Profesorado para la ETP FsicaUnidad Temtica N 5: Dinmica de un sistema de partculas Fuerzas interiores y exteriores. Centro de masa. Movimiento del centro de masa. Cantidad de movimiento de una partcula y de un sistema de partculas. Conservacin de la cantidad de movimiento. Impulso. Colisiones elsticas e inelsticas.Fuerzas interiores y Exteriores Cuando se trabaja con un sistema de partculas, lo primero que hay que determinar es:o o

Qu partculas constituyen el sistema Si las fuerzas que actan sobre l son internas o externas

Ambos puntos son muy importantes ya que, como veremos, dependiendo de cul sea el sistema cuyo movimiento analicemos las fuerzas que actan sobre l sern internas o externas y algunas magnitudes fsicas aplicadas a un sistema de partculas dependern de las fuerzas externas, de las internas o de ambas. A continuacin se desarrollan estas ideas un poco ms. En la siguiente figura se ha representado un conjunto de dos partculas de masas m1 y m2. Sobre la masa 1 actan las fuerzas F1 y F12, y sobre la masa 2 las fuerzas F2 y F21

Dos ejemplos de sistemas de partculas. En la figura (a), el sistema est constituido por las masas 1 y 2. Sobre l actan dos fuerzas externas (en verde) y dos fuerzas internas (en rojo). En la figura (b), el sistema est constituido slo por la partcula de masa m1. Las fuerzas que actan sobre l son todas externas. Si el sistema cuyo movimiento queremos describir es el conjunto de las dos masas (a), las fuerzas F12 y F21 son fuerzas internas, puesto que sobre el sistema acta la fuerza y su reaccin. Las fuerzas internas representan la interaccin mutua de las partculas del sistema. Por el contrario, F1 y F2 son fuerzas externas, ya que sobre el sistema no acta la reaccin de ninguna de las dos. Las fuerzas externas representan la interaccin del sistema con el exterior del mismo.

Pgina 1

Profesorado para la ETP FsicaDe lo dicho se deduce que el hecho de que una fuerza sea interna o externa depende de cmo se defina el sistema objeto de estudio. Cualquier fuerza puede ser interna o externa. Si el sistema est constituido nicamente por la masa 1 (parte (b) de la figura), sobre l actan las fuerzas F12 y F1, y en este caso ambas son externas, ya que sobre el sistema no acta la reaccin de ninguna de las dos. Como ejemplo de fuerzas internas y externas, en la siguiente figura se ha representado un sistema constituido por dos bloques de masas m1 y m2. Entre ambos hay rozamiento, mientras que entre el suelo y el bloque 1 no hay rozamiento. Sobre el bloque inferior se ejerce una fuerza F.

Las fuerzas representadas en verde son fuerzas externas y las fuerzas representadas en rojo son fuerzas internas. Si el sistema se define tomando solamente uno de los dos bloques, entonces todas las fuerzas que actan sobre l seran externas. Centro de masas El centro de masas de un sistema de partculas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslacin de un sistema de partculas. Vector de posicin del centro de masas El vector de posicin del centro de masas se define como:

Pgina 2

Profesorado para la ETP Fsica

Donde M es la masa total del sistema de partculas. La posicin del centro de masas no tiene por qu coincidir con la posicin de ninguna de las partculas del sistema, es simplemente un punto en el espacio. Velocidad del centro de masas La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posicin:

El segundo miembro de la ecuacin anterior es el momento lineal total del sistema de partculas dividido por la masa total del sistema, por lo que este ltimo puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

Este ltimo resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partculas es igual al momento lineal que tendra la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslacin del sistema de partculas est representado por el de su centro de masas. Si el sistema de partculas est aislado, su momento lineal ser constante, por lo que la velocidad de su centro de masas tambin lo ser. Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partculas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente til para estudiar las colisiones. Aceleracin del centro de masas Cuando un sistema de partculas no est aislado, sobre l actuarn fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partculas de dicho sistema tendrn en general aceleracin, y el centro de masas tambin estar acelerado.

Pgina 3

Profesorado para la ETP Fsica

Sistema constituido por dos partculas. Sobre l actan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas. Para calcular la aceleracin del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las partculas del sistema:

Masa 1:

Masa 2:

Sumando ambas,

En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton. La expresin anterior queda entonces:

Para un sistema constituido por N partculas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actan sobre el sistema y por tanto:

Que no es ms que la segunda ley de Newton para el centro de masas de un sistema de partculas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en l. La aceleracin del centro de masas de un sistema de partculas es debida nicamente a las fuerzas externas que actan sobre el sistema.

