unidad ii-analisis y dise+æo vigas por flexion-estado rotura-20-09-2015--leer

8/18/2019 UNIDAD II-ANALISIS Y DISE+æO VIGAS POR FLEXION-ESTADO ROTURA-20-09-2015--LEER

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UNIDAD II: ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA

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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos

2. FLEXIÓN

Se desarrollarán los principios básicos del comportamiento de los elementos deconcreto armado sometidos a flexión.

Es imprescindible comprender claramente este fenómeno para luego deducir lasexpresiones a usar tanto en el análisis como en el diseño.

El análisis implica fundamentalmente la determinación del momento resistente de una

sección completamente definida.El diseño es el proceso contrario: dimensionar una sección capaz de resistir elmomento aplicado.

Si bien es cierto, ambos usan los mismos criterios, los procedimientos a seguir sondiferentes y serán expuestos por separado.

2.1 ANÁLISIS DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO POR FLEXIÓN Se supone que se coloca una pequeña carga transversal sobre una viga de concreto conrefuerzo en tensión y esta carga se incrementa gradualmente en magnitud hasta que la vigafalla. Cuando esto ocurre, encontraremos que la viga pasa por tres etapas distintas antes deque ocurra el colapso.


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2. Etapa con esfuerzos elásticos y concreto agrietado: Al incrementarse la carga después queel módulo de ruptura del concreto se ha excedido, comienzan a desarrollarse grietas en la parte inferior de la viga.

Los esfuerzos de tensión en la parte inferior de la viga igualan al módulo de rotura y elmomento flector se denomina Momento de agrietamiento .

Al seguir aumentando la carga, las grietas se extienden rápidamente cerca del eje neutro,el cual comienza a desplazarse hacia arriba.

Las grietas se presentan a lo largo de la viga, donde el momento real es mayor que el

momento de agrietamiento, tal como se muestra en la figura 2.2(a). El concreto en la zona agrietada no puede resistir esfuerzos de tensión, el acero deberesistirlos.

Esta etapa continuará mientras los esfuerzos de compresión en las fibras superiores seanmenores a aproximadamente la 0.5f´ c del concreto y mientras el esfuerzo en el acero seamenor que su límite elástico.

En la figura 2.2(b) se muestran los esfuerzos y deformaciones unitarias de estafluctuación. En esta etapa los esfuerzos de compresión varían linealmente con la distanciadel eje neutro o bien como una línea recta.

UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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4CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa RíosFigura 2.2 Concreto agrietado: etapa de esfuerzos elásticos.



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3. Etapa de Falla de la viga: etapa de resistencia últimaConforme la carga crece, de modo que: Los esfuerzos de compresión son mayores que 0.5f´ c ,

Las grietas de tensión se desplazan más hacia arriba, igual que lo hace el eje neutro, Los esfuerzos de compresión en el concreto comienzan a dejar de ser lineales y adoptan

una distribución aproximadamente parabólica. La variación de los esfuerzos es parecida a la que se muestra en la figura 2.3.

El refuerzo alcanza el esfuerzo de fluencia aunque el concreto no llega a su resistenciamáxima.

La deflexión se incrementa rápidamente y las rajaduras se ensanchan. Conforme seincrementa la carga, el acero entra a la fase de endurecimiento por deformación yfinalmente el concreto falla por aplastamiento.


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Ó


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Las fases descritas son claramente diferenciadas en el diagrama momento resistenteversus curvatura mostrado en la figura 2.4.


Ñ Ó



Se define curvatura como:

= (2.1)donde:

: Deformación unitaria de la sección analizada a una distancia del eje neutro de la misma. Asumiendo una distribución lineal de las deformaciones, e son directamente

proporcionales y en consecuencia el valor de es constante para cada momento resistente.La primera etapa del diagrama es para momentos pequeños menores que el momento de

agrietamiento M agr

donde se dispone de toda la sección transversal de la viga para resistir laflexión. En esta etapa, las deformaciones unitarias son pequeñas, y el diagrama es casivertical y muy parecido a una línea recta.Cuando el momento crece más allá del valor del momento de agrietamiento, la pendientede la curva disminuye un poco debido a que la viga ya no es tan rígida como en la etapainicial anterior al agrietamiento del concreto. El diagrama describirá casi una línea recta

desde M agr , hasta el punto en que el refuerzo queda sometido a su punto de cedencia. Hastaalcanzar el esfuerzo de cedencia en el acero, se requiere una carga adicional bastantegrande para incrementar apreciablemente la deflexión de la viga.Después de que el acero cede plásticamente, la viga tiene muy poca capacidad adicional por momento, y se requiere sólo una pequeña carga adicional para incrementarconsiderablemente las rotaciones, así como las deflexiones. En esta etapa la pendiente del

diagrama es muy ligera.


Ñ Ó



2.2 HIPÓTESIS DE DISEÑO

El cálculo de la resistencia de un elemento requiere que se cumplan dos condiciones ACI-:Equi l ibrio Estático : las fuerzas internas (momentos flectores y torsores, esfuerzos de cortey normales) de una sección cualquiera del elemento, deben estar en equilibrio con los

efectos de las cargas externas.Compatibil idad de deformaciones : Entre las deformaciones en el concreto y el refuerzo, para las condiciones de resistencia última, se adoptan las siguientes hipótesis:

1. Las deformaciones en el concreto y refuerzo son dir ectamente proporcionales a sudistancia ' al eje neutr o de la sección , (excepto para vigas de gran peralte, para las cuales se

asumirá una distribución no lineal de deformaciones) es decir las secciones planasnormales al eje de flexión, se mantienen planas después de la flexión. Esta suposición hasido confirmada experimentalmente y es fundamental para determinar deformación yconsecuentemente la tensión en el refuerzo, tanto a tracción como a compresión.

2. La máxima deformación uti l izable en la fi bra extrema de concreto comprimido es

=..El concreto falla al alcanzar una deformación unitaria última de 0.003. En

laboratorio, se ha obtenido deformaciones hasta 0.008 bajo condiciones especiales. Sinembargo, para concretos normales éstas varían entre 0.003 y 0.004.

3. La relación constitutiva tensión-deformación del acero de refuerzo es una relaciónbilineal , mostrada en la figura 2.4. Para el diseño práctico no se considera el incremento deresistencia más allá del escalón de fluencia.

4. La resistencia a la tracción del concreto se desprecia.


Ñ Ó



6. Los requer imientos del punto anter ior son satisfechos por la distr ibución rectangular de

esfuerzos, propuesta por Whi tney, cuyas características se muestran en la figura 2.5. Elvalor de es 0.85 si la resistencia del concreto es menor que 280 kg/cm2. Si este no es elcaso, disminuirá en 0.05 por cada incremento de 70 kg/cm2 en la resistencia del concreto.En ningún caso será menor que 0.65, pues los ensayos han demostrado que para concretosde alta resistencia una reducción excesiva de conlleva a diseños poco conservadores. Laresultante de la distribución rectangular de esfuerzos propuesta por Whitney coincide con la

resultante de la distribución no lineal de esfuerzos.

Figura 2.5: Distribución esfuerzos del concreto en viga.

5. La distr ibución esfuerzo-deformación del concreto en compresión será asumida de modoque sea coherente con los resultados obteni dos en los ensayos . Esta hipótesis reconoce lanaturaleza inelástica del comportamiento del concreto.

Figura 2.4: Relación constitutiva del acero.


