universidad de sonora · 2020. 2. 6. · universidad de sonora divisi on de ciencias exactas y...

UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemáticas

Metrizabilidad y Normabilidad en Espacios Localmente

Convexos

T E S I S

Que para obtener el t́ıtulo de:

Licenciada en Matemáticas

Presenta:

Elena Ortiz Rascón

Directora de Tesis: Dra. Martha Dolores Guzmán Partida

Hermosillo, Sonora, México, 7 de Mayo de 2015

SINODALES

Dra. Martha Dolores Guzmán Partida

Universidad de Sonora.

M.C. Carlos Alberto Robles Corbalá


Dra. Marysol Navarro Burruel


M.C. Carolina Espinoza Villalva


Al 2008

v

Agradecimientos

Hay tanta gente a la que le quiero agradecer, cada uno tiene su detalle. Empiezo por

Carlos Alarcón y Dante, su amistad y apoyo hicieron muy gratos estos años. Dante, gracias

por hacerme sonréır. A Jocelyn, fue divertido lidiar la parte media de la licenciatura conti-

go. El ejemplo de Alejandra Fonseca. A César y Lupita que siempre estuvieron pendientes

de mı́. A Jorge Esṕındola, Belén Chavarŕıa, Borchardt y Pastora por su amistad estos

últimos momentos. A Luis René. Luis, ¿cómo no mencionarte? El sin número de veces que

nos ayudaste a varios de nosotros con tanta naturalidad, tu empecinamiento en el mejor

de los sentidos y tu claridad haćıan más entretenido algún tema, en particular el Análisis

Matemático. Y a Felipe quién me dio la bienvenida a la licenciatura.

A todos los maestros les tengo algo que agradecer, por mencionar algunos están Eduar-

do Fŕıas, Teresa Robles, Daniel Olmos y Adolfo Minjárez por su atención cuando teńıa

inquietudes de la carrera. A la maestra Lupita Ávila, su paciencia al enseñarme a escribir

mejor las demostraciones inició mi cariño al Análisis. Y finalmente al maestro Carlos Ro-

bles y a la maestra Martha Guzmán, es imposible dormir un segundo en sus clases, han

sido mis favoritas. Pero claro está que le tengo un especial agradecimiento a la maestra

Martha. Maestra, fue un gusto enorme saber que podŕıa trabajar con usted. Cuando supe

que daŕıa Análisis Complejo en aquel semestre, no dudé en entrar de oyente para conocer

sus clases y no me arrepiento. Aprecio mucho la gúıa que me ha dado.

Y a mi familia que no puede faltar, cada uno a su manera y en espacial a mi padre por

todo el apoyo y tiempo que me ha brindado.

Elena Ortiz Rascón

Hermosillo, Sonora. Mayo 2015

vii

Índice general

Introducción XI

1. Espacios Localmente Convexos 1

2. Espacios localmente convexos normables y metrizables 39

3. El Teorema de Banach-Alaoglu 73

4. Aplicaciones y La Clase de Schwartz 83

4.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. La Clase de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Conclusiones 119

ix

x ÍNDICE GENERAL

Introducción

De acuerdo a N. Bourbaki (ver [3] p. 217), el comienzo de la edad adulta para la teoŕıa

de espacios normados se da con la publicación del tratado de Banach sobre operadores

lineales (ver [2]). Muchos resultados vienen en esa obra acompañados de ejemplos tomados

de diversos ámbitos del Análisis, por ello se pronosticaba un futuro brillante para la teoŕıa.

En efecto, el trabajo hab́ıa tenido un éxito considerable y una de sus consecuencias más

inmediatas fue la adopción cuasi-universal del lenguaje y notación utilizada por Banach.

Sin embargo, a pesar de muchos años dedicados al estudio sobre espacios de Banach, si se

exceptúan las investigaciones en álgebras de Banach y sus aplicaciones al análisis armónico

conmutativo y no conmutativo, esta teoŕıa aportó pocas nuevas aplicaciones a los grandes

problemas del Análisis Clásico, lo cual fue un tanto decepcionante para las esperanzas que

se hab́ıan puesto en ella. Con el objeto de expandir los conceptos relativos a los espacios

normados se originó uno de los desarrollos más fruct́ıferos que han ocurrido en Análisis, a

saber, la teoŕıa de espacios localmente convexos.

En 1926, Fréchet notó que hab́ıa espacios vectoriales con una cierta naturaleza de modo

que pod́ıan ser metrizables y completos. Pero la teoŕıa de espacios más generales sólo se

desarrolló de manera provechosa en combinación con la idea de convexidad. Esto último fue

objeto de estudio para Banach y sus pupilos, preparando aśı el camino para la definición

general de espacios localmente convexos dada por J. von Neumann en 1935. Se debe tomar

en cuenta que los avances en la simplicidad y generalidad de estas nuevas ideas fueron po-

sibles gracias a la creación de las nociones fundamentales de la Topoloǵıa General, llevadas

a cabo entre los años 1930 y 1940; por otro lado también tenemos la noción de conjunto

acotado, introducido por Kolmogoroff y von Neumann en 1935. Finalmente, lo cierto es

que el impulso principal que motivó esta investigación vino de nuevas posibilidades para

usos en el Análisis, en ámbitos donde la teoŕıa de Banach era inoperante como la teoŕıa

de espacios de sucesiones, desarrollada por Köthe, Toeplitz y sus disćıpulos desde 1934, la

xi

xii INTRODUCCIÓN

teoŕıa de “funcionales anaĺıticos” de Fantappié y sobre todo la teoŕıa de distribuciones de

L. Schwartz, donde la teoŕıa moderna de espacios localmente convexos encontró un campo

de aplicaciones, que está sin duda, lejos de ser agotado.

Empezaremos definiendo una estructura que nos acompañará en el resto de la tesis que

es la de espacio vectorial topológico, enseguida veremos qué es una familia de seminor-

mas separante y cómo estos conceptos forman el de espacio localmente convexo que es el

que nos avocaremos a estudiar. En particular, en el Caṕıtulo 1 nos proveemos de varias

herramientas para verificar que ciertos espacios con familias de seminormas distintas son

espacios localmente convexos. En la segunda mitad del caṕıtulo empleamos otros conceptos

más como el de envolvente convexa, los conjuntos balanceados y absorbentes para luego

llegar a una caracterización:

Si X es un espacio vectorial y V un subconjunto de X entonces: V es un conjunto no vaćıo

convexo, balanceado y absorbente en cada uno de sus puntos si y sólo si existe una única

seminorma p en X tal que

V = {x ∈ X : p(x) < 1}.

Luego esto nos ayudará a ver otra manera de definir los espacios localmente convexos,

a saber, si tenemos que X es un espacio vectorial topológico Hausdorff con una base para

el sistema de vecindades del cero donde los básicos son abiertos, balanceados y convexos,

entonces X es un espacio localmente convexo.

En el Caṕıtulo 2 iniciamos haciendo un camino para definir una métrica a base de una

familia numerable de seminormas. Después mostramos unos resultados sobre convergencias

y equivalencias de topoloǵıas para poder mostrar uno de los teoremas más importantes de

la obra: ver cuándo un espacio localmente convexo X es metrizable. Obtendremos que X

lo es si y sólo si existe una colección a lo más numerable de seminormas tal que la topoloǵıa

que determine esta familia coincida con la topoloǵıa de X. Enseguida mostramos ejemplos

donde esto se cumple y uno donde no que viene siendo Lp con 0 < p < 1. Luego introduci-

mos el concepto de F-espacio y espacios de Fréchet y veremos como algunos ejemplos del

Caṕıtulo 1 caen en esta categoŕıa. También manejaremos una definición de conjunto acota-

do que generaliza a la usual, mostraremos algunos resultados sobre conjuntos acotados para

terminar caracterizando a los espacios localmente convexos normables como aquellos que

INTRODUCCIÓN xiii

poseen al menos un subconjunto abierto, acotado y distinto del vaćıo. Después acabamos

con un ejemplo de espacio localmente convexo metrizable mas no normable.

El Teorema de Banach-Alaoglu es un teorema muy importante en Análisis. Nos dice

que si X es un espacio normado, entonces la bola unitaria de X∗ es compacta con la to-

poloǵıa débil*. Para llegar a este resultado en el Caṕıtulo 3 demostraremos los resultados

necesarios para probar el teorema. La mayoŕıa tratan sobre equivalencias de convergencias

y terminamos el caṕıtulo con una consecuencia del Teorema de Banach-Alaoglu que aplica-

remos al inicio del Caṕıtulo 4. Esta aplicación consiste en que dada una función armónica

u en el disco unitario, asegurar la existencia de una función f en Lp(T ) (donde a T lo

identificamos con el intervalo [−π, π]) tal que

u(reiθ) = (Pr ∗ f)(θ),

esto es equivalente al hecho de que u esté uniformemente en Lp(T ); aqúı Pr es el Núcleo

de Poisson para el disco unitario. Antes de esta prueba se proporcionarán las definiciones

necesarias, aśı como algunas de las propiedades de las funciones armónicas y del Núcleo de

Poisson. Después en este mismo caṕıtulo abordamos el estudio de dos espacios muy valiosos

en Análisis: La Clase de Schwartz S(Rn) y las funciones infinitamente diferenciables con

soporte compacto C∞c (Rn). Esta importancia se debe a que son espacios cuyas funciones

poseen caracteŕısticas muy deseables. Además veremos que S es completo respecto a una

determinada topoloǵıa. Y para concluir esta obra mostraremos que C∞c (Rn) es denso en

Lp(Rn), aśı como también tendremos la densidad de S en Lp(Rn). Para ello nos auxiliaremos

de la función traslación Ty : Lp(Rn) −→ Lp(Rn) que nos da

(Tyf)(x) = f(x− y).

Haremos uso de propiedades que cumple respecto a la norma ‖ ‖p tal como la continuidad.

También emplearemos la convolución entre funciones y varios resultados que reuniremos

para llegar a este desenlace.

xiv INTRODUCCIÓN

Caṕıtulo 1

Espacios Localmente Convexos

Los espacios localmente convexos son un tipo de espacio de mucha utilidad en el Análi-

sis Funcional. En este trabajo nos dedicaremos a estudiarlos y en particular en este caṕıtulo

daremos una introducción a éstos presentando algunas de sus propiedades más importantes

aśı como también veremos algunos ejemplos que tendremos oportunidad de volver a men-

cionar en caṕıtulos posteriores. Cabe aclarar que en todo el trabajo el campo de escalares

K será R ó C.

Definición 1.1 Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial X con una topoloǵıa

donde la suma de vectores y la multiplicación por escalar

s : X ×X −→ X, s(x, y) := x+ y (1.1)

m : K×X −→ X, m(α, x) := αx (1.2)

son continuos respecto a esa topoloǵıa. Es decir, s es continuo si dados x0, y0 ∈ X y V

una vecindad de x0 + y0, existen dos vecindades U y W en X de x0 y y0 respectivamente,

tales que s(U ×W ) ⊆ V (o bien, que U + W ⊆ V ) y se dice que m es continuo si dados

α0 ∈ K, x0 ∈ X y V una vecindad en X de α0x0 existen δ > 0 y una vecindad U en X de

x0 tales que m(Bδ(α0)× U) ⊆ V , esto es que αU ⊆ V siempre que |α− α0| < δ.

Observación 1.1 Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

Demostración: Si X es un espacio normado, entonces es un espacio vectorial y tiene la

topoloǵıa τ inducida por la norma, esto es, τ es generada por la base B = {{y ∈ X :

‖y − x‖ < ε} : x ∈ X, ε > 0}, falta ver que la suma y el producto definidos en (1.1) y

(1.2) son mapeos continuos respecto a τ. Sean x0, y0 ∈ X y V una vecindad de x0 + y0

1

2 Caṕıtulo 1

en X, entonces existe un básico {y ∈ X : ‖y − (x0 + y0)‖ < ε} ⊆ V . Ahora tomemos

U1 = {z : ‖z − x0‖ < ε2} como vecindad de x0 y U2 = {z : ‖z − y0‖ <ε2} como vecindad

de y0, aśı, si (x, y) ∈ U1 × U2 entonces se tiene que

‖s(x, y)− s(x0, y0)‖X = ‖x+ y − x0 − y0‖X 6 ‖x− x0‖+ ‖y − y0‖ <ε

2+ε

2= ε

por lo tanto s(U1 × U2) ⊆ {y ∈ X : ‖y − (x0 + y0)‖ < ε} ⊆ V y entonces s es continuo.

