) ¿Cuántos puntos muéstrales tiene el evento ?

R/

0,25

0,33

0,67

1,33

0,25

0,33

0,67

1,33

1 6

A

B

C

A B

14

18

19

22

B C

132


Se tienen bolas numeradas del al en una caja, que se distinguen unas de otras únicamente por su

numeración. Una de las bolas se extrae aleatoria y se. devuelve a la caja.

Se definen dos eventos y :

Evento : La bola extraída tiene un número impar.

Evento : La bola extraída tiene un número mayor o igual que .

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones.

I. y son eventos mutuamente excluyentes.

II. El complemento de , con respecto al espacio muestral corresponde a .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I

D) Solo la II.

44) Se tiene un dado de seis caras, cada una de ellas con un número del al , y otro dado de ocho

caras, cada una de ellas con un número diferente del al . Al lanzar estos dados, cada cara de

cada dado tiene la misma probabilidad de quedar en la parte superior. Se definen los siguientes

eventos:

Evento : Obtener un número menor o igual que .

Evento : Obtener un número par.

Considere las siguientes proposiciones:

I. La probabilidad de que ocurra el evento , es mayor si se lanza el dado de seis caras.

II. La probabilidad de que ocurra el evento , es mayor si se lanza el dado de ocho caras.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

10 1 10

A B

A

B 7

A B

B 1,3,5CB

1 6

1 8

C 7

D

C

D

133


En un periódico nacional se publicó un artículo en el que se destaca que el teléfono celular es el dispositivo

que más utilizan los adolescentes. Dicho artículo se basó en una encuesta realizada a una muestra aleatoria

de estudiantes de secundaria menores de años. Parte de la información se resume en el siguiente

cuadro:

Posesión de celular de estudiantes de secundaria menores de años

Área Metropolitana Zona Rural Total

Tienen celular 470 140 610

No tienen celular 6 12 18

Total 476 152 628

Fuente: Adaptado del Periódico EÍ Financiero

45) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que al escoger al azar un joven de esa muestra, este

tenga celular?

A)

B)

C) 0,77

D)

46) Si se toma como población total los encuestados del Área Metropolitana y se decide seleccionar al

azar un estudiante de esa población, entonces, ¿cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que

ese estudiante posea celular?

A)

B)

C)

D)

628 15

15

0,22

0,78

0,97

0,75

0,77

0,87

0,99

134


Se tienen dos dados de seis caras cada uno, uno azul y otro blanco y en cada dado cada una de las caras con

un número diferente del al . Al lanzar estos dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar en la

parte superior.

La siguiente tabla presenta los puntos muestrales que se obtienen al lanzar esos dados y considerar los

números que quedan en la cara superior:

Dado Azul

Dado

Blanco

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

47) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad que la suma de los números mostrados en las caras

superiores no sea un número divisible por ?

A)

B)

C)

D)

48) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que la suma de los números mostrados en las caras

superiores sea un número impar y menor que ?

A)

B)

C)

D)

1 6

5

0,29

0,31

0,69

0,81

6

0,17

0,25

0,50

0,83

135

49) ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los números mostrados en las caras superiores sea o ?

R/

Considere la siguiente situación para resolver los ítems 50 y 51:

Se tienen tómbolas con bolitas que excepto en el color son exactamente iguales. Cada bolita, en cada

tómbola, tiene la misma probabilidad de salir.

La distribución y la cantidad de bolitas en las tómbolas, según el color, se detalla a continuación:

Tómbola 1

Tómbola 2

Tómbola 3

Tómbola

4

Bolitas azules 7 5 3 10

Bolitas

amarillas 8 7 6 8

Bolitas blancas 10 8 7 12

Bolitas verdes 15 2 9 15

Total 40 22 25 45

50) Si se desea sacar al azar una bolita de color blanca, entonces, ¿de cuál tómbola se debe sacar la

bolita para tener mayor probabilidad de que esta sea blanca?

A) Tómbola

B) Tómbola

C) Tómbola

D) Tómbola

51) Si se saca al azar una bolita de la tómbola , entonces la bolita con mayor probabilidad de salir es

de color:

A) Azul.

B) Verde.

C) Blanco.

D) Amarillo.

4 7

4

1

2

3

4

4

136


Cantidad de visitantes en cuatro parques nacionales de Costa Rica durante el año

Parque Nacional Visitantes Total

Nacionales Extranjeros

Manuel Antonio 106 776 272 832 379 608

Marino Ballena 112 929 37 827 150 756

Volcán Poás 175 639 166 877 342 516

Volcán Irazú 106 776 37 325 144 101

Total 502 120 514 861 1 064 578

Adaptado de: http://WAvw.sinaago.cr

Considere que cada persona contabilizada en la tabla anterior visitó solo uno de estos parques.

52) Se desea escoger al azar uno de esos visitantes para premiarlo con un tour a cinco parques

nacionales. ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que la persona seleccionada sea un

costarricense que visitó el Parque Nacional Marino Ballena durante el ?

A)

B)

C)

D)

53) Si un hotel de Manuel Antonio decide rifar un premio de una semana de hospedaje con todo incluido,

entre las personas que visitaron el Parque Nacional Manuel Antonio durante el año , entonces,

¿cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que ese premio lo gane una persona extranjera que

visitó ese parque en el ?

A)

B)

C)

D)

2014

2014

0,11

0,22

0,49

0,75

2014

2014

0,27

0,37

0,53

0,72

137

Con base en la siguiente información responda las preguntas 54, 55 y 56:

Los niños de una escuela practican una o dos de las tres disciplinas deportivas disponibles (voleibol,

natación, atletismo); además se sabe que:

escogieron voleibol.

escogieron natación.

escogieron atletismo.

Asimismo, niños escogieron tanto voleibol como natación; niños eligieron natación y también atletismo.

No obstante, ningún niño que practica voleibol, practica atletismo.

54) ¿Cuántos niños escogieron solo voleibol?

A)

B)

C)

D)

55) ¿Cuántos niños escogieron solo natación?

A)

B)

C)

D)

56) ¿Cuántos niños escogieron voleibol o atletismo?

A)

B)

C)

D)

73

25

25

35

5 7

7

12

18

20

13

15

20

28

0

48

53

60

138


En un jardín de niños hay balones: uno rojo, uno azul, uno blanco y uno verde. En el momento de los

juegos se elige uno de esos balones al azar.


I. La probabilidad de que no se elija el balón verde, es igual que la probabilidad del complemento

del evento “elegir el balón verde”.

II. La probabilidad de elegir un balón rojo o blanco, es igual a la suma de la probabilidad de elegir un

balón rojo, más la probabilidad de elegir un balón blanco.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

Con base en el siguiente contexto responda las preguntas 58, 59 y 60:

Considere un dado con todas sus caras enumeradas del uno al seis, donde cada uno de sus números

tiene la misma probabilidad de obtenerse.

58) Al lanzarse una vez el dado la probabilidad de obtener un número par menor que o impar mayor

que es:

A)

B)

C)

D)

4

3

4

1

3

3

4

3

5

2

3

139

59) Al lanzarse una vez el dado la probabilidad de obtener un número diferente a es:

A)

B)

C)

D)

60) Considere las siguientes proposiciones referidas al lanzamiento de un dado:

I. El evento “obtener un número mayor que cero” es un evento seguro.

II. El evento “obtener un número mayor que seis” es un evento improbable.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


El siguiente diagrama ilustra los gustos y preferencias de personas por la práctica del fútbol, el atletismo y

el baloncesto.

61) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique fútbol y

baloncesto, es:

A)

B)

C)

D)

2

1

6

1

3

5

6

1

2

82

0

5

41

30

41

35

41

140

62) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique dos de

esos deportes, es:

A)

B)

C)

D)

63) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique solo

atletismo o solo baloncesto, es:

A)

B)

C)

D)

64) Considere un dado de caras, de modo que, cada una de ellas tiene impreso un número del uno al

seis (no se repite ningún número) y donde todas las caras tienen la misma probabilidad de

obtenerse. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número mayor que uno, es igual que la

probabilidad del complemento del evento "obtener el número uno".

II. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número impar mayor que dos, es igual a

la suma de las probabilidades de obtener el tres, más la probabilidad de obtener el cinco.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

5

41

6

41

13

36

17

10

3

41

18

41

21

41

23

41

6

141

Con base en el siguiente contexto, responda las preguntas 65, 66 y 67:

En un grupo de un colegio vocacional hay hombres y mujeres. Cuatro hombres eligieron la

especialidad de secretariado y los demás contabilidad; mientras que seis mujeres eligieron la

especialidad de secretariado y las demás contabilidad.

65) Si se elige del grupo una persona al azar, entonces, la probabilidad de que sea un hombre o haya

elegido secretariado, es:

A)

B)

C)

D)

66) Si se elige del grupo una persona al azar, entonces, la probabilidad de que sea una mujer de

contabilidad o un hombre de secretariado, es:

A)

B)

C)

D)

67) Con base en el contexto dado, considere las siguientes proposiciones referidas a elegir una persona

al azar:

I. La probabilidad del evento "elegir un hombre o una mujer" es cero.

II. La probabilidad del evento "elegir una mujer de secretariado o de contabilidad" es uno.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la I

12 20

1

4

3

8

9

16

11

16

3

4

5

16

9

16

3

16

142

68) De acuerdo con los datos de la figura, en la cual se presenta un experimento que consiste en lanzar

(una vez) un dado legal si el evento es: que salga un número par y el evento es: que salga un

número primo, entonces, ¿cuál es el evento ?

A)

B)

C)

D)

69) Si en un experimento de lanzar (una vez) un dado legal el evento es: que salga un número

mayor que , entonces, ¿cuál es el complemento “ ” de ?

A)

B)

C)

D)


I. Una empresa realiza una revisión de sus productos y cuando los selecciona tiene dos opciones:

que el producto esté en buen estado o que el producto esté en mal estado.

II. En un grupo de estudiantes se seleccionan aquellos cuya primera letra de su nombre inicia con

“ ” o aquellos cuya primera letra de su apellido inicia con “ ”.

¿En cuáles de las proposiciones anteriores se describen eventos mutuamente excluyentes?

A) En ambas.

B) En ninguna.

C) Solo en la I.

D) Solo en la II.

A B

A B

2

4,6

3,4,5,6

2,3,4,5,6

M

4 cM M

4

5,6

1,2,3

1,2,3,4

C M

143


Los calcetines

A continuación se le presenta una distribución por color de la cantidad de pares de calcetines de

David:

Color de los calcetines Cantidad de pares

Rojos 5

Negros 7

Blancos 8

I. La probabilidad de que David elija al azar un par de calcetines blancos es de .

II. La probabilidad de que David elija al azar un par de calcetines rojos es de .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


En una ciudad, cuando el clima está parcialmente nublado, la probabilidad de que llueva es de .

¿Cuál es la probabilidad de que no llueva cuando el clima está parcialmente nublado en la ciudad?

A)

B)

C)

D)

0,35

0,25

3

7

1

7

2

7

3

7

4

7

144

73) En un experimento de lanzar (una vez) dos dados legales, el evento es:

"Que la suma de las cantidades de los puntos que salen en la cara superior sea menor que "

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el complemento “ ” de ?

A)

B)

C)

D)


Las enfermedades respiratorias

A continuación se que presenta una distribución de la cantidad de pacientes que frecuentan una

clínica, según sexo y padecimiento:

Padecimiento

Sexo Asma Gripe Bronquitis Total

Hombre 7 10 4 21

Mujer 15 8 6 29

Total 22 18 10 50

74) Al elegir al azar un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y presente bronquitis?

A)

B)

C)

D)

A

12

cA A

5

6

11

12

33

34

1

36

0,08

0,12

0,14

0,20

145

75) Considere las siguientes proposiciones referentes a eventos al azar:

I. La probabilidad de que un paciente sea mujer o tenga gripe es .

II. La probabilidad de que un paciente sea hombre o tenga asma es de .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

76) Al elegir al azar un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y padezca asma?

A)

B)

C)

D)


El siguiente diagrama ilustra la cantidad de personas que asisten a una convención y los idiomas que hablan:

77) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona

hable inglés y español, es:

A)

B)

C)

D)

0,94

0,72

0,30

0,44

0,52

0,58

0

1

3

1

5

8

15

146


hable dos de esos idiomas corresponde a:

A)

B)

C)

D)


hable sólo francés o solo español, corresponde a:

A)

B)

C)

D)

80) Considere un dado de caras, de modo que, cada una de ellas tiene impreso un número del uno al

seis (no se repite ningún número) y donde todas las caras tienen la misma probabilidad de

obtenerse.


I. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número menor que seis, es igual que la

probabilidad del complemento del evento "obtener el número seis".

II. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número par mayor que tres, es igual a

la suma de las probabilidades de obtener el cuatro, más la probabilidad de obtener el seis.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

1

6

5

6

3

10

7

10

2

5

7

15

19

30

13

20

6

147


En una ciase de estadística hay hombres y mujeres. Solo cuatro hombres usan el cabello largo

(los demás lo usan corto), mientras que únicamente dos mujeres usan el cabello corto (las demás lo

usan largo).

81) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o use el cabello corto.

A)

B)

C)

D)

82) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar sea una mujer con el cabello largo o un

hombre con el cabello corto.

A)

B)

C)

D)

83) Con base en el contexto dado, considere las siguientes proposiciones referidas a elegir una persona

al azar:

I. La probabilidad del evento "elegir un hombre o una mujer" es uno.

II. La probabilidad del evento "elegir un hombre con cabello largo" es cero.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

12 18

1

3

7

15

11

15

1

18

2

5

3

5

4

5

7

9

148

84) Un estudio científico descubrió que la probabilidad de que una persona contraiga cierto virus al estar

en contacto con otra que lo padece es de . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana

que está en contacto con una que lo tiene, no se contagie?