Ñ Ó



2.3 TIPOS DE FALLA DE LOS ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓNLos elementos sometidos a flexión casi siempre fallan por compresión del concreto, sinembargo el concreto puede fallar antes o después que el acero fluya. La naturaleza de la fallaes determinada por la cuantía de refuerzo y es de tres tipos:

1. Falla por tensión : Es la correspondiente a la viga analizada en la sección 2.1. El acero fluye y el elemento presenta falla dúcti l . Se aprecian grandes deflexiones y rajaduras antes del colapso lo cual alerta a los usuarios

acerca del peligro inminente. Estas secciones son llamadas también sub-reforzadas .2. Falla por compresión : El acero no tiene oportunidad de fluir y el concreto falla

repentinamente. Estas secciones son llamadas sobre-reforzadas , la resistencia de una sección sobre-

reforzada es mayor que la de otra sub-reforzada de dimensiones similares. Sin embargo,la sobre reforzada no tiene comportamiento dúctil y

El tipo de colapso no es conveniente. En el diseño se evita este tipo de falla.3. Falla balanceada : Se produce cuando el concreto alcanza la deformación unitaria última

de 0.003 simultáneamente al inicio de la fluencia del acero (ACI-10.3.2). La falla es frágil y no deseada . Para cada sección existe una cuantía única de acero que ocasiona una falla balanceada laque se denomina cuantía balanceada o básica (). Si la sección contiene mayor cantidadde refuerzo fallará por compresión y si contiene menor cantidad la falla será por tracción .Por segur idad , el código ACI recomienda que todas las secciones se diseñen para fallar por tracción y por ello limita la cuantía del refuerzo a 0.75 (ACI-10.3.3).


A A A S S S ÑO GAS O Ó S A O O A



En la figura 2.6. se muestra la distribución de deformaciones para cada uno de los trestipos de falla y en la figura 2.7, el diagrama momento versus curvatura para cada caso.En este último se puede apreciar la ductilidad que desarrollan las secciones sub-reforzadas y la mayor capacidad resistente de las secciones sobre-reforzadas

Figura 2.6: Distribución de deformaciones para diversos tipos de fallas en flexión.

La razón del módulo del acero al módulo del concreto se denomina razón modular n:

= Si la razón modular para una viga particular es 10, el esfuerzo en el acero será 10 veces elesfuerzo en el concreto a la misma distancia del eje neutro.


UNIDAD II ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN ESTADO DE ROTURA



Figura 2.7: Diagrama momento-curvatura para los tipos de falla en flexión.




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2.4 SEGURIDAD ESTRUCTURAL


El enfoque para la seguridad estructural en el estado de rotura o el que se usa en el diseño por resistencia, considera la incertidumbre. Las cargas de trabajo se multiplican por ciertos factores de carga que unos son

mayores y otros menores que uno. Las cargas resultantes factorizadas se usan paradiseñar la estructura.

Los valores de los factores de carga varían de acuerdo con el tipo y combinación de lascargas.

Para calcular con precisión la resistencia última de una estructura, es necesario tomar

en cuenta las incertidumbres en la resistencia de los materiales, las dimensiones y lamano de obra. Esto se hace multiplicando la resistencia última teórica (llamada aquíresistencia nominal ) de cada miembro por el factor de reducción de resistencia, quees menor que uno. Estos valores generalmente varían de 0.90 para flexión hasta 0.65 para algunas columnas.

En resumen, el enfoque del diseño por resistencia con respecto a la seguridad, es

seleccionar un miembro cuya capacidad última de carga calculada multiplicada por sufactor de reducción de resistencia sea al menos igual a la suma de las cargas de serviciomultiplicadas por sus factores de carga respectivos.

Las capacidades de los miembros obtenidas con el método de resistencia sonsensiblemente más exactas que las obtenidas con el método de los esfuerzos de trabajo.




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El ACI-318.08 presenta los dos métodos de diseño vistos en sección 1.5, sin embargo, damayor énfasis al diseño a la Rotura o Resistencia Última.El diseño por resistencia, como ya se indicó, presenta la ventaja que el factor de seguridadde los elementos analizados puede ser determinado. El código del ACI introduce el factorde seguridad en el diseño a través de dos mecanismos: ampli f icación de las cargas deservicio y reducción de la resistencia teórica de la pieza.Las cargas de servicio se estiman haciendo uso de los códigos, reglamentos o normas y elanálisis estructural se efectúa bajo la hipótesis de un comportamiento elástico de laestructura.

El código del ACI clasifica las cargas en: permanentes, sobrecarga, sismo, viento, empujedel suelo, etc. y propone expresiones para calcular la carga última de diseño.La carga última de diseño es la suma de las diversas cargas actuantes en la estructuraafectadas por un factor de amplificación. Este factor pretende mostrar la probabilidad queexiste de que la carga estimada sea superada en la realidad. La carga permanente, porejemplo, es evaluada con mayor precisión que la sobrecarga, por eso su factor de

amplificación es menor.

Las expresiones que permiten determinar la carga última se denominan ResistenciasRequeridas y se presentan en la sección 9.2 de la Norma E.060.




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De acuerdo a las solicitaciones que actúan sobre un elemento, se propone un juego decombinaciones. Deberá evaluarse cada una de ellas y desarrollar el diseño haciendo usode las solicitaciones más críticas.Simultáneamente a la amplificación de las cargas de servicio, el código propone la

reducción de la resistencia teórica de los elementos de concreto armado como un medio para incrementar el factor de seguridad del diseño. La resistencia teórica o nominal deuna pieza es la determinada haciendo uso de los principios presentados en el código delACI. La naturaleza misma del concreto armado y fundamentalmente su procedimientoconstructivo generan que la resistencia calculada en el papel, no sea igual a la verificadaen la realidad. Los factores de reducción de resistencia indican la fracción de la

resistencia nominal que está disponible en un elemento determinado con una ciertacerteza probabilística.El código del ACI aprovecha el uso de los factores de resistencia no sólo para tomar enconsideración las posibles imperfecciones constructivas del concreto sino que además losusa para incrementar los factores de seguridad en piezas sometidas a determinadassolicitaciones, ya sea por su tipo de falla o por la importancia de estos elementos dentro

del conjunto estructural total.Una columna con refuerzo transversal en espiral, tiene un comportamiento más dúctil queuna columna con estribos. Por ello el factor de reducción de la primera es mayor. Por otrolado, cuando se analiza una solicitación de flexo-compresión, propia de columnas, elfactor de reducción es menor que cuando se analiza flexión pura, propia de vigas. Esto sedebe a que el colapso de una viga es mucho menos perjudicial que el colapso de unacolumna.


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En síntesis, la Norma E.060 (9.1.1) exige que las estructuras y los elementos estructuralesdeberán diseñarse para obtener en todas sus secciones resistencias de di seño (

Rn ) por lomenos iguales a las resistencias requeridas (Ru ), calculadas para las cargas y fuerzasamplificadas en las combinaciones que se estipulan en esta Norma. En todas las secciones

de los elementos estructurales deberá cumplirse:Rn Ru

El (9.2) del E.060, nos da la resistencia requerida (transcripción de dicha norma):9.2 RESISTENCIA REQUERIDA9.2.1 La resistencia requerida para cargas muertas (CM ) y cargas vivas (CV ) será comomínimo:

U = 1,4 CM + 1,7 CV (9-1)9.2.2 Si en el diseño se tuvieran que considerar cargas de viento (CVi), además de loindicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo:

U = 1,25 ( CM + CV CVi ) (9-2)U = 0,9 CM 1,25 CVi (9-3)

9.2.3 Si en el diseño se tuvieran que considerar cargas de sismo (CS ), además de loindicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo:

U = 1,25 (CM + CV ) CS (9-4)U = 0,9 CM CS (9-5)

9.2.4 No será necesario considerar acciones de sismo y de viento simultáneamente.




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9.2.5 Si fuera necesario incluir en el diseño el efecto del peso y empuje lateral de los suelos(CE ), la presión ejercida por el agua contenida en el suelo o la presión y peso ejercidos porotros materiales, además de lo indicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo:

U = 1,4 CM + 1,7 CV + 1,7 CE (9-6)

En el caso en que la carga muerta o la carga viva reduzcan el efecto del empuje lateral, seusará:

U = 0,9 CM + 1,7 CE (9-7)9.2.6 Si fuera necesario incluir en el diseño el efecto de cargas debidas a peso y presión delíquidos (CL) con densidades bien definidas y alturas máximas controladas, además de losindicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo:

U = 1,4 CM + 1,7 CV + 1,4 CL (9-8)9.2.7 Si fuera necesario incluir en el diseño el efecto de cargas de impacto, éstas deberánincluirse en la carga viva (CV ).9.2.8 Si fuera necesario incluir en el diseño el efecto de las cargas de nieve o granizo, éstasdeberán considerarse como cargas vivas (CV ).9.2.9 Si fuera necesario incluir los efectos (CT ) de los asentamientos diferenciales, flujo plástico del concreto, retracción restringida del concreto, expansión de concretos conretracción compensada o cambios de temperatura, la resistencia requerida, además de loindicado en 9.2.1, deberá será como mínimo:

U = 1,05 CM + 1,25 CV + 1,05 CT (9-9)U = 1,4 CM + 1,4 CT (9-10)




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9.2.10 Las estimaciones de los asentamientos diferenciales, flujo plástico del concreto,retracción restringida, la expansión de concretos de retracción compensada o cambios detemperatura deben basarse en una determinación realista de tales efectos durante la vidaútil de la estructura.9.2.11 Para el diseño de zonas de anclaje de tendones de postensado, se aplicará un factorde carga de (1.2) a la fuerza máxima aplicada por el gato.

