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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-1-V-1-00-2017-sN

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Primer

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Primer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 18 de agosto de 2017

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Mario de León

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Keyla Analy Barrera Martínez

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 1

22 de febrero de 2017 Primer Examen Parcial Temario B1

Tema 1: (20 puntos)

Por medio del planteo de una ecuación resuelva el siguiente problema:

Pedro tiene años más que su hermano Juan. Pedro observo que dentro de 25 años la

suma de sus edades duplicara a la suma de sus edades actuales. ¿Cuál es la edad de

Juan?

Tema 2: (20 puntos)

Resuelva la ecuación 2.1, y la desigualdad 2.2 dejando constancia de sus operaciones y

procedimientos como corresponda en cada caso:

2.1.) √𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 2 − 𝑥 2.2) 3

𝑥+2≤

1

𝑥−1

Tema 3: (20 puntos)

En la siguiente figura determinar: ∢𝐶𝑃𝐴, ∢𝐷𝐸𝐶, ∢𝐶𝐸𝐴

Tema 4: (20 puntos)

La sección transversal de un tanque es un trapecio isósceles de 9 m en la parte

superior, 4.5 m en la parte inferior y 6 m de altura. El largo es de 15 m. Determine: a)

La capacidad del tanque, b) La altura para que el volumen de agua sea de 96 𝑚2.

Tema 5: (20 puntos)

Una circunferencia de longitud = 4𝜋 está inscrita en un rombo cuyo perímetro es 20.

Calcule el área fuera de la circunferencia y dentro del rombo.



SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: (20 puntos)

Por medio del planteo de una ecuación resuelva el siguiente problema:

Pedro tiene 4 años más que su hermano Juan. Pedro observo que dentro de 25 años la

suma de sus edades duplicara a la suma de sus edades actuales. ¿Cuál es la edad de

Juan?

No. Explicación Operatoria

1

Definir variables que identifiquen los datos del problema, edad actual y edad dentro de

25 años.

Edad actual:

𝑥 = 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛

𝑥 + 4 = 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜

Edad dentro de 25 años:

𝑥 + 25 = 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛

𝑥 + 4 + 25 = 𝑥 + 29 = 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜

2

Plantear ecuación que describa el problema, tomando en cuenta que dentro de 25 años la suma de sus edades duplicara a la suma de

sus edades actuales.

(𝑥 + 25) + (𝑥 + 29) = 2(𝑥 + 𝑥 + 4)

3

Simplificar ecuación planteada

(𝑥 + 25) + (𝑥 + 29) = 2(𝑥 + 𝑥 + 4)

2𝑥 + 54 = 2(2𝑥 + 4)

4 Resolver ecuación

2𝑥 + 54 = 2(2𝑥 + 4)

2𝑥 + 54 = 4𝑥 + 8

4𝑥 − 2𝑥 = 54 − 8

2𝑥 = 46



𝑥 =46

2

𝒙 = 𝟐𝟑

5 Encontrar solución

Como 𝑥 = 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛, entonces:

𝒙 = 𝟐𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔

Tema 2: (20 puntos)

Resuelva la ecuación 2.1, y la desigualdad 2.2 dejando constancia de sus operaciones y

procedimientos como corresponda en cada caso:

2.1.) √𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 2 − 𝑥 2.2) 3

𝑥+2≤

1

𝑥−1

Solución

2.1.) √𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 2 − 𝑥


1 Elevar al cuadrado a ambos lados de la

ecuación.

