unidad1

Probabilidad Estadística Descriptiva

UNIDAD 1

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Inferencia Estadística:Estimación

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1.1 Conceptos de estadística y su clasificación.¿Qué es la estadística?Se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre el término y que cada vez está más extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, periódico, radio, televisión, etc, no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráfico, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etc.

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1.1 Conceptos de estadística y su clasificación.

"ESTADISTICA" se derivó de la palabra "ESTADO". La función de los gobiernos entre otras cosas es llevar los registros de población, nacimientos, cosechas, impuestos y toda la información que engloba el estado.La estadística es una ciencia aplicada de las matemáticas y es una valiosa herramienta para la toma de decisiones. Permite el estudio de fenómenos mediante la descripción del mismo a través de inferencias mediante distribuciones probabilísticas.

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1.1 Conceptos de estadística y su clasificación.

La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.

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1.1 Conceptos de estadística y su clasificación.Podríamos por tanto clasificar la Estadística:A. Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un

grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.

B. Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos de muestras, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

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1.2 Recopilación de datos Al recoger datos relativos a las características de un grupo de individuos u objetos, sean alturas y pesos de estudiantes de una universidad o tuercas defectuosas producidas en una fábrica, suele ser imposible o nada práctico observar todo el grupo, en especial si es muy grande. En vez de examinar el grupo entero, llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo, llamada muestra. Una población puede ser finita o infinita.

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1.2 Recopilación de datos POBLACION .- Agregado de unidades elementales, que poseen alguna característica o propiedades comunes. El estudio de toda la población constituye un CENSO. Una población puede ser finita o infinita. En relación al tamaño de la población, ésta puede ser:

Finita, como es el caso del número de personas que llegan al servicio de urgencia de un hospital en un día; y se conoce el tamaño N de la población.

Infinita, si por ejemplo estudiamos el mecanismo aleatorio que describe la secuencia de caras y cruces obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda al aire.

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1.2 Recopilación de datos MUESTRA .- Es una parte de la población. Se espera que la muestra sea representativa de la población, es decir reproduzca las características más importantes. El proceso de obtener la muestra de denomina MUESTREO.MUESTRA ALEATORIA .- cuando la muestra a sido obtenida empleando algún procedimiento del azar: sorteo, extracción al azar, números aleatorios, etc.

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1.3 Distribución de frecuencias.Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.Tipos de frecuencia:• Frecuencia absoluta• La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un

determinado valor en un estudio estadístico.• Se representa por fi.• La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que

se representa por N.

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1.3 Distribución de frecuencias.• Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma

mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

• Frecuencia relativa• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un

determinado valor y el número total de datos.• Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

• La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

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1.3 Distribución de frecuencias.• Frecuencia acumulada• La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los

valores inferiores o iguales al valor considerado.• Se representa por Fi.

• Frecuencia relativa acumulada• La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada

de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

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1.3 Distribución de frecuencias.EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

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1.3 Distribución de frecuencias.

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1.3 Distribución de frecuencias.Distribución de frecuencias agrupadasLa distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.Límites de la claseCada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.Amplitud de la claseLa amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

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1.3 Distribución de frecuencias.Marca de claseLa marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

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1.3 Distribución de frecuencias.2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos de queramos poner.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

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1.3 Distribución de frecuencias.Cuando se tenga dudas en determinar el numero de intervalos de clases, es degran utilidad utilizar el método sugerido por Hebert A. Sturges, el cual estableceque: K= 1+3,322 log(n) = numero de intervalos. En este curso se utilizará estemétodo siempre y cuando el mismo sea aplicable.

Determinamos la amplitud o tamaño de los intervalos través de la siguiente formula:

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1.3 Distribución de frecuencias.Un nuevo hotel va abrir sus puertas en una cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de la misma categoría de esta ciudad. Los datos obtenidos (en miles de pesos) fueron:

3.3 3.3 3.7 3.8 3.9 3.9 3.9 4.0 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.5 4.5 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1 5.3 5.3 5.4 5.6 5.8 5.8 6.0 6.1 6.1

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1.3.1 Polígonos de frecuencia, histogramas y ojivas.

