UNIDAD IV

MODELOS PROBABILISTICOS

“Diapositivas Unidad IV”

M.A. Erika Straffon Del Castillo

Ejemplo 1Representación de datos en la investigación de operaciones

Considera el siguiente conjunto de datos de la cual, representa los tiempos de

servicio (en minutos) para una muestra de 60 clientes. La naturaleza de la

variable indica que se basa en la observación.

De estos datos tenemos:

Σ xj = 236.260

j=1Σ xj = 1455.5660

j=1

2

Por consiguiente se obtiene:

x̅& = 236.2 = 3.937 60

S = 1455.56 - 60 * 3.937 = 8.91 60 - 1

2

Ejemplo 2Programación de proyectos PERT-CPM

Considera la siguiente figura, la cual comienza en el nodo 0 y termina en el nodo

6. Los números que están dentro de los cuadros representa el tiempo de

ocurrencia más próx̅imo del evento correspondiente. Los que están dentro del

triángulo representa el tiempo de ocurrencia más tardío del evento.

0 2

1 3

4

5

6

24

00

33

66

19

19

66

13

13

Actividad crítica

“Terminación”“Inicio”

TIPj = máx {TIPi + Dij} i

Los cálculos hacia adelante aplicados a la figura anterior, proporcionan TIP0 = 0

como se muestra en el cuadro sobre el evento 0. Ya que ex̅iste solamente una

actividad que entra (0,1) al evento 1 con D01 =2

TIP1 = TIP0 + D01 = 0 + 2 = 2

Esto se anota en el cuadro asociado al evento 1. El siguiente evento que se

considerar es el 2. [note que el evento 3 no puede considerarse en este punto,

ya que TIP2 (evento todavía no se conoce). Por consiguiente:

TIP2 = TIP0 + D02 = 0 + 3 = 3

Que se nota en el cuatro del evento. El siguiente evento que se considerará es el 3.

Como hay dos actividades que entran (1,3) y (2,3), tenemos

TIP3 = máx {TIPi + Di3} = máx {2 + 2, 3 + 3} = 6

i=1,2

TIP4 = máx {TIPi + Di4} = máx {3 + 2, 6 + 0} = 6i=2,3

TIP5 = máx {TIPi + Di5} = máx {6 + 3, 6 + 7} = 13i=3,4

TIP6 = máx {TIPi + Di6} = máx {6 + 2, 6 + 5,13 + 6} = 19i=3,4,5

Que, una vez más se anota en el cuadro del evento 3. el procedimiento

continua de la misma forma hasta que TIPj se calcula toda j

TTTi = mín {TTT j– Dij }J

Los valores de TTT, describen en los triángulos.

TTT2= mín {TTTj – D2j } = mín {6 – 3, 6 – 2} = 3J=3,4

TTT5= TTT6– D56 19 -6 = 13

TTT6= TIP6 =19

TTT4= mín {TTTj – D4j } = mín {13 – 7, 19 – 5 } = 6J =5,6

TTT3= mín {TTTj – D3j } = mín {6 – 0, 13 – 3, 19 - 2} = 6J=4,5,6

TTT1= TTT3 – D13 = 6 – 2= 4

TTT0= mín {TTTj – D0j} = mín {4 – 2, 3 – 3} = 0J=2,1

Las actividades (0,2), (2,3), (3,4), (4,5) y (5,6) definen la ruta crítica.

Ejemplo 3Modelos de inventario

Suponga que se sabe que la demanda de un producto tiene la distribución que se

muestra en la siguiente tabla. Ahora bien, suponga que las unidades cuestan 25

dólares cada una y que los sobrantes que pueden vender como desechos a 5

dólares. El precio de venta es de 55 dólares por unidad. Se conoce la distribución

de probabilidad de la demanda del producto, pero no se sabe cuál será la

demanda para el periodo. En este caso, ¿cuántas unidades hay que pedir?

Demanda Probabilidad0 0.101 0.302 0.403 0.20

Una probabilidad sería calcular los beneficios que se obtendrían con diferentes

planes de pedido; éste procedimiento se muestra en la siguiente tabla:

Pedir una unidad Pedir dos unidades Pedir tres unidades

DemandaProbabilidad

de la demanda

Beneficio condicional

Beneficio esperado

Beneficio condicional

Beneficio esperado

Beneficio condicional

Beneficio esperado

0 0.10 -20 -2 -40 -4 -60 -61 0.30 30 9 10 3 -10 -32 0.40 30 12 60 24 40 163 0.20 30 6 60 12 90 18

1.00 25 35 25

En la siguiente tabla se muestra los valores de p, la probabilidad de vender una

unidad adicional (o más). En la columna “probabilidades acumuladas” es p,

ya que indica la probabilidad de vender cero unidades o más (1.00), una

unidad o más (0.90) dos o más (0.60) o tres unidades o mas (0.20). Es la

cola derecha de la distribución de probabilidad.