(√𝑥2 − √2𝑥 + 1)

2

= (2 − 𝑥)2

Operar, recordar que por leyes de los

exponentes: (𝑎1/2)2

= 𝑎

(√𝑥2 − √2𝑥 + 1)

2

= (2 − 𝑥)2

R./ 𝑱𝒖𝒂𝒏 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟐𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔



2

((𝑥2 − √2𝑥 + 1)1/2

)2

= (2 − 𝑥)2

𝑥2 − √2𝑥 + 1 = (2 − 𝑥)2

𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 4 + 4𝑥 + 𝑥2

3 Simplificar expresión del paso 2.

𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 4 + 4𝑥 + 𝑥2

𝑥2 − 𝑥2 − √2𝑥 + 1 = 4 + 4𝑥

−√2𝑥 + 1 = 4 + 4𝑥

4

Elevar al cuadrado ambos lados de la

ecuación del paso 3.

(−√2𝑥 + 1)2

= (4 + 4𝑥)2

5

Simplificar.

(−√2𝑥 + 1)2

= (4 + 4𝑥)2

2𝑥 + 1 = 16𝑥2 − 32𝑥 + 16

16𝑥2 − 34𝑥 + 15 = 0

6 Resolver ecuación cuadrática del paso 5

utilizando la Fórmula cuadrática.

16𝑥2 − 34𝑥 + 15 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Donde: 𝑎 = 16 𝑏 = −34 𝑐 = 15

𝑥 =−(−34) ± √(−34)2 − 4(16)(15)

2(16)



Entonces

𝑥1 =3

2

𝑥2 =5

8

7 Comprobar 𝑥1 y 𝑥2 en ecuación original para hallar solución.

Para 𝑥1 =3

2

√(3

2)

2

− √2 (3

2) + 1 = 2 − (

3

2)

√(3

2)

2

− √2 (3

2) + 1 = 2 − (

3

2)

1

2=

1

2

Para 𝑥2 =5

8

√(5

8)

2

− √2 (5

8) + 1 ≠ 2 − (

5

8)

∄ ≠11

8

Por lo tanto,

𝑥 =3

2

R./ 𝒙 =𝟑

𝟐



2.2) 3

𝑥+2≤

1

𝑥−1


1 Pasar las expresiones a un lado

de la desigualdad.

3

𝑥+2−

1

𝑥−1≤ 0

2

Operar la resta y simplificar

3(𝑥−1)−1(𝑥+2)

(𝑥+2)(𝑥−1)≥ 0

3𝑥−3−𝑥−2

(𝑥+2)(𝑥−1)≥ 0

(2𝑥−5)

(𝑥+2)(𝑥−1)≥ 0

3 Obtener valores críticos

Para (2𝑥 − 5) = 0

𝑥 =5

2

Para (𝑥 + 2) = 0

𝑥 = −2

Para (𝑥 − 1) = 0

𝑥 = 1



4

Elaborar tabla de signos, donde

K es el valor de prueba.

5

Las posibles soluciones se encuentran en los intervalos:

𝒙⋲ (−𝟐, 𝟏) 𝑼 [𝟓

𝟐, +∞)

R./ 𝒙⋲ (−2,1) 𝑈 [5

2, +∞)



Tema 3: (20 puntos)

En la siguiente figura determinar: ∢𝐶𝑃𝐴, ∢𝐷𝐸𝐶, ∢𝐶𝐸𝐴

No. Explicación Operación

1 Identificar: ∢𝐶𝑃𝐴, ∢𝐷𝐸𝐶, ∢𝐶𝐸𝐴 por medio de las propiedades de medida

de arcos y ángulos en la circunferencia.

Ángulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la circunferencia.

∢𝐶𝑃𝐴 =1

2(𝐴𝐶 − 𝐷𝐵)

Ángulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la circunferencia.

∢𝐶𝐸𝐴 = =1

2(𝐷𝐵 + 𝐴𝐶)

El ángulo ∢𝑫𝑬𝑪 se encontrará cuando se determine el ángulo ∢𝑪𝑬𝑨.

