cÁlculo del volumen de crudo derramado por un orificio …

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CÁLCULO DEL VOLUMEN DE CRUDO DERRAMADO POR UN ORIFICIO EN UN OLEODUCTO

JOSÉ REYNEL GALLEGO CUCALÓN

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE

FACULTAD DE INGENIERÍAS DEPARTAMENTO ENERGETICA Y MECANICA

PROGRAMA DE INGENIERÍA MECÁNICA SANTIAGO DE CALI

2008

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CÁLCULO DEL VOLUMEN DE CRUDO DERRAMADO POR UN ORIFICIO EN UN OLEODUCTO

JOSÉ REYNEL GALLEGO CUCALÓN

Trabajo de grado para optar el titulo de Ingeniero Mecánico

Director SANTIAGO LAIN B Doctor en Física

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE

FACULTAD DE INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE ENERGETICA Y MECANICA

PROGRAMA DE INGENIERÍA MECÁNICA SANTIAGO DE CALI

2008

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Nota de aceptación:

Trabajo aprobado por el comité de grado en cumplimiento de los requisitos exigidos por la Universidad Autónoma de Occidente para optar el titulo de Ingeniero mecánico.

Ing. NESTOR ARTURO PINCAY________ Jurado

Ing. RICRDO VIDAL__________________ Jurado

Santiago de Cali, 09 de Noviembre de 2007

4

AGRADECIMIENTOS

Para el desarrollo del estudio de esta tesis es de real motivación hacer un reconocimiento especial por el apoyo y la motivación suministrada por el director de mi tesis Santiago Laín Beatove, quien aporto sus mayores esfuerzos y conocimientos para el alcance de mi objetivo. También dio gracias al Ing. Juan Carlos Ortiz Gómez, Gerente de Tecnología de la Empresa Multiprocesos SIG S.A, quien brindo información sobre la manipulación del crudo por ECOPETROL y por ultimo al estudiante de Ingeniería Mecánica Leonard Dueñas de la Universidad Autónoma de Occidente quien brindo ayuda para el manejo de los programas de simulación empleados para el desarrollo de la misma.

5

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

RESUMEN

15

INTRODUCCION

16

1. JUSTIFICACION Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

18

2. OBJETIVOS

19

2.1 OBJETIVO GENERAL

19

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

19

3. MARCO TEORICO

20

3.1 CONCEPTOS GENERALES

20

3.1.1 Concepto de fluido

20

3.1.2 Ecuación de continuidad

21

3.1.3 Flujos incompresibles

21

3.1.4 Análisis Dimensional

24

3.1.5 Pérdidas de carga para flujo incompresible en tubería. 31

6

3.1.6 Mecánica computacional

33

3.1.7 Modelos numéricos de turbulencia implementados por el paquete de simulación Fluent v6.0

33

4. REVISIÓN BIBLIOGRAFICA

41

5. ESTIMACIONES INTEGRALES PARA EL CAUDAL DERRAMADO POR UN ORIFICIO

45

5.1 ESTIMACIÓN DE LOS TIEMPOS DE REACCIÓN POR LA BP

50

6. CASO DE ESTUDIO

52

7. RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN INTEGRAL

53

7.1 DIÁMETRO DE AGUJERO U ORIFICIO CRÍTICO Dc

55

8. ESTIMACIÓN NUMÉRICA (SIMULACIÓN)

56

8.1 CONDICIONES DE SIMULACIÓN

57

8.2 MODELO GEOMÉTRICO PARA LA SIMULACIÓN

60

8.3 MALLADO

63

9. DESARROLLO DE LAS SIMULACIONES

67

9.1 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN

70

9.1.1 Simulación para orificio de 0.005 m de diámetro

70

7

9.1.2 Simulación para agujero de 0.01 m de diámetro

79

9.1.3 Simulación para agujero de 0.02 m de diámetro

85

9.1.4 Simulación para agujero de 0.1 m de diámetro (ruptura)

91

9.1.5 Simulación para agujero de forma cuadrada

99

10. ANÁLISIS DE RESULTADOS PARA LA SIMULACIÓN

103

11. DIAMETRO CRITICO

107

12. ANÁLISIS DIMENSIONAL

110

12.1 PROCEDIMIENTO

110

12.1.1 Primer caso: caudal versus diámetro de agujero

110

12.1.2 Segundo caso: diámetro crítico versus presión de operación

112

12.2 CURVAS UNIVERSALES PARA AMBOS CASOS

113

12.2.1 Curvas universales para el caudal vertido

114

12.2.2 Curvas universales para diámetro critico

114

13. CONCLUSIONES

116

BIBLIOGRAFÍA 117

8

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Tiempos de reacción ante la eventualidad de derrame considerados por BP.

51

Tabla 2. Resultados para la Estimación Integral.

54

Tabla 3. Diámetro Crítico.

55

Tabla 4. Resultados de la simulación.

102

Tabla 5. Caudales y coeficientes de descarga obtenidos. 104

9

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Esquema para el caso del tanque de superficie libre

23

Figura 2. Esquema del modelo considerado para el derrame durante la fase de flujo libre.

49

Figura 3. (a) Un esquema de la Geometría para el modelo computacional. (b) Una imagen de la geometría enmallada en la vecindad del orificio según McGarry y Hitt (2005).

57

Figura 4. Geometría para Modelo Computacional 3D Orificio 0.005 m de diámetro

60

Figura 5. Geometría Modelo Computacional 3D agujero 0.01 m de diámetro.

61


61

Figura 7. Modelo Computacional 3D Ruptura 0.1 m de diámetro.

62

Figura 8. Geometría para Modelo Computacional 3D agujero cuadrado

62

Figura 9. Enmallado de los modelos geométricos

64

Figura 10. Plataforma de fluent V6.0 para los modelos de turbulencia.

67

Figura 11. Plataforma de Fluent para material de trabajo.

68

Figura 12. Plataforma de fluent para las condiciones de simulación.

69

10

Figura 13. Plataforma fluent para control de la soluciones.

69

Figura 14. Contorno de Presión Estática.

70

Figura 15. Contorno de presión en orificio.

71

Figura 16. Vectores de velocidad del fluido en orificio.

71

Figura 17. Líneas de Corriente.

72

Figura 18. Reporte de resultados obtenidos de la simulación en Fluent.

73

Figura 19. Contorno de presión estática.

73

Figura 20. Vectores de velocidad.

74

Figura 21. Líneas de corriente.

74

Figura 22. Reporte de resultados obtenidos de la simulación en fluent.

75


75


76


76


77


77

11


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78


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79


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Figura 33. Reporte de Resultados obtenidos de la simulación en fluent.

80


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81


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84


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12


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Figura 51. Reporte de resultados obtenidos de la simulación en fluent

89


90


90


91


91


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Figura 57. Vectores de Velocidad.

92

13

Figura 58. Reporte de resultados obtenidos de la simulación de fluent.

93


93


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94


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95


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96


97

Figura 67. Contorno de presión.

97


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98


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Figura 71. Contorno de presión estática para agujero cuadrado.

99


100

14


100

Figura 74. Caudal vertido cuando ∆P = 9.650.000Pa.

105


105


105


105

Figura 78. Contorno de Presión Estática para el Diámetro Critico.

107

Figura 79. Contorno de Velocidad para Diámetro Critico.

108

Figura 80. Líneas de Corriente para el diámetro crítico.

108

Figura 81. Reporte de resultados de Fluent para el diámetro crítico.

109

Figura 82. Curva Universal Adimensional para Caudal vertido.

114

Figura 83. Curva Universal para el Diámetro Critico.

115

15

RESUMEN En este documento se aborda el problema de la cuantificación del caudal y volumen de petróleo derramado por un orificio/agujero practicado en un oleoducto. En principio se plantea el análisis integral, ampliamente utilizado en la literatura, donde el caudal vertido por el orificio depende del coeficiente de descarga α , a priori desconocido puesto que depende de la geometría particular. Para determinar este factor se han realizado una serie de simulaciones con el paquete de software Fluent v.6 considerando orificios/agujeros de diferentes tamaños con varias presiones de operación en el interior de la tubería. El valor obtenido α = 0.67 es muy cercano al recomendado en la literatura de 0.7. Adicionalmente, mediante la técnica del Análisis Dimensional se han obtenido las curvas universales de comportamiento del caudal vertido frente al diámetro del orificio y del diámetro crítico, definido como aquel diámetro de agujero en el cual el caudal derramado es igual al que circula por la tubería, frente a la presión de operación. Como conclusión final, la simulación ha permitido validar y refrendar la adecuación del análisis integral para el cálculo del caudal derramado por un orificio/agujero en una tubería.

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INTRODUCCION La génesis de este trabajo es un problema que aparece recientemente en la industria petrolífera de Colombia, más concretamente en Ecopetrol. Los grupos armados al margen de la ley realizan sabotajes contra las instalaciones de los oleoductos como medida de presión al gobierno. Tradicionalmente dichos sabotajes consistían en la voladura de tramos de tubería los cuales causaban gran efecto en los medios de comunicación y que implicaban una parada casi instantánea del bombeo de crudo por el oleoducto afectado. Sin embargo, recientemente la estrategia de sabotaje ha sido sustituida por la práctica de varios agujeros de bala en ciertos tramos de tubería. Estas fugas son muy difíciles de detectar y, por tanto, causan grandes pérdidas de petróleo, mucho mayores que las causadas por la ruptura total del ducto, donde los tiempos de reacción de la compañía son muchísimo más breves. Como consecuencia de ello, Ecopetrol está interesada en poder estimar el volumen de crudo derramado por tales agujeros, además del daño ambiental que puede ocasionar. Todo lo anterior se refleja en el daño ocasionado por los derrames de crudo al medio ambiente. La contaminación ambiental por hidrocarburos es un problema creciente en los países productores de petróleo como es el caso de Colombia. Los derrames de petróleo generan problemas ambientales como la contaminación de aguas y suelos, daños a la vegetación y a la fauna asociada. Otros problemas son pérdidas económicas debido a daños a la actividad agropecuaria e industrial, así como el riesgo de afectar la salud humana. Para evitar o minimizar los daños ambientales y contener cualquier posible derrame de petróleo de manera efectiva y eficiente, se requiere de una herramienta que permita predecir el área afectada por un derrame y evaluar el efecto de éste sobre el medio ambiente. El crecimiento progresivo de la demanda de petróleo trae consigo la expansión de las superficies de la tierra bajo la influencia de la actividad petrolera y como consecuencia un incremento de los riesgos de deterioro del ambiente y de las comunidades humanas circunvecinas. Gran proporción de la superficie del país se encuentra afectada de una u otra forma por los diferentes procesos que genera la actividad petrolera tales como: exploración, explotación, producción, refinación y transporte. El sistema de

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transmisión de hidrocarburos en su recorrido, atraviesa ríos, morichales, bosque, centros poblados y unidades de producciones agrícolas y pecuarias que pueden verse afectadas en caso de ocurrencia de derrames. En el marco de esta problemática, la empresa Multiprocesos SIG S.A., la cual se encuentra elaborando planes de contingencia para Ecopetrol, contactó al Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos de la UAO con el fin de encontrar y validar una metodología de cálculo para la estimación de las pérdidas de crudo por orificios/agujeros practicados en una tubería. El objetivo final era encontrar una formulación suficientemente sencilla como para ser implementada en una calculadora auxiliar al software que la empresa se encuentra desarrollando para Ecopetrol, pero que a la vez fuera lo más realista posible. Con ese objetivo en mente, la estructura del presente trabajo se dividió en varias etapas. En primer lugar, se realizó una búsqueda bibliográfica que permitió conocer el estado del arte en el problema investigado. Una vez identificada la metodología apropiada a nuestras condiciones (dada por la British Petrol, en un plan de contingencia para un oleoducto en la República de Georgia) consistente en una formulación integral para el análisis de los derrames por agujeros, se procedió a evaluarla en ciertos escenarios de los oleoductos colombianos. Con el fin de refrendar esas estimaciones se realizaron, en una etapa posterior, simulaciones numéricas con el software Fluent v.6 considerando varios diámetros de orificio/agujero a diferentes presiones de operación dentro de la tubería. Como resultado se pudo determinar el valor del coeficiente de descarga , el cual depende de la geometría de los agujeros, el cual resultó muy cercano al valor sugerido en el informe de la British Petrol permitiendo validar las estimaciones integrales. Finalmente, se aplicó la técnica del Análisis Dimensional para obtener las curvas universales de comportamiento del caudal vertido frente al diámetro del orificio y del diámetro crítico, definido como aquel diámetro de agujero en el cual el caudal derramado es igual al que circula por la tubería, frente a la presión de operación y coeficiente de descarga.

