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UNIVERSIDAD DE SONORA
División de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Metrizabilidad y Normabilidad en Espacios Localmente
Convexos
T E S I S
Que para obtener el t́ıtulo de:
Licenciada en Matemáticas
Presenta:
Elena Ortiz Rascón
Directora de Tesis: Dra. Martha Dolores Guzmán Partida
Hermosillo, Sonora, México, 7 de Mayo de 2015
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SINODALES
Dra. Martha Dolores Guzmán Partida
Universidad de Sonora.
M.C. Carlos Alberto Robles Corbalá
Universidad de Sonora.
Dra. Marysol Navarro Burruel
Universidad de Sonora.
M.C. Carolina Espinoza Villalva
Universidad de Sonora.
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Al 2008
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Agradecimientos
Hay tanta gente a la que le quiero agradecer, cada uno tiene su detalle. Empiezo por
Carlos Alarcón y Dante, su amistad y apoyo hicieron muy gratos estos años. Dante, gracias
por hacerme sonréır. A Jocelyn, fue divertido lidiar la parte media de la licenciatura conti-
go. El ejemplo de Alejandra Fonseca. A César y Lupita que siempre estuvieron pendientes
de mı́. A Jorge Esṕındola, Belén Chavarŕıa, Borchardt y Pastora por su amistad estos
últimos momentos. A Luis René. Luis, ¿cómo no mencionarte? El sin número de veces que
nos ayudaste a varios de nosotros con tanta naturalidad, tu empecinamiento en el mejor
de los sentidos y tu claridad haćıan más entretenido algún tema, en particular el Análisis
Matemático. Y a Felipe quién me dio la bienvenida a la licenciatura.
A todos los maestros les tengo algo que agradecer, por mencionar algunos están Eduar-
do Fŕıas, Teresa Robles, Daniel Olmos y Adolfo Minjárez por su atención cuando teńıa
inquietudes de la carrera. A la maestra Lupita Ávila, su paciencia al enseñarme a escribir
mejor las demostraciones inició mi cariño al Análisis. Y finalmente al maestro Carlos Ro-
bles y a la maestra Martha Guzmán, es imposible dormir un segundo en sus clases, han
sido mis favoritas. Pero claro está que le tengo un especial agradecimiento a la maestra
Martha. Maestra, fue un gusto enorme saber que podŕıa trabajar con usted. Cuando supe
que daŕıa Análisis Complejo en aquel semestre, no dudé en entrar de oyente para conocer
sus clases y no me arrepiento. Aprecio mucho la gúıa que me ha dado.
Y a mi familia que no puede faltar, cada uno a su manera y en espacial a mi padre por
todo el apoyo y tiempo que me ha brindado.
Elena Ortiz Rascón
Hermosillo, Sonora. Mayo 2015
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Índice general
Introducción XI
1. Espacios Localmente Convexos 1
2. Espacios localmente convexos normables y metrizables 39
3. El Teorema de Banach-Alaoglu 73
4. Aplicaciones y La Clase de Schwartz 83
4.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2. La Clase de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Conclusiones 119
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x ÍNDICE GENERAL
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Introducción
De acuerdo a N. Bourbaki (ver [3] p. 217), el comienzo de la edad adulta para la teoŕıa
de espacios normados se da con la publicación del tratado de Banach sobre operadores
lineales (ver [2]). Muchos resultados vienen en esa obra acompañados de ejemplos tomados
de diversos ámbitos del Análisis, por ello se pronosticaba un futuro brillante para la teoŕıa.
En efecto, el trabajo hab́ıa tenido un éxito considerable y una de sus consecuencias más
inmediatas fue la adopción cuasi-universal del lenguaje y notación utilizada por Banach.
Sin embargo, a pesar de muchos años dedicados al estudio sobre espacios de Banach, si se
exceptúan las investigaciones en álgebras de Banach y sus aplicaciones al análisis armónico
conmutativo y no conmutativo, esta teoŕıa aportó pocas nuevas aplicaciones a los grandes
problemas del Análisis Clásico, lo cual fue un tanto decepcionante para las esperanzas que
se hab́ıan puesto en ella. Con el objeto de expandir los conceptos relativos a los espacios
normados se originó uno de los desarrollos más fruct́ıferos que han ocurrido en Análisis, a
saber, la teoŕıa de espacios localmente convexos.
En 1926, Fréchet notó que hab́ıa espacios vectoriales con una cierta naturaleza de modo
que pod́ıan ser metrizables y completos. Pero la teoŕıa de espacios más generales sólo se
desarrolló de manera provechosa en combinación con la idea de convexidad. Esto último fue
objeto de estudio para Banach y sus pupilos, preparando aśı el camino para la definición
general de espacios localmente convexos dada por J. von Neumann en 1935. Se debe tomar
en cuenta que los avances en la simplicidad y generalidad de estas nuevas ideas fueron po-
sibles gracias a la creación de las nociones fundamentales de la Topoloǵıa General, llevadas
a cabo entre los años 1930 y 1940; por otro lado también tenemos la noción de conjunto
acotado, introducido por Kolmogoroff y von Neumann en 1935. Finalmente, lo cierto es
que el impulso principal que motivó esta investigación vino de nuevas posibilidades para
usos en el Análisis, en ámbitos donde la teoŕıa de Banach era inoperante como la teoŕıa
de espacios de sucesiones, desarrollada por Köthe, Toeplitz y sus disćıpulos desde 1934, la
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xii INTRODUCCIÓN
teoŕıa de “funcionales anaĺıticos” de Fantappié y sobre todo la teoŕıa de distribuciones de
L. Schwartz, donde la teoŕıa moderna de espacios localmente convexos encontró un campo
de aplicaciones, que está sin duda, lejos de ser agotado.
Empezaremos definiendo una estructura que nos acompañará en el resto de la tesis que
es la de espacio vectorial topológico, enseguida veremos qué es una familia de seminor-
mas separante y cómo estos conceptos forman el de espacio localmente convexo que es el
que nos avocaremos a estudiar. En particular, en el Caṕıtulo 1 nos proveemos de varias
herramientas para verificar que ciertos espacios con familias de seminormas distintas son
espacios localmente convexos. En la segunda mitad del caṕıtulo empleamos otros conceptos
más como el de envolvente convexa, los conjuntos balanceados y absorbentes para luego
llegar a una caracterización:
Si X es un espacio vectorial y V un subconjunto de X entonces: V es un conjunto no vaćıo
convexo, balanceado y absorbente en cada uno de sus puntos si y sólo si existe una única
seminorma p en X tal que
V = {x ∈ X : p(x) < 1}.
Luego esto nos ayudará a ver otra manera de definir los espacios localmente convexos,
a saber, si tenemos que X es un espacio vectorial topológico Hausdorff con una base para
el sistema de vecindades del cero donde los básicos son abiertos, balanceados y convexos,
entonces X es un espacio localmente convexo.
En el Caṕıtulo 2 iniciamos haciendo un camino para definir una métrica a base de una
familia numerable de seminormas. Después mostramos unos resultados sobre convergencias
y equivalencias de topoloǵıas para poder mostrar uno de los teoremas más importantes de
la obra: ver cuándo un espacio localmente convexo X es metrizable. Obtendremos que X
lo es si y sólo si existe una colección a lo más numerable de seminormas tal que la topoloǵıa
que determine esta familia coincida con la topoloǵıa de X. Enseguida mostramos ejemplos
donde esto se cumple y uno donde no que viene siendo Lp con 0 < p < 1. Luego introduci-
mos el concepto de F-espacio y espacios de Fréchet y veremos como algunos ejemplos del
Caṕıtulo 1 caen en esta categoŕıa. También manejaremos una definición de conjunto acota-
do que generaliza a la usual, mostraremos algunos resultados sobre conjuntos acotados para
terminar caracterizando a los espacios localmente convexos normables como aquellos que
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INTRODUCCIÓN xiii
poseen al menos un subconjunto abierto, acotado y distinto del vaćıo. Después acabamos
con un ejemplo de espacio localmente convexo metrizable mas no normable.
El Teorema de Banach-Alaoglu es un teorema muy importante en Análisis. Nos dice
que si X es un espacio normado, entonces la bola unitaria de X∗ es compacta con la to-
poloǵıa débil*. Para llegar a este resultado en el Caṕıtulo 3 demostraremos los resultados
necesarios para probar el teorema. La mayoŕıa tratan sobre equivalencias de convergencias
y terminamos el caṕıtulo con una consecuencia del Teorema de Banach-Alaoglu que aplica-
remos al inicio del Caṕıtulo 4. Esta aplicación consiste en que dada una función armónica
u en el disco unitario, asegurar la existencia de una función f en Lp(T ) (donde a T lo
identificamos con el intervalo [−π, π]) tal que
u(reiθ) = (Pr ∗ f)(θ),
esto es equivalente al hecho de que u esté uniformemente en Lp(T ); aqúı Pr es el Núcleo
de Poisson para el disco unitario. Antes de esta prueba se proporcionarán las definiciones
necesarias, aśı como algunas de las propiedades de las funciones armónicas y del Núcleo de
Poisson. Después en este mismo caṕıtulo abordamos el estudio de dos espacios muy valiosos
en Análisis: La Clase de Schwartz S(Rn) y las funciones infinitamente diferenciables con
soporte compacto C∞c (Rn). Esta importancia se debe a que son espacios cuyas funciones
poseen caracteŕısticas muy deseables. Además veremos que S es completo respecto a una
determinada topoloǵıa. Y para concluir esta obra mostraremos que C∞c (Rn) es denso en
Lp(Rn), aśı como también tendremos la densidad de S en Lp(Rn). Para ello nos auxiliaremos
de la función traslación Ty : Lp(Rn) −→ Lp(Rn) que nos da
(Tyf)(x) = f(x− y).
Haremos uso de propiedades que cumple respecto a la norma ‖ ‖p tal como la continuidad.
También emplearemos la convolución entre funciones y varios resultados que reuniremos
para llegar a este desenlace.
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xiv INTRODUCCIÓN
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Caṕıtulo 1
Espacios Localmente Convexos
Los espacios localmente convexos son un tipo de espacio de mucha utilidad en el Análi-
sis Funcional. En este trabajo nos dedicaremos a estudiarlos y en particular en este caṕıtulo
daremos una introducción a éstos presentando algunas de sus propiedades más importantes
aśı como también veremos algunos ejemplos que tendremos oportunidad de volver a men-
cionar en caṕıtulos posteriores. Cabe aclarar que en todo el trabajo el campo de escalares
K será R ó C.
Definición 1.1 Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial X con una topoloǵıa
donde la suma de vectores y la multiplicación por escalar
s : X ×X −→ X, s(x, y) := x+ y (1.1)
m : K×X −→ X, m(α, x) := αx (1.2)
son continuos respecto a esa topoloǵıa. Es decir, s es continuo si dados x0, y0 ∈ X y V
una vecindad de x0 + y0, existen dos vecindades U y W en X de x0 y y0 respectivamente,
tales que s(U ×W ) ⊆ V (o bien, que U + W ⊆ V ) y se dice que m es continuo si dados
α0 ∈ K, x0 ∈ X y V una vecindad en X de α0x0 existen δ > 0 y una vecindad U en X de
x0 tales que m(Bδ(α0)× U) ⊆ V , esto es que αU ⊆ V siempre que |α− α0| < δ.
Observación 1.1 Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
Demostración: Si X es un espacio normado, entonces es un espacio vectorial y tiene la
topoloǵıa τ inducida por la norma, esto es, τ es generada por la base B = {{y ∈ X :
‖y − x‖ < ε} : x ∈ X, ε > 0}, falta ver que la suma y el producto definidos en (1.1) y
(1.2) son mapeos continuos respecto a τ. Sean x0, y0 ∈ X y V una vecindad de x0 + y0
1
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2 Caṕıtulo 1
en X, entonces existe un básico {y ∈ X : ‖y − (x0 + y0)‖ < ε} ⊆ V . Ahora tomemos
U1 = {z : ‖z − x0‖ < ε2} como vecindad de x0 y U2 = {z : ‖z − y0‖ <ε2} como vecindad
de y0, aśı, si (x, y) ∈ U1 × U2 entonces se tiene que
‖s(x, y)− s(x0, y0)‖X = ‖x+ y − x0 − y0‖X 6 ‖x− x0‖+ ‖y − y0‖ <ε
2+ε
2= ε
por lo tanto s(U1 × U2) ⊆ {y ∈ X : ‖y − (x0 + y0)‖ < ε} ⊆ V y entonces s es continuo.
