universidad central del ecuador · 2019-01-05 · agradecimiento agradezco a dios por todas las...
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA,CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
El Lema de Poincaré y las Ecuaciones de Maxwell
Trabajo de Titulación modalidad Proyecto de Investigación previo a laobtención del Título de Ingeniero Matemático
AUTOR: Tatayo Arellano Ricardo Daniel
TUTOR: Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego, Ph.D.
Quito, 2018
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Ricardo Daniel Tatayo Arellano en calidad de autor y titular de los dere-
chos morales y patrimoniales del trabajo de titulación EL LEMA DE POIN-
CARÉ Y LAS ECUACIONES DE MAXWELL, modalidad Proyecto de In-
vestigación, de conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGÁNICO DE
LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E
INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una
licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la
obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los dere-
chos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.
Asimismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la di-
gitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual,
de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación
Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en
su forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo
la responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta
causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Ricardo Daniel Tatayo Arellano
C.C. 1003496948
Telf: 0979018750
Dirección electrónica: [email protected]
ii
APROBACIÓN DEL TUTOR
Yo, Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego Ph.D., en calidad de tutor del trabajo
de investigación titulado EL LEMA DE POINCARÉ Y LAS ECUACIO-
NES DE MAXWELL, elaborado por RICARDO DANIEL TATAYO
ARELLANO, estudiante de la Carrera de Ingeniería Matemática, Facultad
de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática de la Universidad Central del
Ecuador, considero que el mismo reúne los requisitos y méritos necesarios en el
campo metodológico y en el campo epistemológico, para ser sometido a la eva-
luación por parte del jurado examinador que se designe, por lo que lo APRUE-
BO, a fin de que el trabajo investigativo sea habilitado para continuar con el
proceso de titulación determinado por la Universidad Central del Ecuador.
Quito, 17 de octubre de 2018.
Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego, Ph.D.
DOCENTE-TUTOR
CC: 1709065229
iii
DEDICATORIA
Dedicado a mis padres
Mariana Arellano y Segundo Tatayo
a mi esposa Elizabeth Túquerrez.
iv
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios por todas las bendiciones que ha derramado en mi vida y
la de mi familia, por darme la fortaleza y la sabiduría que me han permitido
culminar una etapa más de mi vida.
Quiero dar las gracias a mis padres por su cariño y sus consejos que me han
ayudado a crecer como persona, por apoyarme en cada decisión. A mis herma-
nos por enseñarme que entre juegos y risas se aprende.
Deseo expresar mi gratitud a mis abuelitos Elena Quiroz y Jorge Arellano quie-
nes fueron parte fundamental en mi formación, por mostrarme el camino hacia
la superación.
De manera especial quiero agradecer a mi querida esposa por su amor incondi-
cional, por estar presente no solo en esta etapa tan importante de mi vida, si
no en todo momento, por ser mi compañera de vida y motivarme a luchar por
nuestros sueños.
Primordialmente, quiero manifestar mi agradecimiento al Dr. Borys Álvarez Sa-
maniego, Ph.D., por haber planteado el problema de investigación del presente
documento, por brindarme su apoyo y tiempo al dirigir este proyecto, por ser
un ejemplo a seguir tanto en el campo científico como en el humano. Finalmen-
te, al Dr. Petronio Álvarez Samaniego, Ph.D., por compartir su conocimiento
y pasión por esta ciencia fundamental.
v
CONTENIDO
DERECHOS DE AUTOR ii
APROBACIÓN DEL TUTOR iii
DEDICATORIA iv
AGRADECIMIENTO v
CONTENIDO vi
RESUMEN viii
ABSTRACT ix
INTRODUCCIÓN 1
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 2
1. TOPOLOGÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 5
1.1. Fundamentos de Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Espacios Conexos y Caminos en el Espacio Euclideano . 21
1.4. Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. FORMAS DIFERENCIALES 55
2.1. Álgebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Cambio de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3. El Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4. Formas Diferenciales en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
vi
3. DEMOSTRACIÓN DEL LEMA DE POINCARÉ 84
4. ECUACIONES DE MAXWELL 97
4.1. Aplicación del Lema de Poincaré en Campos Vectoriales 97
4.2. El Lema de Poincaré y las Ecuaciones de Maxwell en
dominios abiertos contractibles . . . . . . . . . . . . . . . . 100
BIBLIOGRAFÍA 104
vii
TÍTULO: El Lema de Poincaré y las Ecuaciones de Maxwell
Autor: Ricardo Daniel Tatayo Arellano
Tutor: Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego, Ph.D.
RESUMEN
Se muestran algunas relaciones fundamentales entre diversos tipos de espacios
topológicos: espacio contractible, simplemente conexo, conexo por caminos y
conexo. Además, se presentan diversos resultados que permiten desarrollar la
noción de homotopía y se exponen las propiedades esenciales de clases de ho-
motopía. Asimismo, se analizan varios resultados esenciales para el estudio de
formas diferenciales. Finalmente, se exhibe una demostración detallada del Le-
ma de Poincaré y se analiza su relación con las ecuaciones electromagnéticas
de Maxwell.
PALABRAS CLAVE: ESPACIO CONTRACTIBLE / ESPACIO SIMPLE-
MENTE CONEXO / ESPACIO CONEXO POR CAMINOS / ESPACIO CO-
NEXO / HOMOTOPÍA / CLASES DE HOMOTOPÍA / FORMAS DIFE-
RENCIALES / PRODUCTO EXTERIOR / DIFERENCIAL EXTERIOR /
PULLBACK / COHOMOLOGÍA / COHOMOLOGÍA de DE RHAM / LE-
MA DE POINCARÉ / ECUACIONES ELECTROMAGNÉTICAS.
viii
TITLE: Poincaré’s Lemma and Maxwell’s Equations
Author: Ricardo Daniel Tatayo Arellano
Advisor: Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego, Ph.D.
ABSTRACT
Some fundamental relationships between different types of topological spaces
are shown: contractible space, simply connected, path connected and connec-
ted. In addition, several results are presented that allow to develop the notion
of homotopy and the essential properties of homotopy classes are exposed.
Moreover, some fundamental results related to differential forms are analyzed.
Finally, a detailed demonstration of the Poincaré Lemma is exhibited and its
relationship with Maxwell’s electromagnetic equations is analyzed.
KEYWORDS: CONTRACTIBLE SPACE / SIMPLY CONNECTED SPA-
CE / PATH CONNECTED SPACE / CONNECTED SPACE / HOMOTOPY
/ HOMOTOPY CLASSES / DIFFERENTIAL FORMS / WEDGE PRO-
DUCT / EXTERIOR DIFFERENTIAL / PULLBACK / COHOMOLOGY
/ DE RHAM COHOMOLOGY / POINCARÉ LEMMA / ELECTROMAG-
NETIC EQUATIONS.
ix
INTRODUCCIÓN
Henri Poincaré conjeturó uno de los problemas abiertos más importantes de la
Topología, ahora conocido, como la conjetura de Poincaré, el cual fue resuel-
to por Grigori Perelman en los años 2002 y 2003, aproximadamente 100 años
después. Cabe destacar que Grigori Perelman ganó la Medalla Fields en el año
2006 y el Millenium Prize en el año 2010 por dar solución a este problema.
En este documento, se muestran una serie de resultados que permiten estable-
cer la relación entre una forma cerrada y una exacta. Este hecho es uno de los
más importantes en la Topología Algebraica y se conoce como el Lema de Poin-
caré. Además, se analiza la relación entre el Lema de Poincaré y las ecuaciones
de Maxwell, cuya importancia se manifiesta en sus múltiples aplicaciones en
fenómenos físicos, biológicos, químicos.
Con la finalidad de resolver los problemas planteados anteriormente, el presente
documento consta de cuatro capítulos, los cuales se desarrollan de la siguiente
manera.
En el Capítulo 1, se muestran algunas relaciones fundamentales entre diversos
tipos de espacios topológicos: espacio contractible, simplemente conexo, conexo
por caminos y conexo. Además, se presentan diversos resultados que permiten
desarrollar la noción de homotopía y se exponen las propiedades esenciales de
clases de homotopía. También, se establece la definición de grupo fundamental.
En el Capítulo 2, se estudia la estructura algebraica de las funciones multi-
lineales alternadas, con la finalidad de establecer las operaciones pullback y
derivada exterior de una forma diferencial.
En el Capítulo 3, se presenta el concepto de cadenas y co-cadenas. Se establece
la definición de cohomología de De Rham y se muestra en detalle la demostra-
ción del Lema de Poincaré.
Finalmente, en el Capítulo 4, se expone la relación entre el Lema de Poincaré
y las ecuaciones de Maxwell.
1
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Sea ω una k-forma diferencial en Rn, se conoce que d(dω) = 0. Este resultado se
obtiene estudiando la conmutatividad de las derivadas parciales. Lo que indica
que si una forma es exacta (α = dω), entonces es cerrada (dα = 0). Ahora,
lo que se desea estudiar es el recíproco de la afirmación anterior, es decir si
dω = 0, entonces existe una k-1-forma tal que ω = dα.
Para considerar esta interrogante, se demostrará el Lema de Poincaré, el cual
establece condiciones suficientes para que una forma diferencial cerrada sea
exacta. Más precisamente, se probará que si U es un subconjunto abierto, con-
tráctil en Rn, y si k es un entero positivo, entonces para ω ∈ Ωk(U) tal que
dω = 0, existe α ∈ Ωk−1(U) tal que ω = dα. En otras palabras, toda k-forma
diferencial cerrada en un dominio contráctil es exacta.
Por otra parte, las ecuaciones de Maxwell, en el Sistema Internacional para el
vacío son:
∇ · E = ρε0
(Ley de Gauss),
∇ ·B = 0 (Ley de Gauss para el campo magnético),
∇× E = −∂B∂t
(Ley de Faraday),
∇×B = µ0J + µ0ε0∂E∂t
= µ0J + 1c2∂E∂t
(Ley de Ampère - Maxwell),
donde E es el campo eléctrico, B es el campo magnético, ρ es la densidad de
carga, J es la densidad de corriente, ε0 es la constante dieléctrica del vacío, µ0
es la permeabilidad magnética del vacío y c es la velocidad de la luz en el vacío.
Se probará, usando el Lema de Poincaré, que en una región del espacio que
puede ser deformada en un punto, se puede obtener ecuaciones equivalentes a
las ecuaciones de Maxwell.
2
JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
En el año 1904 Henri Poincaré conjeturó uno de los problemas abiertos más
importantes de la Topología, ahora conocido, como la conjetura de Poincaré.
Este resultado fue probado por partes en el transcurso de los años. Para di-
mensión dos, fue demostrado en el siglo XIX. Para dimensión mayor o igual
que cinco, se tuvo que esperar hasta el año de 1960, cuando Stephen Smale lo
demostró para variedades diferenciales, poco después Erik Christopher Zeeman
y John R. Stallings lo demostraron para variedades combinatorias. Los casos
para la dimensión tres y cuatro aún no habían sido resueltos hasta que en el
año 1986, en lo que se consideró una hazaña matemática, el estadounidense
Michael Hartley Freedman consiguió demostrar la conjetura para dimensión
cuatro. Quedando inconclusa la demostración para la dimensión tres, este caso
fue nombrado uno de los problemas del milenio por el Clay Mathematics Insti-
tute (CMI). Grigori Perelman resolvió la hipótesis de Poincaré en los años 2002
y 2003. Por resolver este problema, Perelman recibió en el año 2006 la Medalla
Fields, considerada junto con el Premio Abel los dos reconocimientos científicos
más trascendentes en el área de las Matemáticas, reconocidos por la comunidad
científica internacional como equivalentes al Premio Nobel. Además, en el año
2010, Perelman ganó el Millenium Prize (Premio del Milenio) otorgado por el
CMI, por sus profundos aportes a la solución del problema antes mencionado.
Continuando con el estudio de la Topología Algebraica, Henri Poincaré enunció
uno de los resultados más importantes de esta rama de las Matemáticas, el cual
establece la relación entre una forma cerrada y una exacta. Este resultado es
hoy conocido como el Lema de Poincaré, que tiene un sinnúmero de aplica-
ciones en especial en el estudio de formas diferenciales, además permitiendo el
estudio de algunos fenómenos en la Física. Por otra parte, el físico James Clerk
Maxwell en su interés por estudiar detenidamente los fenómenos eléctricos y
magnéticos planteados por Newton, demostró que campo magnético y el campo
eléctrico viajan a través del espacio en forma de ondas que se desplazan a la
velocidad de la luz, siendo este uno de sus grandes aportes, comprobando que la
3
luz es una onda donde los campos eléctrico y magnético oscilan mutuamente.
Así posteriormente y, a partir de las leyes de Gauss, Faraday y una modifi-
cación estándar de la ley de Ampere se puede explicar en forma clara que la
electricidad y el magnetismo pueden ser estudiados como un mismo fenómeno
físico, el “Electromagnetismo”.
Este trabajo analizará la relación entre el Lema de Poincaré y las ecuaciones de
Maxwell, cuya importancia se manifiesta en sus múltiples aplicaciones en fenó-
menos físicos, biológicos, químicos, además de su uso y relevancia en diversas
ramas de la Matemática teórica y aplicada.
OBJETIVOS
Objetivo General
Utilizar el Lema de Poincaré y su demostración en el análisis de algunas ecua-
ciones de la Física-Matemática, como es el caso de las ecuaciones de Maxwell.
Objetivos Específicos
a) Demostrar que toda k-forma diferencial cerrada en un dominio contráctil es
exacta.
b) Probar que un campo magnético puede ser descrito, en ciertos casos, como
el rotacional de un campo vectorial. Es decir, si ∇ · B = 0 en un dominio
contráctil, entonces existe un campo vectorial A tal que B = ∇× A.
4
CAPÍTULO 1
TOPOLOGÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO
1.1 Fundamentos de Topología
A continuación y hasta el final de esta sección, se presenta una serie de re-
sultados sobre espacios topológicos y sus respectivas demostraciones en forma
detallada, para los cuales se han tomado como referencias fundamentales [10],
[11] y [13].
DEFINICIÓN 1.1.1. Sea X un conjunto. Una clase T de subconjuntos de
X es una topología sobre X si y solo si T verifica las siguientes propiedades:
i) Los conjuntos X y φ pertenecen a T .
ii) Para toda Ai ; i ∈ I colección de elementos de T ,⋃i∈I
Ai ∈ T .
iii) Para toda Bj ; j ∈ J tal que J es finito, colección finita de elementos
de T ,⋂j∈J
Bj ∈ T .
El par (X, T ) se denomina espacio topológico y los elementos que pertenecen
a T se llaman subconjuntos abiertos de X. Por otra parte, un subconjunto de
X se dice cerrado en X si su complemento respecto a X es abierto.
DEFINICIÓN 1.1.2. El conjunto
Tu := U ⊂ R : para todo x ∈ U, existen a, b ∈ R
con a < b tales que x ∈ (a, b) ⊂ U
es una topología sobre R, la cual se conoce como la topología usual de R.
DEFINICIÓN 1.1.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. Una clase B de sub-
conjuntos abiertos de X es una base de la topología T sobre X si y solamente
5
si todo conjunto G ∈ T puede ser expresado como la unión de elementos de B.
Es decir, para todo G ∈ T , existe una colección Bi ; i ∈ I de elementos de
B tal que
G =⋃i∈I
Bi.
DEFINICIÓN 1.1.4. Sea (X, T ) un espacio topológico. Una clase S de sub-
conjuntos abiertos de X es una subbase de la topología T sobre X si y sola-
mente si las intersecciones finitas de elementos de S determinan una base de
T .
TEOREMA 1.1.1. Sea X un conjunto no vacío. Sea B una colección de
subconjuntos de X. Se tiene que la colección B es una base de una topología T
sobre X si y solamente si se verifican las siguientes dos condiciones referentes
a B:
i) Existe una colección de elementos de B, Bi ; i ∈ I, tal que X =⋃i∈I
Bi.
ii) Para todo B1, B2 ∈ B, B1 ∩ B2 se puede expresar como la unión de
elementos de B.
Demostración. Sea X un conjunto no vacío.
⇒) Se supone primero que B es una base de una topología T sobre X.
i) De la Definición 1.1.1, se sigue que X es un conjunto abierto, es
decir X ∈ T . Usando el hecho que B es una base de T , se ve que
existe una colección Bi ; i ∈ I de elementos de B tal que
X =⋃i∈I
Bi.
ii) Sean B1, B2 ∈ B ⊂ T . De la Definición 1.1.3, se sigue que B1∩B2 es
un subconjunto abierto de X. Usando el hecho que B es una base, se
sigue que B1∩B2 puede ser expresado como una unión de elementos
de B.
⇐) Se supone ahora que B es una colección de subconjuntos de X que verifica
6
las condiciones i) y ii) del enunciado de este teorema. Se va a demostrar,
que B es una base de una topología sobre X. Sea T la clase de todos los
subconjuntos de X que pueden ser expresados como unión de elementos
de B.
a) Usando el hecho que B satisface i), se sigue que X ∈ T . Además,
φ puede ser expresado como la unión de la subclase vacía de B. Es
decir,
φ =⋃i∈φ
Bi.
Por lo tanto, φ ∈ T .
b) Sea Ai ; i ∈ I una colección de elementos de T . De la definición de
T , se sigue que para todo i ∈ I, existe una colección Bi,j ; j ∈ J
de elementos de B tal que
Ai =⋃j∈J
Bi,j.
Luego,
⋃i∈I
Ai =⋃i∈I
⋃j∈J
Bi,j
=⋃i∈Ij∈J
Bi,j,
donde Bi,j ∈ B, para todo i ∈ I y para todo j ∈ J . Por lo tanto,⋃i∈I
Ai ∈ T .
c) Sean A,B ∈ T . De la definición de T , se sigue que existen colecciones
Ai ; i ∈ I, Bj ; j ∈ J de elementos de B tales que
A =⋃i∈I
Ai y B =⋃j∈J
Bj. (1.1)
Luego,
7
A⋂
B =
(⋃i∈I
Ai
)⋂( ⋃j∈J
Bj
)
=⋃i∈Ij∈J
(Ai⋂
Bj
).
Usando el hecho que B satisface la condición ii), se sigue que para
todo i ∈ I y para todo j ∈ J , Ai ∩ Bj puede ser expresado como la
unión de elementos de B. De donde, A∩B es una unión de elementos
de B. Así, A ∩B ∈ T .
De a), b), c) y de la Definición 1.1.1, se sigue que T es una topología
sobre X. En consecuencia, (X, T ) es un espacio topológico. Finalmente,
de la Definición 1.1.3, se sigue que B es una base de T sobre X.
DEFINICIÓN 1.1.5. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos. Se deno-
mina topología producto sobre X × Y a la topología que tiene como base la
colección
BX×Y := U × V : U ∈ T1 y V ∈ T2.
LEMA 1.1.1. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos. La colección BX×Y ,
dada en la Definición 1.1.5, es una base de una topología sobre X × Y .
Demostración. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos. Ahora, se considera
la colección de subconjuntos de X × Y dada por
BX×Y := U × V : U ∈ T1 y V ∈ T2.
i) Usando el hecho que (X, T1) y (Y, T2) son espacios topológicos, se sigue
que X ∈ T1 y Y ∈ T2. Luego, X × Y ∈ BX×Y .
ii) Sean A := U × V ∈ BX×Y y B := G × H ∈ BX×Y , donde U,G ∈ T1 y
V,H ∈ T2. Se ve que,
8
A ∩B = (U × V ) ∩ (G×H)
= (U ∩G)× (V ∩H) ∈ BX×Y ,
donde se ha usado el hecho que U ∩G ∈ T1 y V ∩H ∈ T2.
De i), ii) y del Teorema 1.1.1, se concluye que B es una base de una topología
sobre X × Y .
Hasta el final de esta sección, se presentan una serie de definiciones topológicas
en Rk, las cuales serán de utilidad en el segundo capítulo.
DEFINICIÓN 1.1.6. Sea (X,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde K = R o K = C. Una norma sobre X es una función ‖ · ‖ : X −→
[0,+∞) que verifica las siguientes propiedades:
i) Para todo x ∈ X, ‖x‖ = 0 ∈ R si y solo si x = 0 ∈ X.
ii) Para todo λ ∈ R y para todo x ∈ X, ‖λ · x‖ = |λ| · ‖x‖.
iii) Para todo x, y ∈ X, ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖. Esta propiedad se conoce como
desigualdad triangular de la norma.