Ahora, sean α ∈ K, x ∈ X y V una vecindad de αx en X, entonces existe ε > 0 tal que

{y ∈ X : ‖y − αx‖ < ε} ⊆ V y consideremos una sucesión (xn)∞n=1 en X que converja a

x y una sucesión (αn)∞n=1 en K tal que converja a α. Como (αn)∞n=1 es convergente, existe

M > 0 tal que |αn| < M ∀n ∈ N y sean N1, N2 ∈ N tales que ‖xn−x‖ <ε

2Mpara n > N1

y |αn − α| <ε

2(‖x‖+ 1)para n > N2. Sea N = máx{N1, N2}. Aśı, si n > N ,

‖m(αn, xn)−m(α, x)‖ = ‖αnxn − αx− αnx+ αnx‖

6 |αn|‖xn − x‖+ |αn − α|‖x‖

< Mε

2M+

ε

2(‖x‖+ 1)<

ε

2+ε

2

= ε.

Aśı, como (αn, xn)∞n=1 es una sucesión arbitraria en K × X que converge a (α, x) y

(m(αn, xn))∞n=1 converge a m(α, x) en X, entonces m es continuo. �

Definición 1.2 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K. Una función p : X −→ R

se llama seminorma si cumple las siguientes condiciones:

(1) p(x) > 0 ∀ x ∈ X.

(2) Si x = 0, entonces p(x) = 0.

(3) p(αx) = |α|p(x) ∀ α ∈ K y ∀ x ∈ X.

(4) p(x+ y) 6 p(x) + p(y) ∀ x, y ∈ X.

Observación 1.2 Sea X un espacio vectorial y P una familia de seminormas en X, en-

tonces

S = {{y ∈ X : p(y − x) < ε} : p ∈ P, x ∈ X, ε > 0} (1.3)

Espacios Localmente Convexos 3

es sub-base para una topoloǵıa en X y además X es un espacio vectorial topológico con la

topoloǵıa generada por S.

Demostración: Sea B = {⋂j∈JEj : Ej ∈ S y J finito}, probaremos que B es base para una

topoloǵıa en X, es decir, que genera una topoloǵıa en X. Claramente para cada x ∈ X,

cualquier seminorma p ∈ P y cualquier ε > 0 hacen que

x ∈ {y : p(y − x) < ε} ∈ B

y si x ∈ BJ ∩BK con BJ , BK ∈ B donde

BJ =⋂j∈JEj y BK =

⋂j∈K

Ej ,

entonces J y K son finitos, por lo tanto I = J∪K es finito y si BI =⋂j∈IEj , entonces BI ∈ B

y además x ∈ BI y BI ⊆ BJ ∩ BK . Con esto tendremos que un subconjunto U de X es

abierto si y sólo si para cada x ∈ U existen p1, . . . , pn ∈ P y ε1, . . . , εn > 0 tales quen⋂j=1

{y ∈ X : pj(y − x) < εj} ⊆ U.

Ahora falta probar que s,m definidos en (1.1) y (1.2) son continuos respecto a la topoloǵıa

generada por B y para ello bastará probar para sub-básicos en vez de vecindades.

Sean x0, y0 dos puntos en X y E un sub-básico de τ tal que x0 + y0 ∈ E, aśı

E = {z ∈ X : p(z − (x0 + y0)) < ε}

para algún ε > 0 y sean

U1 ={x ∈ X : p(x− x0) <

ε

2

}y U2 =

{y ∈ X : p(y − y0) <

ε

2

}vecindades de x0 y y0 respectivamente, entonces si (x, y) ∈ U1 × U2,

p(s(x, y)− s(x0, y0)) = p(x− x0 + y − y0) 6 p(x− x0) + p(y − y0) < ε

y aśı s(U1 × U2) ⊆ E y por tanto s es continuo en X. Ahora tomemos x0 ∈ X,α0 ∈ K y

un sub-básico V = {z ∈ X : p(z−α0x0) < ε}, para probar la continuidad de m hará falta

ver que exista una vecindad W de x0 y un radio δ > 0 tales que m(Bδ(α0)×W ) ⊆ V . En

efecto, si tomamos δ = mı́n

{√ε

3,

ε

3(p(x0) + 1)

}, β = mı́n

{√ε,

ε

3(|α0|+ 1)

}, W = {z ∈

X : p(z − x0) < β}, x ∈W y α ∈ Bδ(α0) se tiene que

4 Caṕıtulo 1

p(m(α, x)− α0x0) = p(αx− α0x0)

= p(αx− αx0 + αx0 − α0x+ α0x− α0x0 + α0x0 − α0x0)

= p((α− α0)(x− x0) + (α− α0)x0 + α0(x− x0))

6 p((α− α0)(x− x0)) + p((α− α0)x0) + p(α0(x− x0))

= |α− α0|p(x− x0) + |α− α0|p(x0) + |α0|p(x− x0)

< δβ + δp(x0) + |α0|β 6√ε

3

√ε+

ε

3+ε

3

= ε

y por lo tanto X con la topoloǵıa inducida por la familia de seminormas P, es un espacio

vectorial topológico. �

Una de las conveniencias que tiene el estudiar las seminormas radica en la teoŕıa de

ecuaciones diferenciales donde se desea estudiar el operador ddx u operadores más compli-

cados construidos a partir de éste y hay espacios en los que es imposible definir una norma

de tal manera que el operador ddx sea acotado. Más adelante mostraremos un ejemplo de

este tipo de espacios pero antes necesitaremos algunos resultados.

Definición 1.3 Un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topológico cuya

topoloǵıa está definida por una familia de seminormas P tal que si x ∈ X y p(x) = 0 para

toda p ∈ P, entonces x = 0, dicho de otra forma, para x 6= 0 existe p ∈ P tal que p(x) 6= 0.

A una familia de seminormas P con esta propiedad se le llama separante.

Proposición 1.1 Sea X un espacio vectorial topológico cuya topoloǵıa es la inducida por

una familia de seminormas P, entonces X es de Hausdorff si y sólo si es localmente

convexo.

Demostración: Sea x 6= 0, como X es de Hausdorff, existen V y W vecindades disjuntas

en X de 0 y x respectivamente y entonces existen p1, . . . , pn ∈ P y ε1, . . . , εn > 0 tales quen⋂j=1

{x ∈ X : pj(z) < εj} ⊆ V y como x /∈ V existe al menos un j0 ∈ {1, . . . , n} tal que

pj0(x) > εj0 > 0 y aśı tenemos que se cumple la propiedad para ser localmente convexo.

Rećıprocamente, sean x, y ∈ X con x 6= y, entonces x− y 6= 0 y como X es localmente

convexo, existe p ∈ P tal que p(x − y) > 0. Sea ε > 0 tal que ε < p(x − y) y nótese que


si hacemos U = {z ∈ X : p(x − z) < ε2} y V = {z ∈ X : p(y − z) <ε2}, entonces U y V

serán vecindades disjuntas de x y y respectivamente y por lo tanto X es de Hausdorff. �

Proposición 1.2 Sea X un espacio vectorial topológico, x0 ∈ X y α ∈ K�{0}, entonces

los siguientes mapeos

ϕx0 : X −→ X, ϕx0(x) := x+ x0 (1.4)

ψα : X −→ X, ψα(x) := αx (1.5)

son homeomorfismos.

Demostración: Nótese que α 6= 0, entonces existe α−1 ∈ K�{0} y ψ−1α = ψα−1 , de esta

manera ya tenemos la existencia de la inversa. Sólo falta ver que ψα es continua respecto

a la topoloǵıa de X. Sea x ∈ X y sea V una vecindad de αx en X. Como X es un espacio

vectorial topológico, sabemos que el producto es un mapeo continuo y entonces existen

δ > 0 y W vecindad de x tales que m(Bδ(α) × W ) ⊆ V . Aśı, ψα(W ) = m(α × W ) ⊆

m(Bδ(α)×W ) ⊆ V por tanto ψα es continua para cualquier escalar en K�{0} y aśı ψ−1αtambién es continua.

Por otro lado, tenemos que ϕ−1x0 = ϕ−x0 , por lo que basta demostrar que ϕx0 es continua.

Sea x ∈ X y V una vecindad de x+x0 en X. Como la suma es también un mapeo continuo,

existen U1 vecindad de x y U2 vecindad de x0 tales que s(U1 × U2) ⊆ V . Aśı,

ϕx0(U1) = s(U1 × x0) ⊆ s(U1 × U2) ⊆ V.

�

Como consecuencia de lo anterior, vemos que cualquier vecindad de cualquier punto en

un espacio vectorial topológico puede obtenerse como traslación de alguna vecindad del 0.

Observación 1.3 Sea (X,τ) un espacio vectorial topológico, x ∈ X y U una vecindad de

x, entonces existe una vecindad V de 0 tal que U = x+ V , donde de hecho V = U − x.

Demostración: Como U es vecindad de x, entonces existe A ∈τ tal que x ∈ A ⊆ U y como

ϕx definido en (1.4) es continuo, entonces ϕ−1x (A) es un abierto en X, es decir, A− x ∈τ,

enseguida se tiene que 0 = x− x ∈ A− x ⊆ U − x, entonces U − x es vecindad de 0. �

6 Caṕıtulo 1

Observación 1.4 Si p es una seminorma en un espacio vectorial topológico X, entonces

{x ∈ X : p(x− x0) < ε} = x0 + ε{x ∈ X : p(x) < 1}, donde x0 ∈ X y ε > 0.

Demostración: Sea y ∈ {x ∈ X : p(x − x0) < ε}, entonces p(y − x0) < ε y luego

p(1ε (y − x0)) < 1, y aśı1ε (y − x0) ∈ {x ∈ X : p(x) < 1} y entonces y ∈ x0 + ε{x ∈ X :

p(x) < 1} y si y ∈ x0 + ε{x ∈ X : p(x) < 1}, entonces y = x0 + εx con p(x) < 1 y luego

(y−x0) = εx, aśı p(y−x0) = p(εx) = εp(x) < ε y por lo tanto y ∈ {x ∈ X : p(x−x0) < ε}.

�

Lo anterior nos dice que si X tiene la topoloǵıa inducida por una familia de seminormas

P, entonces cualquier sub-básico S = {x ∈ X : p(x− x0) < ε} con x0 ∈ X y ε > 0 puede

obtenerse de una traslación ϕx0 y una dilatación ψε (o contracción según sea el caso) del

sub-básico S0 = {x ∈ X : p(x) < 1}, es decir S = (ϕx0◦ψε)(S0), o bien S0 = (ψ−1ε ◦ϕ−1x0 )(S).

A continuación introduciremos el concepto de red que es una generalización de las su-

cesiones. Esto es porque no siempre se trabaja en espacios primero-numerables, que son en

los que se pueden construir cerraduras de conjuntos usando sólo sucesiones. Tal es el caso

de los espacios métricos. Sin embargo esto no ocurre en general.

El siguiente ejemplo nos ilustra por qué las sucesiones no son suficientes para caracte-

rizar a los puntos de la cerradura de un conjunto.

Ejemplo 1.1 Consideremos

X = [0, 1] y τ = {∅} ∪ {B ⊆ X : X�B es a lo más numerable}.

Discusión: Si A = [0, 1), entonces Ā = [0, 1] ya que al suponer que 1 /∈ Ā, entonces

existe B0 ∈ τ tal que 1 ∈ B0 y B0 ∩ A = ∅ y entonces B0 = {1}, pero {1} /∈ τ ya que

X�{1} = [0, 1) no es numerable. Sin embargo no existe una sucesión en [0, 1) tal que

converja a 1 en X. Sea (xn)∞n=1 una sucesión cualquiera en [0, 1) y sea V = ((xn)

∞n=1)

c,

luego V es vecindad de 1 pero V ∩ (xn)∞n=1 = ∅ y por lo tanto (xn)∞n=1 no puede converger

a 1. De este modo podemos ver que no podemos construir la cerradura de un subconjunto


de un espacio topológico sólo con ĺımites de sucesiones en él.

Más adelante formaremos una red para este ejemplo.

