universidad central del ecuador facultad de …5.6 tercer teorema entre el trabajo de las fuerzas no...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CONSEJO DE POSGRADO
Las matemáticas y la mecánica clásica en las ingenierías: fortalezas y
debilidades
Trabajo de Titulación previo a la obtención del Grado de Magíster en Docencia
Matemática Universitaria.
Autor: Hirain Alvarez Galvez.
Tutor: Rolando Sáenz Andrade.
Quito-2018
ii
iii
iv
DEDICATORIA
Sea todo mi esfuerzo invertido en este proyecto investigativo dedicado a:
A la memoria de mi abuelo paterno, quien forjo el espíritu de trabajo de toda la familia,
quien forjo en mi los más elevados valores de honradez, sacrificio, respeto y un fuerte
carácter ante las dificultades que nos impone la vida.
A mis padres, quienes siempre han anhelado mi superación profesional y han estado en
cada uno de los momentos de mi vida.
A mi hermano Yunier, su esposa Marcia y mi sobrino Marcos Yunier quien debe seguir
este noble camino de las ciencias.
A mi esposa, Lety, que sin ella no sería posible todo este trabajo, cuando se vive desterrado
y alejado de la familia.
A mi tía Zenaida, su esposo Roberto, mi tío Andrés y mis primos todos.
A mis compatriotas cubanos que por casi 60 años han luchado contra la dictadura
comunista de los hermanos Castros, a las miles de familias que fueron despojadas de sus
bienes de modo injusto e irracional en nombre de una ideología, a los valientes chicos de la
brigada 2506, a los jóvenes que subieron a las montañas del Escambray a ofrendar sus vidas
en combate contra el régimen, a los que injustamente fueron ultimados ante un pelotón de
fusilamiento, a los que han muerto en el estrecho de la florida buscando tierras de libertad,
a todos los que hemos sufrido prisión política, a todo un pueblo que vive pisoteado por la
bota del tirano sin los más elementales derechos humanos y a los que hoy siguen luchando
dentro y fuera de la isla por una nueva Cuba libre y democrática como soñó el Apóstol de
la patria, José Martí.
Hirain Alvarez Galvez.
v
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a DIOS nuestro padre celestial, creador del universo. El SEÑOR a través del
espíritu santo que mora en nosotros, nos da la fuerza y la gracia para emprender obras como
estas en bien del prójimo.
A través de estas líneas se debe resaltar el buen trabajo realizado en la tutela de este
proyecto investigativo al Dr. En matemáticas Rolando Sáenz Andrade, durante todo el
proceso de elaboración del mismo. Fue el quien puso la primera piedra intelectual, al
sugerir el tema de trabajo y trazar las pautas a seguir, siempre estuvo presto a servir ante
cualquier duda o pregunta, por estas razones sea dado mi infinito agradecimiento hacia su
persona.
Además es mi deber, agradecer al colectivo de profesores de la Facultad de Ingenierías
Físicas y Matemáticas, por la ayuda prestada de modo general y al impartir los cursos del
plan de maestría que sirvieron de preparación previa a este proyecto investigativo final.
También un especial agradecimientos a los lectores de este trabajo investigativo la Dra.
Fabiola Cevallos y el Candidato a Dr. Guillermo Alexis Albuja Proaño. Además un
agradecimiento especial al Dr. Juan Carlos Garcias y el Dr. Hernán Benalcazar quienes
siempre estuvieron al tanto del grupo de maestrantes ante cualquier situación de índole
académica-investigativa, sus orientaciones siempre fueron válidos y precisos.
Mi agradecimiento para los funcionarios y directivos del Instituto de Postgrado de la
facultad de Ingeniarías en Físicas y Matemáticas.
Por último, un agradecimiento general a la Universidad Central del Ecuador por abrir sus
puertas del saber a quienes vivimos con sed de conocimientos en esta gran nación.
Hirain Alvarez Galvez.
vi
CONTENIDO
Paginas Preliminares
Derechos de autor ................................................................................................................................ ii
Certificado del tutor ........................................................................................................................... iii
Análisis del URKUND ....................................................................................................................... iv
Dedicatoria .......................................................................................................................................... v
Agradecimientos ................................................................................................................................ vi
Contenido .......................................................................................................................................... vii
Listado de Anexos ............................................................................................................................. xii
Listado de Figuras ............................................................................................................................ xiii
Listado de Tablas .............................................................................................................................. xv
Listado de Gráficas .......................................................................................................................... xvi
Abreviaturas ..................................................................................................................................... xix
Resumen y Palabras Claves............................................................................................................... xx
Abstrac ............................................................................................................................................. xxi
Certificado de la traducción del resumen ........................................................................................ xxii
Capítulo I Introducción ........................................................................................................................................ 1
1.1 Planteamiento del problema .......................................................................................................... 5
1.1.1 Delimitación del problema .................................................................................................. 6
1.2 Formulación del problema ............................................................................................................ 6
1.3 Objetivos ....................................................................................................................................... 6
1.3.1 Objetivo general .......................................................................................................... 6
1.3.2 Objetivo especifico ...................................................................................................... 6
1.4 Importancia y justificación del trabajo investigativo .................................................................... 7
vii
Capítulo II
Resultados fundamentales del cálculo con funciones reales de una variable y varias variables.
Teoría de campos Vectoriales ............................................................................................................. 8
2.1 Funciones reales de una variable �: � ⊂ ℝ → ℝ ................................................................. 8
2.2 Las funciones de una variable real, su continuidad y comportamiento asintótico a partir del
cálculo de limites ................................................................................................................................. 9
2.3 El cálculo diferencial de las funciones de una variable real ........................................................ 12
2.4 El cálculo integral sobre las funciones de una variable real según Reamann ............................. 17
2.5 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden y órdenes superiores.
Diferentes métodos de resolución ..................................................................................................... 20
2.5.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ....................................................... 21
2.5.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de órdenes superiores lineales con coeficientes
constantes .................................................................................................................................. 23
2.6 Fundamentos de espacios vectoriales. Transformaciones lineales y matrices............................. 26
2.7 Teoría de campos vectoriales y sus operadores fundamentales. Teoremas de contornos y flujos
de los campos vectoriales .................................................................................................................. 29
Capítulo III Cinemática Clásica ............................................................................................................................ 34
3.1 Fundamentos generales de la cinemática clásica ......................................................................... 34
3.1.1 La trayectoria clásica su descripción ................................................................................. 34
3.1.2 Los medibles rapidez y velocidad media. El cálculo diferencial y la velocidad instantánea
................................................................................................................................................... 37
3.1.3 La aceleración, segunda derivada del vector posición ...................................................... 40
3.2 Movimiento rectilíneo de los cuerpos clásicos. Aplicaciones del cálculo diferencial e integral 43
3.2.1 Movimiento rectilíneo con velocidad constante en el tiempo ........................................... 43
3.2.2 Aceleración constante en el movimiento unidimensional ................................................ 47
3.2.3 Aceleración variable en un movimiento rectilíneo ............................................................ 51
3.3 Movimiento curvilíneo. Sistemas de referencias coordenados cartesianos, tangencial-normal,
polar y cilíndrico. .............................................................................................................................. 58
3.3.1 Movimiento curvilíneo en el espacio, descrito por coordenadas rectangulares ................ 58
viii
3.3.2 Movimiento curvilíneo sobre un plano, descrito por coordenadas tangenciales-normales..
................................................................................................................................................... 60
3.3.3 Movimiento curvilíneo en el plano, descrito por coordenadas polares ............................ 65
3.3.4 Movimiento curvilíneo en el espacio, descrito por coordenadas cilíndricas. ................... 70
3.4 Movimiento relativo en la mecánica clásica. Transformaciones clásicas entre coordenadas de
Galileo. .............................................................................................................................................. 72
Capítulo IV La oscura dinámica clásica Newtoniana ........................................................................................... 77
4.1 Medible fuerza............................................................................................................................. 77
4.2 La ley de la Inercia ...................................................................................................................... 80
4.3 Segunda ley de Newton. Sistemas de referencias inerciales y No inerciales .............................. 81
4.4 Limitaciones de la segunda ley de Newton ................................................................................. 82
4.4.1 Principio de D’Alembert ................................................................................................... 82
4.4.2 ¿Es la masa inercial un valor constante? Relación entre los medibles masa inercial y masa
gravitatoria. Otras debilidades de la segunda ley de Newton .................................................... 84
4.5 Tercera ley de Newton ................................................................................................................ 86
4.6 Interacciones fundamentales en el universo ................................................................................ 88
4.6.1 Campos de fuerzas continuos y diferenciables en su dominio espacio-temporal:
interacciones gravitatorias y elásticas. Su función escalar energía potencial ............................ 88
4.6.2 Interacciones que no poseen funciones escalares intrínsecas. Fuerzas de fricción dinámica
entre superficies solidas rígidas o sobre cuerpos que se mueven a través de un medio o fluido.
Ley de Arquímedes. ................................................................................................................... 95
4.7 Las leyes de Newton aplicadas sobre diferentes sistemas de coordenadas geométricos ........... 100
4.7.1 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas cartesianas rectangular en
el espacio. ................................................................................................................................ 100
4.7.2 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas tangencial-normal en el
plano. ....................................................................................................................................... 102
4.7.3 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas polares en el plano. ... 104
4.7.4 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas cilíndricas, para cuerpos
que se mueven en el espacio. ................................................................................................... 107
4.7.5 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas esféricas, para cuerpos
ix
que se mueven en el espacio. ................................................................................................... 108
Capítulo V Trabajo y Energía No Relativista. Teoría de Campos Vectoriales .................................................. 111
5.1 ¿Qué es el trabajo mecánico? Aplicaciones a través de la integral de línea .............................. 111
5.2 La función escalar �: ℝ3 → ℝ energía mecánica ...................................................................... 117
5.3 La función escalar �: ℝ3 → ℝ+ energía cinética ....................................................................... 119
5.3.1 Teorema primero que relaciona el trabajo y la energía cinética. .................................... 120
5.4 La función escalar �: ℝ3 → ℝ energía potencial ....................................................................... 122
5.4.1 teorema segundo entre el trabajo de las fuerzas potenciales y la energía potencial........ 126
5.5 Ley de conservación de la energía mecánica............................................................................. 128
5.6 Tercer teorema entre el trabajo de las fuerzas No potenciales y la energía mecánica. .............. 133
5.7 Estudio de las fuerzas conservativas a partir de la teoría de campos irrotacionales .................. 137
Capítulo VI
La Teoría Especial de la Relatividad Desarrollada a Través de las Transformaciones entre Espacios
Vectoriales....................................................................................................................................... 140
6.1 El problema histórico de finales y comienzo de los siglos XIX y XX respectivamente. .......... 140
6.1.1 El mundo clásico anterior al 1905. Un resumen de las principales fortalezas y debilidades
de la física clásica. ................................................................................................................... 140
6.1.2 En el nuevo siglo XX las campanas del 1905 suenan en un mundo cuantificado donde
ya no es válida la mecánica clásica. Las conjeturas de Einstein. ............................................. 143
6.2 Las transformaciones de Lorentz .............................................................................................. 144
6.3 El genial experimento mental de A. Einstein y su desarrollo físico-matemático. La matriz de
cambio en una transformación lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales ....... 146
6.4 ¿La masa inercial de los cuerpos es función de la velocidad? ................................................... 151
6.5 Definición de los nuevos medibles físicos relativistas. Impulso, energía de reposo y energía
cinética ............................................................................................................................................ 152
xi
Capítulo VII Conclusiones y recomendaciones .................................................................................................... 155
7.1 Conclusiones del proyecto ........................................................................................................ 155
7.2 Recomendaciones del proyecto ................................................................................................. 156
Bibliografía ..................................................................................................................................... 158
xii
Listado de anexos
Anexo I
Funciones de varias variables reales �: � ⊂ ℝ� → ℝ�. Operaciones básicas ............................... 159
Anexo II Movimiento curvilíneo en el espacio. Triedro de Frenet-Serret ...................................................... 168
Anexo III Campos de Fuerzas centrales. El problema de los dos cuerpos. Geometría de las curvas cónicas. 169
Anexo IV Fundamentos de la Teoría General de la Relatividad. ..................................................................... 175
xiii
Listado de figuras
Capítulo III Figura 3.1. Vector desplazamiento de un cuerpo que se mueve por una trayectoria curvilínea desde
un punto 1 hasta 2, para un SR ubicado sobre el punto O ................................................................. 36
Figura 3.2. Sistema de referencia sobre el automóvil 1 del problema anterior ................................. 46
Capítulo IV
Figura 4.1. Las cuatro interacciones fundamentales del universo ..................................................... 77
Figura 4.2. Interacción Nuclear Fuerte. El Gluon es la partícula que transporta esta interacción entre
Quarks. .............................................................................................................................................. 78
Figura 4.3. Instantánea del momento anterior a la interacción mecánica Cuerpo-Cuerpo. La fuerza
se trasmitirá al ponerse en contacto directo los cuerpos. ................................................................... 78
Figura 4.4. Campo gravitatorio universal. Interacción Cuerpo-Campo-Cuerpo. .............................. 79
Figura 4.5. Interacción Mecánica de Larga Duración Temporal cuerpo-cuerpo ............................... 79
Figura 4.6. Choque: Interacción Mecánica de muy corta duración temporal Cuerpo-Cuerpo. ......... 80
Figura 4.7. Equilibrio dinámico de fuerzas reales ............................................................................. 86
Figura 4.8. Fuerzas de empuje equilibran el peso. ............................................................................ 87
Figuras 4.9. En cada una los cuerpos se encuentran en reposo debido a un par de fuerzas externas de
acción y reacción que mantienen el equilibrio dinámico. ................................................................. 87
Figura 4.10. Muestra el ingenioso experimento de Henry Cavendish para determinar la constante de
gravitación universal, que predecía Newton en su teoría de las leyes del universo. ......................... 89
Figura 4.11. Nave y cosmonautas de la NASA en la superficie lunar donde la gravedad es tres veces
menor a la terrestre, por esa razón una caminata lunar es dando súper saltos terrestre. .................... 90
Figura 4.12. Un Sistema de resortes en paralelo. .............................................................................. 92
Figura 4.13. Sistema de resortes en serie. ......................................................................................... 93
Figura 4.14. Como se observa la fuerza elástica es contraria a la fuerza aplicada al resorte metálico.
........................................................................................................................................................... 94
Figura 4.15. Como vemos las componentes verticales de las fuerzas que ejerce el fluido sobre el
cuerpo son las generadoras de la fuerza de empuje ........................................................................... 97
xiv
Figura 4.16. Fuerza de empuje que actúa sobre el cuerpo, al ponerse en contacto con el agua. Estado
de flotación. ....................................................................................................................................... 98
Figura 4.17. Cuerpo que se desliza por un plano inclinado. ............................................................ 101
Figura 4.18. Masa que oscila colgada de un péndulo. ..................................................................... 103
Figura 4.19. Fuerzas que experimenta cualquier observador parado sobre un satélite de la Tierra En
este caso la Luna. ............................................................................................................................ 104
Capítulo V Figura 5.1. Asteroide que atraviesa un conglomerado de rocas libres muy cercano al centro.. 131
Figura 5.2. Representación geométrica del problema VII ............................................................... 135
xv
Listado de tablas
Capítulo II Tabla 2.1. Primeras derivadas de las funciones fundamentales de una variable real ........................ 14
xvi
Capítulo II
Listado de gráficas
Gráfica 2.1. Definición de límite de una función de una variable real en un punto de su dominio. Se
nota a las claras, que al acercarse al punto a del dominio infinitamente, también la función f se
acerca infinitamente a su valor L. ...................................................................................................... 10
Gráfico 2.2. Limites laterales de una función f diferentes alrededor del punto a. La función no tiene
límite definido en este punto. ............................................................................................................ 11
Gráfico 2.3. Calculo de la pendiente de la recta tangente a través de un proceso de cálculo de límite
donde la variable � se aproxima a la variable �0 por la derecha, o sea el valor de h tiende a cero. .
13
Gráfica 2.4. Los rectángulos de dos colores muestran las diferencias entre los términos de ambas
sumas Superior e Inferior en cada subintervalo de la partición P del intervalo I .............................. 17
Capítulo III Gráfico 3.1. Trayectoria de un cuerpo (línea roja) en el plano, la función vectorial r(t) es continua en
todo el dominio y diferenciable en tres trozos de su dominio pues tiene dos puntos de riple. La
curva azul no puede ser nunca la trayectoria del movimiento de un cuerpo clásico, pues representa
una función de posición vectorial con puntos de discontinuidad de primera y segunda especie. 35
Gráfico 3.2. Diferencial de desplazamiento cuando ∆t → 0 ....................................................... 38
Gráfico 3.3. El vector velocidad puntual siempre se encuentra de modo tangencial a la trayectoria
del cuerpo .......................................................................................................................................... 40
Gráfico 3.4. El vector aceleración puntual siempre tiene dos componentes respecto a la trayectoria,
una tangencial y otra normal ............................................................................................................. 42
Gráfico 3.5. Recta que representa la ecuación de un movimiento M.R.U, donde t0 es de valor cero.
........................................................................................................................................................... 45
Gráfico 3.6. Parábola que representa un movimiento M.R.U.A con aceleración positiva, donde to
tiene valor cero. ................................................................................................................................. 48
Gráficas 3.7 y 3.8, describen como el área bajo la curva expresa el desplazamiento de la partícula en
el intervalo dado. ............................................................................................................................... 55
Gráfico 3.9. Representación de un vector de posición espacial en coordenadas rectangulares 59
Gráfico 3.10. Las líneas rojas representan los ejes del nuevo sistema coordenado tangencial-normal.
........................................................................................................................................................... 61
xvii
Gráfico 3.11. Infinitesimal de arco de una trayectoria. ..................................................................... 63
Gráfica 3.12. Trayectoria de una partícula en el plano. Si el intervalo de tiempo tiende a cero,
entonces el triángulo de la resta vectorial de velocidades, tiende a rectángulo; lo cual hace caer en el
eje normal al vector cambio de velocidad. ........................................................................................ 64
Gráfico 3.13. Sistema coordenado polar en el plano. El eje X representa el eje polar ..................... 65
Gráfico 3.14. Se muestra la base orto normal polar, formada por los versores radiales y angulares
dibujados de color verde. El eje polar coincide con el eje X del sistema cartesiano. ........................ 66
Gráfico 3.15. En esta se observa cómo cambian los versores angulares y radiales en coordenadas
polares durante un cambio infinitesimal del espacio-tiempo en un movimiento curvilíneo plano. .. 67
Gráfico 3.16. Sistema coordenado cilíndrico, ubicado sobre un sistema rectangular ....................... 70
Gráfica 3.17. El movimiento de una partícula expresado en coordenadas cilíndricas. ..................... 71
Gráfico 3.18. Movimiento relativo de un cuerpo P respecto al observador O y A ............................ 74
Capítulo IV Gráfico 4.1. Gráfica de Robert Hooke para los materiales sólidos. .................................................. 91
Gráfico 4.2. Fuerza real y sus componentes polares, actuando sobre un cuerpo que se mueve por un
plano. ............................................................................................................................................... 106
Gráfico 4.3. Sistema de coordenadas esféricas. Su base vectorial .................................................. 109
Capítulo V Gráfico 5.1. Contorno C descrito por la trayectoria del cuerpo en ir del punto A hasta el punto B
bajo la acción de la fuerza externa F............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................112
Gráfico 5.2. Imagen del problema. Ladera de la montaña por donde ascienden los soldados
empujando la caja de proyectiles de artillería hasta el punto de emplazamiento. ........................... 115
Gráfico 5.3. Problema resorte-caja con elongación a¨ ................................................................... 125
Gráfica 5.4. Función energía potencial del campo cuasi-gravitacional. Barrera potencial que debe
vencer el asteroide para atravesar el cuasi-planeta .......................................................................... 132
Gráfico 5.5. Cuerpo material que se desplaza bajo la acción de n-fuerzas potenciales y no
potenciales. ...................................................................................................................................... 133
xviii
Capítulo VI Gráfica 6.1. Experimento mental de A. Einstein de 1905 con el cual describía el mundo relativista
para sistemas de referencias inerciales ............................................................................................ 147
Anexo II Gráfica AG.2.1. Experimento mental de A. Einstein de 1905 con el cual describía el mundo
relativista para sistemas de referencias inerciales. ................................................................................
Anexo III Gráfica AG3.1. Estudio del movimiento entre dos cuerpos masudos, tomando un sistema de
coordenadas polares ubicado sobre la masa M. ....................................................................................
xix
ABREVIATURAS
UCE: Universidad Central del Ecuador.
TVM: Teorema del Valor Medio
TFC: Teorema Fundamental del Calculo
EDO: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
SRI: Sistemas de Referencia Inerciales
SRNI: Sistemas de Referencias No Inerciales
TER: Teoría Especial de la Relatividad
TGR: Teoría General de la Relatividad.
UDLA: Universidad de las Américas (Quito)
xx
LAS MATEMÁTICAS Y LA MECÁNICA CLÁSICA EN LAS INGENIERÍAS:
fortalezas y debilidades.
Autor: Hirain Alvarez Galvez.
Tutor: Rolando Sáenz Andrade.
RESUMEN
Este trabajo investigativo profesionalizante está orientado al estudio de la mecánica clásica
con una metodología diferente a la de muchos cursos estándares para ingenieros y físicos en
diferentes universidades en el mundo. Este proyecto se realiza a través de siete capítulos
que se articulan del modo siguiente: El segundo tiene una revisión de los resultados
fundamentales de las funciones de una y varias variables reales (funciones vectoriales), su
continuidad a través del concepto de límites, el cálculo diferencial e integral de las mismas,
lo cual será usado en los capítulos posteriores. El tercero, cuarto y quinto capítulos hace
una justificación matemática intensa de los modelos clásicos en cada uno de estos sub
tópicos. Cada uno de estos capítulos contiene la resolución de problemas inéditos y sus
limitaciones matemáticas según los modelos teóricos de la física clásica. En el sexto
capítulo abordaremos una formulación matemática mediante las transformaciones lineales
entre espacios vectoriales, poco expuesta en los diferentes textos sobre el tema, de cómo
arribar a las transformaciones de Lorentz que dieron lugar a la teoría especial de la
relatividad (TER), descrita por A. Einstein en 1905. Por último el capítulo séptimo está
dedicado a las conclusiones y recomendaciones del trabajo como tal.
Este proyecto busca fortalecer los conocimientos y destrezas adquiridos en las asignaturas
recibidas durante la maestría en ¨Docencia y Matemáticas Universitarias¨ de la UCE,
integrando estos saberes en la profundización del estudio de problemas que puedan ser
tratados en los diferentes cursos universitarios sobre la física clásica para los estudiantes de
ciencias e ingenierías de la Universidad Central del Ecuador.
Palabras Claves.
CINEMÁTICA CLÁSICA / DETERMINÍSTICA / DINÁMICA CLÁSICA / MASA
INERCIAL Y GRAVITATORIA / ENERGÍA Y TRABAJO MECÁNICO / ESPACIO-
TIEMPO RELATIVISTA/.
xxi
MATHEMATICS AND CLASSICAL MECHANICS IN ENGINEERING: strengths and
weaknesses
Author: Hirain Alvarez Galvez
Tutor: Rolando Sáenz Andrade.
ABSTRACT
This academic and research paper is oriented to the study of the classical mechanics, but
opposite to many standardized courses for engineers and physics in various universities in
the world, this one has been done with a different methodology. This project is carried out
in seven chapters that are as follow. The second one reviews the basic results of the
functions of one or more real variables (vector functions), its continuity through the concept
of limits, and the differential and integral calculus; which will be used in the following
chapters. The third, fourth and fifth chapters using math justify intensely the classic models
in each of its subchapters. Each section has a solution for an unknown problem and its
mathematics constraints according to the theoretical models of classical physics. In the
sixth chapter, the topic of how to get to the Lorentz transformation that took us to the
special relativity theory (SRT) said by A. Einstein in 1905; has not been widely explained
in books or texts; therefore, in this chapter, we talk about a mathematical formulation
through linear transformations between vector spaces. Finally, the last chapter will be
about conclusions and recommendations of this work.
This project seeks to strengthen the knowledge and skills acquired with the subjects
received during the master's degree in Teaching and University Mathematics from UCE.
Its objective is to integrate the experience in depth of the study of problems that can be
treated in the different university courses on classical physics for the students of sciences
and engineering of the Central University of Ecuador.
Key Words
Classic kinematic / Deterministic / Classical Dynamics /Inertial mass and gravitational /
mechanic energy and work / Relativistic Space-time/.
xxii
1
Capítulo I
ASPECTOS GENERALES DEL PROBLEMA A
RESOLVER.
1. Introducción.
La Facultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Matemáticas, perteneciente a la Universidad
Central del Ecuador; ha desarrollado durante los últimos tres años, desde el mes de Junio
del 2015 hasta el presente mes de Diciembre del 2017, un ininterrumpido programa de
materias para los alumnos de la Maestría en Docencia y Matemáticas Universitarias. La
culminación de los estudios de este postgrado debe realizarse a través de este trabajo
investigativo que lleva como título: Las matemáticas y la mecánica clásica en las
ingenierías: fortalezas y debilidades. El tutor encargado de revisar este trabajo
investigativo es el Doctor en Ciencias Matemáticas Rolando Sáenz Andrade, quien además
es un prestigioso profesor de la escuela de Físicas y Matemáticas, el cual cuenta en su haber
con el desarrollo de múltiples investigaciones aplicadas y la elaboración de textos teóricos
en el mundo de las matemáticas superiores para las universidades de la República del
Ecuador. El contenido teórico de dicho proyecto será realizado sobre los siguientes tópicos
que serán expuestos a continuación, de modo general, y comentados por capítulos.
En el capítulo II se tiene los siguientes contenidos, relacionados con temas de las
matemáticas superiores que utiliza la mecánica clásica.
2. Resultados fundamentales del cálculo con funciones reales de una variable y varias
variables. Teoría de campos vectoriales.
2.1 Funciones reales de una variable �: � ⊂ ℝ → ℝ
2.2 Las funciones de una variable real, su continuidad y comportamiento asintótico a partir
del cálculo de límites.
2.3 El cálculo diferencial de las funciones de una variable real.
2.4 El cálculo Integral en las funciones de una variable real
2
2.5 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden y órdenes superiores.
Diferentes métodos de resolución.
2.5.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
2.5.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
2.6 Funciones de varias variables reales �: � ⊂ ℝ� → ℝ�. Operaciones básicas.
2.6.1 Calculo con funciones de varias variables reales, límites, continuidad, derivación e
integración.
2.7 Fundamentos de espacios vectoriales. Transformaciones lineales y matrices.
2.8 Teoría de campos vectoriales y sus operadores fundamentales. Teorema de contorno y
flujo de los campos vectoriales.
En este capítulo teórico inicial se trabajan las funciones de una variable real, el concepto de
continuidad, diferenciabilidad e integralidad de cada una de ellas. La resolución de EDO de
orden uno y superior y sus diferentes métodos de resolución de modo muy abreviado. Se
enuncia el concepto de matriz numérica y sus operaciones y propiedades elementales,
además se verá el uso de las mismas durante el trabajo con espacio vectorial y las
transformaciones lineales entre estos. Un estudio rápido de los EV y sus transformaciones
lineales en cuanto a propiedades y teoremas fundamentales se realizara. Por último se
analizara la teoría de las funciones vectoriales y sus funciones fundamentales como
gradiente, divergencia, rotor, algún teorema como el de Stokes-Green de uso fundamental
en el estudio de la física clásica.
En el capítulo III se comenzara con el desarrollo del curso de mecánica clásica en su tema
inicial la cinemática clásica no relativista. Se responderá con razonamiento lógico de las
matemáticas superiores a la pregunta de porque la cinemática clásica es determinística.
3. Continuidad y diferenciabilidad de los medibles cinemáticos ¿Por qué la cinemática
clásica es determinística?
3.1 Desarrollo físico-matemático de los conceptos y medibles fundamentales de la
cinemática clásica. La continuidad de la función posición en el tiempo. Desarrollo del
cálculo diferencial e integral.
3.2 Movimiento rectilíneo de los cuerpos clásicos. Aplicaciones del cálculo diferencial e
integral.
3.3 Movimiento curvilíneo. Sistemas de referencias coordenados cartesianos, tangencial-
normal, polar y cilíndrico.
3
3.4 Movimiento relativo en la mecánica clásica.
Un análisis pormenorizado de cada tipo de movimiento se llevara a cabo desde el punto de
vista de las matemáticas superiores y sus diferentes sistemas de coordenadas geométricos.
También se revisaran las transformaciones de coordenadas de Galileo Galilei.
En el capítulo IV se realizara un análisis dinámico del movimiento de los cuerpos clásicos
en el universo, se introduce el concepto del medible fuerza, se realiza una breve descripción
de las tres leyes de Newton. Se analizaran los puntos débiles de la segunda ley Newtoniana
y sus soluciones. Dentro del capítulo, se realiza un estudio de los diferentes sistemas de
referencias usados por los físicos e ingenieros para resolver problemas clásicos cotidianos,
introduciendo en la resolución de estos casos reales, los diferentes sistemas geométricos-
matemáticos. A continuación los temas a desarrollar en este capítulo.
4. La oscura dinámica clásica Newtoniana.
4.1 Medible fuerza.
4.2 La ley de la Inercia.
4.3 Segunda ley de Newton. Sistemas de referencias inerciales y no inerciales.
4.4 Limitaciones de la segunda ley de Newton.
4.5 Tercera ley de Newton
4.6 Interacciones fundamentales en el Universo
4.7 Las leyes de Newton aplicadas sobre diferentes sistemas de coordenadas geométricas.
4.8 Campos de fuerzas centrales. El problema de los dos cuerpos. Geometría de las curvas
cónicas.
El capítulo V realiza el análisis energético de los fenómenos clásicos, se estudia el concepto
de trabajo de una fuerza, su relación con las diferentes energías mecánicas a través de tres
teoremas fundamentales y la ley de conservación de la energía mecánica. Dentro del
capítulo se introduce el concepto de fuerza conservativa y sus propiedades físicos-
matemáticas como campos vectoriales irrotacionales. Ahora se exponen los subtópicos
fundamentales del mismo.
5. Trabajo y energía no relativista. Teoría de campos vectoriales.
5.1 ¿Qué es el trabajo mecánico? Aplicaciones. La integral de línea.
5.2 La función escalar �: ℝ3 → ℝ energía mecánica.
4
5.3 La función escalar �: ℝ3 → ℝ+ energía cinética.
5.4 La función escalar �: ℝ3 → ℝ energía potencial.
5.5 Ley de conservación de la energía mecánica.
5.6 Tercer teorema entre el trabajo de las fuerzas No potenciales y la energía mecánica.
5.7 Estudio de las fuerzas conservativas a través de la teoría de campos irrotacionales.
En el sexto capítulo se hace mención histórica de las contradicciones de la mecánica clásica
a finales del siglo XIX y los estudios matemáticos de algunos profesores universitarios del
aventajado alumno Albert Einstein, lo cual llevo a su genial experimento mental que dio
lugar a la teoría especial de la relatividad, la cual será expuesta tal y como Einstein la saco
a la luz y no como la introducen algunos autores de modo matemático más elemental para
los alumnos.
6. La teoría especial de la relatividad a partir de las transformaciones lineales entre
espacios vectoriales.
6.1 El problema histórico de finales y comienzo de los siglos XIX y XX respectivamente.
6.2 Las transformaciones matemáticas de Lorentz
6.3 El genial experimento mental de A. Einstein y su desarrollo teórico físico-matemático.
La matriz de cambio en una transformación lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo
de los reales.
6.4 ¿La masa inercial de los cuerpos es función de la velocidad?
6.5 Definición de los nuevos medibles físicos relativistas. Impulso, energía de reposo y
energía cinética.
El capítulo séptimo y final solo se enuncian las conclusiones y recomendaciones que el
autor cree pertinentes para su trabajo investigativo. Su organización es la siguiente a través
de los siguientes subtópicos
7. Conclusiones y recomendaciones
7.1 Conclusiones del proyecto.
7.2 Recomendaciones del proyecto.
5
1.1 Planteamiento del problema.
Al impartir los cursos de mecánica clásica tanto para estudiantes de ciencias físicas como
de las diferentes ingenierías que se desarrollan en variadas universidades del mundo, los
físicos generalmente adolecen de una exhausta explicación a través del lenguaje de las
matemáticas para describir los fenómenos del macro mundo, solo se limitan a describir el
comportamiento clásico de la materia a través de modelos ideales muy cercanos a la
realidad mediante ecuaciones que involucran funciones con variables reales, lo cual es muy
correcto; pero no explican tan siquiera hasta un nivel elemental en la estructura lógica de
las matemáticas, el por qué pueden hacer uso de dichas ecuaciones en estos modelos
clásicos que describen de modo determinístico esta rama de las físicas modernas.
Generalmente no hacen de modo profundo y detallado un análisis entre las características
del comportamiento de la materia en estos fenómenos y la relación con cada una de las
leyes físico-matemáticas que los describen.
Esta razón con lleva a que muchos de los estudiantes de ingenierías de las diferentes
universidades del mundo, de lo cual no escapan los estudiantes de la Universidad Central
del Ecuador, les sea tan difícil comprender el estudio de las ciencias físicas, a pesar de ser
excelentes alumnos de los cursos de las matemáticas superiores; pues no son capaces de
comprender el nexo entre los fenómenos que estudian y las matemáticas que los describen.
En otras ocasiones son capaces de describir teóricamente un tópico de la mecánica clásica
de modo excelente, sin embargo al resolver problemas reales sobre este tema, se ven
limitados al no saber cómo aplicar las leyes matemáticas a la realidad física presente. O sea
les falta un nivel en su poder de ingeniosidad, a este poder de razonamiento los físicos lo
denominan la intuición físico-matemática. El problema inclusive llega más lejos, algunos
de estos ingenieros ya con años de graduados comparten cátedra con los físicos puros en
diferentes universidades del país y la región, en ocasiones algunos se acercan a resolver
problemas complejos de cursos de mecánica clásica, pues no saben cómo aplicar las leyes
teóricas que conocen muy bien, para estos casos problémicos tan particulares.
Por estas razones los índices de aprobados de los estudiantes de ingenierías de las
universidades del Ecuador, de algunos cursos impartidos en el periodo Septiembre 2014-
Febrero 2017, ronda en los cursos de mecánica clásica entre el 16% y el 45% y en raras
ocasiones este índice supera el 60% de los estudiantes que aprueban la asignatura.
El epicentro del problema ronda alrededor de dos aspectos. Primero, la falta del
conocimiento apropiado de las debilidades y fortalezas matemáticas de la mecánica clásica
por parte de los docentes. Segundo, la falta de metodología apropiada de los docentes que
imparten esta asignatura. Estos aspectos inhibe el desarrollo exitoso del proceso de
enseñanza-aprendizaje de los alumnos. Un ejemplo fehaciente es el débil mecanismo de
retroalimentación alumno-profesor, donde el docente tiene serios problema con el aspecto
primero; entonces recorre el curso desde la altura de su estrado donde prima el miedo
6
académico, viendo a los alumnos en un nivel de conocimientos inferior, por lo cual no
evacua las interrogantes de los estudiantes. El problema con la falta de metodología
pedagógica del docente es aún más serio, pues en ocasiones sus posiciones autoritarias, no
permiten la lícita discusión científica en las conferencias teóricas y clases prácticas; lo cual
generaría un doble proceso de enseñanza-aprendizaje tanto para alumnos como para el
profesor. Este proceso dual crea un espíritu de investigación científica y estudio de los
estudiantes; por otra parte hace al ingeniero-docente superar sus problemas académicos en
sus años iniciales de impartir la materia, llegando a los niveles de conocimiento de un
ingeniero físico-matemático puro.
La experiencia de una temprana formación estudiantil en escuelas elites de las ciencias
físico-matemática, bajo la guía de docentes de un elevado nivel científico-educativo de la
educación cubana y soviética; los años como docentes de las escuelas de ingenierías
agrónomas y de físicas puras en Cuba, los años como estudiante y docente de las
universidades Ecuatorianas. Han creado un proceso comparativo entre diferentes modelos
educativos, que dejan ver los problemas planteados anteriormente.
1.1.1 Delimitación del problema.
Campo: Ciencias exactas.
Área: Física y matemáticas.
Aspecto: Fundamentación matemática de la mecánica clásica.
Tema: Nueva metodología sobre el estudio de la mecánica clásica para estudiantes de
ciencias e ingenierías.
1.2 Formulación del problema.
¿De qué forma el desarrollo de un proyecto investigativo sobre las ¨Debilidades y
Fortalezas Matemáticas de la Mecánica Clásica¨ puede elevar el nivel de pensamiento
lógico de los estudiantes de ingenierías de la Universidad Central del Ecuador?
1.3 Objetivos.
1.3.1 Objetivo General.
• Analizar los modelos teóricos y problemas reales relacionados con la mecánica clásica y
relativista a partir de las matemáticas superiores.
7
1.3.2 Objetivo Específico.
• Crear una nueva metodología físico-matemática a la hora de impartir los cursos de
mecánica clásica a los estudiantes de ingenierías de la Universidad Central del Ecuador.
• Explicar y justificar el uso de las matemáticas en la mecánica clásica.
• Hacer hincapié en la necesidad de que las funciones utilizadas en la mecánica clásica
satisfagan condiciones adecuadas (continuidad, derivabilidad, etc.) para su correcta
aplicación.
1.4 Justificación e importancia del trabajo investigativo.
Como se menciona en el planteamiento inicial del problema de este proyecto investigativo,
la enseñanza de la mecánica clásica para alumnos de ingenierías a través de los cursos
tradicionales tiene vacíos en la comprensión completa por parte del alumnado de esta rama
de las físicas clásicas. Las explicaciones poco exhaustivas del soporte matemático de cada
ecuación o ley general, no permite a los futuros ingenieros ser creativos al máximo, a la
hora de resolver problemas reales durante los exámenes o en sus cursos posteriores, donde
esta asignatura es un prerrequisito. En una sociedad en vías del desarrollo como la
ecuatoriana, no se puede seguir esperando más tiempo para erradicar estos errores en la
formación del capital humano que hace ingenierías, mucho más, cuando se representa una
de las principales universidades de la nación. Luego, la tarea de crear ingenieros altamente
calificados es inmediata, por lo cual tener buenos textos, folletos, apuntes o guías para
impartir cada asignatura de modo teórico es de vital importancia.
Por estas razones anteriormente expuestas, es necesario la realización de un trabajo
investigativo con los objetivos ya planteados, pues entonces; cambiara a un plano superior,
el pensamiento intuitivo de los estudiantes de ingenierías a la hora de resolver problemas y
crear modelos físicos-matemáticos que respondan a la realidad circundante. Poner en
marcha de inmediato metodologías de las enseñanzas de esta rama de las ciencias, como la
que propone el presente proyecto; sería un paso más de avance en el largo camino para
situar a la Universidad Central del Ecuador a la par con otras universidades y centros
investigativos de países del primer mundo.
El desarrollo de este proyecto investigativo favorece al fortalecimiento de los niveles
educacionales de la nación en cuanto a las ingenierías respecta. Es una ayuda científica-
pedagógica directamente dirigida a los docentes de los diferentes institutos, escuelas y
facultades que imparten estos cursos de física clásica. Es una fuente de conocimientos
básicos para los alumnos de estas instituciones, que tendrán un novedoso curso de mecánica
clásica desde el punto de vista matemático-físico y pedagógico.
8
Capítulo II
2. Resultados fundamentales del cálculo con
funciones reales de una variable y varias
variables. Teoría de campos vectoriales.
2.1 Funciones reales de una variable real �: � ⊂ ℝ → ℝ
Las funciones de una variable son un caso particular de aplicaciones entre conjuntos, por
tanto, pueden ser clasificadas como, inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según sea la
relación operacional entre los conjuntos dominio e imagen de la función. Ahora se estudiará
este aspecto de las funciones de una variable de modo más detallado en sus tres casos.
Primero se verán las funciones inyectivas son aquellas en las cuales a cada elemento del
conjunto dominio le corresponde solo un único elemento del conjunto imagen. Se puede
expresar matemáticamente como que: Sea �: � → � entonces se define que la función f
sea inyectiva si cumple lo siguiente: ∀�1, �2 ∈ � se cumple que: �(�1) = �(�2) → �1 =
�2 (Benalcazar, 2013)
Ejemplo de estas son las funciones exponenciales � = ��, � > 0, vistas como �: ℝ → ℝ, a
cada valor de su conjunto imagen Y solo corresponde un solo valor real del conjunto
dominio X, pero los valores � ≤ 0 no tienen elementos pre imágenes en el conjunto
dominio de las X.
En el segundo caso están las funciones sobreyectivas son aquellas que a un mismo
elemento del conjunto de llegada le corresponden como mínimo un valor del conjunto de
salida. Se puede expresar matemáticamente como que: Sea �: � → � entonces se define
que la función f sea sobreyectiva si cumple lo siguiente: ∀� ∈ � → ∃� ∈ � tal que � =
�(�). O sea desde el punto de vista de la teoría de conjuntos se cumple en estas funciones
���(�) > ���(�) (Benalcazar, 2013)
Ejemplo de ella es la función cuadrática � = �2, vista desde �: ℝ → ℝ+ ∪ {0}, en esta a
cada valor del conjunto imagen Y le corresponden hasta dos pre imágenes del conjunto
dominio X.
9
El tercer caso es cuando la función de una variable real es biyectiva. Luego, una función
biyectiva es a la vez inyectiva y sobreyectiva y para demostrarlo matemáticamente debe
cumplir estas dos condiciones anteriores (Benalcazar, 2013). En este caso de funciones
biyectivas, tal que �: � → � se cumple según la teoría de conjuntos ���(�) = ���(�).
Ejemplo de estas son las funciones lineales tal que �: ℝ → ℝ, de la forma � = �� + � son
funciones biyectivas donde a cada valor del dominio corresponde de modo biunívoco solo
un valor del conjunto imagen.
2.2 Las funciones de una variable real, su continuidad y
comportamiento asintótico a partir del cálculo de límites.
Para definir la continuidad de una función de una variable real se pasa por el concepto de
límite de una función cuando su variable tiende a un valor determinado del dominio X. Por
tanto, definamos el concepto de límite de una función en un punto determinado de su
dominio.
Definición 1: Sea �: � − {�} → ℝ; � = �(�), una función donde � es un intervalo abierto;
se dice que lim �(�) = � si se cumple que ∀� > 0, ∃� > 0 tal que ∀� ∈ � se cumple 0 < �→�
|� − �| < � → |�(�) − �| < � (Saenz R. , 2012)
En otras palabras más claras, pues la definición de límite para ser asimilada por la mente
humana requiere de un nivel alto de abstracción, dice que �(�) se acercara al valor L
infinitamente, siempre que el valor x se aproxime al valor a también infinitamente.
Una observación importante es la idea de la unicidad del límite de una función en un punto
determinado del dominio, o sea el valor del límite es solo uno y nada más que ese valor L,
no puede existir otro valor S que defina el límite de la función en el punto a. La siguiente
gráfica muestra claramente este teorema 1 y la idea de la unicidad del mismo.
10
Gráfica 2.1. Definición de límite de una función de una variable real en un punto de su
dominio. Se nota a las claras, que al acercarse al punto a del dominio infinitamente,
también la función f se acerca infinitamente a su valor L.
Algunas propiedades de los límites de las funciones de una variable vienen dadas en el
siguiente teorema.
Teorema 1: Sea �, �, funciones reales definidas en un intervalo abierto � ⊂ ℝ , se toma un
valor � ∈ � en el cual las funciones no tiene por qué estar definidas. Si lim �(�) = �→�
� � lim �(�) = � entonces se cumple �→�
1 lim[�(�) + �(�)] = � + � �→�
2 lim[ �(�)�(�)] = �� �→�
3 lim �(�)
= �→� �(�)
� ; si � ≠ 0 (Saenz, 2012)
�
Otro concepto importante que debe ser revisado dentro de este tópico, es la definición de
límite lateral. O sea, cómo se comporta la función al acercarnos al punto de su dominio
11
tanto por la derecha como por la izquierda, lo cual denota dos nuevas definiciones. Sea
como antes �: � − {�} → ℝ una función.
Definición de limite por la Izquierda: Se nota lim �→�−
�(�) = �1, esto es posible si se cumple:
∀� > 0, ∃� > 0 tal que ∀� ∈ � se cumple 0 < � − � < � → |�(�) − �1| < � (Saenz,
2012)
Definición de limite por la Derecha: Se nota lim �→�+
�(�) = �2, esto es posible si se cumple:
∀� > 0, ∃� > 0 tal que ∀� ∈ � se cumple 0 < � − � < � → |�(�) − �2| < � (Saenz,
2012)
Una observación importante está dada en que si lim �→�−
�(�) = lim �→�+
�(�) → lim �(�) = �. �→�
Por tanto si los limites laterales alrededor del punto a son iguales �1 = �2, entonces el
límite de la función en a existe. Haciendo uso de la idea de la unicidad del límite de la
función, se dice que si los límites laterales son diferentes �1 ≠ �2, entonces la función f no
tiene límite en ese punto o no existe. En el siguiente gráfico vemos la idea de límites
laterales de modo geométrico.
Gráfico 2.2. Limites laterales de una función f diferentes alrededores del punto a. La
función no tiene límite definido en este punto.
12
Después de revisar el concepto de límite de una función en un punto de su dominio
cualquiera, entonces se puede definir el concepto de función continua en un punto. Véase el
siguiente teorema sobre continuidad de una función.