El par (X, ‖ · ‖) se denomina espacio normado.
DEFINICIÓN 1.1.7. Sean k ∈ Z+ y (Rk,+, ·,R) el espacio vectorial usual
sobre el cuerpo R, donde Rk es el conjunto formado por las k-uplas (x1, ..., xk)
tales que para todo i ∈ 1, ..., k, se tiene que xi ∈ R. La función
‖ · ‖2 : Rk −→ [0,+∞)
x 7−→ ‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i
es una norma sobre Rk la cual se conoce como la norma Euclidiana . Así,
(Rk, ‖ · ‖2) es un espacio normado.
9
DEFINICIÓN 1.1.8. Sea X un conjunto. Se dice que una función d : X ×
X −→ R es una métrica sobre X si y solo si se satisfacen las siguientes
propiedades:
i) Para todo a, b ∈ X, d(a, b) ≥ 0.
ii) Para todo a, b ∈ X, d(a, b) = 0 si y solo si a = b.
iii) Para todo a, b ∈ X, d(a, b) = d(b, a).
iv) Para todo a, b, c ∈ X, d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).
Las propiedades iii) y iv), se conocen como simetría y desigualdad trian-
gular, respectivamente. El par (X, d) se denomina espacio métrico.
DEFINICIÓN 1.1.9. Sea (X, d) un espacio métrico con X 6= φ. Sean x ∈ X
y ε > 0. Se denomina bola abierta de centro x y radio ε al conjunto
B(x, ε) := y ∈ X : d(x, y) < ε.
Además, sea A ⊂ X, se dice que A es un subconjunto abierto de X si y solo
si para todo a ∈ A, existe δ > 0 tal que
B(a, δ) ⊂ A.
El siguiente lema da sentido a la denominación de subconjunto abierto usada
en la definición anterior.
LEMA 1.1.2. Sea (X, d) un espacio métrico. La colección
Td := G ⊂ X : G es un subconjunto abierto de X (1.2)
forma una topología sobre X.
Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico. Si X = φ, de la Definición 1.1.1,
se sigue que Td = φ es una topología sobre X. Se supone ahora que X 6= φ.
10
i) Sea x ∈ X. Se verifica que
B(x, 1) ⊂ X.
De la Definición 1.1.9, se concluye que X ∈ Td. Por otra parte, el conjunto
φ satisface vacíamente la definición de subconjunto abierto. Así, φ ∈ Td.
ii) Sea Ai ; i ∈ I una colección de elementos de Td. Si p ∈⋃i∈I
Ai, entonces
existe j ∈ I tal que p ∈ Aj. Usando el hecho que Aj ∈ Td, se tiene que
existe δj > 0 tal que
B(p, δj) ⊂ Aj ⊂⋃i∈I
Ai.
Por lo tanto,⋃i∈I
Ai ∈ Td.
iii) Sean A,B ∈ Td y q ∈ A ∩ B. Es decir, q ∈ A y q ∈ B. Usando el hecho
que A,B son abiertos de X, se sigue que existen λ1 > 0 y λ2 > 0 tales
que
B(q, λ1) ⊂ A y B(q, λ2) ⊂ B.
Tomando λ := mınλ1, λ2 > 0, se tiene que
B(q, λ) ⊂ B(q, λ1) ⊂ A y B(q, λ) ⊂ B(q, λ2) ⊂ B.
Así, B(q, λ) ⊂ A ∩B. Por lo tanto, A ∩B ∈ Td.
De i), ii), iii) y de la Definición 1.1.1, se concluye que Td es una topología sobre
X.
DEFINICIÓN 1.1.10. Sea (X, d) un espacio métrico. El par (X, Td) se de-
nomina espacio topológico inducido por el espacio métrico (X, d), donde Tdes la colección dada en el Lema 1.1.2.
DEFINICIÓN 1.1.11. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. La norma ‖ · ‖
define una métrica natural sobre X, dada por
d : X ×X −→ [0,+∞)
(x, y) 7−→ d(x, y) := ‖x− y‖.
11
Así, para todo x ∈ X y para todo ε > 0, la bola abierta de centro x y radio ε
está dada por
B(x, ε) :=y ∈ X : d(x, y) < ε
=y ∈ X : ‖x− y‖ < ε.
DEFINICIÓN 1.1.12. La norma ‖ · ‖2, dada en la Definición 1.1.7, induce
la métrica natural d2 sobre Rk definida como
d2 : Rk × Rk −→ [0,+∞)
(x, y) 7−→ d2(x, y) := ‖x− y‖2.
La última función se denomina métrica Euclidiana . De la Definición 1.1.11,
se sigue que (Rk, d2) es un espacio métrico. Además, para todo x ∈ Rk y
para todo ε > 0,
B2(x, ε) :=y ∈ Rk : ‖y − x‖2 < ε
(1.3)
es la bola abierta de centro x y radio ε. Los subconjuntos abiertos de (Rk, d2)
se llaman abiertos Euclidianos de Rk.
La colección
Tu := A ⊂ Rk : A es un abierto Euclidiano de Rk (1.4)
es una topología sobre Rk, la cual se conoce como la topología usual de Rk.
1.2 Funciones Continuas
En el transcurso de esta sección se presenta una serie de resultados sobre con-
tinuidad de funciones, los cuales han sido tomados de [10] y [14]. Las pruebas
de los resultados que se presentan en esta sección se muestran en detalle en el
presente trabajo.
DEFINICIÓN 1.2.1. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Una
vecindad de x ∈ X es un conjunto V que contiene un subconjunto H ∈ T tal
que
12
x ∈ H ⊂ V.
DEFINICIÓN 1.2.2. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos con Y 6= φ.
Sean f : X −→ Y una función y a ∈ X. Se dice que f es continua en el
punto a ∈ X si y solamente si para toda vecindad V de f(a) en Y , existe una
vecindad U de a en X tal que
f(U) ⊂ V.
DEFINICIÓN 1.2.3. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos con Y 6= φ.
Sea f : X −→ Y una función. Se dice que f es una función continua si
y solamente si la imagen recíproca de todo subconjunto abierto de Y es un
subconjunto abierto de X, es decir, para todo H ∈ T2, f−1(H) ∈ T1.
TEOREMA 1.2.1. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos con Y 6= φ.
Una función f : X −→ Y es continua si y solamente si f es continua en todo
punto de X.
Demostración. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos con Y 6= φ. Sea
f : X −→ Y una función. Si X = φ, el resultado se sigue trivialmente. Se
considera ahora el caso X 6= φ.
⇒) Se supone que f es una función continua. Sea a ∈ X y sea V una vecindad
de f(a) en Y . De la Definición 1.2.1, se sigue que existe G ∈ T2 tal que
f(a) ∈ G ⊂ V.
Así,
a ∈ f−1(G) ⊂ f−1(V ). (1.5)
Utilizando el hecho que f es una función continua, se tiene que f−1(G)
es un subconjunto abierto de X. De (1.5) y usando el hecho que f−1(G)
es un subconjunto abierto de X, se sigue que f−1(V ) es una vecindad de
a. Además,
13
f(f−1(V )) ⊂ V.
De la Definición 1.2.2, se concluye que f es continua en a ∈ X.
⇐) Se supone ahora que f es una función continua en todo punto de X. Sea
A un subconjunto abierto de Y . Si A = φ ∈ T2, entonces f−1(φ) = φ ∈ T1.
Ahora, se analiza el caso A 6= φ. Sea x ∈ f−1(A). De la Definición 1.2.1,
se sigue que A es una vecindad de f(x) en Y . De la Definición 1.2.2, existe
una vecindad Bx de x en X tal que
f(Bx) ⊂ A.
Así,
Bx ⊂ f−1(A).
De la Definición 1.2.1, existe un subconjunto Cx ∈ T1 tal que
x ∈ Cx ⊂ Bx.
Luego,
f−1(A) =⋃
x∈f−1(A)
Cx.
Es decir, f−1(A) es una unión de subconjuntos abiertos de X. Por lo
tanto, f−1(A) es un subconjunto abierto de X. De la Definición 1.2.3, se
concluye que f es continua.
TEOREMA 1.2.2. Sean (X, T1), (Y, T2) y (Z, T3) espacios topológicos. Sean
f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones continuas. Entonces, g f : X −→ Z
es una función continua, donde la operación es la composición habitual de
funciones. Es decir, la composición de dos funciones continuas es una función
continua.
Demostración. Sean (X, T1), (Y, T2) y (Z, T3) espacios topológicos. Sean f :
14
X −→ Y y g : Y −→ Z funciones tales que f y g son continuas. Sea H un
subconjunto abierto de Z, es decir, H ∈ T3. Usando el hecho que g es una
función continua, se sigue que g−1(H) es un subconjunto abierto de Y , es decir,
g−1(H) ∈ T2. Utilizando ahora el hecho que f es una función continua y g−1(H)
es un subconjunto abierto de Y , se tiene que
(g f)−1 (H) = f−1(g−1(H)
)∈ T1.
Por lo tanto, g f es una función continua.
El siguiente resultado determina la continuidad de una función sobre espacios
métricos.
PROPOSICIÓN 1.2.1. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos. La función
f : X −→ Y es continua en el punto a ∈ X si y solo si para todo ε > 0, existe
δ = δ(ε, a) > 0 tal que para todo x ∈ X,
si dX(a, x) < δ, entonces dY (f(a), f(x)) < ε.
Demostración. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos. Sean f : X −→ Y
una función y a ∈ X.
⇒) Se supone primero que f es una función continua en el punto a ∈ X.
De la Definición 1.1.10, se sigue que (X, TdX ) y (Y, TdY ) son los espacios
topológicos inducidos por los espacios métricos (X, dX) y (Y, dY ), respec-
tivamente. Sea ε > 0 tal que B(f(a), ε) ⊂ Y . De la Definición 1.2.1, se
sigue que B(f(a), ε) es una vecindad de f(a) en Y . De la Definición 1.2.2,
se sigue que existe una vecindad V de a en X tal que
f(V ) ⊂ B(f(a), ε). (1.6)
De la Definición 1.2.1 y usando el hecho que a ∈ V , se tiene que existe
un subconjunto U ∈ TdX tal que
a ∈ U ⊂ V. (1.7)
15
Utilizando el hecho que (X, TdX ) es el espacio topológico inducido por
el espacio métrico (X, dX) y la Definición 1.1.9, se sigue que existe δ =
δ(ε, a) > 0 tal que
B(a, δ) ⊂ U. (1.8)
Así, para todo x ∈ B(a, δ), se ve que
dX(a, x) < δ.
De (1.6)-(1.8) y usando el hecho que x ∈ B(a, δ), se tiene que
dY (f(a), f(x)) < ε.
⇐) Se supone ahora que para todo ε > 0, existe δ = δ(ε, a) > 0 tal que para
todo x ∈ X,
si dX(a, x) < δ, entonces dY (f(a), f(x)) < ε. (1.9)
Sea V una vecindad de f(a) en Y . De la Definición 1.1.10, se sigue que
(X, TdX ) y (Y, TdY ) son los espacios topológicos inducidos por los espacios
métricos (X, dX) y (Y, dY ), respectivamente. De la Definición 1.1.9, existe
un abierto G tal que
f(a) ∈ G ⊂ V. (1.10)
Usando el hecho que G es abierto, se sigue que existe λ > 0 tal que
f(a) ∈ B(f(a), λ) ⊂ G. (1.11)
De (1.9), se tiene que existe η = η(λ, a) > 0 tal que para todo x ∈ X,
si dX(a, x) < η, entonces dY (f(a), f(x)) < λ. (1.12)
Así,
si x ∈ B(a, η), entonces f(x) ∈ B(f(a), λ). (1.13)
16
De (1.10)-(1.13) y utilizando el hecho que a ∈ B(a, η), se sigue que
f(a) ∈ f(B(a, η)) ⊂ B(f(a), λ)) ⊂ V. (1.14)
De la Definición 1.2.1, se sigue que B(a, η) es una vecindad de a en X.
De (1.14) y la Definición 1.2.2, se concluye que la función f es continua
en el punto a ∈ X.
TEOREMA 1.2.3. Sean (X, dX), (Y, dY ) y (Z, dZ) espacios métricos. Sean
f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones. Si f es una función continua en a ∈ X y
g es una función continua en f(a) ∈ Y , entonces g f : X −→ Z es una función
continua en el punto a ∈ X.
Demostración. Sean (X, dX), (Y, dY ), (Z, dZ) espacios métricos y a ∈ X. Sean
f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones. Se supone que f es continua en a y g es
continua en f(a). Sea ε > 0. Usando el hecho que g es una función continua en
f(a), de la Proposición 1.2.1, se sigue que existe λ = λ(ε, f(a)) = λ(ε, a) > 0
tal que para todo y ∈ Y , se tiene que
si dY (y, f(a)) < λ, entonces dZ (g(y), g(f(a))) < ε. (1.15)
Por otra parte, utilizando el hecho que f es una función continua en a y de la
Proposición 1.2.1, se ve que existe δ = δ(λ, a) = δ(λ(ε, a), a) = δ(ε, a) > 0, tal
que para todo x ∈ X,
si dX (x, a) < δ, entonces dY (f(x), f(a)) < λ. (1.16)
De (1.15) y (1.16), se sigue que para todo x ∈ X,
si dX (x, a) < δ, entonces dZ (g(f(x)), g(f(a))) < ε. (1.17)
Por lo tanto, g f es continua en el punto a ∈ X.
17
DEFINICIÓN 1.2.4. Sean X, Y conjuntos. Las funciones
π1 : X × Y −→ X
(x, y) 7−→ π1(x, y) := x,y
π2 : X × Y −→ Y
(s, t) 7−→ π2(s, t) := t,
se denominan proyecciones de X × Y sobre su primer y segundo factor, res-
pectivamente.
LEMA 1.2.1. Las funciones proyecciones dadas en la Definición 1.2.4 son
funciones sobreyectivas.
Demostración. Sean X, Y conjuntos. Sea π1 : X × Y −→ X la función proyec-
ción sobre su primer factor. Se tienen los siguientes dos casos:
i) Si X = φ o Y = φ. De la Definición 1.2.4, se sigue que la función π1
coincide con la función vacía. Luego, el resultado se verifica vacíamente.
Por lo tanto, π1 es una función sobreyectiva.
ii) Se considera ahora el caso en que X 6= φ y Y 6= φ. Sean a ∈ X y b ∈ Y ,
de la definición de producto cartesiano, se sigue que (a, b) ∈ X × Y . De
la Definición 1.2.4, se sigue que
π1(a, b) = a.
Es decir, para todo a ∈ X, π1(a, b) = a. Lo que prueba que π1 es una
función sobreyectiva.
De i) y ii), se concluye que π1 es una función sobreyectiva. De manera similar,
se prueba que π2 es una función sobreyectiva.
PROPOSICIÓN 1.2.2. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos. Las fun-
ciones proyecciones de X × Y son continuas, donde se considera X × Y con su
topología producto.
Demostración. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos. Si X = φ o Y = φ,
el resultado se sigue trivialmente. Se considera ahora el caso X 6= φ y Y 6= φ.
Sea π1 la proyección de X × Y sobre su primer factor. Sea G un abierto de X,
18
es decir G ∈ T1. De la Definición 1.2.4, se sigue que
π−11 (G) = G× Y.
Usando el hecho que G ∈ T1 y Y ∈ T2, de la Definición 1.1.5, se tiene que
π−11 (G) ∈ BX×Y ⊂ TX×Y .
Por lo tanto, π1 es una función continua. Similarmente, se prueba que π2 es
una función continua.
El siguiente lema es un resultado importante en el estudio de la continuidad de
funciones, el cual consta en la referencia [14], con un boceto de su demostración.
A continuación, se presenta una prueba detallada de este resultado.
LEMA 1.2.2. (Pasting o Gluing Lemma) Sean A,B subconjuntos cerrados
(o ambos abiertos) de un espacio topológico (X, T1) tales que X = A ∪ B.
Sea (Y, T2) un espacio topológico. Sea f : X −→ Y una función. Se tiene que
f : X −→ Y es continua si y solamente si las restricciones f|A : A −→ Y y
f|B : B −→ Y son continuas.
Demostración. Se analizan las siguientes dos situaciones.
i) Se considera primero el caso en que A,B son subconjuntos cerrados de
X.
⇒) Se supone que f : X −→ Y es una función continua. Por definición,
se ve que f|A = f i|A donde i|A es la función definida como
i|A : A −→ X
x 7−→ i|A(x) = x.
Sea U ⊂ X cerrado. Se tiene que
i|A−1(U) = i|A
−1(U ∩ A) = U ∩ A,
es un conjunto cerrado de A. Así, i|A es continua. Usando el Teorema 1.2.2,
19
se sigue que f|A = f i|A también es una función continua. Similarmente,
se muestra que f|B es continua.
⇐) Ahora, se supone que f|A y f|B son funciones continuas. Sea G ⊂ Y
un subconjunto cerrado en Y . Como X = A ∪B, se tiene que
para todo x ∈ X, f(x) ∈ G si y solo si f|A(x) ∈ G o f|B(x) ∈ G.
Entonces,
f−1(G) = f|A−1(G) ∪ f|B
−1(G).
Como f|A y f|B son continuas, se tiene que f|A−1(G) y f|B
−1(G) son sub-
conjuntos cerrados en A y en B respectivamente. Puesto que f|A−1(G)
es cerrado en A, entonces existe C ⊂ X subconjunto cerrado en X, tal
que f|A−1(G) = C ∩A, como A es un subconjunto cerrado en X, se tiene
que, f|A−1(G) es un subconjunto cerrado en X. Similarmente, se mues-
tra que f|B−1(G) es un subconjunto cerrado en X. Por tanto, f−1(G) es
un subconjunto cerrado en X. Entonces, f : X −→ Y es una función
continua.
ii) Se considera ahora el caso en que A,B son subconjuntos abiertos de X.
⇒) Se supone primero que f : X −→ Y es una función continua. Por
definición, f|A = f i|A , donde i|A es la función definida anteriormente.
Como se mostró en el item i) arriba, se sigue que i|A es continua. Usando
el Teorema 1.2.2, se tiene que f|A = f i|A es continua. Similarmente, se
muestra que f|B es continua.
⇐) Ahora se supone que f|A y f|B son funciones continuas. Sea H ⊂ Y
abierto, es decir H ∈ T2. Como X = A ∪B, se tiene que
para todo x ∈ X, f(x) ∈ H si y solo si f|A(x) ∈ H o f|B(x) ∈ H.
Entonces,
f−1(H) = f|A−1(H) ∪ f|B
−1(H).
Como f|A y f|B son continuas, se ve que f|A−1(H) y f|B
−1(H) son abiertos
20
en A y en B respectivamente. Puesto que f|A−1(H) es abierto en A,
entonces existe E ⊂ X subconjunto abierto en X, tal que f|A−1(H) =
E ∩ A, como A es un subconjunto abierto en X, se tiene que, f|A−1(H)
es un subconjunto abierto en X. Similarmente, se muestra que f|B−1(H)
es un subconjunto abierto en X. Por tanto, f−1(H) es un subconjunto
abierto en X. Entonces, f : X −→ Y es una función continua.
De i) y ii) se concluye la demostración del lema.
1.3 Espacios Conexos y Caminos en el Espacio Euclideano
En esta sección se muestra la relación entre espacios topológicos conexos y
espacios topológicos conexos por caminos. Para lo cual se han tomado como
referencias principales [12] y [14].
DEFINICIÓN 1.3.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice queX admite
una separación si y solo si existen A,B subconjuntos abiertos en X tales que
A ∩ B = φ y X = A ∪ B, es decir, X = A ] B. Se observa que X admite por
lo menos la separación trivial , X = X ] φ.
DEFINICIÓN 1.3.2. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que X es
conexo cuando solo admite la separación trivial.
DEFINICIÓN 1.3.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que X es
disconexo cuando admite al menos una separación distinta de la trivial, es
decir, X es disconexo si y solo si existen A,B disjuntos, no vacíos y abiertos
en X tales que X = A ]B.
TEOREMA 1.3.1. Sean (X, T1), (Y, T2) espacios topológicos y sea f : X −→
Y una función continua. Si X es conexo, entonces f(X) es conexo.