Definición 1.4 Un sistema dirigido es un conjunto de ı́ndices I junto con un orden - que

cumple

(i) Si α, β ∈ I, entonces existe γ ∈ I tal que α - γ y β - γ.

(ii) - es un orden, es decir, es reflexivo, transitivo y no necesariamente antisimétrico.

Definición 1.5 Sea X un espacio topológico. Una red en X es una función f : I −→ X

donde I es un sistema dirigido. Denotaremos a la red como {xα}α∈I donde xα = f(α) para

cada α ∈ I.

Aśı, si I = N con el orden usual, entonces las redes en X son las sucesiones en X.

Definición 1.6 Se dice que una red {xα}α∈I en un espacio topológico X converge a un

punto x ∈ X cuando para cada vecindad V de x, existe β ∈ I tal que xα ∈ V si α % β.

Proposición 1.3 Si X es un espacio topológico Hausdorff, se tiene que toda red {xα}α∈I

en X tiene a lo más un ĺımite, es decir, si xα −→ x y xα −→ y, entonces x = y.

Demostración: Sea {xα}α∈I una red en X tal que converge a x y supongamos que también

converge a un punto y ∈ X con y 6= x. Luego, dado que X es de Hausdorff, existen

vecindades V y W de x y y respectivamente tales que V ∩W = ∅. Ahora, como xα −→ x

para la vecindad V existe β1 ∈ I tal que xα ∈ V para todo α % β1 y como xα −→ y, para

la vecindad W de y existe β2 ∈ I tal que xα ∈ W para todo α % β2. Luego como I es un

sistema dirigido, existe γ ∈ I tal que γ % β1 y γ % β2, aśı xα ∈ V ∩W si α % γ, pero

V ∩W = ∅, por lo que x y y deben ser iguales. �

Proposición 1.4 Sea A ⊆ X, X un espacio topológico, entonces x ∈ Ā si y sólo si existe

una red en A tal que converja a x.

Demostración: Sea x ∈ Ā y sea I la colección de todas las vecindades de x en X con el

siguiente orden: V1 - V2 si V2 ⊆ V1 donde V1, V2 ∈ I. Nótese que I 6= ∅ pues X ∈ I,

8 Caṕıtulo 1

más aún, es un sistema dirigido ya que el orden - es reflexivo, transitivo y además, para

cada par V, U ∈ I, existe W = V ∩ U ∈ I tal que V - W y U - W . Luego, como x ∈ Ā,

entonces para cada V ∈ I se tiene que V ∩ A 6= ∅. Luego para cada V ∈ I tomemos un

punto en V ∩ A y denotémoslo por xV , aśı {xV }V ∈I es una red en A, sólo falta ver que

xV −→ x. Sea W una vecindad de x, entonces W ∈ I y existe xW ∈ W ∩ A. Luego, si

V % W , entonces V ⊆ W y aśı xV ∈ U ⊆ W para toda U % W , por lo tanto {xV }v∈I

converge a x.

Ahora sea x ∈ X y {xα}α∈A una red en A tal que converge a x, entonces si V es

una vecindad arbitraria de x, existe β ∈ I tal que xα ∈ V para toda α % β y entonces

A ∩ V 6= ∅, por lo tanto x ∈ Ā. �

Proposición 1.5 Sean X y Y dos espacios topológicos. Una función f : X −→ Y es

continua en x si y sólo si para toda red {xα}α∈I que converge a x en X, la red {f(xα)}α∈I

converge a f(x) en Y .

Demostración: Sea V una vecindad de f(x), como f es continua en x, entonces f−1(V ) es

vecindad de x. Aśı, si xα → x entonces {xα}α∈I está eventualmente en f−1(V ), es decir,

existe β ∈ I tal que xα ∈ f−1(V ) para toda α % β y entonces f(xα) ∈ V para toda α % β

y aśı f(xα) → f(x). Por otro lado, si f no fuese continua en x, existiŕıa una vecindad W

de f(x) tal que f−1(V ) no fuera vecindad de x, es decir, x /∈ (f−1(V ))◦ o equivalentemente

x ∈ f−1(V )c, o bien x ∈ f−1(V c) y entonces existiŕıa una sucesión {xi}i∈I en f−1(V c) tal

que converge a x y entonces la sucesión {f(xi)}i∈I no está en V y por tanto f(xi) 9 f(x).

�

Proposición 1.6 Sea X un espacio vectorial topológico y sea p una seminorma en X,

entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

(a) p es continua.

(b) {x ∈ X : p(x) < 1} es abierto.

(c) 0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1}◦.

(d) 0 ∈ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦.


(e) p es continua en 0.

(f) Existe una seminorma continua q en X tal que p 6 q.

Demostración: Probaremos las equivalencias en el siguiente orden: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒

(d)⇒ (e)⇒ (a) y finalmente (e)⇔ (f) para cerrar el ciclo.

(a) ⇒ (b): Sea p una seminorma continua en X y tomemos la topoloǵıa usual para

R, entonces (−∞, 1) es abierto y como p es continua, p−1((−∞, 1)) es un abierto de X y

p−1((−∞, 1)) = {x ∈ X : p(x) < 1}.

(b) ⇒ (c): Notemos que 0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1} pues p(0) = 0 y como {x ∈ X :

p(x) < 1} es abierto, entonces {x ∈ X : p(x) < 1} = {x ∈ X : p(x) < 1}◦, por lo tanto

0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1}◦.

(c) ⇒ (d): Como {x ∈ X : p(x) < 1} ⊆ {x ∈ X : p(x) 6 1}, tenemos que {x ∈ X :

p(x) < 1}◦ ⊆ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦ y aśı 0 ∈ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦.

(d) ⇒ (e): Sea ε > 0 y consideremos A = {x ∈ X : p(x) 6 1}. Ahora tomemos

0 < δ < ε y obsérvese que 0 ∈ δA◦, pues por hipótesis 0 ∈ A◦ y 0 = δ · 0 ∈ δA◦. Falta ver

que δA◦ es abierto y que p(δA◦) ⊆ (−ε, ε). Sea ψ 1δ

el homeomorfismo definido en (1.5), aśı

δA◦ = {y ∈ X : y = δx, x ∈ A◦}

= {y ∈ X : 1δy = x, x ∈ A◦}

= {y ∈ X : ψ 1δ(y) = x, x ∈ A◦}

= ψ−11δ

(A◦)

y como ψ 1δ

es continuo y A◦ es abierto, entonces δA◦ es abierto en X y además, si y ∈ δA◦

tenemos que y = δx con x ∈ A◦ ⊆ A y entonces p(x) 6 1, aśı p(y) = p(δx) = δp(x) 6 δ < ε,

por lo tanto p(δA◦) ⊆ (−ε, ε).

(e) ⇒ (a): Sea x ∈ X y {xi}i∈I una red en X que converge a x y sea V una vecindad

de x que, por la observación 1.3, V puede obtenerse de la traslación de una vecindad W

del cero, es decir, V = x + W , aśı como también la vecindad W del cero puede obtenerse

como la traslación de una vecindad de x, esto es, W = V − x. Luego, existe i0 en I tal

que xi − x ∈ V − x = W para toda i % i0 y entonces la red {xi − x}i∈I converge a cero.

Aparte, por la desigualdad del triángulo se tiene que |p(xi)− p(x)| 6 p(xi − x) y entonces

{p(xi)}i∈I debe converger a p(x) en R y como {xi}i∈X es una red arbitraria que converge

10 Caṕıtulo 1

a x, por la proposición 1.5, p es continua en x y por tanto continua en X.

(e)⇒ (f): Por hipótesis general tenemos que p es seminorma y como (e) es equivalente

a (a) entonces p es continua, además siempre se tiene que p 6 p, por lo tanto, si definimos

a q como p, hemos terminado. Notar que también podemos definir a q = kp con k > 1 que

en efecto también es seminorma y continua.

(f)⇒ (e): Sea {xi}i∈I una red que converja a cero en X. Como q es continua, q(xi)→ 0

y como 0 6 p(xi) 6 q(xi) para toda i ∈ I, por comparación, p(xi)→ 0 y aśı p es continua

en 0. �

Observación 1.5 Sea X un espacio localmente convexo determinado por una familia de

seminormas P, entonces para cada p ∈ P, p es continua en X.

Demostración: Sea p una seminorma en P, entonces S = {x ∈ X : p(x) < 1} es un

sub-básico de X y por tanto es un abierto, luego por la proposición 1.6 (b) p es continua.

�

Lema 1.1 Sea I un conjunto de ı́ndices, A = {ai}i∈I y B = {bi}i∈I con A y B subconjuntos

acotados superiormente de R tales que ai, bi > 0 para toda i ∈ I, entonces

a) Si α > 0 y s = sup{αbi : i ∈ I} entonces s = αsup(B)

b) sup{ai + bi : i ∈ I} 6 sup(A) + sup(B)

c) Si ci 6 ai + bi para toda i ∈ I, entonces sup{ci : i ∈ I} 6 sup{ai + bi : i ∈ I}.

Demostración: a) Tenemos que s > αbi para todo i ∈ I y como α > 0 entonces 1αs > bi

para todo i ∈ I y entonces como 1αs es cota superior para B, entonces1αs > sup(B) o bien

s > αsup(B). Por otro lado sup(B) > bi para todo i ∈ I, por lo tanto αsup(B) > s y

aśı s = αsup(B).

b) Como ai + bi 6 sup(A) + sup(B) para todo i ∈ I, entonces sup(A) + sup(B) es cota

superior de {ai + bi : i ∈ I}, por lo tanto sup{ai + bi : i ∈ I} 6 sup(A) + sup(B).

c) Tenemos que ci 6 ai+bi 6 sup{ai+bi : i ∈ I} para todo i ∈ I, entonces sup{ai+bi :

i ∈ I} es cota superior de {ci : i ∈ I}, por lo tanto sup{ci : i ∈ I} 6 sup{ai + bi : i ∈ I}.

�


Estas propiedades las utilizaremos principalmente en el inciso (b) de la siguiente pro-

posición.

Proposición 1.7 Sea X un espacio vectorial topológico.

(a) Si p1, . . . , pn son seminormas continuas, entonces p1 + · · ·+pn y máx16i6n

{pi(x)} definen

dos seminormas continuas.

(b) Si {pi}i∈I es una familia de seminormas continuas y existe una seminorma continua

q tal que pi < q ∀i ∈ I, entonces p(x) := supi∈I{pi(x)} define una seminorma continua.

(c) Si p es una seminorma continua y β > 0, entonces q := βp también define una

seminorma continua.

Demostración: (a) Def́ınase la función p en X como p(x) = p1(x)+. . .+pn(x) y primero

probemos que es seminorma. Si x ∈ X, entonces pi(x) > 0 para toda i ∈ {1, 2, . . . , n} y

entonces p(x) = pi(x) + . . .+ pn(x) > 0, luego p(0) = p1(0) + . . .+ pn(0) = 0 y si α ∈ R y

x ∈ X, entonces

p(αx) = p1(αx) + . . .+ pn(αx)

= |α|p1(x) + . . .+ |α|pn(x)

= |α|(p1(x) + . . .+ pn(x))

= |α|p(x)

y finalmente si x, y ∈ X, entonces

p(x+ y) = p1(x+ y) + . . .+ pn(x+ y)

6 p1(x) + p1(y) + . . .+ pn(x) + pn(y)

= p1(x) + . . .+ pn(x) + p1(x) + . . .+ pn(y)

= p(x) + p(y).

Ahora, sea x ∈ X y {xj}j∈J una red que converja a x en X y sea V = (p(x)− ε, p(x) + ε)

con ε > 0 una vecindad de p(x). Como p1, . . . , pn son continuas, entonces pi(xj) −→ pi(x)

para toda i ∈ {1, . . . , n}, aśı, existen j1, j2, . . . , jn ∈ J tales que para cada i en {1, . . . , n}

se tiene que |pi(xj)−pi(x)| < εn para todo j > ji. Dado que J es un sistema dirigido, existe

un elemento j0 ∈ J tal que j0 > ji ∀i ∈ {1, . . . , n}, y aśı, |pi(xj) − pi(x)| < εn para toda

j > j0 y para toda i ∈ {1, . . . , n}. Aśı,

12 Caṕıtulo 1

|p(xj)− p(x)| = |p1(xj) + . . .+ pn(xj)− p1(x)− . . .− pn(x)|

6 |p1(xj)− p1(x)|+ . . .+ |pn(xj)− pn(x)|

<ε

n+ . . .+

ε

n︸︷︷︸n-veces

= ε

y de esta manera tenemos que p es continua.

