lÍmite de una funciÓn lic. carla rojas del carpio analisis matematico i
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Lic. Carla Rojas del CarpioANALISIS MATEMATICO I
NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:
Lf(x)limax
3
Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor de a.
lím f(x) = L x a
• EJEMPLO:
lím
x2
• El valor de x se aproxima a 2: 1’9, 1’99, 1’999, …
• El valor de f(x) se aproxima a 4: 3’96, 3’98, 3’99, …
• El valor de x se aproxima a 2: 2’1, 2,01, 2,001, …
• El valor de f(x) se aproxima a 4: 4’41, 4’04, 4’004, …
2x
Ejemplo:Sea la función
Hallar
2
Por lo tanto
22
2)(
x
xxf
2
)(2
x
xfxlím
X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2
y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493
422
2lím
2
x
x
x
LÍMITES
Lf(x)
Lf(x)
f(x)lim
limlim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L
EJERCICIO 1
Lim f(x) no existe
x 1
y
x1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x1 5
3
2
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1
x1
y
5
2
1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
33
55
-3-3
33
-2-2xx
ff(x)(x)
3.53.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encuentre:
REGLAS PARA CALCULAR LÍMITES
n
ax
n
ax
axax
axaxax
axaxax
axaxax
f(x)limf(x)lim
g(x)limKK.g(x)lim
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim
# 1: Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2: INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
Cálculo del límite en un punto Método Practico: para calcular el límite se evalúa
o sustituye en la función el valor al que tienden las x. Pero recordando que no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo
Formas Indeterminadas De la forma :
Operaciones con infinito
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero
Cero elevado a cero
Infinito elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
Uno elevado a infinito
.
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces:
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o
negativo.
Límite de la función exponencialSi 0 < a < 1Si a > 0
Formas Indeterminadas De la forma :
Método Practico : Se elimina el factor que hace cero al denominador y numerador por RUFFINI tomando el valor del limite .
• EJEMPLITOS
Formas Indeterminadas De la forma :
Método Practico: Se divide al numerador y denominador por la variable con el mayor exponente• EJEMPLITOS
El numerador tiene mayor grado que
el denominador.
El denominador tiene mayor grado que
el numerador.
Al tener el mismo grado el límite es el
cociente entre los coeficientes de mayor
grado
Formas Indeterminadas De la forma :
Método Practico : Se transforma a
• EJEMPLITOS
Formas Indeterminadas De la forma :
Método Practico : Multiplicar y dividir por el conjugado f(x) + g(x)• EJEMPLITOS
Formas Indeterminadas De la forma : Método Practico : Aplicar la formula
• EJEMPLITOS
Formas Indeterminadas
De la forma :Se estudian los limites laterales ( defnicion de limite), asi el límite puede ser
+∞, −∞ ó no tener límite• EJEMPLITOS
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En pr imer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los
di ferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del l ímite.
Si no coinciden, el l ímite no existe.
.