UNIVERSIDAD DE PANAM A

VICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POSTGRAD O

PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATIC A

UNA CARACTERIZACION DE LOS ESPACIOS METRICO SSEPARABLES CERO-DIMENSIONAL

DARCELLYS EDEAMI RODRIGUEZ VEGA

TESTS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARAOPTAR AL GRADO DE MAESTRA EN CIENCIAS CONESPECIALIZACION EN MATEMATICA.

PANAMA, REPUBLICA DE PANAM A

2006

APROBADO POR :

co0 // /OCT • ' JAIME

IERREZ

0

MM .S OMAR OLIVEROS

MIEMBRO

/t 12&II)2d'REPRESEN AN DE LA VICERRECTORI A

DE INVESTIGACION Y POSTGRADO

FECHA : 28degiro. / de2006

DEDICATORIA

Dedico esta tesis con todo mi amor a mis padres Silvo y Jovita quienes con su

ejemplo y sabios consejos han inculcado en mi el anhelo de superaciOn y amor a l

trabajo .

A mis hermanos y hermanas : Angel, Jaime, lslian, Frida, Fary, Mary quienes siempr e

me han apoyado y dado una voz de aliento en los buenos momentos y en los no ta n

buenos. A mis sobrinos : Kris, Sue, Jaimito, Lilia, Orlando y Angelito .

AGRADECIMIENTO

Doy gracias a Dios por darme la fortaleza y el espiritu necesario pars culminar un a

nueva etapa en mi preparacion academica .

Al Dr. Jaime Gutierrez mi eterno agradecimiento por brindarme su valioso tiempo ,

ayuda y apoyo en los momentos en que to solicite .

A todos mis companeros de estudio con quienes comparti amenos momentos, e n

especial a mi amiga Ana Varela quien de una u otra forma fue un gran apoyo tant o

moral como en los momentos de estudio .

Agradezco, ademas a todas aquellas personas que contribuyeron con su voz d e

aliento para que este trabajo sea una realidad .

INDICE GENERAL

RESUMEN

1

INTRODUCCION

2

Capitulo 1

UNA CARACTERIZACION DE LOS ESPACIOS METRICOS SEPARABLE S

CERO-DIMENSIONA L

1 .1 Conceptos basicos 4

1 .2 Subespacios metricos 6

1 .3 Homeomorfismos 9

1 .4 Dos nociones de dimension cero l I

Capitulo I I

ESPACIO DE BAIRE Y ESPACIOS ULTRAMETRICO S

2 .1 El espacio de Baire 1 6

2 .2 Espacios ultrametricos 20

2 .3 Una caracterizaciOn de espacios ultrametrizables 24

Capitulo II I

UN HOMEOMORFISMO VIA FRACCIONES CONTINUADA S

3 .1

Fracciones continuadas

CONCLUSION

BIBLIOGRAFIA

29

43

44

1

Resumen

En este trabajo estudiamos y caracterizamos las imagenes homeomorficas de lo snumeros irracionales. Inicialmente se presentan las nociones basicas, la topologia delos espacios metricos y se revisan algunas definiciones y resultados relativos a lo sconceptos de base, separabilidad y homeomorfismo. Se estudian ademas algunasaplicaciones y propiedades de los espacios de Baire y de los espacios ultrametricos yse hace una caracterizacion topologica de los espacios ultrametricos .Finalmente definimos el concepto de fracciones continuadas, discutiendo algunaspropiedades relativas a la misma y damos el resultado mas importante de este trabaj ode tesis el cual construye un homeomorfismo entre el conjunto de los numero sirracionales y el espacio de Baire .

Summary

In this work we studied and we characterized the homeomorphics images of th eir rational numbers . Initially we presented the basic slight knowledge, the topology ofthe metric spaces and some definitions and results relative to the base concepts ,separability and homeomorphisms are reviewed. Some applications appear in additionand properties of the spaces of Baire and the ultrametric spaces and a topologi ccharacterization becomes of the ultrametric spaces . Finally we defined the concept o fcontinued fractions, discussing some properties relative to the same one and give th emost important result of this work which constructs to a homeomorphisms betwee nthe set of the irrational numbers and the space of Baire .

2

INTRODUCCION

Este trabajo se presenta como requisito final para la obtencion del grado de

maestria en Matematica.

En Ios cursos de Analisis matematico y de Topologia tomados en la maestria, s e

recalco la importancia de los espacios metricos, en general, y en particular l a

relevancia de los subconjuntos de los numeros reales dotados de la metrica usual o

euclideana .

En este trabajo estudiaremos y caracterizaremos las imagenes homeomorficas d e

los numeros irracionales, para lo que resulta fundamental, revisar algunas nocione s

basicas de la topologia de los espacios metricos, el axioma de completitud de los

numeros reales, el concepto de cero-dimensionalidad, los espacios ultrametricos y el

espacio de Baire .

El estudio de los subconjuntos de los nUmeros reales desde la perspectiva aqu i

planteada brinda la oportunidad de ampliar y profundizar conocimientos sobre lo s

espacios metricos, ademas que de forma natural nos introduce a la discusion de temas

avanzados de Analisis matematico, de Topologia y de otras areas .

Este trabajo se desarrolla utilizando la informacion registrada en cierto s

documentos bibliograficos en especial el articulo An Introduction to Images of the

irrational numbers del autor Jerry E. Vaughan y algunos documentos obtenidos via

intemet los cuales nos han permitido ampliar nuestro conocimiento acerca de los

espacios metricos, los espacios de Baire y los espacios ultrametricos .

3

Este trabajo se divide en tres capitulos. En el primer capitulo se presentan las

nociones basicas de los espacios metricos, se definen y se demuestran algunos

resultados relacionados con los conceptos de base, separabilidad y homeomorfismo.

En el segundo capitulo estudiamos los espacios de Baire y los espacios ultrametricos ,

presentamos sus aplicaciones y propiedades y hacemos una caracterizacion topologic a

de los espacios ultrametricos .

En el tercer capitulo definimos el concepto de fracciones continuadas, hacemos l a

expansion en fracciones continuadas de un numero real y construimos e l

homeomorfismo entre el espacio de Baire 11, y el conjunto de los numeros

irracionales II, dotado de la metrica usual .

El resultado mas importante que concluye este trabajo de tesis es el teorema qu e

asegura que cada espacio metrico separable, 0-dimensional, es homeomorfico a algun

subconjunto de los numeros irracionales.

CAPITULO I

UNA CARACTERIZACION DE LOS ESPACIOS METRICOS SEPARABLES

0-DIMENSIONAL .

4

En este capitulo definiremos Ios conceptos basicos que guiaran la exposicion de l

tema de esta tesis. En primer lugar, presentamos las nociones basicas sobre los

espacios metricos. En particular revisamos algunas definiciones y resultado s

relacionados con los conceptos de base, separabilidad y homeomorfismo .

1 .1 CONCEPTOS BASICOS.

Definicion 1 .1 DefiniciOn de espacios topologicos

Sean X un conjunto no vacio y r una coleccion de subconjuntos de X, diremos que

r es una topologia sobre X o que (X, r) es un espacio topologico si :

T.1 0 y X son elementos de T.

T.2 Si { A; ), e ,es una familia de subconjuntos de r, entonces U ! A, es un elemento

de T .

T.3 Si Al, A 2, . . ., A„ son elementos de r, entonces f1 ;E,A; es un elemento de T .