Ahora def́ınase q como q(x) := máx16i6n

{pi(x)}. En efecto q es una seminorma pues si x ∈ X,

q(x) > 0, q(0) = 0 y además si α ∈ R, q(αx) = máx16i6n

{pi(αx)} y entonces existe i0 ∈

{1, . . . , n} tal que

q(αx) = pi0(αx) = |α|pi0(x) = |α|q(x)

pues como

|α|pi0(x) = pi0(αx) > pi(αx) = |α|pi(x) para toda i ∈ {1, . . . , n},

entonces pi0(x) > pi(x) para todo i ∈ {1, . . . , n}. Sólo falta probar que sea subaditiva. Sean

x, y ∈ X, entonces

q(x+ y) = pk(x+ y) para algún k ∈ {1, . . . , n},

luego

pk(x+ y) 6 pk(x) + pk(y) 6 q(x) + q(y)

pues q es el máximo y con esto ya se tiene que q(x+ y) 6 q(x) + q(y).

Para probar la continuidad, por la proposición 1.6 (e), bastará probarla en una vecindad

del cero. Sea {xj}j∈J una red tal que xj −→ 0 en X. Sea ε > 0, como pi es continua en 0,

para cada i en {1, . . . , n} existen β1, . . . , βn tales que |pi(xj)| < ε para todo j > βj , luego

J es un sistema dirigido y por lo tanto existe β ∈ J tal que β > βi para todo i ∈ {1, . . . , n}

y entonces |pi(xj)| < ε para todo j > β y para todo i ∈ {1, . . . , n} y aśı |q(xj)| < ε para

todo j > β, por lo tanto q(xj) −→ 0.

(b) Claramente p(x) > 0 para toda x ∈ X y p(0) = 0. Luego, sea x ∈ X y α ∈ R,

entonces por el lema 1.1 (a) se tiene que


p(αx) = sup{pi(αx) : i ∈ I}

= sup{|α|pi(x) : i ∈ I}

= |α|sup{pi(x) : i ∈ I}

= |α|p(x).

Ahora sean x, y ∈ X, por el lema 1.1 (b) y (c) tenemos que

p(x+ y) = sup{pi(x+ y) : i ∈ I}

6 sup{pi(x) + pi(y) : i ∈ I}

6 sup{pi(x) : i ∈ I}+ sup{pi(y) : i ∈ I}

= p(x) + p(y),

por lo tanto p śı es una seminorma.

Para probar la continuidad de p sólo falta recordar la proposición 1.6 pues tenemos

por hipótesis la existencia de una seminorma continua q tal que q > pi para todo i ∈ I,

entonces q es una cota superior para {pi : i ∈ I} mientras que q es el supremo, aśı p 6 q

y por la equivalencia de (a) y (f) de la proposición 1.6, entonces p es continua.

(c) Es fácil ver que q es una seminorma. En efecto, q(x) = βp(x) > 0 para toda x ∈ X

y además q(0) = β · 0 = 0. También se tiene que

q(αx) = β(p(αx)) = |α|βp(x) = |α|q(x)

y

q(x+ y) = β(p(x+ y)) 6 β(p(x) + p(y)) = βp(x) + βp(y) = q(x) + q(y).

Finalmente, la continuidad de q se obtiene directamente de la continuidad de p. �

Proposición 1.8 Sea X un espacio localmente convexo cuya topoloǵıa está determinada

por una familia de seminormas P = {pα}α∈Λ. Entonces una red {xi}i∈I converge a x en

X si y sólo si pα(xi − x) −→ 0 para toda α ∈ Λ.

Demostración: Es claro que xj − x −→ 0 pues por la observación 1.3 para cada vecindad

V del cero existe una vecindad U de x tal que V = U −x y como xi −→ x, existe β ∈ I tal

que xi ∈ U para todo i > β. Ahora, para cada α ∈ Λ, por la observación 1.5 pα es continua

y como xi − x converge a cero, entonces pα(xi − x) −→ pα(0) = 0.

14 Caṕıtulo 1

Rećıprocamente, para probar que xi −→ x, o equivalentemente, que xi − x −→ 0,

bastará probar que para cada sub-básico alrededor de cero, xi − x está eventualmente en

éste, es decir, que para cada α ∈ Λ y ε > 0 exista i(α,ε) ∈ I tal que xi − x ∈ {z ∈ X :

pα(z) < ε} para todo i > i(α,ε). En efecto, como pα(xi − x) −→ 0 para todo α ∈ Λ, para

α ∈ Λ y ε > 0 existe i(α,ε) ∈ I tal que pα(xi − x) < ε para todo i > i(α,ε), es decir,

xi − x ∈ {z ∈ X : pα(z) < ε} para todo i > i(α,ε). �

Proposición 1.9 Sean X y Y espacios vectoriales con las topoloǵıas definidas respectiva-

mente por las familias de seminormas {pα}α∈A y {qβ}β∈B y sea T : X −→ Y un mapeo

lineal. Entonces T es continuo si y sólo si para cada β ∈ B existen α1, . . . , αk ∈ A y c > 0

tales que

qβ(T (x)) 6 ck∑j=1

pαj (x). (1.6)

Demostración: Sea {xi}i∈I una red que converge a un punto x enX, luego por la proposición

1.8, pα(xi−x) −→ 0 para toda α ∈ A y por hipótesis tenemos que para cada β ∈ B existen

α1, . . . , αk ∈ A y c > 0 tales que

qβ(T (xi − x)) 6 ck∑j=1

pαj (xi − x) para todo i ∈ I

y como pα(xi − x) −→ 0 para toda α ∈ A por la proposición 1.8, entonces

c

k∑j=1

pαj (xi − x) −→ 0

y aśı a su vez qβ(T (xi − x)) −→ 0 y como qβ también es continua en Y para todo β ∈ B,

entonces T (xi − x) −→ 0, en otras palabras, como T es lineal, entonces T (xi) −→ T (x)

donde {xi}i∈I es una red arbitraria que converge a x, por lo tanto T es continuo.

Rećıprocamente, sea β ∈ B, como T es lineal y continuo, si W = {w ∈ Y : qβ(w) < 1}

entonces existe un básico U en X tal que 0 ∈ U y T (U) ⊆ V y aśı qβ(T (x)) < 1 si x ∈ U ;

asúmase sin pérdida de generalidad que U está conformado por sub-básicos alrededor del

cero, es decir, existen α1, . . . , αk ∈ A y ε1, . . . , εk > 0 tales que

U =k⋂j=1

{z ∈ X : pαj (z) < εj}. (1.7)


Sea ε = mı́n{ε1, . . . , εk}, aśı, si pαj (x) < ε para todo j ∈ {1, . . . , k} entonces x ∈ U y

qβ(T (x)) < 1. Ahora, dado x en X hay dos posibilidades: pαj (x) > 0 para algún j ∈

{1, . . . , k}, o bien, pαj (x) = 0 para todo j ∈ {1, . . . , k}. Supongamos primero que existe

j0 ∈ {1, . . . , k} tal que pαj0 (x) > 0 y sea

y =ε

2∑k

j=1 pαj (x)x,

entonces

pαj (y) = pαj

(ε∑k

j=1 pαj (x)x

)=

ε

2∑k

j=1 pαj (x)pαj (x) 6

ε

2< ε

para todo j ∈ {1, . . . , k}, por lo tanto qβ(T (y)) < 1 y de este modo tenemos que

qβ(T (x)) = qβ

Ty2

ε

k∑j=1

pαj (x)

6 2ε

k∑j=1

pαj (x)qβ(T (y)) <2

ε

k∑j=1

pαj (x),

aśı, si tomamos c =2

ε> 0 tenemos la prueba y si se tiene que pαj (x) = 0 para todo

j ∈ {1, . . . , k}, entonces

pαj (rx) = 0 ∀ j ∈ {1, . . . , k}, ∀ r > 0,

por lo tanto qβ(T (rx)) < 1 para todo r > 0 y entonces qβ(T (x)) <1

rpara todo r > 0, por

lo tanto qβ(T (x)) = 0 y de esta manera si c =2

ε> 0, también se tiene que

qβ(T (x)) 6 ck∑j=1

pαj (x).

�

Ahora veamos algunos ejemplos de familias de seminormas.

Ejemplo 1.2 Sea X un espacio topológico localmente compacto y sea

C(X) = {f : X −→ C | f es continua}.

Si K es un subconjunto compacto de X, def́ınase pK(f) = supx∈K|f(x)|; entonces

P = {pK : K ⊆ X, K compacto}

es una familia de seminormas que hace de C(X) un espacio localmente convexo.

16 Caṕıtulo 1

Demostración: En efecto, sea K ⊆ X compacto y f ∈ C(X), claramente pK(f) > 0 para

toda f ∈ C(X) y pK(0) = 0. Ahora tomemos α ∈ C, entonces pK(αf) = |α|pK(f), pues

pK(αf) = sup{|αf(x)| : x ∈ K}

= sup{|α||f(x)| : x ∈ K}

= |α|sup{|f(x)| : x ∈ K}

= |α|pK(f);

luego, sea g otra función en C(X), entonces pK(f + g) 6 pK(f) + pK(g), pues

pK(f + g) = sup{|(f + g)(x)| : x ∈ K}

= sup{|f(x) + g(x)| : x ∈ K}

6 sup{|f(x)|+ |g(x)| : x ∈ K}

6 sup{|f(x)| : x ∈ K}+ sup{|g(x)| : x ∈ K}

= pK(f) + pK(g),

por lo tanto P śı es una familia de seminormas en C(X). Por otro lado, sabemos que C(X)

es un espacio vectorial con la suma de funciones y el producto por escalar usuales. Estos

dos hechos, por la observación 1.2, hacen que C(X) sea un espacio vectorial topológico.

Falta ver que P sea separante para que C(X) sea un espacio localmente convexo.

Considérese f ∈ C(X) con f 6= 0, entonces existe x0 ∈ X tal que f(x0) 6= 0, aśı x0 /∈

f−1({0}) ≡ W , donde W viene siendo un conjunto cerrado pues es imagen inversa de un

cerrado y f es continua. Entonces x0 está en V ≡ X�W , el cual es abierto y además se

tiene que f(x) 6= 0 para toda x ∈ V . Luego, como X es localmente compacto, x0 tiene una

base de vecindades compactas y entonces existe un compacto K0 ⊆ X tal que x0 ∈ K0 ⊆ V

y aśı

pK0(f) = sup{f(x) : x ∈ K0} > 0,

por lo tanto P hace de C(X) un espacio localmente convexo. �

Ejemplo 1.3 Sea G un subconjunto abierto y no vaćıo de C y sea H(G) = {f : G −→ C |

f es anaĺıtica} y considérese la familia de seminormas

P = {pK : K ⊆ G, K compacto}

donde pK(f) = sup{|f(x)| : x ∈ K}, entonces H(G) es un espacio localmente convexo.


Demostración: Nótese que en efecto P es una familia de seminormas en H(G) ya que como

G es un subconjunto abierto de C, entonces es localmente compacto y aśı, por el ejemplo 1.2

se tiene que P es una familia de seminormas en C(G) = {f : G −→ C | f es continua} pero

como H(G) está contenido en C(G), entonces P también es una colección de seminormas

en H(G) y de la misma manera que en el ejemplo 1.2, al tomar una función f distinta de

cero, existirá un compacto K0 tal que pK0(f) > 0 y aśı H(G) es localmente convexo si su

topoloǵıa la determina P. �

Notemos que en el ejemplo anterior la topoloǵıa definida por P es la topoloǵıa de la

convergencia uniforme en compactos, esto es, {fi}i∈I converge a f en H(G) si y sólo si

para todo compacto K en G se tiene que

pK(fi − f) −→ 0 es decir, fi −→ f uniformemente en K,

pues si fi −→ f en H(G), dado un compacto K y un ε > 0 para el sub-básico

S = {g ∈ H(G) : pK(g − f) < ε}

existe i0 tal que fi ∈ S para todo i > i0, es decir, pK(fi − f) < ε para todo i > i0, esto es,

supx∈K|fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y entonces

|fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y para toda x ∈ K,

aśı pues {fi}i∈I converge uniformemente a f en K. Análogamente, dado un sub-básico

S = {g ∈ H(G) : pK(g − f) < ε},

como fi −→ f en cada compacto de G, aśı lo es también en K y para el ε del sub-básico S

existe i0 ∈ I tal que |fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y para toda x ∈ K, de aqúı sigue

que

supx∈K|fi(x)− f(x)| < ε

y aśı pK(fi − f) < ε, en otras palabras fi ∈ S para todo i > i0, por lo tanto fi converge a

f en H(G).

