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CAPTULO 18

Interpolacin

Usted a menudo habr tenido la oportunidad de estimar valores intermedios entre datos precisos. El mtodo ms comn que se usa para este propsito es la interpolacin del polinomio. Recuerde que la frmula general para un polinomio de n-simo orden es

f(x) = a0 + aix + a2x2 + + anx" (18.1)

Para n + 1 puntos, hay uno y slo n polinomio de orden n que pasa a travs de todos los puntos. Por ejemplo, hay slo una lnea recta (es decir, un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos (vea la figura 18.1a). De manera similar, nicamente una par-bola conecta un conjunto de tres puntos (ver figura 18.1Z>). Interpolacin polinomial consiste en determinar el nico polinomio de n-simo orden que ajuste n + 1 puntos. Este polinomio entonces proporciona una frmula para calcular valores intermedios.

Aunque hay uno y slo un polinomio de n-simo orden que ajusta n + 1 puntos, existe una variedad de formatos matemticos en los cuales este polinomio puede expre-sarse. En este captulo describiremos dos alternativas que son muy adecuadas para la implementacin en computadora: los polinomios de Newton y de Lagrange.

F IGURA 18 .1 Ejemplos de interpolacin polinomial: a] de primer orden [lineal) conectando dos puntos, b) de segundo orden (cuadrtica o parablica) enlazando tres puntos y c) de tercer orden (cbica) conectando cuatro puntos.

a) b) c)

18.1 DIFERENCIA DIVIDIDA DE NEWTON PARA LA INTERPOLACIN 503

1 8 . 1 D I F E R E N C I A D I V I D I D A D E N E W T O N P A R A L A I N T E R P O L A C I N DE P O L I N O M I O S

Como se mencion antes,'existe una variedad de formas alternativas para expresar una interpolacin de un polinomio. La diferencia dividida de Newton para la interpolacin de polinomios est entre los modelos ms populares y tiles. Antes de presentar la ecua-cin general, introduciremos la primera y segunda versin debido a su interpretacin visual simple.

18.1 .1 Interpolacin lineal

El modo ms simple de interpolacin es conectar dos puntos con una lnea recta. Esta tcnica, llamada interpolacin lineal, se ilustra en forma grfica en la figura 18.2. Me-diante tringulos semejantes,

/ l ( - r ) ~ / ( S o ) = / ( * ! ) - / ( * ) s

X XQ X\ Xo la cual se puede reordenar para dar

/ ,(*) = /(%> + / ( j C l ) ~ / ( X o ) (* - %> (18-2)

que es una frmula de interpolacin lineal. La notacin f(x) designa que es una interpolacin de polinomios de primer orden. Observe que adems de representar la

FIGURA 18.2 Ilustracin grfica de interpolacin lineal. Las reas sombreadas indican los tringulos semejantes usados para obtener la frmula de interpolacin lineal [vase la ecuacin! 1 8.2)]

AQ X X-\ X

rrvrcKruLACTurN

pendiente de la lnea que conecta los puntos, el trmino \f(xx) f(x0)]/(xx x 0 ) es una aproximacin por diferencia dividida finita de la primera derivada [recuerde la ecuacin (4.17)]. En general, cuanto ms pequeo sea el intervalo de datos, mejor ser la aproxi-macin. Esto se debe al hecho de que, en tanto el intervalo disminuya, una funcin continua se aproximar mejor por una lnea recta. Esta caracterstica se demuestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 18.1 Interpolacin lineal

Enunciado del problema. Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacin lineal. Primero, realice el clculo por interpolacin entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791759. Despus, repita el procedimiento, pero use un intervalo ms pequeo de ln 1 a ln 4 (1.386294). Observe que el valor real de ln 2 es 0.6931472.

Solucin. Usaremos la ecuacin (18.2) y una interpolacin lineal para ln(2) de x0 = 1 a X] = 6 para dar

1 791759 - 0 /,(2) = 0 + (2 - 1) = 0.3583519

6 1

que representa un error de et = 48.3%. Con el intervalo ms pequeo de, x0 = 1 a xx = 4 se obtiene

/ , ( 2 ) = 0 + L 3 8 4 6 ^ - (2 - 1 ) = 0.4620981

As, con el intervalo ms corto se reduce el error relativo porcentual a et 33.3%. Ambas interpolaciones se muestran en la figura 18.3, junto con la funcin real.

F I G U R A 1 8 . 3 Dos interpolaciones lineales para estimar ln 2. Observe cmo el intervalo ms pequeo proporciona una mejor estimacin.

f(x) = ln j f .

Estimaciones lineales

l i l i l

18.1 DIFERENCIA DIVIDIDA DE NEWTON PARA LA INTERPOLACIN 5 0 5

1 8 . 1 . 2 Interpolacin cuadrtica

El error en el ejemplo 18.1 resulta de nuestra aproximacin a una curva con una lnea recta. Por consiguiente, una estrategia para mejorar la estimacin es introducir alguna curvatura en la lnea que conecta los puntos. Si t ies^uio^dejas datos estn disponibles, esto puede realizarse con un polinomio de segundo orden (tambin conocido como polinomio cuadrtico o parbola). Una forma en particular conveniente para este prop-sito es

fi(x) = bo +bi(x- x0) + b2(x - x0){x - x{) (18.3)

Observe que aunque la ecuacin (18.3) parecera diferir del polinomio general [vase ecuacin (18.1)], las dos ecuaciones son equivalentes. Esto puede demostrarse al multi-plicar los trminos de la ecuacin (18.3) para dar

f2(x) = b0 + b\x - b]X0 + b2x2 + b2xQx\ - b2xx0 - b2xx\

o, agrupando trminos,

f2(x) = ao + a\x + a2x2

donde

a o = bo - btxo + h2X{)X\ a\ = b\ b2xu b2x\ a2 = b2

As, las ecuaciones (18.1) y (18.3) son formulaciones alternativas equivalentes del nico polinomio de segundo orden que une los tres puntos.

Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficien-tes. Para Z>0, la ecuacin (18.3) conx XQ puede ser usada para calcular

b0 = / ( * o ) (18.4)

La ecuacin (18.4) puede sustituirse en la (18.3), la cual puede evaluarse enx = xx para

= f^)-f(xo) X\ - XQ

Por ltimo, las ecuaciones (18.4) y (18.5) se pueden sustituir en la (18.3), la cual puede evaluarse en x = x2 y resolver (despus de algunas manipulaciones algebraicas) para

/ ( * 2 ) - / ( * i ) / ( * i ) - / ( * o ) , xo -x\ xi - x0 (18.6) f>2 = =

x2 - Xo Note que, como fue el caso con la interpolacin lineal, bx todava representa la

pendiente de la lnea que une los puntos x 0 y xx. As, los primeros dos trminos de la ecuacin (18.3) son equivalentes a la interpolacin lineal d e x 0 ax , , como se especifi-c antes en la ecuacin (18.2). El ltimo trmino, b2(x x 0)(x X j ) , introduce la curva-tura de segundo orden en la frmula.

5 0 6 INTERPOLACIN

EJEMPLO 18.2

i j

|

Antes de ilustrar cmo usar la ecuacin (18.3), debemos examinar la forma del coeficiente b2. Es muy similar a la aproximacin por diferencias divididas finitas de la segunda derivada que se introdujo antes en la ecuacin (4.24). As, la ecuacin (18.3) comienza a manifestar una estructura que es muy similar a la serie de expansin de Taylor. Esta observacin ser objeto de ms exploracin cuando relacionemos los polinomios de interpolacin de Newton con la serie de Taylor en la seccin 18.1.4. Pero primero, desarrollaremos un ejemplo que muestra cmo se usa la ecuacin (18.3) para interpolar entre tres puntos.

Interpolacin cuadrtica

Enunciado del problema. Ajuste los tres puntos usados en el ejemplo 18.1 a un polinomio de segundo orden:

xo = 1 f(xo) - 0 Xl=4 / (xj) = 1.386294

x2 = 6 / ( J C 2 ) = 1.791759

Use el polinomio para evaluar ln 2.

Solucin. Aplicando la ecuacin (18.4) se obtiene

b0 = 0

La ecuacin (18.5) da

F I G U R A 18 .4 Uso de interpolacin cuadrtica para estimar ln 2. Para comparacin se incluye tambin la interpolacin lineal de x = 1 a 4.

2

0

1

x 0 5


y con la ecuacin (18.6) se obtiene 1.791759 - 1.386294

0.4620981 b2 = 6 - 4 ^ = -0.0518731

61 Sustituyendo estos valores en la ecuacin (18.3) se obtiene la frmula cuadrtica

f2(x) = 0 + 0.462098l(x - 1) - 0.0518731 (x - ])(x - 4)

que puede evaluarse en x 2 para

/ 2 (2) = 0.5658444

la cual representa un error relativo de et = 18.4%. As, la curvatura introducida por la frmula cuadrtica (vase la figura 18.4) mejora la interpolacin comparada con el re-sultado que se obtiene mediante lneas rectas en el ejemplo 18.1 y figura 18.3.

18 .1 .3 Forma general de la interpolacin de pol inomios de N e w t o n

El anlisis anterior puede ser generalizado para ajustar un polinomio de -simo orden a n + 1 datos. El polinomio de -simo orden es

f(x) = b0 + bi(x - x0) + + b(x - x0)(x -*,)(*- x-i) (18.7)

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadrticas, los puntos de los datos evaluaban los coeficientes b0, b,..., bn. Para un polinomio de -simo orden se requiere n + 1 puntos: [x 0 , / (x 0 ) ] , [x^fix^],. .., [xn,f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

bQ = f(x0) (18.8)

b\=f[xux0] (18.9)

bi = f[xz,xi, x) (18.10)

bn = f[x,x-i, . . . , I l , A ' 0 ] (18.11)

donde las evaluaciones de la funcin puestas entre parntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa por lo general como

rr T / ( * / ' ) ~ f ( X j ) / 1 0 n \

f[xj,Xj] = (18.12) X - Xj

La segunda diferencia dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa por lo general como

508 INTERPOLACIN

; */

0 xo f (x 0 ) -i x\ f (x , ) -2 x 2 f ( x 2 | -3 *3 f[x3h

P r i m a r a

: f [ x , , x 0 ] -

: f [ x 2 , x , ]

: f [ x 3 . x 2 ] "

Segundo

|. x]

Tareero

| X | , X , , X,

F IGURA 18 .5 Ilustracin grfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas.

, r , f[Xi,Xj] - f[.Xj,XK] f \x ,x,,x = - -

J 1 x-xk (18.13)

En forma similar, la n-sima diferencia dividida finita es j . r , fxni xn \ > i x \ \ / [ x _ i , X _ 2 , . . . , XQ] (Wl\A\ f[x,X-u...,XUXo] = - - - - - ( . 1 8 . 1 4 )

X XQ

Estas diferencias pueden usarse para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (18.8) hasta la (18.11), las cuales entonces se sustituirn en la ecuacin (18.7) para obtener el polinomio de interpolacin

/(*) = xo) + (x- * 0 y i * i *o] + ( x~ x0)(x - x^x^ xu x0] + -+ (x - Xo)(x - x,) ... (x - xn_1Y[xn,xn_l,...,x0] (18.15)

que es conocido como polinomio de interpolacin por diferencias divididas de Newton. Debe observarse que no es necesario que los datos utilizados en la ecuacin (18.15) sean igualmente espaciados o que los valores de la abscisa deban estar en orden ascendente, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Tambin, observe cmo las ecuaciones (18.12) a (18.14) son recursivas (es decir, las diferencias de rdenes mayores se calculan al tomar diferencias de orden menor, vase la figura 18.5). Esta propiedad ser aprovechada cuando desarrollemos un programa eficiente en la computadora dentro de la seccin 18.1.5 para implementar el mtodo.

EJEMPLO 18.3 Interpolando polinomios mediante la diferencia dividida de Newton

Enunciado del problema. En el ejemplo 18.2, los datos e n x 0 = \,xx = 4 yx2 6 se utilizaron para estimar ln 2 con una parbola. Ahora, agregando un cuarto punto (x 3 = 5; f(x3) = 1.609438], calcule el ln 2 con una interpolacin del polinomio de Newton de tercer orden.