Demostración. Sean (X, T1), (Y, T2) espacios topológicos y sea f : X −→ Y una
función continua, donde X es un espacio conexo. Se supone, por contradicción,
que f(X) es disconexo. De la Definición 1.3.3, se sigue que existen A,B ⊂
f(X) ⊂ Y , disjuntos, no vacíos, abiertos en f(X) tales que
21
f(X) = A ]B. (1.18)
Como A,B son abiertos en f(X), existen A, B ∈ T2 tales que
A = A ∩ f(X) y B = B ∩ f(X). (1.19)
De (1.18) y (1.19), se sigue que
X = f−1(A) ] f−1(B),
= f−1(A ∩ f(X)
)] f−1
(B ∩ f(X)
),
=(f−1(A) ∩X
)](f−1(B) ∩X
),
= f−1(A) ] f−1(B).
(1.20)
Utilizando el hecho que A, B son abiertos en Y y f es una función continua,
se tiene que f−1(A) y f−1(B) son abiertos en X. Así, f−1(A) y f−1(B) son
abiertos en X, disjuntos, no vacíos. De donde, se ve que f−1(A) y f−1(B)
forman una separación no trivial de X, lo que contradice el hecho que X es
conexo. Por lo tanto, f(X) es conexo.
PROPOSICIÓN 1.3.1. Todo intervalo de R, ya sea abierto, cerrado, semi-
abierto, acotado o no acotado, es un conjunto conexo en R con la topología
usual, dada en la Definición 1.1.2.
Demostración. Sea J ⊂ R un intervalo. Se tienen los siguientes dos casos.
i) Si J = φ, de la Definición 1.3.2, se tiene que J es conexo.
ii) Se considera ahora el caso en que J 6= φ. Se supone, por contradicción, que
J es disconexo. Por la Definición 1.3.3, existen A,B ⊂ J ⊂ R, disjuntos,
no vacíos, abiertos en J tales que J = A ]B. Ahora, sean x ∈ A, y ∈ B.
Sin pérdida de generalidad, se considera que x < y. Ya que J es un
intervalo de la recta real, se tiene que [x, y] ⊂ J . A continuación, se
define el conjunto C := [x, y] ∩ A. Se observa que C es un conjunto no
22
vacío, pues x ∈ A. Además, C está acotado superiormente por y. Luego,
existe α := sup C ∈ R tal que x ≤ α ≤ y. De manera que
α ∈ [x, y] ⊂ J. (1.21)
Por lo tanto, α ∈ A o α ∈ B. Primero, se supone, por contradicción, que
α ∈ A. En virtud que α ≤ y, α ∈ A, y ∈ B y A∩B = φ, se ve que α < y.
Por otra parte, ya que A es abierto en J , por definición, existe un abierto
G ∈ Tu tal que A = G∩ J . De donde, α ∈ G. Del hecho que G es abierto
en R, existe ε > 0, tal que [α − ε, α + ε] ⊂ G. Tomando ε > 0 tal que
α+ ε < y, se sigue que α+ ε ∈ [x, y] ⊂ J . Por lo tanto, α+ ε ∈ J . Luego,
α + ε ∈ G ∩ J = A.
Así, α + ε ∈ [x, y] ∩ A =: C. Ya que α = sup C, se tiene que α + ε ≤ α,
lo cual contradice el hecho que ε > 0. Similarmente, si α ∈ B, se obtiene
nuevamente una contradicción. Por lo tanto, α /∈ (A ∪ B) = J , lo que
contradice (1.21). De donde, J es conexo.
De i) y ii), se concluye que J ⊂ R es conexo.
En lo que sigue de este capítulo se denota por I al intervalo cerrado [0, 1]. Por
la Proposición 1.3.1, se tiene que I es conexo.
DEFINICIÓN 1.3.4. Sea I ⊂ R y para todo j ∈ 1, ..., k, sean fj : I −→ R
funciones continuas. La función
f : I −→ Rk
t 7−→ f(t) := (f1(t), ..., fk(t)) ,
se conoce como camino y para todo j ∈ 1, ..., k, fj se denomina la j-ésima
función coordenada .
23
Esta última definición se puede extender a espacios topológicos de la siguiente
forma.
DEFINICIÓN 1.3.5. Sea (X, T ) un espacio topológico con X distinto de
vacío. Sea f : I −→ X es una función continua tal que
f(0) = x0 y f(1) = x1.
Se dice que f es un camino en X desde x0 hasta x1. Los puntos x0 y x1 se
conocen como punto inicial y punto final del camino f , respectivamente.
Además, si x0 = x1, entonces el camino f se llama lazo basado en el punto
x0 = x1. Por otra parte, la función
f : I −→ X
u 7−→ f(u) := f(1− u),
se denomina camino inverso de f . Mientras que para todo x ∈ X, la función
ex : I −→ X
s 7−→ ex(s) := x,
se conoce como camino constante basado en el punto x.
DEFINICIÓN 1.3.6. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean
f, g : I −→ X caminos tales que f(1) = g(0). Se define el producto de los
caminos f y g, denotado por f ∗ g, como
f ∗ g : I −→ X
s 7−→ (f ∗ g)(s) :=
f(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
g(2s− 1) , si s ∈[12, 1].
(1.22)
LEMA 1.3.1. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean x0, x1, x2 ∈
X. Si f : I −→ X y g : I −→ X son caminos tales que f(0) = x0, f(1) = x1 =
g(0) y g(1) = x2. Entonces, f ∗ g es un camino en X desde x0 hasta x2, donde
la operación ∗ es el producto de caminos dado en la Definición 1.3.6.
24
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean x0, x1, x2 ∈
X y sean f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales que
f(0) = x0, f(1) = x1 = g(0) y g(1) = x2. (1.23)
Se va a mostrar que
f ∗ g : I −→ X
s 7−→ (f ∗ g)(s) :=
f(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
g(2s− 1) , si s ∈[12, 1] (1.24)
es un camino en X desde x0 hasta x2. En efecto, de (1.23) y (1.24), se sigue
que para todo s ∈ I,
(f ∗ g)(0) = f(2(0)) = f(0) = x0
y (f ∗ g)(1) = g(2(1)− 1) = g(1) = x2.(1.25)
Por otra parte, si s = 12, se ve que
f
(2
(1
2
))= f(1) = x1 = g(0) = g
(2
(1
2
)− 1
). (1.26)
Usando el hecho que f , g y los polinomios de primer grado son funciones con-
tinuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que f ∗ g|[0, 12 ]
y f ∗ g|[ 12 ,1]
son funciones con-
tinuas. De (1.26) y usando el Pasting o Gluing Lema 1.2.2, se tiene que f ∗ g es
una función continua. Finalmente, de (1.25) y puesto que f ∗ g es una función
continua, se concluye que f ∗ g es un camino en X desde x0 hasta x2.
DEFINICIÓN 1.3.7. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que X es
conexo por caminos si y solamente si para todo par de puntos x0, x1 ∈ X
existe un camino f : I −→ X tal que
f(0) = x0 y f(1) = x1.
TEOREMA 1.3.2. Sea (X, T ) un espacio topológico. Si X es conexo por
caminos, entonces X es conexo.
25
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico tal que X es conexo por cami-
nos. Se supone, por contradicción, que X es disconexo. De la Definición 1.3.3,
se sigue que existen A,B ⊂ X, disjuntos, no vacíos, abiertos en X tales que
X = A ]B. (1.27)
Sean a ∈ A y b ∈ B. Puesto que X es conexo por caminos, de la Definición
1.3.7, se tiene que existe un camino f : I −→ X tal que f(0) = a y f(1) = b.
Además,
I = f−1(A) ] f−1(B).
Por otra parte, usando el hecho que A,B son subconjuntos abiertos en X y f es
una función continua, se sigue que f−1(A) y f−1(B) son conjuntos abiertos en
I. Además, de (1.27), y ya que 0 ∈ f−1(A) y 1 ∈ f−1(B), se nota que f−1(A)
y f−1(B) son disjuntos no vacíos. Por lo tanto, f−1(A) y f−1(B) forman una
separación no trivial de I. Este último resultado contradice el hecho que I es
conexo. De este modo, se concluye que X es conexo.
A continuación, se muestra un caso particular en el cual el Teorema 1.3.2 tiene
retorno. Es decir, se dan condiciones suficientes para que un espacio conexo sea
conexo por caminos.
DEFINICIÓN 1.3.8. Se dice que X ⊂ Rk es convexo si y solamente si para
todo x, y ∈ X y para todo λ ∈ [0, 1], se tiene que
(1− λ)x+ λy ∈ X.
Es decir, dados dos puntos arbitrarios de X, el segmento que los une está
totalmente contenido en X.
TEOREMA 1.3.3. Si A es un subconjunto abierto y conexo de Rk con la
topología usual, entonces A es conexo por caminos.
Demostración. Se considera Rk con la topología usual. Sea A un subconjunto
abierto y conexo de Rk. Si A = φ, se sigue directamente, de la definición, que
A es conexo por caminos. Se supone ahora que A 6= φ. Sea a ∈ A. Se define el
26
conjunto
B := x ∈ A; existe un camino f : I −→ A tal que f(0) = x y f(1) = a.
(1.28)
Considerando el camino constante basado en el punto a, se sigue que a ∈ B.
Por lo tanto, B 6= φ. Además, se ve que B es abierto. En efecto, sea b ∈ B,
usando el hecho que A es abierto, existe ε > 0 tal que
B(b, ε) ⊂ A.
Ya que toda bola abierta es convexa, se sigue que para todo p ∈ B(b, ε), existe
un camino f : I −→ B(b, ε) ⊂ A tal que
f(0) = p y f(1) = b. (1.29)
Puesto que b ∈ B, existe un camino g : I −→ A tal que
g(0) = b y g(1) = a. (1.30)
De (1.29), (1.30) y usando el Lema 1.3.1, se sigue que f ∗ g : I −→ A es un
camino tal que
(f ∗ g)(0) = p y (f ∗ g)(1) = a.
Por tanto, p ∈ B. Lo que implica que B es abierto. Por otra parte, sea
C := A\B. (1.31)
Se ve que C es abierto. En efecto, sea z ∈ C, de (1.31), se sigue que
z ∈ A y z /∈ B. (1.32)
Utilizando el hecho que A es abierto, existe δ > 0 tal que
B(z, δ) ⊂ A.
27
Puesto que toda bola abierta es convexa, se sigue que para todo q ∈ B(z, δ),
existe un camino α : I −→ B(z, δ) ⊂ A tal que
α(0) = z y α(1) = q. (1.33)
Se va a mostrar que q ∈ C. Para esto, se supone, por contradicción, que q ∈ B.
Luego, existe un camino β : I −→ A tal que
β(0) = q y β(1) = a. (1.34)
De (1.33), (1.34) y empleando el Lema 1.3.1, se sigue que α ∗ β : I −→ A es
un camino desde z hasta a. Por tanto, z ∈ B, lo que contradice (1.32). En
consecuencia, q ∈ C. De donde, B(z, δ) ⊂ C, lo que prueba que C es abierto.
De (1.28) y (1.31), se obtiene que
A = B ∪ C y B ∩ C = φ.
Usando el hecho que A es conexo, que B,C son abiertos y puesto que B 6= φ,
de la Definición 1.3.2, se concluye que C = φ. Luego, A = B. Por lo tanto, A
es conexo por caminos.
1.4 Grupo Fundamental
En esta sección se enuncian una serie de resultados con la finalidad de estable-
cer la relación entre espacios topológicos contractibles y espacios topológicos
conexos. Además, se introduce el concepto de homotopía y se presentan al-
gunas propiedades de homotopías con sus respectivas demostraciones. Así, se
establece la definición de grupo fundamental. Para esta sección se toman como
referencias esenciales [10], [14] y [15].
DEFINICIÓN 1.4.1. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos con Y 6= φ.
Sean f : X −→ Y y g : X −→ Y funciones continuas. Se dice que f es
homotópica a g si existe una función continua F : X × I −→ Y tal que para
28
todo x ∈ X, se tiene que
F (x, 0) = f(x) y F (x, 1) = g(x).
DEFINICIÓN 1.4.2. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean
f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales que f(0) = g(0) y f(1) = g(1). Se dice
que f es homotópico por caminos a g, lo que se denota por f ' g, si existe
una función continua H : I × I −→ X tal que para todo s, t ∈ I, se tiene que
H(s, 0) = f(s), H(0, t) = f(0) = g(0),
H(s, 1) = g(s) y H(1, t) = f(1) = g(1).
En este caso, se dice que H es una homotopía de caminos entre f y g.
DEFINICIÓN 1.4.3. Sean A,B conjuntos distintos de vacío. Una relación
R entre A y B es un conjunto de pares ordenados (a, b) ∈ A×B para los cuales
se cumple una propiedad P(a, b). Es decir,
R := (a, b) ∈ A×B : P(a, b).
Es claro que R es un subconjunto del producto cartesiano A× B. La relación
entre un conjunto A y el mismo conjunto, se denomina relación en A.
Sea R una relación en A. Se dice que R es una relación de equivalencia si
y solo satisface las siguientes condiciones
i) R es Reflexiva . Es decir, para todo a ∈ A, se tiene que aRa.
ii) R es Simétrica . Esto es, para todo a, b ∈ A, si aRb, entonces bRa.
iii) R es Transitiva . O sea, para todo a, b, c ∈ A, si aRb y bRc, se sigue que
aRc.
El siguiente lema ([10]) muestra que la homotopía entre caminos ' es una
relación de equivalencia. A continuación, se presenta su demostración detallada.
29
LEMA 1.4.1. La relación de homotopía entre caminos es una relación de
equivalencia.
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean f : I −→ X,
g : I −→ X y h : I −→ X caminos tales que f(0) = g(0) = h(0) y f(1) =
g(1) = h(1).
i) Se va a mostrar que
H : I × I −→ X
(s, t) 7−→ H(s, t) := f(s)(1.35)
es una homotopía de caminos entre f y f . En efecto, se tiene que para
todo s, t ∈ I,
H(s, 0) = f(s), H(0, t) = f(0),
H(s, 1) = f(s) y H(1, t) = f(1).(1.36)
Por otra parte, usando el hecho que f y la función proyección π1, dada en
la Definición 1.2.4, son funciones continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue
que H es una función continua. Finalmente, de (1.36) y ya que H es una
función continua se concluye que H es una homotopía de caminos entre
f y f .
ii) Sea F : I × I −→ X una homotopía de caminos entre f y g. Así, F es
una función continua y para todo a, b ∈ I, se tiene que
F (a, 0) = f(a), F (0, b) = f(0) = g(0),
F (a, 1) = g(a) y F (1, b) = f(1) = g(1).(1.37)
Ahora, se ve que
G : I × I −→ X
(p, q) 7−→ G(p, q) := F (p, 1− q)(1.38)
30
es una homotopía de caminos entre g y f . En efecto, de (1.37), se sigue
que para todo p, q ∈ I,
G(p, 0) = F (p, 1) = g(p),
G(p, 1) = F (p, 0) = f(p),
G(0, q) = F (0, 1− q) = f(0) = g(0)
y G(1, q) = F (1, 1− q) = f(1) = g(1).
(1.39)
Por otra parte, usando el hecho que F y los polinomios de primer grado
son funciones continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que G es una función
continua. Finalmente, de (1.39) y utilizando el hecho que G es una función
continua, se tiene que G es una homotopía de caminos entre g y f .
iii) Sea P : I × I −→ X una homotopía de caminos entre f y g. Sea Q :
I × I −→ X una homotopía de caminos entre g y h. Luego, P y Q son
funciones continuas tales que para todo u, v, x, y ∈ I, se tiene que
P (u, 0) = f(u), P (0, v) = f(0) = g(0),
P (u, 1) = g(u), P (1, v) = f(1) = g(1),
Q(x, 0) = g(x), Q(0, y) = g(0) = h(0),
Q(x, 1) = h(x) y Q(1, y) = g(1) = h(1).
(1.40)
A continuación, se muestra que
R : I × I −→ X
(l,m) 7−→ R(l,m) :=
P (l, 2m) , si m ∈[0, 1
2
],
Q(l, 2m− 1) , si m ∈[12, 1] (1.41)
es una homotopía de caminos entre f y h. En efecto, se tiene que para
todo l ∈ I,
R(l, 0) = P (l, 0) = f(l) y R(l, 1) = Q(l, 1) = h(l). (1.42)
31
Por otro lado, usando (1.40), (1.41), el hecho que f(0) = g(0) = h(0) y
f(0) = g(0) = h(0), para todo m ∈[0, 1
2
], se ve que
R(0,m) = P (0, 2m) = f(0) = g(0) = h(0)
y R(1,m) = P (1, 2m) = f(1) = g(1) = h(1).(1.43)
Mientras que, para todo m ∈[12, 1], se sigue que
R(0,m) = Q(0, 2m− 1) = g(0) = h(0) = f(0)
y R(1,m) = Q(1, 2m− 1) = g(1) = h(1) = f(1).(1.44)
De (1.43) y (1.44), se sigue que para todo m ∈ I,
R(0,m) = f(0) = h(0)
y R(1,m) = f(1) = h(1).(1.45)
Usando el hecho que P,Q y los polinomios de primer grado son funcio-
nes continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que R|[0, 12 ]×[0,1]
y R|[ 12 ,1]×[0,1]
son
funciones continuas. Además, puesto que para todo l ∈ [0, 1],
P (l, 1) = g(l) = Q(l, 0),
del Lema 1.2.2, se tiene que R también es una función continua. Finalmen-
te, de (1.42), (1.45) y puesto que R es una función continua, se concluye
que R es una homotopía de caminos entre f y h.
De i), ii) y iii), se sigue que la homotopía de caminos es una relación de equi-
valencia.
NOTACIÓN 1.4.1. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Si f :
I −→ X es un camino, su clase de equivalencia de homotopía de caminos
se denota por [f].
Siguiendo el estudio de la homotopía de caminos es necesario introducir una
noción algebraica sobre las clases de homotopía de caminos. Para esto se dan a
32
continuación una serie de resultados que permiten formar esta estructura. Los
siguientes resultados se encuentran en [14], sin embargo, aquí se presentan sus
demostraciones detalladamente.
LEMA 1.4.2. Sea (X, T ) un espacio topológico conX 6= φ. Sean f : I −→ X y
g : I −→ X caminos tales que f(1) = g(0). La operación producto de caminos,
dada en la Definición 1.3.6, induce la operación, bien definida, sobre las clases
de homotopía de caminos dada por la ecuación
[f ] ∗ [g] = [f ∗ g].
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico conX 6= φ. Sean f1 : I −→ X,
f2 : I −→ X, g1 : I −→ X y g2 : I −→ X caminos tales que
f1(0) = f2(0),
f1(1) = f2(1) = g1(0) = g2(0)
y g1(1) = g2(1).
(1.46)
Se supone que f1 ' f2 y g1 ' g2. De la Definición 1.4.2, se tiene que existe
una homotopía de caminos F entre f1 y f2, y también existe una homotopía
de caminos G entre g1 y g2 tales que para todo s, t, a, b ∈ I, se tiene que
F (s, 0) = f1(s), F (0, t) = f1(0) = f2(0),
F (s, 1) = f2(s), F (1, t) = f1(1) = f2(1),
G(a, 0) = g1(a), G(0, b) = g1(0) = g2(0),
G(a, 1) = g2(a) y G(1, b) = g1(1) = g2(1).
(1.47)
Por otra parte, de la Definición 1.3.6 y de (1.46), se ve que
f1 ∗ g1 : I −→ X
x 7−→ (f1 ∗ g1)(x) :=
f1(2x) , si x ∈[0, 1
2
],
g1(2x− 1) , si x ∈[12, 1] (1.48)
y
33
f2 ∗ g2 : I −→ X
y 7−→ (f2 ∗ g2)(y) :=
f2(2y) , si y ∈[0, 1
2
],
g2(2y − 1) , si y ∈[12, 1].