2 Hallar el ángulo ∢𝐶𝑃𝐴

∢𝐶𝑃𝐴 =1

2(𝐴𝐶 − 𝐷𝐵)

Donde: 𝐴𝐶 = 100° 𝐷𝐵 = 50° Entonces,

∢𝐶𝑃𝐴 =1

2(100 − 50)



∢𝐶𝑃𝐴 =1

2(50)

∢𝑪𝑷𝑨 = 𝟐𝟓 °

3

Hallar el ángulo ∢𝐶𝐸𝐴

∢𝐶𝐸𝐴 =1

2(𝐷𝐵 + 𝐴𝐶)

∢𝐶𝐸𝐴 =1

2(50 + 100)

∢𝐶𝐸𝐴 =1

2(150)

∢𝑪𝑬𝑨 = 𝟕𝟓°

4

Como ∢𝐶𝐸𝐴 𝑦 ∢𝐷𝐸𝐶 son ángulos adyacentes, es decir, ángulos que

tienen el vértice y un lado en común, la suma de ellos equivale un ángulo

llano (180°)

∢𝐶𝐸𝐴 + ∢𝐷𝐸𝐶 = 180

Como ∢𝐶𝐸𝐴 = 75°, entonces:

75 + ∢𝐷𝐸𝐶 = 180

∢𝐷𝐸𝐶 = 180 − 75

∢𝑫𝑬𝑪 = 𝟏𝟎𝟓°

R. /

∢𝑪𝑷𝑨 = 𝟐𝟓 ° , ∢𝑪𝑬𝑨 = 𝟕𝟓° ,

∢𝑫𝑬𝑪 = 𝟏𝟎𝟓°



Tema 4: (20 puntos)

La sección transversal de un tanque es un trapecio isósceles de 9 m en la parte

superior, 4.5 m en la parte inferior y 6 m de altura. El largo es de 15 m. Determine: a)

La capacidad del tanque, b) La altura para que el volumen de agua sea de 96 𝑚2.


1

Plantear un esquema que describa el problema, tomando en cuenta que el

tanque posee 15 m de largo.

2

Para el inciso a) se solicita determinar la capacidad del tanque. Se sabe que el

volumen se puede hallar de la siguiente manera:

𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Tomar en cuenta que el Área de la sección transversal para este tanque es :

Á𝑟𝑒𝑎 = (𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

2) ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝑉 = (𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

2) ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Donde: Base mayor=9 Base menor=4.5 Altura=6 Largo=15 Entonces

𝑉 = (9+4.5

2) ∗ 6 ∗ 15

𝑽 = 𝟔𝟎𝟕. 𝟓 𝒎𝟑



3

Para el inciso b) se solicita determinar la altura para que el volumen de agua sea 96 𝑚2. para ello se debe encontrar una

relación entre 𝑥 y ℎ según la figura del paso 1, utilizando Teorema Fundamental de la

semejanza de triángulos.

𝑥

ℎ=

2.25

6

𝑥 = 3

8ℎ

4 Ahora se debe plantear una ecuación que describa el volumen del agua a una altura ℎ y una base menor 𝐵.

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 = (𝐵 + 4.5

2) ℎ ∗ 15

Donde

𝐵 = 4.5 + 2𝑥

5

Sustituir 𝑥 = 3

8ℎ del paso 3 en 𝐵 = 4.5 +

2𝑥 del paso 4 y simplificar.

𝐵 = 4.5 + 2𝑥

𝐵 = 4.5 + 2 (3

8ℎ)

𝐵 = 4.5 +3

4ℎ

𝐵 =18 + 3𝑥

4



6

Sustituir

𝐵 =18 + 3𝑥

4

En

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 = (𝐵 + 4.5

2) ℎ ∗ 15

Y simplificar

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 = (𝐵 + 4.5

2) ℎ ∗ 15

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 = (

18+3𝑥

4+ 4.5

2) ℎ ∗ 15

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 = (

18+3𝑥

4+

9

2

2) ℎ ∗ 15

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 =18 + 3ℎ + 18

8∗ ℎ ∗ 15

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 =3ℎ + 36

8∗ ℎ ∗ 15

𝑉𝐴𝑔𝑢𝑎 =540ℎ + 45ℎ2

8

7 Despejar ℎ para encontrar la altura a la cual

el volumen de agua es Igual a 96 𝑚2.