Teorema 3: Sea f una función definida en un intervalo abierto � ⊂ ℝ y sea un punto � ∈ �.
Luego se dice que la función f es continua en a si se cumple que el límite de dicha función
en ese punto existe, o sea se cumple lim �(�) = �(�) (Krasnov, 1990) �→�
Corolario: Si f es continua puntualmente en � ∈ �, entonces sus límites laterales son
iguales en el punto a.
Ahora se revisará en otro teorema el concepto de límite una función en un intervalo tanto
abierto como cerrado.
Teorema 4: La función f es continua en el intervalo abierto I si es continua en todo punto
del intervalo. Luego si el intervalo I es cerrado � = [�, �], entonces se dice continua f en
este intervalo si es continua puntualmente en cada punto interior del intervalo y existen los
límites laterales derechos e izquierdos de las fronteras a y b respectivamente, de tal manera
que existen lim �→�+
�(�) y lim �→�−
�(�) (Krasnov, 1990)
De las propiedades de los límites de las funciones se deduce que tanto la suma, como la
multiplicación y el cociente de dos funciones continuas en un mismo intervalo, también se
generan otra función igualmente continua en ese intervalo, sea este abierto o cerrado.
En cuanto a la discontinuidad de una función f de una variable en un punto a de su dominio,
se clasifica en dos tipos. Primeramente, discontinuidad salvable o de primera especie si los
límites laterales existen alrededor del punto a son iguales y se puede redefinir la función.
Segundo caso discontinuidad no salvable o de segunda especie es cuando en el punto a el
límite no existe o es infinito.
Otro tema que se estudia en este tópico es el comportamiento asintótico de las funciones
continuas: Se dice que la recta y=mx+n es una asíntota de la función f si lim [�(�) −
(�� + �)] = 0. �→±∞
2.3 El cálculo diferencial de las funciones de una variable real.
Conocer el valor de la recta tangente a una curva fue quimera de la comunidad científica
del siglo XVII, pues los físicos-matemáticos Sr. Isaac Newton y Gottfried W Leibniz
trataban de obtener el valor de la velocidad de un móvil clásico a partir de la curva--función
13
y=f(x), la cual no era más que su trayectoria continúa. Lo más importante de la ecuación de
una recta en un plano XY, y=mx+b es su pendiente m la cual puede ser calculada como
una razón entre la diferencia ∆�/∆� de dos puntos de dicha recta. Esta idea de cálculo de
la pendiente se sabe de los conocimientos de la geometría analítica Euclidea, pero como no
se conoce analíticamente la recta, entonces los dos puntos sobre la recta tangente son
desconocidos, por tanto, necesitamos dos puntos muy cercanos que sean en buena
aproximación parte de la recta y de la curva de la cual si conocemos su ecuación.
Luego si la distancia entre los dos puntos comienza a disminuir hasta tomar una pequeña
vecindad alrededor del punto de análisis de la curva trayectoria f(x). Los dos puntos
pudieran ser el mismo punto de análisis (�0, �(�0)) y el otro punto cuya distancia es h en el
eje de las X queda (�0 + ℎ , �(�0 + ℎ )). Luego calcular la pendiente de la recta tangente
entre estos dos puntos es � = ∇�
= �(�0+ℎ )−�(�0)
, pero el cálculo de la pendiente a partir ∆� ℎ
de esta ecuación anterior no es muy precisa si el valor de h>0 es grande, ejemplo ℎ = 0.1.
Por tanto el cálculo más exacto de la misma seria a través de un proceso de cálculo de
límite cuando la variable x tiende al punto de análisis �0, o sea h tiende a cero. O sea la
pendiente exacta seria calculada así � = lim � (�0+ℎ )−�(�0)
. La siguiente gráfica refleja este ℎ→0 ℎ
proceso de cálculo de la pendiente de la recta tangente a la curva f en el punto �0 (Saenz,
2012)
Gráfico 2.3. Calculo de la pendiente de la recta tangente a través de un proceso de
cálculo de límite donde la variable � se aproxima a la variable �� por la derecha, o
sea el valor de h tiende a cero.
14
Luego a este proceso exacto de cálculo de la pendiente de la recta tangente a través del uso
de límite se le denomino primera derivada de la función evaluada en el punto �0 y se notó:
�´(� ) = lim �(�0+ℎ )−�(�0)
o de otra manera ��(�)
|� .
0 ℎ→0 ℎ �� 0
Si el proceso se lleva a todos los puntos del dominio de la función f entonces ha surgido
una nueva función denominada función primera derivada
�´(�) = lim �(� + ℎ ) − �(�)
(2.1) ℎ→0 ℎ
Una observación importante a partir de la ecuación (2.1) está en el siguiente teorema.
Teorema 5: Sea I un intervalo desde los valores a hasta b de modo (abierto, cerrado,
semiabierto) del eje real, para que la función �(�) sea derivable en este intervalo I de su
dominio, entonces tiene que ser continua en ∀� ∈ � (Krasnov, 1990)
Si f no cumpliera con las condiciones del teorema anterior, entonces el límite que define la
primera derivada no existiría en cada punto x del intervalo I.
A partir de la definición de primera derivada de una función real de una variable que
representa la ecuación (2.1) surgió la tabla de derivadas de las funciones reales de una
variable fundamentales. La cual será expuesta a continuación:
Tabla 2.1. Primeras derivadas de las funciones fundamentales de una variable real.
Función Fundamental Función Primera Derivada
�(�) = �, � ∈ ℝ �′(�) = 0
�(�) = �� , � ∈ ℝ �′(�) = ���−1
�(�) = ���(�) �′(�) = cos(�)
�(�) = cos(�) �′(�) = −���(�)
�(�) = ���(�) �′(�) = 1
���2(�)
�(�) = ���(�) �′(�) = − 1
���2(�)
�(�) = ��, � > 0 � ′(�) = ����(�)
�(�) = �� �′(�) = ��
15
�(�) = log� � , � > 0 �′(�) = 1
���(�)
�(�) = ln � �′(�) = 1
�
�(�) = ������(�) �′(�) = 1
√1 − �2
�(�) = ������(�) �′(�) = − 1
√1 − �2
�(�) = ������(�) �′(�) = 1
1 + �2
�(�) = ������(�) �′(�) = − 1
1 + �2
�(�) = ���ℎ (�) �′(�) = ���ℎ (�)
�(�) = ���ℎ (�) �′(�) = ���ℎ (�)
Igualmente, a partir de la ecuación-definición (2.1) se puede demostrar para dos funciones f
y g que sean derivables en un intervalo I (abierto, cerrado, semiabierto) que las siguientes
combinaciones operacionales de ellas dos dan funciones derivables, las cuales pueden ser
calculadas así:
1 Si ℎ (�) = ��(�) ± ��(�), �, � ∈ ℝ → ℎ ′(�) = ��′(�) ± ��′(�)
2 Si ℎ (�) = �(�)�(�) → ℎ ′(�) = �′(�)�(�) + �(�)�′(�)
3 Si ℎ (�) =
�(�) , �(�) ≠ 0 → ℎ ′(�) =
�′(�)�(�)−�(�)�′(�)
�(�) �(�)2
4 Si ℎ (�) = �(�(�(�))) → ℎ ′(�) =
��
��
�� . Regla de la cadena
��(�(�)) ��(�) ��
Las derivadas de orden dos y superiores hasta orden n-esimo de una función f de variable
real se van calculando paso a paso en un proceso recurrente, pues la segunda derivada no es
más que la primera derivada de la función original, y se nota y calcula como
�2�(�) �′′(�) = (�′(�))′ =
��2
16
(2.2)
17
La tercera derivada de la función f se calcula
�
�2�(�)
�3�(�)
�′′′(�) = (�′′(�))′ = ( �� ��2 ) =
��3
(2.3)
⋮
Igualmente, la derivada de orden n-esimo se nota y calcula por un proceso de recurrencia
así:
�(�)(�) = (�(�−1)(�))′
���(�)
= ���
(2.4)
Un uso práctico muy importante de las derivadas tanto primera como de órdenes superiores
de una función de variable real, está dado en la determinación de los puntos extremos � =
� de dicha función f. Son máximos si ∃� > 0, ∀� ∈ [� − �, � + �] se cumple �(�) ≤ �(�)
y mínimos si ∃� > 0, ∀� ∈ [� − �, � + �] se cumple �(�) ≥ �(�)). Por tanto como
consecuencia de estos dos casos extremos de la función, entonces �′(�) = 0. Luego: si
además �′′(�) > 0 entonces será un mínimo de f el punto de análisis x=a, si �′′(�) < 0
entonces será x=a un mínimo de f. Con respecto a la segunda derivadas, en los puntos � =
� donde se cumple �′′(�) = 0 la función f tiene un punto de cambio de inflexión o cambio
de su concavidad (Krasnov, 1990)
Un resultado importantísimo del cálculo diferencial de las funciones de una variable real es
el teorema del valor medio (TVM), sus aplicaciones son decisivas a la hora de resolver
muchísimos problemas de las físicas e ingenierías.
Teorema 6: Sea f una función de variable real continua en el intervalo [�, �] y derivable en
el intervalo ]�, �[ . Luego existe un valor � ∈ ]�, �[ tal que se cumple
�′(�) = �(�) − �(�)
� − �
(2.5)
Un corolario importante de este teorema esta cuando: Sean f y g dos funciones continuas en
el intervalo [�, �] y derivable en el intervalo ]�, �[ . Luego existe un valor � ∈ ]�, �[ tal que
se cumple [�(�) − �(�)]�′(�) = [�(�) − �(�)]� ′(�) (Krasnov, 1990)
Debido a estos resultados del teorema del valor medio podemos afirmar. Sea f una función
de variable real continua en el intervalo [�, �] y derivable en el intervalo ]�, �[, entonces se
cumple para todo x que pertenece al abierto ]�, �[:
1 Si �′(�) < 0 entonces f es decreciente en el intervalo abierto
2 Si �′(�) > 0 entonces f es creciente en el intervalo abierto
18
�
�
�=1
�=1
3 Si �′(�) = 0 entonces f es un valor constante real en el intervalo abierto
2.4 El cálculo integral sobre las funciones de una variable real
según Riemann.
Sea el intervalo cerrado � = [�, �] de la recta real, se define una partición P sobre este
intervalo al conjunto de puntos [�0, �1, , , ��] que pertenecen a I que cumple con � = �0 <
�1 < ⋯ < �� = �. O sea la partición P divide al intervalo en n partes o subintervalos de la
forma [��−1, ��] de tal manera que i recorre desde 1 hasta n natural números. Luego la
longitud de este i-esimo intervalo la notaremos y definiremos ∆�� = �� − ��−1.
Luego si opera una función f continua sobre I (más adelante veremos que puede ser más
débil la idea de continuidad) y por demás existe una partición P en dicho intervalo,
entonces definiremos dos conjuntos de valores de f. Primero el conjunto de los n ínfimos de
f en cada subintervalo i-esimo de la partición definidos como � = ��� ��−1≤�≤��
�(�). El
segundo definido como el conjunto de los n supremos de f en cada subintervalo i-esimo de
la partición definidos como � = ��� ��−1≤�≤��
�(�).
Estos dos conjuntos de Card(n), dan origen a las denominadas sumas superiores e inferiores
de la función f en el intervalo I, las cuales se nombran y definen. La superior está dada por
�(�, �) = ∑� ��∆��, (viene del vocablo Upper en idioma Ingles). La inferior viene dada
(debido al vocablo Low en idioma ingles) �(�, �) = ∑� ��∆�� . Una observación
importante viene dada en que se cumple la siguiente relación de orden �(�, �) ≤ �(�, �),
lo cual se muestra geométricamente en el siguiente gráfico.
Gráfica 2.4. Los rectángulos de dos colores muestran las diferencias entre los términos
de ambas sumas Superior e Inferior en cada subintervalo de la partición P del
intervalo I.
19
∫
Ahora se debe definir las condiciones para las cuales una función real es integrable sobre
un intervalo cerrado determinado del eje real de su variable.
Teorema 7: Sea f una función real definida y acotada sobre un intervalo cerrado real � =
[�, �]. Luego f es integrable sobre el intervalo I, si y solo si ∀� > 0, existe una partición P
del intervalo I, tal que se cumple la siguiente inecuación �(�, �) − �(�, �) < �.
De este resultado se sigue que inf��(�, �) = ���� �(�, �). A este valor común se lo
conoce como la integral de f sobre el intervalo [�, �].
La integral de f(x) sobre el intervalo � = [�, �], se denomina integral definida de la función
f y se nota como � �(�)��; lo cual representa geométricamente el área bajo la curva que �
describe la función �(�) ≥ 0 y el eje X dentro del intervalo I. La integral definida de f
sobre I es un número real.
Se debe destacar que las funciones con finitos puntos de discontinuidad dentro de un
intervalo � = [�, �] también son integrables en dicho intervalo.
Algunas propiedades de la integral definida serán expuestas a continuación. Sean f(x) y g(x)
funciones integrables sobre el intervalo cerrado real [�, �], entonces se cumple que:
1 ∀�, � ∈ ℝ, sea la función ��(�) + ��(�) integrable en el intervalo cerrado [�, �].
Por tanto ∫�(��(�) + ��(�))�� =
� ∫�
�(�)�� + � ∫�
�(�)��. Propiedad lineal de la �
operación integral. � �
2 Si ∃� ∈ (�, �) entonces como f(x) es integrable en todo el cerrado se cumple
∫�
�(�)�� = ∫�
�(�)�� + ∫�
�(�)��. � � �
3 Si para todo x que pertenece al intervalo cerrado se cumple �(�) ≤ �(�), entonces
∫�
�(�)�� ≤ ∫�
�(�)��. � �
4 Si |�(�)| es integrable en el intervalo [�, �] entonces se cumple que
|∫
� �(�)��| ≤ ∫
�|�(�)|��.
� �
20
5 La función ℎ (�) = �(�)�(�) sera integrable en el intervalo cerrado [�, �] (Krasnov,
1990)
Un importantísimo teorema del cálculo integral es el denominado teorema fundamental del
cálculo (TFC), el cual tiene un apreciado valor práctico en las ciencias e ingenierías.
Teorema 8: Sea f(x) una función integrable en el intervalo [�, �] y sea definida la función
F(x), denominada una de las primitivas de f(x), como: �
�(�) = ∫ �(�) ��; � ∈ [�, �] (2.6)
�
Si f(x) es continua en el punto x, entonces �′(�) = �(�) (Saenz R. , 2012)
Una función F cuya derivada es f (en un intervalo) se llama una primitiva de f. Luego, a una
primitiva genérica de f se le denomina la integral indefinida de f, se le nota por ∫ �(�)��.
El resultado de este proceso de integración indefinida genera una familia de curvas de la
función primitiva F.
∫ �(�)�� = �(�) + �; � ∈ ℝ (2.7)
Un resultado importante del teorema fundamental del cálculo es el denominado teorema de
Newton-Leibniz para el cálculo de la integral definida de f(x) en un intervalo cerrado
cualquiera.
Teorema 9: Sea f(x) integrable sobre el intervalo [�, �] y sea F(x) una primitiva de f(x) en
[�, �], entonces se cumple que:
�
∫ �(�)�� = �(�) − �(�) (2.8)
�
Como se nota para calcular la integral definida de f sobre cualquier intervalo, primero
debemos conocer su primitiva F. Por tanto, la función primitiva debe ser calculada a través
de un proceso de integración indefinida de la función f.
Básicamente existen dos métodos de integración útiles para el cálculo de integrales.
El primer método de integración es el de cambio de variable o sustitución. Sea
�(�): [�, �] → [�, �] con la función �′(�) continua en el intervalo [�, �] y sea f(x) otra
función continua en el intervalo [�, �], entonces para la función compuesta f(g(x)) se
cumple:
21
� �(�)
∫ �(�(�))�′(�)�� = ∫ �(�)�� , � = �(�) (2.9)
� �(�)
Un segundo artificio matemático muy utilizado para calcular integrales indefinidas es el
denominado método de integración por partes. Sean f(x) y g(x) derivables en el intervalo
[�, �]; además sean �′(�) y �′(�) integrables en el intervalo [�, �], entonces se
cumple que:
∫�
�(�)�′(�)�� = �(�)�(�) − �(�)�(�) − ∫�
�′(�)�(�)�� (2.10) � �
(Krasnov, 1990)
2.5 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden
y órdenes superiores. Diferentes métodos de resolución.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n-esimo no homogénea tiene la forma:
� ( ���(�)
��� , , , ��(�
) , �(�)) = ℎ (�) (2.11)
��
Donde la función g(x) es la solución única que resuelve la igualdad, de la ecuación 2.11 y �
está definida en un espacio vectorial ℝ�+1
La ecuación se llama ordinaria porque la función incógnita de la ecuación diferencial es de
una sola variable real, si la función dependiese de varias variables reales se denomina,
entonces ecuación diferencial parcial. El orden de una ecuación diferencial se define como
el orden del mayor operador diferencial que actúa sobre la función incógnita, en este caso la
función g(x).
Una expresión interesante de una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n-esimo, es
la siguiente:
�
∑ ��(�)
�=0
���(�)
���
= ℎ (�) (2.12)
Donde los ��(�) son los denominados coeficientes funcionales que acompañan al
operador diferencial en cada término de la sumatoria, en la ecuación 2.12, de los cuales son
conocidas cada una de sus n+1 expresiones matemáticas. Un caso muy especial es cuando
22
estos n+1 coeficientes, son constantes, entonces las soluciones analíticas de dicha ecuación
2.12, se pueden resolver de manera fácil.
23
Una última clasificación está dada por la función h(x), pues si esta función es igual a cero,
entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias 2.11 y 2.12 se dice que son homogéneas,
caso contrario son No homogéneas. Ejemplo de algunas ecuaciones diferenciales y su
clasificación son:
�4�(�) 3
�2�(�) 2
( ) 7
( ��4 ) − 3� (
��2 ) + 6� � = 5� − 3 Ecuación diferencial ordinaria de cuarto
orden, tercer grado, no homogénea, con coeficientes variables.
�3�(�) 7
�2�(�) 10
( )
Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden,
( ��3 ) + 9 (
��2 ) − � � = 0
séptimo grado, homogénea, con coeficientes constantes.
��(�) − 8�(�) = 5�−� Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal, no
��
homogénea, con coeficientes constantes.
�2�(�,�) − 3�
�2�(�,�) + �(�, �) = ���(�) Ecuación diferencial a derivadas parciales, se
��2 ��2
hace notar que �: � ⊂ ℝ2 → ℝ.
Cuando al resolver la ecuación 2.11 no se conocen valores de la función solución en los
puntos extremos del intervalo I, entonces la solución de dicha ecuación diferencial
ordinaria es una familia de funciones de g(x), la cual se define como �(�) + �, � ∈ ℝ, esta
familia de curvas se notara como el conjunto ��(�, ℝ). Toda función solución � ∈ ��(�,
ℝ) es n veces derivable en el intervalo I, y se denominan también ecuación integral de la
EDO representada en la ecuación 2.11. El grafico Ω ∈ ℝ2 que representa este conjunto de
familia de curvas ��(�, ℝ) se denomina curva integral, lo cual representa una solución
geométrica de la ecuación diferencial ordinaria 2.11. Si por el contrario se conocen los
valores de las funciones �(�), �′(�) o una combinación de los mismos, en los extremos
del intervalo I, entonces se podrá encontrar una solución única de la EDO dentro del
conjunto ��(�, ℝ), su solución geométrica será el grafico de la función solución �(�)~�,
� ∈ � (Krasnov, 1990).
2.5.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es un sub caso de la
ecuación 2.11, se representa así:
��(�) � (
��
, �(�)) = ℎ (�) (2.13)
Donde y=g(x) es la función incógnita o solución única de la ecuación 2.13, como ya fue
24
mencionado, el grafico de la misma se denomina curva integral de la ecuación diferencial.
25
Dentro de las ecuaciones diferenciales de primer orden se tienen las lineales, que se pueden
escribir de la siguiente forma:
��(�) = �(�, �), �: ℝ2 → ℝ (2.14)
��
Si en este problema, de la ecuación 2.14, se tiene de inicio una condición �(�0) = �0, la
solución será una función g única, el problema se denomina de valor inicial. Ejemplos de
ellos se resuelven en la física clásica cuando tenemos un medible físico g(t), donde la
variable x como se hace notar es el tiempo t y los valores reales del medible este medible
físico en el tiempo son gobernados por una ecuación diferencial �′(�) = �(�, �). Otro caso
particular de ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden es si la función u solo
depende de la función g explícitamente.
��(�)
��
= �(�) (2.15)
Esta ecuación 2.15 se denomina ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónomo,
según (Lara, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 2016), donde el dominio de la función
u(y) se denomina espacio de fase de dimensión 1, en él, se pueden hacer análisis de
estabilidad de las familias de curvas soluciones, donde los puntos de equilibrio de la
ecuación 2.15, son los valores de �� para los cuales �(�) = 0. También se cumple que en el
gráfico de soluciones de la familia de curvas si:
Si �′(��) < 0, entonces el grafico de la familia de curvas soluciones de la ecuación 2.15
forma un punto de sumidero en el punto ��.
Si �′(��) > 0, entonces el grafico de la familia de curvas soluciones de la ecuación 2.15
forma un punto fuente en el punto ��.
El método de solución analítico de estas ecuaciones diferenciales autónomas, es muy
rápido, pero se expresa de modo explícito a través de la variable x:
�(�) = ∫ ��
�(�)
= �(�) + �, tal que k es un número real.
Un segundo caso está dado cuando la función u es de variables separables tal que:
�(�, �) = �(�)�(�) entonces la ecuación 2.14 queda
��(�)
��
= �(�, �) = �(�)�(�) (2.16)
La solución de la ecuación 2.16 es relativamente sencilla de operar, la cual es: ��
∫ �(�)
�� = ∫
�(�)
26
Cuando la función u(x,y) no puede ser separada según sus variables, entonces se usan
artificios matemáticos para llegar a una nueva ecuación equivalente a la ecuación 2.14 que
sea de variable separable. Un artificio muy usado es un cambio de variable, por ejemplo se
introduce una nueva variable así � = �
, � ≠ 0 �
esto resuelve la situación de inmediato
quedando ��(�) = �(�, �) = �(�)�(�). ��
Si existe una función F(x,y) tal que �: ℝ2 → ℝ continua en un abierto de ℝ2, al igual que
sus derivadas parciales �� , ��
. Cuando las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer �� ��
tienen la forma �(�, �) + �(�, �) ��
(que se suele expresar así: �(�, �)�� + �(�, �)�� = ��
0), � �(�, �) = ��(�,�)
, �(�, �) = ��(�,�)
y cumplen con que �� = ��
entonces se dicen �� �� �� ��
que son ecuaciones diferenciales exactas de F(x,y).
Su solución es la ecuación �(�, �) = �, � ∈ ℝ, se halla a través de las ecuaciones
integrales que provienen de �(�, �) = ��(�,�)
, �(�, �) = ��(�,�)
. Un camino para
obtener
dicha solución puede ser. �� ��
�(�, �) = ∫ �(�, �)�� + ℎ (�) = �(�, �) + ℎ (�)
Luego usando la ecuación diferencial parcial �(�, �) = ��(�,�)
= ��(�,�)
+ �ℎ (�)
obtienen la ��
ecuación h(y), con lo cual obtendrán la solución �(�, �) = �.
�� ��
Si la diferencia entre ��(�,�) − ��(�,�)
≠ 0 entonces la ecuación diferencial es no exacta. Su �� ��
solución es llevarla a una nueva ecuación diferencial exacta equivalente, lo cual se logra,
operando con un factor integrante �(�, �) que se le multiplica a la ecuación original no
exacta. El cálculo del factor integrante se obtiene según sea la situación a través de la
diferencia de las derivadas parciales no nulas anteriores (Lara, 2016).
Otras ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes No
constantes son las denominadas ecuaciones de Bernoulli y Ricatti.
2.5.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior lineales con
coeficientes constantes.
La ecuación diferencial ordinaria lineal 2.12 es la forma general de una ecuación de orden
superior n-esimo. Si y=g(x) entonces quedaría:
27
�=1
�
∑ ��(�)
�=0
���(�)
���
= ℎ (�)
El término izquierdo de la ecuación diferencial anterior es un operador diferencial lineal L
que actúa sobre la ecuación � = �(�):
�
�(�) = ∑
��(�)
�=0
���(�)
���
= ℎ (�) (2.17)
La solución única de esta ecuación 2.17, se conforma por la solución de su ecuación �
homogénea �(�) = ∑� � (�) � �(�)
= 0, mas una función solución particular � (�) que
�=0 � ��� �
debe satisfacer la ecuación diferencial. Si los coeficientes ��(�) son valores reales
constantes, entonces la solución de la ecuación anterior 2.17 se resuelve analíticamente de
modo más sencilla, lo cual se analiza más adelante.
De modo general, �(�) es un operador lineal y la solución única de la ecuación homogénea
�(�) = 0 es la combinación lineal de una familia de funciones linealmente independientes
��(�) tal que �(�) = ∑� ����(�), donde los �� son números reales constantes. Las
funciones ��(�) se pueden determinar que son linealmente independientes, si cumplen que: � �=1 �� ��(�) = 0 implica que los coeficientes �� = 0
Si derivamos esta condición anterior n-1 veces nos quedaría un sistema de ecuaciones
homogéneas, del cual se deduce la denominada matriz de Wronskiano del sistema de
ecuaciones, entonces se deduce un teorema:
Teorema 10: Si las funciones �1(�), �2(�), , , ��(�) son linealmente independientes en
un intervalo abierto � ⊂ ℝ, donde son soluciones de la ecuación homogénea �
∑� � (�) � �(�)
= 0 con los coeficientes � (�) continuos en dicho intervalo I y �
= 1, �=0 � ��� � 0
entonces el determinante Wronskiano del sistema de ecuaciones homogéneo formado por
las mismas, su resultado tiene que ser un número real diferente de cero en todos los puntos
del intervalo I:
�1 ⋯ ��
[ ⋮ ⋱ ⋮ �
(�−1) ⋯ �(�−1)
] ≠ 0 (2.19)
1 �
Las únicas ecuaciones que cumplen con esto son cuando las ��(�) = ����, donde los
∑
28
valores �� pueden ser reales o complejos. Luego las soluciones de la ecuación homogénea �
∑� � (�) � �(�)
= 0 serán de la forma
�=0 � ���
29
�=1
�
�ℎ (�) = ∑ ������
�=1
La solución general de la ecuación diferencial 2.17 es de la siguiente forma: �
�(�) = ∑ ������ + ��(�) (2.18)
�=1
Si todos los coeficientes funcionales ��(�) de la ecuación diferencial ordinal 2.17 fuesen
valores constantes, entonces como se anunció anteriormente la obtención de la solución se
facilita. Primero la solución homogénea se realiza a través de la determinación de los
valores de ��, estos se calculan a través del denominado polinomio característico de la
ecuación diferencial homogénea con valores constantes, pues son las raíces o soluciones del
mismo. El polinomio característico se arma al sustituir la derivada de orden n-esimo por el
valor ��−�����correspondiente en cada término quedando así:
� �=0 ���� = 0, �� ∈ ℝ (Lara, 2016)
La función solución particular ��(�) de la ecuación diferencial 2.17, se determina a través
de varios métodos. Los más usados son los denominados métodos del anulador y método
del parámetro variacional. No es objetivo de este trabajo ampliar explicaciones en ellos,
solo se comentará:
El método del anulador consiste en obtener un operador diferencial D que al aplicarlo sobre
la función h(x) la anule, por ende, la ecuación diferencial ordinaria No homogénea, se
convierte en una ecuación equivalente homogénea. El método del parámetro variacional
consiste en una vez obtenida la solución homogénea, volver sus coeficientes �� en
funciones dependientes de la variable independiente, quedando así
�ℎ (�) = ∑� ��(�)����, luego aplicamos esta solución sobre la ecuación diferencial
original 2.17 y obtenemos la solución particular ��(�).
∑
30
2.6 Fundamentos de espacios vectoriales. Transformaciones
lineales y matrices.
El álgebra lineal es uno de los tópicos más importantes de las matemáticas superiores
modernas, pues innumerables problemas de las ciencias puras e ingenierías, han obtenido
su solución matemática a través de esta materia. El concepto de espacio vectorial es
fundamental en el desarrollo teórico de un curso de este tema, pues en un curso de algebra
lineal se estudian las relaciones operacionales entre diferentes entes matemáticos (vectores,
funciones, sucesiones,…) dentro de un espacio vectorial definido a partir de un campo
numérico. Un espacio vectorial es un conjunto �, con una operación interna (+) entre sus
elementos y una segunda operación externa (∙) cerrada entre elementos de un cuerpo �,
como los números reales o complejos y elementos de V.
Para la operación interna suma (+) siempre se cumple para todos los elementos �, � ∈ �,
entonces (� + �) ∈ �.
i. � + � = � + �
ii. � + (� + �) = (� + �) + �
iii. Existe un elemento nulo 0 ∈ � tal que ∀� ∈ � se cumple 0 + � = � + 0 = �
iv. Existe un elemento inverso de ∀� notado −� tal que � + (−�) = 0
Para la operación externa (∙) con elementos de un cuerpo externo � se cumple que ∀ ��� y
∀� ∈ � siempre �� ∈ �.
v. ∀�, � ∈ �, ∀� ∈ � se cumple que �(��) = (��)�
vi. Existe un elemento neutro � ∈ � tal que ∀� ∈ � se cumple �� = �
vii. ∀�, � ∈ �, ∀�, � ∈ � se cumple que �(� + �) = �� + ��
viii. ∀�, � ∈ �, ∀�, � ∈ � se cumple que (� + �)� = �� + ��
A los elementos de un espacio vectorial se los llama vectores.
Un espacio vectorial posee siempre un subconjunto de vectores linealmente independientes
que genera cualquier vector de dicho espacio { � 1 , � 2 , … }, este subconjunto de
vectores se le denomina la base generadora del mismo. Cada vector base se nota � � o ��
si el mismo es unitario y se le nombra versor. De modo general cumplen con la
independencia lineal, � �=1 �� � = 0 solo si cada uno de los �� = 0. El número mínimo n de vectores que
conforman una base generadora nos expresa la dimensión del espacio. Si n es finita
entonces estamos en presencia de un espacio de dimensión finito, caso contrario el espacio
es de dimensión infinita.
∑
31
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial V sobre ℝ o sobre ℂ con una operación llamada
producto escalar (•) que a dos vectores x, y de V le asigna un número real o complejo,
notado � • � y que satisface las siguientes propiedades:
Para todos los �, � ∈ � y todo ��ℝ o ℂ
1. � • � = •
2. (��) • � = �(� • �)
3. (� + �) • � = � • � + � • �
4. � • � ≥ 0 y � • � = 0 si y solo si � = 0.
Dos vectores �, � se dicen ortogonales si � • � = 0.
A la √� • � se la llama la norma del vector � y se la nota por ‖�‖ o en ocasiones |�|. Una
propiedad fundamental de la norma es la desigualdad triangular:
‖� + �‖ ≤ ‖�‖ + ‖�‖.
Las otras propiedades de la norma se deducen inmediatamente de la definición y de las
propiedades del producto escalar (Maltiev, 1978).
Luego, las teorías que desarrollaron la mecánica clásica (Newton, LaGrange, Hamilton) se
describieron sobre espacios vectoriales euclídeos, sin todavía estos conceptos existir como
tal.
Antes de hablar de las denominadas transformaciones lineales, se desarrollará muy breve el
concepto de matriz, los diferentes tipos de estas, las matrices que admiten inversas ¿Cómo
determinar la inversa de una matriz? ¿Cómo calcular el determinante de las matrices
cuadradas?
Una matriz en las matemáticas superiores no es más que un arreglo ordenado de entes
matemáticos (que siempre representan números), por filas y por columnas. Las filas se
representan con la letra � y corre desde 1 hasta �, las columnas se representan con la letra
� y corren desde 1 hasta �. Luego, se notan una matriz A como (���) tal que:
� = (
�11 ⋯ �1�
⋮ ⋱ ⋮ ) ��1 ⋯ ���
0
� = ( ⋮ ⋯ ⋱
0 ⋮ )
0 ⋯ 0
32
1 � = ( ⋮
⋯ ⋱
1 ⋮ )
1 ⋯ 1
Las matrices O, I se denominan matriz nula y matriz identidad respectivamente. La
traspuesta de � se nota ��, se define como (���), y se escribe
�� = (
�11 ⋯ �1�
⋮ ⋱ ⋮ ) ��1 ⋯ ���
El determinante de una matriz A, es un valor numérico del mismo campo numérico al que
pertenecen los ���, se representa así:
det(�) = |
�11 ⋯ �1�
⋮ ⋱ ⋮
�
| = �11 + �12 + ⋯ + �1� = ∑ �1� , � = 1
��1 ⋯ ���
�=1
O sea la sumatoria de los cofactores ��� de la primera fila o de cualquier otra.
Solo las matrices cuadradas (� = �) pueden tener matriz de cofactores , o sea cada ���,
se sustituye por su correspondiente cofactor ��� = ��� = (−1)�+�������, donde el
determinante ��� se calcula quitando la fila i y la columna j correspondiente. Luego
la matriz de los cofactores, también se nota (���).
= (
�11 ⋯ �1�
⋮ ⋱ ⋮ ) ��1 ⋯ ���
Las matrices cuadradas cuyo det(�) ≠ 0 se denominan No singulares, caso contrario
det(�) = 0 se llaman singulares. Las matrices No singulares, se les puede calcular su
respectiva matriz inversa, cuya notación es �−1. O sea se cumple ��−1 = �, por esta
relación se puede calcular la inversa como:
�−1 = ��
det(�)
(2.19)
En la ecuación 2.19 se observa que las matrices singulares no tienen definida matriz inversa
correspondiente. Ahora se pasará a revisar el sub tópico de transformaciones lineales, una
pregunta fundamental será ¿Qué es una transformación lineal entre espacios vectoriales?
33
Otra segunda pregunta que se hacen los alumnos es ¿Cómo determinar la matriz de
transformación entre espacios vectoriales?
Sean � y � dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo numérico � y sea � una
función de � en �. Se dice que T es una transformación lineal si
i. Sean �, � ∈ �, entonces �(� + �) = �(�) + �(�)
ii. Sean � ∈ � y � ∈ �, entonces �(��) = ��(�)
Si, cumple con las dos condiciones anteriores es una transformación lineal. Las condiciones
i e ii se pueden resumir en �(�� + ��) = ��(�) + ��(�), donde también � ∈ �.
De ii se sigue inmediatamente que �(0) = 0.
Un concepto importante es el denominado núcleo de la transformación lineal que es un
subconjunto de �; se nota y define como ���(�) = {� ∈ �: �(�) = 0}. Otro concepto
fundamental es la imagen de la transformación lineal la cual es un subespacios de �; se
nota y define ���(�) = {� ∈ �: ∃ � ∈ �, �(�) = �}.
Un teorema importantísimo entre las dimensiones de los espacios vectoriales de dimensión
finita, dice que ���(�) = ���(ker(�)) + ���(���(�)) (Benalcazar, 2013)
Otra forma de representar la transformación lineal es a través de su matriz de
transformación lineal �.
Si la ���(�) = � y la ���(�) = �, entonces la matriz de la transformación es ���. Si
� = � y det(�) ≠ 0, entonces existe la matriz inversa de la transformación lineal �−1
(Benalcazar, 2013). En el caso particular en que � = ℝ�, � = ℝ�, �(�) = � es
equivalente a ��� = ��. La transformación inversa quedara �−1�� = ��.
2.7 Teoría de campos vectoriales y sus operadores
fundamentales. Teorema de contorno y flujo de los campos
vectoriales.
En el anexo 1 se desarrollan las funciones vectoriales �: ℝ� → ℝ�, un tipo de función
vectorial interesante en ocasiones son las paramétricas �: � ⊂ ℝ → ℝ �, � ∈ �, �(�) ∈ ℝ �,
donde cada n-esima variable inicial depende de un parámetro, en la física puede ser el
tiempo ese parámetro � de los cuales dependen las n-esimas coordenadas de entradas de un
medible vectorial determinado. También se vieron las funciones escalares �: ℝ� → ℝ. En
general los medibles físicos clásicos se describen a través de estas funciones, sean escalares
34
o vectoriales. Las relaciones entre estas magnitudes mayormente pasan a través de
operadores diferenciales e integrales que actúan sobre estos. Ejemplos () = −∇ �(�),
aquí tenemos la relación de un campo vectorial conservativo de fuerza con su
correspondiente función escalar energía potencial. Luego se estudiarán los principales
operadores matemáticos sobre estas funciones multivariables.
Un operador diferencial es el de Hamilton, se nota ∇ . Primeramente si se hace operar
directamente sobre una función escalar �: ℝ� → ℝ en diferentes sistemas coordenados, en
los cuales su dimensión es � ≤ 3. Luego, se obtiene el vector gradiente de dicha función
escalar �. Al ser evaluado sobre un punto del espacio, representa un vector cuya la
dirección, sentido y modulo da idea del cambio de la función escalar � a partir de dicho
punto.
∇ � ( � , � , � ) = ��
� + ��
� + ��
� En un sistema de coordenadas cartesianas. �� �
� ��
(,) = ��
+ 1 ��
En un sistema de coordenadas polares. �� � ��
∇ � ( � , � , � ) = ��
� + 1 ��
� + ��
� En un sistema de coordenadas cilíndricas. �� �
�� ��
∇ � ( � , � , � ) =
�� � +
1
�� +
1 �� En un sistema de coordenadas esféricas
��
(Krasnov, 1990)
����(�) ��
� ��
Un segundo operador fundamental que opera sobre funciones escalares � es el Laplaciano,
este operador trabaja con derivadas parciales de segundo orden, pues se obtiene al hacer el
producto escalar del operador de Hamilton sobre sí mismo; se define como ∇ 2� = ( ∇
•
∇ )�, su cálculo depende del sistema de coordenadas sobre el que se trabaje. El Laplaciano
da una idea numérica de la perturbación puntual del medible funcional escalar �, a través
del espacio n-dimensional en un proceso dinámico real. Por tal razón el aparece en las
ecuaciones de ondas de diferentes fenómenos físicos tanto clásicos como del mundo No
clásico. Un ejemplo esta dado cuando se opera sobre una función escalar perteneciente al
espacio tridimensional en coordenadas cartesianas ∇ 2�(�, �, �) = �2�
+ �2�
+ �2�
��2 ��2 ��2
(Krasnov, 1990). Para otros sistemas coordenados se opera igualmente a este ejemplo
último
35
A través del operador de Hamilton también se obtiene la función escalar divergencia, la
cual no es más que el producto escalar entre el operador de Hamilton y una función
vectorial �: ℝ� → ℝ�. Se escribe de la siguiente manera �(�) = ���(� ) = ∇ • � (�) =
36
|
��� lim � • � , donde ∇� es una bola n-dimensional con centro en el punto � y flujo de
∆�→0 ∮�� 0
campo � • � . El valor numérico que representa en cada punto del espacio n-
dimensional indica el flujo espacial del vector � (Krasnov, 1990). Ejemplo, en los puntos
donde su valor es ±∞ nos indica que el campo vectorial tiene puntos de sumidero o
fuentes. O sea donde
la divergencia es positiva indica que las líneas del campo vectorial salen al exterior desde
una fuente donde �(�) = +∞; si por el contrario la divergencia toma valores negativos,
entonces las líneas del campo van al interior, a un punto sumidero, donde �(�) = −∞. Si
para toda la región espacial donde está el campo vectorial presente se cumple �(�) = 0,
entonces el campo no tiene puntos de sumideros o fuentes.
Un caso del cálculo de la divergencia muy común que se estudia, es cuando las funciones
vectoriales pertenecen al espacio ℝ3 en coordenadas cartesianas �(�, �, �) = ���(� ) =
∇ ( x , y , z ) • � ( � , � , � ) = � �� +
��� +
���. No se realizará el
cálculo en los demás sistemas �� �
� ��
coordenados porque el procedimiento es similar.
Otra forma de manifestarse el operador diferencial de Hamilton es sobre las funciones
vectoriales �: ℝ� → ℝ� dando como resultado el rotor de la función vectorial. Se define
como el producto vectorial entre el operador vectorial de Hamilton y la función vectorial
anterior, se nota ���(� ) = ∇ × � . El vector rotor de un campo vectorial indica la
circulación del campo según la regla de la mano derecha. Luego, los campos con vector
nulo rotacional son campos centrales o irrotacionales, con puntos de divergencia infinita en
el flujo del campo vectorial (para todos los puntos del campo vectorial se cumple ∇ •
� (�) ≠ 0) (Krasnov, 1990). Ejemplos, todos los campos de fuerzas gravitacionales, campos
de fuerzas eléctricos creados por cargas estáticas, campos de fuerzas nucleares. Por otra
parte, los campos vectoriales con vector rotacional no nulo, se denominan campos
rotacionales (para todos los puntos del campo vectorial se cumple ∇ • � (�) = 0), cuyas
líneas de campo forman trayectorias cerradas bipolares. O sea no poseen mono polos
(puntos de sumideros o fuentes) donde nacen o mueren las líneas de campos. Ejemplos los
campos de velocidades del viento de un huracán, los campos magnéticos. Se calcula el rotor
de campos con dimensiones 3, 7 y 21. Para los campos vectoriales tridimensionales en
coordenadas cartesianas. Se calcula:
���(� (�, �, �)) = ∇ × � = �
��
�
��
�
��|
37
�� �� ��
Para campos vectoriales en un sistema de coordenadas cilíndricas, el rotor quedaría:
38
���(� (�, �, �) = ∇ × � = | �
1 � �
| �� � �� �� �� �� ��
Para campos vectoriales en coordenadas polares generalizadas o esféricas, el rotor quedaría:
���(� (�, �, �) = ∇ × � = | �
1 �
1 � |
�� ����(�) ��
� ��
�� �� ��
Dos teoremas fundamentales en la teoría de campos vectoriales y escalares, son los
teoremas de Stokes-Green y el denominado teorema de Gauss. En el primer teorema,
Stokes-Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial � diferenciable (� ∈ �1)
sobre un contorno cerrado, suave o diferenciable a trozos �, perteneciente a un plano �, con
el flujo del rotor del campo vectorial, sobre la superficie abierta, suave y simple � ∈ ℝ3,
cuya frontera Φ ⊂ � es dicho contorno.
Teorema de Stokes-Green 11:
������� �������
∮ � • � � = ∬ ( ∇ × � ) • � � , � � = ���
� �
Donde es el vector normal a la superficie en cada punto de la misma, su dirección se
toma según la regla de la mano derecha y el recorrido del campo vectorial sobre el contorno
�. Un corolario de este teorema es que en los campos vectoriales irrotacionales ∇ × � = 0
se cumple ����
� • � = 0. Este resultado este muy utilizado en la mecánica clásica para �
determinar el comportamiento energético de los diferentes campos de fuerzas externos que
actúan sobre un cuerpo masudo o eléctricamente cargado (Krasnov, 1990)
En el segundo teorema, Gauss logro una igualdad entre el flujo de un campo vectorial �
diferenciable (� ∈ �1) sobre una superficie simple y cerrada � ∈ ℝ3 y el cálculo
volumétrico de la divergencia de dicho campo dentro del volumen � ∈ ℝ3, creado por la
superficie cerrada �.
∮
39
∯
Teorema de Gauss 12:
������� ���������
∯ � • � � = ∭ ( ∇ • � ) �� , � � = ���
� �
Donde el diferencial volumétrico de la región espacial encerrada se representa como ��
(Krasnov, 1990)
Un corolario de este teorema expresa: que los campos vectoriales con divergencia nula ∇ •
� = 0 dentro de la región de acción del campo Ω ⊂ ℝ3, campos vectoriales rotacionales ����
� • � ≠ 0, el valor numérico del flujo de este campo vectorial es nulo a través de �
cualquier superficie cerrada ������� � • = 0, tal que � ⊂ Ω �
∮
40
Capítulo III
3. Cinemática Clásica
3.1 Fundamentos generales de la cinemática clásica.
3.1.1 La trayectoria clásica su descripción.
En la cinemática clásica se estudia el porqué del movimiento de un cuerpo masudo a través
del espacio-tiempo clásico, el cual describe una trayectoria continua sin intervalos de
incertidumbre durante todo el camino desde un punto del espacio tridimensional a otro
durante un lapso de tiempo rítmico. Para describir el movimiento, la física clásica se basa
en una serie de medibles cinemáticos cuyos valores escalares al medirlos son números
reales, o sea responden a la topología de este campo numérico. Existe un medible escalar
fundamental sobre el que se puede expresar todas las demás magnitudes cinemáticas, el
tiempo.
El tiempo por su parte siempre es la variable o parámetro escalar real que trascurre de modo
creciente y rítmico (mundo clásico) sobre el cual se describen los demás medibles. El
espacio sobre los que ocurren los sucesos físicos clásicos es un espacio vectorial euclideo
normado, el espacio tridimensional ℝ3 con una distancia � definida por: si � = (�1, �2, �3)
y � = (�1, �2, �3) son vectores de ℝ3 entonces
3 1/2
�(�, �) = [∑(�� − ��)2]
�=1
. (3.1)
Esta distancia no es más que la inducida por la norma del producto interno usual (� • � =
�1�1 + �2�2 + �3�3), es decir �(�, �) = ‖� − �‖.