El (9.3) del E.060, nos da la resistencia de diseño (transcripción de dicha norma):9.3 RESISTENCIA DE DISEÑO

9.3.1 Las resistencias de diseño ( Rn) proporcionada por un elemento, sus conexiones conotros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial,cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo conlos requisitos y suposiciones de esta Norma, multiplicada por los factores de reducciónde resistencia especificados a continuación.9.3.2 El factor de reducción de resistencia, , debe ser el especificado en 9.3.2.1 a 9.3.2.8:

9.3.2.1 Flexión sin carga axial………….………………...………..…………… 0,90 9.3.2.2 Carga axial y carga axial con flexión:(a) Carga axial de tracción con o sin flexión………………………………… 0,90(b) Carga axial de compresión con o sin flexión:Elementos con refuerzo en espiral según 10.9.3…………………………….. 0,75Otros elementos………………………………………………………………. 0,70




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Para elementos en flexocompresión puede incrementarse linealmente hasta 0,90 en la medidaque Pn disminuye desde 0,1 f’c Ag ó Pb, el que sea menor, hasta cero.9.3.2.3 Cortante y torsión………………….…………………………….………………… 0,859.3.2.4 Aplastamiento en el concreto (excepto para las zonas de anclajes de postensado)…0,70 9.3.2.5 Zonas de anclaje de postensado……………………..………………………........... 0,859.3.2.6 Las secciones en flexión en los elementos pretensados donde la longitud embebida deltorón ( strand ) es menor que la longitud de desarrollo, como se establece en 12.9.1.1:(a) Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de

transferencia……………….……………..……………..………………………………. 0,75

(b) Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud dedesarrollo, puede incrementarse linealmente desde 0,75 hasta 0,9.Donde la adherencia del torón no se extiende hasta el extremo del elemento, se debe asumir queel embebido del torón se inicia en el extremo de la longitud no adherida (véase también 12.9.3).9.3.2.7 Las longitudes de desarrollo especificadas en el capítulo 12 no requieren de un factor .9.3.2.8 En el Capítulo 22 del E060, concreto estructural simple, debe ser 0,65 para flexión,

compresión, cortante y aplastamiento.




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2.5 ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE SECCIÓN RECTANGULAR CONREFUERZO EN TRACCIÓN POR FLEXIÓN

Para la determinación del momento resistente de una sección rectangular es precisoverificar inicialmente, si el refuerzo alcanza o no la fluencia. Dependiendo de estasituación, se siguen procedimientos diferentes.

La formulación usada en ambos casos es la misma. La única diferencia entre ellos esque en el primero el esfuerzo en el acero se conoce y es igual a = f y , mientras queen el segundo caso es una incógni ta .

Los elementos sometidos a flexión se diseñan para fal lar por tensión pues es el tipode colapso más conveniente dada la ductilidad que desarrolla. Por ello el procedimiento de análisis que se presenta es para este caso.

2.5.1 Análisis de sección rectangular con comportamiento dúctilPartiendo de la distribución de esfuerzos mostrada en la figura 2.8 se establece lacondición de equilibrio:

C = T

0.85´ = (2.2)donde: b: Ancho de la sección de concreto.

: Altura del bloque rectangular de esfuerzos de compresión en el concreto. : Área de refuerzo en tensión de la sección.




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Figura 2.8: Esfuerzos en sección rectangular con esfuerzo en tensión sometida a flexión.

=

.´ (2.5)

Despejando de (2-2):

= (2.4)Sustituyendo (2.4) en (2.3), se obtiene:

= .´

(2.3)

La cuantía de acero en tensión definida a través de la siguiente expresión:




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M u ≤ M n (2.9) Remplazando 2.7 y 2.8 en (2.9), empleando la igualdad:

φ = = φ =φ 1 .´ (2.10) Haciendo = φ , y despejando (cuantía de acero requerido para una viga particular), obtenemos:

=.´

1 1

.´ (2.11)

El momento resistente nominal de la sección estará dado por:

= = (2.6)

Reemplazando (2.2), (2.3) y (2.4) en (2.6) se obtiene: (2.7) y (2.8)

=0.85´ (2.7) = = b 1

.´ (2.8)


La norma exige que las estructuras y los elementos estructurales deberán diseñarse paraobtener en todas sus secciones resistencias de diseño (

Rn ) por lo menos iguales a las

resistencias requeridas (Ru ), calculadas para las cargas y fuerzas amplificadas en lascombinaciones que se estipulan en la norma, por lo tanto, el momento último de diseño en función del momento resistente nominal , es igual:



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En lugar de sustituir valores en esta ecuación para obtener cuando se trata desecciones rectangulares, se puede encontrará que las tablas B.8 a B.9 (Diapositivas 31y 32).

Esta expresión para es también muy útil para las secciones rectangulares reforzadasa tensión que no están en las tablas. Más adelante en esta Unidad se presenta tambiénuna técnica iterativa para la determinación del área de acero de refuerzo.

En ecuación (2.7), el momento resistente nominal es función de la compresión en elconcreto, mientras que en la (2.8), de la tensión del refuerzo.




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2.5.2 Determinación de la cuantía balanceada o cuantía básicaLas expresiones deducidas en la sección anterior son válidas siempre que el esfuerzo en elacero sea igual a su esfuerzo de fluencia. Ello se verifica siempre que la cuantía de lasección sea menor o igual que la cuantía básica o balanceada.

En la figura 2.9 se muestra las características de una sección balanceada en la rotura. En eldiagrama de deformaciones, por semejanza de triángulos, se puede plantear la siguienterelación:

Figura 2.9: Esfuerzos y deformaciones en sección rectangular con falla balanceada.

0.003

=

=




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Una viga que tiene una proporción balanceada de acero cuando el acero entensión teóricamente alcanzará su punto de cedencia al mismo momento que lasfibras extremas del concreto en compresión alcanzan una deformación unitaria

igual a 0.003. Si un miembro sometido a flexión se diseña de modo que tengauna proporción balanceada de acero, o sea un miembro que esté controlado porsu lado de compresión (es decir, si su deformación unitaria en compresiónalcanza 0.003 antes de que el acero ceda), el miembro puede fallarrepentinamente sin previo aviso. A medida que aumenta la carga en un miembro

de este tipo, generalmente sus deflexiones no serán muy notables, aun cuando elconcreto queda sometido a esfuerzos de compresión muy altos y la falla probablemente ocurrirá sin previo aviso para los usuarios de la estructura. Estosmiembros están controlados en compresión y se llaman miembros frágiles.Obviamente, estos miembros deben ser evitados.




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0.003 =

=

donde:: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión en una sección con cuantía

balanceada. : Deformación unitaria correspondiente al esfuerzo de fluencia del acero. Despejando se obtiene: =

0.003 +0.003

Reemplazando el valor de = 2´039,000 / : → = 6 117 + 6 117

Sabiendo que = y haciendo uso de (2.5):

= = .´ → =.´

=.´

(2.12)

Por razones de seguridad la norma E.060, limita la cuantía de acero máxima:

≤ 0.75

Para unidades del → E s = 2.039×105 MPa→ =612

+612

= .´

(En unidades del SI) (2.12.a)




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En la práctica, una sección con este refuerzo es antieconómica, por lo que normalmente se procura usar cuantías menores a 0.5. La Tabla 2.1 presenta valores de , , para valores de y í para flexión, para diferentes calidades de concreto y para = 4 200 /.