18 Caṕıtulo 1

Ejemplo 1.4 Sea X = {f : [0, 1] −→ K} y considérese la familia de seminormas

P = {px : x ∈ [0, 1]},

donde px(f) := |f(x)|. La topoloǵıa inducida en X por esta familia se llama la topoloǵıa

de la convergencia puntual pues la red {fα}α∈I converge a f en X si y sólo si fα −→ f

puntualmente para cada x ∈ [0, 1].

Demostración: En efecto P es una familia de seminormas pues si f ∈ X y x ∈ [0, 1], se

tiene que px(f) > 0; si g = 0 entonces px(g) = |g(x)| = 0 y si α ∈ K y f, h ∈ X entonces

px(αf) = |αf(x)| = |α||f(x)| = |α|px(f)

y

px(f + h) = |f(x) + h(x)| 6 |f(x)|+ |h(x)| = px(f) + px(h),

por lo tanto px es una seminorma para cada x ∈ [0, 1].

Ahora, tómese una red {fα}α∈I que converja a f en X, x ∈ [0, 1] y ε > 0, entonces para

el sub-básico S = {g ∈ X : px(g−f) < ε} existe α0 ∈ I tal que fα ∈ S para todo α > α0 y

por lo tanto hay convergencia puntual. Rećıprocamente si hay convergencia puntual, para

un sub-básico S = {g ∈ X : px(g − f) < ε} existe α0 ∈ I tal que |fα(x)− f(x)| < ε para

todo α > α0, es decir, fα ∈ S para todo α > α0 y por lo tanto {fα}α∈I converge a f en X.

�

Definición 1.7 Sea X un espacio normado sobre un campo K. X∗ se define como el

espacio dual de X, esto es, X∗ = {f : X −→ K | f es una funcional lineal acotada}.

El siguiente teorema es una de las consecuencias del Teorema de Hahn-Banach.

Teorema 1.1 Sea X un espacio normado y {x1, . . . , xn} un subconjunto finito linealmente

independiente contenido en X. Entonces dada una colección finita {α1, . . . , αn} de escalares

en K, existe una funcional lineal acotada f : X −→ K tal que f(xj) = αj para toda

j ∈ {1, . . . , n}.


Ejemplo 1.5 Sea X un espacio normado sobre un campo K, considerando K = C y sea X∗

su espacio dual. Para cada f ∈ X∗ def́ınase pf : X −→ R como pf (x) = |f(x)|. Entonces

P = {pf : f ∈ X∗}

es una familia de seminormas que hace de X un espacio localmente convexo.

Demostración: Efectivamente para cada f ∈ X∗, pf es una seminorma pues si x ∈ X

entonces pf (x) > 0 y pf (0) = 0 ya que f es lineal y si α ∈ K y x, y ∈ X,

pf (αx) = |αf(x)| = |α|pf (x)

y

pf (x+ y) = |f(x+ y)| = |f(x) + f(y)| 6 pf (x) + pf (y),

de esta manera P = {pf : f ∈ X∗} es una familia de seminormas. Luego, X un espacio

localmente convexo ya que si x 6= 0, entonces {x} es un subconjunto linealmente indepen-

diente y finito y al tomar un escalar k ∈ K con k 6= 0, por el teorema 1.1, existe f ∈ X∗

tal que f(x) = k y entonces pf (x) = |f(x)| = |k| > 0. �

A la topoloǵıa definida en X por esta familia de seminormas P = {pf : f ∈ X∗} se le

llama la topoloǵıa débil y se denotará por σ(X,X∗)

Observación 1.6 La topoloǵıa σ(X,X∗) es más débil que la topoloǵıa τ‖ ‖X inducida por

la norma ‖ ‖X .

Demostración: En efecto consideremos un sub-básico V de σ(X,X∗)

V = {y ∈ X : pf (y − x) < ε} con f ∈ X∗ y ε > 0.

Luego,

V = {y ∈ X : |f(y − x)| < ε}

= {y ∈ X : |f(y)− f(x)| < ε}

= f−1(Bε(f(x)))

y como Bε(f(x)) es un abierto en C y f es continua respecto a ‖ ‖X por ser una funcional

acotada, entonces V debe ser un abierto respecto a ‖ ‖X y aśı V ∈τ‖ ‖X y por lo tanto

σ(X,X∗) ⊆τ‖ ‖X . �

20 Caṕıtulo 1

Ejemplo 1.6 Sea X un espacio normado sobre un campo K y X∗ su espacio dual. Para

cada x ∈ X def́ınase px : X∗ −→ R como px(f) = |f(x)|, entonces

P = {px : x ∈ X}

es una familia de seminormas en X∗ que lo hace un espacio localmente convexo.

Demostración: Si x ∈ X, claramente px(f) > 0 ∀f ∈ X∗ y si f = 0 entonces px(f) = 0.

Luego si α ∈ K y f, g ∈ X∗ se tiene que

px(αf) = |αf(x)| = |α|px(f)

y

px(f + g) = |f(x) + g(x)| 6 |f(x)|+ |g(x)| = px(f) + px(g).

Luego si f 6= 0 entonces debe existir x0 ∈ X tal que f(x0) 6= 0 y por tanto |f(x0)| > 0 (pues

el valor absoluto es una norma). De esta manera tenemos que X∗ es un espacio localmente

convexo con P. �

La topoloǵıa definida por estas seminormas se conoce como la topoloǵıa débil* (dicho

como topoloǵıa débil estrella) y se denota por σ(X∗, X). Y aśı como tenemos la observación

1.6 para σ(X,X∗), tenemos un resultado similar para σ(X∗, X).

Observación 1.7 La topoloǵıa σ(X∗, X) es más débil que la τ‖ ‖X∗ inducida por la norma

‖ ‖X∗, donde esta norma se define para h ∈ X∗ como

‖h‖X∗ = supx∈Xx 6=0

|h(x)|‖x‖X

(1.8)

Demostración: Mostraremos que cualquier abierto en σ(X∗, X) es abierto en τ‖ ‖X∗ . Para

ello probaremos que la función identidad

id : (X∗,τ‖ ‖X∗ ) −→ (X∗, σ(X∗, X))

es continua, de esta manera si tenemos un abierto A en la topoloǵıa débil*, la imagen

inversa id−1(A) = A será un abierto respecto a la norma ‖ ‖X∗ .

Sea f una funcional en X∗ y V = {g ∈ X∗ : px0(f − g) < ε} con x0 ∈ X y ε > 0 un


sub-básico alrededor de id(f) = f en σ(X∗, X). Probaremos que existe un abierto W que

contiene a f en τ‖ ‖X∗ tal que id(W ) = W ⊆ V , a saber

W = B‖ ‖X∗r (f) = {g ∈ X∗ : ‖f − g‖X∗ < r} con r =ε

‖x0‖X.

En efecto, si g ∈W , para toda x ∈ X se tiene que

|f(x)− g(x)|‖x‖X

6 ‖g − f‖X∗ < r

y en particular para x0 se tiene que

|f(x0)− g(x0)|‖x0‖X

< r =ε

‖x0‖Xy entonces g está en V . �

Más adelante, en el Caṕıtulo 3, veremos que la topoloǵıa débil* es más débil que la

topoloǵıa débil de X∗ y ésta a su vez será más débil que la topoloǵıa inducida por la norma

de X∗, es decir,

σ(X∗, X) ⊆ σ(X∗, X∗∗) ⊆ τ‖ ‖X∗ .

Acontinuación presento la definición de funciones localmente integrables y un lema para

mostrar otro ejemplo de espacio localmente convexo.

Definición 1.8 Una función f : Rn −→ C medible se dice que es localmente integrable

(respecto a la medida de Lebesgue dµ = dx) si∫K|f(x)|dx 0 donde µ es la medida de

Lebesgue. Sea {En}∞n=1 una familia de subconjuntos medibles en Rn tal que D ⊆∞⋃n=1

En.

Entonces existe N ∈ N tal que µ(D ∩ EN ) > 0.

Demostración: Notemos que si µ(D ∩ En) = 0 para toda n ∈ N, entonces

µ(D) = µ

(D ∩

( ∞⋃n=1

En

))= µ

( ∞⋃n=1

(D ∩ En)

)6∞∑n=1

µ(D ∩ En) = 0

llegando aśı a una contradicción pues µ(D) > 0, por lo tanto existe N ∈ N tal que µ(D ∩

EN ) > 0. �

22 Caṕıtulo 1

Ejemplo 1.7 Consideremos el espacio L1loc(Rn) y P = {pk}∞k=1 donde

pk(f) =

∫‖x‖6k

|f(x)|dx.

Entonces P es una familia de seminormas tal que (L1loc(Rn),τP) es un espacio localmente

convexo.

Demostración: Primero veamos que L1loc(Rn) es un espacio vectorial, centrándonos sóla-

mente en la cerradura de la suma y el producto por escalar. Tomemos f y g en L1loc(Rn)

y K un subconjunto medible y acotado de Rn, entonces por la linealidad de la integral de

Lebesgue para funciones positivas (ver [6] lema 3.2.5 p. 81 y lema 3.2.3 p. 74) se tiene que∫K|(f + g)(x)|dx =

∫K|f(x) + g(x)|dx

6∫K|f(x)|+ |g(x)|dx

=

∫K|f(x)|dx+

∫K|g(x)|dx

< ∞

y además ∫K|αf(x)|dx =

∫K|α||f(x)|dx

= |α|∫K|f(x)|dx

< ∞.

Ahora probaremos que pk es una seminorma para toda k ∈ N. Sea f = 0 en el sentido de

clases de equivalencia (es decir, f(x) = 0 casi en todas partes), y denotemos la bola cerrada

{x ∈ Rn : ‖x‖ 6 k} como Bk y notemos que Bk es acotada y Lebesgue-medible por lo que

si f ∈ L1loc(Rn) entonces

0 6 pk(f) =∫Bk

|f(x)|dx


para todo k ∈ N. Luego para toda k en N tenemos que

Bk = Bk ∩ Rn = Bk ∩ (E ∪ Ec) = (Bk ∩ E) ∪ (Bk ∩ Ec)

y además Bk ∩ E ⊆ E y Bk ∩ Ec ⊆ Ec, entonces por la σ-aditividad y la monotońıa de µ

(ver [6] teorema 3.4.2 p. 86 y corolario 3.2.2 p. 77) se tiene que

pk(f) 6∫Bk

|f(x)|dx

=

∫Bk∩E

|f(x)|dx+∫Bk∩Ec

|f(x)|dx

6∫E|f(x)|dx+

∫Ec|f(x)|dx

donde ∫E|f(x)|dx 6 sup

x∈E|f(x)|µ(E) = sup

x∈E|f(x)| · 0 = 0

y ∫Ec|f(x)|dx 6 sup

x∈Ec|f(x)|µ(Ec) = 0 · µ(Ec) = 0

por lo tanto pk(f) = 0. Luego, si α ∈ C y f ∈ L1loc(Rn), por la linealidad de la integral se

tiene que

pk(αf) =

∫Bk

|αf(x)|dx = |α|∫Bk

|f(x)|dx = |α|pk(f)

y

pk(f + g) =

∫Bk

|f(x) + g(x)|dx

6∫Bk

|f(x)|+ |g(x)|dx

=

∫Bk

|f(x)|dx+∫Bk

|g(x)|dx

= pk(f) + pk(g)

Entonces, teniendo que L1loc(Rn) es un espacio vectorial y que P es una familia de semi-

normas, por la observación 1.2 se tiene que L1loc(Rn) es un espacio vectorial topológico con

24 Caṕıtulo 1

la topoloǵıa generada por la sub-base definida en (1.3). Sólo falta ver que P es una familia

separante de seminormas.