Ahora se revisará cómo fueron definidos algunos medibles físicos de la cinemática. La
distancia total de la trayectoria S es un medible escalar que da la magnitud de la distancia
de la trayectoria, la cual no es más que una función de variable tiempo real continua y
diferenciable si el trazado de la curva real del movimiento es suave, definida como
�(�): ℝ → ℝ
Cada punto de la trayectoria puede ser descrito por un elemento del espacio vectorial
� (�) = (�(�), �(�), �(�)), � ∈ ℝ3 (3.2)
41
Este vector es denominado vector posición de la trayectoria, con punto inicial en el origen
coordenado del espacio y punto final en el punto en cuestión de la trayectoria (x, y, z) en el
momento de tiempo genérico � (Halliday, 2001). Su módulo o norma se calcula:
3 1/2
‖� ‖ = [∑(��)2]
�=1
= [�2 + �2 + �2]1/2 (3.3)
Aunque en el tratamiento matemático de las ecuaciones cinemáticas se toma el vector
posición como una función vectorial � (�): ℝ → ℝ3 con parámetro temporal real. Este es
una función vectorial continúa y diferenciable en todo el dominio real de t siempre que la
curva sea suave. Si la curva de la trayectoria posee puntos de riple, estos son puntos donde
la función de posición es continua, pero no existe su primera derivada. Ejemplo de un punto
de riple puede ser donde existe un choque del cuerpo de estudio con otro cuerpo y cambia
bruscamente de trayectoria. En la siguiente figura se ve el vector posición en un punto de
una trayectoria de un cuerpo que se mueve en un plano con puntos de riple:
Gráfico 3.1. Trayectoria de un cuerpo (línea roja) en el plano, la función vectorial �
(t) es continua en todo el dominio y diferenciable en tres trozos de su dominio pues
tiene dos puntos de riple. La curva azul no puede ser nunca la trayectoria del
movimiento de un cuerpo clásico, pues representa una función de posición vectorial
con puntos de discontinuidad de primera y segunda especie.
42
Por otra parte se tiene la magnitud vectorial desplazamiento del movimiento, la cual
también es una función vectorial entre espacios euclideos ∆� (�): ℝ → ℝ3. Para un
momento de tiempo genérico se tiene:
1
3 2 2
1 2 2 2 2
(3.4) ∆� = �� − �� = [∑(��� − ���) ]
�=1
= [(�� − ��) + (�� − ��) + (�� − ��) ]
Esta medible vectorial también es un elemento del espacio vectorial ℝ3 , que como vector
define el desplazamiento desde su origen hasta el punto final (Halliday, 2001). Si se pone el
sistema de referencia en el inicio del movimiento entonces
� =
� o sea el vector
desplazamiento se convierte en el vector posición de la trayectoria. Por otra parte, si se
ubica el sistema de referencia fuera de la trayectoria se formaría un triángulo de suma-resta
de vectores. En los movimientos curvilíneos es muy cómodo pararse en el centro de
curvatura del punto que se analiza de la trayectoria de la partícula o cuerpo. Véase la figura
3.1.
Figura 3.1. Vector desplazamiento de un cuerpo que se mueve por una trayectoria
curvilínea desde un punto 1 hasta 2, para un SR ubicado sobre el punto O.
43
3.1.2 Los medibles rapidez y velocidad media. El cálculo diferencial y la
velocidad instantánea.
Un nuevo medible es la rapidez del movimiento, la cual se nota ��, es el medible que
define la razón escalar entre la distancia de la trayectoria y el intervalo de tiempo que
necesito el movimiento (Halliday, 2001), su expresión matemática es muy simple, o sea es
una función escalar ��(�): ℝ → ℝ continua en todo su dominio y diferenciable si no
posee puntos de riple la trayectoria.
� (�) = �(�)
(3.5) � ∆�
La velocidad media es una magnitud vectorial definida como la relación entre la función
vectorial desplazamiento total del movimiento y el intervalo escalar de tiempo que duro el
movimiento (Halliday, 2001)
(�) = ∆ � (�) =
� (�)− � �
=
∆�(�) , ∆�(�)
, ∆�(�)
(3.6)
� ∆�
∆� (
∆�
∆�
) ∆�
Ambos medibles físicos, rapidez del movimiento y velocidad media ofrecen una
información global del movimiento del cuerpo o partícula dentro del espacio-tiempo
clásico. La medible velocidad puntual o simplemente denominada velocidad es una
velocidad media, lo que para un infinitesimal del tiempo de la trayectoria (Halliday, 2001);
o sea para cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño o tiende a cero en lenguaje
matemático, entonces se calcula el pequeñísimo vector desplazamiento en este mini
intervalo espacial y lo dividimos por un valor temporal muy cercano al cero; en otras
palabras esto no es más que un límite de una función vectorial paramétrica. Véase, en la
gráfica 3.2 un intervalo diferencial espacial cuando el lapso temporal tiende a cero. ∆� → 0
44
Gráfico 3.2. Diferencial de desplazamiento cuando ∆� → �
Por lo expresado en el párrafo anterior se hará uso del concepto de límites sobre una
función de una sola variable real, para definir este nuevo medible.
� (�) = lim
∆�→0
∆
�
(�)
∆�
= ( lim
∆�→0
∆�(�)
∆�
, lim
∆�→0
∆�(�)
∆�
, lim
∆�→0
∆�(�) )
∆�
= lim
∆�→0
∆ �
(�)
∆�
+ lim
∆�→0
∆
� (�)
∆�
+ lim
∆�→0
∆ �
(�)
∆�
� (�) = lim ∆�→0
∆
�
(�)
45
∆�
= ( lim ∆�→0
�(� + ∆�) − �(�)
∆� , lim
∆�→0
�(� + ∆�) − �(�)
∆� , lim
∆�→0
�(� + ∆�) − �(�) )
∆�
46
2 2 2
Luego, si se hace uso de la base {�, �, �} ortonormal del espacio ℝ 3, se puede expresar esta
función vector velocidad puntual a través de las funciones velocidades reales de una
variable temporal para cada dimensión del espacio, que no son más que el resultado de cada
uno de los limites por dimensión
� (�) = lim � (� + ∆�) − � (�)
+ lim � (� + ∆�) − � (�)
+ lim � (� + ∆�) − � (�)
∆�→0 ∆� ∆�→0 ∆� ∆�→0 ∆�
Dónde:
� (�) = ��(�)� + ��(�)� + �� (�)� = (��(�), ��(�), ��(�))
� (�) = ��(�)
, � (�) = ��(�)
, � (�) = ��(�)
.
� �� � ��
�
��
Como se ve la velocidad puntual da la información punto a punto de una cualidad muy
importante de la partícula en su trayectoria espacio-temporal, por eso es la variación de este
medible en el tiempo define el tipo de movimiento. La norma de la función vectorial
velocidad puntual en cada tiempo genérico t, se calcula según:
1/2
‖� (�)‖ = [��(�) + ��(�) + ��(�) ] (3.7)
Si se hace uso de la definición matemática de derivada de una función de variable real
continua en un intervalo abierto, se tiene que
� (�) = ��(�)
, � (�) = ��(�)
, � (�) = ��(�)
.
Luego:
� ��
� ��
�
��
� = ( )
= ��(�)
+ ��(�)
+ ��(�)
(3.8)
�� �� �� ��
La notación de vector la utilizamos para notar vectores unitarios.
Una observación importante está dada cuando la trayectoria tiene puntos de riple entonces
la función vectorial de posición ( ) no es diferenciable debido a que sus límites
para cada función �(�), �(�), �(�) no existen en este momento de tiempo genérico, por
tanto la función vectorial velocidad puntual no puede ser determinada en este punto de la
trayectoria. También la ecuación (3.8) deja una idea geométrica importante sobre la
medible velocidad, pues la derivada evaluada en un punto de una función real será el valor
de la pendiente de la recta tangente al punto de la curva estudiado. Por tanto, la función
vectorial velocidad puntual estará geométricamente situada como un vector tangente a la
47
trayectoria en su punto de estudio en la misma dirección del movimiento del cuerpo. La
siguiente imagen aclara esta idea.
Gráfico 3.3. El vector velocidad puntual siempre se encuentra de modo tangencial a la
trayectoria del cuerpo
3.1.3 La aceleración, segunda derivada de la vector posición.
La aceleración media es un medible funcional vectorial de un espacio ℝ3 que se define de
modo muy similar a la velocidad media, como la variación de la velocidad durante el
movimiento dividido para el lapso de tiempo en que ocurrió el mismo (Halliday, 2001).
() = ∆ ( ) = � ( � ) −
�
(3.9)
� ∆� ∆�
Mientras la aceleración puntual o simplemente aceleración del cuerpo es una función
vectorial puntual genérica temporal en el espacio vectorial ℝ3 al igual que la velocidad
puntual; ambas se definen por las siguientes ecuaciones con límites para cada función
velocidad por dimensión.
() = lim ∆�→0
∆
(
48
)
∆�
49
= [��(�) + � (�) + � (�) ]
�
� (�) = lim � (� + ∆�) − � (�)
+ lim � (� + ∆�) − � (�)
�
∆�→0 ∆� ∆�→0 ∆�
+ lim � (� + ∆�) − � (�)
∆�→0 ∆�
� (�) = ��(�)� + ��(�)� + �� (�)� = (��(�), ��(�), ��(�)) (3.10)
Pasando al cálculo diferencial y al concepto de derivadas de órdenes superiores para
funciones de variable real: Si � (�) = (�(�), �(�), �(�)), se obtiene una expresión
diferencial para la aceleración puntual del cuerpo en cada momento de su trayectoria.
() = ( )
= (�
��
(�), ��
(�), ��
(�)) (3.11)
() = �2�(�)
��2 + �2�(�)
��2 + �2�(�)
��2 �
Donde las funciones reales de aceleración para cada dimensión del espacio vectorial
euclídeo son:
��(�) =
��(�) =
��(�) =
�2�(�)
��2
�2�(�)
��2
�2�(�)
��2
Si se desea calcular la ecuación escalar de la aceleración, se parte de la definición de la
norma Euclidea para un vector perteneciente y quedaría:
|� (�)| = (� • � )1/2 2 2 2 1/2
(3.12)
Si se quiere expresar la función vectorial aceleración puntual como la segunda derivada de
la función vectorial de posición respecto al parámetro temporal.
() = �2
� (
�
50
�
)
��2
Se aclara, que al igual que para la función vectorial de velocidad puntual en los puntos de
riple de la trayectoria del cuerpo no puede ser calculada este medible, por las mismas
51
razones de no diferenciabilidad de () , no puede ser medida la función
vectorial de la aceleración puntual en estos puntos críticos. Geométricamente con respecto a
la curva descrita por la trayectoria del cuerpo este medible vectorial de la aceleración, tiene
una componente tangencial a dicha curva y otra componente normal, siempre la dirección y
sentido de este vector aceleración normal apuntado hacia el centro de curvatura de la curva
en el punto de estudio en cuestión. En la siguiente figura se deja ver lo anteriormente
expuesto.
Gráfico 3.4. El vector aceleración puntual siempre tiene dos componentes respecto a
la trayectoria, una tangencial y otra normal.
Ahora se verán relaciones nuevas entre el módulo de la función vectorial aceleración y los
módulos de los diferentes diferenciales envueltos en el cálculo. Además, por la regla de la
cadena se llega a una ecuación diferencial muy interesante:
�(�(�)) = ��(�)
= ��
��
�� ��
�� ��
� = �
��
(3.13)
52
En esta ecuación (3.13) se tiene un modo de relacionar la velocidad de la partícula y su
aceleración cuando no son dependientes del tiempo, sino del vector de posición
() .
()
y
Observe que en estas ecuaciones diferenciales se ha tomado un infinitesimal de la
trayectoria a partir de un momento de tiempo genérico que se quiere estudiar y el
desplazamiento � en el caso general de un movimiento curvilíneo es tomado como
un pequeñísimo tramo recto del arco de curva. De este modo los movimientos curvilíneos
se analizarán a partir de realizar las sumatorias de los pequeñísimos movimientos
rectilíneos que los conforman, lo cual será matemáticamente expresado al pasar las
ecuaciones diferenciales de los medibles físicos al cálculo integral de Riemann para cada
ecuación particular.
Se concluye que la denominada triada de medibles cinemáticos que describe el
movimiento clásico de un cuerpo ( ) , ( ) , ( ) es
descrito a través de la teoría de las funciones escalares o vectoriales en el dominio de
una variable real que solo toma valores positivos crecientes de modo rítmico (el tiempo), lo
cual determina que sus valores modulares sean valores numéricos reales que se obtienen de
modo continuo durante un intervalo de la línea temporal clásica. Por esta fuerte razón
matemática se puede afirmar que la cinemática clásica es determinística.
3.2 Movimiento rectilíneo de los cuerpos clásicos. Aplicaciones
del cálculo diferencial e integral.
El movimiento rectilíneo o unidimensional como bien dice su nombre lo realiza el cuerpo
en una sola dimensión espacial, o sea el cuerpo se mueve sobre una línea recta en
cualquiera de sus dos sentidos. La trayectoria siempre será descrita por la ecuación de una
recta con respecto a un sistema de referencia de dos o tres dimensiones espaciales
Este movimiento tiene algunas particularidades. Primero que, para cualquier instante de
tiempo, la trayectoria del cuerpo coincide con el desplazamiento, o sea el modulo del
desplazamiento es igual a la distancia total de la trayectoria mientras no se cambie de
sentido durante la trayectoria sobre la línea recta, o sea los denominados puntos de riple. Lo
mismo ocurre si tomamos un infinitesimal de la trayectoria.
La segunda característica del movimiento consiste en que para cualquier instante de tiempo
el vector desplazamiento, los vectores velocidad puntual y aceleración puntual del cuerpo;
siempre serán colineales, aunque la trayectoria posea puntos críticos o de riple.
53
3.2.1 Movimiento rectilíneo con velocidad constante en el tiempo.
El movimiento rectilíneo uniforme tiene como principal definición física que el módulo de
la función vectorial velocidad puntual en cualquier punto del espacio-tiempo de la
trayectoria será igual al medible escalar rapidez del movimiento total. Esto se expresa
matemáticamente en la siguiente ecuación (Halliday, 2001).
� �(�) = �� =
∆� = �0
En el caso de la velocidad puntual constante durante toda la trayectoria, la cual tiene por
valor �0 , entonces se verán los demás medibles físicos que caracterizan el movimiento. Se
inicia calculando el desplazamiento desde una posición 0 en un momento de tiempo
diferente de cero �0 , a una posición � en un tiempo genérico t. Una observación, en lo
adelante del análisis para este movimiento unidimensional en todos sus casos; como la
partícula se mueve en una dimensión se tomara que su movimiento es sobre el eje x de las
coordenadas cartesianas euclídeas, por tanto: �0 = 0 ; � = � ; ∆ � = ∆ �
Luego, se toma la ecuación (3.8) para este caso y se aplica el teorema fundamental del
cálculo integral: Como
�0 = ��
��
donde la función escalar �(�) primitiva de la función constante �(�) = ��, se
cumple ∫�
� �� = ∫� ��
�� = ∫�
��, de donde
�0 � �0
��
�0
� − �0 = �0(� − �0)
�(�) = �0 + �0(� − �0) (3.15)
En situaciones como la anterior podemos operar de manera formal escribiendo �0�� =
�� en lugar de
�0
= ��
y luego integrando cada uno de los miembros: ��
� �
∫ �� = ∫ �0�� (3.14)
�0 �0
La ecuación (3.15) se denomina ecuación del movimiento de un cuerpo que realiza
movimiento rectilíneo uniforme. Se hace notar muy rápido que por el hecho de la velocidad
puntual ser constante durante todo el movimiento entonces el �� = 0, por tanto de la
ecuación (3.9) se deduce que la aceleración puntual será cero �(�) = 0. Este movimiento se
denomina movimiento rectilíneo uniforme. La gráfica de x(t) contra t se reduce a una recta
con pendiente �0 , e intercepto con el eje v(t) de valor �0 − �0�0. Ver la gráfica 3.5.
54
Gráfico 3.5. Recta que representa la ecuación de un movimiento M.R.U, donde �� es
de valor cero.
Véase ahora un problema modelo que generalmente se aplica a los estudiantes de primeros
años de ingenierías.
Problema I: Inicialmente dos automóviles viajan por una autopista recta al encuentro y
distan 700 km. El auto 1 viaja a 100 km/h, el otro automóvil 2 viaja a 70 km/h en sentido
opuesto. Calcule en que momento de tiempo posterior distaran 900 km.
Solución: Si se toma un sistema de referencia inercial sobre el móvil 1 como se muestra en
la figura 3.2 siguiente:
55
Figura 3.2. Sistema de referencia sobre el automóvil 1 del problema anterior.
Las ecuaciones escalares del movimiento de cada móvil son:
�1(�) = �1�
�2(�) = 700 − �2�
Pues el tiempo inicial es cero para ambos móviles. Luego para resolver el problema se debe
echar mano a la métrica entre dos puntos en un espacio vectorial euclideo unidimensional
ℝ que no es más que el módulo de las diferencias entre los puntos, o sea se toma d=900 km
entonces queda:
� = ‖�1(�) − �2(�)‖
Al aplicar las propiedades del módulo sobre los números reales quedan dos ecuaciones
�) 900 = �(�1 + �2) − 700 ��) 900 = 700 − �(�1 + �2)
Con lo cual se arriban a dos valores al sustituir:
��
= 160
ℎ para el caso (i), para el caso (ii) 17
��� = −
20 ℎ . Los físicos despreciamos la solución del caso (ii) pues en la mecánica clásica
17
la magnitud tiempo es un medible real con valores positivos o nulo y siempre rítmicamente
creciente. Por tanto, la solución del problema es el tiempo obtenido del caso (i).
56
3.2.2 Aceleración constante en el movimiento unidimensional.
Otro caso de interés es cuando el valor modular de la función vectorial aceleración puntual
es constante en cada instante del espacio-tiempo de la trayectoria, y su valor es a. Este
resultado muy conocido entre los estudiantes de las escuelas de ciencias e ingenierías, tiene
como base teórica una de las características cinemática fundamentales de este tipo de
movimiento que consiste en que el módulo de la aceleración media es igual al valor
anterior � de la aceleración puntual en cada punto del espacio tiempo de la partícula o
cuerpo durante todo el movimiento (Halliday, 2001). Esto se ve reflejado en la siguiente
ecuación modular que puede ser escrita directamente así pues los vectores involucrados en
ella son colineales.
� =
�� − ��
�� − ��
La medible velocidad media de este movimiento también posee un segundo modo de
cálculo muy particular, pues además de calcularse a partir de su definición teórica, en este
caso se puede calcular su valor modular como un promedio de los módulos de la velocidad
final e inicial del movimiento (Halliday, 2001), o sea por la siguiente ecuación.
�� + �� �� =
2
Este resultado será demostrado al final de este sub tópico, una vez que se obtenga la
ecuación de velocidades y la ecuación del movimiento. Se hace resaltar, que este es el
único caso de movimiento en el universo, el cual se pueda calcular la velocidad media del
movimiento total por la ecuación anterior.
Si se examina la ecuación (3.11) en un intervalo de tiempo inicial diferente de cero �0 con
velocidad inicial �(�0) = �0, hasta un tiempo genérico t con velocidad genérica �. Luego,
se aplica el paso a la integración de Riemann sobre la función modular v(t), la cual es
continua y acotada en todo el intervalo temporal sino existen puntos de riple en la
trayectoria, de lo contrario v(t) será discontinua salvable en estos puntos de riple. Dado que,
la integral de Riemann es posible aplicarla para una misma función v(t) acotada en un
intervalo, aunque tenga finitos puntos de discontinuidad salvables, entonces, no hay
problemas a la hora de operar aplicando nuevamente el teorema fundamental del cálculo.
� = ��
��
� �
∫ �� = � ∫ �� �0 �0
� − �0 = �(� − �0)
57
�(�) = �0 + �(� − �0) (3.16)
Esta ecuación (3.16) relaciona la velocidad y el tiempo en este movimiento, si se lleva a
una gráfica v(t) contra t, se obtiene una recta, con pendiente la aceleración constante a, e
intercepto con el eje v(t) el valor �0 − ��0 . Ahora al igual que en movimiento anterior se
pasa a la ecuación (3.14) con � en lugar de �0 y se sustituye la ecuación (3.16) en ella,
para determinar la ecuación del movimiento a través del teorema fundamental del cálculo:
� �
∫ �� = ∫ �(�)��
�0 �0
� �
∫ �� = ∫[�0 + �(� − �0)]��
�0 �0
�(�) = � + � (� − � ) + �
(� − �
)2 (3.17)
0 0 0 2 0
Como se ve ahora la ecuación del movimiento (3.17) será una parábola dentro de una
gráfica x(t) contra t.
Gráfico 3.6. Parábola que representa un movimiento M.R.U.A con aceleración
positiva, donde to tiene valor cero.
Se pasa ahora a demostrar el resultado de la velocidad media que se enunció en los inicios
del sub tópico, para lo cual se tomara los resultados de las ecuaciones (3.16) y (3.17), la
definición de velocidad media de la ecuación (3.2) en forma escalar.
58
= ∆� =
� − � �
� ∆� ∆�
� − �
� (� − �
) + �
(� − � )2 � (� − � )
� (� − � )2
�� = 0
= 0
� − �0
0 2
� − �0
0 =
0 0 +
� − �0 2 0
� − �0
�� = �0 + �(� − �0)
2
Como en este movimiento la aceleración es constante durante toda la trayectoria del cuerpo,
entonces el valor modular del vector aceleración puntual es igual al valor escalar de la
aceleración media durante todo el movimiento, por tanto.
�� − �0 � =
� − �0
Luego sustituyendo este resultado en la ecuación ultima de velocidad media, queda.
(�� − �0)(� − �0) (�� − �0) �� = �0 +
2(� − �0 ) = �0 +
2
Haciendo algebra elemental entre fracciones racionales, se ha de arribar al resultado
buscado.
�� =
�� + �0 (3.18)
2
Si ahora se aplica la ecuación (3.18) sobre la ecuación del movimiento (3.17) se obtiene
una relación muy importante entre este movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y
el movimiento rectilíneo a velocidad puntual constante. Véase como se opera.
�(�) = �
+ �
(� − � �
) + (� − � )2
0 0 0 2 0
� �(�) = �0 + [ �0 +
2 (� − �0)] (� − �0) (3.19)
Si se desarrolla el término dentro del corchete.
� � + (� − �
) = 2�0 + �(� − �0)
= �0 + [�0 + �(� − �0)]
0 2 0 2 2
Si observan bien el corchete en el numerador de la última expresión racional fraccionaria,
es la ecuación de velocidad el movimiento. Este resultaría la velocidad final de cualquier
movimiento si se toma el tiempo genérico como el final � = ��. Luego, el término
analizado se convierte en la velocidad media del movimiento, pues sustituyendo:
59
� � + (� − �
) = �0 + [�0 + �(� − �0)]
= �0 + [��]
= �
0 2 0 2 2 �
Por tanto, la ecuación (3.19) queda de la siguiente manera.
�(�) = �0 + ��(� − �0) (3.20)
O sea la ecuación del movimiento (3.20) es igual a la ecuación del movimiento para el
movimiento rectilíneo uniforme (3.15), donde le valor �0 es sustituido ahora por ��. En
conclusiones el movimiento rectilíneo uniformemente variado, aceleración constante, puede
ser descrito desde el punto de vista espacio-temporal como un movimiento rectilíneo
uniforme, cuya velocidad constante es la velocidad media del mismo. Esta es una
importante conclusión que en ocasiones aligera los cálculos de los medibles cinemáticos en
este movimiento (Halliday, 2001).
Bajo esta importante conclusión se puede arribar a una ecuación que relaciona los medibles
cinemáticos, desplazamiento, aceleración, velocidad inicial, y velocidad final del
movimiento. Si se retoma la ecuación de velocidad (3.16) para este movimiento en el
momento de tiempo final del mismo.
�� = �0 + �(�� − �0)
Sustituyendo en la ecuación (3.18) la definición de velocidad media para el caso
unidimensional. Luego, despejando de ella el termino de variación temporal total del
movimiento (�� − �0).
�� = �� + �0
= 2
(��
∆�
− �0)
�� − �0 = �
2∆� + �
� 0
Ahora sustituyendo esta última expresión fraccionaria que describe el intervalo temporal
total en la ecuación (3.16).
�� = �0 + � [�
2∆�
] + � � 0
Si se hace algebra elemental, y se usa el producto notable de la diferencia entre términos
elevados al cuadrado.
��2 = �0
2 + 2�∆�
Se ha encontrado una ecuación, que fue predicha inicialmente, la cual relaciona las
60
velocidades cuadráticas iniciales y finales, el desplazamiento y la aceleración constante,
61
para este movimiento (Halliday, 2001). El caso real más conocido de este tipo de
movimiento, es la caída libre de un cuerpo en las cercanías de la superficie terrestre o a la
superficie de cualquier otro planeta donde el vector de aceleración gravitacional puede ser
estimado constante.
3.2.3 Aceleración variable en un movimiento rectilíneo.
Por último se revisara dentro del movimiento unidimensional el caso más complejo de
analizar, donde la función vectorial unidimensional velocidad puntual es variable en el
espacio-tiempo de modo no uniforme y por ende la aceleración puede variar como función
del tiempo �(�), función del espacio �(�), o función de la velocidad �(�). Estas tres
funciones de aceleración serán continuas, diferenciables e integrables en el dominio de sus
respectivas variables, excepto algunos puntos donde existen cambios de signos de modo
brusco. Se toman las mismas condiciones de frontera para el análisis de la trayectoria
unidimensional. El análisis del primer caso en que la partícula se mueve sobre un eje x, su
aceleración es función del tiempo � ( � ) = �(�)�. En el momento de partida el
tiempo es �0 , la posición �0 , la velocidad �0. Se desarrolla el concepto clásico de
aceleración y se obtiene la siguiente ecuación integral usando el teorema fundamental del
cálculo.
� �
∫ �� = ∫ �(�)�� �0 �0
�
�(�) = �0 + ∫ �(�)�� �0
(3.21)
Se observa, entonces una ecuación integral para poder determinar la función �(�) del
cuerpo en este movimiento, la cual puede resultar compleja de determinar, en dependencia
de la ecuación �(�). La ecuación del movimiento aquí se determina al sustituir la ecuación
(3.21) en el concepto clásico de velocidad de la ecuación (3.8).
� �
∫ �� = ∫ �(�)��
�0
� �
�0
�
∫ �� = ∫ [�0 + ∫ �(�)��] ��
�0 �0
�
�0
�
�(�) = �0 + ∫ [�0 + ∫ �(�)��] ��
�0 �0
62
� �
�(�) = �0 + �0(� − �0) + ∫ [∫ �(�)��] �� (3.22)
�0 �0
Esta ecuación (3.22) puede resultar muy compleja por su doble proceso de cálculo integral,
pues en el cálculo de la doble integral debe ser resuelta primero la interior y luego la
exterior, a pesar de tener límites de integración iguales, no representa medibles funcionales
iguales. Las ecuaciones integrales anteriores (3.21) y (3.22) siempre serán Riemann
integrables pues la función modular de la aceleración �(�) siempre será continua y
diferenciable excepto si la curva de la trayectoria tiene puntos de riple; pero la función
�(�) siempre será acotada para cualquier intervalo temporal. Luego según teorema de
Riemann toda función f: ℝ → ℝ con finitos puntos de discontinuidad, pero acotada en un
intervalo cerrado � ⊂ ℝ siempre será integrable en este intervalo (Saenz, 2012). Por tanto,
aunque la función de aceleración �(�) este definida por partes debido a los puntos de riple
de la trayectoria, se podrá siempre encontrar la ecuación de velocidad y la ecuación del
movimiento del cuerpo.
Un segundo caso: una partícula que se mueve de modo unidimensional, bajo la acción de
una aceleración variable en las mismas condiciones iniciales que el primer caso, pero ahora
cuando este medible depende de la posición
� ( � ) = �(�)�.
Nuevamente se usa el concepto
de aceleración, pero ahora se aplica un artificio para eliminar el diferencial temporal de esta
ecuación en su modo escalar, pues los datos del medible no están ligados a la variable
temporal del movimiento.
�(�) = �� ��
�� ��
��� =
��
�(�)�� = ���
� �
∫ ��� = ∫ �(�)�� �0 �0
�
�(�) = ±√�02 + 2 ∫ �(�)��
�0
(3.23)
Nuevamente, se arriba a una ecuación integral para la determinación de la función
velocidad puntual, la cual puede tener un nivel de complejidad alto en su cálculo. Una
observación importante está dada porque matemáticamente la función aceleración modular
�(�) está condicionada por la ecuación (3.23) en la expresión siguiente.
�
63
�02 + 2 ∫ �(�)�� ≥ 0
�0
64
Se recuerda, que los medibles clásicos no pueden tomar valores en el campo numérico
complejo. Luego, esta condición siempre físicamente ocurrirá, pues el término es la razón
de la energía cinética de la partícula sobre su masa, que siempre cumple con � ≥ 0, lo �
cual será abordado más adelante en el análisis energético de este trabajo investigativo.
Por su parte la ecuación del movimiento de este caso, será obtenida retomando el concepto
de velocidad puntual de la ecuación (3.8). Luego, sustituyendo la ecuación (3.23) en ella,
teniendo en cuenta que la velocidad puntual será dependiente del espacio y se asume el
tiempo como una función explicita del espacio.
�(�) = ��
��
�
∫
�0
��
�(�)
�
= ± ∫ ��
�0
Debido a la condición de la variable temporal se toman solo los valores positivos de la
integración
� ��
�(�) = �0 + | ∫ | (3.24)
�0 √�0 2 + 2 ∫
� �(�)��
�0
La integral temporal pudo ser resuelta, por lo que este caso la ecuación del movimiento es
una ecuación integral que define una función inversa en la cual el tiempo depende del
espacio como ya fue enunciado. Dado que, la doble integración del miembro derecho puede
llegar a ser un cálculo muy complicado teóricamente, entonces como la integral bajo el
signo radical es una función de la posición, se nota de otra manera la nueva función
temporal.
�
�(�) = ∫ �(�)��
�0
Por tanto, la ecuación (3.24) queda escrita de modo más elegante matemáticamente
hablando.
� ��
�(�) = �0 + ∫ √�0
2 + 2�(�) �0
65
Otra observación importante está dada en los puntos de la trayectoria donde la expresión
bajo el radical de la ecuación del movimiento se anule, o sea la velocidad de la partícula es
vector nulo. �
�02 + 2 ∫ �(�)�� = 0
�0
No se puede realizar el cálculo. Luego la ecuación del movimiento estaría dada por partes,
teniendo en cuenta los puntos de la trayectoria donde la velocidad se anula.
En un tercer caso, se tienen algunos problemas de la cinemática, donde las partículas que se
mueven unidireccionalmente poseen una ecuación de la aceleración que es función de la
velocidad puntual. O sea � ( � ) = �(�)� si el movimiento es sobre el eje X de las
coordenadas cartesianas. En este caso se tiene dos subcasos, uno cuando se tiene el valor de
la posición inicial y la velocidad inicial, el otro subcaso cuando esta dado el valor del
tiempo inicial con que ocurre el movimiento y la velocidad inicial.
Ahora se analiza el primer subcaso, intentándose hallar la ecuación del movimiento,
entonces se hace uso de la ecuación (3.13) y el cálculo integral.
�(�) = � ��
��
Para condiciones iniciales en los medibles espacio y velocidad, entonces operando con el
teorema fundamental del cálculo en la ecuación anterior, se tiene que:
�
∫ �� = ∫ � ���
�0
�(�) = �0 + ∫
�0
�(�)
�
���
�(�)
(3.25)
�0
Se aclara que en los puntos o segmento de la trayectoria donde la función de aceleración se
anula �(�) = 0 serán puntos críticos de la función �(�) = �
�(�)
bajo el símbolo integral de
la ecuación anterior; pero en este caso el movimiento es rectilíneo uniforme y bajo su
ecuación del movimiento se resuelve.
En el segundo subcaso, se conoce el valor inicial del medible temporal y la velocidad,
luego se parte del concepto clásico de aceleración puntual en la ecuación (3.11) y a partir
de ahí se desarrolla el trabajo matemático de modo igual que en los casos anteriores.
�
�(�) = �0 + ∫ ��
�(�)
(3.26)
�0
66
En ocasiones el cálculo de la posición de la partícula mediante las ecuaciones (3.22), (3.24),
(3.25) y (3.26) suelen ser de un nivel de dificultad elevado para la realización teórica del
mismo o no tienen solución analítica.
Luego, si en todos los casos anteriores del movimiento unidimensional, se tiene la función
de velocidad contra tiempo �: � → �(�), entonces se puede utilizar métodos de cálculos
numéricos y equipos computacionales con algoritmos de programación muy complejos, que
permiten hallar el área bajo la curva de la gráfica �(�)~�; la cual representa la longitud de
la trayectoria rectilínea en un solo sentido de la partícula durante su movimiento. Ver las
gráficas 3.7 y 3.8.
Gráficas 3.7 y 3.8, describen como el área bajo la curva expresa el desplazamiento de
la partícula en el intervalo dado.
Si en la trayectoria de una partícula en el espacio-tiempo clásico, se tuviese en varias fases
del mismo, diferentes tipos de movimientos desde una posición 0 inicial hasta una
posición final; y si se tiene como conocido la ecuación de velocidades para cada fase,
entonces se divide el grafico en intervalos de tiempos ∆��→�+1 que corresponden a cada
una de las fase del movimiento. Por lo cual se halla el área bajo la curva para cada fase, la
cual será positiva (� > 0) si esta sobre el eje temporal, o sea desplazamiento positivo,
como se nota en la gráfica 3.7. Un área negativa (� < 0) si está en la región por debajo del
eje temporal, o sea desplazamiento negativo, ver la gráfica 3.8.
67
De esta manera si se tienen diferentes fases consecutivas del movimiento de un cuerpo,
para determinar el valor escalar del medible desplazamiento total del mismo, se realiza el
cálculo por la siguiente ecuación (Halliday, 2001)
�
|∆ � | = ∑ ��
�=1
− ∞ < �� < +∞
Más si se quiere saber el valor de la medible distancia de la trayectoria total del cuerpo
entonces la ecuación es la siguiente (Halliday, 2001).
�
� = ∑|��|
�=1
Para determinar el vector de posición () se hace el procedimiento directamente en la
ecuación de movimiento. Es decir, se toma la ecuación directamente, se sustituye el valor
de tiempo específico y se obtiene la posición específica de la partícula en ese instante
temporal.
Ejemplos de estos tipos de movimientos hay disimiles en el universo, pero los que dieron
origen a estos cálculos fueron el estudio del movimiento de los planetas en el sistema solar
y sus satélites, al moverse en orbitas donde constantemente cambia la intensidad de la
interacción gravitacional en espacio y tiempo. Otro ejemplo, pero ahora del micro mundo
es el análisis cuasi clásico de la oscilación de los electrones ligados a una red cristalina
metálica; en este caso el origen de la interacción no es gravitacional sino electromagnética.
Ahora se resolverán dos situaciones problémicas donde la aceleración es no uniforme y los
movimientos son rectilíneos.
i Halle la ecuación del movimiento de un móvil que se mueve en línea recta desde el
reposo, bajo la ley matemática de aceleración �(�) = 4���(�), donde � es el tiempo
transcurrido desde el momento inicial.
Solución: Si se toma el sistema de referencia unidimensional en el punto donde inicia el
movimiento �0 = 0, el eje x en el sentido del movimiento. También se asume en el inicio el
momento de tiempo �0 = 0. Primero se determina la ecuación escalar de velocidad del
móvil, para ello echaran mano del concepto clásico de aceleración de la ecuación (3.11).
Luego, como el móvil se mueve en una sola dimensión queda:
� �
�(�) = 0 + ∫ �(�)�� = 4 ∫ ���(�)�� = −4[���(�) − 1]
0 0
Haciendo uso de la ecuación (3.22) se determina finalmente la ecuación del movimiento del
móvil.
68
� �
�(�) = ∫ �(�)�� = −4 ∫[���(�) − 1]�� = −4{[���(�) − �] − [���(0) − 0]}
0 0
�(�) = 4[� − ���(�)]
ii El movimiento de las partículas de polvo que se introducen en el fluido interior de un
filtro cilíndrico hidráulico cuya longitud es de 10 �� y se encuentra ubicado verticalmente
dentro del mecanismo de una bomba de frenado; esta descrito por la ecuación de la
aceleración que depende de la altura ℎ del cilindro �(ℎ ) = −10 ℎ +1
[��/�2]. Se necesita �ℎ
determinar la velocidad de salida del fluido por la parte superior del filtro cilíndrico en el
momento del frenado, si se conoce que la velocidad de entrada de las impurezas de polvo
por la parte inferior es de 200 ��/�
Solución: Al accionar el mecanismo de frenado se genera un campo vectorial de
aceleraciones dependiente de la altura del cilindro en la que se encuentre cada impureza
proveniente del polvo; campo vectorial este que rige el movimiento de estas partículas.
Luego, si se determina la ecuación de velocidades de las impurezas, entonces se ha
determinado la ecuación de velocidades del fluido. Por tanto, se continúa con el mismo
razonamiento que se usó para obtener la ecuación (3.23), se asume � = 10 ��, � = 200
��/�.
�(ℎ ) = �� �ℎ
�� �ℎ
��� =
�ℎ
�(ℎ )�ℎ = ���
� �
∫ ��� = ∫ �(ℎ )�ℎ � 0
�(�) = √�2 − 20 ∫
� ℎ + 1 ℎ �ℎ
0 �
�(�) = √�2 − 20(2 + �)(1 − �−�)
Se nota que la función de la aceleración �(ℎ ) cumple con la condición matemática que
imponen estos problemas.
�2 − 20(2 + �)(1 − �−�) > 0
69
Luego, si se toma en consideración a la hora de hacer los cálculos que �−10 = 4.3510−5
entonces se puede asumir como que tiende a cero. Por tanto:
�(10) = √39760 ��/� = 199,40 ��/�
3.3 Movimiento curvilíneo. Sistemas de referencias coordenados
cartesianos, tangencial-normal, polar y cilíndrico.
En este subtópico se abordará el movimiento de los cuerpos clásicos en el espacio
tridimensional en cualquier posible trayectoria curvilínea. El estudio de los medibles
cinemáticos se realizará en los distintos sistemas coordenados existentes.
3.3.1 Movimiento curvilíneo en el espacio, descrito por coordenadas
rectangulares
En el espacio, las coordenadas rectangulares se operan igual a las coordenadas cartesianas
planas, con la diferencia que ahora se tendrá una dimensión espacial más. Se adiciona un
eje espacial que sale perpendicular al plano, describiendo los puntos situados en planos
posteriores o anteriores a este. Se nota al nuevo eje como Z. Luego, la nueva base orto
normal tendrá tres versores , , Véase el grafico 3.9.
Gráfico 3.9. Representación de un vector de posición espacial en coordenadas
rectangulares.
70
El vector posición de un cuerpo en cualquier instante de tiempo genérico de la trayectoria
será descrito según la siguiente ecuación (Halliday, 2001).
� ( � ) = �(�)� + �(�)� + �(�)� (3.27)
Igualmente se puede escribir el medible desplazamiento de la trayectoria en un intervalo de
tiempo determinado.
∆ � ( � ) = ∆�(�)� + ∆�(�)� + ∆�(�)� (3.28)
Usando los razonamientos para el cálculo del módulo del vector desplazamiento y la
longitud el arco de curva o distancia de la trayectoria del movimiento curvilíneo en dos
dimensiones sobre sistema cartesiano; de forma similar se arriban a dos expresiones
matemáticas para determinar dichos medibles físicos en el movimiento curvilíneo espacial,
dado por las siguientes ecuaciones (Krasnov, 1990).
∆�(�) = √∆�(�)2 + ∆�(�)2 + ∆�(�)2 (3.28�)
∆� �� 2 �� 2
�� 2
∆� = ∫ √( 0
) ��
+ ( ) ��
+ ( ) ��
�� (3.28�)
La ecuación de la trayectoria en el espacio tridimensional sobre este sistema coordenado
será una ecuación de la forma �(�, �, �) = 0 (Krasnov, 1990). Su método matemático de
obtención es similar al utilizado en el caso del movimiento en el plano, tratando de eliminar
el parámetro temporal en las ecuaciones escalares de la ecuación (3.27), �(�), �(�),
�(�).
Haciendo una extensión a la nueva dimensión, los medibles velocidad puntual y aceleración
puntual quedaría ahora para cada instante de tiempo genérico perteneciente al intervalo
temporal del movimiento.
( ) = ��
+ ��
+ ��
(3.29) �� �� ��
( ) = �2�(�)
+ �2�(�)
+ �2�(�)
(3.30) ��2 �2� �2�
Se observa ahora que cada medible cinemático es la suma vectorial en el espacio de sus
proyecciones sobre los ejes espaciales X,Y,Z respectivamente. Por tanto, un movimiento
curvilíneo en el espacio, puede ser estudiado como la unión de los tres movimientos
rectilíneos independientes en cada uno de los ejes espaciales.
71
3.3.2 Movimiento curvilíneo en el plano, descrito por coordenadas
tangenciales-normales.
Muchos problemas cinemáticos son difíciles de resolver desde coordenadas rectangulares
debido a la forma de las ecuaciones de la medible aceleración, velocidad o la ecuación de
movimiento en estos, lo que dificulta en alto grado el nivel de resolución de la ecuación
integral. Generalmente en la resolución de estos problemas físicos se ubica el sistema de
referencia, fuera del cuerpo que se estudia, cuando se usan coordenadas rectangulares.
Sin embargo, en algunas situaciones físicas es más cómodo en ocasiones fijar el sistema de
referencia encima del cuerpo o partícula que se estudia, aunque sea No inercial el mismo.
Este cambio conlleva a cálculos más sencillos, en cuanto a determinar las ecuaciones de los
medibles en el tiempo o respecto a la distancia de la trayectoria, que es un medible
importante en este nuevo sistema de referencia móvil.
Una característica del movimiento curvilíneo, consiste en que el vector velocidad puntual
siempre está sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto de análisis y en dirección
del movimiento. Otra característica física está dada en que: el medible físico aceleración
puntual tiene dos componentes vectoriales, una tangencial colineal a la velocidad y una
normal que siempre apunta al centro de curvatura de la trayectoria en el mismo punto de
análisis (Alvarez, 2017). Por tal motivo sería muy conveniente hacer el estudio de muchos
movimientos ubicando el sistema de referencia sobre el cuerpo y tomando como ejes
coordenados planares, un eje tangencial con la misma dirección que la velocidad puntual y
otro normal que su dirección positiva sea hacia el centro de curvatura del punto de análisis
de la trayectoria. Este nuevo sistema coordenado fue denominado, sistema de coordenadas
tangenciales-normales. Sus versores orto normales son los correspondientes al plano
osculador de Frenet-Serret que se mencionan en el anexo 1. Véase ahora cómo se
desarrollan las ecuaciones de los medibles cinemáticos respecto a esta nueva base vectorial
y el tiempo. En este sistema coordenado se establece un versor tangencial �� y un versor
normal �� (Alvarez, 2017). Véase la gráfica siguiente.
72
Gráfico 3.10. Las líneas rojas representan los ejes del nuevo sistema coordenado
tangencial-normal.
En el gráfico 3.10 se observa la línea negra curva de la trayectoria de la partícula. También
se ve la representación de los medibles vectoriales velocidad puntual y aceleración puntual
y sus componentes respecto a los ejes móviles del sistema coordenado tangencial-normal.
Como todo movimiento curvilíneo, se analizará a partir de infinitésimas particiones de la
trayectoria, donde se desarrollan infinitésimos movimientos unidimensionales, pues se
retoma la idea de la trayectoria como función espacio-temporal continuo. En estas
coordenadas no tiene sentido hablar de un vector posición de la partícula respecto al
sistema de referencia, pues el vector de posición siempre es nulo (
) =
0 . La partícula
siempre se encuentra en el punto origen de coordenadas, que se mueve con ella. Por tanto,
el infinitesimal desplazamiento igualmente será nulo
� =
0 , o sea en este sistema
coordenado no tiene sentido pensar en desplazamiento de la partícula. El medible que se
ocupa, para ver el cambio espacial del cuerpo es la distancia de la trayectoria (medible
escalar), que es la distancia del arco curvilíneo, se escribe como ∆�. Se hace notar que la
distancia de la trayectoria será medida desde otro sistema de referencia que se fija en el
punto inicial del movimiento sobre este plano osculador (Alvarez, 2017).
La medible velocidad puntual será definida a partir del cambio del diferencial de la
trayectoria en un diferencial temporal, en la misma dirección y sentido que el versor
tangencial (Alvarez, 2017). O sea, la velocidad puntual queda definida en su valor modular
73
por la rapidez del movimiento infinitesimal alrededor del punto de análisis, la cual entra a
jugar un rol importante. Como se expresó anteriormente, en este sistema de referencia la
medida espacial de nuestro movimiento no viene definida por un vector posición, sino por
74
�
la longitud de arco recorrida o distancia de la trayectoria desde el punto inicial. Este punto
inicial se convierte en un segundo sistema de referencia inercial de apoyo para los cálculos
en el sistema de referencia No inercial y principal, sobre la partícula. Por las razones
anteriores, la medible velocidad puntual queda definido como:
� = ��
�� ��
= ���
(3.31)
Haciendo uso de la definición de aceleración puntual, entonces se tendrá la expresión
siguiente.