Ahora, sean α ∈ K, x ∈ X y V una vecindad de αx en X, entonces existe ε > 0 tal que
{y ∈ X : ‖y − αx‖ < ε} ⊆ V y consideremos una sucesión (xn)∞n=1 en X que converja a
x y una sucesión (αn)∞n=1 en K tal que converja a α. Como (αn)∞n=1 es convergente, existe
M > 0 tal que |αn| < M ∀n ∈ N y sean N1, N2 ∈ N tales que ‖xn−x‖ <ε
2Mpara n > N1
y |αn − α| <ε
2(‖x‖+ 1)para n > N2. Sea N = máx{N1, N2}. Aśı, si n > N ,
‖m(αn, xn)−m(α, x)‖ = ‖αnxn − αx− αnx+ αnx‖
6 |αn|‖xn − x‖+ |αn − α|‖x‖
< Mε
2M+
ε
2(‖x‖+ 1)<
ε
2+ε
2
= ε.
Aśı, como (αn, xn)∞n=1 es una sucesión arbitraria en K × X que converge a (α, x) y
(m(αn, xn))∞n=1 converge a m(α, x) en X, entonces m es continuo. �
Definición 1.2 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K. Una función p : X −→ R
se llama seminorma si cumple las siguientes condiciones:
(1) p(x) > 0 ∀ x ∈ X.
(2) Si x = 0, entonces p(x) = 0.
(3) p(αx) = |α|p(x) ∀ α ∈ K y ∀ x ∈ X.
(4) p(x+ y) 6 p(x) + p(y) ∀ x, y ∈ X.
Observación 1.2 Sea X un espacio vectorial y P una familia de seminormas en X, en-
tonces
S = {{y ∈ X : p(y − x) < ε} : p ∈ P, x ∈ X, ε > 0} (1.3)
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Espacios Localmente Convexos 3
es sub-base para una topoloǵıa en X y además X es un espacio vectorial topológico con la
topoloǵıa generada por S.
Demostración: Sea B = {⋂j∈JEj : Ej ∈ S y J finito}, probaremos que B es base para una
topoloǵıa en X, es decir, que genera una topoloǵıa en X. Claramente para cada x ∈ X,
cualquier seminorma p ∈ P y cualquier ε > 0 hacen que
x ∈ {y : p(y − x) < ε} ∈ B
y si x ∈ BJ ∩BK con BJ , BK ∈ B donde
BJ =⋂j∈JEj y BK =
⋂j∈K
Ej ,
entonces J y K son finitos, por lo tanto I = J∪K es finito y si BI =⋂j∈IEj , entonces BI ∈ B
y además x ∈ BI y BI ⊆ BJ ∩ BK . Con esto tendremos que un subconjunto U de X es
abierto si y sólo si para cada x ∈ U existen p1, . . . , pn ∈ P y ε1, . . . , εn > 0 tales quen⋂j=1
{y ∈ X : pj(y − x) < εj} ⊆ U.
Ahora falta probar que s,m definidos en (1.1) y (1.2) son continuos respecto a la topoloǵıa
generada por B y para ello bastará probar para sub-básicos en vez de vecindades.
Sean x0, y0 dos puntos en X y E un sub-básico de τ tal que x0 + y0 ∈ E, aśı
E = {z ∈ X : p(z − (x0 + y0)) < ε}
para algún ε > 0 y sean
U1 ={x ∈ X : p(x− x0) <
ε
2
}y U2 =
{y ∈ X : p(y − y0) <
ε
2
}vecindades de x0 y y0 respectivamente, entonces si (x, y) ∈ U1 × U2,
p(s(x, y)− s(x0, y0)) = p(x− x0 + y − y0) 6 p(x− x0) + p(y − y0) < ε
y aśı s(U1 × U2) ⊆ E y por tanto s es continuo en X. Ahora tomemos x0 ∈ X,α0 ∈ K y
un sub-básico V = {z ∈ X : p(z−α0x0) < ε}, para probar la continuidad de m hará falta
ver que exista una vecindad W de x0 y un radio δ > 0 tales que m(Bδ(α0)×W ) ⊆ V . En
efecto, si tomamos δ = mı́n
{√ε
3,
ε
3(p(x0) + 1)
}, β = mı́n
{√ε,
ε
3(|α0|+ 1)
}, W = {z ∈
X : p(z − x0) < β}, x ∈W y α ∈ Bδ(α0) se tiene que
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4 Caṕıtulo 1
p(m(α, x)− α0x0) = p(αx− α0x0)
= p(αx− αx0 + αx0 − α0x+ α0x− α0x0 + α0x0 − α0x0)
= p((α− α0)(x− x0) + (α− α0)x0 + α0(x− x0))
6 p((α− α0)(x− x0)) + p((α− α0)x0) + p(α0(x− x0))
= |α− α0|p(x− x0) + |α− α0|p(x0) + |α0|p(x− x0)
< δβ + δp(x0) + |α0|β 6√ε
3
√ε+
ε
3+ε
3
= ε
y por lo tanto X con la topoloǵıa inducida por la familia de seminormas P, es un espacio
vectorial topológico. �
Una de las conveniencias que tiene el estudiar las seminormas radica en la teoŕıa de
ecuaciones diferenciales donde se desea estudiar el operador ddx u operadores más compli-
cados construidos a partir de éste y hay espacios en los que es imposible definir una norma
de tal manera que el operador ddx sea acotado. Más adelante mostraremos un ejemplo de
este tipo de espacios pero antes necesitaremos algunos resultados.
Definición 1.3 Un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topológico cuya
topoloǵıa está definida por una familia de seminormas P tal que si x ∈ X y p(x) = 0 para
toda p ∈ P, entonces x = 0, dicho de otra forma, para x 6= 0 existe p ∈ P tal que p(x) 6= 0.
A una familia de seminormas P con esta propiedad se le llama separante.
Proposición 1.1 Sea X un espacio vectorial topológico cuya topoloǵıa es la inducida por
una familia de seminormas P, entonces X es de Hausdorff si y sólo si es localmente
convexo.
Demostración: Sea x 6= 0, como X es de Hausdorff, existen V y W vecindades disjuntas
en X de 0 y x respectivamente y entonces existen p1, . . . , pn ∈ P y ε1, . . . , εn > 0 tales quen⋂j=1
{x ∈ X : pj(z) < εj} ⊆ V y como x /∈ V existe al menos un j0 ∈ {1, . . . , n} tal que
pj0(x) > εj0 > 0 y aśı tenemos que se cumple la propiedad para ser localmente convexo.
Rećıprocamente, sean x, y ∈ X con x 6= y, entonces x− y 6= 0 y como X es localmente
convexo, existe p ∈ P tal que p(x − y) > 0. Sea ε > 0 tal que ε < p(x − y) y nótese que
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Espacios Localmente Convexos 5
si hacemos U = {z ∈ X : p(x − z) < ε2} y V = {z ∈ X : p(y − z) <ε2}, entonces U y V
serán vecindades disjuntas de x y y respectivamente y por lo tanto X es de Hausdorff. �
Proposición 1.2 Sea X un espacio vectorial topológico, x0 ∈ X y α ∈ K�{0}, entonces
los siguientes mapeos
ϕx0 : X −→ X, ϕx0(x) := x+ x0 (1.4)
ψα : X −→ X, ψα(x) := αx (1.5)
son homeomorfismos.
Demostración: Nótese que α 6= 0, entonces existe α−1 ∈ K�{0} y ψ−1α = ψα−1 , de esta
manera ya tenemos la existencia de la inversa. Sólo falta ver que ψα es continua respecto
a la topoloǵıa de X. Sea x ∈ X y sea V una vecindad de αx en X. Como X es un espacio
vectorial topológico, sabemos que el producto es un mapeo continuo y entonces existen
δ > 0 y W vecindad de x tales que m(Bδ(α) × W ) ⊆ V . Aśı, ψα(W ) = m(α × W ) ⊆
m(Bδ(α)×W ) ⊆ V por tanto ψα es continua para cualquier escalar en K�{0} y aśı ψ−1αtambién es continua.
Por otro lado, tenemos que ϕ−1x0 = ϕ−x0 , por lo que basta demostrar que ϕx0 es continua.
Sea x ∈ X y V una vecindad de x+x0 en X. Como la suma es también un mapeo continuo,
existen U1 vecindad de x y U2 vecindad de x0 tales que s(U1 × U2) ⊆ V . Aśı,
ϕx0(U1) = s(U1 × x0) ⊆ s(U1 × U2) ⊆ V.
�
Como consecuencia de lo anterior, vemos que cualquier vecindad de cualquier punto en
un espacio vectorial topológico puede obtenerse como traslación de alguna vecindad del 0.
Observación 1.3 Sea (X,τ) un espacio vectorial topológico, x ∈ X y U una vecindad de
x, entonces existe una vecindad V de 0 tal que U = x+ V , donde de hecho V = U − x.
Demostración: Como U es vecindad de x, entonces existe A ∈τ tal que x ∈ A ⊆ U y como
ϕx definido en (1.4) es continuo, entonces ϕ−1x (A) es un abierto en X, es decir, A− x ∈τ,
enseguida se tiene que 0 = x− x ∈ A− x ⊆ U − x, entonces U − x es vecindad de 0. �
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6 Caṕıtulo 1
Observación 1.4 Si p es una seminorma en un espacio vectorial topológico X, entonces
{x ∈ X : p(x− x0) < ε} = x0 + ε{x ∈ X : p(x) < 1}, donde x0 ∈ X y ε > 0.
Demostración: Sea y ∈ {x ∈ X : p(x − x0) < ε}, entonces p(y − x0) < ε y luego
p(1ε (y − x0)) < 1, y aśı1ε (y − x0) ∈ {x ∈ X : p(x) < 1} y entonces y ∈ x0 + ε{x ∈ X :
p(x) < 1} y si y ∈ x0 + ε{x ∈ X : p(x) < 1}, entonces y = x0 + εx con p(x) < 1 y luego
(y−x0) = εx, aśı p(y−x0) = p(εx) = εp(x) < ε y por lo tanto y ∈ {x ∈ X : p(x−x0) < ε}.
�
Lo anterior nos dice que si X tiene la topoloǵıa inducida por una familia de seminormas
P, entonces cualquier sub-básico S = {x ∈ X : p(x− x0) < ε} con x0 ∈ X y ε > 0 puede
obtenerse de una traslación ϕx0 y una dilatación ψε (o contracción según sea el caso) del
sub-básico S0 = {x ∈ X : p(x) < 1}, es decir S = (ϕx0◦ψε)(S0), o bien S0 = (ψ−1ε ◦ϕ−1x0 )(S).
A continuación introduciremos el concepto de red que es una generalización de las su-
cesiones. Esto es porque no siempre se trabaja en espacios primero-numerables, que son en
los que se pueden construir cerraduras de conjuntos usando sólo sucesiones. Tal es el caso
de los espacios métricos. Sin embargo esto no ocurre en general.
El siguiente ejemplo nos ilustra por qué las sucesiones no son suficientes para caracte-
rizar a los puntos de la cerradura de un conjunto.
Ejemplo 1.1 Consideremos
X = [0, 1] y τ = {∅} ∪ {B ⊆ X : X�B es a lo más numerable}.
Discusión: Si A = [0, 1), entonces Ā = [0, 1] ya que al suponer que 1 /∈ Ā, entonces
existe B0 ∈ τ tal que 1 ∈ B0 y B0 ∩ A = ∅ y entonces B0 = {1}, pero {1} /∈ τ ya que
X�{1} = [0, 1) no es numerable. Sin embargo no existe una sucesión en [0, 1) tal que
converja a 1 en X. Sea (xn)∞n=1 una sucesión cualquiera en [0, 1) y sea V = ((xn)
∞n=1)
c,
luego V es vecindad de 1 pero V ∩ (xn)∞n=1 = ∅ y por lo tanto (xn)∞n=1 no puede converger
a 1. De este modo podemos ver que no podemos construir la cerradura de un subconjunto
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Espacios Localmente Convexos 7
de un espacio topológico sólo con ĺımites de sucesiones en él.
Más adelante formaremos una red para este ejemplo.
Definición 1.4 Un sistema dirigido es un conjunto de ı́ndices I junto con un orden - que
cumple
(i) Si α, β ∈ I, entonces existe γ ∈ I tal que α - γ y β - γ.