Solucin. El polinomio de tercer orden utilizando la ecuacin (18.7) con n 3, es

/ l ( . v ) = b{) + l>l(X - X T ) ) + l>2(.\ - .o) (.V - .V|) | /0,(.\ .loK.v -.| )(\ .v>)

1 5.1 UirCKCrNUA U l V I V I U r t u c P I S Y T I W I ^

F I G U R A 1 8 . 6 Uso de la interpolacin cbica para estimar ln 2.

Las primeras diferencias divididas para el problema son [vase la ecuacin (18.12)]

1 .386294-0 f[X],X0] =

f[x2,Xi] =

f[X3,X2] =

4 - 0

1.791759 - 1.386294

6 - 4

1.609438 - 1.386294 5 - 6

= 0.4620981

0.2027326

0.1823216

Las segundas diferencias divididas son [vase la ecuacin (18.13)]

0 .2027326-0.4620981 f[X2,Xi,X0] =

f[XT,,X2,Xi

6 - 1

0 .1823216-0.2027326 5 - 4

= -0.05187311

= -0.02041100

La tercera diferencia dividida es [vase la ecuacin (18.14) con n = 3]

-0 .02041100- (-0.05187311) 5 - 1

= 0.007865529

Los resultados para/[*, , x0],f[x2, X^XQ] y f[x3, x2, xx, x0] representan los coeficientes 6,, b2 y >3 de la ecuacin (18.7). Junto con b0 =f(x0) = 0.0, la ecuacin (18.7) es

310 INTERPOLACIN

fr(x) = 0 + 0.4620981 ( J I - 1) - 0.05187311 (x I )(.v - 4) + 0.007865529(x - l)(x - 4)(x - 6)

que puede usarse para e v a l u a r / ^ ) = 0.6287686, el cual representa un error relativo de e = 9.3%. El polinomio cbico completo se muestra en la figura 18.6.

1 8 . 1 . 4 E r rores al interpolar pol inomios de N e w t o n

Observe que la estructura de la ecuacin (18.15) es similar a la serie de expansin de Taylor en el sentido de que se agrega trminos en forma secuencial para capturar el comportamiento de alto orden de la funcin en turno. Estos trminos son diferencias divididas finitas y, as, representan aproximaciones de las derivadas de orden mayor. Por consiguiente, como ocurri con la serie de Taylor, si la verdadera funcin subyacente es un polinomio de w-simo orden, el polinomio sujeto a interpolacin de n-simo con base en n + 1 puntos dar resultados exactos.

Tambin, como fue el caso con la serie de Taylor, puede obtenerse una formulacin para el error de truncamiento. Recuerde de la ecuacin (4.6) que el error de truncamien-to para la serie de Taylor podra expresarse por lo general como

f (n+l)(t\

(n+ 1)1 (4.6)

donde j est en alguna parte en el intervalo x a x , + 1 . Para una interpolacin de n-simo orden, una relacin anloga para el error es

R r"+1)() (n + 1)!

(x - x 0 ) ( x - x t ) (x -x) (18.16)

donde est en alguna parte en el intervalo que contiene la incgnita y los datos. Para esta frmula que habr de usarse, la funcin en turno debe ser conocida y < iferenciable. Por lo comn ste no es el caso. Por fortuna, una formulacin alternativa ei t disponible y no requiere conocimiento previo de la funcin. Ms bien, usa una difer ncia dividida finita para aproximar la derivada (n + l)-sima,

R = fx,x,x^i , XQ](X - X0)(X - X\) (X - X)

donde f[x, xn,xnA,..., x0)] es la (n + 1 )-sima diferencia dividida finita. D :bido ecuacin (18.17) contiene la incgnita/(x), no puede resolverse para el err >r. go, si se dispone de un dato adicional f(xn+1), la ecuacin (18.17) pue

.* n u i n r w i v i v n v e r w H m w m i u s ' n i m i w n O f f 17

F I G U R A 1 8 . 1 0 Una ilustracin visual del racional detrs del polinomio de Lagrange. Esta figura muestra un caso de segundo orden. Cada uno de los tres trminos en la ecuacin (18.23) pasa a travs de uno de los puntos y es cero en los otros dos. La sumatoria de los tres trminos, por tanto, es un polinomio nico de segundo orden f2|x) que pasa exactamente a travs de los puntos.

Observe que, como en el caso del mtodo de Newton, la versin de Lagrange tiene un error estimado de [vase ecuacin (18.17)]

n

Rn = f[x,x,x-i,... ,x0] Y\(x -x)

De este modo, si se tiene un punto adicional en x xn+l, se puede obtener un error estimado. Sin embargo, como no se emplean las diferencias divididas finitas como parte del algoritmo de Lagrange, esto se hace muy ocasionalmente.

Las ecuaciones (18.20) y (18.21) se programan de manera muy simple para implementarse en una computadora. La figura 18.11 muestra el pseudocdigo que se puede emplear para este propsito.

En resumen, para casos donde el orden del polinomio es desconocido, el mtodo de Newton tiene ventajas en el conocimiento que proporciona respecto al comportamiento de las frmulas de diferente orden. Adems, el error estimado expuesto por la ecuacin (18,18) se integra de manera usual en el clculo del polinomio de Newton debido a que

5 1 8 INTERPOLACIN

FUNCTION Lagrng(x, y, n, x) sum = 0 DO i = 0,n

product - y i DO j = 0,n

IF i # j THEN product = product*(x - Xj)/(x ; - Xj)

ENDIF EWDO sum = sum + product

EWDO Lagmg = sum

END Laqrftq

F IGURA 1 8 . 1 1 Pseudocdigo para mplementar la interpolacin de Lagrange. Este algoritmo se acondiciona para calcular una sola prediccin de n-simo orden, donde n + 1 es el nmero de datos.

la estimacin emplea una diferencia finita (vase el ejemplo 18.5). De esta manera, para clculos exploratorios, a menudo se prefiere el mtodo de Newton.

Cuando se ejecuta slo una interpolacin, las formulaciones de Lagrange y Newton requieren un notable esfuerzo computacional. Sin embargo, la versin de Lagrange es un poco ms fcil de programar. Debido a que no requiere de clculos y almacenaje de diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa a menudo cuando el orden del polinomio se conoce a prior.

EJEMPLO 18 .7 Interpolacin de Lagrange usando la computadora

Enunciado del problema. Podemos usar el algoritmo de la figura 18.11 para estudiar un anlisis de tendencia para un problema que se relaciona con nuestio conocido caso del paracaidista en cada. Suponga que desarrollamos cierta instrumentacin para medu-la velocidad del paracaidista. Los datos de medicin obtenidos para un caso de prueba en particular son

T iempo, s

Velocidad medida v ,em/s

1 800 3 2 310 5 3 090 7 3 940

13 4 755

Nuestro problema es estimar la velocidad del paracaidista en t 10 s para tener las mediciones faltantes entre t lyt= 13 s. Estamos conscientes que el comportamiento de la interpolacin de polinomios puede ser inesperado. Por tanto, construiremos polinomios de 4, 3, 2 y 1 rdenes para comparar los resultados.

18.3 COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIN

| F I G U R A 1 8 . 1 2 ] Grficas que exponen a) cuarto orden, b) tercer orden, c) segundo orden y d) interpolaciones de primer orden.

Solucin. El algoritmo de Lagrange se usa para construir polinomios de interpolacin de cuarto, tercer, segundo y primer orden.

El polinomio de cuarto orden y los datos de entrada se pueden graficar como se muestra en la figura 18.12a. Es evidente a partir de esta grfica que el valor estimado de y en x = 10 es mayor que la tendencia global de los datos.

Desde la figura 18.12b hasta la 18.12d se muestran las grficas de los resultados de los clculos para las interpolaciones de los polinomios de tercer, segundo y primer or-den. Se observa que mientras ms bajo sea el orden, menor ser el valor estimado de la velocidad en t = 10 s. Las grficas de la interpolacin de polinomios indican que los polinomios de alto orden tienden a sobrepasar la tendencia de los datos. Esto sugiere que las versiones de primer o segundo orden son las ms adecuadas para este anlisis de tendencia en particular. Debe recordarse, que debido a que tratamos con datos inciertos, la regresin de hecho podra ser la ms adecuada.

El ejemplo anterior ilustr que los polinomios de alto orden tienden a ser mal condi-cionados; esto es, tienden a ser altamente sensibles a los errores de redondeo. El mismo problema se aplica a la regresin con polinomios de orden superior. La aritmtica de doble precisin ayuda algunas veces a disminuir el problema. Sin embargo, en tanto el orden aumente, habr un punto para el cual el error de redondeo interferir con la habi-lidad para interpolar mediante el procedimiento simple que se abord en este punto.

1 8 . 3 C O E F I C I E N T E S D E U N P O L I N O M I O P E I N T E R P O L A C I N

Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange son adecuados para determinar valo-res intermedios entre puntos, no proporcionan un polinomio conveniente de la forma convencional

520 INTERPOLACIN

f(x) =a0 + axx + a2x2 + + anxn (18.24)

Un mtodo directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el hecho de que n + 1 puntos se requieren para determinar los n + 1 coeficientes. As, se puede usar ecuaciones algebraicas lineales simultneas para calcular las a. Por ejemplo, suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parbola

f(x) = a0 + a\x + a2x2 (18.25)

Se requiere tres puntos: [x0,f(x0)], [ X ] , / ( x j ) ] y [x2,f(x2)].Cada uno se puede sustituir en la ecuacin (18.25) para dar

f(x0) a0 + aix0 + a2x\

f(x\) = a0 + a\x\ + a2x\ (18.26)

f(x2) = a0 + a\x2 + a2x\

De esta manera, las x son los puntos conocidos y las a las incgnitas. Como hay el mismo nmero de ecuaciones que incgnitas, la ecuacin (18.26) se podra resolver con un mtodo de eliminacin de la parte tres.

Debe observarse que el procedimiento anterior no es el mtodo disponible ms efi-ciente para determinar los coeficientes de una interpolacin de polinomios. Press y cois. (1986) proporcionan un anlisis y cdigos de cmputo para procedimientos ms efica-ces. Cualquiera que sea la tcnica empleada, se debe tener precaucin con el orden. Los sistemas como el de la ecuacin (18.26) estn notoriamente mal condicionados. Ya sean resueltos con un mtodo de eliminacin o con un algoritmo eficiente, los coeficientes resultantes pueden ser altamente inexactos, en particular para n grandes. Cuando se usan para una interpolacin subsecuente a menudo se obtiene resultados errneos.

En resumen, si usted se interesa en determinar un punto intermedio, emplee la interpolacin de Newton o Lagrange. Si lo que desea es determinar una ecuacin con la forma de la (18.24), limtese a polinomios de orden inferior y verifique sus resultados cuidadosamente.

1 8 . 4 I N T E R P O L A C I N I N V E R S A

Como su nomenclatura lo implica, los valores de f(x) y x en la mayora de los contextos de interpolacin son las variables dependientes e independientes, en forma respectiva. En consecuencia, los valores de las x estn tpicamente espaciados en forma uniforme. Un ejemplo simple es una tabla de valores tabulados para la funcin f(x) = l/x,

X 1 2 3 4 5 6 7 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429 Ahora suponga que usted debe usar los mismos datos, pero que se le ha dado un

valor para f(x) y debe determinar el valor correspondiente de x. Por ejemplo, para los datos anteriores, suponga que se le pide determinar el valor de x que corresponda a f(x) 0.3. Para este caso, como la funcin est disponible y se puede manejar en forma fcil, la respuesta correcta se determina directamente como A; = 1/0.3 = 3.3333.

puntos en una secuencia diferente. La figura 18.9 muestra los resultados para el caso de invertir el orden de los datos originales; esto es, x0 = 3.5, x{ = 2.5, x 3 = 1.5, y asi sucesivamente. Como los puntos iniciales para este caso se hallan cercanos y espaciados en cualquier lado de ln 2, el error disminuye mucho ms rpido que para la situacin original. En el segundo trmino, el error se redujo a menos de e, = 2%. Se podra em-plear otras combinaciones para obtener diferentes velocidades de convergencia.