(1.49)
Ahora, se va a mostrar que
H : I × I −→ X
(u, v) 7−→ H(u, v) :=
F (2u, v) , si u ∈[0, 1
2
],
G(2u− 1, v) , si u ∈[12, 1] (1.50)
es una homotopía de caminos entre f1∗g1 y f2∗g2. En efecto, de (1.47) y (1.50),
se tiene que para todo v ∈ I
H(0, v) = F (0, v) = f1(0) = f2(0)
y H(1, v) = G(1, v) = g1(1) = g2(1).(1.51)
Por otro lado, usando (1.47) y (1.50), para todo u ∈[0, 1
2
], se ve que
H(u, 0) = F (2u, 0) = f1(2u)
y H(u, 1) = F (2u, 1) = f2(2u).(1.52)
Mientras que, para todo u ∈[12, 1], se sigue que
H(u, 0) = G(2u− 1, 0) = g1(2u− 1)
y H(u, 1) = G(2u− 1, 1) = g2(2u− 1).(1.53)
De (1.48), (1.49), (1.52) y (1.53), se sigue que para todo u ∈ I
H(u, 0) =
f1(2u) , si u ∈[0, 1
2
],
g1(2u− 1) , si u ∈[12, 1]
= (f1 ∗ g1)(u)
(1.54)
34
y
H(u, 1) =
f2(2u) , si u ∈[0, 1
2
],
g2(2u− 1) , si u ∈[12, 1]
= (f2 ∗ g2)(u).
(1.55)
Usando el hecho que F,G y los polinomios de primer grado son funciones con-
tinuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que H|[0, 12 ]×[0,1]
y H|[ 12 ,1]×[0,1]
son funciones
continuas. Además, puesto que
F (1, v) = f1(1) = g1(0) = G(0, v),
del Lema 1.2.2, se tiene que H es una función continua. Finalmente, de (1.51),
(1.54), (1.55) y del hecho que H es una función continua, se concluye que H es
una homotopía de caminos entre f1 ∗ g1 y f2 ∗ g2. En consecuencia,
[f1 ∗ g1] = [f2 ∗ g2] .
LEMA 1.4.3. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos tales que X 6= φ
y Y 6= φ. Sean h : X −→ Y una función continua y F : I × I −→ X una
homotopía de caminos entre f y g, donde f : I −→ X y g : I −→ X son
caminos tales que f(0) = g(0) y f(1) = g(1). Entonces, la composición h F
es una homotopía de caminos entre h f : I −→ Y y h g : I −→ Y .
Demostración. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos tales que X 6= φ y
Y 6= φ. Sean h : X −→ Y una función continua y F : I × I −→ X una
homotopía de caminos entre f : I −→ X y g : I −→ X, con
f(0) = g(0) y f(1) = g(1).
Usando el hecho que F es una homotopía de caminos entre f y g, de la Defini-
ción 1.4.2, se tiene que F es una función continua tal que para todo s, t ∈ I,
35
F (s, 0) = f(s), F (0, t) = f(0) = g(0),
F (s, 1) = g(s) y F (1, t) = f(1) = g(1).(1.56)
Ahora, se va a mostrar que
h F : I × I −→ Y
(x, y) 7−→ (h F )(x, y) := h(F (x, y))(1.57)
es una homotopía de caminos entre hf : I −→ Y y hg : I −→ Y . En efecto,
usando (1.56) y (1.57), se sigue que para todo x, y ∈ I,
(h F )(x, 0) = h(F (x, 0)) = h(f(x)) = (h f)(x),
(h F )(x, 1) = h(F (x, 1)) = h(g(x)) = (h g)(x),
(h F )(0, y) = h(F (0, y)) = h(f(0)) = h(g(0))
= (h f)(0) = (h g)(0)
y (h F )(1, y) = h(F (1, y)) = h(f(1)) = h(g(1))
= (h f)(1) = (h g)(1).
(1.58)
Por otra parte, usando el hecho que h y F son funciones continuas, por el
Teorema 1.2.2, se tiene que h F es una función continua. Finalmente, de
(1.58) y del hecho que h F es una función continua, se concluye que h F es
una homotopía de caminos entre h f : I −→ Y y h g : I −→ Y .
LEMA 1.4.4. Sean (X, T1) y (Y, T2) espacios topológicos tales que X 6= φ y
Y 6= φ. Sean f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales que f(1) = g(0). Si
h : X −→ Y es una función continua, entonces
h (f ∗ g) = (h f) ∗ (h g),
donde las operaciones , ∗ son la composición usual de funciones y el producto
de caminos, respectivamente.
Demostración. Sean (X, T1), (Y, T2) espacios topológicos tales que X 6= φ y
36
Y 6= φ. Sean h : X −→ Y una función continua, f : I −→ X y g : I −→ X
caminos tales que f(1) = g(0). De la composición de funciones se ve que
h f : I −→ Y
s 7−→ (h f)(s) := h(f(s))(1.59)
y h g : I −→ Y
t 7−→ (h g)(t) := h(g(t)).(1.60)
Se nota que
(h f)(1) = h(f(1)) = h(g(0)) = (h g)(0). (1.61)
Usando el hecho que h, f y g son funciones continuas, del Teorema 1.2.2, se
tiene que (h f) y (h g) también son funciones continuas. Por otra parte, de
(1.59)-(1.61) y de la Definición 1.3.6, se sigue que (h f) ∗ (h g) : I −→ X es
una función tal que para todo s ∈ I,
((h f) ∗ (h g))(s) :=
(h f)(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
(h g)(2s− 1) , si s ∈[12, 1].
(1.62)
Del Lema 1.3.1, se sigue que (hf)∗(hg) es una función continua. Así mismo,
f ∗ g : I −→ X
t 7−→ (f ∗ g)(t) :=
f(2t) , si t ∈[0, 1
2
],
g(2t− 1) , si t ∈[12, 1].
(1.63)
De (1.63) y de la definición de composición de funciones, se ve que
h (f ∗ g) : I −→ X
a 7−→ (h (f ∗ g))(a) := h((f ∗ g)(a)),
donde
37
(h (f ∗ g))(a) =
h(f(2a)) , si a ∈[0, 1
2
],
(h(g(2a− 1)) , si a ∈[12, 1]
=
(h f)(2a) , si a ∈[0, 1
2
],
(h g)(2a− 1)) , si a ∈[12, 1].
(1.64)
Usando el hecho que f, g, h son funciones continuas, del Lema 1.3.1 y del Teo-
rema 1.2.2, se sigue que h (f ∗ g) es una función continua. Finalmente, de
(1.62) y (1.64), se obtiene que
h (f ∗ g) = (h f) ∗ (h g)
DEFINICIÓN 1.4.4. Sean a, b ∈ Rk. Se definen los cuatro siguientes con-
juntos:
[a, b] := (1− λ)a+ λb : λ ∈ [0, 1],
]a, b[ := (1− λ)a+ λb : λ ∈]0, 1[,
[a, b[ := (1− λ)a+ λb : λ ∈ [0, 1[,
]a, b] := (1− λ)a+ λb : λ ∈]0, 1].
Los conjuntos [a, b], ]a, b[, [a, b[, ]a, b] se denominan segmento lineal cerrado,
segmento lineal abierto, segmento lineal cerrado-abierto, segmento
lineal abierto-cerrado con extremos a y b, respectivamente.
LEMA 1.4.5. Todo intervalo de R, ya sea abierto, cerrado, semiabierto, aco-
tado o no acotado, es un subconjunto convexo de R.
Demostración. Sea J ⊂ R un intervalo. Se tienen los siguientes casos.
i) Si J = φ, de la Definición 1.3.8, se tiene que J es convexo.
ii) Se considera ahora el caso en que J 6= φ. Sean a, b ∈ R con a 6= b tales
que a sea extremo inferior de J y b extremo superior de J . Sean x, y ∈ J .
38
Sin pérdida de generalidad, se considera x < y. Sea λ ∈ [0, 1], se sigue
que 0 ≤ λ(y − x) ≤ y − x. Luego,
x ≤ x+ λ(y − x) = (1− λ)x+ λy ≤ x+ (y − x) = y. (1.65)
De (1.65) y ya que x, y ∈ J , se sigue que (1−λ)x+λy ∈ J . Por lo tanto,
J es convexo.
Finalmente, de i) y ii), se concluye que todo intervalo de R es convexo.
LEMA 1.4.6. Sea (X,+, ·,R, T ) un espacio vectorial topológico sobre el cuer-
po de los números reales. Si f : I −→ X y g : I −→ X son caminos tales que
f(0) = g(0) y f(1) = g(1). Entonces, f es homotópico por caminos a g.
Demostración. Sea (X,+, ·,R, T ) un espacio vectorial topológico sobre el cuer-
po de los números reales. Sean f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales que
f(0) = g(0) y f(1) = g(1). Se va a mostrar que
H : I × I −→ X
(s, t) 7−→ H(s, t) := (1− t)f(s) + tg(s)(1.66)
es una homotopía de caminos entre f y g. En efecto, ya que X es un espacio
vectorial, se tiene que la función H está bien definida. Por otra parte, usando
el hecho que f(0) = g(0) y f(1) = g(1) se ve que para todo s, t ∈ I,
H(s, 0) = (1− 0)f(s) + 0 · g(s) = f(s),
H(s, 1) = (1− 1)f(s) + 1 · g(s) = g(s),(1.67)
H(0, t) = (1− t)f(0) + t · g(0)
= f(0)− tf(0) + tg(0)
= f(0) = g(0)
(1.68)
39
y H(1, t) = (1− t)f(1) + t · g(1)
= f(1)− tf(1) + tg(1)
= f(1) = g(1).
(1.69)
Utilizando el hecho que f, g son funciones continuas y puesto que en un espacio
vectorial topológico las funciones
+ : X ×X −→ X
(a, b) 7−→ a+ by
· : R×X −→ X
(k, x) 7−→ k · x
son continuas, se sigue que H es una función continua. Finalmente, de (1.67)-
(1.69) y el hecho que H es una función continua se concluye que H es una
homotopía de caminos entre f y g.
DEFINICIÓN 1.4.5. Sea (X,+, ·,R, T ) un espacio vectorial topológico sobre
el cuerpo de los números reales. Sean f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales
que f(0) = g(0) y f(1) = g(1). La función
H : I × I −→ X
(s, t) 7−→ H(s, t) := (1− t)f(s) + tg(s)(1.70)
se conoce como homotopía lineal entre los caminos f y g. En este caso, se
dice que f y g son linealmente homotópicos .
El siguiente teorema muestra que la operación ∗ sobre las clases de homotopías
de caminos satisface propiedades semejantes a los axiomas de grupo. Con la
diferencia que [f ] ∗ [g] no esta definido para cualquier par de clases, sino úni-
camente para las clases [f ], [g] que satisfacen f(1) = g(0). El siguiente teorema
ha sido tomado de [14]. A continuación, se presenta su demostración en detalle.
TEOREMA 1.4.1. Sea (X, T ) un espacio topológico conX 6= φ. La operación
producto de caminos sobre las clases de homotopía de caminos satisface las
siguientes propiedades:
i) Si x0, x1 ∈ X y f : I −→ X es un camino tal que f(0) = x0 y f(1) = x1,
40
entonces
[f ] ∗ [ex1 ] = [f ] y [ex0 ] ∗ [f ] = [f ],
donde ex0 y ex1 son los caminos constantes en x0 y x1, respectivamente.
La clase de homotopía [ex0 ] se conoce como neutro por la izquierda ,
mientras que la clase de homotopía [ex1 ] se denomina neutro por la
derecha .
ii) Si x0, x1 ∈ X y f : I −→ X es un camino tal que f(0) = x0 y f(1) = x1,
entonces
[f ] ∗ [f ] = [ex0 ] y [f ] ∗ [f ] = [ex1 ],
donde f es el camino inverso de f y ex0 , ex1 son los caminos constantes
en x0 y x1, respectivamente.
iii) Sean f : I −→ X, g : I −→ X y h : I −→ X caminos tales que
f(1) = g(0) y g(1) = h(0). Entonces,
([f ] ∗ [g]) ∗ [h] = [f ] ∗ ([g] ∗ [h]).
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico tal que X 6= φ. Sean e0 :
I −→ I el camino constante basado en cero, id : I −→ I la función identidad,
la cual es un camino desde 0 hasta 1, es decir id(0) = 0 e id(1) = 1. Además,
sea id : I −→ I el camino inverso de id.
i) Sean x0, x1 ∈ X y sea f : I −→ X un camino tal que f(0) = x0 y
f(1) = x1. Por otra parte, usando el hecho que los caminos e0 y id tienen
el punto 0 ∈ I en común, de la Definición 1.3.6, se ve que
e0 ∗ id : I −→ I
s 7−→ (e0 ∗ id)(s) :=
e0(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
id(2s− 1) , si s ∈[12, 1].
Así,
41
(e0 ∗ id)(0) = e0(2(0)) = e0(0) = 0
y (e0 ∗ id)(1) = id(2(1)− 1) = id(1) = 1.
Por otro lado, del Lema 1.4.5, se ve que I es convexo. Además, usando el
hecho que id y eo ∗ id son caminos que tienen el mismo punto inicial y el
mismo punto final, del Lema 1.4.6, se sigue que existe una homotopía de
caminos F : I × I −→ I entre id y eo ∗ id. Puesto que f es una función
continua y usando el Lema 1.4.3, se sigue que f F : I × I −→ X es una
homotopía de caminos entre f id y f (eo ∗ id). Además, del Lema 1.4.4,
se obtiene que
f id = f
y f (e0 ∗ id) = (f e0) ∗ (f id) = ex0 ∗ f.
Por tanto,
[ex0 ∗ f ] = [f ]. (1.71)
De (1.71) y usando el Lema 1.4.2, se concluye que
[ex0 ] ∗ [f ] = [f ].
De manera, similar, se define e1 el camino constante en el punto 1 ∈ I.
Luego, id ∗ e1 es un camino desde 0 hasta 1, es decir (id ∗ e1)(0) = 0 e
(id ∗ e1)(1) = 1. Usando el Lema 1.4.6, se sigue que existe una homotopía
de caminos H : I × I −→ I entre id ∗ e1 e id. Puesto que f es una función
continua y usando el Lema 1.4.3, se tiene que f H : I −→ X es una
homotopía de caminos entre f (id ∗ e1) y f id. De ahí,
f (id ∗ e1) = (f id) ∗ (f e1) = f ∗ ex1
y f id = f.
42
Por tanto,
[f ∗ ex1 ] = [f ]. (1.72)
De (1.72) y usando el Lema 1.4.2, se sigue que
[f ] ∗ [ex1 ] = [f ].
ii) Sean u, v ∈ X y sea f : I −→ X un camino tal que
f(0) = u y f(1) = v.
Usando el hecho que id(1) = 1 = id(0) y de la Definición 1.3.6, se tiene
que
id ∗ id : I −→ I
s 7−→ (id ∗ id)(s) =
id(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
id(2s− 1) , si s ∈[12, 1].
Así,
(id ∗ id)(0) = id(2(0)) = id(0) = 0
y (id ∗ id)(1) = id(2(1)− 1) = id(i) = id(1− 1) = id(0) = 0.
Por otro lado, de la Proposición 1.3.1, se ve que I es convexo. Usando el
hecho que los caminos id ∗ id y e0 tienen el mismo punto inicial y el mismo
punto final, del Lema 1.4.6, se sigue que existe una homotopía de caminos
G : I × I −→ I entre id ∗ id y e0. Ya que f es una función continua, del
Lema 1.4.3, se sigue que f G : I×I −→ X es una homotopía de caminos
entre f (id ∗ id) y f eo. Además, del Lema 1.4.4, se obtiene que
f (id ∗ id) = (f id) ∗ (f id) = f ∗ f
y f e0 = ex0 .
43
Por tanto,
[f ∗ f ] = [ex0 ]. (1.73)
De (1.73) y usando el Lema 1.4.2, se consigue que
[f ] ∗ [f ] = [ex0 ].
Siguiendo un proceso similar, al realizado hasta aquí en el presente ítem,
para el caso id ∗ id, existe una homotopía de caminos E : I × I −→ X
entre id ∗ id y e1. Luego, f E : I −→ X es una homotopía de caminos
entre f (id ∗ id) y f e1. Así,
f (id ∗ id) = (f id) ∗ (f id) = f ∗ f
y f e1 = ex1 .
Por tanto,
[f ∗ f ] = [ex1 ]. (1.74)
De (1.74) y usando el Lema 1.4.2, se concluye que
[f ] ∗ [f ] = [ex1 ].
iii) Sean a, b ∈ X. Sean f : I −→ X, g : I −→ X y h : I −→ X caminos
tales que
f(1) = a = g(0) y g(1) = b = h(0). (1.75)
De (1.75) y de la Definición 1.3.6, se sigue que
f ∗ g : I −→ X
r 7−→ (f ∗ g)(r) =
f(2r) , si r ∈[0, 1
2
],
g(2r − 1) , si r ∈[12, 1] (1.76)
y
44
g ∗ h : I −→ X
q 7−→ (g ∗ h)(q) =
g(2q) , si q ∈[0, 1
2
],
h(2q − 1) , si q ∈[12, 1].
(1.77)
Así,
(f ∗ g)(0) = f(2(0)) = f(0),
(f ∗ g)(1) = g(2(1)− 1) = g(1) = b,
(g ∗ h)(0) = g(2(0)) = g(0) = a
y (g ∗ h)(1) = h(2(1)− 1) = h(1).
(1.78)
Por otra parte, de (1.76)-(1.78) y utilizando la Definición 1.3.6, se ve que
(f ∗ g) ∗ h : I −→ X
u 7−→ ((f ∗ g) ∗ h)(u) =
(f ∗ g)(2u) , si u ∈[0, 1
2
],
h(2u− 1) , si u ∈[12, 1]
=
f(4u) , si u ∈
[0, 1
4
],
g(4u− 1) , si u ∈[14, 12
],
h(2u− 1) , si u ∈[12, 1](1.79)
y
f ∗ (g ∗ h) : I −→ X
v 7−→ (f ∗ (g ∗ h))(v) =
f(2v) , si v ∈[0, 1
2
],
(g ∗ h)(2v − 1) , si v ∈[12, 1]
=
f(2v) , si v ∈
[0, 1
2
],
g(4v − 2) , si v ∈[12, 34
],
h(4v − 3) , si v ∈[34, 1].
(1.80)
45
Ahora, se va a mostrar que la función
H : I × I −→ X
(s, t) 7−→ H(s, t) =
f(
4s1+t
), si s ∈
[0, 1+t
4
],
g(4s− t− 1) , si s ∈[1+t4, 2+t
4
],
h(4s−t−22−t
), si s ∈
[2+t4, 1]
(1.81)
es una homotopía de caminos entre (f ∗ g) ∗ h y f ∗ (g ∗ h). En efecto,
para todo s ∈ I, se tiene que
H(s, 0) =
f(4s) , si s ∈
[0, 1
4
],
g(4s− 1) , si s ∈[14, 12
],
h(2s− 1) , si s ∈[12, 1] (1.82)
= ((f ∗ g) ∗ h)(s)
y H(s, 1) =
f(2s) , si s ∈
[0, 1
2
],
g(4s− 2) , si s ∈[12, 34
],
h(4s− 3) , si s ∈[34, 1] (1.83)
= (f ∗ (g ∗ h))(s).
Además, para todo t ∈ I, se ve que
H(0, t) = f
(4(0)
1 + t
)= f(0)
y H(1, t) = h
(4(1)− t− 2
2− t
)= h
(2− t2− t
)= h(1).
(1.84)
Por otra parte, de (1.81), se definen los siguientes conjuntos
A :=
(s, t) ∈ I × I; 0 ≤ s ≤ 1 + t
4
,
B :=
(s, t) ∈ I × I;
1 + t
4≤ s ≤ 2 + t
4
y C :=
(s, t) ∈ I × I;
2 + t
4≤ s ≤ 1
.
(1.85)
46
t
1-
s
A B C
0| | | |14
12
34 1
Usando el hecho que f, g, h y los polinomios de primer grado son funciones
continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que para todo s, t ∈ I, las funciones
H|A , H|B y H|C son continuas. Además, puesto que
H
(1 + t
4, t
)= f
(4(1+t4
)1 + t
)= f(1) = a
= g(0) = g
(4
(1 + t
4
)− t− 1
)= H
(1 + t
4, t
)y H
(2 + t
4, t
)= g
(4
(2 + t
4
)− t− 1
)= g(1) = b
= h(0) = h
(4(2+t4
)− t− 2
2− t
)= H
(2 + t
4, t
),
usando el Lema 1.2.2, se tiene que H también es una función continua.