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1. JUSTIFICACION Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La aplicación de los métodos numéricos y la tecnología computacional a la ingeniería como tal ha permitido que el hombre tenga cada vez mas un alto grado de confianza cuando realiza cálculos, tareas y diseños que contengan alguna complejidad no definida. La aplicación de los métodos numéricos a problemas de ingeniería no tiene mas de 60 años, se inicio utilizándose para cálculos de estructuras metálicas y diseño de aeronaves a través del uso de soluciones matriciales y llego a lo que hoy se conoce como la Teoría de elementos Finitos. El presente trabajo describe de manera precisa como calcular el volumen total de crudo derramado por un agujero cuando es ocasionado por una bala en un cierto punto del oleoducto. Esta situación preocupa a la industria petrolera de Colombia ECOPETROL ya que debido a los dilatados tiempos de detección los derrames de crudo pueden ser grandes. Para ello se propone la simulación numérica en un computador de las condiciones de operación más relevantes en el transporte de crudo, convirtiéndose de este modo el computador en una herramienta de predicción del caudal derramado en un cierto escenario real o ficticio. Además nos dará la fiabilidad y optimización de las formulaciones planteadas, comparando los resultados obtenidos por este método con los obtenidos de las estimaciones integrales en cada caso. Con la culminación de este proyecto se garantizará la fiabilidad de las formulaciones integrales utilizadas para obtener el volumen de crudo derramado por orificios en oleoductos ocasionados por agujeros de bala. Con esto la empresa Multiprocesos SIG S.A podrá cuantificar el volumen derramado de forma realista en una calculadora auxiliar implementada en el software que la empresa se encuentra desarrollando para ECOPETROL.

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2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL Validar y evaluar una metodología práctica y confiable para el cálculo del volumen de crudo derramado por agujeros ocasionados por impacto de bala en los oleoductos de la industria petrolera de Colombia. 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Realizar una búsqueda de literatura científica sobre temas relacionados con derrames en tuberías por agujeros u orificios. • Analizar la documentación encontrada para la elección del modelo a implementar. • Realizar la simulación para diferentes escenarios de operación y tamaños de agujeros. • Obtener curvas adimensionales para el caudal derramado por orificios. • Analizar los resultados.

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3. MARCO TEORICO 3.1. CONCEPTOS GENERALES 3.1.1. Concepto de fluido. Los fluidos son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contiene. La rama de la mecánica que estudia su comportamiento, ya sea en reposo o en movimiento, constituye lo que se conoce como la Mecánica de Fluidos. En el desarrollo de los principios teóricos de la Mecánica de Fluidos, algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel de gran importancia, mientras que otras apenas influyen. En la estática de fluidos, el Peso Especifico es la propiedad más importante, mientras que en el flujo de fluidos, la densidad y la viscosidad son las que predominan. � Propiedades de los fluidos. Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Características como la viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gases. Sin embargo la masa específica, el peso específico y la densidad son atributos de cualquier materia. � Densidad. Se denomina densidad a la relación que exista entre la masa específica de una sustancia cualquiera y una sustancia de referencia. Para los líquidos se utiliza la masa especifica del agua a 4°C como referencia, que corresponde a 1g/cm3 y para los gases se utiliza al aire con masa especifica a 20°C y 1,013 bar de presión es 1,204 kg/m3. � Viscosidad. La viscosidad es una propiedad distintiva de los fluidos. Esta ligada a la resistencia que opone un fluido a deformarse continuamente cuando se le somete a un esfuerzo de corte. Esta propiedad es utilizada para distinguir el comportamiento entre fluidos y sólidos. Además los fluidos pueden ser en general clasificados de acuerdo a la relación que exista entre el esfuerzo de corte aplicado y la velocidad de deformación. El caudal se define como la velocidad media de las partículas multiplicada por el área transversal del tubo de la corriente, Q = A V. Las unidades en las cuales se expresa el caudal son: metros cúbicos por segundo, en el sistema Internacional, o

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en litros por segundo. Los métodos que permiten determinar el caudal que circula por un conducto, a presión o a superficie libre, son indirectos porque el caudal (Q), se deduce de la relación que lo liga con las variables que se miden, siendo estos: � Método volumétrico. Se emplea para caudales pequeños y consiste en tomar el tiempo (t), que el agua que circula por el conducto gasta en llenar un recipiente de volumen (v) conocido. 3.1.2. Ecuación de continuidad. Este método, se utiliza aprovechando el principio de la conservación de la masa y considerando que en los líquidos, la densidad es prácticamente constante. Para conocer el régimen de flujo es necesario conocer algunas propiedades del fluido como densidad, viscosidad cinemática o dinámica, también debemos de conocer la velocidad media del fluido, y algunas consideraciones geométricas de elemento que contiene el fluido. Según predicciones ya realizadas a muchos casos de fluidos, para las predicciones del flujo laminar para valores bajos del número de Reynolds Re, hasta aproximadamente 3000, y se ajustan a las predicciones del flujo turbulento para valores de Re mayores que 4400 aproximadamente. Mientras que los valores intermedios de Re cubren una región en la que se produce la transición de flujo y ninguna de las dos teorías reproduce satisfactoriamente los resultados experimentales. El número de Reynolds es el número adimensional:

µ

ρDVRe = (1)

Donde ρ es la densidad del fluido, D el diámetro de la tubería, V su velocidad y µ la viscosidad dinámica. 3.1.3. Flujos incompresibles. Los flujos estacionario e incompresible son aquellos que se escriben a lo largo de una línea de corriente. Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de

22

Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye y para su aplicación se debe de tener encuenta las siguientes condiciones para un volumen de control escogido: • Condiciones de validez de la ecuación de Bernoulli:

� Flujo estacionario.

� Flujo incompresible (M < 0.3).

� Flujo sin pérdidas por fricción (muy restrictiva, excluye paredes sólidas).

� Flujo a lo largo de una línea de corriente (diferentes líneas de corriente pueden tener distintas constantes de Bernoulli).

� Ausencia de máquinas (i.e., sin trabajo de impulsión o extracción).

� Ausencia de transferencia de calor.

Para fluidos no ideales la ecuación de Bernoulli toma la forma:

(2)

Donde el término H se denomina "pérdida de carga", si el fluido es ideal H=0. Como ejemplo de aplicación consideremos un tanque de superficie libre como lo indica la figura 1, se desea hallar una relación entre la velocidad de descarga V2 y la altura de la superficie libre h en el tanque (asumir flujo sin fricción).

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Figura 1. Esquema para el caso del tanque de superficie libre.

Fuente: LAÍN, Santiago. Ecuaciones de conservación: Dinámica. Universidad Autónoma Occidente. En: Notas de clase para Mecánica de fluidos. Tema 4, (2006); p. 97.

Solución: Punto 1: Superficie libre. Punto 2: Boquilla de descarga. La conservación de la masa nos dice que A1 V1 = A2 V2.

Escribimos la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente central:

2

2

221

2

11

22z

g

V

g

pz

g

V

g

p++=++

ρρ como p1 = p2 = pa

ghVghAA

ghVghVV 22

/1

22 22

1

2

2

2

2

2

1

2

2 ≈→≈−

=⇒=−

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donde, se ha supuesto que A1 >> A2. Sin embargo, el flujo en el punto 2 en realidad no es unidimensional, por ello se corrige la fórmula anterior afectándola de un coeficiente de descarga, α:

( ) [ ]0.1,6.022

2 ∈== αα ghA

QV

AV (3)

donde, el termino α, coeficiente de descarga, que depende básicamente de la geometría del orificio1. 3.1.4. Análisis Dimensional. Razones para la utilización del análisis dimensional2: Insuficiente caracterización: ecuaciones constitutivas o propiedades físicas desconocidas (flujos turbulentos, fluidos no newtonianos). Solución inabordable: complejidad de las ecuaciones básicas (matemática y/o numérica). Necesidades de cómputo desbordantes (flujos turbulentos). Costo excesivo: incluso si la solución matemática es posible, quizás, demande una elevada inversión de recursos y tiempo que lo conviertan en inabordable para una industria en particular. Necesidad de fiabilidad: incluso si el problema está caracterizado convenientemente, el cómputo es accesible y rentable su solución es inevitable confrontar los resultados con las medidas experimentales (verificación de predicciones, acotar o eliminar incertidumbres o errores en el cálculo). - Tipos de medidas experimentales: Caracterización de comportamientos: Medida parámetros físicos, determinación ecuaciones constitutivas. 1 LAÍN, Santiago. Ecuaciones de conservación: Dinámica. Universidad Autónoma Occidente. En:

Notas de clase para Mecánica de fluidos. Tema 4, (2006); p. 97. 2 LAÍN, Santiago. Análisis dimensional y teoría de modelos. Universidad Autónoma de Occidente. En: Notas de clase para Mecánica de fluidos. Tema 6, (2006); p. 105.

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Calibración y verificación modelos de cálculo: Experimentos de validación de procedimientos de cálculo. Tabulación dispositivos y componentes catalogados: renuncia a una predicción racional y económica de un fenómeno ⇒ ensayos sistemáticos. Ensayo de prototipos: Desarrollo y/o caracterización de productos novedosos, únicos de caracterización experimental del diseño. -Los experimentos deben satisfacer requerimientos de: Economía: -Ejecución en escala conveniente. -Parámetros significativos a medir reducidos. -Número de medidas mínimo pero suficiente. -Equipos y personal necesario a coste razonable. Fiabilidad: -Caracterización de los fenómenos esenciales. -Errores de medida acotados. -Reproducibilidad.

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Generalidad: -Situación experimental caracteriza diversas situaciones. -Resultados extrapolables a sistemas semejantes. -Resultados conducentes a formular leyes de comportamiento. • Objetivo del análisis dimensional. Es reducir el número y complejidad de las variables experimentales que afectan un fenómeno físico dado. Si un fenómeno depende de n variables físicas dimensionales cuyas dimensiones se expresan en función de k magnitudes fundamentales, el análisis dimensional reduce el número de variables necesarias como máximo a n-k variables adimensionales. • Principio de homogeneidad dimensional. “Toda ecuación que establezca un modelo matemático correcto de comportamiento de un sistema es dimensionalmente homogénea, es decir, es invariante frente al cambio de unidades” • Método de obtención de curvas adimensionales según el teorema Π variables adimensionales. “Toda ecuación dimensionalmente homogénea que vincule un grupo de N variables dimensionales equivale a otra ecuación que se expresa en función de unas nuevas variables que son adimensionales cuyo número es menor que N”. A partir de ),,( 1 nχχφφ K= se obtienen N-M variables adimensionales

MNj inj −= ,1π que cumplen:

0),,( 1 =−MNππϕ K donde la información contenida en ϕ es equivalente a la contenida en φ .