El ejemplo anterior ilustra la importancia de la seleccin de los puntos base. Como se podra intuir en forma obvia, los puntos deberan estar centrados alrededor y tan cerca como sea posible de las incgnitas. Esta observacin es tambin soportada por un anli-sis directo de la ecuacin para estimar el error [vea ecuacin (18.17)]. Si suponemos que la diferencia dividida finita no vara mucho a lo largo del rango de datos, el error es proporcional al producto: (x x0) (x x).. .(x xn). Por lgica, los puntos base ms cercanos son a x, la magnitud ms pequea de este producto.

1 8 . 2 I N T E R P O L A C I N DE P O L I N O M I O S P E L A G R A N G E

La interpolacin de polinomios de Lagrange es simplemente una reformulacin del polinomio de Newton que evita el clculo por diferencias divididas. Se puede expresar de manera concisa como

/(*) = 2 ,(*)ft*i> (18.20) i=0

donde

iW=n^/ (18.2D y=o X - X J

donde II designa el "producto de". Por ejemplo, la versin lineal (n = 1) es

fi(x) = ?^f(xo) + ^-f(xx) (18.22) x 0 - xi x, - x 0

y la versin de segundo orden es

' ( i - x i ) ( x - x 2 ) - (x - x 0 ) ( x - X 2 ) f2(x) = - r / ( x 0 ) + - r / ( * i )

(x 0 - xO(xo - x 2 ) {x\ - x0)(xi - x2) , (x-xo)(x-Xl)mfiX2) ( 1 8 . 2 3 )

(x2 - x 0 ) ( x 2 - X i ) "

La ecuacin (18.20) se puede derivar de manera directa a partir del polinomio de Newton (vase cuadro 18.1). Sin embargo, el racional resaltado de la formulacin de Lagrange se puede captar de manera directa al darse cuenta que cada trmino L(x) ser

516 INTERPOLACIN

1 en x = x, y 0 en todos los otros puntos de la muestra (vase la figura 18.10). De esta manera, cada producto L(x)f(x) toma el valor de f(x) en el punto de muestra x. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos designados para la ecuacin (18.20) es el nico polinomio de n-simo orden que pasa de manera exacta a travs de todos los n + 1 puntos.

EJEMPLO 1 8 . 6 Interpolacin de polinomios de Lagrange

Enunciado del problema. Use una interpolacin del polinomio de Lagrange de pri-mer y segundo orden para evaluar ln 2 con base en los datos dados en el ejemplo 18.2:

xo = 1 f(xo) = 0 x , = 4 / ( x 0 = 1.386294 x2=6 f(x2) = 1.791760

Solucin. El polinomio de primer orden [vase ecuacin (18.22)] se puede usar para obtener la estimacin en x = 2,

i / , ( 2 ) = Y~^+ y 1 -386294 = 0.4620981

De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como [vase ecuacin 1 (18.23)]

( 2 - 4 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - l ) ( 2 - 6 ) / 2 ( 2 ) = - 0 + -1.386294 ( l - 4 ) ( l - 6 ) ( 4 - l ) ( 4 - 6 )

( 2 - l ) ( 2 - 4 ) + - -1.791760 = 0.5658444

( 6 - l ) ( 6 - 4 )

Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuvieron antes al usar la interpolacin para el polinomio de Newton.

Cuadro 18.1 Obtencin de la forma de Lagrange a partir directamente de la interpolacin del polinomio de Newton

El polinomio de interpolacin de Lagrange se puede obtener de manera directa a partir de la formulacin del polinomio de Newton. Haremos esto nicamente para el caso del polinomio de primer orden [vase ecuacin (18.2)]. Para obtener la forma de Lagrange, reformulamos las diferencias divididas. Por ejem-plo, la primera diferencia dividida, fl i /(xi) - /(x0) /[x,,xo] = (B18.1.1) xi - xo se puede reformular como

la cual es referida como forma simtrica. Al sustituir la ecuacin (B18.1.2) en (18.2) se obtiene

/i(x) = /(x0) + f t x i ) + /(x0) x\ - x0 x0 - X i Por ltimo, al agrupar trminos similares y simplificar se tiene la forma del polinomio de Lagrange,

X Xl x Xo fx(x) = -/(x0) + V(xi) xo - X l X\ - XQ (B18.1.2)

18.5 COMENTARIOS ADICIONALES 521

Tal problema se conoce como interpolacin inversa. Para un caso ms complicado, usted debe intentar cambiar los valores f(x) y x [es decir, slo grafique x contra f(x)\ y use un procedimiento como la interpolacin de Lagrange para determinar el resultado. Por desgracia, cuando usted invierte las variables no hay garanta de que los valores junto con la nueva abscisa [los/(x)] sean espaciados uniformemente. De hecho, en mu-chos casos, los valores sern "agrandados". Es decir, tendrn la apariencia de una escala logartmica con algunos puntos adyacentes muy agrupados y otros muy dispersos. Por ejemplo, para f(x) = 1/x el resultado es

0 .1429 0 .1667 0.2 0.25 0 .3333 0.5 1

X 7 6 5 4 3 2 1

Tal espaciamiento no uniforme sobre la abscisa a menudo lleva a oscilaciones en el resultado de la interpolacin de polinomios. Esto puede ocurrir aun para polinomios de orden inferior.

Una estrategia alterna es ajustar un polinomio de n-simo orden, fn{x), a los datos originales [es decir, con f(x) contra x]. En la mayora de los casos, como las x estn espaciadas de manera uniforme, este polinomio no estar mal condicionado. La respues-ta a su problema entonces toma en cuenta la determinacin del valor de x que haga que este polinomio sea igual al dado porf(x). As, el problema de interpolacin se reduce a un problema de races!

Por ejemplo, para el problema antes descrito, un simple procedimiento podra ser ajustar los tres puntos a un polinomio cuadrtico: (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25). El resultado sera

f2(x) = 1.08333 - 0.375.* + 0.041667* 2

La respuesta al problema de interpolacin inversa para determinar lax correspondiente a f(x) = 0.3 sera equivalente a la determinacin raices de

0.3 = 1.08333 - 0.375A- + 0.041667A:2

Para este caso simple, la frmula cuadrtica se puede usar para calcular

_ 0.375 v/C-0.375) 2 - 4(0.041667)0.78333 _ 5.704158 X ~ 2(0.041667) ~ 3.295842

As, la segunda raz, 3.296, es una buena aproximacin del valor real de 3.333. Si se desea una exactitud adicional, se podra emplear un polinomio de tercer o cuarto orden junto con uno de los mtodos para la localizacin de races de la parte dos.

18 .5 C O M E N T A R I O S A D I C I O N A L E S

Antes de proceder con la siguiente seccin, se debe mencionar dos temas adicionales: interpolacin con datos igualmente espaciados y extrapolacin.

Como, ambos polinomios, el de Newton y Lagrange, son compatibles con datos espaciados en forma arbitraria, usted se preguntara por qu hemos puesto el caso es-pecial de datos igualmente espaciados (vase cuadro 18.2). Antes de la llegada de las computadoras digitales, esas tcnicas tenan gran utilidad para interpolacin a partir de

5 2 2 INTERPOLACIN

C u a d r o 1 8 . 2 I N T E R P O L A C I N C O N D A T O S I G U A L M E N T E E S P A C I A D O S

Si los datos estn igualmente espaciados y en orden ascendente, entonces la variable independiente tiene los valores de

x\ = x0 + h

X2 = A'O + 2h

donde lo que resta es lo mismo que en la ecuacin (18.16). Esta ecuacin es conocida como frmula de Newton o frmula hacia adelante de Newton-Gregory. Se puede simplificar ms al defi-nir una nueva cantidad, a:

x = xo + nh

donde h es el intervalo, o tamao de paso, entre los datos. Con esta base, las diferencias divididas finitas se pueden expresar en forma concisa. Por ejemplo, la segunda diferencia dividida hacia adelante es

/[A'O, A|, X2] =

f(Xl) - f(Xj) _ /(Al) ~ /(X 0 ) A 2 Xl X| XQ

X2 - X0 la cual se puede expresar como

/ ( x 2 ) - 2 / ( x , ) + / ( x 0 ) / [X 0 , Al, A2] 2h2 (B 18.2.1)

ya que xx x0 = x2 x{ = (x2 x0)/2 = h. Ahora recuerde que la segunda diferencia hacia adelante es igual al numerador de la ecuacin (4.24)

A 2 / ( x o ) = / ( A ' 2 ) - 2 / ( x l ) + / ( x 0 )

Por tanto, la ecuacin (B 18.2.1) se puede representar como

A 2 / ( x 0 ) /[X 0 ,X|,X 2 ] =

o, en general

/ [Xo ,X|, . . . , x ]

2\h2

= A " / ( x 0 )

n\h" (B18.2.2)

Mediante la ecuacin (Bl 8.2.2), podemos expresar el polinomio de interpolacin de Newton [vase ecuacin (18.15)] para el caso de datos igualmente espaciados como

Esta definicin se puede usar para desarrollar las siguientes ex-presiones simplificadas pralos trminos en la ecuacin (B18.2.3):

x AO = ah

x AQ h = ah h = h(a-\)

x Ao (n l)h = ah (n \)h = h(a n + 1)

las cuales se sustituyen en la ecuacin (Bl 8.2.3) para dar

A 2 fx0) fn(x) = / ( x 0 ) + A / ( x 0 ) a + i) "a(a - 1)

donde

2! , A " / ( x 0 )

H -i a (a - 1) (a - n + 1) + R (B 18.2.4)

Rn = , , , \ , V + W - D( - 2) (a - ) [n + 1)!

Esta notacin concisa tendr utilidad en nuestra derivacin y en el anlisis de error de las frmulas de integracin en el captulo 21.

Adems de la frmula hacia adelante, estn disponibles las frmulas hacia atrs y central de Newton-Gregory. Para infor-macin adicional con respecto a interpolacin para datos igual-mente espaciados se puede consultar a Carnahan, Luther y Wilkes (1969).

r / x s, , A / ( X 0 ) / , ( X ) = / ( X Q ) + ; ( X - X 0 ) h

+ A 2 / ( A 0 )

2\h2 (x - x 0 ) (x - xo - h)

+ ---+^^(x-xQ)(x-x0-h) nlh"

\x-x0-(n-1)h) + R (B18.2.3)

I i o. i uircRCNClA DIVIDIDA DE NEWTON "PARA LA INTERPOLACIN IM j Solucin. Recuerde que en el ejemplo 18.2 la interpolacin del polinomio de segundo j orden proporcion una estimacin de f2(2) = 0.5658444, que representa un error de \ 0.6931472 - 0.5658444 = 0.1273028. Si se hubiera conocido el valor real, como es " comn que suceda, la ecuacin (18.18), junto con el valor adicional en x3, pudo usarse

para estimar el error, como en

! Ri = / f e , x 2 , X\,XQ$X - x0)(x - x$(x - x2)

i o

! R2 = 0.007865529(JC - l)(x - 4)(x - 6) donde el valor para la diferencia dividida finita de tercer orden es como la que se calcul

antes en el ejemplo 18.3. Esta relacin puede evaluarse e n * = 2 para R2 = 0.007865529(2 - 1)(2 - 4)(2 - 6) = 0.0629242

la cual es del mismo orden de magnitud que el error real.