(ii) - es un orden, es decir, es reflexivo, transitivo y no necesariamente antisimétrico.
Definición 1.5 Sea X un espacio topológico. Una red en X es una función f : I −→ X
donde I es un sistema dirigido. Denotaremos a la red como {xα}α∈I donde xα = f(α) para
cada α ∈ I.
Aśı, si I = N con el orden usual, entonces las redes en X son las sucesiones en X.
Definición 1.6 Se dice que una red {xα}α∈I en un espacio topológico X converge a un
punto x ∈ X cuando para cada vecindad V de x, existe β ∈ I tal que xα ∈ V si α % β.
Proposición 1.3 Si X es un espacio topológico Hausdorff, se tiene que toda red {xα}α∈I
en X tiene a lo más un ĺımite, es decir, si xα −→ x y xα −→ y, entonces x = y.
Demostración: Sea {xα}α∈I una red en X tal que converge a x y supongamos que también
converge a un punto y ∈ X con y 6= x. Luego, dado que X es de Hausdorff, existen
vecindades V y W de x y y respectivamente tales que V ∩W = ∅. Ahora, como xα −→ x
para la vecindad V existe β1 ∈ I tal que xα ∈ V para todo α % β1 y como xα −→ y, para
la vecindad W de y existe β2 ∈ I tal que xα ∈ W para todo α % β2. Luego como I es un
sistema dirigido, existe γ ∈ I tal que γ % β1 y γ % β2, aśı xα ∈ V ∩W si α % γ, pero
V ∩W = ∅, por lo que x y y deben ser iguales. �
Proposición 1.4 Sea A ⊆ X, X un espacio topológico, entonces x ∈ Ā si y sólo si existe
una red en A tal que converja a x.
Demostración: Sea x ∈ Ā y sea I la colección de todas las vecindades de x en X con el
siguiente orden: V1 - V2 si V2 ⊆ V1 donde V1, V2 ∈ I. Nótese que I 6= ∅ pues X ∈ I,
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8 Caṕıtulo 1
más aún, es un sistema dirigido ya que el orden - es reflexivo, transitivo y además, para
cada par V, U ∈ I, existe W = V ∩ U ∈ I tal que V - W y U - W . Luego, como x ∈ Ā,
entonces para cada V ∈ I se tiene que V ∩ A 6= ∅. Luego para cada V ∈ I tomemos un
punto en V ∩ A y denotémoslo por xV , aśı {xV }V ∈I es una red en A, sólo falta ver que
xV −→ x. Sea W una vecindad de x, entonces W ∈ I y existe xW ∈ W ∩ A. Luego, si
V % W , entonces V ⊆ W y aśı xV ∈ U ⊆ W para toda U % W , por lo tanto {xV }v∈I
converge a x.
Ahora sea x ∈ X y {xα}α∈A una red en A tal que converge a x, entonces si V es
una vecindad arbitraria de x, existe β ∈ I tal que xα ∈ V para toda α % β y entonces
A ∩ V 6= ∅, por lo tanto x ∈ Ā. �
Proposición 1.5 Sean X y Y dos espacios topológicos. Una función f : X −→ Y es
continua en x si y sólo si para toda red {xα}α∈I que converge a x en X, la red {f(xα)}α∈I
converge a f(x) en Y .
Demostración: Sea V una vecindad de f(x), como f es continua en x, entonces f−1(V ) es
vecindad de x. Aśı, si xα → x entonces {xα}α∈I está eventualmente en f−1(V ), es decir,
existe β ∈ I tal que xα ∈ f−1(V ) para toda α % β y entonces f(xα) ∈ V para toda α % β
y aśı f(xα) → f(x). Por otro lado, si f no fuese continua en x, existiŕıa una vecindad W
de f(x) tal que f−1(V ) no fuera vecindad de x, es decir, x /∈ (f−1(V ))◦ o equivalentemente
x ∈ f−1(V )c, o bien x ∈ f−1(V c) y entonces existiŕıa una sucesión {xi}i∈I en f−1(V c) tal
que converge a x y entonces la sucesión {f(xi)}i∈I no está en V y por tanto f(xi) 9 f(x).
�
Proposición 1.6 Sea X un espacio vectorial topológico y sea p una seminorma en X,
entonces los siguientes enunciados son equivalentes.
(a) p es continua.
(b) {x ∈ X : p(x) < 1} es abierto.
(c) 0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1}◦.
(d) 0 ∈ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦.
-
Espacios Localmente Convexos 9
(e) p es continua en 0.
(f) Existe una seminorma continua q en X tal que p 6 q.
Demostración: Probaremos las equivalencias en el siguiente orden: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒
(d)⇒ (e)⇒ (a) y finalmente (e)⇔ (f) para cerrar el ciclo.
(a) ⇒ (b): Sea p una seminorma continua en X y tomemos la topoloǵıa usual para
R, entonces (−∞, 1) es abierto y como p es continua, p−1((−∞, 1)) es un abierto de X y
p−1((−∞, 1)) = {x ∈ X : p(x) < 1}.
(b) ⇒ (c): Notemos que 0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1} pues p(0) = 0 y como {x ∈ X :
p(x) < 1} es abierto, entonces {x ∈ X : p(x) < 1} = {x ∈ X : p(x) < 1}◦, por lo tanto
0 ∈ {x ∈ X : p(x) < 1}◦.
(c) ⇒ (d): Como {x ∈ X : p(x) < 1} ⊆ {x ∈ X : p(x) 6 1}, tenemos que {x ∈ X :
p(x) < 1}◦ ⊆ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦ y aśı 0 ∈ {x ∈ X : p(x) 6 1}◦.
(d) ⇒ (e): Sea ε > 0 y consideremos A = {x ∈ X : p(x) 6 1}. Ahora tomemos
0 < δ < ε y obsérvese que 0 ∈ δA◦, pues por hipótesis 0 ∈ A◦ y 0 = δ · 0 ∈ δA◦. Falta ver
que δA◦ es abierto y que p(δA◦) ⊆ (−ε, ε). Sea ψ 1δ
el homeomorfismo definido en (1.5), aśı
δA◦ = {y ∈ X : y = δx, x ∈ A◦}
= {y ∈ X : 1δy = x, x ∈ A◦}
= {y ∈ X : ψ 1δ(y) = x, x ∈ A◦}
= ψ−11δ
(A◦)
y como ψ 1δ
es continuo y A◦ es abierto, entonces δA◦ es abierto en X y además, si y ∈ δA◦
tenemos que y = δx con x ∈ A◦ ⊆ A y entonces p(x) 6 1, aśı p(y) = p(δx) = δp(x) 6 δ < ε,
por lo tanto p(δA◦) ⊆ (−ε, ε).
(e) ⇒ (a): Sea x ∈ X y {xi}i∈I una red en X que converge a x y sea V una vecindad
de x que, por la observación 1.3, V puede obtenerse de la traslación de una vecindad W
del cero, es decir, V = x + W , aśı como también la vecindad W del cero puede obtenerse
como la traslación de una vecindad de x, esto es, W = V − x. Luego, existe i0 en I tal
que xi − x ∈ V − x = W para toda i % i0 y entonces la red {xi − x}i∈I converge a cero.
Aparte, por la desigualdad del triángulo se tiene que |p(xi)− p(x)| 6 p(xi − x) y entonces
{p(xi)}i∈I debe converger a p(x) en R y como {xi}i∈X es una red arbitraria que converge
-
10 Caṕıtulo 1
a x, por la proposición 1.5, p es continua en x y por tanto continua en X.
(e)⇒ (f): Por hipótesis general tenemos que p es seminorma y como (e) es equivalente
a (a) entonces p es continua, además siempre se tiene que p 6 p, por lo tanto, si definimos
a q como p, hemos terminado. Notar que también podemos definir a q = kp con k > 1 que
en efecto también es seminorma y continua.
(f)⇒ (e): Sea {xi}i∈I una red que converja a cero en X. Como q es continua, q(xi)→ 0
y como 0 6 p(xi) 6 q(xi) para toda i ∈ I, por comparación, p(xi)→ 0 y aśı p es continua
en 0. �
Observación 1.5 Sea X un espacio localmente convexo determinado por una familia de
seminormas P, entonces para cada p ∈ P, p es continua en X.
Demostración: Sea p una seminorma en P, entonces S = {x ∈ X : p(x) < 1} es un
sub-básico de X y por tanto es un abierto, luego por la proposición 1.6 (b) p es continua.
�
Lema 1.1 Sea I un conjunto de ı́ndices, A = {ai}i∈I y B = {bi}i∈I con A y B subconjuntos
acotados superiormente de R tales que ai, bi > 0 para toda i ∈ I, entonces
a) Si α > 0 y s = sup{αbi : i ∈ I} entonces s = αsup(B)
b) sup{ai + bi : i ∈ I} 6 sup(A) + sup(B)
c) Si ci 6 ai + bi para toda i ∈ I, entonces sup{ci : i ∈ I} 6 sup{ai + bi : i ∈ I}.
Demostración: a) Tenemos que s > αbi para todo i ∈ I y como α > 0 entonces 1αs > bi
para todo i ∈ I y entonces como 1αs es cota superior para B, entonces1αs > sup(B) o bien
s > αsup(B). Por otro lado sup(B) > bi para todo i ∈ I, por lo tanto αsup(B) > s y
aśı s = αsup(B).
b) Como ai + bi 6 sup(A) + sup(B) para todo i ∈ I, entonces sup(A) + sup(B) es cota
superior de {ai + bi : i ∈ I}, por lo tanto sup{ai + bi : i ∈ I} 6 sup(A) + sup(B).
c) Tenemos que ci 6 ai+bi 6 sup{ai+bi : i ∈ I} para todo i ∈ I, entonces sup{ai+bi :
i ∈ I} es cota superior de {ci : i ∈ I}, por lo tanto sup{ci : i ∈ I} 6 sup{ai + bi : i ∈ I}.
�
-
Espacios Localmente Convexos 11
Estas propiedades las utilizaremos principalmente en el inciso (b) de la siguiente pro-
posición.
Proposición 1.7 Sea X un espacio vectorial topológico.
(a) Si p1, . . . , pn son seminormas continuas, entonces p1 + · · ·+pn y máx16i6n
{pi(x)} definen
dos seminormas continuas.
(b) Si {pi}i∈I es una familia de seminormas continuas y existe una seminorma continua
q tal que pi < q ∀i ∈ I, entonces p(x) := supi∈I{pi(x)} define una seminorma continua.
(c) Si p es una seminorma continua y β > 0, entonces q := βp también define una
seminorma continua.
Demostración: (a) Def́ınase la función p en X como p(x) = p1(x)+. . .+pn(x) y primero
probemos que es seminorma. Si x ∈ X, entonces pi(x) > 0 para toda i ∈ {1, 2, . . . , n} y
entonces p(x) = pi(x) + . . .+ pn(x) > 0, luego p(0) = p1(0) + . . .+ pn(0) = 0 y si α ∈ R y
x ∈ X, entonces
p(αx) = p1(αx) + . . .+ pn(αx)
= |α|p1(x) + . . .+ |α|pn(x)
= |α|(p1(x) + . . .+ pn(x))
= |α|p(x)
y finalmente si x, y ∈ X, entonces
p(x+ y) = p1(x+ y) + . . .+ pn(x+ y)
6 p1(x) + p1(y) + . . .+ pn(x) + pn(y)
= p1(x) + . . .+ pn(x) + p1(x) + . . .+ pn(y)
= p(x) + p(y).
Ahora, sea x ∈ X y {xj}j∈J una red que converja a x en X y sea V = (p(x)− ε, p(x) + ε)
con ε > 0 una vecindad de p(x). Como p1, . . . , pn son continuas, entonces pi(xj) −→ pi(x)
para toda i ∈ {1, . . . , n}, aśı, existen j1, j2, . . . , jn ∈ J tales que para cada i en {1, . . . , n}
se tiene que |pi(xj)−pi(x)| < εn para todo j > ji. Dado que J es un sistema dirigido, existe
un elemento j0 ∈ J tal que j0 > ji ∀i ∈ {1, . . . , n}, y aśı, |pi(xj) − pi(x)| < εn para toda
j > j0 y para toda i ∈ {1, . . . , n}. Aśı,
-
12 Caṕıtulo 1
|p(xj)− p(x)| = |p1(xj) + . . .+ pn(xj)− p1(x)− . . .− pn(x)|
6 |p1(xj)− p1(x)|+ . . .+ |pn(xj)− pn(x)|
<ε
n+ . . .+
ε
n︸ ︷︷ ︸n-veces
= ε
y de esta manera tenemos que p es continua.