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Además, el número N-M < P y M < P con P el número de magnitudes fundamentales que aparecen en el problema, i.e., N-M ≥ N-P:

∏=

+=

P

i

i

jP

j

ji

1

αχ

χπ PNj −= ,,1K (4)

• Desarrollo de la adimensionalización: Ilustración con un ejemplo: Sea una esfera de radio R enfrentada a una corriente uniforme de velocidad ∞U de un fluido newtoniano, incompresible e isotermo con propiedades µ y ρ. Se busca encontrar la fuerza de resistencia, FD, que experimenta la esfera por efecto del flujo mediante un conjunto de ensayos de laboratorio. Etapa 1: Identificación variables significativas: Se postula la relación que se busca identificando todas las variables significativas independientes, y solo esas, que intervienen. Es la etapa más difícil y de mayor trascendencia para los análisis subsiguientes ya que: ⇒ La exclusión de parámetros significativos invalida las conclusiones posteriores. ⇒ La inclusión de parámetros poco relevantes o dependientes de los anteriores complica innecesariamente el análisis. ⇒ La intuición, experiencia, verificación experimentos preliminares constituyen recursos útiles que nos pueden ayudar.

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Como regla se sugieren tres tipos de parámetros: Geométricos: Geometría sistema: longitudes, ángulos (en nuestro caso el radio R). Asociados al fluido: En ausencia de compresibilidad y de ∆Τ , la densidad y la viscosidad µρ , . Asociados al problema particular: Condiciones especificas aquí U ∞ . Como el cuerpo en una esfera, sólo habrá fuerza en la dirección de la corriente incidente por lo que se postula la relación:

FD = FD ),,,( ρµRU ∞ o bien 0),,,( =∞ ρµφ RUFD

Etapa 2: Construcción de la matriz de dimensiones y determinación de su rango. Tomemos las magnitudes fundamentales S.I. M L t M L t ρ 1 -3 0 R 0 1 0

∞U 0 1 -1 FD 1 1 -2 µ 1 -1 -1

El rango de la matriz es 3 ya que la submatriz cuadrada con determinante distinto de cero es 3x3:

01

110

010

031

≠−=

−

−

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# Magnitudes fundamentales P = 3 # Parámetros fundamentales N = 5 0)( 2.1 =ππφ Rango matriz coeficientes R = 3 # Números adimensionales M = N – R = 2 Se observa que en general se observa una multiplicidad de opciones en el grupo de variables dimensiónales que se toman para establecer el rango dependiendo de que filas escojamos (tomar las más sencillas es una buena opción pero depende del problema). Etapa 3: Selección de las “primeras variables. En principio cualquier grupo es candidato a figurar en el denominador de los grupos o dimensionales. La elección se realizará según la incógnita que se debe resolver y se recomienda lo siguiente: Se excluirá aquella variable que se desee obtener como dependiente del resto, ya que sino dicho parámetro aparecerá en todos los grupos adimensionales, generando una expresión implícita inadecuada para el propósito inicial. Se excluirán variables sospechosas de no intervenir siempre para evitar la influencia en los grupos adimensionales de un parámetro tal vez no significativo. Aplicados ambos criterios, “como primeras variables” se eligen aquellas cuyas dimensiones sean lo mas sencillas posible. Finalmente, la costumbre o experiencia aconsejará un tipo de elección frente a otra. Sin embargo, sea cual sea la alternativa elegida para las “primeras variables” esta conducirá a resultados equivalentes. En nuestro problema, estos criterios aconsejan excluir

DF (variable que queremos obtener) y µ pues tiene las dimensiones mas complejas.

“Primeras variables”={ ∞UR, , }ρ

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Etapa 4: Cálculo números adimensionales. Aplicamos (4) a

DF y µ para obtener:

γβαρπ

∞

=UR

FD

FD;

∞′

='

' γβαµρ

µπ

UR

γβα ,, se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones:

M 1 1 0 0 α α = 1 1=→ α L 1 = -3 1 1 β 1 = -3α + β + γ ⇒=→ 2β t -2 0 0 -1 γ -γ = -2 2=→ γ Para el 2° parámetro:

M 1 1 0 0 α ´ α ´ = 1 1=′→ α L -1 = -3 1 1 β ´ -1 = 3 + β ´+ γ ´ β ′→ 1= t -1 0 1 -1 γ ´ γ ´= 1 1=′→ γ

Luego la función adimensional de dos parámetros se escribe:

( ) 0,0,22

=

⇔=

∞∞ RUUR

FD

FD ρ

µ

ρφππφ µ

Como µ

ρ ∞=RU

Re Número de Reynolds.

despejando

DFπ , se puede escribir:

22

∞

=UR

FDFD ρ

π

∞

=RUρ

µπ µ

F

31

= ∞

∞ µ

ρ

πρπ

RUf

UR

FD 2222

donde 2RAT π= es el área transversal al flujo; entonces,

2

2

1∞UA

F

T

D

ρ

= (Re)2

2

1(Re)

2

2

f

UA

Fcf

T

D

Dπ

ρπ

==⇒

∞

2(Re)

2

1∞ΤΑ= UcF DD ρ

Etapa 5: Comprobación e interpretación de los resultados. ⇒ Verificación de la ausencia de dimensiones en los grupos adimensionales (detección errores de cálculo). ⇒ Reflexión global sobre el tipo de parámetros obtenidos, significado físico, posibilidad de agrupamiento o reordenamiento 3.1.5. Pérdidas de carga para flujo incompresible en tuberías. Una base conveniente para tratar el comportamiento del flujo en tuberías es el Análisis Dimensional cuando se trata de flujos turbulentos totalmente desarrollados, puesto que la caída de presión y la pérdida de carga en una tubería dependen del esfuerzo cortante en la pared wτ entre fluido y superficie de la tubería. Una diferencia fundamental entre flujo laminar y turbulento es que el esfuerzo cortante para flujo turbulento es función de la densidad del fluido mientras que para el flujo laminar es independiente de la misma dejando la viscosidad µ como la única propiedad importante del fluido3.

3 MUNSON, B.R; YOUNG, D.F; OKIISHI, T.H. Fundamentos de mecánica de fluidos. 6 ed. Mexico:

Limusa, 1999. p. 475.

32

De este modo la caída de presión P∆ , para flujo turbulento incomprensible estable en una tubería circular horizontal de diámetro D se puede parametrizar del siguiente modo:

),,,,,( ρµεlDVFP =∆

donde, V es la velocidad media, l la longitud de la tubería ε es una medida de la rugosidad de la pared de la tubería. La dependencia de P∆ con respecto a las propiedades µ y ρ del fluido es de esperar debido a la dependencia del esfuerzo cortante τ con respecto a estos parámetros. Aparentemente la lista de parámetros mencionada es completa. Es decir en forma experimental se ha demostrando que otros parámetros (como la tensión superficial, la presión de vapor, etc.) no afectan la caída de presión para las condiciones establecidas (fluido incomprensible estable, tubería circular horizontal). Como hay siete variables (N = 7) que se pueden escribir en términos de tres dimensiones MLT (R = 3) y darse de forma adimensional en términos de N – R = 4 números adimensionales y su representación es:

=

∆

DD

lVD

V

P ε

µ

ρ

ρ,,

2

21

(5)

Esta expresión resulta de hacer adimensional la presión dividiéndola entre la presión dinámica 22Vρ , en vez de hacerlo entre el esfuerzo cortante viscoso característico DVµ , este acuerdo se dio puesto que el esfuerzo cortante para flujo turbulento depende mas de la densidad que de la viscosidad. Además se introdujeron dos parámetros adimensionales, el número de Reynolds (1), y la rugosidad relativa, Dε y denominando la cantidad )2( 2VlPD ρ∆ que es simplemente el factor de fricción, f, nuestra expresión para perdida de presión nos queda:

2

2V

D

lfP

ρ=∆ (6)

33

donde f, esta en función del numero de Reynolds, Re y el coeficiente de rugosidad relativa de la tubería Dε . 3.1.6. Mecánica computacional. Teniendo claros los conceptos de la mecánica de fluidos para cada tipo de comportamientos de los fluidos y definiendo las condiciones de fronteras a analizar, se procede a realizar una geometría del elemento que contiene el fluido del caso a estudiar, para nuestro caso se empleará el software Gambit 2.3.16 que maneja una plataforma de diseño de fácil manejo y manipulación para la realización de modelos geométricos en 2D y 3D. Luego se deben establecer unos parámetros o condiciones que me permitan llegar a tal punto en que estas se aproximen a la realidad con el objetivo de obtener resultados satisfactorios. Lo anterior se logra gracias al gran aporte que nos brinda la tecnología de software con herramientas básicas para realizar el análisis de algunos comportamientos de los fluidos por medio de mecánica computacional donde lo que se precede es a realizar el mallado del elemento geométrico para luego discretizarlo en cientos de miles de volúmenes de control en los cuales se resuelven las ecuaciones que gobiernan el flujo, el cual será de gran utilidad para el desarrollo de este proyecto. Para realizar estos análisis se han escogido las siguientes ayudas computacionales: ICEM CFX V10.0 y Fluent V6.0 y solo basta con tener buena habilidad de manejo de los mismos, sobre como realizar la geometría del elemento que contiene dicho fluido (herramienta de diseño) para luego generar una malla del elemento (ICEM CFX) que va a ser analizada (Fluent), estableciendo, como ya se menciono anteriormente unas condiciones de contorno como: propiedades del fluido, dimensiones geométricas y los respectivos modelos numéricos de turbulencia diseñados para realizar la simulación. 3.1.7. Modelos numéricos de turbulencia implementados por el paquete de simulación Fluent v6.0. Los modelos numéricos que el paquete de simulación emplea se enunciaran a continuación: - Ecuación de Navier Stokes:4 4 VERSTEEG, H. K; MALALASEKERA, W. An introduction to computational fluid dynamics: The

finite Volume method. USA: Longman Scientific & and Technical, 1995. p. 375

34

Al tratar problemas aplicados a fluidos newtonianos incompresibles se trabajan con las clásicas ecuaciones de Navier Stokes, los cuales proponen la conservación de la masa, momentum y la energía siendo esta última de menor importancia para nuestro caso, puesto que se asume que no existe ninguna transferencia de calor dentro del sistema. - Conservación de la masa: La masa de un sistema cualquiera siempre debe conservarse. Si se toma Q = 0 (no hay fuentes o sumideros de masa) y colocando la densidad, la ecuación de continuidad es de la siguiente forma:

)v(t

ρρ

•譜譜譜譜+父父父父父父父父

, (7)

Como la densidad de un fluido incompresible se mantiene constante entonces la ecuación de continuidad se reescribe de la siguiente forma:

0v譜 =• , (8) Donde v es la velocidad y reescribiendo la ecuación con sus respectivas componentes de la velocidad con coordenadas cartesianas se obtiene:

0z

w

y

v

x父父u

=父父父父父父父父

+父父父父父父父父

+ , (9)

A esta ecuación se le llama ecuación de continuidad o de conservación de la masa. - Conservación del momentum: La forma más elemental de las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene cuando se toma que el fluido es incompresible y la viscosidad permanece constante, de la siguiente forma:

35

Donde el término f representa fuerzas externas como la gravedad, y algunas fuerzas centrifugas y campos magnéticos etc, y el significado de los otros términos es el siguiente:

Como ya se estableció anteriormente la condición para la densidad como constante se tiene por la ecuación de la continuidad que:

Reescribiendo la ecuación en las tres direcciones (x, y, z) y de forma explicita se tiene que: Dirección x:

Dirección y:

Dirección z:

36

- Modelos de Turbulencia: Los modelos de turbulencia utilizan las ecuaciones básicas de un fluido para describir el comportamiento del mismo seguido de las ecuaciones de Navier Stokes mencionadas anteriormente. La turbulencia y sus efectos en un fluido son un problema primordial para la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería. En particular se necesitan expresiones para los esfuerzos de Reynolds en las ecuaciones de conservación del momentum. Para que un modelo de turbulencia sea útil para cierta aplicación de CFD debe ser preciso, sencillo y económico para poderlo ejecutar. Los modelos comunes de turbulencia se clasifican en:

-Modelos Clásicos: son 4, basados (promedio temporal) en las ecuaciones de Reynolds: � Modelo de longitud de mezcla. � Modelo k -ε . � Modelo de los Esfuerzos de Reynolds. � Modelo algebraico de los esfuerzos. -Large eddy simulation: basado en las ecuaciones filtradas en el espacio.