Si (X, r) es un espacio topologico, a los elementos de r los Ilamaremos r

abiertos, o abiertos en caso de no existir riesgos de confusion .

Ejemplos 1 .1 :

1. Sean X un conjunto no vacio y ro # { 0, X } . Obviamente ro es una topologi a

sobre X, frecuentemente denominada la topologia caotica .

2. Sean X un conjunto no vacio y r, la coleccion de todos Ios subconjuntos de X.

Es claro que r~ es una topologia sobre X. AI espacio topologico (X, rte ) se le

denomina espacio topologico discreto .

5

3. Sea X= { 1,2 } sobre X existen cuatro topologias a saber To, = { 0, { l }, X } ,

tie={0,{X},{2}}yim .

Defnicion 1 .2 Espacios pseudometricos .

Sea Xun conjunto no vacio, una funcio n

D: X—~ =[0,+0o)

es una pseudometrica sobre X si :

I . d(x, x) = O para todo x e X

2. d(x, y) = d(y, x) pars todo x, y E Y.

3. d(x,y)d(x,z)+d(z,y)para todo x,y,zEX.

Si des una pseudometrica sobre X diremos que (X d) es un espacio pseudometrico .

En caso de cumplirse :

4. d(x, y) = 0, implica que x = y; para todo x, y EX, diremos que des una

metrica sobre X y que (X, d) es un espacio metrico.

En un espacio pseudometrico se distingue un tipo especial de conjunto denominad o

bola abierta. Si (X, d) es un espacio pseudometrico, x e X, ye > 0, Ilamamos bola

abierta centrada en x de radio e, al conjunto denotado por B(x, e) y definido

B(x,e)=(yeX:d(x,y)<e }

Supongamos que (X, d) es un espacio metrico, diremos que A cX es abierto si para

todo x EA existe c> 0, tal que B (x,e) cA.

Resulta que

i = { A cX : A es abierto }

es una topologia sobre X .

6

Observacion: la demostracion de este resultado se puede encontrar en el libr o

Ignacio Iribarren. Topologia de Ios espacios metricos .

Ejemplos de Espacios metricos 1 .2 :

1. Sea E un conjunto cualquiera, no vacio .

Definamos la funcion

d: ExE—+

tal que para todo x, y c E

d(x,y)=1,six#y;d(x,y) = 0 six=y.

2. Sea 1Ft el conjunto de los numeros reales y la funci&n d(x,y) = x - y , para todo

x,y c'r

Mediante sencilla aplicacion de las propiedades del valor absoluto se comprueba

que des una metrica . Esta confiere a 1E estructura de espacio metrico, el cual se llam a

usualmente la "recta real" .

1 .2 SUBESPACIOS METRICO S

Si (X, d) es un espacio metrico y Y c X, la metrica inducida sobre Yes d / (Yx Y) .

Asi (Y, d / (Yx Y) ) es un espacio metrico yes Ilamado un subespacio de (X,d) .

Ejemplo 1 .3 :

El conjunto de los numeros racionales es un subespacio del espacio metrico ?z . ,

donde tiene la metrica usual, asimismo el conjunto de Ios numeros irracionales e s

un subespacio de i2 . En ambos e ' tienen muchos conjuntos Ios cuales son abiertos

7

y cerrados at mismo tiempo, y esos conjuntos juegan un papel importante en eso s

espacios . En nuestro caso el conjunto de Ios numeros irracionales ii es el espaci o

metrico objeto de este estudio .

Si (X, c>) un espacio metrico y Y c X . Si ye Y y r> 0, sea Ny (y, r) denota la

vecindad basica de y en el espacio Y, y sea N,( y, r) denota la vecindad basica de y en

X. Entonces N y (y, r) = N, (y, r) fl Y. Se sigue que un conjunto A c Yes abierto en Y

si y solo si existe un conjunto abierto U en X tal que A = Uri Y. Analogamente un

conjunto B c Yes cerrado en Y si y solo existe un conjunto cerrado Ven Xtal que

B=VflY .

Ejemplo 1 .4 :

Sea /a un espacio metrico y a, b e con a < b entonces

(a,b) fl i% es abierto en ; y cerrado en I

Defnicion 1 .3

Un conjunto A c X es clopen ( Ilamaremos clopen a los conjuntos que son abierto s

y cerrados) en A si es abierto y cerrado en X . Si U c Y c X, entonces U puede ser

abierto (o cerrado) en Y sin ser abierto (o cerrado) en X .

Ejemplo 1 .5 :

Sea a,b e r? con a < b entonces ( a,b) fl I es ambos abierto y cerrado en I, pero no es

ni abierto ni cerrado en ilc .

8

Definici6n 1 .4

Sea (X,r ) un espacio topologico y /3 una familia de elementos de L . Una familia

3 de subconjuntos abiertos de X es Ilamada una base para X si cada conjunto abiert o

es union de elementos de /3 .

Ejemplo 1 .6 :

El conjunto de todos los intervalos abiertos con extremos racionales es una bas e

contable de lr :, y cuando se intersecta con i forma una base contable para T.

Teorema 1. 1

Un conjunto D cXes Ilamado denso si cada conjunto abierto no vacio contiene u n

miembro de D . Un espacio metrico X es Ilamado separable si X tiene un conjunto

denso. Es bien conocido que un espacio metrico es separable si y solo si tiene un a

base contable .

Demostracion :

Sea S cX, S contable y

/3={N(x,r)/ x eSyr e

es facil comprobar que ,Ses contable yes una base de Xcomo espacio metrico .

Por otro !ado si /3 = { A ;}, c1 es una base pars X, entonces, para cada i El,

tomamos x, e A; y definimos S = { x,/ Eel} y resulta que S es denso y contable

Hablamos de un espacio metrico separable siempre y cuando tengamos una bas e

contable en mente .

9

1 .3 HOMEOMORFISMOS.

El estudio de los numeros irracionales tiene en consideration espacios los cuale s

son "identicos en el sentido de la topologia" al espacio de los numeros irracionale s

Definition 1 .5

Sean (X, d) y ( Y, p) espacios topologicos, y f X —p Y una funcion. Decimo s

que fes continua definida comof- (V) = { x e X: f(x) e V } es abierto en X para

cada conjunto abierto V c Y( la continuidad puede ser definida, por supuesto, e n

terminos de dos metricas d y p ) .

Una funcion que es ambas inyectiva y sobre es Ilamada una biyeccion . Una

biyeccion fes tal que f y f -' son continual y Ilamadas bicontinuas .

Definition 1 .6

Una funcion h: X —) Yes Ilamada un homeomorfismo ( entre los dos espacios

metricos (X, d) y ( Y, p) si :

i) h es una biyeccio n

ii) h es continua

iii) W I es continua ( por lo tanto, h es bicontinua)

Decimos tambien que Xy Yson homeomorficos, o Xes homeomorfico a Y.

Usaremos en diversas ocasiones el hecho obvio de que la composition de do s

homeomorfismos es un homeomorfismo.

1 0

Ejemplo 1 .7 :

Sea X = ( a,b) y Y = ( c,d) dos intervalos abiertos en con la metrica usual, entonce s

X y Y son homeomOrficos .

Prueba :

Sea h una funci6n lineal cuyo grafica es una linea recta en el piano (a,d) y (b,c )

entonces h es una biyecci6n, y es continua (aim diferenciable) y /1~ es continua dond e

su grafica es tambien una linea recta en el piano .