Pgina 4

Profesorado para la ETP FsicaVariacin de energa cintica Imaginemos un sistema formado por dos partculas, sobre las que actan fuerzas externas (en verde) y fuerzas internas (en rojo).

En cada instante, la energa cintica del sistema es la suma de la energa cintica de cada partcula; por tanto, la variacin de energa cintica del sistema en un intervalo de tiempo ser:

Aplicando para cada partcula que la variacin de su energa cintica es igual al trabajo de todas las fuerzas que actan sobre ella:

Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que:

Es importante destacar que aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero, no lo es la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo hay que tener en cuenta la trayectoria que describe cada partcula.

Energa propia

Pgina 5

Profesorado para la ETP FsicaTeniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales, el trabajo realizado por ellas se puede expresar en funcin de una energa potencial asociada. Utilizando la relacin anterior, queda entonces:

Definimos una nueva magnitud, llamada energa propia (U) como la suma de la energa cintica y la potencial interna:

Conviene hacer notar que la energa cintica debe estar referida a un sistema de referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energa potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que slo depende de las distancias relativas entre las partculas. Conservacin de la energa En trminos de la energa propia, el trabajo de las fuerzas externas es:

Podemos distinguir tres casos:o

Sistema aislado (no actan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energa propia se conserva.

o

Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se expresa en funcin de una energa potencial externa. Sustituyendo:

La energa mecnica de un sistema es la suma de la energa cintica, la potencial interna y la potencial externa.

Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energa mecnica del sistema se conserva.

Pgina 6

Profesorado para la ETP Fsicao

Actan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el trmino del trabajo de las fuerzas externas hay que considerar tambin el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento, y la expresin final queda:

o

Es decir, cuando actan fuerzas de rozamiento, la variacin de energa mecnica es igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento Descomposicin de la energa cintica

La energa cintica de un sistema es la suma de la energa cintica de cada una de las partculas que lo componen. Para calcular esta energa debemos primero definir el sistema de referencia (SR), ya que las velocidades de las partculas dependen del observador.

Por ello, calcular la energa cintica de un sistema con respecto a un SR es a menudo una tarea complicada; sin embargo, sta se simplifica expresando dicha energa como suma de dos trminos:

El primer trmino es la energa cintica interna y se calcula sumando la energa cintica de todas las partculas pero tomando como origen el centro de masas del sistema (notacin de la magnitud correspondiente con ' ). Esta energa es por tanto independiente del SR y slo depende del movimiento de las partculas con respecto al centro de masas.

El segundo trmino se llama energa cintica orbital y coincide con la energa cintica que tendra una partcula de masa la masa total del sistema movindose con la velocidad del centro de masas del mismo, medida con respecto al SR.

Esta expresin resulta muy til y es aplicable a otras magnitudes: el movimiento de un sistema con respecto a un origen se puede descomponer en el movimiento de las partculas del sistema con respecto al centro de masas ms el movimiento con respecto al origen del centro de masas.

Pgina 7

Profesorado para la ETP FsicaVolviendo a la expresin de la energa propia, introducimos estas nuevas definiciones de energa:

en donde hemos llamado energa interna (Uint) a la suma de la energa potencial interna y la energa cintica interna. Esta energa no depende del SR, ya que no lo hacen ninguno de los dos trminos. Sustituyendo en la expresin para el trabajo de las fuerzas externas obtenemos entonces:

Es decir, el trabajo que realizan las fuerzas externas se invierte en modificar la energa interna del sistema y la energa orbital del mismo. Demostracin de la descomposicin de la energa cintica: Expresamos el vector posicin con respecto al SR de la partcula i-sima como suma del vector posicin del centro de masas con respecto al SR ms el vector posicin de la partcula i-sima tomando como origen el centro de masas. Derivando esa expresin, se obtiene la relacin entre las velocidades.