Tómese f 6= 0 en L1loc(Rn), entonces debe existir un subconjunto medible A de Rn con

µ(A) > 0 en el que f(x) 6= 0 para toda x ∈ A y además tenemos que

A = A ∩ Rn = A ∩

( ∞⋃k=1

Bk(0)

)=∞⋃n=1

(A ∩Bk(0))

entonces existe k0 ∈ N tal que µ(A ∩ Bk0) > 0, de lo contrario la medida de A seŕıa cero.

Luego, para cada n ∈ N sea En = {x : |f(x)| > 1n} y sea φn =1nχEn donde χEn es la

función caracteŕıstica de En, entonces sabemos que

A ∩Bk0(0) ⊆ {x : |f(x)| > 0}

=∞⋃n=1

{x : |f(x)| > 1

n

}

=∞⋃n=1

En

y por el lema 1.2 debe existir un natural N tal que µ((A ∩ Bk0) ∩ EN ) > 0. Con esto ya

podemos afirmar que existe una seminorma, que es pk0 , en la que su valor en f sea mayor

que cero pues por monotońıa respecto a conjuntos y a funciones tenemos lo siguiente:

pk0(f) =

∫Bk0

|f(x)|dx

>∫A∩Bk0 (0)

|f(x)|dx

>∫A∩Bk0∩EN

|f(x)|dx

>∫A∩Bk0∩EN

φN (x)dx

=1

Nµ(A ∩Bk0 ∩ EN )

> 0.


Aśı nuestra familia de seminormas es separante y por lo tanto el espacio L1loc(Rn) con la

familia de seminormas P es localmente convexo. �

Ahora presentaremos algunos tipos de conjuntos en los espacios vectoriales como lo son

los conjuntos convexos, los conjuntos balanceados y los conjuntos absorbentes. También

definiremos la envolvente convexa de un conjunto y mencionaremos algunas propiedades

de estos conceptos para poder probar un resultado muy importante para caracterizar a los

espacios localmente convexos como espacios vectoriales topológicos que posean una base

de vecindades para el cero donde los elementos de esta base sean abiertos, balanceados y

convexos.

Definición 1.9 Sea X un espacio vectorial sobre K, A un subconjunto de X y a, b ∈ A.

i) El segmento de recta de a hacia b se denota y se define como

[a, b] ≡ {tb+ (1− t)a : 0 6 t 6 1}.

ii) Se dice que A es convexo si [a, b] ⊆ A.

Proposición 1.10 Sea X un espacio vectorial y A ⊆ X.

(a) A es convexo si y sólo si para cada colección finita x1, . . . , xn ∈ A y t1, . . . , tn ∈ [0, 1]

con

n∑j=1

tj = 1, entonces

n∑j=1

tjxj pertenece a A.

(b) Si {Ai}i∈I es una colección de conjuntos convexos, entonces⋂i∈I

Ai es convexo.

Demostración:

(a) Supóngase A convexo. Sean x1, . . . , xn ∈ A y t1, . . . , tn ∈ [0, 1] tales quen∑j=1

tj = 1.

Para la prueba procederemos por inducción. Notemos que para k = 2 la proposición

es verdadera pues A es convexo, es decir, si t1 + t2 = 1 entonces t2 = 1− t1 y entonces

t1x1 + (1− t1)x2 ∈ [x1, x2] ⊆ A.

Ahora supongamos la proposición válida para k = n y sean α1, . . . , αn, αn+1 ∈ [0, 1]

donden+1∑j=1

αj = 1 y sean x1, . . . , xn, xn+1 ∈ A, entonces si escribimos C =n∑j=1

αj =

1− αn+1 con αn+1 < 1, tenemos que

26 Caṕıtulo 1

n+1∑j=1

αjxj =C

C

n∑j=1

αjxj + αn+1xn+1

= C

n∑j=1

αjCxj + αn+1xn+1

= (1− αn+1)n∑j=1

αjCxj + αn+1xn+1

y comon∑j=1

αjC

=1

C

n∑j=1

αj =C

C= 1, por hipótesis de inducción se tiene que

n∑j=1

αjCxj ∈ A. Aśı, si escribimos a =

n∑j=1

αjCxj tenemos por la convexidad de A

quen+1∑j=1

αjxj = (1− αn+1)a + αn+1xn+1 ∈ A.

Rećıprocamente, tómese cualesquier par a, b en A y un t en [0, 1] arbitrariamente.

Aśı, si s = 1 − t, entonces t + s = 1 y por la hipótesis para una colección de dos

términos tenemos que ta+ sb ∈ A. Por lo tanto A es convexo.

(b) Supongamos que⋂i∈I

Ai 6= ∅, luego tómese a y b en⋂i∈I

Ai, entonces a y b están en Ai

para cada i ∈ I, por lo tanto [a, b] ⊆ Ai para cada i ∈ I pues Ai es convexo para toda

i en I y aśı [a, b] ⊆⋂i∈I

Ai, lo que hace de esta intersección un conjunto convexo.

�

Definición 1.10 Si A es un subconjunto de un espacio vectorial X, la envolvente convexa

de A que denotaremos por co(A) se define como la intersección de todos los conjuntos

convexos que contienen a A. Y si X es un espacio vectorial topológico, la envolvente convexa

cerrada de A será la intersección de todos los subconjuntos convexos cerrados de X que

contienen a A y se denotará mediante co(A).

Observación 1.8 Sean X y Y espacios vectoriales y A un subconjunto de X, entonces se

cumplen los siguientes enunciados:

(a) La envolvente convexa co(A) está bien definida y es convexa.


(b) Si X es un espacio vectorial topológico entonces la envolvente convexa cerrada co(A)

es convexa y cerrada en X.

(c) Si X es un espacio normado entonces {x ∈ X : ‖x‖ 6 1} y {x ∈ X : ‖x‖ < 1} son

conjuntos convexos.

(d) Si f es una funcional en X∗, entonces {x ∈ X : |f(x)| 6 1}, {x ∈ X : Ref(x) 6 1}

y {x ∈ X : Ref(x) > 1} son convexos.

(e) Sea T : X −→ Y una transformación R-lineal y B un subconjunto convexo de Y ,

entonces T−1(B) es un convexo de X.

Demostración:

(a) Sea C = {C ⊆ X : C es convexo y A ⊆ C}. Hay que notar que X es en śı un

conjunto convexo al ser un espacio vectorial, de esta manera la colección C es no

vaćıa y aśı para cualquier subconjunto habrá un conjunto convexo que lo contenga

y por el resultado (b) de la proposición 1.10 se tiene que la envolvente convexa es

convexa pues co(A) =⋂C⊆C

C.

(b) Dado que X es un espacio topológico, entonces X es cerrado. Aśı si

F = {F ⊆ X : F es cerrado, convexo y A ⊆ F},

entonces C es no vaćıa y de la misma manera que en (a) tenemos que co(A) está bien

definida y es convexa. Además, la intersección arbitraria de cerrados es cerrada en

un espacio topológico, entonces co(A) =⋂F⊆F

F es cerrada.

(c) Sean a, b en {x ∈ X : ‖x‖ 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces

‖bt+ (1− t)a‖ 6 t‖b‖+ (1− t)‖a‖

6 t+ (1− t)

= 1

y si c y d están en {x ∈ X : ‖x‖ < 1} y t ∈ [0, 1], entonces

28 Caṕıtulo 1

‖dt+ (1− t)c‖ 6 t‖d‖+ (1− t)‖c‖

< t+ (1− t)

= 1

por lo tanto śı son convexos.

(d) Sean a, b ∈ {x ∈ X : |f(x)| 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces

|f(bt+ (1− t)a)| = |tf(b) + (1− t)f(a)|

6 t|f(b)|+ (1− t)|f(a)|

6 t+ (1− t)

= 1.

Luego, si c, d ∈ {x ∈ X : Ref(x) 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces por la R-linealidad de f

se tiene que

Re(f(tb+ (1− t)a)) = Re(tf(b) + (1− t)f(a))

= Re(tf(b)) +Re((1− t)f(a))

= tRef(b) + (1− t)Ref(a)

6 t+ (1− t)

= 1

y finalmente, si u, v ∈ {x ∈ X : Ref(x) > 1} y t ∈ [0, 1], entonces

Re(f(tv + (1− t)u)) = Re(tf(v) + (1− t)f(u))

= tRef(v) + (1− t)Ref(u)

> t+ (1− t)

= 1.

(e) Considérense a y b en T−1(B) y sea t ∈ [0, 1], entonces T (a) y T (b) están en B, que

por ser convexo se tiene que tT (b) + (1 − t)T (a) ∈ B y por la R-linealidad de T

entonces

tT (b) + (1− t)T (a) = T (tb+ (1− t)a),

por lo tanto, efectivamente tb+ (1− t)a está en T−1(B).


�

Proposición 1.11 Sea X un espacio vectorial topológico y A ⊆ X convexo, entonces

(a) A es convexa.

(b) Si a ∈ A◦ y b ∈ Ā, entonces [a, b) ≡ {tb+ (1− t)a : 0 6 t < 1} ⊆ A.

Demostración:

(a) Ya sabemos que para puntos u, v en A tendremos que tv + (1 − t)u ∈ Ā para toda

t ∈ [0, 1] pues A es convexo y A ⊆ Ā. Ahora supongamos x ∈ A, y ∈ Ā y t ∈ [0, 1],

entonces existe una red {yi}i∈I en A tal que yi −→ y. Aśı,

tyi + (1− t)x −→ ty + (1− t)x.

Y como A es convexo, entonces {tyi + (1 − t)x}i∈I es una red en A, por lo tanto

ty + (1− t)x ∈ Ā para toda t ∈ [0, 1].

Otro caso es cuando ambos puntos están en la cerradura. Sean x, y ∈ Ā y t ∈ [0, 1],

luego existe una red {xα}α∈Λ en A tal que xα −→ x. Entonces, como xα está en A

para cada α ∈ Λ y y ∈ Ā, por lo anterior tenemos que ty + (1− t)xα está en Ā para

toda α ∈ Λ y para toda t ∈ [0, 1]. Además

ty + (1− t)xα −→ ty + (1− t)x,

y como {ty + (1 − t)xα}α∈Λ es una red en Ā, entonces ty + (1 − t)x debe estar en¯̄A = Ā para toda t ∈ [0, 1], por lo tanto Ā es convexa.

(b) Tomemos un t fijo en (0, 1) y sea c = tb+ (1− t)a donde a ∈ A◦ y b ∈ Ā. Probaremos

que c es punto interior de A.

Dado que a está en A◦, existe un abierto V de X tal que V es vecindad de 0 y

a+ V ⊆ A. Luego si tomamos un elemento d en A, entonces

td+ (1− t)(a+ V ) ⊆ A

puesto que A es convexo. Visto de otra forma tenemos para cualquier d ∈ A la

siguiente contención:

30 Caṕıtulo 1

A ⊇ td+ (1− t)(a+ V )

= t(d− b) + tb+ (1− t)(a+ V )

= t(d− b) + tb+ (1− t)a+ (1− t)V

= (t(d− b) + (1− t)V ) + c

Aśı, lo que falta es encontrar un d ∈ A tal que t(d− b) + (1− t)V ≡ U sea vecindad

de 0, puesto que por la proposición 1.2, U es un abierto y por la observación 1.3,

U + c será vecindad de c en A y por lo tanto c ∈ A◦. Ahora, hallar un d ∈ A tal que

0 ∈ t(d− b) + (1− t)V

es equivalente a encontrarlo tal que

0 ∈ (d− b) + t−1(1− t)V,

o bien, tal que

d ∈ b− t−1(1− t)V.

Como V es una vecindad abierta del 0, por la observación 1.3 y la proposición 1.2,

−t−1(1−t)V también es una vecindad abierta de 0, aparte b está en Ā y b−t−1(1−t)V

es vecindad de b en X (por la observación 1.3), entonces

b− t−1(1− t)V ∩A 6= ∅

y aśı, extraemos d de esta intersección.

�

Corolario 1.1 Si A ⊆ X y X es un espacio vectorial topológico, entonces co(A) es la

cerradura de co(A).