´ / 210 280 350 420 0.85 0.85 0.814 0.764 0.0214 0.0285 0.0336 0.0377

, =0.004 0.0155 0.0206 0.0247 0.0278

, =0.005 0.0135 0.0181 0.0216 0.0244

, =0.0075 0.0103 0.0138 0.0165 0.0186í 0.0033 0.0033 0.0035 0.0039

Tabla 2.1: Cuantía básica, mínima, para valores de y para concretos dediferentes calidades. Según Norma ACI-318.2008.

2.5.3 Cuantía mínima de refuerzo En la mayoría de los casos, el momento crítico que ocasiona el agrietamiento de unasección es mucho menor que su momento resistente. El acero, antes de la formación degrietas, presenta esfuerzos muy bajos, pues su deformación, compatible con la delconcreto, también lo es. Después del agrietamiento debe resistir, además del esfuerzoinicial, la tensión que el concreto no es capaz de asumir. Generalmente, ambos efectos no

ocasionan la fluencia del refuerzo.




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32




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33CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - In . E. De La Rosa Ríos

En algunas ocasiones, ya sea por razones arquitectónicas o funcionales, se empleaelementos cuyas secciones tienen dimensiones mayores que las requeridas para resistir lascargas aplicadas. Las cuantías de refuerzo disminuyen propiciando que el momento críticosea superior a la resistencia nominal de la sección. En estos casos, la falla se presenta al

superar el momento crítico y es súbita y frágil. Para evitarla, es conveniente definir unacuantía mínima de acero que garantice que el momento crítico de la sección sea superior asu momento resistente.

Para determinar la cantidad mínima de acero requerida, es necesario analizar la secciónantes y después del agrietamiento. Las distribuciones de esfuerzos mostradas en las figuras2.10.a y 2.10.b, corresponden a ambas situaciones. De la primera se puede plantear:

Figura 2.10: Esfuerzos en sección sometida a flexión antes y después del agrietamiento del concreto.(a) (b)



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=23 =

23

12

2 =

23

4

donde: : Peralte de la sección.

: Módulo de ruptura del concreto.

En las secciones de mayor peralte, como las analizadas, se puede asumir que h≈d. Deeste modo, el momento crítico se puede aproximar a:

≈

(2.13)

Por otro lado, de la distribución de esfuerzos en la sección después del agrietamiento, se

Deduce: = 2

Puesto que la cantidad de refuerzo es reducida, el área de concreto comprimido tambiénlo es. Por ello se puede asumir que es muy pequeño y por lo tanto:

= (2.14)



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Al producirse el agrietamiento, las expresiones (2-13) y (2-14) son iguales, luego:

23

4 =

Simplificando y asumiendo que

= 2 ´ (ACI-Ec. (9-9)),

=0.33 ´

Considerando un factor de seguridad de 2.5 se obtiene: =0.83 ´

Esta expresión es aproximadamente igual a la propuesta por el código del ACI.

El código del ACI (ACI 10.5.1) recomienda un refuerzo mínimo igual a:

í =0.8 ´ ( á ú) (2.15)

(ACI-Ec. (10-3))

í =0.25 ´ ( ) (2.15. ) pero no deberá ser menor que:

í ≥14.1 á ú (2.16)

í ≥1.4 (2.16. )



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donde:: Ancho del alma de la viga. Para vigas de sección rectangular corresponde al ancho de la

sección.

El término se define para generalizar la expresión propuesta para la determinación derefuerzo mínimo y hacerla extensiva a secciones no rectangulares. En la sección 2.8.3 sedesarrollará con mayor detalle los requerimientos mínimos de acero para elementos desección T ó L.

En voladizos u otros elementos estáticamente determinados donde no hay posibilidadde redistribución de momentos se debe usar valores mayores para el refuerzo mínimo.

Si el refuerzo provisto en una sección cualquiera, es un tercio mayor que el requerido poranálisis entonces no es necesario verificar que el área de acero sea mayor que el mínimodefinido por el código (ACI- 10.5.3).

Para losas y cimentaciones de espesor constante, el refuerzo mínimo definido a través delas expresiones (2-15) y (2-17) no son válidas. Más adelante se definirán los

requerimientos mínimos de acero para estas estructuras.

Esta ecuación ACI (10-3) para la cantidad mínima de refuerzo por flexión se puedeescribir como un porcentaje, como sigue:

í ó = 0.8 ´

≥ .

, á ú (2. 17)

í ó = 0.25 ´ ≥. , (2. 17. )



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2.6 FACTORES DE CARGA Y FACTORES DE REDUCCIÓN

Como vimos en sección 2.4 Los factores de carga son números, casi siempremayores que 1.0, que se usan para aumentar las cargas estimadas aplicadas a las

estructuras. Se usan para cargas aplicadas a todos los tipos de miembros, nosolamente vigas y losas. Las cargas se aumentan para considerar las incertidumbresinvolucradas al estimar sus magnitudes.

Para vigas y losas dúctiles o controladas por tensión donde ≥ 0.005, el valor de φ para flexión es 0.90. Si


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Los miembros sujetos a cargas axiales iguales o menores que 0.10 f´ c A g pueden usarsesólo cuando no sea menor que 0.004 (sección ACI 10.3.5). Una implicancia importantede este límite es que las vigas de concreto reforzado deben tener una deformación unitariaen tensión de al menos 0.004. Si los miembros están sujetos a cargas axiales ≥ 0.10 f´ c A g

pueden usarse cuando es tan pequeño como 0.002. Cuando los valores de estánsituados entre 0.002 y 0.005, se dice que están en el intervalo de transición entre lassecciones controladas por tensión y las controladas por compresión. En este intervalo losvalores de φ estarán situados entre 0.65 o 0.70 y 0.90 como se muestra en la figura.

El procedimiento para determinar los valores de φ en el intervalo de transición se describe posteriormente en esta sección.


El alumno debe entender claramente que el uso de miembros a flexión en este intervalo es

generalmente antieconómico y es probablemente mejor, si la situación lo permite, aumentar

las profundidades del miembro y/o disminuir los porcentajes de acero hasta que ≥ 0.005. Si esto se hace, no sólo los valores de φ serán iguales a 0.9, sino que también los porcentajes de acero no serán tan grandes como para causar la aglomeración de las varillasde refuerzo. El resultado neto será secciones de concreto ligeramente mayores, con lasconsiguientes deflexiones más pequeñas.



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Figura 2.11 Variación de φ con deformación unitaria neta en tensión y c/d t para refuerzo de Grado 60y para acero de preesfuerzo.

Además, la adherencia del refuerzo con el concreto se incrementará en comparación con loscasos donde se usan porcentajes más altos de acero.




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Existen calculados valores de porcentajes de acero para diferentes calidades de concretoy acero grado 60, para los cuales será exactamente igual a 0.005 y los presentamos enlas tablas 2.1 y B.7 (diapositivas 28 y 29). Por consiguiente es deseable, bajocondiciones comunes, diseñar vigas con porcentajes de acero que no sean mayores que

estos valoresy los hemos mostrado como

porcentajes máximos sugeridosa ser usados.

La mitad inferior de la figura 2.11 da valores para las proporciones c/d. Si c/d para unmiembro particular a flexión es ≤ 0.375, la viga será dúctil , y si es > 0.600 será f rági l .En medio de este intervalo será de transición . El lector puede preferir calcular c/d parauna viga particular para comprobar su ductilidad en vez de calcular o . En la regiónde transición, la interpolación para determinar φ usando c/d t en lugar de puederealizarse usando las ecuaciones:

φ = 0.75+ 0.15

.

φ = 0.65+ 0.25

otros miembros.

Las ecuaciones para φ arriba en la figura 2.11 son para el caso especial donde f y = 60klb/plg2 y para el concreto presforzado. Para otros casos, reemplace 0.002 con = f y / E s.La figura 2.12 muestra a la figura 2.11 para el caso en general donde se supone diferentede 0.002.

Las ecuaciones generales resultantes son:




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φ = 0.75 + .. φ = 0.65 + .. .

El impacto del factor φ variable sobre la capacidad de momento se muestra en la figura 2.13.Las dos curvas muestran la capacidad de momento con y sin la aplicación del factor φ.

Fig. 2.12: Variación de con neto en tensión y c/.Fig. 2.13: Capacidad de momento contra .