Ahora def́ınase q como q(x) := máx16i6n
{pi(x)}. En efecto q es una seminorma pues si x ∈ X,
q(x) > 0, q(0) = 0 y además si α ∈ R, q(αx) = máx16i6n
{pi(αx)} y entonces existe i0 ∈
{1, . . . , n} tal que
q(αx) = pi0(αx) = |α|pi0(x) = |α|q(x)
pues como
|α|pi0(x) = pi0(αx) > pi(αx) = |α|pi(x) para toda i ∈ {1, . . . , n},
entonces pi0(x) > pi(x) para todo i ∈ {1, . . . , n}. Sólo falta probar que sea subaditiva. Sean
x, y ∈ X, entonces
q(x+ y) = pk(x+ y) para algún k ∈ {1, . . . , n},
luego
pk(x+ y) 6 pk(x) + pk(y) 6 q(x) + q(y)
pues q es el máximo y con esto ya se tiene que q(x+ y) 6 q(x) + q(y).
Para probar la continuidad, por la proposición 1.6 (e), bastará probarla en una vecindad
del cero. Sea {xj}j∈J una red tal que xj −→ 0 en X. Sea ε > 0, como pi es continua en 0,
para cada i en {1, . . . , n} existen β1, . . . , βn tales que |pi(xj)| < ε para todo j > βj , luego
J es un sistema dirigido y por lo tanto existe β ∈ J tal que β > βi para todo i ∈ {1, . . . , n}
y entonces |pi(xj)| < ε para todo j > β y para todo i ∈ {1, . . . , n} y aśı |q(xj)| < ε para
todo j > β, por lo tanto q(xj) −→ 0.
(b) Claramente p(x) > 0 para toda x ∈ X y p(0) = 0. Luego, sea x ∈ X y α ∈ R,
entonces por el lema 1.1 (a) se tiene que
-
Espacios Localmente Convexos 13
p(αx) = sup{pi(αx) : i ∈ I}
= sup{|α|pi(x) : i ∈ I}
= |α|sup{pi(x) : i ∈ I}
= |α|p(x).
Ahora sean x, y ∈ X, por el lema 1.1 (b) y (c) tenemos que
p(x+ y) = sup{pi(x+ y) : i ∈ I}
6 sup{pi(x) + pi(y) : i ∈ I}
6 sup{pi(x) : i ∈ I}+ sup{pi(y) : i ∈ I}
= p(x) + p(y),
por lo tanto p śı es una seminorma.
Para probar la continuidad de p sólo falta recordar la proposición 1.6 pues tenemos
por hipótesis la existencia de una seminorma continua q tal que q > pi para todo i ∈ I,
entonces q es una cota superior para {pi : i ∈ I} mientras que q es el supremo, aśı p 6 q
y por la equivalencia de (a) y (f) de la proposición 1.6, entonces p es continua.
(c) Es fácil ver que q es una seminorma. En efecto, q(x) = βp(x) > 0 para toda x ∈ X
y además q(0) = β · 0 = 0. También se tiene que
q(αx) = β(p(αx)) = |α|βp(x) = |α|q(x)
y
q(x+ y) = β(p(x+ y)) 6 β(p(x) + p(y)) = βp(x) + βp(y) = q(x) + q(y).
Finalmente, la continuidad de q se obtiene directamente de la continuidad de p. �
Proposición 1.8 Sea X un espacio localmente convexo cuya topoloǵıa está determinada
por una familia de seminormas P = {pα}α∈Λ. Entonces una red {xi}i∈I converge a x en
X si y sólo si pα(xi − x) −→ 0 para toda α ∈ Λ.
Demostración: Es claro que xj − x −→ 0 pues por la observación 1.3 para cada vecindad
V del cero existe una vecindad U de x tal que V = U −x y como xi −→ x, existe β ∈ I tal
que xi ∈ U para todo i > β. Ahora, para cada α ∈ Λ, por la observación 1.5 pα es continua
y como xi − x converge a cero, entonces pα(xi − x) −→ pα(0) = 0.
-
14 Caṕıtulo 1
Rećıprocamente, para probar que xi −→ x, o equivalentemente, que xi − x −→ 0,
bastará probar que para cada sub-básico alrededor de cero, xi − x está eventualmente en
éste, es decir, que para cada α ∈ Λ y ε > 0 exista i(α,ε) ∈ I tal que xi − x ∈ {z ∈ X :
pα(z) < ε} para todo i > i(α,ε). En efecto, como pα(xi − x) −→ 0 para todo α ∈ Λ, para
α ∈ Λ y ε > 0 existe i(α,ε) ∈ I tal que pα(xi − x) < ε para todo i > i(α,ε), es decir,
xi − x ∈ {z ∈ X : pα(z) < ε} para todo i > i(α,ε). �
Proposición 1.9 Sean X y Y espacios vectoriales con las topoloǵıas definidas respectiva-
mente por las familias de seminormas {pα}α∈A y {qβ}β∈B y sea T : X −→ Y un mapeo
lineal. Entonces T es continuo si y sólo si para cada β ∈ B existen α1, . . . , αk ∈ A y c > 0
tales que
qβ(T (x)) 6 ck∑j=1
pαj (x). (1.6)
Demostración: Sea {xi}i∈I una red que converge a un punto x enX, luego por la proposición
1.8, pα(xi−x) −→ 0 para toda α ∈ A y por hipótesis tenemos que para cada β ∈ B existen
α1, . . . , αk ∈ A y c > 0 tales que
qβ(T (xi − x)) 6 ck∑j=1
pαj (xi − x) para todo i ∈ I
y como pα(xi − x) −→ 0 para toda α ∈ A por la proposición 1.8, entonces
c
k∑j=1
pαj (xi − x) −→ 0
y aśı a su vez qβ(T (xi − x)) −→ 0 y como qβ también es continua en Y para todo β ∈ B,
entonces T (xi − x) −→ 0, en otras palabras, como T es lineal, entonces T (xi) −→ T (x)
donde {xi}i∈I es una red arbitraria que converge a x, por lo tanto T es continuo.
Rećıprocamente, sea β ∈ B, como T es lineal y continuo, si W = {w ∈ Y : qβ(w) < 1}
entonces existe un básico U en X tal que 0 ∈ U y T (U) ⊆ V y aśı qβ(T (x)) < 1 si x ∈ U ;
asúmase sin pérdida de generalidad que U está conformado por sub-básicos alrededor del
cero, es decir, existen α1, . . . , αk ∈ A y ε1, . . . , εk > 0 tales que
U =k⋂j=1
{z ∈ X : pαj (z) < εj}. (1.7)
-
Espacios Localmente Convexos 15
Sea ε = mı́n{ε1, . . . , εk}, aśı, si pαj (x) < ε para todo j ∈ {1, . . . , k} entonces x ∈ U y
qβ(T (x)) < 1. Ahora, dado x en X hay dos posibilidades: pαj (x) > 0 para algún j ∈
{1, . . . , k}, o bien, pαj (x) = 0 para todo j ∈ {1, . . . , k}. Supongamos primero que existe
j0 ∈ {1, . . . , k} tal que pαj0 (x) > 0 y sea
y =ε
2∑k
j=1 pαj (x)x,
entonces
pαj (y) = pαj
(ε∑k
j=1 pαj (x)x
)=
ε
2∑k
j=1 pαj (x)pαj (x) 6
ε
2< ε
para todo j ∈ {1, . . . , k}, por lo tanto qβ(T (y)) < 1 y de este modo tenemos que
qβ(T (x)) = qβ
Ty2
ε
k∑j=1
pαj (x)
6 2ε
k∑j=1
pαj (x)qβ(T (y)) <2
ε
k∑j=1
pαj (x),
aśı, si tomamos c =2
ε> 0 tenemos la prueba y si se tiene que pαj (x) = 0 para todo
j ∈ {1, . . . , k}, entonces
pαj (rx) = 0 ∀ j ∈ {1, . . . , k}, ∀ r > 0,
por lo tanto qβ(T (rx)) < 1 para todo r > 0 y entonces qβ(T (x)) <1
rpara todo r > 0, por
lo tanto qβ(T (x)) = 0 y de esta manera si c =2
ε> 0, también se tiene que
qβ(T (x)) 6 ck∑j=1
pαj (x).
�
Ahora veamos algunos ejemplos de familias de seminormas.
Ejemplo 1.2 Sea X un espacio topológico localmente compacto y sea
C(X) = {f : X −→ C | f es continua}.
Si K es un subconjunto compacto de X, def́ınase pK(f) = supx∈K|f(x)|; entonces
P = {pK : K ⊆ X, K compacto}
es una familia de seminormas que hace de C(X) un espacio localmente convexo.
-
16 Caṕıtulo 1
Demostración: En efecto, sea K ⊆ X compacto y f ∈ C(X), claramente pK(f) > 0 para
toda f ∈ C(X) y pK(0) = 0. Ahora tomemos α ∈ C, entonces pK(αf) = |α|pK(f), pues
pK(αf) = sup{|αf(x)| : x ∈ K}
= sup{|α||f(x)| : x ∈ K}
= |α|sup{|f(x)| : x ∈ K}
= |α|pK(f);
luego, sea g otra función en C(X), entonces pK(f + g) 6 pK(f) + pK(g), pues
pK(f + g) = sup{|(f + g)(x)| : x ∈ K}
= sup{|f(x) + g(x)| : x ∈ K}
6 sup{|f(x)|+ |g(x)| : x ∈ K}
6 sup{|f(x)| : x ∈ K}+ sup{|g(x)| : x ∈ K}
= pK(f) + pK(g),
por lo tanto P śı es una familia de seminormas en C(X). Por otro lado, sabemos que C(X)
es un espacio vectorial con la suma de funciones y el producto por escalar usuales. Estos
dos hechos, por la observación 1.2, hacen que C(X) sea un espacio vectorial topológico.
Falta ver que P sea separante para que C(X) sea un espacio localmente convexo.
Considérese f ∈ C(X) con f 6= 0, entonces existe x0 ∈ X tal que f(x0) 6= 0, aśı x0 /∈
f−1({0}) ≡ W , donde W viene siendo un conjunto cerrado pues es imagen inversa de un
cerrado y f es continua. Entonces x0 está en V ≡ X�W , el cual es abierto y además se
tiene que f(x) 6= 0 para toda x ∈ V . Luego, como X es localmente compacto, x0 tiene una
base de vecindades compactas y entonces existe un compacto K0 ⊆ X tal que x0 ∈ K0 ⊆ V
y aśı
pK0(f) = sup{f(x) : x ∈ K0} > 0,
por lo tanto P hace de C(X) un espacio localmente convexo. �
Ejemplo 1.3 Sea G un subconjunto abierto y no vaćıo de C y sea H(G) = {f : G −→ C |
f es anaĺıtica} y considérese la familia de seminormas
P = {pK : K ⊆ G, K compacto}
donde pK(f) = sup{|f(x)| : x ∈ K}, entonces H(G) es un espacio localmente convexo.
-
Espacios Localmente Convexos 17
Demostración: Nótese que en efecto P es una familia de seminormas en H(G) ya que como
G es un subconjunto abierto de C, entonces es localmente compacto y aśı, por el ejemplo 1.2
se tiene que P es una familia de seminormas en C(G) = {f : G −→ C | f es continua} pero
como H(G) está contenido en C(G), entonces P también es una colección de seminormas
en H(G) y de la misma manera que en el ejemplo 1.2, al tomar una función f distinta de
cero, existirá un compacto K0 tal que pK0(f) > 0 y aśı H(G) es localmente convexo si su
topoloǵıa la determina P. �
Notemos que en el ejemplo anterior la topoloǵıa definida por P es la topoloǵıa de la
convergencia uniforme en compactos, esto es, {fi}i∈I converge a f en H(G) si y sólo si
para todo compacto K en G se tiene que
pK(fi − f) −→ 0 es decir, fi −→ f uniformemente en K,
pues si fi −→ f en H(G), dado un compacto K y un ε > 0 para el sub-básico
S = {g ∈ H(G) : pK(g − f) < ε}
existe i0 tal que fi ∈ S para todo i > i0, es decir, pK(fi − f) < ε para todo i > i0, esto es,
supx∈K|fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y entonces
|fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y para toda x ∈ K,
aśı pues {fi}i∈I converge uniformemente a f en K. Análogamente, dado un sub-básico
S = {g ∈ H(G) : pK(g − f) < ε},
como fi −→ f en cada compacto de G, aśı lo es también en K y para el ε del sub-básico S
existe i0 ∈ I tal que |fi(x)− f(x)| < ε para todo i > i0 y para toda x ∈ K, de aqúı sigue
que
supx∈K|fi(x)− f(x)| < ε
y aśı pK(fi − f) < ε, en otras palabras fi ∈ S para todo i > i0, por lo tanto fi converge a
f en H(G).