Elevamos al cuadrado para sustituir despus en la expresin de la energa cintica:

Sumamos a todas las partculas para calcular la energa cintica del sistema:

El primer trmino resulta ser la energa cintica orbital:

Pgina 8

Profesorado para la ETP Fsica

El segundo trmino coincide con la energa cintica interna y el tercer trmino es:

que es cero, ya que la velocidad del centro de masas con respecto al centro de masas es evidentemente nulo.

Luego se cumple que:

Colisiones Cuando dos o ms cuerpos se aproximan entre s, entre ellos actan fuerzas internas que hacen que su momento lineal y su energa varen, producindose un intercambio entre ellos de ambas magnitudes. En este caso se dice que entre los cuerpos se ha producido una colisin o choque. Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisin, no es necesario que los cuerpos hayan estado fsicamente en contacto en un sentido microscpico; basta que se aproximen lo suficiente como para que haya habido interaccin entre ellos La caracterstica fundamental de una colisin es que las fuerzas que determinan lo que ocurre durante la misma son nicamente fuerzas internas (de interaccin entre los distintos cuerpos que colisionan). Como consecuencia de este hecho la velocidad del centro de masas del sistema durante la colisin va a ser constante ya que la aceleracin del centro de masas es producida nicamente por las fuerzas externas que actan sobre el sistema. Momento lineal en una colisin El momento lineal de un sistema de partculas es igual al momento lineal de su centro de masas. Como durante una colisin ste es constante, En todo choque el momento lineal total del sistema se conserva.

Pgina 9

Profesorado para la ETP Fsica

Choque en una dimensin. Como las fuerzas que actan durante el choque son internas, el momento lineal total del sistema se conserva. La ecuacin anterior es una ecuacin vectorial y como tal hay que utilizarla al analizar un choque entre partculas. Energa La variacin de energa cintica de un sistema de partculas viene dada por:

En una colisin las fuerzas relevantes son las fuerzas internas, por lo que la expresin anterior puede escribirse:

A partir de aqu podemos distinguir dos tipos de colisiones: aquellas en que las fuerzas internas no hacen trabajo y en las que s que lo hacen. Choque elstico Un choque elstico es aqul en que las fuerzas internas no hacen trabajo. De la ecuacin anterior se deduce que en este caso la energa cintica del sistema de partculas se conserva durante el choque. Para el caso de una colisin entre dos partculas representado en la figura anterior se tiene entonces:

Un ejemplo tpico de colisin elstica lo constituye el choque de las bolas de billar. Puesto que stas son rgidas no cambian de forma, y por tanto las fuerzas internas no hacen trabajo.

Pgina 10

Profesorado para la ETP Fsica

El choque de las bolas de billar es elstico. Durante un choque elstico se conservan el momento lineal y la energa cintica.

Pgina 11

Profesorado para la ETP FsicaUnidad Temtica N 6: Cinemtica de rotacin Movimiento de rotacin. Desplazamiento angular. Velocidad angular media, velocidad angular instantnea. Cantidades rotacionales como vectores. Rotaciones con aceleracin angular constante.Momento angular de un sistema El momento angular de un sistema de partculas se define como la suma vectorial del momento angular de cada una de ellas:

Supongamos un sistema formado por dos partculas sobre las que actan fuerzas internas (en rojo) y fuerzas externas (en verde):

Teorema de conservacin Para saber bajo qu condiciones se conserva L, expresamos su derivada aplicando los conceptos vistos en conservacin del momento angular de una partcula:

Calculamos los momentos de las fuerzas que actan sobre cada partcula, recordando que las fuerzas internas tienen igual mdulo y sentido opuesto:

Al sumar ambos, se anula el trmino correspondiente a las fuerzas internas ya que resulta un producto vectorial de vectores paralelos, como se puede ver en el dibujo anterior:

Pgina 12

Profesorado para la ETP Fsica

Generalizando este caso para un sistema de ms partculas, se puede afirmar que: Las fuerzas internas no hacen variar el momento angular de un sistema Entonces expresamos la derivada de L como:

suma de los momentos de las fuerzas externas

con lo que el Teorema de Conservacin del Momento Angular para sistemas queda finalmente:

Es importante destacar que para calcular la suma de los momentos de las fuerzas externas es necesario calcular el momento de cada una de las fuerzas y luego sumarlos todos vectorialmente, es decir, no es vlido sumar primero las fuerzas externas y luego calcular el momento de la resultante. En el ejemplo siguiente se observa que la suma de las fuerzas externas es nula, pero los momentos ejercidos por ambas fuerzas con respecto a O van en el mismo sentido, por lo que no se cancelan y por tanto el momento angular del sistema no se conserva.