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El punto A corresponde a una deformación unitaria por tensión, = 0.005 y = 0.0181(tabla B7). Éste es el valor más grande de para φ = 0.9. Arriba de este valor de , φ decrece tan bajo como 0.65, como lo muestra el punto B que corresponde a de . ACI2.11 requiere que no exceda de 0.004 para miembros a flexión con cargas axiales bajas.Esta situación corresponde al punto C en la figura 2.12. El único intervalo permisible para es debajo del punto C. De la figura, es claro que se gana muy poca capacidad demomento al añadir área de acero por encima del punto A. Las disposiciones del factorvariable φ esencialmente permiten un valor constante de φ M n cuando es menor que0.005. Es importante que el proyectista sepa esto porque a menudo las selecciones realesde las varillas resultan en más área de acero que lo teóricamente requerido.

Si la pendiente entre los puntos A y C fuera negativa, el proyectista no podría usar un áreamayor. Si sabe que la pendiente es ligeramente positiva, el proyectista puede usar el áreamayor de la varilla con la confianza de que la capacidad de diseño no se reduce.

Para los valores de f y

de 75 klb/plg2 y mayores, la pendiente entre los puntos A y B en lafigura 2.12 es negativa en realidad. Por consiguiente, es especialmente importante al usaracero de refuerzo de alta resistencia verificar su diseño final para estar seguros de que lasvarillas que usted ha seleccionado no resulten en una capacidad de momento menor queel valor de diseño.




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Ejemplo 2.1Determinar el momento resistente nominal de la sección transversal de la viga que semuestra en la figura 2.14, si f´c=350 kg/cm2 y = 4 200 kg/cm2.

Figura 2.14

60 mm

440 mm El área total del acero en tensión, As es igual a:

As=3x5.1=15.3 cm2

El peralte efectivo de la sección es:d =50 – 6 = 44 cm.

y su cuantía:

= =15.3/(30*44) = 0.01159 Para calcular el momento resistente de la sección es necesario determinar el tipo de falla que presentará el elemento, la cual depende de la relación entre su cuantía y la cuantía básica. De

la Tabla 2.1, se obtiene que: =0.0336 Puesto que < la falla de la sección será por tensión y entonces las expresiones (2.3) y(2.8) podrán ser utilizadas. La altura del bloque en compresión de concreto será:

(16 .3% del peralte efectivo) = .´ =.

. = 7.2

SOLUCIÓN:



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EJEMPLO 2.2Determinar la resistencia nominal por momento de la viga mostrada en la figura 2.15 sif´ c = 28 MPa y f y = 420 MPa.


SOLUCIÓN:

T = C As f y = 0.85f´ c b

= . 0.85´ = 1 530 4200.85 28 300 =90 =

2 =

2 =

= 1 530 420 430 902 =

=2.474∗10. = . . Figura 2.15

El momento resistente: (2.8)

= 2 = 15.3 4 200 44

7.22 = 2 596 104 . = .

El momento último al que puede estar sometida la sección es Ecuación (2.9):

≤ = 0.90 25 961 = .

= =15.3/(30*43) = 0.0118< á =0.0181> í =0.0033←.

EJEMPLO 2 3UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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EJEMPLO 2.3Determine la capacidad de momento de diseño del ACI φ M n de la viga mostrada en lafigura 2.16 si f´ c= 28 Mpa y f y = 420 MPa.SOLUCIÓN: Revisión del porcentaje de acero

= =

2040380 590 =0.00910>í =0.0033

< á = 0.0181 Trazado del diagrama de deformaciones unitarias (figura 2.16):

= .´ =

. = 94.74 ; Para concreto ´ = 420 → =0.85

4∅ 1" (2040 mm2)

590 mm650 mm

60

380 mm

590 mm

140.9 mm

449. 1

Figura 2.16

Figura 2.17

Ambos de Tabla B.7ó 2.1

= = 94.740.85 = 111.5



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De figura 2.17:

=

0.003 =590111.5

111.5 0.003 = 0.01287 > 0.005 ∴ ó

: = = 20.40 10 ∗420 0.590 . = 0.46493 MPa.m

El momento de diseño es: φ =0.9(0.46493.)= 0.41843 MPa.m = 418.4 KPa.m



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EJEMPLO 2.4Determine la capacidad de momento de diseño de ACI φ M n de la viga mostrada en la figura 2.18 sif´c = 28 MPa y f y = 420 MPa.

= = 3 018300 380 = 0 . 0 2 6 > í = 0.0033 > á =0.0181

de Tabla B.7 ó 2.1

En consecuencia, se sabe que será < 0.005.

Cálculo del valor de :

= .´ =

. =177.5 ; Para concreto ´ = 420 → =0.85

= =177.50.85 = 208.8

=

0.003 =380208.8

208.8 0.003 = 0.00246 < 0.004 ∴ La sección no es dúcti l y no puede usarse según l a sección de la viga (10.3.5 del ACI ): ≥.


3∅ 1 " (3018mm2)

300 mm

440mm

380. mm

60

Figura 2.18



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48CONCRETO ARMADO I – UNIDAD III - Ing. E. De La Rosa Ríos

2.7 DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES

Antes de realizar el diseño de una viga real, es conveniente analizar algunos temasasociados con el diseño. Éstos son:1. Dimensiones de la viga . A menos que los requisitos arquitectónicos o de otra índole

determinen las dimensiones de las vigas de concreto reforzado, las secciones máseconómicas para vigas cortas (hasta 6.0 o 7.5 m de longitud), se obtienen cuando la

relación de d a b es: = 1.5 a 2. Para claros mayores, usualmente

= 3 o 4 . Sin embargo,

el proyectista de concreto reforzado a menudo se enfrenta con la necesidad de conservarlos miembros con poca longitud para reducir la altura del entrepiso. Como consecuencia,

frecuentemente se usan vigas más anchas y de menor longitud. Observe que lasdimensiones de las vigas se escogen en unidades enteras para simplificar el procesoconstructivo.2. Deflexiones . Con mayor detalle se tratará el tema cuando se vea deflexiones en losmiembros de concreto reforzado sujetos a flexión. Sin embargo, el código ACI proporciona espesores mínimos de vigas y losas en una sola dirección, para las cuales tales

cálculos de deflexión no se requieren. Estos valores se muestran en la tabla 9.1 de la normaE.060 ó ACI. El propósito de tales limitaciones es prevenir deflexiones de magnitudes talesque interfieran con el uso de la estructura o que le causen algún daño. Si se calculandeflexiones para miembros de espesores menores que los listados en la tabla y seencuentran satisfactorios, no es necesario acatar las reglas de los espesores.



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Para losas simplemente apoyadas, de concreto de peso normal, y acero de grado 60 (420MPa), la altura

mínima dada cuando no se calculan deflexiones es igual a

, donde es la longitud de claro de la losa. Para concretos de otros pesos y para aceros de límites de elasticidad diferentes, las alturas mínimas

requeridas por la norma están algo revisadas como se indica en pie de página de la tabla 9.1 de la

norma E.060. Los espesores mínimos proporcionados se aplican sólo a miembros que no son de soporteo adheridos a muros divisorios u otra construcción susceptible de ser dañada por deflexiones grandes.

3. Estimación del peso de la viga . El peso de la viga por diseñar debe incluirse en el cálculo delmomento flexionante que ésta va a resistir, ya que la viga debe soportar su propio peso así como lascargas externas. Las estimaciones del peso de las vigas seleccionadas en este texto resultan generalmentemuy cercanas a los pesos reales. No se espera que usted pueda estimar con exactitud el peso de la viga

requerida con sólo ver los datos del problema.Un método práctico para estimar el tamaño de la viga es suponer una altura mínima total h igual a la

altura mínima especificada por la norma si las deflexiones no se deben calcular . El mínimo según lanorma para la viga en estudio puede determinarse consultando la tabla 9.1. Entonces se estima en forma preliminar el ancho de la viga siendo igual a aproximadamente la mitad del valor supuesto de h.