-
18 Caṕıtulo 1
Ejemplo 1.4 Sea X = {f : [0, 1] −→ K} y considérese la familia de seminormas
P = {px : x ∈ [0, 1]},
donde px(f) := |f(x)|. La topoloǵıa inducida en X por esta familia se llama la topoloǵıa
de la convergencia puntual pues la red {fα}α∈I converge a f en X si y sólo si fα −→ f
puntualmente para cada x ∈ [0, 1].
Demostración: En efecto P es una familia de seminormas pues si f ∈ X y x ∈ [0, 1], se
tiene que px(f) > 0; si g = 0 entonces px(g) = |g(x)| = 0 y si α ∈ K y f, h ∈ X entonces
px(αf) = |αf(x)| = |α||f(x)| = |α|px(f)
y
px(f + h) = |f(x) + h(x)| 6 |f(x)|+ |h(x)| = px(f) + px(h),
por lo tanto px es una seminorma para cada x ∈ [0, 1].
Ahora, tómese una red {fα}α∈I que converja a f en X, x ∈ [0, 1] y ε > 0, entonces para
el sub-básico S = {g ∈ X : px(g−f) < ε} existe α0 ∈ I tal que fα ∈ S para todo α > α0 y
por lo tanto hay convergencia puntual. Rećıprocamente si hay convergencia puntual, para
un sub-básico S = {g ∈ X : px(g − f) < ε} existe α0 ∈ I tal que |fα(x)− f(x)| < ε para
todo α > α0, es decir, fα ∈ S para todo α > α0 y por lo tanto {fα}α∈I converge a f en X.
�
Definición 1.7 Sea X un espacio normado sobre un campo K. X∗ se define como el
espacio dual de X, esto es, X∗ = {f : X −→ K | f es una funcional lineal acotada}.
El siguiente teorema es una de las consecuencias del Teorema de Hahn-Banach.
Teorema 1.1 Sea X un espacio normado y {x1, . . . , xn} un subconjunto finito linealmente
independiente contenido en X. Entonces dada una colección finita {α1, . . . , αn} de escalares
en K, existe una funcional lineal acotada f : X −→ K tal que f(xj) = αj para toda
j ∈ {1, . . . , n}.
-
Espacios Localmente Convexos 19
Ejemplo 1.5 Sea X un espacio normado sobre un campo K, considerando K = C y sea X∗
su espacio dual. Para cada f ∈ X∗ def́ınase pf : X −→ R como pf (x) = |f(x)|. Entonces
P = {pf : f ∈ X∗}
es una familia de seminormas que hace de X un espacio localmente convexo.
Demostración: Efectivamente para cada f ∈ X∗, pf es una seminorma pues si x ∈ X
entonces pf (x) > 0 y pf (0) = 0 ya que f es lineal y si α ∈ K y x, y ∈ X,
pf (αx) = |αf(x)| = |α|pf (x)
y
pf (x+ y) = |f(x+ y)| = |f(x) + f(y)| 6 pf (x) + pf (y),
de esta manera P = {pf : f ∈ X∗} es una familia de seminormas. Luego, X un espacio
localmente convexo ya que si x 6= 0, entonces {x} es un subconjunto linealmente indepen-
diente y finito y al tomar un escalar k ∈ K con k 6= 0, por el teorema 1.1, existe f ∈ X∗
tal que f(x) = k y entonces pf (x) = |f(x)| = |k| > 0. �
A la topoloǵıa definida en X por esta familia de seminormas P = {pf : f ∈ X∗} se le
llama la topoloǵıa débil y se denotará por σ(X,X∗)
Observación 1.6 La topoloǵıa σ(X,X∗) es más débil que la topoloǵıa τ‖ ‖X inducida por
la norma ‖ ‖X .
Demostración: En efecto consideremos un sub-básico V de σ(X,X∗)
V = {y ∈ X : pf (y − x) < ε} con f ∈ X∗ y ε > 0.
Luego,
V = {y ∈ X : |f(y − x)| < ε}
= {y ∈ X : |f(y)− f(x)| < ε}
= f−1(Bε(f(x)))
y como Bε(f(x)) es un abierto en C y f es continua respecto a ‖ ‖X por ser una funcional
acotada, entonces V debe ser un abierto respecto a ‖ ‖X y aśı V ∈τ‖ ‖X y por lo tanto
σ(X,X∗) ⊆τ‖ ‖X . �
-
20 Caṕıtulo 1
Ejemplo 1.6 Sea X un espacio normado sobre un campo K y X∗ su espacio dual. Para
cada x ∈ X def́ınase px : X∗ −→ R como px(f) = |f(x)|, entonces
P = {px : x ∈ X}
es una familia de seminormas en X∗ que lo hace un espacio localmente convexo.
Demostración: Si x ∈ X, claramente px(f) > 0 ∀f ∈ X∗ y si f = 0 entonces px(f) = 0.
Luego si α ∈ K y f, g ∈ X∗ se tiene que
px(αf) = |αf(x)| = |α|px(f)
y
px(f + g) = |f(x) + g(x)| 6 |f(x)|+ |g(x)| = px(f) + px(g).
Luego si f 6= 0 entonces debe existir x0 ∈ X tal que f(x0) 6= 0 y por tanto |f(x0)| > 0 (pues
el valor absoluto es una norma). De esta manera tenemos que X∗ es un espacio localmente
convexo con P. �
La topoloǵıa definida por estas seminormas se conoce como la topoloǵıa débil* (dicho
como topoloǵıa débil estrella) y se denota por σ(X∗, X). Y aśı como tenemos la observación
1.6 para σ(X,X∗), tenemos un resultado similar para σ(X∗, X).
Observación 1.7 La topoloǵıa σ(X∗, X) es más débil que la τ‖ ‖X∗ inducida por la norma
‖ ‖X∗, donde esta norma se define para h ∈ X∗ como
‖h‖X∗ = supx∈Xx 6=0
|h(x)|‖x‖X
(1.8)
Demostración: Mostraremos que cualquier abierto en σ(X∗, X) es abierto en τ‖ ‖X∗ . Para
ello probaremos que la función identidad
id : (X∗,τ‖ ‖X∗ ) −→ (X∗, σ(X∗, X))
es continua, de esta manera si tenemos un abierto A en la topoloǵıa débil*, la imagen
inversa id−1(A) = A será un abierto respecto a la norma ‖ ‖X∗ .
Sea f una funcional en X∗ y V = {g ∈ X∗ : px0(f − g) < ε} con x0 ∈ X y ε > 0 un
-
Espacios Localmente Convexos 21
sub-básico alrededor de id(f) = f en σ(X∗, X). Probaremos que existe un abierto W que
contiene a f en τ‖ ‖X∗ tal que id(W ) = W ⊆ V , a saber
W = B‖ ‖X∗r (f) = {g ∈ X∗ : ‖f − g‖X∗ < r} con r =ε
‖x0‖X.
En efecto, si g ∈W , para toda x ∈ X se tiene que
|f(x)− g(x)|‖x‖X
6 ‖g − f‖X∗ < r
y en particular para x0 se tiene que
|f(x0)− g(x0)|‖x0‖X
< r =ε
‖x0‖Xy entonces g está en V . �
Más adelante, en el Caṕıtulo 3, veremos que la topoloǵıa débil* es más débil que la
topoloǵıa débil de X∗ y ésta a su vez será más débil que la topoloǵıa inducida por la norma
de X∗, es decir,
σ(X∗, X) ⊆ σ(X∗, X∗∗) ⊆ τ‖ ‖X∗ .
Acontinuación presento la definición de funciones localmente integrables y un lema para
mostrar otro ejemplo de espacio localmente convexo.
Definición 1.8 Una función f : Rn −→ C medible se dice que es localmente integrable
(respecto a la medida de Lebesgue dµ = dx) si∫K|f(x)|dx 0 donde µ es la medida de
Lebesgue. Sea {En}∞n=1 una familia de subconjuntos medibles en Rn tal que D ⊆∞⋃n=1
En.
Entonces existe N ∈ N tal que µ(D ∩ EN ) > 0.
Demostración: Notemos que si µ(D ∩ En) = 0 para toda n ∈ N, entonces
µ(D) = µ
(D ∩
( ∞⋃n=1
En
))= µ
( ∞⋃n=1
(D ∩ En)
)6∞∑n=1
µ(D ∩ En) = 0
llegando aśı a una contradicción pues µ(D) > 0, por lo tanto existe N ∈ N tal que µ(D ∩
EN ) > 0. �
-
22 Caṕıtulo 1
Ejemplo 1.7 Consideremos el espacio L1loc(Rn) y P = {pk}∞k=1 donde
pk(f) =
∫‖x‖6k
|f(x)|dx.
Entonces P es una familia de seminormas tal que (L1loc(Rn),τP) es un espacio localmente
convexo.
Demostración: Primero veamos que L1loc(Rn) es un espacio vectorial, centrándonos sóla-
mente en la cerradura de la suma y el producto por escalar. Tomemos f y g en L1loc(Rn)
y K un subconjunto medible y acotado de Rn, entonces por la linealidad de la integral de
Lebesgue para funciones positivas (ver [6] lema 3.2.5 p. 81 y lema 3.2.3 p. 74) se tiene que∫K|(f + g)(x)|dx =
∫K|f(x) + g(x)|dx
6∫K|f(x)|+ |g(x)|dx
=
∫K|f(x)|dx+
∫K|g(x)|dx
< ∞
y además ∫K|αf(x)|dx =
∫K|α||f(x)|dx
= |α|∫K|f(x)|dx
< ∞.
Ahora probaremos que pk es una seminorma para toda k ∈ N. Sea f = 0 en el sentido de
clases de equivalencia (es decir, f(x) = 0 casi en todas partes), y denotemos la bola cerrada
{x ∈ Rn : ‖x‖ 6 k} como Bk y notemos que Bk es acotada y Lebesgue-medible por lo que
si f ∈ L1loc(Rn) entonces
0 6 pk(f) =∫Bk
|f(x)|dx
-
Espacios Localmente Convexos 23
para todo k ∈ N. Luego para toda k en N tenemos que
Bk = Bk ∩ Rn = Bk ∩ (E ∪ Ec) = (Bk ∩ E) ∪ (Bk ∩ Ec)
y además Bk ∩ E ⊆ E y Bk ∩ Ec ⊆ Ec, entonces por la σ-aditividad y la monotońıa de µ
(ver [6] teorema 3.4.2 p. 86 y corolario 3.2.2 p. 77) se tiene que
pk(f) 6∫Bk
|f(x)|dx
=
∫Bk∩E
|f(x)|dx+∫Bk∩Ec
|f(x)|dx
6∫E|f(x)|dx+
∫Ec|f(x)|dx
donde ∫E|f(x)|dx 6 sup
x∈E|f(x)|µ(E) = sup
x∈E|f(x)| · 0 = 0
y ∫Ec|f(x)|dx 6 sup
x∈Ec|f(x)|µ(Ec) = 0 · µ(Ec) = 0
por lo tanto pk(f) = 0. Luego, si α ∈ C y f ∈ L1loc(Rn), por la linealidad de la integral se
tiene que
pk(αf) =
∫Bk
|αf(x)|dx = |α|∫Bk
|f(x)|dx = |α|pk(f)
y
pk(f + g) =
∫Bk
|f(x) + g(x)|dx
6∫Bk
|f(x)|+ |g(x)|dx
=
∫Bk
|f(x)|dx+∫Bk
|g(x)|dx
= pk(f) + pk(g)
Entonces, teniendo que L1loc(Rn) es un espacio vectorial y que P es una familia de semi-
normas, por la observación 1.2 se tiene que L1loc(Rn) es un espacio vectorial topológico con
-
24 Caṕıtulo 1
la topoloǵıa generada por la sub-base definida en (1.3). Sólo falta ver que P es una familia
separante de seminormas.