Demostración: Sean

C = {C ⊆ X : C es convexo y A ⊆ C}

y

F = {F ⊆ X : F es convexo, cerrado y A ⊆ F},


entonces F ⊆ C . De esta manera, si x ∈ co(A) =⋂C∈C

C, entonces x ∈ C para todo C ∈ C ,

por tanto, x ∈ F para toda F ∈ F , aśı

x ∈⋂F∈F

F = co(A).

Entonces, como co(A) ⊆ co(A), se tiene que co(A) ⊆ co(A) = co(A) puesto que co(A) es

cerrada por la observación 1.8 (b). Por otro lado, tenemos por la observación 1.8 (a) que

co(A) es convexa y por la proposición 1.11 (a) co(A) también es convexa. Aśı, co(A) ∈ F

y por lo tanto co(A) ⊆ co(A). �

Definición 1.11 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K.

i) Se dice que un subconjunto A de X es balanceado si para x ∈ A y α ∈ K con |α| 6 1

se cumple que αx está en A.

ii) Un subconjunto absorbente B de X es aquel en el cual para cada x ∈ X existe un

ε > 0 que depende de x, es decir ε = ε(x), tal que para t ∈ [0, ε), se verifica que

tx ∈ B.

iii) Si C ⊆ X y c ∈ C, decimos que C es absorbente en c si el conjunto C−c es absorbente.

Equivalentemente, C es absorbente en c si para cada x ∈ X existe 0 < ε = ε(x) tal

que para t ∈ [0, ε) se tenga que tx+ c ∈ C.

Claramente se puede observar que tanto un conjunto balanceado como un conjunto ab-

sorbente, ambos deben contener al cero y también es claro que si un conjunto es absorbente

en 0 es lo mismo que decir que es absorbente.

Una manera intuitiva de pensar en este tipo de conjuntos es, en el caso de un balan-

ceado A, imaginarlo como un conjunto que tiene cierta simetŕıa respecto al origen, ya que

para α = −1, si x ∈ A, entonces su inverso −x también debe estar en A (véase la figura

1.1b). Otro ejemplo que podemos visualizar es el espacio vectorial C sobre el campo K = C.

Aśı, si z = rzeiθz está en un balanceado A y α = eiθ, entonces αz = rze

i(θz+θ) pertenece a

A, y esto debe cumplirse para toda θ ∈ [0, 2π] lo que hace que A tenga que contener toda

la circunferencia de radio rz, de hecho, todo el ćırculo de radio rz pues para β = reiθ con

0 6 r 6 1, entonces βz debe estar en A.

32 Caṕıtulo 1

(a) Balanceado en C (b) Balanceado en R2 (c) No balanceado

Figura 1.1: Ejemplos

Notemos que en el caso de la figura 1.1c tenemos que existen algunos α’s con módulo

menor que 1 tales que αx /∈ A.

También podemos ver que en el caso de un conjunto absorbente, además de contener al

cero, éste debe poseer una vecindad del cero, de lo contrario habŕıa puntos para los cuales

no existiŕıan tales epsilons como el conjunto de la siguiente imagen.

Figura 1.2: No absorbente

Y si se quiere que un conjunto A sea absorbente en uno de sus puntos, digamos a,

entonces A debe contener una vecindad de a.

A continuación vamos a caracterizar a los conjunto que sean no vaćıos, convexos, balan-

ceados y absorbentes en cada uno de sus puntos con seminormas, es decir, por cada conjunto

de este tipo va a existir una única seminorma que lo describa. Para ello la observación 1.9

y la proposición 1.12.

Observación 1.9 Si X es un espacio vectorial y p es una seminorma en X, entonces el


conjunto

V = {x ∈ X : p(x) < 1}

es convexo, balanceado y absorbente en cada uno de sus puntos.

Demostración: Claramente V es convexo, balanceado y no vaćıo. Falta ver que es absorbente

en cada uno de sus puntos. Sea v ∈ V y x ∈ X con p(x) = 0, entonces para toda t > 0 se

tiene que

p(tx+ v) 6 p(tx) + p(v) = tp(x) + p(v) = p(v) < 1.

Luego, supongamos que p(x) > 0, entonces def́ınase ε =1− p(v)p(x)

> 0. Si t ∈ [0, ε)

tendremos que

p(v + tx) 6 p(v) + tp(x)

< p(v) +1− p(v)p(x)

p(x)

= p(v) + 1− p(v)

= 1

y entonces v + tx ∈ V para toda t ∈ [0, ε). �

Resulta que el rećıproco de la observación previa también es válido. Para mostrarlo,

probaremos antes el siguiente lema.

Lema 1.3 Sea X un espacio vectorial y A un subconjunto convexo y balanceado. Con-

sidérese la función p : X −→ R definida como

p(x) = ı́nf {t ∈ R : t > 0 y x ∈ tA}. (1.9)

Entonces se cumplen los siguientes resultados:

(a) Si α 6= 0, entonces 1αA =

1

|α|A

(b) Sea x ∈ X con p(x) = α y sea δ > 0, entonces x ∈ (α+ δ)A.

(c) Sean α, β > 0, entonces αA+ βA = (α+ β)A.

Demostración:

34 Caṕıtulo 1

(a) Sea z ∈ 1αA, entonces αz ∈ V . Luego como | |α|

α|= 1 y A es balanceado, entonces

|α|ααz ∈ A y aśı |α|z ∈ A y luego z ∈ 1

|α|A. La otra contención es exactamente

análoga.

(b) Sea δ > 0, entonces existe tδ ∈ (α, α+ δ] tal que x ∈ tδA y como 0 <tδ

α+ δ6 1 y A

es balanceado, se sigue quetδ

α+ δA ⊆ A, aśı x ∈ tδA ⊆ (α+ δ)A.

(c) Claramente tenemos que (α+β)A ⊆ αA+βA. Luego, como A es convexo y αα+ β

+

β

α+ β= 1, entonces

α

α+ βA+

β

α+ βA ⊆ A

y finalmente αA+ βA ⊆ (α+ β)A.

�

Proposición 1.12 Sea X un espacio vectorial y V ⊆ X un conjunto convexo, balanceado,

absorbente en cada uno de sus puntos y no vaćıo. Entonces existe una única seminorma p

en X tal que

V = {x ∈ X : p(x) < 1}.

Demostración: Definamos p : X −→ R como

p(x) = ı́nf{t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }.

Notar que X =

∞⋃n=1

nV ya que si x ∈ X, como V es absorbente, existe εx > 0 tal que tx ∈ V

siempre que t ∈ [0, εx) y si tomamos n0 ∈ N tal que 1n0 < εx, tendremos que1n0x ∈ V o

bien que x ∈ n0V .

Esta observación sobre X lo que hace es permitirnos asegurar que el conjunto

{t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }

sea no vaćıo. Ahora que p está bien definida veamos que en efecto es una seminorma en X.

Es claro que p(0) = 0. Ahora supongamos α ∈ K con α 6= 0, x ∈ X y aplicando el

hecho de que V es balanceado y convexo obtenemos


p(αx) = ı́nf{t ∈ R : t > 0 y αx ∈ tV }

= ı́nf

{t ∈ R : t > 0 y x ∈ t

αV

}

= ı́nf

{t ∈ R : t > 0 y x ∈ t

|α|V

}(por (a) del lema 1.3)

= |α|́ınf{t

|α|∈ R : t

|α|> 0 y x ∈ t

|α|V

}

= |α|p(x)

Para completar la prueba de que p es una seminorma falta probar que p(x+y) 6 p(x)+p(y)

para todo x, y ∈ X.

Sean x, y ∈ X con p(x) = α, p(y) = β y sea δ > 0, entonces por (b) del lema 1.3,

x ∈ (α+ δ)V y y ∈ (β+ δ)V , por tanto x+ y ∈ (α+ δ)V + (β+ δ)V , además, por el inciso

(c) del lema 1.3 se tiene que

(α+ δ)V + (β + δ)V = (α+ β + 2δ)V

y como p(x+ y) = ı́nf{t > 0 : x+ y ∈ tV }, entonces p(x+ y) 6 α+ β + 2δ y aśı

p(x+ y) = ĺımδ→0

p(x+ y) 6 ĺımδ→0

(α+ β + 2δ) = α+ β = p(x) + p(y)

y con esto ya tenemos que p es una seminorma en X. Resta demostrar que V = {x ∈ X :

p(x) < 1}. Primero veamos que {x ∈ X : p(x) < 1} ⊆ V . Sea x ∈ X tal que p(x) = α < 1,

entonces existe β en [α, 1) tal que x ∈ βV y como V es balanceado, se tiene que

x ∈ βV ⊆ V.

Rećıprocamente, sea x ∈ V , entonces p(x) 6 1. Luego, como V es absorbente en cada uno

de sus puntos, entonces lo es en x y aśı existe εx > 0 tal que para t ∈ [0, ε) se tiene que

x+ tx = y ∈ V,

entonces x = (1 + t)−1y y además p(y) 6 1, por lo tanto

36 Caṕıtulo 1

p(x) = p((1 + t)−1y)

= (1 + t)−1p(y)

6 (1 + t)−1

< 1.

Por último probaremos la unicidad de dicha seminorma. Supóngase que existe otra semi-

norma q tal que

V = {x ∈ X : q(x) < 1}.

Sea x ∈ X, luego sabemos que p(x) < 1 si y sólo si q(x) < 1. Sea α = q(x) y sea ε > 0,

entonces

q

(1

α+ εx

)=

α

α+ ε< 1

⇒ p(

1

α+ εx

)< 1

y aśı p(x) < α + � para todo ε > 0, por lo tanto p(x) 6 q(x). De modo análogo se tiene

que q(x) 6 p(x) y con esto tenemos que efectivamente p es única. �

Definición 1.12 Sea X un espacio vectorial y V un subconjunto de X.Definimos la fun-

ción o funcional de Minkowski de V o bien, la función gauge de V , pV : X −→ R

como

pV (x) = ı́nf {t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }. (1.10)

Notar que la funcional de Minkowski es la misma función que se define en (1.9), sin

embargo, en la definición 1.12, V es un subconjunto arbitrario de X.

Observación 1.10 Si V es un subconjunto abierto de un espacio vectorial topológico X,

entonces V es absorbente en cada uno de sus puntos.

Demostración: Sea v ∈ V , como V es abierto entonces V − v es vecindad del cero. Sea

x ∈ X y consideremos la red {(1− t)x}t∈(0,1) y notemos que

(1− t)x −→t→1

0,

entonces existe t0 ∈ (0, 1) tal que (1 − t)x ∈ V − v para t > t0, equivalentemente para

1 − t > 1 − t0 entonces (1 − t)x ∈ V − v. Aśı, si tomamos εx = 1 − t0, en efecto, V

será absorbente en v pues para u ∈ [0, εx) se tiene que ux ∈ V − v. �


Teorema 1.2 Sea X un espacio vectorial topológico Hausdorff y considérese

U = {U ⊆ X : U es abierto, balanceado y convexo}.

Entonces X es un espacio localmente convexo si y sólo si U es una base para el sistema

de vecindades de 0.

Demostración: Supongamos que X es un espacio localmente convexo y sea P la familia

de seminormas separante que genera la topoloǵıa de X. Sea V una vecindad de 0 en

X, entonces existe una colección finita de sub-básicos formados con p1, . . . , pn ∈ P y

ε1, . . . , εn > 0 tales que

W =n⋂i=1

{x ∈ X : pi(x) < εi} ⊆ V.

Notemos que para cada i = 1, . . . , n, por la proposición 1.12 el sub-básico {x ∈ X : pi(x) <

1} es abierto, convexo, balanceado y no vaćıo para cada i = 1, . . . , n. Luego tenemos que

{x ∈ X : pi(x) < ε} = ε{x ∈ X : pi(x) < 1}

= ψ−11ε

({x ∈ X : pi(x) < 1})

y por la observación 1.8 (e) el sub-básico {x ∈ X : pi(x) < ε} también es convexo. Además,

por la proposición 1.2 tenemos que es abierto y claramente es balanceado. Ahora veamos

que W también cumple estas propiedades.

Tenemos por la proposición 1.10 (b) que W es convexo y fácilmente se puede ver que W es

balanceado. Además, sabemos que la intersección finita de abiertos es abierta. Aśı, W ∈ U ,

de esta manera se tiene que, efectivamente, U es una base para el sistema de vecindades

del 0.

Para demostrar el rećıproco hay que encontrar una familia de seminormas separante para

X tal que la topoloǵıa generada por esta familia coincida con la topoloǵıa τ original de X.