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente información referente a los sabores preferidos de dulces de unos estudiantes para

responder las preguntas 85, 86 y 87:

85) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que el dulce preferido no

sea solo de mora o solo de menta, es:

A)

B)

C)

D)

86) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que el dulce preferido

sea de mora y coco, es:

A)

B)

C)

D)

0,35

0,00

0,35

0,65

1,00

1

9

5

9

7

45

8

45

0

1

1

3

2

9

149

87) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que ese estudiante

prefiera dos de los tres tipos de dulce, es:

A)

B)

C)

D)

Considere la siguiente situación para responder las preguntas 88 y 89:

La biblioteca de una escuela realiza un inventario de sus libros, para ello revisa el estado de cada uno

y lo resume en la siguiente tabla:

Nivel

Estado del libro Sétimo Octavo

Excelente 20 17

Bueno 4 11

Regular 3 2

Total 27 30

Con base en la información anterior, la biblioteca recicla los libros en estado regular.

88) ¿Cuál es la probabilidad de que, del total de libros de sétimo, se seleccione al azar un libro y que

éste no sea enviado a reciclar?

A)

B)

C)

D)

1

3

2

3

1

9

5

9

7

9

8

9

1

15

14

15

150

89) ¿Cuál es la probabilidad que, del total de libros de octavo, se seleccione al azar un libro y que esté

en regular o buen estado?

A)

B)

C)

D)

90) Considere un dado con todas sus caras enumeradas del uno al seis, donde cada una de sus caras

tiene la misma probabilidad de obtenerse.


I. Al lanzar una vez el dado, la probabilidad de obtener un “número mayor que seis” es cero.

II. Al lanzar una vez el dado, la probabilidad de obtener un “número par”, es igual a la probabilidad

del complemento del evento “obtener un número impar”.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

91) Un experimento consiste en sumar los números de la cara superior, de dos dados legales que son

lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea par o la suma sea un número primo?

A)

B)

C)

D)

2

3

8

9

13

30

17

30

1

2

8

9

5

12

11

12

151


Escoger un número

Considere el experimento de escoger un número natural del al . Sean los eventos:

A: El número escogido sea par.

B: El número escogido sea múltiplo de cinco.

92) De acuerdo con la información del contexto anterior, con certeza se cumple que:

A)

B)

C)

D)


Lanzamiento de dos dados

Se lanzan al aire dos dados legales simultáneamente y se contabiliza la suma de los números de las caras

superiores. Cada dado esta enumerado del al .

93) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea ocho?

A)

B)

C)

D) 0,50

1 20

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20A B

2,4,6,8,12,14,16,18A B

5,10,15,20A B

10,20A B

1 6

0,08

0,14

0,42

152


Cantidad de estudiantes matriculados en los distintos niveles de un colegio

Nivel Hombres Mujeres

Sétimo 120 150

Octavo 90 120

Noveno 90 90

Décimo 150 120

Undécimo 60 90

TOTAL 510 570

94) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que el

estudiante sea mujer?

A)

B)

C)

D)

95) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea de sétimo

año?

R/

96) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que el

estudiante sea un hombre de octavo año o una mujer de décimo?

A)

B)

C)

D)

0,14

0,47

0,53

0,89

0,03

0,19

0,39

0,80

153

97) Considere la siguiente situación:

Edgar y Diego son aficionados a jugar Tiempos de la Junta de Protección Social. En este tipo de juego,

el que acierte el número entre el y el en cada sorteo, se le pagará veces lo que pagó por el

número. La estrategia de Edgar es comprar todos los números terminados en cinco ( , , ,

etc.), mientras que la estrategia de Diego es comprar todos los números desde el hasta el .


I. Entre Edgar y Diego es más probable que Diego acierte el número.

II. La probabilidad de que alguno de los dos, Edgar o Diego, acierte es .

De ellas, ¿cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


Distribución de una muestra de 400 estudiantes, según "Hábito de ejercicio físico" y "Rendimiento

académico"

Hábito de ejercicio

físico

Rendimiento Académico

Total Con calificaciones mayores o iguales

que 90

Con calificaciones menores

que 90

Hacen ejercicio 160 40 200

No hacen ejercicio 48 152 200

Total 208 192 400

98) Si se selecciona de esta muestra un estudiante en forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que

no haga ejercicio y obtenga calificaciones mayores o iguales que ?

A)

B)

C)

D)

00 99 70

05 15 25

75 99

0,32

90

0,12

0,24

0,38

0,76

154

99) Considere las siguientes afirmaciones:

I. La probabilidad de ser un estudiante con calificaciones mayores o iguales que , es más de tres veces

mayor para los que hacen ejercicios que para los que no lo hacen.

II. La probabilidad entre los estudiantes que no hacen ejercicio, de ser un estudiante con calificaciones

mayores o iguales que es .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


La siguiente figura representa una tómbola de un programa televisivo de concursos y cada cantidad

corresponde a un premio de dinero en efectivo en dólares. El participante hace girar la tómbola y gana

el premio de la casilla señalada por la flecha.

Todas las casillas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.


I. La probabilidad de ganar el premio de es aproximadamente .

II. Es más probable ganar el premio de que el de .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

90

90 0,24

$2000 0,08

$500 $300

157

Undécimo

Funcion Raíz Cuadrada E Inversa

1) Si la función lineal está dada por , entonces la gráfica de la función inversa de es:

A)

B)

C)

D)

f 23

xf x

f

Tema 1 Relaciones y Algebra 11

158

2) Si es la función dada por , entonces, ¿cuál es la representación gráfica de la función

inversa de ?

A)

B)

C)

D)

f 13

2

xf x

f

159

3) Si es la función dada por , entonces el dominio de es:

A)

B)

C)

D)

4) Sea la función dada por . ¿Cuál punto pertenece a la representación gráfica de la

función inversa de ?

A)

B)

C)

D)


Sea la función biyectiva ; con .

5) ¿Cuál es el dominio de la inversa de ?

A)

B)

C)

D)

6) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de ?

A)

B)

C)

D)

f 2 3f x x f

, 2

, 2

2,

2,

f 7 3f x x

f

1,4

2,3

4,1

2, 3

: 1,f P ( ) 1 2f x x

f

0,

2,

2,

1,

f

1,

2,

,1

, 2

160


Sea una función que posee inversa, tal que, ; con .


A)

B)

C)

D)


A)

B)

C)

D)

9) Si es la función dada por , entonces la imagen de es:

A)

B)

C)

D)

Considere las siguientes gráficas de las funciones lineales y para responder las preguntas 10 y 11:

10) La intersección de la gráfica de con el eje de las abscisas corresponde a:

A)

B)

C)

D)

f : 2,f P 2 1f x x

f

0,

2,

2,

1,

f

1,

2,

, 1

, 2

f 2 3 4f x x 6

2

10

22

2 5

f g

f

0,0

3,0

2,0

3,0

161


I. Un criterio para la función es .

II. La pendiente de la función es .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II

12) Sea la función dada por , la gráfica de su función inversa corresponde a:

A)

B)

C)

D)

f 2

33

f x x

g 1

f 2

35

f x x

162

13) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f y su representación gráfica tal que:

I.

II. La gráfica de “ ” interseca al eje “ ” en el punto


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

14) Considere las siguientes proposiciones referidas a las funciones y :

I.

II. La inversa de es .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

5

3

xf x

1r x f x

1F

y

10,

3

1f x x 1g x x

g f x f g x

f g

163


Sea una función que posee inversa, tal que, ; con


A)

B)

C)

D)


A)

B)

C)

D)

17) Considere la siguiente gráfica referida a la función . De acuerdo con la información anterior, un

intervalo del dominio de , donde posee inversa,

corresponde a:

A)

B)

C)

D)

18) Considere la función biyectiva . De las siguientes funciones, ¿cuál corresponde a la

inversa de ?

A)

B)

C)

D)

f : 1,f P 1 2f x x

f

0,

1,

2,

1,

f

1,

2,

, 1

, 2

f

f f

4,0

2,3

4,3

2,0

2 5f x x

f

2 5a x x

2

5

xr x

5 2h x x

5

2

xg x

164

19) Si es una función que posee inversa, entonces, la gráfica de la inversa de “ ” interseca

al eje (ordenadas) en:

A)

B)

C)

D)

20) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función dada por y su gráfica:

I. El dominio de es .

II. Para , no está definida.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Sola la II.

2f x x f

" "y

0,2

2,0

0, 2

2,0

f 2 1f x x

f 0,

3x f

165

Considere las siguientes gráficas de las funciones lineales y para responder las preguntas 21 y 22:

Gráficas de funciones


I. El codominio de la función inversa de f es .

II. El dominio de la función inversa de es .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. El ámbito de la inversa de es .

II. La gráfica de la inversa de interseca al eje “ ” en el punto .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

f g

f , 3

g 4,

g 0,

f y 0,5

166

23) Considere los datos de la gráfica de la función :

Un intervalo del dominio en donde posee inversa es:

A)

B)

C)

D)

Función Exponencial y logarítmica

1) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función dada por :

I. es decreciente.

II. El ámbito de es .

III. El punto pertenece al gráfico de


A) Todas

B) Solo la I y la II

C) Solo la I y la III

D) Solo la II y la III

f

f

0,3

0,4

3,

4,

f 7

6

x

f x

f

f 0,

0,1 f

167

Valore la siguiente gráfica de una función exponencial de la forma , para responder las

preguntas 2 y 3:

2) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función :

I. El valor de “ ” es .

II. Si , entonces .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. pertenece al gráfico de .

II. La gráfica de es decreciente.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

f xf x a

f

a 2

0x 0 1f x

f

0,1 f

f

168

4) Considere la siguiente representación tabular de la función exponencial dada por :

0 1 2 3

1 4 16 64

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de ?

R/

5) Considere la función exponencial dada por información de la función . Con base en la

Información de la función , se puede afirmar que:

A) la gráfica de f es decreciente.

B) interseca al eje “ ” en .

C) interseca al eje “ ” en .

D) interseca al eje “ ” en .

Considere la siguiente gráfica de una función exponencial de la forma , para responder las

preguntas 6 y 7:

f xf x a

x

f x

6f

f 3

4

x

f x

f

x3

,04

y3

0,4

x 1,0

f xf x a

169


I. .

II. es un elemento del gráfico de .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II



II. Si , entonces, .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

8) Considere la siguiente función exponencial y las siguientes proposiciones referidas a ella:

I. es un elemento del gráfico de .

II. La función “ ” es decreciente.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

f

1a

3,8 f

f

0,1 f

0x 0 1f x

10

9

x

f x

1002,

81

f

f

170

9) Considere las siguientes proposiciones para una función exponencial “ ” definida por .

I. La gráfica “ ” es creciente.

II. La intersección de la gráfica de “ ” con el eje “ ” (ordenadas) es .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

10) Considere la siguiente representación gráfica de la función logarítmica dada por :

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de ?

R/

11) Considere la siguiente tabla referente a una función :

1 0

3 1

9 2

27 3

f 3xf x

f

f y 0,1

f 2logf x x

" "n

f

x f x

171

De acuerdo con la información anterior, el criterio de corresponde a:

A)

B)

C)

D)

12) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la gráfica de la función logarítmica dada por

:

I. .

II. es creciente.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

13) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función , dada por , donde

es un elemento del gráfico de :

I.

II.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

f

3xf x

3f x x

22f x x

3logf x x

f

logaf x x

0 1a

f

f logaf x x

9, 2 f

0 1a

27 3f

172



I.

II.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.



I.

II. es un elemento del gráfico de .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

16) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función

logarítmica dada por y su gráfica:

I. El codominio de es .

II. La función es decreciente.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II

f ( ) logaf x x 9, 2

f

0 1a

10

2f

f logaf x x 8,3

f

0 1a

2,1 f

f 7

logf x x

f

f

173

17) La solución de la ecuación es:

A)

B)

C)

D)

18) La expresión es equivalente a:

A)

B)

C)

D)

19) La expresión es equivalente a:

A)

B)

C)

D)

2 35 9x x

1

1,5

3log 9

2log 5 log 9

3log 9 2log 5

log 9

2log 8 log 0.5x x

8log 2

log 8x

log 16x

15log

2

x

2000 200 500log 2logm n m

1000

400log

m

n

1500

200log

m

n

3000 400log m n

1000 200log m n

174

20) Con base en las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial dada por ,

con :

I. La inversa de está dada por .

II. La gráfica de interseca el eje de las abscisas (eje ) pero no interseca el eje de las ordenadas

(eje ).


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

21) La solución de la ecuación corresponde a:

A)

B)

C)

D)

22) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial con , dada por

:

I. La inversa de está dada por .

II. La gráfica de interseca el eje de las ordenadas (eje y) en .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

f :f

2xf x

f –1

2logf x x

f x

y

13 5x

5log 4

3log 6

5log 3 1

3log 5 1

f :f

0,5x

f x

f 1

0,5logf x x

f 0,1

175

23) Considere la siguiente tabla referente a una función :

De acuerdo con la información anterior, el criterio de corresponde a:

A)

B)

C)

D)

24) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función logarítmica , con

:


II. La función inversa de es una función exponencial decreciente.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

f

f

3xf x

3f x x

22f x x

3logf x x

:f

2

logf x x

8,16 f

f

1 0

3 1

9 2

27 3

x f x

176

Modelos

1) .Considere el siguiente enunciado:

El húmero es un hueso del brazo, que va desde el hombro hasta el codo. La altura " " en centímetros

de una persona masculina adulta, con un húmero de longitud " ", en centímetros, está dada por la

fórmula:

De acuerdo con los datos del enunciado anterior, la longitud del húmero de una persona masculina adulta se

puede calcular mediante la fórmula

A)

B)

C)

D)

Considere el siguiente enunciado para responder los ítems 2 y 3:

La función dada por , permite calcular la altura " ", en metros, que

alcanza un objeto en función del tiempo " ", en segundos, transcurrido desde su lanzamiento.