37

Los modelos clásicos utilizan las ecuaciones de Reynolds las cuales son la base para los cálculos de la turbulencia de los CFD (Computational Fluid Dinamics) comerciales. El modelo Large Eddy simulation es un modelo de turbulencia donde las ecuaciones de flujo que dependen del tiempo tratan de resolver las grandes escalas modelando los efectos de las pequeñas escalas. El modelo clásico mixto como el k -ε es actualmente el mas utilizado. Estos se basan en la presunción de que existe una analogía entre la acción de los esfuerzos viscosos y los esfuerzos de Reynolds en el flujo. Ambos esfuerzos aparecen en el lado derecho de la ecuación del momentum que en la ley de la viscosidad de Newton el esfuerzo viscoso es proporcional a la tasa de deformación de los elementos fluidos. Para un fluido incompresible, se da que:

Con el fin de simplificar la notación se utilizan los subíndices i y j. La convención de esta notación es que i o j = 1, corresponde a la dirección x, i o j = 2 a la dirección Y, y la dirección Z a i o j = 3. Por ejemplo:

+

=

+==

x

v

y

u

x

u

x

u1

2

2

1

xy12 µµττ

Experimentalmente se observa que la turbulencia decae a menos que exista un corte en el flujo incompresible isotérmico. Por otra parte, se encuentra que el esfuerzo turbulento aumenta conforme aumenta la tasa de la deformación. Boussinesq en 1877 propuso que el esfuerzo de Reynolds se puede asociar a las tasas de deformación. Usando la nomenclatura de subíndices se obtiene:

38

El transporte turbulento de calor, la masa y otras propiedades escalares se estiman de igual forma. La ecuación anterior muestra que el momentum de transporte turbulento es proporcional a los gradientes de velocidad (i.e. gradientes del momentum por unidad de masa). Análogamente el escalar de transporte turbulento se toma proporcional a los gradientes de la cantidad transportada, en notación de subíndices da como resultado:

donde, tΓ es la difusividad turbulenta el cual se refiere al comportamiento de una propiedad cualquiera de nuestro fluido de trabajo y en nuestro caso es análogo a la viscosidad turbulenta o laminar del fluido. Cuando se mezclan los remolinos, se espera de alguna forma que los valores de la difusividad turbulenta tΓ sea

cercano al valor de la viscosidad turbulenta tµ , por esta razón se incluye el número de Prandtl/Schmidt como el siguiente:

- Ecuaciones del modelo k -ε : La ecuación estándar para el modelo k -ε , tiene dos ecuaciones modelos, una para k y otra para ε , basadas en el entendimiento del cambio de estas variables en medio del proceso. Se usa k para definir el valor de la velocidad, ϑ y ε para el valor de la longitud, l respectivamente representando la mayor escala de la turbulencia, de la siguiente forma:

39

La viscosidad turbulenta se escribe de la siguiente forma:

donde µC es una constante adimensional.

El modelo estándar k -ε , utiliza las siguientes ecuaciones para el transporte:

En otros términos el significado de las ecuaciones es el siguiente:

εykpara

cambiodeRazon +

εykdeconvección

porTransporte =

εykdedifución

porTransporte +

εykdeproducción

deRazón

-εykde

ndestrucciódeRazón

40

El modelo k -ε , contiene cinco constantes que se pueden ajustar como: tttk CCC 21 ,,,, σσµ las cuales toman los siguientes valores ya establecidos de

acuerdo a experimentos realizados para la determinar los valores de las constantes mencionada (según H. K. Versteeg & W. Malalasekera (1995))

41

4. REVISIÓN BIBLIOGRAFICA A continuación se discuten algunos artículos encontrados en la etapa de revisión bibliográfica, los cuales hacen referencia al problema planteado. Éstos presentan cálculos basados tanto en aproximaciones integrales heurísticas como computacionales los cuales proporcionan una idea inicial de como abordar el objeto de estudio: o M. Ahammed y R. E. Melchers (1995), este artículo nos da una expresión para el cálculo del caudal en tuberías cuando tienen orificios producidos por el fenómeno de la corrosión. Este calculo lo realizaron para diferentes diámetros de agujero empleando la siguiente ecuación:

hhdth VACnQ = , (23)

donde:

hQ = caudal total de descarga a través de todos los agujeros.

dC = coeficiente de descarga o coeficiente de flujo.

hA = área transversal de un agujero.

hV = velocidad media del fluido en el agujero. Con hA , dado por hA = 4/2dπ donde d es el diámetro del agujero. El término nt que es la tasa de propagación de los agujeros en tuberías por causa del fenómeno de la corrosión, teniendo en cuenta el tipo de acero y la forma del agujero.

42

M. McGarry y D.L. Hitt (2005), estudian de manera más concreta la salida del fluido por un agujero en un tubo presurizado sumergido en un medio en reposo, en estado estacionario. Este problema tiene aplicaciones en la distribución de petróleo y gas en tuberías sumergidas. El caudal derramado por el agujero se caracteriza en función de varias condiciones hidrodinámicas y geométricas. El análisis dimensional muestra que el caudal de salida, Q, es una función del número Reynolds, la proporción de presión entre el centro del tubo y el contorno exterior, la presión hidrostática P, el diámetro del agujero d, frente al del tubo D. El efecto de la forma del agujero también es examinada, si es rectangular o circular. La relación que rige este comportamiento está dada por Q*, el cual se define

como:in

leak

QQ

Q =* y puede parametrizarse por: ( )ouletin PLDhdgQfQ ,,,,,,,, µρ=∗ ,

donde, leakQ es el caudal derramado por el agujero, ρ la densidad, µ la viscosidad

molecular, inQ el caudal a la entrada, g la constante gravitacional, d el diámetro del agujero, D el diámetro del tubo, L la longitud donde se encuentra el agujero en el tubo, h la altura de la columna de líquido sobre la ruptura, y el outletP la presión dentro del tubo. o S. Kutukov, R. Bakhtizin, R. Nabiev, S. Pavlov, A.Vasiliev, (2000). Estos cinco autores en su articulo presentan la metodología para realizar la simulación de derramamientos de petróleo en tuberías que contienen agujeros, mostrando la aplicación de diferentes métodos en una configuración definida para varios tipos de agujeros y escenarios de operación, considerando los coeficientes de descarga (µ.f0) correspondientes. Para cuantificar este volumen tienen en cuenta los siguientes factores: forma del agujero, propiedades físicas del crudo, presión y velocidad del flujo utilizando la siguiente expresión para el diámetro de agujero:

0. fµ = 4

2dπ

o ( )πµ 0.2 fd =

siendo µ el coeficiente de descarga a través del agujero y 0f el área del agujero en m2. Los autores limitan el tamaño de los diámetros de agujero a 2cm, porque en el caso de un mayor tamaño para agujeros el escape de petróleo superará el 10 o el 15% de la capacidad que contenga el oleoducto, lo que implica otro tipo de escenario.

43

La evaluación para obtener el volumen derramado se realiza para los dos siguientes puntos: Primero: los derrames de petróleo en la sección de la tubería presurizada se determinan basados en el tiempo desde el momento de la ruptura e identificación de la fuga hasta detener los sistemas de bombeo (τ = 2.5 horas) obteniéndose:

( )HgHfV 201 τµ= siendo

HH la presión del flujo determinada como la distancian entre el punto de salida del fluido y la altura hidráulica que forma la pendiente de la líneas del oleoducto. Segundo: el derrame de crudo con presión alternante, es determinada por el tiempo en que se realiza el cierre de las válvulas del oleoducto (τ = 2.5 horas) como:

( )( ) 2202 HgHfV τµ=

siendoKH la presión hidráulica definida como la diferencia de alturas entre el punto

mas alto de la tubería y el punto mas bajo de la misma. El volumen total derramado se obtiene de la suma de las dos expresiones para el volumen mencionadas ( )21 VVVtotal += o M. Reed, M. H. Emilsen, B. Hetland, O. Johansen, S. Buffington, B. Høverstad (2006), muestran la manera de calcular el volumen derramado por una tubería utilizando una ayuda computacional. La valoración de pérdidas se basa en la integración y comportamiento del fluido en el sistema. El volumen total liberado se calcula en función de la variación del volumen y tiempo de liberación, tiempo de detección de escape o fuga y tasas de producción, tiempo de parada para cada componente en el sistema y posición de ruptura. Su procedimiento es válido para líquidos, gases o mezcla de ambos. Sin embargo, estos autores no detallan lo suficiente las ecuaciones del método seguido puesto que se encuentra implementadas en un software.

44

o B. Weber y M. Malvick (2000), menciona en su artículo un procedimiento de cómo calcular volumen de petróleo derramado por causa de un agujero, expresado en Miles de barriles y para obtener dicho volumen hace uso de la siguiente expresión: Volumen derramado (barriles) =

ρ

KTQL

donde: T = tiempo de control del derrame (hrs).

LQ = flujo másico de descarga (lbm/s). ρ = densidad del crudo (54.57 lbm/ft3). K = factor de conversión de lbm/s a barriles/hr (641.143). Para cada segmento del ducto, el cálculo del volumen derramado fue desarrollado en el segmento de tubería donde se presenta la tasa más alta de derrame de crudo lo cual sucede en la mayor diferencia de elevación o ubicación de válvula a válvula o de válvula a pico (siendo este último el punto más alto del tramo de tubería). La tasa de descarga del líquido o flujo másico derramado por un agujero se calcula de la siguiente forma:

1442 c

dL

gPACQ ∆= ρ

donde,

LQ es el flujo másico de descarga (lbm/s) , dC el coeficiente de descarga,

tomado igual a 0.61, A el área transversal del agujero (in2), ρ la densidad del crudo (54.57 lbm/ft3), ∆P la diferencia de presión estática (psi) y cg el factor de conversión de lbf a lbm (32.2).