Ejemplo 1 .8 :

La recta real es homeom6rfica a el intervalo (-1, 1) (y por lo Canto 51 es

homeom6rfica a cada intervalo abierto definido en el ejemplo 1 .6)

Prueba :

Definamos h : -*( -1,1) por h(x) = x l (1 + ~ x ) . Para ver que ii es continua

notemos que h -I ( -1, 1 ) -* 51 ester definida por h-1 (x) = x / ( 1 - x i ) .

Para una prueba alterna de que 1Rt es homeom6rfica pars cada intervalo abierto, us e

la funci6n arc tan(x) la cual proyecta a 2 sobre (- )T/2, 42 ) .

Una propiedad es llamada invariante bajo homeomorfismo si para cualesquiera do s

espacios homeom6rficos, uno tiene la propiedad si y solo si el otro tambien la tiene .

Una propiedad la cual es invariante bajo homeomorfismo es llamada una

propiedad topolOgica. Cualquier propiedad la cual es preservada por continuidad, es

1 1

una propiedad topologica. Un ejemplo de una propiedad la cual no es una propiedad

topologica es la de ser acotado . Por ejemplo (-I, I ) y 1k son homeomOrficos, pero

(-1, 1 ) es acotado y 7. notoes .

Definicion 1 .7

Si X es un conjunto y d, ,o son dos metricas sobre X, decimos que d y p son

topologicamente equivalentes si se da la condition que la topologia sobre X inducid a

por la metrica des igual a la topologia sobre X inducida por la metrica p, en otras

palabras, si damos la funcion identidad sobre X, id: (X, d) —~ (X,p) es un

homeomorfismo.

1 .4 DOS NOCIONES DE DIMENSION CERO

Concluimos esta section con una breve discusion de dos nociones de dimensio n

cero en espacios metricos . Primero recordaremos alguna terminologia.

.Definicion 1 .8

Sea (X,d) un espacio metrico y 24 9/ dos familias de subconjuntos de X.

Decimos que 9/es un refinamiento de 9G si para cada V e 9/existe U e 9/ tal que

V c U Una familia Wes Ilamada disjunta dos a dos si para cada U, U'e 9G, s i

U # U ; entonces U /7 U'= 0. Decimos que 9/es refinamiento abierto de 9G si 9/

es una familia de conjuntos abiertos que refina a 94 y cubre el mismo conjunto qu e

cubre 9/ (u `V = u 2G)

1 2

Ejemplo 1 .8 :

La familia `11= {( n, n+l) /7 n es un entero}, es un ejemplo de un clopen disjunto

dos a dos cubrimiento de Ios numeros irracionales, y

= { ( n/2, (n +1)/2 ) /7 ii: n es un entero} es un clopen disjunto dos a do s

cubrimiento def tal que vrefina 2G.

Definicion 1 .9

Un espacio metrico (X, d) es Ilamado cero-dimensional si para cada x eX y

cads r > 0 existe un conjunto Uel cual es clopen y x E U c N(x, r) .

Un espacio metrico (X d) se dice que tiene dimension de cubrimiento cero si para

cada cubrimiento abierto 'U de X, existe un cubrimiento abierto disjunto dos a do s

`U de X de forma que `V refina 21,.

Teorema 1.2

Todo espacio con dimension de cubrimiento cero, es 0- dimensional .

Demostracion :

Sea x X y r > 0. Consideremo s

`LG={N(y, r ) :yEX}.

Es claro que 2G es un cubrimiento abierto de X, por lo tanto, existe un refinamient o

abierto disjunto `V de clique cubre a X. Resulta entonces que cada miembro de V es

clopen . Tomemos v e `Vtal que x c V, como `Yrefina a '24 existey e X con

xeVcB(y, r )2

1 3

Tenemos que x e V c B(x, r), con V clopen y esto prueba que X tiene dimensio n

cero. El reciproco no es cierto, para existen ejemplos, uno de ellos es el de un espaci o

metrico el cual es cero-dimensional, pero no tiene un cubrimiento de dimension cero ,

dado en 1962 por Prabir Roy . Otros ejemplos semejantes son ahora conocidos . Do s

ejemplos faciles fueron dados en 1990 por John Kulesza y Adam Ostaszewski .

Es a menudo, mas sencillo ver si un espacio es cero-dimensional, que si este tiene

una dimension de cubrimiento cero . Por ejemplo los numeros racionales e

irracionales, con su metrica usual, son obviamente cero-dimensional . Ahora damos un

resultado que implica que

tienen dimension de cubrimiento cero .

Lema 1 . 1

Cada espacio metrico X separable cero-dimensional tiene una base contabl e

constituida por conjuntos clopen . En particular, f tiene una tal base .

Prueba :

Para cada x EX, y cada e > 0, existe un conjunto abierto B(x, a) tal que

xEB(x, e) cN(x,$) . Claramente, {B(x, a): x EX, e > 0} es una base para X

formada por conjuntos clopen . Como X tiene una base contable, sabemos que cada

base contiene un subconjunto el cual es tambien una base .

Asi existe una base contable que consta de subconjuntos de esos abiertos B( x, e) y

que completa la prueba .

1 4

Teorema 1.3

Sea (X d) un espacio metrico separable, entonces (X d) es 0-dimensional si y

solo si (X, d) tiene dimension de cubrimiento cero . En particular, if tiene dimension

de cubrimiento cero .

Prueba:

Dado que cada espacio con dimension de cubrimiento cero es 0-dimensional, sol o

necesitamos probar que, si X es 0-dimensional y separable, entonces X tiene

dimension de cubrimiento cero . Por el lema 1 .1, X tiene una base contable B

compuesta de conjuntos clopen . Sea 'It un cubrimiento abierto de X, y sea

W={BcB:BcUpara algun(JcW} .

Como `W es contable, pero `W = { B,, : n c w } . Ahora `W es un refinamiento abierto

de 2h pero no necesariamente disjunto dos a dos . Definiremos una sucesion de

conjuntos abiertos por inducciOn.

Consideremos V0 = Bo, y pars cada n 1 definimos V„ = Bo \ U { B; : i < n 1 .

Claramente `V= { V,, : n c } es una familia de conjuntos abiertos disjuntos dos a

dos

(y cerrados), cada uno de los cuales esta contenido es algun miembro de 21 . Para

completar la prueba necesitamos solo probar que `V cubre a X, y esto es claro ya que

para cada x cX existe un primer n tal que x c B,, ; ast x c V,, . Asi 21tiene refinamient o

abierto disjunto dos a dos .

Si 2U es una familia no vacia de subconjuntos de un espacio metrico X, recordemo s

que el diametro de un conjunto Uesta definido por

diam( U) = sup [ d(x, y : x, y c U ), y la longitud de una familia de conjuntos 2G

esta definida por long (2G) = sup ( diam( U): U E 2G } .

1 5

Definicion 1 .1 0

Dos espacios metricos (X, d) y ( Y, ,o) se dice que son isometricos si existe una

biyeccien h : X —> Y tal que pars todo a, b e Xtenemos que d(a, b) = c( h(a), h(b) ) .

Asi una funcion h es Ilamada una isometria . Claramente cada isometria es u n

homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es una isometria .

CAPITULO I I

ESPACIO DE BAIRE Y ESPACIOS ULTRAMETRICOS

1 6

En este capitulo introducimos la clase de espacios topologicos Ilamados Io s

espacios de Baire, que denotaremos por E1, y Ios espacios ultrametricos ; ademds

presentamos algunas aplicaciones y propiedades de estos dos espacios .