2) Desde su lanzamiento, ¿aproximadamente cuánto tiempo, en segundos, tarda el objeto en tocar el

suelo?

A)

B)

C)

D)

3) ¿Cuál es aproximadamente, la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?

A)

B)

C)

D)

L

x

2,89 70,64L x

24,44x L

67,75x L

0,35 24,44x L

0,35 70,64x L

h2

( ) 4,9 125 2 0,6h t t t h t

t

37,03

36,08

25,08

18,03

768,26

976,04

1594,99

1823,35

177

4) Considere el siguiente enunciado:

Mariana y Andrea coleccionan revistas. Mariana observó que, si le da una de sus revistas a Andrea,

ambas tendrían la misma cantidad y Andrea se dio cuenta que si le daba una revista a Mariana,

Mariana tendría el doble de revistas de las que a ella le quedarían.

De acuerdo con la información anterior, la cantidad de revistas que tienen entre las dos corresponde a:

A)

B)

C)

D)


Jessica redacta un mensaje de texto y un minuto después, lo envía a sus dos mejores amigos. Al

siguiente minuto, sus dos mejores amigos reenvían el mensaje a otras dos personas y estas a su vez

hacen lo mismo después de otro minuto. La cadena de envíos del mensaje continúa creciendo cada

minuto, cuando cada nuevo receptor del mensaje lo reenvía a otras dos personas.

De acuerdo con la información anterior, si " " es la cantidad de receptores del mensaje, después de " "

minutos a partir del instante en que Jessica redactó el mensaje, entonces una ecuación que modela la

situación anterior corresponde a:

A)

B)

C)

D)

6

7

12

13

y x

2xy

2y x

22y x

2logy x

178

Considere el siguiente enunciado para responder los ítems 6 y 7:

La función dada por , permite calcular la altura " ", en metros, que

alcanza un objeto en función del tiempo " ", en segundos, transcurrido desde su lanzamiento.

6) Desde su lanzamiento, ¿aproximadamente cuánto tiempo, en segundos, tarda el objeto en tocar el

suelo?

A)

B)

C)

D)

7) ¿Cuál es aproximadamente, la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?

A)

B)

C)

D)

8) El modelo de Bertalanffy establece que la longitud " ", en centímetros, después de " " años de

vida de un pez barracuda, esta modelada por . Si se utiliza el modelo de

Bertalanffy, la longitud aproximada, en centímetros, de una barracuda al término de 2 años es

aproximadamente:

A)

B)

C)

D)

h2

( ) 4,9 125 2 0,6h t t t h t

t

37,03

36,08

25,08

18,03

768,26

976,04

1594,99

1823,35

L t t

0,23198 197,1 tL t e

41,42

73,61

99,18

119,50

179

9) Considere el siguiente enunciado:

La fórmula de interés compuesto que permite obtener el capital " ", después de " " años de invertir

un capital inicial de , a un interés del y capitalizable continuamente, está dada por

.

De acuerdo con la información anterior, ¿cuántos años se requieren como mínimo, si se desea obtener un

capital superior a ?

A)

B)

C)

D)

10) Considere la siguiente representación gráfica de una función que corresponde a las ganancias

de una empresa, en millones de colones, por la fabricación y venta de " " unidades de un producto:

De acuerdo con la información anterior, el criterio de la función que mejor modelaría las ganancias de la

empresa corresponde a:

A) , con

B) , con y

C) , con

D) , con y


Luis es un vendedor de libros y recibe mensualmente un salario base de , más una

bonificación de por cada libro vendido.

De acuerdo con la información anterior, el mejor modelo para representar la relación entre el salario mensual

de Luis y la cantidad de libros que vende, corresponde a una función

A) Lineal.

B) Cuadrática.

C) Logarítmica.

D) Exponencial.

C t

¢500 000 8%

0,08500 000

tC e

¢800 000

5

6

7

8

f f x

x

f x ax b 0a

xf x a 0a 1a

2ax x cf x b 0a

logaf x x 0a 1a

¢400 000

¢8000

180


En una actividad, el valor de entradas para adulto y para niño es y el valor de entradas

para adulto y para niño es . De acuerdo con la información anterior, si cada entrada para adulto

tiene el mismo valor y cada entrada para niño tiene el mismo valor, entonces el valor, en colones, de una

entrada para niño es:

A)

B)

C)

D)


Una empresa, proveedora do servicio de telefonía móvil, ha determinado que cuando una noticia es de interés

popular, la cantidad “ ” de mensajes de texto enviados por los usuarios, a los " " minutos después de

dar a conocer la noticia, está dada por .

De acuerdo con la información anterior y tomando en cuenta que el valor mensaje de texto es ; ¿cuánto

dinero, en colones, recibe la empresa a minutos después de dar a conocer una noticia de interés popular?

A)

B)

C)

D)

10 9 ¢51 200 15

17 ¢83 100

1800

2633

2695

3300

m x x

4xm x

¢2,5

10

100

320

419 430

2 621 440

181


En un estudio, sobre una población inicial de bacterias, se determina que la cantidad “ ” de

bacterias, a las " " horas después de haber iniciado ese estudio, está dada por .

De acuerdo con la información anterior, ¿cuántas horas deben transcurrir, después de iniciado ese estudio,

para que la población sea de bacterias?

A)

B)

C)

D)

15) El ingreso mensual " ", obtenido por vender " " unidades de un producto, está modelado por

. ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender unidades de ese producto?

A)

B)

C)

D)


Un juego consiste en lanzar un balón hacia arriba. El balón sigue una trayectoria en la cual la altura que

alcanza cambia mientras transcurre el tiempo: el balón parte del suelo, se eleva hasta alcanzar una altura

máxima y finalmente cae hasta que vuelve a tocar el suelo,

tal y como se ilustra en la figura adjunta. De acuerdo con la

información anterior, si la fuerza de rozamiento del viento es

despreciable, entonces el modelo que mejor se ajusta para

describir la altura que alcanza el balón en función del

tiempo, corresponde a una función:

A) Lineal.

B) Cuadrática.

C) Logarítmica.

D) Exponencial.

600 f t

t 1

2600 3f t

1800

0,5

1,0

1,5

2,0

I x x

260 0,01I x x x 3000

5950

6050

90 000

179 940

182


Una empresa de entrega de paquetes ofrece un servicio tipo y un servicio tipo , los cuales se cobran

con base en los kilómetros (pueden ser con decimales) que deba recorrer para realizar la entrega del paquete.

El comportamiento del cobro, por tipo de servicio, se muestra con algunos posibles recorridos, en las

siguientes tablas:

Servicio tipo A

Recorrido

(kilómetros)

0 5 10 15 20

Cobro

(colones)

0 50 100 150 200

Servicio tipo B

Recorrido

(kilómetros)

0 5 10 15 20

Cobro

(colones)

0 25 100 225 400


I. El servicio tipo se adapta mejor a un modelo que corresponde a una función lineal.

II. El servicio tipo se adapta mejor a un modelo que corresponde a una función logarítmica.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


En una actividad, el valor de entradas para adulto y para niño es y el valor de entradas

para adulto y para niño es .

De acuerdo con la información anterior, si cada entrada para adulto tiene el mismo valor y cada entrada para

niño tiene el mismo valor, entonces el valor, en colones, de una entrada para niño es:

A)

B)

C) 2633

D)

A B

A

B

10 9 ¢51 200 15

17 ¢83 100

1800

2695 3300

183


Una empresa, proveedora do servicio de telefonía móvil, ha determinado que cuando una noticia es de interés

popular, la cantidad “ ” de mensajes de texto enviados por los usuarios, a los " " minutos después de

dar a conocer la noticia, está dada por . De acuerdo con la información anterior y tomando en

cuenta que el valor mensaje de texto es ; ¿cuánto dinero, en colones, recibe la empresa a minutos

después de dar a conocer una noticia de interés popular?

A)

B)

C)

D)


En un estudio, sobre una población inicial de bacterias, se determina que la cantidad “ ” de

bacterias, a las " " horas después de haber iniciado ese estudio, está dada por .

De acuerdo con la información anterior, ¿cuántas horas deben transcurrir, después de iniciado ese estudio,

para que la población sea de bacterias?

A)

B)

C)

D)

21) El ingreso mensual " ", obtenido por vender " " unidades de un producto, está modelado por

. ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender unidades de ese producto?

A)

B)

C)

D)

.

m x x

4xm x

¢2,5 10

100

320

419 430

2 621 440

600 f t

t 1

2600 3f t

1800

0,5

1,0

1,5

2,0

I x x

260 0,01I x x x 3000

5950

6050

90 000

179 940

184

22) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso “ ” en colones, por

concepto de las ventas “ ”, en colones, corresponde a . ¿De cuánto debe ser la

venta para obtener un ingreso de ?

A)

B)

C)

D)

23) La altura “ ” en metros de un objeto está dada por , donde “ ” es el tiempo en

segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?

A)

B)

C)

D)

24) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos

laborados. El empleado recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de

. El empleado recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de

. ¿Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la misma cantidad de salario?

A)

B)

C)

D)

25) La relación entre el tiempo “ ”, en horas, y el crecimiento de una población “ ” de amebas, está dada

por donde “ ” es la población inicial de amebas. Si se observa una población inicial de

amebas, entonces, ¿cuántas amebas habrá en horas?

A)

B)

C)

D)

I x

x 5 750 000 0,08I x x

¢ 8 740 000

¢239 200

¢6 449 200

¢37 375 000

¢181125 000

h t 210 5h t t t t

1m

4m

5m

6m

A ¢500 000

¢10 000 B ¢600 000

¢5 000

10

12

20

22

t P

2logP

tk

k 6

8

48

96

384

1536

185


Una agencia de publicidad contrata el servicio de telefonía a dos compañías diferentes. Los costos, en

colones, por minuto de consumo que ofrecen las dos compañías, dependen de la cantidad total de minutos

mensuales consumidos, según se muestran en la siguiente tabla:

Menos de 10 000 minutos de consumo

telefónico al mes

10 000 minutos o más de consumo

telefónico al mes

Empresa A Empresa B Empresa A Empresa B

Costo por minuto 5 8

26) En el mes de enero la agencia ha consumido minutos de llamadas en total, entre los dos servicios

contratados. Si por esta cantidad de minutos tuvo que pagar , entonces, ¿cuántos de esos minutos

corresponden a llamadas consumidas, si se utilizó el servicio de la empresa ?

A)

B)

C)

D)

27) En el mes de febrero el consumo telefónico fue de minutos por el servicio y de minutos

por el servicio . Por ese consumo la agencia tuvo que pagar . Si la suma de los costos por minuto

de los dos servicios contratados es ; entonces, ¿cuál fue el costo, en colones, por minuto de consumo

del servicio de la empresa en ese mes?

A)

B)

C)

D)

x y

9050

¢59 800

A

2150

3200

4200

5150

4400 A 5800

B ¢60 400

¢11,5

B

4

5

7

11

186

Considere la siguiente información para responder los ítems 28 y 29.

En el año , la cantidad de mamíferos de una especie en cierta región fue de individuos. Expertos

han determinado que a partir del año el crecimiento " ” de la población de estos mamíferos, se

puede determinar mediante el criterio ,donde " " es el tiempo en años que han transcurrido

desde el año .

28) ¿En cuál año la población fue de individuos?

A)

B)

C)

D)

29) ¿De cuántos individuos fue la población en el ?

A)

B)

C)

D)

30) Una vendedora recibe diariamente un salario " ”, el cual está compuesto por un monto fijo de

, más una comisión de por cada artículo vendido. Si “ ” representa la cantidad de artículos

vendidos por esa vendedora, entonces, ¿cuál es el criterio de la función que mejor se adapta como modelo

para calcular el salario recibido diariamente por esa vendedora?

A)

B)

C)

D)

2000 500

2000 f t

1

2500 3f t t

2000

1500

2001

2002

2003

2006

2012

1500

13 500

121 500

364 500

S x

¢9598 ¢525 x

525S x x

9598 525S x x

9598 525S x x

230 352 525S x x

187


El ingreso por las ventas de cierto articulo depende de la cantidad de artículos que se venden. En la siguiente

tabla se muestran algunos ejemplos de la relación que se da entre la venta de cierta cantidad de ese artículo y

el ingreso, en colones, obtenido por esa venta:

Artículos

vendidos 1 2 3 4 5

Ingreso en

colones 600 1200 1800 2400 3000

De acuerdo con la información anterior, la función que mejor se adapta para describir el ingreso “ ”, en

colones, por la venta de “ ” cantidad de artículos, corresponde a una función cuyo criterio es:

A) , con .

B) , con .

C) , con .

D) , con .


Un modelo que relaciona la temperatura “ ”, en grados Fahrenheit , en función del número de sonidos

que emite una especie de grillos es ; donde " " es el número de sonidos por minuto.


I. El modelo presentado corresponde a una función lineal.

II. La temperatura, en grados Fahrenheit, en un lugar donde se contabilizan sonidos por minuto de un

grillo de esa especie, es .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

I x

x

xI x a 1a

I x mx 0m

I x mx 0m

xI x a 0 1a

T F

0,21 40,4T N N

50

50,9 F

188

33) Considere la siguiente representación gráfica en la que aparece la secuencia del salto de un delfín:

De acuerdo con la información anterior, la función que mejor se adapta como modelo para describir la altura

con respecto al nivel del agua que alcanza el delfín en su salto, en función del tiempo, corresponde a la

función:

A) Lineal.

