universidad autonoma san francisco analisis matematico i lic. carla rojas del carpio
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UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO
ANALISIS MATEMATICO I
LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO
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PARA EL PRIMER PERIODO
EXAMENES = 67 %PRACTICAS Y PARTICIPACION = 33%
TOTAL = 100%
APROBADO = 65%
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Se te evaluara sobre 100 puntos
INSTRUMENTO N° PUNTAJE
Participación y/o tareas
30 15
Practica Semanal
7 13
Practica Dirigida 2 5
Practica Calificada
2 20
EXAMEN 1 47
TOTAL 100 pAPROBADO ≥ 65 p
53 p
47 p
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PODRAS ACUMULAR PUNTAJE EXTRA :
Valido solo para aquellos estudiantes que completaron los 53 puntos de practicas y participación
INSTRUMENTO
N° PUNTAJE EXTRA
Practica Calificada
2 10
Participación 10 10
TOTAL 20
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TEMAS A DESARROLLAR EN EL PRIMER PERIODO 2012-II
SEMANA 1: NUMEROS REALES : INECUACIONES POLINOMIALES Y CON VALOR
ABSOLUTO SEMANA 2: APLICACIÓN DE LAS INECUACIONES A LA ECONOMIA Y LA
ADMINISTRACION} SEMANA 3: PRACTICA DIRIGIDA Y CALIFICADA SEMANA 4: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y SUS APLICACIONES SEMANA 5: LIMITE DE UNA FUNCION SEMANA6: CONTINUIDAD DE UNA FUNCION SEMANA 7 : PRACTICAS DIRIGIDAS Y CALIFICADAS SEMANA 8 : EXAMEN PARCIAL
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En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (∙), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de cuerpo).
Cuerpo R de los números reales
R =Q Q*.
Q Z N
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Ley de Clausura
Para la suma: Para la Multiplicación:
IRbaIRba , IRbaIRba ,
Ley Conmutativa IRbaabba ,IRbaIRabba ,
Ley Asociativa IRcbacbacba ,, IRcbacbacba ,,
Elemento Opuesto
Opuesto Aditivo Opuesto Multiplicativo (Inverso)
IRaIRa , tal que
0 aa
IRaIRa 1*, tal que
11 aa
Elemento Neutro Neutro aditivo Neutro Multiplicativo
IRIRa 0, tal que aa 0 IRIRa 1, tal que aa 1
Ley Distributiva IRcbacabacba ,,
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(ii)
(iii)
Sea entoncesIRba ,
(i)
aa
bababa
baba
Sea entonces0,0,, baIRba
(ii)
(iii)
(i) aaa 111
(iv)
111 baba
111 baba
111 baba
Sea entoncesIRba ,
000 baba
Sea entoncesIRcba ,,
0 aconcbcaba
cbcaba (i)
(ii)
a b c a b c
(iii) baba
cbacba
baba 0
0,0 dbconcbdad
c
b
a
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
00 a
(iv)
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IRa INn b nSean y . La potencia de base y exponente define como sigue:
Potencias
n
n factores
a a a a a
0,10 aa mnmn aaa
mnm
n
aa
a
0,1
aa
an
n nnn baba
mnmn aa
n
nn
b
a
b
a
mn
mnmn
b
a
b
a
ba, Zmn ,Sean y entoncesPropiedades
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Raíces b INn esiman bSean y La Raíz de
es un número real, que se define como
n
mn m bb
Sean Propiedades ba, INmn , y entonces
nnn baba
0 bb
a
b
an
n
n
mn nmmn baba n mmn bb mnn m bb n nn baba
nnn baba
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Cuadrados de Binomios
222 2 bababa
222 2 bababa
Cubos de Binomios
32233 33 babbaaba
32233 33 babbaaba
11
21
1 13 3 11
14641
__________________________________4 ba
__________________________________5 ba
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Suma por su Diferencia
Binomios por Trinomios
22 bababa
3322 babababa
3322 babababa
442222 bababa
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Caso I
b
b
b
b
bb
11
Caso II
b
b
b
b
bb
n mn
n mn
n mn
n mn m
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
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1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por
-3 4+12-6 = Se suman todos los positivos y
los negativos 16-6 = 10
Your turn!3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelven parentesis 4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis
con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica
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5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd
5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)
5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador (12),
numeradores se suman.