Como la metrica natural sobre L, es una ultrametrica, estos espacios tienen

propiedades metricas las cuales son muy diferentes de las propiedades de la

metrica usual sobre espacios euclideanos, por lo tanto, estudiaremos estos

espacios y haremos una caracterizacion topologica de Ios espacios ultrametricos .

2.1 EL ESPACIO DE BAIRE .

En lo sucesivo denotaremos por w a el primer ordinal infinit o

( conjunto de enteros no negativos), y por "w a el conjunto de todas las funciones

f: w

w .

Podemos pensar que un punto f en TI es una succesion de enteros no negativo s

,/

fo,JL . . . ,fn . . .) •

Definicion 2 . 1

Para dos funciones distintasf g e 'w, sea k(fg) denota el primer n e w tal que

f(n) # g(n) . Definimos una metrica d sobre w por

11/(k(f,g)+1 si f x gd(fg)

0

si f =g

1 7

Lema 2 . 1

La funcion des una metrica sobre "r)

Prueba :

Solo necesitamos probar la desigualdad triangular ya que es obvio que d cumpl e

las propiedades ((1) y (2) en la definicion (1 .2)

Seaf, h, g e "a demostraremos

d(f,h) max {d(f,g), d(g,h)} (* )

y de aqui se deduce que

d(f, h) s d(f, g) + d(g,h)

Si f = h, f = go g = h entonces (*) se cumple ; asi que asumiremos la otra

condicion, sea n = k(fh), m= k(fg) y q= k(g,h) .

Basta mostrar que

1/(n+1)s 1/(m+1), o

1/(n + 1) I /(q + 1) ; o equivalentemente, mostrar que

msnogsn .

Supongamos que m > n entoncesf(n) = g(n) y asi g(n)=f(n) # h(n), pero esto

significa que q n .

1 8

Definition 2.2

El espacio mt trico l = (w, d), donde d esta definido en 2 .1 es Ilamado el

espacio de Baire.

La vecindad basica N( f, c) en el espacio de Baire puede ser descrita en otr a

forma. Para cada n e w, sea "w denota el conjunto de todas las funciones d e

{1,2, . . .n} en w , y sea "w= U( " w :new} .

Para cada a e "w, definimos

[a]={fE''w:ccf} .

Lema 2 .2

Para cada n sea f c °' v, y r > O. Si r > 1, entonces en 3, N(rf)= °'rv.

Si r < 1, entonces N(f, r) = [f/ m ], donde m 2 es el primer numero natural ta l

que

1/m<rs 1/(m-1).

Prueba :

La primera conclusion, se deduce del hecho de que

d(f,g)<1,porlotantof,g e

y la segunda conclusion, se tiene directamente de la definition de d.

Se sigue del lema 2 .2 que las vecindades basicas en lE son los mismos conjunto s

de la forma [ a] para a e " w. Esos conjuntos [a], por supuesto, forman la base

natural para la topologia producto sobre ,2R . Paraf e'm y m c m, usamos la

notation f/ m = {(if) cf i < m} ; asif/ m e m u).

Queremos considerar una representation diferente del espacio de Baire .

1 9

Sea '11T el conjunto de todas las funciones f: IT --

Definamos :

1 2 (x)={(z,h) :ze ,yhe "t7 )

Un punto p e 2 puede ser considerado una sucesiOn (po, ph . . .p,,, . . .) donde

po e y p„ a 1? para n >_1 . Sip # q en lb2 sea k2 ( p,q ) denota el primer enter o

nOtalquep„#tin .

Definition 2 .3

Para p, q e 1t12 definimos

(I/k2(p,q)+1 si ps q

0 si p=q

Lema 2 .3

La funcien d2 es una metrica sobre lb,

La prueba de este lema es similar a la prueba dada en el lema 2 .2

Teorema 2. 1

(i3 ; d) y (11, d2) son homeomerfico s

Prueba:

Sea 0: &

y U: w — t<T una biyecciOn . Usando la notaciOn

f= . . . ,(Aft

. . .) para un punto en Ti', definimos una funcibn

—* 1E- 2

por cW = (0fo), Afi), . . ., 4,J, . . . ) .

Como 0 y zV son biyectivas entonces es biyectiva .

Ademas, podemos garantizar que es bicontinua a partir de la siguiente

d2 (p,q) _

observation :

20

Sif, g e y p = O), q = (g), entonces el primer lugar donde f y g difieren es e l

mismo punto dondep y q difieren . Asi pars f, g distintos,

d2(p,q)=d2((f),Ag))=

1

1

k(f,g) + 1

=d(fg)

En la siguiente seccion mostraremos que 2 por to tanto r>>') es homeomOrfico a

los numeros irracionales .

2.2 ESPACIOS ULTRAMETRICOS .

Definicion 2 .4

Una metrica d sobre un conjunto X es Ilamado una ultrametrica ( o una metrica no

arquimediana) sobre X y (X d) es Ilamada un espacio ultrametrico ( o no

arquimediano) si d satisface la siguiente forma fuerte de la desigualdad triangular .

Para todo x,y z e X,

d(x,z) <max (d(x,y), d(y,z) } (desigualdad triangular fuerte )

La desigualdad triangular fuerte puede ser Ilamada Ia "Desigualdad del triangul o

isosceles", porque el la implica que si x,y,z EX por lo menos dos los numeros d(x,y) ,

d(y,z) y d(z,x) son iguales .

La prueba de 1 .3 muestra que la metrica d definida sobre wa es una ultrametrica.

Asi

d) es un espacio ultrametrico, e igual es el caso de (1b 2 , d2 ) .

Note que la metrica usual sobre (el subespacio de irracionales) no es una

ultrametrica .

k2(T(.f),`P(g)) + 1

2 1

Ejemplo 2 .1 :

Seax= ,2,y= 1 + 2 yz=2+ .~ 2

2 5 max{1,1}= 1

d(x,z) = 2 > max (d(x,y), d(y,z)} = 1

El siguiente resultado muestra que tan diferente es una ultrametrica del espacio usua l

euclideano .

Teorema 2.2

Sea (X,d) un espacio ultrametrico entonces se tiene lo siguiente :

a) Para cadax EX y cada r > 0, N(x,r) es un conjunto abierto y cerrado .

Prueba:

Para N(x,r) es abierto por la definicion de la topologia metrica . Para ver que N(x,r)

es cerrado mostraremos que X IN(x, r) es abierto . Sea y EX IN(x, r); entonces

d(x,y) _ r. Afirmamos que N(y, r) nN(x, r) = 0 . Si esto no these cierto, entonce s

existe un punto z EN(y,r) 1IN(x,r) ; asi d(z,y) < r y d(z,x) < r .

Por la desigualdad fuerte del triangulo, tenemos que

r s d(x,y) 5 max {d(x,z), d(z,y) } < r,

pero esto es claramente una contradiccion .