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El alcalde de la ciudad de San Pedro Sula ha seguido de cerca el proyecto de Reparación de calles y zona peatonales del municipio para certificar que los plazos se cumplen según lo acordado. Quiere revisar los resultados de los ingresos que reciben las familias que viven en la zona que se está llevando a cabo la primera parte del proyecto.El departamento de mercadeo revisa los datos de la pregunta sobre el ingreso del cabeza de familia y la computadora le reporta los siguientes datos:

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1.4 Medidas de tendencia central para un conjunto de datos y datos agrupados.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLa estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque generalmente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.

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1.4.1 Media, Media ponderada.MediaLa media es la sumatoria de los n valores, entre los n valores.La fórmula para calcular es la siguiente:Para un grupo de datos agrupados:

Donde:Equis testada = es la media,Sumatoria de x = la suma de todos y cada uno de los valores,n = el número total de valores.

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1.4.1 Media, Media ponderada.Para una distribución de frecuencias:Es la sumatoria del producto de la frecuencia por su marca de clase, entre los N valores.

Donde:Equis testada = la media de la distribución de frecuencias,Sumatoria fx = es la suma del producto de la frecuencia por la marca de clase,N = el número total de valores.

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1.4.1 Media, Media ponderada.Ejemplo:Un entrenador de pista debe decidir a cuál de dos corredores debe elegir para la próxima competencia de 100 metros planos. El entrenador basará su decisión en los resultados de cinco carreras entre los dos corredores, realizadas con intervalos de descanso de 15 minutos. A continuación se dan los tiempos registrados en las cinco carreras (en segundos):

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1.4.1 Media, Media ponderada.Media ponderadaSe denomina media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de ellos por un valor particular para cada uno de los mismos, llamado su peso, obteniendo a continuación la suma de estos productos, y dividiendo el resultado de esta suma de productos entre la suma de los pesos más la masa, según la característica de cada número inicial. Este "peso" depende de la importancia o significancia de cada uno de los valores.

Para una serie de datos:X = { x1, x2, ..., xn}

a la que corresponden los pesos:W = { w1, w2, ..., wn}

la media ponderada se calcula como:

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1.4.1 Media, Media ponderada.

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1.4.2 Mediana Mediana.Es la medida de tendencia central que divide al conjunto de datos, considerando que están ordenados de menor a mayor, en dos partes iguales.

Pasos para calcularla:

Si la n es impara) Se ordenan los datos de menor a mayor, o viceversa.b) Se calcula el subíndice (n + 1) / 2c) En los datos ordenados se busca el dato x (n + 1)/2 es decir, aquel cuyo subíndice

corresponda al subíndice calculado.

si la n es pard) Se ordenan los datos de menor a mayor, o viceversa.e) Se toman los datos centrales con subíndice centrales n/2 y n/ 2 + 1, se suman xn/2 y xn/2 +

1 y se divide entre 2.

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1.4.2 Mediana

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1.4.3 ModaModaOtra de las medidas utilizadas es la moda, que es el valor que ocurre con mayor frecuencia en cualquier distribución de datos, ya sean cualitativos y cuantitativas.

Retomando el ejemplo del apartado 1.4.2 , el dato que ocurre con mayor frecuencia es el 51.

La moda es 51.

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1.4.4 Relación entre media, mediana y moda.La media, moda y mediana pertenecen a las Medidas de Tendencia Central, es decir son medidas obtenidas a partir de la organización de un grupo de datos numéricos, y las tres aunque son distintas en definición, tienden a ubicarse en el centro del grupo de datos. Es decir, son medidas que nos dan una idea general respecto del vago comportamiento dentro de un mismo grupo de datos.

MEDIA: Resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. TRADUCCIÓN: Es el promedio de un grupo de datos.

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1.4.4 Relación entre media, mediana y moda.La relación que pueden tener, es que si tu moda, mediana, y media es la misma se dice que los datos siguen una distribución normal, es decir que tienen un comportamiento regular y puedes analizarlos estadísticamente de una manera mas cómoda.

Ejemplo: Supongamos que 7 amigos comieron 2,3,3,3,4,4,6 tortillas respectivamente: la media (promedio) es 3.7, la mediana (el valor de en medio) es 3, y la moda (valor que mas se repite) es también 3.

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1.5 Medidas de dispersión para un conjunto de datos y datos agrupados.

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