45

5. ESTIMACIONES INTEGRALES PARA EL CAUDAL DERRAMADO POR UN ORIFICIO

Para obtener el volumen que se derrama por un orificio en un oleoducto, luego de revisar la literatura encontrada en la fase de revisión bibliográfica de este proyecto, se encontró que la metodología más aproximada para nuestro caso se encontraba descrita en un informe de la British Petrol BP (BTC Pipeline Company, Appendix H (2005)), desarrollado para la estimación de las perdidas en el oleoducto que atraviesa la Republica de Georgia. La estimación del volumen de crudo derramado se divide en tres fases: � Fase inicial del derrame (antes de la detección y cierre de válvulas). � Fase de despresurización (el cierre de las válvulas provoca un golpe de ariete transitorio y una sobrepresión en la tubería). � Fase de flujo libre (el derrame corresponde a un vaciado de la tubería). Fase inicial: En esta fase el caudal derramado Q1 se calcula asumiendo que la presión en el oleoducto a la altura del orificio es conocida, p1 la cual se toma referida a la atmosférica. El volumen de líquido derramado es

V1 = Q1 t1 donde t1 es el tiempo estimado que dura la fase inicial. El caudal de crudo derramado se estima a través de la ecuación de Bernoulli como

ρα 1

1

2 pAQ L=

46

donde AL es el área transversal del orificio, α es el factor de flujo (el cual depende la geometría exacta del orificio y espesor de la pared) el cual se puede tomar como 0.7 en el caso general y ρ es la densidad del crudo. El volumen total derramado se obtiene combinando las 2 expresiones anteriores:

11

1

2t

pAV L

ρα=

Fase de despresurización: Una vez detectada la fuga de crudo se cierran las válvulas en la sección considerada, lo cual provoca una sobrepresión en el tramo de tubería correspondiente el cual, debido a la elasticidad del material de construcción del oleoducto, implica un aumento de volumen ∆V debido a la expansión en la dirección radial.

)()1( 2

2

0 tpksE

DVV

+−=∆ µ , (32)

como V0 es el volumen inicial de tubería, p2 la presión en esta fase, D el diámetro interno de la tubería, s su espesor, E el módulo de elasticidad de la tubería, k el módulo de compresibilidad del crudo y µ el coeficiente de contracción (el cual se puede tomar como 0.9).

Denotando

+−

=

ksE

DV

A

c

L

)1(

2

2

0 µ

ρα

, la presión en la tubería en función del tiempo

es:

( )2

5.0)( tcptp i −= , (33)

47

donde, pi es la presión inicial en el momento de cierre de las válvulas. El tiempo total necesario para la despresurización total (p = 0) es

c

pt

i

d5.0

= , (34)

Luego el volumen derramado en función del tiempo en la fase de despresurización se calcula como:

( )[ ]

≥

+−

<−−

+−

=

di

di

ttpksE

DV

tttcppksE

DV

V

2

2

0

2

2

21

2

0

2

)1(

5.0)1(

µ

µ, (35)

Fase de flujo libre: Los cálculos del volumen de líquido derramado en la fase de flujo libre se realizan bajo las siguientes condiciones: ⇒ No se consideran los efectos de almacenamiento debido a la elasticidad de la tubería y la compresibilidad del crudo. ⇒ La presión en las zonas de la tubería vacías de líquido es la presión atmosférica ambiente. ⇒ Durante el derrame no se consideran ni la fricción ni la aceleración del fluido en la tubería. ⇒ No se tienen en cuenta las diferencias en la presión atmosférica ambiente debido al clima o los cambios de elevación o cota. Con objeto de ilustrar el cálculo se considera un segmento recto de tubería (Figura 2), el cual se encuentra lleno de crudo hasta la altura h1 en t3 = 0. El orificio se encuentra situado a una elevación h0.

48

Figura 2. Esquema del modelo considerado para el derrame durante la fase de flujo libre.

La elevación del líquido sobre el punto h0 en función del tiempo se puede escribir como:

2

30103 )(sin22

1)(

−−+= tg

A

Ahhhth

R

L βα , (36)

donde AR es el área transversal de la tubería y β el ángulo de inclinación. El tiempo de vaciado del líquido situado por encima del agujero, tv, es:

)(sin2

2 01

βα gA

hhAt

L

R

v

−= , (37bis)

El volumen derramado en función del tiempo en esta tercera fase se escribe finalmente:

−−−−=

2

3010133 )(sin22

1

sin)( tg

A

Ahhhh

AtV

R

LR βαβ

, (38)

49

Finalmente, el volumen de crudo derramado al final de las tres fases es la suma:

)()()( 332211 tVtVtVVT ++= , (39) • Consideraciones para los tiempos de detección de fugas: Si da tt < entonces los operarios han llegado al lugar del incidente y se supone que han tomado medidas para evitar el derrame de más crudo. En ese caso el volumen total derramado es:

VT(caso a) = V1 + V2(caso a), (40)

Si da tt ≥ entonces el volumen derramado en esta fase es el máximo posible V2 (caso b). Cálculo del volumen derramado en la fase flujo libre. En este caso se deben comparar el tiempo de vaciado, tv (37bis), con el tiempo de llegada de los operarios efectivo en esta fase, ta – td. Si tv ≤ ta – td, entonces el líquido situado por encima del agujero u orificio ha tenido tiempo de salir completamente por lo que el volumen derramado en esta fase es:

RAhh

ccasoVβsin

)(0sup

3

−= , (41)

el volumen total derramado se calcula como:

VT(caso c) = V1 + V2(caso b) + V3(caso c), (42) En otro caso, tv > ta – td, el tramo de tubería no se habrá vaciado totalmente y el volumen derramado en la fase flujo libre es:

−−−−−=

2

0sup0sup3 )()(sin22

1

sin)( da

R

LR ttgA

Ahhhh

AbcasoV βα

β, (43)

50

y el volumen total derramado se calcula como: VT(caso b) = V1 + V2(caso b) + V3(caso b) (44)

En resumen, se presentan tres casos según sea el tiempo transcurrido desde el cierre de las válvulas hasta la llegada de los operarios a solucionar el problema, ta, y el tiempo de vaciado del tramo correspondiente en la fase de flujo libre, tv. Caso a) ta ≤ td. Los operarios alcanzan a impedir el derrame durante la despresurización (fase despresurización). El volumen total derramado se calcula según (40). Si ta > td nos aparecen dos posibilidades adicionales Caso b) tv > ta – td. Los operarios alcanzan a impedir el derrame durante la fase 3 de flujo libre. El volumen total derramado se calcula según (44). Caso c) tv ≤ ta – td. Los operarios alcanzan la fuga de crudo cuando se ha completado la fase de flujo libre y ya no se derrama más crudo. El volumen total derramado se calcula según (42). 5.1. ESTIMACIÓN DE LOS TIEMPOS DE REACCIÓN POR LA BP La British Petrol separa las pérdidas de petróleo por agujeros en tres tipos: orificio (diámetro inferior a 5 mm), agujero (diámetro entre 5 y 50 mm) y ruptura total, BP estima los tiempos de reacción de la siguiente forma:

51

Tabla 1. Tiempos de reacción ante la eventualidad de derrame considerados por BP Actividad Orificio Agujero Ruptura Tiempo detección derrame t1

48 horas 1 hora 1 minuto

Tiempo apagado bombas t2

10 minutos 10 minutos 10 minutos

Tiempo cierre válvulas de bloqueo en sección afectada

10 minutos 10 minutos 10 minutos

52

6. CASO DE ESTUDIO Para nuestro caso, en Colombia, la fase inicial es la de mayor interés dado que el tiempo necesario para la fuga puede ser muy largo (del orden de días o incluso semanas) Por ello, centraremos el análisis en esta etapa en lo que resta del documento. Para realizar esta actividad se consideraron los siguientes parámetros necesarios∗, tanto físicos como geométricos para el crudo y la tubería respectivamente: Datos para el crudo a 29,4° API: - Densidad: ρ= 867.2

3m

kg

Condiciones de operación: - Rango de Presión absoluta en el interior de la tubería: ∆P = 2.757143MPa ~ 9.65MPa. Condiciones de frontera:

- Presión Atmosférica: Po= 101325 Pa Datos Geométricos del ducto y Agujero: - Rango de Diámetros para agujero a analizar: d = 0.005m ~ 0.1m. - Diámetro interno del ducto D = 0.508m.

∗ Datos suministrados por la empresa Multiprocesos SIG S.A., contratista de ECOPETROL

53

7. RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN INTEGRAL Los resultados que se mostraran a continuación, Tabla 2, nos dan los valores para el volumen, flujo másico y caudal derramado conforme varía la caída de presión ∆P y el diámetro del orificio o agujero, según sea el caso. Estos resultados se obtuvieron reemplazando los datos en las ecuaciones (30) y (31) tomando un valor fijo para el factor de flujo α = 0.7 siguiendo las recomendaciones de la literatura. Además se consideran los tiempos de reacción correspondientes a cada caso, estimados por la BP y registrados en la Tabla 1 para obtener el volumen derramado y por ultimo el flujo másico se obtiene multiplicando el caudal por la densidad del crudo. Como era de esperar el caudal derramado aumenta cuadráticamente con el tamaño del agujero y con la raíz cuadrada de la presión de operación. Éstos resultados se compararán más adelante con los obtenidos mediante el procedimiento de simulación numérica.

54

Tabla 2. Resultados para la Estimación Integral

Orificio d = 0.005m, AL = 1.9620x10-5, t1 = 48h Presión ∆P

(MPa)

Caudal QInteg

(m3/s) Flujo Másico

(Kg/m3) Volumen

V (m3) 2.727 0.0010960 0.95045 189.39 4.136 0.0013423 1.16404 231.95 6.892 0.0017329 1.50277 299.45 9.650 0.0020505 1.77819 354.33

Agujero d = 0.01m, AL = 7.8486x10-5, t1 = 1h Presión ∆P

(MPa)

Caudal QInteg


(Kg/m3) Volumen

V (m3) 2.727 0.0043810 3.79920 15.77 4.136 0.0053657 4.65314 19.32 6.892 0.0069270 6.00709 24.94 9.650 0.0081962 7.10774 29.51

Agujero 0.02m, AL = 3.1249x10-4, t1 = 1h Presión ∆P

(MPa)

Caudal QInteg


(Kg/m3) Volumen

V (m3) 2.727 0.01753 15.20202 63.11 4.136 0.02148 18.62746 77.33 6.892 0.02773 24.04746 99.83 9.650 0.03281 28.45283 118.12

Ruptura d = 0.1m, AL = 7.8486x10-3, t1 = 1min Presión ∆P

(MPa)

Caudal QInteg


(Kg/m3) Volumen

V (m3) 2.727 0.43840 380.1804 26.30 4.136 0.53694 465.6344 32.22 6.892 0.69318 601.1257 41.59 9.650 0.82018 711.2601 49.21

55

7.1. DIÁMETRO DE AGUJERO U ORIFICIO CRÍTICO Dc Se llama diámetro crítico, Dc, al valor de diámetro para el agujero/orificio, por el cual la cantidad de caudal que sale por dicho agujero/orificio es igual al que fluye por el oleoducto. Para determinar este valor se hizo uso de la ecuación 30 de la fase inicial de la estimación integral, obteniendo la siguiente expresión para Dc:

ρα 1

1

2 pAQ L=

donde 4

2d

AL

π= , y Q1 es el caudal que circula por la tubería. Despejando para

Dc:

21

1

2

4

∆=≡

ρπα

P

QDd c , (45)

Como ensayo se obtuvieron algunos valores para el diámetro crítico a diferentes rangos de presión de operación, manteniendo constantes el caudal la densidad del fluido y el factor de flujo α = 0.7 arrojando los siguientes resultados en las siguientes condiciones de operación: -Rango de Presión absoluta en el interior de la tubería: ∆P = 2.757143MPa ~ 9.65MPa. -Caudal en la tubería igual a 54.702 Kg/s. Tabla 3. Diámetro Crítico.