B) Cuadrática.

C) Logarítmica.

D) Exponencial.

Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 34y 35:

La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es de y

cada uno de ellos se vende en .

34) Si en un mes Omega realiza una inversión de en la producción de estuches, entonces,

¿cuántos estuches se produjeron en ese mes?

A)

B)

C)

D)

35) Una función que modela el ingreso de la empresa en términos de la cantidad “ ” de estuches

vendidos corresponde a:

A)

B)

C)

D)

¢400

¢2000

¢4000000

2000

2400

8000

10000

I x x

400I x x

2000I x x

400 2000I x x

2000 400I x x

189

36) La función modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo,

donde “ ” es la altura en que se localiza el objeto a los “ ” segundos de haberse lanzado (suponga que el

roce del objeto con el aire es despreciable). ¿Cuántos segundos dura ese objeto desde su lanzamiento hasta

el momento que regresa al suelo?

A)

B)

C)

D)


El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es . Además, el tanque tiene

una capacidad de litros y el precio de cada litro es de colones.

37) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros que se puede

recorrer en dicha motocicleta, corresponde a:

A)

B)

C)

D)

38) Una función que modela el costo " ", en colones, relacionado con los " " litros de combustibles que

consume la motocicleta, corresponde a:

A)

B)

C)

D)

220 – 5h t t t

h t t

2

4

5

15

36 km

10 579

132

136

219

360

l x x

36l x x

579l x x

36 10l x x

579 10l x x

190

39) El precio “ ” de cierto modelo de equipo tecnológico, en dólares , está dado por

, donde “ ” representa los años desde el momento en que el equipo salió al mercado.


I. El precio de un equipo nuevo es de .

II. Para que un equipo tenga un precio inferior a los deben transcurrir más de años de

haber salido al mercado.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


Se compraron kilogramos entre clavos y tornillos.

Cada kilogramo de clavos vale , el de tornillos y se pagó un total de .

¿Cuántos kilogramos de tornillos se compraron?

A)

B)

C)

D)

41) El rendimiento de una empresa está modelado por , donde “ ” representa la

cantidad de empleados contratados. ¿Cuántos empleados necesita contratar la empresa para que su

rendimiento sea el máximo?

A)

B)

C)

D)

P $

15 000 0,7t

P t t

$15000

$1200 8

5

¢400 ¢550 ¢2300

1,0

1,5

2,0

4,0

r x 2–2 1000r x x x x

100

250

500

1000

191

42) El precio " ” (en dólares ), de una propiedad está modelada por , donde

" " representa los años desde el momento de su adquisición. Con base en la información anterior, considere

las siguientes proposiciones:

I. El precio de adquisición de la propiedad fue de .

II. A los años exactos de haberse adquirido la propiedad el precio de esta es inferior a .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró kilogramos.

Cada kilogramo de alimento para perros cuesta , para gatos y se pagó un total de

en estos alimentos.

¿Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró?

A)

B)

C)

D)

44) La altura “ ”, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire es

despreciable) está dada por , donde “ ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura

máxima, en metros, que alcanza el objeto?

A)

B)

C)

D)

P t $ 85 000 1,09t

P t

t

$92 650

5 $150 000

32

¢1800 ¢2100

¢61 200

12,00

20,00

29,14

34,00

h t

25 30h t t t t

25

30

35

45

192

45) El costo de producción mensual “ ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar está dado por

, donde " " representa la cantidad de cañas producidas . De acuerdo

con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de dólares.

II. Los costos de producción decrecen a partir de cañas de pescar producidas al mes.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

46) Se determina que la ganancia “ ”, en colones, al producir “ ” cantidad de ciertos artículos en una

fábrica, está dada por . ¿Cuántos artículos deben producirse para obtener una ganancia de

?

A)

B)

C)

D)

47) En una fábrica el costo de producir cada par de zapatos es de . Asimismo se incurre en un costo

fijo de producción de diarios. Con base en la información anterior, un criterio que modela el costo

total “ ” de producción diaria, con “ ” representando los pares de zapatos confeccionados en un día es:

A)

B)

C)

D)

c x

22 1200c x x x x 0 600x

300

295

G x x

52 120G x x

¢3000

55

60

65

68

¢2000

¢100000

C x x

2000C x x

2000 100000C x x

2000 50000C x x

100000 2000C x x

193


Miguel fue a una librería a comprar cuadernos cosidos y cuadernos de resortes. Al llegar a la

caja le dijeron que debía pagar . Como el dinero que llevaba no le alcanzó, compró

cuadernos cosidos y cuadernos de resortes, por lo que pagó .

Considere que los cuadernos poseen las mismas características, según el tipo de cuaderno (cosido

o resortes).

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál fue el precio, en colones, de cada cuaderno cosido?

A)

B)

C)

D)

49) Considere la siguiente información y las proposiciones referidas a ella:

La campaña de reciclaje

Durante una campaña de reciclaje, el profesor guía de un grupo de estudiantes dividió al

grupo en dos subgrupos: un grupo , cuyos integrantes debían aportar latas vacías cada

uno, y un grupo , cuyos integrantes debían aportar latas vacías cada uno. Al finalizar la

campaña, entre los estudiantes recolectaron latas vacías.

I. Hay más estudiantes en el grupo que en el grupo .

II. Hay estudiantes en el grupo .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

4 4

¢14500 3

5 ¢12000

103,51

1714,28

2500,00

3062,50

42

A 4

B 2

42 128

B A

22 A

194

50) La trayectoria de un balón lanzado hacia arriba está modelada por , donde “ ” es la

altura en metros que alcanza el balón a los “ ” segundos de haberse lanzado (suponga que el roce del aire es

despreciable). ¿Cuántos segundos tardó el balón en alcanzar la altura máxima?

A)

B)

C)

D)


El Precio en el mercado

El precio en el mercado “ ” de un artículo escolar, en colones, está dado por

, donde “ ” representa al tiempo, en meses, después de salir al mercado.

I. El artículo escolar tiene un precio inicial de .

II. Al transcurrir un mes de salir al mercado, el valor del artículo baja .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


Tania toma una barra de chocolate y la divide en partes iguales. Luego toma esas partes iguales

y divide cada una de ellas en otras partes iguales y así sucesivamente.

52) ¿Cuántos cortes se necesitan para obtener un total de pedazos de chocolate?

A)

B)

C)

D)

215 4,9 h t t t h

t

1,53

3,06

5,74

11,48

P x

3250 0,9x

P x x

¢3250

¢325

2 2

2

16

3

4

8

12

195


I. En la quinta división se obtiene un total de pedazos de chocolate.

II. Para obtener pedazos de chocolate hay que dividirlo seis veces.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


El precio “ ”, en dólares, de un artículo, luego de “ ” cantidad de años de haber sido lanzado al

mercado, está dado por .

I. El precio inicial del artículo es de dólares.

II. Para que el artículo tenga un precio inferior a la mitad del precio original deben transcurrir más

de años después de haber sido lanzado al mercado.


A) Ambas. C) Ninguna.

B) Solo la I. D) Solo laII

55) La escala Richter “ ” es usada para medir la magnitud de un terremoto, aplicando la fórmula ,

donde “ ” es la intensidad de un terremoto en decibeles. ¿Cuál es la intensidad, en julios, de un terremoto

que registró una magnitud de en la escala de Richter?

A)

B)

C)

D)

10

64

P x x

0,25512 2

xP x

1024

4

R logR E

E

6,9

69

10

6,9

6,9

10

110

196

56) Considere e\ siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:

El crecimiento poblacional «f(x)» de cierto cultivo de bacterias está modelado por , en

donde “ ” representa el tiempo en horas.

I. Al transcurrir horas hay bacterias.

II. Existen bacterias al transcurrir horas.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


La tarifa en el primer kilómetro recorrido de un taxi de carga es de y por kilómetro

recorrido adicional.

¿Cuál es la función que modela el contexto anterior, donde “ ” representa los kilómetros y además ?

A)

B)

C)

D)

58) La función dada por modela la temperatura en grados Celsius a "x" metros de altura

sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a una altitud de metros sobre el nivel del mar?

A) C)

B) D)

30 4x

f x

x

4 7680

96 3

¢5000 ¢5750

x 1x

5750f x x

5000f x x

5750 5000f x x

5000 5750f x x

t 1

34100

t x x

3000

3 C 4 C

3 C 4 C

197


Una ama de casa elabora pasteles para ¡a venta. El costo de producir cada uno de ellos es de y el

precio de venta de cada pastel es de . Si "x" es la cantidad de pasteles producidos y vendidos, y

es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior corresponde a:

A)

B)

C)

D)

60) En un determinado estudio, se concluye que el crecimiento de un tipo de bacteria está modelado por

, donde " " es la cantidad de bacterias en millones a los "x" días de iniciado el estudio. Con

base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La población inicial es de un millón de bacterias.

II. A los dos días exactos de iniciado el estudio, la cantidad de esas bacterias se ha incrementado

en millones.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

61) Considere la siguiente información sobre una atleta que entrenó en el mes de julio corriendo en playa o

en montaña (el día que corrió en playa no corrió en montaña):

En julio realizó entrenamientos en total, entre carreras en playa y en montaña.

Cada recorrido en playa es de , en montaña de y durante los entrenamientos del mes

de julio recorrió un total de .

¿Cuántos kilómetros de montaña corrió la atleta en el mes de julio?

A)

B)

C)

D)

¢125

¢625 g x

125g x x

500g x x

625g x x

625 125g x x

5xp x p x

25

14

3km 5km

58km

29

36

40

44

198

62) El costo " " en miles de dólares por producir "x" unidades de relojes finos está modelado por

¿Cuántos de esos relojes se deben producir para obtener el menor costo posible?

A)

B)

C)

D)

63) La ganancia " " de una empresa, en dólares, por producir "x" unidades de un cierto artículo está

modelada por . ¿Cuál es la máxima ganancia, en dólares, que puede obtener la

empresa?

A)

B)

C)

D)


Una empresa dedicada a realizar instalaciones eléctricas elabora sus presupuestos “ ”, en dólares,

con base al modelo donde “ ” es el número de metros lineales de tendido

eléctrico por instalar.

Si para una tienda se presupuestan dólares, entonces, ¿cuántos metros lineales de tendido eléctrico se

contemplan para el trabajo?

A)

B)

C)

D)


Una empresa adquiere una máquina selladora de bolsas, la cantidad de bolsas “ ”, que se sellan

está dada por , donde “ ” es el tiempo en minutos que utiliza la máquina.

¿Cuántos minutos se requieren para sellar bolsas?

A)

B)

C)

D)

C x

2 30 245C x x x

15

20

30

245

g x

23 1800g x x x

600

5 400

54 900

270 000

P

20 230P m m m

1350

56

79

117

298

B

75B m m m

1500

12

15

20

75

199


El monto “ ” en colones que se debe pagar por viajar en taxi una distancia mayor a un kilómetro está

dada por , en donde “ ” representa la cantidad de kilómetros recorridos.

¿Cuál es el monto, en colones, al pagar por un viaje en taxi de ?

A)

B)

C)

D)


La dueña de una soda define el precio de su platillo más vendido “ ” en colones cada uno. El

costo de producción de dicho platillo es de colones cada uno. La función ganancia “ ” está

dada por la función , donde representa la cantidad de platillos.

67) Si la ganancia del platillo “ ” es colones, entonces, ¿cuántos platillos se vendieron?

A)

B)

C)

D)

68) ¿Cuál es la ganancia, en colones, de vender platillos “ ”?

A)

B)

C)

D)


Los costos de producción “ ” por producir “ ” cantidad de artículos en una empresa, están dados

por la función ; donde está en dólares.

¿Cuál es el costo en dólares, de producir artículos?

A)

B)

C)

D)

C

610 20C k k k

5km

3050

3070

3150

15 250

A 2500

1150 G

1350G x x " "x

A 21 600

9

16

19

22

60 A

69 000

81 000

150 000

219 000

C x

20,1 5 1000C x x x C

300

2500

3000

7500

8500

200


Oleaje

Suponga que la velocidad “ ”, en , del viento que genera olas con una altura “ ”, en metros, está

dada por .

70) ¿Cuál es la altura, en metros, de las olas, si la velocidad del viento que las genera es de ?

A)

B)

C)

D)


Relación volumen-temperatura

El volumen de varios gases se expande cuando la temperatura es alta y se contrae

cuando la temperatura es baja. Esta relación del volumen “ ” y la temperatura “ ”, es

una relación lineal . En el siguiente cuadro se presentan datos de esta relación:

Volumen del gas

(en centímetros cúbicos)

Temperatura

(en grados Celsius)

71) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando este se encuentra a ?

A)

B)

C)

D)

V /km h h

31

5

hV h

12,4 /km h

2,00

4,00

21,83

24,80

v t

f t v

400 30

600 80

120 C

40

200

310

760

201

72) La señora Annette invirtió dólares en dos bancos. El banco paga una tasa de interés anual

del y la tasa de interés anual del banco es de . Si por año recibe dólares, entonces,

¿cuánto invirtió en el Banco ?

A)

B)

C)

D)


Modelo matemático de crecimiento micro bacteriano

Las bacterias crecen siguiendo una progresión geométrica en la que el número de bacterias se duplica al cabo

de un tiempo determinado denominado “tiempo de generación”. De esta forma, es posible calcular el número

de bacterias “ ”, al cabo de un número de generaciones « » usando el modelo siguiente: ,

donde representa el número de células en el momento inicial.

73) ¿Cuál sería el número de células en el momento inicial, si tenemos bacterias para la quinta

generación?