Del ejemplo anterior y de la ecuacin (18.18), debe estar claro que el error estimado para el polinomio de n-simo orden es equivalente a la diferencia entre el (n + l)-simo orden y la prediccin de n-simo orden. Es decir,

Rn = fn + l(x) ~ fn(x) (18.19)

En otras palabras, el incremento que se agrega al caso del n-simo orden para crear el caso de (n + l)-simo orden [es decir, la ecuacin (18.18)] se interpreta como una estimacin del n-simo orden de error. Esto puede verse con claridad al reordenar la ecuacin (18.19) para dar

f+l{x) = f(x) + Rn

La validez de este procedimiento es afirmada por el hecho de que la serie es fuertemente convergente. Para tal situacin, la prediccin del (n + l)-simo orden debera ser mucho ms cercana al valor real que la prediccin del n-simo orden. En consecuencia, la ecua-cin (18.19) conforma nuestra definicin estndar de error al representar la diferencia entre la verdadera y una aproximacin. Sin embargo, observe que mientras todos los otros errores estimados para procedimientos iterativos introducidos hasta ahora se deter-minaron como una prediccin actual menos una previa, la ecuacin (18.19) representa una prediccin futura menos una presente. Esto significa que para una serie en conver-gencia rpida, el error estimado de la ecuacin (18.19) podra ser menor que el verdade-ro. Esto representara una calidad muy poco atractiva si el error estimado fuera a emplearse como un criterio de paro. Sin embargo, como ser expuesto en la siguiente seccin, la interpolacin de polinomios de alto orden son muy sensibles a errores en los datos (es decir, estn mal condicionados). Cuando se emplean para interpolacin, a menudo se obtienen predicciones que divergen en forma significativa del valor verdadero. Si se prevn tales errores, la ecuacin (18.19) es ms sensible para dicha divergencia. Como tal, es ms valioso para la clase de anlisis de datos exploratorios para lo cual el polinomio de Newton es el ms adecuado.

512 INTERPOLACIN

18 .1 .5 Algor i tmo de cmputo paro la interpolacin del pol inomio de N e w t o n

Tres propiedades hacen que la interpolacin del polinomio de Newton sea muy atractiva para las aplicaciones en la computadora:

1. Como en la ecuacin (18.7), se puede desarrollar de manera secuencial versiones de orden mayor con la adicin de un solo trmino a la siguiente ecuacin de orden inferior. Esto facilita la evaluacin de algunas de las versiones de diferente orden en el mismo programa. Tal capacidad es en especial valiosa cuando el orden del polinomio no es conocido a priori. Al agregar nuevos trminos en forma secuencial, podemos determinar cundo se alcanza un punto de disminucin de regreso (es decir, cuando la adicin de trminos de orden superior ya no mejora de manera significativa la estimacin, o en ciertas situaciones de hecho la aleja). Las ecuacio-nes para estimar el error que se analizan en el punto 3 son tiles para visualizar un criterio objetivo para identificar este punto de trminos disminuidos.

2 . Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del polinomio [ecua-ciones (18.8) hasta (18.11)] se pueden calcular de manera eficaz. Es decir, como en la ecuacin (18.14) y la figura 18.5, se usa diferencias del orden inferior para calcu-lar las de alto orden. Por medio de la informacin determinada antes, los coeficien-tes se pueden calcular de manera eficiente. El algoritmo en la figura 18.7 contiene un esquema semejante.

3. El error estimado [vase la ecuacin (18.18)] puede ser muy simple de incorporar en un algoritmo de cmputo debido a la manera secuencial en la cual se construye la prediccin.

F IGURA 1 8 . 7 Un algoritmo para el polinomio de interpolacin de Newton escrito en pseudocdigo.

5U3R0UTINE Newtlnt (x, y, n, xi, ymt, ea) LOCAL fddn DOi = 0,n'

fddu>=y END DO DO j = 1,n

DO i = 0,n- j fdd = (fddMti - fdd^x^-xj

ENDDO END DO xterm = 1 yint0 = fdd00 DO order = 1, n

xterm = xterm * (x - x o r e t e r_,) yintZ = yintolder.1 + fdd0iOrder * xterm

END order END Newtlnt


Todas las caractersticas anteriores pueden aprovecharse y ser incorporadas en un algoritmo general para implementar el polinomio de Newton (vase la figura 18.7). Ob-serve que el algoritmo consiste en dos partes: el primero determina los coeficientes o partir de la ecuacin (18.7); el segundo establece las predicciones y su error asociado. La utilidad de este algoritmo se demuestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 18.5 Estimacin del error para determinar el orden adecuado de interpolacin

Enunciadodel problema. Despus de incorporar el error [vase la ecuacin (18.18)], ; utilice el algoritmo de cmputo que se muestra en la figura 18.7 y la siguiente informa-j cin para evaluar/(x) = Inxenx = 2:

i x f (x) = ln x 0 1 4 1.3862944 1.7917595 5 1.6094379 3 1.0986123 1.5 0.4054641 2.5 0.9162907 3.5 1.2527630

Solucin. Los resultados al emplear el algoritmo de la figura 18.7 para obtener una solucin se muestran en la figura 18.8. El error estimado, junto con el error real (con

| F IGURA 18 .8 Los resultados de un programa, con base en el algoritmo de la figura 18.7, para evaluar ln 2.

NUMBER OF P01NTS? 8 X( 0 ), y ( 0 ) - ? 1,0 X( 1 ) . y ( 1 ) - ? 4 , 1 .3862944 X( 2 ), y ( 2 ) - ? 6 , 1 .7917595 X( 3 ) . y ( 3 ) - ? 5 , 1 .6094379 X( 4 ), y ( 4 ) - ? 3 , 1 .0986123 X( 5 ) . y ( 5 ) - ? 1.5 , 0 . 4 0 5 4 6 4 1 1 X( 6 ), y ( 6 ) - ? 2 . 5 . 0 . 9 1 6 2 9 0 7 3 X( 7 ) , y ( 7 ) - ? 3 . 5 , 1 . 2 5 2 7 6 3 0

INTERPOLATION AT X - 2 ORDER F (X) ERROR 0 0 .000000 0 .462098 1 0 .462098 0 .103746 2 0 . 5 6 5 8 4 4 0 .062924 3 0 .628769 0 . 0 4 6 9 5 3 4 0 .675722 0 .021792 5 0 .697514 - 0 . 0 0 3 6 1 6 6 0 .693898 - 0 . 0 0 0 4 5 9 7 0 .693439

514 INTERPOLACIN

base en el hecho de que ln 2 = 0.6931472), se ilustran en la figura 18.9. Observe que el error estimado y el real son similares y que su concordancia mejora en tanto se aumente el orden. A partir de estos resultados se puede concluir que la versin de quinto orden da una buena estimacin y que los trminos de orden superior no resaltan en forma signifi-cativa la prediccin.

I Este ejercicio tambin ilustra la importancia de colocar el orden de los puntos. Por ejemplo, hasta la estimacin del tercer orden, la razn de mejora es lenta debido a que \ los puntos que se agregaron (en x = 4, 6 y 5) estn distantes y a un lado del punto de ! anlisis en x = 2. La estimacin de cuarto orden muestra algo de mejora ya que el nuevo \ punto en x 3 est cercano a la incgnita. Sin embargo, la disminucin ms dramtica \ en el error est asociada con la inclusin del trmino de quinto orden mediante los datos \ en x = 1.5. No slo est este punto cercano a la incgnita, sino que tambin se halla en el lado opuesto de la mayora de los otros puntos. En consecuencia, el error se reduce a i casi un orden de magnitud. j El significado de la posicin y secuencia de los datos se puede tambin ilustrar al j usar los mismos datos para obtener una estimacin para el ln 2, pero considerando los

i F I G U R A 1 8 . 9 j Porcentaje de errores relativos para la prediccin de ln 2 como una funcin ! del orden de la interpolacin polinomial.

Error i

F IGURA 1 8 . 1 3 Ilustracin de la divergencia posible de una prediccin extrapolada. La extrapolacin se basa en el ajuste de una parbola a travs de los primeros tres puntos conocidos.

tablas con argumentos igualmente espaciados. De hecho, una estructura computacional conocida como tabla de diferencias divididas fue desarrollada para facilitar la imple-mentacin de esas tcnicas. (La figura 18.5 es un ejemplo de esa tabla.)

Sin embargo, como las frmulas son subconjuntos de esquemas de Newton y Lagrange compatibles con computadora y debido a las muchas funciones tabulares dis-ponibles, como subrutinas de libreras, la necesidad para las versiones igualmente espa-ciadas ha disminuido. A pesar de esto, por su relevancia las hemos incluido en este tema en las ltimas partes de este libro. En particular, son necesarias para obtener frmulas de integracin numrica que emplean de manera tpica datos igualmente espaciados (vase el captulo 21). Como las frmulas de integracin numrica tienen relevancia en la solu-cin de ecuaciones diferenciales ordinarias, el material del cuadro 18.2 tiene tambin significado en la parte siete.

Extrapolacin es el proceso de estimar un valor de f(x) que se tiene fuera del rango de los puntos base conocidos, x0, JC,, . . ., xn (vase la figura 18.13). En una seccin anterior, mencionamos que la interpolacin ms exacta es usualmente obtenida cuando las incgnitas estn cerca del centro de los puntos base. Obviamente, esto no se cumple cuando las incgnitas se encuentran fuera del rango y, en consecuencia, el error en extrapolacin puede ser muy grande. Como se ilustra en la figura 18.13, la naturaleza de extremos abiertos de la extrapolacin representa un paso en la incgnita, ya que el proce-so extiende la curva ms all de la regin conocida. Como tal, la curva real podra con facilidad divergir de la prediccin. Por tanto, se debe tener extremo cuidado al realizar ejercicios donde surja un caso que se deba extrapolar.

INTERPOLACIN I N T E R P O L A C I N S E G M E N T A R I A

-^n la seccin anterior, se us polinomios de w-simo orden para interpolar entre n + 1 Jatos. Por ejemplo, para ocho puntos se puede derivar un perfecto polinomio de sptimo >rden. Esta curva podra capturar todas las curvaturas (al menos hasta e incluso la spti-ca derivada) sugeridas por los puntos. Sin embargo, hay casos en los que estas funciones pueden llevar a resultados errneos debido a errores de redondeo y puntos lejanos. Un

s fIGURA 18.14 (Jna representacin visual de una situacin donde las segmentarias son interpolaciones polinomialesde orden superior. La funcin que habr de ajustarse pasa por un incremento jubito en x = 0. Los incisos a) a c) indican que el cambio abrupto induce oscilaciones al nterpolar polinomiales. En contraste, como las curvas se limitan a tercer orden con transiciones suaves, la segmentaria cbica d) proporciona una aproximacin mucho ms iceptable.

a)

f(x),

X b)

f(x) i J J> 9 9 9 , -

J 0 x d)

18.6 INTERPOLACIN SEGMENTARIA 525

procedimiento alternativo es aplicar polinomios de orden inferior a subconjuntos de da-tos. Tales polinomios conectores son llamados funciones segmentarias.

Por ejemplo, curvas de tercer orden empleadas para conectar cada par de datos son llamadas segmentarias cbicas. Esas funciones se pueden construir de tal forma que las conexiones entre las ecuaciones cbicas adyacentes resultan visualmente suaves. Sobre la superficie, podra parecer que la aproximacin de tercer orden de las segmentarias sera inferior a la expresin de sptimo orden. UstecJ se preguntara por qu una segmentaria podra ser siempre preferible.

La figura 18.14 ilustra una situacin donde una segmentaria se comporta mejor que una polinomial de orden superior. Este es el caso donde una funcin es por lo general suave pero conlleva un cambio abrupto en algn lugar a lo largo de la regin de inters.

El incremento de paso expuesto en la figura 18.14 es un ejemplo extremo de tal cambio y sirve para ilustrar este punto.

De la figura 18.14a hasta la 18.14c se ilustra cmo un polinomio de orden superior tiende a formar una curva a travs de oscilaciones bruscas en la vecindad con un cambio sbito. En contraste, la segmentaria tambin conecta los puntos, pero debido a sus cam-bios limitados de tercer orden, las oscilaciones se mantienen a un mnimo. Como tal, la segmentaria usualmente proporciona una aproximacin superior del comportamiento de las funciones que tienen cambios locales y abruptos.

El concepto de la segmentaria se origina de la tcnica de dibujo con una cinta delga-da y flexible (llamada curvgrafo) para dibujar curvas suaves a travs de un conjunto de puntos. El proceso se expone en la figura 18.15 para una serie de cinco pasadores (da-tos). En esta tcnica, el dibujante coloca un papel sobre una mesa de madera y golpea los clavos o pasadores en el papel (y la mesa) en la ubicacin de los datos. Una curva suave resulta al entrelazar la cinta entre los pasadores. De aqu que se haya adoptado el nombre de "segmentaria cbica" para los polinomios de este tipo.