Presión ∆P (MPa)

Dc

(m) 2.757 0.03793 4.136 0.03428 6.893 0.03017 9.650 0.02773

56

8. ESTIMACIÓN NUMÉRICA (SIMULACIÓN) Para el desarrollo de esta actividad se tomo como referencia el artículo de McGarry y Hitt (2005), donde se demuestra el uso de una herramienta computacional para obtener resultados del flujo volumétrico o caudal derramado por un agujero en un oleoducto. El estudio que estos autores realizan es para un flujo laminar en condiciones estacionarias en un ducto sumergido. Las características del modelo computacional fueron las siguientes: malla no estructurada con 350.000 elementos tetraédricos, la continuidad del flujo incompresible viene gobernada por las ecuaciones de conservación de la masa y Navier-Stokes para fluidos Newtonianos. Para la discretización del momentum implementaron el esquema de segundo orden QUICK, la discretizacion para el gradiente de presión y el acoplo presión-velocidad fueron PRESTO y SIMPLE respectivamente. El modelo geométrico se muestra en la figura 3. Figura 3. (a) Un esquema de la Geometría para el modelo computacional. (b) Una imagen de la geometría enmallada en la vecindad del orificio según McGarry y Hitt (2005).

En nuestro caso se utilizó el software Fluent v6 bajo las condiciones descritas a continuación∗ y utilizando el sistema de unidades SI:

∗ Datos suministrados por Multiprocesos SIG S.A.

57

8.1. CONDICIONES DE SIMULACIÓN • Propiedades geométricas: -Tubería de hierro fundido con 0.508 m de diámetro interno y 10m de longitud. -Diámetros para agujeros: los mismos 4 diámetros implementados en el método integral (Tabla 2). • Propiedades físicas del crudo:

-Densidad 32.867m

Kg=ρ @ 29,4° API ⇒27° C.

-Viscosidad cinemática Cts00.15=ν @ 27~30°C1 cst ⇒s

m2

610−

-La viscosidad dinámica se obtiene mediante la siguiente relación:

smx

mKg 2

63 1015*2.867* −== νρµ

sKgm

2

0130.0=µ

• Condiciones de entrada: -Las condiciones para flujo de entrada se establecieron de acuerdo a lo siguiente: debido a que en estos oleoductos los valores para el caudal son muy variables en el tiempo, éstos van de acuerdo a la demanda de producción que se presente en el momento. Las variantes estimadas para caudal fueron dadas en un rango que

ρ

µν =

58

oscila entre los 800 y 1000 galones por minuto, para nuestro estudio escogemos el valor de demanda más alto (que corresponde al peor caso) y lo mantendremos constante durante todo el proceso de la simulación.

53

10308.6min

.x

smSgalonesU ×→

smQin

3

06308.0=

El flujo másico de entrada será:

sKg

Qm in 702.54== ρ&

Las condiciones para la presión de salida también presentan el mismo comportamiento para todos los casos que se analizaran durante este análisis, donde se manejaron rangos de presión entre 400 y 1400 psi, siendo este ultimo valor, la presión en el punto más alto del sistema. Estos rangos de presión fueron los mismos que se evaluaron en la estimación integral. -Para definir el comportamiento del flujo, si es laminar o turbulento para estas condiciones de operación, se evalúa el Número de Reynolds (1):

µ

ρVD=Re ,

donde V es la velocidad media que lleva el fluido y se obtiene mediante:

sm

m

sm

A

QV

tub

in 3107.0203.0

06308.02

3

===

Reemplazando valores:

59

84.106280130.0

508.0*3107.0*2.867Re ===

µ

ρVD

como Re > 104 el flujo es turbulento, ya que la transición en ductos cerrados se sitúa alrededor de 2300. • Condiciones de salida: Para tener una condición de presión a la salida tenemos que tener en cuenta que en casi todos los ductos por donde circula cualquier tipo de fluido existen perdidas de carga. Se utilizó la ecuación de la energía para calcular dichas perdidas donde, asumiendo que no hay orificios en la tubería, se obtiene la siguiente expresión:

2

2V

D

LfP ρ=∆ ,

asumiendo el factor de fricción que depende de Numero de Reynolds y el

coeficiente de rugosidad relativa )(Re,D

fε

, con un valor de rugosidad para la

tubería de hierro fundido (ε = 2.6x10-4 m) se obtiene el valor para el factor de fricción según el diagrama de Moody f = 0.031.

Pam

Kg

m

mP 543.25

2

3107.02.867

508.0

10031.0

2

3 ==∆

Esta caída de presión en el tramo de 10m propuesta en nuestro estudio, es muy pequeña comparada con la diferencia entre la presión de operación y la atmosférica, reinante en el orificio. Por consiguiente, a efectos prácticos, la presión de operación puede considerarse constante en todo el tramo de la tubería. • Condiciones de frontera:

60

Para nuestro volumen de control escogido, tenemos solo una condición de frontera para los alrededores, que será la presión en la descarga del agujero, la cual se tomará como la atmosférica, constante e igual a 101325 Pa. 8.2. MODELO GEOMÉTRICO PARA LA SIMULACIÓN El primer paso para realizar un modelo computacional es tener una geometría definida. Para este caso tenemos una geometría sencilla en 3D de una tubería de sección circular de longitud L y diámetro D con un orificio/agujero de diámetro d el cual, con el fin de ser más realista, se realizó con una pequeña pared apuntando hacia el interior de la tubería con el fin de reflejar el hundimiento que dejaría una bala al entrar en ella: Figura 4. Geometría para Modelo Computacional 3D Orificio 0.005 m de diámetro

Orifico

de bala

61



62

Figura 7. Modelo Computacional 3D Ruptura 0.1 m de diámetro.

Figura 8. Geometría para Modelo Computacional 3D agujero cuadrado

63

Las geometrías mostradas en las figuras 4 -7 se realizaron en el software Gambit 2.3.16 para cada tamaño de orificio correspondiente, conservando el mismo diámetro interno de la tubería y longitud de la misma. La figura 8 corresponde a un agujero con forma cuadrada realizada en el mismo paquete, donde el área del cuadrado es igual área del agujero de forma circular de diámetro 0.02 m y se obtuvo de la siguiente forma: Área agujero 0.02 m = 0.00031416 m2. Como el área del cuadrado es 2

lll =× , decimos que: Área del agujero circular = Área del agujero cuadrado, desarrollando queda:

cAl = , (45)

donde cA , es el área del agujero circular de 0.02 m de diámetro y reemplazando su valor se obtiene:

ml21077246.1 −×= , valor que tomaría un lado del cuadrado del agujero.

Lo anterior se realizó con el fin de comprobar que la cantidad de flujo másico que se derrama por un agujero circular de diámetro 0.02 m, es la misma que se derramaría si se realizara un agujero de forma cuadrada cuando toma su mismo valor de área. 8.3. MALLADO Una vez construido el modelo geométrico para la tubería, el siguiente paso a seguir es realizar un mallado del cuerpo sólido. El mallado se discretiza en cientos de miles de volúmenes de control en los cuales se resuelven las ecuaciones que gobiernan el flujo, obteniéndose la solución. Las geometrías construidas con Gambit se exportaron al paquete ICEM v.10 para realizar el enmallado de cada una de ellas, siguiendo las mismas condiciones de entrada y salidas mostradas en la figura 9 (a, b).

64

En la figura 9 a-k, se muestra el enmallado no estructurado para la geometría descrita anteriormente realizada en el software ICEM CFX 10.0 con un total de 667.177 elementos tetraédricos, obsérvese el refinado de elementos en los alrededores del orificio. Esta cantidad de elementos se mantuvo dentro del mismo rango para cada enmallado. Figura 9. Enmallado de los modelos geométricos.

(a)

(b)

(c)

(d)

Salida B

Entrada A

Salida

fluido C

65

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

En la figura 9 (a – i), se muestra el mallado correspondiente a cada una de las geometrías realizadas para los diferentes tamaños de agujeros (0.005 m, 0.01 m, 0.02 m y 0.1 m respectivamente), donde se muestra un acercamiento en cada una

66

de las regiones cercanas al orificio/agujero. También se puede observar claramente el refinamiento de la malla en cada uno de los orificios/agujeros. Cada orificio/agujero se realizo a un 30% por donde entra el fluido (figura 9 a b). Las figuras 9 (j – k), corresponden al mallado de la geometría con agujero cuadrado, con las características mencionadas anteriormente, notándose el refinamiento de la malla en el zoom realizado en cercanías al agujero (figura 9 k).

67

9. DESARROLLO DE LAS SIMULACIONES En esta etapa el primer paso a realizar fue importar la malla desde el software ICEM CFX 10.0 a FLUENT V6.0. Durante la simulación se establecieron los siguientes parámetros: • Primero: dado que el flujo es turbulento (Re = 104), se escogió el modelo de turbulencia k-ε el cual es el mas utilizado actualmente para cálculos de ingeniería y que representa un buen compromiso entre tiempo de CPU y precisión. El tiempo de CPU, es decir el tiempo utilizado para realizar cada simulación de cada uno de los diámetros de orificio/agujero evaluado con su respectivo valor de presión, fue de 10-12 horas aproximadamente en una computadora con procesador Intel Pentium 4 a 2.0 GHz y 4 Gb de memoria RAM (figura 10). Figura 10. Plataforma de fluent V6.0 para los modelos de turbulencia.

• Segundo: el fluido escogido fue “Fuel oil Liquid” con formula química “C19H30”, el cual se le agregaron las propiedades físicas para el crudo establecidas anteriormente (figura 11).

68

Figura 11. Plataforma de Fluent para material de trabajo.

• Tercero: las condiciones de contorno en Fluent se establecieron así (figuras 12 y 13): o Entrada (superficie A): “Mass flow Inlet” o “Flujo másico a la entrada” de la tubería. En esta condición es necesario definir el valor para el flujo másico (m& ) que entra, así como especificar las variables turbulentas que para nuestro caso se trabajó con “Intensity and Length Scale” y “Turbulent Intensity %” igual a uno y “Turbulent Length Scale” igual al diámetro interno de la tubería. o Salida (superficie B): se definió de tipo “Pressure Outlet” o “Presión a la salida de la tubería”. En esta condición es necesario definir el valor para la presión de salida teniendo en cuenta la caída de presión que existe entre la entrada y la salida de la tubería el cual fue calculado anteriormente. También se trabajo con el mismo modo de especificación de las variables turbulentas que en la superficie A. o Orificio (superficie C): también se definió de tipo “Pressure Outlet”, pero en este punto la presión que interviene es la atmosférica; aquí también se especifican del mismo modo las variables turbulentas pero cambia el valor del “Turbulent Length Scale” por el diámetro del orificio/agujero considerado.

69

Figura 12. Plataforma de fluent para las condiciones de simulación.

• Cuarto: el control de la solución se realiza bajo las ecuaciones de “Flow” y “Turbulence”, el “acoplo presión-velocidad” se trabajo con “SIMPLE”, la discretización para la ecuación de la presión se estableció como diferencias centradas, mientras que el “Momentum”, “Turbulent Kinetic Energy”, “Turbulent Dissipation Rate”, se realizaron bajo el esquema “First Order Upwind”. Figura 13. Plataforma fluent para control de la soluciones.

70

• Quinto: el criterio de convergencia se basa en los residuos máximos, monitoreando que el flujo másico que nos arroja la solución numérica, permaneciera igual y constante al final de la simulación. Cada uno de los parámetros de simulación descritos anteriormente, presión a la entrada y diámetro de oficio o agujero, se varió en los diferentes casos manteniendo constante el flujo másico, las propiedades del flujo, diámetro interno D = 0.508m y longitud de la tubería L = 10m. 9.1. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN El número de iteraciones necesario para obtener los resultados fue variable puesto que dependía del caso trabajado. Lo que se hizo fue monitorear que el flujo másico derramado por el orificio/agujero se mantuviera constante en un determinado valor durante la simulación. A continuación se muestran los resultados obtenidos para todos los escenarios de operación planteados, manteniendo constante el flujo másico de entrada igual a 54.702 kg/s. Pintando los contornos para cada escenario de operación en un plano (0,-0.254,10) a lo largo de la tubería y que pasa por el centro del orificio/agujero:

9.1.1. Simulación para orificio de 0.005 m de diámetro. Se presentan los siguientes escenarios de simulación: � Presión de entrada igual a 9,650 MPa Figura 14. Contorno de Presión Estática.