Asi N(y,r) AN(x,r) = 0, y por lo tanto se tiene que N(x,r) es cerrado .

b) Si dos vecindades basicas tiene un punto en comun, entonces uno esta contenido e n

el otro, es decir, si N(x,r) 1 N(y,$) 0 y r s s, entonces

N(x,r) c N(y,$)

22

Prueba :

Seaz cN(x,r) y w eN(x,r) l7N(y,r)

d( z,y) s max (d(z,w), d(w,y) )

mar ( mac (d(z,x), d(x,w)), d(w,y)}

s s

c) Si N(x, r) /7N(y, r) # 0 entonces N(x, r) = N(y,r )

Prueba:

Se deduce inmediatamente de (b )

d) Cada punto en una vecindad basica limita a su centro . Es decir, si y e N(x, r )

entonces N( x, r) = N( y, r )

Prueba:

Si y cN(x,r) y EN(x,r) /7N(y,r)

N(x,r) I7N(y,r) # 0

N(x, r) = N(y, r) (por c)

e) Sea S(y,r) = {x EX. d(x,y) <r} . Six cS(y, r) entonces N(x, r) cS(y, r) .

Prueba :

Sea z E N(x, r) y supongamos que x cS(y, r)

d(z, y) s max (d(z,x), d(x,y) } s r

z e S(y, r). Asi N(x, r) cS(y, r )

f) Toda intersection no vacia, finita, de vecindades basicas es una vecindad basica .

Prueba :

Sea x i ,x2 , . . .,x,eX,yr 1 ,r 2 rn e

tales que

23

n

nN(xi ,ri ) � 0i=1

sea rj = min (r; / 1 s i s n}, aplicando (b)

se prueba que

n

n N(r,) = N( r.)i= 1

g) Todo conjunto abierto es una union de familias de vecindades basicas disjuntos

dos a dos

Prueba :

Sea A abierto, A es union de vecindades basicas, pero por (c), dos de tales bolas so n

iguales o son disjuntas, entonces se obtiene la afirmacibn .

h) Toda union de vecindades del mismo radio es clopen .

Prueba :

Sear>O,AcX y

B= U N(x,r)c XxE A

Seayecl(B)=N(y,r)f1B# 0

Size N(y,r)f1BxeAtalquezEN(y,r)

~N(y,r)fN(x,r)1 0

N(y, r) = N(x, r)

yeN(x,r)c B=yeB.

Asi B es cerrado

24

Teorema 2.3

Los espacios ultrametricos son 0-dimensionales .

La prueba de este teorema se obtiene directamente de (a) en el teorema 2 .2

2 .3 UNA CARACTERIZACION DE ESPACIOS ULTRAMETRIZABLES .

Daremos ahora el resultado principal de esta seccion .

Teorema 2.4

Sea (X, d) un espacio metrico . Las siguientes tres condiciones son equivalentes .

1. Existe una ultrametrica p sobre X la cual es topol6gicamente equivalente a d.

2. (X d) tiene un cubrimiento de dimension cero .

3. Existe un sucesion (94 : t e w ) de cubrimientos abiertos disjunto dos a dos de

X tal que:

(i) si U e 24„ entonces diam(U) 2 -0"1) , y

(ii) 24+1 refina a 24, para todo i e w .

Prueba de 1

2 .

Sea p una ultrametrica sobre X tal que p y d son topologicamente equivalentes .

Sea 2G un cubrimiento abierto de X ( como p y d son topol6gicamente equivalentes e l

termino abierto no es ambiguo) . Necesitamos encontrar un cubrimiento `/de

conjuntos abiertos disjuntos tal que 9/ refina a 2G Para cada x en X, se a

i(x)=min(i :3Ue2GtalqueN„(x,1/i)cU} .

Sea 91= (N,(x, 1/i) : x e X } . Claramente `V es un cubrimiento abierto de X e l

cual refina a 21; asi solo necesitamos mostrar que `V es disjunto dos a dos .

Sean Nix, 1/i(x)) y N„(y, 1/i(y)) elementos distintos de 9/ y

25

supongamos que ellos no son disjuntos, supongamos qu e

z

1/i(x)) nNiy, 1/i(y) )

De 1 .7(b), una de estas vecindades basicas esta contenida en la otra .

Digamos que

1/i(x)) c Niy, 1/i(y)) . Por definiciOn de i(y) existe U e 26tal que

Niy, 1/i(y)) c U. Como x esta en Niy, 1/1(y)), se tiene que

Niy, 1/i(y)) =

1/i(y), y por lo tanto

Nix, 1/i(y)) = Niy, 1/i(y)) c U.

Por la definici6n de 1(x), tenemos 1(x) s 1(y); asi

Nix, 1/i(x)) 3 Nix, 1/i(y)) = Niy, 1/i(y))

De aqua Nix, 1/i(x)) = Niy, 1/i(y)) to cual contradice nuestra suposicion de que

esos dos elementos de V son distintos .

Prueba de 2

3 .

Por hipotesis, Xtiene un cubrimiento de dimension cero . Sea 2G, un refinamient o

abierto disjunto dos a dos de (N(x,l) : x eX } .

Asumimos que se tiene definido un cubrimiento abierto disjunto dos a dos 2 1,

para i s n tal que la propiedad (1) y (ii) en (3) se mantienen para todo i s n .

Construiremos 2G„ como sigue . Sea

9={N(x,2-("*3)) :xEX1,y`W={NnU:NE91yUe2G„} .

Entonces `Wes un cubrimiento abierto de X ; asi por hipotesis, existe un refinamient o

abierto disjunto dos a dos de W, at que Ilamamos 21,, . 1 .

Es facil ver que una sucesion { 2L{ : i e to } satisface las condiciones dadas en (3) .

26

Prueba de 3 = 1

Sea { 21, : i e m } una sucesien de cubrimientos abiertos que satisfacen las propiedade s

en (3). Definiremos una ultrametrica p sobre Xcomo sigue :

Para cualquiera dos puntos distintos x, y e X definimos

k(x,y) = mini i e w : x y y estan en miembros diferentes de 24 }

La propiedad (i) implica que k(x,y) esta bien definida . Para cualquier x,y e X

definimos

- 1/(k(x, y)+1)

si x~ y

0

six= y

Tenemos que verificar primero que p es una ultrametrica, y la unica parte de l a

definicien que no es obvia, es la forma fuerte de la desigualdad triangular .

Sean x, y, z e X. Debemos mostrar que :

p(x , y) s max { p( x, z ), p(z , y) 1

Six = y trivial . Asumamos que x # y . Por (i) existe un primer n ? 0 tal que x y y estan

en diferentes miembros de 214 ; asi k( xy) = n.

Sean U, W e 24, tal que x e U, ye U . Si z no esta en U, entonces z y x estan e n

diferentes miembros de 24 ; lo cual implica que k(z, x) n ; asi

p(z, x) ? 1/ (n + 1) = p (x, y), y la desigualdad se mantiene .

Si z no esta en U', entonces z y y estan en diferentes miembros de 2 14 por to tanto la

desigualdad se mantiene .

La posibilidad que queda es que z e U fl U' pero esto es imposible porque '14 es un a

familia de disjuntos dos a dos .

p(x,y) _

27

Para finalizar la prueba debemos mostrar que p es topologicamente equivalente a l a

metrica original d sobre X. Es claro que cualquier sucesion de familias de conjuntos

abiertos en (X, d) satisfaciendo (i) es una base para (X, d) . Por definicion de l a

topologia metrica {NP(x, r) : x EX y r >0) es una base para (X p); asi pars ver que

topologia (X d) es igual a la topologia (X p) es suficiente mostrar qu e

(1)

{Np(x,r) :xEXy r>0)=U{94 :new)EU(X).

Para finalizar, sea N= N~ (x, r) . Si r> I, entonces N = X. Si r 1 ; existe n? l ta l

que1/(n+l)<r<1/n . Como ` Ifnicubre aX,existe Ue

talquexEU.