En esta seccin, se usarn primero funciones lineales simples para introducir algu-nos conceptos bsicos y problemas asociados con la interpolacin segmentaria. Enton-ces obtendremos un algoritmo para el ajuste de datos con segmentarias cuadrticas. Por ltimo, presentamos material sobre la segmentaria cbica, la cual es la versin ms co-mn y til en la prctica de la ingeniera.

F I G U R A 1 8 . 1 5 \i La tcnica de dibujo.al usar

una segmentaria para dibujar curvas suaves a travs de una serie de

. puntos. Observe cmo en los puntos extremo, la segmentaria trata de

', enderezarse. Esto es J conocido como ua 1 segmentaria "natural".

5 2 6 INTERPOLACIN

18 .6 . 1 Segmentar ias l ineales

La conexin ms simple entre dos puntos es por medio de una lnea recta. Las segmentarias de primer orden para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales,

f(x) = f(xo) +m0(x - x 0 )

/ ( x ) = / ( x i ) +nn(x - x i )

xo < x '< xi

Xi x < Xi

f(x) = / ( x - j ) + m-\(x - x_ i ) x_i < x < x

donde m es la pendiente de la lnea recta que conecta los puntos:

/(*/ + !) - f(x)

x+i x (18.27)

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la funcin en cualquier punto entre x 0 y xn para localizar primero el intervalo dentro del cual est el punto. Despus se usa la ecuacin adecuada para determinar el valor de la funcin dentro del intervalo. El mtodo es obviamente idntico al de la interpolacin lineal.

EJEMPLO 18 .8 Segmentarias de primer orden

Enunciado del problema. Ajuste los datos de la tabla 18.1 con segmentarias de pri-mer orden. Evale la funcin enx = 5.

Solucin. Se puede usar los datos para determinar las pendientes entre puntos. Por ejemplo, para el intervalo x = 4.5 a x = 7 la pendiente se puede calcular mediante la ecuacin (18.27):

2.5 - 1 7 - 4 . 5

= 0.60

Las pendientes para los otros intervalos se pueden calcular y las segmentarias resultantes de primer orden se grafican en la figura 18.16a. El valor enx = 5 es 1.3.

T A B L A 18 .1 Datos para ser ajustados con funciones segmentarias.

3.0 4.5 7.0 9.0

f(x)

2.5 1.0 2.5 0.5

Una inspeccin visual a la figura 18.16a indica que la principal desventaja de las segmentarias de primer orden es que no son suaves. En esencia, en los puntos donde dos segmentarias se encuentran (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. En trminos formales, la primera derivada de la funcin es discontinua en esos puntos. Esta deficiencia se resuelve al usar segmentarias polinomiales de orden superior que asegu-ren suavidad en los nodos al igualar derivadas en esos puntos, como se analiza en la siguiente seccin.

1 8 . 6 . 2 Segmentar ias cuadrticas

Para asegurar que las derivadas m-simas son continuas en los nodos, se debe usar una segmentaria de al menos m + 1 orden. A menudo se usan con ms frecuencia en la prctica los polinomios de tercer orden o segmentarias cbicas para asegurar derivadas

F I G U R A 1 8 . 1 6 Ajuste segmentario de un conjunto de cuatro puntos, a) Segmentaria lineal, b) segmentaria cuadrtica y c] segmentaria cbica, se grfica tambin con una interpolacin polinomial cbica.

Segmentaria de primer orden

10 x

Segmentaria de segundo orden

0 I 1 1 | L J L

b)

' o

Segmentara cbica

\ Interpolacin

cbica

f

5 2 8 INTERPOLACIN

continuas de primer y segundo orden. Aunque las derivadas de tercer orden y mayor podran ser discontinuas cuando se usa segmentarias cbicas, usualmente no puede detectarse en forma visual y en consecuencia son ignoradas.

Debido a que la obtencin de segmentarias cbicas est algo involucrada, la hem* escogido en una seccin subsecuente. Hemos decidido primero ilustrar el cor.cpto e j interpolacin segmentaria mediante polinomios de segundo orden. Esas "segmentis j cuadrticas" tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque las segmentaras cuadrticas no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, '"en muy ben pa | demostrar el procedimiento general en el desarrollo de segmentarias de o. jen superior.

El objetivo de las segmentarias cuadrticas es derivar un polinomio de segundo or-den para cada intervalo entre datos. El polinomio para cada intervalo se puede represen-tar de manera general como

f,(x) = cnx2 + bix + ci (18.28) La figura 18.17 ha sido incluida para ayudar a clarificar la notacin. Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2 n) existen n intervalos y, en consecuencia, 3n constantes desconocidas (las a,byc) por evaluar. Por tanto, se requieren 3 ecuaciones o condiciones para eva-luar las incgnitas. stas son:

1 . Los valores de la funcin de polinomios adyacentes deben ser iguales a los nodos interiores. Esta condicin se puede representar como

a-xx}_x + + c,-i = /(*,_!) (18-29)

axf_l + bx-[ + c = /(*,_ i) (18.30)

para / = 2 a n. Como slo se usa nodos interiores, las ecuaciones (18.29) y (18.30) proporcionan cada una n 1 condiciones del total de 2n 2.

F I G U R A 1 8 . 1 7 Notacin usada para derivar segmentarias cuadrticas. Observe que hay n intervalos y n + 1 datos. El ejemplo mostrado es para n = 3.

a,)? + bfX+ c-

Intervalo 1

Intervalo 2 * Intervalo 3

_j 1 , 1 1 * 0 * 1 * 2 * 3 *

; = 0 / = 1 1-2 / = 3

18.6* I N T E R P O L A C I N S E G M E N T A R I A 1 9 9

2. Las primera y ltima funciones deben pasar a travs de los puntos extremo. Esto agrega dos ecuaciones adicionales:

a\xl + bix0 + c\ = f(x0) (18.31)

ax2n + bnx +c- f(xn) (18.32)

para un total de 2n 2 + 2 = 2n condiciones. 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primera deri-

vada de la ecuacin 18.28 es

f\x) = 2ax + b

Por tanto, la condicin se puede representar de manera general como

2a-\x,-\ + b-[ = 2aXi-\ + b (18.33)

para i = 2 a n. Esto proporciona otras n 1 condiciones para un total de 2n + n 1 = 3 1. Como se tiene 3n incgnitas, se tiene una condicin corta. A menos que tengamos alguna informacin adicional con respecto a las funciones o sus deri-vadas, debemos tomar una seleccin arbitraria para calcular de manera exitosa las constantes. Aunque hay un nmero de elecciones diferentes que se pueden tomar, seleccionamos la siguiente:

4 . Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como la segunda derivada de la ecuacin 18.28 es 2a, esta condicin se puede expresar matemtica-mente como

i = 0 (18.34)

La interpretacin visual de esta condicin es que los dos primeros puntos se conec-tarn con una lnea recta.

EJEMPLO 18 .9 Segmentarias cuadrticas

j Enunciado del problema. Ajustar por medio de segmentarias cuadrticas los mismos ! datos que se usaron en el ejemplo 18.8 (vase tabla 18.1). Use los resultados para calcu-\ lar el valor enx = 5.

| Solucin. Para este problema, se tienen 4 datos con n 3 intervalos. Por tanto, 3(3) = \ 9 incgnitas por ser determinadas. Las ecuaciones (18.29) y (18.30) dan 2(3) 2 = 4 i condiciones:

1 2 0 . 2 5 a i + 4 . 5 & 1 + c i = 1.0 I 20.25(32 + 4.572 + c 2 = 1.0

j 49a 2 + 7 /7 2 + c 2 = 2.5 J 49a 3 + 7fo3 + c 3 = 2.5

Evaluando a las funciones primera y ltima en los valores inicial y final se agregan 2 ecuaciones mes [vase ecuacin (18.31)]:

5 3 0 INTERPOLACIN

9a! +3b> + c i = 2.5

y [vase ecuacin (18.32)]

81a 3 + 9 > 3 + c 3 = 0.5

La continuidad de las derivadas crea un adicional de 3 1 = 2 [vase ecuacin (18.33)]:

9[ + b\ = 9a2 4- b2 14a 2 + >2 = 14a 3 + >3

Por ltimo, la ecuacin (18.34) especifica que ax 0. Como esta ecuacin especifica a de manera exacta, el problema se reduce a la resolucin de ocho ecuaciones simultneas. Estas condiciones se pueden expresar en forma matricial como

4.5 1 0 0 0 0 0 0 " 1 0 0 20.25 4.5 1 0 0 0 C\ 1 0 0 49 7 1 0 0 0 a 2 2.5 0 0 0 0 0 49 7 1 b2 2.5 3 1 0 0 0 0 0 0 C2 2.5 0 0 0 0 0 81 9 1 a 3 0.5 1 0 - 9 - 1 0 0 0 0 0 0 0 14 1 0 - 1 4 - 1 0 C'3 0

Esas ecuaciones se pueden resolver mediante las tcnicas de la parte tres, con los resul-tados:

i = 0 b\ = 1 c\ = 5.5

a2 = 0.64 b2 = - 6 . 7 6 c2 = 18.46

a 3 = - 1 . 6 3 = 2 4 . 6 -3 = - 9 1 . 3

las cuales pueden sustituirse en las ecuaciones cuadrticas originales para desarrollar la siguiente relacin para cada intervalo:

/,(.v) = jr + 5.5 3 . 0 < x < 4 . 5

f2(x) = 0.64A- 2 - 6.76JT + 18.46 4.5 < x < 7.0

/ 3(.v) = - 1 . 6 x 2 + 24.6x - 91.3 7.0 < x < 9.0

Cuando se u s a ^ , la prediccin para x = 5 es, por tanto,

/ 2 ( 5 ) = 0.64(5) 2 - 6.76(5) + 18.46 = 0.66

El ajuste total por segmentarias se ilustra en la figura 18.166. Observe que hay dos desventajas que se alejan del ajuste: 1) la lnea recta que conecta los primeros dos puntos y 2) la segmentaria para el ltimo intervalo parece oscilar demasiado. Las segmentarias cbicas de la siguiente seccin no exhiben estas desventajas y, en consecuencia, son

i

18 .6 .3 Segmentaria cbicas

El objetivo en las segmentarias cbicas es obtener un polinomio de tercer orden part cada intervalo entre los nodos, como en

f (JC) = a/.v3 + bx2 + cx + d-, (18.35)

As, para n + 1 datos (i 0, 1, 2 , . . . , n), existen n intervalos y, por consiguiente, 4 incgnitas constantes para evaluar. Como con las segmentarias cuadrticas, se requieren 4 H condiciones para evaluar las incgnitas. stas son:

1 . Los valores de la funcin deben ser iguales en los nodos interiores (2 2 condi-ciones).

2. La primera y ltima funciones deben pasar a travs de los puntos extremo (2 condi-ciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales ( 1 condiciones). 4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales ( 1 condiciones). 5. Las segundas derivadas en los nodos extremo son cero (2 condiciones).

La interpretacin visual de la condicin 5 es que la funcin se vuelve una lnea recta en los nodos extremo. La especificacin de tal condicin extremo nos lleva a lo que se denomina como segmentaria "natural". Se le da este nombre debido a que el dibujo segmentario se comporta en esta forma (vase figura 18.15). Si el valor de la segunda derivada en los nodos extremo no es cero (es decir, existe alguna curvatura), esta informacin se puede usar de manera alterna para suministrar las dos condiciones finales.

Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan un total de 4n ecuaciones requeridas para resolver los An coeficientes. Mientras sea ciertamente posible desarro-llar segmentarias cbicas en esta forma, presentamos una tcnica alterna que requiere la solucin de slo n 1 ecuaciones. Aunque la obtencin de este mtodo (vase cuadro 18.3) es algo menos directo que para las segmentarias cuadrticas, la ganancia en efi-ciencia bien vale el esfuerzo.