71

En la figura 14 se muestra una imagen del contorno de presión estática, observando que la presión permanece casi constante e igual a la presión de entrada, desde la superficie de entrada a la de salida del tubo. Figura 15. Contorno de presión en orificio.

En la figura 15 se puede observar la presión estática en el orificio, la cual debe ser igual a la presión atmosférica establecida. Figura 16. Vectores de velocidad del fluido en orificio.

72


En la figura 16 se muestra la magnitud de los vectores de velocidad a la salida del orificio, cuyo valor es 140 m/s aproximadamente, reflejados por los vectores de color verde. Los vectores de color azul corresponden al valor de velocidad que lleva el fluido en las cercanías de la pared a lo largo de la tubería. Según lo visto en la imagen se puede afirmar que la velocidad del fluido a la salida del orificio es muy alta comparada con la que lleva el mismo dentro de la tubería, mientras que la presión del fluido dentro de la tubería es muy alta comparada con la presión en el punto del orificio lo cual ocasiona una fuerte succión hacia el exterior del medio. En la figura 17 se muestran las líneas de corriente a lo largo de la tubería. Se observa que solo una parte del fluido que esta por debajo del orificio es la que toma rumbo hacia el exterior.

73

Figura 18. Reporte de resultados obtenidos de la simulación en Fluent.

La figura 18 muestra el reporte de Fluent para la simulacion para este caso. Se muestra en primer lugar el flujo másico a la entrada-salida del orificio en unidades de kg/s y el signo negativo (-) para este resultado indica que el flujo esta saliendo del sistema. Luego se muestra el área en m2 y por ultimo la integral de la presión tanto a la entrada y salida como en el orificio en unidades de fuerza, pascales por metro cuadrado. Del mismo modo se explica los siguientes resultados de simulación en cada escenario de operación y tamaño de agujero (figuras 18 - 69): � Presión de entrada igual a 6.892 MPa. Figura 19. Contorno de presión estática.

74



75


� Presión de entrada igual a 4.136 MPa Figura 23. Contorno de presión estática.

76



77


� Presión de entrada igual a 2.727 MPa Figura 27. Contorno de presión estática.

78



79


9.1.2. Simulación para agujero de 0.01 m de diámetro. Se representan con los siguientes escenarios: � Presión de entrada igual a 9.650 MPa. Figura 31. Contorno de presión estática.

80



81

� Presión de entrada igual a 6.892 MPa. Figura 3. Contorno de presión estática.


82



83



84

� Presión de entrada igual a 2.727 Mpa. Figura 40. Contorno de presión estática.


85


9.1.3. Simulación para agujero de 0.02 m de diámetro. Se representan mediante los siguientes escenarios: � Presión de entrada igual a 9.650 MPa. Figura 43. Contorno de presión estática.

86

Figura 44. Líneas de corriente


87

� Presión de entrada igual a 6.892 Mpa. Figura 46. Contorno de presión estática.


88



89


Figura 51. Reporte de resultados obtenidos de la simulación en fluent

90



91


9.1.4. Simulación para agujero de 0.1 m de diámetro (ruptura). Se representa mediante los siguientes escenarios de presión: � Presión de entrada igual a 9.650 MPa. Figura 55. Contorno de presión estática.

92


Figura 57. Vectores de Velocidad.

93

Figura 58. Reporte de resultados obtenidos de la simulación de fluent.


94



95



96



97


� Presión de entrada igual a 2.727 MPa. Figura 67. Contorno de presión.

98



99


9.1.5. Simulación para agujero de forma cuadrada. Se representa mediante el siguiente escenario de presión: � Presión de entrada igual a 9.650 MPa. Figura 71. Contorno de presión estática para agujero cuadrado.

100



101

Las figuras 71-73, muestran los resultados obtenidos para la simulación del agujero cuadrado con área igual a la de caso del agujero circular de diámetro 0.02m, donde encontramos, el contorno de presión estática (figura 71) el cual vemos que permanece constante igual a 9.650MPa para este escenario de operación, tal como se ha visto en las demás simulaciones, las líneas de corriente a lo largo de la tubería (figura 72), donde se observa también que solo una parte del fluido que esta por debajo del orificio es la que toma rumbo hacia el exterior y por ultimo se tiene el reporte de resultados obtenidos de la simulación en fluent (figura73), el cual nos señala en primer lugar el flujo másico a la entrada (54.702 Kg/s), orificio/agujero (-27.3968 Kg/s) y a la salida (-27.3621 Kg/s). en segundo y tercer lugar se registran los valores del área y la integral de la presión estática sobre cada superficie de la tubería. Los resultados obtenidos para cada simulación se encuentran registrados en la Tabla 4 donde se muestran los valores obtenidos para el flujo másico y el caudal derramado mediante la estimación numérica (simulación). Se puede observar que en el último caso para cada valor de presión (ruptura d = 0.1 m), el flujo másico derramado es mayor que el flujo que entra indicando que existe un revertimiento del flujo en el interior de la tubería aguas abajo del orificio/agujero. Esto ocurre debido a la fuerte succión que se presenta en la superficie del orificio/agujero, originado por la gran diferencia de presión que existe entre la entrada del tubo y el orificio/agujero, como se ve en las figuras 57, 61, 65, 66 para cada escenario de operación.

102

Tabla 4. Resultados de la simulación.

Orificio d = 0.005m, AL = 1.9620x10-5

Presión ∆P (MPa)

Flujo másico Sim.

(kg/s) Caudal QSim.

(m3/s) 2.727 0.89067 0.00102706 4.136 1.0902 0.00125715 6.892 1.40605 0.00162137 9.650 1.66263 0.00191729

Agujero d = 0.01m, AL = 7.8486x10-5

Presión ∆P (MPa)

Flujo másico Sim.

(kg/s) Caudal QSim.

(m3/s) 2.727 3.556308 0.00765793 4.136 4.351701 0.00647475 6.892 5.614903 0.00501811 9.650 6.640957 0.00765793

Agujero 0.02m, AL = 3.1249x10-4 Presión ∆P

(MPa) Flujo másico Sim. (kg/s)

Caudal QSim.

(m3/s) 2.727 14.697 0.016948 4.136 17.945 0.020698 6.892 23.223 0.026779 9.650 27.475 0.031682

Ruptura d = 0.1m, AL = 7.8486x10-3 Presión ∆P

(MPa) Flujo másico Sim. (kg/s)

Caudal QSim.

(m3/s) 2.727 365.4753 0.42144 4.136 447.0589 0.51552 6.892 578.7901 0.66742 9.650 682.0894 0.78654

103

10. ANÁLISIS DE RESULTADOS PARA LA SIMULACIÓN Dado que en los resultados de la simulación no es necesario introducir información alguna sobre el coeficiente de descarga,α puesto que éste se encuentra implícito en la geometría, la primera tarea que se abordó fue calcularlo. Para conocer el valor de α en cada caso basta con comparar los resultados obtenidos en la simulación con el de la estimación integral, ecuación (30), con coeficiente α = 1. De este modo:

)1(int =

=α

αegral

Exp

iQ

Q

La anterior expresión se utilizo para calcular el valor del coeficiente de descarga o de flujo α para cada caso. En la tabla 5 se registran los valores para el factor de flujo α, obtenidos por la estimación numérica. Como se puede observar, todos estos valores se encuentran alrededor de 0.67, independientemente del tamaño del agujero. Por consiguiente la aproximación de este valor a 0.7, que es el valor recomendado por la teoría, es bastante bueno, con un porcentaje de error relativo del 3%, porcentaje muy aceptable para los cálculos de ingeniería.

104

Tabla 5. Caudales y coeficientes de descarga obtenidos.

Orificio d = 0.005m, AL = 1.9620x10-5

Presión ∆P (MPa)

Caudal Qintegral(α=1.)

(m3/s)

Caudal QSim

(m3/s)

Valor para αi

2.727 0.00156573 0.00102706 0.6559 4.136 0.00191762 0.00125715 0.6555 6.892 0.00247563 0.00162137 0.6544 9.650 0.00292921 0.00191729 0.6545

Agujero d = 0.01m, AL = 7.8486x10-5

Presión ∆P (MPa)


(m3/s)

Caudal QSim

(m3/s)

Valor para αi

2.727 0.00625863 0.00765793 0.6552 4.136 0.00766522 0.00647475 0.6546 6.892 0.00989576 0.00501811 0.6542 9.650 0.0117088 0.00765793 0.6540

Agujero d = 0.02m, AL = 3.1249x10-3

Presión ∆P (MPa)


(m3/s)

Caudal QSim

(m3/s)

Valor para αi

2.727 0.025052 0.016948 0.6765 4.136 0.039610 0.020698 0.6745 6.892 0.030682 0.026779 0.6761 9.650 0.046867 0.031682 0.6759

Ruptura d = 0.1m, AL = 7.8486x10-3

Presión ∆P (MPa)


(m3/s)

Caudal QSim

(m3/s)

Valor para αi

2.727 0.62629 0.42144 0.6729 4.136 0.76705 0.51552 0.6720 6.892 0.99025 0.66742 0.6739 9.650 1.17168 0.78654 0.6713

Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes figuras (74-77) mostrando la variación del caudal derramado frente al diámetro de agujero al variar la presión de operación en la tubería.

105


0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Cau

dal v

ertid

o (m

3/s

)

Diámetro orificio/agujero d (m)

Caudal Simulacion Caudal Integral α = 0.7

Caudal vertido Vs Diámetro orificio/agujero (Presión Fija = 9.650.000Pa)


0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Cau

dal v

ertid

o (m

3 /s)


Caudal Simulación Caudal Integral α = 0.7

Caudal vertido Vs Diametro orificio/agujero (Presion Fija = 6.892.857Pa)


0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Cau

dal v

ertid

o (m

3 /s)



Caudal vertido Vs Diámetro orifício/agujero (Presión Fija = 4.135.714Pa)


0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Cau

dal v

ertid

o (m

3 /s)

Diámetro orifício/agujero d (m)


Caudal vertido Vs Diám etro orifício/agujero (Presión Fija = 2.757.143Pa)

Las cuatro graficas mostradas anteriormente representan el comportamiento del caudal vertido por un orificio/agujero frente al diámetro de dicho oficio/agujero para cada uno de los valores de presión de operación fija y trabajada durante nuestro análisis. Como se puede observar en las graficas, este comportamiento tiende a ser de tipo parabólico. También se presentan los resultados obtenidos con la estimación integral utilizando heurísticamente el valor de α = 0.7. El grado de exactitud de la estimación integral puede considerarse como muy aceptable, teniendo en cuenta la sencillez de la formulación. Por consiguiente, la estimación integral es un método muy apropiado para la estimación del caudal derramado por un orificio en la fase inicial, antes de la detección de la fuga. Para obtener el análisis detallado del caso agujero cuadrado y agujero circular de 0.02 m, se compararon las figuras 45 y 72 (son los Reportes de resultados obtenidos de la simulación en fluent correspondientes a cada caso), de la

106

simulación para el agujero de 0.02 m y la simulación del agujero cuadrado ambas realizadas sobre el valor de presión de 9.650 MPa, obteniéndose la siguiente conclusión: observando que los valores del flujo másico a la salida del agujero de 0.02m y el agujero cuadrado (27.475 Kg/s y 27.396 Kg/s respectivamente), son dos valores muy parecidos y su mínima desviación se debe a que el lado calculado (ecuación 45) no da un numero entero exacto. Asegurando de este modo una vez mas la exactitud de las formulaciones integrales planteadas para este estudio. También podemos conocer el valor de α, para el caso del agujero cuadrado partiendo de lo siguiente: Conociendo que el área del agujero cuadrado es igual a 2

lAcuadrado = , reemplazamos el valor de l, obtenido de (45) en la sección 8.2 de este documento, obtenemos el siguiente valor para el caudal derramado intQ por este tipo de agujero implementando la expresión integral (30) de la sección 5, con un valor para α = 1, ∆P = 9.650 MPa y la densidad 867.2 Kg/m3 igual a:

smQ /1068675.4 34

int

−×= Dado que el flujo másico para el agujero cuadrado obtenido de la simulación para este escenario de operación y tamaño de agujero es 27.396 Kg/s y dividiendo por la densidad para este caso se obtiene el caudal derramado dado por la simulación

simuQ :

smQsimu /1015923.3 34−×= Reemplazando estos dos valores en αi se obtiene:

67407.01068675.4

1015923.34

4

int

=×

×==

−

−

Q

Qsimu

iα

Resultando este valor de α en el mismo rango que se ha obtenido para cada uno de los escenarios de simulación resueltos en este estudio.