Afirmamos que U = N. Si y E U, entonces x y y estan en el mismo elemento de `14 . 1

asi por (ii) , k(x,y) > n.

De aqui p(x,y) < 1/(n+1) < r ; asi y E N.

Reciprocamente, si y EN, y y Ix, entonces sea m e w tal que k(x, y) = m .

Como y E N, tenemos que

p(x,y)=1/(m+1)<r<1/n; asin<m+ 1

de aqui

n—1 < k(x,y) •

Luego x yy estan en el mismo miembro de `14,_ 1 ; asi y e U

Para completar la prueba de la igualdad dada en (1), sea n e w y U e 21,, .

Afirmamos que U = Np(x, 1/(n+ 1)) para cualquier x en U.

Si y e U, entonces x yy estan en el mismo elemento de U,, ; asi

k(x,y) > n+l

2 8

luego

p( x, y) <_ 1/(n+2) < 1/(n+l ), y asiy ENp(x, 1/(n+l) )

Si y ENp (x, 1/(n+1 )) entonces p (x,y) 1/(n+2) luego

k(x,y)?n+ 1

De aqui x y y estan en el mismo miembro de ` 4, y asi y E U. Esto completa la prueba

del teorema 2.1 0

Observacion 2 .1 : Algunas partes del teorema 2.9 fueron conocidas primero para e l

caso de Espacio de Baire en Feller, W ., y Tomier, E (1930) . Mas-und lnhaltstheorie

des Baireschen

CAPITULO III

UN HOMEOMORFISMO VIA FRACCIONES CONTINUADAS

29

En esta capitulo damos la definicion de fracciones continuadas, discutimos algunas

propiedades y hacemos algunas observaciones importantes, por ejemplo, hacemos l a

expansion en fracciones continuadas de un numero racional y definimos una sucesion

de familias de intervalos abiertos para construir un homeomorfismo entre el espaci o

de Baire E y el conjunto de los numeros irracionales ? dotado de la metrica usual .

Este homeomorfismo del espacio de Baire y el conjunto de los numero s

irracionales es el resultado mas importante de este trabajo de tesis .

3 .1 FRACCIONES CONTINUADAS

Una expaesion de la siguiente forma es llamada una fraccion continuad a

ao +

_ [ao, al, . . . , x]

a,+- -a, +

a 3 + . . .

1

x

Solo consideramos el caso especial cuando ao e a ; e I I pars tod o

1 i < n, y x es cualquier entero positivo x # I (si x = 1, escribimos

[ ao, a,, . . ., an ., + l] en lugar de [ ao, a,, . . ., an_, , 1]) . La notaciOn [ ao, a,, . . ., x ] es

comunmente usada pars denotar la fraccion continuada dada arriba, donde [ ao] = ao .

Notemos las siguientes tres propiedades obvias :

(1) Si el ultimo termino x en [ ao, . . ., x ] es un entero positivo x = an, entonces e l

numero [ ao, . . ., an] es un numero racional .

(2) [ a0, . . ., a, ] = ao+ 1/ [ a,, . . ., an]

(3) Para cualquier numero x # 0, [ ao, . . ., an_,, x ] = [ ao„ . . ., an_2 , an , + — ] .x

30

La expansion en fracciones continuadas de un numero racional puede ser

encontrada usando el algoritmo euclideano y es unica, en efecto

Teorema 3 . 1

Si a, b son dos numeros enteros, b>O, por el algoritmo de Euclides existen q y r

tales que

a=bq+r donde 0r<b.

Aplicamos el algoritmo de Euclides repetidamente y construimos la sucesion d e

igualdades

a= rogo +r, donde 0<r,<ro

ro = rl q, + rz donde 0 < rz < r,

r„-z = rn., q„-, + r„ donde 0 _< r„ <

Como r, forman una sucesiOn decreciente de enteros positivos, este proceso

terminara en un numero finito de pasos. Es decir, existe algun entero n tal que r„ = 0 .

A partir de Ias igualdades anteriores, podemos escribi r

ab =q o + —

1q , +

1

q 2 +

Con la notacion anteriorab = [ go,, qn]

3 1

Para ver esto, reescribimos la familia de igualdades de arriba, como siguea a r,

= 90 +--b ro ro

ro r2 r,

l

r, r, ro

r2

r,

r„-I

n-2

4n- ,

Teorema 3 .2

Todo numero racional puede ser representado como fracciones continuadas y

reciprocamente, toda fraccion continuada finita es un numero racional .

A continuacion enunciamos algunos resultados concemientes a Ias fracciones

continuadas.

Lema 3 . 1

Sean x, y numeros reales con x< y y n un entero mayor o igual que cero, entonce s

(i) Sines par entonces [ ao, a,, . . ., an, x ] > [ ao, a,, . . ., an, y ] .

(ii) Sines impar [ ao,

. . ., an, x ] < [ ao,

. . ., an, y ] .

Prueba :

Procederemos por induccion

Para el caso n = 0 tenemos [ an, x ] = an + > ao + 1 = [ ao, y ] .x

y

32

Para n = 1, tenemos a, + 1 > a, + ; asi pars el caso n = 0 tenemo sx

y

[ an,

x]=[an,a1+ 1]<[an,a]+ 1 ] = [ an, a6Y ]x

y

Prueba de (i) . Asumamos que el resultado se mantiene para 2n y 2n + 1.

Sean x'=a2n+2+1

y

y'=a2n+2+ ; asiy'<x' .

x

y

Ahora tenemos por (ii )

[a A

a

[an, air .> a2,,, I , y' ] < [a0, a 1 a2,,+1, x' ] = [an, a1. . . .> a2n+2, x ] •

Prueba de (ii) .

1Sea x = am, 3 + - y y = a2n+ 3 + _

x

y

luego y' < x' . Por (i) se tiene qu e

[a0, al, . . ., a2n+3, x] = [an, a 1 . . . .> a2n+2, x'] < [a0, a 1 a2n, 2, y ' ] = [an, a1, . . ., am, 3, Y I .

Corolario 3 . 1

Para cualquier k e

(i) Sines par, [ . . . ,an,

an, k ] > [ an, al, • ., an, k+l ] ,

(ii) Sines impar,

[a n , . . . , an, k ] < [ an, a l , . . ., an, k+1] .

De este corolario vemos que la sucesion {[ an, a l, . . ., an, k] : k e F? } es monotona

( decreciente pars n par, y creciente para n impar ) .

Lo siguiente que verificaremos es que esta sucesiOn converge a [ an, a l , . . . , an ] .

33

Lema 3 .2

La sucesion {[ ao, a,, . ., a,,, k] : k e AY } converge a [ at) , al , . . . , an ] .

Prueba :

Claramente

[ao, k] = an + k

an = [an] ,

Y

[ao,al,k]=ao+1/[al,k]—.ao+l/a, ( por el caso n = 0) .

El resultado ahora se sigue por induccion de la igualdad

[ao,- .,an,k]=as+1/[al,• .,an,k].

Ahora definimos una sucesiOn { `Ll, : i < w } de familias de intervalos abiertos con

extremos racionales. Trabajando por induccion, los intervalos abiertos con eso s

extremos son reunidos en forma de una sucesion de cubrimientos abierto s

{ 21, : i e w } de los irracionales. Usaremos entonces esos cubrimientos abiertos para

definir el homeomorfismo .