45ℎ2 + 540ℎ = 8 ∗ 96

45ℎ2 + 540ℎ = 768

45ℎ2 + 540ℎ − 768 = 0

𝒉𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟖𝟒𝟕

ℎ2 = −13.2847

8

Como la altura no puede ser negativa la ℎ2

queda descartada, por lo tanto ℎ1 es la solución del problema.

𝒉𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟖𝟒𝟕 m

R. / a) 𝑪𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒏𝒒𝒖𝒆 = 𝟔𝟎𝟕. 𝟓 𝒎𝟑

𝒃) 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟏. 𝟐𝟖𝟒𝟕 𝒎.



Tema 5: (15 puntos)

Una circunferencia de longitud = 4𝜋 está inscrita en un rombo cuyo perímetro es 20.

Calcule el área fuera de la circunferencia y dentro del rombo.

No

EXPLICACION

OPERATORIA

1

Determinar el radio por medio de la ecuación del perímetro de

una circunferencia.

𝐿 = 2𝜋𝑟

Donde 𝐿 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝑟 = 𝐿

2𝜋

𝑟 = 4𝜋

2𝜋

𝑟 = 2

2

Encontrar el lado (𝑙 ) del rombo por medio de la condición que

proporciona el problema.

Tomar en cuenta que el perímetro se da por la siguiente

ecuación:

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 = 4 𝑙

Como 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 = 20, entonces

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 = 4 𝑙

20 = 4 𝑙

𝑙 =20

4

𝑙 = 5



3 Como se necesita hallar el área

de un rombo, se necesita conocer las diagonales D y d,

para lo cual se utilizara el Teorema fundamental de la

semejanza de triángulos para hallar una relación entre ellas.

𝐷/2

2=

5

𝑑/2

𝐷

4=

10

𝑑

𝐷 =40

𝑑

4

Por Pitágoras encontrar 𝑑



(𝐷

2)

2

+ (𝑑

2)

2

= 25

𝐷2

4+

𝑑2

4= 25

𝐷2 + 𝑑2 = 100

Sustituir la relación

𝐷 =40

𝑑

(40

𝑑)

2

+ 𝑑2 = 100

1600

𝑑2+ 𝑑2 − 100 = 0

1600 + 𝑑4 − 100𝑑2

𝑑2= 0

𝑑4 − 100𝑑2 + 1600 = 0

(𝑑2)2 − 100𝑑2 + 1600 = 0

Sustituir 𝑢 = 𝑑2

(𝑢)2 − 100𝑢 + 1600 = 0 Resolver ecuación cuadrática

𝑢1 = 20

𝑢2 = 80

Regresar a la variable 𝑑:

Para 𝑢1 = 20

20 = 𝑑2

𝑑 = 2√5



Para 𝑢1 = 20

80 = 𝑑2

𝑑 = 4√5

5 Si 𝑑 = 2√5 , encontrar 𝐷.

𝐷 =40

𝑑

𝐷 =40

2√5

𝐷 = 4√5

6

Hallar el área solicitada, tomar

en cuenta que el área de un rombo es dado por :

𝐴𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 =𝐷 ∗ 𝑑

2

Y el área de un círculo :

𝐴𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟2

Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 − Á𝑟𝑒𝑎𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐷 ∗ 𝑑

2− 𝜋𝑟2

Sustituir datos:

Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = (4√5) ∗ (2√5)

2− 𝜋(2)2

Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 20 − 4𝜋

Á𝒓𝒆𝒂𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟐𝟕. 𝟒𝟑𝟑𝟔 𝒖𝟐

R./

Á𝒓𝒆𝒂𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟐𝟕. 𝟒𝟑𝟑𝟔 𝒖𝟐

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