107

11. DIÁMETRO CRÍTICO La simulación también permitió refrendar el cálculo del diámetro crítico mediante el método integral. En este caso se tomó un diámetro crítico de la tabla 3 y se construyó una geometría con este orificio/agujero. En este caso tomamos el diámetro de 0.02773m con un valor de presión igual a 9650000Pa y flujo másico de entrada igual a 54.702kg/s, obteniendo el resultado ilustrado en las figuras 78 a 81.

La figura 78 nos muestra el contorno para la presión estática para el agujero (puesto que d > 0,005 m según la BP) dibujado en el plano (0,-0.254,19). Al igual que antes se observa que la presión permanece esencialmente constante a lo largo de la tubería excepto en la vecindad del agujero donde ésta varía muy rápidamente. La figura 79 muestra el contorno para el módulo de la velocidad a lo largo de la tubería, dibujado en el mismo plano del contorno anterior.

Figura 78. Contorno de Presión Estática para el Diámetro Critico.

108

Figura 79. Contorno de Velocidad para Diámetro Critico.

Figura 80. Líneas de Corriente para el diámetro crítico.

(a)

(b)

La figura 80 nos muestra las líneas de corriente seguidas por el crudo a lo largo de la tubería. En ambas figuras se observa que la mayoría de las partículas del fluido toman dirección hacia la salida del agujero y además que el flujo que alcanza a sobrepasar el punto donde esta ubicado el agujero trata de devolverse (figura a). En este caso, prácticamente todo el flujo que entra a la tubería sale por el agujero como se refleja en el reporte de la figura 79.

109

Figura 81. Reporte de resultados de Fluent para el diámetro crítico.

La figura 81 nos muestra el reporte de Fluent de los resultados finales de la simulación, donde se muestra como primera medida los valores para el flujo másico a la entrada, agujero y salida iguales a 54.702, -53.097972 y 0.04986132 Kg/s respectivamente, En ellos se observa que el flujo que sale por el agujero es muy cercano al que entra: tan solo un 3% de flujo no alcanza a salir por dicho agujero.

110

12. ANÁLISIS DIMENSIONAL Se realizo este análisis para obtener una curva universal para dos casos particulares: uno para establecer una expresión adimensional para el caudal de salida por un orificio/agujero y otro para el diámetro critico del orificio/agujero en función de la presión de operación. Este análisis se realiza utilizando el teorema de Buckingham. 12.1. PROCEDIMIENTO 12.1.1. Primer caso: caudal versus diámetro de agujero. Aplicando el procedimiento descrito en Laín (2005) se procede en varias etapas: Etapa 1: Identificación de Variables Significativas. Partimos de la ecuación (30) de la estimación integral para el caudal derramado. En esta ecuación podemos observar claramente los parámetros que intervienen en el problema. Ello nos permite establecer la siguiente función general

( )ρα ,,,, pdDgQ ∆= , función que depende de todas las variables significativas mencionadas dentro de ella. El objetivo es encontrar la formulación adimensional equivalente a dicha formulación dimensional. Etapa 2: Construcción de la Matriz de dimensiones y determinación de su rango. Tomando como referencia las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional de unidades S.I, unidades de Masa, Longitud y tiempo tenemos: M L T Ρ 1 -3 0 D 0 1 0 Q 0 1 -1 ∆P 1 1 -2 D 1 -1 -1 α 0 0 0

111

El rango de la matriz es 3 ya que existe una submatriz cuadrada 3x3 con determinante distinto de cero:

01

130

010

031

≠−=

−−

−

# Magnitudes fundamentales P = 3 # Parámetros fundamentales N = 5 0),(

.=∆ αππφ Pd

Rango matriz coeficientes R = 3 # Números adimensionales M = N – R = 2 Etapa 3: Selección de las “Primeras Variables”. Primero debemos escoger R variables con matriz de coeficientes no singular y para este caso son Q y d puesto que son las variables dependiente e independiente, respectivamente, que deseamos encontrar:

“Primeras variables”= { }pD ∆,,ρ Etapa 4: Cálculo de Números Adimensionales. Para nuestro caso los dos números adimensionales nos quedaran de la forma:

γβαρπ

QD

dd = ;

'' γβαρ

πpD

QQ

∆=

′

donde γβα ,, se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones lineal siguiente: Primer Numero Adimensional: M 0 1 0 0 α α = 0 0=→ α L 1 = -3 1 3 β 1 = β + 3γ ⇒=→ 1β t 0 0 0 -1 γ 0 = -γ 0=→ γ

D

dd =π

112

Segundo Numero Adimensional:

M 0 1 0 1 α ´ βα +′ ´= 0 2

1−=′→ α

L 3 = -3 1 3 β ´ 3 = -3α + β ´-γ β ′→ ⇒= 2

t -1 0 0 -1 γ γ ´= 2

1

2

1=′→ γ

ahora podemos expresar la función Qπ en función de dπ para obtener otra función

universal para este caso:

ρα

π pdQ

∆=

2

4

2

22

28

24

=

=

∆ D

d

D

d

PD

Q παα

πρ

Reescribiendo obtenemos:

Función Universal para Caudal Vertido.

12.1.2. Segundo caso: diámetro crítico versus presión de operación. Para este caso el objetivo es encontrar una función universal para el diámetro crítico del orificio/agujero frente a la presión de operación. Los pasos a seguir son exactamente los mismos del caso anterior aplicando cada una de las etapas de desarrollo del teorema Π. Como se parte de la misma expresión que en el primer caso, se encuentra que las variables significativas son las mismas. La función dimensional se expresa como:

( )ρα ,,,, pQDgD inc ∆= donde Qin es el caudal que entra a la tubería. Los números adimensionales resultantes, siguiendo el proceso anterior, son: α , dπ y

P∆π , siendo los dos primeros los mismos encontrados anteriormente. Por consiguiente, solo se debe calcular el tercer número adimensional.

pD

QQ

∆=

ρπ

2

2

8dQ π

παπ =

113

Para este caso se excluiría ∆P y las “Primeras variables” serán { }QD,,ρ . La expresión para el segundo número adimensional nos quedará:

'' γβαρ

πQD

PP ′∆

∆=

M 1 1 0 0 α ´ α ´= 1 1=′→ α L -1 = -3 1 3 β ´-1 = 3 + β ´+ 3γ β ′→ ⇒−= 4 t -2 0 0 -1 γ γ ´= 2 2=′→ γ

luego podemos también expresar nuestro primer numero adimensional dπ , obtenido en función π∆P, como una función universal:

ρα 1

1

2 pAQ L=

como 4

2d

AL

π= entonces:

P

Qd

∆=

22

2

1

4

ρ

α

π

4

22

2

2

2

11

2

1

4 pD

Q

P

Q

DD

d

∆=

∆=

ρ

α

ρ

α

π;

identificando las expresiones 2

D

d= 2

dπ , 4

2

pD

Q

∆

ρ= 1−

∆Pπ y reescribiendo se

obtiene:

12

2

4 −

∆= pd ππα

π ( ) 41

2

2 −

∆= Pd ππα

π Función Universal para

Diámetro Critico

12.2. CURVAS UNIVERSALES PARA AMBOS CASOS En esta parte se mostrarán las curvas correspondientes a los casos analizados. Se considera el mismo diámetro interno de tubería y las mismas características para el fluido.

2

4

Q

DPP

ρπ

∆=∆

114

12.2.1. Curvas universales para el caudal vertido. Retomando la expresión

para caudal vertido ( )2

8dQ π

παπ = y con los valores para α entre 0.3 y 1, se

obtienen las siguientes curvas:

Figura 82. Curva Universal Adimensional para Caudal vertido.

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

5,0x10-3

1,0x10-2

1,5x10-2

2,0x10-2

2,5x10-2

3,0x10-2

Cau

dal V

ertid

o

Numero Adimensional d/D

α = 0.3

α = 0.5

α = 0.7

α = 0.85

α = 1

Números Adm de la Simulación

Caudal Vertido Vs d/D (Curva Universal )

Como se observa en la figura 82 los puntos de color negro que se encuentran ligeramente por debajo de la curva para α = 0.7 corresponden a los valores para los números adimensionales del caudal vertido y diámetro de agujero, arrojados por la estimación numérica (simulación). Éstos se obtuvieron reemplazando los valores de caudal con sus determinados valores de presión y con un diámetro interno de tubería fijo igual a 0.508m para cada tipo de agujero (Tabla 5) en las expresiones Qπ y dπ dadas por el análisis dimensional. Como era de esperar se

obtienen parábolas que parten del origen. 12.2.2. Curvas universales para diámetro critico. Partiendo de la expresión

para diámetro critico ( ) 41

2

2 −

∆= Pd ππα

π y reemplazando los mismos valores

para α del caso anterior, se obtienen las siguientes curvas:

115

Figura 83. Curva Universal para el Diámetro Critico.

103 104 105 1060,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Diá

met

ro C

ritic

o d/

D

Caida de Presión Adimensional ∆P

α = 0,3 α = 0,5

α = 0,7 α = 0,85

α = 1

Numeros adm para Dc de la Estimacion Integral

Diámetro Critico Vs Caida de Presion Adm ∆∆∆∆P (Grafica Universal)

Con se puede observar en la figura 83 los puntos de color negro mostrados en la curva de 7.0=α corresponden a los valores de diámetro crítico para los cuatro valores de presión obtenidos mediante la expresión integral registrados en la Tabla 3.

116

13. CONCLUSIONES • En este trabajo se ha estudiado el caudal que se derramaría por un orificio/agujero en función de la presión de operación de la tubería para un determinado tipo de crudo. En este contexto, se ha utilizado el computador como un laboratorio numérico que ha permitido refrendar que las estimaciones integrales presentadas son suficientemente exactas para utilizarse en el cálculo del caudal derramado por un orificio en una tubería. • También se pudo comprobar la validez de la estimación del diámetro crítico calculado el cual nos sirve para estimar el valor de diámetro para el cual la cantidad de flujo que circula por la tubería es la misma que sale por el orificio/agujero. • Adicionalmente, utilizando las técnicas de Análisis Dimensional se establecieron curvas de comportamiento tanto para el caudal derramado por el orificio/agujero como para el diámetro crítico en función de la presión de operación. Estas curvas son universales puesto que están definidas en función de números adimensionales. • El grado de acuerdo obtenido entre los resultados de las simulaciones computacionales y las estimaciones integrales heurísticas es suficientemente bueno como para garantizar que el método integral expuesto es apropiado para calcular el volumen de crudo derramado por un orificio/agujero en una tubería presurizada.

117

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