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Your turn!7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6] =
1/3[1/2(3-4/12)+1/6] =
1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] = 1/3[3/24] = 3/72 = 1/24
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13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a ²-b² (√ 2) ² – (√ 3) ² = 2-3 = -1
15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6
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1) 4-3(8-12)-6 =2) 2(3-2(4-8)) =3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =5) 5/6 – (1/4+2/3) =
6) ¾-(7/12 – 2/9) =
7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
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8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =11. 1 - 2/2+3/4 =12. 2 + 3/1+5/2 =13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =14. (√ 2 + √ 3)2 =15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =
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a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=
c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=
e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=
g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=
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a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9
YOUR TURN !
b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2
=4x2-12x+9
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-
t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1
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Ecuación de 1º Grado 0bax
Ecuación de 2º Grado
a
bx
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo
Y su solución o raíz es
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo 02 cbxax
Y su solución o raíz es
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
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Desigualdades bababa
Intervalos
Sean
Intervalo Abierto bxaIRxba /;
IRba , entonces
Intervalo Cerrado
Intervalo Semi Abierto
bxaIRxba /;
bxaIRxba /;
bxaIRxba /;
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Intervalo al infinito
xaIRxa /;
xaIRxa /;
axIRxa /;
axIRxa /;
Representación Grafica
Menú
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Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.
2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y
los términos con constante se pasan al otro.
2x-4x > -2+7-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando
con x y pasa a dividir con 5.
x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la
desigualdad se cambia.
x < -5/2
-5/2
(- , -5/2)
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Son las que tiene grado mayor o igual que 2.
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1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado PUNTOS CRITICOS . Para ello se recomienda factorizar o aplicar la formula general
Se iguala a cero y sed factoriza para aplicar el teorema a.b=0 2º Representamos estos valores o PUNTOS CRITICOS (TOMANDO EN
CUENTA LA MULTIPLICIDAD )en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo O SE APLICA LA LEY DE SIGNOS
La ley de signos:De izquierda a derecha : + - + - +… en cada intervarlo originado por los puntos criticos.
La multiplicidad : - Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para
ver si pertenece a la solución. -Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la INECUACION :
SI ES SE TOMAN LOS SIGNOS + con intervalo cerradoSI ES ≤ SE TOMAN LOS SIGNOS – con intervalo cerrado
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2 2 15x x
Como la inecuación es 0, escojo los intervalos con signo +
![Page 30: UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO ANALISIS MATEMATICO I LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051316/5665b45a1a28abb57c90cac8/html5/thumbnails/30.jpg)
2)
.
210 3x x
Como la inecuación es < 0, escojo los intervalos con signo -
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YOUR TURN
x2-x < 6 1. Se pasa todo a un lado. x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (x-3)(x+2) Se iguala a cero . (x-3) (x+2) = 02. Se hallan LOS PUNTOS CRITICOS (x-3) = 0 (x+2) =
0 x = +3 x = -2 Se ubican los puntos crtiticos en la recta REAL Se aplica ley de signos
+ - + -2 3
3. La solucion esta compuesta por los signos correspondientes al de la desigualdad en este caso el intervalo abierto negativo por ser una desigualdad menor
C.S = (-2,3)
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3)
.
2( 1) 0x x
Se toma en cuenta la multiplicidad :Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para ver si pertenece a la solución.Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos
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![Page 34: UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO ANALISIS MATEMATICO I LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051316/5665b45a1a28abb57c90cac8/html5/thumbnails/34.jpg)
ECUACIONES E INECUACIONES CON ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOVALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
22(-2) , 22 xx
•|15| = 15
•|-4| = -(-4) = 4
•|0| = 0
Obs:
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PROPIEDADES DEL VALOR PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
yxyxyyx
yxyxyx
yxyx
yy
x
yx
yxxy
xxx
x
0 .7
.6
.5
0 , .4
.3
.2
0 .1222
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ECUACIONES CON VALOR ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
xx
xx
x
x
243 .4
331 .3
14
2 .2
31
2 .1
Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.
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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
732 x
032 si , 32
032 si , 3232
xx
xxx
2
3
23
si , 32
si , 3232
xx
xxx
2732
5732
23
23
xxx
xxx
También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.Por ejemplo:
Sabemos por definicion que :
Lo que equivale a decir:
Entonces:
C.S. = {-2;5}
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INECUACIONES CON VALOR INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
babbba
babbba
0
0
bababa
bababa
22
22
baba
baba
![Page 39: UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO ANALISIS MATEMATICO I LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051316/5665b45a1a28abb57c90cac8/html5/thumbnails/39.jpg)
1) | x + 5 | ≤ 10
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NO CUMPLE NINGUNA PROPIEDAD!!..HELP!!!
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YOUR TURN!2) | 5x - 3 | < 3x - 1
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2) | -3x + 6 | > 18
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