Desde un punto de vista esos cubrimientos abiertos son moderadamente faciles de

visualizar. Cada 2G consiste de muchos intervalos contables disjuntos dos a dos co n

extremos racionales .

Para construir 2G ., de 21,, tomamos cada intervalo I = (a,b) 24 ; y los intervalo s

contables I (j e w) en la siguiente forma :

Construiremos una sucesion de numeros racionales (pn ) que comienza con uno de

los extremos (po = b cuando i es par ; po = a cuando i es impar ) y converge

monotonamente a el otro extremo . Los numeros racionales consecutivos en est a

sucesion son usados como extremos de intervalos en 94 + (nosotros definimos l a

sucesion (pn ) usando fractions continuadas) .

34

Sea

94 ={(ao,ao+1 ) :aoe-/},y921={([ao,k+l], [ao,k]) :aoe ,k_1} .

Supongamos que 12n+ i , y que cada intervalo en `112 ,, + , es de la forma

[ ao, al . . ., an, k+l], [ ao,a, , •, a2n, k] •

Para cada (ao, a,, . . .,a2n , l ) definamos 9Gzn,2((ao,ar, -• •, a2n+l)) pars ser el siguiente

conjunto de intervalos contables :

( [ao, a1 aln+h k], [ao, al, . . ., a2n+1, k+l ] ) : ao e 11 , a; e 1T(i < 2n+1), k a 11 .

Por el corolario (3 .1) { [ao> a h. ,azn h k] : k I }es una sucesien creciente con los

elementos minimos [ao, a 1, • • , a2n+ 1, 1] = [ao, a l, • • , a2n+ 1 + 1] ,

Y por el Tema (3.2) converge a [ao, al, . . . , abet I] .

Asi cada intervalo en 9G1n+2((ao,a1, • • •, a2n+ 1)) es un subconjunto del intervalo

I = ( [ ao, a l , . . . a2,,I 1 +1], [ ao, al, • • , a2n+ I ]) e C2 2n+ 1

Como cada miembro de esta sucesion creciente, excepto el minimo, es un numero

estrictamente entre los extremos de I, la clausura de cada intervalo e n

94n+2(( ao, at, . . ., a2n+I )) esta contenido en I, excepto el intervalo que tiene a

[ ao, al, . . . , a2n .~ 7 + 1 ] como un extremo .

Definamosq

q22n+2 = U { 9-62n+2(( ao,a1. - ., aln f ,) : ao E 2, a, ell( i 5 2n+1) }

Analogamente, definimos 212 „+ 3 ( ao, al, • •, a2n+2 ) pars cada (ao ,a1, . . ., a2n+2 ), y

definamos 94,3 como la union sobre todas esas familias contables de intervalos .

Como la sucesibn { [ ao, a1, . . .,azn+z, k ] : k a 1 }es decreciente y converge a

[ ao,a 1 , . . ., a2n+ 2 ] vemos que cada intervalo en 9(2n+3( ao ah • • •,azn+z) es un

subconjunto del intervalo

I ' – ( [ ao, ah . . . .azn+2 ], [ ao, a1, . . .,a2n+2 + 1]) e 12n+2

35

Ws aim, como cada termino de esta sucesion decreciente es un elemento del intervalo

abierto I', excepto el maxim), cada intervalo en 2GZn+3( a o,a , . . .,a2n+2) tiene esta

clausura de un subconjunto de 1' tambien, excepto para ese Unico intervalo el cua l

tiene a [ ao,ai, . . .,azn+ 2 + 1 ] como un extremo .

En general, como ningUn punto extremo de un intervalo en el cubrimiento 211+2 e s

usado como un extremo pars algun intervalo en 211 , tenemos que todo intervalo e n

211 + 2 tiene este subconjunto clausura de algun intervalo en 2(1 .

Queremos mostrar que el limn,m(medida 21n) = 0 . Primero damos un estimado de

la distancia entre dos fracciones continuas. Este estimado puede ser mejorado, pero es

adecuado a nuestros propositos .

Lema 3.3

Seal<x<yy n_ 1 ,

i)sines par, [ao,al, . . .,an,x]–[ao,al,•••,a,,,y]<Y_ xxy+ n

ii)sinesimpar,[ao,a, an,y]—[an,a, an,xi <y x

Prueba :

Pam n = 0, n < I verificaremos que

[ao,x]–[ao,id= y–x •xy

y damos el paso inductivo .

Asumamos que el resultado es valido pars 2n y 2n+1 . Para (i), hagamo s

X = [ an, al, • • , a2n+2, x] y Y [ao, ah . . . ,a2n+21, y sea x' = a2n+2 + 1_ yx

TT?' .T.P .: : :`I' .D DE PANAMA

. 1TEOA

xy + n

36

y' = a2„+2 +

(asi y' < x' ) . Por (ii) y el hecho que 1 a2n+ 1, x, y tenemos queY

X-Y=[ao,,a2n,2,x]-[ao,a1. . . ,a2n+2,Y ]

= [ ao, av . , a2,,+1, z ] - [ao, av • • , a2,,+1, y' ]

x'—y '

x'y'+2n+ 1

(am+1 + I ) — (amn+1 + )x

y

(am+1 + ) (a2 „ +1 + I ) + 2n + Iy

x

y— x

xyaz„+, + azi+1 (x+y)+(2n+1)xy

y— x

xy+2n+ 2

La prueba de (ii) es similar.

Corolario 3.2 .

Para n_ 1, la medida (211 ,) <

Prueba :

La medida de 214 es obviamente 1, y la medida de 9,6 es facil ver que es V2 .

Sea 1 un intervalo arbitrario en 21„ ( n >_ 2 ), n par, decimos que

I = ([ao, a 1 , . . ., an, k+l ] , [ ao, a1, . . .,an, k] )

asi, la longitud de I es

L = [ao, a1, . . .,am k] - [ao, ay . . .,aro k+l ]

Por el lema 3 .3 obtenemos

1

n+1

37

L< (k+0—k

1

k(k+l)+n 1+ n

El caso par n impar es similar.

Observacion 3 . 1

(1) Cada 2li es una familia de intervalos abiertos con extremos racionales, y

cubre a %.

(2) Los intervalos en `LG son disjuntos dos a dos ,

(3) '14 refina a 2h, lo que significa que cada intervalo en `14,1 es u n

subconjunto de ( necesariamente unico) intervalos en '14 .

(4) U„ refina `1h, lo que significa que la clausura de cada intervalo en I4- 2 es

un subconjunto de algun intervalo en `24 .

(5) Para n > o, medida ( `24) < —

Corolario 3.3

Para cada numero irracional x, existe una sucesio n

{a1 :ie2J,aoe ,ya1 €IIparatodoiell }

tal que

1. ( caso par) x es el unico punto e n

fl{([ao,a1 . . . ,an],[ao,al, . . .,a,+I]) :nea),npar}, y

2. (caso impar), x es el unico punto e n

fl{([ao,al, . . ,an+1],[ao,al, . . ,a,]) :new,nimpar } .

1

i+1

3 8

Prueba :

Seax un numero irracional . Por la observation 3 .1(1), existe un intervalo Io e `1Lo

tal que x e lo. Por la construction, existe un entero ao tal que 4 = ( ao, ao + 1) .