La derivacin del cuadro 18.3 resulta en la siguiente ecuacin cbica para cada intervalo:

r / \ f"(Xi~l) , x 3 , fi (Xi) , N 3

fi(x) = 7 - 1 Ax - xY + -(x - Xi-xY

f(*i- /"(*/-! )(*/ - X-'

+

x Xi-\ 6

/(*/) f"(Xi)(Xj -Xj.Q

Xi 6

(x - x)

( A - X , - , ) (18.36)

Esta ecuacin contiene slo dos incgnitas (las segundas derivadas al final de cada inter-valo). Esas incgnitas se pueden evaluar mediante la siguiente ecuacin:

(x - * _ I ) / V - ) + 2 ( x , + 1 - x , _ , ) / U ) + (JCi+i - x,)f"(x+l)

6 -/(*,)]+ _6 \f(x- - f{x)] ( 1 8 . 3 7 ) X + \ X X Xj-\

532 INTERPOLACIN

C u a d r o 1 8 . 3 D E R I V A C I N D E S E G M E N T A R I A S C B I C A S

]a derivacin (Cheney y Kincaid, 1985) se 1.1 primer paso er>^ j o n d e c o m o c a d a p a r d e n o d o s s e c o t l e c t a biisii en la observa e g u n d a derivada dentro de cada intervalo es por una cbica, la > e c u a c i n ( 1 8 3 5 ) s e p u e d e diferenciar dos una linea recta. L* e s t a o b s e r v a c i n . C o n e s t a b a s 6 ; ) a s e g unda voces para verifica p r e s e n t a r con una interpolacin polinomial derivada se puede Qrden [vase e c u a d n (,g 22)]. de Lagrange de prv

x x f\x) = f!Xx^>Xi-l ~Xi

+ fi(M)- X-1 Xi - x.

(B18.3.1)

jot de la segunda derivada en cualquier pun-onde f"(x) es el V i n t e r valo . As, esta ecuacin es una lnea lo x dentro de i-sV g e g u n d a d erivada en el primer nodo/"(*,_i) recta que conecta 1 * ^ n e , s e g u n d o n o d o f , ( x ) _ con la segunda d e f ^ c i n ( B 1 8 3 j) s e p u e d e integrar dos veces

Despus, la e e s o n p a r a ^ i n e m D a r g 0 ; e s t a e x p r e . para obtener una n s t a n t e s desconocidas de integracin. Esas Hin contendr dos e v a l u a r a l l l a m a r a l a f u n c i n d e condicio-constantes se pued* ) d e b e s e r g u a l a f ( x t ) e n ^ y f ( x ) d e b e nos de igualdad / A 1 r e a i z a r e s t a s evaluaciones, resulta la ser igual &f(xt) en % b i c a : siguiente ecuacin 6

f!Xx fi(X) =

(x - xY + f'M)

6(x Xi-

f'XxMxi-Xi-i)'

:(-v-.v,_]r

(x - x)

(X - A V - l )

(B 18.3.2)

esta relacin es una expresin mucho ms j Ahora, es claro qu^ ^ ^ ^ ^ cbica para el -simo interva-

compheada para ufl u a c i o n ( 1 8 3 5 ) s i n e m b a r g 0 , observe que lo que, digamos, la 0

, , ,

contiene solo dos "coeficientes" desconocidos, las segundas de-rivadas al inicio y al final del intervalo fXx_,) y/"(*,). De esta forma, si podemos determinar la segunda derivada adecua-da en cada nodo, la ecuacin (B 18.3.2) es un polinomial de ter-cer orden que se puede usar para interpolar dentro del intervalo.

Las segundas derivadas se evalan al llamar las condicio-nes de que las primeras derivadas en los nodos deben ser conti-nuas:

(B18.3.3)

La ecuacin (B18.3.2) puede diferenciarse con el fin de dar una expresin para la primera derivada. Si esto se hace tanto para el (/' l)-simo, como para /-simo intervalo y los dos resultados se igualan de acuerdo con la ecuacin (B18.3.3), resulta la si-guiente relacin:

(x - A - ; - I ) / " ( . Y ; - I ) + 2 ( J : / + I - x-i)f"(x) + (Xi + \ -Xi)f"(x + \)

6 [f(xl+l) - f(X)] Xi + \ x + IftXi-l) - f(Xi)]

Xi X \ (B18.3.4)

Si la ecuacin (B18.3.4) se escribe para todos los nodos interio-res, n 1 ecuaciones simultneas resultan con n + 1 segundas derivadas desconocidas. Sin embargo, ya que sta es una segmentaria cbica natural, las segundas derivadas en los nodos extremo son cero y el problema se reduce a n 1 ecuaciones con n 1 incgnitas. Adems, observe que el sistema de ecua-ciones ser tridiagonal. As, no slo redujimos el nmero de ecua-ciones, sino que las forjamos en una forma que es en extremo fcil de resolver (recuerde la seccin 11.1.1).

Si esta ecuacin es descrita para todos los nodos interiores, resulta n 1 ecuaciones simultneas con n 1 incgnitas. (Recuerde que las segundas derivadas en los nodos extremo son cero.) La aplicacin de esas ecuaciones se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPl? 18 .10 Segmentarias cbicas

Enunciado del problema. Ajuste por segmentarias cbicas los mismos datos que se usaron en los ejemplos 18.8 y 18.9 (vase tabla 18.1). Utilice los resultados para estimar el valor en x = 5.

Solucin, lil primer paso es emplear la ecuacin (18.37) para generar un conjunto de ecuaciones simultneas que sern utilizadas para determinar las segundas deriviiduN en los nodos. Por ejemplo, para el primer nodo interior se usan los siguientes datos:

= 3 f(x0) = 2.5

X\ = 4.5 1

X2 = 7 f(X2) = 2.5

Estos valores pueden sustituirse en la ecuacin (18.37) para dar

(4.5 - 3)/"(3) + 2(7 - 3)/"(4.5) + (7 - 4.5)/"(7) 6 6

: ( 2 . 5 - D + - ( 2 . 5 - 1 ) 1 7 - 4 . 5 4 . 5 - 3 j | Debido a la condicin de la segmentaria natural,/"(3) = 0, y la ecuacin se reduce a

| 8/"(4.5) + 2.5/"(7) = 9.6 | En una forma similar, la ecuacin (18.37) se aplica al segundo punto interior para ob-i tener

j 2.5/"(4.5) + 9/"(7) = - 9 . 6

| Estas dos ecuaciones pueden resolverse simultneamente para dar j /"(4.5) = 1.67909 | f " { l ) = - 1 . 5 3 3 0 8 | Estos valores se sustituyen entonces en la ecuacin (18.36), junto con los valores de las x y las/(x), para obtener I 1.67909 , 2.5 | Mx) = (x - 3) 3 + (4.5 - x )

J 6 ( 4 . 5 - 3 ) 4.5 -3 ' 1 1.67909(4.5 - 3)

(x - 3) _ 4 . 5 - 3 6

o

/ i ( x ) = 0.186566 (x - 3 ) 3 + 1.666667(4.5 - x ) + 0.246894 (x - 3)

Esta ecuacin es la segmentaria cbica para el primer intervalo. Sustituciones similares se pueden hacer para desarrollar las ecuaciones para el segundo y tercer intervalo:

/ 2 ( x ) = 0.111939(7 -xf - 0 . 102205 (x - 4.5) 3 - 0.299621(7 - x ) + 1.638783(x - 4 . 5 )

y

/,(*) = -0 .127757 (9 - x ) 3 + 1.761027(9 - x) +().25(x - 7)

534 INTERPOLACIN

Se puede emplear las tres ecuaciones para calcular los valores dentro de cada intervalo. Por ejemplo, el valor enx = 5, el cual est dentro del segundo intervalo, se calcula como

/ 2 (5) = 0.111939(7 - 5 ) 3 -0 .102205(5 - 4.5) 3 - 0.299621(7 - 5)

+ 1.638783(5 - 4.5) = 1.102886

Se calculan otros valores y los resultados se grafican en la figura 18.16c.

Los resultados dlos ejemplos 18.8 a 18.10 se resumen en la figura 18.16. Observe la mejora progresiva del ajuste conforme nos movemos de lineales a cuadrticas y a segmentarias cbicas. Tambin hemos sobrepuesto un polinomio de interpolacin cbi-ca sobre la figura 18.16c. Aunque la segmentaria cbica consiste en una serie de curvas de tercer orden, la resultante difiere de la obtenida al usar el polinomio de tercer orden. Esto se debe al hecho de que la segmentaria natural no requiere de segundas derivadas en los nodos extremo, mientras que el polinomio cbico no tiene tal restriccin.

1 8 . 6 . 4 Algor i tmo de cmputo para segmentar ias cbicas

El mtodo para calcular segmentarias cbicas, descrito en la seccin anterior, es ideal para la implementacin en computadora. Recuerde que, con algunas manipulaciones inteligentes, el mtodo se reduce a la resolucin de n 1 ecuaciones simultneas. Un beneficio extra de la derivacin implica, como lo especifica la ecuacin (18.37), que el sistema de ecuaciones es tridiagonal. Como se describi en la seccin 11.1, los algoritmos estn disponibles para resolver tales sistemas en una manera en extremo eficiente. La figura 18.18 muestra una estructura computacional que incorpora esas caractersticas.

Observe que la rutina en la figura 18.18 regresa slo un valor interpolado, yu, para un valor dado de la variable dependiente, xu. sta es slo una forma con la cual se puede implementar la interpolacin segmentaria. Por ejemplo, a usted le gustara determinar ahora los coeficientes y despus realizar muchas interpolaciones. Adems, la rutina da tanto la primera derivada (dy) como la segunda (dy 2) en xu. Aunque no es necesario calcular esas cantidades, son tiles en muchas aplicaciones de la interpolacin segmentaria.

P R O B L E M A S

18.1 Estime el logaritmo de 5 de base 10 (log 5) mediante Interpolacin lineal. a) Interpole entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513. b) Interpole entre log4.5 = 0.6532125 y log 5.5 = 0.7403627.

Para cada una de las interpolaciones, calcule el porcentaje de error relativo con base en el error real. IH.2 Ajuste con'un polinomio de interpolacin de Newton de segundo orden para estimar log 5 por medio de los datos del problema 18.1. Calcule el error relativo porcentual real. I N..1 Ajuste con un polinomio de interpolacin de Newton de ter-oor orden para estimar log 5 usando los datos del problema 18.1.

18.4 Dados los datos

X 1 2 2.5 3 4 5

f|x) 1 5 7 8 2 1

a) Calcule/(3.4) mediante polinomios de interpolacin de Newton de orden 1 a 3. Escoja la secuencia de puntos para su estimacin con el fin de obtener la mejor exactitud posible.

b) Utilice la ecuacin (18.18) para estimar el error para cada prediccin.

I K.5 Dados los datos

PROBLEMA5 0 9 9

SUtKOUTINH bpllne (x,y.n,xu,yu,dy,d2y) LOCAL en fn qfi rn d2xn CALL Tridiag(x,y,n,e,f,g,r) CALL Decomp(e,f,g,n-1) CALL 5ubst(e,f,g,r,n-1,d2x) CALL lnterpo\(x,y,n,d2x,xu,yu,dy,d2y) END Spline

SU&ROUTINE Tridiag (x, y, n, e, f, g, r) f1 = 2*(xz-x0)

01 = F X 2 - X I )

r, = 6 / (x2-xx_^ANDxu

5 3 6 INTERPOLACIN

X 1 2 3 5 6

/|x) 4.75 4 5.25 19.75 36

Calcule f(A) usando polinomios de interpolacin de Newton de orden 1 a 4. Escoja sus puntos base para obtener una buena exac-titud. Qu le indican los resultados con respecto al orden que se us de los polinomios para generar los datos en la tabla? 18.6 Repita los problemas 18.1 hasta 18.3 mediante polinomios de Lagrange. 18.7 Repita el problema 18.5 usando el polinomio de Lagrange de orden 1 a 3. 18.8 Emplee interpolacin inversa usando interpolacin de polinomios cbica y biseccin para determinar el valor de x que corresponda a f(x) = 0.3 para los siguientes datos tabulados,

X 1 . 2 3 4 5 6 7

f(x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429

18.9 Emplee interpolacin inversa para determinar el valor de x que corresponda a f(x) = 0.93 para los siguientes datos tabula-dos,

