UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

GUIA DE APRENDIZAJE – LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUMA DE REIMAN

INTRODUCCION

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los

métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de

integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances

que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Una de las grandes hazañas de la geometría clásica, consistió en obtener fórmulas para

determinar las áreas y volúmenes de triángulos, esferas, y conos. En este documento

estudiaremos un método para determinar las áreas y volúmenes de estas formas y de

otras más generales. El método que desarrollaremos, llamado integración, es una

herramienta para calcular mucho más que áreas y volúmenes. La integral tiene muchas

aplicaciones es estadística, economía, ciencias e ingeniería. Nos permite calcular rangos

de cantidades de probabilidad y promedios de consumo d energía, así como la fuerza del

agua contra las compuertas de una presa.

El objetivo de la integración es permitirnos calcular efectivamente muchas cantidades,

dividiéndolas en partes más pequeñas y sumando después la contribución de cada trozo.

Desarrollaremos la teoría de la integral en el escenario del área, donde revela más

claramente su naturaleza.

CONTENIDO

Estimación con sumas finitas.

Los números en sumas inferiores, regla del punto medio y sumas superiores parecen

acercarse a 0,66… cuando el número de subintervalos o rectángulos n crece. Entonces, es

razonable deducir que la región R tiene un área dada por:

𝑅 = lim𝑛→𝛼

𝑓(𝑥) = 0,67

Para practicar y afianzar conocimientos.

1. Determine el área bajo la curva de 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, en el intervalo cerrado de [1, 3].

a. Aproximación de áreas (número de rectángulos 2, 3, 6, 10, 20,…). b. Empleando el teorema fundamental del cálculo.

2. Determine el área bajo la curva de 𝒚 = 𝒙𝟐, en el intervalo cerrado de [0, 2].

a. Aproximación de áreas (número de rectángulos 2, 3, 6, 10, 20,…). b. Empleando el teorema fundamental del cálculo.

Área como límite de una suma.

Figura 6. La región bajo la curva y = f(x) en

el intervalo a ≤ x ≤ b.

Figura 7. Una aproximación del área bajo la curva mediante rectángulos

Figura 8. La aproximación mejorada a medida que aumenta el número de subintervalos (rectángulos)

Ejemplo.

Figura 9. Aproximación del área bajo una recta usando rectángulos

La integral definida.

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Figura 5. Área S bajo la curva de f(x)

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥𝑏

𝑎

El área es solo una de las muchas magnitudes que se pueden expresar como el límite de una suma. Para manejar esos casos, incluyendo aquellos para los cuales no se requiere f(x) ≥ 0 y en los que tampoco se emplean puntos extremos izquierdos, se requiere de una

Terminología y notación que se introduce en la siguiente definición.

Teorema fundamental del cálculo. Si el cálculo del límite de una suma fuera la única manera para evaluar una integral definida, el proceso de integración probablemente sería un poco más que una novedad matemática. Por fortuna, existe una forma más fácil de efectuar este cálculo, gracias al siguiente resultado notable que relaciona la integral definida con la antiderivación.

Utilice el teorema fundamental del cálculo para determinar el área de la región bajo la recta y = 1 – x2 sobre el intervalo 0 ≤ x ≤ 1.

Aplicación del teorema fundamental del cálculo.

Solución:

Por teorema fundamental del cálculo se tiene:

1. Busquemos una función F(x) talque F’(x) = f(x), esto es, hallemos una antiderivada de 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙𝟐

∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒙𝟐). 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟐. 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟏

𝒙𝒙𝟑 + 𝑪

2. Se calcula el valor de la función encontrada en x = 0 y en x = 1, esto es,

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟎) = 𝟎 − 𝟏

𝟑𝟎𝟑 = 𝟎

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟏) = 𝟏 − 𝟏

𝟑(𝟏)𝟑 = 𝟏 −

𝟏

𝟑=

𝟑 − 𝟏

𝟑=

𝟐

𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ≅ 𝟎, 𝟔𝟕

3. El valor del área bajo la curva viene dada por la integral de:

Se concluye que el área de la región R bajo la gráfica de y = 1 – x2, es:

R = 0,67 u2

Para practicar.

Utilice el teorema fundamental del cálculo para determinar el área de la región bajo la recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3.

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es

menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por

separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por

la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥𝑐

𝑎

𝑐

𝑏

𝑏

𝑎

Para todo punto x del intervalo [a, b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales

que f (x) g (x), se verifica que:

∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

TALLER DE EJERCICIOS TRABAJO INDIVIDUAL – TRABAJO COLABORATIVO

1. Halle la aproximación al área bajo la curva dada en el intervalo [a, b], mediante la

aproximación del área bajo la curva (n es el número de subintervalos o rectángulos) y la aplicación del teorema fundamental del cálculo.

f(x) = -2x +5; [0, 3] ; n = 4

g(x) = x2 + 1 ; [1, 4] ; n = 8

h(x) = x3 – 3 ; [-1, 1] ; n = 10

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

3. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x

= 8.

4. Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

5. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

6. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

7. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

8. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

10. Hallar el área encerrada por la gráfica de las curva y = x2 + 8x + 10, el eje X, y las

rectas x = 2 y x = 5.

Bibliografía. GONZALEZ, Marcos y Otros. Matemática practica 11, editorial voluntad, décima edición, Bogotá, Colombia. THOMAS, George B. y Otros. Calculo una variable, undécima edición, editorial Pearson, México 2006. Purcel, Edwin J y Otros. Calculo diferencial e integral, novena edición, editorial Pearson, México 2007.

Webgrafia. http://www.vitutor.com/integrales/definidas/ejercicios_areas.html http://www.inetor.com/definidas/ejercicios_areas.html Documento elaborado por: M.Sc. Jaime Malqui Cabrera Medina.