DemandaProbabilidad de

la demanda

Probabilidades acumuladas

(p)

0 0.1 1.001 0.3 0.902 0.4 0.603 0.2 0.20

1.0

La acción óptima es pedir dos unidades, ya que el beneficio esperado de 35

dólares es mayor que el beneficio esperado de cualquier otra estrategia.

AcciónSuceso: Demanda

de la siguiente unidad (o más)

Probabilidad del suceso

No pedir Pedir

No 1 - p 0 c0

Sí p cu 0

Costos esperados de las acciones

pcu (1 - p)c0

A continuación se muestra que si se pide una unidad y no hay demanda, el

costo condicional es c0

Así mismo, si no se pide la unidad y hay demanda de ella, el consto adicional

es cu. Observe que el costo de faltantes cu es una perdida de

oportunidad.

El costo esperado de pedir es menor que el costo esperado de n pedir, los

cálculos se muestran en la siguiente tabla. Un costo negativo en la

columna 4, representa un beneficio neto esperado.

(1) (2) (3) (4)

Política de pedir desde el pedido

pCosto esperado de pedir la siguiente unidad (1- p)c0

Costo esperado de no pedir la siguiente unidad

pc0

Costo incremental

neto del pedido

(2) - (3)

0 a 1 0.90 0.10 * 20 =2 0.90 * 30 = 27 -251 a 2 0.60 0.40 * 20 = 8 0.60 * 30 = 18 -102 a 3 0.20 0.80 * 20 = 16 0.20 * 30 = 6 10

Suponga que la reacción negativa costaría 7.5 dólares por cada unidad de la

demanda que no satisfaga debido a una escasez de inventario.

C0 = Costo unitario de los ex̅cedentes = 20 dólares. Los 10 dólares son la

diferencia entre el costo por unidad (25 dólares) y el precio de desecho (5

dólares).

Cu = Costo unitario de las carencias = 37.50 dólares. Esta cifra equivale a la

suma de los beneficios que se pierden por la demanda no satisfecha ($55 -

$25 =$30) y el costo de la reacción negativa (7.5 dólares) por cada unidad

carente; es decir, cuando hay demanda y no hay unidades que vender.

El costo de faltantes:

pc = cc = 20 = 0.35

cc + cu 20 + 37.50

Suponga que los pacientes del consultorio médico de una gran planta llegan en

forma aleatoria, de acuerdo con el proceso de Poisson. El consultorio puede

atender a los pacientes con una tasa promedio de cinco personas por hora (uno

por uno); el proceso de servicio también es de Poisson. El promedio de llegada

de los pacientes es de un cuarto por hora (supondremos también que este

proceso es de Poisson, aunque no es ex̅acto, ya que la población no es infinita,

aunque sea de gran tamaño). La planta opera las 24 horas del día.

4ּג = µ = 5

Cómo (ּג / µ) < 1 , se puede utilizar las siguientes relaciones:

En promedio, el consultorio estará inactivo en 20% del tiempo y activo el 80%.

Habrá un promedio de cuatro personas en cola y en servicio

Ejemplo 4

Modelos de espera de

línea o colas

El tiempo de espera promedio de un paciente es de 0.8 horas.

El tiempo promedio que permanece en el sistema (en espera y en servicio) es

una hora.

Por tanto:

1.- El consultorio estará inactivo el 20% del tiempo y activo el 80%.2.- El número promedio de pacientes en la oficina es cuatro.3.- El número promedio de pacientes en espera es 3.24.- El paciente esperará en promedio 4/5 de hora5.- El tiempo total (espera más servicio) será, en promedio, una hora.

Si se considera un día de trabajo de 24 horas, el promedio de pacientes que

llegan al consultorio será de 96 al día y el tiempo promedio que ´perderán los

pacientes en la cola de espera será:

T = * 24ּג horas * Wq

T = 4 * 24 * 0.8

T = 76.8 horas

En promedio habrá 3.2 personas en cola

Suponga que el costo relacionado para la empresa es de 20 dólares por hora que espera un trabajador. El costo diario de espera sería:

(76.8) * (20) = $1,536

Para calcula la distribución de probabilidad acumulada de los pacientes de aplicará la siguiente fórmula :

Referencias bibliográficasBierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana.Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. Méx̅ico: Alfaomega.