� =
� ��
[
��] =
�2� 2 �� +
�� ��
(3.31�)
�� �� �� �� ��
El primer término de la suma es la proyección vectorial de la aceleración total sobre el eje
tangencial, denominada aceleración tangencial = �2�
= �
� ��2 � � �
Ahora se revisará que representa el segundo término de la suma. El diferencial de
trayectoria sobre el diferencial de tiempo es el módulo de la velocidad puntual por
definición de la misma en la ecuación (3.31). Luego, si se analiza el otro factor del término,
el cambio del diferencial de versor tangencial en el diferencial de tiempo. Si ahora se hace
un pequeño artificio matemático como el siguiente ��� = ��� ��
= � ���
�� �� ��
��
A continuación se estudiara el factor ��� de inmediato. Este expresa como cambia el versor
��
tangencial respecto al diferencial de trayectoria. Por definición matemática de derivada, se
realiza el paso al límite de la siguiente manera.
���
= lim
��(� + ∆�) − �(�)
= lim
∆�
�
(3.32)
�� ∆�→0
∆� ∆�→0 ∆�
Un análisis geométrico de la trayectoria del movimiento cuando ∆� → 0, se nota que la
partícula se ha movido sobre el arco �� de una misma circunferencia de radio r. Véase la
gráfica siguiente, en ella han tomado el otro sistema coordenado en el centro O de la
curvatura del diferencial de trayectoria analizado.
75
Gráfico 3.11. Infinitesimal de arco de una trayectoria.
En este gráfico 3.11, se observa que, para un pequeñísimo cambio de la medible longitud de
la trayectoria, el radio de la curvatura y el centro de la trayectoria es el mismo, para todo el
intervalo analizado.
El numerador de la fracción dentro de último límite de la ecuación anterior ∆��, es el
cambio del versor tangencial en un diferencial de trayectoria ∆�. Al ser versores son de
modulo unitario, por tal razón se ubican ambos versores ��(� + ∆�) y ∆��(�) en un origen
común, entonces al tender ∆� → 0 el cambio del versor tangencial se iguala al cambio del versor angular ∆� = ∆� = ∆�� =
∆� � (Alvarez, 2017).
� �
� �
La siguiente gráfica 3.12, muestra el cambio de la vector velocidad puntual ∆� en un
intervalo de tiempo de la trayectoria, como este medible está situado sobre el eje tangencial,
puede mostrar de igual manera cómo cambia el versor tangencial ∆�� en el tiempo.
76
Gráfica 3.12. Trayectoria de una partícula en un plano. Si el intervalo de tiempo
tiende a cero, entonces el triángulo superior de la resta vectorial de velocidades tiende
a rectángulo; lo cual hace caer en el eje normal al vector cambio de velocidad.
Sustituyendo este razonamiento, en la ecuación (3.32), entonces quedaría interesante el
cambio del infinitesimal del versor tangencial respecto al infinitesimal del vector
desplazamiento.
���
= lim ∆�
�
∆�
= lim � �� =
1
��
(3.33)
�� ∆�→0
∆� ∆�→0 ∆� �
Por tanto, la ecuación de cambio de la diferencial del versor tangente respecto al diferencial
de tiempo queda.
��� = �
��
1
� ��
(3.33�)
Luego, se sustituye esta ecuación (3.33a) en la ecuación de aceleración total (3.31a)
� = �2�
� + � ��� = � � +
�2
� (3.33 �) (Das, 1999)
�2� � �� � � �
Como el último término es la componente normal de la aceleración �� = �2
, entonces se �
han obtenido las dos componentes del vector aceleración puntual en coordenadas
tangenciales-normales, por lo cual.
77
� = � + � (3.34)
El cambio de la proyección tangencial de la aceleración puntual ��, da la idea del cambio
en el tiempo del valor modular de la vector velocidad puntual; mientras el cambio de la
proyección normal de la aceleración puntual �� muestra el cambio temporal de dirección
del vector velocidad puntual. Un ejemplo que muestra este resultado teórico está en los
movimientos de cuerpos en trayectorias circulares con el módulo de la velocidad puntual
constante, en este caso el cuerpo solo experimenta aceleración normal, pues el cambio del
módulo de la velocidad es nulo y se anula la componente tangencial de la aceleración. El
movimiento unidimensional es un caso particular del movimiento curvilíneo planar, pues en
el movimiento unidimensional la aceleración normal se anula y solo queda la aceleración
tangencial, que al igual que la velocidad puntual están situados sus vectores sobre la línea
de la trayectoria.
3.3.3 Movimiento curvilíneo en el plano, descrito por coordenadas
polares.
En muchas ocasiones los problemas de partículas que se mueven en trayectorias curvilíneas
planas, no convienen ser descrito por sistemas de referencias sobre las partículas, sino
desde fuera de las mismas; un sistema de coordenadas muy usado en ocasiones es el
sistema polar.
Este sistema de coordenadas consiste en un punto polar O, un semieje polar y un eje ficticio
perpendicular al eje polar. Un punto en este sistema queda definido por dos variables, la
distancia del punto al polo O, denominado radio del punto y el ángulo que forma el radio
del punto con respecto al semieje polar, siempre medido en sentido anti horario (Krasnov,
1990). Véase la gráfica 3.13.
Gráfico 3.13. Sistema coordenado polar en el plano. El eje x representa el eje polar.
78
En este sistema coordenado polar se define una base orto normal móvil que describe
cualquier vector dentro del mismo. Para definir la dimensión radial se toma el versor �� y
para definir la dimensión angular se toma el versor �� (Alvarez, 2017). Ver gráfico 3.14.
Gráfico 3.14. Se muestra la base orto normal polar, formada por los versores radiales
y angulares dibujados de color verde. El eje polar coincide con el eje x del sistema
cartesiano.
Si se ubica un observador desde fuera de la partícula que se mueve en el plano y se fija un
sistema de coordenadas polares, entonces el vector de posición de la partícula en cada
instante temporal quedara definido así:
� ( � ) = � �� (3.35) (Alvarez, 2017)
Ahora se define la medible velocidad puntual de la partícula para cada instante temporal del
movimiento. Se retomara una vez más la definición de este medible, dada en la ecuación
(3.8), con lo cual tendrán una ecuación vectorial como la siguiente al derivar el vector
posición de la partícula respecto al tiempo � ( � ) = �(�•��)
��
� ( � ) = ��
� + �
�(��)
(3.36)
�� � ��
El cálculo del cambio diferencial del versor radial respecto al diferencial de tiempo es algo
complejo, por lo cual usaremos un artificio matemático en el segundo término del miembro
derecho de la ecuación (3.36) al dividir y multiplicar por el diferencial de cambio angular.
� ( � ) = ��
� + � �(��) ��
�� � �� ��
79
� ( � ) = ��
� + � �� �(�� )
(3.37)
�� � �� ��
Ahora se entra en el análisis de lo que significa el factor � (��)
. Como se ve este diferencial ��
representa el cambio del versor radial ∆��, cuando el ángulo � cambia una cantidad
pequeña ∆� durante un ∆� del desplazamiento de la partícula en la trayectoria. Si ∆� →
0, entonces el ∆�� = ∆� ��, por tanto el ∆� ≅ ∆�, o sea el diferencial de desplazamiento
tiende el diferencial de desplazamiento. En la siguiente gráfica, se explica el cambio
infinitesimal de cada versor base radial y angular.
Gráfico 3.15. En esta se observa cómo cambian los versores angulares y radiales en
coordenadas polares durante un cambio infinitesimal del espacio-tiempo en un
movimiento curvilíneo plano.
Nótese, que si se toma un intervalo temporal que tiende a muy pequeño ∆� → 0, entonces
el vector desplazamiento tendería a un infinitesimal de arco ∆� → ��. Luego, el cambio
del versor radial ∆�� seria colineal con el versor angular ��. Igualmente el cambio del
versor
angular ∆�� se ubicaría de modo colineal con el versor radial ��, lo que con dirección
contraria en este caso.
Si ahora se pasa a la definición del cálculo diferencial a través de límites matemáticos el
término analizado se comporta así. �(��) = lim ��+∆�− �� = lim
∆�� = lim ∆�•�� = �.
�� ∆�→0
∆�
∆�→0 ∆�
∆�→0
∆� �
O sea el cambio del versor normal con respecto al pequeñísimo giro angular no es más que
el mismo versor angular del inicio del movimiento. Por tanto la ecuación (3.37) quedaría de
la siguiente manera ( ) = ��
+ � ��
�� � �� �
80
� ( � ) = � ��
+ �� ��
(3.38) (Das, 1999)
81
Como se ve, la velocidad puntual de la partícula en estas coordenadas tiene dos
componentes. La componente radial de esta forma matemática vectorial � � = � ��
, esta
será colineal con el versor radial y da la rapidez de cambio del módulo del vector posición
en el tiempo, el cual tiene unidades de medida del medible rapidez.
En el otro eje móvil espacial, tendrán la componente angular de la velocidad puntual � =
�� �� igualmente colineal con el versor angular. Ligada a esta componente aparece un
nuevo medible físico vectorial, la velocidad angular = ��
cuyo vector se sale del plano ��
¨XY¨ de modo perpendicular según la regla de la mano de derecha o regla del ciclón, el
valor escalar de la velocidad angular � = , puede ser interpretado como la rapidez de
cambio del ángulo � respecto al cambio temporal y sus unidades de medición son rad/s,
rev/min. La otra definición de la componente angular de la velocidad instantánea viene
expresada a través del producto vectorial entre los vectores posición de la partícula y la
vector velocidad angular, por la siguiente ecuación vectorial
Luego � � = � × � = �� × ��� = (��)(� × ��) = �� ��
� = × � .
De modo escalar la velocidad puntual puede ser expresada por sus componentes escalares
en una ecuación como la siguiente.
� = √��2 + ��
2
Por otro lado del desarrollo, la medible aceleración puntual de la partícula en este sistema
coordenado polar, lo se analizara a partir de su definición en la ecuación (3.11). Por tanto
ahora se realizara el desarrollo matemático de la misma. Luego:
� ( � ) = �(��� + ����)
��
� ( � ) = � � + � ���
+ �(��)
� + �� ���
� �� �� �
��
� ( � ) = � � + � ���
+ (�� + ��)� + �� ���
(3.39)
� �� � ��
De inmediato se analiza el factor ���
��
del último término de la ecuación anterior, este
representa el cambio del versor angular respecto al tiempo. Haciendo un artificio simple:
82
��� =
��� �� =
�� ��� = �
���
�� �� ��
��
��
��
83
Pasando nuevamente a la definición de la primera derivada de una función de una variable
real, se puede analizar el nuevo factor ���
�� el cual quedaría así.
���
= lim
��+∆� − ��
= lim
∆��
�� ∆�→0
∆�
∆�→0 ∆�
En la gráfica anterior (3.15) se aprecia de modo geométrico que cuando el intervalo
temporal analizado del movimiento tienda a cero ∆� → 0, el cambio del versor angular es
un colineal del versor radial de la siguiente manera ∆�� = −∆� ��. Luego, el factor ��� = −�, lo cual soluciona el último término de la ecuación (3.39), pues el factor ��� = �� � �
�
−� �� . En esta ecuación (3.39), el otro término difícil de resolver es el segundo, pero ya
fue analizado anteriormente en el análisis del medible velocidad puntual de la partícula y se
tiene su resultado ��� = � � por lo cual se pasa a operar algebraicamente con la �� �
ecuación (3.39).
� ( � ) = � �� + �(� ��) + (�� + ��)�� + ��(−� ��)
Si agrupan los términos semejantes de esta última ecuación, obtendrán una nueva ecuación
para la aceleración puntual.
� ( � ) = (� − ��2)�� + (�� +
2��)��
(3.40) (Das, 1999)
La ecuación (3.40) deja ver que también la aceleración puntual en este sistema coordenado
polar tiene dos componentes.
La primera una componente radial � � = (� − ��2)�� , como se observa de su
ecuación posee dos términos, el positivo da el cambio de la rapidez radial en el tiempo, el
cual tiene unidades de medida de una aceleración. El término negativo, no es más que la
desaceleración que sufre el crecimiento radial debido a la velocidad angular.
La segunda componente es la angular � � = (�� +
2��)��
, sus dos términos definen dos
nuevos medibles de la física clásica. El primero tiene ligado el valor modular del medible
aceleración angular que expresa, el cambio temporal de la velocidad angular � = � �
= �
��
, su unidad de medición es rad/�2 . El segundo término define el valor modular de la
denominada aceleración ficticia de Coriolis �� = 2 si se parasen sobre el cuerpo. O sea
el producto de la rapidez radial y la rapidez angular multiplicado por dos da un incremento
a la componente angular de la aceleración del cuerpo.
84
El valor modular de la aceleración puntual entonces se puede calcular a través de sus
componentes radiales y angulares, por la siguiente ecuación.
85
� = √��2 + ��
2
Los problemas físicos relacionados con cuerpos o partículas que describen una trayectoria
circular son muy interesantes de resolver al utilizar coordenadas polares, pues los factores
diferenciales sobre el modulo del vector posición se reducen a cero = = 0 . Por tal
razón las ecuaciones de velocidad puntual y aceleración puntual de la partícula (3.38) y
(3.40) quedan reducidas considerablemente.
� ( � ) = �� ��
� ( � ) = (��2)�� +
(��)��
(3.41)
(3.42)
Como se observa la velocidad puntual de la partícula en este caso no tiene componente
radial, sino solo angular; y la aceleración puntual de la partícula elimina la componente de
aceleración de coriolis y el cambio de la rapidez radial en el tiempo de la partícula, pues se
mueve siempre en un mismo radio de posición.
3.3.4 Movimiento curvilíneo en el espacio, descrito por coordenadas
cilíndricas.
Cuando se estudian movimientos en el espacio tridimensional, hasta ahora se ha usado el
sistema coordenado rectangular con su base orto normal euclídea de versores, � , � , �. Este
sistema coordenado en ocasiones resulta casi inoperante, por la complejidad en la
resolución de las ecuaciones integrales para obtener los medibles cinemáticos
fundamentales en función del tiempo. Por eso se han estudiado otros sistemas coordenados
que facilitan la resolución de estas ecuaciones integrables o diferenciables. Un ejemplo, es
el sistema coordenado cilíndrico. Este sistema coordenado, no es más que una
superposición del sistema coordenado polar sobre un plano del sistema coordenado
cartesiano espacial, más el otro eje del sistema cartesiano (Krasnov, 1990). Obsérvese la
gráfica 3.16 siguiente.
86
Gráfico 3.16. Sistema coordenado cilíndrico, ubicado sobre un sistema rectangular.
87
Como se ve en la figura anterior, un punto cualquiera del espacio está definido por tres
variables, P (r,�, �), las dos primeras del sistema polar sobre el plano XY y la última z, la
que corresponde con el eje espacial Z. Generalmente se toma de esta manera. O sea la
nueva base de versores cilíndricos será �� , �� , �, lo cual no es más que la base del sistema
polar más el versor del sistema cartesiano espacial (Alvarez, 2017).
En muchas ocasiones particulares, en la física se tienen cuerpos o partículas que su
trayectoria describe la pared de un cilindro durante el tiempo, entonces se pasa a usar
coordenadas cilíndricas como forma muy cómoda de resolver estos problemas. Véase la
gráfica 3.17, en la cual existe un cuerpo de masa M, cuya trayectoria, está sobre la
superficie de un cilindro de radio �.
Gráfica 3.17. El movimiento de una partícula expresado en coordenadas cilíndricas.
El vector de posición de la partícula en cualquier instante temporal se puede definir por el
vector de posición polar más la componente axial.
() =
(
) +
( ) (3.43) (Alvarez, 2017)
Igualmente el vector desplazamiento de la partícula se puede definir a partir de esta
ecuación (3.43) como
∆ ( ) = ∆
( )
+
∆() , entonces la medible velocidad
puntual de
la partícula por definición quedaría.
() = ()
+ ()
�� ��
88
El término vectorial
� � ( � )
��
da la proyección de la velocidad puntual de la partícula sobre el
plano polar, o sea la velocidad polar, que se había estudiado cuando se revisa el
movimiento plano de una partícula en dichas coordenadas, en la ecuación (3.38).
89
( ) = + (3.44)
��
Por otra parte, el último término vectorial
�
� �
(
�
) ��
�
da la velocidad axial de la partícula.
( ) =
��(�) (3.45)
�� ��
Por esa razón vectorial en estas coordenadas el movimiento de una partícula en el espacio
puede ser descrito como un movimiento plano en coordenadas polares y un movimiento
axial unidimensional, cuya ecuación de la velocidad puntual en el tiempo quedaría así.
� ( � ) = � �� + �� �� + � � (3.46) (Das, 1999)
La medible aceleración puntual de la partícula será calculada igualmente partiendo de su
definición teórica clásica, por lo cual tendrán.
� ( � ) = �[��� + ���� + ��]
��
� ( � ) = �[��� + ����]
+ ��
� (3.47)
�� ��
El primer término vectorial de la ecuación (3.47) es la aceleración del movimiento plano en
coordenadas polares, obtenido ya en la ecuación (3.40). Al igual que en el estudio de la
velocidad puntual el último término vectorial es la aceleración axial de la partícula,
entonces la ecuación (3.47) se transforma a lo que finalmente resulta.
� ( � ) = (� − ��2)�� + (�� + 2��)�� + � � (3.48) (Das, 1999)
En el caso particular de una partícula que se mueve como en la gráfica 3.17, por la pared de
un cilindro imaginario de radio � entonces las ecuaciones (3.46) y (3.48), serán reducidas
ya que los diferenciales de cambios de radio polar serán cero, o sea = = 0.
3.4 Movimiento relativo en la mecánica clásica.
Transformaciones clásicas entre coordenadas de Galileo.
El concepto de relatividad en cualquier campo de las ciencias es algo siempre bien difícil
90
para la mente humana, pues lo relativo es siempre respecto a otro ente ideal o material, pero
inclusive los supuestos respecto al ente referencia es también algo no absoluto. Luego, la
verdad sobre el objeto estudio, parece a medias en un análisis inicial. La física es la ciencia
91
donde los conceptos de relativo y absoluto han traído a sus sociedades científicas
enconadas discusiones, tomando relevación suprema. El primero que pensó en las ideas de
relativo y absoluto en la física, fue Galileo Galilei, en su estudio del movimiento relativo
entre cuerpos en el mundo clásico de las bajas velocidades. Sus análisis sobre el tema
definieron muy bien los conceptos de espacio-tiempo clásico, para los cuerpos que en su
época tecnológica del siglo XVI, podía observar y por ende hacer mediciones de las
variables cinemáticas de su interés, posición, velocidad, rapidez, distancia de la trayectoria,
aceleración, y otros medibles de interés como su peso, etc.
Galileo, sin saberlo trabajaba sobre un mundo determinístico, con medibles físicos reales,
continuos y diferenciables, lo cual era una ventaja teórica para sus trabajos. Fue él quien
primero clasifico los diferentes tipos de movimientos según su trayectoria y cambios de la
velocidad puntual, de estas ideas suyas surgieron los conceptos de sistemas de referencias
en la física.
Hasta ahora en este capítulo de cinemática se ha estudiado el movimiento de un cuerpo con
respecto a un sistema de referencia en reposo o sobre el mismo cuerpo, pero no se ha
tratado de estudiar los medibles de un cuerpo en movimiento respecto a un sistema de
referencia sobre otro cuerpo en movimiento. Esto fue realizado por Galileo de modo genial
para su época. Lo primero que el reviso en sus estudios fue la idea del tiempo para cada
observador, en su mundo clásico de las bajas velocidades, noto que este era de igual ritmo
para cada uno. Esta idea es el pilar fundamental sobre el que descansa su teoría relativista
clásica. O sea, el tiempo es un parámetro físico que ni se contraía, ni estiraba al cambiar de
un espacio vectorial tridimensional Euclídeo a otro, aunque se movieran entre ellos.
En su época ya se conocían las transformaciones de coordenadas para dos sistemas
coordenados fijos en el espacio, que se hayan trasladado uno respecto al otro. Para la
traslación de un sistema X´Y´Z´ cuyo origen están en las coordenadas (ℎ , �, �) de otro
sistema XYZ, se conocía que un punto sobre el sistema primado se podía expresar a través
del sistema original no primado por las siguientes ecuaciones.
� = �´ + ℎ
� = �´ + �
� = �´ + �
El análisis de dos cuerpos que se moviesen se podía hacer de la misma idea que lo hacia la
geometría, al estudiar los cuerpos de manera instantánea, aplicando las operaciones
elementales de vectores en el espacio y la idea de tiempos rítmicos para cada observador.
En este trabajo, se hará el análisis a partir de la observación de la siguiente figura (3.18)
donde dos cuerpos A y P se mueven en el espacio con velocidades diferentes �� , ��
92
respecto a un observador en tierra O, en un sistema x y z. En el cuerpo A se ha anclado un
sistema de referencia primado x´y´z´ desde el cual se pretenden determinar algunos
medibles cinemáticos del cuerpo P, sabiendo los medibles de estos dos cuerpos como
posición y velocidad puntual respecto a tierra.
Gráfico 3.18. Movimiento relativo de un cuerpo P respecto al observador O y A.
En la gráfica (3.18) se puede relacionar los vectores posición de los cuerpos móviles
respecto a tierra � , � , con el vector posición entre ambos � � , por la siguiente
ecuación vectorial.
� = � + � � (3.49)
Si se hace simple algebra en la ecuación vectorial anterior, se obtiene una ecuación para
relacionar la medible posición entre los cuerpos móviles, con sus medibles de posición
respecto al observador fijo en tierra.
� � = � − � (3.50)
Esta ecuación (3.50) se ha obtenido, analizando una instantánea del movimiento, pero como
las leyes del movimiento para cuerpos o partículas clásicas y las propiedades matemáticas
de los vectores son isotrópicas. O sea, las leyes físicas se cumplen en cualquier momento
93
del espacio-tiempo universal; entonces se puede hacer el mismo análisis para dos
momentos de tiempos cualesquiera. Tómese un tiempo t y otro momento posterior � + ∆�,
medido desde el sistema de referencia fijo en tierra y escríbase la ecuación (3.50) para cada
momento de tiempo.
� � (�) = � (�) − � (�) (3.51)
� � (� + ∆�) = � (� + ∆�) − � (� + ∆�) (3.52)
Se debe acotar, que la ecuación (3.51), si se desarrolla por cada dimensión espacial,
entonces se obtendrán las denominadas transformaciones de coordenadas clásica de
Galileo. Retomando nuevamente el análisis anterior, si ahora se resta la ecuación (3.51) a la
ecuación (3.52), se tendrán los desplazamientos de cada cuerpo respecto a tierra y respecto
uno al otro, en la siguiente ecuación.
∆ �
� = ∆ �
− ∆ � (3.53)
Como los tiempos propios de todos los observadores son de igual ritmo, entonces el valor
temporal ∆� es el mismo para todos los observadores; por tanto se puede escribir la
siguiente ecuación sin incurrir en problemas matemáticos.
∆ �
�
∆�
∆
�
= − ∆�
∆
�
∆�
(3.54)
Si se pasa al límite cuando este intervalo de tiempo tiende a cero, o sea ∆� → 0, entonces
están ante el cálculo diferencial del medible desplazamiento respecto al tiempo, lo que da
las velocidades puntuales de cada cuerpo
�
�
��
= �
��
− �
��
� � (�) = � (�) − � (�) (3.55)
En esta ecuación (3.55) se ha obtenido la medible velocidad puntual del cuerpo P respecto
al cuerpo A, solo conociendo las velocidades puntuales de los cuerpos A y P respecto a
tierra, la cual al ser desarrollada para cada dimensión espacial, se arriba a un sistema de
ecuaciones conocida como las transformaciones de velocidades clásicas.
De igual manera se puede determinar la medible velocidad puntual de A respecto a P. Si
repiten el mismo análisis matemático a la ecuación (3.55), como el que se ha realizado con
la ecuación (3.51), entonces se podría obtener una relación similar para las medibles
aceleraciones puntuales de cada cuerpo en los dos sistemas de referencia. O sea, se tendrá
94
la denominada transformación clásica de aceleraciones.
� � (�) = � (�) − � (�) (3.56)
95
�
Las ecuaciones (3.50), (3.53), (3.55) y (3.56) hacen posible medir los medibles
fundamentales de la cinemática clásica para el movimiento de un cuerpo, pero ahora de
modo relativista. Es decir, con respecto a sistemas de referencias ya no en reposo, sino
respecto a sistemas de referencias móviles, inclusive sobre sistemas de referencias
acelerados o No inerciales. La ecuación (3.51) de transformación de las coordenadas puede
ser expresada a modo de transformación lineal entre dos espacios vectoriales cuatri
dimensionales � � �′, cuyas dimensiones son el espacio-tiempo clásico.
[−�� 1
� 0 0
] [�] = [
�′
�′
] � = � = (� , � , � ) (3.57)
� � � �′
� = [−�� 1
�
0 0 ] (3.58)
Se ha tomado �′ como el tiempo propio de la partícula que se mueve, gráfica (3.18), dentro
del sistema de referencia móvil; el cual también viaja con velocidad � respecto a tierra. El
tiempo � es con respecto a tierra.
La matriz de cambio de la transformación lineal entre los sistemas �′ � � es �. Nótese que
det(�) = |�| = 1, entonces existe la transformación inversa con matriz inversa �−1, porque
la transformación lineal es biyectiva. Este resultado matemático era esperado para el
problema físico que resolvía Galileo, al transformar medibles físicos entre sistemas de
referencias con estructura algebraica iguales, cuatri dimensionales y euclídeos. Físicamente
este valor quiere decir que no existe ni expansión ni contracción de las dimensiones
espacio-temporales al trasladar un elemento del espacio vectorial dominio hacia el espacio
vectorial imagen. Igualmente ocurre con la transformación inversa, pues las leyes de la
física son isotrópicas en el espacio-tiempo que es universal.
Llegado el año 1905 A. Einstein hecho por tierra esta teoría clásica, al dejar ver en su teoría
de la relatividad especial, que el tiempo no es de igual ritmo para todos los observadores,
pues depende de la velocidad con la que se mueve, inclusive fue más lejos en el 1915 con la
teoría general de la relatividad y predijo que el ritmo temporal dependía de la aceleración si
el sistema de referencia era No inercial: a mayor velocidad y aceleración el tiempo propio
del sistema de referencia se ralentiza. Luego, el tiempo es un factor de contracción o
estiramiento para las dimensiones de un ente entre dos iguales espacios vectoriales con
geometría curva. Estas ideas serán revisadas en el capítulo VI de este trabajo investigativo.
Muy a pesar de las ideas de A. Einstein en la alborada del siglo XX, la teoría de la
relatividad clásica de Galileo quedaba como un caso particular de las ecuaciones de la
relatividad especial para cuando los cuerpos se mueven a � ≪≪ 0.2�.
′ � � � �
1 0 0 0
−� 0 1 0 −�� 0 0 1
1 0 0 0
−� 0 1 0 −�� 0 0 1
96
Capítulo IV
4. La Oscura Dinámica Clásica Newtoniana.
4.1 Medible fuerza.
En este capítulo se revisarán algunos apuntes sobre la dinámica clásica Newtoniana. El
mismo está compuesto por imágenes y breves apuntes teóricos. Se estudiará las tres leyes
fundamentales de la dinámica, a las cuales llego Newton de modo empírico. Se analizarán
algunas de sus debilidades físicas, para ello se comenzará describiendo un nuevo medible
clásico: la fuerza.
El medible físico fuerza está presente en casi toda región Ω del espacio-tiempo que
pertenece al universo conocido, comportándose como una función vectorial � : � ⊂ ℝ3 →
Ω ⊂ ℝ3, tanto en las interacciones del micro y el macro mundo. En muchísimos casos esta
función multivariables o paramétrica (tiempo, campos no estacionarios), es continua y
diferenciable al menos a trozos o excepto en algunos puntos de la región Ω
En el macro mundo, el mundo visible para el hombre y el cosmos, existen dos interacciones
fundamentales la gravitatoria universal, cuya partícula elemental trasportadora de la misma
es el gravitón (predicción teórica) a través de ondas gravitacionales (descubiertas en
septiembre del 2016, U.S.A), esta se refleja entre cuerpos masudos grandes de mejor
manera.
Por otra parte, se tiene la interacción electromagnética, la unión del campo eléctrico y
magnético en una sola interacción, la cual tiene como transportador de la misma al fotón y
se hace posible al haber cuerpos con cargas eléctricas en dos estados, estáticas o en
movimiento. Su acción es cientos de veces más fuerte a la gravitatoria.
Figura 4.1. Las cuatro interacciones fundamentales del universo.
97
Existen otras interacciones en el macro mundo como las potenciales elásticas; las de
fricción entre superficies solidas rígidas, rozamiento o sustentación de los cuerpos al
desplazarse por medios materiales o rozar con fluidos, serán revisadas en sub tópicos
próximos. En el micro mundo, el mundo de los núcleos atómicos, las radiaciones ionizantes
y las partículas elementales; existen dos interacciones fundamentales, la interacción fuerte y
la débil. La fuerte, se manifiesta en el intercambio de gluones entre los quarks que forman
los protones y neutrones del núcleo atómico. La débil, está presente en el intercambio de
bosones en las desintegraciones radiactivas �, �+ y �− (Actualmente no se considera una
interacción como tal, sino un desbordamiento o acción a ¨larga¨ distancia de la Fuerte).
(Alvarez, 2017).
Figura 4.2. Interacción Nuclear Fuerte. El Gluon es la partícula que transporta esta
interacción entre Quarks.
Ambas están regidas no por la mecánica clásica de Newton sino por las leyes de la
mecánica cuántica y sus principios de incertidumbre. Estas interacciones son miles de veces
más potentes a la gravitatoria y electromagnética. La medible fuerza se denota en el análisis
dimensional con el símbolo [F]. Sus unidades de medida más usados son la dina (dina), el
newton (N), la libra fuerza (lbf) y otras.
Figura 4.3. Instantánea del momento anterior a la interacción mecánica Cuerpo-
Cuerpo. La fuerza se trasmitirá al ponerse en contacto directo los cuerpos.
98
Las interacciones entre los cuerpos en el universo se manifiestan de dos modos, Cuerpo-
Campo de interacción-Cuerpo, a distancia entre ambos cuerpos. Interacción Cuerpo-Cuerpo
estando en contactos los cuerpos.
Figura 4.4. Campo gravitatorio universal. Interacción Cuerpo-Campo-Cuerpo.
La figura 4.4 muestra el caso de la interacción del tipo Cuerpo-Campo de Interacción-
Cuerpo, donde los cuerpos están a distancia. Ejemplos las interacciones potenciales
gravitatorias, electromagnéticas, débiles, fuertes y elásticas.
Figura 4.5. Interacción Mecánica de Larga Duración Temporal cuerpo-cuerpo
En las figuras 4.3, 4.5 y 4.6, se observan las interacciones del tipo, Cuerpo-Cuerpo, en la
que no hay distancia entre los cuerpos, o sea el contacto es directo.
99
Figura 4.6. Choque: Interacción Mecánica de muy corta duración temporal Cuerpo-
Cuerpo.
Al estudiar la magnitud fuerza y sus consecuencias sobre el movimiento de los cuerpos,
entramos en el mundo físico de la dinámica. O sea, se comienza a investigar el ¿Por qué?
Del movimiento de la materia. A diferencia de la cinemática que solo explora el ¿Cómo? Se
moverá la materia, ¿Hacia dónde? ¿Cuál es su camino en el espacio-tiempo universal? La
dinámica se hace una gran pregunta. ¿Qué origina el movimiento de los cuerpos en el
universo?
4.2 La ley de la inercia.
Estas preguntas anteriores se las hicieron muchos científicos en los siglos XV, XVI y XVII.
Las figuras más importantes fueron Johannes Kepler, Galileo Galilei y Sr. Isaac Newton.
La figura más importante fue este último, quien realizo los trabajos físicos-matemáticos
más avanzados y precisos en este tópico.
Newton desarrolló experimentos donde aplicaba una fuerza externa sobre un cuerpo de
modo directo, o sea interacción cuerpo-cuerpo, como los de la figuras 4.5 y 4.6. En estos
comenzó a ver una propiedad de los cuerpos que no había estudiado la cinemática clásica
desarrollada por galileo y otros con anterioridad.
Al comenzar con los experimentos en varios cuerpos llegó a una ecuación de
proporcionalidad para diferentes experimentos. Tomo un primer cuerpo, al aplicar una
fuerza en magnitud �, obtenía un valor numérico k, como viene expresado en la siguiente
ecuación.
� = � (4.1)
�
100
Si cambiaba el experimento para un segundo cuerpo con más materia y se le aplicaba la
misma fuerza � se obtenía una nueva aceleración �′.
�′ = �
�
donde � > 1, entonces la ecuación quedaba.
� = �� = �′ (4.2)
�´
El valor numérico que resulta de los dos experimentos expresados en las ecuaciones (4.1) y
(4.2), caracterizaban una nueva propiedad que tiene la materia en el universo. O sea, es una
propiedad que depende del cambio en el estado cinemático inicial del cuerpo masudo. Esta
propiedad fue denominada por Newton la INERCIA de los cuerpos, la inercia es la
capacidad que tienen los cuerpos en el universo, de oponerse al cambio de estado mecánico.
Los valores numéricos reales � y �′ representarían un nuevo medible físico escalar que
caracterizaría a cada cuerpo en el universo, denominado desde entonces la MASA
INERCIAL. Luego, se establecía que cada cuerpo físico en el universo poseía una masa
inercial propia, la cual daba la medida de cómo se oponía al cambio de su estado mecánico;
o sea al cambio de su posición, velocidad y aceleración. Con el desarrollo de estos
experimentos, Newton arribaba a un nuevo resultado, la denominada primera ley de la
Dinámica Clásica, que enunciaba, a mayor masa inercial de los cuerpos, mayor oposición al
cambio de estado mecánico y viceversa.
4.3 Segunda ley de Newton. Sistemas de referencias inerciales y
No inerciales.
Con el análisis de las ecuaciones (4.1) y (4.2) Newton arribaba a otro importante análisis
físico, con el cual relacionaba la medible fuerza que aplicaba a un cuerpo con la medible
aceleración que experimentaba el cuerpo debido a la acción de dicha fuerza y la nueva
medible masa inercial, que poseía el cuerpo.
� = �� � (4.3)
Este análisis de la ecuación 4.3, Newton lo generalizó para un cuerpo sobre el que actuaban
n fuerzas externas, y así arribaba a su segunda ley de la dinámica: la sumatoria de todas las
fuerzas externas sobre un cuerpo es igual a la operación producto de la masa inercial del
mismo, por el vector aceleración que obtiene el cuerpo debido a la acción de dichas fuerzas.
Una observación importante de esta segunda ley de la dinámica enunciada por Newton está
101
dada en lo siguiente: al aplicar n-esimas fuerzas externas sobre un cuerpo masudo, este
adquiere una aceleración instantánea con la acción de las fuerzas y este vector aceleración
será de igual dirección y sentido al vector resultante de la suma vectorial de las n-esimas
fuerzas externas. Su ecuación matemática vectorial es la siguiente. �
∑ � � � � = � � � � � = �� � (4.4)
�=1
Como se ve, el vector fuerza resultante es colineal con el vector aceleración y el valor
numérico que los relaciona es la masa, que al ser un valor mayor que cero, obliga a que
ambos vectores, el de la fuerza resultante y la aceleración, siempre tengan igual sentido y
dirección, lo que demuestra la observación del párrafo anterior. La ecuación (4.4) escrita en
modo diferencial matemático queda así.
�
∑ � � � � = ��
�=1
� (4.5)
��
De estas dos leyes iniciales de Newton para la dinámica clásica, se podía sacar otras
conclusiones. Todo cuerpo cuyo estado mecánico sea el reposo, se mueva a velocidad
constante, se encuentra de modo libre sin fuerzas externas que actúen o la sumatoria de
todas las fuerzas externas es cero, entonces se dice que se encuentra en estado de equilibrio
mecánico. Si tomásemos un cuerpo en este estado mecánico como sistema de referencia,
estamos parados sobre un SRI, Sistema de Referencia Inercial. La Segunda ley de Newton
es válida para estos sistemas de referencias, si tomamos en cuenta solo fuerzas externas
reales. Cuando los cuerpos están en movimiento acelerado entonces aplicamos la ecuación
vectorial anterior para resolver el problema dinámico. Si montamos un sistema de
referencia sobre un cuerpo acelerado en el que no hay equilibrio dinámico, entonces
estamos sobre un SRNI, Sistema de Referencia No Inercial.
4.4 Limitaciones de la segunda ley de Newton.
4.4.1 Principio de D’ Álembert.
Con el estudio de estos sistemas de referencia no inerciales, SRNI, llego la primera
limitante de la segunda ley de Newton. Al aplicar su formulación vectorial para cuerpos
sobre estos sistemas de referencias, la ley no se validaba. Este era un problema real para el
cual no tenían explicación las leyes de Newton, en especial la segunda ley, donde no el
cálculo vectorial de la sumatoria de las fuerzas reales es diferente al producto masa inercial
por aceleración propia del cuerpo dentro del sistema SRNI.
102
Por ejemplo, al tomar un hilo inextensible con una masa y hacerlas girar a velocidad
constante, según la cinemática clásica, aparece sobre la masa una aceleración normal hacia
el centro de giro y por lo tanto una fuerza externa en dirección central, que no es más que la
tensión del hilo. El observador que está en el centro de giro, se ubica en un sistema de
referencia inercial, SRI, pues su estado cinemático es de reposo; si aplica la segunda ley de
newton, la tensión del hilo es quien genera la aceleración normal. Sus conclusiones son que
la masa le debería venir encima, lo que no ocurre, entonces para él hay un equilibrio
dinámico ficticio que no puede explicar la segunda ley de Newton.
La solución a estos problemas, llego de las ideas desarrolladas por un Físico-Matemático, el
Sueco J. D’Alembert quien introdujo el concepto de fuerzas externas ficticias y reformulo
la segunda ley de Newton para estos sistemas de referencias no inerciales. El primer
problema que resuelve D´Alembert es el denominado equilibrio ficticio que veía un
observador parado en un sistema de referencia inercial, fuera del SRNI; de un cuerpo
inmóvil sobre el sistema de referencia No inercial. En la siguiente ecuación se explica el
denominado equilibrio ficticio.
� �
∑ � � � � � − ∑ � � � � � = 0 (4.6)
�=1 �=1
Donde las fuerzas ficticias, modularmente, son igual al producto de la masa inercial del
cuerpo, por la aceleración que le aplica el SRNI al cuerpo que analizamos, pero
vectorialmente son colineales con el vector aceleración del SRNI, ��� �, o
sea
vectorialmente en igual sentido y dirección contraria (Alvarez, 2017). En las siguientes
ecuaciones se verá esto expresado matemáticamente.
� �=1
�
�
��
= �(− � � � � �)
����� = ������
La ecuación (4.6) expresa el equilibrio ficticio para un observador parado en un sistema de
referencia inercial, fuera del sistema de referencia NO inercial, que es quien
verdaderamente observa una fuerza ficticia. Es decir, este principio resuelve el problema
inicial del observador en el SRI del centro de giro, que no se explica: ¿por qué el cuerpo no
le viene encima?, pues sobre este cuerpo, que está en un SRNI que es el hilo, actúa una
∑
103
fuerza real, la tensión; y otra ficticia que en este caso se denomina centrifuga que equilibra
el cuerpo en el eje normal a su trayectoria circular.
104
� − � � � � � � � � = 0
Donde la fuerza centrífuga se calcula bajo el concepto de una fuerza ficticia.
� � � �
� �
� = �(−� � � � �)
Una observación: para un observador 1 parado sobre dicho sistema de referencia NO
inercial, quien sufre la acción de la fuerza ficticia que le trasmite este sistema acelerado,
esta fuerza externa es de naturaleza ficticia, pero para el observador 2 parado en el SRI, es
una fuerza de naturaleza externa real que actúa sobre el observador 1. En este trabajo se le
seguirán llamando fuerzas ficticias al analizar problemas donde los cuerpos de estudio estén
dentro de SRNI, para no generar problemas con la nomenclatura entre los lectores.
En conclusiones, el principio de D´Alemberth para cuerpos rígidos, al incluir las fuerzas
ficticias para observadores sobre sistemas No inerciales, las toma como si fuesen fuerzas
reales externas. Luego, hace valedera la segunda ley de Newton para ser aplicada sobre
estos sistemas acelerados, quedando así la expresión matemática.
� �
∑ � � � � � + ∑
� � � � � = �
� � � � �
(4.7)
�=1 �=1
Nótese en la ecuación (4.7), el término � � � � , representa el vector
aceleración propia que posee el cuerpo que se mueve sobre el sistema de referencia No
inercial, el cual es diferente a la vector aceleración de SRNI � � � �. Con la
aplicación de este principio, la segunda ley de newton solucionaba su primera limitante,
aunque no quedaba exenta de otras debilidades inherentes (Alvarez, 2017).
4.4.2 ¿Es la masa inercial un valor constante? Relación entre los medibles
masa inercial y masa gravitatoria. Otras debilidades de la segunda ley de
Newton.
La segunda ley de Newton relacionaba la resultante de las fuerzas externas sobre un cuerpo
o sistema de cuerpos con la aceleración resultante y la nueva medible masa inercial que
caracterizaba a este cuerpo o sistema de cuerpos que se analiza. Este resultado llevo a
Newton a hacer otro experimento muy importante, que consistía en el estudio de la caída
libre de un cuerpo en las cercanías de la superficie de la tierra. La fuerza que generaba este
105
movimiento le denomino fuerza de gravedad, la cual era una fuerza real externa constante
106
�
2
en el tiempo. Luego, según la segunda ley de la dinámica generaba una aceleración también
constante en el tiempo. Lo novedoso de este experimento estaba en que la acción de esta
fuerza no era Cuerpo-Cuerpo, sino era una acción Cuerpo-Campo de Interacción-Cuerpo y
la capacidad inercial de los cuerpos a oponerse a la acción de otros cuerpos masudos seria
denominada masa gravitatoria. Sin embargo al realizar mediciones de la masa inercial de
cada cuerpo y su masa gravitatoria o peso de reposo, se evidenciaba que sus valores eran
aproximadamente iguales con un orden de error de la medición muy pequeño. O sea:
�� ≅ ��
Este resultado llevaría a concluir a Newton que su segunda ley de Newton era universal.
Por tanto era aplicable para cualquier fuerza real en el universo, sea esta de acción cuerpo-
cuerpo o provocada por una perturbación de campo real en el espacio-tiempo clásico
universal.
La nueva limitante de esta segunda ley de Newton, llego con la nueva teoría de la
relatividad especial de A. Einstein; quien postulo que la velocidad de la luz � es la máxima
velocidad de un ente material en el universo. Luego, de sus trabajos resulto que la masa
inercial de un cuerpo era una función real �(�) cuya variable era la velocidad a la que se
movía dicho cuerpo y que la masa inercial de reposo ��0 = �(� = 0) que había medido
Newton era un valor constante dentro de la nueva función de la masa inercial. La siguiente
ecuación muestra el resultado:
� (�) = ��0
√1 −
�2
�2
Este resultado dejaba ver que la masa inercial de todo cuerpo no era constante, se hace
mayor según aumenta la velocidad a la que se mueve el cuerpo. El resultado obtenido, entra
en contradicción con la segunda ley de Newton. Ejemplo: al aplicar una fuerza constante �
sobre un cuerpo inicialmente en reposo este comienza a acelerar hasta el umbral de las
velocidades clásicas � ≤ 0.2� → √1 − �2
≈ 1 → lim
��
0
= � entonces en este
�2 �→0.2� √
�2
�0
1− �2
intervalo la ley de newton era válida, pues la masa inercial era un valor constante; pero al
sobre pasar este umbral � > 0.2� → √1 − �2
< 1 → lim ��0
= +∞, por tanto la masa
�2 �→� √1− �2
�
del cuerpo comienza a aumentar según aumenta el valor modular de la velocidad hasta
teóricamente llegar a ser infinitamente masudo. Luego el mismo cuerpo respecto al sistema
107
de referencia inercial a una velocidad relativista para la misma fuerza constante � , obtiene
aceleraciones diferentes, lo cual contradice completamente la segunda ley de la dinámica.
Con la Teoría General de la Relatividad presentada finalmente por A. Einstein en 1915
llego la tercera limitante para la segunda ley de Newton, pues la igualdad entre las masas
inerciales y gravitacionales demostradas por la mecánica clásica quedo invalidada, ahora la
fuerza de gravedad ya no era una fuerza real sino una perturbación creada por una onda
gravitacional, este resultado teórico fue demostrado recientemente, en septiembre de 2015
por un físico inglés y un norteamericano en la universidad de Chicago.
4.5 Tercera ley de Newton.
Esta ley es la explicación teórica del equilibrio de fuerzas sobre los cuerpos en muchos
fenómenos mecánicos reales. Responde a esta pregunta. ¿Por qué a pesar de existir fuerzas
reales externas sobre un cuerpo este se encuentra en reposo o en movimiento no acelerado?
Véase algunas figuras que ilustran esto.
Figura 4.7. Equilibrio dinámico de fuerzas reales.
108
Figura 4.8. Fuerzas de empuje equilibran el peso.
Figuras 4.9. En cada una los cuerpos se encuentran en reposo debido a un par de fuerzas
externas de acción y reacción que mantienen el equilibrio dinámico.
Las figuras anteriores (4.7), (4.8), (4.9) muestran tres situaciones reales donde los cuerpos
se encuentran en reposo debido a dos pares de fuerzas externas que se equilibran. Estos
pares de fuerzas externas fueron denominadas por Newton de acción y reacción.
La tercera ley de Newton dice que a cada fuerza externa de acción sobre un cuerpo, se
opondrá una de reacción con igual modulo y sentido, pero dirección contraria.