A)

B)

C)

D)

80 000 A

9% B 10,5% 7 530

A

22 000

33 000

47 000

58 000

N n 0 2nN N

0N

8000

250

800

16 000

256 000

203


Resultados en un periodo de un grupo de undécimo año

Asignatura Media aritmética (Promedio) Desviación estándar

Matemáticas 78,3 7,4

Estudios sociales 85,4 8,0

Español 92,1 8,3

Educación Cívica 94,5 8,6

Lucía es una estudiante del grupo y obtuvo en ese periodo las siguientes calificaciones: en

Matemáticas; en Estudios Sociales; en Español y en Educación Cívica.

1. La asignatura que presentó menor variabilidad relativa corresponde a:

A) Español.

B) Matemáticas.

C) Educación Cívica.

D) Estudios Sociales.

2. Lucía obtuvo mayor rendimiento relativo en la asignatura de:

A) Español.

B) Matemáticas.



3. Lucía obtuvo menor rendimiento relativo en la asignatura de:

A) Español.

B) Matemáticas.



85,2

87,8 92,0 94,5

Tema 2 Estadistica de 11

204


Datos relacionados con el tiempo, en minutos, que tarda una empresa en la

fabricación, por unidad, de cada producto

Producto Media aritmética (Promedio) Desviación estándar

J 10 4

K 25 5

L 50 9

M 60 10

4. ¿Cuál de los productos presenta mayor variabilidad relativa en el tiempo de fabricación?

A)

B)

C)

D)

5. ¿Cuál de los productos presenta menor variabilidad relativa en el tiempo de fabricación?

A)

B)

C)

D)

6. ¿Cuál es el coeficiente de variación en el tiempo de fabricación de una unidad del producto ?

A)

B)

C)

D)

J

K

L

M

J

K

L

M

K

16,67

18,00

20,00

40,00

205

7. Considere los datos de la siguiente tabla que corresponden a medidas de posición de las estaturas,

en centímetros, de un determinado grupo:

Mínimo

Cuartiles

Máximo

160 165 172 180 188


I. La mayor diferencia de las estaturas es de .

II. El recorrido intercuartílico de las estaturas es de .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

8. Considere la siguiente información:

Precio, en dólares, por galón de combustible en seis países de América Central al 12 de setiembre del

2016

País Diésel Gasolina Regular Gasolina Súper

A 2,36 2,77 2,90

B 2,28 2,79 2,99

C 2,72 3,23 3,45

D 2,83 3,41 3,49

E 3,00 3,67 3,84

F 2,25 2,65 2,73

Fuente: Adaptado de http://www.centralamericadata.com

1Q 2Q 3Q

28cm

15cm

206


I. La mayor diferencia de los precios de la gasolina regular es más baja que la mayor diferencia de

los precios de la gasolina súper.

II. El precio, en dólares, por galón del diésel en el país es mayor que el promedio de los precios, en

dólares, del diésel en esos seis países de América Central.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


Se aplica una misma prueba de diagnóstico en cuatro liceos rurales , , y . La prueba fue aplicada

a una muestra aleatoria de estudiantes en cada liceo y la calificaciones obtenidas por los estudiantes se

muestran en la siguiente tabla:

Liceos rurales Calificaciones obtenidas por los estudiantes

66, 82, 94, 50, 42, 75, 83, 58, 60, 88

40, 46, 52, 52, 59, 61, 67, 68, 74, 95

82, 33, 42, 96, 75, 45, 52, 62, 68, 54

97, 84, 81, 76, 72, 68, 65, 52, 50, 50

De acuerdo con la información anterior, el recorrido de los datos es mayor en el liceo rural:

A)

B)

C)

D)

$0,27

C

J K L M

10

J

K

L

M

J

K

L

M

207


El siguiente diagrama de cajas representa los datos de un estudio acerca del tiempo, en horas, que emplean

los estudiantes de dos grupos y para prepararse antes de una prueba:

10. Considere las siguientes proposiciones:

I. El valor de la mediana de los datos del grupo es mayor que el valor de la mediana de los datos del

grupo .

II. El recorrido intercuartílico de los datos del grupo es mayor que el recorrido intercuartílico de los datos

del grupo .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.


I. El recorrido intercuartílico de los datos del grupo es .

II. En el grupo existe al menos un estudiante que invirtió más de cuatro horas para prepararse antes de

la prueba.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

A B

A

B

A

B

A 1,5

B

208

Considere la siguiente información para responder a los ítems 12 y 13.

La siguiente tabla muestra información relacionada con las calificaciones por asignatura de los estudiantes de

una escuela:

Asignatura Media aritmética Desviación estándar

Matemáticas 65 10

Español 80 5

Estudios Sociales 75 11

Ciencias 78 11

I.José, un estudiante de esa escuela, obtuvo las siguientes calificaciones:

en Matemáticas, en Español, en Estudios Sociales y en Ciencias.

II.Sofía, una estudiante de esa escuela, obtuvo las siguientes calificaciones:

en Matemáticas, en Español, en Estudios Sociales y en Ciencias.


I. En Matemáticas el coeficiente de variación es aproximadamente .

II. Las calificaciones en Estudios Sociales, de todos los estudiantes de esa escuela, presentan menor

variabilidad relativa que sus calificaciones en Ciencias.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la Il.


I. En Estudios Sociales lo posición relativa de Sofía es

II. A, considerar las calificaciones de José en las cuatro asignaturas, él obtuvo mejor posición relativa en

Matemáticas.


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

70 81 80 82

95 65 75 85

15,38

75

209


Las Calderas

Las calderas de una planta de energía de vapor de alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en

porcentajes:

90,3 91,6 90,9 90,4 90,3 91,0 87,9 89,4

14. ¿Cuál es aproximadamente la variancia de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas?

A)

B)

C)

D)

15. ¿Cuál es el recorrido de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas?

A)

B)

C)

D)

Considere el siguiente contexto y responda las siguientes dos preguntas:

La masa media de los niños de una clase es de y su desviación estándar es . La masa

media de las niñas de esa clase es y su desviación estándar es .

16. ¿Cuál es aproximadamente el coeficiente de variación de la masa media de los niños y el de las

niñas, respectivamente?

A) y

B) y

C) y

D) y

1,13

1,24

1,30

1,31

0,90

3,70

90,23

90,35

58,2 kg 3,1 kg

52,3 kg 5,2 kg

5,3% 9,9%

0,53% 0,99%

18,77% 10,08%

55,10% 47,20%

210


I. La masa de los niños posee mayor variabilidad que la masa de las niñas.

II. La masa promedio de los niños es mayor que la masa promedio de las niñas.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

18. Considere la información referida a la comparación de la distribución de las edades, de los

integrantes de dos grupos de personas cada uno, que están representadas en el siguiente

diagrama:

I. Las edades comprendidas entre el y el

de la población representada en la caja “ ”

están más dispersas que las edades comprendidas

entre el y el de la población representada

en la caja “ ”.

II. El recorrido intercuartílico de a de la

población representada en la caja “ ” es de

años.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

20

25%

50% a

25% 50%

b

1Q 3Q

a 12

211

Considere la siguiente información para responder los Ítems 19 y 20: El siguiente diagrama de cajas

representa información de un estudio acerca de la edad, en años, de los profesores de dos colegios:


I. En ambos colegios al menos un de sus profesores tienen años o más.

II. El recorrido intercuartílico de las edades de los profesores del colegio es mayor que el de los

profesores del colegio .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. Un de los profesores del colegio tiene años o más.

II. Ente los profesores de ambos colegios, el de menor edad es del colegio .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

50% 30

A

B

25% A 41

B

212

21. Considere la siguiente tabla que muestra información relacionada con las edades, en años, de

estudiantes de undécimo año de dos colegios:

Dato Colegio A Colegio B

Mínimo 14 17

Cuartil 1 15 20

Mediana 16 25

Cuartil 3 17 28

Máximo 19 32


I. El recorrido de las edades de los estudiantes de undécimo año en el colegio es años.

II. El recorrido intercuartílico de las edades de los estudiantes de undécimo año en el colegio es

años.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


De una investigación realizada desde el año hasta el año , sobre la estatura promedio obtenida

año a año de las personas de países, se extraen los siguientes datos:

Estatura promedio, en centímetros, de hombres en cuatro países de América

Estatura promedio Costa Rica México Panamá Cuba

Mínimo 157,7 156,7 157,0 159,9

Máximo 168,9 169,0 168,5 172,0

Adaptado de: http://www.bbc.com/mundo

De acuerdo con la información anterior, ¿en cuál país el recorrido de la estatura promedio de los hombres fue

mayor?

A) Cuba.

B) México.

C) Panamá.

D) Costa Rica.

A 2

B 8

1896 1995

200

213

Considere la siguiente información para responder los Ítems 23 y 24:

La siguiente tabla muestra datos relacionados con un estudio sobre las puntuaciones obtenidas por los

estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares en las Olimpiadas Internacionales de Matemática, en

julio , julio y julio :

Año Media aritmética Desviación estándar

2014 82,68 5,93

2015 76,28 8,03

2016 69,82 7,84

Un estudiante de Rusia obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .

Un estudiante de Israel obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .

Un estudiante de Costa Rica obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .


I. En los datos sobre las puntuaciones obtenidas por los estudiantes quienes ocuparon los primeros

lugares en la Olimpiada Internacional de Matemática del , el coeficiente de variación es

aproximadamente .

II. El coeficiente de variación de las puntuaciones de los estudiantes quienes ocuparon los primeros

lugares de la Olimpiada Internacional de Matemática del es menor que el coeficiente de variación

de las puntuaciones de los estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares de la Olimpiada

Internacional de Matemática del .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

20

2014 2015 2016

76 2014

68 2015

62 2016

20

2014

7,17

20

2016 0,19

20

2015

214


I. En los datos sobre las puntuaciones obtenidas por los estudiantes quienes ocuparon los primeros

lugares en la Olimpiada Internacional de Matemática del , la posición relativa del estudiante de Israel fue

aproximadamente .

II. Si consideramos la puntuación del estudiante de Costa Rica y la puntuación del estudiante de Rusia, con

respecto a los estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares en sus respectivas Olimpiadas,

entonces el estudiante de Costa Rica fue el que obtuvo la mejor posición relativa.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


A continuación se muestran las temperaturas máximas en grados Celsius, para doce días del mes de enero

del año en la ciudad de San José:

Temperatura máxima.

25. Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:

I. Al determinar el segundo cuartil se observa que un del total de las temperaturas se ubican

entre (inclusive) y (inclusive).

II.Al determinar el primer cuartil se observa que un del total de las temperaturas se ubican entre

(inclusive) y (inclusive).


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

20

2015

0,5

20

2016

24 26 26 27 27 27

28 29 29 30 30 31

50%

28 C 31 C

25%

24 C 26 C

215

26. Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:

I. El recorrido de los datos es de .

II. El cuarto cuartil contiene al dato que representa la máxima temperatura .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

27. Considere la siguiente información referida a la distribución de los puntajes en el campeonato de

fútbol de primera división de Costa Rica en los torneos. Invierno y Verano :

Con base en la información anterior, considere las

siguientes proposiciones:


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

5 C

31 C

2015 2016

I. La diferencia de puntaje entre el

equipo que obtuvo mayor cantidad de

puntos y el que obtuvo menos puntos, es

mayor en el verano que en el invierno

.

II. Si el equipo descendido fue el que

acumuló menos puntos sumando los dos

torneos, entonces, este sumó entre los dos

torneos menos de puntos.

2016

2015

32

216


Una planta envasadora de salsa de tomate utiliza los envases tipo y . Un estudio sobre los

llenados muestran los siguientes resultados:

En los envases tipo , la cantidad promedio de llenado es de onza y la desviación estándar

de onzas.

En los envases tipo , la cantidad promedio de llenado es de onzas y la desviación estándar

de onzas.

28. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La cantidad promedio de salsa de tomate es mayor en los envases tipo que en los envases

tipo .

II. Las cantidades de salsa de tomate de los envases tipo , en términos absolutos, son más

variables que las cantidades de salsas de tomate de los envases tipo .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

29. Con base en la información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. Las diferencias de los coeficientes de variación de las cantidades de salsa de tomate entre los

dos tipos de envases es de .

II. Considerando los coeficientes de variaciones, se tiene que en términos relativos hay mayor

variabilidad con las cantidades de salsa de tomate contenidos en los envases tipo que las

presentes en los envases tipo .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II

A B

A 1

0,08

B 16

1,04

B

A

B

A

5,5

A

B

217


La siguiente tabla muestra las edades, en años cumplidos, de las jugadoras de una selección de

voleibol durante un campeonato mundial para menores de años. Además, tenga en cuenta que los

campeonatos se realizan cada dos años en el mismo mes:

Edad 12 12 12 14 14 14 15 15 15 16 16 16

30. La diferencia, en años cumplidos, entre la jugadora de mayor edad y la de menor edad, corresponde

a:

A)

B)

C)

D)

31. Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto dado:

I. Al determinar la mediana se observa que un del total de las jugadoras tendrán edad para

participar en el próximo campeonato mundial femenino de voleibol para menores de años.

II. Al determinar el primer cuartil se observa que un del total de las jugadoras tendrán edad

para participar en los dos próximos campeonatos mundiales femeninos de voleibol para menores de

años.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

17

2

3

4

5

50%

17

25%

17

218

32. Considere la siguiente información, referida a la distribución de las edades cumplidas en años de dos

grupos de personas:

Edades de dos grupos de personas


I. La menor edad registrada es de años en ambos grupos de personas.

II. Al menos hay dos personas en el grupo , tal que, una es mayor años que la otra.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


En una competencia de halterofilia (levantamiento de pesas) se analizan las categorías de

kilogramos en la rama femenina y los kilogramos en la masculina (considere que los dos grupos

tienen la misma cantidad de participantes). Entre ellos, tenemos a José quien levantó y Ana

quien levantó . Asimismo, se sabe que:

La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de en los varones y la

desviación estándar de .