Para cada U ∈ U , U es convexo y balanceado, además, como es abierto, por la observación

1.10 U es absorbente en cada uno de sus puntos y por la proposición 1.12 existe una única

seminorma pU en X tal que {x ∈ X : pU (x) < 1} = U . Entonces

PU = {pU : U ∈ U}

38 Caṕıtulo 1

es una familia de seminormas. Primero veamos que ésta es separante. Sea x ∈ X�{0},

como X es Hausdorff, existe una vecindad V del cero en U en la que x /∈ V , aśı, pV (x) > 0

por lo tanto X es localmente convexo con la topoloǵıa τPU . Ahora falta ver que τ=τPU .

Sea V un abierto respecto a τ, veremos que para cada v ∈ V v es punto interior de V .

Dado que U es base para el sistema de vecindades de 0 entonces para cada v ∈ V existe

Uv ∈ U tal que

{x ∈ X : pUv(x) < 1} = Uv ⊆ V − v.

Con esto V − v es vecindad abierta de 0 en τPU para cada v ∈ V , por lo tanto V lo es para

todo v en él y entonces V es abierto respecto a τPU .

Rećıprocamente, cada sub-básico de τPU es de la forma

{x ∈ X : pU (x− x0) < ε} = x0 + ε{x ∈ X : pU (x) < 1}

= x0 + εU ∈ τ

pues U ∈ U y U es base para sistema de vecindades de 0 respecto a τ. �

Caṕıtulo 2

Espacios localmente convexos normables y

metrizables

Se sabe que los espacios métricos y los espacios normados son muy útiles en la ma-

temática y que tienen una estructura muy rica. El propósito de este caṕıtulo es averiguar

qué espacios localmente convexos tienen una topoloǵıa definida por una métrica y también

buscar cuáles son normables. Para ello se definirá una métrica a partir de una colección

numerable de seminormas y en el caso de los espacios normables se tendrá la existencia

de una cierta seminorma a la cual se le probará la propiedad que falta para ser norma, es

decir, que si un elemento es distinto del cero, entonces su valor en la norma es estrictamente

positivo.

La siguiente observación nos ayudará a probar una desigualdad del triángulo.

Observación 2.1 Sea f : R+ ∪ {0} −→ R definida como

f(t) =t

1 + t, (2.1)

entonces f es creciente.

Demostración: Claramente f está bien definida y es diferenciable en R+∪{0} y su derivada

es

f ′(t) =1

(1 + t)2.

Notemos que f ′ siempre es positiva, por lo tanto f es creciente. �

Lema 2.1 Sea X un espacio vectorial y p una seminorma en X. Sea ρ : X × X −→ R

definida como

ρ(x, y) =p(x− y)

1 + p(x− y).

39

40 Caṕıtulo 2

Entonces ρ es una pseudométrica.

Demostración: Antes que nada notemos que ρ está bien definida y que ρ(x, y) > 0 para

todo par (x, y) ∈ X × X. Luego, si x = y, entonces p(x − y) = 0 por ser seminorma y

entonces ρ(x, y) = 0. Luego, si x, y ∈ X, como p es seminorma se tiene que

p(x− y) = p((x− z) + (z − y)) 6 p(x− z) + p(z − y).

Tomando t1 = p(x − y) y t2 = p(x − z) + p(z − y), como f definida en (2.1) es creciente,

entonces

ρ(x, y) =p(x− y)

1 + p(x− y)

6p(x− z) + p(z − y)

1 + p(x− z) + p(z − y)pues f es creciente

=p(x− z)

1 + p(x− z) + p(z − y)+

p(z − y)1 + p(x− z) + p(z − y)

6p(x− z)

1 + p(x− z)+

p(z − y)1 + p(z − y)

= ρ(x, z) + ρ(z, y)

por lo tanto ρ es una pseudométrica. �

Proposición 2.1 Sea X un espacio vectorial y P = {pn}∞n=1 una familia de seminormas

tal que∞⋂n=1

{x ∈ X : pn(x) = 0} = {0}, es decir, con la propiedad de ser separante y para

cada n ∈ N considérese dn : X ×X −→ R definida por

dn(x, y) =pn(x− y)

1 + pn(x− y).

Entonces d(x, y) =∞∑n=1

1

2ndn(x, y) es métrica y es invariante bajo traslaciones.

Demostración: Primero analicemos si d está bien definida, es decir, hay que ver que la

serie converja. En efecto, como vimos en el lema 2.1 tenemos que para cada n ∈ N, dn

está bien definida además de ser una pseudométrica y se tiene que dn(x, y) 6 1 y como la

Espacios localmente convexos normables y metrizables 41

serie geométrica∑ 1

2nes convergente y además

1

2ndn(x, y) 6

1

2npara toda n ∈ N, por

comparación se tiene que∞∑n=1

1

2ndn(x, y) también converge.

Ahora, claramente d(x, y) > 0 para todo par (x, y) ∈ X × X y si x = y entonces

dn(x, y) = 0 pues para cada n ∈ N dn es una pseudométrica por el lema 2.1 y aśı d(x, y) = 0.

Luego, para (x, y) ∈ X ×X,

d(x, y) =

∞∑n=1

1

2ndn(x, y)

6∞∑n=1

1

2n(dn(x, z) + dn(z, y))

=∞∑n=1

1

2ndn(x, z) +

∞∑n=1

1

2ndn(z, y)

= d(x, z) + d(z, y).

Finalmente, si d(x, y) = 0 entonces

∞∑n=1

1

2ndn(x, y) = 0 y como cada miembro de la serie es

no negativo, entonces dn(x, y) = 0 para toda n = 1, 2, . . . , esto nos da que pn(x − y) = 0

para toda n ∈ N y por hipótesis x− y = 0, es decir, x = y, y por tanto d efectivamente es

una métrica. Sólo falta ver que es invariante bajo traslaciones.

Sean x, y y x0 ∈ X, entonces

d(x, y) =∞∑n=1

1

2npn(x− y)

1 + pn(x− y)

=∞∑n=1

1

2npn(x+ x0 − (y + x0))

+pn(x+ x0 − (y + x0))

= d(x+ x0, y + x0).

�

A continuación daremos respuesta a la cuestión inicial en este caṕıtulo sobre qué espa-

cios localmente convexos son metrizables.

42 Caṕıtulo 2

Lema 2.2 Sea X un espacio localmente convexo y metrizable y sea {xj}∞j=1 una sucesión

en X. Entonces existe una familia de seminormas {pn}∞n=1 en X con la propiedad de que

xj −→j→∞

0 en X si y sólo si pn(xj) −→j→∞

0 para toda n ∈ N.

Demostración: Sea d la métrica de X y P la familia que hace de X un espacio localmente

convexo. Considérese

Un =

{x ∈ X : d(x, 0) < 1

n

}.

Notar que Un 6= ∅ pues al menos el 0 está ah́ı para cada n ∈ N. Como X es un espacio

localmente convexo y Un es un abierto entonces existen q(n)1 , . . . , q

(n)k ∈ P y ε1, . . . , εk > 0

tales quek⋂i=1

{x ∈ X : q(n)i (x) < εi} ⊆ Un.

Luego, para cada n ∈ N def́ınase pn : X −→ R como

pn(x) =1

ε1q

(n)1 (x) + · · ·+

1

εkq

(n)k (x) (2.2)

para cada x ∈ X. Nótese que si pn(x) < 1 entonces1

εiq

(n)i (x) < 1 para toda i = 1, . . . , k y

aśı x ∈ Un. Luego, sabemos por la observación 1.5 que para cada n ∈ N y cada i ∈ {1, . . . , k}

q(n)i es continua y por la proposición 1.7 (a) y 1.7 (c) tenemos que pn es seminorma y

también es continua en X. Aśı, si xj −→j→∞

0 en X, entonces pn(xj) −→j→∞

0 para cada n ∈ N.

Rećıprocamente, supongamos que para cada n ∈ N tenemos que pn(xj) −→j→∞

0. Aśı, para

ε > 0 hay un N ∈ N tal que 1N< ε y por hipótesis pN (xj) −→

j→∞0. Entonces existe j0 ∈ N

tal que

pN (xj) < 1 para toda j > j0.

Equivalentemente

1

ε1q

(N)1 (xj) + · · ·+

1

εkq

(N)k (xj) < 1 para toda j > j0

y entonces

q(N)i (xj) < εi para cada i = 1, . . . , k y para toda j > j0.

Luego,

xj ∈k⋂i=1

{x ∈ X : q(N)i (x) < εi

}⊆ UN =

{x ∈ X : d(x, 0) < 1

N< ε

}

Espacios localmente convexos normables y metrizables 43

para toda j > j0 y aśı xj ∈ Bε(0) para toda j > j0, por lo tanto xj −→j→∞

0 en X. De esta

manera, la familia numerable de seminormas que buscábamos es {pn}∞n=1 definida para

cada n ∈ N en (2.2). �

Lema 2.3 Sea {pn}∞n=1 una familia de seminormas que determina la topoloǵıa de un espa-

cio X y sea {xj}∞j=1 una sucesión en X. Entonces xj −→j→∞

0 en X si y sólo si pn(xj) −→j→∞

0

para toda n ∈ N.

Demostración: Para cada n ∈ N pn es continua y aśı se tiene que xj −→j→∞

0. Rećıprocamen-

te, sea V una vecindad de 0 en X, entonces existen pi1 , . . . , pim ∈ {pn}∞n=1 y ε1, . . . , εm > 0

tales quem⋂k=1

{x ∈ X : pik(x) < εk} ⊆ V.

Luego, dado que pn(xj) −→ 0 para cada n ∈ N, entonces existen J1, . . . , Jm ∈ N tales

que para cada k = 1, . . . ,m

pik(xj) < εk para toda j > Jk.

Tomando J = máx{J1, . . . , Jk} entonces para toda k = 1, . . . ,m resulta que

pik(xj) < εk para toda j > J

y aśı xj ∈ V para toda j > J , por tanto xj −→j→∞

0 en X. �

Lema 2.4 Sea X un espacio topológico primero-numerable y U ⊆ X. Entonces

(a) U es abierto en X si y sólo si para cada x en U se cumple que para cada sucesión

{xn}∞n=1 tal que xn −→ x en X, exista N ∈ N tal que xn esté en U para toda n > N .

(b) Sean τ1 y τ2 dos topoloǵıas que hacen de X un espacio primero-numerable. Si se

tiene que xj −→ x en τ1 es equivalente a xj −→ x en τ2 para cualquier sucesión

{xj}∞j=1 en X entonces τ1=τ2.

Demostración:

44 Caṕıtulo 2

(a) Sea U un abierto de X, entonces si x ∈ U y {xn}∞n=1 es una sucesión que converge

a x, por definición de convergencia tenemos que existe N tal que xn ∈ U para toda

n > N .

Por el otro lado, supongamos que x ∈ U y X es primero-numerable. Entonces existe

una base de vecindades Bx de x a lo más numerable, digamos

Bx = {Vn}n∈N.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que Vn+1 ⊆ Vn para toda n ∈ N. Luego

constrúyase una sucesión {xn}∞n=1 de manera que xn ∈ Vn, entonces necesariamente

xn −→ x pues al tomar un abierto W tal que x ∈ W , como Bx es una base de

vecindades anidadas entonces existe n0 tal que Vn ⊆ W para toda n > n0 y con ello

xn ∈ W para toda n > n0. Luego, por hipótesis, para la sucesión {xn}∞n=1 existe

N ∈ N tal que xn ∈ U para toda n > N . Aśı, existe N1 ∈ N tal que xn ∈ U para

toda n > N1 y con esto debe existir un N tal que VN ⊆ U , de lo contrario, para

todo n ∈ N se tendŕıa que Vn�U 6= ∅ y si construimos una sucesión {yn}∞n=1 tal que

yn ∈ Vn�U para cada n entonces yn −→ x, ya que si A es un abierto con x ∈ A

entonces existe N2 tal que x ∈ Vn ⊆ A para toda n > N2 y luego yn ∈ Vn�U ⊆ A

para toda n > N2 y aśı yn −→ x. Luego debe existir N0 tal que yn ∈ U para toda

n > N0 pero esto es imposible por la construcción de {yn}∞n=1, por lo tanto es ci

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