Tómese f 6= 0 en L1loc(Rn), entonces debe existir un subconjunto medible A de Rn con
µ(A) > 0 en el que f(x) 6= 0 para toda x ∈ A y además tenemos que
A = A ∩ Rn = A ∩
( ∞⋃k=1
Bk(0)
)=∞⋃n=1
(A ∩Bk(0))
entonces existe k0 ∈ N tal que µ(A ∩ Bk0) > 0, de lo contrario la medida de A seŕıa cero.
Luego, para cada n ∈ N sea En = {x : |f(x)| > 1n} y sea φn =1nχEn donde χEn es la
función caracteŕıstica de En, entonces sabemos que
A ∩Bk0(0) ⊆ {x : |f(x)| > 0}
=∞⋃n=1
{x : |f(x)| > 1
n
}
=∞⋃n=1
En
y por el lema 1.2 debe existir un natural N tal que µ((A ∩ Bk0) ∩ EN ) > 0. Con esto ya
podemos afirmar que existe una seminorma, que es pk0 , en la que su valor en f sea mayor
que cero pues por monotońıa respecto a conjuntos y a funciones tenemos lo siguiente:
pk0(f) =
∫Bk0
|f(x)|dx
>∫A∩Bk0 (0)
|f(x)|dx
>∫A∩Bk0∩EN
|f(x)|dx
>∫A∩Bk0∩EN
φN (x)dx
=1
Nµ(A ∩Bk0 ∩ EN )
> 0.
-
Espacios Localmente Convexos 25
Aśı nuestra familia de seminormas es separante y por lo tanto el espacio L1loc(Rn) con la
familia de seminormas P es localmente convexo. �
Ahora presentaremos algunos tipos de conjuntos en los espacios vectoriales como lo son
los conjuntos convexos, los conjuntos balanceados y los conjuntos absorbentes. También
definiremos la envolvente convexa de un conjunto y mencionaremos algunas propiedades
de estos conceptos para poder probar un resultado muy importante para caracterizar a los
espacios localmente convexos como espacios vectoriales topológicos que posean una base
de vecindades para el cero donde los elementos de esta base sean abiertos, balanceados y
convexos.
Definición 1.9 Sea X un espacio vectorial sobre K, A un subconjunto de X y a, b ∈ A.
i) El segmento de recta de a hacia b se denota y se define como
[a, b] ≡ {tb+ (1− t)a : 0 6 t 6 1}.
ii) Se dice que A es convexo si [a, b] ⊆ A.
Proposición 1.10 Sea X un espacio vectorial y A ⊆ X.
(a) A es convexo si y sólo si para cada colección finita x1, . . . , xn ∈ A y t1, . . . , tn ∈ [0, 1]
con
n∑j=1
tj = 1, entonces
n∑j=1
tjxj pertenece a A.
(b) Si {Ai}i∈I es una colección de conjuntos convexos, entonces⋂i∈I
Ai es convexo.
Demostración:
(a) Supóngase A convexo. Sean x1, . . . , xn ∈ A y t1, . . . , tn ∈ [0, 1] tales quen∑j=1
tj = 1.
Para la prueba procederemos por inducción. Notemos que para k = 2 la proposición
es verdadera pues A es convexo, es decir, si t1 + t2 = 1 entonces t2 = 1− t1 y entonces
t1x1 + (1− t1)x2 ∈ [x1, x2] ⊆ A.
Ahora supongamos la proposición válida para k = n y sean α1, . . . , αn, αn+1 ∈ [0, 1]
donden+1∑j=1
αj = 1 y sean x1, . . . , xn, xn+1 ∈ A, entonces si escribimos C =n∑j=1
αj =
1− αn+1 con αn+1 < 1, tenemos que
-
26 Caṕıtulo 1
n+1∑j=1
αjxj =C
C
n∑j=1
αjxj + αn+1xn+1
= C
n∑j=1
αjCxj + αn+1xn+1
= (1− αn+1)n∑j=1
αjCxj + αn+1xn+1
y comon∑j=1
αjC
=1
C
n∑j=1
αj =C
C= 1, por hipótesis de inducción se tiene que
n∑j=1
αjCxj ∈ A. Aśı, si escribimos a =
n∑j=1
αjCxj tenemos por la convexidad de A
quen+1∑j=1
αjxj = (1− αn+1)a + αn+1xn+1 ∈ A.
Rećıprocamente, tómese cualesquier par a, b en A y un t en [0, 1] arbitrariamente.
Aśı, si s = 1 − t, entonces t + s = 1 y por la hipótesis para una colección de dos
términos tenemos que ta+ sb ∈ A. Por lo tanto A es convexo.
(b) Supongamos que⋂i∈I
Ai 6= ∅, luego tómese a y b en⋂i∈I
Ai, entonces a y b están en Ai
para cada i ∈ I, por lo tanto [a, b] ⊆ Ai para cada i ∈ I pues Ai es convexo para toda
i en I y aśı [a, b] ⊆⋂i∈I
Ai, lo que hace de esta intersección un conjunto convexo.
�
Definición 1.10 Si A es un subconjunto de un espacio vectorial X, la envolvente convexa
de A que denotaremos por co(A) se define como la intersección de todos los conjuntos
convexos que contienen a A. Y si X es un espacio vectorial topológico, la envolvente convexa
cerrada de A será la intersección de todos los subconjuntos convexos cerrados de X que
contienen a A y se denotará mediante co(A).
Observación 1.8 Sean X y Y espacios vectoriales y A un subconjunto de X, entonces se
cumplen los siguientes enunciados:
(a) La envolvente convexa co(A) está bien definida y es convexa.
-
Espacios Localmente Convexos 27
(b) Si X es un espacio vectorial topológico entonces la envolvente convexa cerrada co(A)
es convexa y cerrada en X.
(c) Si X es un espacio normado entonces {x ∈ X : ‖x‖ 6 1} y {x ∈ X : ‖x‖ < 1} son
conjuntos convexos.
(d) Si f es una funcional en X∗, entonces {x ∈ X : |f(x)| 6 1}, {x ∈ X : Ref(x) 6 1}
y {x ∈ X : Ref(x) > 1} son convexos.
(e) Sea T : X −→ Y una transformación R-lineal y B un subconjunto convexo de Y ,
entonces T−1(B) es un convexo de X.
Demostración:
(a) Sea C = {C ⊆ X : C es convexo y A ⊆ C}. Hay que notar que X es en śı un
conjunto convexo al ser un espacio vectorial, de esta manera la colección C es no
vaćıa y aśı para cualquier subconjunto habrá un conjunto convexo que lo contenga
y por el resultado (b) de la proposición 1.10 se tiene que la envolvente convexa es
convexa pues co(A) =⋂C⊆C
C.
(b) Dado que X es un espacio topológico, entonces X es cerrado. Aśı si
F = {F ⊆ X : F es cerrado, convexo y A ⊆ F},
entonces C es no vaćıa y de la misma manera que en (a) tenemos que co(A) está bien
definida y es convexa. Además, la intersección arbitraria de cerrados es cerrada en
un espacio topológico, entonces co(A) =⋂F⊆F
F es cerrada.
(c) Sean a, b en {x ∈ X : ‖x‖ 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces
‖bt+ (1− t)a‖ 6 t‖b‖+ (1− t)‖a‖
6 t+ (1− t)
= 1
y si c y d están en {x ∈ X : ‖x‖ < 1} y t ∈ [0, 1], entonces
-
28 Caṕıtulo 1
‖dt+ (1− t)c‖ 6 t‖d‖+ (1− t)‖c‖
< t+ (1− t)
= 1
por lo tanto śı son convexos.
(d) Sean a, b ∈ {x ∈ X : |f(x)| 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces
|f(bt+ (1− t)a)| = |tf(b) + (1− t)f(a)|
6 t|f(b)|+ (1− t)|f(a)|
6 t+ (1− t)
= 1.
Luego, si c, d ∈ {x ∈ X : Ref(x) 6 1} y t ∈ [0, 1], entonces por la R-linealidad de f
se tiene que
Re(f(tb+ (1− t)a)) = Re(tf(b) + (1− t)f(a))
= Re(tf(b)) +Re((1− t)f(a))
= tRef(b) + (1− t)Ref(a)
6 t+ (1− t)
= 1
y finalmente, si u, v ∈ {x ∈ X : Ref(x) > 1} y t ∈ [0, 1], entonces
Re(f(tv + (1− t)u)) = Re(tf(v) + (1− t)f(u))
= tRef(v) + (1− t)Ref(u)
> t+ (1− t)
= 1.
(e) Considérense a y b en T−1(B) y sea t ∈ [0, 1], entonces T (a) y T (b) están en B, que
por ser convexo se tiene que tT (b) + (1 − t)T (a) ∈ B y por la R-linealidad de T
entonces
tT (b) + (1− t)T (a) = T (tb+ (1− t)a),
por lo tanto, efectivamente tb+ (1− t)a está en T−1(B).
-
Espacios Localmente Convexos 29
�
Proposición 1.11 Sea X un espacio vectorial topológico y A ⊆ X convexo, entonces
(a) A es convexa.
(b) Si a ∈ A◦ y b ∈ Ā, entonces [a, b) ≡ {tb+ (1− t)a : 0 6 t < 1} ⊆ A.
Demostración:
(a) Ya sabemos que para puntos u, v en A tendremos que tv + (1 − t)u ∈ Ā para toda
t ∈ [0, 1] pues A es convexo y A ⊆ Ā. Ahora supongamos x ∈ A, y ∈ Ā y t ∈ [0, 1],
entonces existe una red {yi}i∈I en A tal que yi −→ y. Aśı,
tyi + (1− t)x −→ ty + (1− t)x.
Y como A es convexo, entonces {tyi + (1 − t)x}i∈I es una red en A, por lo tanto
ty + (1− t)x ∈ Ā para toda t ∈ [0, 1].
Otro caso es cuando ambos puntos están en la cerradura. Sean x, y ∈ Ā y t ∈ [0, 1],
luego existe una red {xα}α∈Λ en A tal que xα −→ x. Entonces, como xα está en A
para cada α ∈ Λ y y ∈ Ā, por lo anterior tenemos que ty + (1− t)xα está en Ā para
toda α ∈ Λ y para toda t ∈ [0, 1]. Además
ty + (1− t)xα −→ ty + (1− t)x,
y como {ty + (1 − t)xα}α∈Λ es una red en Ā, entonces ty + (1 − t)x debe estar en¯̄A = Ā para toda t ∈ [0, 1], por lo tanto Ā es convexa.
(b) Tomemos un t fijo en (0, 1) y sea c = tb+ (1− t)a donde a ∈ A◦ y b ∈ Ā. Probaremos
que c es punto interior de A.
Dado que a está en A◦, existe un abierto V de X tal que V es vecindad de 0 y
a+ V ⊆ A. Luego si tomamos un elemento d en A, entonces
td+ (1− t)(a+ V ) ⊆ A
puesto que A es convexo. Visto de otra forma tenemos para cualquier d ∈ A la
siguiente contención:
-
30 Caṕıtulo 1
A ⊇ td+ (1− t)(a+ V )
= t(d− b) + tb+ (1− t)(a+ V )
= t(d− b) + tb+ (1− t)a+ (1− t)V
= (t(d− b) + (1− t)V ) + c
Aśı, lo que falta es encontrar un d ∈ A tal que t(d− b) + (1− t)V ≡ U sea vecindad
de 0, puesto que por la proposición 1.2, U es un abierto y por la observación 1.3,
U + c será vecindad de c en A y por lo tanto c ∈ A◦. Ahora, hallar un d ∈ A tal que
0 ∈ t(d− b) + (1− t)V
es equivalente a encontrarlo tal que
0 ∈ (d− b) + t−1(1− t)V,
o bien, tal que
d ∈ b− t−1(1− t)V.
Como V es una vecindad abierta del 0, por la observación 1.3 y la proposición 1.2,
−t−1(1−t)V también es una vecindad abierta de 0, aparte b está en Ā y b−t−1(1−t)V
es vecindad de b en X (por la observación 1.3), entonces
b− t−1(1− t)V ∩A 6= ∅
y aśı, extraemos d de esta intersección.
�
Corolario 1.1 Si A ⊆ X y X es un espacio vectorial topológico, entonces co(A) es la
cerradura de co(A).