La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de en las damas y la desviación

estándar de .

17

B 10

63

62

280 kg

180 kg

274 kg

20 kg

170 kg

14 kg

219

33. La diferencia entre los coeficientes de variación de los levantamientos de pesas del grupo de las

mujeres y del grupo de los varones, corresponde a:

A)

B)

C)

D)

34. Con base en ¡a información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La posición relativa de Ana en su respectiva categoría es .

II. Dadas las cantidades de kilogramos levantados por Ana y José, en términos relativos, ella quedó

mejor posicionada que él en sus respectivas categorías.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

35. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referida a él:

La masa corporal promedio de los varones de una clase es ; con una desviación estándar de

. La masa corporal promedio de las mujeres de la misma clase es de con una

desviación estándar de .

I. Hay mayor dispersión en las masas corporales de las mujeres.

II. La variancia de las masas corporales de los varones es de .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

0,94%

1,43%

1,55%

1,61%

10

57,3 kg

2,5 kg 53,2 kg

3,7 kg

6,25 kg

220

36. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:

Los profesores de Educación Física de un colegio, necesitan determinar la cantidad de horas que sus

estudiantes dedican a la práctica de un deporte por semana. Los resultados obtenidos de la muestra

de un grupo de estudiantes de la clase, son los siguientes:

I. Entre el estudiante que practica más deporte y el que menos practica

deporte hay una diferencia de horas.

II. Las horas que dedican los estudiantes a la práctica de un deporte se

dispersan del promedio (media aritmética) en horas.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

37. Considere la siguiente información referida a la distribución de horas dedicadas a ver televisión,

por semana, en los jóvenes de una comunidad urbana y los jóvenes de una comunidad rural:


I. El mínimo de horas que los jóvenes de

la comunidad urbana dedican a ver

televisión es de horas.

II. El recorrido de las horas que dedican

los jóvenes de la comunidad rural, es

menor que el recorrido de las horas que

dedican los jóvenes de la comunidad

urbana.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

9

3,89

h

10

ESTUDIANTES HORAS

Juan 13

María 4

Carlos 9

Luisa 11

Pedro 8

Karla 15

PROMEDIO 10

VARIANCIA 15,2

221

38. Considere el siguiente contexto:

A continuación se muestran los tiempos (en minutos) de los primeros cinco atletas en llegar a la meta en una

carrera de , tanto en la categoría masculina como femenina:

Atleta A B C D E Promedio Desviación estándar

Masculino 33,53 34,43 35,16 35,20 35,24 34,73 0,66

Femenino 45,73 45,98 46,70 46,77 47,43 46,58 0,70

Considere las siguientes afirmaciones referidas a la información anterior:

I. Los tiempos de los primeros atletas masculinos tienen menor variabilidad relativa que los

primeros cinco tiempos de las atletas femeninas.

II. La posición relativa del tiempo del atleta masculino en llegar a la meta, es superior que la

posición relativa del tiempo de la atleta femenina en llegar a la meta en sus respectivas categorías.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

39. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:

Las variaciones de masa

En un colegio se hizo un estudio sobre la masa, en kilogramos, de los estudiantes de tres grupos

diferentes. A continuación se muestra la información de los tres grupos, así como la masa de un

representante de cada grupo.

Grupo Representante Masa (kg) Desviación estándar Media aritmética

1 Horacio 85 10 80

2 Javier 75 8 68

3 Minor 80 7 70

I. En el grupo de Horacio son más variables las masas que las del grupo de Minor.

II. En el grupo de Javier son menos variables las masas que las del grupo de Horacio.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

10 km

D

D

223

Considere la siguiente representación gráfica para responder a los ítems 1 y 2.


I. El punto 3, 5 es homólogo con R con respecto al "eje x".

II. El ABCD y el QRPT presentan simetría axial con respecto al "eje y".


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

2) Con respecto al "eje x", MT es homólogo con:

A) DC

B) PT

C) PR

D) RQ

Tema 3 Geometría

224

3) Considere la siguiente figura, la cual corresponde a un rectángulo:

¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en el polígono anterior?

R/

4) Consideré la siguiente información:

La figura A se obtiene de la figura P a partir de una transformación en el plano, mientras que la figura B

se obtiene de la figura P a partir de otra transformación en el plano.

Cada representa un cuadrado de lado una

unidad.

De acuerdo con la información anterior, las

figuras A y B corresponden respectivamente,

a transformaciones en el plano denominadas:

A) Traslación y reflexión.

B) Rotación y homotecia.

C) Homotecia y reflexión.

D) Traslación y rotación.

225


De acuerdo con la información anterior, si al ABC se le

aplica una reflexión respecto a la recta 2x , entonces la

imagen de C corresponde al punto:

A) 4,1

B) 3,4

C) 1,0

D) 1,4

6) Considere la siguiente figura referente al polígono ABCDE , al que se le aplicó una homotecia de centro

F y razón de homotecia 3k :

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál

es la medida de TS ?

A) 24

B) 30

C) 33

D) 25

7) Considere la siguiente figura, referente a un cono circular recto cortado por un plano oblicuo con

respecto a la base y sin cortarla:

De acuerdo con la información anterior, la intersección del plano con el cono

corresponde a una sección plana denominada:

A) Elipse.

B) Parábola.

C) Hipérbola.

D) Circunferencia

226

8) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de simetría del ABC y del DFE , y 'e es el eje de

simetría del DEF y del GIH :

De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. A es homólogo con F , con respecto al eje de simetría.

II. DE es homólogo con GI , con respecto al eje de simetría.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


El canal de agua

Daniel tiene que salir de su casa ( R ), llenar un recipiente de agua

y llevarlo a casa de sus abuelos ( A ), como se muestra en la

figura. Tome en cuenta que el canal es el eje de simetría, R y 'R

son puntos homólogos.

De acuerdo con el contexto anterior El canal de agua, ¿cuál es el camino más corto que puede recorrer

Daniel?

A) El que va de R hasta C .

B) El que va de 'R hasta A .

C) El que va de R hasta C y de C hasta A .

D) El que va de R hasta 'R y de 'R hasta C y de C hasta A .

227

10) Considere la siguiente figura:

De acuerdo con los datos de

la figura, el cuadrilátero

EFGH con respecto al

cuadrilátero ABCD

representa una homotecia de

razón:

A) 2k

B) 6k

C) 1

2k

D) 1

3k


De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación

representa el ' ' 'A B C con respecto al ABC ?

A) Rotación.

B) Traslación.

C) Homotecia.

D) Reflexión con respecto al eje y .

228


Si al ABC se le aplica una traslación de vector 3,4z ,

entonces, ¿cuáles serían las coordenadas de los nuevos

vértices para el ' ' 'A B C después de la traslación?

A) ' 8,2 ; ' 3,4 ; ' 7,6A B C

B) ' 2,8 ; ' 4,3 ; ' 6,7A B C

C) ' 5,12 ; ' 7,7 ; ' 9,11A B C

D) ' 11,6 ; ' 6,8 ; ' 10,10A B C

Considere la siguiente figura, referente a dos polígonos que presentan simetría axial con respecto a la recta "

h ", para responder los ítems 13 y 14:

13) El ángulo homólogo con MNO , con respecto a la recta " h " es:

A) GHI

B) HGF

C) EFG

D) FED

229


I. La imagen de H , con respecto a la recta " h ", es N .

II. El segmento homólogo con JR , con respecto a la recta " h ", es AI .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

15) Considere la siguiente figura, la cual corresponde a un pentágono regular:

¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en el polígono anterior?

R/


Si al polígono AFBCDE se le aplica una traslación de 5 unidades hacia la derecha (horizontalmente) para

obtener el polígono ' ' ' ' ' 'A F B C D E , entonces el punto 'F corresponde a:

A) 1,1

B) 2,3

C) 3,1

D) 4,3

230


Al rectángulo ABCD se le aplica una homotecia con centro en 0,1 y

razón de homotecia 3k y se obtiene el rectángulo ' ' ' 'A B C D .

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el área del rectángulo

' ' ' 'A B C D ?

A) 6

B) 18

C) 30

D) 54

18) Al aplicarle una reflexión a un triángulo de vértices 1,2A , 2,3B y 1,1C ,con respecto al "eje x", se

obtiene el ' ' 'A B C . ¿Cuál es la representación gráfica del ' ' 'A B C ?

A)

B)

C)

D)

231


En una ebanistería se fabrican piezas decorativas, a partir de cortes planos, que se realizan a conos circulares

rectos de madera, como se muestran en las siguientes figuras:

En la figura A el corte no es paralelo a la base del cono y en la figura B el corte es paralelo a la generatriz

del cono y corta la base. De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La sección plana que se obtiene al realizar el corte de la figura A corresponde a una elipse.

II. La sección plana que se obtiene al realizar el corte de la figura B corresponde a una parábola,


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

232

20) Considere las siguientes figuras que corresponden a las dos partes obtenidas de un cono, después de

realizarle un corte plano paralelo a la base:

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la medida de la altura " m ”?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8


La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:


I. ABC es congruente con ADC .

II. La preimagen de A es C .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

233


I. B es homólogo de D .

II. AB es homólogo a AD .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

23) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son 1,1A , 1,3B y 2,2C , mediante una

homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 2K . Entonces, ¿cuáles son las

coordenadas del vértice homólogo de 1,1A ?

A) 2, 2

B) 2,2

C) 4, 4

D) 2, 6


24) Al realizarle una reflexión a ABC a

través del eje de las abscisas (eje x ), las

coordenadas de uno de los nuevos vértices, son:

A) 2, 3

B) 3,3

C) 1,3

D) 2, 1

234

25) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x ), en 5 unidades hacia la

izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

A) 3, 3

B) 4, 1

C) 3,2

D) 4,1

Con base en la siguiente información referida a un

cono circular recto, conteste las preguntas 26 y 27:

26) ¿Cuál es la medida de la altura del cono?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

27) ¿Cuál punto representa el vértice del cono?

A) T

B) R

C) Q

D) P

235


La siguiente figura muestra el cuadrilátero BCEF , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:


I. B es homólogo con E .

II. BF es homólogo con AD .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. A es homólogo con C .

II. Los cuadriláteros ABCD y AFED son congruente entre sí.


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 3K , entonces, ¿cuáles son las

coordenadas del vértice homólogo con B ?

A) 6,3

B) 6,15

C) 3, 3

D) 6, 15

236


31) Al realizarle una reflexión a RPQ a través del eje

de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de

los nuevos vértices, son

A) 4, 2

B) 4,2

C) 2, 4

D) 4, 2

32) Se realiza la traslación de RPQ paralelo al eje de

las abscisas (eje x), en 2 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los

nuevos vértices?

A) 0, 4

B) 2,1

C) 3, 2

D) 4, 2

Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las

preguntas 33 y 34:

33) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?

A) DE

B) BC

C) AC

D) BD

34) La sección plana que resulta de la intersección del cono que

contiene a los puntos G , H y E corresponde a:

A) Elipse.

B) Parábola.

C) Hipérbola.

D) Circunferencia.

237

Considere los datos de la siguiente figura, donde la recta l corresponde al eje de simetría de dicha figura,

para contestar las preguntas 35 y 36:

35) Dos segmentos homólogos entre sí corresponden a:

A) AM y NP

B) RV y AM

C) NP y BC

D) BC y PR

36) Dos puntos homólogos entre sí corresponden a:

A) P y B

B) R y C

C) N y R

D) V y C

Considere los datos de la siguiente figura para responder las preguntas 37 y 38:



A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

I. El ABC es simétrico al QRP con respecto al eje “

y ”.

II. Si el YZX es simétrico al QRP con respecto al eje

“ x ”, entonces, las coordenadas del punto homólogo de

Z corresponden a 3,5 .

238

38) Considere la recta l como eje de simetría y las siguientes proposiciones:

I. AB y RQ son segmentos homólogos.

II. Las coordenadas del punto homólogo al punto B son 3, 5 .


A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

39) A continuación se presenta la imagen de la superficie de un cono circular recto:

O : centro de

la

circunferencia

de la base

A : centro

del plano

¿Cuál es el nombre de la sección plana que se obtiene al realizar un corte entre un plano y la superficie

cónica, si el corte es oblicuo a la base (sin cortarla) como lo ilustra la figura anterior?

A) Elipse.

B) Parábola.

C) Hipérbola.

D) Circunferencia.

239

Considere los datos de la siguiente figura que representa una homotecia de triángulo ABC desde M , para

responder las preguntas 40 y 41:

40) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad “ k del

ABC con respecto al ' ' 'A B C ?

A) 2k

B) 1

2k

C) 2k

D) 1

2k

41) Con base en la información de la transformación del triángulo ABC , se puede afirmar que:

A) 'B es imagen de B .

B) 'A es imagen de C .

C) 'C es homólogo a A .

D) 'B es homólogo a B .

42) Considere los datos de la siguiente figura que representa una homotecia del ABC con respecto al

punto N :

¿Cuál es la razón de proporcionalidad “ k ” del ' ' 'A B C ' con respecto al ABC ?

A) 2

B) 1

2

C) 2

D) 1

2

240

43) Considere la información de la siguiente figura que representa una transformación del cuadrilátero

ABCD con respecto al punto E :

¿Cuál es la transformación que corresponde al cuadrilátero ABCD ?

A) Rotación.

B) Reflexión.

C) Traslación.

D) Homotecia.

44) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, ¿cuál es el nombre que recibe la transformación del

triángulo ABC , dada en la imagen con respecto a eje “ x

”?