� � � = − � � � � (4.8)
Las fuerzas de acción siempre se aplican sobre un cuerpo inicial 1, por otro cuerpo 2 o por
un campo sobre el cuerpo inicial 1 y la reacción la aplica el cuerpo inicial 1 sobre un punto
109
de contacto en el cuerpo 2. Por tanto, las fuerzas de acción-reacción siempre están aplicadas
sobre dos cuerpos diferentes en contacto o unidos por la interacción a distancia
Otra conclusión importante que arroja la tercera ley de Newton, es sobre las fuerzas
internas en un cuerpo. En todo cuerpo o sistema mecánico, las fuerzas internas siempre son
pares de acción y reacción, por lo que se anularan. O sea, nunca se logrará mover un
sistema mecánico aplicando fuerzas desde su interior, pues instantáneamente surgirá una
fuerza interna de reacción que anulara el esfuerzo inicial interno.
4.6 Interacciones fundamentales en el universo clásico.
4.6.1 Campos de fuerzas continuos y diferenciables en su dominio espacio-
temporal: interacciones gravitacionales y elásticas. Su función escalar
energía potencial.
Las interacciones gravitatorias son funciones vectoriales � : ℝ3 → ℝ3 que están presentes
en todo el espacio-tiempo del universo de modo continuo y diferenciable, excepto en el
punto origen del campo. Dondequiera que exista materia masuda existe campo
gravitacional, más evidentes en los cuerpos masudos grandes. Esta es una interacción
potencial central e irrotacional, que siempre está dirigida hacia el centro de masa del cuerpo
que la realiza ∇ • �
�
�
� ≠ 0, disminuye con la distancia de modo cuadrático, según
la
siguiente ecuación en coordenadas esféricas.
(�) = − ��1 �2
,
= �
(4.9)
���� �2
|�|
La ecuación (4.9) deja ver que esta interacción no depende del tiempo, solo del espacio, en
ella aparecen medibles físicos como: G, que es la constante de gravitación universal, ambas
masas 1 y 2 son las de los cuerpos que se atraen como en la figura 4.4, r es la distancia
entre los centros de masas de ambos cuerpos masudos, y es el ¨versor¨ o vector unitario
de , con origen en el centro de masa del cuerpo que realiza la fuerza, y dirigido hacia el
cuerpo que recibe la interacción gravitatoria; o sea es el versor radial en coordenadas
esféricas. La determinación de � fue una labor difícil en su época, varios físicos-
matemáticos trabajaron en su determinación empírica, entre ellos el inglés Henry
Cavendish, quien determino un valor muy exacto para su época de la constante de
gravitación universal � = 6.67 ∗ 10−11 ��2
��
ingenioso (Alvarez, 2017). Ver la figura 4.10.
un experimento que realizo de modo
110
Figura 4.10. Muestra el ingenioso experimento de Henry Cavendish para determinar
la constante de gravitación universal, que predecía Newton en su teoría de las leyes del
universo.
Cuando se trabaja con problemas cercanos a la superficie de cualquier planeta, como la
tierra, entonces la ecuación (4.9) se transforma de la siguiente manera.
= ��� �� (4.10)
���� �2
El término ��� , varía muy poco en intervalos pequeños ∆� como las regiones del espacio
�2
cercano a las superficies planetarias y se denomina la aceleración gravitacional de cada
planeta o estrella en el universo. En el caso de la tierra este valor es, g = ��� ≅ 9.81 m/�2. �2
Por tanto la ecuación (4.10) se transforma a continuación. Primero, véase la polémica e
histórica figura 4.11.
111
Figura 4.11. Nave y cosmonautas de la NASA en la superficie lunar donde la gravedad
es tres veces menor a la terrestre, por esa razón una caminata lunar es dando súper
saltos terrestre.
� � � � = �� �
La ecuación anterior deja de ser válida, al alejarse de las superficies de los planetas,
estrellas o demás cuerpos inmensamente masudos en el universo, ya sea al espacio sideral o
en un pozo dentro del propio cuerpo híper masudo. Si aplicamos límite � → +∞ entonces
según las ecuaciones (4.9) y (4.10) el campo gravitacional se anula en esta región
lim − ��� �� = 0; cuando � → 0 entonces según las ecuaciones (4.9) y (4.10) el campo
�→∞ �2
gravitacional toma un valor indefinido: lim − ��� �� = −∞
�→0 �2
Los campos gravitacionales por ser funciones vectoriales continuas y diferenciables en su
dominio generan funciones escalares �: ℝ3 → ℝ denominadas energía potencial del campo
gravitacional, donde su relación matemática en modo diferencial es � �
� � � =
− ∇ ��
� � �
. La determinación de los valores de esta energía en cada punto
espacial de la región de campo, por su puesto para por el cálculo integral, lo cual será
profundizado en el próximo capítulo V de este trabajo investigativo, su expresión es la
siguiente:
�(�) = − ��� ��
�
(4.11)
Luego, la energía potencial gravitatoria siempre tomara valores negativos pues: Si
112
aplicamos límite � → +∞ entonces según la ecuación (4.11) la energía potencial
113
gravitacional se anula en esta región lim − � �� �� = 0; cuando � → 0 entonces según la
�→∞ �
ecuación (4.11) la energía del campo gravitacional toma un valor indefinido: lim −
��� �� = −∞. O sea � ≤ 0 para toda la región del campo. �→0 �
����
Otra interacción fundamental en el mundo ingenieril, son los campos potenciales elásticos,
los cuales tienen una ecuación muy diferente a la interacción gravitacional (4.9) a pesar de
ser potenciales ambos, viene dada por la denominada ley del físico ingles Robert Hooke,
esta ley fue determinada de modo empírico.
� � �
� � = −[��∆�] (4.12)
Donde ∆�, es el valor modular de la deformación sufrida por el cuerpo al que se le aplica la
fuerza, el versor de la deformación y Ke, la denominada constante de rigidez del
material
que conforma el cuerpo, esta tiene como valores dimensionales [�], o sea sus unidades �
pueden ser (N/m), (dina/cm), etcétera (Alvarez, 2017).
Gráfico 4.1. Gráfica de Robert Hooke para los materiales sólidos.
Según sea el valor de Ke de un material será evaluado en plástico, elástico o rígido. Para
valores de
��
entre 0 �
�
y un valor determinado para cada material, el metal será evaluado
de elástico. En este caso se cumple la ley de Hooke, pues la curva de Ke(∆�) ~ ∆� se
muestra de modo lineal. Para valores intermedios mayores ya no se cumplen la ley de
Hooke, pues la función ya es una curva no lineal, y el material será plástico. En valores
muy altos será rígido, llegando a la fractura del material. Véase el gráfico (4.1).
114
El valor de Ke vale decir que depende también de la geometría del cuerpo sobre el que se
aplica la fuerza. En el caso de resortes, el valor de Ke depende del material y de la forma
geométrica del resorte, es decir el radio de las espiras y la distancia longitudinal entre cada
espira. Algunos casos interesantes se dan cuando se tienen combinaciones de resortes en
serie o paralelo y se desea determinar el coeficiente de elasticidad Ke de este sistema de
resortes. Hágase un estudio de ambos casos, primeramente se analizaran tres resortes
diferentes en paralelo que están sosteniendo una carga de modo horizontal. Surge la
pregunta ¿Cómo determinar el coeficiente elástico de este sistema de muelles? Véase la
figura (4.12).
Figura 4.12. Un Sistema de resortes en paralelo.
La figura 4.12 deja ver que la deformación de cada resorte es la misma, por tanto la fuerza
elástica total sobre la carga es la suma de las tres fuerzas elástica.
� �
=
� 1 +
� 2 + � � 3 = −��1 ∆ � + −��2 ∆ � + −��3 ∆ �
� � �
= −(��1 + ��2 + ��3) ∆ �
� � � = −��� ∆ �
Se hace algebra elemental con las ecuaciones escalares y se determina el siguiente
resultado.
115
��� = (��1 + ��2 + ��3)
116
�=1
Por un método de inducción matemática se puede demostrar que para n resortes en paralelo,
la ecuación quedaría.
��� = ∑� ��
�
(Alvarez, 2017).
Un segundo caso aparece cuando se tiene un número de resortes en serie, para su estudio se
analiza el problema de tres resortes en serie que sostienen una carga, lo cual se muestra en
la siguiente figura 4.13.
Figura 4.13. Sistema de resortes en serie.
El análisis aquí para determinar el coeficiente de elasticidad total del sistema pasa por las
siguientes ideas. La fuerza de tensión en cada resorte es la misma, o sea los tres resortes, se
comportan como un hilo inextensible donde la tensión es igual en cada punto del hilo.
Además la elongación total del sistema es la suma de las elongaciones de cada resorte,
entonces el análisis de las ecuaciones del problema queda así:
�� =
� 1 =
� 2 = � � 3 = −��1 ∆ � 1 = −��2 ∆ � 2 =
−��3 ∆ � 3
∆�� = ∆�1 + ∆�2 + ∆�3
� � �
= −��� ∆ � � = −���(∆�1 + ∆�2 + ∆�3)�
Igualmente a el caso anterior, hacemos algebra elemental con las ecuaciones escalares y se
117
obtiene el siguiente resultado.
118
1 =
���
1 +
�1
1 +
�2
1
�3
El inverso del coeficiente elástico resultante es igual a la suma de los inversos de cada
coeficiente elástico. Como en el caso anterior, aquí nuevamente se usa el método inductivo
de las matemáticas para conjuntos con elementos numerables, con lo cual se podría
extender este resultado para n resortes en serie.
1 = ∑�
1 (Alvarez, 2017)
��� �=1 ��
Si se retorna sobre la ecuación (4.12), el signo menos de esta, deja ver que la fuerza elástica
siempre estará contaría a la dirección del versor deformación del material. Véase la figura
4.14 a continuación.
Figura 4.14. Como se observa la fuerza elástica es contraria a la fuerza aplicada al
resorte metálico.
La energía potencial elástica inherente a este campo también se calcula de modo similar a
la energía potencial gravitatoria, es dependiente de la deformación sufrida por el material
∆� y del sentido de los ejes del sistema coordenado que se impuso en cada caso real.
�( ∆�)
1
= ± 2 ��∆�
2 (Halliday, 2001)
119
4.6.2 Interacciones que no poseen funciones escalares intrínsecas. Fuerzas
de fricción dinámica entre superficies sólidas rígidas y sobre un cuerpo
que se mueve a través de un medio o fluido. Ley de Arquímedes.
Otras fuerzas importantes son las denominadas fuerzas disipativas, o sea de fricción o
rozamiento y las de sustentabilidad. Estas funciones vectoriales no poseen una función
escalar inherente, pues son campos vectoriales generados por el propio movimiento de los
cuerpos masudos sobre la que actúan; al terminar el movimiento su acción desaparece. Se
revisará primeramente que ocurre con las fuerzas de rozamiento o fricción entre dos
superficies en contacto directo. Cuando dos superficies solidas planas rugosas, se ponen en
movimiento relativo entre ellas, se crea un par de fuerza de fricción dinámica que cumplen
con la tercera ley de Newton, las cuales se opondrán al movimiento entre ambas
superficies. Cada fuerza actuará en la superficie correspondiente de modo tangente y su
valor modular será igual en cada una.
En condiciones de equilibrio dinámico, que conlleve al reposo entre ambas superficies,
surge un par de fuerzas de fricción estática que de igual manera se opondrá a un posible
movimiento futuro entre ambas superficies, si se diesen las condiciones mecánicas para
ello. El origen de estas fuerzas se debe a la interacción entre los átomos que conforman la
estructura interna de ambas superficies en contacto, lo que no es objeto de estudio de este
capítulo. La ecuación escalar que describe estas fuerzas disipativas es la siguiente.
���� = �� (4.13)
Se nota de modo claro que el vector presente en la ecuación (4.13), será la fuerza normal
que realiza una superficie en posición inferior, en dirección de la línea perpendicular a la
superficie apoyo, sobre la que se encuentre en una posición superior sobre la inferior. El
vector fuerza normal siempre sobre esta recta normal a ambas superficies, por ello es su
nombre. El factor �, es el denominado coeficiente de rozamiento o fricción dinámico entre
las superficies. Este es un valor adimensional y cambia para cada tipo de contactos entre
superficies de diferentes materiales. Los valores de � están acotados en el intervalo.
� ≥ 0 (4.14)
El caso de � = 0, es un caso ideal de superficies lisas totalmente, este caso solo se usa en
modelos físicos-matemáticos, para resolver problemas con condiciones aproximadas al caso
ideal.
Otro campo de fuerzas de fricción son las de sustentación, que no son más que fuerzas de
fricción reales que aparecen sobre un cuerpo o sistema de partículas, cuando estos cuerpos
masudos se mueve a través de un medio líquido ligero, viscoso, gelatinoso, solidos
arenosos o fluido gaseoso. Estos medios poseen una constante � ∈ ℝ+, medible físico
120
�
escalar que caracteriza al fluido. Las dimensiones de este medible escalar son [�] = [�] .
�
La fuerza de sustentación que está en contra del movimiento rectilíneo del cuerpo por el
medio, cuando este desplaza masa del fluido con su volumen espacial viene dada por la
siguiente ecuación.
� ( � ) = −��2� (4.15) (Alvarez, 2017)
La ecuación (4.15) dice que la fuerza de sustentación siempre estará contraria al
movimiento rectilíneo, donde el versor habla del sentido y dirección del vector velocidad
puntual de la partícula, en ese instante temporal en que se determinara la fuerza de
sustentación que sufre el cuerpo en su movimiento por parte del fluido. Cabe acotar que los
modelos generalmente toman el fluido en estado de reposo.
Si se quiere hacer un estudio cinemático del movimiento rectilíneo de un cuerpo bajo la
acción de estos campos de fuerzas resistivos, entonces se aplica la ecuación vectorial de la
segunda ley de Newton, suponiendo que sobre el cuerpo actúan otras fuerzas externas.
��
��
∑ ���� + ��(�) = �� = � ��
= � ��
En ocasiones durante la resolución de muchos problemas físicos se encuentra con el
interesante caso de un cuerpo que se mueve a través de un fluido y tiene como fuerza
motora un campo de fuerzas externos que depende de la posición, entonces la ecuación
escalar de la segunda ley de Newton queda así:
����(�) − ��(�) = �� =
Si se sustituye en la ecuación (4.15) y se divide por la masa del cuerpo en la ecuación
diferencial anterior se arriba a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden.
+ �
2 = ����(�)
(4.16)
� �
Esta ecuación diferencial (4.16) su resolución pasa por analizar primero la solución para el
caso homogéneo y luego la solución particular que depende de la expresión matemática del
campo externo motor que mueve el cuerpo. La solución general es la suma algebraica de
ambas soluciones. En el caso que el campo externo motor que mueve el cuerpo fuese
constante en el espacio-tiempo, entonces la ecuación (4.16) queda así:
= ����
− �
2 � �
121
La cual es muy fácil de resolver si se pasa a la ecuación diferencial de velocidades, pues
sería una ecuación diferencial de primer orden con la variable velocidad de modo separable
así:
= ����
− �
�2 � �
Luego, si se tuviesen las velocidades de frontera del cuerpo al entrar y abandonar el medio
entonces se podría tener el intervalo temporal que estuvo el cuerpo moviéndose dentro del
fluido por la siguiente ecuación integral:
��
∆� = ∫
�
��
�
�� ���
� �
�2
Durante la resolución de algunos problemas la ecuación diferencial (4.16) se puede
simplificar aún más, si se desprecia la acción del campo externo sobre el cuerpo, lo cual es
muy común al analizar la trayectoria rectilínea de un cuerpo masudo geométricamente
pequeño a través de un medio cualquiera.
Un último caso de estudio, muy interesante entre las interacciones no potenciales, son
fuerzas que actúan sobre un cuerpo que está en contacto con un medio de alta densidad o
fluido. Luego, sobre el cuerpo aparece una fuerza que actúa sobre toda su superficie
externa, debido a la presión que ejerce el fluido sobre cada punto de la superficie exterior
con la que hace contacto. Si el cuerpo está bajo la acción de un campo gravitatorio u otro
campo de fuerzas externo, las componentes de las presiones del fluido en sentido y
dirección perpendicular al campo de fuerzas externo se anularan, pero las componentes
vectoriales de las presiones sobre la superficie del cuerpo paralelas al campo externo
crearan una fuerza externa contraría al campo externo que actúa sobre el cuerpo,
denominada fuerza de empuje del fluido sobre el cuerpo. Véase la siguiente figura 4.15.
Figura 4.15. Como vemos las componentes verticales de las fuerzas que ejerce el fluido
sobre el cuerpo son las generadoras de la fuerza de empuje.
−
122
En los medios líquidos este campo de fuerzas de empuje se pone más evidente que en los
medios gaseosos, pues sobre los cuerpos en contacto con fluidos líquidos esta interacción
de empuje tiene un rango de interés, en el análisis dinámico del cuerpo; lo que no ocurre tan
así para cuerpos en contacto con fluidos gaseosos donde en ocasiones se desprecia esta
interacción. Este campo de fuerzas de empuje, fue de los primeros que investigo el hombre,
los estudios de su concepción física y su ley matemática, fueron realizados desde época
antigua por el matemático y filósofo Griego Arquímedes.
Arquímedes realizo sus estudios para cuerpos que se ponían en contactos con líquidos, pues
como ya enunciamos sobre estos se evidenciaba mejor el accionar de esta interacción sobre
los cuerpos masudos, sus principales experimentos fueron con cuerpos en contacto con
agua, pero su ley fue generalizada conceptualmente para todo medio del siguiente modo,
cuando un cuerpo masudo cualquiera entra en contacto con un medio, sea de modo
completo o incompleto, aparecerá de inmediato una fuerza de empuje contraria al peso del
fluido desplazado por el volumen del cuerpo, en el campo gravitacional que está presente
en esa región del universo. O sea, este campo de fuerzas de empuje siempre estará en
sentido contrario a la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo, y su valor modular será
igual al valor modular de la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa de fluido
desplazada por el volumen en contacto. En la siguiente figura 4.16 se ve la acción de este
campo de fuerzas sobre un cuerpo en contacto con un líquido.
Figura 4.16. Fuerza de empuje que actúa sobre el cuerpo, al ponerse en contacto con
el agua. Estado de flotación.
Véase la expresión matemática que describe la ley de Arquímedes en la siguiente ecuación.
� � = − ��� � � (4.17)
123
Donde el término ��� representa la masa de fluido desplazada por el volumen del cuerpo
en contacto con el medio, y � la aceleración que provoca el campo gravitacional que
está presente en esa región del espacio sobre los cuerpos masudos. En el caso de estar en la
superficie de la tierra o sus cercanías la aceleración gravitatoria es � por lo cual la
ecuación (4.17) queda así.
� � = − ��� � (4.18)
Debido a esta fuerza un cuerpo puede estar en tres estados dinámicos diferentes dentro de
un medio líquido. Primero en estado de flotación, figura 4.16, cuando la fuerza de empuje
es mayor que su peso, o sea la densidad de masa específica del cuerpo es menor a la
densidad de masa específica del fluido. Segundo en estado de equilibrio dinámico como
vimos en la figura 4.8, donde la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo se iguala
vectorialmente a la fuerza de empuje, o sea ambas fuerzas son un par acción-reacción. En
estos casos las densidades másicas del fluido y el cuerpo son iguales. Un tercer caso es
cuando los cuerpos se hunden hasta el fondo del recipiente o cavidad natural que contiene
el fluido; en este caso la densidad másica del cuerpo es mayor a la densidad másica del
fluido, por lo cual la fuerza de empuje es menor al peso del cuerpo.
En los fluidos gaseosos este campo de fuerza de empuje se pone de manifiestos sobre
cuerpos masudos con dimensiones grandes que ofrecen resistencia al gas en su trayectoria
de movimiento y bajo valor modular de su densidad másica, ejemplo: plumas de aves,
paracaídas….; por otra parte si el cuerpo tiene alto valor modular de su densidad másica y
forma aerodinámica para atravesar las líneas del fluido gaseoso entonces en muchísimas
ocasiones esta interacción de empuje será despreciada.
En el inicio de este subtopico se hizo referencia a las fuerzas de sustentación o fricción del
medio al movimiento rectilíneo de un cuerpo dentro de un fluido, se hace ver que la
ecuación (4.15) también es otra ecuación matemática que se usa para expresar las fuerzas
de empuje que hace el fluido sobre el cuerpo durante la trayectoria de su movimiento. La
ecuación (4.17) se aplica generalmente para cuerpos que están en reposo o se mueven a
velocidades muy bajas dentro del fluido. Aunque en ocasiones cuando los cuerpos se
mueven en fluidos densos, en la dirección del campo externo, sus dimensiones son
pequeñas y superficie del cuerpo muy aerodinámica, solo se utiliza la ecuación (4.17) en el
análisis dinámico del movimiento y se desprecia la ecuación (4.15).
124
4.7 Las leyes de Newton aplicadas sobre diferentes sistemas de
coordenadas geométricas.
4.7.1 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas
cartesianas rectangulares en el espacio.
El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se ha estudiado en el capítulo anterior
de cinemática clásica Newtoniana, se vio que es un sistema coordenado, que se ubica en un
punto del espacio, de modo inmóvil, con tres ejes ortogonales que cubren el espacio en sus
tres dimensiones. Para describir completamente un vector en el espacio tridimensional con
este sistema coordenado se usa la base orto normal de versores inmóviles. Por tanto
todo vector de ℝ3 en este sistema será descrito por sus tres componentes espaciales.
Ejemplo de esto, lo refleja la ecuación (3.27) para la posición de un cuerpo en el espacio
del capítulo anterior.
La segunda ley de newton es una ecuación vectorial que tiene implícita n+1 vectores, n
vectores de la fuerzas reales y el vector aceleración puntual resultante, que obtiene el
sistema de partículas o la partícula única, por el efecto de las n fuerzas reales sobre este, lo
que se reflejan en las ecuaciones (4.4) y (4.5), solo si el sistema coordenado cartesiano
rectangular está ubicado sobre un sistema de referencia inercial, entonces es posible aplicar
la segunda ley de Newton.
�
∑ � � � � = � �
�=1
Escrita en modo diferencial matemático, y desarrollada por sus n-esimas fuerzas externas
que la componen, la ecuación vectorial (4.5) quedaría así.
�
∑ ��� =
�=1
1
+
2
+ ⋯ … …
… +
�
= �
��
(4.19)
Como todas las n fuerzas externas generan una correspondiente aceleración sobre el cuerpo,
entonces la aceleración � que aparece en la ecuación (4.4) no es más que la resultante de la
suma vectorial de todas estas aceleraciones, que a la vez con sus componentes por ejes
aportan para las componentes totales de la aceleración total puntual del cuerpo en cada
momento temporal, lo cual viene reflejado así.
� � � � � = � � �
� = � + � + �
125
Ahora, se pasa a ver las ecuaciones vectoriales que generan las proyecciones de estos
vectores en cada eje coordenado x, y, z.
En el eje x se tendrá una ecuación vectorial como esta.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.20)
�=1
Para el eje y sería también una ecuación similar.
�
∑ � � � � = 1 � � � � + 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � = � � (4.21)
�=1
Finalmente la última componente espacial es para el eje z.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.22)
�=1
En la siguiente figura (4.17) se ve un cuerpo que se desliza por una superficie inclinada
rugosa, las tres fuerzas externas, la fuerza de rozamiento, la fuerza normal y su peso; son
descompuestas en sus componentes según los ejes coordenados rectangulares en el centro
de masas del cuerpo.
Figura 4.17. Cuerpo que se desliza por un plano inclinado.
En el caso de aparecer fuerzas ficticias se aplicaría igualmente la ecuación (4.7) que define
el principio de D’Alembert para cada eje espacial, como se ha hecho con la segunda ley de
Newton, según sea el caso del eje donde aparezcan las mismas en el problema a resolver
(Alvarez, 2017).
126
4.7.2 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas
tangencial-normal en el plano.
Las coordenadas tangenciales-normales, también fueron analizadas en el estudio cinemático
de los cuerpos a velocidades clásicas en el capítulo anterior, para movimiento en espacios
planos. Se analizó el medible vectorial aceleración del cuerpo en cada instante temporal de
la trayectoria, el cual posee una componente tangencial al arco de curva correspondiente y
otra sobre la recta normal, con dirección hacia el centro de curvaturas. En las ecuaciones
(3.33 b) y (3.34) del capítulo anterior esta idea quedo expresada matemáticamente.
� =
�2
�
�2
�
� = � + �
��
�� + � ��
= � �� +
�2
�� �
Este sistema coordenado siempre se ubica en el mismo punto geométrico que los cuerpos
que se mueven por trayectorias generalmente curvilíneas. Por tanto, este sistema
coordenado como tal es un sistema de referencia es No inercial; entonces la segunda ley de
Newton aquí no es posible aplicarla. Luego, solo el principio de D´Alembert es quien
único funciona a la hora de hacer el análisis dinámico de un cuerpo en este sistema
coordenado tangencial-normal. Ahora se estudiara la ecuación vectorial del principio de
D´Alembert por sus ejes tangenciales y normales, o sea al descomponer cada vector
implícito en la ecuación por su componentes tangenciales y normales.
� �=1 � �
� �
� +
� �=1
� � � � = � � � � �
� 1 � + ⋯ + � � � + � 1 � � � � + ⋯ + � � � � � � =
�� � � � �
En el caso de la aplicación de este sistema de referencia tangencial-normal en el análisis
dinámico, el sistema de referencia siempre viaja junto al cuerpo en cuestión que se revisara,
por lo que la aceleración propia del cuerpo respecto al sistema de referencia es vector nulo.
O sea ��� � = 0 . Luego la ecuación vectorial anterior queda.
� 1 � + ⋯ + � � � + � 1 � � � � + ⋯ + � � � � � � = 0
En el eje normal con versor �� se tendrá una ecuación vectorial como esta.
� 1 � � + ⋯ + � � � � + � 1 � � � � � + ⋯ +
� � � � � � � = 0 (4.23)
∑ ∑
127
Para el eje tangencial con versor �� sería también una ecuación similar.
� 1 � � + ⋯ + � � � � + � 1 � � � � � + ⋯ + � � � � � � � = 0 (4.24)
128
La determinación de los medibles involucrados, se hace al pasar ambas ecuaciones
vectoriales (4.23) y (4.24) a sus correspondientes ecuaciones escalares, lo que implica el
análisis de los signos para los módulos de cada vector involucrado en el cálculo (Alvarez,
2017).
En la figura (4.18) se observa cómo se descomponen por los ejes coordenados tangenciales
y normales las fuerzas reales y ficticias que actúan sobre un cuerpo que oscila en un plano.
La tensión, fuerza real, siempre está sobre el eje normal, y la fuerza gravitacional se
descompone en los ejes tangenciales y normales, la fuerza ficticia se denomina en este caso
fuerza centrífuga, que siempre estará en sentido contrario al versor normal ��. La tensión es
una fuerza real denominada generalmente fuerza centrípeta, que actúa sobre el cuerpo por
parte del hilo o campo de fuerzas que lo mantiene en la trayectoria.
Figura 4.18. Masa que oscila colgada de un péndulo.
El cálculo de las denominadas fuerzas centrífugas, entonces será:
� � � � �
� = � � � � � � � = �(− � � )
La ecuación vectorial dinámica sobre el eje normal será: � � � + � + � � � �
� � �
=
0
La ecuación vectorial dinámica sobre el eje tangencial será: �
� + �
�
�
�
�
= 0
Este problema generalmente tiene una solución analítica muy rápida cuando se toma el
desarrollo de la función seno del ángulo en su primer término del desarrollo de la serie de
Taylor para valores cercanos a cero. O sea si solo se consideran ángulos pequeños para las
oscilaciones del péndulo.
129
���(�) = � −
�3
3!
�5
+ 5!
�2�+1
+ ⋯ + (−1)� , � = 0,1,2, ,, (2� + 1)!
���(�) ≅ � → ���(�) ≅ √1 − �2
En la siguiente figura (4.19) se tiene otro caso de estudio, si se para un observador sobre la
Luna, el efecto del campo de fuerza gravitacional de la Tierra, se equilibra con una fuerza
ficticia o fuerza centrífuga que empuja hacia el exterior de la órbita al satélite natural, la
cual tiene como valor vectorial, el producto de la masa de la Luna por menos el vector de
aceleración normal. O sea, para calcular los medibles físicos implícitos en estos casos,
entonces se aplica el teorema de D´Alembert para el plano de análisis, mas luego igual se
particulariza para los dos ejes coordenados tangenciales y normales.
Figura 4.19. Fuerzas que experimenta cualquier observador parado sobre un satélite
de la Tierra En este caso la Luna.
4.7.3 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas
polares en el plano.
El sistema coordenado polar ene l plano, a diferencia del sistema coordenado tangencial-
normal, siempre se coloca fuera del cuerpo o partícula sobre el que se hace el análisis
físico. En este sistema coordenado casi nunca aparecerán limitaciones para la ecuación
vectorial de la segunda ley de Newton por el efecto de fuerzas ficticias, excepto que este
anclado sobre otro cuerpo en movimiento acelerado, por esa razón aquí no se mencionara el
teorema de D´Alambert, solo se ocupa a ver como se descomponen por sus ejes
130
coordenados las distintas componentes de los vectores implícitos en la segunda ley de
Newton. Esta ley al igual que en los sistemas coordenadas rectangulares, tangenciales-
normales será desarrollada a partir de los ejes radiales y angulares del sistema coordenado
polar. Si se hace un poco de algebra vectorial y se usan las propiedades elementales del
operador matemático, sumatoria.
�
∑ � � � � = � �
�=1
�
∑ ��� =
�=1
� 1
+ � 2 + ⋯ … … … + � �
= ��
Como la base vectorial que describe un vector en este sistema coordenado es �� � ��, la
cual es también orto normal; entonces la aceleración total de cuerpo o partícula se describe
así.
� = � + � � = �� ��
+ �� ��
En el eje radial con versor �� se tendría una ecuación vectorial como esta.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.25)
�=1
Para el eje angular con versor �� sería también una ecuación similar.
�
∑ � � � � = 1 � � � � + 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � = � � (4.26)
�=1
Con las ecuaciones (4.25) y (4.26) se puede calcular, aplicando la segunda ley de Newton
de modo muy sencillo; los medibles físicos ligados a un cuerpo que se mueve sobre un
plano, describiendo cualquier trayectoria curvilínea. En el siguiente gráfico (4.2) se observa
una fuerza real que actúa sobre un cuerpo que se mueve en un plano por una trayectoria
curvilínea, sus componentes radiales y angulares al ubicar un sistema de coordenadas
polares para hacer un análisis dinámico del movimiento (Alvarez, 2017).
131
Gráfico 4.2. Fuerza real y sus componentes polares, actuando sobre un cuerpo que se
mueve por un plano.
Sin embargo, en ocasiones aparecen problemas muy interesantes donde se deben analizar
las fuerzas sobre un segundo sistema de referencia, situado sobre un cuerpo que se analiza
su movimiento en este sistema de coordenadas polares, resulta que las aceleraciones
radiales y angulares que posee el cuerpo, entonces si introducirían fuerzas ficticias sobre
este segundo sistema de referencia. Se sabe, de la ecuación (3.40) del capítulo anterior, que
las aceleraciones radiales y angulares que posee el cuerpo, vienen dada por términos que
dependen de las derivadas primeras y segunda con respecto a la dimensión temporal, de las
dos variables espaciales (�, �).
� ( � ) = (� − ��2) �� + (�� + 2��) ��
El segundo término de la aceleración angular define el valor modular de la denominada
aceleración de Coriolis �� = 2 , que sufre el cuerpo. Por tanto un observador en ese
segundo sistema de referencia estará bajo la acción de fuerzas ficticias definidas por el
producto de su masa y de cada termino que aporta a las componentes radiales y angulares
de la aceleración del cuerpo; pero cabe acotar que una fuerza de estas muy interesante, es el
producto de la masa del observador y la aceleración de coriolis, que generan sobre este una
fuerza ficticia de igual nombre, Fuerza de Coriolis y su ecuación viene dada así.
� � � = ���� � � �
La cual tendrá como dirección y sentido a la derecha y perpendicular del vector velocidad
puntual del observador, en su movimiento sobre el cuerpo que se analiza en el sistema de
referencia inicial en coordenadas polares.
132
4.7.4 Las leyes de Newton aplicadas sobre el sistema de coordenadas
cilíndricas, para cuerpos que se mueven en el espacio.
Cuando un cuerpo se mueve en el espacio y su trayectoria describe la pared de un cilindro,
y otro lugar geométrico muy semejante, como la pared de un cono; entonces resulta muy
cómodo para los cálculos dinámicos, usar el sistema coordenado cilíndrico que ya fue
estudiado en el capítulo anterior. Nuevamente se reescribe la ley segunda de Newton y se
desarrolla para cada eje espacial de este sistema, que no es más que la extensión de un
sistema polar al espacio con un versor no variable en el tiempo que representa como base
vectorial la tercera coordenada espacial z.
Cabe aclarar que este sistema coordenado cilíndrico siempre será fijado en un punto fuera
del cuerpo que se analiza, si se estuviese ante una partícula que describe trayectorias
cónicas o cilíndricas, en muchísimos casos es muy cómodo ubicarlo en un punto de
simetría geométrica del plano inferior o superior de la superficie. Nuevamente se analizan
las n-esimas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo en el espacio y la consecuente
aceleración que resulta.
�
∑ � � � � = � �
�=1
�
∑ ��� =
�=1
� 1
+ � 2 + ⋯ … … … + � �
= ��
Como la base de versores que describe un vector en este sistema coordenado es �� ,
�� � � , la cual es también orto normal; entonces la aceleración total de cuerpo o partícula
se representa así.
� = � � + � � + � � = �� ��
+ �� ��
+ ��
Sobre el plano inferior de proyección del movimiento se tienen dos ejes espaciales cuyos
versores son variables en el tiempo según se mueve la trayectoria espacial de la partícula.
En el eje radial con versor �� se tendrá una ecuación dinámica vectorial como esta.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.27)
�=1
Para el eje angular con versor �� sería también una ecuación similar.
�
∑ � � � � = 1 � � � � + 2 � � � � + ⋯ … … … … +
133
� � � � � = � � (4.28)
�=1
134
Para el eje z, cuyo versor es invariable temporalmente, se tendrá ahora una tercera
ecuación vectorial dinámica.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.29)
�=1
Se observa que las ecuaciones (4.27), (4.28) y (4.29) describen totalmente las ecuaciones
dinámicas sobre este cuerpo en el sistema coordenado cilíndrico. Aunque hay casos de
análisis donde no se llegan a necesitar las tres ecuaciones para determinar los medibles que
exige el problema, pues con solo dos de ellas se obtienen los cálculos deseados (Alvarez,
2017).
4.7.5 Las leyes de Newton aplicadas sobre sistema de coordenadas
esféricas, para cuerpos que se mueven en el espacio.
El sistema de coordenadas esféricas es muy utilizado para resolver problemas dinámicos de
cuerpos que tienen trayectorias de movimiento en el espacio, un caso clásico de su uso es
cuando los cuerpos se mueven bajo la acción de campos cuyas líneas de fuerzas tienen un
punto de manantial o surgideros, o sea los denominados campos de fuerzas centrales, pues
siempre el vector fuerza estará a lo largo de la dimensión radial. De modo similar al sistema
de coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas, ubica su punto de origen
coordenado fuera del cuerpo o partícula de la cual se desean calcular sus medibles físicos.
Según sea el sistema de referencia donde se fije el sistema coordenado esférico, dependerá
el análisis dinámico, lo cual se hará usando la segunda ley de Newton o el principio de
D’Alembert. Solo se verán los casos donde el sistema coordenado es fijado sobre un
sistema de referencia inercial y aplicamos la ley de Newton, y sus proyecciones en cada eje
dimensional.
Al igual que para los anteriores sistemas coordenados tridimensionales, se analizara las n-
esimas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo en el espacio y la consecuente
aceleración que resulta. La diferencia de este sistema coordenado con el cartesiano y el
cilíndrico, estriba en que sus tres versores ordenados se mueven constantemente en el
tiempo según se mueve el radio de posición de la partícula o cuerpo que se estudia.
�
∑ � � � � = � �
�=1
�
∑ ��� =
�=1
� 1
+ � 2 + ⋯ … … … + � �
= ��
135
Como la base de versores que describe un vector en este sistema coordenado es , � ,
la cual es también orto normal. Véase la gráfica 4.3, donde se expone un sistema
coordenado esférico montado sobre un sistema de ejes cartesianos rectangulares espacial.
Gráfico 4.3. Sistema de coordenadas esféricas. Su base vectorial.
Como se ve en la gráfica (4.3) un punto en el espacio en el sistema de coordenadas
esféricas viene dado por el trio ordenado (� , � , ∅ ). Los rangos de valores de cada variable
son 0 ≤ � ≤ ∞ , 0 ≤ � ≤ 2� , 0 ≤ ∅ ≤ � . También se hace notar la base versorial, que
en este caso para seguir acorde a la nomenclatura usada, se denominara para el versor radial
�� , para el del ángulo de barrido � sobre el plano inferior �� , por ultimo para el ángulo
de barrido vertical ∅ se notara �∅ . Luego, la aceleración total de cuerpo o partícula se
describe así.
� = � + � + ∅ = �� + �� + ��
Sobre el plano inferior de proyección del movimiento se tienen dos ejes espaciales cuyos
versores son variables en el tiempo según se mueve la trayectoria espacial de la partícula.
En el eje radial con versor , cuyos valores modulares son � � ℝ+ se tendría una ecuación
dinámica vectorial como esta.
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.30)
�=1
Para el semi eje angular en el plano inferior con versor �, que tiene un intervalo de barrido
circular completo, o sea 0 ≤ � ≤ 2�, sería también una ecuación similar.
136
�
∑ � � � � � = � 1 � � � � + � 2 � � � � + ⋯ … … … … +
� � � � � � = � � � (4.31)
�=1
El otro semieje angular que barre de arriba hacia abajo, o sea 0 ≤ ∅ ≤ � el movimiento
espacial del vector posición del cuerpo durante toda la trayectoria del movimiento, cuyo
versor ∅, al igual que los demás ejes dimensionales, es variable temporalmente, se tendrá
ahora una tercera ecuación vectorial dinámica.
�
∑ � � � � ∅ = � 1 � � � ∅ + � 2 � � � ∅ + ⋯ … … … … +
� � � � � ∅ = � � ∅ (4.32)
�=1
Las tres ecuaciones vectoriales anteriores, (4.30), (4.31) y (4.32) describen totalmente las
ecuaciones dinámicas, que involucran las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, cuya
trayectoria espacial se estudia dentro de un sistema coordenado esférico. Aunque hay casos
de análisis donde no se llegan a necesitar las tres ecuaciones para determinar los medibles
que exige un determinado problema (Alvarez, 2017).
137
Capítulo V
5. Trabajo y Energía No Relativista. Teoría de
Campos Vectoriales.
5.1 ¿Qué es el trabajo mecánico? Aplicaciones a través de la
integral de línea.
El concepto intuitivo de la palabra trabajo que se posee, está muy ligado a la idea del
cansancio del cuerpo humano; o sea el ser humano siente un rechazo innato a realizar
trabajo, porque sabe que sus músculos caerán en una fatiga. Cuando se siente hablar de
trabajo, un pensamiento de algo malo, duro, fatigoso viene a la mente del hombre. Por tanto
la idea intuitiva de trabajo está relacionada con que el cuerpo humano pasara de un estado
emocional-físico superior a uno inferior al realizar una labor. Pues no está equivocada la
naturaleza del pensamiento humano en este sentido, físicamente el medible trabajo es una
forma de cuantificar la variación de estados en la materia. No hay duda que la fatiga de las
extremidades y músculos está ligada a una cantidad que cuantifica el cambio de estado del
cuerpo humano. O sea el hombre estaba definiendo que al realizar trabajo su cuerpo sentía
la pérdida de un nuevo concepto cuantificable que debería depender del estado inicial y
final en que quedaba su estatus físico, por tanto podría ser medido de modo numérico.
A partir de estos conceptos intuitivos que poseía el hombre desde siempre, los físicos
clásicos comprendieron que también podían definir un medible que llamarían trabajo, pues
del análisis dinámico clásico sabían que al hacer actuar una fuerza cualquiera sobre un ente
material, variaba el estado mecánico de dicho ente. La fuerza hacia variar los parámetros
vectoriales cinemáticos del cuerpo; pero más que eso aportaba o restaba cierta cantidad
numérica real que era el motivo esencial por el cual variaba el estado cinemático del
cuerpo. Si podría ser calculada esta ¨cantidad numérica¨ a partir de la acción de la fuerza
sobre el cuerpo material, sería mucho más fácil calcular el cambio de los medibles
mecánicos del cuerpo a través de este análisis numérico, que mediante el análisis
cinemático o dinámico, pues estos últimos envuelven magnitudes vectoriales que vuelven
más engorrosos los cálculos.
Los físicos decidieron nombrar a la ¨cantidad numérica¨ que estaba ligada a cada estado
mecánico de un cuerpo material, energía mecánica de dicho cuerpo material en ese estado
mecánico. Por tanto, ahora la definición del medible trabajo estaba relacionada con la
variación de algunas de las energías mecánicas de un cuerpo material por la acción de una
138
fuerza externa sobre dicho ente material durante un intervalo espacial. O sea en el cálculo
del medible trabajo deberían entrar la magnitud de la fuerza y los parámetros espaciales de
la trayectoria descrita por el cuerpo durante la acción de dicha fuerza.
Si se hace el análisis del trabajo que realiza una fuerza cualquiera que varía según la
posición del cuerpo respecto a un sistema de referencia anteriormente fijado
( ) sobre un cuerpo que por dicha acción se ve obligado a moverse por una
trayectoria curvilínea desde un punto A hasta un punto espacial final B, ver gráfica 4.1.
Primeramente se estudiara el pequeñísimo trabajo que realiza dicha fuerza sobre el cuerpo
al moverse por un diferencial
de desplazamiento sobre su trayectoria � , el cual sería un diferencial de trabajo ���.
Como la fuerza depende solo de la posición directamente (dentro del diferencial de camino
se toma como si actuase un campo estacionario), entonces en este diferencial de intervalo
espacial la fuerza se puede suponerse en una buena aproximación constante, por lo cual la
ecuación que define el diferencial de trabajo a partir de los vectores fuerza y diferencial de
desplazamiento se escribe así:
��� = � ( � ) • � � = � ∙ �� ∙ ��� (∢ (� , � � )) (5.1)
La ecuación diferencial (5.1) deja ver que se ha definido el diferencial de trabajo como el
producto escalar entre los vectores fuerza y diferencial de desplazamiento. Luego, el trabajo
total de llevar el cuerpo desde el punto A hasta B por dicha fuerza, ver gráfico 5.1, se
resuelve a través del cálculo integral y de modo particular la denominada integral de línea o
integral de contorno de la siguiente forma matemática: �→�
�� = ∫
�
( ) • �
(5.2)
Donde el contorno C es una curva paramétrica, suave y al menos diferenciable a trozos;
recorrida en sentido anti horario que describe la trayectoria espacial del cuerpo desde el
punto A hasta el punto B (Alvarez, 2017).
139
Gráfico 5.1. Contorno C descrito por la trayectoria del cuerpo en ir del punto A hasta
el punto B bajo la acción de la fuerza externa � .
140
La unidad de medida del trabajo como deja ver su definición matemática está dada por
[Unidades de Fuerza * Unidades de Longitud], tal que:
[�] = [ ��
�2
��2
�] = [ �2
] = [��2�−2]
Un caso importante es cuando el módulo de la fuerza que actúa sobre el cuerpo está dada en
Newton [N] y el modulo del desplazamiento esta dado en metros [m], entonces el trabajo
queda en Newton por metros, lo cual se define en Joules. O sea se define: ¨El trabajo de
mover una masa de un kilogramo por una fuerza de un Newton de modo rectilíneo por la
distancia de un metro, es un Joule de trabajo¨ 1 � ∗ 1� = 1 � (Halliday, 2001)
Otro caso particular de medir el trabajo de una fuerza es cuando esta es un vector de
modulo, dirección y sentido constante durante toda la trayectoria del cuerpo y por demás la
trayectoria es recta, entonces el cálculo de la ecuación (5.2) se facilita, pues:
�→�
�� = ∫
�
�→�
� ( � ) • � � = �� = ∫ � �� ��� (∢ (� , � � )) = � ��� (∢ (� , � �
)) ∫ ��
�
= � ∆� ��� (∢ (� , � � ))
�� = ( ) • ∆ � (5.3)
Según la ecuación (5.3), en esta situación problemática particular, para calcular el trabajo
de la fuerza, solo tomamos el vector fuerza y realizamos el producto escalar con el vector
desplazamiento (Alvarez, 2017).
Una observación importante de la ecuación (5.2) es que el medible trabajo esta desligado
directamente del diferencial temporal, lo cual abre la posibilidad de definir un medible que
exprese la cantidad de trabajo por unidad de tiempo por el campo de fuerzas sobre el ente
material. Este nuevo medible se denominó potencia de la fuerza o simplemente potencia,
como acuerdo internacional siempre se nota con la letra P mayúscula. El cálculo del mismo
podría ser realizado a partir de la ecuación (5.2), pues se define como la operación división
entre los números reales, magnitud trabajo y el medible intervalo temporal:
��
�→� ��
= = ∫ ∆�
�
�→�
(
) • ��
= ∫ ��
� ( ) • �
141
(5.4)
142
Las unidades de medición de este nuevo medible son unidades de [trabajo/tiempo] de tal
manera que si se realiza su análisis dimensional queda:
[�] = [ ��2
�3
] = [��2�−3]
Como ejemplo muy característico de unidad sobre este medible potencia se tiene: Calcular
el trabajo de una fuerza en Joule, dividida por el intervalo temporal en unidades de
segundo, entonces se obtiene la potencia de dicha fuerza en una unidad nueva denomina el
watts, que se nota con la letra ¨w¨ de los idiomas latinos. O sea que se define el watts de la
siguiente manera 1 � = 1 �∗ 1 �
= 1 �
(Alvarez, 2017). A modo de conclusión de este 1 � 1 �
subtópico se estudiará la resolución de dos ejemplos problémicos.