Por induction, afirmamos que hemos construido ( pars i <_ n) intervalos I, e 2L, y

enteros positivos a; ( pan I i < n) tal que :

1. xeI, c

2. I,,=([ao,ai . . . ,a'],[ao,al, . . ,a,+1])para i par ,

e h=([ao,ar, . . ,a,+1],[ao,aj, . . ,a,])para iimpar .

Encontrar In t 1 es trivial, ya que existe exactamente un intervalo en 9,l„+ i el cua l

contiene a x. Mas min, I„ + c I,, ; asi si n es par, por la construccion,1n+, es un

intervalo definido a partir de la construction de una sucesion que comienza con e l

extremo izquierdo de In y converge al extremo derecho de In. Por to tanto, existe un

entero positivo k tal que

In+, = ([ ao, ai, . . . , an, k+ 1 ], [([ ao, aj . . . , an, k ])

Tomemos an , / = k. El caso que n es impar es similar.

Ya estamos preparados para construir un homeomorfismo 0 de 21 sobre

Trabajamos, sin embargo, con f12 el cual es homeomorfico a - por el teorema 2 . 1

Definition 3 . 1

0((0) es el iinico punto en

fl{([ao,at, . . .,an],[ao,al, . . .,an+I]) :npar} .

Obviamente, tenemos tambien A(a,)) es el unico punto e n

fl{([ao,aj, . . .,a,+ 1],[ao,a1 an ]) :nimpar } .

39

Debemos verificar que 0 esta bien definido. La interseccion que define 0 es no

vacia porque la interseccion de esos intervalos abiertos son iguales a l a

interseccion de su clausura por observacion 3 .1(4) ( y entonces la interseccion e s

no vacia pues ,: es localmente compacto) .

La interseccion es un conjunto unitario por la observacion 3 .1(5) . El unico

punto x en esta interseccion es irracional, porque cada numero racional tiene un a

expansion por fracciones continuadas y por lo tanto aparece como un extremo d e

un intervalo en algun `14• Asi por la observacion 3 .1(4), x no es tal extremo y por

consiguiente es irracional .

Teorema 3 .2

0 es un homeomorfismo de f 2 sobre .

Prueba :

es inyectiva

Sea (a) # (b,) y sea j el menor entero tal que tal que aj # bj.

Si j = 0 entonces ao # bo y los intervalos (ao, ao + 1 ), y ( bo, bo +1 ) son disjuntos ;

asi ~(( a,)) # 4(( b; )) •

En el casoj

/>//0

y par ( por to tantoj — 1 es impar) tenemos

W (( a, )) e ([ ao, ah . . . , a j, aj] , [ ao, a/, . . . , or), aj + I]) y

~ (( bi )) e ([ ao, al , . . . , aj-i, b; ], [ ao, al, . . . , 41, bj + 1]) .

Como aj #

los dos intervalos arriba son elementos distintos de l4 por to tant o

disjuntos. Se sigue que 0(( a; )) # 0 (( b ; )) . El caso paraj > 0 e impar es similar.

40

0 es suryectiv a

Esto se sigue inmediatamente del corolario 3 .3

des bicontinu a

Es suficiente mostrar que existe una base 93 para el espacio de Baire, y una bas e

2G para el conjunto de los irracionales tales que la funcion 0 envia cada B e 93 sobre

algun U e 2G, y cada U e "fiesta es la imagen de algun B e 93 . Como 93 tomamo s

la base usual para la topologia metrica sobre ' i 2 ,

N={N(x,1/n) :nelf) ,

y como lttomamos

2G=v{24 :i<a

la cual es claramente una base por la observacion 3 .1(1),(5) . Cuando usamos 9V e n

.;2, es de utilidad notar qu e

d2 ( x, y) < 1 si y solo si x, = y, pars i < n .n

Ahora, es suficiente mostrar que cada a e E 2 y

B = N(a, 1/n)={fe :f=a, para i<n}

tenemos que

(i) Para n par, AB) _ ([ ao, ai, . . . , an ],[ ao, ai , . . , a + 1 ]) .

(ii) pars n impar, Q(B) = ([ ao, a,, . . . , a,, + 1 ], [ ao, ai, • • , a„]) .

4 1

Prueba de (i)

Para n par, por la definition de 4 y la propiedad de los intervalos encajados, se

tiene que

Xe0(B) sii3beB,b,=a, (in) y 0(b)= x

sii x e fl([ ao, av • • , ad, [ ao, at, • • , a;- ,, a, + 1 ]) : i par s n}

sii x e ( [ ao, al ,

,an],[ao,a, . . . ,a-van+1}) .

La prueba de (ii) es similar.

Uno de los muchos rasgos Miles del espacio de Baire es que pars alguno s

propositos este puede ser usado en lugar del espacio de los irracionales . El siguiente

teorema ilustra esta situation. El teorema es un caso general y es el objetivo de este

trabajo .

Teorema 3.3

Cada espacio metrico separable, 0-dimensional es homeomorfico a algun

subconjunto de los numeros irracionales .

Prueba :

Sea X un espacio metrico separable, 0-dimensional . Es suficiente probar que X e s

homeomorfico a un subconjunto de E . Por el teorema 1 .3, podemos encontrar una

familia { `l4 : i ew }de cubrimientos clopen de Xsatisfaciendo las conditions en e l

teorema 2 .4 (3) .

Por separabilidad, cada `1G es a lo mks contable ; nombramos su cardinalidad po r

k; ; donde k, <_ w para todo i e w. Nombremos a Ios elementos de 2h como{ U; j < k; }

42

en una forma uno-uno. Para cada x e Xy cada i existe un unico U e c 14 tal que x e U,

de aqui una forma de escoger un unico entero fx (i) tal que x e U ,

Esto define una funcionfs donde

fx e ll k,= {fed :f(i)<k;para todoi<w} ,

Y

xefl{U, mo :iew }

Afirmamos que la funcion 0 : X -> lb definida por 0(x) = f, es un homeomorfismo

sobre la imagen de 0

0 es inyectiva : si x # y entonces existe i tal que x,y estan en distintos elementos de `Ili ;

asi AO) #ff( 0 ) .

4) es un homeomorfismo : primero note que para if e w, a(i j) = {f e lb : f(i) = j } ,

es un conjunto abierto en lb , y ma's aim, el conjunto de todos los a(i,j) para i,j e w es

una subbase en la topologia metrica sobre lb . Por lo tanto la famili a

{c(i,j) (14)(X) : i e w, j < k ; }

forma una subbase para 0 (X) ya que 0 (x) =j e n. k .

Ahora, es suficiente mostrar que cada conjunto en la base v { 24 : i < w l para X e s

proyectada por d sobre un conjunto de la subbase, y cada conjunto de la subbase es la

imagen de algun U e v{ 2G : i < w} . Por lo tanto es suficiente probar

0( U,J) = [( i,j)]n0(A) ]

para i < w, yj < k; . Esto sigue inmediatamente de la definicion .

43

CONCLUSIONE S

Al culminar este trabajo podemos concluir que :

Todo espacio con cubrimiento de dimension cero, es cero dimensional .

Todo espacio ultrametrico tiene dimension cero

Los conjuntos

e :Icon la metrica usual, tienen cubrimiento de dimension cero.

El conjunto de los numeros racionales puede ser representado como fraccione s

continuadas y toda fraccion continuada finita es un numero racional, el conjunto d e

los numeros irracionales i es homeomorfico a el espacio de Baire ] .

Cada espacio metrico separable, cero-dimensional es homeomorfico a algu n

subconjunto de los numeros irracionales .

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