Después de determinar M u

para todas las cargas, incluyendo el peso estimado de la viga, se escoge lasección. Si las dimensiones de esta sección son significativamente diferentes a las inicialmentesupuestas, será necesario recalcular el peso así como M u y repetir la selección de la viga. Es posible preguntar, ¿cuánto es un cambio significativo? no estamos interesados académicamente en qué tancercano es nuestro peso estimado del peso final, sino, estamos muy interesados, qué tan cercano estánuestro M u calculado del M u real. En otras palabras, nuestro peso estimado puede tener un errorconsiderable, pero si no afecta a M u por más de 1 a 1.5 %, no importa.



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4. Selección de las vari l las . Después de calcular el área requerida de refuerzo, puedeusarse la tabla B.4 para seleccionar las varillas que proporcionen el área necesaria.Usualmente es conveniente usar varillas de sólo un tamaño en una viga, aunqueocasionalmente se usan dos tamaños. Sin embargo, las varillas para el acero de

compresión y los estribos son usualmente de diferente tamaño. De manera que seafuncional el procedimiento constructivo.

5. Recubrimiento . El refuerzo de los miembros de concreto debe protegerse delambiente circundante; es decir, debe suministrarse protección contra el fuego y lacorrosión. Para lograr esto, el refuerzo se coloca a ciertas distancias mínimas de lasuperficie del concreto, de manera que haya una capa protectora de concreto, llamadarecubrimiento. Además, el recubrimiento mejora la adherencia entre el concreto y elacero. En la sección 7.7 de la norma E.060, se proporciona el recubrimiento mínimo permisible para varillas de refuerzo bajo diferentes condiciones. Los valores se dan paravigas, columnas y losas de concreto, para miembros colados en la obra, para miembros prefabricados, para miembros presforzados, para miembros expuestos y no expuestos asuelos y a la intemperie, etc. El concreto de los miembros que van a estar expuestos asales descongelantes, aguas salobres, agua de mar o rocío de estas fuentes, debe tenerlas proporciones especiales que satisfagan los requisitos del capítulo 4 de la norma, encuanto a la exposición a lo anterior. Estos requisitos se refieren al aire atrapado, las proporciones de agua y cemento, los tipo de cemento, la resistencia del concreto, etc.



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En el capítulo 8 veremos que se usan estribos verticales para el refuerzo por cortante en lamayoría de las vigas. En la viga de la figura 2.18 se muestra un croquis de un estribo. Eldiámetro mínimo de estribo (d s) que permite el código es de 3/8 plg cuando las varillaslongitudinales son del #10 o menores, mientras que para las varillas del #11 y mayores, eldiámetro mínimo de estribo es de ½ plg. El radio interior mínimo del estribo de 90 grados,doblado alrededor de las varillas longitudinales exteriores, es dos veces el diámetro delestribo (2d s). Como consecuencia, cuando las varillas longitudinales son del #14 o menores,habrá un espacio entre las varillas y los estribos, como se muestra en la figura.

Figura 2.18

( ) bl l di i lib



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6. Separación mínima entre var i l las . La norma E.060 (7.6) establece que la distancia libre entrevarillas paralelas debe ser igual al diámetro de la barra d b , pero no menor que 25 mm. Si las varillasse colocan en más de una capa, las de capas superiores deben colocarse directamente sobre las decapas inferiores y la distancia libre entre las capas no debe ser menor de 25 mm.

Uno de los fines principales de estos requisitos es permitir que el concreto pase entre las varillas.Con el mismo fin, la norma E.060 en la sección 3.3.2 relaciona además la separación de las varillascon los tamaños máximos del agregado:

3.3.2 de la Norma E.060:El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a

ninguna de:

(a) 1/5 de la menor separación entre los lados del encofrado.

(b) 1/3 de la altura de la losa, de ser el caso.(c) 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo,

paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.

Estas limitaciones se pueden omitir si se demuestra que la trabajabilidad y los métodos de

compactación son tales que el concreto se puede colocar sin la formación de vacíos o

“cangrejeras”.

Una varilla de refuerzo debe sobresalir apreciablemente en ambas direcciones, desde su punto demáximo esfuerzo con el propósito de desarrollar su esfuerzo mediante la adherencia al concreto. Lalongitud más corta en que el esfuerzo de una varilla puede aumentar de 0 a f y se llama longitud dedesarrollo o bien longitud de anclaje. El capítulo 7 de la norma E.060, trata al detalle las longitudesde desarrollo.En la tabla B.5 (diapositiva 77), se muestran los anchos mínimos de viga requeridos para diferentesnúmeros de varillas.

2 8 DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIÓNUNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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2.8 DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIÓN

El proceso de diseño se inicia con la elección de las dimensiones de la sección y de lacalidad del concreto. Por el momento se va a asumir que las dimensiones son conocidasy más adelante se presentarán criterios para el pre dimensionamiento en función del tipo

de elemento que se está diseñando.

A continuación, se estima el peralte efectivo de la sección en función de su peralte total.Por ejemplo, para una viga con una capa de refuerzo, se efectúa un análisis como elmostrado en la figura 2.19. De él se deduce que su peralte efectivo es 6 cm. menor que el peralte total. De análisis similares se puede concluir:

Para vigas con una capa de refuerzo ................................................... d = h - 6 cmPara vigas con dos capas de refuerzo.. ................................................ d = h - 9 cm

Para losas ...................................................................... d = h - 3 cm

Figura 2.19: Criterio para estimar el peralte efectivo en vigas.

El l f i i d d b ifi d l l i l di ñUNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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El peralte efectivo estimado debe ser verificado al culminar el diseño. En seguida, se evalúa , con las fuerzas exteriores amplificadas, haciendo uso de las

combinaciones presentadas en el primer capítulo. El momento resistente nominal debesatisfacer la siguiente relación (2.9):

≤ La cantidad de acero requerida por la sección puede ser determinada por la ecuación

(2.11):

= 0.85´

1 1 2

0.85´

En lugar de sustituir valores en esta ecuación para obtener cuando se trata desecciones rectangulares, se puede encontrará que las tablas B.8 a B.9,diapositivas 31 y 32.

Esta expresión para es también muy útil para las secciones rectangularesreforzadas a tensión que no están en las tablas. Más adelante en esta Unidad se presenta también una técnica iterativa para la determinación del área de acero derefuerzo.



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Si la cantidad de acero excede la cuantía máxima, el problema se puedesolucionar de tres maneras:

1. Incrementando el peralte de la sección,2. Mejorando la calidad del concreto o3. Utilizando refuerzo en compresión.

Las dos primeras opciones son las más económicas. Sin embargo, es poco práctico cambiar la resistencia a la compresión de un elemento a otro de una

estructura y no siempre es posible incrementar el peralte de las secciones porcuestiones arquitectónicas. En estos casos, es conveniente utilizar refuerzo encompresión. En las secciones de momento negativo, se suele utilizar el acero

positivo que se ancla en el apoyo como refuerzo en compresión.



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Ejemplo 2.5Determinar el refuerzo requerido por la viga mostrada en la figura 2.20 en: a) la secciónde momento máximo del tramo AB; b) la sección de momento máximo del tramo BC; c)la sección del apoyo B. La viga está sometida a carga permanente de 2 600 kg/m (no

incluye peso propio) y la sobrecarga es 1 750 kg/m. Usar ´ = 280 kg/cm2 y = 4200kg/cm2.

Figura 2.20

SOLUCIÓN:

peso propio de viga: =2400 / x 0.30 x 0.55=396 kg/ carga amplificada sobre la viga: = 1.4 + 1.7 = 1.4 396 + 2 600 + 1.7 1 750 =

= 7 169 = 7.2 / Asumir peralte efectivo de viga: d = 55 – 6 = 49 cm.

Cál l d t á i t AB BC Fi 2 21UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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Cálculo de momentos máximos en tramos AB y BC, Figura 2.21:

5 + 2 5 + 7 + 7 = 67.2 5

24 67.2 7

24 24 = 842.4→ = 35.10 . = = 35 100 .

10.98 =

510.98+25.02 → = 1.525

20.186 = 720.186+30.214 → = 2.804

,á = 10.98 1.525 7.22 1.525

= 8.372 . → = 8 372 .

,á = 20.186 2.804 7.22 2.804 = 28.297 . → = 28 297. Luego, el parámetro del tramo BC, es igual a: = =

. =43.65

De Ec. (2.15.a): = .´

1 1 .´

= .