Demostración: Sean
C = {C ⊆ X : C es convexo y A ⊆ C}
y
F = {F ⊆ X : F es convexo, cerrado y A ⊆ F},
-
Espacios Localmente Convexos 31
entonces F ⊆ C . De esta manera, si x ∈ co(A) =⋂C∈C
C, entonces x ∈ C para todo C ∈ C ,
por tanto, x ∈ F para toda F ∈ F , aśı
x ∈⋂F∈F
F = co(A).
Entonces, como co(A) ⊆ co(A), se tiene que co(A) ⊆ co(A) = co(A) puesto que co(A) es
cerrada por la observación 1.8 (b). Por otro lado, tenemos por la observación 1.8 (a) que
co(A) es convexa y por la proposición 1.11 (a) co(A) también es convexa. Aśı, co(A) ∈ F
y por lo tanto co(A) ⊆ co(A). �
Definición 1.11 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K.
i) Se dice que un subconjunto A de X es balanceado si para x ∈ A y α ∈ K con |α| 6 1
se cumple que αx está en A.
ii) Un subconjunto absorbente B de X es aquel en el cual para cada x ∈ X existe un
ε > 0 que depende de x, es decir ε = ε(x), tal que para t ∈ [0, ε), se verifica que
tx ∈ B.
iii) Si C ⊆ X y c ∈ C, decimos que C es absorbente en c si el conjunto C−c es absorbente.
Equivalentemente, C es absorbente en c si para cada x ∈ X existe 0 < ε = ε(x) tal
que para t ∈ [0, ε) se tenga que tx+ c ∈ C.
Claramente se puede observar que tanto un conjunto balanceado como un conjunto ab-
sorbente, ambos deben contener al cero y también es claro que si un conjunto es absorbente
en 0 es lo mismo que decir que es absorbente.
Una manera intuitiva de pensar en este tipo de conjuntos es, en el caso de un balan-
ceado A, imaginarlo como un conjunto que tiene cierta simetŕıa respecto al origen, ya que
para α = −1, si x ∈ A, entonces su inverso −x también debe estar en A (véase la figura
1.1b). Otro ejemplo que podemos visualizar es el espacio vectorial C sobre el campo K = C.
Aśı, si z = rzeiθz está en un balanceado A y α = eiθ, entonces αz = rze
i(θz+θ) pertenece a
A, y esto debe cumplirse para toda θ ∈ [0, 2π] lo que hace que A tenga que contener toda
la circunferencia de radio rz, de hecho, todo el ćırculo de radio rz pues para β = reiθ con
0 6 r 6 1, entonces βz debe estar en A.
-
32 Caṕıtulo 1
(a) Balanceado en C (b) Balanceado en R2 (c) No balanceado
Figura 1.1: Ejemplos
Notemos que en el caso de la figura 1.1c tenemos que existen algunos α’s con módulo
menor que 1 tales que αx /∈ A.
También podemos ver que en el caso de un conjunto absorbente, además de contener al
cero, éste debe poseer una vecindad del cero, de lo contrario habŕıa puntos para los cuales
no existiŕıan tales epsilons como el conjunto de la siguiente imagen.
Figura 1.2: No absorbente
Y si se quiere que un conjunto A sea absorbente en uno de sus puntos, digamos a,
entonces A debe contener una vecindad de a.
A continuación vamos a caracterizar a los conjunto que sean no vaćıos, convexos, balan-
ceados y absorbentes en cada uno de sus puntos con seminormas, es decir, por cada conjunto
de este tipo va a existir una única seminorma que lo describa. Para ello la observación 1.9
y la proposición 1.12.
Observación 1.9 Si X es un espacio vectorial y p es una seminorma en X, entonces el
-
Espacios Localmente Convexos 33
conjunto
V = {x ∈ X : p(x) < 1}
es convexo, balanceado y absorbente en cada uno de sus puntos.
Demostración: Claramente V es convexo, balanceado y no vaćıo. Falta ver que es absorbente
en cada uno de sus puntos. Sea v ∈ V y x ∈ X con p(x) = 0, entonces para toda t > 0 se
tiene que
p(tx+ v) 6 p(tx) + p(v) = tp(x) + p(v) = p(v) < 1.
Luego, supongamos que p(x) > 0, entonces def́ınase ε =1− p(v)p(x)
> 0. Si t ∈ [0, ε)
tendremos que
p(v + tx) 6 p(v) + tp(x)
< p(v) +1− p(v)p(x)
p(x)
= p(v) + 1− p(v)
= 1
y entonces v + tx ∈ V para toda t ∈ [0, ε). �
Resulta que el rećıproco de la observación previa también es válido. Para mostrarlo,
probaremos antes el siguiente lema.
Lema 1.3 Sea X un espacio vectorial y A un subconjunto convexo y balanceado. Con-
sidérese la función p : X −→ R definida como
p(x) = ı́nf {t ∈ R : t > 0 y x ∈ tA}. (1.9)
Entonces se cumplen los siguientes resultados:
(a) Si α 6= 0, entonces 1αA =
1
|α|A
(b) Sea x ∈ X con p(x) = α y sea δ > 0, entonces x ∈ (α+ δ)A.
(c) Sean α, β > 0, entonces αA+ βA = (α+ β)A.
Demostración:
-
34 Caṕıtulo 1
(a) Sea z ∈ 1αA, entonces αz ∈ V . Luego como | |α|
α|= 1 y A es balanceado, entonces
|α|ααz ∈ A y aśı |α|z ∈ A y luego z ∈ 1
|α|A. La otra contención es exactamente
análoga.
(b) Sea δ > 0, entonces existe tδ ∈ (α, α+ δ] tal que x ∈ tδA y como 0 <tδ
α+ δ6 1 y A
es balanceado, se sigue quetδ
α+ δA ⊆ A, aśı x ∈ tδA ⊆ (α+ δ)A.
(c) Claramente tenemos que (α+β)A ⊆ αA+βA. Luego, como A es convexo y αα+ β
+
β
α+ β= 1, entonces
α
α+ βA+
β
α+ βA ⊆ A
y finalmente αA+ βA ⊆ (α+ β)A.
�
Proposición 1.12 Sea X un espacio vectorial y V ⊆ X un conjunto convexo, balanceado,
absorbente en cada uno de sus puntos y no vaćıo. Entonces existe una única seminorma p
en X tal que
V = {x ∈ X : p(x) < 1}.
Demostración: Definamos p : X −→ R como
p(x) = ı́nf{t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }.
Notar que X =
∞⋃n=1
nV ya que si x ∈ X, como V es absorbente, existe εx > 0 tal que tx ∈ V
siempre que t ∈ [0, εx) y si tomamos n0 ∈ N tal que 1n0 < εx, tendremos que1n0x ∈ V o
bien que x ∈ n0V .
Esta observación sobre X lo que hace es permitirnos asegurar que el conjunto
{t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }
sea no vaćıo. Ahora que p está bien definida veamos que en efecto es una seminorma en X.
Es claro que p(0) = 0. Ahora supongamos α ∈ K con α 6= 0, x ∈ X y aplicando el
hecho de que V es balanceado y convexo obtenemos
-
Espacios Localmente Convexos 35
p(αx) = ı́nf{t ∈ R : t > 0 y αx ∈ tV }
= ı́nf
{t ∈ R : t > 0 y x ∈ t
αV
}
= ı́nf
{t ∈ R : t > 0 y x ∈ t
|α|V
}(por (a) del lema 1.3)
= |α|́ınf{t
|α|∈ R : t
|α|> 0 y x ∈ t
|α|V
}
= |α|p(x)
Para completar la prueba de que p es una seminorma falta probar que p(x+y) 6 p(x)+p(y)
para todo x, y ∈ X.
Sean x, y ∈ X con p(x) = α, p(y) = β y sea δ > 0, entonces por (b) del lema 1.3,
x ∈ (α+ δ)V y y ∈ (β+ δ)V , por tanto x+ y ∈ (α+ δ)V + (β+ δ)V , además, por el inciso
(c) del lema 1.3 se tiene que
(α+ δ)V + (β + δ)V = (α+ β + 2δ)V
y como p(x+ y) = ı́nf{t > 0 : x+ y ∈ tV }, entonces p(x+ y) 6 α+ β + 2δ y aśı
p(x+ y) = ĺımδ→0
p(x+ y) 6 ĺımδ→0
(α+ β + 2δ) = α+ β = p(x) + p(y)
y con esto ya tenemos que p es una seminorma en X. Resta demostrar que V = {x ∈ X :
p(x) < 1}. Primero veamos que {x ∈ X : p(x) < 1} ⊆ V . Sea x ∈ X tal que p(x) = α < 1,
entonces existe β en [α, 1) tal que x ∈ βV y como V es balanceado, se tiene que
x ∈ βV ⊆ V.
Rećıprocamente, sea x ∈ V , entonces p(x) 6 1. Luego, como V es absorbente en cada uno
de sus puntos, entonces lo es en x y aśı existe εx > 0 tal que para t ∈ [0, ε) se tiene que
x+ tx = y ∈ V,
entonces x = (1 + t)−1y y además p(y) 6 1, por lo tanto
-
36 Caṕıtulo 1
p(x) = p((1 + t)−1y)
= (1 + t)−1p(y)
6 (1 + t)−1
< 1.
Por último probaremos la unicidad de dicha seminorma. Supóngase que existe otra semi-
norma q tal que
V = {x ∈ X : q(x) < 1}.
Sea x ∈ X, luego sabemos que p(x) < 1 si y sólo si q(x) < 1. Sea α = q(x) y sea ε > 0,
entonces
q
(1
α+ εx
)=
α
α+ ε< 1
⇒ p(
1
α+ εx
)< 1
y aśı p(x) < α + � para todo ε > 0, por lo tanto p(x) 6 q(x). De modo análogo se tiene
que q(x) 6 p(x) y con esto tenemos que efectivamente p es única. �
Definición 1.12 Sea X un espacio vectorial y V un subconjunto de X.Definimos la fun-
ción o funcional de Minkowski de V o bien, la función gauge de V , pV : X −→ R
como
pV (x) = ı́nf {t ∈ R : t > 0 y x ∈ tV }. (1.10)
Notar que la funcional de Minkowski es la misma función que se define en (1.9), sin
embargo, en la definición 1.12, V es un subconjunto arbitrario de X.
Observación 1.10 Si V es un subconjunto abierto de un espacio vectorial topológico X,
entonces V es absorbente en cada uno de sus puntos.
Demostración: Sea v ∈ V , como V es abierto entonces V − v es vecindad del cero. Sea
x ∈ X y consideremos la red {(1− t)x}t∈(0,1) y notemos que
(1− t)x −→t→1
0,
entonces existe t0 ∈ (0, 1) tal que (1 − t)x ∈ V − v para t > t0, equivalentemente para
1 − t > 1 − t0 entonces (1 − t)x ∈ V − v. Aśı, si tomamos εx = 1 − t0, en efecto, V
será absorbente en v pues para u ∈ [0, εx) se tiene que ux ∈ V − v. �
-
Espacios Localmente Convexos 37
Teorema 1.2 Sea X un espacio vectorial topológico Hausdorff y considérese
U = {U ⊆ X : U es abierto, balanceado y convexo}.
Entonces X es un espacio localmente convexo si y sólo si U es una base para el sistema
de vecindades de 0.
Demostración: Supongamos que X es un espacio localmente convexo y sea P la familia
de seminormas separante que genera la topoloǵıa de X. Sea V una vecindad de 0 en
X, entonces existe una colección finita de sub-básicos formados con p1, . . . , pn ∈ P y
ε1, . . . , εn > 0 tales que
W =n⋂i=1
{x ∈ X : pi(x) < εi} ⊆ V.
Notemos que para cada i = 1, . . . , n, por la proposición 1.12 el sub-básico {x ∈ X : pi(x) <
1} es abierto, convexo, balanceado y no vaćıo para cada i = 1, . . . , n. Luego tenemos que
{x ∈ X : pi(x) < ε} = ε{x ∈ X : pi(x) < 1}
= ψ−11ε
({x ∈ X : pi(x) < 1})
y por la observación 1.8 (e) el sub-básico {x ∈ X : pi(x) < ε} también es convexo. Además,
por la proposición 1.2 tenemos que es abierto y claramente es balanceado. Ahora veamos
que W también cumple estas propiedades.
Tenemos por la proposición 1.10 (b) que W es convexo y fácilmente se puede ver que W es
balanceado. Además, sabemos que la intersección finita de abiertos es abierta. Aśı, W ∈ U ,
de esta manera se tiene que, efectivamente, U es una base para el sistema de vecindades
del 0.