X 0 1 2 3 4 5

f(x) 0 0.5 0.8 0.9 0.94117 6 0.961538

Observe que los valores en la tabla fueron generados con la fun-cin/(x) = x2l(\ + x2). a) Determine en forma analtica el valor correcto. b) Use interpolacin cuadrtica y la frmula cuadrtica para

determinar numricamente el valor. c) Use interpolacin cbica y biseccin para determinar el valor

de manera numrica. 18.10 Desarrolle segmentarias cuadrticas para los primeros 5 datos en el problema 18.4 y prediga/(3.4) y f(2.2). 18.11 Desarrolle segmentarias cbicas para los datos en el pro-blema 18.5, y a) prediga f(4) y7(2.5) y b) verifique que7^(3) y / 3 (3 ) = 5.25. 18.12 Determine los coeficientes de la parbola que pasa a tra-vs de los tres ltimos puntos del problema 18.4. 18.13 Determine los coeficientes de la ecuacin cbica que pasa a travs de los primeros cuatro puntos del problema 18.5. 18.14 Desarrolle, depure y pruebe un programa de prueba en un lenguaje de alto nivel o un lenguaje macro de su eleccin para

implementar interpolacin de polinomios de Newton con base en la figura 18.7. 18.15 Pruebe el programa que desarroll en el problema 18.14 para los mismos clculos del ejemplo 18.5. 18.16 Use el programa que desarroll en el problema 18.14 para resolver los problemas 18.1 hasta 18.3. 18.17 Use el programa que desarroll en el problema 18.14 para resolver los problemas 18.4 y 18.5. En el problema 18.4, utilice todos los datos para desarrollar polinomios de primer orden al quinto. Para ambos problemas, grafique el error estimado contra el orden. 18.18 Desarrolle, depure y pruebe un subprograma en lenguajes de alto nivel o en un lenguaje macro de su eleccin para imple-mentar interpolacin de Lagrange. Con base en el pseudocdigo de la figura 18.11. Prubelo con los mismos datos del ejemplo 18.7. 18.19 Una aplicacin til de la interpolacin de Lagrange es lla-mada tabla de consulta. Como su nombre lo implica, sta involucra "consultar" un valor intermedio de la tabla. Para desarrollar un algoritmo como tal, la tabla de x y los valores de f(x) se guardan primero en un par de arreglos unidimensionales. Esos valores se pasan entonces a una funcin junto con el valor de x que usted quiera evaluar. La funcin entonces ejecuta dos tareas. Primero, va por la tabla hasta que encuentra el intervalo dentro del cual est la incgnita. Despus se aplica una tcnica como la interpolacin de Lagrange para determinar el valor adecuado de f(x). Desarro-lle tal funcin usando un polinomio de Lagrange cbico para rea-lizar la interpolacin. Para valores intermedios es una excelente seleccin, ya que la incgnita estar ubicada en el intervalo me-dio de los cuatro puntos necesarios para generar la cbica. Sea cuidadoso con los intervalos primero y ltimo donde ste no es el caso. Tambin tenga su cdigo para detectar cundo requiere el usuario un valor fuera del rango de las x. Para tales casos, la fun-cin debera mostrar un error de mensaje. Pruebe su programa para f(x) = ln x mediante datos desde x = 0, 1, 2 , . . . , 10.

18.20 Desarrolle, depure y pruebe un subprograma en un len-guaje de alto nivel o un lenguaje macro de su eleccin para im-plementar interpolacin segmentaria cbica con base en la figura 18.18. Pruebe el programa con los mismos datos del ejemplo 18.10. 18.21 Use el software que desarroll en el problema 18.20 para ajustar segmentarias cbicas a travs de los datos en los proble-mas 18.4 y 18.5. Para ambos casos, prediga/(2.25).

CAPTULO 19

Aproximacin de Fourier

Hasta aqu, nuestra representacin de interpolacin ha enfatizado los polinomios estndar (es decir, combinaciones de los monomios 1, x, x2,..., x (vase figura 19.1a). Ahora veremos otra clase de funciones que son de mucha importancia en la ingeniera. stas son las funciones trigonomtricas 1, cosx, eos 2x,..., eos nx, sen x, sen 2x,..., sen nx (figura 19.16).

Los ingenieros con frecuencia tratan con sistemas que oscilan o vibran. Como po-dra esperarse, las funciones trigonomtricas juegan un papel importante en el modelado de tales problemas en contexto. La aproximacin de Fourier representa un esquema sis-temtico al usar series trigonomtricas para este propsito.

F I G U R A 1 9 . 1 Los primeros cinco a) monomios y b) funciones trigonomtricas. Observe que para los intervalos mostrados, ambos tipos de funcin tienen un valor de rango entre - 1 y 1. Sin embargo, note que los valores pico para los monomios ocurren todos en los extremos, mientras que para las funciones trigonomtricas los picos estn ms uniformemente distribuidos a travs del intervalo.

eos 2/

5 3 8 APROXIMACIN DE FOURIER

Una de las caractersticas de un anlisis de Fourier es que trata con ambos dominios: el tiempo y la frecuencia. Como algunos ingenieros no se sienten muy cmodos con el ltimo, se ha desarrollado una larga fraccin del material subsecuente para una revisin general de la aproximacin de Fourier. Un aspecto importante de esta revisin ser fami-liarizarse con el dominio de la frecuencia. Esta orientacin es despus seguida por una introduccin a los mtodos numricos para calcular transformadas de Fourier discretas.

1 9 . 1 A J U S T E P E C U R V A S C O N F U N C I O N E S S I N U S O I D A L E S

Una funcin peridica f(i) es una para la cual

/ ( r) = f(t + T) (19.1)

F I G U R A 1 9 . 2 Adems de las funciones trigonomtricas tales como senos y cosenos, las funciones peridicas incluyen formas de onda como lo son a] la onda cuadrada y b) la onda de dientes de sierra. Ms all de estas formas idealizadas, las seales peridicas en naturaleza pueden ser c) no ideales y d] contaminadas por ruido. Las funciones trigonomtricas se pueden usar para representar y analizar todos estos casos.

a)

T H

b)

*

* 7 " H

c)

i

19 .1 A J U S T E D E C U R V A S C O N F U N C I O N E S S I N U S O I D A L E S S t f

donde Tes una constante llamada periodo, que es el valor ms pequeo para el cunl ON vlida la ecuacin (19.1). Ejemplos comunes incluyen formas en onda tales como cua-dradas y dientes de sierra (vase figura 19.2). Las ms fundamentales son las funciones sinusoidales.

En el presente anlisis se usar el trmino sinusoide para representar cualquier for-ma de onda que se pueda describir como un seno o coseno. No existe una convencin muy clara para escoger alguna funcin, y en cualquier caso, los resultados sern idnti-cos. Para este captulo se usar el coseno, el cual se puede expresar de manera general como

As, cuatro parmetros sirven para caracterizar el sinusoide (vase figura 19.3). El valor medio A0, ajusta la altura promedio por arriba de la abscisa. La amplitud Cj especifica la

F I G U R A 1 9 . 3 o) Una grfica de la funcin sinusoidal y(f) = AQ + Cj eos [COQ + 6). Para este caso, AQ = 1.7, C, = 1, OQ = 2K/T= 2JI/|1 .5 s), y 0 = jt/3 radianes = 1.0472 (= 0.25 s). Otros parmetros usados para describir la curva son la frecuencia f = 13/(271), la cual para este caso es 1 ciclo/(l .5 s), y el periodo T= 1.5 s. b| Una expresin alterna para la misma curva es y[f = AQ + A- eos (r/) + 8] sen (ca^ f). Los tres componentes de esta funcin son lustrados en b), donde A, = 0.5 y 8] = -0 .866 . La sumatoria de las tres curvas en b) da la curva simple en a).

f(t) = A0 + Ci eos (&>o + 0) (19.2)

2TC

2 -

- 1

0

6, sen (ffibO

A, eos (cob)

840 APROXIMACIN DE FOURIER

F I G U R A 1 9 . 4 Ilustraciones grficas de o) un ngulo de fase en retraso y b) un ngulo de fase adelantado. Observe que la curva en atraso en o) puede describirse de manera alterna como eos [COQ + 3TI/2|. En otras palabras, si una curva se atrasa por un ngulo de a, tambin se puede representar como adelanto por 2n - a.

altura de la oscilacin. La frecuencia angular co0 caracteriza con qu frecuencia ocurren los ciclos. Finalmente, el ngulo de fase, o corrimiento de fase 9, parametriza la exten-sin a la cual el sinusoide es corrido horizontalmente. Puede ser medido como la distan-cia en radianes de t = 0 al punto en el cual la funcin coseno comienza un nuevo ciclo. Como se ilustra en la figura 19.4a, un valor negativo es referido como un ngulo de fase de atraso, ya que la curva eos ( o y 9) comienza un nuevo ciclo en 9 radianes despus de eos (Cfjt). As, eos (fifo 9) se dice que tiene un retraso eos (ot%r). En forma opuesta, como se muestra en la figura 19.46, un valor positivo es referido como un ngulo de fase adelantado.

Observe que la frecuencia angular (en radianes/tiempo) est relacionada con la fre-cuencia / (en ciclos/tiempo) por

c0 = 2xf (19.3) y la frecuencia en turno est relacionada con el periodo T (en unidades de tiempo) por

(19.4)

Aunque la ecuacin (19.2) es una caracterizacin matemtica adecuada de un sinusoide, es difcil trabajar desde el punto de vista de la curva que habr de ajustarse, ya

i T i I A J U B I B PB tUKVAB CON rUNCIONM f 1NU80IDAJ8 que el adelanto de la fase est incluido en el argumento de la funcin coseno. Esta defi-ciencia se puede resolver al involucrar la identidad trigonomtrica

Cj eos (cu0f + 9) = Cj [eos (C,) eos (9) - sen (ciy) sen (9)] (19.5)

Sustituyendo la ecuacin (19.5) en la (19.2) y mediante la agrupacin de trminos se obtiene (vase la figura 19.36)

f(t) = A0 + Ax eos (ct^) + Bx sen ( a y ) (19.6)

donde

Ax = Cj eos (9) Bx = - C , sen (9) (19.7)

Dividiendo las dos partes de la ecuacin (19.7) se obtiene

9 = a r c t a n ^ - - ^ (19.8)

donde, si Ax < 0, agregue 7ra 9. Si se eleva al cuadrado y se suma la ecuacin (19.7) se tiene

C [ = J\ + B2 (19.9) As, la ecuacin (19.6) representa una formulacin alterna de la ecuacin (19.2) que todava requiere cuatro parmetros, pero que se encuentra en el formato de un modelo lineal general [recuerde la ecuacin (17.23)]. Como se analizar en la^prxima seccin, se puede simplemente aplicar como la base para un ajuste por mnimos cuadrados.

Sin embargo, antes de proceder con la prxima seccin, se debera resaltar que se podra haber empleado un seno ms que un coseno como nuestro modelo fundamental de la ecuacin (19.2). Por ejemplo,

= A0 + C, sen ()0? + 5)

podra haberse usado. Se puede aplicar relaciones simples para convertir entre las dos formas

/ n sen (co0f + 8) = eos I co^t + 8

eos (co0 + 9) = sen \^co0t + 9 + -j-j (19.10)

En otras palabras, 9=8 n/2. La nica consideracin importante es que uno u otros formatos deberan usarse en forma consistente. As, usaremos la versin coseno en todo nuestro anlisis. 19 .1 .1 Ajuste por mnimos cuadrados de un s inusoide La ecuacin (19.6) puede ser pensada como un modelo lineal de mnimos cuadrados


y=A0 + Ax eos (co0t) 4- Bx sen (coQt) + e (19.11)

la cual es justamente otro ejemplo del modelo general [recuerde la ecuacin (17.23)]

y aQz0 + a , Z | + a2z2 H ra,zm + e (17.23)

donde z 0 = 1, zl = eos (co0f), z 2 = sen ( G ) 0 ) y todas las otras z = 0. As, nuestra meta es determinar los valores del coeficiente que minimicen

N Sr = 2 {yi -[Aq + A eos (co0,.) + Bx sen (c0t) X eos ( O 0 ) sen (

19,1 A J U S T E D E C U R V A S C O N F U N C I O N E S S I N U S O I D A L E S 543

4> = -^7- (19.14) N

, = X y c o s ( f l W ) (19.15) N

Bx = ly sen (co0t) (19.16) N

EJEMPLO 19.1 Ajuste por mnimos cuadrados de un sinusoide

[ Enunciado del problema. La curva en la figura 19.3 se describe por y 1.7 + eos (4.189 + 1.0472). Genere 10 valores discretos para esta curva en intervalos de Ai = 0.15 para el rango de t = 0 a 1.35. Use esta informacin para evaluar los coeficientes de

j la ecuacin (19.11) por ajuste de mnimos cuadrados.