1 1 .

.

=0.01158

10.98

30.214

25.02 20.186

7.2 t/m

7m5m

CBA

10.98 55.234 20.186

Figura 2.21



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La cuantía de acero obtenida es menor que la obtenida de Tabla 2.1 ó B7:

= 0.01158 í =0.0033←.

Es decir, está dentro del rango permitido por el ACI. El área de refuerzo requerida será:

= = 0.01158 30 49 = 17.02

∴ Para la sección más crítica del tramo BC usar: 3∅ #8 + 1∅ # ← = . En las otras secciones el procedimiento es similar y está resumido en la tabla siguiente:

Secc. De máximo momento en AB Apoyo B



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De máximo momento en AB Apoyo B

8 372 . 35 100 . 8 372 100

0.90 30 49 =12.91

35 100 100

0.90 30 49 =54.14

0.85 2804200 1 1

2 12.910.85 280 =0.00316


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EJEMPLO 2.6Diseñar una viga rectangular simplemente apoyada con 6.70 m de luz para soportar una cargamuerta de 14.594 kN/m (sin incluir el peso de la viga) y una carga viva de 29.188 kN/m. Use f´ c =28 MPa y f y = 420 MPa.SOLUCIÓN: Estimación de las dimensiones y el peso de la viga:

: = 10 = 6.710 = 0.67 → : = 0.65 → = 0.59 : = 2 =

0.652 = 0.325 → = 0.30.

Peso propio de la viga: = ∗ ∗ 2 4 0 0 =0.30∗0.65∗2400=468 =4.59

á : = 1.4 + 1.7 = 1.4 14.594 + 4.59 + 1.7 29.188 = 76.477 / =

8 =

76.477 6.7 8 = 429.132 .

φ=0.90 y calculando ρ = 0.85´ 1 1 2

0.85´

=

φ =429.132 10

0.90 0.30 0.59 = 4 . 5 7 = 0.85 28420 1 1

2 4. 570.85 28 =0.01219 í =0.0033← ó : = = 0.01219 0.30 0.59 = 0.002158 = 2 158 Usar 2

∅ 1

"

+ ∅ /" → =

>

"UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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En Tabla B5, se tiene que para 2 ∅ 1 + 1 ∅ 5/8" corresponde a un ancho mínimo de sección b = 209 + 40.9 = 249.9 mm.< 300 ←

Revisión de cuantía de la solución:

= = ∗ =0.01219>í =0.0033 < á =0.0181← OK = 0.85´ =

2211 4200.85 28 300 = 130.06

φ = φ 2 = 0.90 2 211

420 0.590.130

2 = 438772.95 . = 438.8.

φ = 438.8 . > 430.2 . ←

Sección final:

(De Tabla B7)

650 mm590 mm

300mm

60

2∅ " +∅/"

Figura 2.22

•

EJEMPLO 2.7UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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Una viga debe seleccionarse con =0.0120, M u = 813.492 kN.m, f y = 420 MPa y f´ c = 28 MPa.SOLUCIÓN: Suponiendo φ = 0.90 y sustituyendo en la siguiente ecuación de la sección 2.5.1despejamos : (Ecuación 2.8-a)

φ = 1

11.7

´ →

813.492 10

0.9 = 0.0120 420 1 1

1.70.0120 420

28

Alternativamente se pueden utilizar tablas (Tabla B9):

Para =0.0120→

φ = 4.506 ∴ = φ . = . −

. . =0.20059 ← Para una sección de bxd=350x760mm: = = 0.0120 350 760 = 3192.0 Usar: 3 ∅

" + ∅ " → ( =).

Nota : La tabla B.5 indica un ancho mínimo de viga de 321.6mm = 281 + 40.6, para esta selección devarillas. Como nuestro ancho b es 350 mm, las varillas son adecuadas.Revisión de la solución:

= =3217

350 760 =0.01209>í =0.0033 < á =0.0181 ; en tabla B.7.

Nota: el código permite un valor de 0.0206, pero el valor correspondiente de φ sería menor que 0.9(véase la figura 2.11 y la tabla B.7). Como se usó un valor de φ = 0.9 en los cálculos anteriores, esnecesario usar para comparar 0.0181.

=0.20058 0.35 0.70 =0.172

0.35 0.75 =0.1969 0.35 0.76 =0.2022 ←r



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= 0.01209; ó . 9: φ =4.5357

φ =4.5357 φb = 4.5357 0.35 0.76 = 1.2065 . = 1 206.5 . > 813.492.

Sección final de viga:

3 ∅ 1 " + ∅ "

350mm

760mm800mm

40

Figura 2.23

EJEMPLO 2.8UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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Una viga rectangular se debe dimensionar con f y = 420 MPa, f´ c = 21 MPa, y es igual a 0.18 f´ c / f y.Debe tener un claro simple de 7.62 m y soportar una carga muerta adicional a su peso propio igual a29.188 kN/m y una carga viva igual a 43.782 kN/m.

SOLUCIÓN: Suponga un w por peso propio de la viga = 5.838 kN/m = 1.4 + 1.7 = 1.4 29.188 + 5.838 + 1.7 43.782 = 123.466/ =

8 =

123.466 7.62 8 = 896.1 kN. m

=0 .1 8 21420 = 0.009 → . 8:

φ =3 .3 8 0 → =

φ 3.380 =896.1 10 0.9 3.380 =0.18216

Para =0.18216

Intentar con viga de 30x86 cm (d = 80):

: = 0.30 ∗ 0.86 ∗ 2400 =.

=. .

=6.072 kN/m> 5.838/

0.35x0.70 =0.1715 0.30x0.80= 0.1920← 0.30x0.78 =0.18252

= 1.4 + 1.7 = 1.4 29.188 + 7.0 + 1.7 43.782 = 125.093/

=

8 =125.093 7.62

8 =907.9 kN.m

φ = 3.380→

=

φ 3.380 =

907.9 10

0.9 3.380 =0.29845

Asumir valor >6.072 : = . :



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Para =0.29845 0.35x0.80 =0.22400 0.40x0.80= 0.256000.40x0.83 = 0.27556 ←


: = 0.40 ∗ 0.90 ∗ 2400 =

= .

=8.5 kN/m>7.0/ Asumir valor >8.5 : =

. :

= 1.4 + 1.7 = 1.4 29.188 + 9.0 + 1.7 43.782 = 127.893/

= 8 =127.893 7.62

8 =928.3 kN.m

φ =3 .3 8 0 → =

φ 3.380 =928.3 10 0.9 3.380 =0.30516

Para =0.30516 0.45x0.83 =0.31001 0.40x0.83= 0.27556 ← 0.45x0.82 =0.30258


: = 0.40 ∗ 0.90 ∗ 2400 =

= .

=8.5 kN/m


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= = . = → ∅ " ← =

Revisión de la solución: = = 3018400 840 =0.00898>í =0.0033 < á =0.0181 ; en tabla B.7 ←

= 0.00898; . 8: φ =3.3866→

= 0.9 3.3866 0.40 0.84= 955.8 kN.m>828.3 kN.m← Sección final de viga:

=

8 =127.893 7.62

8 = 928.3 kN. m

3 ∅ 1 "

400mm

840mm900mm

60

Figura 2.24

•


Ejemplo 2 9UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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Con Ec. (2.9): = .´ 1 1

.´ =.

1 1 .. =0.02034 La cuantía obtenida es mayor que la máxima, obtenida de Tabla 2.1: á= 0.0135, Porlo tanto, la sección no es capaz de resistir los momentos aplicados si sólo cuenta conrefuerzo en tensión. Para solucionar el problema se hará uso de acero en compresión ,

para no modificar las dimensiones asignadas a la viga.

Ejemplo 2.9Diseñar la sección central de la viga rectangular que se muestra en la figura 2.25. La vigaestá sometida a una carga permanente de 1710 kg/m (no incluye peso propio) y a unasobrecarga de 1575 kg/m. Usar f´c= 210 kg/cm

2 y f y= 4200 kg/cm2.

Figura 2.25

peso propio=2400x0.25x0.40=240 kg/m.

La carga amplificada sobre la viga es:

Wu=l.4D+1.7L=1.4(240+1710)+1.7(1575)=5408kg/m

asumir peralte efectivo: d=40-6=34 cm.