Las fuerzas externas se anulan pero no la suma de los momentos. No se conserva el momento angular del sistema.

Si el sistema est aislado (no sometido a fuerzas externas) es evidente que no hay momento de dichas fuerzas luego: En un sistema aislado se conserva el momento angular Esto quiere decir que si en un sistema aislado parte del sistema vara su momento angular debido a fuerzas internas, el resto del sistema sufrir una variacin de momento que cancele la anterior, del mismo modo que la conservacin del momento lineal en sistemas aislados es la causante del retroceso de un arma al disparar, por ejemplo.

Pgina 13

Profesorado para la ETP FsicaMomento angular de un sistema. Descomposicin. El momento angular L de un sistema con respecto a un origen O se puede descomponer en dos trminos, la demostracin es anloga a la explicada para la energa cintica:

El primer trmino es el momento angular interno y se calcula sumando el momento angular de todas las partculas pero tomando como origen el centro de masas del sistema (notacin de la magnitud correspondiente con ' ). Esta magnitud es por tanto independiente del SR y slo depende del movimiento de las partculas con respecto al centro de masas.

El segundo trmino se llama momento angular orbital y coincide con el momento angular que tendra una partcula de masa la masa total del sistema movindose con la velocidad del centro de masas del mismo, medida con respecto a O.

Derivamos esta nueva expresin para el momento angular, que segn el teorema de conservacin de L, ser igual a la suma de momentos de las fuerzas externas calculados con respecto a O:

El clculo de estas derivadas por separado es el siguiente:

La derivada del momento angular interno es la suma de los momentos de las fuerzas externas tomando como origen el CM.

De esta expresin se deduce que ninguna fuerza que pase por el CM (por ejemplo, el peso) puede hacer variar el momento angular interno ya que su momento con respecto al CM ser nulo.

La derivada del momento angular orbital coincide con el momento con respecto a O de la resultante de las fuerzas externas aplicada en el CM del sistema.

Pgina 14

Profesorado para la ETP FsicaTodas estas expresiones tienen especial relevancia en el caso del slido rgido. Problemas de Cantidad de Movimiento Problema 1: Una bola de acero tiene una masa m y se mueve en lnea recta con una velocidad de mdulo v = 14 m/s. La bola impacta en el bloque de masa M, inicialmente en reposo en una superficie sin rozamiento, quedando incrustada en l. Tras el choque el conjunto se desplaza por el plano de la figura, donde el tramo inclinado AB es un tramo con rozamiento. Datos: m = 1 kg , M = 3 kg , h = 0.4 m, = 30o

a. Calcular la velocidad del sistema bola-bloque despus de la colisin. Determinar el coeficiente de rozamiento en el tramo AB si el conjunto se para al llegar al punto B. Problema 2: Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cintico entre la masa y el suelo es . Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m. Datos: v = 10 m/s; = 0.6; R = 1 m; d = 4 m. Tomar g = 10 m/s2

Se conserva la energa mecnica de la masa m en el tramo circular de la pista? Determinar su velocidad cuando llega al final de dicho tramo circular (punto A). b. Determinar la velocidad de la masa m cuando ha recorrido el tramo horizontal de longitud d (en el punto B). c. Cuando la masa m llega a la posicin donde se encuentra M choca elsticamente con ella. Determinar la velocidad de ambas masas despus del choque. d. Calcular la altura que alcanza la masa M despus del choque. Hacia dnde se mover la masa m?a.

Pgina 15

Profesorado para la ETP FsicaProblema n 3: Una fuerza acta sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. Cul es la velocidad final del objeto si parti del reposo? Problema N 4: Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg de masa que est en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en l. Si el coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque y la superficie es de 0,2, cul era la velocidad inicial de la bala?.

Problema n 5: Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin friccin con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a l movindose en la misma direccin y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, ste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elstica es k = 1120 N/m, cul ser la mxima compresin del resorte cuando los cuerpos choquen?.

Problema N 6: Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de 750 m/s. cul ser la velocidad de retroceso? Problema N 7: Determinar la masa de una esfera metlica que por accin de una fuerza de 20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s. Problema N 8: A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el impulso total y el incremento de velocidad.

Pgina 16