I Una caja de juguetes de masa 5.0 �� es empujada desde el reposo, por un niño sobre el
piso liso de una habitación por espacio de 2.0 �. El niño aplica una fuerza constante de
50.0 N a través de un hilo inextensible cuyo ángulo sobre la horizontal es de 60°. Calcule el
trabajo que realizo el niño en mover la caja, y la potencia que desarrollo.
Solución: Como la fuerza es constante durante toda la trayectoria de la caja sobre la
superficie horizontal de la habitación, por ende el ángulo entre el vector fuerza y el vector
desplazamiento es constante también; entonces para el cálculo del trabajo de la fuerza
desarrollada por el niño sobre la caja, se puede aplicar la sencilla ecuación:
� = � • ∆ � = � ∗ ∆� ∗ ���(� , ∆ � )
� = 50 � ∗ 2 � ∗ ���(60°)
� = 50.0 �
Para el cálculo de la potencia se debe determinar primero el tiempo de acción de la fuerza
aplicada por el niño sobre la caja. Si la fuerza que actúa sobre la caja es constante en el eje
horizontal denominado eje X con origen donde inicia el movimiento, se recordara no existe
rozamiento con el piso de la habitación, entonces la caja se movía con aceleración
constante según la segunda ley de Newton:
� � = ��
� =
� ���(�
, ∆ � )
143
�
144
La ecuación del movimiento de la caja en el eje horizontal x es �(�)
= �
2 �2. Luego, una
condición del problema está en que �(∆�) = ∆�, donde ∆� es el tiempo en el cual transcurre
la acción de la fuerza. Por tanto, se puede calcular este tiempo con ayuda de esta condición
del problema y la ecuación de aceleración obtenida del análisis dinámico.
2∆�
2∆��
√2�∆�2
∆� = √ �
= √ =
� � ���(�, ∆�)
Ahora se está en condiciones de calcular la potencia desarrollada por el niño:
� = �
∆�
� = =
√2�∆�2
�
√ �3
2�∆�2
� = 503
2 ∗ 5 ∗ 22 � = 55.90 �
II Una escuadra (7 soldados) de infantes de marina empujan lentamente y de modo
constante, una caja de proyectiles de artillería con masa m, cuesta arriba por un camino de
montaña; hasta un emplazamiento artillero que está a una altura ℎ desde la base de la
montaña. El camino de montaña esta descrito matemáticamente por la ecuación parabólica
� = 2�2, si tomamos el punto inferior del camino como el origen de un sistema coordenado
cartesiano, ver gráfica (5.2) del problema. Calcule el trabajo que realizo la fuerza de
rozamiento entre el suelo del camino de montaña y la caja de municiones durante todo el
trayecto; si el coeficiente de rozamiento dinámico es �.
Gráfico 5.2. Imagen del problema. Ladera de la montaña por donde ascienden los
soldados empujando la caja de proyectiles de artillería hasta el punto de
emplazamiento.
Solución: En este problema la fuerza de rozamiento depende de la posición de la caja de
municiones, varía según la trayectoria, porque el módulo de la fuerza normal cambia de
valor según la altura; por tanto, se debe aplicar el concepto de trabajo más general:
√
145
�
�
0→ℎ
��� = ∫
�
() • �
Ahora se desarrollara la fuerza de rozamiento de modo vectorial en el sistema de referencia que = −� ���(�) − � ���(�) . Igualmente se expresa de modo vectorial el
� � �
diferencial de desplazamiento en este sistema de referencia cartesiano � = �� +
�� . A continuación se opera el producto escalar que define un diferencial de trabajo
realizado por la fuerza al mover la caja a través de un diferencial de desplazamiento ��
= ( ) • � ,
que está dentro de la ecuación integral del trabajo. 0→ℎ
��� = ∫ (−�� ���(�) − �� ���(�) ) • (�� + �� )
�
0→ℎ
��� = ∫ (−�� ���(�) �� − �� ���(�) ��)
�
Como la ecuación del camino por donde asciende la caja de municiones es � = 2�2,
entonces �� = 4� ��. Igualmente se puede determinar el seno y coseno para el ángulo
del diferencial de camino respecto a la horizontal. � 2�
���(�) = = √�2 + �2 √1 + 4�2
� 1 ���(�) = =
√�2 + �2 √1 + 4�2
Por su parte para determinar la fuerza de rozamiento, se necesita el cálculo de la fuerza
normal, por lo cual se debe realizar el análisis dinámico desde un sistema de referencia
parado sobre la caja y estudiar el eje vertical ¨Y¨ al movimiento de la caja dentro de un
diferencial de desplazamiento cualquiera, con lo cual queda una ecuación dinámica así
después de aplicar el principio de D ´Alembert:
� − �� ���(�) − ��� = 0
Como la caja sube lentamente, entonces tómese la aceleración normal como casi nula, por
lo cual la normal es: � = �� ���(�)
Luego: 1
�� = �� = ��� ���(�) = ��� √1 + 4�2
146
Al sustituir todos estos resultados anteriores en la ecuación de trabajo última, se obtiene la
siguiente ecuación integral:
√ℎ /2
��� = −��� ∫ (
1 8�2
2 + 2) ��
1 + 4� 0
1 + 4�
1 + 8�2 1
1 + 4�2 = 2 −
1 + 4�2
√ℎ /2 √ℎ /2 ��
��� = −��� [ ∫ 2 �� − ∫
1 + 4�2]
0 0
� = −��� [2√ℎ
− 1
������ (2√ℎ )]
�� 2 2 2
5.2 La función escalar �: � ⊂ ℝ� → ℝ energía mecánica.
Cuando se habla sobre el termino ¨energía¨ en la vida cotidiana, se relaciona con los
conceptos de rápido, vigoroso, explosivo, luminoso, radioactivo etcétera……..; o sea en las
mentes humanas aparecen imágenes de materia en movimiento, espacios iluminados,
procesos en progreso, sociedades tanto de los reinos animales, florales o humanas en
desarrollo. No son erróneas esas ideas intuitivas que se tienen de esta terminología. En el
mundo moderno la energía es la base del desarrollo de las sociedades humanas, en las tres
esferas fundamentales económica, política y social. La explicación a tal importancia de este
término, se debe al hecho, de que ha pasado a ser uno de los medibles más importantes de
cualquier rama de las ciencias o las ingenierías.
La física, la química, la biología y las matemáticas como lenguaje, son las ciencias básicas
que describen casi todos los fenómenos naturales en el universo y entre todos se
manifiestan diversos tipos de energía, como son la energía lumínica, la energía sonora, la
energía térmica, energía hidráulica, la energía eléctrica, la energía magnética, la energía
nuclear, la energía mecánica, …. Todas ellas desarrolladas a partir del estudio de los
diferentes fenómenos físicos-químicos de la materia en los últimos 500 años de la historia
del hombre. Los físicos clásicos en sus inicios estudiaban el movimiento de la materia
masuda y esto generaba un medible clásico en su estudio, la velocidad puntual del cuerpo.
En sus cálculos observaron una cantidad escalar que poseía todo cuerpo masudo ligado a su
147
masa y su velocidad, y le denominaron energía cinética, en este trabajo se tomara su
notación como K. Igualmente los cuerpos masudos interactúan con los campos
gravitacionales creados por cuerpos masudos, también observaron en sus estudios otra
cantidad escalar debido a la posición relativa entre estos y la intensidad del campo
gravitacional en esa posición y la denominaron energía potencial del campo gravitacional.
En los estudios posteriores está energía potencial fue extendida a los demás campos de la
física, como eléctricos, magnéticos, nucleares,….. La energía potencial daba una idea de la
intensidad con que actuaba el campo generador de dicha energía, sobre el ente material bajo
su acción en una posición determinada. Se notara con la letra U mayúscula.
Si se suman ambas cantidades energéticas anteriores, como valores reales que son, entonces
los físicos obtuvieron una cantidad real que le denominaron energía mecánica; donde dicha
energía era función de la masa, la velocidad y la posición respecto a determinados campos
de fuerzas de todo ente material en el universo. Por tanto la ecuación que describe la
energía mecánica es muy sencilla:
�(�, �) = �(�) + �(�) (5.5)
En la ecuación (5.5) se ve de modo rápido la energía mecánica de la partícula como función
de la velocidad y la posición de la misma, pero si � = (�(�)) = �(�) y la energía potencial
solo depende de la posición para el caso de campos estacionarios �(�), entonces la energía
mecánica será solamente una función escalar paramétrica del tiempo �(�). En un segundo
caso si � = �(�) y �(�), entonces es una función escalar de la forma �: � ⊂ ℝ3 → ℝ,
donde � es la región del espacio por donde se desplaza la partícula bajo la acción del
campo de fuerza externo. En un tercer caso de campos no estacionarios �(�, �), �(�), �
=
�(�), nuevamente �(�). Cuarto caso, una partícula libre entonces la energía mecánica es
única mente de una función de su velocidad � = �(�). Quinto caso partícula en reposo
bajo un campo externo, entonces � = �(�, �). De modo general �: � ⊂ ℝ3 → ℝ es una
función escalar cuyo dominio depende de cada situación real de la partícula y su trayectoria
o estado de reposo. Una idea importante está en que el movimiento de las partículas clásica
siempre describirá una trayectoria que tiende hacia el mínimo de energía mecánica.
Otra observación fundamental sobre este medible energético mecánico, está la idea que
como valor real que representa toma todos los valores posibles de este conjunto numérico;
por tanto se cumple −∞ ≤ � ≤ +∞. También se puede acotar que la única relación
matemática existente entre masa y energía en el mundo físico clásico, es la ecuación (5.5),
pero en ella se encierra la idea de un balance energético independiente, al balance de masa
en cualquier fenómeno físico clásico. Se recordara la masa es un invariante clásico ante
cualquier suceso, no así la energía mecánica lo cual será estudiado en un próximo
subtopico; entonces la frontera entre masa y energía clásica está cerrada, o sea en el mundo
148
clásico los cuerpos masudos son siempre cuerpos materiales ante cualquier condición del
fenómeno físico y la energía a lo más puede transportarse a través de un medio material
como en el caso de las ondas mecánicas; pero nunca la energía se convertirá en cuerpo
material o la masa de los cuerpos materiales en energía mecánica (Alvarez, 2017).
5.3 La función escalar �: � ⊂ ℝ� → ℝ+ ∪ {�} energía cinética.
Durante el subtopico anterior se dio una idea muy general de este tipo de energía mecánica,
la cual depende de la masa de los cuerpos y su velocidad instantánea en cada momento de
su trayectoria durante todo el movimiento del cuerpo masudo. Su definición matemática
parte del cálculo del producto escalar entre el vector velocidad por el mismo, o sea 1
�(�) = �(� • � ) (5.6) 2
Si se desarrolla el producto � • � = � ∗ � ∗ ���(0°) = �2 entonces la ecuación (5.6)
anterior queda desarrollada así:
�(�) = 1
��2 (5.7) 2
Esta función escalar cuya variable es el valor modular al cuadrado de la velocidad
instantánea, puede ser una función real paramétrica dependiendo del tiempo, si � = �(�) en
un primer caso, o sea �: ℝ → ℝ. Un segundo caso está dado cuando la velocidad puntual es
solo función de la posición espacial de la partícula � = �(� ), entonces de modo más
complejo �: ℝ3 → ℝ. Debido a la naturaleza continua de la curva que describe una
trayectoria clásica, entonces esta función será siempre continua y derivable al menos a
trozos. Por tanto, a partir de la función primera derivada de esta función energía cinética se
puede describir un nuevo medible vectorial cinemático, la denominada cantidad de
movimiento lineal � = ��
= �� = �� (Alvarez, 2017). ��
Una observación muy importante de la ecuación (5.7) está dada en ver que solo representa
valores nulos o positivos de la energía cinética. O sea como la masa es un medible escalar
siempre positivo y todo valor real de velocidad elevado al cuadrado siempre será positivo
entonces el intervalo energético en que se encontrara siempre esta es: � ≥ 0. Por tanto,
siempre se cumple que la función escalar energía cinética tiene como estructura matemática
la siguiente �: � ⊂ ℝ3 → ℝ+ ∪ {0}
149
5.3.1 Teorema primero que relaciona el trabajo y la energía cinética.
El análisis energético es muy interesante en ocasiones para la resolución de situaciones
problemáticas en la mecánica clásica, su poder reside en determinados teoremas que
relacionan el trabajo de algunos tipos de fuerzas que actúan sobre un ente material y la
variación de algún tipo de energía mecánica de las ya mencionadas. Uno de estos teoremas
energéticos, resulta al analizar el trabajo de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo y
la variación de la energía cinética durante un tramo cualquiera de trayectoria clásica del
movimiento. Luego, se calcula el trabajo de la n-esimas fuerzas que actúan sobre el cuerpo
de masa � que va desde un punto A del espacio, donde poseía velocidad �0, hasta otro B,
donde poseía velocidad �1, describiendo una trayectoria C continua y suave, en la figura
4.1. La segunda ley de newton se cumple si el sistema coordenado de la figura se toma
como un SRI, en reposo, por tanto: �
� ( � ) = ∑ � = �� = � ��
�
�=1 ��
El trabajo de las n-esimas fuerzas sobre el cuerpo se puede calcular según la ecuación (5.2),
o sea: � �→� �
�→� �→� �→�
�� = ∑ ��
�
= ∫ ∑ � •
� = ∫
( ) • � = ∫ � � • �
= ∫ � ��
• � � ��
�=1 � �=1
�
� �
��
�→�
= ∫ � ��
•
� ��
�
�→�
= ∫ � � • �
�
Ahora el producto � • � = � ∗ �� pues ambos vectores son colineales y en igual
dirección y sentido.
Luego: �
�1
1 2 1 2
�� = ∑ ��� = � ∫ � �� =
2 ��1 −
2 ��0
�=1 ��
Como se ve los términos del miembro más a la derecha de la última ecuación son las
energías cinéticas finales e iniciales del cuerpo durante su trayectoria C. �
150
�� = ∑ ���
= �� − �� = ∆� (5.8)
�=1
151
La ecuación energética (5.8) es el denominado teorema primero entre el trabajo de todas las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un tramo cualquiera de su trayectoria y la variación
de la energía cinética del cuerpo en ese mismo intervalo de trayectoria, también se le llama
teorema de las fuerzas vivas (Alvarez, 2017). Este teorema resuelve determinadas
situaciones problémicas, donde por ejemplo debemos calcular velocidades, posición de un
cuerpo o inclusive el trabajo de algunas fuerzas en tramos de trayectorias; sin tener que
recurrir a cálculos de ecuaciones diferenciales o integrales difíciles de resolver por métodos
analíticos. Por tanto, solo teniendo los valores de algunos medibles iniciales y finales, ya se
puede resolver la situación problémica en cuestión. Un ejemplo sería resolver la siguiente
situación problémica.
III Un automóvil de masa 1200.0 �� viaja a 100.0 ��/ℎ sobre una carretera campestre
horizontal, frena de pronto debido a un ciervo delante, hasta detenerse. Calcule el trabajo de
la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el asfalto, durante el frenado.
Solución: Si se quiere determinar el trabajo de la fuerza de rozamiento a través de la
ecuación conceptual (5.2), no se podría; pues no tenemos el valor de la longitud del frenado
para usarlo como límite de integración. Además, no se podría hallar el valor de la fuerza de
rozamiento por no tener como dato el coeficiente de rozamiento dinámico entre ambas
superficies. Luego, si se tienen las velocidades iniciales y finales del móvil, entonces se
puede calcular la variación de la energía cinética del cuerpo. Ahora se podría aplicar el
teorema de las fuerzas vivas y calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento. Véase el
siguiente desarrollo: �
�� = ∑ ���
= ��� + �� + ����� = �� − �0
�=1
Los trabajos de las fuerzas de gravedad o peso y la reacción normal sobre el cuerpo durante
toda la trayectoria tiene como valor nulo; pues siempre el ángulo entre estas fuerzas y el
vector desplazamiento es de 90°. Luego, la ecuación energética anterior queda de la
siguiente manera: 1
� = � − � = �(� 2 − � 2)
���� � 0 2 � 0
El automóvil se detiene completamente al final de la trayectoria, por esa razón �� = 0
entonces el trabajo de la fuerza de rozamiento es:
� 1 2
���� = − 2
��0
= −�0
��2
����� = −0.5 ∗ 1200 ∗ 104 �� ∗ ℎ
= −1.2 �� 2
152
5.4 La función escalar �: � ⊂ ℝ� → ℝ energía potencial.
Este tipo de energía mecánica depende de la posición del cuerpo respecto a un sistema de
referencia que se seleccione, lo cual fue abordado en el subtópico de energía mecánica, o
sea � = �(�) para el caso de campos de fuerzas estacionarios. Luego estas funciones
escalares estacionarias �: � ⊂ ℝ3 → ℝ, son continuas y diferenciables al menos a trozos en
la región A donde actúa el campo de fuerzas que la genera. A diferencia de la función única
de velocidades �(�2) que representa la energía cinética, si pueden tomar valores reales
negativos, entonces los valores de la energía potencial pueden estar en cualquier punto de la
recta numérica real −∞ ≤ �(�) ≤ +∞. Un hecho importante está, en que este tipo de energía
siempre es inherente a un campo de fuerza determinado; pero no todos los campos de
fuerzas producen energías potenciales. Solo determinados campos de fuerzas se denominan
campos de fuerzas potenciales porque los entes materiales al entran bajo su acción, poseen
un valor determinado de energía potencial según la posición respecto al punto espacial
donde se encuentren dentro del campo, viceversa los campos de fuerzas que no generan
energía potencial se denominan fuerzas no potenciales. Esta es una forma energética de
clasificar las interacciones reales en el universo.
Una implicación matemática relevante aparece a la hora de realizar el cálculo del trabajo
que realizan estas fuerzas potenciales sobre un cuerpo cualquiera. Como la energía
potencial solo depende de la posición y el trabajo también es un tipo de energía; entonces el
trabajo de estas fuerzas potenciales solo depende también de la posición inicial y final del
cuerpo durante cualquier tramo de trayectoria que se analicé. Luego, no depende �(�) del
tipo de trayectoria que se tome. A partir de esta idea anterior y del análisis matemático de
las funciones vectoriales n-dimensionales se arriba al teorema del cálculo de la energía
potencial de un cuerpo debido a la acción de un campo de fuerzas potenciales sobre el
mismo, el cual enuncia lo siguiente: La energía potencial que posee un cuerpo por estar en
una posición espacial dada dentro de la influencia de un campo potencial estacionario, se
calcula como el trabajo que realiza una fuerza ( ) para llevar el cuerpo
entre un punto donde la energía potencial es nula y un punto espacial de análisis en
cuestión por cualquier trayectoria, a favor del campo de fuerzas potenciales (Alvarez,
2017). Matemáticamente la expresión integral es así:
�0↔� � �����
�(�) = ∫
�
( ) • � ; �(�0) = 0 (5.9)
O igualmente se puede calcular la energía potencial al mover el cuerpo de prueba, por el
camino contario en contra del campo de fuerzas potenciales, lo cual será menos el trabajo
entre el punto de análisis y un punto donde la energía potencial es nula (Alvarez, 2017).
153
���
���
�↔�0�� ������
�(�) = − ∫
�
( ) • � ; �(�0) = 0 (5.10)
Dos casos importante sobre la ecuación (5.9) están dados: Primero, en que si el campo de
fuerzas potenciales de por sí solo llevaría al cuerpo material por esta trayectoria �0 → � a
favor del campo de fuerzas, ejemplo de ello son: los campos gravitacionales, eléctrico
creado por cargas estáticas negativas…, donde el punto origen del campo es un sumidero.
Al aplicar la ecuación (5.9), entonces la función energía potencial de los campos de este
caso primero generalmente está en el rango de valores reales negativos −∞ < �(�) ≤ 0, por
esa razón este potencial energético �(�) le resulta como caer en un pozo energético a los
entes materiales que caen bajo su acción. Una excepción del caso es al interactuar una carga
negativa con un campo eléctrico creado por cargas negativas donde �(�) ≥ 0.
Segundo caso: si por el contrario, el campo de fuerzas potenciales está en contra de esta
trayectoria anterior �0 → �, pues el punto origen de estos campos es una fuente. Ejemplo
de estos es el campo de fuerza creada por cargas estáticas positivas, los campos elásticos,
interacción fuerte nuclear; entonces al aplicar la ecuación (5.9) la función energía potencial
queda en el intervalo 0 < �(�) ≤ +∞, pues el producto escalar () • �
tendrá signo
negativo. O sea los entes materiales que interaccionan con estos campos se encuentran en
su trayectoria ante una barrera de energía potencial; excepto en las interacciones eléctricas
creadas por cargas positivas al accionar sobre partículas cargadas positivamente.
Por otro lado si se analiza la ecuación (5.10), se tiene en cuenta el teorema fundamental del
cálculo y que la posición es una función vectorial que depende de las tres variables que
describen cada dimensión espacial; se puede concluir que: Si se tiene la función escalar
energía potencial de un cuerpo, entonces podemos calcular el campo de fuerzas potenciales
que actúa sobre esta a partir de la siguiente ecuación diferencial parcial.
� ( � ) = − ∇ � ( � ) (5.11) (Halliday, 2001)
Según se observa en la ecuación (5.11), los campos de fuerzas potenciales estacionarios
( ) : � ⊂ ℝ3 → ℝ3 se pueden calcular como menos el operador gradiente
aplicado sobre la función escalar energía potencial. En el caso particular de campos de
fuerzas unidireccionales, por ejemplo en el sentido del eje ¨X¨ cartesianos, tal que
( ) =
�(�)
�;
entonces la ecuación (5.10) se simplifica a la siguiente:
() = − ()
���
154
��
155
�
Resolvamos dos situaciones problémicas para que sirvan de modelo de resolución para
algunas otras que puedan enfrentar los alumnos de ingenierías en sus cursos de física
clásica.
IV Calcule la energía potencial de un satélite terrestre de masa � que se encuentra a una
altura ℎ de la superficie terrestre, si sabemos que el radio de la tierra tiene valor � y la
masa valor �. ¿Qué ocurriría con este cuerpo si queda solo bajo la influencia del campo
gravitacional terrestre?
Solución: Se hace uso del concepto de energía potencial expuesto en la ecuación (5.9). Por
tanto, se calcula el trabajo de llevar el satélite a favor de la fuerza gravitatoria desde un
radio infinito hasta el punto de altura dada. Para ello se ubica el origen de un sistema
coordenado esférico en el centro del planeta tierra, entonces: �
��(�) = ∫ () • �
+∞
Usando la ecuación vectorial del campo gravitacional en este sistema coordenado esférico.
( ) = − ���
� �2 �
Si se toma una trayectoria rectilínea, el producto escalar bajo el signo integral de la
ecuación (5.10) al ser desarrollado quedaría:
( ) • � = −
��� • � = −
��� (−��) =
��� ��
� �2 � �2 �2
Luego:
�+ℎ
���
���
��(� + ℎ ) = ∫
+∞ �2 �� = −
� + ℎ + 0
��� ��(� + ℎ ) = −
� + ℎ
La interpretación de esta ecuación última responde la pregunta del problema, pues
evidencia que todo cuerpo que cae de modo general dentro de cualquier campo
gravitacional, se encuentra dentro de un pozo de potencial gravitacional que lo atrae hacia
el centro del planeta o conglomerado de masas que crea el campo de fuerzas gravitacional.
156
���
Además se sabe que todo cuerpo material en el universo tiende al mínimo de energía
mecánica y la ecuación general de la energía potencial gravitacional del satélite terrestre
sería:
��(�) = − ���
�
Por tanto si se aplica el límite cuando � → 0 a esta función energética, queda: lim − ���
=
−∞ con lo cual resulta que ��(0) = −∞ �→0 �
V Calcule la energía potencial elástica que posee un bloque, que se encuentra situado sobre
una superficie rugosa, atado a un extremo de un resorte, que ha sido estirado una longitud
�. El coeficiente de elasticidad del resorte es ��.
Solución: Se toma un sistema de referencia cartesiano plano, en reposo, con el origen
coordenado en el punto donde el resorte estaba en su elongación sin estirar. Ubíquese el eje
¨X¨ en el sentido de la elongación. Ver gráfica (5.3) del problema
Gráfico 5.3. Problema resorte-caja con elongación ¨a¨.
La energía potencial de la caja en la posición � = � está dada por el trabajo de llevar la caja
desde una posición donde la energía potencial sea nula, �(0) = 0 hasta el punto en
cuestión. O sea contrario al campo, entonces debemos tomar la ecuación (5.10). Luego, como la fuerza elástica, () = −� ∆� estaría en contra de esta trayectoria desde �: 0 →
� �
�, entonces se aplica la ecuación integral (5.11). Nótese que ∆ � = � − 0 = � . �0→�
�� (�) = − ∫
( )
157
• � ; �(�0 ) = 0
�
158
� � = �
���
���
Por tanto, se tiene: � � �
��(�) = − ∫ ( ) • � = − ∫(−� � ) • � = � ∫ � �� � � �
0 0 0
( ) 1
2
�� � = 2
���
Este resultado indica que la energía potencial elástica de modo general, para cualquier deformación será: ( )
1 �2 por lo cual toma valores en el intervalo � (�) ≥ 0.
� 2 � �
5.4.1 Teorema segundo entre el trabajo de las fuerzas potenciales y la
energía potencial.
Si se trata de calcular el trabajo que realiza un campo de fuerzas potencial, en llevar un
cuerpo material desde un punto inicial A, hasta un punto final B en el espacio sobre una
trayectoria cualquiera C. Inicialmente se selecciona un sistema coordenado, de tal manera
que en el punto A la posición del cuerpo es �0 y en el punto B el vector posición del cuerpo
es ��. Luego, se aplica el concepto de trabajo para cualquier fuerza que aparece en la
ecuación (5.2) �→�
����� = ∫ � ( � ) • � �
�
Como la fuerza es potencial entonces en virtud de la ecuación (5.12) la ecuación del trabajo
de la fuerza potencial queda:
�→�
����� = ∫
�
��
� (
� ) • � � = ∫
−∇ � ( � ) • � �
�0
La función energía potencial matemáticamente hablando es una función escalar de varias
variables, �: ℝ3 → ℝ cuyo diferencial es exacto. Por tanto, el producto escalar dentro de la
integral es el diferencial exacto de esta función energética ( ) •
� = ��. Luego, se llega a la siguiente ecuación integral: ��
159
����� = − ∫ �� = −(�(��) − �(�0))
�0
160
����� = −∆�(�) (5.12)(4.11)
La ecuación (5.12) no es más que el denominado segundo teorema energético, entre el
trabajo de las fuerzas potenciales y la energía potencial; este enuncia que: El trabajo de una
fuerza potencial sobre una trayectoria cualquiera de un cuerpo material no es más que
menos la variación de la energía potencial del cuerpo entre los puntos iniciales y finales de
dicha trayectoria. O sea, el trabajo de las fuerzas potenciales no depende de la trayectoria
por la cual se movía el ente material dentro del campo de fuerzas potenciales, sino de los
estados iniciales y finales del cuerpo dentro del campo de fuerzas potenciales. Este teorema
deja clara la idea de que dentro de los campos potenciales existen un conjunto de puntos
donde la energía potencial es igual, a este conjunto de puntos le denominamos superficies
equipotenciales. Para que se entienda mejor, cuando un cuerpo se encuentra en una de estas
superficies equipotenciales está en un estado energético potencial dentro del campo
potencial. Como la energía mecánica de modo general, al igual que todo medible físico
clásico, es una función real continua y diferenciable al menos a trozos; entonces estos
estados energéticos son continuos en el espacio-tiempo clásico. Además el teorema es una
herramienta matemática que facilita los cálculos en situaciones problémicas, donde se debe
determinar el trabajo de este tipo de fuerzas, el cual por el concepto clásico de trabajo sería
muy engorroso de resolver (Alvarez, 2017).
Una aclaración muy importante está en el hecho de que este teorema puede ser aplicado en
toda situación problémica donde además de actuar fuerzas potenciales sobre el cuerpo
también actúen fuerzas no potenciales. Véase un problema modelo donde se aplica este
teorema segundo.
VI En una fábrica de textiles por una canal curvilínea de acero inoxidable cuya altura es �,
se dejan caer pacas de tejido cuya masa es �, hasta el piso de un almacén. La superficie de
la canal es rugosa. Calcule el trabajo de la fuerza de gravedad durante la caída de una paca.
Solución: Primero se toma un sistema de referencia donde el eje vertical es el eje ¨Y¨, cuyo
origen coordenado está al nivel del piso. Luego, se aplica el teorema energético segundo
que expresa la ecuación (5.12), entonces no reviste importancia la trayectoria por la cual se
dejó caer la paca, solo son de interés los valores de energía potencial gravitatoria entre el
estado final e inicial del cuerpo.
���
= −∆�(�) = �(�) − �(0)
��� ���
1 1 ����
��� = −
� + � − (− ) = ��� ( − ) = (
� � � + � �
(� + �))
161
Se ha tomado � masa de la tierra y � radio de la tierra; pero como se cumple que � ≪≪ �
entonces el trabajo de la fuerza gravitatoria queda muy sencillo.
��� =
����
�2
Si se asume también que el valor modular de la aceleración gravitatoria a nivel de la
superficie terrestre es � = �•�
, entonces finalmente se obtiene: �2
��� = ���
Otra manera más directa de resolver el problema está en que como solo se trabaja con la
diferencia de energía potencial, por lo cual se puede asumir un nivel de energía potencial
cero donde más cómodo resulte para los cálculos. Luego, se considera tomar como nivel
cero de energía potencial el piso � = 0 del almacén ��(0) = 0. Por tanto, el nivel inicial de
energía potencial será ��(�) = ���.
Un corolario importante de este teorema energético segundo, aparece a la hora de realizar el
cálculo del trabajo de las fuerzas potenciales en cualquier trayectoria cerrada en que se
desplacé el cuerpo dentro del campo potencial, el cual tendrá valor nulo, cumpliendo con la
ecuación siguiente:
����� = ∮ () • � = 0 (5.13) 4.12 ���� ���
La demostración de este corolario energético será un tema de discusión en un próximo
subtopico de este mismo capítulo, pues es imposible tomar infinitas trayectorias y hacer el
cálculo directo de la integral de línea de la ecuación (5.13) para hacer ver que todos los
infinitos cálculos dan el valor nulo.
5.5 Ley de conservación de la energía mecánica.
En el universo conocido existen varias cantidades físicas que se conservan bajo
determinadas condiciones que deben estar presentes en los fenómenos donde ocurre la
invariabilidad. Por ejemplo, en este trabajo se ha revisado que la velocidad se conserva
durante un movimiento M.R.U; la aceleración se conserva durante un movimiento del tipo
M.R.U.V. En algunos procesos termodinámicos bajo determinadas condiciones de algunos
medibles, se conserva la presión en los denominados sucesos isobáricos, en otros
fenómenos se conserva la temperatura, procesos isotérmicos y en los procesos adiabáticos
162
se conserva la energía calórica. La masa total de toda la materia encerrada en el universo se
conserva, las cantidades de movimiento de toda la materia se conserva según la teoría del
BIG BAN, o gran explosión inicial, la energía total encerrada dentro del universo se
conserva. Igualmente, la energía mecánica se conserva bajo determinadas condiciones
dinámicas en los fenómenos de la física clásica. Luego, se demostrara esta ley analizando
nuevamente la situación problémica del subtopico anterior; pero tomando que el cuerpo
masudo se encuentra bajo la acción de n-esimas fuerzas externas, con la misma condición
dinámica de que dichas fuerzas solo sean de origen potencial. Se adicionara que se conocen
los valores de la velocidad inicial �0 en el punto A y la velocidad final �� en el punto B.
Por tanto, ahora también se podrá calcular el trabajo de las n-esimas fuerzas usando para
cada una el segundo teorema energético que representa la ecuación (5.12).
�� ����
= −∆��(�)
Luego el trabajo de la fuerza resultante debido a la acción de todas las n-esimas fuerzas
potenciales será: �
��� = ∑(−∆��(�)) = −∆�1(�) − ∆�2(�) − ⋯ − ∆��(�)
�=1
��� = −[�1(��) − �1(�0)] − [�2(��) − �2(�0)] − ⋯ − [��(��) − ��(�0)] (5.14)(4.13)
Aplíquese el primer teorema energético en esta situación problémica, pues se conocen la
velocidad inicial y la velocidad final; entonces se puede calcular también el trabajo de la
fuerza resultante como la variación de la energía cinética del cuerpo durante la trayectoria.
� = � − � = 1�� 2 − 1��
2 (5.15)(4.14) �� � 0 2 � 2 0
Si ahora se igualan las ecuaciones energéticas (5.14) y (5.15), pues ambas representan el
trabajo de la fuerza resultante, entonces se arriba a:
−[� (� ) − � (� )] − [� (� ) − � (� )] − ⋯ − [� (� ) − � (� )] = 1�� 2 − 1�� 2
1 � 1 0 2 � 2 0 � � � 0 2 � 2 0
Se reagrupan los términos de esta ecuación última, con lo cual se llega a:
1��
2 + � (� ) + � (� ) + ⋯ + � (� ) = 1�� 2 + � (� ) + � (� ) + ⋯ + �
(� ) 2 0 1 0 2 0 � 0 2
�
1 � 2 � � �
Los términos de las sumatorias de energías potenciales en cada miembro izquierdo y
derecho, representan la energía potencial total del cuerpo en el punto inicial A y el punto
final B respectivamente, debido a la acción de cada uno de los n-esimas campos de fuerzas
163
potenciales presentes. Luego, queda la ecuación anterior así:
164
100
���
1�� 2 + � (� ) = 1�� 2 + �
(� ) 2 0 � 0 2
�
� �
�0 + ��(�0) = �� + ��(��) (5.16)
La suma de términos del miembro izquierdo y derecho de la ecuación (5.16) representan la
energía mecánica del cuerpo masudo en el punto A y B respectivamente. O sea el cuerpo
tiene la misma energía mecánica al final del trayecto que la que poseía al inicio de la
trayectoria �� = �� por lo cual la variación de la energía mecánica durante toda la
trayectoria fue nula ∆� = 0 (Alvarez, 2017)
Ahora se está en condiciones de poder escribir otro teorema energético que dice: Si en una
trayectoria cualquiera de un cuerpo, sobre este solo actúa campos de fuerzas potenciales,
entonces se conserva la energía mecánica del cuerpo en todos los puntos de dicha
trayectoria. Este teorema es conocido como la ley de conservación de la energía mecánica.
Por esta razón a los campos de fuerzas potenciales también se le denominan campos de
fuerzas conservativos. Para resaltar la importancia de este poderoso teorema energético, se
resolverá un problema sobre un campo cuasi-gravitacional. Revisar de modo exhaustivo
este problema siguiente
VI Calcule la velocidad mínima con que debe entrar un asteroide, a la frontera de un campo
cuasi-gravitacional creado por un conglomerado No homogéneo esférico de rocas cósmicas
libres, cuyo radio es R y masa M, para pasar por un punto muy cercano al centro del
conglomerado � = � y así atravesar dicho campo de fuerzas. La ecuación vectorial del
campo cuasi-gravitacional en coordenadas esféricas es � ( � ) = − ���(� − �)
�, donde r es
�3 �
la distancia al centro del conglomerado esférico y m la masa del asteroide. Ver figura (5.1)
del problema. Sugerencia: Hágase el análisis de la función energía potencial del cuerpo de
prueba.
Solución: Como el conglomerado No homogéneo de rocas está en el espacio sideral, por
ende está en el vacío. Luego la energía mecánica del asteroide se conserva durante toda su
trayectoria a través del campo gravitatorio, pues no existen fuerzas de rozamiento con
ninguna atmosfera perteneciente al conglomerado rocoso, la única interacción que actúa
sobre el asteroide es la fuerza cuasi-gravitatoria que es conservativa pues el campo es
central en toda región del espacio y se cumple ∇ × () = 0 en coordenadas
esféricas;
entonces la relación entre el campo de fuerzas y la energía potencial es: () = () =
−∇ � (
� ) = − � � ( � )
��
, 0 ≤ � ≤ +∞
165
Figura 5.1. Asteroide que atraviesa un conglomerado de rocas libres muy cercano al
centro.
Como se cumple la ley de conservación de la energía mecánica del cuerpo, se puede
escribir que: la energía mecánica del asteroide en la frontera es igual a la energía mecánica
en cualquier punto del trayecto �� = �� , 0 ≤ � ≤ +∞. O sea �� + ��(+∞) = �� + �(�)
Ahora lo que resta, es determinar la energía potencial en cualquier punto genérico, para
ello se aplica el concepto de energía potencial descrito en la ecuación (5.9). Si se calcula el
límite cuando � → +∞ al módulo del campo de fuerzas gravitatorio, se obtiene que este
tienda a cero en el infinito. Por ende la energía potencial es nula en la frontera ��(+∞) = 0
���� �(�) = ∫ ( ) •
� = −��� [− �
1 � � > �
�
+∞ � 1
2�2 + �
] I+∞
2� − � �(�) = ��� [
2�2 − �
] = −��� [ 2�2 ] � > �
El cálculo del potencial para los puntos interiores cambia pues el campo de fuerza es
contrario al del exterior, entonces debemos dividir el cálculo integral en dos intervalo. ����
�(�) = ∫ ( ) • � = −��� [
� 1
2� − � � ] ,
≤ � < �
� 2�2 − �
] = −��� [
� 2
2�2 2
����
�(�) = − ∫ ( ) • � = ��� [
� 1
� − 2� � ] , 0 ≤ � ≤
166
� 2�2 − �
] = ��� [
� 2
2�2 2
167
2
2
100
Como se notara para el interior del conglomerado 0 ≤ � ≤ � la función energía potencial
queda �(�) = ��� [�−2�
]. En la superficie � = � del cuasi-planeta el cuerpo no pesa y la 2�2
función energía potencial se anula () = 0 → �(�) = 0, pero es discontinua de
primera
especie o salvable. Véase la gráfica siguiente.
Gráfica 5.4. Función energía potencial del campo cuasi-gravitacional. Barrera
potencial que debe vencer el asteroide para atravesar el cuasi-planeta
Observando las ecuaciones a trozos y la gráfica (5.4) de energía potencial obtenida se ve
que aparece un punto en el interior del conglomerado � = � donde la energía potencial se
anula. Además en el punto � = 0 la energía potencial toma valor más infinito, o sea �(� ) =
0 , �(0) = +∞, con lo cual es imposible atravesar el conglomerado por su punto central,
pero si por cualquier otro valor de la variable radial en coordenadas esféricas. Luego, la
ecuación de conservación de la energía queda:
1�� 2 + 0 = �
+ �(�) 2 � �
Luego, la condición de velocidad mínima ����� en la frontera ocurre cuando el asteroide
pase con velocidad nula por el punto de máxima energía potencial durante su trayectoria a
través del campo de fuerza. Por tanto, la labor consiste en determinar el valor de � para ese
punto de máxima energía potencial. Un análisis rápido de la gráfica (5.4) deja ver que el
valor � = � es el punto de mayor energía potencial de la trayectoria rectilínea del cuerpo.
Luego, el asteroide debe sobrepasar la barrera energética que impone ese punto de valor
� ( �
); pues la función escalar energía potencial toma valores 0 ≤ �(�) ≤ ∞ , 0 ≤ � ≤ �
100 2
en forma continua y decreciente. Luego, la ecuación energética para resolver el problema
inicial de la velocidad mínima en la frontera será:
1�� 2 + 0 = 0 + � ( � )
168
2 ���� 100
169
100
Si se calcula el potencial en el punto � = � se debe tomar la función calculada de �(�) en
el intervalo del radio en coordenadas esféricas 0 ≤ � ≤ � , o sea quedaría así:
� ( �
) = 4900 ���
100 �
Finalmente la velocidad mínima en la frontera queda:
�����
= 70√2��
�
5.6 Tercer teorema entre el trabajo de las fuerzas No potenciales
y la energía mecánica.
El estudio de los campos de fuerzas No potenciales en ocasiones es muy engorroso, pues el
origen de estos campos de fuerzas depende de distintos fenómenos físicos. Como su
nombre lo indica ellos no pueden ser determinados a partir de ninguna función energética
escalar, pues no la generan al accionar sobre los entes materiales; lo que si se puede es
hacer un análisis energético de su accionar sobre los cuerpos materiales que se ven
afectados por ellos. Luego, en este subtopico se realizara el análisis energético de un cuerpo
que está bajo la acción de n-fuerzas durante una trayectoria espacial determinada; desde un
punto A hasta un punto B; pero los campos de fuerzas pueden ser diversos en cuanto a
potenciales y No potenciales, véase la gráfica 5.5.
Gráfico 5.5. Cuerpo material que se desplaza bajo la acción de n-fuerzas potenciales y
no potenciales.
170
Se intentara calcular el trabajo que realizan las n-esimas fuerzas sobre este cuerpo para
moverlo por la trayectoria � → �. Luego, se aplica el teorema energético de las fuerzas
vivas que expresa la ecuación energética (5.8) para una situación problémica muy similar a
la que se resuelve ahora.
�
∑ ���
= �� − �� = ∆�
�=1
Como los n-ésimos campos de fuerzas están divididos en dos tipos, en m-ésimos campos de
fuerzas potenciales, y s-ésimos campos de fuerzas no potenciales la ecuación anterior nos
queda:
� �
∑ ���� + ∑ ������
� = �� − �� ; � + � = � (5.17)
�=1 �=1
Por su parte el trabajo de las fuerzas potenciales o conservativas puede ser calculado a
partir del segundo teorema energético, por lo que la ecuación (5.17) seria ahora escrita así:
� � �
− (∑ �(��)� − ∑ �(��)�) + ∑ �������
= �� − ��
�=1 �=1 �=1
�
−(�(��) − �(��)) + ∑ �������
= �� − �� (5.18)
�=1
Si se trabaja algebraicamente los términos de la ecuación (5.18) y se reagrupan, entonces se
obtiene una ecuación como la siguiente:
�
∑ �������
= �� + �(��) − [�� + �(��)] = �� − �� (5.19)
�=1
Como se ve la ecuación energética (5.19) contiene un resultado importantísimo, pues dice
que el trabajo de todas las fuerzas no potenciales sobre el cuerpo durante toda la trayectoria
es igual a la variación de la energía mecánica del cuerpo durante el trayecto � �=1 �����
��
= ∆�, lo cual no es más que el denominado tercer teorema energético entre
el trabajo de las fuerzas no potenciales y la energía mecánica (Alvarez, 2017).
En conclusión, al actuar fuerzas no potenciales sobre un cuerpo, que describe una
trayectoria cualquiera, entonces la energía mecánica del cuerpo no se conserva, sufre
variaciones durante el trayecto; por esta razón a estas fuerzas no potenciales, como se ha
mencionado anteriormente, se le llaman también campos de fuerzas No conservativos. Tal
vez este último teorema energético se convierte en una contradicción con la idea filosófica
∑
171
moderna de que la materia ni se crea ni se destruye en nuestro universo y por ende toda la
masa-energía encerrada dentro del universo es un invariante; pero lo que realmente ocurre
esta dado, porque la energía mecánica del cuerpo no se pierde, sino que se transforma en
otros tipos de energía como: energía sonora, lumínica, térmica, química, etcétera. Para la
mejor comprensión de este teorema energético por parte de los lectores, entonces se
resolverá una situación problémica real.
VII Una caja de masa � se detiene en la cima de una canaleta rugosa, curvilínea y de altura
ℎ . La caja fue soltada inicialmente con una velocidad �, por una pista inclinada, rugosa
con coeficiente de fricción dinámico � y ángulo de inclinación con la vertical ∅ . El punto
donde inicio el movimiento la caja está a una altura � sobre el nivel inferior de la canaleta.
Ver figura 5.2 del problema. Calcule el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento, en el
tramo curvo de la trayectoria.
Figura 5.2. Representación geométrica del problema VII.