Para demostrar el rećıproco hay que encontrar una familia de seminormas separante para
X tal que la topoloǵıa generada por esta familia coincida con la topoloǵıa τ original de X.
Para cada U ∈ U , U es convexo y balanceado, además, como es abierto, por la observación
1.10 U es absorbente en cada uno de sus puntos y por la proposición 1.12 existe una única
seminorma pU en X tal que {x ∈ X : pU (x) < 1} = U . Entonces
PU = {pU : U ∈ U}
-
38 Caṕıtulo 1
es una familia de seminormas. Primero veamos que ésta es separante. Sea x ∈ X�{0},
como X es Hausdorff, existe una vecindad V del cero en U en la que x /∈ V , aśı, pV (x) > 0
por lo tanto X es localmente convexo con la topoloǵıa τPU . Ahora falta ver que τ=τPU .
Sea V un abierto respecto a τ, veremos que para cada v ∈ V v es punto interior de V .
Dado que U es base para el sistema de vecindades de 0 entonces para cada v ∈ V existe
Uv ∈ U tal que
{x ∈ X : pUv(x) < 1} = Uv ⊆ V − v.
Con esto V − v es vecindad abierta de 0 en τPU para cada v ∈ V , por lo tanto V lo es para
todo v en él y entonces V es abierto respecto a τPU .
Rećıprocamente, cada sub-básico de τPU es de la forma
{x ∈ X : pU (x− x0) < ε} = x0 + ε{x ∈ X : pU (x) < 1}
= x0 + εU ∈ τ
pues U ∈ U y U es base para sistema de vecindades de 0 respecto a τ. �
-
Caṕıtulo 2
Espacios localmente convexos normables y
metrizables
Se sabe que los espacios métricos y los espacios normados son muy útiles en la ma-
temática y que tienen una estructura muy rica. El propósito de este caṕıtulo es averiguar
qué espacios localmente convexos tienen una topoloǵıa definida por una métrica y también
buscar cuáles son normables. Para ello se definirá una métrica a partir de una colección
numerable de seminormas y en el caso de los espacios normables se tendrá la existencia
de una cierta seminorma a la cual se le probará la propiedad que falta para ser norma, es
decir, que si un elemento es distinto del cero, entonces su valor en la norma es estrictamente
positivo.
La siguiente observación nos ayudará a probar una desigualdad del triángulo.
Observación 2.1 Sea f : R+ ∪ {0} −→ R definida como
f(t) =t
1 + t, (2.1)
entonces f es creciente.
Demostración: Claramente f está bien definida y es diferenciable en R+∪{0} y su derivada
es
f ′(t) =1
(1 + t)2.
Notemos que f ′ siempre es positiva, por lo tanto f es creciente. �
Lema 2.1 Sea X un espacio vectorial y p una seminorma en X. Sea ρ : X × X −→ R
definida como
ρ(x, y) =p(x− y)
1 + p(x− y).
39
-
40 Caṕıtulo 2
Entonces ρ es una pseudométrica.
Demostración: Antes que nada notemos que ρ está bien definida y que ρ(x, y) > 0 para
todo par (x, y) ∈ X × X. Luego, si x = y, entonces p(x − y) = 0 por ser seminorma y
entonces ρ(x, y) = 0. Luego, si x, y ∈ X, como p es seminorma se tiene que
p(x− y) = p((x− z) + (z − y)) 6 p(x− z) + p(z − y).
Tomando t1 = p(x − y) y t2 = p(x − z) + p(z − y), como f definida en (2.1) es creciente,
entonces
ρ(x, y) =p(x− y)
1 + p(x− y)
6p(x− z) + p(z − y)
1 + p(x− z) + p(z − y)pues f es creciente
=p(x− z)
1 + p(x− z) + p(z − y)+
p(z − y)1 + p(x− z) + p(z − y)
6p(x− z)
1 + p(x− z)+
p(z − y)1 + p(z − y)
= ρ(x, z) + ρ(z, y)
por lo tanto ρ es una pseudométrica. �
Proposición 2.1 Sea X un espacio vectorial y P = {pn}∞n=1 una familia de seminormas
tal que∞⋂n=1
{x ∈ X : pn(x) = 0} = {0}, es decir, con la propiedad de ser separante y para
cada n ∈ N considérese dn : X ×X −→ R definida por
dn(x, y) =pn(x− y)
1 + pn(x− y).
Entonces d(x, y) =∞∑n=1
1
2ndn(x, y) es métrica y es invariante bajo traslaciones.
Demostración: Primero analicemos si d está bien definida, es decir, hay que ver que la
serie converja. En efecto, como vimos en el lema 2.1 tenemos que para cada n ∈ N, dn
está bien definida además de ser una pseudométrica y se tiene que dn(x, y) 6 1 y como la
-
Espacios localmente convexos normables y metrizables 41
serie geométrica∑ 1
2nes convergente y además
1
2ndn(x, y) 6
1
2npara toda n ∈ N, por
comparación se tiene que∞∑n=1
1
2ndn(x, y) también converge.
Ahora, claramente d(x, y) > 0 para todo par (x, y) ∈ X × X y si x = y entonces
dn(x, y) = 0 pues para cada n ∈ N dn es una pseudométrica por el lema 2.1 y aśı d(x, y) = 0.
Luego, para (x, y) ∈ X ×X,
d(x, y) =
∞∑n=1
1
2ndn(x, y)
6∞∑n=1
1
2n(dn(x, z) + dn(z, y))
=∞∑n=1
1
2ndn(x, z) +
∞∑n=1
1
2ndn(z, y)
= d(x, z) + d(z, y).
Finalmente, si d(x, y) = 0 entonces
∞∑n=1
1
2ndn(x, y) = 0 y como cada miembro de la serie es
no negativo, entonces dn(x, y) = 0 para toda n = 1, 2, . . . , esto nos da que pn(x − y) = 0
para toda n ∈ N y por hipótesis x− y = 0, es decir, x = y, y por tanto d efectivamente es
una métrica. Sólo falta ver que es invariante bajo traslaciones.
Sean x, y y x0 ∈ X, entonces
d(x, y) =∞∑n=1
1
2npn(x− y)
1 + pn(x− y)
=∞∑n=1
1
2npn(x+ x0 − (y + x0))
+pn(x+ x0 − (y + x0))
= d(x+ x0, y + x0).
�
A continuación daremos respuesta a la cuestión inicial en este caṕıtulo sobre qué espa-
cios localmente convexos son metrizables.
-
42 Caṕıtulo 2
Lema 2.2 Sea X un espacio localmente convexo y metrizable y sea {xj}∞j=1 una sucesión
en X. Entonces existe una familia de seminormas {pn}∞n=1 en X con la propiedad de que
xj −→j→∞
0 en X si y sólo si pn(xj) −→j→∞
0 para toda n ∈ N.
Demostración: Sea d la métrica de X y P la familia que hace de X un espacio localmente
convexo. Considérese
Un =
{x ∈ X : d(x, 0) < 1
n
}.
Notar que Un 6= ∅ pues al menos el 0 está ah́ı para cada n ∈ N. Como X es un espacio
localmente convexo y Un es un abierto entonces existen q(n)1 , . . . , q
(n)k ∈ P y ε1, . . . , εk > 0
tales quek⋂i=1
{x ∈ X : q(n)i (x) < εi} ⊆ Un.
Luego, para cada n ∈ N def́ınase pn : X −→ R como
pn(x) =1
ε1q
(n)1 (x) + · · ·+
1
εkq
(n)k (x) (2.2)
para cada x ∈ X. Nótese que si pn(x) < 1 entonces1
εiq
(n)i (x) < 1 para toda i = 1, . . . , k y
aśı x ∈ Un. Luego, sabemos por la observación 1.5 que para cada n ∈ N y cada i ∈ {1, . . . , k}
q(n)i es continua y por la proposición 1.7 (a) y 1.7 (c) tenemos que pn es seminorma y
también es continua en X. Aśı, si xj −→j→∞
0 en X, entonces pn(xj) −→j→∞
0 para cada n ∈ N.
Rećıprocamente, supongamos que para cada n ∈ N tenemos que pn(xj) −→j→∞
0. Aśı, para
ε > 0 hay un N ∈ N tal que 1N< ε y por hipótesis pN (xj) −→
j→∞0. Entonces existe j0 ∈ N
tal que
pN (xj) < 1 para toda j > j0.
Equivalentemente
1
ε1q
(N)1 (xj) + · · ·+
1
εkq
(N)k (xj) < 1 para toda j > j0
y entonces
q(N)i (xj) < εi para cada i = 1, . . . , k y para toda j > j0.
Luego,
xj ∈k⋂i=1
{x ∈ X : q(N)i (x) < εi
}⊆ UN =
{x ∈ X : d(x, 0) < 1
N< ε
}
-
Espacios localmente convexos normables y metrizables 43
para toda j > j0 y aśı xj ∈ Bε(0) para toda j > j0, por lo tanto xj −→j→∞
0 en X. De esta
manera, la familia numerable de seminormas que buscábamos es {pn}∞n=1 definida para
cada n ∈ N en (2.2). �
Lema 2.3 Sea {pn}∞n=1 una familia de seminormas que determina la topoloǵıa de un espa-
cio X y sea {xj}∞j=1 una sucesión en X. Entonces xj −→j→∞
0 en X si y sólo si pn(xj) −→j→∞
0
para toda n ∈ N.
Demostración: Para cada n ∈ N pn es continua y aśı se tiene que xj −→j→∞
0. Rećıprocamen-
te, sea V una vecindad de 0 en X, entonces existen pi1 , . . . , pim ∈ {pn}∞n=1 y ε1, . . . , εm > 0
tales quem⋂k=1
{x ∈ X : pik(x) < εk} ⊆ V.
Luego, dado que pn(xj) −→ 0 para cada n ∈ N, entonces existen J1, . . . , Jm ∈ N tales
que para cada k = 1, . . . ,m
pik(xj) < εk para toda j > Jk.
Tomando J = máx{J1, . . . , Jk} entonces para toda k = 1, . . . ,m resulta que
pik(xj) < εk para toda j > J
y aśı xj ∈ V para toda j > J , por tanto xj −→j→∞
0 en X. �
Lema 2.4 Sea X un espacio topológico primero-numerable y U ⊆ X. Entonces
(a) U es abierto en X si y sólo si para cada x en U se cumple que para cada sucesión
{xn}∞n=1 tal que xn −→ x en X, exista N ∈ N tal que xn esté en U para toda n > N .
(b) Sean τ1 y τ2 dos topoloǵıas que hacen de X un espacio primero-numerable. Si se
tiene que xj −→ x en τ1 es equivalente a xj −→ x en τ2 para cualquier sucesión
{xj}∞j=1 en X entonces τ1=τ2.
Demostración:
-
44 Caṕıtulo 2
(a) Sea U un abierto de X, entonces si x ∈ U y {xn}∞n=1 es una sucesión que converge
a x, por definición de convergencia tenemos que existe N tal que xn ∈ U para toda
n > N .
Por el otro lado, supongamos que x ∈ U y X es primero-numerable. Entonces existe
una base de vecindades Bx de x a lo más numerable, digamos
Bx = {Vn}n∈N.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que Vn+1 ⊆ Vn para toda n ∈ N. Luego
constrúyase una sucesión {xn}∞n=1 de manera que xn ∈ Vn, entonces necesariamente
xn −→ x pues al tomar un abierto W tal que x ∈ W , como Bx es una base de
vecindades anidadas entonces existe n0 tal que Vn ⊆ W para toda n > n0 y con ello
xn ∈ W para toda n > n0. Luego, por hipótesis, para la sucesión {xn}∞n=1 existe
N ∈ N tal que xn ∈ U para toda n > N . Aśı, existe N1 ∈ N tal que xn ∈ U para
toda n > N1 y con esto debe existir un N tal que VN ⊆ U , de lo contrario, para
todo n ∈ N se tendŕıa que Vn�U 6= ∅ y si construimos una sucesión {yn}∞n=1 tal que
yn ∈ Vn�U para cada n entonces yn −→ x, ya que si A es un abierto con x ∈ A
entonces existe N2 tal que x ∈ Vn ⊆ A para toda n > N2 y luego yn ∈ Vn�U ⊆ A
para toda n > N2 y aśı yn −→ x. Luego debe existir N0 tal que yn ∈ U para toda
n > N0 pero esto es imposible por la construcción de {yn}∞n=1, por lo tanto es ci