Finalmente, de (1.80)-(1.84) y utilizando el hecho que H es una función
continua, se concluye que H es una homotopía de caminos entre (f ∗g)∗h
y f ∗ (g ∗ h). En consecuencia,
[(f ∗ g) ∗ h] = [f ∗ (g ∗ h)]. (1.86)
47
De (1.86) y usando el Lema 1.4.2, se consigue que
([f ] ∗ [g]) ∗ [h] = [f ] ∗ ([g] ∗ [h]).
De aquí hasta el final de la presente sección se toma como referencia funda-
mental [15].
DEFINICIÓN 1.4.6. Sean (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ y sea
x0 un punto de X. Se denomina grupo fundamental de X relativo al punto
x0, denotado por π1(X, x0), al conjunto de clases de homotopía de caminos
asociadas a los lazos basados en x0, junto con la operación producto *, dada
en la Definición 1.3.6. Al grupo fundamental que posee un único elemento se
conoce como grupo trivial y se lo nota por π1(X, x0) = ex0, donde ex0 es el
camino constante en xo.
DEFINICIÓN 1.4.7. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que X es
simplemente conexo si y solo si
i ) X es conexo por caminos.
ii ) Para todo x0 ∈ X, se tiene que todo lazo basado en x0 es homotópico por
caminos al camino constante en x0.
LEMA 1.4.7. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Sean f : I −→ X
y g : I −→ X caminos tales que f(0) = g(0) y f(1) = g(1). SiX es simplemente
conexo, entonces f es homotópico por caminos a g.
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico simplemente conexo tal que
X 6= φ. Sean f : I −→ X y g : I −→ X caminos tales que f(0) = g(0) =: x0 y
f(1) = g(1) =: x1. Por otra parte, sea
g : I −→ X
s 7−→ g(s) := g(1− s).(1.87)
48
Usando (1.87) y la Definición 1.3.6, se sigue que
f ∗ g : I −→ X
s 7−→ (f ∗ g)(s) =
f(2s) , si s ∈[0, 1
2
],
g(2s− 1) , si s ∈[12, 1].
(1.88)
Así,
(f ∗ g)(0) = f(2(0)) = f(0) = x0
y (f ∗ g)(1) = g(2(1)− 1) = g(1) = g(1− 1) = g(0) = x0.(1.89)
De (1.88), (1.89) y usando el Lema 1.3.1, se sigue que f ∗ g es un lazo basado
en x0. Por otra parte, sea exo : I −→ X el lazo constante en x0. Utilizando el
hecho que X es simplemente conexo y la Definición 1.4.7, se concluye que f ∗ g
es homotópico por caminos a ex0 . Así,
[f ∗ g] = [ex0 ]. (1.90)
De (1.90) y usando el Teorema 1.4.1, se tiene que
[f ∗ g] ∗ [g] = [ex0 ] ∗ [g] = [g]. (1.91)
Sin embargo,
[f ∗ g] ∗ [g] = [f ] ∗ [g ∗ g] = [f ] ∗ [ex1 ] = [f ]. (1.92)
De (1.91) y (1.92), se sigue que [f ] = [g]. Es decir, f es homotópico por caminos
a g.
DEFINICIÓN 1.4.8. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Se dice
que X es contractible si y solo si existen x0 ∈ X y F : X × I −→ X una
función continua tales que para todo x ∈ X,
F (x, 0) = x y F (x, 1) = x0.
49
TEOREMA 1.4.2. Sea (X, T ) un espacio topológico con X 6= φ. Si X es
contractible, entonces X es simplemente conexo.
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico contractible tal que X 6= φ.
i) Sean a, b ∈ X. De la Definición 1.4.8, se sigue que existen x0 ∈ X y una
función continua F : X × I −→ X tales que para todo x ∈ X,
F (x, 0) = x y F (x, 1) = x0. (1.93)
Ahora, se considera la función
α : I −→ X
s 7−→ α(s) :=
F (a, 2s) , si s ∈[0, 1
2
],
F (b, 2− 2s) , si s ∈[12, 1].
(1.94)
De (1.93) y (1.94), se ve que
α (0) = F (a, 0) = a,
y α (1) = F (b, 0) = b.(1.95)
Utilizando el hecho que F y los polinomios de primer grado son funciones
continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue que α|[0, 12 ]
y α|[ 12 ,1]
son funciones
continuas. Además, puesto que
α
(1
2
)= F
(a, 2
(1
2
))= F (a, 1) = x0
= F (b, 1) = F
(b, 2− 2
(1
2
))= α
(1
2
),
usando el Lema 1.2.2, se tiene que α también es una función continua.
Finalmente, de (1.95) y puesto que α es una función continua, se concluye
que α es un camino que va desde a hasta b. Por lo tanto, X es conexo
por caminos.
50
ii) Sea a ∈ X. Sea f : I −→ X un lazo basado en a y sea ea : I −→ X el
camino constante en a. De la Definición 1.4.8, se sigue que existen x0 ∈ X
y una función continua G : X × I −→ X tales que para todo x ∈ X,
G(x, 0) = x y G(x, 1) = x0. (1.96)
Ahora, se consideran las siguientes funciones:
E : I × I −→ X
(u, v) 7−→ E(u, v) := G(f(u), v)(1.97)
y H : I × I −→ X
(c, d) 7−→ H(c, d) := G(ea(c), cd).(1.98)
Ya que G, f , ea y los polinomios de primer grado son funciones continuas,
del Teorema 1.2.2, se sigue que E y H también son funciones continuas.
De (1.96)-(1.98) y para todo p ∈ I, se definen las siguientes funciones
Hp : I −→ X
m 7−→ Hp(m) := H(m, p),(1.99)
Ep : I −→ X
l 7−→ Ep(l) := E(l, p)(1.100)
y Hp : I −→ X
r 7−→ Hp(r) := Hp(1− r) = H(1− r, p).(1.101)
De (1.97)-(1.101), se ve que
Hp(1) = H(1, p) = G(ea(1), p) = G(a, p)
= G(f(0), p) = E(0, p) = Ep(0)
y Ep(1) = E(1, p) = G(f(1), p) = G(a, p)
= G(ea(1), p) = H(1, p) = Hp(1) = Hp(0).
(1.102)
51
Por otra parte, usando el hecho que H,E, los polinomios de primer grado
y la función proyección π1 : I × I −→ I son funciones continuas, del
Teorema 1.2.2, se tiene que Hp, Ep y Hp también son funciones continuas.
Usando (1.99)-(1.101), se define la función
K : I × I −→ X
(i, j) 7−→ K(i, j) =
Hj (4i) , si i ∈
[0, 1
4
],
Ej (4i− 1) , si i ∈[14, 12
],
Hj (2i− 1) , si i ∈[12, 1].
(1.103)
De (1.96)-(1.102), se sigue que
K(i, 0) =
H0(4i) , si i ∈
[0, 1
4
],
E0(4i− 1) , si i ∈[14, 12
],
H0(2i− 1) , si i ∈[12, 1]
=
H(4i, 0) , si i ∈
[0, 1
4
],
E(4i− 1, 0) , si i ∈[14, 12
],
H(2− 2i, 0) , si i ∈[12, 1]
=
G(ea(4i), 0) , si i ∈
[0, 1
4
],
G(f(4i− 1), 0) , si i ∈[14, 12
],
G(ea(2− 2i), 0) , si i ∈[12, 1]
=
ea(4i) , si i ∈
[0, 1
4
],
f(4i− 1) , si i ∈[14, 12
],
ea(2− 2i) , si i ∈[12, 1]
= (ea ∗ f) ∗ ea,
(1.104)
K(i, 1) =
H1(4i) , si i ∈
[0, 1
4
],
E1(4i− 1) , si i ∈[14, 12
],
H1(2i− 1) , si i ∈[12, 1]
= (H1 ∗ E1) ∗ H1,
(1.105)
52
K(0, j) = Hj(0) = H(0, j)
= G(ea(0), 0) = ea(0)
= a
y K(1, j) = Hj(2(1)− 1) = Hj(1)
= Hj(1− 1) = Hj(0)
= H(0, j) = G(ea(0), 0)
= ea(0) = a.
(1.106)
Utilizando el hecho que los polinomios de primer grado y que para todo
j ∈ I, las funciones Hj, Ej y Hj son continuas, del Teorema 1.2.2, se sigue
que K|[0, 14 ]×[0,1]
, K|[ 14 , 12 ]×[0,1]
y K|[ 12 ,1]×[0,1]
son funciones continuas. Además,
ya que para todo j ∈ I,
K
(1
4, j
)= Hj
(4
(1
4
))= Hj(1) = H(1, j) = G(a, j)
= E(0, j) = Ej(0) = Ej
(4
(1
4
)− 1
)= K
(1
4, j
)y K
(1
2, j
)= Ej
(4
(1
2
)− 1
)= E(1, j) = G(a, j)
= H(1, j) = Hj(0) = Hj
(2
(1
2
)− 1
)= K
(1
2, j
),
del Lema 1.2.2, se tiene que K es una función continua. Finalmente, de
(1.104)-(1.106), y puesto que K es una función continua, se concluye que
(ea ∗ f) ∗ ea es homotópico por caminos a (H1 ∗ E1) ∗ H1. De donde,
[(ea ∗ f) ∗ ea] = [(H1 ∗ E1) ∗ H1]. (1.107)
De (1.107) y del Lema 1.4.2, se ve que
([ea] ∗ [f ]) ∗ [ea] = ([H1] ∗ [E1]) ∗ [H1]. (1.108)
Por otra parte, de (1.96)-(1.101) se nota que
53
H1(0) = H(0, 1) = G(ea(0), 0) = G(a, 0) = a,
H1(1) = H(1, 1) = G(ea(1), 1) = G(a, 1) = x0,
E1(0) = E(0, 1) = G(f(0), 1) = G(a, 1) = x0
y E1(1) = E(1, 1) = G(f(1), 1) = G(a, 1) = x0.
(1.109)
De (1.109) y usando el hecho que para todo j ∈ I, las funciones Hj, Ej
y Hj son continuas. Se sigue que, H1 es un camino desde a hasta x0 y
E1 es un camino constante en x0. Finalmente, de (1.108) y utilizando el
Teorema 1.4.1, se concluye que
[f ] = [ea].
Lo que prueba que para todo a ∈ X, cualquier lazo basado en a es
homotópico por caminos al camino constante en a.
54
CAPÍTULO 2
FORMAS DIFERENCIALES
2.1 Álgebra Exterior
A continuación y hasta el final de esta sección, se presentan una serie de re-
sultados sobre funciones alternantes y sus respectivas demostraciones, con la
finalidad de establecer el producto exterior. Además, se muestran varios re-
sultados que permiten determinar la relación entre el producto exterior y el
determinante de una matriz cuadrada, para los cuales se han tomado como
referencias fundamentales [9], [10] y [16].
DEFINICIÓN 2.1.1. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde K = R o K = C. Sean v1, . . . , vn elementos de V , los cuales se llaman
vectores. Se dice que un vector v ∈ V es combinación lineal de v1, . . . , vn si
existen a1, . . . , an ∈ K tales que
v =n∑i=1
aivi.
Los escalares a1, . . . , an ∈ K se denominan coeficientes.
DEFINICIÓN 2.1.2. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo
K, donde K = R o K = C. Se dice que los vectores v1, . . . , vn ∈ V son li-
nealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito como una
combinación lineal de los vectores restantes, es decir, para todo a1, . . . , an ∈ K,
la combinación lineal
a1v1 + . . .+ anvn = 0,
se satisface únicamente cuando a1 = . . . = an = 0.
55
DEFINICIÓN 2.1.3. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde K = R o K = C. Se dice que los vectores v1, . . . , vn ∈ V son linealmente
dependientes si no son linealmente independientes, es decir, si al menos uno
de ellos puede ser escrito como una combinación lineal de los vectores restantes,
o lo que es lo mismo, si existen a1, . . . , an ∈ K, no todos nulos, tales que
a1v1 + . . .+ anvn = 0.
DEFINICIÓN 2.1.4. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde K = R o K = C. Se denomina espacio dual de V , y se denota por V ∗,
al conjunto formado por todas las funciones lineales de V en K, es decir,
V ∗ = f : V −→ K ; f es una función lineal.
DEFINICIÓN 2.1.5. Sean (V,+, ·,K) y (W,+, ·,K) espacios vectoriales so-
bre el cuerpo K, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V =
n < +∞. Sea k un entero positivo. La función f : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k−veces
−→ W se
dice k-lineal si es lineal en cada una de sus coordenadas, es decir, para todo
i ∈ 1, . . . , k, para todo α, β ∈ K y para todo v1, . . . , vk, ui ∈ V , se ve que
f(v1, . . . , αvi + βui, . . . , vk) = αf(v1, . . . , vi, . . . , vk) + βf(v1, . . . , ui, . . . , vk).
Se denota por Lk(V ;W ) al conjunto de todas las funciones k-lineales de V k :=
V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k−veces
en W .
DEFINICIÓN 2.1.6. Sean (V,+, ·,K) y (W,+, ·,K) espacios vectoriales so-
bre el cuerpo K, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V =
n < +∞. Sean k un entero positivo y f ∈ Lk(V ;W ) una función k-lineal. Se
dice que f es una función k-lineal alternada si para todo i ∈ 1, . . . , k y
para todo j ∈ 1, . . . , k tales que 1 ≤ i < j ≤ k, se tiene que
f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = −f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk).
56
Se denota por Ak(V ;W ) al conjunto de todas las funciones k-lineales alternadas
de V k := V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k−veces
enW . Además, se denota por Ak(V ) al conjunto de todas
las funciones k-lineales alternadas de V k en K.
Cabe destacar que toda función lineal g : V −→ W es alternada, puesto que
g satisface vacíamente la definición anterior. Es decir, A1(V ;W ) = L1(V ;W ).
En particular, A1(V ) = V ∗.
DEFINICIÓN 2.1.7. Sea k ∈ Z+. El conjunto
Sk :=σ : 1, . . . , k −→ 1, . . . , k;σ es biyectiva
se conoce como el grupo de permutaciones de k elementos. Además, para
todo i ∈ 1, . . . , k y para todo j ∈ 1, . . . , k tales que i 6= j, se dice que
τi,j ∈ Sk es la transposición de i en j si τi,j es una permutación tal que para
todo h ∈ 1, . . . , k con h 6= i y h 6= j,
τi,j(i) = j, τi,j(j) = i y τi,j(h) = h.
Por otra parte, vale mencionar que toda permutación σ ∈ Sk puede ser ex-
presada como una composición de transposiciones, es decir, existen m ∈ Z+ y
τ1, . . . , τm ∈ Sk transposiciones tales que
σ = τ1 . . . τm.
En este caso, se dice que las transposiciones τ1, . . . , τm descomponen σ.
DEFINICIÓN 2.1.8. Sea k ∈ Z+. Sean σ ∈ Sk y m ∈ Z+ tales que las
transposiciones τ1, . . . , τm ∈ Sk descomponen σ. El signo de la permutación
σ está dado por
sgn σ = (−1)m.
Se dice que σ es una permutación par cuando sgn σ = 1, caso contrario, se
dice que σ es una permutación impar .
Cabe resaltar que la descomposición de una permutación en transposiciones no
57
es única. Sin embargo, la paridad del número de transposiciones que descom-
ponen una permutación no depende de la descomposición.
DEFINICIÓN 2.1.9. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo
K, donde K = R o K = C. Sean k ∈ Z+, σ ∈ Sk y f : V k −→ K una
función. Se denomina permutación de las coordenadas de la función f por
la permutación σ a la función σ ·f : V k −→ K tal que para todo v1, . . . , vk ∈ V ,
(σ · f)(v1, . . . , vk) = f(vσ(1), . . . , vσ(k)).
LEMA 2.1.1. Sean (V,+, ·,K) y (W,+, ·,K) espacios vectoriales sobre el cuer-
po K, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n <
+∞. Sean k ∈ Z+ y f : V k −→ W una función. Si f ∈ Ak(V ;W ), entonces se
satisfacen las siguientes condiciones:
i) Para todo σ ∈ Sk y para todo v1, . . . , vk ∈ V ,
f(vσ(1), . . . , vσ(k)) = (sgn σ)f(v1, . . . , vk).
ii) Para todo i, j ∈ 1, . . . , k tales que i 6= j y para todo v1, . . . , vk ∈ V con
vi = vj,
f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = 0.
iii) Si los vectores v1, . . . , vk ∈ V son linealmente dependientes, entonces
f(v1, . . . , vk) = 0.
Demostración. Sean (V,+, ·,K) y (W,+, ·,K) espacios vectoriales sobre el cuer-
po K, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞.
Sean k ∈ Z+ y f ∈ Ak(V ;W ). Si k = 1, el ítem i) se sigue evidentemente pues
S1 = id, mientras que los ítems ii) y iii) se satisfacen vacíamente. Se supone
ahora que k ∈ 2, 3, . . ..
58
i) Sean σ ∈ Sk y v1, . . . , vk ∈ V . Usando la Definición 2.1.9, se tiene que
f(vσ(1), . . . , vσ(k)) = (σ · f)(v1, . . . , vk). (2.1)
Por otra parte, existen m ∈ Z+ y τ1, . . . , τm ∈ Sk transposiciones tales
que
σ = τ1 . . . τm. (2.2)
De (2.1) y (2.2), se ve que
f(vσ(1), . . . , vσ(k)) =(
(τ1 . . . τm) · f)
(v1, . . . , vk)
=f(v(τ1...τm)(1), . . . , v(τ1...τm)(k)
)=f(vτ1(τ2...τm)(1), . . . , vτ1(τ2...τm)(k)
)=(−1)f
(v(τ2...τm)(1), . . . , v(τ2...τm)(k)
)...
=(−1)mf(v1, . . . , vk)
=(sgn σ)f(v1, . . . , vk),
donde se ha usado el hecho que f es una función k-lineal alternada.
ii) Sean i, j ∈ 1, . . . , k tales que i 6= j y sean v1, . . . , vk ∈ V con vi = vj.
De la Definición 2.1.6, se sigue que
f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = −f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk).
Luego,
f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) + f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk) = 0. (2.3)
De (2.3) y usando el hecho que vi = vj, se concluye que
2f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = 0.
59
Entonces,
f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = 0.
iii) Sean v1, . . . , vk ∈ V k vectores linealmente dependientes. Usando la De-
finición 2.1.3, se sigue que existen a1, . . . , an ∈ K, no todos nulos, tales
que
a1v1 + . . .+ anvn = 0.
Sin pérdida de generalidad, se considera que a1 6= 0. Luego,
v1 =k∑i=2
αi vi, (2.4)
donde para todo i ∈ 2, . . . , k, αi = − aia1∈ K. Por lo tanto,
f(v1, . . . , vk) = f
(k∑i=2
αivi, . . . , vk
). (2.5)
De (2.5) y usando el hecho que f es una función k-lineal, se tiene que
f(v1, . . . , vk) =k∑i=2
αif(vi, . . . , vk).
Utilizando el ítem ii) del presente lema, se concluye que
f(v1, . . . , vk) = 0.
DEFINICIÓN 2.1.10. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sean
k, ` ∈ Z+. Sean f ∈ Ak(V ) y g ∈ A`(V ). Se denomina producto exterior de
f y g a la función f ∧ g : V k+` −→ K, donde para todo v1, . . . , vk+` ∈ V ,
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))g(vσ(k+1), . . . vσ(k+`)).
60
LEMA 2.1.2. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K, donde
V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sean k, ` y s
enteros positivos. El producto exterior entre funciones lineales alternadas, dado
en la Definición 2.1.10, satisface las siguientes propiedades.
i) Si f ∈ Ak(V ) y g ∈ A`(V ), entonces
f ∧ g ∈ Ak+`(V ).
ii) Si f ∈ Ak(V ) y g ∈ A`(V ), entonces
f ∧ g = (−1)k `g ∧ f.
iii) Si f, f ∈ Ak(V ) y g, g ∈ A`(V ), entonces para todo λ ∈ K,
f ∧ (g + λg) = (f ∧ g) + λ(f ∧ g)
y (f + λf) ∧ g = (f ∧ g) + λ(f ∧ g).
Demostración. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K, donde
V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sean k, ` y
s ∈ Z+.
i) Sean f ∈ Ak(V ) y g ∈ A`(V ). Sean i, j ∈ 1, . . . , k + ` tales que i 6= j
y para todo v1, . . . , vk+` ∈ V con vi = vj. Usando la Definición 2.1.10, se
tiene que
(f ∧ g)(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk+`) :=1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ) f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . vσ(k+`)).