1 Solucin. Los datos requeridos para evaluar los coeficientes con ( = 4.189 son

t y y eos (io0f) y sen (io0f) 0 2.200 2.200 0.000 0.15 1.595 1.291 0.938 0.30 1.031 0.319 0.980 0.45 0.722 -0.223 0.687 0.60 0.786 -0.636 0.462 0.75 1.200 -1.200 0.000 0.90 1.805 -1.460 -1.061 1.05 2.369 -0.732 -2.253 1.20 2.678 0.829 -2.547 1.35 2.614 2.114 -1.536

1= 17.000 2.502 -4.330 Estos resultados se pueden usar para determinar [vase ecuaciones (19.14) a (19.16)]

17.000 2 2 A0 = ^ = 1.7 A, = ^ 2 . 5 0 2 = 0.500 Bx = ( - 4 . 3 3 0 ) = -0 .866

De esta manera, el ajuste por mnimos cuadrados es

y= 1.7 + 0.500 eos (co0t) - 0.866 sen (c%t)

El modelo se puede expresar tambin en el formato de la ecuacin (19.2) al calcular [vase ecuacin (19.8)]

/ - 0 . 8 6 6 \ 9 = arctan - = 1.0472

V 0.500 / y [vase ecuacin (19.9)]

Cj = s/(0.5)2 + ( -0 .866) 2 = 1.00 para dar


y = 1.7 + eos (coot + 1.0472)

o alternativamente como un seno usando la [ecuacin (19.10)]

y = 1.7 + sen ()0r + 2.618)

El anlisis anterior se puede extender al modelo general

f(t) A0 + Ax eos (fi)0f) + Bx sen (a>Qt) + A2 eos (2co0) + B2 sen (2(O0f) H h A m eos (mcQt) + Bm sen (mco0t)

donde, para datos igualmente espaciados, los coeficientes pueden ser evaluados por

ly A0 = N

A = ly eos (Jo)0t) N 2

Bj = ly sen (Jco0t)

j = 1,2, . . . , /n

Aunque estas relaciones se pueden usar para ajustar datos en el sentido de regresin (esto es, N > 2m + 1), una explicacin alternativa es emplearlos para interpolacin o colocacin (es decir, usarlos para el caso donde el nmero de incgnitas, 2m + 1, sea igual al nmero de datos, N. ste es el procedimiento usado en la serie de Fourier conti-nua, como se describir a continuacin.

1 9 . 2 S E R I E D E F O U R I E R C O N T I N U A

En el curso del estudio de problemas de flujo de calor, Fourier demostr que una funcin peridica arbitraria, se puede representar por medio de una serie infinita de sinusoides de frecuencias relacionadas de manera armnica. Para una funcin con un periodo T, una serie de Fourier continua se puede escribir1

f(t) a0 + ax eos (fty) + bx sen (to0) + a2 eos ( 2ay ) + b2 sen (2tt^) + ...

o de manera ms concisa,

f(t)= a0 + 2 [ak eos (katf) + bk sen (ko^t)] (19.17)

donde COQ = 2r t / res llamada la frecuencia fundamental y sus mltiplos constantes 2(0$, 3cb, etctera, son llamados armnicos. De esta forma, la ecuacin (19.17) expresaf(t) como una combinacin lineal de las funciones base: 1, cos(a\,f), sen (u^), c o s (2&V)' sen (2fi) 0 r), . . .

La existencia de las series de Fourier esl releridn en Ins condiciono de Dirichlol, Ins cunlos ospeci llcim que la funcin peridica licnc un nmero finito de mximos y mnimos y quo liuy un nmero finito do niln dlicontlnuoi. En general, lodi lai funeionei perldloii derlvidw fliioamtntc utUtiotn ntii oondlolonei.

19.2 SERIE DE FOURIER CONTINUA 0 4 1

Como se describe en el cuadro 19.1, los coeficientes de la ecuacin (19.17) se pue-den calcular por medio de

f f(t) eos (kco0t) dt (19.18) Jo

2_


EJEMPLO 19.2 Aproximacin de la serie de Fourier continua

! Enunciado del problema. Use la serie de Fourier continua para aproximar la funcin | de onda cuadrada o rectangular (vase la figura 19.5)

1 F - 1 -T/2

19.2 SERIE DE FOURIER CONTINUA' 41

\ 1 COS(flb) \ 1 n

x ^-COS(OJbf ) A k ^-COS(OJbf ) \0y V y Y

b)

y1 nacin n n n / i

\ / V / Y /

1 U U \ A A /

c)

F I G U R A 1 9 . 6 La aproximacin de la serie de Fourier de la onda cuadrada a partir de la figura 19.5. La serie de trazos muestra la sumatoria hasta e incluyendo los trminos a) primero, b) segundo y c tercero. Se muestran tambin los trminos individuales que se fueron agregando en cada etapa.

Debe mencionarse que a la onda cuadrada en la figura 19.5 se le llama funcin par, ya que f(t) = /(r). Otro ejemplo de una funcin par es eos (). Se puede demostra i (Van Valkenburg, 1974) que las b en la serie de Fourier siempre son igual a cero par funciones pares. Observe tambin que las funciones impares son aquellas para las C U U I C H f(t) = f(t). La funcin sen () es una funcin impar. Para este caso las a sern igual a cero.

I

APROXIMACIN DE FOURIER

Adems del formato trigonomtrico de la ecuacin (19.17), la serie de Fourier se puede expresar en trminos de funciones exponenciales como (vase el cuadro 19.2 y el apndice A)

oo

f(t) = ckeikml (19.21)

donde i = H1 y

i rT'2

- 7 7 2

Esta formulacin alterna tendr utilidad a travs del resto del captulo.

1 rT/2 h = 7f / f(t)e-kuW dt (19.22)

J-T/2

1 9 . 3 F R E C U E N C I A Y D O M I N I O S D E T I E M P O

Hasta este punto, nuestro anlisis de la aproximacin de Fourier se ha limitado al domi-nio del tiempo. Esto se debe a que la mayora de nosotros nos sentimos cmodos al conceptualizar el comportamiento de una funcin en esta dimensin. Aunque no sea tan conocido, el dominio de la frecuencia proporciona una perspectiva alterna para caracte-rizar el comportamiento de funciones oscilatorias.

As, justo como la amplitud contra tiempo se puede graficar, de igual manera tam-bin se puede hacer contra la frecuencia. Ambos tipos de expresin se ilustran en la figura 19.7a, donde se ha dibujado una grfica en tres dimensiones de una funcin sinusoidal,

f(t) = Cj eos (/ + | )

En esta grfica, la magnitud de la amplitud de la curva,/(r), es la variable dependiente, y las variables independientes son el tiempo t y la frecuencia/ = WQIIT. As, los ejes de la amplitud y el tiempo forman un plano tiempo, y los ejes amplitud y frecuencia forman un plano frecuencia. Por lo tanto, el sinusoide se puede concebir como si existiera a una distancia 1/7hacia afuera y a lo largo del eje de la frecuencia y corriendo paralelo a los ejes del tiempo. En consecuencia, cuando se habla acerca del comportamiento del sinusoide en el dominio del tiempo, queremos decir la proyeccin de la curva dentro del plano tiempo (vase la figura 19.1b). De manera similar, el comportamiento en el domi-nio de la frecuencia es meramente su proyeccin dentro del plano frecuencia.

Como se observa en la figura 19.7c, esta proyeccin es una medida de la amplitud positiva mxima del sinusoide Cj. La vuelta completa de pico a pico es innecesaria a causa de la simetra. Junto con la ubicacin \IT a lo largo del eje frecuencia, la figura 19.7c define ahora la amplitud y frecuencia del sinusoide. sta es una informacin sufi-ciente para reproducir la forma y tamao de la curva en el dominio del tiempo. Sin embargo, un parmetro ms, llamado ngulo de fase, es requerido para ubicar la curva relativa a t = 0. En consecuencia, se debe incluir un diagrama de fase, como el mostrado en la figura 19.7/. El ngulo de fase se determina como la distancia (en radianes) de cero al puni en el cuul ocurre el pico positivo. Si el pico ocurre despus de cero, se dice que

19,3 F R E C U E N C I A Y D O M I N I O S D I T I E M P O

C u a d r o 1 9 . 2 Forma compleja de las series de Four ier

I ,a forma trigonomtrica de la serie de Fourier continua es o

o o oo oo

f(t) = a0 + V [akcos(kco0t) + bksen(k)0t)] (B19.2.1) /(O = J^cte'^ + ] T c - ^ " ' * " * ' *= 1

A a i a . J a a tj i i J Para simplificar an ms, en lugar de sumar la segunda serie de A partir de la identidad de Euler, el seno y coseno se pueden , , , \ o . , 1 a , haga la suma de 1 a , expresar en torma exponencial como

senx = e " 6 " (B19.2.2) /(?) = ^ c ^ ' ' ^ 0 ' + ] T c-te''* 2' 4 = 0 k=-\

a , - a c o s x = ^ (B19.2.3)

2 las cuales se pueden sustituir en la ecuacin (B19.2.1) para dar

/(,) = V*1*' ( B 1 9. 2. 6 ) = ao + ^ (eika>>ak 4 . c-ika>nak donde la sumatoria incluye un trmino para k = 0.

t=j V 2 2 / Para evaluar lasclas ecuaciones (19.18) y (19.19) son sus-(B 19.2.4) tituidasenla ecuacin (B19.2.5) para obtener

1 fm 1 fm y a que 1 li = - /'. Podemos definir un nmero de constantes \ = / /(O eos (to 0 ) dt i I f(t) sen (oy) cf

/ ^-772 T J-m c0 a o Mediante las ecuaciones (B 19.2.2) y (B 19.2.3) y simplificando

. se obtiene ak-ibk

5 5 0 APROXIMACIN DE FOURIER

F I G U R A 1 9 . 7 o) Una ilustracin de cmo se puede dibujar un sinusoide en los dominios del tiempo y la frecuencia. Se reproduce la proyeccin del tiempo en b, mientras que la proyeccin de la amplitud-frecuencia se reproduce en c). La proyeccin fase-frecuencia se muestra en a1).

valor verdadero. Por ejemplo, la figura 19.9 muestra la lnea de fase espectral y amplitud para una funcin de onda cuadrada como la del ejemplo 19.2.

Tal espectro proporciona informacin que no podra ser aparente desde el dominio del tiempo. Esto se puede ver al contrastar las figuras 19.6 y 19.9. La figura 19.6 repre-senta dos perspectivas alternas tiempo-dominio. La primera, la onda cuadrada original, no nos indica nada acerca de las sinusoides comprendidas. La alternativa es mostrar esas sinusoides [es decir, (4/rc) eos (6%f), (4/3n) eos (3u0r), (4/57t) eos (5G)0r)], etctera. Esta alternativa no proporciona una visualizacin adecuada de la estructura de esas ar-mnicas. En contraste, las figuras 19.9a y 19.96 proporcionan una visualizacin grfica de esta estructura. Como tal, la lnea espectral representa "huellas dactilares" que nos pueden ayudar a caracterizar y entender la forma complicada de una ond. Lillas son en particular valiosas para casos no idealizados donde algunas veoes nos permiten discernir

19.3 FRECUENCIA Y DOMINIOS DE TIEMPO

F I G U R A 19 .8 Varias fases de un sinusoide mostrando la fase asociada a la lnea espectral.

r n i

->;|

7C

t r~

F I G U R A 1 9 . 9 a) Amplitud y b) lnea de fase espectral para la onda cuadrada de la figura 19.5.

4/it 2/J I

J_ 3


la estructura en otra forma como seales oscuras. En la siguiente seccin se describir la transformada de Fourier que nos permitir extender tal anlisis para ondas de forma no peridica.

1 9 . 4 I N T E G R

unidad_3

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