Solución: En este problema lo resolveremos por análisis energético; pero antes se debe
estudiar que fuerzas reales Potenciales y No potenciales, actúan sobre la caja durante su
trayecto, las cuales son: El campo de fuerza gravitatorio, el cual es potencial, dos diferentes
campos de fuerzas de rozamiento en las dos superficies por donde se mueve la caja, No
potenciales, la fuerza de reacción al apoyo de la caja, la Normal, siempre perpendicular al
diferencial de desplazamiento por lo que no realiza trabajo sobre el cuerpo durante toda la
trayectoria. Otra fuerza No potencial que aparecen sobre la caja en la segunda parte de su
desplazamiento, o sea en el tramo curvo, es la fuerza Normal a la trayectoria curva o fuerza
centrífuga (si se analiza el problema parados sobre la caja) debido a su movimiento
curvilíneo. Al igual que la fuerza normal al apoyo esta fuerza Normal o centrífuga, se
encuentra siempre tangente al diferencial de trayectoria en cada instante temporal, por lo
cual el trabajo realizado por ella es nulo. Por otra parte, si se paran fuera del cuerpo en el
tramo curvo, aparece la fuerza tangencial, que no es más que la fuerza resultante del
producto masa del cuerpo por su aceleración lineal en cada intervalo infinitesimal de
desplazamiento, es la responsable del empuje del cuerpo hacia arriba, o sea no puede ser
172
vista como una fuerza real en este análisis. Luego de este análisis dinámico se puede aplicar
el tercer teorema energético que se acaba de estudiar: �
∑ ������� = �� − ��
�=1
���1 + ���2 = �� − ��
Se toma la fuerza de rozamiento 1 como la que actúa en el tramo recto inicial y la fuerza de
rozamiento 2 la del tramo de trayecto final, en cuestión la que se debe calcular. Se sabe que
la energía cinética final es nula y que la única fuerza potencial es la gravitatoria, por tanto
queda:
���2 = −(�� + ��� − ��� + ���1)
Como se está en la superficie terrestre, el valor de la aceleración gravitatoria es constante e
igual a � ≅ 9.81 �/�2. Luego si se toma el nivel de energía potencial como cero, la
diferencia de energía potencial inicial menos la energía potencial final que aparece en la
última ecuación es: ��� − ��� = −��(� − �) por lo cual se puede reescribir la solución:
� = −(1��2 + ��(� − �) + � ) ��2 2 ��1
Solo queda calcular el trabajo de la fuerza en el primer tramo recto, para ello se hará uso
del concepto de trabajo de una fuerza real, entonces:
����� �
�
���(∅ )
�
���(∅ )
���1 = ∫ • � = ∫ • � = − ∫ �
�� = −��� ���(90° − ∅ ) ∫ ��
�1
�1
�1
0
�
�1
0 0
= −��� ���(∅ ) [���(∅ )
− 0] = −���� ���(∅ )
Finalmente se puede calcular el valor del trabajo de la fuerza de rozamiento en el tramo
final:
���2
�
= −(1��2 + ��(� − �) + ���� ���(∅ )) 2
= −� [1�2 + �((� − �) + �� ���(∅ ))]
��2 2
La resolución de este problema deja ver cuán poderoso resulta el tercer teorema energético
estudiado a la hora de calcular el trabajo de algunas fuerzas no conservativas sobre
173
trayectorias curvas, pues de no poder aplicarlo, se tendría que realizar este mismo calculo a
través del concepto clásico de trabajo, lo cual se convierte en ocasiones en una operación a
través del cálculo integral muy engorrosa.
174
���
5.7 Estudio de las fuerzas conservativas a partir de la teoría de
campos irrotacionales.
En los sub tópicos anteriores se ha hablado de los campos de fuerzas potenciales como
campos conservativos de la energía mecánica. Estos campos de fuerzas tienen inherentes un
campo escalar potencial, cuyos valores en términos energéticos dependen de la posición del
cuerpo dentro del campo de fuerzas. Además, según el corolario del segundo teorema entre
el trabajo de las fuerzas potenciales y la energía potencial, ecuación 5.13, el trabajo de estas
fuerzas conservativas en todas las trayectoria cerrada del cuerpo material sobre el que
actúan, es nula. Si se aplicara este corolario para determinar si un campo de fuerzas es
conservativo, se tendría que resolver las infinitas trayectorias cerradas que puede tener un
cuerpo dentro de la región del espacio que ocupa el campo de fuerzas, tomando como punto
de partida los infinitos puntos de cualquier región del espacio tridimensional, lo cual sería
un cálculo imposible de realizar. Sin embargo en la teoría de la funciones de campos
vectoriales existe un teorema que permite calcular la integral de línea de la ecuación 5.13
∮ ( ) • � = 0 siempre que el contorno cerrado sea una curva
suave y diferenciable al menos a trozo, el cual genera una superficie cerrada sin agujeros
interiores, el cual se denomina teorema de Stokes-Green, su enunciado será recordado
nuevamente:
Teorema de Stokes-Green: Sea S una superficie parametrizada por la función φ(s)
simplemente conexa, cuyo contorno exterior es la curva suave C a trozos en ℝ2 orientada
positivamente de modo anti horario, cuya región interior conexa es D (sin agujeros), tal que
C = φ(s), φ: D → C. Sea F un campo vectorial de clase C1 y definido en una región abierta
de S como ℝ3, con valores definidos en ℝ3, entonces se define que la integral cerrada de
línea del campo vectorial F sobre el contorno C es igual a el flujo del rotor del campo
vectorial (rot(F )) en la región interiorD.
������� �������
∮ � • � = ∬ ( ∇ × � ) •
� �
Donde el vector unitario dA siempre esta normal al diferencial escalar de superficie dA.
Una observación importante del teorema está dado por la siguiente afirmación: la integral
de línea del campo de fuerza sobre el contorno regular � es nula, si y solo si el rotor
del
campo vectorial � es el vector nulo. Por tanto, los campos de fuerzas conservativos poseen
su vector rotacional igual al vector nulo, por esta razón se denominan también campos
irrotacionales, o sea sus líneas de acción de campo no poseen circulación cerrada sobre la
misma línea.
175
Otra conclusión importante está dada en que todos los campos de fuerzas centrales son
irrotacionales y por tal razón son conservativos. Ejemplos: los campos gravitacionales,
interacciones eléctricas creados por cargas estáticas negativas o positivas, campos de
fuerzas de los vientos creados por tornados o huracanes, campos de velocidades en fluidos
naturales y en las aplicaciones ingenieriles. Ahora se resolverán dos situaciones
problémicas reales creada en una aplicación técnica.
VIII. En los laboratorios de la John Deere, los ingenieros estudian el campo de vientos
creado por una maquina recolectora de maíz dentro de su sección del transportador final,
donde se separan las últimas impurezas del grano. Han podido determinar que el campo de
viento viene dado por la siguiente vector velocidad � = ��[��2� + �2�� +
�2�2�] (�/�) donde el punto izquierdo de la base de la sección es tomado como origen de
coordenadas cartesianas y �0 es la velocidad del campo de vientos en la base de la sección.
Los ingenieros desean saber si al menos las impurezas no formaran remolinos dentro de la
sección durante el funcionamiento de la cosechadora.
Solución: Los ingenieros desean saber si al menos las impurezas no formaran turbulencias
dentro de la sección, o sea si el campo de velocidades del viento que genera la cosechadora
no crea vientos en rotación completa dentro de ningún punto de la sección. Luego si se
determina que el campo de vientos es irrotacional, entonces se puede asegurar que no
existirán turbulencias, pero para ello se calcula el vector rotor de velocidades cuyo valor
debe ser el vector nulo.
∇ × � = | �
� �
| = (���
− ���
) + (���
− ���
) + (���
− ���
)
�� ��
��
��
��
�� ��
�� ��
�� �� ��
Se nota que al aplicar el operador rotor sobre este campo de velocidades en coordenadas
cartesianas debe cumplir tres condiciones matemáticas en sus derivadas parciales para que
sea irrotacional, las cuales son:
Primera (��� −
���) = 0, la cual se cumple pues �2� = �2�
�� ��
Segunda (��� −
���) = 0, se cumple pues ��2 = ��2 �� ��
Tercera (���
− ���) = 0, también se cumple pues 2��� = 2���
�� ��
Luego se ha demostrado que el campo de velocidades que genera la cosechadora de maíz
en la sección final de su transportador del grano al menos no generara turbulencias en
ningún punto de su interior, durante el tiempo de trabajo de la máquina.
176
IX. Desde el centro mundial sobre estudio de huracanes en la florida, U.S.A, despegan
varios aviones de reconocimiento meteorológicos hacia diferentes zonas, al Norte: sobre el
interior del estado y al Sur: sobre el estrecho de la florida. Tomando como punto de
referencia el radar de tierra, ubicado en el propio centro de estudios de huracanes. Los
científicos de este centro determinan que el campo de fuerza de los vientos, que reportan
los aviones de estudio en su conjunto cumple con la ecuación = �−��
+
�−�� +
� �(�+1)
�(�+1)
1
�+1 (�). Se desea saber si el campo de vientos pertenece a una perturbación ciclónica, o
es debido a un campo de vientos continuos no cerrados entre dos centros de diferentes
presiones atmosféricas.
Solución: Al igual que en el problema anterior se debe determinar si el campo de fuerza de
los vientos es rotacional o irrotacional, para lo cual se calcula el vector rotor de campo. Si
fuese irrotacional debe cumplir las tres condiciones del problema anterior, caso contrario el
campo de fuerzas será rotacional.
Primera ���
( − ��
���
��
) = 0 también se cumple pues −�−��
�+1 =
−�−��
�+1
Segunda (��� −
���) = 0 la cual no se cumple pues 0 ≠
−�−��
�� ��
�(�+1)
Luego al no cumplirse una de las tres condiciones queda demostrado que el campo de
fuerzas de los vientos es rotacional, por lo cual corresponde con la circulación cerrada de
los vientos que genera una perturbación ciclónica.
177
Capítulo VI
6. La Teoría Especial de la Relatividad
Desarrollada a Través de las Transformaciones
entre Espacios Vectoriales.
6.1 El problema histórico de finales y comienzo de los siglos XIX
y XX respectivamente.
6.1.1 El mundo clásico anterior al 1905. Un resumen de las principales
fortalezas y debilidades de la física clásica.
La física es considerada por muchos la reina de las ciencias, debida a que ella estudia
cuatro conceptos fundamentales de la materia en el universo, el espacio-tiempo que ocupan
los sucesos generados por la misma, su energía y los cambios de estados estructurales en su
interior. Estos tópicos han sido estudiados por los físicos-matemáticos en los últimos 500
años.
Con la alborada del siglo XVII comienza, no se dirá el inicio, pero si el fuerte desarrollo
matemático de los problemas físicos de la época. Hombres como Sr. Isaac Newton 1643-
1727, Ingles, Gottfried Leibniz 1646- 1716, Sajón. Otros tantos anteriores como el Alemán,
Johannes Kepler 1571-1630 y el Italiano Galileo Galilei (1564-1642) en la Europa del
renacimiento que estudiaban los movimientos de cuerpos celestes y sus posibles orbitas. En
los casos de Newton y Leibniz comienzan a dar pasos agigantados en el nuevo cálculo
diferencial e integral que serán la base de la formulación Newtoniana de la denominada
mecánica clásica no relativista que conocemos en nuestros días.
Newton comienza a trabajar en el desarrollo físico-matemático de una teoría sobre el
movimiento de los cuerpos masudos en el macro mundo. Por primera vez nacen los
conceptos de campo de interacción universal, inercia, masa gravitatoria, masa inercial y la
relación entre estos. También se relacionan medibles físicos como fuerza, aceleración y
masa en una única ecuación, dando lugar a la fusión entre la ecuaciones que describen el
movimiento de un cuerpo en el espacio-tiempo invariable, la cinemática del movimiento
clásico, y las causas del porqué del mismo para los cuerpos masudo, la naciente dinámica
clásica. En estas ecuaciones básicas �� ≅ �� ∑ �� � �
= ��� ���. Donde
�� ��� es la
178
sumatoria de las interacciones externas sobre el cuerpo. Además � ��� es la aceleración
resultante sobre el cuerpo o sistema de cuerpos.
En este mundo clásico de Newton y sus seguidores como Joseph Luis LaGrange 1736-1813
y William. R. Hamilton 1805-1865, creadores de otras formulaciones con igual validez,
pero otro enfoque matemático del tópico. Las mediciones de una magnitud física serán
siempre posibles en un mismo lugar del espacio-tiempo de manera instantánea y
simultánea, para cualquiera de ellas que deseamos conocer. Además, no influye dicha
medición sobre el valor de la magnitud física en el instante de la medición. Los cuerpos al
moverse en este mundo tendrán una trayectoria real que los descubre y habla de las posibles
causas del movimiento. Por eso la mecánica clásica es determinística y esa es una de sus
fortalezas
Segundo, debido a la razón anterior, todos los medibles físicos toman valores continuos en
el tiempo y en el caso especial de la energía cambia o se transforma de modo continuo de
un tipo a otra. Esta razón es otra poderosa fortaleza en la descripción matemática del
mundo clásico.
Tercero, todas las magnitudes físicas de un cuerpo, como la masa inercial, gravitatoria, sus
dimensiones, más los medibles físicos en el espacio-tiempo de un suceso, serán invariables.
Pues los cuerpos masudos se mueven por un espacio bajo los cinco axiomas de Euclides y
un tiempo de igual ritmo para cualesquiera dos observadores. Luego, todo suceso físico
clásico será medido espacialmente igual y visto simultáneamente por dos observadores
sobre diferentes sistemas de referencias.
Cuarto, el medible físico, velocidad de un cuerpo, esta desligado de su naturaleza como
materia y puede llegar hasta el infinito, sin cota matemática alguna para su valor, en
cualquier ente material en el universo. Se suponía la velocidad de propagación del rayo de
Luz en el vacío, a través del éter, como infinita y siempre en línea recta. Por tal razón la
acción del campo gravitatorio creado por una masa sobre todos los que estén a su alcance
será instantánea, principio de acción de fuerza gravitacional instantánea.
Newton y sus seguidores describen un universo clásico, con una lógica invariable, continua
y determinística, para los cuerpos del macro y micro mundo que se mueven bajo las
interacciones gravitatorias y electromagnéticas. Las razones terceras y cuartas son dadas
como absolutas para ellos, por tanto nunca se las cuestionan, lo contrario sería irracional e
ilógico, pero muy pronto comienzan a verse como debilidades de esta teoría clásica del
universo.
La primera debilidad está relacionada con los sistemas de referencias sobre el cual se veía
un suceso físico. Las leyes de la dinámica Newtoniana, solo habían sido estudiadas para
179
sistemas de referencias sobre punto en reposo o a velocidad constante, los denominados
sistemas de referencia inerciales, pero al ser vistas desde sistemas montados sobre cuerpos
acelerados, sistemas de referencias no inerciales, las ecuaciones de la dinámica Newtoniana
no eran válidas. Se acababa de derrumbar la idea de una teoría invariante para cualquiera
dos observadores en lugares diferentes del universo. La solución vino muy pronto de la
mano de un físico-matemático de la época, el Francés, Jean le Rond D´Alembert, 1717-
1783 quien introduciendo el concepto de fuerzas ficticias en su denominado principio de
D´Alembert para la dinámica clásica, salvo la situación, he hizo asequible la teoría clásica
Newtoniana a estos casos de movimiento sobre cuerpos acelerados en �� coordenadas y
��
momentos lineales de movimientos
∑�(�� − ��)��� = 0 ����� − ������ = 0. Este tópico
fue abordado en el capítulo tercero con mayor profundidad.
Bajo esta teoría clásica del mundo fue desarrollada la interacción electromagnética en los
siglos posteriores XVIII y XIX, por físicos-matemáticos teóricos como el físico Francés,
Charles. A Coulomb 1736-1806, el Alemán Johann Karl. F. Gauss 1777-1855, el físico
Holandés, Hendrik. A. Lorentz 1853-1928, el físico y químico Ingles Michael Faraday
1791-1867 y otros tantos. El más importante de todos fue el físico-matemático Inglés James
Clerk Maxwell 1831-1839 quien en 1863, logro unificar ambas interacciones eléctrica y
magnética en una sola, con el resumen de trece ecuaciones, mas luego resumidas por otros
físicos a cinco ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones diferenciales relacionaban a
ambos campos y sus medibles. Creando así la denominada electrodinámica clásica no
relativista.
Con los finales del siglo XIX y los principios del XX, un nuevo problema físico surge en el
tópico de la termodinámica y el intercambio de energía calorífica a través de la absorción o
emisión de luz de los cuerpos, su análisis cambiarían el mundo clásico, pondría en
evidencia nuevas limitaciones insalvables. El problema en específico era el estudio de la
radiación que recibía un cuerpo negro ideal, que solo absorbe luz y no la refleja. De la luz
ya se conocía que era una onda electromagnética clásica que transportaba energía de modo
continuo.
Este fue abordado por un físico-matemático Alemán Max. E. Ludwig Planck 1858-1947, el
cual determino que la energía absorbida por el cuerpo negro se volvía infinita al aplicar las
leyes clásicas de la electrodinámica clásica de Maxwell. O sea, al resolver la ecuación
integral para el cálculo de la energía absorbida por el cuerpo negro, esta daba como
resultado un valor infinito, lo cual estaba en contra de la ley de conservación de la energía
en el universo. Sin embargo, de modo genial Max Planck resolvió la ecuación integral en
su modo más primario, a partir de las sumatorias de Riemann. Así soluciona el problema al
obtener una energía finita para la absorción del cuerpo negro, pero cuantificada en paquetes
180
no continuos temporalmente ¡Algo anda mal, pues M. Planck entra en contradicción con el
mundo continuo espacio-temporal clásico!
De este modo, Planck desecha el mundo continuo de Newton y Maxwell, al no resolver la
integral de una función continua como la energía, sino que ve un nuevo mundo discreto al
resolver la ecuación de energía como una sumatoria de una función numérica discreta. La
interpretación física del problema matemático resuelto es genial e innovadora. Ahora la
energía podía trasmitirse como Paquetes o Quantum de luz. Nueva interrogante ¿Es la luz
onda o cuerpo masudo? Esto rompía con la idea de una frontera cerrada masa-energía para
los cuerpos clásicos. Por esta razón muchos físicos en el mundo consideran a Max Planck
como el padre de la mecánica cuántica moderna.
Por otra parte, un experimento desarrollado por dos físicos Norteamericanos A. A.
Michelson y Edward Morley en 1887, en el cual se calculó una velocidad finita para la luz
en el éter del espacio universal. La velocidad de la luz fue medida con una precisión
envidiable para la época, hasta un valor de � ≅ 3.0 ∗ 103��/�. Algo más importante que
demostraron fue el hecho de que cualquier observador en un sistema de referencia a
cualquier velocidad siempre vería a la luz moverse con esa misma velocidad.
¡¡¡Imposible!!! Diría Galileo y sus trasformaciones de espacio-tiempo clásico. Luego, por
demás ¿El ¨paquete¨ de energía que emitía o absorbía el cuerpo negro de Planck no cumplía
con las transformaciones Galileo? ¿Podrán existir más medibles físicos discretos o
cuantificados en el micro mundo?
El micro mundo se definía como el mundo de las partículas elementales recién
descubiertas, el electrón y protón, las cuales tenían dimensiones en el orden de las
longitudes de onda de la luz monocromática, también se comportaban como el ¨paquete¨ de
energía de Planck. Ante tantos resultados experimentales y teóricos, la física clásica se
derrumbaba.
6.1.2 En el nuevo siglo XX las campanas del 1905 suenan en un mundo
cuantificado donde ya no es válida la mecánica clásica. Las conjeturas de
Einstein.
No comenzaba el siglo XX y en fecha tan temprana como el 1905, un joven físico alemán
judío, Albert Einstein 1879-1955, alumno de Heinrich Lorentz en la Universidad
Politécnica de Zúrich hacia su incursión en el mundo de las sociedades físicas, alumno del
prestigiado profesor Lorentz, quien había comprobado entre 1878-1883, que las ecuaciones
de Maxwell no era compatibles a las transformaciones clásicas de Galileo, para dos
observadores en sistemas de referencias a diferentes velocidades, o sea uno en un punto fijo
y otro sobre una onda de luz, con lo cual llegaba a transformaciones propias.
181
También A. Einstein es seguidor de las ideas de Planck, por esas razones, arremete contra
las interrogantes de la época, el comportamiento no clásico de los electrones dentro del
átomo de hidrogeno, el citado problema de la radiación infinita del cuerpo negro. Saca a la
luz su teoría del efecto fotoeléctrico 1905, el cual había sido descubierto de modo
experimental por H. Hertz en 1887. Einstein predice que el quantum de luz es onda-
corpúsculo a la misma vez y su energía ������ , es el producto de la denominada
constante de cuantificación para el micro mundo de Planck ℎ por la frecuencia de la onda
electromagnética ������ .
������ = ℎ ������ (6.1)
������ = ������ �
2 (6.2)
Las ecuaciones (6.1) y (6.2) enuncian dos resultados nuevos. Primero, que la luz tiene
masa, o sea la luz es onda y corpúsculo a la vez. Segundo, se rompe con uno de los
postulados clásicos, la infranqueable barrera entre los balances energéticos y de masa de
todo suceso físico. Ahora, la masa puede ser transformada a energía y viceversa. Esta
último resultado es una característica básica de las partículas en el micro mundo, de su
doble naturaleza corpuscular-ondulatoria. Luego, queda demostrado que la mecánica
clásica no describe el micro mundo.
Einstein, quien como ya mencionamos fue alumno del físico y matemático Lorentz, conocía
de las ecuaciones de transformaciones de su ex profesor, diferentes a las clásicas planteadas
en el siglo XV por Galileo Galilei, para sistemas de referencias inerciales. Luego, comenzó
a dudar de los cuatro planteamientos básicos expuestos anteriormente por la mecánica
clásica Newtoniana. Se hizo preguntas simples como ¿Será el tiempo igualmente rítmico
para todos los observadores? ¿Será el espacio igualmente medido por todos los
observadores? ¿Será la masa un invariante en todos los sucesos físicos? Aquellas conjeturas
eran una herejía entre las principales sociedades físicas de la época.
6.2 Las transformaciones de Lorentz.
En 1905 Einstein pensó que las respuestas sus tres preguntas pasaban por la inoperancia de
las transformaciones lineales entre los dos espacios vectoriales cuatri dimensionales
(espacio-tiempo) de los dos observadores clásicos de Galileo. Dudo del postulado de la
simultaneidad del parámetro, tiempo clásico, lo que ningún físico de la época se atrevía a
hacer. Luego, vio una solución al problema en las transformaciones entre espacios
182
2
vectoriales dadas por Lorentz, las cuales eran frías ecuaciones sin sentido físico alguno,
pero su estructura matemática hacían presagiar una buena solución.
H. Lorentz tomo un caso simple de las trasformaciones de Galileo cuando la partícula del
gráfico (3.19) se mueve paralelo al eje ¨�′¨ del mismo a velocidad �, o sea la partícula
ahora es un rayo de luz. El sistema de referencia móvil se mueve sobre el eje ¨x¨ del
sistema inmóvil a velocidad 0 < � < ∞. O sea, para Lorentz la velocidad de la fuente podía
sobrepasar la velocidad de la luz predicha por el experimento en 1878 de Morley-
Richardson, sin ninguna limitante. Luego la ecuación (3.57) queda:
1 0 0 0 � [−� 1 0 0 �
�′
�′
0 0 1 0] [�] = [ ′] �� = �
0 0 0 1 � �′
También asumió la nueva geometría de Minskowski escrita a mediado mediados del siglo
XIX, la cual postulaba que al viajar sobre un rayo de luz con velocidad � → ∞, el espacio-
tiempo se curva. O sea, la línea recta se convierte en una geodésica del espacio-tiempo
Minskowskiano, donde un punto A es representado en este espacio cuatri dimensional
curvo así � = (�, �, �, ���), i es la unidad imaginaria. Esto hecha por tierra el
quinto postulado de Euclides, pues dos rectas paralelas ahora se intersecan en el infinito. La
distancia entre dos puntos A y B en este espacio curvo seria |��| = (∆�)2 + (∆�)2 + (∆�)2
− (��)2. Minskowski toma la velocidad del sistema de referencia �′ o fuente como
� < �, se debe recordar fue antes de 1878. La nueva ecuación paramétrica temporal de la
geodésica con el tensor de curvatura nula o recta cuatridimensional según Minskowski es:
( �)�′ � = �0 + �
√1 − �2
�2
( ��)�′ � = �0 + �
√1 − �2
�2
( ��)�′ � = �0 + �
√1 − �2
�2
( ��)�′ � = �0 + �
√1 − �2
�2
Luego, H. Lorentz llegaba a una transformación lineal de coordenadas a partir de estas
consideraciones, teniendo en cuenta �0 = �0 = �0 = �0 = 0 expresada en la siguiente
ecuación matricial.
� −�� −�� �
0 0
�� 0 0 �
��′ �′ � 1
[ 0 0 1 0
] [ � ] = [ �′ ] , � =
� , � =
0 0 0 1
�
�′ √1 − �2
�
O sea:
�
183
�′ =
� − �
� �2
√1 − �2
�2
�′ = � − ��
√1 − �2
�2
�′ = � �′ = �
Estas ecuaciones dejaban tres casos abiertos � < �, � = �, � > � cada caso se
interpretaba el mundo real de modo diferente, entonces había que darles sentido físico real
¿Cómo A. Einstein lo hizo?
6.3 El genial experimento mental de A. Einstein y su desarrollo
físico-matemático. La matriz de cambio en una transformación
lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales.
Einstein un genuino físico teórico se dio a la tarea de desarrollar un experimento, lo genial
estuvo en el hecho de que su experimento no era en un laboratorio como lo hicieron otros
en los siglos anteriores cuando querían demostrar sus nuevas ideas físicas; sino que era
mental, el desarrollo físico-matemático del mismo, sus postulados y su interpretación física
final, es una de las genialidades más grande que haya salido de una mente humana.
El primer postulado de A. Einstein fue tomar la velocidad de la luz como la velocidad
máxima de todo cuerpo en el universo, el caso � > � lo desecho. Tomo dos simples
observadores S y �′, el primer observador S parado en tierra; el segundo �′ moviéndose a
velocidad relativista 0 < � < �, lo que concuerda con su primer postulado. En un segundo
postulado asume que ambos observadores ven el fotón moviéndose con velocidad constante
c dentro de cada uno de sus sistemas de referencias inerciales, lo cual hecha por tierra la
suma de velocidades de Galileo. Einstein al igual que H. Lorentz asume que en el momento
inicial ambos observadores estaban en el mismo punto del espacio tiempo
Si se propone una matriz de cambio � de dimensiones 2 × 2 y su inversa �−1, para la
transformación lineal entre ambos sistemas de referencias inerciales S y �′ solo teniendo en
cuenta la coordenada espacial x, la temporal t, �′ = � y �′ = �. Un experimento muy
parecido a el caso simplificado de Galileo en la figura (3.19), pero ahora la partícula es un
fotón. Véase la gráfica del experimento mental de Einstein.
184
Gráfica 6.1. Experimento mental de A. Einstein de 1905 con el cual describía el
mundo relativista para sistemas de referencias inerciales.
Luego, la ecuación matricial para la transformación de coordenadas ubicándose en el
sistema S inmóvil es: � �′
[�
] = � [�′] (6.3)
Si por el contrario el sistema primado S’ es el inmóvil, entonces el sistema S se mueve con
velocidad – � lo cual se describe a través de la transformación inversa de coordenadas:
[�′
] = �−1 � [�
] (6.4) �
Ahora se supone la matriz de la transformación lineal � de la siguiente manera. Además se
calcula su inversa, por tanto se supone det(�) ≠ 0.
Luego como se define �−1 =
�∗
� = [ � �
] (6.5) � �
�∗ = [ � −�
] → �∗ = [ � −�
]. Por tanto: |�| −�
�
−� �
′
185
�−1 = 1 [
� −� �
] = [��−��
−�
��−��] (6.6) �� − �� −� �
−�
��−��
�
��−��
Donde a, b, n, m son coeficientes reales de la matriz de cambio. Si se razona que las leyes
físicas de la teoría relativista son invariantes para los dos observadores. Luego, el
observador O en reposo ve al observador O’ con velocidad �. Igualmente si se fija en tierra
al observador O’, entonces este ve al observador O con velocidad – �. Por lo tanto la
matriz de cambio � es igual a la matriz inversa �−1. Ambas transformaciones de
coordenadas se
realizan entre dos espacios vectoriales S y S’ del espacio-tiempo universal, al igual que la
transformación de Galileo. Luego, el determinante de ambas matrices es de igual valor y
será igual al determinante de la transformación clásica, el valor del mismo era 1. Véase la
ecuación (3.58). Luego, resulta que
|�| = |�−1| = 1 → �� − �� = 1.
Si ahora se igualan las matrices de transformación � = �−1, entonces se igualan las
ecuaciones matriciales (6.5) y (6.6) quedando:
[ � �
] = 1
[ � −� 1 � −�
] = [ � −�
]
� � �� − ��
−� � ] =
1 [−�
�
−� �
Luego la ecuación matricial anterior nos sugiere que � = � y que los coeficientes m y b
pueden ser escritos como una función de la velocidad � de un sistema de referencia
respecto al otro; pues este medible velocidad es el responsable del cambio de signo en la
matriz inversa de la transformación lineal. Por tanto, se propone el cambio de coeficientes
siguientes � = �� y � = ��. Reescribiendo las ecuaciones matriciales (6.5) y (6.6) queda:
� �� � = [�� � ] (6.7)
�−1 = 1
�2 − ���2
� −�� [−�� � ] (6.8)
Tomando los postulados de que las dimensiones espaciales son homogéneas e isotrópicas,
entonces las leyes físicas de la teoría relativista son invariante para los dos observadores,
más la idea de que la velocidad de la luz es invariante e igual para cada observador. Por
tanto, se puede proponer que � = �� y �′ = ��′. Luego la nueva ecuación matricial (6.7)
186
queda:
� �′ � ��
�′
[ ��
] = � [ ��
′] = [�� � ] [ ��′]
187
2
2
2
2
�
� = �′(� + ���) (6.9)
�� = �′(�� + ��) (6.10)
Igualando las ecuaciones (6.9) y (6.10) en la variable temporal �, se obtiene la relación
entre coeficientes matriciales siguientes � = �
. Luego, si se reescriben las matrices de �2
ambas transformaciones de coordenadas, dadas en las ecuaciones (6.7) y (6.8), se obtiene:
� = [ � � ( � )
�2
] (6.11)
�� �
1 � � (−�)
�−1 = 2 [ �2 ] (6.12) �2 − �2(� )
� �(−�) �
Si se igualan las ecuaciones (6.11) y (6.12) y se tiene en cuenta que el determinante es igual
a 1, entonces queda la siguiente ecuación matricial:
� � (−�)
� � ( � )
[ �2 ] = [ �2 ] �(−�) � �� �
Si se propone � = � es evidente que se cumplen todas las condiciones físico-matemáticas
impuestas al problema. Luego las matrices de ambas transformaciones quedarían:
1 ( � )
� = � [ �2 ] � 1
−1 � 1 (−�)
� = �2 [
�2 ]
�2 − �2( ) � −� 1
Por tanto, ambas transformaciones de coordenadas quedarían:
[�
] = � [ 1 �
�2] [ �′ ′
� � 1 �
[�′
] = 1 1 −�
[ � ] [ ]
�′ �(1 − �2 ) �
]
188
−� 1 �
189
2
Luego el valor del determinante de ambas transformaciones era 1, entonces |�| = |�−1| = 1 Por tanto si se opera quedara � =
1 . A continuación, se llega a que � =
1 ,
�(1−�2 )
�2 √1−
�2
�
este valor fue denominado como factor de Heinrich Lorentz en su trabajo de 1887, que se
denota con la letra �.
1 � =
√1 − �2
�2
Luego, se llega a las matrices de ambas transformaciones directa e inversa:
1 1 ( � ) � � ( � )
� = [ �2 ] = [ �2 ] √1 −
�2
�2 � 1 �� �
−1
1 1 (−�)
� � (−�)
� = [ �2 ] = [ �2 ] √1 −
�2
�2 −� 1 −�� �
Además se toma como otro coeficiente � = �
. Finalmente obtenemos nuevas ecuaciones �
relativistas de transformaciones de coordenadas para los dos observadores O y O’. Luego,
si se tiene en cuenta las otras dos dimensiones espaciales y su transformación de
coordenadas �′ = � �′ = �, finalmente se obtiene el denominado cuatritensor de
coordenadas espacio-temporales de A. Einstein para el caso de sistema de referencias
inerciales. Este coincide con la matriz de transformaciones de Lorentz.
� −�� 0 0 �� ��′
[−�� � 0 0] [ � ] = [ �′
] (6.13) 0 0 1 0 �
0 0 0 1
�
�′
�′
Se nota, que cuando las velocidades de los cuerpos masudos son muy bajas � ≪≪ � →
� < 0.2�, entonces el valor del coeficiente � → 1. Por tanto, la ecuación tensorial (6.13)
para este caso pasa a ser la ecuación de transformación de Galileo. O sea, la mecánica
clásica salía de su crisis pues sus ecuaciones de transformaciones de coordenadas no son
más que un caso particular de la nueva mecánica relativista para sistemas de referencias
inerciales. En modo de ecuaciones algebraicas racionales las nuevas transformaciones nos
190
quedan
191
1 � =
�2
(�′ − � •�′) (6.14) �2
√1 − �2
1 � =
√1 − �2
�2
(�′ − ��′) (6.15)
Si se sustituye que �′ = ��′, � = �� en las ecuaciones (6.14) y (6.15). Además, se notan
sus resultados matemáticos en nuevas ecuaciones en función de los dos observadores, uno
en reposo O, cuyas magnitudes son con subíndices cero y otro segundo en movimiento O’,
cuyos medibles propios dependen de la velocidad.
�(�) = �0
√1 − � 2
�2
(6.16)
√ �2
�(�) = �0 1 −
�2 (6.17)
6.4 ¿La masa inercial de los cuerpos es función de la velocidad?
Si se aplica una fuerza externa con modulo constante � al observador 2 ubicado en el
sistema S’ con masa �, por la segunda ley de newton � = �� . Si � → ∞ entonces
la aceleración constante que el cuerpo experimenta lo llevaría a que su velocidad � → ∞;
lo
cual contradice el postulado de Einstein de que ningún cuerpo en el universo puede
sobrepasar la velocidad de la luz. Luego, la segunda ley de Newton queda invalidada para
la expresión � = ��
donde � es el tiempo del observador de tierra. O sea la fuerza medida ��
por el observador de tierra S no se corresponde con el cambio del vector cantidad de
movimiento lineal en su tiempo. Esto induce que cuando � → ∞ para que se cumpla � < �
entonces � → 0 y la masa es función de la velocidad cumpliendo � → ∞. Los postulados
de la teoría especial de la relativista establecen que las leyes físicas se cumplen por igual en
todos los sistemas de referencia inerciales. Por tanto para que se cumpliría la segunda ley
de Newton se le redefine como � = ��
��´
donde �′ es el tiempo propio del observador S’.
Luego, tomando la definición clásica de la cantidad de movimiento � = �� debe
192
cumplirse:
193
� = ��
= �(�� )
= � ��
��´ ��´
��´
Según la ecuación (6.16) ��′ = √1 − �2
�� entonces la fuerza medida por el observador de �2
tierra S, que se aplica sobre S’ será:
� = �
�� �� = �(�)
√1 − �2
�2
��
��
Esta última ecuación demuestra que se cumple la segunda ley de newton para un cuerpo
que se mueve a velocidades relativista, si se tiene en cuenta su masa como función de la
velocidad. Si se toma la masa � como la masa de reposo del observador 2 respecto al
sistema de referencia S’ y se le nota como �0. Luego quedara que:
�(�) = �0
√1 − �2
�2
(6.18)
6.5 Definición de los nuevos medibles físicos relativistas.
Impulso, energía de reposo y energía cinética.
Retomando la definición clásica de la cantidad de movimiento � = �� , entonces se
redefine la cantidad de movimiento relativista como:
( ) = �(�) � = ��0 �
Las implicaciones físicas de esta nueva teoría eran novedosas y parecía de un mundo irreal,
pues primero predecía que el tiempo, la masa, las dimensiones de la materia dependen de
la velocidad del cuerpo, lo que hace que existían medibles para el estado de reposo, a
velocidad cero, como la masa, las dimensiones espaciales y el tiempo. O sea, estos ya no
eran absolutos para dos observadores en sistemas de referencias a diferentes velocidades y
en caso del tiempo dejaba de ser de igual ritmo para cada uno de ellos, viniéndose abajo la
idea de simultaneidad absoluta para dos observadores en sistemas de referencias a
velocidades diferentes. Ya no se hablaba de suceso físico con una trayectoria espacial
194
respecto al tiempo, variable temporal que era independiente del espacio. Ahora se habla de
la trayectoria del suceso en la línea del espacio-tiempo universal.
El segundo resultado teórico y los experimentos concordaban. Ambos resultados
demostraban las debilidades de la mecánica clásica, pues daba a la velocidad de cualquier
ente material en el universo una cota, esta era la velocidad de la luz en el vacío �. O sea, la
nueva teoría de Einstein estaba en resonancia con los resultados experimentales de
Michelson y Morley en 1887.
Aunque esta nueva teoría de la relatividad especial, T.R.E, concordaba con la mecánica
clásica para las bajas velocidades de los cuerpos, o sea la mecánica clásica era un caso
particular de ella, para velocidades de los cuerpos por debajo de los valores,� ≪≪ �, con a
proximidad para valores de � ≤ 0.2�, para valores por debajo de 0.2�, las transformaciones
de H. Lorentz se transforman a las de Galileo.
Otra diferencia de la nueva Teoría Relativista Especial, era su invariancia en cualquier
lugar del homogéneo espacio-tiempo, lo que no sucedía con la mecánica clásica que era
inoperante para sistemas de referencia no inerciales, SRNI, solo se aplicaba ante fuerzas
externas reales que suponía Newton. Por ejemplo, un invariante en esta nueva teoría era la
distancia entre sucesos en el espacio-tiempo tetradimesional, de lo cual fue abordado por
Minskowski poco después del 1905, el cual determino la siguiente ecuación del
denominado tetra momento invariante (�∆�)2 − ∆�2 = � = ���������
Con este resultado y la nueva redefinición de los medibles físicos relativistas masa e
impulso, se llegaron a nuevos resultados sobre otras magnitudes físicas como energía
cinética K, energía de reposo E0 y energía total E. Luego se definía:
�0 = �0 �2
� = �0 + � = �(�) �2
Por tanto se podía redefinir la nueva energía cinética como una diferencia de masas por la
cantidad �2. Resultados este explotado en las centurias venideras en el desarrollo de las
nuevas teorías de la Física del Núcleo Atómico.
� = [�(�) − �0]�2 = ∆��2
Algo muy interesante salía a relucir, un cuerpo en reposo relativo tiene energía, esto no era
aceptado en la mecánica clásica, o sea la masa es energía y la energía es masa, genial la
materia que forma el universo es dual, es onda y es materia a la vez, increíble, esto no
puede ser verdad para los físicos clásicos, para ellos la frontera entre masa y energía está
195
cerrada, o sea el balance de masa en un suceso físico no tiene relación con el balance
energético del mismo.
Volviendo a lo anterior diremos que todos los observadores de dos sucesos en el espacio
tiempo, medirían esta distancia entre sucesos de modo igual desde su sistema de referencia
propio. Por esa razón este medible era un invariante de la nueva teoría.
196
Capítulo VII
7. Conclusiones y Recomendaciones.
7.1 Conclusiones del proyecto.
El proyecto investigativo aborda de modo sencillo y claro, para los estudiantes de
ingenierías de la UCE, las fortalezas de la mecánica clásica.
Primero, se pone en evidencia que el carácter continúo de las trayectorias de los cuerpos al
moverse por el macromundo influye de manera directa en las propiedades operacionales de
los medibles funcionales. Los cuales son siempre diferenciables e integrables, excepto en
algunos puntos aislados de sus dominios variacional.
En segundo lugar se hace un análisis exhaustivo de los diferentes campos de interacción
existentes en el universo clásico, a través de la teoría de funciones vectoriales de varias
variables y sus teoremas de contornos.
Tercero, se pone expone la potencia operacional de las funciones escalares de varias
variables a través del análisis energético de problemas reales clásicos. Luego, se muestra
una nueva manera, matemáticamente muy cómoda, de hacer análisis modulares de los
principales medibles cinemáticos de un suceso clásico cualquiera.
Cuarto, se realiza la conexión algebraica que en su época obtuvo, A. Einstein a las
transformaciones de espacio-tiempo de Galileo con las nuevas transformaciones espacio-
temporales de H. Lorentz. Además, se exponen los resultados relativistas que implicarían
estas nuevas relaciones, a la hora de redefinir los nuevos medibles relativistas, como masa,
energía e impulso. Se muestra la importancia del nuevo espacio-tiempo universal por donde
todos los sucesos clásicos tienen una trayectoria futurista y continua.
Por otra parte, el proyecto pedagógico-investigativo pone al desnudo las debilidades físicas-
matemáticas de la mecánica clásica, en cuanto a:
Quinto lugar, expone la crisis de los postulados dinámicos newtonianos cuando se enfrenta
a los sistemas de referencias No inerciales. De modo conciso se muestra la solución dada
por D Álembert a este problema.
197
En sexto lugar muestra como los resultados experimentales de los finales del siglo XIX,
invalidan las ideas de Newton y Galileo sobre un campo de acción instantánea, donde la
geometría euclídea describe el comportamiento de la materia en el universo de modo
determinístico, a través de una variable temporal rítmica. O sea, se pone en interrogante la
simultaneidad de los sucesos para diferentes observadores y sus iguales mediciones
espaciales.
Séptimo, entra en conjetura la igualdad de los medibles clásicos masa inercial y masa
gravitatoria para todo cuerpo en el universo, postulados por la dinámica de Newton; cuando
en 1905 se expone que la masa es una función de la velocidad de los cuerpos.
Finalmente se demuestra como la teoría especial de la relatividad Einsteniana de 1905 salva
la mecánica clásica no relativista newtoniana, al introducirla como un caso particular de su
estudio para un universo de bajas velocidades corpusculares.
7.2 Recomendaciones del proyecto.
Una de las recomendaciones que se proponen para este trabajo investigativo, pasa por
aplicarlo en algunas aulas piloto de las escuelas de ingenierías de la UCE. Luego, se
pudiera comparar el resultado del proceso enseñanza-aprendizaje de estos alumnos, con los
estudiantes que siguen los cursos tradicionales de mecánica clásica sin un profundo análisis
matemático de los razonamientos físicos. Los resultados de este experimento deben validar,
primeramente una mejor comprensión de la física clásica a partir de los estándares de
comprensión de las matemáticas superiores de los alumnos. Segundo, un proceso de
comprensión más profunda de los fenómenos físicos clásicos y su relación con las
matemáticas superiores. Tercero, un elevado nivel de intuición físico-matemática por parte
del alumnado de ingenierías. Cuarto, la generación de elevados niveles del conocimiento
físico-matemático en los docentes, debido a las experiencias vivas en la retroalimentación
alumno-profesor, a través de discusiones teóricas casi infinitas; que pueden en ocasiones
trascender la frontera del aula de clases y llenar otros espacios de estudio e investigación.
Por estas razones, los estudiantes que siguen este proyecto investigativo deben ser capaces
de obtener mayores destrezas en la resolución de casos ingenieriles reales e ir llenado su
visión como futuros profesionales de las ciencias desde sus primeros años universitarios. El
proyecto como tal apuesta a estos resultados pedagógicos.
Después de validar estos resultados anteriores, se podría pasar a una segunda fase de
recomendaciones donde se desarrollen de modo teórico este mismo modelo para otros
tópicos de la mecánica clásica. Por ejemplo se podría hacer este mismo análisis para un
segundo volumen de la teoría de choques elásticos e inelásticos, oscilaciones y ondas
mecánicas.
198
También se podría aplicar este mismo modelo pedagógico a cursos de electromagnetismo
para alumnos de ingenierías relacionadas con la electrónica y las comunicaciones,
termodinámica, mecánica de los medios continuos para ingenieros relacionados con la
hidráulica y la agroquímica, la asignatura de estática para arquitectos, etcétera.
El autor de este proyecto investigativo considera que si se pudiesen llevar a cabo las
recomendaciones anteriores, los resultados del proceso enseñanza-aprendizaje en las
escuelas de ingenierías de la UCE darían un salto sustancial en la formación de nuevos
profesionales con un elevadísimo nivel de destrezas y rigurosidad científico-técnico, los
cuales pasarían a formar parte de los nuevos claustros de profesores universitarios, centros
de investigación e industria nacional. Teniendo en cuenta que la UCE es el principal centro
de enseñanza pública superior de la república, entonces el nivel del capital humano de la
nación crecería de modo significativo.
199
Bibliografía básica.
1. Rolando Sáenz (2012) ¨Apuntes de Matemáticas Superiores¨. Preprinter. Curso de
Postgrado de la Maestría en Docencia y Matemáticas Universitarias.
2. Hernán Benalcázar Gómez (2014) ¨Geometría Analítica. Introducción al Algebra
Lineal¨. Preprinter. Curso de Postgrado de la Maestría en Docencia y Matemáticas
Universitarias. A publicarse en la Facultad de Ingenierías de la UCE, Quito.
3. David Halliday, Robert Resnick y Jearl Walker (2010) ¨Fundamentos de Física¨
Volumen 1. Octava Edición. Grupo Editorial Patria, México DF.
4. Hernán Benalcázar Gómez (2013) ¨Álgebra Lineal y sus Aplicaciones¨. Imprenta
Solugraph, Quito, Ecuador.
5. B.M. Yavorski K.M. Pinski (1983) ¨Fundamentos de Física I¨ Editorial Mir, Moscú,
URSS.
6. M. Krasnov A. Kiseilov G. Makarenko E. Shikin ¨Curso de Matemáticas Superiores
para Ingenieros¨ (1990). Editorial, Mir, Moscú, URSS.
7. A. I. Maltiev ¨Fundamentos del Algebra Lineal¨ Tercera Edición (1978). Editorial,
Mir, Moscú, URRS.
8. H. Álvarez Gálvez (2017) ¨Teoría y Problemas de Mecánica Clásica¨ Volumen 1.
Preprinter. A publicarse en la Universidad de las Américas, Quito, Ecuador.
9. Jorge Lara Prado (2013) ¨Ecuaciones Diferenciales Ordinarias¨. Editorial, Unidad
Académica de Matemáticas de la UCE, Quito, Ecuador.