(2.6)
Sea µ ∈ Sk+`. Se analizan las siguientes tres situaciones.
a) Se considera primero el caso i, j ∈ µ(1), . . . , µ(k). Utilizando el
61
Lema 2.1.1 y ya que f es una función k-lineal alternada, se tiene que
f(vµ(1), . . . , vi, . . . , vj, . . . , vµ(k)) = 0.
Por lo tanto, el sumando correspondiente a µ en la ecuación (2.6) es
nulo.
b) Se considera ahora el caso i, j ∈ µ(k+ 1), . . . , µ(k+ `). Usando el
Lema 2.1.1 y ya que g es una función k-lineal alternada, se tiene que
g(vµ(k+1), . . . , vi, . . . , vj, . . . vµ(k+`)) = 0.
Por lo tanto, el sumando correspondiente a µ en la ecuación (2.6) es
nulo.
c) Sin pérdida de generalidad, se considera ahora el caso i ∈ µ(1), . . . , µ(k)
y j ∈ µ(k + 1), . . . , µ(k + `). Es decir,
f(vµ(1), . . . , vi, . . . , vµ(k))
y g(vµ(k+1), . . . , vj, . . . vµ(k+`)).
Sea µ ∈ Sk+` tal que µ = τi,j µ, donde τi,j es la transposición de i
en j. Luego,
f(vµ(1), . . . , vµ(j), . . . , vµ(k)) = f(vµ(1), . . . , vµ(i), . . . , vµ(k))
g(vµ(k+1), . . . , vµ(i), . . . vµ(k+`)) = g(vµ(k+1), . . . , vµ(j), . . . vµ(k+`)).
(2.7)
Por otra parte, utilizando el Lema 2.1.1, se obtiene que
sgn µ = −sgn µ. (2.8)
De (2.7) y (2.8), se ve que
62
(sgn µ) f(vµ(1), . . . , vµ(i), . . . , vµ(k)) g(vµ(k+1), . . . , vµ(j), . . . vµ(k+`)) =
(−sgn µ) f(vµ(1), . . . , vi, . . . , vµ(k)) g(vµ(k+1), . . . , vj, . . . vµ(k+`)).
Luego,
(sgn µ) f(vµ(1), . . . , vµ(i), . . . , vµ(k)) g(vµ(k+1), . . . , vµ(j), . . . vµ(k+`))+
(sgn µ) f(vµ(1), . . . , vi, . . . , vµ(k)) g(vµ(k+1), . . . , vj, . . . vµ(k+`)) = 0.
De (2.7) y (2.8), se sigue que el sumando correspondiente a µ en la
ecuación (2.6) es nulo.
De a), b) y c), se concluye que
(f ∧ g)(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk+`) = 0.
Por lo tanto, f ∧ g ∈ Ak+`.
ii) Sean f ∈ Ak(V ) y g ∈ A`(V ). Usando la Definición 2.1.10, se sigue que
para todo v1, . . . , vk+` ∈ V ,
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).
(2.9)
Por otra parte, sea µ ∈ Sk+` una permutación tal que
µ(i) =
k + i , si i ∈ 1, . . . , `,
i− ` , si i ∈ `+ 1, . . . , `+ k.(2.10)
De (2.10), se obtiene que
f(vσ(µ(`+1)), . . . , vσ(µ(`+k))) = f(vσ(1), . . . , vσ(k))
y g(vσ(µ(1)), . . . , vσ(µ(`))) = g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).(2.11)
63
Además,
sgn µ = (−1)k `. (2.12)
De (2.9), (2.11) y (2.12), se sigue que
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =(−1)k`
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)(sgn µ) g(vσ(µ(1)), . . . , vσ(µ(`)))
f(vσ(µ(`+1)), . . . , vσ(µ(`+k))).
Así,
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =(−1)k`
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ µ) g(vσ(µ(1)), . . . , vσ(µ(`)))
f(vσ(µ(`+1)), . . . , vσ(µ(`+k))).
Ahora, se considera la permutación σ ∈ Sk+` tal que σ = σ µ. Luego,
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =(−1)k`
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)g(vσ(1), . . . , vσ(`))
f(vσ(`+1), . . . , vσ(`+k)). (2.13)
De (2.13), se concluye que
(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`) = (−1)k`(g ∧ f)(v1, . . . , vk+`).
iii) Sea λ ∈ K. Sean f, f ∈ Ak(V ) y g, g ∈ A`(V ). Usando la Definición
2.1.10, se sigue que para todo v1, . . . , vk+`,
(f ∧ (g + λg))(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
(g + λg)(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).
Utilizando el hecho A`(V ) es un espacio vectorial con las operaciones
usuales de suma de dos funciones y el producto de un escalar por una
64
función, se tiene que
(f ∧ (g + λg))(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))[g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)) + λg(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`))
].
Luego,
(f ∧ (g + λg))(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`))
+λ
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)). (2.14)
De (2.14), se concluye que
(f ∧ (g+λg))(v1, . . . , vk+`) = (f ∧g)(v1, . . . , vk+`)+λ(f ∧ g)(v1, . . . , vk+`).
Por otra parte, utilizando la Definición 2.1.10, se tiene que
((f + λf) ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)(f + λf)(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).
Utilizando el hecho Ak(V ) es un espacio vectorial con las operaciones
usuales de suma de dos funciones y el producto de un escalar por una
función, se tiene que
((f + λf) ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)[f(vσ(1), . . . , vσ(k))
+ λf(vσ(1), . . . , vσ(k))]
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).
65
Luego,
((f + λf) ∧ g)(v1, . . . , vk+`) =1
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`))
+λ
k!`!
∑σ∈Sk+`
(sgn σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))
g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)). (2.15)
De (2.15), se concluye que
((f+λf)∧g)(v1, . . . , vk+`) = (f ∧g)(v1, . . . , vk+`)+λ(f ∧g)(v1, . . . , vk+`).
LEMA 2.1.3. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K, donde V
es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sea k un entero
positivo. Si k > n, entonces
Ak(V ) = 0.
Demostración. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K, donde
V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sean k un
entero positivo tal que k > n y v1, . . . , vk ∈ V . Usando el hecho que k > n,
se sigue que los vectores v1, . . . , vk son linealmente dependientes. Utilizando la
Definición 2.1.3, se sigue que existen a1, . . . , an ∈ K, no todos nulos, tales que
a1v1 + . . .+ anvn = 0.
Sin pérdida de generalidad, se considera que a1 6= 0. Así,
v1 =k∑i=2
αi vi,
donde para todo i ∈ 2, . . . , k, αi = − aia1∈ K. Sea f ∈ Ak(V ). Se ve que
66
f(v1, . . . , vk) = f
(k∑i=2
αivi, . . . , vk
). (2.16)
De (2.16) y usando el hecho que f es una función k-lineal, se tiene que
f(v1, . . . , vk) =k∑i=2
αif(vi, . . . , vk).
Utilizando ahora el Lema 2.1.1, se concluye que
f(v1, . . . , vk) = 0.
Por lo tanto, Ak(V ) = 0.
TEOREMA 2.1.1. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K,
donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Si
e1, . . . , en es una base de V y e∗1, . . . , e∗n es su base dual, entonces los pro-
ductos e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik, donde 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n, forman una base de Ak(V ).
En particular, dim Ak(V ) =
(n
k
).
Demostración. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo K, donde V
es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞. Sean e1, . . . , en
una base de V y e∗1, . . . , e∗n su base dual. Sea k un entero positivo. Sean
I = (i1, . . . , ik) y J = (j1, . . . , jk) multi-índices tales que
1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n y 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ n.
Sea e∗I = e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik. Usando el hecho que e1, . . . , en y e∗1, . . . , e∗n son
bases de V y V ∗, respectivamente, se sigue que para todo s ∈ I y para todo
t ∈ J ,
e∗s(et) =
0 , si s 6= t,
1 , si s = t.(2.17)
67
De (2.17) y utilizando la Definición 2.1.10, se tiene que
(e∗I)(ej1 , . . . , vjk) =
0 , si I 6= J,
sgn σ , si I = J.(2.18)
a) Primero, se prueba que los productos e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik, con 1 ≤ i1 < . . . <
ik ≤ n, son linealmente independientes. Sean αi1,...,ik ∈ K tales que
∑1≤i1<...<ik≤n
αi1,...,ik(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
) = 0. (2.19)
Luego,
∑1≤i1<...<ik≤n
αi1,...,ik(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(ej1 , . . . , ejk) = 0.
De (2.18), se sigue que
∑1≤i1<...<ik≤n
αi1,...,ik(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(ej1 , . . . , ejk) = αj1,...,jk(sgn σ). (2.20)
De (2.19) y (2.20), se obtiene que
αj1,...,jk (sgn σ) = 0.
Luego, αj1,..., jk = 0. Por lo tanto, e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗in ; 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n
es un conjunto linealmente independiente.
b) Ahora, se muestra que e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik, con 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n, es
una base de Ak(V ). Sean f ∈ Ak(V ) y v1, . . . , vk ∈ V . Usando el hecho
que todo vector de un espacio vectorial puede ser expresado como una
combinación lineal de los elementos de la base, se tiene que para todo
i ∈ 1, . . . , k y para todo j ∈ 1, . . . , n, existen ai,j ∈ K tales que
vi =n∑j=1
ai,jej. (2.21)
68
De (2.21), se sigue que
f(v1, . . . , vk) = f
(n∑
j1=1
a1,j1ej1 , . . . ,
n∑jk=1
ak,jkejk
).
Usando el hecho que f es una función k-lineal alternada, se tiene que
f(v1, . . . , vk) =n∑
j1=1
a1,j1 · · ·n∑
jk=1
ak,jk f(ej1 , . . . , ejk). (2.22)
Por otro lado, sea σ ∈ Sk la permutación que ordena los índices j1, . . . , jk
en forma creciente. Es decir,
1 = σ(j1) < . . . < σ(jk) = k.
Remplazando σ ∈ Sk en la ecuación (2.22), se obtiene que
f(v1, . . . , vk) =∑
1≤j1<...<jk≤n
∑σ∈Sk
a1,σ(j1) · · · ak,σ(jk) f(eσ(j1), . . . , eσ(jk)).
(2.23)
De (2.23) y usando el Lema 2.1.1, se sigue que
f(v1, . . . , vk) =∑
1≤j1<...<jk≤n
∑σ∈Sk
a1,σ(j1) · · · ak,σ(jk)(sgn σ) f(ej1 , . . . , ejk)
=∑
1≤j1<...<jk≤n
f(ej1 , . . . , ejk)∑σ∈Sk
(sgn σ)a1,σ(j1) · · · ak,σ(jk).
(2.24)
Por otra parte, de (2.21), se obtiene que
(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(v1, . . . , vk) = (e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)
(n∑
j1=1
a1,j1ej1 , . . . ,n∑
jk=1
ak,jkejk
)
=n∑
j1=1
a1,j1 . . .
n∑jk=1
ak,jk (e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(ej1 , . . . , ejk).
(2.25)
69
Remplazando σ en la ecuación (2.25), se ve que
(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(v1, . . . , vk) =∑
1≤j1<...<jk≤n
∑σ∈Sk
a1,σ(j1) · · · ak,σ(jk)
(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(eσ(j1), . . . , eσ(jk)).
(2.26)
De (2.18) y (2.26), se sigue que
(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(v1, . . . , vk) =∑σ∈Sk
(sgn σ)a1,σ(j1) · · · ak,σ(jk). (2.27)
De (2.24) y (2.27), se concluye que
f(v1, . . . , vk) =∑
1≤j1<...<jk≤n
f(ej1 , . . . , ejk)(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik
)(v1, . . . , vk).
Por lo tanto, e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik, con 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n, es una base de
Ak(V ).
DEFINICIÓN 2.1.11. Sea (V,+, ·,K) un espacio vectorial sobre el cuerpo
K, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita, dim V = n < +∞.
Sean v2, . . . , vk ∈ V . Se denomina multiplicación interior por v ∈ V a la
función
lv : A k(V ) −→ A k−1(V )
f(v2, . . . , vk) 7−→ lv(f(v2, . . . , vk)) := f(v, v2, . . . , vk).
Cabe señalar que la multiplicación interna es una antiderivación de grado −1.
DEFINICIÓN 2.1.12. Sean k un entero positivo y U un subconjunto abierto
de Rn. Una k-forma diferencial en U es una función ω : U −→ Ak(Rn) tal
que para todo x ∈ U , ω(x) ∈ Ak(Rn) es una función k-lineal alternada de Rn
en R. Se denota por Ωk(U) al conjunto de todas las k-formas diferenciales en
U .
70
Sean e1, . . . , en la base canónica de Rn y dx1, . . . , dxn la base canónica de
(Rn)∗. Sea I = (i1, . . . , in) una familia de multi-índices tales que 1 ≤ i1 < . . . <
ik ≤ n. Usando el Lema 2.1.2, se sigue que dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , con 1 ≤ i1 <
. . . < ik ≤ n, es una base de Ak(Rn). Por lo tanto, toda k-forma diferencial
ω ∈ Ωk(U) puede ser expresada como una combinación lineal de los elementos
de la base, es decir, para todo x ∈ U , existen funciones ai1,...,ik : U ⊂ Rn −→ R
tales que
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Cabe señalar que las funciones ai1,...,ik : U −→ R se denominan coordenadas
de ω y están dadas por
ai1,...,ik(x) = ω(x) (eii , . . . , eik).
Además, las k-formas diferenciales en Rn forman un espacio vectorial bajo las
operaciones suma y multiplicación escalar, donde para todo ω, η ∈ Ωk(U) y
para todo λ ∈ R las operaciones suma y multiplicación escalar están dadas por
(ω + η)(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik + bi1,...,ik)(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
y (λω)(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
λ ai1,...,ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
DEFINICIÓN 2.1.13. Sean k y ` enteros positivos. Sea U un subconjunto
abierto de ⊂ Rn. Sean I = (i1, . . . , ik) y J = (j1, . . . , j`) multi-índices tales que
1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n y 1 ≤ j1 < . . . < j` ≤ n. Sean ω ∈ Ωk(U) una k-forma
diferencial y η ∈ Ω`(U) una `-forma diferencial tales que para todo x ∈ U .
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
y η(x) =∑
1≤j1<...<j`≤n
bj1,...,j`(x) dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk .
Se denomina producto exterior de ω y η, y se denota por ω ∧ η, a la (k+ `)-
71
forma diferencial dada por
ω∧η =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
ai1,...,ikbj1,...,j` (dxi1∧. . .∧dxik)∧(dxj1∧. . .∧dxj`).
DEFINICIÓN 2.1.14. Sea U un subconjunto abierto de Rn. Sean k un entero
positivo y ω ∈ Ωk(U) una k- forma diferencial. Sea ξ : U −→ Rn un campo
vectorial. La multiplicación interior de ω por ξ, está dada por la función
lξ : Ωk(U) −→ Ωk−1 tal que para todo u ∈ U ,
lξ(ω)(u) = lξ(u)(ω(u)).
Usando el hecho que ω ∈ Ωk(U) puede ser expresada como una combinación
lineal de los elementos de la base, es decir, para todo x ∈ U , existen funciones
ai1,...,ik : U ⊂ Rn −→ K tales que
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Se define la Derivada de Lie de ω respecto al campo vectorial ξ como
Lieξ(ω) := d lξ(ω) + lξ d(ω).
En cierto sentido, este operador toma la derivada de una forma con respecto a
un campo vectorial. Considerando un campo vectorial constante ~x, se obtiene
que
Lie~x
( ∑1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
)=
∑1≤i1<...<ik≤n
∂ai1,...,ik∂x
dxi1∧. . .∧dxik .
2.2 Cambio de Coordenadas
En el transcurso de esta sección, se presenta una serie de resultados sobre el
pullback de una k-forma diferencial y sus respectivas demostraciones en forma
detallada, los cuales han sido tomados de [17].
72
DEFINICIÓN 2.2.1. Sea k un entero positivo. Sean U un subconjunto abier-
to de Rn y V subconjunto abierto de Rm. Sean f : V −→ U una función
diferenciable y ω ∈ Ωk(U), donde para todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
El pullback de ω a través de f , denotado por f ∗(ω) ∈ Ωk(V ), es la función
f ∗ : Ωk(U) −→ Ωk(V ) tal que para todo v ∈ V
f ∗(ω)(v) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik f(v)) d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v)).
LEMA 2.2.1. Sean k y ` enteros positivos. Sean U un subconjunto abierto
de Rn, V un subconjunto abierto de Rm y W un subconjunto abierto de Rp.
La operación pullback de una forma diferencial, dada en la Definición 2.2.1,
satisface las siguientes propiedades.
i) Si f : V −→ U es una función diferenciable y ω, η ∈ Ωk(U), entonces
para todo λ, µ ∈ R,
f ∗(λω + µη) = λf ∗(ω) + µf ∗(η).
ii) Si ω ∈ Ωk(U), η ∈ Ω`(U) y f : V −→ U es una función diferenciable,
entonces
f ∗(ω ∧ η) = f ∗(ω) ∧ f ∗(η).
iii) Si f : V −→ U , g : W −→ V son funciones diferenciables y ω ∈ Ωk(U),
entonces
(f g)∗(ω) = g∗(f ∗(ω)).
Demostración. Sean k y ` enteros positivos. Sean U un subconjunto abierto de
Rn, V un subconjunto abierto de Rm y W un subconjunto abierto de Rp.
i) Sean f : V −→ U una función diferenciable y λ, µ ∈ R. Sean ω, η ∈ Ωk(U)
73
tales que para todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
y η(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
bi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Utilizando el hecho que las k-formas diferenciales en Rn forman un espacio
vectorial, se sigue que (λω + µη) ∈ Ωk(U) tal que para todo u ∈ U ,
(λω + µη)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(λai1,...,ik + µbi1,...,ik)(u)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
Usando la Definición 2.2.1, se tiene que para todo v ∈ V ,
f ∗(λω + µη)(v) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(λ ai1,...,ik + µ bi1,...,ik) f(x)
d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
=∑
1≤i1<...<ik≤n
(λ (ai1,...,ik f(x)) + µ (bi1,...,ik f(x))
)d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
= λ∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik f(v)) d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
+ µ∑
1≤i1<...<ik≤n
(bi1,...,ik g(x)) d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
=λf ∗(ω) + µf ∗(η).
ii) Sean ω ∈ Ωk(U) y η ∈ Ω`(U). Sea f : V −→ U una función diferenciable.
Usando la Definición 2.1.13, se sigue que ω ∧ η es una (k + `)-forma
diferencial en U dada por
ω ∧ η =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
ai1,...,ik bj1,...,j` (dxi1,...,ik) ∧ (dxj1,...,j`).
74
Utilizando la Definición 2.2.1, se tiene que para todo v ∈ V ,
f ∗(ω ∧ η)(v) =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(ai1,...,ik bj1,...,j`) f(x)
(d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
)∧(d(xj1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xj` f(v))
)=
∑1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(ai1,...,ik f(x)) (bj1,...,j` f(x))
(d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
)∧(d(xj1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xj` f(v))
)=
∑1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik f(x))(d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v))
)∧
∑1≤j1<...<j`≤n
(bj1,...,j` f(x))(d(xj1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xj` f(v))
)=f ∗(ω) ∧ f ∗(η).
iii) Sean f : V −→ U y g : W −→ V funciones diferenciables. Sea ω ∈ Ωk(U).
Usando el hecho que f y g son funciones diferenciables, se sigue que f g
es una función diferenciable. Usando la Definición 2.2.1, se tiene que para
todo v ∈ W ,
(f g)∗(ω)(v) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik(f g))(v)
d(xi1 (f g)(v)) ∧ . . . ∧ d(xik (f g))
=∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(f(g(v)))
d(xi1(f(g(v))) ∧ . . . ∧ d(xik(f(g(v))). (2.28)
Por otra parte,
f ∗(ω) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik f d(xi1 f) ∧ . . . ∧ d(xik f)
=∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(f) d(xi1(f) ∧ . . . ∧ d(xik(f).
75
Luego,
g∗(f ∗(ω))(v) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik(f)) g(v)
d((xi1(f)) g(v)) ∧ . . . ∧ d((xik(f)) g(v))
=∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(f(g(v)))
d(xi1(f(g(v))) ∧ . . . ∧ d(xik(f(g(v))). (2.29)
De (2.28) y (2.29), se concluye que
(f g)∗(ω) = g∗(f ∗(ω)).