A) Rotación.

B) Reflexión.

C) Traslación.

D) Homotecia

45) Si la superficie de un cono circular recto se corta con un plano perpendicular al plano de la base, sin

pasar por el vértice del cono, y se obtiene una sección plana con el corte, entonces, ¿qué nombre recibe

esta sección plana?

A) Elipse.

B) Parábola.

C) Hipérbola.

D) Circunferencia.

241


Sombra para lámparas

Al construir una sombra de cartón para una lámpara, primero se diseña un cono circular recto con

cartón y posteriormente se le hace un corte paralelo a la base, dándole así la altura deseada a la

sombra.

46) Andrea quiere elaborar una sombra de cartón, para una lámpara, que tenga 27cm de altura. Para ello

hizo un cono circular recto de 45cm de altura y 9cm de radio en su base. ¿Cuál es la medida, en

centímetros, del radio de la circunferencia producto del corte que se realizó?

A) 3,6

B) 7,2

C) 10,8

D) 12,0

47) Si se tiene un cono circular recto de cartón con una altura de 48cm , para elaborar una sombra para una

lámpara, en la que la medida de los diámetros de sus circunferencias sean 12cm y 16cm

respectivamente, entonces, ¿cuál es la altura, en centímetros, de la sombra?

A) 12

B) 18

C) 36

D) 64

242


La siguiente representación gráfica ¡lustra la superficie de un cono circular recto que fue cortado por un plano

paralelo a la base del cono:

PR : radio de la circunferencia obtenida por el corte.

OQ : radio de la base.

48) Si 6OQ , 3OP y 2PR , entonces, ¿cuál era la altura del cono antes de ser cortado?

A) 4,00

B) 4,50

C) 9,00

D) 12,00

49) Si la medida de la altura del cono circular recto antes de ser cortado era de 18 , 8OP y 12OQ ,

entonces la medida del diámetro de la circunferencia obtenida producto del corte es:

A) 24

B) 30

C) 32

3

D) 40

3

243

50) Considere los datos, de la superficie de un cono circular recto, al cual se I realiza un corte con un plano

paralelo a la base:

C : Centro de la circunferencia obtenida por el corte.

F : Centro de la circunferencia de la base.

3BC

20AF

¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la base del cono si 12CF ?

A) 5,0

B) 7,5

C) 10,0

D) 15,0

51) A continuación se presenta la imagen de la superficie de un cono circular recto. ¿Cuál es el nombre de la

sección plana que se obtiene al realizar un corte oblicuo con respecto a la base del cono y paralelo a la

generatriz (sin pasar por el vértice) y la superficie cónica como lo ilustra la figura anterior?

A) Elipse.

B) Parábola.

C) Hipérbola.

D) Circunferencia

244


La siguiente figura muestra el cuadrilátero BDCA , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:


I. ABD es congruente con ACD .

II. A es homólogo con D .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


I. B es homólogo con C .

II. AB es homólogo con AD .


A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II


homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 3K , entonces, ¿cuáles son las

coordenadas del vértice homólogo con 1,1C ?

A) 3,3

B) 3,6

C) 3,3

D) 3, 3

245

Con base en la siguiente información, conteste las

preguntas 55 y 56:

55) Al realizarle una reflexión a ABC a través del

eje de las ordenadas (eje y), las coordenadas de la

imagen de " A " corresponden a:

A) 1,1

B) 3,1

C) 2,3

D) 3,1

56) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las ordenadas (eje y), en 5 unidades hacia abajo.

¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

A) 1,1

B) 3, 4

C) 3,2

D) 1, 4

57) Considere la siguiente ilustración, donde la figura de la izquierda es producto de una traslación de la

figura de la derecha. La imagen de A corresponde al punto:

A) 1,1

B) 2,0

C) 3,3

D) 4,2

246

58) Considere la siguiente ilustración de un polígono. El perímetro del polígono anterior es:

A) 24

B) 48

C) 64

D) 128

59) Considere la siguiente ilustración, donde la Figura 2 es producto de una transformación en el plano de la

Figura 1. ¿Cuál es el nombre que recibe

la transformación dada en la ilustración

anterior?

A) Rotación

B) Reflexión

C) Traslación

D) Homotecia


60) ¿Cuál es el vértice homólogo con F ?

A) B

B) C

C) E

D) H

61) AB es homólogo con:

A) GJ

B) ED

C) CD

D) AF

247

62) ¿Cuál es el nombre que recibe la

transformación dada en la ilustración?

A) Rotación

B) Reflexión

C) Traslación

D) Homotecia

Considere la siguiente figura referida a un cono circular recto, para contestar las preguntas 63 y 64:

63) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?

A) AB

B) BC

C) MB

D) MA

64) ¿Cuál punto representa el vértice del cono?

A) B

B) M

C) A

D) C

248

65) Considere la siguiente representación gráfica referente a dos polígonos que son simétricos con respecto

al "eje y". De acuerdo con los datos de la representación gráfica anterior, ¿cuál es el punto homólogo de

A ?

A) ' 5,2A

B) ' 2,5A

C) ' 2, 5A

D) ' 2, 5A

66) Considere las siguientes letras:

¿En cuál de ellas se puede trazar un eje de simetría?

A) F

B) J

C) K

D) M


¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en la figura destacada con gris?

R/

249

68) Considere la siguiente imagen referente a una homotecia de centro O y razón de homotecia 2k :

De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la medida de ' 'D E ?

A) 11

B) 22

C) 33

D) 44


En la siguiente imagen se presentan cinco polígonos denotados con las letras , , , y A B C D P . Los polígonos

, , y A B C D se obtienen de la figura P mediante transformaciones en el plano.

69) Para P , la figura C corresponde a una:

A) Rotación.

B) Reflexión.

C) Traslación.

D) Homotecia.

250

70) ¿Cuál de las figuras corresponde a una homotecia de P ?

A) A

B) B

C) C

D) D

71) Considere las siguientes figuras que representan la intersección entre conos y planos:

De acuerdo con las figuras anteriores, las intersecciones determinan las secciones planas denominadas

A) I. elipse, II. hipérbola y III. parábola.

B) I. elipse, II. parábola y III. hipérbola.

C) I. circunferencia, II. elipse y III. parábola.

D) I. circunferencia, II. hipérbola y III. parábola.

72) Considere las siguientes figuras que corresponden a las partes de un cono después de realizarle un

corte paralelo a la base. De acuerdo con los datos de las figuras anteriores, ¿cuál es la medida en

h "? centímetros de "

A) 20

B) 16

C) 12

D) 10

251

Resumen

255

GUÍA DE EXAMEN DE MATEMÁTICA BACHILLERATO

CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Ecuación canónica de la circunferencia de un círculo, de radio r y centro C(a, b).

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

Ecuación general de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

De donde se cumple que:

El centro es: 𝐶 = (−𝐴

2,−𝐵

2)

El radio es: 𝑟 = √𝐴2

4+

𝐵2

4− 𝐶

Si la circunferencia tiene centro en el origen (𝟎, 𝟎)

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Posición relativa de puntos con respecto a la circunferencia:

Punto interior si: distancia radio

Punto que pertenece a la circunferencia si: distancia = radio

Punto exterior si: distancia radio

1- Meter el valor de la recta “y” en la ecuación de la circunferencia y resolver operaciones

para que quede una ecuación cuadrática: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (no viene la fórmula)

2- Calcular con lo anterior el discriminante: ∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 (no viene la fórmula)

3- Verificar la posición relativa entre una recta y la circunferencia:

si ∆ > 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒

Si ∆ = 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Si ∆ < 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

256

(Las rectas paralelas tienen igual pendiente: m=m y las rectas perpendiculares tienen las

pendientes invertidas y con diferente signo)

Fórmula del Punto Medio de un segmento: (No viene la fórmula)

Traslación de la circunferencia: Lo que cambia es el punto del centro, la medida del radio se

conserva.

POLIGONOS REGULARES

Polígonos Regulares: Todos los lados congruentes y todos

los ángulos congruentes.

257

Fórmulas a utilizar:

-Ley de senos (no viene la fórmula): (se puede acomodar la fracción y usar shift calc 2 =)

Perímetro: Suma de los

lados

Áreas (superficie) de las

figuras geométricas:

Fórmulas que vienen en el examen:

Suma de las medidas de los ángulos internos

Medida del ángulo interno

Medida del ángulo central

Medida del ángulo externo

Número de diagonales

Área de polígonos regulares

Fórmula de Herón (para sacar el área de un triángulo si solo se tiene la medida de los 3

lados

Para áreas de Polígonos No regulares en el plano

cartesiano: Trazar triángulos rectángulos o figuras

geométricas conocidas (cuadrados, rectángulos). Para

triángulos usar 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2 y sumar todas las áreas.

258

TRANSFORMACIONNES EN EL PLANO: simetría axial (reflexión), traslación,

rotación y homotecia.

Simetría de reflexión: Puntos simétricos en el plano

respecto a un eje de simetría determinado:

- Si el eje de simetría es el eje “x” o eje de las abscisas, entonces:

Punto original (preimagen) (x, y) tiene su simétrico u homólogo en

(x, -y) (la “x”se conserva igual y se cambia el signo de la “y”.

- Si el eje de simetría es el eje “y” o eje de las ordenadas, entonces:

Punto original (preimagen) (x, y) tiene su simétrico u homólogo en (-x, y) (la “y”se

conserva igual y se cambia el signo de la “x”.

- Si el eje de simetría es la recta y=x, entonces:

Punto original (x, y) tiene su simétrico u homólogo (imagen) en (y, x) (se invierte el par

ordenado).

- Si el eje de simetría es la recta y=-x, entonces:

Punto original (x, y) tiene su simétrico u homólogo (imagen) en (-y, -x) (se invierte el par

ordenado y se cambia el signo de los dos).

- Características: La figura NO cambia de tamaño pero si su dirección.

Rotación: Ángulos positivos (en contra del reloj)

(no viene formulas)

Ángulos negativos (a favor de las manecillas del reloj (anti-horario): usar fórmulas

anteriores pero para -90° se usa la de 270° y para -270° se usa la de 90° las otras

van igual.

Traslación: La figura no cambia de tamaño no si dirección

A(x, y) + �⃗� (𝑥, 𝑦) = 𝐴′(𝑥, 𝑦)

(no viene fórmula)

A’(x, y) – A(x, y) = 𝑣 (𝑥, 𝑦)

259

Homotecia: La figura se amplía o se disminuye

Fórmula para encontrar K:

261

Esfera, Cilindro y Cono Fórmulas a usar: Pitágoras (formar un triángulo

rectángulo) Esfera:

Área de la esfera: 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 (viene la fórmula)

Cilindro:

- Secciones planas del cilindro:

(No importa donde sea el corte siempre

se forma un círculo)

Simbología:

r1: radio de la esfera

r2: radio del círculo del corte

262

Cono:

Fórmulas:

Área de basal: 𝝅𝒓𝟐 Área lateral: 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈

Área total: 𝝅𝒓(𝒓 + 𝒈) (esta viene en el examen) que es lo mismo que:

Área total: 𝝅𝒓𝟐 + 𝝅𝒓𝒈

FUNCIONES -Conjuntos numéricos (3 preguntas):

ℕ = {0,1,2,3,4… } conjunto de los números naturales

D = {𝑎

10𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑎 ∈ ℤ} conjunto de los números decimales

ℤ = {…− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Conjunto de los números enteros

ℤ− = {…− 4,−3,−2,−1} 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

ℤ+ = {1, 2, 3, 4… } 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

ℚ = {𝑎

𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}

263

= 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

y los que están en forma de fracción: expansión decimal finita y expansión decimal infinita

periódica).

Ι = 𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑒, 𝜋, 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑁𝑂 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠.

ℝ = ]−∞,+∞[ = 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ℝ− =] − ∞, 0[ ℝ+ =]0,+∞[ Intervalos reales:

Unión e intersección de conjuntos:

264

- Funciones: Nota:

- En los números reales no existe la división entre 0. - En una raíz cuadrada no puede quedar un resultado negativo a dentro de la raíz.

7- DOMINIO (preimagen): Son las “x”. Son los valores que voy a cambiar en la “x” de la ecuación

para obtener el ámbito (imágenes). Si me lo dan el dominio lo sustituyo en la ecuación y obtengo

el ámbito. Si me dan el ámbito lo sustituyo en “y” uso SHIFT CAL y encuentro el dominio.

8- Si es en una gráfica que me piden el dominio: Se lee de izquierda a derecha solo con valores del

eje “X”. Las flechas ganan. Si la gráfica tiene una flecha la respuesta lleva un infinito. FLECHA QUE

APUNTA A LA IZQUERDA SIGNIFICA −∞. SI LA FLECHA APUNTA HACIA LA DERECHA SIGNIFICA ∞ +

9- AMBITO: Son los resultados “y”. Son los valores o resultado que se obtiene de sustituir el

dominio en la “x”.

Si es en una gráfica que me piden el ámbito: Se lee de abajo hacia arriba solo con valores del eje

“Y”. Las flechas ganan. Si la gráfica tiene una flecha la respuesta lleva un infinito. FLECHA QUE

APUNTA HACIA ABAJO SIGNIFICA −∞. FLECHA QUE APUNTO HACIA ARRIBA SIGNIFICA ∞ +

9- f(x) : SE CAMBIA POR “y”, lo de adentro o sea la “x” se cambia por “x”

10- En cualquier función cuando me piden la intersección con el eje “X” sustituyo en la ecuación la

“y” por 0 y despejo con SHIF CAL queda: (#, 0)

En cualquier función cuando me piden la intersección con el eje “Y” sustituyo en la ecuación la “x”

por 0 y despejo con SHIF CAL queda: (0, #)

11- CRECIENTE O DECRECIENTE DE UNA FUNCIÓN: Se lee de izquierda a derecha solo con valores

de eje “X”. Corchetes van abiertos porque son pedazos de la gráfica y cierran donde termina la

gráfica si no tiene flechas.