10. B. M. Das, A. Kassimali, S. Sami (1999) ¨Mecánica para Ingenieros. Dinámica¨.
Editorial, Limusa Noriega, México.
Anexo 1. Funciones de varias variables reales �: � ⊂ ℝ� → ℝ�.
Operaciones básicas.
Las funciones f de varias variables reales, son como una fábrica donde entran n tipos de
materiales y el material final está compuesto de � = 1 un solo elemento final o � > 1
elementos finales, lo cual puede cumplir las siguientes relaciones de orden � = �, � <
�, � > �. Siempre que � > 1 se dice que f es una función vectorial perteneciente al
espacio ℝ�, si por el contrario � = 1 se dice que f es una función escalar, lo cual es un caso
interesante de estudio. O sea de modo general el conjunto de salida o conjunto dominio de
estas funciones pertenece al espacio vectorial real Euclídeo ℝ� y su conjunto de llegada o
conjunto de las imágenes pertenece al espacio vectorial Euclídeo ℝ�.
La forma general de una función de varias variables reales �: � ⊂ ℝ� → ℝ� es la siguiente
�(�1, �2, , , ��) = (�1(�1, �2, , , ��), �2(�1, �2, , , ��) , , , ��(�1, �2, , , ��)), � = (�1, �2 , , , ��);
donde las funciones imágenes pueden depender también de las n variables reales. En el
caso de una función escalar donde � = 1 seria de esta forma la expresión matemática
�(�) = �(�1, �2, , , ��), � ∈ ℝ (Krasnov, 1990).
Ejemplos de funciones vectoriales reales, es el medible velocidad de una partícula en el
espacio tridimensional XYZ cartesiano
� ( � , � , � ) = 3��� − 4�2� + ����� = (3��, 4�2, ����), �: � ⊂ ℝ 3 → ℝ 3.
Un segundo ejemplo una función fuerza en el espacio XYZ que solo depende de las
variables en un plano XY cartesiano
� ( � , � ) =
���(�)� + �
�2 + 1
� − �� = (���(�), �
�2 + 1
, �) , �: � ⊂ ℝ2 → ℝ3
Un ejemplo de una función escalar es la energía potencial de un cuerpo masudo clásico que
se mueve en el espacio tridimensional descrito por coordenadas cartesianas XYZ bajo un
campo de fuerzas conservativas de la energía mecánica.
�(�, �, �) = tan(��) + (� − 1)4 − 2���, �: � ⊂ ℝ3 → ℝ.
��� � = � = {(�, �, �) ∈ ℝ3; �� ≠ (2�+1)�
, � ∈ ℤ } 2
En el caso de las funciones vectoriales, sus imágenes no son más que vectores
pertenecientes a los espacios ℝ� correspondientes, sus operaciones de suma resta se
realizan sumando y restando los correspondientes valores reales de cada dimensión hasta
terminar con la última, lo cual resulta un nuevo vector funcional perteneciente al mismo
espacio ℝ� correspondiente ( como sumar y restar vectores de ℝ�).
El producto entre ellas es de dos tipos el denominado producto escalar entre vectores de ℝ�
notado ( • ) o (⟨ | ⟩ ) que nos da como resultado un número real, con lo cual se 1
define la norma Euclidea de cada función vectorial real como ‖� ‖ = (� • � )2. Por otra parte
el denominado producto vectorial entre vectores funcionales de ℝ3, ℝ7, ℝ21 pues solo en
estos está definido, notado como ( × ), da como resultado una función vectorial del mismo
espacio vectorial original. La división entre vectores de ℝ� se sabe de cursos anteriores de
matemáticas vectoriales que no está definida, por tanto, tampoco existe entre las funciones
vectoriales.
En el caso de las funciones escalares, sus imágenes son números reales. Luego, las
operaciones de: suma, resta, multiplicación y división son definidas por las reglas que
impone el campo de los números realesℝ.
Calculo con funciones de varias variables reales, límites, continuidad y
derivación.
Los operadores matemáticos de límite, diferencial e integral al actuar sobre las funciones
de varias variables reales tienen un comportamiento similar a como actúan sobre la
funciones de una variable real, solo que actúan sobre las n variables de su dominio y sobre
las m funciones de su imagen de modo individual, pero a la vez concatenado en una sola
operación, con un único resultado final, como un nuevo vector o número real.
Para el operador límite sobre estas funciones vectoriales multi variables reales
�(�1, �2, , , ��) = (�1, �2 , , , ��) , al igual que sobre las funciones de una variable real donde
se analizaba el límite de la función �(�) al acercarse a un punto �0 de la recta real �0 ∈
�, se examinaba por dos únicos caminos diferentes, la izquierda y la derecha, si coincidían
sus
valores, entonces lim �(�) existe y es único; aquí se realiza el mismo análisis para cada �→�0
dimensión de la imagen. La diferencia estiva en que no te acercas a un punto �0 sobre una
recta sino en un espacio n-dimensional �0 = (�10 , �20
, , , ��0 ), entonces la vecindad no es
un intervalo sino una bola n-dimensional que tiene infinitos caminos para llegar al punto de
análisis. Los cálculos del límite por los infinitos caminos debe ser igual para que exista el
límite único de esta dimensión; a su vez tienen que existir los m limites dimensionales para
que exista el límite (vector único) de la función multi variable vectorial en este punto
(�10 , �20
, , , ��0 ). El mismo se nota y define:
lim �(�1, �2, , , ��) = �→�0
( lim (�1,�2,,,��)→(�10 ,�20 ,,,��0)
�1(�), lim (�1,�2,,,��)→(�10 ,�20 ,,,��0 )
�2(�) , , , lim (�1,�2,,,��)→(�10 ,�20 ,,,��0 )
��(�)) =
(�1, �2, , , ��) = , ∈ ℝ� (Krasnov, 1990)
0 0 0
��2
En el caso de las funciones multi variables reales escalares el límite es igual lo que su
resultado es un número real � y queda definido así:
lim �(�1 , �2 , , , �� ) = � , � ∈ ℝ �→�0
Se expondrán dos ejemplos de cálculos de límites. La función velocidad anterior �: � ⊂
ℝ3 → ℝ3 y la función �: � ⊂ ℝ3 → ℝ, ambos en el origen de coordenadas cartesianas.
lim �(�, �, �) = ( lim 3��, lim 4�2, lim ���� ) = (�,�,�)→(0,0,0)
(0,0,1) =
(�,�,�)→(0,0,0) (�,�,�)→(0,0,0) (�,�,�)→(0,0,0)
lim (�,�,�)→(0,0,0)
�(�, �, �) = lim (�,�,�)→(0,0,0)
tan(��) + (� − 1)4 − 2��� = 1
Si se aplica el operador diferencial de una variable j-esima ���
, � = 1,2, , , � sobre una
función vectorial �(�1, �2, , , ��) = (�1(�), �2(�) , , , ��(�)), según el concepto de derivada
a partir del cálculo de un límite quedaría:
���
�(�1, �2, , , ��)
= ( lim
ℎ �→0
�1(, , �� + ℎ �, , , ��) − �1(�1, , , ��)
ℎ �
, , , , lim
ℎ �→0
��(, , �� + ℎ � , , , ��) − ��(�1, �2, , , ��) )
ℎ�
= (�1�� , �2��
, , , ���� ) (�1.1)
O sea para operar esta derivada univariable, se toman las restantes n-1 variables como
constantes y se analiza solo el cálculo del límite de la variable �� Por esta razón la derivada
de la función sobre esta única variable se denomina derivada parcial sobre �� y se
nota ��(�1,�2,,,��)
. En el caso de las funciones multi variables escalares, es un caso particular de ���
las anterior. Luego quedaría su cálculo así:
��(�1, �2, , , ��) �(, , �� + ℎ �, , , ��) − �(�1, , , ��) = lim = �
(�
, �
, , , �
) (�1.2)
��� ℎ �→0 ℎ � �� 1 2 �
Las derivadas parciales de segundo orden, seria aplicar el operador diferencial nuevamente
sobre la función obtenida en la ecuación A1.1, sobre la variable �� tal que � = 1,2, , , �.
Luego se notaria
���
(�1��
, �2��
, , , ����
) = ��� ���
�(�
1 , �2 , , , �� ) =
�2�(�1,�2,,,��). Si � = �
������
entonces se notaria �2�(�1,�2,,,��)
(Krasnov, 1990) �
�
En el caso de una función escalar como la ecuación A1.2, seria ��� ���
(�1, �2, , , ��) =
� � �(�
, �
, , , � ) = �2�(�1,�2,,,��)
. Si � = � entonces se notaria �2�(�1,�2,,,��)
�� ��
1 2 �
������
��2
En ambos casos nuevamente aplicamos el operador diferencial según la variable �� sobre
las funciones derivadas parciales de primer orden correspondientes, tomando las otras n-1
variables como constantes. Igual proceso sucesivo se aplica para las derivadas parciales de
órdenes superiores 3ero, 4to,,,,, n-esimo. Ejemplos de este operador diferencial parcial:
� �
( �
, �
, � )
��
= 3�� − 0� + �� ����� = (3�, 0, �� ����)
�2 � ( �
, �
, �
)
����
�2 � ( �
, �
, �
)
��2
�� � (
�
, � ,
� )
���
= 3� − 0� + (� +
���2)����� = (3, 0, (� + ���2)����)
= 0 − 0 + �2�2 ���� = (0, 0, �2�2 ����)
⋮
= 0 − 0 + ���� ���� = (0, 0, ���� ����)
El operador de integración. La integral de línea y las integrales múltiples.
Aplicaciones a la física clásica.
Para hacer actuar el operador integral sobre una función multi variable vectorial de la forma
�: � ⊂ ℝ� → ℝ� se tiene que definir antes un contorno suave y diferenciable C, formado
por infinitos puntos pertenecientes al espacio vectorial ℝ�, sobre el cual se moverá la
función vectorial; entonces hemos definido lo que se denomina la integral curvilínea de f
sobre el camino C o integral de línea.
�������
�� = ∫
(�1�,�2�
,,,���)
( , , , , ) • � = ∫ (� , �
, , , �
) • (��
, ��
, , , �� )
(�1.3)
1 2 �
�
1 2 �
(�1� ,�2�
,,,��� )
1 2 �
El vector � = (��1, ��2 , , , ���) se denomina vector diferencial de camin0.
Ejemplo si se quisiera calcula la integral de camino de la función �: � ⊂ ℝ3 → ℝ3 sobre un
contorno � ⊂ ℝ3, con el diferencial de camino � = (��, ��, ��) quedaría:
����
�� = ∫
�
( ,
, ) • �
(��,��,��
)
(��,��,��
)
(��,��,��)
= ∫ (��, ��, ��) • (��, ��, ��) = ∫ ���� + ∫ ����
(��,��,��)
(��,��,��)
+ ∫ ����
(��,��,��)
(��,��,��) (��,��,��)
En el caso de una función escalar �: � ⊂ ℝ� → ℝ, al aplicar el operador integral sobre una
región espacial Ω ⊂ ℝ� se obtienen las denominadas integrales múltiples. � �����
�Ω = ∫ … ∫ �(�1, �2, , , ��)
�Ω
Ω
(�1.4)
El factor �Ω define el diferencial espacial y se define como �Ω = ��1 ∗ ��2 ∗ ∗ ∗ ���.
Luego la integral A1.4 quedaría:
� ����� � �����
�Ω = ∫ … ∫ �(�1, �2, , , ��) �Ω = ∫ ��1 … ∫ �(�1, �2, , , ��) ��� (�1.5)
Ω Ω
El cálculo de estas integrales múltiples es un proceso iterativo para cada k-dimensión del
espacio ℝ� que representa el diferencial espacial ���, en el cual se toman las n-1 variables
que no representan la k-dimensión como constantes al aplicar el operador diferencial. Si
� = 2 la integral se denomina doble y el �� = �� ∗ �� es un diferencial de área, � = 3 se
llama integral triple y el �� = �� ∗ �� ∗ �� es un diferencial de volumen (Krasnov,
1990).
Si lo que desea es determinar la medida espacial de la región Ω cerrada conexa, entonces se
resuelve la integral A1.5, tomando �(�1, �2, , , ��) = 1, lo cual se calcula:
� �����
�Ω = ∫ ��1 … ∫ ��
�
Ω
(�1.6)
Luego, la ecuación integral A1.6 permite calcular áreas de superficies y volúmenes de
cuerpos o regiones tridimensionales.
Un ejemplo de este operador integral en acción, es el cálculo del trabajo de una función
vectorial (Fuerza) tal que � (�, �) = − (�), �: ℝ2 → ℝ2 sobre un cuerpo que se
mueve por el arco de circunferencia �2 + �2 = 1 (�) desde el punto (1,0) hasta el punto
(0,1). Como se sabe el diferencial de camino aquí será � = �� + �� (�).
���� 0 0 0 �
� = ∫ � ( � , � ) • � � = ∫ � �� + ∫ [√1 − �2 ] �� = 2 ∫ � �� = −2 � √1 − �2
� 1 1 1
Otro problema a resolver puede ser la demostración mediante el cálculo de integrales triples
que el volumen de una esfera de radio R es � = 4
��3. 3
�
� = ∫ ��
−�
√�2−�2
∫ ��
−√�2−�2
√�2−�2−�2
∫ ��
−√�2−�2−�2
Después de un largo trabajo con el operador integral y haciendo algebra elemental se llega
a una última ecuación integral en la variable x:
�
� = � ∫(�2 − �2)�� = � [�2� −
−�
�3
3
�
] −�
= 4
��3 3
Anexo 2. Movimiento curvilíneo en el espacio. Triedro de
Frenet-Serret
El movimiento curvilíneo es el tipo de movimiento que más realiza la materia y antimateria
que conforma el universo, contiene como caso particular al movimiento unidimensional. O
sea es más general y por ende más complejo matemática y físicamente su estudio. Este
movimiento se puede además subdividir en otras clasificaciones más, según la curva
geométrica que describa la trayectoria del cuerpo al moverse; por ejemplo parabólico,
elíptico, circular, hiperbólico, geodésico, cilíndrico, cónico, etc… Otra forma de clasificar
este movimiento es si se realiza en dos dimensiones espaciales, en el plano, en tres
dimensiones espaciales.
Al estudiar un movimiento curvilíneo de modo general, primeramente se impone un
sistema de referencia, fuera o sobre la partícula y se estudia la traza geométrica que
describe el vector posición de la partícula en cada momento de tiempo ( ) .
Este vector de posición durante todo el intervalo temporal que dura el movimiento del
cuerpo, es quien describe a partir del parámetro tiempo, la trayectoria en el plano o el
espacio tridimensional según sea el movimiento. Por tanto, su traza geométrica describe
completamente, la curva que va dejando la trayectoria del cuerpo a través del tiempo.
Según la teoría de curvas y superficies regulares, toda curva espacial diferenciable y suave,
a trozos, puede ser descrita muy bien por el denominado triedro de Frenet-Serret, el cual
consiste en un trio de vectores orto normales que van describiendo la curva que se genera
momento a momento del movimiento del cuerpo en el espacio.
Los tres vectores son: el vector unitario o versor tangencial a la curva que se denomina
�(�) el cual tiene como indica su nombre, sentido tangencial y la misma dirección del
movimiento del cuerpo. Cabe destacar que en todo movimiento curvilíneo que realiza la
materia en el universo, siempre el vector velocidad puntual esta de modo colineal con este
versor, de modo más particular en igual dirección. Segundo, el vector unitario o versor
normal a la trayectoria en cada momento �(�) el cual siempre está posicionado desde el
punto de análisis sobre la curva hacia el centro de curvatura en ese instante temporal, el
vector radio de curvatura es colineal con este vector normal durante toda la trayectoria del
movimiento.
Por último, para completar la terna se tiene el vector unitario o versor binormal �(�) que
aparece en cada momento de tiempo, de modo perpendicular al plano que contiene a los
versores tangenciales y normales. El versor binormal describe la torsión �(�) que realiza
la curva en el espacio tridimensional al moverse el cuerpo. Una observación importante esta
dada: Cuando una partícula o cuerpo describen una trayectoria curva sobre un plano
cualquiera este versor se mantiene constante en el tiempo pues su posición siempre será
perpendicular a dicho plano; se acota que este plano de movimiento se denomina osculador
pues contiene los versores tangencial y normal. Durante el desarrollo del capítulo III, se
notó, que al estudiar el movimiento de cuerpos sobre superficies planas este versor no se
ocupa para los cálculos. El gráfico (AG2.1) les muestra la base vectorial móvil tangencial,
normal y binormal, la cual es denominada triedro de Frenet-Serret.
Gráfico AG2.1. Triedro móvil de Frenet-Serret que describe matemáticamente una
curva en el espacio.
Se puede ver algunas relaciones matemáticas entre estos vectores, y sus formas de cálculo a
partir algunos medibles cinemáticos del cuerpo. Primeramente véase cómo se relaciona el
versor tangencial con la velocidad puntual del cuerpo en cada momento de tiempo.
()
�(�) =
|� ( � ) |
El versor binormal se puede calcular conociendo la velocidad puntual y la aceleración
puntual del cuerpo para cada instante temporal a partir de la siguiente ecuación.
() × (
) �(�) =
|� ( � ) × � ( � ) |
Por último el versor normal se puede calcular como el producto vectorial entre los versores
tangencial y binormal, como se resuelve de modo siguiente.
�(�) = �(�) × �(�)
Otros conceptos matemáticos muy importante a la hora de describir una curva en el espacio
son la curvatura �(�) en cada instante, con la cual se puede medir el radio de curvatura
�(�) de la curva en ese instante temporal y la torsión de la curva.
1 | ( ) × (
) |
�(�) = = �(�) 3
|� ( � ) |
Luego, si se conocen el vector velocidad puntual y el vector aceleración puntual en cada
momento de tiempo del movimiento, entonces se puede saber siempre el radio de curvatura
de la trayectoria. Por su parte la torsión de la curva, la pueden calcular para cada momento
de tiempo como:
(�(�) × �(�)) • �(�)
�(�) = 2
|() × () |
Es importante observar que el medible cinemático aceleración puntual de un cuerpo que se
mueve en el espacio tridimensional, a diferencia de la velocidad puntual, si tendrá vectores
proyecciones colineales sobre cada uno de los versores del triedro de Frenet-Serret
(Alvarez, 2017).
El estudio del movimiento curvilíneo se realiza en diferentes sistemas coordenados según
sea más cómodo matemáticamente describir la trayectoria del mismo; lo cual fue resuelto
en los temas finales abordado por el capítulo III.
Anexo 3. Campos de Fuerzas centrales. El problema de los dos
cuerpos. Geometría de las curvas cónicas.
Un caso muy especial de campos de fuerzas presentes en el universo son los campos de
fuerzas con un punto de singularidad, de donde emanan o convergen las líneas de fuerzas
del campo. En un primer caso el punto singular será una fuente del campo de fuerzas. En un
segundo caso de este tipo de campos centrales, las líneas de fuerzas del campo son
absorbidas por este punto singular, al cual se le denomina sumidero. Por tanto si se fija un
sistema de coordenadas esféricas cualquiera en el punto de singularidad, se describiría la
ecuación vectorial de la fuerza de modo muy fácil; pues en estos campos de fuerzas
centrales siempre el vector fuerza es colineal al vector posición para cualquier punto del
espacio donde esté presente el campo.
� � � = �(�) (�3.1) (Alvarez, 2017)
Si se quiere hacer un análisis más cualitativo de estos campos de fuerzas, se debe usar la
teoría de funciones vectoriales, en este caso �� � �
: � ⊂ ℝ 3 → ℝ 3. Además
aplicar el operador diferencial vectorial de Hamilton a modo de producto escalar sobre
la ecuación
del campo central (A3.1), entonces se comprueba que es diferente de cero para cualquier
región del espacio donde está presente el campo de fuerzas � ⊆ ℝ3. Siempre existirá un
punto de la región del espacio � ⊆ ℝ3, en el cual este producto escalar tiende a valores
infinito, este será el punto de singularidad del campo de fuerza central. O sea en otras
palabras se ha aplicado el operador divergencia de campo como se mostrara a continuación:
∇ • �
�
� ≠ 0 ; ∀ (�, �, �) ∈ � ⊆ ℝ3 (Alvarez, 2017)
Un resultado muy significativo se obtiene al aplicar el operador de Hamilton a modo de
producto vectorial sobre la ecuación de campo (A3.1); o sea el denominado operador
rotacional sobre el campo de fuerza centrales el cual siempre será el vector nulo para todo
punto de la región � ⊆ ℝ3.
∇ × �� � �
= 0 ; ∀ (�, �, �) ∈ � ⊆ ℝ 3 (�3.2) (Alvarez, 2017)
Este resultado de la ecuación (A3.2) fue demostrado utilizando el teorema de Stokes-Green
en el capítulo II de este trabajo para hacer el análisis energético de los diferentes campos de
fuerzas en el universo en el capítulo V. Los campos de fuerzas centrales están presentes
tanto en el macro mundo como en el micro mundo de las leyes físicas, ejemplo de ello son
el campo universal gravitatorio para los cuerpos masudos, el campo eléctrico creado por
cargas eléctricas inmóviles, los campos de interacción fuerte que mantienen unidos los
nucleones dentro del núcleo atómico. En este subtópico solo se hará un análisis dinámico-
cinemático del denominado problema de los dos cuerpos. O sea el movimiento de un
cuerpo dentro de un campo central generado por otro cuerpo, para mayor comprensión del
lector solo se realizará un estudio del movimiento entre cuerpos masudos gigantes en
cualquier región del universo. Para realizar este estudio se debe hacer uso de las
denominadas leyes empíricas de J. Kepler, las cuales enuncian los postulados que se
exponen a continuación:
Primera ley: Los planetas al moverse alrededor del sol describen orbitas elípticas, y en uno
de los focos elípticos se encuentra el sol.
Segunda ley: El vector de posición del planeta respecto al sol, barre áreas iguales en iguales
unidades de tiempo, lo cual significa que la velocidad areolar del sistema planeta-sol es
constante.
Tercera ley: La longitud del semieje mayor de la trayectoria elíptica del planeta elevado al
cubo, es proporcional al periodo de rotación del planeta alrededor del sol elevado al
cuadrado.
Un caso particular del problema de los dos cuerpos es cuando se estudia la interacción
gravitacional entre ellos. O sea se analiza de modo dinámico el movimiento de un cuerpo
masudo cualquiera, de masa m, bajo el campo gravitacional de un cuerpo masudo mayor M.
Para ello se ubica un sistema de coordenadas polares en el punto de singularidad del
espacio, donde se encuentra el cuerpo masudo mayor que genera el campo gravitacional, lo
cual se ilustra en la gráfica AG3.1.
Gráfica AG3.1. Estudio del movimiento entre dos cuerpos masudos, tomando un
sistema de coordenadas polares ubicado sobre la masa M.
Según la ley de gravitación universal el campo de fuerzas centrales provocado por el cuerpo
masudo mayor de masa M, que provoca el campo gravitacional central bajo el que se
mueve el cuerpo de masa menor m, tiene la siguiente expresión vectorial.
= − ���
(�3.3)
� �2 �
Una observación importante está en revisar el producto vectorial entre el vector de posición
� del cuerpo masa m respecto al otro cuerpo de masa M, y el vector fuerza central � . � ×
� � = � × �(�)�� = 0 , debido a que los vectores � y �� son colineales. Si se observa � =
� × �(�)�� = 0 , es un nuevo medible físico vectorial que si se puede generalizar será nulo
para todo cuerpo que se mueva bajo la acción de un campo de fuerzas central. Utilizando el
resultado anterior y la segunda ley de Newton para la dinámica clásica se escribe � × � =
0 . Por tanto si se hace un artificio matemático simple.
� × � = � × ��
+ � × � = � × ��
+ ��
× � = �(� × � )
= 0 �� �� �
� ��
También se toma el producto vectorial � × �� = como un nuevo medible físico
vectorial que será constante en el tiempo, para todo cuerpo que se mueve bajo un campo de
fuerzas centrales. Los vectores � , � son perpendiculares al vector , por propiedad del
producto vectorial. Luego, el plano que contiene a los vectores � , � también será
perpendicular al vector . Por simple razonamiento, si el medible vectorial es un
invariante en el tiempo, entonces el plano que contiene a los vectores � , � , tampoco se
moverá en el espacio tridimensional. Si se sigue el análisis: como el vector velocidad
puntual es colineal al vector tangencial a la trayectoria del movimiento punto a punto,
entonces la trayectoria del cuerpo de masa m bajo el campo de fuerzas centrales
gravitacional que genera el cuerpo de masa M está contenida en un plano. Esta última
observación está de acuerdo con la primera ley empírica de J. Kepler.
En otro orden de análisis, se echa mano a las ecuaciones vectoriales para la segunda ley de
la dinámica Newtoniana en los ejes radiales y angulares de un sistema de coordenadas
polares, entonces se obtendrán las siguientes ecuaciones vectoriales.
En el eje radial:
∑ � � = � �
= � � �
− ���
= �( − 2)
�2 � �
Pasando a la ecuación escalar para este eje radial quedaría una ecuación así.
− 2 + ��
= 0 (�3.4) �2
En el eje angular:
∑ � � = 0 = �� �
� = 0
Al igualmente en este eje angular se desarrolla la última ecuación vectorial de modo
escalar, con lo cual se arriba a la siguiente ecuación.
2 + = 0
Si se resuelve esta ecuación última respecto a � , entonces se llega a una ecuación
integral como la siguiente:
�� 2 ∫ = − ∫
�
�2 = � ; � ∈ ℝ (�3.5)
La ecuación (A3.5) demuestra de modo teórico el segundo postulado empírico enunciado
por Kepler, sobre la velocidad areolar de los planetas en sus orbitas alrededor del Sol, la
cual es un valor constante en el tiempo. Esto no es muy fácil de verificar, pues un
diferencial de área barrida �� se puede expresar como:
�� = �
�
�
2
�2��
= 2
Si se divide la ecuación anterior por un diferencial temporal ��, se obtiene una ecuación
así:
��
��
�2
� =
2
� = = � ; � ∈ ℝ (�3.6)
2
La ecuación (A3.6) demuestra que la velocidad areolar �� de cualquier planeta al orbitar ��
alrededor de cualquier estrella gigantesca como el Sol, es un valor constante en el tiempo.
Hágase un nuevo cambio de variable para seguir estudiando el problema inicial, � = 1
O �
sea a partir de la ecuación (A3.5) es posible obtener la velocidad angular del cuerpo
masudo menor m, dependiendo de la nueva variable �.
= �
�2
= ��2 (�3.7)
Igualmente para obtener los valores modulares de la velocidad radial y la aceleración radial
del cuerpo masudo menor m, se usará el nuevo cambio a la variable �.
�� �� �� = = = �� � �2 = ��2 (−
1 )
��
�� ��
��
= −�
��
��
��
(�3.8)
�2 ��
�� =
�� �
� =
=
��2 = �
[−� ��
] ��2
�� ��
��
��
�2
�
��
��
= −�2�2 ��2
(�3.9)
Si se retoma la ecuación diferencial (A3.4), reemplazando en ella las ecuaciones (A3.6),
(A3.7), (A3.9) y hacemos algunas operaciones algebraicas elementales obtendremos la
ecuación diferencial del movimiento del cuerpo masudo menor m con respecto a la nueva
variable �.
�2�
��2 + � = ��
�2 (�3.10)
La ecuación (A3.10) es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea y tiene
como solución general la suma algebraica de la solución de la ecuación homogénea, más
una solución particular que depende del termino del miembro derecho de la misma.
�(�)ℎ = �1��� + �2�−�� = � ���(� + ∆�) ; ∆� ∈ ℝ
�� �(�)� =
1
�2
��
�(�)� = �
= � ���(� + ∆�) + �2 (�3.11)
Esta ecuación (A3.11) da la solución general de la ecuación diferencial (A3.10) la cual
contiene la función coseno del ángulo de barrido �, más una fase ∆�, pudiera ser obtenido
su valor si se tienen en cuenta las condiciones iniciales del movimiento del cuerpo masudo
menor. En el momento inicial � = 0, el radio del movimiento es mínimo y por ende la
variable � es máxima. O sea cuando � = 0 entonces �� = 0. Si se deriva la ecuación ��
(A3.11) respecto a �, por tanto se cumple: −� ���(� + ∆�) = 0, entonces quedaría que:
� + ∆� = 0. Finalmente como esto se cumple cuando � = 0, se obtiene que la fase de la
ecuación (A3.11) debe ser nula. Ahora la solución general de la ecuación del movimiento
del cuerpo de masa m queda una ecuación con menor complejidad.
��
1 = � ���(�) +
�
��
�2 (�3.12)
Si se trabaja algebraicamente con la ecuación (A3.12) se obtiene una ecuación para el radio
del movimiento del cuerpo m como la siguiente.
�2
� = [ ] ��
1
1 + [��2
]
���(�)
Si hacemos la sustitución � = � �2
�� en la ecuación anterior del radio, nos llevara a una
ecuación como la siguiente.
� = [
�2
] ��
1
1 + � ���
(�
) (�3.13)
Como el nuevo coeficiente � ≥ 0, entonces la ecuación (A3.13) es la ecuación de una
cónica en coordenadas polares, con el polo del sistema coordenado en un foco derecho o
por debajo del punto más cercano de la cónica, donde el coeficiente � es la excentricidad
de
la cónica. El término [ �2
] es el producto de la excentricidad por la distancia del foco a la ��
directriz de la cónica que corresponda. Según los valores que tome la excentricidad � será
el tipo de cónica que describa la trayectoria del cuerpo masudo menor m alrededor del
cuerpo masudo mayor M.
Caso 1: Si 0 ≤ � < 1 entonces ∀� ∈ ℝ el denominador de la ecuación (A3.13) será
diferente de cero, pues la función coseno del ángulo está acotada −1 ≤ ���(�) ≤ 1 por
tanto el radio de la cónica será finito. Luego la ecuación (A3.13) de la cónica será una
elipse, resultado este que demuestra que dicha ecuación teórica está totalmente de acuerdo
con el primer postulado empírico enunciado por J. Kepler. Movimiento entre cuerpos
masudos donde generalmente � < �, ejemplos de este caso es el movimiento entre
grandes planetas. En ocasiones cuerpos con relaciones masudas � ≪≪ � también siguen
estas orbitas.
Un valor particular para la excentricidad dentro de este caso, es cuando � = 0, entonces el
radio es constante en la ecuación (A3.13). Representa el movimiento de cuerpos masudos
cuya relación de masa es � ≪≪ �. Por ejemplo el movimiento de los satélites y naves
espaciales alrededor de la tierra.
Caso 2: Si � = 1 entonces para los valores de � = ±�, donde ���(�) = −1, el
denominador de la ecuación teórica (A3.13) se anula y el radio vector se vuelve infinito. O
sea la ecuación (A3.13) describe un movimiento con trayectorias parabólicas. Este caso
describe el movimiento de un proyectil que abandona el campo gravitacional de un cuerpo
masudo grande como un planeta, o sea relaciones masudas � ≪≪ �. Ejemplo más
particular de este caso, es la trayectoria de las naves espaciales lanzadas desde tierra que
salen al espacio sideral.
Caso 3: Si � > 1 entonces para valores de � =
������(−1
�
donde ���(�) = −1
, el �
denominador de la ecuación teórica (A3.13) se anula y el radio vector se vuelve infinito.
Luego la ecuación (A3.13) describe un movimiento con trayectorias hiperbólicas.
Representa el movimiento de cuerpos masudos cuya relación de masa es � ≪≪ � Este
caso describe el movimiento de un proyectil que se adentra en el campo gravitacional de un
cuerpo masudo grande como un planeta, ejemplo de ello es la trayectoria que describen los
cometas al entrar en el campo gravitacional del sol.
Si se deriva respecto al tiempo la ecuación (A3.13) entonces se obtiene la ecuación de
velocidades radiales del cuerpo masudo, si además se sustituye el valor de la derivada
temporal angular de la ecuación (A3.7), se llega a la expresión que aparece a continuación.
= ��
�
� ���(�) (�3.14)
También se puede obtener la ecuación de la derivada temporal angular respecto al ángulo,
al sustituir la ecuación (A3.13) en la ecuación (A3.7), arribando a una expresión
matemática como la siguiente.
= �2�2
2
�3 (1 + � ���(�))
(�3.15)
Con la obtención de la ecuación (A3.14) y haciendo uso de la ecuación de velocidades para
coordenadas polares (A3.11), más la ecuación (A3.15); entonces se está en condiciones
matemáticas para analizar la ecuación de velocidades del movimiento del cuerpo masudo
menor de modo vectorial y escalar.
� ( � ) = ��
[� ���(�) � + (1 + � ���(�)) �]
� � �
�� �(�) = √1 + �2 + 2� ���(�) (�3.16)
�
Si se analiza la ecuación escalar de la aceleración a partir de derivar temporalmente la
ecuación (A3.16) queda:
�3�3 �(1 + � ���(�))2���(�)
�(�) = − �4
(�3.17) √1 + �2 + 2� ���(�)
)
Una observación de la ecuación (A3.17), consiste en que dado los valores � = 0 y � = � la
aceleración del cuerpo de masa menor es cero, o sea en los momentos de radio mínimo y
radio máximo del movimiento de este cuerpo. Otros valores angulares para los cuales el
cuerpo menor se encontrara en una posición de equilibrio dinámico real son: � = −1
������� (
�
) para valores de la excentricidad 0 ≤ � ≤ 1.
Si ahora se vuelve a revisar la ecuación (A3.6), la cual expresa que la velocidad de barrido
del área es constante y se analiza el caso del movimiento elíptico del cuerpo masudo menor
alrededor del cuerpo masudo mayor.
�� = �
�� 2
Si se aplica el operador integral a ambos miembros de esta ecuación diferencial, se obtiene
una relación entre el periodo del movimiento y el área de la elipse que describe la
trayectoria cerrada.
�������
∫ �� = 0
� Τ
∫ �� 2 0
�Τ ������� = ��� =
2
Los valores �, � son los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente. En toda
elipse se cumple � = �√1 − �2, por tanto se sustituye este resultado en la ecuación
anterior.
��2√1 − �2 = �Τ
2
(�3.18)
El valor del semieje mayor � se puede relacionar con el radical √1 − �2 que aparece
en la ecuación (A3.18), usando la idea de que el semieje mayor es el promedio de los radios
máximos y mínimos de la trayectoria elíptica del cuerpo menor.
� =
��á� + ��í�
= 2
�2 1 [
1 + ] =
�2 1
2
2��
1 − �2 =
1 + �
�2
1 − �
(�3.19)
�� 1 − �
���
Luego si se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación (A3.18) y se sustituye la
ecuación (A3.19) en ella, se llega a una relación entre el periodo y el semieje mayor como
la siguiente.
Τ2 4�2
�3 = ��
(�3.20)
Nótese que en la ecuación (A3.20) su miembro derecho es una constante real, con lo cual se
ha demostrado de modo teórico la tercera ley de J. Kepler, la cual fue obtenida de modo
empírico a través de cálculos geométricos con los datos astronómicos medidos en su época.
�
�
�
�
�
Anexo 4. Fundamentos de la Teoría General de la Relatividad.
Einstein quien había retomado sus trabajos relativistas desde 1907, pues anhelaba
generalizar la TER para sistemas inerciales de referencia a los sistemas NO inerciales de
referencia, para 1912 sacaba a relucir otros problemas, que pusieron para siempre al
descubierto las limitaciones de la mecánica clásica de Newton, estos fueron los inherentes
resultados de la teoría sobre la relatividad general, T.R.G, que finalmente saco a la luz en
1915. Esta teoría tiene basamentos matemáticos más fuertes, sobre el álgebra tensorial
Einsteniana y el análisis de formas geométricas diferenciables en espacios del ya
mencionado, ex profesor de Einstein en la Universidad Politécnica de Zúrich, Herman
Minskowski, que define una medida d sobre una variedad cuatri dimensional para el
espacio-tiempo. En ella la aceleración de la gravedad en cada punto del universo es un
tensor que según su valor determina el ritmo del tiempo, o sea t(g).
Esta teoría habla de un espacio-tiempo que se curva ante los cuerpos masudos, por las
siguientes ecuaciones tensoriales que relacionan el tensor curvatura del espacio-tiempo de
Einstein ��, su constante cosmológica 8��, donde � es la constante de gravitación
� �4
universal de Henry Cavendish, con su cuatri tensor energía-momento ��. También esta
ecuación es igual al tensor volumétrico de Ricci �� menos el duplo de la norma del tensor
de Ricci � = ‖��‖ , multiplicado por el tensor de medida del tetra dimensional espacio-
tiempo ��. Véase la ecuación tensorial (A4.1)
�� = �� − 2 �� � =
8�� �� (�4.1) (Alvarez, 2017)
� � �
�4 �
Estos tensores como están en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones no son más que
matrices cuadradas de 4 X 4 como el cuatri tensor energía-momento.
�� = (
�11 ⋯ �14
⋮ ⋱ ⋮ ) �41 ⋯ �44
De estas ecuaciones de campo Einstenianas, la teoría predice un tiempo a rítmico, que
además de depender de la velocidad del sistema de referencia, también depende del valor
del potencial gravitatorio del lugar del universo donde se esté. Luego, dos medibles
relentizan el tiempo en el universo, la velocidad a que se viaje y el potencial gravitatorio
del lugar del universo en que se esté.
Si nuevamente se ubican dos observadores, uno en tierra y otro que viaja sobre un rayo de
luz que cae libremente en el campo gravitatorio del planeta. Según Einstein ambos
observadores están en sistemas de referencia inerciales, por tantos ambos pueden aplicar la
TER, además el observador de tierra, según los experimentos reales, mide un haz de luz
corrido al azul, o sea un rayo más energético, que ha ido absorbiendo la energía potencial
gravitatoria mientras cae, por lo que su frecuencia es mayor que la que tenía al salir de la
fuente que lo emitió.
Según la TER el observador de tierra el tramo de rayo se contrae en su longitud total, por
tanto su longitud de onda es menor y su frecuencia será mayor. Para el observador que
viaja con el rayo la energía del fotón es siempre constante según la TER, pues está en el
sistema de tiempo propio y según los experimentos esto fue corroborado también. Según la
TGR, el modo en que el haz luminoso absorbe energía del potencial gravitacional ∅ (�),
donde r es la distancia al centro de gravedad del cuerpo masudo, esta expresada de la forma
matemática siguiente.
�� = �� �−∅ (�) (A4.2) (Halliday, 2001)
Como la energía del fotón es �� = ℎ ��, o sea la constante de Planck por la frecuencia de
la onda de luz emitida, entonces la ecuación A4.2 se convierte a la ecuación de frecuencias
siguiente:
�� = �� �−∅ (�) (�4.3)
Como se ha dicho anteriormente una luz corrida en el espectro de colores al azul es de
frecuencia más alta que otra onda luminosa que este en el espectro a su izquierda menos
energética, por tanto �� > �� . Ahora como se conoce el tramo ideal, del rayo de luz que
se acerca debe tener n ciclos de longitudes de onda electromagnética, que serán invariantes
para cada observador. La frecuencia de una onda monocromática de luz cualquiera se
define como:
� =
� ������ �� ���� =
�
������ ∆�
Por tanto la ecuación de frecuencia queda así:
�
∆��
� =
∆��
�−∅ (�)
∆�� = ∆�� �∅ (�) (�4.4)
El potencial gravitatorio ∅ (�) por su naturaleza es siempre negativo, pues se define como
cero al tender al infinito y menos infinito en el punto de origen. Luego, el centro de masa
del cuerpo masudo que deforma el espacio-tiempo. lim ∅ (�) = −� y lim ∅ (�) = 0. Por �→0 �→∞
tanto estos resultado teórico del potencial gravitatorio influyen sobre la ecuación (A4.4);
pues para los tiempos de cada observador, deja ver como el tiempo se relentiza al
intensificarse el valor modular del potencial gravitatorio. Experimentalmente también se
pudo corroborar, pues al medir las diferencias de frecuencias y ver la de tierra mayor a la
del rayo que se acerca pero a cierta altura, por la ecuación de frecuencia (A4.3) el tiempo
del rayo que observa el laboratorio de tierra será menor al del laboratorio en la altura donde
el potenciales menor en valor absoluto.
Este resultado tubo implicaciones mayores muy asombrosas, pues si se calcula el límite de
la ecuación de los tiempos (A4.4) cuando el potencial gravitatorio tiende a menos infinitos,
el tiempo tiende a cero. Obsérvese la operación con el límite:
lim ∅ (�)→−∞
∆�� = lim ∅ (�)→−∞
∆�� �∅ (�) = 0
Estos lugares del espacio donde el potencial gravitatorio presenta singularidades se
denominan agujeros negros, en los cuales el tiempo se detiene y la materia que se acerca a
ellos no puede escapar, este resultado teórico fue corroborados años después por las
observaciones astronómicas.
La masa curva el espacio-tiempo universal y por ende la masa de cuerpos gigantes como
estrellas, puede curvar la trayectoria de un rayo de luz que pasa por el espacio-tiempo
cercana a ellas, resultado que fue corroborado muy rápido en fecha de 29 de Mayo del 1919
por los laboratorios de astronomía ingleses, trabajo de Físico experimental Arthur Ediggton
al ver en un eclipse solar como la luz se curvaba al pasar su camino por las cercanías del
sol.
Einstein había dejado de ver a la gravedad como una fuerza real del universo, su nueva idea
redundaba en ver esta como una fuerza ficticia creada por la curvatura del entretejido y
flexible espacio-tiempo, en el cual al poner un cuerpo con masa se curvaba, creando ondas
gravitacionales que no se desplazaban instantáneamente como suponía la mecánica clásica
Newtoniana, sino a la velocidad de la luz por un ente como el fotón de Planck para la onda
electromagnética, que ahora sería denominado el gravitón. Esta idea alocada para su tiempo
cambiaba hasta el modo de definir los sistemas de referencia inercial, pues todo cuerpo en
el universo bajo la acción de un campo gravitacional ya no sería un SRNI, pues como ahora
no actuaban fuerzas sobre el nuevo sistema de referencia era un SRI, algo impensable en el
mundo de la física clásica.
Todas estas predicciones de la teoría que fueron corroboradas poco a poco durante el siglo
XX, incluso después de la muerte de A. Einstein en 1955, eran algo inimaginable para los
físicos que construyeron la mecánica clásica de los siglos XV, XVI y XVII.
BIOGRAFÍA
Hirain Alvarez Galvez, nació el 6 de Marzo de 1973 en el hospital Materno-infantil de la
Ciudad de Gu ines, en la provincia Habana, Cuba. Desde pequeño vivió en la finca privada
de su familia, situada en las cercanías del pueblo de Catalina de Gu ines; junto a sus padres,
un tío y su abuelo materno. A los 5 años comenzó en la escuela primaria *José María
Heredia* de su pueblo natal. Cuando cursaba el quinto grado de la enseñanza primaria, en
1985, ganó el concurso nacional de matemáticas básicas. Entre 1986 y 1988 curso estudio
en la escuela de enseñanza media básica *Eumelio Torres Jacomino* de su pueblo natal;
durante este periodo asistió a tres finales del concurso nacional de matemáticas. En 1988
fue seleccionado para ingresar en el Instituto Preuniversitario Vocacional Especializado en
las Ciencias Exactas (IPVECE) *Mártires de Humboldt 7* situado en el municipio de San
Antonio de los Baños. Desde ese mismo año 1988 paso a ser miembro de la preselección
Cubana de Física para alumnos de bachilleres. Entre 1989 y 1990 represento a Cuba en las
dos olimpiadas internacionales desarrolladas en las ciudades de Helsinki y la Habana
respectivamente.
En 1990 tras estos resultados, se decidió otorgarle estudios de Licenciatura en Física
Nuclear en el Instituto Igor. V. Kurchátov de la Energía Atómica, adjunto a la Universidad
de Lomonosov en Moscú, URSS. Debido a la desaparición de la URSS como nación, los
estudiantes cubanos regresaron a la isla en 1993; por esa razón termino sus estudios de
Física Nuclear en el Instituto Superior de Ciencias y Tecnologías Nucleares de la Habana
(ISCTN) en 1996. En ese mismo año, comenzó a impartir clases en la cátedra de Física y
Mecanización Agrícola de la Universidad Agraria de la Habana (ISCAH). De modo
paralelo llevaba sus estudios de Magister en Física Aplicada en la Facultad de Física de la
Universidad de la Habana. En Febrero del 2004 después de ocho años de dura investigación
diaria, finalmente presento su trabajo *Modelo físico-matemático para el riego eficiente en
cultivos de tubérculos y gramíneas sobre suelos ferralíticos*, donde aparecía un novedoso
análisis de la curva *Tensión radicular-Humedad del suelo* a partir del aporte directo del
manto freático en la humedad de las capas inferiores del suelo cultivable. Días después de
esta exposición fue llevado por la G-2 cubana a prisión, por sus actividades en la lucha
pacífica por una Cuba libre y democrática. Por estas razones su título de Magíster en Física
aplicada esta invalidado en Cuba.
Desde el año 2005 hasta el 2012 se dedicó a llevar las riendas de la finca privada de sus
padres. El 20 de Julio del 2012 fue encarcelado por última vez en Cuba, en ese entonces era
miembro de la junta nacional del Partido Pro Derechos Humanos de Cuba. Fue expulsado
de la isla como cambio por un periodo de larga encarcelación que le esperaba. El 29 de
Diciembre de ese año arribo a la República del Ecuador en busca de la libertad. Desde
Septiembre del 2014 es profesor de la Escuela de Física-Matemáticas de la UDLA.