2.3 El Diferencial Exterior
En esta sección se introduce el concepto de el diferencial exterior de una k-forma
diferencial y se presenta algunas propiedades con sus respectivas demostracio-
nes. Para esta sección se toma como referencia fundamental [7].
DEFINICIÓN 2.3.1. Sean k y α enteros positivos. Sean U un subconjunto
abierto de Rn y ω ∈ Ωk(U), donde para todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Se dice que la k-forma ω es de clase Cα si y solamente si las derivadas parciales
de orden α de ai1,...,ik existen y son continuas.
DEFINICIÓN 2.3.2. Sean k y α enteros positivos. Sean U un subconjunto
abierto de Rn y ω ∈ Ωk(U) una k-forma diferencial de clase Cα, donde para
todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
76
El diferencial exterior de la k-forma ω es la (k + 1)-forma de clase Cα−1
dada por
dω =∑
1≤i1<...,ik≤n
dai1,...,ik ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
LEMA 2.3.1. Sean k, ` y α enteros positivos. Sean U un subconjunto abierto
de Rn y V un subconjunto abierto de Rm. La operación diferencial exterior de
una k-forma, dada en la Definición 2.3.2, verifica las siguientes propiedades:
i) Si ω, η ∈ Ωk(U) son k-formas de clase Cα,
d(ω + η) = d(ω) + d(η).
ii) Si ω ∈ Ωk(U) es una k-forma de clase Cα y si η ∈ Ω`(U) es una `-forma
de clase Cα,
d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1)kω ∧ d(η).
iii) Si ω ∈ Ωk(U) es una k-forma de clase C2,
d(d(ω)) = d2(ω) = 0.
iv) Si f : V −→ U es una función de clase C2, entonces para toda k- forma
ω ∈ Ωk(U) de clase Cα,
d(f ∗(ω)) = f ∗(dω).
Demostración. Sean k, ` y α enteros positivos. Sean U un subconjunto abierto
de Rn y V un subconjunto abierto de Rm.
i) Sean ω, η ∈ Ωk(U) k-formas de clase Cα tales que para todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
y η(x) =∑
1≤i1<...<ik≤n
bi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
77
Utilizando el hecho que las k-formas diferenciales en Rn forman un espacio
vectorial, se sigue que (ω + η) ∈ Ωk(U) tal que para todo u ∈ U ,
(ω + η)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik + bi1,...,ik)(u)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
Usando la Definición 2.3.2, se tiene que
d(ω + η) =∑
1≤i1<...<ik≤n
d (ai1,...,ik + bi1,...,ik) ∧ dxi1,...,ik
=∑
1≤i1<...<ik≤n
(dai1,...,ik + dbi1,...,ik
)∧ dxi1,...,ik
=∑
1≤i1<...<ik≤n
dai1,...,ik ∧ dxi1,...,ik +∑
1≤i1<...<ik≤n
dbi1,...,ik ∧ dxi1,...,ik
=d(w) + d(η).
ii) Sean ω ∈ Ωk(U) una k-forma de clase Cα y η ∈ Ω`(U) una `-forma de
clase Cα. Usando la Definición 2.1.13, se sigue que ω∧η es un (k+`)-forma
en U de clase Cα dada por
ω ∧ η =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
ai1,...,ikbj1,...,j`dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j` .
Utilizando la Definición 2.3.2, se tiene que
d(ω ∧ η) =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
d (ai1,...,ikbj1,...,j`) ∧ dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j`
=∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(bj1,...,j`dai1,...,ik + ai1,...,ikdbj1,...,j`)
∧ dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j`
=∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(bj1,...,j`dai1,...,ik) ∧ dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j`
+∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(ai1,...,ikdbj1,...,j`) ∧ dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j` .
78
Usando el Lema 2.1.2, se obtiene que
d(ω ∧ η) =∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(dai1,...,ikbj1,...,j`) ∧ dxi1,...,ik ∧ dxj1,...,j`
+∑
1≤i1<...<ik≤n
∑1≤j1<...<j`≤n
(−1)kai1,...,ik ∧ dxi1,...,ik ∧ dbj1,...,j` ∧ dxj1,...,j`
=dw ∧ η + (−1)kw ∧ d(η).
iii) Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma diferencial de clase C2. Usando la Definición
2.3.2, se sigue que
dω =∑
1≤i1<...,ik≤n
dai1,...,ik ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
1≤i1<...,ik≤n
n∑j=1
∂ai1,...,ik∂xj
dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Utilizando el hecho que dω es una (k+ 1)-forma diferencial de clase C1 y
la Definición 2.3.2, se tiene que
d(dω) =d
( ∑1≤i1<...,ik≤n
n∑j=1
∂ai1,...,ik∂xj
dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
)
=∑
1≤i1<...,ik≤n
n∑j=1
d
(∂ai1,...,ik∂xj
)∧ dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
1≤i1<...,ik≤n
n∑j=1
n∑l=1
∂2ai1,...,ik∂xl∂xj
dxl ∧ dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
=∑
1≤i1<...,ik≤n
∑1≤j<l≤n
(∂2ai1,...,ik∂xl∂xj
dxl ∧ dxj +∂2ai1,...,ik∂xj∂xl
dxj ∧ dxl)
∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Usando el Lema 2.1.2, se ve que dxj ∧ dxl = −dxl ∧ dxj. Así,
d(dω) =∑
1≤i1<...,ik≤n
∑1≤j<l≤n
(∂2ai1,...,ik∂xl∂xj
dxl ∧ dxj −∂2ai1,...,ik∂xj∂xl
dxl ∧ dxj)
∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
(2.30)
79
Ya que ω es de clase C2, se ve que las derivadas parciales de orden 2 de
ai1,...,ik existen y son continuas. Por lo tanto,
∂2ai1,...,ik∂xj∂xl
=∂2ai1,...,ik∂xl∂xj
. (2.31)
De (2.30) y (2.31), se concluye que
d(dω) = 0.
iv) Sean f : V −→ U una función de clase C2 y ω ∈ Ωk(U) una k-forma de
clase Cα. Usando la Definición 2.2.1, se sigue que para todo u ∈ U ,
f ∗(ω)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik f(u)) d(xi1 f(u)) ∧ . . . ∧ d(xik f(u)).
Utilizando el hecho que f y ω son funciones diferenciales, se tiene que
ai1,...,ik f es una función diferenciable. Así, f ∗(ω) es una k-forma de
clase C2. Luego,
d(f ∗(ω)(u)) = d
( ∑1≤i1<...<ik≤n
(ai1,...,ik f(u)) d(xi1 f(u)) ∧ . . . ∧ d(xik f(u))
)
=∑
1≤i1<...<ik≤n
d(
(ai1,...,ik f(u)) d(xi1 f(u)) ∧ . . . ∧ d(xik f(u)))
=∑
1≤i1<...<ik≤n
d(ai1,...,ik f(u)) ∧ d(xi1 f(u)) ∧ . . . ∧ d(xik f(u)).
(2.32)
Por otra parte, usando el hecho que ω es una k-forma de clase Cα,
dω =∑
1≤i1<...<ik≤n
d(ai1,...,ik) ∧ d(xi1) ∧ . . . ∧ d(xik).
Ya que dω es una (k + 1)-forma, se sigue que para todo v ∈ U ,
80
f ∗(dω)(v) =f ∗( ∑
1≤i1<...<ik≤n
d(ai1,...,ik) ∧ d(xi1) ∧ . . . ∧ d(xik))
=∑
1≤i1<...<ik≤n
f ∗(d(ai1,...,ik) ∧ d(xi1) ∧ . . . ∧ d(xik)
)=
∑1≤i1<...<ik≤n
d(ai1,...,ik f(v)) ∧ d(xi1 f(v)) ∧ . . . ∧ d(xik f(v)))
(2.33)
De (2.32) y (2.33), se concluye que
d(f ∗(ω)) = f ∗(dω).
DEFINICIÓN 2.3.3. Sea U un subconjunto abierto de Rn. Sean k y α enteros
positivos. Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma de clase Cα. Se dice que ω es una forma
cerrada si y solamente si la derivada exterior de ω es nula, es decir, dω = 0.
DEFINICIÓN 2.3.4. Sea U un subconjunto abierto de Rn. Sean k y α enteros
positivos. Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma de clase Cα. Se dice que ω es una forma
exacta si y solamente si existe η ∈ Ωk−1(U) una (k-1)-forma de clase Cα+1 tal
que dη = ω.
LEMA 2.3.2. Sean U un subconjunto abierto de Rn y k un entero positivo.
Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma de clase C1. Si ω es una k-forma exacta, entonces
ω es una k-forma cerrada.
Demostración. Sean U un subconjunto abierto de Rn y k un entero positivo.
Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma exacta de clase C1. Usando la Definición 2.3.4, se
sigue que existe η ∈ Ωk−1 una (k-1)-forma de clase C2 tal que
dη = ω. (2.34)
81
De (2.34) y utilizando el hecho que ω es una k-forma de clase C1, se tiene que
dω = d(dη). (2.35)
Ya que η es una (k-1)-forma de clase C2 y empleando el Lema 2.3.1, se obtiene
que
d(dη) = 0. (2.36)
De (2.35) y (2.36), se concluye que
dω = 0.
2.4 Formas Diferenciales en R3
A continuación y hasta el final de esta sección, se introducen los conceptos de
gradiente, divergencia y rotacional de un campo, para los cuales se han tomado
como referencia fundamental [9] y [17].
DEFINICIÓN 2.4.1. Sean Ω un subconjunto abierto de Rn y a ∈ Ω. Sea
f : Ω −→ R un campo escalar diferenciable en a ∈ Ω. Se denomina gradiente
de f en a, y se denota por ∇f(a) ∈ Rn, al campo vectorial dado por
∇f(a) =
(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a)
).
DEFINICIÓN 2.4.2. Sean Ω un subconjunto abierto de Rn y a ∈ Ω. Sea~F = (F1, . . . , Fn) : Ω −→ Rn un campo vectorial diferenciable en a ∈ Ω. Se
define la divergencia de F en a, denotada por ∇· ~F (a), como el campo escalar
dado por
∇ · ~F (a) =∂F1
∂x1(a) + . . .+
∂Fn∂xn
(a).
82
DEFINICIÓN 2.4.3. Sean Ω un subconjunto abierto de R3 y a ∈ Ω. Sea~F = (P,Q,R) : Ω −→ R3 un campo vectorial diferenciable en a ∈ Ω. Se
denomina rotacional de F en a, y se denota por ∇×F (a), al campo vectorial
dado por
∇×F (a) =
(∂R
∂y(a)− ∂Q
∂z(a)
)~i+
(∂P
∂z(a)− ∂R
∂x(a)
)~j+
(∂Q
∂x(a)− ∂P
∂y(a)
)~k.
83
CAPÍTULO 3
DEMOSTRACIÓN DEL LEMA DE POINCARÉ
A continuación y hasta el final de este capítulo, se muestra una serie de resulta-
dos sobre complejos de cadenas y de co-cadenas con sus respectivas demostra-
ciones en forma explicita. Además, se presenta una demostración detallada del
Lema de Poincaré, para los cuales se han tomado como referencia fundamental
[9] y [16].
DEFINICIÓN 3.1.1. Sea k un entero positivo. Se denomina complejo de
cadenas , y se denota por (A•, d•), a toda sucesión de grupos abelianos (u
objetos algebraicos con estructura abeliana, por ejemplo, módulos, espacios
vectoriales) A0, A1, . . . conectados por un homomorfismo dk : Ak −→ Ak−1 tal
que
dk dk+1 = 0.
Un complejo de cadenas puede ser expresado gráficamente de la siguiente forma
· · · d0←− A0d1←− A1
d2←− · · · dk−1←− Ak−1dk←− Ak ←− · · · .
DEFINICIÓN 3.1.2. Sea k un entero positivo. Se denomina complejo de
co-cadenas , y se denota por (A•, d•), a toda sucesión de grupos abelianos
(u objetos algebraicos con estructura abeliana, por ejemplo, módulos, espacios
vectoriales) A0, A1, . . . conectados por un homomorfismo dk : Ak −→ Ak+1 tal
que
dk dk−1 = 0.
Un complejo de co-cadenas se representa gráficamente de la siguiente forma
· · · −→ A0 d0−→ A1 d1−→ · · · dk−2
−→ Ak−1dk−1
−→ Akdk−→ · · · .
84
DEFINICIÓN 3.1.3. Sea k un entero positivo. Sean (A•, d•) y (B•, e•) com-
plejos de co-cadenas. Se denomina función de co-cadenas , y se denota por
ψ• : (A•, d•) −→ (B•, e•), a la colección de funciones lineales ψk : Ak −→ Bk
tal que
ek ψk = ψk+1 dk.
Una función de co-cadenas puede ser representada gráficamente de la siguiente
forma.
dk−1
Akψk
ek−1
Bk
dk
Ak+1ψk+1
ek
Bk+1
dk+1 ek+1
Cabe destacar que toda forma diferencial definida en U , con U un subconjunto
abierto de Rn, y la operación derivada exterior, dada en la Definición 2.3.2,
forman un complejo de co-cadenas tal que
0 −→ Ω0(U)d−→ Ω1(U)
d−→ · · · d−→ Ωk−1(U)d−→ Ωk(U)
d−→ · · · d−→ Ωn(U)d−→ 0.
Este complejo de co-cadenas se denomina complejo de De Rham y se denota
por (Ω•(U), d•). Además, la operación pullback de una k-forma diferencial en
U , dada en la Definición 2.2.1, es la función de co-cadenas del complejo de De
Rham.
DEFINICIÓN 3.1.4. Sean U un subconjunto abierto de Rn y k un entero
positivo. Sea (Ω•(U), d•) un complejo de De Rham. El conjunto
Zk(U) :=ω ∈ Ωk(U); dkω = 0
se denomina k-ésimo grupo de cociclos en U.
85
DEFINICIÓN 3.1.5. Sean U un subconjunto abierto de Rn y k un entero
positivo. Sea (Ω•(U), d•) un complejo de De Rham. El conjunto
Bk(U) :=ω ∈ Ωk(U); existe α ∈ Ωk−1(U) tal que dk−1α = ω
se denomina k-ésimo grupo de cofronteras en U.
Cabe señalar que usando el Lema 2.3.2, se obtiene que Bk(U) ⊂ Zk(U).
DEFINICIÓN 3.1.6. Sean U un subconjunto abierto de Rn y k un entero
positivo. Sea (Ω•(U), d•) un complejo de De Rham. Se denomina k-ésimo
grupo de cohomología de De Rham , y se denota por Hk(U), al grupo
cociente dado por
Hk(U) :=Zk(U)
Bk(U).
Es decir, Hk(U) es el cociente del núcleo de d : Ωk(U) −→ Ωk+1(U) entre la
imagen de d : Ωk−1(U) −→ Ωk(U). Además, todo elemento de Hk(U) es una
clase de equivalencia de formas diferenciales, y se denota por [ω] con ω ∈ Ωk(U)
una k-forma cerrada, dada por
[ω] :=η ∈ Zk(U) ; η = ω + ψ con ψ ∈ Bk(U)
=η ∈ Zk(U) ; existe α ∈ Ωk−1(U) tal que η = ω + dk−1α.
De aquí hasta el final de esta sección se denota por d• y e• a la operación
derivada exterior, dada en la Definición 2.3.2, con la finalidad de precisar los
resultados que se muestran a continuación.
LEMA 3.1.1. Sean U un subconjunto abierto de Rn y V un subconjunto abier-
to de Rm. Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•) complejos
de De Rham. Si ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) es una función de co-cadenas, entonces
ψk(Zk(U)) ⊂ Zk(V ) y ψk(Bk(U)) ⊂ Bk(V ).
Demostración. Sean U, V subconjuntos abiertos de Rn y Rm, respectivamente.
Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•) complejos de De Rham.
86
Sea ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) una función de co-cadenas.
i) Sea ω ∈ Zk(U). Usando la Definición 3.1.4, se sigue que
dkω = 0. (3.1)
Ya que ψk es una función de co-cadenas, se tiene que
(ek ψk)(ω) = (ψk+1 dk)(ω)
= ψk+1(dkω). (3.2)
De (3.1) y (3.2), se obtiene que
ek(ψk(ω)) = ψk+1(0) = 0. (3.3)
De (3.3) y utilizando el hecho que ψk(ω) ∈ Ωk(V ), se concluye que
ψk(ω) ∈ Zk(V ). Por lo tanto, ψk(Zk(U)) ⊂ Zk(V ).
ii) Sea η ∈ Bk(U). Usando la Definición 3.1.5, se sigue que existe α ∈
Ωk−1(U) tal que
η = dk−1α.
Así,
ψk(η) = ψk(dk−1α).
Ya que ψk es una función de co-cadenas, se tiene que ψk(η) ∈ Ωk(V ).
Además,
ψk(η) = ek−1(ψk−1(α)). (3.4)
De (3.4) y utilizando el hecho que ψk−1(α) ∈ Ωk−1(V ), se concluye que
ψkη ∈ Bk(V ). Por lo tanto, ψk(Bk(U)) ⊂ Bk(V ).
Cabe señalar que el resultado anterior permite verificar que toda función de
co-cadenas define un homomorfismo de grupos de la siguiente forma.
87
LEMA 3.1.2. Sean U un subconjunto abierto de Rn y V un subconjunto abier-
to de Rm. Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•) complejos
de De Rham. Si ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) es una función de co-cadenas, entonces
la función
Hk(ψ) : Hk(U) −→ Hk(V )
[a] 7−→ Hk(ψ)[a] := [ψk(a)]
induce un homomorfismo de grupos.
Demostración. Sean U, V subconjuntos abiertos de Rn y Rm, respectivamente.
Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•) complejos de De Rham.
Sea ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) una función de co-cadenas. Primero, se prueba que
la función Hk(ψ), está bien definida. Sea [ω] ∈ Hk(U). Usando la Definición
3.1.6, se sigue que para todo η ∈ [ω], existe α ∈ Ωk−1(U) tal que
η = ω + dk−1α.
Así,
Hk(ψ)[η] = [ψk(η)]
= [ψk(ω + dk−1α)]
= [ψk(ω) + ψk(dk−1α)]. (3.5)
De (3.5) y ya que ψk es una función de co-cadenas, se ve que
Hk(ψ)[η] = [ψk(ω) + ek−1(ψk−1(α))]. (3.6)
Utilizando el Lema 3.1.1 y puesto que ω es una k-forma cerrada en U , se sigue
que ψk(ω) es una k-forma cerrada en V . Además, ψk−1(α) es una (k−1)-forma
en V . Luego,
Hk(ψ)[η] = [ψk(ω)].
88
Por lo tanto, Hk(ψ) esta bien definida. Ahora, se va a mostrar que induce un
homomorfismo de grupos. Usando el hecho que Ωk(U) y Ωk(V ) son espacios
vectoriales, se sigue que la función de co-cadenas ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) es una
función lineal tal que para todo β, δ ∈ Ωk(U),
ψk(ω + η) := ψk(ω) + ψk(η).
Sean [β], [δ] ∈ Hk(U). Utilizando la Definición 3.1.6, se sigue que para todo
a ∈ [β] y para todo b ∈ [δ], existen ϕ ∈ Ωk−1(U) y θ ∈ Ωk−1(U) tales que
a = β + dk−1ϕ y b = δ + dk−1θ.
Así,
Hk(ψ)([a] + [b]) = Hk(ψ)[a] +Hk(ψ)[b]
= [ψk(a)] + [ψk(b)]
= [ψk(β + dk−1ϕ)] + [ψk(δ + dk−1θ)]
= [ψk(β) + ψk(dk−1ϕ)] + [ψk(δ) + ψk(dk−1θ)]
= [ψk(β)] + [ψk(δ)]. (3.7)
Por lo tanto, Hk(ψ) es un homomorfismo entre los grupos de cohomología de
De Rham de U y V .
DEFINICIÓN 3.1.7. Sean U un subconjunto abierto de Rn y V un subcon-
junto abierto de Rm. Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•)
complejos de De Rham. Sean ψk : Ωk(U) −→ Ωk(V ) y φk : Ωk(U) −→ Ωk(V )
funciones de co-cadenas. Se dice que ψk es homotópica por co-cadenas a φk
si existe una sucesión de funciones lineales hk : Ωk(U) −→ Ωk−1(V ) tales que
ψk − φk = ek−1 hk + hk+1 dk.