El momento último en la sección central es: =

=

= 16 900 . El parámetro = =

. = 64.98 /

2.9 CONSIDERACIONES DIVERSAS EN EL DISEÑO DE VIGASUNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA


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2.9 CONSIDERACIONES DIVERSAS EN EL DISEÑO DE VIGASLas limitaciones generales referentes al diseño de vigas: el soporte lateral y las vigas de gran peralte.

Soporte lateralEs improbable que las vigas de concreto armado de cualquier sección normal sin soporte lateral se

pandeen lateralmente, aun cuando sean muy peraltadas y estrechas, a menos que estén sometidas a unatorsión lateral considerable. Por ello, el código ACI (10.4.1) establece que el soporte lateral de una vigano tiene que quedar a menos de 50 veces el ancho mínimo b del patín o cara de compresión. Sinembargo, si se da una torsión significativa, ésta debe considerarse en la determinación delespaciamiento máximo de los soportes laterales.

Refuerzo superficial para vigas de gran peralteLa norma E.060 - 9.9.6 , Si el peralte h de una viga o nervadura excede de 900 mm, se deberá colocararmadura (superficial) longitudinal uniformemente distribuida en ambas caras laterales del alma, en

una distancia 0,5 h cercana de la armadura principal de tracción por flexión. El espaciamiento de la

armadura superficial no excederá del menor de los siguientes valores:

s ≤300 mm s ≤ 380 (250 / fs)

–

2,5 Cc (9-20) s ≤ 300 (250 / fs) (9-21)donde Cc es la menor distancia medida desde la superficie del refuerzo superficial, o acero de

preesfuerzo, a la cara lateral del elemento y fs es el esfuerzo en el acero principal de flexión

calculado con 9-19.

El refuerzo superficial se puede incluir en el cálculo de la resistencia a flexión de la sección

únicamente si se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar los esfuerzos

de las barras o alambres individuales.



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2.10 DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ACERO CUANDO LAS DIMENSIONES DE LA

VIGA SON PREDETERMINADASAlgunas veces las dimensiones externas de una viga están predeterminadas por factores que no tienenque ver con los momentos flectores y las fuerzas cortantes. La longitud de un miembro se pudo haberseleccionado con base en los requisitos de espesor mínimo para deflexiones. El tamaño de un grupoentero de vigas pudo haberse escogido para simplificar el trabajo de cimbrado. Finalmente, un tamañoespecífico pudo haberse escogido por razones arquitectónicas. Mencionamos brevemente tres métodos

para calcular el refuerzo requerido.

.: >

El ejemplo 2 10 ilustra la aplicación de cada uno de estos métodos



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El ejemplo 2.10 ilustra la aplicación de cada uno de estos métodos.

Uso de Tablas

El valor de

φ se puede calcular y escogerse en las tablas. En la mayoría de los casos éste es elmétodo más rápido y práctico. Las tablas B, se aplican sólo a secciones rectangulares reforzadas

por tensión. Además, debemos acordarnos de inspeccionar los valores de .

Uso de la fórmula para La siguiente ecuación (2.11), se desarrolló previamente en la sección 2.4 para seccionesrectangulares.

ρ = 0.85´ 1 1 20.85´

Método de tanteoPuede suponerse un valor de a, calcularse el valor de A s, determinar luego el valor de a para estevalor de As, suponer otro valor para a, etc. Alternativamente, puede estimarse un valor del brazo de palanca entre C y T (es d − a/2 para secciones rectangulares) y usar en el procedimiento de tanteo. Este método es general y funciona para toda sección transversal con refuerzo de tensión. Es particularmente útil en vigas T, como se ilustrará más adelante.

: =

φ

EJEMPLO 2.10di i d l i d l fi 2 2 h id id i ó i



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.

540mm

70

610mm

400mm

7070 260

= 216.93 .

´ = 21 = 420

SOLUCIÓN: Usando tabla B.8

φ = 216.930.90 0.40 0.54 = 2 066.5 = 2.0665

De Tabla B.8: interpolando: = 0.00524 = = 0.00524 400 540 = 1132 Usar: 3∅ " ← = 1152

Usando para la fórmula: =

φ =2.0665

ρ = 0.85´

1 1 2

0.85´= 0.85 21

420

1 1 2 2.0665

0.85 21

= 0.00524

Método de tanteo:

Aquí es necesario estimar el valor de a, la exactitud de la estimación carece de importancia. Se puede

suponer algún valor probable considerablemente menor que y después calcular y A s. Coneste valor de A s, se puede calcular un nuevo valor de a y el ciclo se repite. Después de dos o tresciclos, se habrá obtenido un buen valor de a.

Las dimensiones de la viga mostrada en la figura 2.27 han sido escogidas por razones arquitectónicas.Determinar el área del acero de refuerzo por medio de cada uno de los métodos descritos en esta sección.



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= 0.85´ =1131 4200.85 21 400 = 66.5

Suponer = 66.5 : = φ

= . −. ..=0.0011325 = 1132.5

= .´ = . . = 66.6 ≅ 66.5 (valor muy cercano).

Suponer = 65.5 : = φ = . −. ..

= 0.001131 = 1131

=

0.85´ =1114 420

0.85 21 400 = 65.5

Suponer = 50 : = φ = . −. ..

=0.001114 = 1114

EJEMPLO 2 11



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EJEMPLO 2.11Diseñar una viga rectangular para un claro simple de 10 m que soporte una carga muerta de20 kN/m (no incluye el peso de la viga) y una carga viva de 30 kN/m. Use = 0.5, f´ c =28 MPa, y f y = 420 MPa y un peso para el concreto de 23.5 kN/m3. No emplee el espesor

límite del ACI.SOLUCIÓN: Supongamos que el peso de la viga es de 10 kN/m y φ = 0.90.

= 1.4 + 1.7 = 1.4 20 + 10 + 1.7 30 = 93.0

=

8 = 93 10

8 = 1 162.5 kN. m . 7: = 0.5 0.0283 = 0.01415

De ecuación (2.8):

φ = 1 11.7 ´ → 1 162.5 10

0.9 = 0.01415 420 1 11.7 0.01415 42028

= 0.24835 0.40 0.75 =0.22500

0.45 0.75 =0.25313 0.45 0.74 =0.24642 ←r

Usar la sección de 450 mm × 860 mm (con d = 770 mm)



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Usar la sección de 450 mm × 860 mm (con d 770 mm)

= 0.45 0.86 23.5 = 9.0945 < 10 , ← = = 0.01415 450 770 = 4 903

6 : 4 ∅ 1 " + 2∅ 1" ← = 5 044 ;

= 0.85´ =5 044 420

0.85 28 450 =197.80

= = 197.800.85 =232.7

= =.

. 0.003 = 0.00693 > 0.005 ∴ φ = 0.90

bmín = 270 mm


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Tabla 2.6 Varillas corrugadas y sus características

d b: Diámetro nominal de la varilla e: Máximo espaciamiento entre corrugaciones de la varilla.h: Altura mínima de las corrugaciones de la varilla.



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77

SIDERPERÚ

ACEROS AREQUIPA




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"

"

"

"

"

"



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"

"

"

"

"

"

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos 79



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"

"

"

"

"

"




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"

"

"

"

"



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1N=0.1019716 kg.f 1 = 1 = 101 971.6

= 10.19716

≈10/

1k

= 101.9716

≈100/

2.11 ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE SECCIÓN RECTANGULAR CON REFUERZOÓ Ó



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EN COMPRESIÓN SOMETIDOS A F L EXIÓN El acero que se usa ocasionalmente en el lado de compresión de las vigas se denomina

acero de compresión y a las vigas con acero de tensión y de compresión se las llama

vigas doblemente reforzadas. El acero de compresión no es normalmente requerido en secciones diseñadas por elmétodo de resistencia, porque el uso de la resistencia total a compresión del concretodecididamente disminuye la necesidad de tal refuerzo, en comparación con los diseños basados en el método de diseño de los esfuerzos permisibles. Sin embargo,ocasionalmente, las vigas están limit

unidad ii-analisis y dise+æo vigas por flexion-estado rotura-20-09-2015--leer

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