12- Cuando me dan números con paréntesis redondo (x, y) son pares ordenados. Si medan

números en corchetes [𝑥, 𝑥[ [𝑦, 𝑦[ son solo “x” ó solo “y”. si medan números entre llaves,

también son de la misma especie.

FUNCIÓN LINEAL:

265

OTRAS COSAS IMPORTANTES:

1- La función lineal siembre la debo ordenar de la forma y=mx+b si esta desordenada.

2- SI es una GRÁFICA saco PARES ORDENADOS (X, Y) y uso MODE 51. EN LA B PONGO UN 1, LA “x”

ES LA PENDIENTE “m” Y LA “Y” ES LA “b”.SI LA GRÁFICA CORTA A LOS EJES LA RELACIÓN ES CON 0.

SI HAY LINEAS -----DISCONTIUAS LA RELACIÓN ES NÚMERO A NÚMERO.

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL

CRECIENTE (“M”POSITIVA) DECRECIENTE (“M”NEGATIVA)

FUNCIÓN LINEAL CONSTANTE

(“M”=0) ECUACIÓN f(x)=# ó y=#

3- Para despejar la “b” b=y-mx

La “b” es el corte con el eje “Y”, o sea es donde toca la línea al eje “y”. El corte con eje “Y” es (0, b)

El corte con eje “X” es (−𝑏

𝑚, 0)

4- El los problemas: distinguir que le dan la “x” o la “y” y qué le piden. Se puede usar SHIFT CAL 2=.

SI le dan CUATRO DATOS SON PARES ORDENADOS HAY QUE USAR MODE 51.

POR EJEMPLO: -Al momento de salir al mercado una lavadora cuesta 200000 y después de tres

años cuesta la mitad: los pares ordenados son (0, 2000000) (3, 100000)

-Una fábrica sin producir ningún artículo tiene gastos fijos de 16000 y produciendo 50 artículos

tiene gastos de producción de 135000: los pares ordenados son (0, 16000) (50, 135000)

SE QUE ME DAN LOS PARES ORDENADOS PORQUE ME PIDEN LA ECUACIÓN.

5- Si me piden en PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS: Igualo las rectas y uso SHIfT CAL,

por ejemplo y=2x+5 y=-5x -4

266

Entonces 2x+5=-5x-4 SHIFT CAL 7

6- Si me dan f(-2)=5 esto también es un par ordenado (-2,5)

7- Rectas paralelas ll: Son dos rectas lineales que tienen la misma pendiente, o sea el mismo valor

a la par de “x”, pero diferente “b”. m=m

8- Rectas perpendiculares: Se le da vuelta a la pendiente y se le cambia el signo.

FUNCIÓN CUADRÁTICA:

A- Para sacar el CRECIENTE O DECRECIENTE (monotonía): 1- Se dibuja la concavidad.

2- Se calcula −𝑏

2∙𝑎

3- Se lee de izquierda a derecha. “a”: positiva B- Para sacar el ÁMBITO: 1- Se dibuja la concavidad. “a” negativa

2- Se calcula −∆

4∙𝑎

3- Se lee de de abajo hacia arriba. C- En los problemas:

1- Leer bien el problema.

267

2- Distinguir quién es la “X” y quien es la “Y” cuál le piden.

3- Solo hay que calcular −𝑏

2∙𝑎 ó

−∆

4∙𝑎 depende de si piden “x” o “y”.

Nota: siempre trate hacer el dibujo de la gráfica no con todos los valores solo es para tener una

idea de cómo está la función.

FUNCIÓN INYECTIVA, CODOMINIO=ÁMBITO Y FUNCIÓN INVERSA:

1- INYECTIVA: Se le conoce como función UNO A UNO. Dos números que meta en la ecuación NO

pueden dar el mismo resultado.

Por ejemplo: En la cuadrática solo es inyectiva si se parte la función de ]-∞, -b/2a[ o ]-b/2a, +∞[

2- SOBREYECTIVA: El codominio igual que el ámbito.

Por ejemplo: Si me dan una cuadrática nada más calculo el ámbito con −∆

4∙𝑎 y veo si es igual al

codominio que me dan.

Si me dan una función lineal: sustituyo los valores del intervalo del domino (Primer intervalo) en

las “x” y veo si es igual al codominio que me dan. Si la función es lineal y definida de R en R es

inyectiva y sobreyectiva.

3- BIYECTIVA: Es cuando la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Toda función que tiene

inversa es biyectiva, como las lineal, exponencial y logarítmica.

268

4- FUNCIÓN INVERSA: Se llama función inversa de f(x) a otra función que se denota por f-1(x) y

que cumple con la siguiente condición:

Si f(a)=b entonces f-1(b)=a.

a) Hay que recordar que en la inversa se invierte la “x” por la “y” porque todo es al revés de la

función original. Por ejemplo si me dan pares ordenados cambio les doy vuelta para sacar la

ecuación de la inversa y uso MODE 51.

b) En las gráficas si me dan el dominio de la función original busco la ecuación que tenga como

ámbito el intervalo del dominio que me dieron, hay que acordarse se descartan las que parecen

gráficas de cuadráticas completas.

c) Hay que acordarse de que el la inversa cuando es función lineal si la pendiente en la original es

positiva en la inversa también es positiva.

d) Para el criterio de la inversa se cambia f(x) por y en la ecuación y se despeja x utilizando

operaciones inversa

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMICA.

NOTA: Recuerda siempre hacer el bosquejo (dibujo) de la gráfica: esto te ayudará a ubicarte en la

pregunta. HAY QUE APRENDERSE COMO VA LA GRÁFICA DEPENDE DE LA “a”

269

En las ecuaciones exponenciales usa SHIFT CAL 33, o usa sustitución si se pega la calcu

NOTA: Recuerda siempre hacer el bosquejo (dibujo) de la gráfica: esto te ayudará a ubicarte en la pregunta. HAY QUE APRENDERSE COMO VA LA GRÁFICA DEPENDE DE LA “a” En las ecuaciones logarítmicas usa SHIFT CAL 2=, o usa sustitución si se pega la calculadora. En todas las funciones se usa los mismos conceptos de imagen, preimagen, dominio, ámbito y símbolos de siempre.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD: - Estadística:

Medidas de posición

Media aritmética o promedio: �̅� =𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔

𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔

Media ponderada o promedio ponderado: (cuando es en una tabla con porcentajes)

270

Mediana:

Moda: dato que más se repite o el de mayor frecuencia

Mínimo: Dato de menor valor Máximo: Dato de mayor valor Cuartiles:

Posiciones de los cuartiles4

Nkk xQ donde k=número del cuartil que se quiera y N=número de

datos

Medidas de variabilidad (dispersión) absolutas

Recorrido (rango): Max – Min

Recorrido intercuartílico: Cuartil 3 – Cuartil 1

Varianza y desviación estándar: Poner mode 31, meter los valores y dar AC, luego shift 1 5 3 = (lo

primero que da es la desviación estándar, si lo elevo a la 2 da la varianza)

Medidas de variabilidad (dispersión) relativa

Mide la variabilidad

Mide la posición respecto a

la población

271

PROBABILIDAD

272

Respuestas de los ejercicios propuestos

Décimo año

Geometría analítica

Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta

1 D 26 C 51 A

2 B 27 D 52 A

3 C 28 B 53 A

4 C 29 C 54 C

5 8 30 A 55 A

6 D 31 D 56 C

7 D 32 D 57 B

8 C 33 A 58 B

9 D 34 C 59 C

10 B 35 C 60 D

11 D 36 A 61 C

12 D 37 A 62 D

13 D 38 A 63 A

14 C 39 B 64 D

15 A 40 D 65 D

16 B 41 B 66 D

17 B 42 C 67 D

18 A 43 D 68 D

19 A 44 A 69 C

20 C 45 A 70 90

273


21 41 46 C 71 B

22 D 47 C 72 D

23 C 48 D 73 B

24 C 49 A

25 C 50 C

Polígonos


1 B 18 B 35 C

2 C 19 A 36 C

3 C 20 C 37 23,38

4 B 21 D 38 C

5 B 22 C 39 C

6 C 23 A 40 B

7 C 24 D 41 C

8 C 25 D 42 B

9 C 26 B 43 D

10 B 27 A 44 C

11 C 28 C 45 C

12 D 29 D 46 B

13 C 30 C 47 B

14 D 31 B 48 C

15 B 32 B 49 B

274


16 C 33 D 50 B

17 D 34 12,5 51 A

Visualización espacial


1 A 11 A 21 C

2 A 12 B 22 B

3 A 13 B 23 A

4 B 14 A 24 D

5 D 15 B 25 D

6 B 16 C 26 B

7 C 17 C 27 B

8 B 18 B 28 C

9 D 19 A 29 B

10 B 20 D 30 A

Conjuntos


1 A 8 D 15 C

2 C 9 D 16 B

3 10 10 A 17 A

4 C 11 C 18 B

275


5 C 12 A 19 A

6 D 13 A 20 43

7 B 14 D

Funciones


1 C 35 A 69 A

2 A 36 B 70 B

3 D 37 B 71 A

4 C 38 D 72 A

5 A 39 D 73 D

6 C 40 D 74 B

7 B 41 A 75 B

8 D 42 C 76 B

9 B 43 C 77 D

10 A 44 C 78 D

11 0 45 C 79 A

12 D 46 C 80 C

13 B 47 C 81 A

14 C 48 B 82 B

15 D 49 C 83 B

16 B 50 C 84 D

17 C 51 C 85 D

276


18 C 52 D 86 C

19 A 53 C 87 A

20 D 54 A 88 A

21 D 55 A 89 B

22 C 56 A 90 B

23 C 57 C 91 B

24 A 58 A 92 C

25 C 59 A 93 B

26 C 60 B 94 D

27 C 61 C 95 C

28 D 62 C 96 D

29 D 63 D 97 B

30 D 64 A 98 A

31 C 65 C 99 C

32 C 66 D 100 A

33 C 67 B 101 1

34 C 68 C

Estadística y probabilidad


1 A 35 D 69 D

2 D 36 D 70 C

277


3 D 37 B 71 D

4 B 38 B 72 D

5 C 39 B 73 D

6 C 40 A 74 A

7 170 41 D 75 D

8 B 42 4 76 A

9 B 43 B 77 A

10 A 44 C 78 A

11 A 45 D 79 C

12 A 46 D 80 A

13 B 47 D 81 B

14 C 48 A 82 C

15 D 49 0,25 83 C

16 D 50 B 84 C

17 D 51 B 85 B

18 B 52 A 86 A

19 C 53 D 87 A

20 C 54 D 88 B

21 B 55 A 89 C

22 B 56 D 90 A

23 D 57 A 91 B

24 B 58 A 92 D

25 A 59 C 93 B

278


26 B 60 A 94 C

27 C 61 A 95 0,25

28 A 62 A 96 B

29 D 63 B 97 A

30 D 64 C 98 A

31 91 65 C 99 A

32 C 66 C 100 C

33 A 67 D

34 A 68 D

Undécimo año

Funciones raíz cuadrada e inversa


1 A 9 A 17 D

2 B 10 B 18 D

3 C 11 B 19 C

4 C 12 B 20 D

5 B 13 B 21 B

6 A 14 A 22 D

7 D 15 C 23 A

8 B 16 A

Funciones exponencial y logarítmica

279


1 D 9 A 17 C

2 D 10 3 18 C

3 A 11 D 19 A

4 4096 12 C 20 C

5 A 13 A 21 D

6 A 14 B 22 A

7 A 15 D 23 D

8 A 16 C 24 B

Modelos


1 C 26 C 51 A

2 B 27 C 52 B

3 C 28 B 53 D

4 B 29 D 54 D

5 A 30 C 55 C

6 B 31 B 56 C

7 C 32 A 57 C

8 B 33 B 58 C

9 B 34 D 59 B

10 C 35 B 60 C

11 A 36 B 61 C

12 A 37 D 62 A

280


13 D 38 B 63 D

14 D 39 C 64 A

15 C 40 C 65 C

16 B 41 B 66 B

17 C 42 D 67 B

18 A 43 B 68 B

19 D 44 D 69 D

20 D 45 C 70 B

21 C 46 B 71 D

22 C 47 B 72 D

23 C 48 D 73 D

24 C 49 D

25 D 50 A

Estadística


1 A 14 A 27 C

2 C 15 B 28 A

3 B 16 A 29 B

4 A 17 D 30 C

5 D 18 D 31 A

6 C 19 C 32 D

7 A 20 A 33 A

281


8 D 21 A 34 B

9 C 22 B 35 D

10 D 23 C 36 D

11 A 24 D 37 D

12 C 25 A 38 B

13 B 26 D 39 A

Geometría


1 A 25 D 49 D

2 B 26 B 50 B

3 2 27 D 51 B

4 D 28 B 52 C

5 B 29 D 53 C

6 B 30 D 54 C

7 A 31 B 55 B

8 D 32 A 56 D

9 C 33 D 57 D

10 A 34 A 58 B

11 A 35 A 59 A

12 C 36 D 60 A

13 B 37 A 61 D

14 B 38 B 62 D

282


15 5 39 A 63 C

16 B 40 A 64 B

17 D 41 D 65 B

18 C 42 D 66 D

19 A 43 A 67 4

20 C 44 B 68 D

21 C 45 C 69 C

22 A 46 A 70 B

23 A 47 C 71 B

24 A 48 A 72 C

universidad estatal a distancia · y graduado de la universidad nacional, en colaboración de las...

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