La sucesión de funciones lineales hk se denomina homotopía de co-cadenas
y se la representa gráficamente de la siguiente forma.
89
dk−2
Ωk−1(U)ψk−1 − φk−1
hk−1
ek−2
Ωk−1(V )
dk−1
Ωk(U)ψk − φk
hkek−1
Ωk(V )
dk
Ωk+1(U) Ωk+1(V )
ek
ψk+1 − φk+1
hk+1
dk+1 ek+1
PROPOSICIÓN 3.1.1. Sean U un subconjunto abierto de Rn y V un sub-
conjunto abierto de Rm. Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•)
complejos de De Rham. Sean ψ• : Ω•(U) −→ Ω•(V ) y φ• : Ω•(U) −→ Ω•(V )
funciones de co-cadenas. Si ψ• es homotópica por co-cadenas a φ•, entonces
Hk(ψ•) = Hk(φ•).
Demostración. Sean U, V subconjuntos abiertos de Rn y Rm, respectivamente.
Sea k un entero positivo. Sean (Ω•(U), d•) y (Ω•(V ), e•) complejos de De Rham.
Sean ψ• : Ω•(U) −→ Ω•(V ) y φ• : Ω•(U) −→ Ω•(V ) funciones de co-cadenas
tales que ψ• sea homotópica por co-cadenas a φ•. Usando la Definición 3.1.7,
se ve que
ψk − φk = ek−1 hk + hk+1 dk. (3.8)
Utilizando el hecho que ψ• y φ• son funciones de co-cadenas, se sigue que ψ• y
φ• inducen las siguientes funciones lineales
Hk(ψ•) : Hk(U) −→ Hk(V )
y Hk(φ•) : Hk(U) −→ Hk(V ).
90
De (3.8) y ya que Hk son funciones lineales, se tiene que
Hk(ψ•)−Hk(φ•) = Hk(ψ• − φ•)
= Hk(ek−1 hk + hk+1 dk)
= Hk(ek−1 hk) +Hk(hk+1 dk). (3.9)
Sea [a] ∈ Hk(U). Usando la Definición 3.1.6, se nota que dka = 0. Luego
Hk(hk+1 dk)[a] = [(hk+1 dk)(a)]
= [hk+1(dka)]
= [hk+1(0)]
= 0 (3.10)
Además,
Hk(ek−1 hk)[a] = [(ek−1 hk)(a)]
= [ek−1(hk(a))].
Ya que hk(a) ∈ Ωk−1(V ) y ek−1(hk(a)) ∈ Ωk(V ), se sigue que ek−1(hk(a)) ∈
Bk(U). Por lo tanto,
Hk(d hk)([a]) = [d(hk(a))]
= [0] = 0. (3.11)
De (3.9)-(3.11), se concluye que
Hk(ψ•)−Hk(φ•) = 0.
Así,
Hk(ψ•) = Hk(φ•).
91
LEMA 3.1.3. Sean U un subconjunto abierto de Rn y V un subconjunto
abierto de Rm. Sea k un entero positivo. Sean f, g : V −→ U funciones continuas
y diferenciables. Si f es homotópica a g, entonces las funciones
f ∗ : Ωk(U) −→ Ωk(V ) y g∗ : Ωk(U) −→ Ωk(V )
son homotópicas por co-cadenas.
Demostración. Sean U un subconjuntos abierto de Rn y V un subconjuntos
abierto de Rm. Sea k un entero positivo. Sean f : V −→ U y g : V −→
U funciones continuas, diferenciables tales que f es homotópica a g. De la
Definición 1.4.1, se sigue que existe F : V × I −→ U una función continua,
diferenciable tal que para todo v ∈ V , se tiene que
F (v, 0) = f(v) y F (v, 1) = g(v). (3.12)
De la definición de F y para todo t ∈ I, se define la siguiente función
Ft : V −→ U
s 7−→ Ft(s) := F (s, t).(3.13)
Usando el hecho que F , la función proyección π1 son continuas y el Teorema
1.2.2, se nota que Ft es una función continua y diferenciable. Por otra parte,
sea ω ∈ Ωk(U) tal que para todo x ∈ U ,
ω(x) =∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
De la Definición 2.2.1, se ve que para todo u ∈ V ,
F ∗t (ω)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik Ft(u) d(xi1Ft(u))∧. . .∧d(xik Ft(u)). (3.14)
De (3.12) y (3.14), se ve que para t = 0,
92
F ∗0 (ω)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik F0(u) d(xi1 F0(u)) ∧ . . . ∧ d(xik F0(u))
=∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik F (u, 0) d(xi1 F (u, 0)) ∧ . . . ∧ d(xik F (u, 0))
=∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik f(u) d(xi1 f(u)) ∧ . . . ∧ d(xik f(u))
= f ∗(ω)(u). (3.15)
Mientras que, para t = 1, se obtiene que
F ∗1 (ω)(u) =∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik F1(u) d(xi1 F1(u)) ∧ . . . ∧ d(xik F1(u))
=∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik F (u, 1) d(xi1 F (u, 1)) ∧ . . . ∧ d(xik F (u, 1))
=∑
1≤i1<...<ik≤m
ai1,...,ik g(u) d(xi1 g(u)) ∧ . . . ∧ d(xik g(u))
= g∗(ω)(u). (3.16)
Ahora, se va a mostrar que para todo a ∈ V , la función
hk(ω)(a) =
t=1∫t=0
l ∂∂t
(F ∗t (w)(a)
)dt (3.17)
es una homotopía de co-cadenas entre f ∗ y g∗. Primero, se muestra que hk
esta bien definida. Usando el hecho que F ∗t (w)(a) ∈ Ωk(V ) y puesto que
l ∂∂t
(F ∗t (w)(a)) ∈ Ωk−1(V ), se sigue que
hk : Ωk(U) −→ Ωk−1(V ).
Utilizando la Definición 2.1.14, se tiene que la integral existe. Por lo tanto, hk
está bien definida. Ahora, se prueba que hk satisface la condición para ser una
homotopía de co-cadenas. De (3.12)-(3.17) y usando el Lema 2.3.1, se ve que
93
(ek−1 hk + hk+1 dk
)(w)(a) =
(ek−1 hk
)(w)(a) +
(hk+1 dk
)(w)(a)
= ek−1(hk(w)(a)
)+ hk+1
(dk(w)(a)
)= ek−1
t=1∫t=0
l ∂∂t
(F ∗t (w)(a)
)dt
+
t=1∫t=0
l ∂∂t
(F ∗t (dkw)(a)
)dt
=
t=1∫t=0
ek−1(l ∂∂t
(F ∗t (w)(a)) dt)
+
t=1∫t=0
l ∂∂t
(dk(F ∗t (w)(a))
)dt
=
t=1∫t=0
(ek−1 l ∂
∂t+ l ∂
∂t dk
)(F ∗t (w)(a))dt
=
t=1∫t=0
Lie ∂∂t
(F ∗t (w)(a)) dt
=
t=1∫t=0
∂
∂t(F ∗t (w)(a)) dt
= F ∗1 (w)(a)− F ∗0 (w)(a)
= g∗(w)(a)− f ∗(w)(a). (3.18)
De (3.18), se concluye que hk es una homotopía de co-cadenas. Por lo tanto,
f ∗ es homotópico por co-cadenas a g∗.
LEMA 3.1.4. (Lema de Poincaré) Sea U un subconjunto abierto, contractible
de Rn. Sean k y λ enteros positivos. Sea ω ∈ Ωk(U) una k- forma de clase Cλ.
Si dω = 0, entonces existe α ∈ Ωk−1(U) una (k-1)-forma de clase Cλ+1 tal que
ω = dα. En otras palabras, toda k-forma diferencial cerrada de clase Cλ en U
es exacta.
Demostración. Sea U un subconjunto abierto, contractible de Rn. Sean k y λ
enteros positivos. Sea ω ∈ Ωk(U) una k-forma de clase Cλ tal que dω = 0.
Usando el hecho que U es un espacio contractible, se sigue que existen u0 y
94
F : U × I −→ U una función continua tales que para todo u ∈ U ,
F (u, o) = u y F (u, 1) = u0.
Utilizando el hecho que F es una función continua y la Definición 1.4.1, se tiene
que la función identidad id : U −→ U es homotópica a la función constante
eu0 : U −→ U . Usando el Lema 3.1.3, se ve que la función i∗d : Ωk(U) −→ Ωk(U)
es homotópica por co-cadenas a la función e∗u0 : Ωk(U) −→ Ωk(U). Ya que i∗d es
homotópica por co-cadenas a e∗u0 y empleando la Proposición 3.1.1, se obtiene
que
Hk(i∗d) = Hk(e∗u0). (3.19)
Ya que eu0 es una función constante y usando la Definición 3.1.6, se nota que
Hk(e∗u0) = 0. (3.20)
De (3.19) y (3.20), se sigue que
Hk(i∗d) = 0.
Así,
Hk(U) = 0. (3.21)
De (3.21) y la Definición 3.1.6, se tiene que
Zk(U) = Bk(U). (3.22)
Por otra parte, usando el hecho que dω = 0, se ve que
ω ∈ Zk(U). (3.23)
De (3.22) y (3.23), se sigue que
ω ∈ Bk(Ωk(U)).
95
De la definición 3.1.5, se concluye que existe α ∈ Ωk−1(U) tal que
ω = dα.
Por lo tanto, ω es una k-forma exacta.
96
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DE MAXWELL
4.1 Aplicación del Lema de Poincaré en Campos Vectoriales
Sean U un subconjunto abierto, contractible de R3 y k un entero positivo. Sea~F = (P,Q,R) : U −→ R3 un campo vectorial de clase Ck tal que su divergencia
es nula en U . Se define la 2-forma ω en U , ω ∈ Ω2(U), dada por
ω = P dy ∧ dz −Q dx ∧ dz +R dx ∧ dy. (4.1)
De la Definición 2.3.2, se ve que dω ∈ Ω3(U). Usando ahora el Teorema 2.1.2,
en U , se sigue que
dω = d (P dy ∧ dz −Q dx ∧ dz +R dx ∧ dy)
= dP ∧ (dy ∧ dz)− dQ ∧ (dx ∧ dz) + dR ∧ (dx ∧ dy)
=
(∂P
∂xdx+
∂P
∂ydy +
∂P
∂zdz
)∧ (dy ∧ dz)
−(∂Q
∂xdx+
∂Q
∂ydy +
∂Q
∂zdz
)∧ (dx ∧ dz)
+
(∂R
∂xdx+
∂R
∂ydy +
∂R
∂zdz
)∧ (dx ∧ dy)
=∂P
∂xdx ∧ dy ∧ dz +
∂P
∂ydy ∧ dy ∧ dz +
∂P
∂zdz ∧ dy ∧ dz
− ∂Q
∂xdx ∧ dx ∧ dz − ∂Q
∂ydy ∧ dx ∧ dz − ∂Q
∂zdz ∧ dx ∧ dz
+∂R
∂xdx ∧ dx ∧ dy +
∂R
∂ydy ∧ dx ∧ dy +
∂R
∂zdz ∧ dx ∧ dy
97
=∂P
∂xdx ∧ dy ∧ dz − ∂P
∂zdy ∧ dz ∧ dz
+∂Q
∂ydx ∧ dy ∧ dz +
∂Q
∂zdx ∧ dz ∧ dz
− ∂R
∂ydx ∧ dy ∧ dy − ∂R
∂zdx ∧ dz ∧ dy
=∂P
∂xdx ∧ dy ∧ dz +
∂Q
∂ydx ∧ dy ∧ dz +
∂R
∂zdx ∧ dy ∧ dz
=
(∂P
∂x+∂Q
∂y+∂R
∂z
)dx ∧ dz ∧ dy
=(∇ · ~F
)dx ∧ dz ∧ dy. (4.2)
De (4.2) y utilizando el hecho que ~F es un campo de divergencia nula en U , es
decir ∇ · ~F = 0 en U , se tiene que
dω = 0 en U. (4.3)
De (4.3) y empleando la Definición 2.3.3, se concluye que ω es una 2-forma
cerrada en U . Usando ahora el Lema 3.1.4 (Lema de Poincaré), se sigue que
existe una 1-forma α en U , α ∈ Ω1(U), tal que
ω = dα. (4.4)
Por otra parte, ya que α ∈ Ω1(U), se tiene que existen funciones diferenciables
A : U −→ R, B : U −→ R y C : U −→ R tales que
α = A dx+B dy + C dz.
De la Definición 2.3.2 y empleando el Teorema 2.1.2, se ve que
dα = d (A dx+B dy + C dz)
= dA ∧ dx+ dB ∧ dy + dC ∧ dz
=
(∂A
∂xdx+
∂A
∂ydy +
∂A
∂zdz
)∧ dx
+
(∂B
∂xdx+
∂B
∂ydy +
∂B
∂zdz
)∧ dy
98
+
(∂C
∂xdx+
∂C
∂ydy +
∂C
∂zdz
)∧ dz
=∂A
∂xdx ∧ dx+
∂A
∂ydy ∧ dx+
∂A
∂zdz ∧ dx
+∂B
∂xdx ∧ dy +
∂B
∂ydy ∧ dy +
∂B
∂zdz ∧ dy
+∂C
∂xdx ∧ dz +
∂C
∂ydy ∧ dz +
∂C
∂zdz ∧ dz
= −∂A∂y
dx ∧ dy − ∂A
∂zdx ∧ dz
+∂B
∂xdx ∧ dy − ∂B
∂zdy ∧ dz
+∂C
∂xdx ∧ dz +
∂C
∂ydy ∧ dz
=
(∂B
∂x− ∂A
∂y
)dx ∧ dy +
(∂C
∂y− ∂B
∂z
)dy ∧ dz
+
(∂C
∂x− ∂A
∂z
)dx ∧ dz. (4.5)
De (4.1), (4.4) y (4.5), se obtiene que
P =∂C
∂y− ∂B
∂z, Q =
∂A
∂z− ∂C
∂xy R =
∂B
∂x− ∂A
∂y. (4.6)
Ahora, se define el campo vectorial ~G := (A,B,C) : U −→ R3. De la Definición
2.4.3, se sigue que
∇× ~G =
(∂C
∂y− ∂B
∂z
)~i+
(∂A
∂z− ∂C
∂x
)~j
+
(∂B
∂x− ∂A
∂y
)~k. (4.7)
Finalmente, de (4.6) y (4.7), se concluye que
∇× ~G = P~i+Q~j +R~k
= (P,Q,R)
= ~F .
99
4.2 El Lema de Poincaré y las Ecuaciones de Maxwell en dominios
abiertos contractibles
A continuación, se estudia un sistema de ecuaciones propuesto en [3] por los
Doctores Borys Álvarez Samaniego, Petronio Álvarez Samaniego y el Profesor
Douglas Moya Álvarez, con la finalidad de establecer una semejanza entre las
ecuaciones del gravitoelectromagnetismo y las ecuaciones de Maxwell. Así, se
muestra una analogía entre la teoría electromagnética y la gravitación. En esta
sección se ha tomado como referencia fundamental [3].
Utilizando la ley de gravitación universal formulada por Sir Isaac Newton en
1687, que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa,
se tiene que
∇ · ~g = −4πGρ, (4.8)
donde ~g es la aceleración de la gravedad, G es la constante de gravitación
universal y ρ es la densidad de masa. Cabe destacar que la ecuación (4.8) se
obtiene en [3], considerando aproximaciones adecuadas en las ecuaciones de
campo de Einstein. Luego,
ρ = − 1
4πG∇ · ~g. (4.9)
Por otra parte, usando la ley clásica de la conservación de la masa, que establece
que la divergencia de la densidad de corriente de masa, denotada por ~J , es igual
al negativo de la derivada de la densidad de masa respecto al tiempo, se sigue
que
∇ · ~J = −∂ρ∂t. (4.10)
Vale mencionar que ~J = ρ~v, donde ~v es la velocidad de desplazamiento de la
materia. De (4.9) y (4.10), se obtiene que
∇ · ~J +∂
∂t
(−∇ · ~g
4πG
)= 0.
100
Luego,
∇ · ~J − 1
4πG
∂
∂t(∇ · ~g) = 0. (4.11)
De (4.11) y suponiendo que el campo de aceleración de la gravedad, ~g, es dos
veces diferenciable, se tiene que
∇ · ~J − 1
4πG∇ ·(∂~g
∂t
)= 0.
Así,
∇ ·(~J − 1
4πG
∂~g
∂t
)= 0. (4.12)
Usando el Lema de Poincaré en dominios abiertos contractibles, se sigue que
existe un campo vectorial,
−c2 ~Bg
4πG,
tal que
∇×
(−c
2 ~Bg
4πG
)= ~J − 1
4πG
∂~g
∂t, (4.13)
donde c es la velocidad de la luz en el vacío y ~Bg es el campo gravitomagnético.
De (4.13), se ve que
− c2
4πG∇× ~Bg = ~J − 1
4πG
∂~g
∂t.
Luego,
∇× ~Bg = −4πG
c2~J +
1
c2∂~g
∂t. (4.14)
Aplicando el rotacional a la ecuación (4.14), se tiene que
∇×(∇× ~Bg
)= ∇×
(−4πG
c2~J
)+∇×
(1
c2∂~g
∂t
).
Así,
∇(∇ · ~Bg
)−∆ ~Bg = −4πG
c2∇× ~J +
1
c2∇×
(∂~g
∂t
).
101
Usando el hecho que el campo ~g es dos veces diferenciable, se obtiene que
∇(∇ · ~Bg
)−∆ ~Bg = −4πG
c2∇× ~J +
1
c2∂
∂t(∇× ~g) . (4.15)
Considerando la existencia de ondas gravitacionales, se ve que
∇× ~g = −∂~Bg
∂t, (4.16)
y ∇ · ~Bg = 0. (4.17)
De (4.15)-(4.17), se concluye que
∆ ~Bg =4πG
c2∇× ~J +
1
c2∂2 ~Bg
∂t2.
Por otra parte, aplicando el rotacional a la ecuación (4.16), se obtiene que
∇× (∇× ~g) = ∇×
(−∂
~Bg
∂t
).
Suponiendo ahora que el campo ~Bg es dos veces diferenciable, se tiene que
∇(∇ · ~g)−∆~g = − ∂
∂t
(∇× ~Bg
). (4.18)
De (4.18) y usando la ley de gravitación universal, dada en la ecuación (4.8),
se sigue que
∇(−4πGρ)−∆~g = − ∂
∂t
(∇× ~Bg
). (4.19)
De (4.14) y (4.19), se ve que
∇(−4πGρ)−∆~g = − ∂
∂t
(−4πG
c2~J +
1
c2∂~g
∂t
).
Así,
−4πG ∇ρ−∆~g =4πG
c2∂ ~J
∂t− 1
c2∂2~g
∂t2.
102
Luego,
−∆~g = 4πG ∇ρ+4πG
c2∂ ~J
∂t− 1
c2∂2~g
∂t2.
De la última expresión, se concluye que
∆~g = −4πG
(∇ρ+
1
c2∂ ~J
∂t
)+
1
c2∂2~g
∂t2.
Finalmente, de las ecuaciones (4.8), (4.14), (4.16) y (4.17), se obtiene el sistema
de cuatro ecuaciones tipo Maxwell, dado por
∇× ~g = −∂ ~Bg
∂t,
∇ · ~g = −4πGρ,
∇× ~Bg = −4πGc2
~J + 1c2
∂~g∂t,
∇ · ~Bg = 0,
(4.20)
el cual describe completamente a los campos gravitomagnético y de aceleración
de la gravedad, ~Bg y ~g respectivamente, en la Mecánica Newtoniana a nivel no
relativista.
103
BIBLIOGRAFÍA
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[2] ÁLVAREZ-SAMANIEGO B. (2015). Problema de Cauchy para una ecua-ción no lineal, no local, proveniente de la Dinámica de Fluidos. En Memo-rias de la “I Escuela de Verano en Matemáticas y Física” (pp. 47-90). Quito,Ecuador, Editorial Universitaria, UCE.
[3] ÁLVAREZ-SAMANIEGO W. P., ÁLVAREZ-SAMANIEGO B., MOYA-ÁLVAREZ D. (2013). A physical interpretation of the Planck Constant.Química Central, 3 (2), 03-10.
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